Distance between two lines, Perpendicular distance of the line from a point, Position of point w.r.t. line Questions in Hindi

(C) माना $P(\alpha, \beta)$ रेखा $2x + 3y + 7 = 0$ पर स्थित एक बिंदु है।
तब $2\alpha + 3\beta + 7 = 0$,जिससे $\beta = \frac{-7-2\alpha}{3}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left(\alpha, \frac{-7-2\alpha}{3}\right)$ हैं।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ और $A(1, -3)$ के बीच की दूरी $3$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(\alpha - 1)^2 + \left(\frac{-7-2\alpha}{3} + 3\right)^2 = 3^2$.
हल करने पर,$(\alpha - 1)^2 = \frac{81}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha = 1 \pm \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13} \pm 9}{\sqrt{13}}$.
जब $\alpha = \frac{\sqrt{13}-9}{\sqrt{13}}$ हो,तो $\beta = \frac{-3\sqrt{13} + 6}{\sqrt{13}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{\sqrt{13}-9}{\sqrt{13}}, \frac{-3\sqrt{13}+6}{\sqrt{13}}\right)$ है।

(B) मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
पहली रेखा $x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta - k = 0$ के लिए,$p = \frac{|-k|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta}} = \frac{|k|}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \theta} + \frac{1}{\sin^2 \theta}}} = \frac{|k| \sin \theta \cos \theta}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |k| \sin \theta \cos \theta = \frac{|k|}{2} \sin 2\theta$.
अतः,$p^2 = \frac{k^2}{4} \sin^2 2\theta$.
दूसरी रेखा $x \cos \theta - y \sin \theta - k \cos 2\theta = 0$ के लिए,$q = \frac{|-k \cos 2\theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = |k \cos 2\theta|$.
अतः,$q^2 = k^2 \cos^2 2\theta$.
अब,$4p^2 + q^2 = 4 \left( \frac{k^2}{4} \sin^2 2\theta \right) + k^2 \cos^2 2\theta = k^2 \sin^2 2\theta + k^2 \cos^2 2\theta = k^2 (\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) = k^2$.
इसलिए,$4p^2 + q^2 = k^2$.

(B) बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ पर लंब की लंबाई $d$ का सूत्र है: $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1) = (1, -2)$ और रेखा $12x + 5y + 63 = 0$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \left| \frac{12(1) + 5(-2) + 63}{\sqrt{12^2 + 5^2}} \right|$
$d = \left| \frac{12 - 10 + 63}{\sqrt{144 + 25}} \right|$
$d = \left| \frac{65}{\sqrt{169}} \right|$
$d = \left| \frac{65}{13} \right| = 5 \text{ इकाई।}$

(A) माना रेखा $L(x, y) = 3x - 4y - 8 = 0$ है।
बिंदु $Q(1, 1)$ के लिए,$L(1, 1) = 3(1) - 4(1) - 8 = -9$ है।
चूंकि $L(1, 1) < 0$,इसलिए $P(\alpha, \beta)$ के विपरीत ओर स्थित होने के लिए $L(\alpha, \beta) > 0$ होना चाहिए।
$P(\alpha, \beta)$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $3\alpha - 4\beta - 8 > 0$।
चूंकि $P$,$3x + y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\beta = -3\alpha$ है।
असमिका में $\beta = -3\alpha$ रखने पर: $3\alpha - 4(-3\alpha) - 8 > 0$।
$15\alpha > 8 \Rightarrow \alpha > \frac{8}{15}$।
अब,$\alpha = -\frac{\beta}{3}$ को असमिका में रखने पर:
$3(-\frac{\beta}{3}) - 4\beta - 8 > 0$ $\Rightarrow -5\beta > 8$ $\Rightarrow \beta < -\frac{8}{5}$।
अतः,$\alpha > \frac{8}{15}$ और $\beta < -\frac{8}{5}$।

(C) माना रेखा $x+y+3=0$ पर बिंदु $(x, y)$ है। अतः,$y = -x-3$। बिंदु $(x, -x-3)$ है।
इस बिंदु की रेखा $x+2y+2=0$ से दूरी $\frac{|x+2(-x-3)+2|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{5}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{|x-2x-6+2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies |-x-4| = 5$.
$|x+4| = 5 \implies x+4 = 5$ या $x+4 = -5$.
अतः,$x_1 = 1$ और $x_2 = -9$।
$|x_1-x_2| = |1 - (-9)| = |10| = 10$.

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$x \sec \theta - y \operatorname{cosec} \theta = a$ $(i)$
$x \cos \theta + y \sin \theta = a \cos 2 \theta$ $(ii)$
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
रेखा $(i)$ के लिए:
$p = \frac{|-a|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta}} = a \sin \theta \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2 \theta$.
अतः,$2p = a \sin 2 \theta$.
रेखा $(ii)$ के लिए:
$q = \frac{|-a \cos 2 \theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = a \cos 2 \theta$.
अब,$4p^2 + q^2$ की गणना करने पर:
$4p^2 + q^2 = (a \sin 2 \theta)^2 + (a \cos 2 \theta)^2 = a^2 (\sin^2 2 \theta + \cos^2 2 \theta) = a^2$.

(D) दिए गए बिंदु $(1, \pi)$,$(1, 0^{\circ})$ और $(1, \frac{\pi}{2})$ ध्रुवीय रूप में हैं।
इन्हें कार्तीय निर्देशांक $(x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$ में बदलने पर:
$(1, \pi) \rightarrow (-1, 0)$
$(1, 0^{\circ}) \rightarrow (1, 0)$
$(1, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (0, 1)$
$(1, 0)$ और $(0, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + y - 1 = 0$ है।
बिंदु $(-1, 0)$ से रेखा $x + y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी:
$d = \frac{|1(-1) + 1(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(D) माना $f(x, y) = 5x - 6y + k$ है।
चूँकि $(2, 3)$ और $(-4, -4/3)$ विपरीत पक्षों पर हैं,$f(2, 3) \cdot f(-4, -4/3) < 0$।
$f(2, 3) = k - 8$ और $f(-4, -4/3) = k - 12$।
अतः,$(k - 8)(k - 12) < 0$,जिसका अर्थ है $8 < k < 12$।
चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,$k \in \{9, 10, 11\}$।
बिंदु $(1, 2)$ और $(4, 5)$ एक ही पक्ष पर हैं,इसलिए $(k - 7)(k - 10) > 0$।
$k = 11$ के लिए यह शर्त सत्य है।
रेखा $5x - 6y + 11 = 0$ है।
मूल बिंदु से लंबवत दूरी $d = \frac{|11|}{\sqrt{5^2 + (-6)^2}} = \frac{11}{\sqrt{61}}$।

(D) दिए गए समीकरणों का निकाय $x+2y=3$ और $3x+6y=a-2$ है।
रैखिक समीकरणों $a_1x+b_1y=c_1$ और $a_2x+b_2y=c_2$ के निकाय का कोई हल न होने के लिए शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a_1=1, b_1=2, c_1=3$ और $a_2=3, b_2=6, c_2=a-2$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \neq \frac{3}{a-2}$।
चूंकि $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ हमेशा सत्य है,हम असमानता $\frac{1}{3} \neq \frac{3}{a-2}$ पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
तिर्यक गुणा करने पर $a-2 \neq 3 \times 3$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a-2 \neq 9$ हो जाता है।
अतः,$a \neq 11$।

(B) दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
माना रेखाएं $L_1: 3x + 4y + 5 = 0$ और $L_2: 3x + 4y - 5 = 0$ हैं।
रेखा $L: 3x + 4y + \lambda = 0$,$L_1$ और $L_2$ के बीच की दूरी को $3:7$ के अनुपात में विभाजित करती है।
$L$ और $L_1$ के बीच की दूरी $d_1 = \frac{|\lambda - 5|}{5}$ है।
$L$ और $L_2$ के बीच की दूरी $d_2 = \frac{|\lambda + 5|}{5}$ है।
दिया गया है कि $\frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{7}$,इसलिए $\frac{|\lambda - 5|}{|\lambda + 5|} = \frac{3}{7}$।
$-5 < \lambda < 5$ मानते हुए,$\frac{5 - \lambda}{\lambda + 5} = \frac{3}{7}$ प्राप्त होता है।
$7(5 - \lambda) = 3(\lambda + 5) \Rightarrow 35 - 7\lambda = 3\lambda + 15$।
$10\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = 2$।

(C) चूँकि शीर्ष $A(2,3)$ रेखा $12x+5y-65=0$ पर स्थित नहीं है,इसलिए $A$ से आधार $BC$ पर डाला गया लंब समबाहु त्रिभुज $\triangle ABC$ का शीर्षलंब $AD$ है।
शीर्षलंब $AD$ की लंबाई बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax+by+c=0$ की लंबवत दूरी के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$AD = \left|\frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$
$AD = \left|\frac{12(2)+5(3)-65}{\sqrt{12^2+5^2}}\right| = \left|\frac{24+15-65}{\sqrt{144+25}}\right| = \left|\frac{39-65}{\sqrt{169}}\right| = \left|\frac{-26}{13}\right| = 2$
समबाहु त्रिभुज की भुजा $s$ के लिए,शीर्षलंब $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$ होता है।
अतः,$s = \frac{2}{\sqrt{3}} \times h$.
$h = AD = 2$ रखने पर:
$s = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 2 = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(A) रेखा $L$ की ढाल $-\cot \alpha$ है।
रेखा $x + y + 1 = 0$ की ढाल $-1$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$(-\cot \alpha)(-1) = -1$ $\Rightarrow \cot \alpha = -1$ $\Rightarrow \tan \alpha = -1$.
चूंकि $\alpha$ चौथे चतुर्थांश में है,$\alpha = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ से $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ की लंबवत दूरी:
$\left| \sqrt{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha - p \right| = 5$.
$\alpha = \frac{7\pi}{4}$ रखने पर:
$\cos \frac{7\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\left| \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) - p \right| = 5$.
$|1 - 1 - p| = 5 \Rightarrow |-p| = 5$.
चूंकि $p$ धनात्मक है,$p = 5$.

(B) चूंकि $P(a, 2)$ और $Q(1, b)$ रेखा $2x - 3y + 1 = 0$ के विपरीत ओर स्थित हैं,इसलिए बिंदुओं को रेखा के समीकरण में रखने पर प्राप्त मानों का गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए:
$(2a - 3(2) + 1)(2(1) - 3b + 1) < 0$
$(2a - 5)(3 - 3b) < 0$
$(2a - 5)(1 - b) < 0$
चूंकि $P(a, 2)$,$4x + 3y + k = 0$ और $3x + 4y + k = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$4a + 3(2) + k = 0 \Rightarrow 4a + 6 + k = 0$
$3a + 4(2) + k = 0 \Rightarrow 3a + 8 + k = 0$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(4a + 6 + k) - (3a + 8 + k) = 0$ $\Rightarrow a - 2 = 0$ $\Rightarrow a = 2$.
$a = 2$ को असमिका में रखने पर:
$(2(2) - 5)(1 - b) < 0$
$(4 - 5)(1 - b) < 0$
$-(1 - b) < 0$
$b - 1 < 0 \Rightarrow b < 1$.
अतः,$b \in (-\infty, 1)$.

(D) माना $X$-अंतःखंड $a$ है और $Y$-अंतःखंड $2a$ है।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{2a} = 1$ है।
$2a$ से गुणा करने पर,हमें $2x + y = 2a$ प्राप्त होता है,या $2x + y - 2a = 0$।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी $1$ दी गई है।
$(x_1, y_1)$ से $Ax + By + C = 0$ की दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
मान रखने पर: $1 = \frac{|2(0) + 1(0) - 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$।
$1 = \frac{|-2a|}{\sqrt{5}}$।
$|2a| = \sqrt{5}$,जिसका अर्थ है $2a = \pm \sqrt{5}$।
$2a$ का मान $2x + y = 2a$ में रखने पर,हमें $2x + y = \pm \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखाएं $L_1: 2x - 3y + 4 = 0$ और $L_2: 6x - 9y + 7 = 0$ हैं।
यहाँ $L_1$ और $L_2$ समांतर हैं।
रेखा $L$,$L_1$ और $L_2$ पर लंबवत है,इसलिए इसका समीकरण $3x + 2y + C = 0$ के रूप में होगा।
चूँकि $P(1, 1)$ रेखा $L$ पर स्थित है,$3(1) + 2(1) + C = 0 \implies C = -5$। अतः $L: 3x + 2y - 5 = 0$।
$A$,$L_1$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $A = (7/13, 22/13)$।
$B$,$L_2$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है: $B = (31/39, 3/13)$।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$,$AB$ को $9:4$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।

(A) दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दी गई रेखाएँ $3x - 2y + 5 = 0$ और $3x - 2y + C = 0$ हैं।
यहाँ,$a = 3$,$b = -2$,$c_1 = 5$,$c_2 = C$,और $d = 5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \frac{|C - 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}}$
$5 = \frac{|C - 5|}{\sqrt{9 + 4}}$
$5 = \frac{|C - 5|}{\sqrt{13}}$
$|C - 5| = 5\sqrt{13}$
$C - 5 = \pm 5\sqrt{13}$
$C = 5 \pm 5\sqrt{13} = 5(1 \pm \sqrt{13})$.

(D) शीर्ष $O(0,0), B(-3,-1), C(-1,-3)$ हैं।
रेखा $BC$ का समीकरण $x + y + 4 = 0$ है।
$O(0,0)$ से $BC$ पर शीर्षलंब की लंबाई $h = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
रेखा $DE$ का समीकरण $x + y + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$ है।
$O(0,0)$ से $DE$ की दूरी $d = \frac{1}{2}$ है।
रेखा $DE$,शीर्षलंब को $d : (h - d)$ के अनुपात में विभाजित करती है।
अनुपात $1 : (4\sqrt{2} - 1)$ प्राप्त होता है।

(C) दो समांतर रेखाओं $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ और $\sqrt{3}x + y + 9 = 0$ के बीच की दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|9 - (-6)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{15}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{15}{2}$.
$d$ ऊँचाई वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,भुजा की लंबाई $s$ का मान $d = s \sin 60^{\circ} = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है,इसलिए $s = \frac{2d}{\sqrt{3}}$.
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{2d}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{d^2}{\sqrt{3}}$ है।
$d = \frac{15}{2}$ रखने पर,क्षेत्रफल $\left( \frac{15}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{225}{4 \sqrt{3}}$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: 2x+2y+3=0$ और $L_2: 3x+3y+2=0$ हैं।
$L_1$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x+y+\frac{3}{2}=0$ प्राप्त होता है।
$L_2$ को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $x+y+\frac{2}{3}=0$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों रेखाओं की ढाल $-1$ है,इसलिए वे समानांतर हैं।
रेखा $L_3: x-y+1=0$ की ढाल $1$ है।
चूंकि $L_1$ (या $L_2$) और $L_3$ की ढाल का गुणनफल $(-1) \times (1) = -1$ है,इसलिए रेखा $L_3$ दोनों समानांतर रेखाओं पर लंब है।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच की दूरी $AB$ दो समानांतर रेखाओं $x+y+\frac{3}{2}=0$ और $x+y+\frac{2}{3}=0$ के बीच की लंबवत दूरी है।
दो समानांतर रेखाओं $ax+by+c_1=0$ और $ax+by+c_2=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a=1, b=1, c_1=\frac{3}{2}, c_2=\frac{2}{3}$ है।
$AB = \frac{|\frac{3}{2}-\frac{2}{3}|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|\frac{9-4}{6}|}{\sqrt{2}} = \frac{5}{6\sqrt{2}}$.

(B) माना $L_1(x, y) = x+2y-5$ और $L_2(x, y) = 3x-y+1$ है। मूल बिंदु $O(0,0)$ के लिए $L_1(0,0) = -5 < 0$ और $L_2(0,0) = 1 > 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(K^2, K+1)$ के मूल बिंदु वाले समान क्षेत्र में स्थित होने के लिए,इसे $L_1(K^2, K+1) < 0$ और $L_2(K^2, K+1) > 0$ शर्तों को पूरा करना होगा।
$1$) $L_1(K^2, K+1) = K^2 + 2(K+1) - 5 = K^2 + 2K - 3 < 0$.
$(K+3)(K-1) < 0 \implies K \in (-3, 1)$.
$2$) $L_2(K^2, K+1) = 3K^2 - (K+1) + 1 = 3K^2 - K > 0$.
$K(3K-1) > 0 \implies K \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$.
दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर: $K \in (-3, 0) \cup (1/3, 1)$.
चूंकि $K$ एक पूर्णांक है,$K$ के संभावित मान $\{-2, -1\}$ हैं।
अतः,ऐसे $2$ बिंदु $P$ संभव हैं।

(D) बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$।
दिए गए बिंदु $(1, 1)$,रेखा $3x + 4y + c = 0$ और दूरी $d = 7$ के लिए:
$7 = \left| \frac{3(1) + 4(1) + c}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right|$
$7 = \left| \frac{7 + c}{5} \right|$
$|7 + c| = 35$
इसका अर्थ है $7 + c = 35$ या $7 + c = -35$।
यदि $7 + c = 35$,तो $c = 28$।
यदि $7 + c = -35$,तो $c = -42$।
अतः,$c$ के संभावित मान $28$ और $-42$ हैं।

(A) चूँकि बिंदु $A(k, 2k), B(3k, 3k)$,और $C(3, 1)$ संरेख हैं,$AB$ की ढाल और $BC$ की ढाल समान होगी।
$AB$ की ढाल $= \frac{3k - 2k}{3k - k} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$.
$BC$ की ढाल $= \frac{1 - 3k}{3 - 3k}$.
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{1 - 3k}{3 - 3k}$.
वज्र गुणन करने पर: $3 - 3k = 2(1 - 3k)$ $\Rightarrow 3 - 3k = 2 - 6k$ $\Rightarrow 3k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{3}$.
$B(-1, -1)$ और $C(3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: $y - 1 = \frac{1 - (-1)}{3 - (-1)}(x - 3)$.
$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 3)$ $\Rightarrow 2y - 2 = x - 3$ $\Rightarrow x - 2y - 1 = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
$3x - 2y + 5 = 0$ और $3x - 2y + 5 + 2\sqrt{13} = 0$ के लिए,$d = \frac{|5 - (5 + 2\sqrt{13})|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 2$.
$L_1: 3x - 2y + k_1 = 0$,$3x - 2y + 5 = 0$ से $\frac{4d}{\sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{13}}$ की दूरी पर है,इसलिए $\frac{|k_1 - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{13}} \Rightarrow |k_1 - 5| = 8$. चूँकि $k_1 > 0$,इसलिए $k_1 = 13$.
$L_2: 3x - 2y + k_2 = 0$,$3x - 2y + 5 = 0$ से $\frac{3d}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ की दूरी पर है,इसलिए $\frac{|k_2 - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \Rightarrow |k_2 - 5| = 6$. चूँकि $k_2 > 0$,इसलिए $k_2 = 11$.
संयुक्त समीकरण $(3x - 2y + 13)(3x - 2y + 11) = 0$ है।
$u = 3x - 2y$ लेने पर,$(u + 13)(u + 11) = u^2 + 24u + 143 = 0$.
अतः,$(3x - 2y)^2 + 24(3x - 2y) + 143 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई समानांतर रेखाएँ $4x + 2y - 9 = 0$ और $2x + y + 6 = 0$ हैं।
हम पहले समीकरण को $2x + y = \frac{9}{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दूसरा समीकरण $2x + y = -6$ है।
माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $y = mx$ है। इसे समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$P$ के लिए: $2x + mx = \frac{9}{2} \Rightarrow x_P = \frac{9}{2(2+m)}$, $y_P = \frac{9m}{2(2+m)}$.
$Q$ के लिए: $2x + mx = -6 \Rightarrow x_Q = \frac{-6}{2+m}$, $y_Q = \frac{-6m}{2+m}$.
बिंदु $O(0,0)$ द्वारा $PQ$ को विभाजित करने का अनुपात $\frac{OP}{OQ} = \frac{|x_P|}{|x_Q|} = \frac{9/2(2+m)}{6/(2+m)} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ है।
अतः, बिंदु $O$, $PQ$ को $3: 4$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(B) मान लीजिए $(h, k)$ रेखा $7x - 9y + 10 = 0$ पर कोई बिंदु है। अतः, $7h - 9k + 10 = 0$, जिसका अर्थ है $h = \frac{9k - 10}{7}$।
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ की लंबवत दूरी $d_{1} = \frac{|3h + 4k - 5|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|3h + 4k - 5|}{5}$ है।
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $12x + 5y - 7 = 0$ की लंबवत दूरी $d_{2} = \frac{|12h + 5k - 7|}{\sqrt{12^{2} + 5^{2}}} = \frac{|12h + 5k - 7|}{13}$ है।
$h = \frac{9k - 10}{7}$ को व्यंजकों में प्रतिस्थापित करने पर:
$3h + 4k - 5 = 3(\frac{9k - 10}{7}) + 4k - 5 = \frac{55k - 65}{7} = \frac{5(11k - 13)}{7}$।
अतः, $d_{1} = \frac{|11k - 13|}{7}$।
$12h + 5k - 7 = 12(\frac{9k - 10}{7}) + 5k - 7 = \frac{143k - 169}{7} = \frac{13(11k - 13)}{7}$।
अतः, $d_{2} = \frac{|11k - 13|}{7}$।
इस प्रकार, $d_{1} = d_{2}$ प्राप्त होता है।

(B, D) माना $(h, k)$ रेखा $x+y+1=0$ पर स्थित एक बिंदु है।
अतः, $h+k+1=0,$ जिसका अर्थ है $h = -k-1.$
बिंदु $(h, k)$ से रेखा $3x+4y+2=0$ की लंबवत दूरी $\frac{|3h+4k+2|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$ है।
$h = -k-1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{|3(-k-1)+4k+2|}{5} = \frac{1}{5}$
$|k-1| = 1$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$k-1 = 1 \implies k=2$ (जिससे $h=-3$) या $k-1 = -1 \implies k=0$ (जिससे $h=-1$).
अतः, अभीष्ट बिंदु $(-3, 2)$ और $(-1, 0)$ हैं।

(B) माना रेखा $x+y=4$ पर स्थित बिंदु $P(h, 4-h)$ है।
बिंदु $P(h, 4-h)$ से रेखा $4x+3y-10=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|4h + 3(4-h) - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$ है।
चूंकि $d=1$ दिया गया है, इसलिए $\frac{|4h + 12 - 3h - 10|}{5} = 1$ है।
$|h + 2| = 5$ प्राप्त होता है।
इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं:
स्थिति $1$: $h+2 = 5 \implies h = 3$. बिंदु $(3, 4-3) = (3, 1)$ है।
स्थिति $2$: $h+2 = -5 \implies h = -7$. बिंदु $(-7, 4-(-7)) = (-7, 11)$ है।
अतः, निर्देशांक $(3, 1)$ और $(-7, 11)$ हैं।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x+y-4=0$ और $L_2: 2x+2y-5=0$ हैं, जिन्हें $x+y-2.5=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दोनों रेखाओं की ढाल समान $(-1)$ है, इसलिए रेखाएँ समानांतर हैं।
दो समानांतर रेखाओं $ax+by+c_1=0$ और $ax+by+c_2=0$ के बीच की लंबवत दूरी $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $d = \frac{|-4 - (-2.5)|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-1.5|}{\sqrt{2}} = \frac{1.5}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} \approx 1.06$ है।
चूंकि दोनों रेखाओं के बीच की दूरी $\approx 1.06$ है, जो $1$ से अधिक है, इसलिए रेखा $x+y=4$ पर ऐसा कोई बिंदु नहीं है जो रेखा $2x+2y=5$ से $1$ इकाई की दूरी पर हो।
अतः, ऐसे बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(D) माना बिंदु $P = (2, -3)$ और बिंदु $Q = (-1, 2)$ है।
$P$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा की $Q$ से दूरी अधिकतम $PQ$ के बराबर हो सकती है।
दूरी $PQ = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$ है।
चूंकि $\sqrt{34} \approx 5.83$ है, और हमें $Q$ से $8$ की दूरी पर रेखा ज्ञात करनी है, जहाँ $8 > \sqrt{34}$ है।
चूंकि किसी बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी उस बिंदु और रेखा पर स्थित एक निश्चित बिंदु के बीच की दूरी से अधिक नहीं हो सकती, इसलिए ऐसी कोई रेखा संभव नहीं है।
अतः, ऐसी रेखाओं की संख्या $0$ है।

(C) बिंदु $P(2,3)$ से गुजरने वाली और $\theta$ कोण बनाने वाली रेखा को प्राचलिक रूप में $(x, y) = (2 + r\cos\theta, 3 + r\sin\theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ $r = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
चूंकि यह बिंदु रेखा $x+y=6$ पर स्थित है, हम निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2 + r\cos\theta) + (3 + r\sin\theta) = 6$
$r(\cos\theta + \sin\theta) + 5 = 6$
$\sqrt{\frac{2}{3}}(\cos\theta + \sin\theta) = 1$
$\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{\frac{3}{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\cos\theta + \sin\theta)^2 = \frac{3}{2}$
$1 + \sin(2\theta) = \frac{3}{2}$
$\sin(2\theta) = \frac{1}{2}$
इस प्रकार, $2\theta = \frac{\pi}{6}$ या $2\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ है।
अतः, $\theta_1 = \frac{\pi}{12}$ और $\theta_2 = \frac{5\pi}{12}$ है।
कोणों का योग: $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$।

(D) आयत $x=0, x=3, y=0, y=4$ द्वारा परिबद्ध है। आयत का केंद्र $(\frac{3}{2}, 2)$ है।
कोई भी रेखा जो आयत को दो समान भागों में विभाजित करती है, उसे इसके केंद्र $(\frac{3}{2}, 2)$ से गुजरना चाहिए।
रेखा $L$, $3x+y+6=0$ के लंबवत है। $3x+y+6=0$ की ढाल $-3$ है, इसलिए रेखा $L$ की ढाल $\frac{1}{3}$ है।
$(\frac{3}{2}, 2)$ से गुजरने वाली और $\frac{1}{3}$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$y - 2 = \frac{1}{3}(x - \frac{3}{2})$
$3y - 6 = x - \frac{3}{2}$
$6y - 12 = 2x - 3$
$2x - 6y + 9 = 0$.
बिंदु $(\frac{1}{2}, -5)$ की रेखा $2x - 6y + 9 = 0$ से दूरी:
$d = \frac{|2(\frac{1}{2}) - 6(-5) + 9|}{\sqrt{2^2 + (-6)^2}}$
$d = \frac{|1 + 30 + 9|}{\sqrt{4 + 36}}$
$d = \frac{40}{\sqrt{40}} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

(A) चरण $1$: $L_1$ के लिए $p$ का मान ज्ञात करें। चूँकि $L_1$, $(5, 0)$ से गुजरती है, $\frac{5}{p} + \frac{0}{2} = 1 \implies p = 5$। अतः $L_1: \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1 \implies 2x + 5y - 10 = 0$।
चरण $2$: चूँकि $L_2$, $L_1$ के समांतर है, इसका समीकरण $2x + 5y + k = 0$ होगा। दिया है $L_2: \frac{x}{10} + \frac{y}{q} = 1$, इसे $qx + 10y - 10q = 0$ के रूप में लिखने पर। गुणांकों की तुलना करने पर, $\frac{q}{2} = \frac{10}{5} \implies q = 4$। अतः $L_2: 4x + 10y - 40 = 0 \implies 2x + 5y - 20 = 0$।
चरण $3$: समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
चरण $4$: यहाँ $A=2, B=5, C_1=-10, C_2=-20$ है। अतः $d = \frac{|-10 - (-20)|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{10}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{10}{\sqrt{29}}$।

(B) माना $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $-a$ और $-a$ हैं, जहाँ $a > 0$ है।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{-a} + \frac{y}{-a} = 1$ है, जिसे $x + y + a = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ, $A = 1, B = 1, C = a$, और $d = 4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $4 = \frac{|a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$।
अतः, $a = 4\sqrt{2}$।
$a$ का मान समीकरण में रखने पर: $x + y + 4\sqrt{2} = 0$।