Properties of ITF Questions in Hindi

(C) हमारे पास है, $\sum_{n=1}^k \tan ^{-1}\left(\frac{1}{n^2+3 n+3}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
सर्वसमिका $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए, हम योग के अंदर के पद को फिर से लिख सकते हैं:
$\frac{1}{n^2+3n+3} = \frac{(n+2)-(n+1)}{1+(n+2)(n+1)}$.
अतः, योग इस प्रकार हो जाता है:
$\sum_{n=1}^k (\tan ^{-1}(n+2) - \tan ^{-1}(n+1)) = \tan ^{-1} \alpha$.
योग का विस्तार करने पर:
$(\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 2) + (\tan ^{-1} 4 - \tan ^{-1} 3) + \dots + (\tan ^{-1}(k+2) - \tan ^{-1}(k+1)) = \tan ^{-1} \alpha$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है, इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$\tan ^{-1}(k+2) - \tan ^{-1} 2 = \tan ^{-1} \alpha$.
सूत्र को फिर से लागू करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(k+2)-2}{1+(k+2)(2)}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
$\tan ^{-1}\left(\frac{k}{1+2k+4}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
इसलिए, $\alpha = \frac{k}{2k+5}$.

(A) दिया गया समीकरण $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{4x}{1+4x^2} \right)$ है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin^{-1} \left( \frac{2\theta}{1+\theta^2} \right) = 2 \tan^{-1} \theta$, जो $-1 \leq \theta \leq 1$ के लिए सत्य है।
यहाँ, $\theta = 2x$ लेने पर, समीकरण $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{2(2x)}{1+(2x)^2} \right)$ हो जाता है।
यह सर्वसमिका तभी मान्य है जब $-1 \leq 2x \leq 1$ हो।
$2$ से विभाजित करने पर, हमें $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः, $x$ के मान $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ अंतराल में स्थित हैं।

(D) दिया गया है, $y=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4 x-4 x^3}{1-6 x^2+x^4}\right)$.
$x=\tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर, $\theta = \tan^{-1} x$.
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$y = \tan^{-1}(\tan 3\theta) + \tan^{-1}(\tan 4\theta)$.
यह सरल होकर $y = 3\theta + 4\theta = 7\theta$ हो जाता है।
मान वापस रखने पर, $y = 7 \tan^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 7 \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{7}{1+x^2}$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
चूंकि $\sin ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} 2a$, इसलिए $2 \sin ^{-1} 2a$ का मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ अंतराल में होना चाहिए।
$\Rightarrow -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{4}$
सभी पक्षों में ज्या (sine) लेने पर:
$\sin(-\frac{\pi}{4}) \leq 2a \leq \sin(\frac{\pi}{4})$
$\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq 2a \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2$ से विभाजित करने पर:
$-\frac{1}{2\sqrt{2}} \leq a \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$
जो $|a| \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$ के बराबर है।

(B) श्रेणी का $n$ वां पद $t_{n} = \cot^{-1}(2n^2)$ है।
$\cot^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{x}$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, $t_{n} = \tan^{-1} \frac{1}{2n^2}$ प्राप्त होता है।
इसे $t_{n} = \tan^{-1} \frac{2}{4n^2} = \tan^{-1} \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ सूत्र का उपयोग करते हुए, $t_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$ प्राप्त होता है।
योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} t_{k} = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1))$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है, इसलिए $S_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1} 1$.
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर, $\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} \theta$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ होता है।
दिया गया है कि $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y+\sin ^{-1} z=\frac{3 \pi}{2}$।
चूंकि प्रत्येक पद $\sin ^{-1} x, \sin ^{-1} y, \sin ^{-1} z$ का अधिकतम मान $\frac{\pi}{2}$ है, इसलिए योग $\frac{3 \pi}{2}$ तभी संभव है जब $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$, $\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$, और $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$ हो।
इसका अर्थ है कि $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, और $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$x^{9}+y^{9}+z^{9}-\frac{1}{x^{9} y^{9} z^{9}} = (1)^{9}+(1)^{9}+(1)^{9}-\frac{1}{(1)^{9}(1)^{9}(1)^{9}}$
$= 1+1+1-\frac{1}{1 \times 1 \times 1}$
$= 3-1 = 2$।

(D) हमें असमिका $\cos ^{-1} x < \sin ^{-1} x$ दी गई है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$, इसलिए $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
इस मान को असमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x < \sin ^{-1} x$
$\frac{\pi}{2} < 2 \sin ^{-1} x$
$\sin ^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों का साइन (sine) लेने पर (चूंकि $\sin x$ अपने प्रांत में एक वर्धमान फलन है):
$x > \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$x > \frac{1}{\sqrt{2}}$
चूंकि $\sin ^{-1} x$ और $\cos ^{-1} x$ का प्रांत $[-1, 1]$ है, इसलिए $x \le 1$ होना चाहिए।
अतः, हल समुच्चय $x \in \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right]$ है।

(A) दिया गया है, $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right)=\frac{\pi}{2} \quad ...(i)$
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{-1}(z) = \sin^{-1}(\frac{1}{z})$ होता है।
अतः, $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\frac{\pi}{2}$।
हम सर्वसमिका $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ जानते हैं।
साथ ही, $\sin^{-1}(\frac{12}{13}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - \frac{144}{169}}) = \cos^{-1}(\sqrt{\frac{25}{169}}) = \cos^{-1}(\frac{5}{13})$।
अतः, $\sin^{-1}(\frac{x}{13}) + \cos^{-1}(\frac{5}{13}) = \frac{\pi}{2}$।
इसकी तुलना $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ से करने पर, हमें $\frac{x}{13} = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः, $x = 5$।

(C) दिया गया है कि $\cos ^{-1} \alpha+\cos ^{-1} \beta+\cos ^{-1} \gamma=3 \pi$।
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
चूंकि तीन मानों का योग $3 \pi$ है और प्रत्येक का अधिकतम मान $\pi$ हो सकता है, इसलिए प्रत्येक पद $\pi$ के बराबर होना चाहिए।
अतः, $\cos ^{-1} \alpha = \pi$, $\cos ^{-1} \beta = \pi$, और $\cos ^{-1} \gamma = \pi$।
इसका अर्थ है कि $\alpha = \cos(\pi) = -1$, $\beta = \cos(\pi) = -1$, और $\gamma = \cos(\pi) = -1$।
अब, हम व्यंजक $\alpha(\beta+\gamma)+\beta(\gamma+\alpha)+\gamma(\alpha+\beta)$ की गणना करते हैं।
$\alpha = -1$, $\beta = -1$, और $\gamma = -1$ रखने पर:
$(-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) = (-1)(-2) + (-1)(-2) + (-1)(-2) = 2 + 2 + 2 = 6$.

(D) दिया गया व्यंजक: $2 \cot ^{-1} \frac{1}{2} - \cot ^{-1} \frac{4}{3}$
$x > 0$ के लिए $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$= 2 \tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$x > 1$ के लिए $2 \tan ^{-1} x = \pi + \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{2(2)}{1-2^2} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{4}{-3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - \tan ^{-1} \frac{4}{3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - (\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{3}{4})$
$x > 0$ के लिए $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$= \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

(B) मान लीजिए $f(x) = (\sin^{-1}x)^{2} + (\cos^{-1}x)^{2}$.
चूंकि $\cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x$, हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = (\sin^{-1}x)^{2} + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x)^{2}$
$f(x) = 2(\sin^{-1}x)^{2} - \pi \sin^{-1}x + \frac{\pi^{2}}{4}$
पूर्ण वर्ग बनाने पर, $f(x) = 2(\sin^{-1}x - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8}$.
$x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए, $\sin^{-1}x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}]$ है।
$f(x)$ को अधिकतम करने के लिए, हम $\sin^{-1}x$ का वह मान चुनते हैं जो $\frac{\pi}{4}$ से सबसे दूर है, जो कि $-\frac{\pi}{3}$ है।
अधिकतम मान $= 2(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = 2(-\frac{7\pi}{12})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = \frac{49\pi^{2}}{72} + \frac{9\pi^{2}}{72} = \frac{58\pi^{2}}{72} = \frac{29\pi^{2}}{36}$.
अतः, $m = 29$ और $n = 36$ है। चूंकि $\gcd(29, 36) = 1$, इसलिए $m+n = 29 + 36 = 65$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}4x + \tan^{-1}6x = \frac{\pi}{6}$.
सूत्र $\tan^{-1}A + \tan^{-1}B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{4x+6x}{1-(4x)(6x)}\right) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{10x}{1-24x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$10\sqrt{3}x = 1 - 24x^2 \implies 24x^2 + 10\sqrt{3}x - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{(10\sqrt{3})^2 - 4(24)(-1)}}{2(24)} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{300 + 96}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{396}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm 6\sqrt{11}}{48} = \frac{-5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{11}}{24}$.
अंतराल $-\frac{1}{2\sqrt{6}} < x < \frac{1}{2\sqrt{6}}$ है, जहाँ $\frac{1}{2\sqrt{6}} \approx 0.204$.
$x_1 = \frac{-5\sqrt{3} + 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 + 9.95}{24} \approx 0.054$ (अंतराल में है)।
$x_2 = \frac{-5\sqrt{3} - 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 - 9.95}{24} \approx -0.775$ (अंतराल में नहीं है)।
केवल एक हल शर्त को संतुष्ट करता है।

(A) माना $x = \sin\theta$ है। चूंकि $x \in [-1/2, 1/2]$, इसलिए $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$ होगा।
व्यंजक $y = 3\sin^{-1}(\sin\theta) + \sin^{-1}(\sin(3\theta))$ बन जाता है।
चूंकि $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$, इसलिए $3\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ होगा।
अतः, $\sin^{-1}(\sin\theta) = \theta$ और $\sin^{-1}(\sin(3\theta)) = 3\theta$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $y = 3\theta + 3\theta = 6\theta$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$, इसलिए $6$ से गुणा करने पर $6\theta \in [-\pi, \pi]$ प्राप्त होता है।
अतः, $y \in [-\pi, \pi]$ होगा।

(B) दिया गया समीकरण $\tan^{-1}(1 - \alpha) + \tan^{-1}(1 - \beta) = \frac{\pi}{4}$ है।
सूत्र $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{(1-\alpha)+(1-\beta)}{1-(1-\alpha)(1-\beta)} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
इसे सरल करने पर $2 - (\alpha + \beta) = 1 - (1 - \alpha - \beta + \alpha\beta)$ प्राप्त होता है।
$2 - \alpha - \beta = \alpha + \beta - \alpha\beta \Rightarrow 2 = 2(\alpha + \beta) - \alpha\beta$.
समीकरण में $\beta = \frac{1}{3\alpha}$ रखने पर:
$2 = 2(\alpha + \frac{1}{3\alpha}) - \alpha(\frac{1}{3\alpha}) = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} - \frac{1}{3}$.
$2 + \frac{1}{3} = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} \Rightarrow \frac{7}{3} = \frac{6\alpha^2 + 2}{3\alpha}$.
$7\alpha = 6\alpha^2 + 2 \Rightarrow 6\alpha^2 - 7\alpha + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2\alpha - 1)(3\alpha - 2) = 0$.
अतः, $\alpha = \frac{1}{2}$ या $\alpha = \frac{2}{3}$.
यदि $\alpha = \frac{1}{2}$ है, तो $\beta = \frac{1}{3(1/2)} = \frac{2}{3}$.
यदि $\alpha = \frac{2}{3}$ है, तो $\beta = \frac{1}{3(2/3)} = \frac{1}{2}$.
दोनों स्थितियों में, $\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$.
इसलिए, $6(\alpha + \beta) = 6 \times \frac{7}{6} = 7$.

(A) हम सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए पद $\tan^{-1} \left( \frac{2^{p-1}}{1+2^{2p-1}} \right)$ को हम $\tan^{-1} \left( \frac{2^p - 2^{p-1}}{1 + 2^p \cdot 2^{p-1}} \right) = \tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब, इस टेलिस्कोपिंग श्रेणी का योग करने पर: $\sum_{p=1}^{11} (\tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})) = (\tan^{-1}(2^1) - \tan^{-1}(2^0)) + (\tan^{-1}(2^2) - \tan^{-1}(2^1)) + \dots + (\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^{10}))$.
यह सरल होकर $\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^0) = \tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $\frac{\pi}{4} + (\tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}) = \tan^{-1}(2048)$.
अतः, $\tan^{-1} \alpha = \tan^{-1}(2048)$, जिसका अर्थ है $\alpha = 2048$.
इसलिए, $\tan \alpha = \tan(2048)$।

(C) हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} (\frac{x - y}{1 + xy})$ होता है।
चूंकि $a_1, a_2, \dots, a_n$ समांतर श्रेणी में हैं, इसलिए $a_{k+1} - a_k = d$ है।
अतः, योग के प्रत्येक पद को $\tan^{-1} (\frac{a_{k+1} - a_k}{1 + a_k a_{k+1}}) = \tan^{-1} a_{k+1} - \tan^{-1} a_k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया व्यंजक $\tan [(\tan^{-1} a_2 - \tan^{-1} a_1) + (\tan^{-1} a_3 - \tan^{-1} a_2) + \dots + (\tan^{-1} a_n - \tan^{-1} a_{n-1})]$ बन जाता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है, जो सरल होकर $\tan [\tan^{-1} a_n - \tan^{-1} a_1]$ हो जाता है।
सूत्र $\tan (\tan^{-1} x - \tan^{-1} y) = \frac{x - y}{1 + xy}$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{a_n - a_1}{1 + a_n a_1}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया है $\sec^{-1} \left( \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} \right) = 2a$, अतः $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \sec(2a)$ है।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) लगाने पर: $\frac{(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2)} = \frac{\sec(2a) + 1}{\sec(2a) - 1}$।
$\frac{2x^2}{2y^2} = \frac{\frac{1}{\cos(2a)} + 1}{\frac{1}{\cos(2a)} - 1} = \frac{1 + \cos(2a)}{1 - \cos(2a)} = \frac{2\cos^2(a)}{2\sin^2(a)} = \cot^2(a)$।
अतः, $\frac{x^2}{y^2} = \cot^2(a) \implies x^2 = y^2 \cot^2(a)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x = 2y \frac{dy}{dx} \cot^2(a)$।
$x = y \frac{dy}{dx} \cot^2(a) \implies y \frac{dy}{dx} = x \tan^2(a)$।
$y \frac{dy}{dx} = x \cdot f(a)$ से तुलना करने पर, हमें $f(a) = \tan^2(a)$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $f \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \tan^2 \left( \frac{2\pi}{3} \right) = (-\sqrt{3})^2 = 3$।

(D) चरण $1$: सूत्र $3 \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right)$ का उपयोग करें।
चरण $2$: सूत्र में $x = 1/2$ प्रतिस्थापित करें।
चरण $3$: अंश की गणना करें: $3(1/2) - (1/2)^3 = 3/2 - 1/8 = 12/8 - 1/8 = 11/8$।
चरण $4$: हर की गणना करें: $1 - 3(1/2)^2 = 1 - 3/4 = 1/4$।
चरण $5$: व्यंजक $\tan^{-1}\left(\frac{11/8}{1/4}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{11}{8} \times 4\right) = \tan^{-1}(11/2)$ हो जाता है।

(B) माना $\theta = \sin^{-1}(1/5)$, तब $\sin \theta = 1/5$ है।
हमें $\sin(3\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin(3\theta) = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin \theta = 1/5$ को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(3\theta) = 3(1/5) - 4(1/5)^3$
$\sin(3\theta) = 3/5 - 4/125$
$\sin(3\theta) = (75 - 4) / 125 = 71/125$।

(C) माना $x = \tan \theta$ है। तब $\theta = \tan^{-1} x$ होगा।
$|x| \le 1$ के लिए मानक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर:
$\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
$\cos^{-1}(\frac{1-x^2}{1+x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
$\tan^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3(2\theta) - 4(2\theta) + 2(2\theta) = \frac{\pi}{3}$
$6\theta - 8\theta + 4\theta = \frac{\pi}{3}$
$2\theta = \frac{\pi}{3}$
$\theta = \frac{\pi}{6}$
चूंकि $x = \tan \theta$ है, इसलिए $x = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: $xy > 1$ के लिए गुणधर्म $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \pi + \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ का उपयोग करें।
चरण $2$: $\tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(5) = \pi + \tan^{-1}(\frac{3+5}{1-15}) = \pi + \tan^{-1}(\frac{8}{-14}) = \pi - \tan^{-1}(4/7)$ को संयोजित करें।
चरण $3$: व्यंजक $\tan^{-1}(1) + \pi - \tan^{-1}(4/7) + \tan^{-1}(1/4) = \pi + \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(1/4) - \tan^{-1}(4/7)$ बन जाता है।
चरण $4$: $\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(1/4) = \tan^{-1}(\frac{1+1/4}{1-1/4}) = \tan^{-1}(\frac{5/4}{3/4}) = \tan^{-1}(5/3)$ का उपयोग करें।
चरण $5$: अब, $\tan^{-1}(5/3) - \tan^{-1}(4/7) = \tan^{-1}(\frac{5/3 - 4/7}{1 + (5/3)(4/7)}) = \tan^{-1}(\frac{35-12}{21+20}) = \tan^{-1}(23/41)$।
चरण $6$: $\tan^{-1}(\alpha/2)$ के साथ तुलना करने पर, $\alpha/2 = 23/41$, अतः $\alpha = 46/41$।

(C) माना $\alpha = \sin^{-1}(12/13)$, तब $\sin \alpha = 12/13$। अतः, $\tan \alpha = 12/5$।
माना $\beta = \cos^{-1}(4/5)$, तब $\cos \beta = 4/5$। अतः, $\tan \beta = 3/4$।
अब, $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{12/5 + 3/4}{1 - (12/5)(3/4)} = \frac{(48+15)/20}{1 - 36/20} = \frac{63/20}{-16/20} = -63/16$।
चूँकि $\alpha + \beta$ द्वितीय चतुर्थांश में है, $\alpha + \beta = \pi - \tan^{-1}(63/16)$।
अतः, $\alpha + \beta + \tan^{-1}(63/16) = \pi - \tan^{-1}(63/16) + \tan^{-1}(63/16) = \pi$।

(C) हम सर्वसमिका $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ का उपयोग करते हैं।
ध्यान दें कि $\frac{1}{n^2+n+1} = \frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}$ है।
अतः, $\tan^{-1}(\frac{1}{n^2+n+1}) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$ है।
योग $\sum_{n=1}^{2026} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n))$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + \dots + (\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(2026))$।
योग सरल होकर $\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(1)$ हो जाता है।
सर्वसमिका का पुनः उपयोग करने पर: $\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(\frac{2027-1}{1+2027 \cdot 1}) = \tan^{-1}(\frac{2026}{2028}) = \tan^{-1}(\frac{1013}{1014})$।
हमें $\tan^{-1}(1 - \frac{1}{x}) = \tan^{-1}(\frac{1013}{1014})$ दिया गया है।
अतः, $1 - \frac{1}{x} = \frac{1013}{1014} \implies \frac{1}{x} = 1 - \frac{1013}{1014} = \frac{1}{1014}$।
इसलिए, $x = 1014$।

(A) चरण $1$: $\sin^{-1}(\sin \frac{7\pi}{6})$ को सरल करें। चूँकि $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$, $\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$। अतः, $\sin^{-1}(\sin \frac{7\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6}$।
चरण $2$: $\cos^{-1}(\cos \frac{7\pi}{6})$ को सरल करें। चूँकि $\frac{7\pi}{6} = 2\pi - \frac{5\pi}{6}$, $\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$। अतः, $\cos^{-1}(\cos \frac{7\pi}{6}) = \frac{5\pi}{6}$।
चरण $3$: $\tan^{-1}(\tan \frac{2\pi}{3})$ को सरल करें। चूँकि $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$, $\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\tan(\frac{\pi}{3}) = \tan(-\frac{\pi}{3})$। अतः, $\tan^{-1}(\tan \frac{2\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3}$।
चरण $4$: मानों का योग: $-\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$। दिए गए विकल्प सही नहीं हैं।

(B) चरण $1$: $\cos^{-1}(-\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए। चूँकि $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, इसलिए $\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ है।
चरण $2$: इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए: $\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3})$।
चरण $3$: कोण को सरल कीजिए: $\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$।
चरण $4$: $\cos(\pi) = -1$ की गणना कीजिए।

(D) दिया गया व्यंजक $y = \cot^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1 - \sin x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 - \sin x} - \sqrt{1 + \sin x}} \right]$ है।
चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, इसलिए $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{4})$ है।
$1 \pm \sin x = (\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करने पर, हमें $\sqrt{1 \pm \sin x} = |\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4}$, इसलिए $\cos \frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2} > 0$ है।
अतः, $\sqrt{1 + \sin x} = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$ और $\sqrt{1 - \sin x} = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $\cot^{-1}$ के अंदर का व्यंजक $\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})} = \frac{2 \cos \frac{x}{2}}{-2 \sin \frac{x}{2}} = -\cot \frac{x}{2}$ हो जाता है।
अतः, $y = \cot^{-1}(-\cot \frac{x}{2}) = \pi - \cot^{-1}(\cot \frac{x}{2}) = \pi - \frac{x}{2}$।

(C) चरण $1$: $\cos^{-1}(\cos \frac{4\pi}{3})$ को सरल करें। चूँकि $\frac{4\pi}{3}$ परिसर $[0, \pi]$ में नहीं है, हम लिखते हैं $\cos \frac{4\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{2\pi}{3}) = \cos \frac{2\pi}{3}$। अतः, $\cos^{-1}(\cos \frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$।
चरण $2$: $\sin^{-1}(\sin \frac{4\pi}{3})$ को सरल करें। चूँकि $\frac{4\pi}{3}$ परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में नहीं है, हम लिखते हैं $\sin \frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = \sin(-\frac{\pi}{3})$। अतः, $\sin^{-1}(\sin(-\frac{\pi}{3})) = -\frac{\pi}{3}$।
चरण $3$: परिणामों को जोड़ें: $\frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$।

(B) $\sin^{-1}(x-2)$ का प्रांत $[1, 3]$, $\cos^{-1}(x)$ का $[-1, 1]$, $\tan^{-1}(x+2)$ का $(-\infty, \infty)$, और $\cot^{-1}(x+4)$ का $(-\infty, \infty)$ है।
इन प्रांतों का प्रतिच्छेदन $\{1\}$ है।
समीकरण में $x = 1$ रखने पर:
$-\frac{\pi}{2} + 0 + \tan^{-1}(3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k}) - \frac{\pi}{2}$
$\tan^{-1}(3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k})$
$\tan^{-1}(3) = \cot^{-1}(1/3)$ का उपयोग करने पर, $\cot^{-1}(1/3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k})$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = \cot^{-1}(1/3)$ और $\beta = \cot^{-1}(5)$ है। तब $\cot(\alpha + \beta) = \frac{(1/3)(5) - 1}{1/3 + 5} = \frac{2/3}{16/3} = \frac{1}{8}$।
अतः, $\alpha + \beta = \cot^{-1}(1/8) = \tan^{-1}(8) = \sec^{-1}(\sqrt{65})$।
इस प्रकार, $\sqrt{k} = \sqrt{65}$, जिससे $k = 65$ प्राप्त होता है।
हमें $\cos(2 \csc^{-1}\sqrt{65-1}) = \cos(2 \csc^{-1}(8))$ का मान ज्ञात करना है।
माना $\theta = \csc^{-1}(8)$, तो $\sin \theta = 1/8$ है।
तब $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta = 1 - 2(1/8)^2 = 1 - 1/32 = \frac{31}{32}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1} (ax) + \tan^{-1} (3x) = \frac{\pi}{4}$ है।
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{ax + 3x}{1 - 3ax^2} \right) = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर: $\frac{x(a+3)}{1-3ax^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$।
समीकरण में $x = \frac{1}{6}$ रखने पर:
$\frac{\frac{1}{6}(a+3)}{1 - 3a(\frac{1}{6})^2} = 1$।
$\frac{\frac{a+3}{6}}{1 - \frac{3a}{36}} = 1 \implies \frac{a+3}{6} = 1 - \frac{a}{12}$।
$12$ से गुणा करने पर: $2(a+3) = 12 - a$।
$2a + 6 = 12 - a \implies 3a = 6 \implies a = 2$।

(A) माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर, $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$।
माना $u = \sin^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$, इसलिए $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
$f(u) = u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = 2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4}$।
यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। न्यूनतम मान $u = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, न्यूनतम मान $f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})^2 - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = 2(\frac{\pi^2}{16}) - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$ है।

(B) $f(x)$ का प्रांत $x \in [-1, 1]$ है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$।
इसे $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$।
माना $t = \sin^{-1} x$। चूंकि $x \in [-1, 1]$, $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$।
$f(t) = t^2 + (\frac{\pi}{2} - t)^2 = t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = 2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{4}$।
यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। शीर्ष $t = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ पर है।
चूंकि $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, न्यूनतम मान $f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})^2 - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$ है।
अधिकतम मान अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के अंत बिंदुओं पर होता है।
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2(-\frac{\pi}{2})^2 - \pi(-\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{5\pi^2}{4}$।
$f(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 - \pi(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{4}$।
अतः, अधिकतम मान $\frac{5\pi^2}{4}$ और न्यूनतम मान $\frac{\pi^2}{8}$ है।
योग $= \frac{5\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{11\pi^2}{8}$।

(A) हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना $a = \tan^{-1} x$ और $b = \cot^{-1} x$ है। तब $a + b = \frac{\pi}{2}$, इसलिए $b = \frac{\pi}{2} - a$ होगा।
दिया गया समीकरण $a^2 + b^2 = \frac{5\pi^2}{8}$ है।
$b$ का मान रखने पर, हमें $a^2 + (\frac{\pi}{2} - a)^2 = \frac{5\pi^2}{8}$ प्राप्त होता है।
$a^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi a + a^2 = \frac{5\pi^2}{8}$।
$2a^2 - \pi a + \frac{2\pi^2}{8} - \frac{5\pi^2}{8} = 0$।
$2a^2 - \pi a - \frac{3\pi^2}{8} = 0$।
$8$ से गुणा करने पर: $16a^2 - 8\pi a - 3\pi^2 = 0$।
द्विघात सूत्र $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, $a = \frac{8\pi \pm \sqrt{64\pi^2 + 192\pi^2}}{32} = \frac{8\pi \pm 16\pi}{32}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $a = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}$। चूँकि $\tan^{-1} x$ का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है, यह अमान्य है।
स्थिति $2$: $a = \frac{-8\pi}{32} = -\frac{\pi}{4}$।
अतः, $\tan^{-1} x = -\frac{\pi}{4}$, जिसका अर्थ है $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$।

(A) माना $u = \sin^{-1} x$ है। चूँकि $0 \le x \le 1$, इसलिए $0 \le u \le \frac{\pi}{2}$ है।
तब $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ है।
व्यंजक $f(u) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3$ हो जाता है, जहाँ $u \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है।
$f(u) = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$ है।
परिसर ज्ञात करने के लिए, क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें: $f'(u) = 3\pi u - \frac{3\pi^2}{4} = 0 \implies u = \frac{\pi}{4}$ है।
$u = 0$ पर, $f(0) = \frac{\pi^3}{8}$ है।
$u = \frac{\pi}{4}$ पर, $f(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^3 + (\frac{\pi}{4})^3 = 2(\frac{\pi^3}{64}) = \frac{\pi^3}{32}$ है।
$u = \frac{\pi}{2}$ पर, $f(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})^3 + 0 = \frac{\pi^3}{8}$ है।
अतः, न्यूनतम मान $\frac{\pi^3}{32}$ है और अधिकतम मान $\frac{\pi^3}{8}$ है।
दिया गया है $a\pi^3 = f(u)$, इसलिए $\frac{\pi^3}{32} \le a\pi^3 \le \frac{\pi^3}{8}$, जिससे $\frac{1}{32} \le a \le \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $a \ge \frac{1}{32}$।

(B) दिया गया है $\sin(\cos^{-1} x + \tan^{-1} x) - \cos(\sin^{-1} x + \tan^{-1} x) = \sin(\cot^{-1} 2)$।
माना $\theta = \tan^{-1} x$। तब $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \theta$ और $\sin^{-1} x = \theta$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta + \theta) - \cos(\theta + \theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$\sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(2\theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$1 - \cos(2\theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$1 - \frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
$\frac{2x^2}{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$।
चूँकि विकल्प $x = 1/2$ के लिए $\frac{2(1/4)}{1+1/4} = \frac{1/2}{5/4} = 2/5$, अतः प्रश्न में $\sin(\cot^{-1} 2)$ के स्थान पर $2/5$ होना चाहिए।

(A) हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना $A = \sin^{-1} x$ और $B = \cos^{-1} x$ है। तब $A + B = \frac{\pi}{2}$, जिसका अर्थ है $B = \frac{\pi}{2} - A$।
दिया गया समीकरण $2A - 3B = 4$ है।
समीकरण में $B = \frac{\pi}{2} - A$ प्रतिस्थापित करने पर: $2A - 3(\frac{\pi}{2} - A) = 4$।
$2A - \frac{3\pi}{2} + 3A = 4 \implies 5A = 4 + \frac{3\pi}{2} = \frac{8 + 3\pi}{2} \implies A = \frac{8 + 3\pi}{10}$।
अब $B$ का मान ज्ञात करें: $B = \frac{\pi}{2} - \frac{8 + 3\pi}{10} = \frac{5\pi - 8 - 3\pi}{10} = \frac{2\pi - 8}{10} = \frac{\pi - 4}{5}$।
हमें $2A + 3B$ ज्ञात करना है: $2(\frac{8 + 3\pi}{10}) + 3(\frac{2\pi - 8}{10}) = \frac{16 + 6\pi + 6\pi - 24}{10} = \frac{12\pi - 8}{10} = \frac{6\pi - 4}{5}$।

(C) माना $\cos^{-1} x = \theta$, तब $\cos \theta = x$। अतः $\cot(\cos^{-1} x) = \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$।
माना $\tan^{-1} \frac{a}{\sqrt{b^2 - a^2}} = \phi$, तब $\tan \phi = \frac{a}{\sqrt{b^2 - a^2}}$।
सर्वसमिका $\sec^2 \phi = 1 + \tan^2 \phi$ का उपयोग करने पर, $\sec^2 \phi = 1 + \frac{a^2}{b^2 - a^2} = \frac{b^2 - a^2 + a^2}{b^2 - a^2} = \frac{b^2}{b^2 - a^2}$।
अतः, $\sec \phi = \frac{b}{\sqrt{b^2 - a^2}}$।
दोनों पक्षों को बराबर करने पर: $\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2 - a^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{x^2}{1 - x^2} = \frac{b^2}{b^2 - a^2}$।
$x^2(b^2 - a^2) = b^2(1 - x^2) = b^2 - b^2 x^2$।
$x^2(b^2 - a^2 + b^2) = b^2 \implies x^2(2b^2 - a^2) = b^2$।
$x^2 = \frac{b^2}{2b^2 - a^2} \implies x = \frac{b}{\sqrt{2b^2 - a^2}}$।

(B) दिया गया है: $\tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{5} - 2\sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}} \right] = \frac{\pi}{3} - \tan^{-1}(k)$।
$\tan^{-1}$ के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर, $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{6}} = \tan(\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \tan^{-1}(\sqrt{2})) = \tan(\frac{\pi}{3} - \tan^{-1}(\sqrt{2}))$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर, $\tan^{-1}(\sqrt{2}) = \tan^{-1}(k)$, अतः $k = \sqrt{2}$।
हमें $\sec^{-1}(\sqrt{2})$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$, इसलिए $\sec^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है $y = \cot^{-1} \left( \frac{1 + \sin 5x}{\cos 5x} \right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$ और $\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = \cot^{-1} \left( \frac{(\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2})^2}{(\cos \frac{5x}{2} - \sin \frac{5x}{2})(\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2})} \right)$
$y = \cot^{-1} \left( \frac{\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2}}{\cos \frac{5x}{2} - \sin \frac{5x}{2}} \right)$
अंश और हर को $\cos \frac{5x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$y = \cot^{-1} \left( \frac{1 + \tan \frac{5x}{2}}{1 - \tan \frac{5x}{2}} \right) = \cot^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{5x}{2} \right) \right)$
चूँकि $\cot^{-1}(\tan \theta) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - \theta))$, हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \frac{5x}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{5x}{2}$
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{\pi}{4} - \frac{5x}{2}) = -\frac{5}{2}$।

(D) माना $x = \cos \theta$, तब $\theta = \cos^{-1} x$ है।
$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$ है।
अब, $\cot^{-1}(\tan(\theta/2)) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$ है।
इसे $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \cos^2(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}) = \sin^2(\theta/2)$ है।
सर्वसमिका $\sin^2(\theta/2) = \frac{1-\cos \theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{1-x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{x}{2}$ है।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$ है।

(A) श्रेणी का व्यापक पद $T_k = \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k + 1)} \right)$ है।
हम तर्क को $\frac{(k + 1) - k}{1 + k(k + 1)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$ का उपयोग करने पर, हमें $T_k = \tan^{-1}(k + 1) - \tan^{-1}(k)$ प्राप्त होता है।
योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(k + 1) - \tan^{-1}(k))$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1}(n + 1) - \tan^{-1} n)$।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं, जिससे $S_n = \tan^{-1}(n + 1) - \tan^{-1}(1)$ बचता है।
पुनः सर्वसमिका का उपयोग करने पर, $S_n = \tan^{-1} \left( \frac{(n + 1) - 1}{1 + (n + 1)(1)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{n}{n + 2} \right)$।

(A) दिया गया है $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi/2$।
हम जानते हैं कि $\sin^{-1} y + \cos^{-1} y = \pi/2$, इसलिए $\sin^{-1} y = \pi/2 - \cos^{-1} y$।
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sin^{-1} x = \pi/2 - \sin^{-1} y = \cos^{-1} y$।
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर: $x = \sin(\cos^{-1} y)$।
सर्वसमिका $\sin(\cos^{-1} y) = \sqrt{1 - y^2}$ का उपयोग करने पर, हमें $x = \sqrt{1 - y^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $x^2 = 1 - y^2$ प्राप्त होता है।