Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(A) $n$-वीं कक्षा की कुल ऊर्जा $E_n = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $E_n \propto m$,इसलिए $\mu^{-}$-सिस्टम और हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_{\mu}}{E_e} = \frac{m_{\mu}}{m_e} = 207$ है।
अतः,$E_{\mu} = 207 \times E_e = 207 \times (-13.6 \text{ eV}) = -13.6 \times 207 \text{ eV}$.
$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $r_n \propto \frac{1}{m}$,इसलिए $\mu^{-}$-सिस्टम और हाइड्रोजन परमाणु की त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_{\mu}}{r_H} = \frac{m_e}{m_{\mu}} = \frac{1}{207}$ है।
अतः,$r_{\mu} = \frac{r_H}{207}$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U = -27.2 / n^2 \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $U = -6.8 \text{ eV}$,इसलिए $-27.2 / n^2 = -6.8$,जिसका अर्थ है $n^2 = 27.2 / 6.8 = 4$,अर्थात $n = 2$ है।
$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 r_0$ है। $n = 2$ के लिए,$r_2 = 2^2 r_0 = 4 r_0$ है।
बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $2 \pi r_n = n \lambda$।
मान रखने पर,$2 \pi (4 r_0) = 2 \lambda$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = (8 \pi r_0) / 2 = 4 \pi r_0$ प्राप्त होता है।

(B) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,एक वृत्ताकार कक्षा में घूमता हुआ इलेक्ट्रॉन तरंग प्रकृति प्रदर्शित करता है।
एक स्थिर वृत्ताकार कक्षा के लिए,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होनी चाहिए,जिसे इस शर्त द्वारा दिया जाता है:
$2 \pi r_n = n \lambda$
जहाँ $r_n$ $n$वीं कक्षा की त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $\lambda$ डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है।
पहली बोहर कक्षा के लिए,$n = 1$ होता है।
समीकरण में $n = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \pi r_1 = 1 \cdot \lambda$
$\lambda = 2 \pi r_1$
अतः,हाइड्रोजन परमाणु की पहली बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य पहली कक्षा की परिधि के बराबर होती है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में, इलेक्ट्रॉन ग्राउंड स्टेट में है, इसलिए $n_1 = 1$ है। प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = \frac{1 \cdot h}{2 \pi} = \frac{h}{2 \pi}$ है।
$\Delta E$ ऊर्जा अवशोषित करने के बाद, कोणीय संवेग में $\frac{h}{2 \pi}$ की वृद्धि होती है।
अतः, नया कोणीय संवेग $L_2 = L_1 + \frac{h}{2 \pi} = \frac{h}{2 \pi} + \frac{h}{2 \pi} = \frac{2h}{2 \pi}$ है।
इसे $L = \frac{nh}{2 \pi}$ के साथ तुलना करने पर, हमें नया मुख्य क्वांटम संख्या $n_2 = 2$ प्राप्त होता है।
$n$-वीं अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
$n_1 = 1$ के लिए, $E_1 = -13.6 \ eV$ है।
$n_2 = 2$ के लिए, $E_2 = -\frac{13.6 \ eV}{2^2} = -\frac{13.6 \ eV}{4} = -3.4 \ eV$ है।
अवशोषित ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \ eV - (-13.6 \ eV) = 10.2 \ eV$ है।

(B) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
यहाँ, इलेक्ट्रॉन $n_i = 2$ से $n_f = 1$ में जाता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
अतः, $\lambda = \frac{4}{3R}$.

(D) दी गई काल्पनिक दुनिया में, कोणीय संवेग $L = 2n' \frac{h}{2\pi} = n' \frac{h}{\pi}$ है, जहाँ $n' = 1, 2, 3, \dots$ है।
इसे मानक बोहर क्वांटाइजेशन $L = n \frac{h}{2\pi}$ के साथ तुलना करने पर, हम देखते हैं कि अनुमत कक्षाएं $n = 2n'$ के अनुरूप हैं।
कक्षा की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ है। $n = 2n'$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $E_{n'} = -\frac{13.6}{(2n')^2} = -\frac{13.6}{4n'^2} = -\frac{3.4}{n'^2} \text{ eV}$ प्राप्त होता है।
दृश्य सीमा के लिए, संक्रमण को इस प्रणाली की पहली उत्तेजित अवस्था पर समाप्त होना चाहिए। मूल अवस्था $n'=1$ $(n=2)$ है और पहली उत्तेजित अवस्था $n'=2$ $(n=4)$ है।
दृश्य सीमा में सबसे बड़ी तरंगदैर्ध्य (सबसे कम ऊर्जा) के लिए संक्रमण $n'=2$ से $n'=1$ तक है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{3.4}{2^2} - (-\frac{3.4}{1^2}) = -0.85 + 3.4 = 2.55 \text{ eV}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1242 \text{ eV-nm}}{2.55 \text{ eV}} \approx 487 \text{ nm}$ है।

(A, B) $He^{+}$ में संक्रमण के लिए आवश्यक ऊर्जा $E = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दी जाती है। $He^{+}$ के लिए, $Z=2$, इसलिए $E = 13.6 \times 4 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = 54.4 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) eV$.
$n=2$ से $n=4$ के संक्रमण के लिए, $E = 54.4 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 54.4 \left( \frac{3}{16} \right) = 10.2 eV$.
चूंकि आपतित फोटॉन की ऊर्जा $10.2 eV$ है, इसलिए $He^{+}$ इलेक्ट्रॉन $n=2$ से $n=4$ में उत्तेजित हो सकता है।
एक बार $n=4$ अवस्था में पहुँचने के बाद, उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $\frac{n(n-1)}{2} = \frac{4(4-1)}{2} = 6$ होती है।
अतः, कथन $A$ और $B$ सही हैं।

(A) कोणीय संवेग के क्वांटाइजेशन की बोहर की अभिधारणा के अनुसार, कोणीय संवेग $L$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
इस समीकरण से, हम क्वांटम संख्या $n$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$n = \frac{2\pi m}{h} \cdot (vr)$
चूंकि $m$, $h$, और $\pi$ स्थिरांक हैं, इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$n \propto vr$
अतः, राशि $vr$ क्वांटम संख्या $n$ के समानुपाती है।

(D) बोहर के परमाणु मॉडल के अनुसार, कोणीय संवेग $L$ इस प्रकार दिया जाता है:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi} \dots (i)$
चूंकि कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r}$, इसलिए $v = r\omega$ होता है।
समीकरण $(i)$ में $v = r\omega$ रखने पर:
$m(r\omega)r = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow m\omega r^2 = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow \omega = \frac{nh}{2\pi mr^2} \dots (ii)$
$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की त्रिज्या इस प्रकार है:
$r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2} \dots (iii)$
समीकरण $(iii)$ से $r$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\omega = \frac{nh}{2\pi m} \left( \frac{\pi m Z e^2}{n^2 h^2 \epsilon_0} \right)^2$
$\omega = \frac{nh}{2\pi m} \cdot \frac{\pi^2 m^2 Z^2 e^4}{n^4 h^4 \epsilon_0^2}$
$\omega = \frac{\pi m Z^2 e^4}{2 h^3 \epsilon_0^2} \cdot \frac{1}{n^3}$
अतः, $\omega \propto \frac{1}{n^3}$.

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का रैखिक वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$
जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है, $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है, $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है, $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $h$ प्लांक नियतांक है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि किसी दिए गए परमाणु के लिए $n$ को छोड़कर सभी पद नियतांक हैं।
इसलिए, संबंध $v \propto \frac{1}{n}$ है।

(A-D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर के मॉडल के अनुसार:
$v_{n} \propto \frac{1}{n}$
$E_{n} \propto \frac{1}{n^{2}}$
$r_{n} \propto n^{2}$
विकल्प $A$ के लिए: $\frac{E_{n} r_{n}}{E_{1} r_{1}} \propto \frac{(1/n^{2}) \cdot n^{2}}{1} = 1$. यह एक स्थिरांक है, इसलिए ढाल $0$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $\frac{r_{n} v_{n}}{r_{1} v_{1}} \propto \frac{n^{2} \cdot (1/n)}{1} = n$. यह $1$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
विकल्प $C$ के लिए: $\frac{r_{n}}{r_{1}} = n^{2}$. दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln \left(\frac{r_{n}}{r_{1}}\right) = 2 \ln(n)$. यह $2$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{r_{n}}{E_{n}} \propto \frac{n^{2}}{1/n^{2}} = n^{4}$. अतः, $\frac{r_{n} E_{1}}{E_{n} r_{1}} = n^{4}$. प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln \left(\frac{r_{n} E_{1}}{E_{n} r_{1}}\right) = 4 \ln(n)$. यह $4$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
बोहर के मॉडल के अनुसार सभी विकल्प $A, B, C$ और $D$ गणितीय रूप से सही हैं।

(B) बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार, एक कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना से, इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ होती है।
क्वांटाइजेशन शर्त में $mv = \frac{h}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{h}{\lambda} r = \frac{nh}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
यह $2\pi r = n\lambda$ में सरल हो जाता है, जहाँ $2\pi r$ $n^{th}$ कक्षा की परिधि है।
दूसरी बोहर कक्षा के लिए, $n = 2$ है।
इसलिए, दूसरी कक्षा की परिधि $2\pi r = 2\lambda$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि दूसरी बोहर कक्षा में निहित डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य की संख्या $2$ है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$E = \frac{4 \times 10^{-15} \ eV \cdot s \times 3 \times 10^{8} \ m/s}{300 \times 10^{-9} \ m} = \frac{12 \times 10^{-7}}{300 \times 10^{-9}} \ eV = \frac{1200}{300} \ eV = 4 \ eV$.
हाइड्रोजन परमाणु को मूल अवस्था $(n=1)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \ eV \times (1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \ eV$ है।
चूंकि फोटॉन की ऊर्जा $(4 \ eV)$ पहली उत्तेजना के लिए आवश्यक ऊर्जा $(10.2 \ eV)$ से कम है और आयनीकरण ऊर्जा $(13.6 \ eV)$ से भी कम है, इसलिए इलेक्ट्रॉन उच्च अवस्था में जाने के लिए इस ऊर्जा को अवशोषित नहीं कर पाएगा।
अतः, इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था में ही बना रहेगा।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए, $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{Z}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r \propto \frac{n^2}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
इन दो संबंधों से, हम लिख सकते हैं कि $r \propto \frac{n}{v}$।
यह दिया गया है कि त्रिज्याएँ लगभग समान हैं $(r_1 \approx r_2)$, इसलिए $\frac{n_1}{v_1} = \frac{n_2}{v_2}$।
अतः, $\frac{n_1}{n_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{3 \times 10^5}{2.5 \times 10^5} = \frac{3}{2.5} = \frac{6}{5}$।
इस प्रकार, ऊर्जा अवस्थाओं ($n_1$ और $n_2$) का संभावित क्रम $6$ और $5$ है।

(C) बोहर के अभिधारणा के अनुसार, कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{2\pi L}{h} = n$ प्राप्त होता है।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{E_0}{n^2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $E_0$ मूल अवस्था ऊर्जा का परिमाण है।
दिया गया है कि $E_n = -0.04 E_0$, इसलिए $-\frac{E_0}{n^2} = -0.04 E_0$ है।
दोनों पक्षों को $-E_0$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{1}{n^2} = 0.04$ प्राप्त होता है।
$n^2 = \frac{1}{0.04} = \frac{100}{4} = 25$ है।
अतः, $n = 5$ है।
चूँकि $\frac{2\pi L}{h} = n$, इसलिए इसका मान $5$ है।

(A) बोर के मॉडल के अनुसार, कोणीय संवेग $L$ का सूत्र $L = n \frac{h}{2\pi}$ है।
मूल अवस्था (ground state) $n = 1$ के अनुरूप होती है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$, दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$, और तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 4$ है।
सूत्र में $n = 4$ रखने पर:
$L = 4 \times \frac{h}{2\pi} = 2 \times \frac{h}{\pi}$।
दिया गया है $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}$ और $\pi \approx 3.14$:
$L = 2 \times \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.14} \approx 2 \times 2.111 \times 10^{-34} = 4.222 \times 10^{-34} \text{ kg m}^2\text{s}^{-1}$।

(D) ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ में हाइड्रोजन परमाणु के लिए, कोणीय संवेग के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ है।
यहाँ, $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(9.1 \times 10^{-31} \text{ kg})$, $v$ वेग, $r$ कक्षीय त्रिज्या $(5.3 \times 10^{-11} \text{ m})$, और $h$ प्लांक नियतांक $(6.63 \times 10^{-34} \text{ Js})$ है।
वेग $v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $v = \frac{h}{2\pi mr}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 5.3 \times 10^{-11}}$.
इसकी गणना करने पर, $v \approx 2.18 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ प्राप्त होता है।
दो सार्थक अंकों तक राउंड ऑफ करने पर, हमें $v \approx 2.2 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) बोर मॉडल के अनुसार, मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(TE)$ $-13.6 \text{ eV}$ है।
गतिज ऊर्जा $(KE)$ को $KE = -TE$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है। अतः, $KE = -(-13.6 \text{ eV}) = +13.6 \text{ eV}$।
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ को $PE = 2 \times TE$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है। अतः, $PE = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$।
इस प्रकार, स्थितिज ऊर्जा $-27.2 \text{ eV}$ है और गतिज ऊर्जा $+13.6 \text{ eV}$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में, इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$, उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के साथ निम्नलिखित संबंधों द्वारा जुड़ी होती है:
$E = -K$
$U = 2E$
यह दिया गया है कि कुल ऊर्जा $E = -13.6 \text{ eV}$ है, इसलिए हम $K$ और $U$ ज्ञात कर सकते हैं:
$K = -E = -(-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV}$
$U = 2E = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{U} = \frac{13.6 \text{ eV}}{-27.2 \text{ eV}} = -\frac{1}{2}$ है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 r_1$ होता है, जहाँ $r_1$ प्रथम कक्षा की त्रिज्या (बोर त्रिज्या) है।
यहाँ $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$ और $n = 3$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r_3 = 3^2 \times (5.3 \times 10^{-11} \text{ m})$
$r_3 = 9 \times 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$
$r_3 = 47.7 \times 10^{-11} \text{ m}$
$r_3 = 4.77 \times 10^{-10} \text{ m}$.
अतः, $n = 3$ कक्षा की त्रिज्या $4.77 \times 10^{-10} \text{ m}$ है।
इसलिए, सही विकल्प $D$ है।

(C) बोर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार, कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$ का मान $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
दिया गया है कि $L = \frac{3h}{\pi}$, इसलिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{\pi}$।
$n$ के लिए हल करने पर, हमें $n = 6$ प्राप्त होता है।
हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ है।
सूत्र में $n = 6$ रखने पर: $E_6 = -\frac{13.6}{6^2} = -\frac{13.6}{36}$।
मान की गणना करने पर: $E_6 \approx -0.377 \text{ eV}$, जो लगभग $-0.38 \text{ eV}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0$ बोर त्रिज्या है।
अतः, त्रिज्याओं का अनुपात $r_i / r_f = n_i^2 / n_f^2 = 16 / 4 = 4$ है।
वर्गमूल लेने पर, हमें $n_i / n_f = 2$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $n_i = 2n_f$।
सबसे सरल संक्रमण के लिए, हम $n_f = 2$ और $n_i = 4$ लेते हैं।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रीडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर:
$1/\lambda = R(1/n_f^2 - 1/n_i^2)$
$1/\lambda = R(1/2^2 - 1/4^2) = R(1/4 - 1/16) = R(3/16)$।
$R = 1.0973 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ का मान रखने पर:
$1/\lambda = 1.0973 \times 10^7 \times (3/16) \approx 0.20574 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$।
$\lambda = 1 / (0.20574 \times 10^7) \approx 4.86 \times 10^{-7} \text{ m} = 486 \text{ nm}$।

(C) वृत्ताकार पथ में गति कर रहे इलेक्ट्रॉन के कारण कक्षा के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
धारा $I = \frac{ev}{2\pi r}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है, $v$ वेग है और $r$ त्रिज्या है।
बोर के मॉडल के अनुसार, $v \propto \frac{1}{n}$ और $r \propto n^2$ होता है।
इन मानों को धारा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $I \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ प्राप्त होता है।
अब, $I$ और $r$ के मानों को $B$ के व्यंजक में रखने पर: $B \propto \frac{I}{r} \propto \frac{1/n^3}{n^2} = \frac{1}{n^5}$ प्राप्त होता है।
अतः, $2^{nd}$ और $4^{th}$ कक्षाओं के लिए चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_2}{B_4} = \left( \frac{4}{2} \right)^5 = 2^5 = 32$ है।
इस प्रकार, अनुपात $32:1$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु के लिए, $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \times n^2$ है, जहाँ $a_0 = 0.529 \text{ Å}$ बोहर त्रिज्या है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए, मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर, हमें $r_2 = 0.529 \times (2)^2 \text{ Å}$ प्राप्त होता है।
$r_2 = 0.529 \times 4 \text{ Å} = 2.116 \text{ Å}$।
चूंकि $1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}$, इसलिए $r_2 = 2.116 \times 10^{-10} \text{ m}$ होगा।
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर, त्रिज्यीय दूरी लगभग $2.1 \times 10^{-10} \text{ m}$ है।

(D) बोर के सिद्धांत के अनुसार, हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए, स्थिर-वैद्युत बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$
त्रिज्या $r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$r = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^2}{m v^2}$
दिए गए मान:
$v = \sqrt{25.6} \times 10^5 \text{ m s}^{-1} \implies v^2 = 25.6 \times 10^{10} \text{ m}^2 \text{ s}^{-2}$
$m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
$\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{9 \times 10^{-31} \times 25.6 \times 10^{10}}$
$r = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{9 \times 25.6 \times 10^{-21}}$
$r = \frac{2.56 \times 10^{-29}}{25.6 \times 10^{-21}} = 0.1 \times 10^{-8} \text{ m} = 1 \times 10^{-9} \text{ m}$
$x \times 10^{-9} \text{ m}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(D) बोर मॉडल के अनुसार, $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 a_0$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0$ बोर त्रिज्या है।
$n$ वीं कक्षा की परिधि $2\pi r_n = 2\pi n^2 a_0$ होती है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार, स्थिर कक्षा के लिए शर्त $n\lambda = 2\pi r_n$ है।
$r_n$ का मान रखने पर, हमें $n\lambda_n = 2\pi n^2 a_0$ प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर $\lambda_n = 2\pi n a_0$ मिलता है।
ग्राउंड स्टेट $(n = 1)$ के लिए, $\lambda_1 = 2\pi(1)a_0 = 2\pi a_0$ होता है।
$n = 3$ स्तर के लिए, $\lambda_3 = 2\pi(3)a_0 = 3(2\pi a_0) = 3\lambda_1$ होता है।
अतः, $\lambda_3 = 3\lambda_1$ प्राप्त होता है।

(C) उत्सर्जित विकिरण की तरंग दैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
प्रथम स्थिति के लिए: इलेक्ट्रॉन दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 3)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n_f = 2)$ में कूदता है।
$\frac{1}{\lambda_0} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
अतः, $\lambda_0 = \frac{36}{5R}$.
दूसरी स्थिति के लिए: इलेक्ट्रॉन तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 4)$ से दूसरी कक्षा $(n_f = 2)$ में कूदता है।
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
अतः, $\lambda = \frac{16}{3R}$.
अब, $\lambda$ को $\lambda_0$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$\lambda = \frac{16}{3R} = \frac{16}{3} \times \frac{5\lambda_0}{36} = \frac{80\lambda_0}{108} = \frac{20\lambda_0}{27}$.
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{20\lambda_0}{x}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 27$ प्राप्त होता है।

(C) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$, कार्य फलन $(\phi)$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ के योग के बराबर होती है:
$E = \phi + K_{max} = 2.65 \text{ eV} + 10.1 \text{ eV} = 12.75 \text{ eV}$.
हाइड्रोजन परमाणु में, $n^{th}$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \text{ eV}$ होती है।
जब इलेक्ट्रॉन $n$ अवस्था से मूल अवस्था $(n=1)$ में कूदता है, तो उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा:
$E = E_n - E_1 = -13.6 / n^2 - (-13.6 / 1^2) = 13.6 (1 - 1/n^2) \text{ eV}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$12.75 = 13.6 (1 - 1/n^2)$
$12.75 / 13.6 = 1 - 1/n^2$
$0.9375 = 1 - 1/n^2$
$1/n^2 = 1 - 0.9375 = 0.0625$
$n^2 = 1 / 0.0625 = 16$
$n = 4$.

(A) बोहर के क्वांटमीकरण अभिधारणा के अनुसार, कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = nh / 2\pi$ द्वारा दिया जाता है।
पहली कक्षा के लिए, $n = 1$, इसलिए $mvr = h / 2\pi$।
वेग $v = h / (2\pi mr)$ प्राप्त होता है।
प्रति सेकंड चक्करों की संख्या $f$ आवृत्ति है, जिसे $f = v / (2\pi r)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
आवृत्ति के सूत्र में $v$ का मान रखने पर: $f = (h / 2\pi mr) / (2\pi r) = h / 4\pi^2mr^2$।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में, नाभिक (आवेश $+e$) और इलेक्ट्रॉन (आवेश $-e$) के बीच का स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल, इलेक्ट्रॉन को $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार, स्थिर-वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
इन दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$।
दोनों पक्षों को $r/2$ से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{2r}$।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$ है।
चूंकि $e$, $\pi$, और $\epsilon_0$ स्थिरांक हैं, इसलिए गतिज ऊर्जा $K$, $e^2/r$ के समानुपाती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर के सिद्धांत के अनुसार:
$1$. $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
$2$. $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गति $V_n \propto 1/n$ द्वारा दी जाती है।
अब, $Vr$ के गुणनफल का विश्लेषण करें:
$Vr \propto (1/n) \times n^2 = n$.
यह $n$ के समानुपाती है।
अब, $1/Vr$ का विश्लेषण करें:
$1/Vr \propto 1/n$.
अतः, भौतिक राशि $1/Vr$ मुख्य क्वांटम संख्या '$n$' के व्युत्क्रमानुपाती है।

(A) '$r$' त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में '$v$' वेग से घूम रहे इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण '$M$' को $M = IA$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ '$I$' धारा है और '$A$' कक्षा का क्षेत्रफल है।
$I = e/T = ev / (2\pi r)$
$A = \pi r^2$
अतः, $M = (ev / 2\pi r) \times \pi r^2 = evr / 2$.
इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग '$L$' का मान $L = mvr$ होता है।
'$M$' के व्यंजक से, हमारे पास $M = (e/2m) \times (mvr) = (e/2m) \times L$ है।
'$L$' के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $L = 2mM / e$ प्राप्त होता है।

(C) बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए, $n^{th}$ कक्षा में वेग $v$, $\frac{1}{n}$ के समानुपाती होता है $(v \propto \frac{1}{n})$ और त्रिज्या $r$, $n^2$ के समानुपाती होती है $(r \propto n^2)$।
इन मानों को अभिकेंद्र त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a_c \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1/n^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$।
अतः, $3^{rd}$ और $5^{th}$ कक्षा के लिए अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात:
$\frac{a_3}{a_5} = \frac{n_5^4}{n_3^4} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{625}{81}$।
इस प्रकार, अनुपात $625 : 81$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल में, $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
इसका तात्पर्य है कि $E \propto n^{-2}$।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका तात्पर्य है कि $L \propto n$, या $n \propto L$।
ऊर्जा संबंध $E \propto n^{-2}$ में $n \propto L$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $E \propto (L)^{-2}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $E \propto L^{-2}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में परिक्रमा कर रहे इलेक्ट्रॉन से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का संबंध $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{2\pi r_n}{n}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $r_n$ $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या है।
चूंकि $r_n \propto n^2$, इसलिए $\lambda \propto \frac{n^2}{n} = n$ होता है।
मूल अवस्था के लिए $n_1 = 1$ है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था $n_2 = 4$ के संगत होती है।
चूंकि $n_2 > n_1$, इसलिए जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा अवस्था में जाता है, डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है:
$r_n = n^2 a_0$
जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है $(n = 1, 2, 3, 4, ...)$ और $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
पहली चार कक्षाओं के लिए:
$n = 1$ के लिए, $r_1 = 1^2 a_0 = 1 a_0$
$n = 2$ के लिए, $r_2 = 2^2 a_0 = 4 a_0$
$n = 3$ के लिए, $r_3 = 3^2 a_0 = 9 a_0$
$n = 4$ के लिए, $r_4 = 4^2 a_0 = 16 a_0$
अतः, त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 : r_3 : r_4 = 1 : 4 : 9 : 16$ है।

(A) बोर के मॉडल के अनुसार, $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi me^2}$ द्वारा दी जाती है।
$n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{e^2}{2\epsilon_0nh}$ है।
कक्षीय आवर्तकाल $T$ एक चक्कर पूरा करने में लगा समय है, जो $T = \frac{2\pi r_n}{v_n}$ होता है।
$r_n$ और $v_n$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2\pi (\frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi me^2})}{(\frac{e^2}{2\epsilon_0nh})}$
$T = \frac{2n^2h^2\epsilon_0}{me^2} \times \frac{2\epsilon_0nh}{e^2}$
$T = \frac{4\epsilon_0^2n^3h^3}{me^4}$.
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) बोर के सिद्धांत के अनुसार, नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच कार्य करने वाला स्थिर वैद्युत बल $F$, कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r^2}$.
बोर मॉडल में, $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $n^2$ के समानुपाती होती है, अर्थात $r \propto n^2$.
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर: $F \propto \frac{1}{r^2} \propto \frac{1}{(n^2)^2} = \frac{1}{n^4}$.
अतः, $F \propto n^{-4}$.

(B) एक कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन का कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $(m_{orb})$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $m_{orb} = \frac{e}{2m_e} L$, जहाँ $L$ कक्षीय कोणीय संवेग है।
बोर के क्वांटमीकरण की शर्त के अनुसार, $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
इस मान को $m_{orb}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $m_{orb} = \frac{e}{2m_e} \times \frac{nh}{2\pi}$.
चूंकि $e$, $m_e$, $h$, और $\pi$ स्थिरांक हैं, इसलिए हम देख सकते हैं कि $m_{orb} \propto n$.
अतः, कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के सीधे समानुपाती होता है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$।
हाइड्रोजन परमाणु की दूसरी कक्षा के लिए $(Z=1, n=2)$: $E = -13.6 \times \frac{1^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{1}{4} \text{ eV}$।
अतः, $-13.6 \text{ eV} = 4E$।
हीलियम परमाणु की तीसरी कक्षा के लिए $(Z=2, n=3)$: $E' = -13.6 \times \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \times \frac{4}{9} \text{ eV}$।
$E'$ के समीकरण में $-13.6 = 4E$ रखने पर:
$E' = (4E) \times \frac{4}{9} = \frac{16E}{9}$।

(C) बोहर के क्वांटीकरण अभिधारणा के अनुसार, $n$ क्वांटम संख्या वाली कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = n(h / 2\pi)$ द्वारा दिया जाता है।
तीसरी बोहर कक्षा $(n_1 = 3)$ के लिए, कोणीय संवेग $l = 3(h / 2\pi)$ है।
चौथी बोहर कक्षा $(n_2 = 4)$ के लिए, कोणीय संवेग $L' = 4(h / 2\pi)$ है।
दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर: $L' / l = (4(h / 2\pi)) / (3(h / 2\pi)) = 4/3$।
अतः, $L' = (4/3)l$।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ है, जहाँ $a_0$ बोर त्रिज्या है, $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
हाइड्रोजन की मूल अवस्था के लिए, $n_H = 1$ और $Z_H = 1$ है। अतः, $r_H = a_0 \frac{1^2}{1} = a_0$.
त्रि-आयनित बेरिलियम $(Be^{3+})$ के लिए, $Z_{Be} = 4$ है। मान लीजिए कि ऊर्जा अवस्था $n_{Be}$ है। त्रिज्या $r_{Be} = a_0 \frac{n_{Be}^2}{4}$ होगी।
यह दिया गया है कि $r_{Be} = r_H$, इसलिए $a_0 \frac{n_{Be}^2}{4} = a_0$.
इसे सरल करने पर $\frac{n_{Be}^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $n_{Be}^2 = 4$.
अतः, $n_{Be} = 2$।

(A) $n^{th}$ कक्षा के लिए बोहर त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या स्थिरांक है।
दी गई शर्त के अनुसार: $r_{n+1} - r_n = r_{n-1}$.
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $a_0(n+1)^2 - a_0 n^2 = a_0(n-1)^2$.
$a_0$ से विभाजित करने पर: $(n+1)^2 - n^2 = (n-1)^2$.
पदों का विस्तार करने पर: $(n^2 + 2n + 1) - n^2 = n^2 - 2n + 1$.
सरल करने पर: $2n + 1 = n^2 - 2n + 1$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $n^2 - 4n = 0$.
गुणनखंड करने पर: $n(n - 4) = 0$.
चूँकि $n$ कक्षा की संख्या को दर्शाता है, $(n-1)^{th}$ कक्षा के अस्तित्व के लिए $n > 1$ होना चाहिए। अतः, $n = 4$.

(A) बोर के सिद्धांत के अनुसार, $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति से जुड़ा चुंबकीय आघूर्ण $\mu_l = \frac{e}{2m} L$ होता है।
$L$ का मान रखने पर, हमें $\mu_l = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e$, $m$, $h$ और $\pi$ स्थिरांक हैं, इसलिए हम देख सकते हैं कि $\mu_l \propto n$ है।
अतः, चुंबकीय आघूर्ण मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के समानुपाती होता है।

(C) बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार, $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार, तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
बोहर क्वांटाइजेशन शर्त को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $mv = \frac{nh}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
इस मान को डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{(nh / 2\pi r)}$।
इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ प्राप्त होता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6/n^2 \text{ eV}$ है।
दिया गया है कि $E_n = -0.544 \text{ eV}$।
अतः, $-13.6/n^2 = -0.544$।
$n^2 = 13.6 / 0.544 = 25$।
इसलिए, $n = 5$।
बोहर के क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार, $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ $L = nh/2\pi$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 5$ रखने पर, हमें $L = 5h/2\pi$ प्राप्त होता है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर की अभिधारणा के अनुसार, एक इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनके लिए उसका कोणीय संवेग $(L)$, $h/2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
इसे क्वांटमीकरण शर्त द्वारा व्यक्त किया जाता है: $L = n(h/2\pi)$, जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ मुख्य क्वांटम संख्या है, और $h$ प्लांक नियतांक है।
अतः, कोणीय संवेग वह राशि है जो $h/2\pi$ का पूर्णांक गुणज है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में, नाभिक (आवेश $+e$) और इलेक्ट्रॉन (आवेश $-e$) के बीच का स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल, इलेक्ट्रॉन को $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार, स्थिर-वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
इन दोनों को बराबर करने पर, हमें $\frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $r/2$ से गुणा करने पर, $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{2r}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$ है।
चूंकि $\epsilon_0$ एक नियतांक है, इसलिए गतिज ऊर्जा $e^2/r$ के समानुपाती है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम कक्षा $(n=1)$ के लिए:
$1$. कुल ऊर्जा $E_T = -13.6 \text{ eV}$ होती है।
$2$. गतिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा में संबंध $E_K = -E_T$ है, अतः $E_K = -(-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV}$।
$3$. स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा में संबंध $E_P = 2E_T$ है, अतः $E_P = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$।

(C) बोर का दूसरा अभिगृहीत यह बताता है कि इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनके लिए उसका कोणीय संवेग $L$, $\frac{h}{2\pi}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
गणितीय रूप में, $L = n \frac{h}{2\pi}$, जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $h$ प्लांक नियतांक है।
इस स्थिति को कोणीय संवेग का क्वांटीकरण कहा जाता है।