NEET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) સાદા લોલકની ગતિઊર્જા $(K.E)$ નું સૂત્ર $K.E = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા સાદા લોલકનો વેગ $v = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
તેથી, $K.E = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t + \phi)$.
અહીં $K.E \propto \cos^2(\omega t)$ હોવાથી, આલેખ એક આવર્ત વિધેય છે જેની આવૃત્તિ લોલકની ગતિ કરતા બમણી છે, એટલે કે લોલક એક દોલન પૂર્ણ કરે તે સમયમાં ગતિઊર્જા બે ચક્ર પૂર્ણ કરે છે.
મધ્યમાન સ્થિતિ $(t=0)$ પર, વેગ મહત્તમ હોય છે, તેથી ગતિઊર્જા પણ મહત્તમ હોય છે. જે આલેખ $t=0$ પર મહત્તમ ગતિઊર્જા દર્શાવે છે અને $T$ સમયમાં બે ચક્ર પૂર્ણ કરે છે તે આલેખ $D$ છે.

(D) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_i = 600 \text{ rpm} = \frac{600 \times 2\pi}{60} = 20\pi \text{ rad/s}$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_f = 1200 \text{ rpm} = \frac{1200 \times 2\pi}{60} = 40\pi \text{ rad/s}$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{40\pi - 20\pi}{10} = 2\pi \text{ rad/s}^2$.
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = (20\pi)(10) + \frac{1}{2}(2\pi)(10^2) = 200\pi + 100\pi = 300\pi \text{ rad}$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{300\pi}{2\pi} = 150$.

(D) સાદા લોલકની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ તેની ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે, જે ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
આપેલ કુલ ઊર્જા $E = 0.02 \text{ J}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિ (મધ્યમાન સ્થિતિ) પર, ગોળાની સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય હોય છે, તેથી કુલ ઊર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિઊર્જાના સ્વરૂપમાં હોય છે.
તેથી, $E = K.E_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$.
આપેલ દળ $m = 20 \text{ g} = 0.02 \text{ kg}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.02 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times v_{max}^2$
$1 = \frac{1}{2} v_{max}^2$
$v_{max}^2 = 2$
$v_{max} = \sqrt{2} \approx 1.414 \text{ m/s}$.
આમ, સંતુલન સ્થિતિમાં ઝડપ આશરે $1.41 \text{ m/s}$ છે.

(B) નિરપેક્ષ દબાણનું સૂત્ર $P = P_{atm} + \rho g h$ છે.
અહીં, $P = 100 \text{ atm} = 100 \times 10^5 \text{ Pa}$, $P_{atm} = 1 \text{ atm} = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$, $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$, અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $100 \times 10^5 = 1 \times 10^5 + (1000)(10)h$.
$100 \times 10^5 - 1 \times 10^5 = 10^4 h$.
$99 \times 10^5 = 10^4 h$.
$h = \frac{99 \times 10^5}{10^4} = 99 \times 10 = 990 \text{ m}$.
આમ, સબમરીન $990 \text{ m}$ ની ઊંડાઈ સુધી જઈ શકે છે.

(B) . યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ રેખીય પ્રતિબળ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે, જે $Y = \frac{FL}{A\Delta L}$ $(II)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B$. સંકોચનીયતા $(K)$ એ બલ્ક મોડ્યુલસનો વ્યસ્ત છે, જે $K = -\frac{1}{\Delta P}(\frac{\Delta V}{V})$ $(III)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C$. બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ એ $-\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$D$. પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે, જે $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$ $(IV)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $(2)$ છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પરથી $m$ દળને $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
અહીં, સપાટી પર પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$ છે.
$h = R$ ઊંચાઈ પર અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = -\frac{GMm}{R+R} = -\frac{GMm}{2R}$ છે.
તેથી, $W = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી, આપણે $GM = gR^2$ લખી શકીએ.
આ કિંમત કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $W = \frac{(gR^2)m}{2R} = \frac{mgR}{2}$.

(D) મુક્ત પતન કરતી વસ્તુ દ્વારા કાપવામાં આવેલ અંતર સમીકરણ $s = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $g$ અચળ હોવાથી, અંતર $s$ એ પ્રતિક્રિયા સમય $t$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે $(s \propto t^2)$.
પ્રતિક્રિયા સમયની સરખામણી કરતા: $t_B (0.22 \text{ s}) > t_E (0.21 \text{ s}) > t_A (0.20 \text{ s}) > t_D (0.19 \text{ s}) > t_C (0.18 \text{ s})$.
$s \propto t^2$ હોવાથી, અંતરનો ક્રમ પ્રતિક્રિયા સમયના વર્ગના ક્રમ જેવો જ રહેશે.
તેથી, કાપેલું અંતર આ ક્રમમાં હશે: $B > E > A > D > C$.
આમ, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) પાવર $P$ ને કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
આપેલ મૂલ્યો $m = 1000 \text{ kg}$, $h = 20 \text{ m}$, $t = 10 \text{ s}$, અને $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$ છે.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{1000 \times 9.8 \times 20}{10}$
$P = 1000 \times 9.8 \times 2$
$P = 19600 \text{ W}$.
$1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}$ હોવાથી, $P = 19.6 \text{ kW}$ મળે.
આમ, વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, ગરમીનો પુરવઠો એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફારનો દર અને સિસ્ટમ દ્વારા થતા કાર્યના દરના સરવાળા જેટલો હોય છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{dU}{dt} + \frac{dW}{dt}$.
અહીં આપેલ છે કે ગરમીનો દર $\frac{dQ}{dt} = 100 \text{ W}$ અને કાર્યનો દર $\frac{dW}{dt} = 75 \text{ J/s} = 75 \text{ W}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $100 \text{ W} = \frac{dU}{dt} + 75 \text{ W}$.
તેથી, આંતરિક ઉર્જામાં વધારાનો દર $\frac{dU}{dt} = 100 - 75 = 25 \text{ W}$ થશે.
આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $30$ દોલનો માટે લાગતો સમય $60 \text{ s}$ છે, તેથી આવર્તકાળ $T = \frac{60}{30} = 2 \text{ s}$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{9.8}}$.
સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $4 = 4\pi^2 \frac{L}{9.8}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\pi^2 = 9.8$, તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $4 = 4 \times 9.8 \times \frac{L}{9.8}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા, આપણને $4 = 4L$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $L = 1 \text{ m}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કુલ દળ $M = m \times L$ છે.
ત્રિજ્યા $R$ એ $L = 2\pi R$ પરથી મળે છે, તેથી $R = \frac{L}{2\pi}$.
વર્તુળાકાર રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, સ્પર્શક $yy'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + MR^2$ થાય, જ્યાં $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$.
આમ, $I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
$M = mL$ અને $R = \frac{L}{2\pi}$ મૂકતા:
$I = \frac{3}{2} (mL) \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{3}{2} mL \left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3mL^3}{8\pi^2}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y(x, t) = 2.0 \cos(2\pi(10t - 0.0080x + 0.35))$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \cos(2\pi ft - kx + \phi)$ સાથે સરખાવતા, આપણે તરંગ સંખ્યા $k$ મેળવી શકીએ છીએ.
કોસાઈન વિધેયની અંદરનું પદ $2\pi(10t - 0.0080x + 0.35) = 20\pi t - 0.016\pi x + 0.7\pi$ છે.
તેથી, તરંગ સંખ્યા $k = 0.016\pi \text{ cm}^{-1}$ મળે છે.
$\Delta x$ અંતરે રહેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta\phi = k \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta x = 0.5 \text{ m} = 50 \text{ cm}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા, $\Delta\phi = (0.016\pi \text{ cm}^{-1}) \times 50 \text{ cm} = 0.8\pi \text{ rad}$ મળે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) મર્યાદિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ એ બોક્સને ટ્રોલીની સાથે પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ પૂરું પાડે છે.
બોક્સ ટ્રોલીની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે, બોક્સ પર લાગતું આભાસી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
બોક્સ ટ્રોલી પર સ્થિર રહેવાની શરત છે: $ma \le f_{s, \text{max}}$.
અહીં $f_{s, \text{max}} = \mu N = \mu mg$ હોવાથી, $ma \le \mu mg$ મળે.
આથી, $a \le \mu g$.
આપેલ છે કે $\mu = 0.12$ અને $g = 10 \text{m s}^{-2}$, તેથી મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\text{max}} = \mu g = 0.12 \times 10 = 1.2 \text{m s}^{-2}$.
આમ, ટ્રોલીને જે મહત્તમ પ્રવેગથી ગતિ કરાવી શકાય તે $1.2 \text{m s}^{-2}$ છે.

(C) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે, જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે, $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
મિશ્રણમાં બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી, તેમની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનો ગુણોત્તર માત્ર તેમના મોલર દળ પર આધાર રાખે છે.
ગુણોત્તર $\frac{v_{\text{rms}}^{\text{Ar}}}{v_{\text{rms}}^{\text{Cl}}} = \frac{\sqrt{3RT/M_{\text{Ar}}}}{\sqrt{3RT/M_{\text{Cl}}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{Cl}}}{M_{\text{Ar}}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આર્ગોનનું પરમાણ્વીય દળ $M_{\text{Ar}} = 40.0 \text{u}$ અને ક્લોરિનનું આણ્વીય દળ $M_{\text{Cl}} = 70.0 \text{u}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને $\frac{v_{\text{rms}}^{\text{Ar}}}{v_{\text{rms}}^{\text{Cl}}} = \sqrt{\frac{70}{40}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ મળે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ દળ $m = 5 \text{ kg}$.
બે બળો $F_1 = 8 \text{ N}$ અને $F_2 = 6 \text{ N}$ પરસ્પર લંબ છે.
પરિણામી બળ $F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ N}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પ્રવેગ $a = F/m = 10 \text{ N} / 5 \text{ kg} = 2 \text{ ms}^{-2}$.
$8 \text{ N}$ ના બળ સાથે પરિણામી બળની દિશા $\theta$ માટે, $\tan \theta = \frac{F_2}{F_1} = \frac{6}{8} = 3/4$.
તેથી, $\theta = \tan^{-1}(3/4)$ જે $8 \text{ N}$ ના બળ સાથેનો ખૂણો છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે પ્રકાશની ઝડપ $c = 1$ એકમ છે.
લાગતો સમય $t = 6 \text{ min } 40 \text{ s}$.
સમયને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $t = (6 \times 60) \text{ s} + 40 \text{ s} = 360 \text{ s} + 40 \text{ s} = 400 \text{ s}$.
અંતર $d$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $d = c \times t$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 1 \times 400 = 400$ એકમ.
તેથી, સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર $400$ એકમ છે.

(C) જ્યારે કોઈ દડાને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે કોઈપણ સમયે $t$ પર તેનો વેગ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = u - gt$, જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે.
$1$. શરૂઆતમાં, વેગ ધન $(v = u)$ હોય છે.
$2$. જેમ દડો ઉપર જાય છે, તેમ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ ને કારણે વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
$3$. મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
$4$. મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચ્યા પછી, દડો નીચે પડવાનું શરૂ કરે છે. આ તબક્કા દરમિયાન, વેગ ઋણ બને છે (કારણ કે તે પ્રારંભિક ઉપરની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે) અને તેનું મૂલ્ય સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
આ રેખીય સંબંધ $v = u - gt$ એ ઋણ ઢાળ $(-g)$ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. આલેખ $(C)$ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે, જે ધન પ્રારંભિક વેગથી શરૂ થાય છે, સમય અક્ષને ઓળંગે છે (જ્યાં $v = 0$ થાય છે), અને ઋણ વેગના વિસ્તારમાં આગળ વધે છે.

(C) વર્નિયર કેલિપર્સનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ એ $LC = 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $20 \text{ VSD} = 16 \text{ MSD}$, તેથી $1 \text{ VSD} = \frac{16}{20} \text{ MSD} = 0.8 \text{ MSD}$.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $LC = 1 \text{ MSD} - 0.8 \text{ MSD} = 0.2 \text{ MSD}$ મળે છે.
કારણ કે $1 \text{ MSD} = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$, તેથી $LC = 0.2 \times 0.1 \text{ cm} = 0.02 \text{ cm}$ થાય.

(B) ઘનતા $\rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$.
દળ $m = 5.580 \text{ kg}$.
બાજુની લંબાઈ $a = 9.0 \text{ cm} = 9.0 \times 10^{-2} \text{ m}$.
કદ $V = a^3 = (9.0 \times 10^{-2} \text{ m})^3 = 729 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 7.29 \times 10^{-4} \text{ m}^3$.
ઘનતા $\rho = \frac{5.580 \text{ kg}}{7.29 \times 10^{-4} \text{ m}^3} \approx 7654.32 \text{ kg m}^{-3} = 7.65432 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}$.
અહીં બાજુની લંબાઈ $9.0 \text{ cm}$ માં માત્ર બે જ સાર્થક અંકો હોવાથી, અંતિમ પરિણામને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ.
$7.65432$ ને બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $7.7$ મળે છે.
તેથી, $X = 7.7$.

(D) કણ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu(x) N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $N = Mg$ એ લંબબળ છે.
તેથી, $f(x) = (\mu_0 - \alpha x) Mg$.
આપેલ છે કે $\mu(L) = 0$, તેથી $\mu_0 - \alpha L = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{\mu_0}{L}$.
$f(x)$ ના સમીકરણમાં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $f(x) = (\mu_0 - \frac{\mu_0}{L} x) Mg = \mu_0 Mg (1 - \frac{x}{L})$ મળે છે.
ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ $x=0$ થી $x=L$ સુધીના સ્થાનાંતર પર બળનું સંકલન છે. ઘર્ષણ ગતિનો વિરોધ કરતું હોવાથી, $W = -\int_{0}^{L} f(x) dx$.
$W = -\int_{0}^{L} \mu_0 Mg (1 - \frac{x}{L}) dx$.
$W = -\mu_0 Mg [x - \frac{x^2}{2L}]_{0}^{L}$.
$W = -\mu_0 Mg (L - \frac{L^2}{2L}) = -\mu_0 Mg (L - \frac{L}{2}) = -\frac{1}{2} \mu_0 MgL$.
થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $\frac{1}{2} \mu_0 MgL$ છે. તેને $n\mu_0 MgL$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = 1/2$ મળે છે.

(D) વાયુના અણુઓ માટે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ છે, જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે.
આપેલ છે: $\lambda_A = \frac{1}{2} \lambda_B$ અને $d_A = 2d_B$.
બંને વાયુઓ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_A = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d_A^2 n_A}$ અને $\lambda_B = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d_B^2 n_B}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{d_B^2 n_B}{d_A^2 n_A}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{d_B^2 n_B}{(2d_B)^2 n_A} = \frac{d_B^2 n_B}{4d_B^2 n_A} = \frac{n_B}{4n_A}$.
$n_A$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $4n_A = 2n_B$, જેનું સાદું રૂપ $n_A = \frac{1}{2} n_B$ થાય છે.

(NONE) બંને છેડે ખુલ્લી પાઈપ માટે, $k^{th}$ હાર્મોનિકમાં $k+1$ નોડ્સ હોય છે.
$5^{th}$ હાર્મોનિક $(k=5)$ માટે, નોડ્સની સંખ્યા $n = 5 + 1 = 6$ થાય.
એક છેડે બંધ પાઈપ માટે, $p^{th}$ હાર્મોનિક (જ્યાં $p$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ) માં $\frac{p+1}{2}$ નોડ્સ હોય છે.
$9^{th}$ હાર્મોનિક $(p=9)$ માટે, નોડ્સની સંખ્યા $m = \frac{9+1}{2} = 5$ થાય.
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{n}{m} = \frac{6}{5}$ થાય.

(C) કણનું સ્થાન $s(t) = t^2 - 6t + 5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ ઝડપ શોધવા માટે, આપણે કુલ કાપેલું અંતર જાણવું જરૂરી છે.
પ્રથમ, વેગ $v(t) = \frac{ds}{dt} = 2t - 6$ શોધો.
જ્યારે $v(t) = 0$ થાય ત્યારે કણ સ્થિર થાય છે, જે $t = 3 \text{ s}$ પર થાય છે.
$t = 0 \text{ s}$ પર, $s(0) = 5 \text{ m}$.
$t = 3 \text{ s}$ પર, $s(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \text{ m}$.
$t = 6 \text{ s}$ પર, $s(6) = (6)^2 - 6(6) + 5 = 5 \text{ m}$.
$t = 0$ થી $t = 3 \text{ s}$ સુધીમાં કાપેલું અંતર $|s(3) - s(0)| = |-4 - 5| = 9 \text{ m}$ છે.
$t = 3$ થી $t = 6 \text{ s}$ સુધીમાં કાપેલું અંતર $|s(6) - s(3)| = |5 - (-4)| = 9 \text{ m}$ છે.
કુલ અંતર = $9 + 9 = 18 \text{ m}$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{18 \text{ m}}{6 \text{ s}} = 3 \text{ ms}^{-1}$.

(D) ધારો કે $A_P = 40 \text{ cm}^2 = 40 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ અને $A_Q = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ છે.
ધારો કે $P$ અને $Q$ આગળ વેગ $v_P$ અને $v_Q$ છે. સાતત્ય સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ, $A_P v_P = A_Q v_Q = V$ (જ્યાં $V$ એ વહનનો દર છે).
તેથી, $v_P = V / A_P$ અને $v_Q = V / A_Q$ થાય.
સમક્ષિતિજ પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_P + \frac{1}{2} \rho v_P^2 = P_Q + \frac{1}{2} \rho v_Q^2$.
$P_P - P_Q = \frac{1}{2} \rho (v_Q^2 - v_P^2) = 15 \text{ Nm}^{-2}$.
$15 = \frac{1}{2} \times 1000 \times (V^2 / A_Q^2 - V^2 / A_P^2) = 500 \times V^2 \times (1 / (20 \times 10^{-4})^2 - 1 / (40 \times 10^{-4})^2)$.
$15 = 500 \times V^2 \times (1 / (4 \times 10^{-6}) - 1 / (16 \times 10^{-6})) = 500 \times V^2 \times (4 - 1) / (16 \times 10^{-6}) = 500 \times V^2 \times 3 / (16 \times 10^{-6})$.
$V^2 = (15 \times 16 \times 10^{-6}) / (1500) = 16 \times 10^{-8} \text{ m}^6\text{s}^{-2}$.
$V = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^3\text{s}^{-1} = 4 \times 10^{-4} \times 10^6 \text{ cm}^3\text{s}^{-1} = 400 \text{ cm}^3\text{s}^{-1}$.

(A) સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડતા ગોળાકાર દડાનો ટર્મિનલ વેગ $(v)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\sigma - \rho)$
જ્યાં:
$r$ એ દડાની ત્રિજ્યા છે,
$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,
$\eta$ એ પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,
$\sigma$ એ દડાની ઘનતા છે,
$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
આપણે આ સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$v = \frac{2 r^2 g \rho}{9 \eta} (\frac{\sigma}{\rho} - 1)$
ધારો કે $k = \frac{2 r^2 g \rho}{9 \eta}$. આપેલ પ્રયોગ માટે $r$, $g$, $\rho$ અને $\eta$ અચળ હોવાથી, $k$ એક અચળાંક છે.
તેથી, $v = k (\frac{\sigma}{\rho} - 1)$.
આ એક સુરેખ રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે, જ્યાં $y = v$, $x = \frac{\sigma}{\rho}$, $m = k$, અને અંતઃખંડ $c = -k$ છે.
જ્યારે $\frac{\sigma}{\rho} = 1$ હોય, ત્યારે $v = 0$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે દડાની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા જેટલી હોય ત્યારે ટર્મિનલ વેગ શૂન્ય હોય છે.
$\frac{\sigma}{\rho} > 1$ માટે, $v$ એ $\frac{\sigma}{\rho}$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
આપેલ આલેખો સાથે સરખામણી કરતા, આલેખ $(1)$ દર્શાવે છે કે $\frac{\sigma}{\rho} = 1$ પર $v = 0$ છે અને $\frac{\sigma}{\rho} > 1$ માટે રેખીય વધારો જોવા મળે છે, જે આપણા તારવેલા સમીકરણ સાથે સુસંગત છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગ્રહોનું દળ સમાન હોવાથી, ધારો કે $M_1 = M_2 = M$.
ગ્રહ $P_1$ માટે, નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_1 = \sqrt{\frac{2GM}{R_1}}$ છે.
ગ્રહ $P_2$ માટે, નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R_2}}$ છે.
આપેલ છે કે $R_2 = \frac{R_1}{2}$, તેથી $v_2$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R_1/2}} = \sqrt{\frac{4GM}{R_1}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2GM}{R_1}}$.
તેથી, $v_2 = \sqrt{2} \cdot v_1$.
આમ, ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{2}$ થાય.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, ગ્રહના ભ્રમણના આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ તેની કક્ષાની અર્ધ-દીર્ઘ અક્ષ $(R)$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, $T^2 \propto R^3$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, આપણને $T \propto R^{3/2}$ મળે છે.
તેથી, ભ્રમણનો આવર્તકાળ $R^{3/2}$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, આદર્શ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્યનું સૂત્ર: $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $n = 1 \text{ mole}$, $T_1 = 60 \text{ K}$, $T_2 = 50 \text{ K}$, $\gamma = 5/3$, અને $R = 8.3 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{1 \times 8.3 \times (60 - 50)}{(5/3) - 1}$
$W = \frac{8.3 \times 10}{2/3}$
$W = \frac{83}{2/3} = 83 \times 1.5 = 124.5 \text{ J}$.
આમ, વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $124.5 \text{ J}$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 1$ છે અને દરેક કણનું દળ $m = 1$ છે. ધારો કે કોણીય ઝડપ $\omega$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર, પ્રથમ કણનું કોણીય સ્થાન $\theta_1 = \pi/2 - \omega t$ છે અને બીજા કણનું $\theta_2 = \pi/2 + \omega t$ છે.
બંને કણોના વેગ સદિશ $\vec{v}_1 = v(-\sin\theta_1 \hat{i} + \cos\theta_1 \hat{j})$ અને $\vec{v}_2 = v(\sin\theta_2 \hat{i} + \cos\theta_2 \hat{j})$ છે, જ્યાં $v = R\omega = \omega$ છે.
કુલ રેખીય વેગમાન $\vec{P} = m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = \omega[(-\sin\theta_1 + \sin\theta_2)\hat{i} + (\cos\theta_1 + \cos\theta_2)\hat{j}]$ છે.
સરવાળા-થી-ગુણાકારના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$-\sin\theta_1 + \sin\theta_2 = 2\sin(\frac{\theta_2 - \theta_1}{2})\cos(\frac{\theta_2 + \theta_1}{2}) = 2\sin(\omega t)\cos(\pi/2) = 0$।
$\cos\theta_1 + \cos\theta_2 = 2\cos(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2})\cos(\frac{\theta_1 - \theta_2}{2}) = 2\cos(\pi/2)\cos(-\omega t) = 0$।
વેગમાનનું મૂલ્ય $P = |\vec{P}| = 2mv \cos(\frac{\phi_2 - \phi_1}{2}) = 2mv \cos(\omega t)$ છે.
કારણ કે $\theta = \pi/2 - \omega t$, આપણી પાસે $\omega t = \pi/2 - \theta$ છે.
તેથી, $P = 2mv \cos(\pi/2 - \theta) = 2mv \sin\theta$।
જેમ જેમ $\theta$, $\pi/2$ થી $-\pi/2$ સુધી જાય છે, તેમ $\sin\theta$, $1$ થી $-1$ સુધી જાય છે. મૂલ્ય $P = |2mv \sin\theta|$, $2mv$ થી $0$ સુધી અને પાછું $2mv$ સુધી જાય છે।

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dV}{dT} = \frac{4}{3}\pi (3R^2) \frac{dR}{dT} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dT}$ મળે છે.
રેખીય પ્રસરણ માટે, ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફાર $\Delta R = R \alpha \Delta T$ છે, જેનો અર્થ છે કે $\frac{dR}{dT} = R \alpha$.
આ કિંમતને કદના વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta V \approx 4\pi R^2 (R \alpha \Delta T)$.
તેથી, $\Delta V = 4\pi R^3 \alpha \Delta T$.

(D) ધારો કે કોર્કનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$, તેની ઘનતા $\rho$ અને લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે કોર્ક $\rho_L$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં તરે છે, ત્યારે ડૂબેલા ભાગની લંબાઈ $h$ સંતુલનની સ્થિતિ મુજબ $A h \rho_L g = A L \rho g$ થાય, તેથી $h = (\rho / \rho_L) L$.
જ્યારે કોર્કને $x$ જેટલા નાના અંતરે નીચે દબાવવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F = -A x \rho_L g$ છે. આ બળ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ગતિનું સમીકરણ $m a = -A \rho_L g x$ છે, જ્યાં $m = A L \rho$ એ કોર્કનું દળ છે.
તેથી, $A L \rho (d^2x/dt^2) = -A \rho_L g x$, જે $(d^2x/dt^2) + (\rho_L g / L \rho) x = 0$ આપે છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ છે જેની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\rho_L g / L \rho}$ છે.
આવર્તકાળ $T = 2\pi / \omega = 2\pi \sqrt{L \rho / \rho_L g}$ છે.
ચુંકે $T \propto 1/\sqrt{\rho_L}$, તેથી $T_1 / T_2 = \sqrt{\rho_2 / \rho_1}$ મળે.
આપેલ છે કે $T_1 = T$ અને $T_2 = 2T$, તેથી $T / 2T = \sqrt{\rho_2 / \rho_1}$, જેનો અર્થ છે કે $1/2 = \sqrt{\rho_2 / \rho_1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $\rho_2 / \rho_1 = 1/4$ મળે છે.

(D) $1$. લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ ગણો: $LC = 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = 1 \text{ MSD} - (9/10) \text{ MSD} = 0.1 \text{ mm} = 0.01 \text{ cm}$.
$2$. શૂન્ય ત્રુટિ નક્કી કરો: વર્નિયર સ્કેલ ડાબી બાજુ ખસતું હોવાથી, શૂન્ય ત્રુટિ ઋણ છે. $4^{th}$ વિભાગ સંપાત થાય છે, તેથી $\text{Zero Error} = - (4 \times LC) = - (4 \times 0.01 \text{ cm}) = -0.04 \text{ cm}$.
$3$. વાસ્તવિક લંબાઈ ગણો: $\text{Actual Length} = \text{Measured Length} - \text{Zero Error}$.
$4$. $\text{Actual Length} = 1.00 \text{ cm} - (-0.04 \text{ cm}) = 1.00 \text{ cm} + 0.04 \text{ cm} = 1.04 \text{ cm}$.

(B) બે ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R + r$ છે.
ગોળા $A$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ માટે:
ગોળા $A$ ની તેના પોતાના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{A,cm} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ગોળા $B$ ની ગોળા $A$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $I_{B,A} = I_{B,cm} + md^2 = \frac{2}{5}mr^2 + m(R + r)^2$.
આમ, $I_A = \frac{2}{5}MR^2 + \frac{2}{5}mr^2 + m(R + r)^2$.
ગોળા $B$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ માટે:
ગોળા $B$ ની તેના પોતાના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{B,cm} = \frac{2}{5}mr^2$ છે.
ગોળા $A$ ની ગોળા $B$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $I_{A,B} = I_{A,cm} + Md^2 = \frac{2}{5}MR^2 + M(R + r)^2$.
આમ, $I_B = \frac{2}{5}mr^2 + \frac{2}{5}MR^2 + M(R + r)^2$.
હવે, તફાવત $I_A - I_B$ ની ગણતરી કરતા:
$I_A - I_B = [\frac{2}{5}MR^2 + \frac{2}{5}mr^2 + m(R + r)^2] - [\frac{2}{5}mr^2 + \frac{2}{5}MR^2 + M(R + r)^2]$
$I_A - I_B = m(R + r)^2 - M(R + r)^2$
$I_A - I_B = (m - M)(R + r)^2$.

(B) સરળ આવર્ત દોલક માટે, કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ સંરક્ષિત રહે છે અને તે ગતિ ઉર્જા તથા સ્થિતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$
$x$ ના વિધેય તરીકે $v$ ને દર્શાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$v^2 + \frac{k}{m}x^2 = \frac{2E}{m}$
$\frac{2E}{m}$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$\frac{v^2}{2E/m} + \frac{x^2}{2E/k} = 1$
આ $x-v$ સમતલમાં ઉપવલયનું સમીકરણ છે. આલેખ વર્તુળ બને તે માટે, $x^2$ અને $v^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $k/m = 1$, એટલે કે $k = m$.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી સ્થિર ધરી પર ભ્રમણ કરતી દ્રઢ પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $L_O = I_O \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I_O$ એ $O$ માંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
તકતીના સમતલમાં કોઈપણ અન્ય બિંદુ $P$ માટે, કોણીય વેગમાન $L_P = L_O + \vec{r}_{OP} \times \vec{P}_{total}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\vec{P}_{total}$ એ તકતીનું કુલ રેખીય વેગમાન છે.
તકતી તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ ભ્રમણ કરતી હોવાથી, કુલ રેખીય વેગમાન $\vec{P}_{total} = M \vec{v}_{cm} = 0$ થાય છે, કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm} = 0$ છે.
તેથી, તકતીના સમતલમાં કોઈપણ બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન જેટલું જ હોય છે, એટલે કે $L_P = L_O$.
આમ, $L_A = L_O$ અને $L_B = L_O$.
પરિણામે, $\frac{L_A}{L_B} = \frac{L_O}{L_O} = 1$.

(A) સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $\sigma_s$ નું સૂત્ર $\sigma_s = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2}$ છે, જ્યાં $k_B$ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે, $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $c$ પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપણે $\sigma_s k_B^{-1}$ ના પરિમાણો શોધવાના છે.
સૂત્ર પરથી, $\sigma_s k_B^{-1} = \frac{2\pi^5 k_B^3}{15 h^3 c^2}$.
પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[k_B] = [M L^2 T^{-2} K^{-1}]$
$[h] = [M L^2 T^{-1}]$
$[c] = [L T^{-1}]$
આ પરિમાણો મૂકતા:
$[\sigma_s k_B^{-1}] = \frac{[M L^2 T^{-2} K^{-1}]^3}{[M L^2 T^{-1}]^3 [L T^{-1}]^2} = [L^{-2} T^{-1} K^{-3}]$.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ હોય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. કારણ કે $\Delta U = 0$, તેથી કુલ આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલા કુલ કાર્ય $\Delta W$ જેટલી હોય છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવેલું કાર્ય એ $P-V$ આલેખમાં ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
લંબચોરસ $abcd$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = (V_c - V_a) \times (P_a - P_d)$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = (5 - 2) \text{ m}^3 \times (300 - 100) \text{ N/m}^2$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 3 \text{ m}^3 \times 200 \text{ N/m}^2 = 600 \text{ J}$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી, વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ધન છે.
તેથી, વાયુને આપવામાં આવેલી કુલ ઉષ્મા $600 \text{ J}$ છે.

(A) ટાયરનો ઘસારો ન્યૂનતમ રાખવા માટે, કારે ઢળેલા રસ્તા માટેની શ્રેષ્ઠ ઝડપે મુસાફરી કરવી જોઈએ, જેથી લંબબળ ઘર્ષણ પર આધાર રાખ્યા વિના જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે.
ઢળેલા રસ્તા પર શ્રેષ્ઠ ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{rg \tan \theta}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $v^2 = rg \tan \theta$ મળે.
$\tan \theta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ મળે.
આપેલ કિંમતો $v = 10 \text{ ms}^{-1}$, $r = 50 \text{ m}$, અને $g = 10 \text{ ms}^{-2}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\tan \theta = \frac{10^2}{50 \times 10} = \frac{100}{500} = \frac{1}{5}$.
તેથી, $\theta = \tan^{-1}(1/5)$.

(C) $1$. સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય, ત્યારે પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
$2$. અથડામણ પહેલાં, પદાર્થ $A$ નો વેગ $v_A = 10 \text{ ms}^{-1}$ છે અને બોબ $B$ નો વેગ $v_B = 0$ છે.
$3$. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી, પદાર્થ $A$ નો વેગ $v'_A = 0$ થઈ જાય છે અને બોબ $B$ નો વેગ $v'_B = 10 \text{ ms}^{-1}$ થઈ જાય છે.
$4$. ત્યારબાદ બોબ $B$ લોલક તરીકે દોલન કરે છે. યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા, સૌથી નીચા બિંદુએ બોબની ગતિ ઉર્જા મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$5$. $\frac{1}{2} m (v'_B)^2 = mgh$
$6$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times (10)^2 = 10 \times h$
$7$. $\frac{1}{2} \times 100 = 10h$
$8$. $50 = 10h$, જે આપણને $h = 5 \text{ m}$ આપે છે.

(A) બહુપરમાણ્વીય વાયુના અણુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $F$ એ સ્થાનાંતરિત, ભ્રમણીય અને કંપન ગતિના પ્રકારોનો સરવાળો છે.
આપેલ છે: સ્થાનાંતરિત ગતિ = $3$, ભ્રમણીય ગતિ = $3$, કંપન ગતિ = $f$.
દરેક કંપન ગતિનો પ્રકાર $2$ મુક્તિના અંશો ધરાવે છે (એક ગતિઊર્જા માટે અને એક સ્થિતિઊર્જા માટે).
તેથી, કુલ મુક્તિના અંશો $F = 3 + 3 + 2f = 6 + 2f$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma = C_p/C_v = 1 + 2/F$.
આપેલ છે $\gamma = 8/7$, તેથી $8/7 = 1 + 2/F$.
$8/7 - 1 = 2/F \implies 1/7 = 2/F \implies F = 14$.
$F$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $6 + 2f = 14$.
$2f = 8 \implies f = 4$.

(C) હીટરનો અવરોધ $R$ અચળ રહે છે.
સૂત્ર $R = \frac{V^2}{P}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $R = \frac{220^2}{400} \Omega$ મેળવીએ છીએ.
નવા વોલ્ટેજ $V' = 200 \text{ V}$ પર વપરાતો નવો પાવર $P' = \frac{(V')^2}{R}$ દ્વારા મળે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $P' = \frac{(V')^2 \cdot P}{V^2} = \frac{200^2 \times 400}{220^2}$ મળે છે.
$P' = \frac{40000 \times 400}{48400} = \frac{16000000}{48400} \approx 330.57 \text{ W}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $331 \text{ W}$ મળે છે.

(C) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 3.14 \times 10^{-3} \text{ T}$, $N = 100$, $r = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
કિંમતો મૂકતા: $3.14 \times 10^{-3} = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 100 \times I}{2 \times 0.05}$.
$3.14 \times 10^{-3} = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-5} \times I}{0.1}$.
$10^{-3} = \frac{4 \times 10^{-5} \times I}{0.1} = 4 \times 10^{-4} \times I$.
$I = \frac{10^{-3}}{4 \times 10^{-4}} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ A}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N I A = N I (\pi r^2)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$M = 100 \times 2.5 \times 3.14 \times (0.05)^2$.
$M = 250 \times 3.14 \times 0.0025 = 1.9625 \approx 2 \text{ A m}^2$.
આમ, પ્રવાહ $2.5 \text{ A}$ અને ચુંબકીય મોમેન્ટ $2 \text{ A m}^2$ છે.

(B) . $E = hv$ એ ફોટોનની ઉર્જા દર્શાવે છે $(IV)$.
$B$. વિવર્તન અને વ્યતિકરણ એ પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવતી ઘટનાઓ છે $(III)$.
$C$. $\lambda = h/p$ એ ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સમીકરણ છે $(I)$.
$D$. કોમ્પ્ટન અસર પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે $(II)$.
તેથી, સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-I, D-II$ છે, જે વિકલ્પ $(2)$ ને અનુરૂપ છે.

(D) આ પરિપથ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે કારણ કે $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_4}{C_3} = \frac{10}{10} = 1$ થાય છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી, મધ્યના કેપેસીટર $C_5$ માંથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી.
તેથી, પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે, જેમાં દરેક શાખામાં બે કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે.
ડાબી શાખામાં $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે, અને જમણી શાખામાં $C_4$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે.
દરેક શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ: $C_{\text{branch}} = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \mu F$.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ: $C_{\text{eq}} = 5 \mu F + 5 \mu F = 10 \mu F$.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર: $Q = C_{\text{eq}}V = 10 \mu F \times 50 \ V = 500 \mu C$.
શાખાઓ સમાન હોવાથી, વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે: દરેક શાખામાંથી $250 \mu C$ વિદ્યુતભાર વહે છે.
આમ, દરેક કેપેસીટર $C_1, C_2, C_3, C_4$ પર $250 \mu C$ અને $C_5$ પર $0 \mu C$ વિદ્યુતભાર હોય છે.

(C) પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V^2$.
અહીં $C = 200 \text{ pF} = 200 \times 10^{-12} \text{ F}$ અને $V = 100 \text{ V}$ આપેલ છે.
$U_i = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-12} \times (100)^2 = 100 \times 10^{-12} \times 10^4 = 10^{-6} \text{ J}$.
જ્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને સમાન વિદ્યુતભારિત ન હોય તેવા કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી સ્થિતિમાન સમાન ન થાય.
સમાન સ્થિતિમાન $V' = \frac{CV + 0}{C+C} = \frac{V}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ V}$.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C+C) (V')^2 = C (\frac{V}{2})^2 = \frac{1}{4} CV^2 = \frac{U_i}{2}$.
$U_f = \frac{10^{-6}}{2} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ J}$.
ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 10^{-6} - 0.5 \times 10^{-6} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ J}$ થાય.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિ $f_r$ માટેનું સૂત્ર: $f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $L = 1 \text{ mH} = 10^{-3} \text{ H}$ અને $C = 0.1 \mu\text{F} = 0.1 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-7} \text{ F}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sqrt{LC} = \sqrt{10^{-3} \times 10^{-7}} = \sqrt{10^{-10}} = 10^{-5}$.
હવે, $f_r = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-5}} = \frac{10^5}{2 \times 3.14159} \approx \frac{100000}{6.283} \approx 15915.5 \text{ Hz}$.
kHz માં ફેરવતા, $f_r \approx 15.9 \text{ kHz}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વાહકની અંદર $(r < a)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે દર્શાવે છે કે $B \propto r$. આ વાહકની અક્ષથી સપાટી સુધી ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રેખીય વધારો દર્શાવે છે.
વાહકની બહાર $(r > a)$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે દર્શાવે છે કે $B \propto \frac{1}{r}$. આ વાહકથી અંતર વધવાની સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટાડો દર્શાવે છે.
આલેખ $(A)$ યોગ્ય રીતે રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ વ્યસ્ત ઘટાડો દર્શાવે છે. તેથી, વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(B) તત્કાલીન પ્રવાહનું સમીકરણ $I = I_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ પ્રવાહ છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચવા માટે, સાઈન વિધેયનું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે ફેઝ એંગલ $\omega t = \frac{\pi}{2}$ હોય.
$\omega = 2 \pi f$ મૂકતા, આપણને $2 \pi f t = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
સમય $t$ માટે ઉકેલતા, $t = \frac{1}{4f}$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f = 60 \text{ Hz}$ આપેલ હોવાથી, આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$t = \frac{1}{4 \times 60} = \frac{1}{240} \text{ s}$.
તેથી, પ્રવાહને શૂન્યથી તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચવામાં $1/240 \text{ s}$ સમય લાગે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ માટે, કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{3}) = I_{max} (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_{max}}{4}$ મળે.
આપેલ છે કે $I_1 = K$, તેથી $K = \frac{I_{max}}{4}$, જેનો અર્થ છે કે $I_{max} = 4K$.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે, કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} (-1)^2 = I_{max}$ મળે.
આમ, $I_{max} = 4K$ હોવાથી, પથ તફાવત $\lambda$ પર તીવ્રતા $4K$ થશે.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ થાય છે.
અહીં $\frac{4}{3} \pi R_0^3$ અચળ હોવાથી, કદ $V$ એ દળ ક્રમાંક $A$ ના સીધા સમપ્રમાણમાં છે. તેથી, વિધાન $A$ ખોટું છે અને વિધાન $B$ સાચું છે.
દળ ક્ષતિ એટલે ન્યુક્લિયસના ઘટકો (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેનો તફાવત. તેથી, વિધાન $C$ ખોટું છે અને વિધાન $D$ સાચું છે.
આમ, વિધાન $B$ અને $D$ સાચા છે, જ્યારે $A$ અને $C$ ખોટા છે.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે વ્યતિકરણ અને વિવર્તનમાં ઉર્જાનું અવકાશમાં પુનઃવિતરણ થાય છે, જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે, જે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ સાથે સુસંગત છે.
વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે વ્યતિકરણ અને વિવર્તન એ તરંગોની ઘટનાઓ છે જે માત્ર પ્રકાશ પૂરતી મર્યાદિત નથી; તે ધ્વનિ તરંગો, પાણીના તરંગો અને દ્રવ્ય તરંગો સહિત તમામ પ્રકારના તરંગો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી, વિધાન $A$ સાચું છે અને વિધાન $B$ ખોટું છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $V = E - Ir$ છે.
આપેલ છે: emf $E = 12 \text{ V}$, આંતરિક અવરોધ $r = 2 \text{ }\Omega$, અને પ્રવાહ $I = 0.6 \text{ A}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = 12 - (0.6 \times 2)$
$V = 12 - 1.2$
$V = 10.8 \text{ V}$.
તેથી, બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $10.8 \text{ V}$ છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં (જેનું મીટર બ્રિજ એક સ્વરૂપ છે), ગેલ્વેનોમીટર અને કોષ (બેટરી) એ સંયુગ્મી શાખાઓ છે.
રેસીપ્રોસિટી પ્રમેય મુજબ, બેટરી અને ગેલ્વેનોમીટરના સ્થાનોની અદલાબદલી કરવાથી બ્રિજ સંતુલનની સ્થિતિ બદલાતી નથી.
જો તે સંતુલિત હતું, તો તે સંતુલિત જ રહેશે; જો તે અસંતુલિત હતું, તો વિચલનનું મૂલ્ય અથવા દિશા બદલાઈ શકે છે, પરંતુ તે હજુ પણ સંતુલન બિંદુ દર્શાવશે.
તેથી, જોકીના સ્થાનના આધારે બંને વિચલનો અવલોકન કરી શકાય છે, અને સંતુલન બિંદુ પર શૂન્ય વિચલન હજુ પણ જોવા મળશે.
આમ, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) સાચું છે: સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં, વાહકની અંદર $E = 0$ હોય છે.
$B$ ખોટું છે: સપાટી પર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ હોય છે, તેથી તે $\sigma$ પર આધાર રાખે છે.
$C$ સાચું છે: સ્થિત પરિસ્થિતિમાં વધારાનો વિદ્યુતભાર માત્ર વાહકની સપાટી પર જ રહે છે.
$D$ સાચું છે: વાહકની સપાટી પર કોઈ સ્પર્શક બળ ન લાગે તે માટે ક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટીને લંબ હોવી જોઈએ, અન્યથા પ્રવાહ વહેવા લાગે.
$E$ ખોટું છે: વાહકની અંદર સ્થિતિમાન અચળ હોય છે, શૂન્ય નથી.
આમ, $A, C$ અને $D$ સાચા છે. વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) વિધાન $A$ સાચું છે: $p-n$ જંકશનમાં, ફોરવર્ડ બાયસ પોટેન્શિયલ બેરિયરને ઘટાડે છે, જેનાથી થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ પછી પ્રવાહમાં ઝડપથી વધારો થાય છે.
વિધાન $B$ ખોટું છે: ફોરવર્ડ બાયસમાં વહેતા પ્રવાહને ફોરવર્ડ કરંટ કહેવાય છે. 'રિવર્સ સેચ્યુરેશન કરંટ' એ ખૂબ જ નાનો અને લગભગ અચળ પ્રવાહ છે જે $p-n$ જંકશન ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય ત્યારે વહે છે.
તેથી, વિધાન $A$ સાચું છે અને વિધાન $B$ ખોટું છે.

(B) અંતર્ગોળ લેન્સ માટે, મુખ્ય અક્ષને સમાંતર ગતિ કરતું પ્રકાશનું કિરણ વક્રીભવન પછી અપસરણ પામે છે.
જ્યારે આ અપસૃત કિરણને પાછળની તરફ લંબાવવામાં આવે છે, ત્યારે તે લેન્સના પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી આવતું હોય તેવું લાગે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ન્યુક્લિયસનું દળ $M = A \times m_p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $m_p$ એ ન્યુક્લિયોનનું સરેરાશ દળ છે (આશરે $1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$).
ન્યુક્લિયસનું કુલ દળ $M = 19.926 \times 10^{-27} \text{ kg}$ આપેલ છે.
આપણે દળ ક્રમાંક $A$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકીએ:
$A = \frac{M}{m_p} = \frac{19.926 \times 10^{-27} \text{ kg}}{1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}} \approx 11.93$.
આ કિંમતને નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવતા, આપણને $A \approx 12$ મળે છે.
આમ, ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $12$ છે.

(D) ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી શંટ અવરોધ $S$ નું સૂત્ર $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$ છે。
અહીં, $I_g$ એ પૂર્ણ સ્કેલ આવર્તન માટેનો પ્રવાહ છે, $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે, અને $I$ એ એમીટર દ્વારા માપવામાં આવતો મહત્તમ પ્રવાહ છે。
આપેલ કિંમતો $I_g = 1 \text{ mA} = 10^{-3} \text{ A}$, $G = 100 \Omega$, અને $I = 10 \text{ A}$ છે。
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$S = \frac{10^{-3} \times 100}{10 - 10^{-3}}$
$S = \frac{0.1}{9.999}$
$S \approx \frac{0.1}{10} = 0.01 \Omega$.
આમ, જરૂરી શંટ અવરોધ આશરે $0.01 \Omega$ છે。

(D) ડાયોડ $D$ એ હાફ-વેવ રેક્ટિફાયર ગોઠવણીમાં છે.
ઇનપુટ વોલ્ટેજ $v_i$ ના ધન અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન, ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે અને શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે (આદર્શ ડાયોડ ધારીને), તેથી તેની આજુબાજુનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $v_D = 0$ થાય છે.
ઋણ અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન, ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે અને ઓપન સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે, જેનો અર્થ છે કે અવરોધ $R$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. પરિણામે, સંપૂર્ણ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $v_i$ ડાયોડ $D$ પર દેખાય છે, તેથી $v_D = v_i$.
તેથી, ડાયોડ $D$ પરનો વોલ્ટેજ ફક્ત ઋણ અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન જ ઇનપુટ તરંગને અનુસરે છે, જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ તરંગ સ્વરૂપને અનુરૂપ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઉત્પાદન પદ્ધતિઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. માઇક્રોવેવ ક્લાઇસ્ટ્રોન વાલ્વ અથવા મેગ્નેટ્રોન વાલ્વ જેવા ઇલેક્ટ્રોનિક ઉપકરણો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે $(A-IV)$.
$2$. દ્રશ્ય પ્રકાશ પરમાણુઓમાં ઇલેક્ટ્રોનના ઊંચા ઊર્જા સ્તરથી નીચા ઊર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે $(B-I)$.
$3$. ગેમા કિરણો એ પરમાણુ ન્યુક્લિયસના રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય દરમિયાન ઉત્પન્ન થતા ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો છે $(C-II)$.
$4$. ઇન્ફ્રારેડ કિરણો પરમાણુઓ અને અણુઓના કંપન દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે $(D-III)$.
તેથી, સાચી જોડ $A-IV, B-I, C-II, D-III$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં $10 \text{V}$ ની બેટરી સાથે ચાર સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
દરેક શાખામાં એક અવરોધ અને એક ડાયોડ છે.
$10 \text{V}$ ની બેટરીના સંદર્ભમાં ડાયોડની પોલેરિટી તપાસતા:
$1$. ઉપરની શાખા ($4 \Omega$ અવરોધ) માં ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસ સ્થિતિમાં છે.
$2$. બીજી શાખા ($3 \Omega$ અવરોધ) માં ડાયોડ રિવર્સ બાયસ સ્થિતિમાં છે (તે ખુલ્લા પરિપથ તરીકે વર્તે છે).
$3$. ત્રીજી શાખા ($2 \Omega$ અવરોધ) માં ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસ સ્થિતિમાં છે.
$4$. નીચેની શાખા ($5 \Omega$ અવરોધ) માં ડાયોડ રિવર્સ બાયસ સ્થિતિમાં છે (તે ખુલ્લા પરિપથ તરીકે વર્તે છે).
માત્ર $4 \Omega$ અને $2 \Omega$ અવરોધ વાળી શાખાઓ જ કાર્યરત છે.
આ બે અવરોધો સમાંતર હોવાથી, સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{\text{eq}} = \frac{4 \times 2}{4 + 2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \Omega$.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{10}{4/3} = \frac{30}{4} = 7.5 \text{A} = \frac{15}{2} \text{A}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ નું સૂત્ર $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi}$ છે.
આપેલ વર્ક ફંક્શન $\phi = 6.6 \text{eV} = 6.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{J}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_0 = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6.6 \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{m}$.
$\lambda_0 = \frac{3 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{m} = 1.875 \times 10^{-7} \text{m} = 187.5 \text{nm}$.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત તરંગલંબાઇ $\lambda \le \lambda_0$ હોય.
જો $\lambda > \lambda_0$ હોય, તો આપાત ફોટોનની ઉર્જા વર્ક ફંક્શન કરતા ઓછી હોય છે, અને ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થતું નથી.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા: $200 \text{nm} > 187.5 \text{nm}$, $100 \text{nm} < 187.5 \text{nm}$, $50 \text{nm} < 187.5 \text{nm}$, અને $150 \text{nm} < 187.5 \text{nm}$.
તેથી, $200 \text{nm}$ ની તરંગલંબાઇ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર ઉત્પન્ન કરશે નહીં.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય emf (electromotive force) નું સૂત્ર $\varepsilon = B l v$ છે, જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે, $l$ એ ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરતા વાહકની લંબાઈ છે, અને $v$ એ વાહકનો વેગ છે.
આપેલ કિંમતો: $B = 0.3 \text{ T}$, $l = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$ (કારણ કે વેગ ટૂંકી બાજુને લંબ છે, તેથી ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતી બાજુની લંબાઈ $3 \text{ cm}$ છે), અને $v = 2 \text{ cm s}^{-1} = 0.02 \text{ m s}^{-1}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\varepsilon = 0.3 \text{ T} \times 0.03 \text{ m} \times 0.02 \text{ m s}^{-1}$
$\varepsilon = 0.00018 \text{ V} = 1.8 \times 10^{-4} \text{ V}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમમાં, પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^\circ$ હોય છે.
જ્યારે વક્રીભૂત કિરણ પાયાને સમાંતર હોય, ત્યારે પ્રિઝમ લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં હોય છે.
આ સ્થિતિમાં, આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે, $i = 50^\circ$, તેથી $e = 50^\circ$.
વિચલનકોણ $(\delta)$ નું સૂત્ર: $\delta = i + e - A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\delta = 50^\circ + 50^\circ - 60^\circ$.
$\delta = 100^\circ - 60^\circ = 40^\circ$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે, $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \times n^2$ છે, જ્યાં $a_0 = 0.529 \text{ Å}$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે, મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $r_2 = 0.529 \times (2)^2 \text{ Å}$ મળે છે.
$r_2 = 0.529 \times 4 \text{ Å} = 2.116 \text{ Å}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}$, તેથી $r_2 = 2.116 \times 10^{-10} \text{ m}$ થાય.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, ત્રિજ્યાવર્તી અંતર આશરે $2.1 \times 10^{-10} \text{ m}$ મળે છે.

(D) તારનો કુલ અવરોધ $4 \ \Omega$ છે. તેને ચોરસમાં વાળવામાં આવતા, દરેક બાજુનો અવરોધ $4 \ \Omega / 4 = 1 \ \Omega$ થાય છે.
પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: શાખા $ABC$ અને શાખા $ADC$, જે બેટરીના ટર્મિનલ્સ $A$ અને $C$ સાથે જોડાયેલ છે.
શાખા $ABC$ માં શ્રેણીમાં બે $1 \ \Omega$ ના અવરોધો છે, તેથી તેનો કુલ અવરોધ $1 \ \Omega + 1 \ \Omega = 2 \ \Omega$ છે.
શાખા $ADC$ માં પણ શ્રેણીમાં બે $1 \ \Omega$ ના અવરોધો છે, તેથી તેનો કુલ અવરોધ $1 \ \Omega + 1 \ \Omega = 2 \ \Omega$ છે.
બિંદુઓ $B$ અને $D$ વચ્ચે $2 \ \Omega$ નો અવરોધ જોડાયેલ છે. જોકે, પરિપથની સંમિતિને કારણે, બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન બિંદુ $D$ પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ છે $(V_B = V_D)$.
$2 \ \Omega$ ના અવરોધ પર કોઈ સ્થિતિમાનનો તફાવત ન હોવાથી, તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી, સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરીમાં તેને અવગણી શકાય છે.
દરેક $2 \ \Omega$ ની બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$1/R_{eq} = 1/2 + 1/2 = 1 \ \Omega^{-1} \implies R_{eq} = 1 \ \Omega$.
$2 \ V$ ની બેટરીમાંથી લેવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I$ છે:
$I = V / R_{eq} = 2 \ V / 1 \ \Omega = 2 \ A$.

(D) ગોઠવણી $P$ માટે, બે ઇન્ડક્ટર્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. બિંદુઓ $a$ અને $b$ વચ્ચે માત્ર એક જ ઇન્ડક્ટર છે, તેથી $E_P = L \frac{dI}{dt}$ મળે છે.
ગોઠવણી $Q$ માટે, બે ઇન્ડક્ટર્સ સમાંતર જોડાયેલા છે. પ્રવાહ $I(t)$ બે શાખાઓમાં વહેંચાઈ જાય છે, તેથી દરેક ઇન્ડક્ટરમાંથી $I/2$ પ્રવાહ વહે છે. બિંદુઓ $a$ અને $b$ વચ્ચેનું પ્રેરિત emf $E_Q = L \frac{d(I/2)}{dt} = \frac{L}{2} \frac{dI}{dt}$ થાય છે.
ગુણોત્તર $E_P/E_Q = \frac{L(dI/dt)}{(L/2)(dI/dt)} = 2$ મળે છે.
તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સોલેનોઈડના એક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A$ છે, જ્યાં $A$ એ સોલેનોઈડનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ત્રિજ્યા $r$ હોવાથી, ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય.
તેથી, $\phi = (\mu_0 n I) (\pi r^2)$.
કુલ $N$ આંટા ધરાવતા સોલેનોઈડમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\Phi = N \phi$ છે.
$n = N/l$ હોવાથી, $N = nl$ થાય.
તેથી, $\Phi = (nl) (\mu_0 n I \pi r^2) = \mu_0 n^2 I \pi r^2 l$.
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ની વ્યાખ્યા $L = \Phi / I$ છે.
$\Phi$ નું સૂત્ર મૂકતા, આપણને $L = (\mu_0 n^2 I \pi r^2 l) / I = \mu_0 n^2 \pi r^2 l$ મળે છે.

(A) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાનું $Q$ મૂલ્ય એ દળ ક્ષતિ અને $1 \text{ u}$ ના ઉર્જા સમતુલ્યના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = [m(^{238}\text{U}) - (m(^{234}\text{Th}) + m(^4\text{He}))]$.
$\Delta m = 238.050 \text{ u} - (234.043 \text{ u} + 4.003 \text{ u})$.
$\Delta m = 238.050 \text{ u} - 238.046 \text{ u} = 0.004 \text{ u}$.
આપેલ છે કે $1 \text{ u} = 931.5 \text{ MeV}$, તેથી મુક્ત થતી ઉર્જા $Q = 0.004 \times 931.5 \text{ MeV}$.
$Q = 3.726 \text{ MeV}$.
કારણ કે $1 \text{ MeV} = 1000 \text{ keV}$, તેથી $Q = 3.726 \times 1000 \text{ keV} = 3726 \text{ keV}$.

(A) ફોટોકરંટ $I$ એ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. કારણ કે પ્રકાશના સ્ત્રોતની પાવર સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે, તેથી તીવ્રતા પણ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટશે. તેથી, ફોટોકરંટ $I$ સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે ઘટશે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $|V|$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુની સપાટીના વર્ક ફંક્શન પર આધાર રાખે છે, જે આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $eV = h\nu - \phi$. કારણ કે પ્રકાશના સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $\nu$ અચળ રહે છે, તેથી સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $|V|$ સમય સાથે અચળ રહેશે.
આમ, $I$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે, અને $|V|$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ આડી સીધી રેખા છે. આ પ્રથમ વિકલ્પને અનુરૂપ છે.

(D) $1$. કેપેસિટર $P$ અને $Q$ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{PQ}$ આ મુજબ આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{C_{PQ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$, તેથી $C_{PQ} = \frac{C}{2}$.
$2$. $P$ અને $Q$ ના શ્રેણી જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V$ છે. કારણ કે $P$ અને $Q$ સમાન છે, દરેક પરનો વોલ્ટેજ $\frac{V}{2}$ છે.
$3$. કેપેસિટર $P$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_P = \frac{1}{2} C (\frac{V}{2})^2 = \frac{1}{2} C \frac{V^2}{4} = \frac{CV^2}{8}$ છે.
$4$. કેપેસિટર $S$ એ $P$ અને $Q$ ના જોડાણ સાથે સમાંતર છે. $S$ પરનો વોલ્ટેજ $V$ છે. $S$ માં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_S = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
$5$. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_T = U_P + U_Q + U_S$ છે. કારણ કે $P$ અને $Q$ સમાન છે, $U_Q = U_P = \frac{CV^2}{8}$.
$6$. આમ, $U_T = \frac{CV^2}{8} + \frac{CV^2}{8} + \frac{1}{2} CV^2 = \frac{CV^2}{4} + \frac{2CV^2}{4} = \frac{3CV^2}{4}$.
$7$. ગુણોત્તર $\frac{U_P}{U_T} = \frac{CV^2/8}{3CV^2/4} = \frac{1}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{6}$ છે.

(A) ધારો કે $ABC$ વિભાગનો અવરોધ $R_1$ છે અને $ADC$ વિભાગનો અવરોધ $R_2$ છે. આપેલ છે કે $R_1 = \frac{1}{2} R_2$, અથવા $R_2 = 2R_1$.
આ વિભાગો સમાંતર હોવાથી, તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે, તેથી $I_1 R_1 = I_2 R_2$, જ્યાં $I_1$ અને $I_2$ એ અનુક્રમે $ABC$ અને $ADC$ વિભાગોમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
$R_2 = 2R_1$ મૂકતા, આપણને $I_1 R_1 = I_2 (2R_1)$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $I_1 = 2I_2$.
વળી, $I_1 + I_2 = I_0$. $I_1 = 2I_2$ મૂકતા, આપણને $3I_2 = I_0$ મળે છે, તેથી $I_2 = \frac{I_0}{3}$ અને $I_1 = \frac{2I_0}{3}$.
જો લૂપ અર્ધવર્તુળાકાર હોય, તો $\theta$ ખૂણા ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r}$ છે.
$ABC$ વિભાગ માટે (અર્ધવર્તુળ, $\theta = \pi$), $B_1 = \frac{\mu_0 I_1 \pi}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I_1}{4r} = \frac{\mu_0 (2I_0/3)}{4r} = \frac{\mu_0 I_0}{6r}$ (પાનાની અંદરની તરફ).
$ADC$ વિભાગ માટે (અર્ધવર્તુળ, $\theta = \pi$), $B_2 = \frac{\mu_0 I_2 \pi}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I_2}{4r} = \frac{\mu_0 (I_0/3)}{4r} = \frac{\mu_0 I_0}{12r}$ (પાનાની બહારની તરફ).
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = |B_1 - B_2| = |\frac{\mu_0 I_0}{6r} - \frac{\mu_0 I_0}{12r}| = \frac{\mu_0 I_0}{12r}$.

(B) $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતા બે સમાંતર તાર વચ્ચે $h$ અંતરે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi h}$ છે.
અહીં, $I_1 = I$, $I_2 = 2I$ અને અંતર $h$ છે.
તેથી, એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ $F/L = \frac{\mu_0 I (2I)}{2\pi h} = \frac{\mu_0 I^2}{\pi h}$ થાય.
પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોવાથી, આ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે, એટલે કે તાર $A$ ને તાર $B$ તરફ ઉપર ખેંચવામાં આવે છે.
તાર $A$ સપાટી પરથી ઉપર ન ઉઠે તે માટે, ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
તાર $A$ પર લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W/L = \lambda g$ છે.
તેથી, શરત $\frac{\mu_0 I^2}{\pi h} \leq \lambda g$ છે.
$h$ માટે સાદું રૂપ આપતા, $h \geq \frac{\mu_0 I^2}{\pi \lambda g}$ મળે.
આમ, $h$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય $\frac{\mu_0 I^2}{\pi \lambda g}$ છે.

(B) આપેલ પરિપથમાં, ઝેનર ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં જોડાયેલ છે.
ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_i = 5 \text{ V}$ એ ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_z = 3 \text{ V}$ કરતા વધારે હોવાથી, ઝેનર ડાયોડ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરે છે.
આ સ્થિતિમાં, ઝેનર ડાયોડના બે છેડાઓ (બિંદુ $C$ અને $B$ વચ્ચે) વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_z = 3 \text{ V}$ જેટલો અચળ રહે છે.
કુલ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_i$ એ ઝેનર ડાયોડ અને અવરોધ $R$ વચ્ચે વહેંચાય છે.
તેથી, અવરોધ $R$ ના બે છેડાઓ (બિંદુ $B$ અને $A$ વચ્ચે) વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_{BA} = V_i - V_z$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $V_{BA} = 5 \text{ V} - 3 \text{ V} = 2 \text{ V}$ મળે છે.
આમ, બિંદુઓ $B$ અને $A$ વચ્ચેના વોલ્ટેજ તફાવતનું મૂલ્ય $2 \text{ V}$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = \frac{hc}{e}(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0})$ છે, જ્યાં $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
જો $\lambda > \lambda_0$ હોય, તો ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થતું નથી, તેથી $V_s = 0$.
અહીં $\lambda_1 < \lambda$ હોવાથી, સેલ $1$ માં ઉત્સર્જન થશે નહીં, તેથી $V_1 = 0$.
$\lambda_2 > \lambda$ હોવાથી, સેલ $2$ માં ઉત્સર્જન થશે, તેથી $V_2 > 0$.
$\lambda_3 >> \lambda$ હોવાથી, સેલ $3$ માં ઉત્સર્જન થશે, તેથી $V_3 > 0$.
વધુમાં, $\lambda_3 > \lambda_2$ હોવાથી, વર્ક ફંક્શન $\Phi_3 < \Phi_2$ થાય, તેથી $V_3 > V_2$.
આમ, $V_1 = 0$ અને $V_2 < V_3$ સાચો જવાબ છે.

(C) ફોટોન માટે, ઉર્જા $E$ અને વેગમાન $p_{ph}$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = p_{ph}c$ છે, તેથી $p_{ph} = \frac{E}{c}$.
બિન-સાપેક્ષવાદી ઇલેક્ટ્રોન માટે, ગતિ ઉર્જા $E$ અને વેગમાન $p_e$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p_e^2}{2m}$ છે, તેથી $p_e = \sqrt{2mE}$.
ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોનના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_e}{p_{ph}} = \frac{\sqrt{2mE}}{E/c} = \frac{c\sqrt{2mE}}{E} = c\sqrt{\frac{2m}{E}}$ થાય.
અહીં $E = 20 \text{ eV} = 20 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-18} \text{ J}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}$, $m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$, $E = 3.2 \times 10^{-18} \text{ J}$.
$\frac{p_e}{p_{ph}} = 3 \times 10^8 \times \sqrt{\frac{2 \times 9 \times 10^{-31}}{3.2 \times 10^{-18}}} = 3 \times 10^8 \times \sqrt{\frac{18 \times 10^{-31}}{3.2 \times 10^{-18}}} = 3 \times 10^8 \times \sqrt{5.625 \times 10^{-13}} = 3 \times 10^8 \times \sqrt{56.25 \times 10^{-14}} = 3 \times 10^8 \times 7.5 \times 10^{-7} = 22.5 \times 10^1 = 225$.

(C) ઓપ્ટિકલ બેન્ચ સાથેના પ્રયોગોમાં, જેમ કે લેન્સ અથવા અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ માપવી, વસ્તુઓ, લેન્સ અને પડદાના સ્થાન બેન્ચ સાથે જોડાયેલ સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને માપવામાં આવે છે. જોકે, લેન્સના ઓપ્ટિકલ સેન્ટર અથવા અરીસાના ધ્રુવો સ્કેલના શૂન્ય માર્ક અથવા વપરાયેલ પોઇન્ટર સાથે સુસંગત હોતા નથી. વાસ્તવિક સ્થાન અને અવલોકન કરેલ સ્થાન વચ્ચેની આ વિસંગતતાને 'ઇન્ડેક્સ એરર' (index error) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સચોટ પરિણામો મેળવવા માટે, અવલોકન કરેલ રીડિંગ્સમાં 'ઇન્ડેક્સ કરેક્શન' લાગુ કરવું આવશ્યક છે. તેથી, ઓપ્ટિકલ બેન્ચનો ઉપયોગ કરીને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ માપવા માટે ઇન્ડેક્સ કરેક્શનની જરૂર પડે છે.

(D) એક વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી ધીમેથી લઈ જવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર એકમ ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર હોવાથી, $q = 1$, તેથી $W = V_B - V_A$ થાય.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ડાયઇલેક્ટ્રિક ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન:
$r \ge R$ માટે, $V(r) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}$, જ્યાં $Q = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
તેથી, $V(r) = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi\epsilon_0 r} = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r}$ થાય.
આપેલ છે કે $r_A = 2R$ અને $r_B = 3R$, તેથી:
$V_A = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 (2R)} = \frac{\rho R^2}{6\epsilon_0}$
$V_B = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 (3R)} = \frac{\rho R^2}{9\epsilon_0}$
થયેલ કાર્ય $W = |V_B - V_A| = |\frac{\rho R^2}{9\epsilon_0} - \frac{\rho R^2}{6\epsilon_0}| = |\frac{2\rho R^2 - 3\rho R^2}{18\epsilon_0}| = \frac{\rho R^2}{18\epsilon_0}$ થાય.
આને $\frac{\rho R^2}{n \epsilon_0}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = 18$ મળે છે.

(B) વસ્તુ $O$ એ માધ્યમ $Q$ (જાડાઈ $t = 5 \text{ cm}$) ના કેન્દ્રમાં છે, તેથી બંને સપાટીઓથી તેનું અંતર $d = 2.5 \text{ cm}$ છે.
જ્યારે માધ્યમ $P$ $(n_P = 1)$ માંથી જોવામાં આવે, ત્યારે આભાસી ઊંડાઈ $h_1$ એ સૂત્ર $h_{app} = d \times (n_{observer} / n_{object})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $h_1 = 2.5 \times (1 / 1.25) = 2.5 / 1.25 = 2 \text{ cm}$.
જ્યારે માધ્યમ $R$ $(n_R = 1.5)$ માંથી જોવામાં આવે, ત્યારે આભાસી ઊંડાઈ $h_2 = 2.5 \times (1.5 / 1.25) = 2.5 \times 1.2 = 3 \text{ cm}$ થાય.
તેથી, $|h_1 - h_2| = |2 - 3| = 1 \text{ cm}$ મળે.

(B) પ્રથમ લેન્સ $L_1$ (બહિર્ગોળ લેન્સ) માટે:
કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +10 \text{ cm}$, વસ્તુ અંતર $u_1 = -30 \text{ cm}$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \implies \frac{1}{v_1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
તેથી, $v_1 = +15 \text{ cm}$.
આ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ $L_2$ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 3 \text{ cm}$ છે.
$L_2$ માટે વસ્તુ અંતર $u_2 = +(15 - 3) = +12 \text{ cm}$ થશે.
બીજા લેન્સ $L_2$ (અંતર્ગોળ લેન્સ) માટે:
કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -10 \text{ cm}$, વસ્તુ અંતર $u_2 = +12 \text{ cm}$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{12} = \frac{1}{-10} \implies \frac{1}{v_2} = \frac{1}{12} - \frac{1}{10} = \frac{5-6}{60} = -\frac{1}{60}$.
તેથી, $v_2 = -60 \text{ cm}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ $L_2$ ની ડાબી બાજુએ $60 \text{ cm}$ અંતરે રચાય છે.

(A) આપેલ વોલ્ટેજ $V = V_m \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $V_m = 220 \text{ V}$ અને $\omega = 2 \times 10^3 \text{ rad/s}$ છે.
પ્રથમ, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = (2 \times 10^3) \times (10 \times 10^{-3}) = 20 \Omega$ ગણો.
ત્યારબાદ, કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(2 \times 10^3) \times (25 \times 10^{-6})} = \frac{1}{0.05} = 20 \Omega$ ગણો.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી, પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદની સ્થિતિમાં, ઈમ્પિડન્સ $Z = R = 100 \Omega$ થાય.
તેથી, પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_m = \frac{V_m}{Z} = \frac{220}{100} = 2.2 \text{ A}$ મળે.

(B) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A = B \cdot A_0 (1 + \sin t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ છે.
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} [B A_0 (1 + \sin t)] = -B A_0 \cos t$.
$R$ અવરોધ ધરાવતા લૂપમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{\varepsilon^2}{R}$ છે.
$\varepsilon$ નું સૂત્ર મૂકતા, આપણને $P = \frac{(-B A_0 \cos t)^2}{R} = \frac{B^2 A_0^2}{R} \cos^2 t$ મળે છે.
કારણ કે $\cos^2 t$ હંમેશા અ-ઋણ અને આવર્તનીય છે, પાવર $P$ એ $\cos^2 t$ ના પ્રમાણમાં હશે.
$t = 0$ સમયે, $P = \frac{B^2 A_0^2}{R}$, જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
જેમ $t$ વધે છે, $\cos^2 t$ ઘટીને $t = \frac{\pi}{2}$ પર $0$ થાય છે, અને પછી $t = \pi$ પર ફરીથી મહત્તમ મૂલ્ય સુધી વધે છે.
આ વર્તન વિકલ્પ $(2)$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) $1$. બિંદુ $A$ વાહક ગોળાના દ્રવ્યની અંદર આવેલું છે. સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિમાં, વાહકના દ્રવ્યની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે. તેથી, $E_A = 0$.
$2$. પોલાણની અંદર રહેલો વિદ્યુતભાર $Q$ પોલાણની અંદરની સપાટી પર $-Q$ વિદ્યુતભાર અને વાહક ગોળાની બહારની સપાટી પર $+Q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત કરે છે.
$3$. ગોળો અલગ કરેલો અને તટસ્થ હોવાથી, બહારની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $+Q$ છે. આ $+Q$ વિદ્યુતભાર ગોળાની બહારની સપાટી પર વિતરિત થાય છે. પોલાણ કેન્દ્રમાં ન હોવાથી, બહારની સપાટી પર વિદ્યુતભારનું વિતરણ અસમાન હોય છે.
$4$. ગોળાની બહારના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર બહારની સપાટી પરના કુલ $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે હોય છે. બહારની સપાટી ગોળાના કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં ગોળીય રીતે સંમિત ન હોવાથી, બિંદુઓ $B$ અને $C$ પર (જે કેન્દ્રથી સમાન અંતરે છે) વિદ્યુતક્ષેત્ર અલગ-અલગ હશે.
$5$. ખાસ કરીને, બિંદુ $B$ બહારની સપાટીના તે ભાગની નજીક છે જ્યાં પ્રેરિત વિદ્યુતભારની ઘનતા વધારે છે (આંતરિક વિદ્યુતભાર $Q$ ની નિકટતાને કારણે), જેના પરિણામે $C$ ની તુલનામાં $B$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર વધુ પ્રબળ હોય છે. તેથી, $E_B > E_C$.

(C) ત્રિજ્યા $R$ અને વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અવાહક ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન નીચે મુજબ છે:
$r \ge R$ માટે, $V(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r}$.
$r < R$ માટે, $V(r) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R} \left( \frac{3}{2} - \frac{r^2}{2R^2} \right)$.
સપાટી પર $(r = R)$, $V(R) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$.
પ્રારંભિક સ્થાને $(r = 3R)$, $V(3R) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{3R}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$\Delta K + \Delta U = 0 \implies \frac{1}{2}mv^2 - 0 = -q(V(R) - V(3R))$.
$\frac{1}{2}mv^2 = q(V(3R) - V(R)) = q \left( \frac{Q}{12\pi \epsilon_0 R} - \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R} \right)$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 R} \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 R} \left( -\frac{2}{3} \right)$.
વિદ્યુતભાર ઋણ હોવાથી, તે ધન ગોળા તરફ ગતિ કરે છે અને ગતિ ઉર્જા મેળવે છે. સ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|V(3R) - V(R)| = \frac{2Qq}{12\pi \epsilon_0 R} = \frac{Qq}{6\pi \epsilon_0 R}$ છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{Qq}{6\pi \epsilon_0 R} \implies v^2 = \frac{Qq}{3\pi \epsilon_0 mR} \implies v = \sqrt{\frac{Qq}{3\pi \epsilon_0 mR}}$.

(C) ગાઇગર-માર્સડેન પ્રયોગમાં, પ્રકીર્ણન કોણ $\theta$ પર પ્રકીર્ણન પામતા $\alpha$-કણોની સંખ્યા $N(\theta)$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N(\theta) \propto \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}$
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log N(\theta) \propto -4 \log(\sin(\theta/2))$
જેમ જેમ પ્રકીર્ણન કોણ $\theta$ વધે છે, તેમ $\sin(\theta/2)$ નું મૂલ્ય વધે છે, જેનો અર્થ છે કે $\sin^4(\theta/2)$ ઝડપથી વધે છે.
પરિણામે, જેમ પ્રકીર્ણન કોણ $\theta$ વધે છે તેમ પ્રકીર્ણન પામતા કણોની સંખ્યા $N(\theta)$ ખૂબ જ ઝડપથી ઘટે છે.
આ સંબંધ સેમી-લોગેરિધમિક આલેખ પર નીચે તરફ જતી વક્ર રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં y-અક્ષ લઘુગણકીય $(N(\theta))$ છે અને x-અક્ષ રેખીય $(\theta)$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, વિકલ્પ $(3)$ માં આપેલો આલેખ પ્રકીર્ણન કોણ વધવાની સાથે પ્રકીર્ણન પામતા $\alpha$-કણોની સંખ્યામાં થતો આ તીવ્ર ઘટાડો યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) સર્કિટ $(A)$ માં, બે અવરોધકો શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_A = R_0(1 - \alpha \Delta T) + R_0(1 + \alpha \Delta T) = 2R_0$.
કુલ અવરોધ $R_A$ તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોવાથી, પ્રવાહ $I_A = V / R_A = V / (2R_0)$ અચળ રહે છે.
સર્કિટ $(B)$ માં, બે અવરોધકો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1 / R_B = 1 / [R_0(1 - \alpha \Delta T)] + 1 / [R_0(1 + \alpha \Delta T)]$
$1 / R_B = [1 + \alpha \Delta T + 1 - \alpha \Delta T] / [R_0(1 - \alpha^2 \Delta T^2)] = 2 / [R_0(1 - \alpha^2 \Delta T^2)]$
$R_B = R_0(1 - \alpha^2 \Delta T^2) / 2$.
જેમ તાપમાન વધે છે, $\Delta T$ વધે છે, તેથી $\alpha^2 \Delta T^2$ વધે છે, જેનો અર્થ છે કે $(1 - \alpha^2 \Delta T^2)$ ઘટે છે. તેથી, $R_B$ ઘટે છે.
જેમ કે $I_B = V / R_B$, જેમ $R_B$ ઘટે છે, તેમ પ્રવાહ $I_B$ વધે છે.
આમ, $I_A$ અચળ રહે છે જ્યારે $I_B$ વધે છે.

(B) આપેલ છે: $\epsilon_r = 9$, $\omega = 2\pi \times 10^6 \text{ rad/s}$.
$1$. માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ: $v = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}} = \frac{3 \times 10^8}{3} = 10^8 \text{ ms}^{-1}$. વિકલ્પ $(1)$ સાચો છે.
$2$. માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ: $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{10^8}{10^6} = 100 \text{ m}$. વિકલ્પ $(2)$ માં $300 \text{ m}$ આપેલ છે, જે ખોટું છે.
$3$. ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સંબંધ: $B_0 = \frac{E_0}{v}$, તેથી $B_y = \frac{E_0}{v} \sin(kz - \omega t)$. વિકલ્પ $(3)$ તેના સ્વરૂપમાં વૈચારિક રીતે સાચો છે.
$4$. પ્રસરણની દિશા: કળા $(kz - \omega t)$ છે, જે $+z$ દિશામાં પ્રસરણ સૂચવે છે. વિકલ્પ $(4)$ સાચો છે.
આમ, ખોટો વિકલ્પ $(2)$ છે.

(D) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ, હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે, સ્થિત-વિદ્યુત બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર:
$r = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^2}{m v^2}$
આપેલ મૂલ્યો:
$v = \sqrt{25.6} \times 10^5 \text{ m s}^{-1} \implies v^2 = 25.6 \times 10^{10} \text{ m}^2 \text{ s}^{-2}$
$m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
$\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{9 \times 10^{-31} \times 25.6 \times 10^{10}}$
$r = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{9 \times 25.6 \times 10^{-21}}$
$r = \frac{2.56 \times 10^{-29}}{25.6 \times 10^{-21}} = 0.1 \times 10^{-8} \text{ m} = 1 \times 10^{-9} \text{ m}$
$x \times 10^{-9} \text{ m}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 1$ મળે છે.

(C) $1$. દરેક ડાયોડના બાયસિંગ (biasing) નું વિશ્લેષણ કરો:
- ડાયોડ $D_1$ ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ (forward-biased) છે કારણ કે તેનો p-છેડો બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે.
- ડાયોડ $D_2$ ઓપન સર્કિટમાં છે (વાયરમાં ગેપ હોવાને કારણે), તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તે અનબાયસ્ડ (unbiased) ડાયોડ તરીકે કાર્ય કરે છે.
- ડાયોડ $D_3$ રિવર્સ-બાયસ્ડ (reverse-biased) છે કારણ કે તેનો n-છેડો બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે.
$2$. બાયસ અને ડેપ્લેશન પહોળાઈ વચ્ચેનો સંબંધ:
- ફોરવર્ડ બાયસ ડેપ્લેશન પહોળાઈ ઘટાડે છે $(W_f < W_0)$।
- અનબાયસ્ડ સ્થિતિમાં પ્રમાણભૂત ડેપ્લેશન પહોળાઈ $(W_0)$ હોય છે.
- રિવર્સ બાયસ ડેપ્લેશન પહોળાઈ વધારે છે $(W_r > W_0)$।
$3$. પહોળાઈની સરખામણી કરો:
- $D_1$ (ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ) માટે: $W_1$ ન્યૂનતમ છે.
- $D_2$ (અનબાયસ્ડ) માટે: $W_2$ મધ્યવર્તી છે.
- $D_3$ (રિવર્સ-બાયસ્ડ) માટે: $W_3$ મહત્તમ છે.
તેથી, $W_3 > W_2 > W_1$।

(C) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$P$. માઇક્રોવેવ: ખોરાક ગરમ કરવા માટે વપરાય છે $(II)$.
$Q$. $UV$ કિરણો: પાણી શુદ્ધ કરવા માટે વપરાય છે $(I)$.
$R$. ગેમા કિરણો: કેન્સરના કોષોની સારવાર માટે વપરાય છે $(IV)$.
$S$. રેડિયો તરંગો: $AM$ અને $FM$ કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ માટે વપરાય છે $(III)$.
તેથી, સાચો ક્રમ $P-II, Q-I, R-IV, S-III$ છે.