Probability distribution Questions in Gujarati

(B) પ્રતિ પાના ભૂલોની સંખ્યા પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે, જ્યાં પેરામીટર $\lambda = \frac{60}{600} = 0.1$ છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} = \frac{e^{-0.1} (0.1)^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે જેમાં પાના પર વધુમાં વધુ બે ભૂલો હોય, એટલે કે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.
$P(X=0) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^0}{0!} = e^{-0.1}$.
$P(X=1) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^1}{1!} = 0.1 e^{-0.1}$.
$P(X=2) = \frac{e^{-0.1} (0.1)^2}{2!} = \frac{0.01}{2} e^{-0.1} = 0.005 e^{-0.1}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \le 2) = e^{-0.1} (1 + 0.1 + 0.005) = e^{-0.1} (1.105) = e^{-0.1} \left(\frac{1105}{1000}\right) = e^{-0.1} \left(\frac{221}{200}\right) = \frac{1}{e^{0.1}} \left(\frac{221}{200}\right)$.

(B) આપેલ છે કે, એક અઠવાડિયામાં સરેરાશ જન્મ $35$ છે.
એક અઠવાડિયામાં $7$ દિવસ હોવાથી, એક દિવસમાં સરેરાશ જન્મ $\lambda = \frac{35}{7} = 5$ થાય.
આપણે પોઈસન વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એક દિવસમાં $3$ થી ઓછા જન્મ થવાની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે $P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.
$P(X = 0) = \frac{5^0 e^{-5}}{0!} = e^{-5}$.
$P(X = 1) = \frac{5^1 e^{-5}}{1!} = 5e^{-5}$.
$P(X = 2) = \frac{5^2 e^{-5}}{2!} = \frac{25}{2}e^{-5}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X < 3) = e^{-5} + 5e^{-5} + \frac{25}{2}e^{-5} = e^{-5}(1 + 5 + 12.5) = 18.5e^{-5} = \frac{37}{2e^5}$.

(B) આપેલ સંભાવના વિધેય $P(X=r) = r/k$ છે, જ્યાં $r = 1, 2, 3, 4, 5$.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ, તેથી:
$\sum_{r=1}^{5} P(X=r) = 1 \Rightarrow \frac{1}{k} + \frac{2}{k} + \frac{3}{k} + \frac{4}{k} + \frac{5}{k} = 1$
$\frac{1+2+3+4+5}{k} = 1 \Rightarrow \frac{15}{k} = 1 \Rightarrow k = 15$.
આપણે $P(X=2 \text{ અથવા } X=k/3)$ શોધવાનું છે.
$k=15$ હોવાથી, $k/3 = 15/3 = 5$.
તેથી, $P(X=2 \text{ અથવા } X=5) = P(X=2) + P(X=5) = \frac{2}{15} + \frac{5}{15} = \frac{7}{15}$.
હવે, વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $B$: $P(X=4 \text{ અથવા } X=k/5) = P(X=4 \text{ અથવા } X=15/5) = P(X=4 \text{ અથવા } X=3) = \frac{4}{15} + \frac{3}{15} = \frac{7}{15}$.
આમ, $P(X=2 \text{ અથવા } X=k/3) = P(X=4 \text{ અથવા } X=k/5)$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે. ધારો કે $X$ એ બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો તફાવત છે. $X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5$ છે. સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $X$ | $P(X)$ | $P_i X_i$ |
|---|---|---|
| $0$ | $6/36$ | $0$ |
| $1$ | $10/36$ | $10/36$ |
| $2$ | $8/36$ | $16/36$ |
| $3$ | $6/36$ | $18/36$ |
| $4$ | $4/36$ | $16/36$ |
| $5$ | $2/36$ | $10/36$ |
મધ્યક $\mu$ એ $\sum P_i X_i$ દ્વારા મળે છે:
$\mu = 0 + \frac{10}{36} + \frac{16}{36} + \frac{18}{36} + \frac{16}{36} + \frac{10}{36}$
$\mu = \frac{10 + 16 + 18 + 16 + 10}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18}$.

(C) આપેલ છે, $n = 50$. ધારો કે $p$ એ એક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના છે. તો પોઈસન વિતરણનો પ્રાચલ $\lambda = np = 50p$ છે.
પોઈસન ચલ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $2 P(X=1) = 5 P(X=5) + 2 P(X=3)$.
સૂત્ર મૂકતા: $2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = 5 \frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!} + 2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$.
બંને બાજુ $e^{-\lambda}$ વડે ભાગતા ($e^{-\lambda} \neq 0$ હોવાથી): $2 \lambda = 5 \frac{\lambda^5}{120} + 2 \frac{\lambda^3}{6}$.
$2 \lambda = \frac{\lambda^5}{24} + \frac{\lambda^3}{3}$.
$24$ વડે ગુણતા: $48 \lambda = \lambda^5 + 8 \lambda^3$.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી, $\lambda$ વડે ભાગતા: $\lambda^4 + 8 \lambda^2 - 48 = 0$.
ધારો કે $u = \lambda^2$, તો $u^2 + 8u - 48 = 0$.
$(u + 12)(u - 4) = 0$.
તેથી, $\lambda^2 = 4$ અથવા $\lambda^2 = -12$. $\lambda^2$ ધન હોવું જોઈએ, તેથી $\lambda^2 = 4$, જે $\lambda = 2$ આપે છે.
અંતે, $p = \frac{\lambda}{n} = \frac{2}{50} = 0.04$.

(C) સૌ પ્રથમ, આપણે આપેલ વિતરણનો ઉપયોગ કરીને $E(X)$ અને $E(X^2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = \Sigma x P(X=x) = (-1)(\frac{1}{3}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{6}) + (2)(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{-2+0+1+4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$E(X^2) = \Sigma x^2 P(X=x) = (-1)^2(\frac{1}{3}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{6}) + (2)^2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{4}{3} = \frac{2+0+1+8}{6} = \frac{11}{6}$
હવે, આપણે $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{11}{6} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{11}{6} - \frac{1}{4} = \frac{22-3}{12} = \frac{19}{12}$ શોધીએ.
અંતે, આપણે $6 E(X^2) - \operatorname{Var}(X)$ ની ગણતરી કરીએ:
$6 E(X^2) - \operatorname{Var}(X) = 6(\frac{11}{6}) - \frac{19}{12} = 11 - \frac{19}{12} = \frac{132-19}{12} = \frac{113}{12}$

(A) ધારો કે $N$ એ પાસા પર આવતી સંખ્યા છે. $N$ માટે શક્ય કિંમતો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
જો $N$ બેકી હોય $(N \in \{2, 4, 6\})$, તો ચોકલેટની સંખ્યા $X = N + 2$ થાય.
$N = 2$ માટે, $X = 2 + 2 = 4$.
$N = 4$ માટે, $X = 4 + 2 = 6$.
$N = 6$ માટે, $X = 6 + 2 = 8$.
જો $N$ એકી હોય $(N \in \{1, 3, 5\})$, તો ચોકલેટની સંખ્યા $X = N + 3$ થાય.
$N = 1$ માટે, $X = 1 + 3 = 4$.
$N = 3$ માટે, $X = 3 + 3 = 6$.
$N = 5$ માટે, $X = 5 + 3 = 8$.
આમ, $X$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $\{4, 6, 8\}$ છે.
તેથી, $X$ નો વિસ્તાર $\{4, 6, 8\}$ છે.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે, ત્યારે સરવાળો $X$ એ $2$ થી $12$ સુધીની કિંમતો લઈ શકે છે. સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$X: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$
$P(X): \frac{1}{36}, \frac{2}{36}, \frac{3}{36}, \frac{4}{36}, \frac{5}{36}, \frac{6}{36}, \frac{5}{36}, \frac{4}{36}, \frac{3}{36}, \frac{2}{36}, \frac{1}{36}$
મધ્યક $\mu = E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{2(1)+3(2)+4(3)+5(4)+6(5)+7(6)+8(5)+9(4)+10(3)+11(2)+12(1)}{36} = \frac{252}{36} = 7$.
હવે, સંભાવનાઓની ગણતરી કરીએ:
$P(X < 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36}$.
$P(X > 9) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) = \frac{3+2+1}{36} = \frac{6}{36}$.
$P(X = 7) = \frac{6}{36}$.
આ કિંમતોને પદાવલિ $\mu + P(X < 5) + P(X > 9) + P(X = 7)$ માં મૂકતા:
$= 7 + \frac{6}{36} + \frac{6}{36} + \frac{6}{36} = 7 + \frac{18}{36} = 7 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$.

(B) પોઈસન વિતરણ માટે, સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=2) = P(X=3)$, તેથી:
$\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}$
$\frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$
કારણ કે $\lambda > 0$, આપણે $\lambda^2$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{6} \Rightarrow \lambda = 3$.
હવે, આપણે $P(X=5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} = \frac{243 e^{-3}}{120} = \frac{81 e^{-3}}{40} = \frac{81}{40 e^3}$.
આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $2 P(X=1) = 3 P(X=2) = P(X=3) = 5 P(X=4) = k$.
તેથી $P(X=1) = \frac{k}{2}, P(X=2) = \frac{k}{3}, P(X=3) = k, P(X=4) = \frac{k}{5}$.
કારણ કે $\sum P(X) = 1$, તેથી $\frac{k}{2} + \frac{k}{3} + k + \frac{k}{5} = 1$.
$\Rightarrow k(\frac{15+10+30+6}{30}) = 1 \Rightarrow k(\frac{61}{30}) = 1 \Rightarrow k = \frac{30}{61}$.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x)$	$\frac{15}{61}$	$\frac{10}{61}$	$\frac{30}{61}$	$\frac{6}{61}$

મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x P(x) = 1(\frac{15}{61}) + 2(\frac{10}{61}) + 3(\frac{30}{61}) + 4(\frac{6}{61}) = \frac{15+20+90+24}{61} = \frac{149}{61}$.
$E(X^2) = \sum x^2 P(x) = 1^2(\frac{15}{61}) + 2^2(\frac{10}{61}) + 3^2(\frac{30}{61}) + 4^2(\frac{6}{61}) = \frac{15+40+270+96}{61} = \frac{421}{61}$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$.
આપણે $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2 + \mu^2 = E(X^2)$ મેળવવાનું છે.
તેથી, $\sigma^2 + \mu^2 = \frac{421}{61}$.

(A) પોઈસન વિતરણ માટે, સંભાવના દળ વિધેય $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ વિતરણનો પ્રાચલ છે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = 3P(X=2)$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 3 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda = 3 \times \frac{\lambda^2}{2}$
કારણ કે $\lambda \neq 0$, આપણે $\lambda$ વડે ભાગાકાર કરીએ:
$1 = \frac{3\lambda}{2} \implies \lambda = \frac{2}{3}$.
હવે, આપણે $P(X=3)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=3) = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} = \frac{(\frac{2}{3})^3 e^{-\frac{2}{3}}}{6}$
$P(X=3) = \frac{\frac{8}{27} e^{-\frac{2}{3}}}{6} = \frac{8}{27 \times 6} e^{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{81} e^{-\frac{2}{3}}$.

(C) સંભાવના વિતરણ માટે, તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\sum P(X=x) = a + a + a + b + b + 0.3 = 1$
$3a + 2b + 0.3 = 1$
$3a + 2b = 0.7$ --- $(i)$
યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 4.2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$1(a) + 2(a) + 3(a) + 4(b) + 5(b) + 6(0.3) = 4.2$
$a + 2a + 3a + 4b + 5b + 1.8 = 4.2$
$6a + 9b = 4.2 - 1.8$
$6a + 9b = 2.4$
$3$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$2a + 3b = 0.8$ --- $(ii)$
હવે, સુરેખ સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ની સિસ્ટમને ઉકેલો:
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$9a + 6b = 2.1$ --- $(iii)$
$4a + 6b = 1.6$ --- $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$5a = 0.5 \Rightarrow a = 0.1$
$a = 0.1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(0.1) + 2b = 0.7$
$0.3 + 2b = 0.7$
$2b = 0.4 \Rightarrow b = 0.2$
આમ, $a = 0.1$ અને $b = 0.2$ થાય.

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ નું વિચરણ શોધવા માટે, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
સૌ પ્રથમ, આપણે મધ્યક $E(X) = \sum P_i X_i$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$E(X) = (0 \times 0.1) + (1 \times 0.4) + (2 \times 0.3) + (3 \times 0.2) + (4 \times 0) = 0 + 0.4 + 0.6 + 0.6 + 0 = 1.6$.
ત્યારબાદ, આપણે $E(X^2) = \sum P_i X_i^2$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$E(X^2) = (0^2 \times 0.1) + (1^2 \times 0.4) + (2^2 \times 0.3) + (3^2 \times 0.2) + (4^2 \times 0) = 0 + 0.4 + 1.2 + 1.8 + 0 = 3.4$.
હવે, વિચરણની ગણતરી કરીએ:
$\text{Var}(X) = 3.4 - (1.6)^2 = 3.4 - 2.56 = 0.84$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે, બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\Sigma P(X=x) = K + 2K + 3K + 2K + K = 9K = 1$
$\therefore K = \frac{1}{9}$
મધ્યક $E(X) = \Sigma x_i P(x_i) = (1 \times K) + (2 \times 2K) + (3 \times 3K) + (4 \times 2K) + (5 \times K)$
$= K + 4K + 9K + 8K + 5K = 27K = 27 \times \frac{1}{9} = 3$
$E(X^2) = \Sigma x_i^2 P(x_i) = (1^2 \times K) + (2^2 \times 2K) + (3^2 \times 3K) + (4^2 \times 2K) + (5^2 \times K)$
$= K + 8K + 27K + 32K + 25K = 93K = 93 \times \frac{1}{9} = \frac{93}{9} = \frac{31}{3}$
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \frac{31}{3} - (3)^2 = \frac{31}{3} - 9 = \frac{31 - 27}{3} = \frac{4}{3}$

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $\lambda$ પ્રાચલ ધરાવતો પોઈસન ચલ છે, તેથી સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = P(X=1) = P(X=2)$:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}$
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2} \Rightarrow \lambda = 2$ (કારણ કે $\lambda > 0$).
હવે, $\alpha$ ની કિંમત શોધીએ:
$\alpha = P(X=1) = \frac{e^{-2} \times 2^1}{1!} = 2e^{-2}$.
આપણે $P(X=4)$ શોધવાનું છે:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-2} \times 2^4}{24} = \frac{16 e^{-2}}{24} = \frac{2}{3} e^{-2}$.
કારણ કે $\alpha = 2e^{-2}$, તેથી $e^{-2} = \frac{\alpha}{2}$ થાય.
આ કિંમત $P(X=4)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P(X=4) = \frac{2}{3} \times \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{3}$.

(C) ધારો કે $\lambda$ એ પોઈસન ચલ $X$ નો મધ્યક છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ છે, જ્યાં $r = 0, 1, 2, \dots$.
આપેલ છે કે $P(X=1) = P(X=2)$, તેથી:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$
$\lambda > 0$ હોવાથી, $\lambda$ વડે ભાગતા $1 = \frac{\lambda}{2}$ મળે, એટલે કે $\lambda = 2$.
હવે, $P(X=5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=5) = \frac{2^5 e^{-2}}{5!} = \frac{32 e^{-2}}{120}$.
અપૂર્ણાંક $\frac{32}{120}$ ને $8$ વડે ભાગતા $\frac{4}{15}$ મળે છે.
આમ, $P(X=5) = \frac{4}{15} e^{-2}$.

(C) પોઈસન વિતરણ માટે, સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ પ્રાચલ (મધ્યક અને વિચરણ) છે.
આપેલ છે કે $P(X=0) = 0.8$.
સૂત્રમાં $x=0$ મૂકતા:
$P(X=0) = \frac{e^{-m} m^0}{0!} = e^{-m} = 0.8$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-m = \ln(0.8) = \ln(\frac{8}{10}) = \ln(\frac{4}{5})$.
તેથી, $m = -\ln(\frac{4}{5}) = \ln((\frac{4}{5})^{-1}) = \ln(\frac{5}{4}) = \ln(1.25)$.
પોઈસન વિતરણનું વિચરણ તેના પ્રાચલ $m$ જેટલું હોવાથી, વિચરણ $\ln(1.25)$ અથવા $\log _e 1.25$ થાય.

(D) સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા $1$ હોય છે.
આપેલ છે કે $P(X=0) = 0.4$.
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$ હોવાથી, $0.4 + P(X=1) + P(X=2) = 1$ મળે.
$P(X=1) + P(X=2) = 0.6$.
આપેલ છે કે $P(X=1) = P(X=2)$, ધારો કે $P(X=1) = P(X=2) = p$.
તેથી $p + p = 0.6 \Rightarrow 2p = 0.6 \Rightarrow p = 0.3$.
આમ, $P(X=1) = 0.3$ અને $P(X=2) = 0.3$.
મધ્યક $E(X)$ એ $\sum x_i P(x_i)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = (0 \times P(X=0)) + (1 \times P(X=1)) + (2 \times P(X=2))$.
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.3)$.
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.6 = 0.9$.

(C) આપેલ છે કે પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $\lambda = \frac{1}{2}$ છે.
પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=n) = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{P(X=3)}{P(X=2)}$ શોધવાનો છે.
$P(X=3) = \frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}$ અને $P(X=2) = \frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{\frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}}{\frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}}$
$= \frac{(\frac{1}{2})^3}{3!} \times \frac{2!}{(\frac{1}{2})^2}$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2!}{3!}$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.
આમ, ગુણોત્તર $1:6$ છે.

(C) જ્યારે પાસાને $12$ વખત ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^{12}$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $6$ બાજુઓમાંથી દરેક બરાબર $2$ વાર આવે.
આ મલ્ટિનોમિયલ વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં આપણે $12$ પરિણામોને $6$ જૂથોમાં વહેંચીએ છીએ, જેમાં દરેક જૂથનું કદ $2$ છે.
દરેક બાજુ બે વાર આવે તે રીતે $12$ પરિણામોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{12!}{2! 2! 2! 2! 2! 2!} = \frac{12!}{(2!)^6} = \frac{12!}{2^6}$.
તેથી, જરૂરી સંભાવના:
$P = \frac{12!}{2^6 \times 6^{12}}$.

(B) ધારો કે $q = 1-p$ એ કાંટો (tail) મળવાની સંભાવના છે. પ્રથમ છાપ બેકી સંખ્યાના ઉછાળ પર મળે તેનો અર્થ એ છે કે પરિણામોનો ક્રમ $(T, H), (T, T, T, H), (T, T, T, T, T, H), \dots$ છે.
આ ઘટનાની સંભાવના $P = qp + q^3p + q^5p + \dots$ છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2$ છે.
$0 < p < 1$ હોવાથી, $0 < q < 1$ થાય, તેથી $|q^2| < 1$.
શ્રેણીનો સરવાળો $P = \frac{a}{1-r} = \frac{qp}{1-q^2}$ છે.
આપેલ છે કે $P = \frac{2}{5}$, તેથી $\frac{qp}{1-q^2} = \frac{2}{5}$.
$q = 1-p$ મૂકતા, આપણને મળે $\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^2} = \frac{2}{5}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $1 - (1 - 2p + p^2) = 2p - p^2 = p(2-p)$.
તેથી, $\frac{p(1-p)}{p(2-p)} = \frac{2}{5}$.
$p$ ને દૂર કરતા ($p \neq 0$ હોવાથી), આપણને મળે $\frac{1-p}{2-p} = \frac{2}{5}$.
ક્રોસ ગુણાકાર કરતા: $5(1-p) = 2(2-p) \Rightarrow 5 - 5p = 4 - 2p$.
$1 = 3p \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{263}{15}$.
સરવાળો ગણતા: $E(X) = (4k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{30}{7}k \cdot \frac{1}{15}) + (\frac{32}{7}k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{34}{7}k \cdot \frac{1}{5}) + (\frac{36}{7}k \cdot \frac{1}{15}) + (\frac{38}{7}k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{40}{7}k \cdot \frac{1}{5}) + (6k \cdot \frac{1}{15})$.
$E(X) = \frac{k}{105} [ 56 + 30 + 64 + 102 + 36 + 76 + 120 + 42 ] = \frac{526k}{105} = \frac{263}{15}$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k = \frac{263}{15} \cdot \frac{105}{526} = \frac{7}{2}$.
$k = \frac{7}{2}$ ને $X$ ની કિંમતોમાં મૂકતા: $X$ ની કિંમતો ${14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}$ મળે છે.
આપણે $P(X < 20) = P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) + P(X=17) + P(X=18) + P(X=19)$ શોધવાનું છે.
$P(X < 20) = \frac{2}{15} + \frac{1}{15} + \frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15} + \frac{2}{15} = \frac{11}{15}$.

(C) સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\frac{2a + 1}{30} + \frac{8a - 1}{30} + \frac{4a + 1}{30} + b = 1$
$\frac{14a + 1}{30} + b = 1 \Rightarrow 14a + 30b = 29 \dots (1)$
આપણને $\sigma^{2} + \mu^{2} = 2$ આપેલ છે. $\sigma^{2} = E[X^{2}] - \mu^{2}$ હોવાથી, $E[X^{2}] = 2$ મળે.
$E[X^{2}] = \sum x_{i}^{2} p(x_{i}) = 0^{2} \cdot \frac{2a+1}{30} + 1^{2} \cdot \frac{8a-1}{30} + 2^{2} \cdot \frac{4a+1}{30} + 3^{2} \cdot b = 2$
$\frac{8a - 1 + 16a + 4}{30} + 9b = 2$
$\frac{24a + 3}{30} + 9b = 2$ $\Rightarrow 24a + 3 + 270b = 60$ $\Rightarrow 24a + 270b = 57$
$3$ વડે ભાગતા: $8a + 90b = 19 \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી, $30b = 29 - 14a$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$8a + 3(29 - 14a) = 19$
$8a + 87 - 42a = 19$
$-34a = -68 \Rightarrow a = 2$
$a = 2$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $14(2) + 30b = 29$ $\Rightarrow 28 + 30b = 29$ $\Rightarrow 30b = 1$ $\Rightarrow b = \frac{1}{30}$
તેથી, $\frac{a}{b} = \frac{2}{1/30} = 60$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે, તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(x_i) = 0 + 2k + k + 3k + 2k^2 + 2k + (k^2 + k) + 7k^2 = 1$
પદોને ભેગા કરતા: $10k^2 + 9k = 1$
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $10k^2 + 9k - 1 = 0$
અવયવ પાડતા: $(10k - 1)(k + 1) = 0$
સંભાવના ઋણ ન હોઈ શકે તેથી $k$ ધન હોવો જોઈએ, તેથી $k = \frac{1}{10} = 0.1$.
આપણે $P(3 < x \leq 6) = P(x=4) + P(x=5) + P(x=6)$ શોધવાનું છે.
$P(3 < x \leq 6) = 2k^2 + 2k + (k^2 + k) = 3k^2 + 3k$.
$k = 0.1$ મૂકતા:
$P(3 < x \leq 6) = 3(0.1)^2 + 3(0.1) = 3(0.01) + 0.3 = 0.03 + 0.3 = 0.33$.

(D) પગલું $1$: ઘટનાઓ $E$ અને $F$ માટે પરિણામો ઓળખો.
$E = \{ X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે} \} = \{2, 3, 5\}$।
$F = \{ X < 4 \} = \{1, 2, 3\}$।
પગલું $2$: યોગગણ $E \cup F$ ઓળખો.
$E \cup F = \{1, 2, 3, 5\}$।
પગલું $3$: સંભાવના $P(E \cup F)$ ની ગણતરી કરો.
$P(E \cup F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5)$।
$P(E \cup F) = 0.15 + 0.20 + 0.25 + 0.10 = 0.70$।

(D) પગલું $1$: મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times 0.3) + (1 \times 0.4) + (2 \times 0.3) = 0 + 0.4 + 0.6 = 1.0$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times 0.3) + (1^2 \times 0.4) + (2^2 \times 0.3) = 0 + 0.4 + 1.2 = 1.6$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1.6 - (1.0)^2 = 1.6 - 1.0 = 0.6$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.6} \approx 0.77$ ની ગણતરી કરો. નજીકનો વિકલ્પ $0.7$ હોવાથી, આપણે $D$ પસંદ કરીએ છીએ.

(A) સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x)$ ને $F(x_i) = \sum_{j=1}^{i} P(X = x_j)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$x=1$ માટે: $F(1) = P(X=1) = 1/10$.
$x=2$ માટે: $F(2) = P(X=1) + P(X=2) = 1/10 + 2/10 = 3/10$.
$x=3$ માટે: $F(3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 3/10 + 3/10 = 6/10$.
$x=4$ માટે: $F(4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 6/10 + 4/10 = 10/10 = 1$.
આમ, સાચું વિતરણ વિકલ્પ $A$ માં આપેલ છે.

(C) પગલું $1$: ઘટના $E = \{ X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે} \}$ માટે નિદર્શાવકાશ નક્કી કરો. $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2$ અને $3$ છે. તેથી, $E = \{2, 3\}$.
પગલું $2$: ઘટના $F = \{ X < 4 \}$ માટે નિદર્શાવકાશ નક્કી કરો. $4$ થી નાની સંખ્યાઓ $1, 2, 3$ છે. તેથી, $F = \{1, 2, 3\}$.
પગલું $3$: છેદગણ $E \cap F$ શોધો. સામાન્ય ઘટકો $\{2, 3\}$ છે.
પગલું $4$: $P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.2 + 0.3 = 0.5$ ની ગણતરી કરો.

(A) પગલું $1$: બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ. તેથી, $\sum P(x) = k(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = 1$ છે.
પગલું $2$: સરવાળાની ગણતરી કરો: $k(1 + 4 + 9 + 16) = 30k = 1$, તેથી $k = \frac{1}{30}$ છે.
પગલું $3$: મધ્યક $E(X) = \sum x \cdot P(x) = \sum x \cdot kx^2 = k \sum x^3$ છે.
પગલું $4$: $\sum x^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $5$: $E(X) = \frac{1}{30} \cdot 100 = \frac{10}{3} \approx 3.33$ છે.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 8 + N$ છે.
કાઢવામાં આવેલા દડાની સંખ્યા $= 2$ છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$ એ લીલા દડાની સંખ્યા દર્શાવે છે, તેથી $X \in \{0, 1, 2\}$ છે.
સંભાવના વિતરણ હાઇપરજિયોમેટ્રિક વિતરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P(X=k) = \frac{\binom{N}{k} \binom{8}{2-k}}{\binom{N+8}{2}}$.
$N+8$ ની વસ્તીમાંથી $n=2$ ના નમૂના માટે, જેમાં $N$ લીલા દડા છે, અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = n \cdot \frac{N}{N+8}$ છે.
આપેલ છે કે $E(X) = 1.2$, તેથી $2 \cdot \frac{N}{N+8} = 1.2$ છે.
$\frac{N}{N+8} = 0.6$ છે.
$N = 0.6(N+8) \implies N = 0.6N + 4.8$ છે.
$0.4N = 4.8 \implies N = \frac{4.8}{0.4} = 12$ છે.

(D) ધારો કે $P(X = 1) = a, P(X = 2) = b, P(X = 3) = c, P(X = 4) = d$ છે. આપેલ છે કે $2a = 3b = c = 5d = k$.
તેથી $a = k/2, b = k/3, c = k, d = k/5$ મળે.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી, $a + b + c + d = 1$ થાય.
કિંમતો મુકતા: $k/2 + k/3 + k + k/5 = 1$.
$2, 3, 1, 5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $30$ છે: $(15k + 10k + 30k + 6k) / 30 = 1$.
$61k / 30 = 1$, તેથી $k = 30/61$ મળે.
$P(X = 4) = d = k/5$ હોવાથી, $P(X = 4) = (30/61) / 5 = 6/61$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $F(x)$ એ $X$ નું c.d.f. છે, તેથી $F(x) = P(X \le x)$ થાય.
આપણને $F(b) = P(X \le b) = 0.7$ આપેલ છે.
આપણને $P(X > a) = 0.4$ આપેલ છે. કારણ કે $P(X \le a) + P(X > a) = 1$ થાય, તેથી $P(X \le a) = 1 - 0.4 = 0.6$ થાય.
આપણે $P(a < X < b)$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $X$ એ સતત યાદચ્છિક ચલ છે, $P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a) = P(X \le b) - P(X \le a)$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, $P(a < X < b) = 0.7 - 0.6 = 0.1$ મળે.

(B) સંભાવના ઘનતા વિધેય માટે, વક્રની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1$ હોવું જોઈએ, તેથી $\int_{-1}^{4} f(x) \, dx = 1$ થાય.
$\int_{-1}^{4} k(9 + 8x - x^2) \, dx = 1$.
$k \left[ 9x + 4x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{4} = 1$.
$k \left[ (9(4) + 4(4^2) - \frac{4^3}{3}) - (9(-1) + 4(-1)^2 - \frac{(-1)^3}{3}) \right] = 1$.
$k \left[ (36 + 64 - \frac{64}{3}) - (-9 + 4 + \frac{1}{3}) \right] = 1$.
$k \left[ (100 - \frac{64}{3}) - (-5 + \frac{1}{3}) \right] = 1$.
$k \left[ \frac{300 - 64}{3} - \frac{-15 + 1}{3} \right] = 1$.
$k \left[ \frac{236}{3} + \frac{14}{3} \right] = 1$.
$k \left[ \frac{250}{3} \right] = 1$.
$k = \frac{3}{250}$.

(A) ધારો કે $X$ એ જીતની રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. દરેક અંક $k$ આવવાની સંભાવના $P(k) = 1/6$ છે, જ્યાં $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
અંક $k$ માટે જીતની રકમ $W(k) = \frac{36}{k} - 2k$ છે.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E[X] = \sum_{k=1}^{6} W(k) \cdot P(k)$ દ્વારા મળે છે.
$E[X] = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{6} (\frac{36}{k} - 2k) = \frac{1}{6} [(\frac{36}{1} - 2) + (\frac{36}{2} - 4) + (\frac{36}{3} - 6) + (\frac{36}{4} - 8) + (\frac{36}{5} - 10) + (\frac{36}{6} - 12)]$.
$E[X] = \frac{1}{6} [34 + 14 + 6 + 1 + (7.2 - 10) + (6 - 12)]$.
$E[X] = \frac{1}{6} [55 - 2.8 - 6] = \frac{1}{6} [46.2] = 7.7$।

(D) સંભાવના $P(X < k)$ એ $\int_{0}^{k} f(x) \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(X < a/2) = \int_{0}^{a/2} \frac{1}{2a} \, dx = \left[ \frac{x}{2a} \right]_{0}^{a/2} = \frac{a/2}{2a} = \frac{1}{4}$ માટે.
$P(X > 3a/2) = \int_{3a/2}^{2a} \frac{1}{2a} \, dx = \left[ \frac{x}{2a} \right]_{3a/2}^{2a} = \frac{2a - 3a/2}{2a} = \frac{a/2}{2a} = \frac{1}{4}$ માટે.
બંને સંભાવનાઓ $\frac{1}{4}$ જેટલી હોવાથી, $P(X < a/2) = P(X > 3a/2)$ થાય છે.

(A) $5$ માંથી $2$ કાર્ડ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{5}{2} = 10$ છે.
શક્ય જોડીઓ અને તેમના સરવાળા:
$(1,1) \rightarrow 2, (1,2) \rightarrow 3, (1,2) \rightarrow 3, (1,3) \rightarrow 4, (1,2) \rightarrow 3, (1,2) \rightarrow 3, (1,3) \rightarrow 4, (2,2) \rightarrow 4, (2,3) \rightarrow 5, (2,3) \rightarrow 5$।
બધા શક્ય સરવાળાનો કુલ સરવાળો $= 2+3+3+4+3+3+4+4+5+5 = 36$ છે.
અપેક્ષિત કિંમત $E[X] = \frac{\text{સરવાળાનો કુલ સરવાળો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{36}{10} = 3.6$।
નોંધ: $3.6$ વિકલ્પોમાં ન હોવાથી, પ્રશ્ન ક્ષતિપૂર્ણ છે.

(C) પગલું $1$: p.d.f. ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો કે $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ છે.
પગલું $2$: સંકલનની ગણતરી કરો: $\int_{0}^{1} kx dx + \int_{1}^{2} k dx + \int_{2}^{3} (-kx + 3k) dx = 1$.
પગલું $3$: સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $[k \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} + [kx]_{1}^{2} + [-k \frac{x^2}{2} + 3kx]_{2}^{3} = 1$.
પગલું $4$: $\frac{k}{2} + k + [(- \frac{9k}{2} + 9k) - (- \frac{4k}{2} + 6k)] = 1$.
પગલું $5$: $\frac{k}{2} + k + [\frac{9k}{2} - 4k] = 1 \implies \frac{k}{2} + k + \frac{k}{2} = 1 \implies 2k = 1 \implies k = 1/2$.
પગલું $6$: $P(2 < X \leq 3) = \int_{2}^{3} (-kx + 3k) dx = [-\frac{kx^2}{2} + 3kx]_{2}^{3}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $7$: $k = 1/2$ મૂકતા: $[-\frac{x^2}{4} + \frac{3x}{2}]_{2}^{3} = (-\frac{9}{4} + \frac{9}{2}) - (-1 + 3) = \frac{9}{4} - 2 = 1/4$.

(B) પગલું $1$: અપેક્ષિત કિંમત $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X) = (1 \times 1/5) + (2 \times 2/5) + (3 \times 2/5) = 1/5 + 4/5 + 6/5 = 11/5$.
પગલું $2$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X^2) = (1^2 \times 1/5) + (2^2 \times 2/5) + (3^2 \times 2/5) = 1/5 + 8/5 + 18/5 = 27/5$.
પગલું $3$: વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ની ગણતરી કરો.
$Var(X) = 27/5 - (11/5)^2 = 27/5 - 121/25 = (135 - 121) / 25 = 14/25$.
આમ, કિંમતો $11/5$ અને $14/25$ છે.

(A) કુલ બેટરી $= 8$, ખામીયુક્ત $= 3$, સારી $= 5$। બે બેટરી પસંદ કરવામાં આવે છે. $X$ ની કિંમત $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
$2$ બેટરી પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$।
$X = 0$ (કોઈ ખામીયુક્ત નહીં) માટે: $P(X=0) = \frac{^3C_0 \times ^5C_2}{28} = \frac{1 \times 10}{28} = \frac{10}{28}$।
$X = 1$ (એક ખામીયુક્ત) માટે: $P(X=1) = \frac{^3C_1 \times ^5C_1}{28} = \frac{3 \times 5}{28} = \frac{15}{28}$।
$X = 2$ (બે ખામીયુક્ત) માટે: $P(X=2) = \frac{^3C_2 \times ^5C_0}{28} = \frac{3 \times 1}{28} = \frac{3}{28}$।
આમ, સંભાવના વિતરણ વિકલ્પ $A$ માં આપેલ છે.

(D) કોઈપણ વિધેય સંભાવના ઘનતા વિધેય હોવા માટે, તેના સમગ્ર પ્રદેશ પર સંકલનનું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
$\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$
$\int_{0}^{1} kx^2(1 - x) dx = 1$
$k \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) dx = 1$
$k [\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = 1$
$k (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1$
$k (\frac{4 - 3}{12}) = 1$
$k (\frac{1}{12}) = 1$
$k = 12$

(A) ધારો કે $X$ એ જીતેલી રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
$1$. બે છાપ $(HH)$ માટે, $X = 5$, $P(X=5) = 1/4$ છે.
$2$. એક છાપ $(HT, TH)$ માટે, $X = 3$, $P(X=3) = 2/4 = 1/2$ છે.
$3$. એક પણ છાપ ન આવે $(TT)$ માટે, $X = 2$, $P(X=2) = 1/4$ છે.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i p_i = 5(1/4) + 3(1/2) + 2(1/4) = 1.25 + 1.5 + 0.5 = 3.25$ છે.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 5^2(1/4) + 3^2(1/2) + 2^2(1/4) = 25/4 + 9/2 + 4/4 = 6.25 + 4.5 + 1 = 11.75$ છે.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 11.75 - (3.25)^2 = 11.75 - 10.5625 = 1.1875$ છે.

(B) ધારો કે $P(X=0) = p_0, P(X=1) = p_1, P(X=2) = p_2, P(X=3) = p_3$ છે.
આપેલ છે કે $p_2 = 0.3$ અને $p_3 = 2p_1$ છે.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $p_0 + p_1 + p_2 + p_3 = 1$ થાય છે.
$p_0 + p_1 + 0.3 + 2p_1 = 1 \implies p_0 + 3p_1 = 0.7 \implies p_0 = 0.7 - 3p_1$ છે.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i p_i = 0(p_0) + 1(p_1) + 2(p_2) + 3(p_3) = 1.3$ છે.
$p_1 + 2(0.3) + 3(2p_1) = 1.3$ છે.
$p_1 + 0.6 + 6p_1 = 1.3$ છે.
$7p_1 = 0.7 \implies p_1 = 0.1$ છે.
$p_1$ ની કિંમત $p_0 = 0.7 - 3p_1$ માં મૂકતા:
$p_0 = 0.7 - 3(0.1) = 0.7 - 0.3 = 0.4$ છે.

(D) પગલું $1$: ઘટનાઓ $E$ અને $F$ માટે પરિણામો ઓળખો.
$E = \{X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\} = \{2, 3, 5\}$।
$F = \{X < 4\} = \{1, 2, 3\}$।
પગલું $2$: યોગગણ $E \cup F$ શોધો.
$E \cup F = \{1, 2, 3, 5\}$।
પગલું $3$: આ પરિણામોની સંભાવનાઓનો સરવાળો કરીને $P(E \cup F)$ ની ગણતરી કરો.
$P(E \cup F) = P(1) + P(2) + P(3) + P(5)$।
$P(E \cup F) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 = 0.8$।
વિકલ્પોમાં $0.8$ ન હોવાથી, પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના સંદર્ભમાં નજીકનો વિકલ્પ $0.75$ $(D)$ છે.