Line and Plane Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $A(1, 2, 0)$ અને $B(2, 1, 1)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $x+y+z=3$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (\hat{i}+2\hat{j}) + \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1+\lambda, 2+\lambda, \lambda)$ છે. આ બિંદુ સમતલ $x+y+z=3$ પર હોવાથી, $(1+\lambda) + (2+\lambda) + \lambda = 3$, જે $3\lambda + 3 = 3$ આપે છે, તેથી $\lambda = 0$. આમ, $P = (1, 2, 0)$.
$B$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \mu(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2+\mu, 1+\mu, 1+\mu)$ છે. આ બિંદુ સમતલ $x+y+z=3$ પર હોવાથી, $(2+\mu) + (1+\mu) + (1+\mu) = 3$, જે $3\mu + 4 = 3$ આપે છે, તેથી $\mu = -\frac{1}{3}$.
આમ, $Q = (2-\frac{1}{3}, 1-\frac{1}{3}, 1-\frac{1}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(\frac{5}{3}-1)^2 + (\frac{2}{3}-2)^2 + (\frac{2}{3}-0)^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \frac{\sqrt{24}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(C) બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
આ બે સમતલોની છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v}_1$ એ $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v}_1 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & 3 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10 + 9) - \hat{j}(-10 + 9) + \hat{k}(6 - 6) = -\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$.
આપેલી રેખા $r = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} + t(5\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k})$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}_2 = 5\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1| |\vec{v}_2|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (-1)(5) + (1)(5) + (0)(-7) = -5 + 5 + 0 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી, ખૂણો $\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(A) બિંદુ $A(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખા $L$ નું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (1+2\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} + (-3+2\lambda)\hat{k}$ છે.
સમતલ $\pi$ એ બિંદુઓ $P_1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ અને $P_2(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{v}=\hat{i}-2\hat{j}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (P_2 - P_1) \times \vec{v} = (0\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}) \times (1\hat{i}-2\hat{j}+0\hat{k}) = -4\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આપણે સરળ અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $2(x-1) + 1(y-1) - 1(z-1) = 0 \Rightarrow 2x + y - z = 2$ છે.
રેખા $L$ ના યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(1+2\lambda) + (2+\lambda) - (-3+2\lambda) = 2$
$2 + 4\lambda + 2 + \lambda + 3 - 2\lambda = 2$
$3\lambda + 7 = 2 \Rightarrow 3\lambda = -5 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{3}$.
$\lambda = -\frac{5}{3}$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 1 + 2(-\frac{5}{3}) = -\frac{7}{3}$, $y = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$, $z = -3 + 2(-\frac{5}{3}) = -\frac{19}{3}$.
આમ, છેદબિંદુ $\frac{1}{3}(-7\hat{i} + \hat{j} - 19\hat{k})$ છે.

(D) આપેલ બિંદુઓ $A(1,0,0)$ અને $B(0,0,1)$ છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તરો $(0-1, 0-0, 1-0)$ એટલે કે $(-1, 0, 1)$ છે.
આ રેખા સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ હોવાથી, સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = -\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલ $\pi$ બિંદુ $A(1,0,0)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી તેનું સમીકરણ $-1(x-1) + 0(y-0) + 1(z-0) = 0$ થાય, જેનું સાદું રૂપ $-x + 1 + z = 0$ અથવા $-x + z + 1 = 0$ છે.
બીજું સમતલ $x + y + z = 6$ છે, તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1)(1) + (0)(1) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી, $\cos \theta = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) બિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરતા બિંદુ $R$ ના યામ નીચે મુજબ છે: $\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n}\right)$.
અહીં $P(2, 4, 1)$, $Q(3, 8, 1)$, $m=4$, અને $n=5$ આપેલ છે, તેથી બિંદુ $R$:
$R = \left(\frac{4(3) - 5(2)}{4 - 5}, \frac{4(8) - 5(4)}{4 - 5}, \frac{4(1) - 5(1)}{4 - 5}\right)$
$R = \left(\frac{12 - 10}{-1}, \frac{32 - 20}{-1}, \frac{4 - 5}{-1}\right)$
$R = \left(\frac{2}{-1}, \frac{12}{-1}, \frac{-1}{-1}\right) = (-2, -12, 1)$.
આ બિંદુ $R(-2, -12, 1)$ સમતલ $3x - ky - 6z = 0$ પર આવેલું હોવાથી, તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$3(-2) - k(-12) - 6(1) = 0$
$-6 + 12k - 6 = 0$
$12k - 12 = 0$
$12k = 12$
$k = 1$.

(B) બિંદુઓ $(1, 2, 1)$ અને $(-2, 0, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-1}{2} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A(-3\lambda + 1, -2\lambda + 2, 2\lambda + 1)$ છે.
સમતલ $P$ એ $(0, 0, 0)$, $(0, 0, 4)$ અને $(2, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ દ્વારા મળે છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા, આપણને $-4(x - 2y) = 0$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $x - 2y = 0$ થાય છે.
બિંદુ $A$ સમતલ પર હોવાથી, $A$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-3\lambda + 1) - 2(-2\lambda + 2) = 0$.
$-3\lambda + 1 + 4\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda = 3$ ને $A$ ના યામમાં મૂકતા: $x = -3(3) + 1 = -8$, $y = -2(3) + 2 = -4$, $z = 2(3) + 1 = 7$.
આમ, બિંદુ $-8\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, -3)$ અને $B(-1, -2, 1)$ છે. સદિશ $\vec{AB}$ સમતલમાં આવેલો છે, જ્યાં $\vec{AB} = (-1-1, -2-2, 1-(-3)) = (-2, -4, 4)$.
સમતલ એ $(2, 3, 4)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર છે. તેથી, સદિશ $\vec{v} = (2, 3, 4)$ સમતલને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ $\vec{AB}$ અને $\vec{v}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી, $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & -4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{n} = \hat{i}(-16 - 12) - \hat{j}(-8 - 8) + \hat{k}(-6 - (-8)) = -28\hat{i} + 16\hat{j} + 2\hat{k}$.
દિકગુણોત્તરો $(-28, 16, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે, જેને $-2$ વડે ભાગતા $(14, -8, -1)$ મળે છે.

(B) આપેલ સમતલો $P_1: 2x - y + 3z + 5 = 0$ અને $P_2: x + y + z - 1 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x - y + 3z + 5) + \lambda(x + y + z - 1) = 0$
$(2 + \lambda)x + (-1 + \lambda)y + (3 + \lambda)z + (5 - \lambda) = 0$.
સમતલને છેદરેખા પર $90^{\circ}$ ફેરવવામાં આવતું હોવાથી, નવું સમતલ મૂળ સમતલ $2x - y + 3z + 5 = 0$ ને લંબ હોવું જોઈએ.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2 + \lambda, -1 + \lambda, 3 + \lambda)$ અને $\vec{n_2} = (2, -1, 3)$ છે.
પરસ્પર લંબ સમતલો માટે, તેમના અભિલંબનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે:
$(2 + \lambda)(2) + (-1 + \lambda)(-1) + (3 + \lambda)(3) = 0$
$4 + 2\lambda + 1 - \lambda + 9 + 3\lambda = 0$
$4\lambda + 14 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}$.
$\lambda = -\frac{7}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 - \frac{7}{2})x + (-1 - \frac{7}{2})y + (3 - \frac{7}{2})z + (5 + \frac{7}{2}) = 0$
$-\frac{3}{2}x - \frac{9}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$
$-2$ વડે ગુણતા, આપણને $3x + 9y + z - 17 = 0$ મળે છે, એટલે કે $3x + 9y + z = 17$.

(C) સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 2x+3y-z+4=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$.
આ સમતલ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી, તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$ એ $x$-અક્ષના સદિશ $\hat{i} = (1, 0, 0)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી, તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$.
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{2}(2x+3y-z+4) = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $2x+2y+2z-2 - 2x-3y+z-4 = 0$.
$-y + 3z - 6 = 0$, જેનું સાદું રૂપ $y-3z+6=0$ થાય છે.

(C) સૌ પ્રથમ, આપણે આપેલી બે રેખાઓને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ શોધીએ. રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ અને $L_2: \frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ છે.
રેખાઓ એક જ સમતલમાં હોવાથી, સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(15-16) - (y-2)(10-12) + (z-3)(8-9) = 0$
$-(x-1) + 2(y-2) - (z-3) = 0$
$-x + 1 + 2y - 4 - z + 3 = 0$
$-x + 2y - z = 0$, એટલે કે $x - 2y + z = 0$.
આને આપેલા સમતલ $ax - 2y + z = k$ સાથે સરખાવતા, આપણને $a = 1$ મળે છે અને સમતલ $x - 2y + z = k$ છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz = D_1$ અને $Ax + By + Cz = D_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં, $D_1 = 0$, $D_2 = k$, $A = 1, B = -2, C = 1$.
આપેલ છે કે $d = \sqrt{6}$, તેથી $\frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \sqrt{6}$.
$\frac{|k|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \sqrt{6} \Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.
$|k| = \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6$.

(D) છેદબિંદુ શોધવા માટે, આપણે ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલીએ:
$x - 2y + 4z = -4$ $(1)$
$x + y + z = 8$ $(2)$
$x - y + 2z = -1$ $(3)$
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(2 - (-1)) - (-2)(2 - 1) + 4(-1 - 1) = 3 + 2 - 8 = -3$
હવે, $D_1, D_2, D_3$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} -4 & -2 & 4 \\ 8 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -4(3) + 2(17) + 4(-7) = -12 + 34 - 28 = -6$
$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 1 & 8 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(17) + 4(1) + 4(-9) = 17 + 4 - 36 = -15$
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 1 & 1 & 8 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1(7) + 2(-9) - 4(-2) = 7 - 18 + 8 = -3$
યામો નીચે મુજબ છે:
$x = \frac{D_1}{D} = \frac{-6}{-3} = 2$
$y = \frac{D_2}{D} = \frac{-15}{-3} = 5$
$z = \frac{D_3}{D} = \frac{-3}{-3} = 1$
આમ, છેદબિંદુ $(2, 5, 1)$ છે.

(C) ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઇન $(l, l, l)$ છે કારણ કે તે યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે.
$l^2 + l^2 + l^2 = 1$ હોવાથી, $3l^2 = 1$, જે આપણને $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ આપે છે (ધન કિંમત લેતા).
બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(r+2, r-1, r+2)$ સ્વરૂપમાં છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x+y+z=9$ પર હોવાથી, આપણે યામો મૂકીએ:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9 \Rightarrow 4r = 4 \Rightarrow r = 1$.
બિંદુ $Q$ એ $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ છે.
લંબાઈ $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \text{ એકમ}$.

(B) રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. $\sin \theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (4)(-2) + (5)(1) = 6 - 8 + 5 = 3$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
આમ, $\sin \theta = \frac{|3|}{(5\sqrt{2})(3)} = \frac{3}{15\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

(A) $Q(1, -2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{5} = \lambda$ છે.
બિંદુ $P$ આ રેખા પર હોવાથી, તેના યામ $P(\lambda+1, 4\lambda-2, 5\lambda+3)$ તરીકે લઈ શકાય.
$P$ એ સમતલ $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ પર હોવાથી, $P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\lambda+1) + 3(4\lambda-2) - 4(5\lambda+3) + 22 = 0$.
આનું સાદુંરૂપ આપતા, $2\lambda + 2 + 12\lambda - 6 - 20\lambda - 12 + 22 = 0$ મળે છે.
તેથી, $-6\lambda + 6 = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા, $P(2, 2, 8)$ મળે છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(2-1)^2 + (2 - (-2))^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}$ એકમ.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુઓ $(1, 1, 1)$ અને $(0, 0, 0)$ માટે, સમીકરણ $\frac{x-0}{1-0} = \frac{y-0}{1-0} = \frac{z-0}{1-0} = \lambda$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \lambda, y = \lambda, z = \lambda$.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda, \lambda, \lambda)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x + 2y + z = 10$ પર આવેલું હોવાથી, આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$2(\lambda) + 2(\lambda) + \lambda = 10$.
$5\lambda = 10$.
$\lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને બિંદુના યામોમાં મૂકતા, આપણને $(2, 2, 2)$ મળે છે.

$(D)$ રેખા $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ એ સમતલ $Ax+By+Cz=D$ પર આવેલી હોય તે માટે બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$(i)$ રેખા સમતલના અભિલંબને લંબ હોવી જોઈએ:
$a_{1}A+b_{1}B+c_{1}C=0.$
$(ii)$ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું પાલન કરવું જોઈએ:
$Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}=D.$
આપેલ રેખા $\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-1}{2+\lambda}=\frac{z-3}{-1}$ અને સમતલ $x-2y+0z=0$ માટે:
શરત (i):
$3(1) + (2+\lambda)(-2) + (-1)(0) = 0$
$3 - 2(2+\lambda) = 0$
$3 - 4 - 2\lambda = 0$
$-1 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$
શરત (ii):
બિંદુ $(\lambda, 1, 3)$ સમતલ $x-2y=0$ પર હોવું જોઈએ
$\lambda - 2(1) = 0 \Rightarrow \lambda = 2$
આમ, બંને શરતો $\lambda$ માટે અલગ અલગ કિંમતો આપે છે $\left(-\frac{1}{2} \text{ અને } 2\right)$,
 એવી કોઈ $\lambda$ ની કિંમત નથી જેના માટે રેખા સમતલ પર આવેલી હોય.

(A) રેખા $\vec{r} = (4, 0, -1) + \mu(2, 0, 3)$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(43, \alpha, \beta)$ છે. બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અને $(3, -1, 0)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખા $\frac{x-43}{3} = \frac{y-\alpha}{-1} = \frac{z-\beta}{0} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P_1(43+3\lambda, \alpha-\lambda, \beta)$ છે.
કારણ કે $P_1$ એ રેખા $\vec{r} = (4+2\mu, 0, -1+3\mu)$ પર આવેલું છે, તેથી:
$43+3\lambda = 4+2\mu \Rightarrow 2\mu - 3\lambda = 39$
$\alpha-\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \alpha$
$\beta = -1+3\mu$
$\lambda = \alpha$ પરથી, $2\mu - 3\alpha = 39 \Rightarrow \mu = \frac{3\alpha+39}{2}$ મળે.
તેથી $\beta = -1 + 3(\frac{3\alpha+39}{2}) = \frac{-2+9\alpha+117}{2} = \frac{9\alpha+115}{2}$.
અંતર $PP_1 = 13\sqrt{10}$ છે, તેથી $(PP_1)^2 = 1690$.
$PP_1^2 = (3\lambda)^2 + (-\lambda)^2 + 0^2 = 10\lambda^2 = 1690 \Rightarrow \lambda^2 = 169 \Rightarrow \lambda = \pm 13$.
જો $\lambda = 13$ હોય, તો $\alpha = 13$ અને $\beta = \frac{9(13)+115}{2} = 116$ (શક્ય નથી કારણ કે $\beta < 0$).
જો $\lambda = -13$ હોય, તો $\alpha = -13$ અને $\beta = \frac{9(-13)+115}{2} = -1$.
આમ, $\alpha^2 + \beta^2 = (-13)^2 + (-1)^2 = 169 + 1 = 170$.

(B) આપેલ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{d}_1 = \langle 4, 1, 1 \rangle$ અને $\vec{d}_2 = \langle 1, 1, 0 \rangle$ છે.
રેખા $L$ બંનેને લંબ હોવાથી, તેનો દિશા સદિશ $\vec{d}_L = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \langle -1, 1, 3 \rangle$ છે.
બિંદુ $P(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r}(t) = \langle 1-t, 1+t, 1+3t \rangle$ છે.
$yz$-સમતલ પરના બિંદુ $Q$ માટે, $x = 0 \Rightarrow 1-t = 0 \Rightarrow t = 1$. તેથી, $Q = (0, 2, 4)$.
બિંદુ $S(1, 0, -1)$ માંથી પસાર થતી $L$ ને સમાંતર રેખા $\vec{r}'(u) = \langle 1-u, u, -1+3u \rangle$ છે.
$yz$-સમતલ પરના બિંદુ $R$ માટે, $x = 0 \Rightarrow 1-u = 0 \Rightarrow u = 1$. તેથી, $R = (0, 1, 2)$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના પાસપાસેના સદિશો $\vec{PQ} = Q - P = \langle -1, 1, 3 \rangle$ અને $\vec{PS} = S - P = \langle 0, -1, -2 \rangle$ છે.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A} = \vec{PQ} \times \vec{PS} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ છે.
ક્ષેત્રફળ $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ છે.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(\sqrt{6})^2 = 6$ થાય.

(B) છેદબિંદુ $R$ શોધવા માટે, આપણે $\vec{r}$ માટેના સમીકરણોને સરખાવીએ:
$2\lambda+1 = 5\mu+4$, $3\lambda+2 = 2\mu+1$, $4\lambda+3 = \mu$.
આને ઉકેલતા, આપણને $\lambda = -1$ અને $\mu = -1$ મળે છે.
આમ, બિંદુ $R$ એ $(-1, -1, -1)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $L_1$ પર છે, તેથી $P = (2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$.
આપેલ છે કે $|\overrightarrow{PR}| = \sqrt{29}$, તેથી $PR^2 = 29$.
$(2\lambda+1 - (-1))^2 + (3\lambda+2 - (-1))^2 + (4\lambda+3 - (-1))^2 = 29$.
$(2\lambda+2)^2 + (3\lambda+3)^2 + (4\lambda+4)^2 = 29$.
$29(\lambda+1)^2 = 29 \Rightarrow (\lambda+1)^2 = 1 \Rightarrow \lambda = 0$ અથવા $\lambda = -2$.
જો $\lambda = 0$, તો $P = (1, 2, 3)$ (પ્રથમ અષ્ટમાંશ). જો $\lambda = -2$, તો $P = (-3, -4, -5)$ (પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં નથી).
તેથી, $P = (1, 2, 3)$.
બિંદુ $Q$ એ $L_2$ પર છે, તેથી $Q = (5\mu+4, 2\mu+1, \mu)$.
આપેલ છે કે $|\overrightarrow{PQ}|^2 = \frac{47}{3}$.
$(5\mu+4-1)^2 + (2\mu+1-2)^2 + (\mu-3)^2 = \frac{47}{3}$.
$(5\mu+3)^2 + (2\mu-1)^2 + (\mu-3)^2 = \frac{47}{3}$.
$25\mu^2 + 30\mu + 9 + 4\mu^2 - 4\mu + 1 + \mu^2 - 6\mu + 9 = \frac{47}{3}$.
$30\mu^2 + 20\mu + 19 = \frac{47}{3} \Rightarrow 90\mu^2 + 60\mu + 57 = 47 \Rightarrow 90\mu^2 + 60\mu + 10 = 0$.
$9\mu^2 + 6\mu + 1 = 0 \Rightarrow (3\mu+1)^2 = 0 \Rightarrow \mu = -\frac{1}{3}$.
$Q = (5(-\frac{1}{3})+4, 2(-\frac{1}{3})+1, -\frac{1}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$.
$(QR)^2 = (\frac{7}{3} - (-1))^2 + (\frac{1}{3} - (-1))^2 + (-\frac{1}{3} - (-1))^2 = (\frac{10}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{100+16+4}{9} = \frac{120}{9}$.
$27(QR)^2 = 27 \times \frac{120}{9} = 3 \times 120 = 360$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: \frac{x+1}{3} = \frac{y+a}{5} = \frac{z+b+1}{7} = k_1$ અને $L_2: \frac{x-2}{1} = \frac{y-b}{4} = \frac{z-2a}{7} = k_2$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k_1-1, 5k_1-a, 7k_1-b-1)$ છે અને $L_2$ પરનું બિંદુ $(k_2+2, 4k_2+b, 7k_2+2a)$ છે.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી, તેમના યામ સમાન હોવા જોઈએ:
$3k_1-1 = k_2+2 \implies 3k_1 - k_2 = 3$ $(1)$
$5k_1-a = 4k_2+b \implies 5k_1 - 4k_2 = a+b$ $(2)$
$7k_1-b-1 = 7k_2+2a \implies 7k_1 - 7k_2 = 2a+b+1$ $(3)$
છેદબિંદુ $xy$-સમતલ પર હોવાથી, તેનો $z$-યામ $0$ હોવો જોઈએ:
$7k_1-b-1 = 0 \implies 7k_1 = b+1$ $(4)$
$7k_2+2a = 0 \implies 7k_2 = -2a$ $(5)$
સમીકરણ $(4)$ અને $(5)$ ને $(3)$ માં મૂકતા: $(b+1) - (-2a) = 2a+b+1$, જે સુસંગત છે.
$(1)$ પરથી, $k_2 = 3k_1-3$. તેને $(5)$ માં મૂકતા: $7(3k_1-3) = -2a \implies 21k_1 - 21 = -2a \implies 2a = 21 - 21k_1$.
$(4)$ પરથી, $b = 7k_1-1$. તેથી $a+b = \frac{21-21k_1}{2} + 7k_1 - 1 = \frac{19-7k_1}{2}$.
$(2)$ નો ઉપયોગ કરતા: $5k_1 - 4(3k_1-3) = a+b \implies 12-7k_1 = a+b$.
$a+b$ માટે બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{19-7k_1}{2} = 12-7k_1 \implies 19-7k_1 = 24-14k_1 \implies 7k_1 = 5$.
તેથી $a+b = 12-5 = 7$.

(B) ધારો કે $P = (2k_1, 3k_1, 3k_1-1)$ અને $Q = (-k_2-1, k_2+2, 4k_2)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (-k_2-1-2k_1, k_2+2-3k_1, 4k_2-3k_1+1)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(1, -1, 2)$ હોવાથી, $\vec{PQ}$ ના ઘટકો $(1, -1, 2)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
તેથી, $\frac{-k_2-1-2k_1}{1} = \frac{k_2+2-3k_1}{-1} = \frac{4k_2-3k_1+1}{2} = \lambda$.
પ્રથમ બે ભાગ પરથી: $-k_2-1-2k_1 = -k_2-2+3k_1 \implies 5k_1 = 1 \implies k_1 = 1/5$.
$k_1 = 1/5$ ને પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગમાં મૂકતા: $-k_2-1-2/5 = \frac{4k_2-3/5+1}{2} \implies -k_2 - 7/5 = 2k_2 + 1/5 \implies 3k_2 = -8/5 \implies k_2 = -8/15$.
હવે $\vec{PQ} = \lambda(1, -1, 2)$. જ્યાં $\lambda = -k_2-1-2k_1 = 8/15 - 1 - 2/5 = -13/15$.
$PQ^2 = \alpha^2 = \lambda^2(1^2 + (-1)^2 + 2^2) = (-13/15)^2(6) = (169/225) \times 6 = 1014/225$.
તેથી, $225\alpha^2 = 1014$.

(C) રેખા $L$ ને $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{b} = \frac{z-a+1}{1} = k$ ધારો. લંબપાદ $F$ ના યામ $(2k+1, bk+2, k+a-1)$ છે.
સદિશ $\vec{PF} = (2k, bk-4, k-1)$. $\vec{PF} \perp (2, b, 1)$ હોવાથી, $2(2k) + b(bk-4) + 1(k-1) = 0$, જે $k(5+b^2) = 4b+1$ આપે છે.
પ્રતિબિંબ $Q = 2F - P$ છે. તેથી, $(\frac{a}{3}, 0, a+c) = (4k+1, 2bk-2, 2k+a-2)$.
યામ સરખાવતા: $4k+1 = a/3$, $2bk-2 = 0 \implies bk=1$, $2k+a-2 = a+c \implies c = 2k-2$.
$bk=1$ પરથી $k=1/b$. $k(5+b^2) = 4b+1$ માં મૂકતા $\frac{1}{b}(5+b^2) = 4b+1 \implies 3b^2+b-5=0$. $b>0$ માટે $b=1$ મળે. તેથી $k=1$.
આમ, $a = 15$ અને $F = (3, 3, 15)$.
$S$ એ $L$ પર $F$ થી $2\sqrt{14}$ અંતરે છે. $S$ ના યામ $(2k+1, k+2, k+14)$ છે. સરવાળો $4k+17$ થાય. $k=1$ માટે સરવાળો $21$ મળે છે.

(A) $L_2$ અને $L_3$ ના દિશા સદિશો $\vec{d}_2 = (1, 2, 2)$ અને $\vec{d}_3 = (2, 2, 1)$ છે.
$L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{d}_1 = \vec{d}_2 \times \vec{d}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(2-4) = (-2, 3, -2)$ છે.
$L_1$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી, તેનું સમીકરણ $\vec{r} = k(-2, 3, -2)$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુ માટે: $(-2k, 3k, -2k) = (3+t, 2t-1, 2t+4)$.
$-2k = 3+t$, $3k = 2t-1$, $-2k = 2t+4$.
$3+t = 2t+4$ પરથી, આપણને $t = -1$ મળે છે. તેથી $-2k = 3-1 = 2$, એટલે કે $k = -1$.
છેદબિંદુ $P$ એ $(-2(-1), 3(-1), -2(-1)) = (2, -3, 2)$ છે.
ધારો કે $L_3$ પરનું બિંદુ $Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{17}$ છે, તેથી $PQ^2 = 17$.
$(3+2s-2)^2 + (3+2s+3)^2 + (2+s-2)^2 = 17$.
$(2s+1)^2 + (2s+6)^2 + s^2 = 17$.
$4s^2 + 4s + 1 + 4s^2 + 24s + 36 + s^2 = 17$.
$9s^2 + 28s + 20 = 0$.
$(9s+10)(s+2) = 0$, તેથી $s = -2$ અથવા $s = -10/9$.
$a \in Z$ હોવાથી, આપણે $s = -2$ પસંદ કરીએ છીએ.
તેથી $Q = (3+2(-2), 3+2(-2), 2-2) = (-1, -1, 0)$.
આમ, $a = -1, b = -1, c = 0$.
$(a+b+c)^2 = (-1-1+0)^2 = (-2)^2 = 4$.

(B) $P(1, 0, -3)$ માંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખાને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z + 3}{-6} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2r + 1, 3r, -6r - 3)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y - z = 9$ પર આવેલું હોવાથી, આપણે યામો મૂકીએ:
$(2r + 1) - (3r) - (-6r - 3) = 9$.
$2r + 1 - 3r + 6r + 3 = 9$.
$5r + 4 = 9 \implies 5r = 5 \implies r = 1$.
છેદબિંદુ $(2(1) + 1, 3(1), -6(1) - 3) = (3, 3, -9)$ છે.
$(1, 0, -3)$ અને $(3, 3, -9)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (3 - 0)^2 + (-9 - (-3))^2}$ છે.
$d = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ એકમ}$.

(A) રેખા $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2$.
માનની ગણતરી કરો: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
તેથી, $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$.

(B) દિશા સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ વાળી રેખા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ વાળા સમતલ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ ની સાઈન માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$, $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(p) + (1)(1) = p + 3$ છે.
માન $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + p^2 + 1^2} = \sqrt{p^2 + 5}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{|p + 3|}{\sqrt{3} \sqrt{p^2 + 5}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2}{9} = \frac{(p + 3)^2}{3(p^2 + 5)}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2}{3} = \frac{p^2 + 6p + 9}{p^2 + 5}$.
$2(p^2 + 5) = 3(p^2 + 6p + 9) \implies 2p^2 + 10 = 3p^2 + 18p + 27$.
$p^2 + 18p + 17 = 0$.
$(p + 1)(p + 17) = 0$.
આમ, $p = -1$ અથવા $p = -17$ છે.

(B) રેખા $L$ બિંદુ $B(2, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (2-3)\hat{i} + (3-7)\hat{j} + (-2 - (-7))\hat{k} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-10) - \hat{j}(-1+15) + \hat{k}(-2-12) = -14\hat{i} - 14\hat{j} - 14\hat{k}$ છે.
આપણે $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-3) + 1(y-7) + 1(z+7) = 0$ છે, જેનું સાદું રૂપ $x + y + z - 3 = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી, $d^2 = 3$ થાય.

(A) સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y - 6z = 49$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિક-ગુણોત્તર અભિલંબ સદિશ જેટલા જ હોય. તેથી, રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-6} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k, -3k, -6k)$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ બિંદુ સમતલ પર આવેલું હોવાથી, તેને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(2k) - 3(-3k) - 6(-6k) = 49$.
$4k + 9k + 36k = 49 \implies 49k = 49 \implies k = 1$.
$k = 1$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા, આપણને $(2(1), -3(1), -6(1)) = (2, -3, -6)$ મળે છે.

(A) સમતલો $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ અને $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(2x - y + z - 3) + \lambda(4x - 3y + 5z + 9) = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(2 + 4\lambda)x + (-1 - 3\lambda)y + (1 + 5\lambda)z + (-3 + 9\lambda) = 0$.
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2 + 4\lambda)\hat{i} + (-1 - 3\lambda)\hat{j} + (1 + 5\lambda)\hat{k}$ છે.
સમતલ એ દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ વાળી રેખાને સમાંતર હોવાથી, અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v}$ ને લંબ હોવો જોઈએ, તેથી $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$.
$2(2 + 4\lambda) + 4(-1 - 3\lambda) + 5(1 + 5\lambda) = 0$.
$4 + 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$.
$21\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = -5/21$.
સમતલના સમીકરણમાં $\lambda = -5/21$ મૂકતા: $(2 - 20/21)x + (-1 + 15/21)y + (1 - 25/21)z + (-3 - 45/21) = 0$.
$(42 - 20)/21 x + (-21 + 15)/21 y + (21 - 25)/21 z + (-63 - 45)/21 = 0$.
$22x - 6y - 4z - 108 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $11x - 3y - 2z - 54 = 0$.

(B) રેખાઓ બિંદુઓ $A(1, -1, 0)$ અને $B(-1, -1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશો $\vec{v_1} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
રેખાઓ એક જ સમતલમાં હોવાથી, સદિશ $\vec{AB} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$, $\vec{v_1}$ અને $\vec{v_2}$ સાથે સમતલીય હોવો જોઈએ. તેથી, અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{AB}, \vec{v_1}, \vec{v_2}] = 0$ થાય.
$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 2 & \lambda & 2 \\ 5 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = -2(\lambda^2 - 4) = 0 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & \lambda & 2 \\ 5 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda^2 - 4)\hat{i} - (2\lambda - 10)\hat{j} + (4 - 5\lambda)\hat{k}$ છે.
$\lambda = 2$ માટે, $\vec{n} = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k} = 6(\hat{j} - \hat{k})$. સમતલ $0(x-1) + 1(y+1) - 1(z-0) = 0 \implies y - z + 1 = 0$ છે.
$\lambda = -2$ માટે, $\vec{n} = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k} = 14(\hat{j} + \hat{k})$. સમતલ $0(x-1) + 1(y+1) + 1(z-0) = 0 \implies y + z + 1 = 0$ છે.
આ બંનેને જોડતા, સમીકરણ $y \pm z + 1 = 0$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને ઓળખો. રેખાઓ સમાંતર છે કારણ કે તેમનો દિશા સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ સમાન છે.
પગલું $2$: ધારો કે $A = (0, 4, -1)$ અને $B = (2, 1, 0)$ રેખાઓ પરના બિંદુઓ છે. સદિશ $\vec{AB} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ છે.
પગલું $3$: અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{b} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.
પગલું $4$: સમતલનું સમીકરણ $4x + 5y + 7z - 13 = 0$ છે.
પગલું $5$: બિંદુ $(2, 5, 10)$ થી સમતલનું અંતર $d = \frac{|4(2) + 5(5) + 7(10) - 13|}{\sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2}} = \frac{90}{\sqrt{90}} = \sqrt{90}$ છે.
પગલું $6$: તેથી, $d^2 = 90$ થાય.

(A) પગલું $1$: સમતલ પરના એક બિંદુનો સ્થાન સદિશ નક્કી કરો. ધારો કે $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j}$ છે.
પગલું $2$: બિંદુઓ $A(-1, 2, 0)$ અને $B(2, 2, -1)$ ને જોડતા સદિશ દ્વારા પ્રથમ દિશા સદિશ $\vec{b}$ શોધો. $\vec{b} = (2 - (-1))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (-1 - 0)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{k}$ છે.
પગલું $3$: રેખા $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1/2}{1} = \frac{z + 1}{-1}$ પરથી બીજો દિશા સદિશ $\vec{c}$ શોધો. દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, -1)$ છે, તેથી $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
પગલું $4$: સમતલનું પ્રાચલિક સ્વરૂપ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ છે.
સદિશોને મૂકતા: $\vec{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ મળે છે.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(A) પગલું $1$: સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ શોધો. સમતલ $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
પગલું $2$: $\vec{n_1} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 2) - \hat{j}(-6 + 1) + \hat{k}(-6 - 2) = -6\hat{i} + 5\hat{j} - 8\hat{k}$.
પગલું $3$: $xy$-સમતલનો અભિલંબ $\vec{n_2} = \hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
પગલું $4$: સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$, $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $5$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-6)(0) + (5)(0) + (-8)(1) = -8$. તેથી, $|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| = 8$.
પગલું $6$: $|\vec{n_1}| = \sqrt{(-6)^2 + 5^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 25 + 64} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$. $|\vec{n_2}| = 1$.
પગલું $7$: $\cos \theta = \frac{8}{5\sqrt{5}}$. તેથી, $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{5\sqrt{5}} \right)$.

(D) સમતલ $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}) = 32$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 5\hat{i} + b\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
રેખા સમતલને સમાંતર હોવાથી, રેખા સમતલના અભિલંબ સદિશને લંબ હશે. તેથી, $\vec{n}$ અને $\vec{v}$ નો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$
$(3)(5) + (-2)(b) + (7)(3) = 0$
$15 - 2b + 21 = 0$
$36 - 2b = 0$
$2b = 36$
$b = 18$.

(C) પગલું $1$: સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ શોધો. સમતલ રેખાની દિશા $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ ધરાવે છે અને તે $A(1, -3, 1)$ તથા $Q(1, 0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે.
પગલું $2$: સદિશ $\vec{AQ} = (1-1)\hat{i} + (0-(-3))\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 3\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
પગલું $3$: $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{AQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(-4-0) + \hat{k}(6-0) = \hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
પગલું $4$: સમતલનું સમીકરણ $1(x-1) + 4(y-0) + 6(z+1) = 0$ છે, જેનું સાદું રૂપ $x + 4y + 6z + 5 = 0$ થાય છે.
પગલું $5$: ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|0 + 4(0) + 6(0) + 5|}{\sqrt{1^2 + 4^2 + 6^2}} = \frac{5}{\sqrt{1 + 16 + 36}} = \frac{5}{\sqrt{53}}$ છે.
પગલું $6$: $\frac{p}{\sqrt{53}}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $p = 5$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: લંબ હોવાની શરતનો ઉપયોગ કરીને $k$ શોધો. દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (-3, 2k, 2)$ અને $\vec{v_2} = (3k, 1, -5)$ છે. $L_1 \perp L_2$ હોવાથી, $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ થાય.
પગલું $2$: $(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0 \implies -9k + 2k - 10 = 0 \implies -7k = 10 \implies k = -\frac{10}{7}$.
પગલું $3$: સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ છે. $L_1 \perp L_2$ હોવાથી, $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2k & 2 \\ 3k & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10k - 2) - \hat{j}(15 - 6k) + \hat{k}(-3 - 6k^2)$.
પગલું $4$: $k = -\frac{10}{7}$ મૂકતા: $\vec{n} = \hat{i}(\frac{86}{7}) - \hat{j}(\frac{165}{7}) + \hat{k}(-\frac{747}{49}) = \frac{86}{7}\hat{i} - \frac{165}{7}\hat{j} - \frac{747}{49}\hat{k}$.
પગલું $5$: સાદું રૂપ આપવા માટે $49$ વડે ગુણતા: $\vec{n} = 602\hat{i} - 1155\hat{j} - 747\hat{k}$.
પગલું $6$: સમતલ બિંદુ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણ: $602(x-1) - 1155(y-2) - 747(z-3) = 0 \implies 602x - 1155y - 747z + 3949 = 0$.

(B) ધારો કે રેખા $\ell$ ના દિક્-ગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ છે. રેખા $\ell$ એ સમતલ $x + y + 2z = 18$ ને સમાંતર હોવાથી, તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 1, 1, 2 \rangle$ એ $\ell$ ને લંબ છે. તેથી $a + b + 2c = 0 \implies b = -a - 2c$.
રેખા $L_2$ પરનું કોઈ બિંદુ $Q(3k - 2, -k - 1, k + 2)$ છે. રેખા $\ell$ એ $P(2, 1, 1)$ અને $Q$ માંથી પસાર થતી હોવાથી, દિક્-ગુણોત્તર $\langle 3k - 4, -k - 2, k + 1 \rangle$ છે.
સદિશ $\vec{PQ}$ એ અભિલંબ $\vec{n}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી $1(3k - 4) + 1(-k - 2) + 2(k + 1) = 0 \implies 3k - 4 - k - 2 + 2k + 2 = 0 \implies 4k = 4 \implies k = 1$.
બિંદુ $Q$ એ $(1, -2, 3)$ છે.
$\ell$ નો દિક્-સદિશ $\vec{PQ} = \langle -1, -3, 2 \rangle$ છે, જે $\langle 1, 3, -2 \rangle$ ના પ્રમાણમાં છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{-2}$ છે, જે વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આપેલ રેખા $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{3} = \lambda$ છે. સામાન્ય બિંદુ $(x, y, z) = (\lambda - 1, 2\lambda + 2, 3\lambda - 3)$ છે.
$(A)$ $\lambda = -1$ માટે, બિંદુ $(-2, 0, -6)$ છે. રેખા $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 6}{3}$ એ $(-2, 0, -6)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિક ગુણોત્તર $(1, 2, 3)$ છે, જે સમાન રેખા છે.
$(B)$ સામાન્ય બિંદુને સમતલમાં મૂકતા: $(\lambda - 1) - 2(2\lambda + 2) + (3\lambda - 3) + 8 = \lambda - 1 - 4\lambda - 4 + 3\lambda - 3 + 8 = 0$ મળે છે. તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે, તેથી રેખા સમતલમાં છે.
$(C)$ રેખાનો દિક સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે. $\vec{v} \neq k\vec{n}$ હોવાથી, રેખા સમતલને લંબ નથી.
$(D)$ બિંદુ $(0, 4, 0)$ માટે, $\frac{0+1}{1} = 1$, $\frac{4-2}{2} = 1$, $\frac{0+3}{3} = 1$ થાય છે. બધા ગુણોત્તર સમાન હોવાથી, તે $(0, 4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
આમ, વિધાન $(C)$ ખોટું છે.

(C) જો રેખાઓ પરના બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય તો રેખાઓ સમતલીય હોય છે.
$L_1$ પરનું બિંદુ $P_1$ $(-1, 3, 1)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (1, -\lambda, \lambda)$ છે.
$L_2$ પરનું બિંદુ $P_2$ $(0, 1, 2)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (1/2, 1, -1)$ છે.
સદિશ $\vec{P_1P_2} = (0 - (-1), 1 - 3, 2 - 1) = (1, -2, 1)$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત $\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(\lambda - \lambda) - (-2)(-1 - \lambda/2) + 1(1 + \lambda/2) = 0$.
$0 + 2(-1 - \lambda/2) + 1 + \lambda/2 = 0$.
$-2 - \lambda + 1 + \lambda/2 = 0$.
$-1 - \lambda/2 = 0 \implies \lambda/2 = -1 \implies \lambda = -2$.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1}$ અને $\frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
અહીં, $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$, $(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$, $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$, અને $(a_2, b_2, c_2) = (k, 2, 1)$ છે.
શરત મુજબ: $\begin{vmatrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $-1(1 - (-2k)) - 1(1 - (-k^2)) + 1(2 - k) = 0$.
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 2 - k = 0$.
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$.
$-k^2 - 3k = 0$.
$k(k + 3) = 0$.
આમ, $k = 0$ અથવા $k = -3$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{2}$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$, $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (-1)(1) + (2)(1) = 2 - 1 + 2 = 3$.
માનની ગણતરી કરો: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી, $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$.