MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) जब समान आवृत्ति और वेग वाली दो तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करती हैं, तो वे अप्रगामी तरंग (standing wave) बनाती हैं।
तरंग के लिए, वेग $(v)$, आवृत्ति $(n)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध $v = n \lambda$ होता है।
यहाँ $v = 18\text{ m/s}$ दिया गया है, इसलिए $18 = n \lambda$, जिसका अर्थ है कि $\lambda = 18/n$।
अप्रगामी तरंग में, दो क्रमागत प्रस्पंदों (antinodes) के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी $(\lambda/2)$ होती है।
अतः, दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी $= \lambda/2 = (18/n) / 2 = 9/n\text{ m}$ है।

(D) अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \cos(kx) \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 12 \cos \left( \frac{\pi x}{10} \right) \sin(36\pi t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर, हमें तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{10} \text{ rad/cm}$ प्राप्त होती है।
तरंग संख्या $k$ का तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के साथ संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ होता है।
$k$ का मान रखने पर, $\frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{\lambda}$, जिससे $\lambda = 20 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में एक निस्पंद और उसके क्रमिक प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ के बराबर होती है।
अतः, अभीष्ट दूरी $\frac{20 \text{ cm}}{4} = 5 \text{ cm}$ है।

(B) दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों का परिणामी आयाम $R$, जिनके व्यक्तिगत आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं और कलांतर $\phi$ है, $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A_1 = A_2 = A$ दिया गया है।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$।
अब, परिणामी आयाम $R$ की गणना करें:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos(\frac{\pi}{2})}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, इसलिए:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 0} = \sqrt{2A^2} = \sqrt{2}A$।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin \left( \omega t - kx + \phi \right)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = 3 \sin \left[ \pi \left( \frac{t}{3} - \frac{x}{5} \right) + \frac{\pi}{4} \right]$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
$Y = 3 \sin \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi x}{5} + \frac{\pi}{4} \right)$.
यहाँ, आयाम $A = 3 \text{ m} = 300 \text{ cm}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{3} \text{ rad/s}$ है।
तरंग संख्या $k = \frac{\pi}{5} \text{ m}^{-1}$ है।
$1$. आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6} \text{ Hz} \approx 0.167 \text{ Hz}$ है।
$2$. तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/5} = 10 \text{ m}$ है।
$3$. वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/3}{\pi/5} = \frac{5}{3} \approx 1.67 \text{ m/s}$ है।
इन परिणामों की तुलना विकल्पों से करने पर, विकल्प $C$ सही है।

(C) ध्वनि तरंग की ऊर्जा $E$, उसके आयाम $A$ के वर्ग और आवृत्ति $n$ के वर्ग के समानुपाती होती है। गणितीय रूप से, $E \propto A^2 n^2$।
चूंकि $P$ और $Q$ द्वारा उत्पन्न तरंगों की ऊर्जा समान है, इसलिए $E_P = E_Q$ होगा।
अतः, $A_P^2 n_P^2 = A_Q^2 n_Q^2$।
यहाँ $A_P = A$, $n_P = n$, और $n_Q = n/4$ दिया गया है, इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$A^2 n^2 = A_Q^2 (n/4)^2$।
$A^2 n^2 = A_Q^2 (n^2 / 16)$।
$A^2 = A_Q^2 / 16$।
$A_Q^2 = 16 A^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें $A_Q = 4A$ प्राप्त होता है।

(C) तरंग का वेग $v = 10 \text{ m/s}$ दिया गया है।
दो क्रमागत शृंगों के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य है, $\lambda = 40 \text{ m}$।
नाव से टकराने वाली दो क्रमागत तरंगों के बीच का समयांतराल तरंग के आवर्तकाल $(T)$ के बराबर होता है।
वेग, तरंगदैर्ध्य और आवर्तकाल के बीच का संबंध $v = \frac{\lambda}{T}$ है।
$T$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $T = \frac{\lambda}{v}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $T = \frac{40 \text{ m}}{10 \text{ m/s}} = 4 \text{ s}$।
अतः, क्रमागत तरंगें $4 \text{ s}$ बाद नाव से टकराएंगी।

(D) दिए गए समीकरण $y_1 = a \sin(\omega t + kx + 0.57)$ और $y_2 = a \cos(\omega t + kx)$ हैं।
कलांतर ज्ञात करने के लिए, हमें दोनों तरंगों को एक ही त्रिकोणमितीय फलन (sine) के रूप में व्यक्त करना होगा।
हम जानते हैं कि $\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$.
इसलिए, $y_2 = a \sin(\omega t + kx + \pi/2)$.
दिया गया है $\pi = 3.14$, तो $\pi/2 = 3.14 / 2 = 1.57 \text{ radian}$.
अतः, $y_2 = a \sin(\omega t + kx + 1.57)$.
$y_1$ की कला $\phi_1 = \omega t + kx + 0.57$ है और $y_2$ की कला $\phi_2 = \omega t + kx + 1.57$ है।
कलांतर $\Delta\phi = |\phi_2 - \phi_1| = |1.57 - 0.57| = 1.0 \text{ radian}$ होगा।

(B) तरंग का दिया गया समीकरण $y = A \sin(120\pi t + 3x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t + kx)$ के साथ तुलना करने पर, हमें तरंग संख्या (wave number) $k = 3 \text{ rad/m}$ प्राप्त होता है।
कलांतर $(\Delta \phi)$ और पथान्तर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ होता है।
यहाँ $\Delta \phi = \frac{\pi}{3} \text{ radian}$ और $k = 3 \text{ rad/m}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{3} = 3 \cdot \Delta x$.
अतः, $\Delta x = \frac{\pi}{3 \times 3} = \frac{\pi}{9} \text{ m}$।

(C) कोणीय आवृत्ति $\omega$ को $\omega = 2\pi f$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $f = 50\text{ Hz}$ है।
$\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi\text{ rad/s}$।
समयांतराल $\Delta t$ के लिए कला में परिवर्तन $\Delta\phi$ को $\Delta\phi = \omega \Delta t$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\Delta t = 0.01\text{ s}$।
$\Delta\phi = 100\pi \times 0.01 = \pi\text{ rad}$।
अतः, कला में परिवर्तन $\pi\text{ rad}$ है।

(A) दिया गया है:
तरंगों की संख्या $(n)$ = $54$
समय $(t)$ = $1 \text{ मिनट} = 60 \text{ सेकंड}$
तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ = $5 \text{ m}$
चरण $1$: तरंगों की आवृत्ति $(f)$ की गणना करें।
आवृत्ति प्रति सेकंड तरंगों की संख्या होती है।
$f = \frac{n}{t} = \frac{54}{60} \text{ Hz} = 0.9 \text{ Hz}$
चरण $2$: तरंगों के वेग $(v)$ की गणना करें।
वेग, आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध इस प्रकार है:
$v = f \times \lambda$
$v = 0.9 \text{ Hz} \times 5 \text{ m} = 4.5 \text{ m/s}$
अतः, तरंगों का वेग $4.5 \text{ m/s}$ है।

(D) जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है तो उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है।
मान लीजिए आवृत्ति $f$ है।
वेग $(v)$, आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध $v = f \lambda$ है।
माध्यम $P$ के लिए: $\lambda_P = 150 \text{ mm} = 0.15 \text{ m}$ और $v_P = 80 \text{ cm s}^{-1} = 0.8 \text{ m s}^{-1}$।
आवृत्ति $f = \frac{v_P}{\lambda_P} = \frac{0.8}{0.15} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3} \text{ Hz}$।
माध्यम $Q$ के लिए: $\lambda_Q = 0.30 \text{ m}$।
माध्यम $Q$ में वेग $v_Q = f \lambda_Q$ है।
$v_Q = \left( \frac{16}{3} \right) \times 0.30 = \frac{16}{3} \times \frac{30}{100} = 16 \times 0.1 = 1.6 \text{ m s}^{-1}$।

(C) दिया गया तरंग समीकरण $y = 6 \cos(100t - 4x)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y = A \cos(\omega t - kx)$ के साथ तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
आयाम $A = 6 \mu\text{m} = 6 \times 10^{-6} \text{ m}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \text{ rad/s}$.
तरंग संख्या $k = 4 \text{ m}^{-1}$.
कण का अधिकतम वेग $v_p = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
$v_p = (6 \times 10^{-6} \text{ m}) \times (100 \text{ rad/s}) = 6 \times 10^{-4} \text{ m/s}$.
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \frac{100}{4} = 25 \text{ m/s}$.
कण के अधिकतम वेग और तरंग के वेग का अनुपात $\frac{v_p}{v} = \frac{6 \times 10^{-4}}{25}$ है।
$\frac{v_p}{v} = 0.24 \times 10^{-4} = 2.4 \times 10^{-5}$.

(C) सबसे पहले, दोनों तरंगों को समान त्रिकोणमितीय फलन (sin) में व्यक्त करें।
$y_1 = a_1 \sin \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} \right)$
$y_2 = a_2 \cos \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{\pi}{6} \right) = a_2 \sin \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} \right)$
$y_2 = a_2 \sin \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{2\pi}{3} \right)$
दोनों तरंगों के बीच का कलान्तर $\phi$ उनके तर्कों का अंतर है:
$\phi = \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} + \frac{2\pi}{3} \right) - \left( \omega t - \frac{2\pi x}{\lambda} \right) = \frac{2\pi}{3}$
पथांतर $\Delta x$ और कलान्तर $\phi$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
$\Delta x = \frac{\lambda}{3}$

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया में, परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है, अर्थात $dQ = 0$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $dQ = dU + dW$।
चूंकि $dQ = 0$ है, इसलिए $dU = -dW$ होगा।
जब किसी निकाय को संपीड़ित किया जाता है, तो निकाय पर कार्य किया जाता है, इसलिए $dW < 0$ होता है।
अतः, $dU = -dW > 0$, जिसका अर्थ है कि निकाय की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा उसके तापमान के सीधे आनुपातिक होती है $(U \propto T)$, इसलिए आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि होने से निकाय का तापमान बढ़ जाता है।

(B) सम-आयतनिक (isochoric) प्रक्रिया एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें निकाय का आयतन स्थिर रहता है $(V = {\text{स्थिर}})$।
दाब-आयतन $(P-V)$ आरेख में, स्थिर आयतन प्रक्रिया को एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, क्योंकि दाब में किसी भी परिवर्तन के लिए, $x$-अक्ष पर आयतन का मान समान रहता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर:
विकल्प $A$ एक ऐसी प्रक्रिया को दर्शाता है जहाँ $P \propto V$ है।
विकल्प $B$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है जहाँ $V$ स्थिर है, जो सम-आयतनिक प्रक्रिया के अनुरूप है।
विकल्प $C$ एक आदर्श गैस के लिए समतापीय प्रक्रिया $(PV = {\text{स्थिर}})$ को दर्शाता है।
विकल्प $D$ समदाबी प्रक्रिया को दर्शाता है जहाँ दाब स्थिर रहता है $(P = {\text{स्थिर}})$।
अतः, सम-आयतनिक प्रक्रिया के लिए सही ग्राफ विकल्प $B$ में दर्शाया गया है।

(B) मुक्त प्रसार एक अनुत्क्रमणीय प्रक्रिया है जिसमें गैस निर्वात में फैलती है।
$1$. चूंकि गैस निर्वात में फैलती है, इसलिए बाह्य दाब $P_{ext} = 0$ होता है, अतः किया गया कार्य $W = \int P_{ext} dV = 0$ होता है।
$2$. यह प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है क्योंकि यह एक विलगित निकाय में होती है जहाँ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता $(Q = 0)$।
$3$. ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta U = Q - W$। चूंकि $Q = 0$ और $W = 0$ है, इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
$4$. चूंकि यह प्रक्रिया बहुत तीव्र और अनुत्क्रमणीय है, इसलिए निकाय साम्यावस्था की स्थितियों की श्रृंखला से नहीं गुजरता है। अतः, इसे $p-V$ आरेख पर एक निरंतर पथ के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है।
अतः, यह कथन कि मुक्त प्रसार को $p-V$ आरेख पर आलेखित किया जा सकता है, गलत है।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए, तापमान स्थिर रहता है। बॉयल के नियम के अनुसार, $PV = \text{स्थिरांक}$.
प्रारंभिक अवस्था: $(P, V)$.
अंतिम अवस्था: $(P_i, 2V)$.
अतः, $PV = P_i(2V) \implies P_i = P/2$.
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए, $PV^\gamma = \text{स्थिरांक}$.
प्रारंभिक अवस्था: $(P, V)$.
अंतिम अवस्था: $(P_a, 2V)$.
अतः, $PV^\gamma = P_a(2V)^\gamma \implies P_a = P(V/2V)^\gamma = P(1/2)^\gamma = P/2^\gamma$.
अब, $P_i/P_a$ का अनुपात:
$P_i/P_a = (P/2) / (P/2^\gamma) = 2^\gamma / 2 = 2^{\gamma-1}$.

(C) चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $P-V$ लूप द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
घड़ी की दिशा (clockwise) में चक्र के लिए, किया गया कार्य धनात्मक होता है, और घड़ी की विपरीत दिशा (counter-clockwise) में चक्र के लिए, किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
दिए गए आरेख में, $ABCDA$ चक्र घड़ी की विपरीत दिशा में है।
आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= {\text{लंबाई}} \times {\text{चौड़ाई}} = (3V_0 - V_0) \times (2P_0 - P_0) = 2V_0 \times P_0 = 2P_0V_0$.
चूंकि चक्र घड़ी की विपरीत दिशा में है, इसलिए किया गया कार्य $W = -({\text{क्षेत्रफल}}) = -2P_0V_0$ होगा।

(D) ऊष्मागतिक प्रक्रिया के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int P \, dV$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $P$ दाब है और $dV$ आयतन में परिवर्तन है।
गैस द्वारा या गैस पर कोई कार्य न होने के लिए, $W = 0$ की स्थिति संतुष्ट होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\int P \, dV = 0$, जो तब होता है जब आयतन में परिवर्तन $dV = 0$ हो, अर्थात आयतन स्थिर रहता है।
वह प्रक्रिया जिसमें निकाय का आयतन स्थिर रहता है, समायतनिक प्रक्रिया (isochoric process) कहलाती है।
अतः, समायतनिक प्रक्रिया में गैस द्वारा या गैस पर कोई कार्य नहीं किया जाता है।

(A) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है, प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273 \ K$ (सामान्य तापमान)।
अंतिम आयतन $V_2 = V_1 / 4$ है।
दिया गया है $\gamma = 1.5$, इसलिए $\gamma - 1 = 0.5$ है।
मान रखने पर: $273 \times V_1^{0.5} = T_2 \times (V_1 / 4)^{0.5}$।
$T_2 = 273 \times (V_1 / (V_1 / 4))^{0.5} = 273 \times (4)^{0.5} = 273 \times 2 = 546 \ K$।
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 546 - 273 = 273 \ K$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $(T)$ और आयतन $(V)$ के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $TV^x = \text{constant}$ के साथ तुलना करने पर, हम $V$ के घातांकों की तुलना कर सकते हैं।
अतः, $x = \gamma - 1$.
दिया गया है कि एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए, $\gamma = 7/5 = 1.4$.
$\gamma$ का मान समीकरण में रखने पर:
$x = 1.4 - 1 = 0.4$.
इस प्रकार, $x$ का मान $0.4$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $(T)$ और आयतन $(V)$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}$.
यहाँ $\gamma = 7/5$ दिया गया है, इसलिए $\gamma - 1 = 7/5 - 1 = 2/5$.
अंतिम आयतन $V_f = V_i/32$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T_i V_i^{2/5} = (x T_i) (V_i/32)^{2/5}$.
दोनों पक्षों को $T_i V_i^{2/5}$ से विभाजित करने पर: $1 = x (1/32)^{2/5}$.
$1 = x (1/(2^5))^{2/5}$.
$1 = x (1/2^2) = x (1/4)$.
अतः, $x = 4$.

(C) समतापीय विस्तार के लिए, प्रक्रिया $PV = \text{नियतांक}$ का पालन करती है।
दी गई प्रारंभिक अवस्था $(P, V)$ है और अंतिम अवस्था $(P_I, 3V)$ है।
अतः, $P \cdot V = P_I \cdot (3V) \implies P_I = P/3$.
रुद्धोष्म विस्तार के लिए, प्रक्रिया $PV^\gamma = \text{नियतांक}$ का पालन करती है।
दी गई प्रारंभिक अवस्था $(P, V)$ है और अंतिम अवस्था $(P_A, 3V)$ है।
अतः, $P \cdot V^\gamma = P_A \cdot (3V)^\gamma \implies P_A = P \cdot (V/3V)^\gamma = P \cdot (1/3)^\gamma = P \cdot 3^{-\gamma}$.
अब, अनुपात $P_A/P_I = (P \cdot 3^{-\gamma}) / (P/3) = 3^{-\gamma} / 3^{-1} = 3^{1-\gamma}$.

(D) डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{m}{L} = \frac{10^{-3} \text{ kg}}{0.5 \text{ m}} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg/m}$ है।
तरंग का वेग $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{0.8}{2 \times 10^{-3}}} = \sqrt{400} = 20 \text{ m/s}$ है।
एक स्पंद को डोरी की लंबाई तय करने में लगा समय $t = \frac{L}{v} = \frac{0.5 \text{ m}}{20 \text{ m/s}} = 0.025 \text{ s}$ है।
क्रमिक स्पंदों के बीच संपोषी व्यतिकरण होने के लिए, पहले स्पंद को अगले स्पंद के उत्पन्न होने से पहले स्थिर सिरे से परावर्तित होकर शुरुआती बिंदु पर वापस आना चाहिए।
अतः, समय का न्यूनतम अंतराल $\Delta t = 2t = 2 \times 0.025 \text{ s} = 0.05 \text{ s}$ है।

(C) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y(x,t) = A \sin(kx - \omega t)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y(x,t) = 0.05 \sin(8x - 4t)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर, हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = 8 \text{ rad/m}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \text{ rad/s}$
तरंग का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर, $v = \frac{4}{8} = 0.5 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।

(D) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = (2\pi / \lambda) \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि कलांतर $\Delta \phi = 60^{\circ} = \pi/3$ रेडियन और पथ अंतर $\Delta x = x$ मीटर है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\pi/3 = (2\pi / \lambda) x$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = (2\pi / \pi) \times 3x = 6x$।
तरंग का वेग $v = n\lambda$ द्वारा दिया जाता है।
$\lambda$ का मान रखने पर: $v = n(6x) = 6nx$ मीटर प्रति सेकंड।

(C) जब कोई तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है तो उसकी आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है।
संबंध $\lambda = v/f$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $v$ गति है और $f$ आवृत्ति है:
गर्म हवा के लिए: $\lambda_1 = v_1 / f = 350 / 700 = 0.5 \text{ m}$.
पीतल के लिए: $\lambda_2 = v_2 / f = 3500 / 700 = 5 \text{ m}$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\lambda_2 / \lambda_1 = 5 / 0.5 = 10$ है।
अतः, तरंगदैर्ध्य $10$ के गुणक से बढ़ जाती है।

(D) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $Y = 6 \sin (12\pi t - 0.02\pi x + \pi/3)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर, हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 12\pi \text{ rad/s}$
तरंग संख्या $k = 0.02\pi \text{ rad/m}$
तरंग का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \omega / k$ है।
मान रखने पर, $v = (12\pi) / (0.02\pi) = 12 / 0.02 = 600 \text{ m/s}$।

(C) एक खिंचे हुए तार में तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
इस संबंध से, हम देखते हैं कि $v \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T_1 = 2 \text{ kg wt}$ है और प्रारंभिक गति $v_1 = v$ है।
मान लीजिए अंतिम तनाव $T_2$ है और अंतिम गति $v_2 = 3v$ है।
समानुपातिकता $v \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास है $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर: $\frac{3v}{v} = \sqrt{\frac{T_2}{2}} \implies 3 = \sqrt{\frac{T_2}{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9 = \frac{T_2}{2} \implies T_2 = 18 \text{ kg wt}$।
तनाव में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 18 - 2 = 16 \text{ kg wt}$ है।

(D) माना ध्वनि का वेग $v$ है। दो स्रोतों की आवृत्तियाँ $f_1 = v / \lambda_1$ और $f_2 = v / \lambda_2$ द्वारा दी जाती हैं।
यहाँ $\lambda_1 = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$ और $\lambda_2 = 50.5 \text{ cm} = 0.505 \text{ m}$ दिया गया है।
आवृत्तियों का अंतर $f_1 - f_2 = 6 \text{ Hz}$ है।
मान रखने पर: $v / 0.5 - v / 0.505 = 6$.
$v(2 - 1.98) = 6$ (लगभग)।
$v(0.02) = 6$.
अतः, $v = 300 \text{ m/s}$.

(A) दिया गया तरंग समीकरण $Y = 0.01 \sin [2\pi (t/0.02 - x/0.50)] \text{ m}$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin (\omega t - kx)$ से तुलना करने पर:
$\omega = 2\pi / 0.02 = 100\pi \text{ rad/s}$
$k = 2\pi / 0.50 = 4\pi \text{ m}^{-1}$
तरंग की चाल $v = \omega / k = 100\pi / 4\pi = 25 \text{ m/s}$ है।
डोरी पर तरंग की चाल का सूत्र $v = \sqrt{T/\mu}$ होता है, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
यहाँ $\mu = 0.02 \text{ kg m}^{-1}$ दिया गया है, इसलिए:
$25 = \sqrt{T / 0.02}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $625 = T / 0.02$
$T = 625 \times 0.02 = 12.5 \text{ N}$.

(A) दिया गया है: वोल्टेज $V = (6.0 \pm 0.3) \text{ V}$ और धारा $I = (4.0 \pm 0.1) \text{ A}$।
शक्ति $P = V \times I = 6.0 \times 4.0 = 24.0 \text{ W}$।
शक्ति में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta P}{24.0} = \frac{0.3}{6.0} + \frac{0.1}{4.0}$।
$\frac{\Delta P}{24.0} = 0.05 + 0.025 = 0.075$।
$\Delta P = 24.0 \times 0.075 = 1.8 \text{ W}$।
अतः, खपत शक्ति $(24.0 \pm 1.8) \text{ W}$ है।

(C) ज्योति तीव्रता का $SI$ आधार मात्रक $\text{कैंडेला}$ $(cd)$ है।
$\text{एम्पियर}$ विद्युत धारा का मात्रक है।
$\text{कूलम्ब}$ विद्युत आवेश का मात्रक है।
$\text{ओम}$ विद्युत प्रतिरोध का मात्रक है।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{mv}$।
दिया गया है:
प्लांक नियतांक $(h)$ = $6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$।
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m)$ = $9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$।
इलेक्ट्रॉन का वेग $(v)$ = $2.2 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (2.2 \times 10^6)}$।
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{20.02 \times 10^{-25}}$।
$\lambda = 0.33096 \times 10^{-9} \text{ m}$।
$\lambda = 3.31 \times 10^{-10} \text{ m}$।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार, स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ का गुणनफल इस प्रकार है: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
चूंकि $\Delta p = m_e \cdot \Delta v$, समीकरण होगा: $\Delta x \cdot m_e \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$.
वेग में अनिश्चितता $(\Delta v)$ के लिए सूत्र: $\Delta v \geq \frac{h}{4\pi \cdot m_e \cdot \Delta x}$.
दिया गया है: $\Delta x = 50 \text{ pm} = 50 \times 10^{-12} \text{ m}$, $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$, $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}$, $\pi = 3.142$.
मान रखने पर: $\Delta v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.142 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 50 \times 10^{-12}}$.
गणना करने पर: $\Delta v \approx 1.16 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$.
दिए गए विकल्पों में से सबसे निकटतम उत्तर $0.98 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ समीकरण $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $c$ प्रकाश की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि ऊर्जा तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(E \propto \frac{1}{\lambda})$।
दृश्य प्रकाश के रंगों में, लाल रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक $(\approx 700 \ nm)$ होती है।
चूंकि लाल रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है, इसलिए दृश्य स्पेक्ट्रम के अन्य रंगों की तुलना में इसकी ऊर्जा सबसे कम होती है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E$ समीकरण $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $c$ प्रकाश की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्घ्य है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि ऊर्जा $E$, तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(E \propto \frac{1}{\lambda})$।
इसलिए, जिस प्रकाश की तरंगदैर्घ्य सबसे कम होगी, उसकी ऊर्जा सबसे अधिक होगी।
दी गई तरंगदैर्घ्यों की तुलना करने पर: $410 \text{ nm}$ (बैंगनी), $470 \text{ nm}$ (नीला), $580 \text{ nm}$ (पीला) और $750 \text{ nm}$ (लाल)।
सबसे कम तरंगदैर्घ्य $410 \text{ nm}$ है, जो बैंगनी प्रकाश के लिए है।
अतः, बैंगनी प्रकाश की ऊर्जा सबसे अधिक है।

(D) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है: $\bar{\nu} = R_H (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
पाश्चन श्रेणी के लिए, संक्रमण $n_1 = 3$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
सबसे कम ऊर्जा वाला संक्रमण उसके ठीक अगले ऊर्जा स्तर यानी $n_2 = 4$ से होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\bar{\nu} = R_H (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2})$
$\bar{\nu} = R_H (\frac{1}{9} - \frac{1}{16})$
$\bar{\nu} = R_H (\frac{16 - 9}{144})$
$\bar{\nu} = R_H (\frac{7}{144}) \text{ cm}^{-1}$।

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
लाइमन श्रेणी के लिए, संक्रमण मूल अवस्था में होता है, इसलिए $n_1 = 1$ है।
सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए, संक्रमण उच्चतम संभव ऊर्जा स्तर से होना चाहिए, अर्थात $n_2 = \infty$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_H (1 - 0) = R_H$।
अतः, $\lambda = \frac{1}{R_H} = \frac{1}{109677 \text{ cm}^{-1}}$।
गणना करने पर: $\lambda \approx 9.117 \times 10^{-6} \text{ cm} = 911.7 \times 10^{-8} \text{ cm}$।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ J}$।
$H$-परमाणु के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
पहली कक्षा $(n = 1)$ के लिए, $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1^2}{1^2} = -2.18 \times 10^{-18} \text{ J}$।
दूसरी कक्षा $(n = 2)$ के लिए, $E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1^2}{2^2} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1}{4} \text{ J}$।
$E_2 = -0.545 \times 10^{-18} \text{ J}$।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
दिया गया है:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$
$m = 9.10938 \times 10^{-31} \text{ kg}$
$v = 2.19 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.10938 \times 10^{-31}) \times (2.19 \times 10^6)}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{19.9495 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 0.33214 \times 10^{-9} \text{ m}$
$\lambda \approx 332.14 \times 10^{-12} \text{ m}$
चूंकि $1 \text{ pm} = 10^{-12} \text{ m}$, इसलिए तरंगदैर्ध्य लगभग $332 \text{ pm}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -\frac{2.18 \times 10^{-18} \text{ J}}{n^2}$.
$n = 2$ के अनुरूप स्थिर अवस्था के लिए, हम सूत्र में $n$ का मान रखेंगे:
$E_2 = -\frac{2.18 \times 10^{-18} \text{ J}}{(2)^2}$
$E_2 = -\frac{2.18 \times 10^{-18} \text{ J}}{4}$
$E_2 = -0.545 \times 10^{-18} \text{ J}$
$E_2 = -5.45 \times 10^{-19} \text{ J}$.
अतः, $n = 2$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $-5.45 \times 10^{-19} \text{ J}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल में, $n$-वीं कक्षा की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = \frac{E_1}{n^2}$, जहाँ $E_1$ मूल अवस्था $(n=1)$ की ऊर्जा है।
दिया गया है कि मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -E \text{ J}$ है।
तीसरी स्थिर कक्षा के लिए, $n = 3$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $E_3 = \frac{E_1}{3^2} = \frac{-E}{9} \text{ J}$।
अतः, तीसरी स्थिर कक्षा की ऊर्जा $-E/9 \text{ J}$ है।

(D) श्यानता तरल पदार्थों (द्रव और गैसों) का वह गुण है जो प्रवाह के प्रति प्रतिरोध प्रदान करता है।
$(A)$ लुब्रिकेंट तेलों का ग्रेडेशन उनकी श्यानता पर निर्भर करता है।
$(B)$ रक्त प्रवाह का वेग और श्यानता का उपयोग हृदय संबंधी स्वास्थ्य को इंगित करने के लिए किया जाता है।
$(C)$ साबुन की सफाई क्रिया में पृष्ठ तनाव को कम करना और गंदगी को हटाने के लिए माध्यम की श्यानता को बदलना शामिल है।
$(D)$ पुरानी इमारतों में कांच की खिड़कियों का नीचे से मोटा होना एक आम गलतफहमी है; कांच एक अक्रिस्टलीय ठोस है, न कि अतिशीतित द्रव (supercooled liquid), और यह घटना श्यानता से संबंधित नहीं है।

(D) $n$-type अर्धचालक प्राप्त करने के लिए, $Ge$ (जर्मेनियम) जैसे चतुर्संयोजक (tetravalent) अर्धचालक में एक पंचसंयोजक (pentavalent) अशुद्धि (समूह $15$ का तत्व) मिलाई जाती है।
$P$ (फास्फोरस), $As$ (आर्सेनिक), और $Sb$ (एंटीमनी) सभी समूह $15$ के तत्व हैं और इनका उपयोग $n$-type अर्धचालक बनाने के लिए डोपेंट के रूप में किया जा सकता है।
$B$ (बोरोन) एक त्रिसंयोजक (trivalent) तत्व (समूह $13$) है। $Ge$ में त्रिसंयोजक अशुद्धि मिलाने से $p$-type अर्धचालक प्राप्त होता है, न कि $n$-type अर्धचालक।
इसलिए, $B$ वह डोपेंट है जिसका उपयोग $n$-type अर्धचालक प्राप्त करने के लिए नहीं किया जाता है।

(B, D) चुंबकीय पदार्थों को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के प्रति उनकी प्रतिक्रिया के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है:
$1$. अनुचुंबकीय पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा दुर्बल रूप से आकर्षित होते हैं।
$2$. प्रतिचुंबकीय पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं।
$3$. लौह-चुंबकीय पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा प्रबल रूप से आकर्षित होते हैं।
इन तथ्यों की दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर:
- विकल्प $(A)$ सत्य है।
- विकल्प $(B)$ असत्य है क्योंकि प्रतिचुंबकीय पदार्थ प्रतिकर्षित होते हैं, आकर्षित नहीं।
- विकल्प $(C)$ सत्य है।
- विकल्प $(D)$ असत्य है क्योंकि प्रतिचुंबकीय पदार्थ प्रबल रूप से आकर्षित नहीं होते; वे दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं।
अतः, $(B)$ और $(D)$ दोनों कथन गलत हैं।

(D) $n$-प्रकार का अर्धचालक बनाने के लिए, जर्मेनियम $(Ge)$ जैसे नैज अर्धचालक में एक पंचसंयोजी (pentavalent) अशुद्धि (आवर्त सारणी के समूह $15$ का तत्व) मिलाना आवश्यक है।
$B$ (बोरोन), $In$ (इंडियम), और $Ga$ (गैलियम) त्रिसंयोजी (trivalent) तत्व (समूह $13$) हैं, जिनका उपयोग $p$-प्रकार के अर्धचालक बनाने के लिए किया जाता है।
$P$ (फास्फोरस) एक पंचसंयोजी तत्व (समूह $15$) है, जो जर्मेनियम में डोपिंग करने पर एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करता है, जिससे $n$-प्रकार का अर्धचालक बनता है।
अतः, सही डोपेंट $P$ है।

(C) ऑप्टिकल फाइबर संचार प्रणाली में, ऑप्टिकल संकेतों को प्रवर्धित (amplify) करने के लिए अर्बियम-डोप्ड फाइबर एम्पलीफायर $(EDFA)$ का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। सिलिका फाइबर कोर में अर्बियम $(Er)$ आयनों को डोप किया जाता है। जब इन आयनों को विशिष्ट तरंग दैर्ध्य (आमतौर पर $980 \ nm$ या $1480 \ nm$) पर प्रकाश के साथ पंप किया जाता है, तो वे उत्तेजित अवस्था में पहुंच जाते हैं और $1550 \ nm$ तरंग दैर्ध्य पर प्रेरित उत्सर्जन (stimulated emission) के माध्यम से ऑप्टिकल गेन प्रदान करते हैं, जो ऑप्टिकल फाइबर के लिए कम-हानि वाली विंडो है। इसलिए, सही तत्व अर्बियम $(Er)$ है।

(C) समय $t$ पर विघटन दर $R$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $R = R_0 e^{-\lambda t}$.
यहाँ, $R_0 = 16,000 \text{ विघटन/मिनट}$, $R = 2000 \text{ विघटन/मिनट}$, और $t = 4 \text{ मिनट}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2000 = 16,000 e^{-\lambda \times 4}$.
दोनों पक्षों को $16,000$ से विभाजित करने पर: $\frac{2000}{16,000} = e^{-4\lambda}$, जो सरल होकर $\frac{1}{8} = e^{-4\lambda}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\log_e)$ लेने पर: $\log_e(1/8) = -4\lambda$.
चूंकि $\log_e(1/8) = \log_e(2^{-3}) = -3 \log_e 2$, इसलिए $-3 \log_e 2 = -4\lambda$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{3}{4} \log_e 2 = 0.75 \log_e 2 \text{ min}^{-1}$.

(A) नाभिक का घनत्व $\rho = \frac{M}{V}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $M$ नाभिक का द्रव्यमान है और $V$ इसका आयतन है।
द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \times m_p$ होता है, जहाँ $m_p$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है, जहाँ $R = R_0 A^{1/3}$ नाभिक की त्रिज्या है।
$R$ का मान रखने पर, हमें $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ प्राप्त होता है।
अब, घनत्व $\rho = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi R_0^3}$ होता है।
चूँकि घनत्व $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है, इसलिए सभी नाभिकों का घनत्व समान होता है।
अतः, ऑक्सीजन नाभिक और हीलियम नाभिक के घनत्व का अनुपात $1 : 1$ है।

(C) दिए गए परिपथ में एक $NOR$ गेट है जिसके बाद एक $NOT$ गेट लगा है।
$1$. पहला गेट एक $NOR$ गेट है जिसके इनपुट $A$ और $B$ हैं। $NOR$ गेट का आउटपुट $C = \overline{A + B}$ है।
$2$. दूसरा गेट एक $NOT$ गेट (इनवर्टर) है जो इनपुट $C$ लेता है और आउटपुट $Y = \overline{C}$ उत्पन्न करता है।
$3$. $C$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $Y = \overline{(\overline{A + B})}$ प्राप्त होता है।
$4$. द्विनिषेध के नियम (law of double negation) के अनुसार, $\overline{\overline{X}} = X$ होता है। इसलिए, $Y = A + B$।
$5$. वह परिपथ जो $Y = A + B$ संक्रिया करता है, वह एक $OR$ गेट है।
अतः, परिणामी गेट एक $OR$ गेट है और इसका बूलियन व्यंजक $A + B$ है।

(C) वर्णित लॉजिक गेट $X-OR$ (एक्सक्लूसिव-$OR$) गेट है।
दो इनपुट $A$ और $B$ वाले $X-OR$ गेट के लिए, आउटपुट $Y$ का बूलियन व्यंजक $Y = A \oplus B = A\overline{B} + \overline{A}B$ है।
$X-OR$ गेट के लिए सत्यता सारणी (truth table) इस प्रकार है:
- यदि $A=0, B=0$ है, तो $Y=0$ प्राप्त होता है।
- यदि $A=1, B=0$ है, तो $Y=1$ प्राप्त होता है।
- यदि $A=0, B=1$ है, तो $Y=1$ प्राप्त होता है।
- यदि $A=1, B=1$ है, तो $Y=0$ प्राप्त होता है।
यह पुष्टि करता है कि आउटपुट तब उच्च $(1)$ होता है जब कोई भी एक इनपुट उच्च हो, लेकिन तब नहीं जब दोनों इनपुट उच्च हों।

(C) दिए गए सर्किट में दो इनपुट वाला एक $OR$ गेट है। एक इनपुट $A$ है और दूसरा इनपुट गेट $G$ का आउटपुट है, जो $A$ और $B$ को इनपुट के रूप में लेता है। मान लीजिए गेट $G$ का आउटपुट $X$ है। तो अंतिम आउटपुट $Y = A + X$ होगा।
सत्यता सारणी से:
$A=0, B=0$ के लिए, $Y=0$ है। चूँकि $Y = A + X$, इसलिए $0 = 0 + X \implies X=0$ है।
$A=0, B=1$ के लिए, $Y=0$ है। चूँकि $Y = A + X$, इसलिए $0 = 0 + X \implies X=0$ है।
$A=1, B=0$ के लिए, $Y=1$ है। चूँकि $Y = A + X$, इसलिए $1 = 1 + X \implies X, 0$ या $1$ हो सकता है।
$A=1, B=1$ के लिए, $Y=1$ है। चूँकि $Y = A + X$, इसलिए $1 = 1 + X \implies X, 0$ या $1$ हो सकता है।
इनपुट $A$ और $B$ से प्राप्त $X$ के मानों को देखने पर: जब $A=0, B=0 \implies X=0$; जब $A=0, B=1 \implies X=0$; जब $A=1, B=0 \implies X=0$ ($Y=1$ के साथ संगत); जब $A=1, B=1 \implies X=1$ ($Y=1$ के साथ संगत)।
$X$ के लिए यह सत्यता सारणी (इनपुट $A, B$ और आउटपुट $X$) $AND$ गेट के अनुरूप है, जहाँ $X = A \cdot B$ होता है।

(D) माना $NAND$ गेट का आउटपुट $Y_1 = \overline{A \cdot B}$ है।
माना $NOT$ गेट का आउटपुट $A' = \overline{A}$ है।
माना $NOR$ गेट का आउटपुट $Y_2 = \overline{A' + B} = \overline{\overline{A} + B} = A \cdot \overline{B}$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$, $Y_1$ और $Y_2$ इनपुट वाले $NOR$ गेट का आउटपुट है, इसलिए $Y = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{\overline{A \cdot B} + A \cdot \overline{B}}$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए, $Y = (A \cdot B) \cdot (\overline{A \cdot \overline{B}}) = (A \cdot B) \cdot (\overline{A} + B) = (A \cdot B \cdot \overline{A}) + (A \cdot B \cdot B) = 0 + (A \cdot B) = A \cdot B$.
$Y = 1$ के लिए, $A = 1$ और $B = 1$ होना आवश्यक है।

(B) आइए प्रत्येक लॉजिक गेट के लिए आउटपुट का विश्लेषण करें:
$(A)$ $1$ और $1$ इनपुट वाला $NAND$ गेट: $AND$ गेट का आउटपुट $1 \cdot 1 = 1$ होता है। $NAND$ गेट इसे इनवर्ट (उल्टा) कर देता है, इसलिए आउटपुट $0$ प्राप्त होता है।
$(B)$ $1$ और $0$ इनपुट वाला $NAND$ गेट: $AND$ गेट का आउटपुट $1 \cdot 0 = 0$ होता है। $NAND$ गेट इसे इनवर्ट कर देता है, इसलिए आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
$(C)$ $0$ और $1$ इनपुट वाला $NOR$ गेट: $OR$ गेट का आउटपुट $0 + 1 = 1$ होता है। $NOR$ गेट इसे इनवर्ट कर देता है, इसलिए आउटपुट $0$ प्राप्त होता है।
$(D)$ $0$ और $0$ इनपुट वाला $XOR$ गेट: $XOR$ गेट का आउटपुट $0 \oplus 0 = 0$ होता है।
अतः, वह लॉजिक गेट जिसका आउटपुट '$1$' है, वह $1$ और $0$ इनपुट वाला $NAND$ गेट है।

(A) $1$. यह सर्किट एक $NAND$ गेट, एक $NOR$ गेट और एक $OR$ गेट से बना है।
$2$. $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। इसलिए, इसका आउटपुट $\overline{A \cdot B}$ है।
$3$. $NOR$ गेट के इनपुट $B$ और $C$ हैं। इसलिए, इसका आउटपुट $\overline{B + C}$ है।
$4$. ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में दिए गए हैं। $OR$ गेट का आउटपुट उसके इनपुट का योग होता है।
$5$. अतः, अंतिम आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B} + \overline{B + C}$ है।

(C) मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं, और आउटपुट $Y$ है।
दी गई शर्तें:
$1$. जब $A = 0$ और $B = 0$ हो, तो $Y = 1$ है।
$2$. जब $A = 1$ और $B = 0$ हो, तो $Y = 0$ है।
सत्यता सारणी (Truth Table) की जाँच करने पर:
- $NOR$ गेट के लिए: $0 NOR 0 = 1$ और $1 NOR 0 = 0$ होता है। यह दी गई शर्तों से मेल खाता है।
- $NAND$ गेट के लिए: $0 NAND 0 = 1$ और $1 NAND 0 = 1$ होता है। यह मेल नहीं खाता है।
- $OR$ गेट के लिए: $0 OR 0 = 0$ और $1 OR 0 = 1$ होता है। यह मेल नहीं खाता है।
- $XOR$ गेट के लिए: $0 XOR 0 = 0$ और $1 XOR 0 = 1$ होता है। यह मेल नहीं खाता है।
अतः, यह लॉजिक गेट $NOR$ गेट है।

(D) $1$. परिपथ में एक $AND$ गेट, एक $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल है।
$2$. इनपुट $A$ और $B$ को एक $AND$ गेट में भेजा जाता है। $AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot B$ है।
$3$. इनपुट $C$ को एक $NOT$ गेट में भेजा जाता है। $NOT$ गेट का आउटपुट $\bar{C}$ है।
$4$. $AND$ गेट $(A \cdot B)$ और $NOT$ गेट $(\bar{C})$ के आउटपुट को एक $OR$ गेट में भेजा जाता है।
$5$. $OR$ गेट का अंतिम आउटपुट $Y$ इसके इनपुट का योग है: $Y = (A \cdot B) + \bar{C}$।

(D) दिए गए सर्किट में एक $NOT$ गेट, एक $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल है।
सर्किट आरेख से, $NOT$ गेट का आउटपुट $\bar{A}$ है।
$AND$ गेट का आउटपुट $B \cdot C$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $OR$ गेट में जाते हैं, इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ बूलियन समीकरण द्वारा दिया जाता है: $Y = \bar{A} + (B \cdot C)$।
हम उन इनपुट को खोजना चाहते हैं जिनके लिए $Y = 1$ है।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $A = 1, B = 0, C = 0$: $Y = \bar{1} + (0 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$।
$(B)$ $A = 1, B = 0, C = 1$: $Y = \bar{1} + (0 \cdot 1) = 0 + 0 = 0$।
$(C)$ $A = 1, B = 1, C = 0$: $Y = \bar{1} + (1 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$।
$(D)$ $A = 1, B = 1, C = 1$: $Y = \bar{1} + (1 \cdot 1) = 0 + 1 = 1$।
अतः, $A = 1, B = 1, C = 1$ इनपुट के लिए, आउटपुट $Y$, $1$ प्राप्त होता है।

(D) बूलियन व्यंजक $A + B = Y$ एक $OR$ गेट ऑपरेशन को दर्शाता है।
बूलियन बीजगणित में, $+$ चिह्न तार्किक $OR$ ऑपरेशन को दर्शाता है।
$OR$ गेट के लिए सत्यता सारणी (Truth Table) इस प्रकार है:
- यदि $A = 0$ और $B = 0$ है, तो $Y = 0$ है।
- यदि $A = 1$ और $B = 0$ है, तो $Y = 1$ है।
- यदि $A = 0$ और $B = 1$ है, तो $Y = 1$ है।
- यदि $A = 1$ और $B = 1$ है, तो $Y = 1$ है।
इसका अर्थ है कि आउटपुट $Y$, $1$ (मौजूद) होता है यदि इनपुट $A$ या $B$ में से कम से कम एक $1$ (मौजूद) हो। इसलिए, $Y$ तब मौजूद होता है जब $A$ मौजूद हो, या $B$ मौजूद हो, या $A$ और $B$ दोनों मौजूद हों।

(D) ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर का पावर गेन $(A_p)$, करंट गेन $(\beta)$ और वोल्टेज गेन $(A_v)$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$A_p = \beta \times A_v$
दिया गया है, $A_p = 5 \times 10^6$ और $\beta = 50$.
$5 \times 10^6 = 50 \times A_v$
$A_v = \frac{5 \times 10^6}{50} = 10^5$.
वोल्टेज गेन को $A_v = \beta \times \frac{R_{out}}{R_{in}}$ के रूप में भी परिभाषित किया जाता है, जहाँ $R_{out}$ आउटपुट प्रतिरोध है और $R_{in}$ इनपुट प्रतिरोध है।
$10^5 = 50 \times \frac{500 \times 10^3 \Omega}{R_{in}}$
$R_{in} = \frac{50 \times 500 \times 10^3}{10^5} = \frac{25000 \times 10^3}{10^5} = 250 \Omega$.
अतः, इनपुट प्रतिरोध $250 \Omega$ है।

(B) दिया गया है:
कॉमन एमिटर करंट गेन, $\beta = 20$
एमिटर करंट, $I_E = 7 \text{ mA}$
हम जानते हैं कि कॉमन एमिटर मोड में एमिटर करंट और कलेक्टर करंट के बीच का संबंध $I_E = I_C + I_B$ होता है।
साथ ही, $\beta = I_C / I_B$, जिसका अर्थ है $I_B = I_C / \beta$.
पहले समीकरण में $I_B$ का मान रखने पर:
$I_E = I_C + (I_C / \beta) = I_C(1 + 1/\beta) = I_C((\beta + 1) / \beta)$.
$I_C$ के लिए सूत्र बनाने पर:
$I_C = I_E \times (\beta / (\beta + 1))$.
मान रखने पर:
$I_C = 7 \times (20 / (20 + 1)) = 7 \times (20 / 21)$.
$I_C = 7 \times (20 / 21) = 20 / 3 \text{ mA}$.

(A) कॉमन-एमिटर ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर विन्यास में, इनपुट धारा बेस धारा $(I_B)$ होती है और आउटपुट धारा कलेक्टर धारा $(I_C)$ होती है।
करंट गेन, जिसे $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है, को कलेक्टर-एमिटर वोल्टेज को स्थिर रखते हुए कलेक्टर धारा में परिवर्तन और बेस धारा में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $\beta = \Delta I_C / \Delta I_B$.

(A) दिया गया है:
$d.c. \text{ करंट गेन } (\beta) = 20$
$\text{एमिटर करंट } (I_E) = 7 \text{ mA}$
हम जानते हैं कि करंट गेन $(\beta)$ और कलेक्टर करंट $(I_C)$ के बीच का संबंध $I_C = \beta I_B$ है, जहाँ $I_B$ बेस करंट है।
साथ ही, $I_E = I_B + I_C$.
समीकरण में $I_B = I_C / \beta$ रखने पर:
$I_E = I_C / \beta + I_C$
$I_E = I_C (1/\beta + 1)$
$I_E = I_C (1 + \beta) / \beta$
$I_C$ के लिए हल करने पर:
$I_C = I_E \times \beta / (1 + \beta)$
$I_C = 7 \times 20 / (1 + 20)$
$I_C = 140 / 21$
अंश और हर को $7$ से विभाजित करने पर:
$I_C = 20 / 3 \text{ mA}$.

(A) दिया गया है: $\alpha = 0.9$ और आधार धारा में परिवर्तन $\Delta I_B = 0.4 \text{ mA}$।
सबसे पहले, $CE$ विन्यास के लिए धारा लाभ $\beta$ की गणना इस संबंध का उपयोग करके करते हैं: $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$।
$\alpha$ का मान रखने पर: $\beta = \frac{0.9}{1 - 0.9} = \frac{0.9}{0.1} = 9$।
संग्राहक धारा में परिवर्तन $\Delta I_C$ और आधार धारा में परिवर्तन $\Delta I_B$ के बीच संबंध है: $\Delta I_C = \beta \times \Delta I_B$।
मान रखने पर: $\Delta I_C = 9 \times 0.4 \text{ mA} = 3.6 \text{ mA}$।
अतः, संग्राहक धारा में परिवर्तन $3.6 \text{ mA}$ होगा।

(D) करंट गेन $\beta$, कलेक्टर करंट में परिवर्तन $\Delta I_C$ और बेस करंट में परिवर्तन $\Delta I_B$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{5 \text{ mA}}{0.2 \text{ mA}} = 25$.
वोल्टेज गेन $A_V$ का सूत्र $A_V = \beta \times \frac{R_L}{R_{in}}$ है, जहाँ $R_L$ लोड प्रतिरोध है और $R_{in}$ इनपुट प्रतिरोध है।
दिया गया है $A_V = 75$, $\beta = 25$, और $R_{in} = 2 \text{ k}\Omega$.
मान रखने पर: $75 = 25 \times \frac{R_L}{2 \text{ k}\Omega}$.
$3 = \frac{R_L}{2 \text{ k}\Omega}$.
$R_L = 3 \times 2 \text{ k}\Omega = 6 \text{ k}\Omega$.

(B) करंट गेन $\beta$ को कलेक्टर करंट में परिवर्तन $(\Delta I_C)$ और बेस करंट में परिवर्तन $(\Delta I_B)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{5 \text{ mA}}{0.2 \text{ mA}} = 25$.
वोल्टेज गेन $A_V$ का सूत्र $A_V = \beta \times \frac{R_L}{R_{in}}$ है, जहाँ $R_L$ लोड प्रतिरोध है और $R_{in}$ इनपुट प्रतिरोध है।
दिया गया है $A_V = 75$, $\beta = 25$, और $R_{in} = 2 \text{ k}\Omega$.
मान रखने पर: $75 = 25 \times \frac{R_L}{2 \text{ k}\Omega}$.
$3 = \frac{R_L}{2 \text{ k}\Omega}$.
$R_L = 3 \times 2 \text{ k}\Omega = 6 \text{ k}\Omega$.
अतः, लोड प्रतिरोध $6 \text{ k}\Omega$ है।

(A) कॉमन एमिटर ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर में:
$1$. वोल्टेज लाभ $A_V$ को आउटपुट वोल्टेज और इनपुट वोल्टेज के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$A_V = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{I_c R_L}{I_b r_i} = \beta \frac{R_L}{r_i}$, जहाँ $\beta = \frac{I_c}{I_b}$ a.c. धारा लाभ है।
$2$. शक्ति लाभ $A_P$ को धारा लाभ और वोल्टेज लाभ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$A_P = \beta \times A_V = \beta \times (\beta \frac{R_L}{r_i}) = \beta^2 \frac{R_L}{r_i}$.
अतः, वोल्टेज लाभ $\beta (R_L/r_i)$ है और शक्ति लाभ $\beta^2 (R_L/r_i)$ है।

(A) ट्रांजिस्टर में, उत्सर्जक धारा $(I_E)$ संग्राहक धारा $(I_C)$ और आधार धारा $(I_B)$ का योग होती है, अर्थात $I_E = I_C + I_B$।
यह दिया गया है कि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों का $80\%$ संग्राहक तक पहुँचता है, इसलिए $I_C = 0.80 \times I_E$।
चूंकि $I_C = 28 \text{ mA}$ दिया गया है, हम $I_E$ ज्ञात कर सकते हैं:
$I_E = \frac{I_C}{0.80} = \frac{28}{0.80} = 35 \text{ mA}$।
अब, $I_B = I_E - I_C$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$I_B = 35 \text{ mA} - 28 \text{ mA} = 7 \text{ mA}$।
अतः, आधार धारा $7 \text{ mA}$ है।

(B) एक बाइपोलर जंक्शन ट्रांजिस्टर $(BJT)$ में, तीन क्षेत्रों को उनके कार्यों को अनुकूलित करने के लिए अलग-अलग तरह से डोप किया जाता है:
$1$. $Emitter$ (उत्सर्जक) को बड़ी संख्या में आवेश वाहक (charge carriers) प्रदान करने के लिए भारी रूप से डोप किया जाता है।
$2$. $Base$ (आधार) बहुत पतला और हल्का डोप किया हुआ होता है ताकि उत्सर्जक से आने वाले अधिकांश आवेश वाहक संग्राहक तक पहुँच सकें।
$3$. $Collector$ (संग्राहक) उत्सर्जक और आधार की तुलना में मध्यम रूप से डोप किया जाता है।
इसलिए, भारी रूप से डोप किया गया भाग $Emitter$ है और हल्का डोप किया गया भाग $Base$ है।

(C) कॉमन एमिटर ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $(A_v)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$
जहाँ:
$\beta$ ($AC$ करंट गेन) = $65$
$R_L$ (लोड प्रतिरोध) = $5400 \text{ }\Omega$
$R_i$ (इनपुट प्रतिरोध) = $450 \text{ }\Omega$
सूत्र में मान रखने पर:
$A_v = 65 \times \frac{5400}{450}$
$A_v = 65 \times 12$
$A_v = 780$
अतः, वोल्टेज गेन $780$ है।

(D) फोटोडायोड $p-n$ जंक्शन डायोड का एक विशेष प्रकार है जिसे रिवर्स बायस स्थितियों में संचालित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
जब अर्धचालक की बैंडगैप ऊर्जा से अधिक ऊर्जा वाला प्रकाश (फोटॉन) जंक्शन पर पड़ता है, तो यह इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े उत्पन्न करता है।
रिवर्स बायस विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में, ये आवेश वाहक जंक्शन के पार चले जाते हैं, जिससे फोटोकरंट उत्पन्न होता है।
इस फोटोकरंट का परिमाण आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होता है।
इसलिए, प्रकाश संकेतों का कुशलतापूर्वक पता लगाने के लिए फोटोडायोड को हमेशा रिवर्स बायस में संचालित किया जाता है।

(C) $LED$ (लाइट एमिटिंग डायोड) एक अत्यधिक डोपित $p-n$ जंक्शन डायोड है जो अग्र अभिनत (forward biased) होने पर स्वतः विकिरण उत्सर्जित करता है।
जब $LED$ अग्र अभिनत होता है, तो $n$-क्षेत्र से इलेक्ट्रॉन और $p$-क्षेत्र से कोटर (holes) जंक्शन की ओर बढ़ते हैं और पुनर्संयोजन (recombination) करते हैं।
इस पुनर्संयोजन के दौरान, मुक्त होने वाली ऊर्जा फोटॉन (प्रकाश) के रूप में होती है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा अर्धचालक पदार्थ के बैंड गैप ऊर्जा $(E_g)$ के बराबर या उससे थोड़ी कम होती है।
इसलिए, यह कथन कि यह पश्च अभिनत (reverse biased) होने पर प्रकाश उत्सर्जित करता है, गलत है।

(D) $LED$ (Light Emitting Diode) एक अर्धचालक उपकरण है जो विद्युत धारा प्रवाहित होने पर प्रकाश उत्सर्जित करता है।
$1$. सही ढंग से निर्मित होने पर $LED$ अपने लंबे परिचालन जीवनकाल के लिए जाने जाते हैं।
$2$. $LED$ द्वारा उत्पन्न प्रकाश एकवर्णी या विशिष्ट तरंग दैर्ध्य का होता है, और इसके रंग समय के साथ फीके नहीं पड़ते हैं।
$3$. पारंपरिक तापदीप्त या फ्लोरोसेंट बल्बों की तुलना में $LED$ अत्यधिक ऊर्जा कुशल होते हैं।
$4$. $LED$ से प्रवाहित होने वाली धारा की मात्रा को बदलकर (पल्स विड्थ मॉड्यूलेशन जैसी तकनीकों का उपयोग करके) इसकी चमक को आसानी से नियंत्रित किया जा सकता है।
इसलिए, यह कथन कि $LED$ द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की चमक को नियंत्रित नहीं किया जा सकता है,'गलत' है।

(C) सौर सेल को कुशल बनाने के लिए, सामग्री को सौर स्पेक्ट्रम के एक महत्वपूर्ण हिस्से को अवशोषित करने में सक्षम होना चाहिए।
पृथ्वी की सतह तक पहुँचने वाला अधिकांश सौर विकिरण दृश्य और निकट-अवरक्त (near-infrared) सीमा में होता है।
$1.0 \text{ eV}$ से $1.8 \text{ eV}$ के बीच का बैंड गैप आदर्श होता है क्योंकि यह सामग्री को सौर स्पेक्ट्रम की अधिकतम तीव्रता के अनुरूप ऊर्जा वाले फोटॉन को अवशोषित करने की अनुमति देता है।
सिलिकॉन, जिसका बैंड गैप लगभग $1.1 \text{ eV}$ है, इस गुण के कारण सौर सेल के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली सामग्री है।

(A) $Zener$ डायोड एक विशेष रूप से डिज़ाइन किया गया $pn$ जंक्शन डायोड है, जिसे रिवर्स ब्रेकडाउन क्षेत्र में संचालित करने के लिए भारी रूप से डोप किया जाता है।
फॉरवर्ड बायस में, यह एक सामान्य $pn$ जंक्शन डायोड की तरह व्यवहार करता है और थ्रेशोल्ड वोल्टेज तक पहुँचने पर विद्युत धारा का संचालन करता है।
रिवर्स बायस में, जब $Zener$ डायोड के आर-पार वोल्टेज उसके $Zener$ ब्रेकडाउन वोल्टेज $(V_Z)$ तक पहुँच जाता है, तो विद्युत धारा काफी बढ़ जाती है जबकि इसके आर-पार वोल्टेज लगभग स्थिर रहता है।
यह गुण $Zener$ डायोड को रिवर्स बायस क्षेत्र में वोल्टेज रेगुलेटर के रूप में कार्य करने की अनुमति देता है।

(C) एक $p-n$ जंक्शन डायोड में, रिवर्स बायस वोल्टेज बढ़ाने पर डिप्लीशन क्षेत्र की चौड़ाई बढ़ जाती है।
जब रिवर्स बायस वोल्टेज को एक महत्वपूर्ण मान तक बढ़ाया जाता है जिसे ब्रेकडाउन वोल्टेज कहा जाता है, तो जंक्शन पर विद्युत क्षेत्र बहुत मजबूत हो जाता है।
यह मजबूत विद्युत क्षेत्र बड़ी संख्या में आवेश वाहकों को उत्पन्न करता है (जेनर ब्रेकडाउन या एवलांच ब्रेकडाउन के माध्यम से), जिससे रिवर्स करंट में अचानक वृद्धि होती है।
इसलिए, ब्रेकडाउन तब होता है जब रिवर्स बायस को इस महत्वपूर्ण मान तक बढ़ाया जाता है।

(C) फॉरवर्ड बायस में एक आदर्श डायोड शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है, और रिवर्स बायस में, यह ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
स्थिति $1$: डायोड $D$ फॉरवर्ड बायस में है।
ऊपरी शाखा में डायोड (जो $0 \ \Omega$ के रूप में कार्य करता है) के साथ श्रेणीक्रम में $30 \ \Omega$ का प्रतिरोध है। निचली शाखा में $30 \ \Omega$ का प्रतिरोध है। ये दोनों शाखाएं समानांतर क्रम में हैं।
$R_1 = (30 \ \Omega \parallel 30 \ \Omega) = \frac{30 \times 30}{30 + 30} = \frac{900}{60} = 15 \ \Omega$.
स्थिति $2$: डायोड $D$ रिवर्स बायस में है।
ऊपरी शाखा ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करती है। अतः, केवल निचली शाखा जिसमें $30 \ \Omega$ का प्रतिरोध है, $A$ और $B$ के बीच जुड़ी हुई है।
$R_2 = 30 \ \Omega$.
अनुपात $R_1/R_2 = 15/30 = 1/2$.

(B) $1$. परिपथ का विश्लेषण: डायोड $D_1$ और $D_2$ अग्र-अभिनत (forward-biased) हैं, जबकि $D_3$ पश्च-अभिनत (reverse-biased) है।
$2$. चूँकि $D_3$ पश्च-अभिनत है, यह एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है (अनंत प्रतिरोध), इसलिए $D_3$ वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
$3$. परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है जो $100 \text{ } \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं।
$4$. शाखा $1$ ($D_1$ के साथ): कुल प्रतिरोध $R_1 = R_{D1} + 150 \text{ } \Omega = 50 \text{ } \Omega + 150 \text{ } \Omega = 200 \text{ } \Omega$.
$5$. शाखा $2$ ($D_2$ के साथ): कुल प्रतिरोध $R_2 = R_{D2} + 50 \text{ } \Omega = 50 \text{ } \Omega + 50 \text{ } \Omega = 100 \text{ } \Omega$.
$6$. $R_1$ और $R_2$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{200 \times 100}{200 + 100} = \frac{20000}{300} = \frac{200}{3} \text{ } \Omega$.
$7$. परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_p + 100 \text{ } \Omega = \frac{200}{3} + 100 = \frac{500}{3} \text{ } \Omega$.
$8$. बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{5}{500/3} = \frac{15}{500} = 0.03 \text{ A} = 30 \text{ mA}$.

(D) $Zener$ डायोड एक विशेष प्रकार का डायोड है जिसे ब्रेकडाउन क्षेत्र में काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
जब इसका उपयोग वोल्टेज रेगुलेटर के रूप में किया जाता है, तो $Zener$ डायोड को लोड के साथ रिवर्स बायस में समानांतर जोड़ा जाता है।
यह विन्यास सुनिश्चित करता है कि लोड पर वोल्टेज $Zener$ ब्रेकडाउन वोल्टेज पर स्थिर रहे, भले ही इनपुट वोल्टेज या लोड करंट बदल जाए।
अतः, सही संयोजन रिवर्स बायस और लोड के साथ समानांतर है।

(D) यदि $p$-सिरे (एनोड) पर विभव $n$-सिरे (कैथोड) पर विभव से अधिक है, तो डायोड फॉरवर्ड बायस्ड होता है। अन्यथा, यह रिवर्स बायस्ड होता है।
चित्र $(1)$ में:
डायोड $D_1$ का $p$-सिरा $-5 \ V$ पर है और $n$-सिरा प्रतिरोधक $R_1$ के माध्यम से $-3 \ V$ से जुड़ा है। चूंकि $-5 \ V < -3 \ V$, $p$-सिरे पर विभव $n$-सिरे पर विभव से कम है। इसलिए, डायोड $D_1$ रिवर्स बायस्ड है।
चित्र $(2)$ में:
डायोड $D_2$ का $p$-सिरा $0 \ V$ पर है और $n$-सिरा प्रतिरोधक $R_2$ के माध्यम से $-4 \ V$ से जुड़ा है। चूंकि $0 \ V > -4 \ V$, $p$-सिरे पर विभव $n$-सिरे पर विभव से अधिक है। इसलिए, डायोड $D_2$ फॉरवर्ड बायस्ड है।
अतः, चित्र $(1)$ रिवर्स बायस्ड है और चित्र $(2)$ फॉरवर्ड बायस्ड है।

(B) दिए गए परिपथ में एक $5 \text{ V}$ का $DC$ स्रोत, एक सिलिकॉन डायोड और $200 \text{ } \Omega$ का प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
चूंकि डायोड अग्र-अभिनत (forward-biased) है, यह तब विद्युत धारा का संचालन करेगा जब आरोपित वोल्टेज इसके नी-वोल्टेज से अधिक हो।
प्रतिरोधक पर प्रभावी वोल्टेज $(V_R)$ इस प्रकार है:
$V_R = V_{\text{source}} - V_{\text{knee}}$
$V_R = 5 \text{ V} - 0.7 \text{ V} = 4.3 \text{ V}$
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, परिपथ में प्रवाहित धारा $(I)$:
$I = \frac{V_R}{R}$
$I = \frac{4.3 \text{ V}}{200 \text{ } \Omega} = 0.0215 \text{ A}$
धारा को मिलीएम्पियर (mA) में बदलने पर:
$I = 0.0215 \times 1000 \text{ mA} = 21.5 \text{ mA}$
अतः, मिलीएमीटर का पाठ्यांक $21.5 \text{ mA}$ है।

(A) $p-n$ जंक्शन में, अवक्षय क्षेत्र (depletion region) जंक्शन के आर-पार आवेश वाहकों के विसरण (diffusion) के कारण बनता है।
जब जंक्शन फॉरवर्ड बायस में होता है, तो बाहरी विद्युत क्षेत्र आंतरिक विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है, जो आवेश वाहकों को जंक्शन की ओर धकेलता है, जिससे अवक्षय क्षेत्र की चौड़ाई कम हो जाती है।
जब जंक्शन रिवर्स बायस में होता है, तो बाहरी विद्युत क्षेत्र आंतरिक विद्युत क्षेत्र का समर्थन करता है, जो आवेश वाहकों को जंक्शन से दूर खींचता है, जिससे अवक्षय क्षेत्र की चौड़ाई बढ़ जाती है।
इसलिए, यदि जंक्शन रिवर्स बायस में है तो अवक्षय क्षेत्र बढ़ता है।

(B) अत्यंत शुद्ध रूप में अर्धचालक को नैज (intrinsic) अर्धचालक कहा जाता है।
एक नैज अर्धचालक में, मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या होल्स की संख्या के बराबर होती है।
ऐसे पदार्थ की चालकता पूरी तरह से इलेक्ट्रॉनों के तापीय उत्तेजन के कारण होती है, जिसके परिणामस्वरूप सहसंयोजक बंध टूट जाते हैं।
इसलिए, जब चालकता केवल सहसंयोजक बंधों के टूटने के कारण होती है, तो इसे नैज अर्धचालक कहा जाता है।

(D) दिया गया है: आंतरिक वाहक सांद्रता $n_i = 10^{16} \text{ m}^{-3}$।
दाता सांद्रता (फास्फोरस परमाणु) $n_D = 10^{21} \text{ m}^{-3}$।
चूंकि फास्फोरस एक पंचसंयोजी अशुद्धि है, यह एक दाता के रूप में कार्य करता है, जिससे क्रिस्टल $n$-प्रकार का अर्धचालक बन जाता है।
$n$-प्रकार के अर्धचालक में, इलेक्ट्रॉन सांद्रता $n_e \approx n_D = 10^{21} \text{ m}^{-3}$ होती है।
अर्धचालकों के लिए द्रव्यमान क्रिया के नियम के अनुसार, $n_e \cdot n_h = n_i^2$, जहाँ $n_h$ होल सांद्रता है।
मान रखने पर: $10^{21} \cdot n_h = (10^{16})^2$।
$10^{21} \cdot n_h = 10^{32}$।
$n_h = 10^{32} / 10^{21} = 10^{11} \text{ m}^{-3}$।
अतः, नई होल सांद्रता $10^{11} \text{ per m}^3$ है।

(B) एक अर्धचालक में, तापमान $(T)$ बढ़ने के साथ आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से (घातांकीय रूप से) बढ़ती है।
आवेश वाहकों की संख्या में यह वृद्धि, आवेश वाहकों के प्रकीर्णन (scattering) में वृद्धि के प्रभाव पर हावी हो जाती है।
परिणामस्वरूप, जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, अर्धचालक की प्रतिरोधकता $(\rho)$ कम होती जाती है।
यह संबंध $\rho = \rho_0 e^{E_g / 2kT}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $E_g$ ऊर्जा बैंड अंतराल है, $k$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, और $T$ परम तापमान है।
यह एक घातांकीय क्षय वक्र (exponential decay curve) को दर्शाता है।
इसलिए, ग्राफ $B$ अर्धचालक के लिए प्रतिरोधकता की तापमान पर निर्भरता को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) एक शुद्ध अर्धचालक में अशुद्धि परमाणु मिलाने की प्रक्रिया को डोपिंग कहा जाता है।
अशुद्धियाँ मिलाने से अर्धचालक में आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों या होल्स) की संख्या बढ़ जाती है।
चूंकि अर्धचालक की चालकता $(\sigma)$ आवेश वाहकों की संख्या $(n)$ के सीधे आनुपातिक होती है, अर्थात $\sigma = ne\mu$, जहाँ $e$ आवेश है और $\mu$ गतिशीलता है, इसलिए आवेश वाहकों की संख्या में वृद्धि से चालकता में वृद्धि होती है।
प्रतिरोधकता $(\rho)$ चालकता का व्युत्क्रम होती है $(\rho = 1/\sigma)$।
अतः, डोपिंग के कारण चालकता बढ़ने से अर्धचालक की प्रतिरोधकता घट जाती है।

(C) कुचालक वे पदार्थ होते हैं जो अपने माध्यम से विद्युत धारा को आसानी से प्रवाहित नहीं होने देते हैं।
इसका कारण यह है कि उनके संयोजी बैंड (valence band) और चालन बैंड (conduction band) के बीच ऊर्जा अंतराल (energy band gap) बहुत बड़ा होता है, जो इलेक्ट्रॉनों को चालन बैंड में जाने से रोकता है।
परिणामस्वरूप, उनकी विद्युत चालकता अत्यंत कम होती है, जो आमतौर पर $10^{-20}$ से $10^{-10} \ S/m$ की सीमा में होती है।

(B) $1$. जर्मेनियम $(Ge)$ समूह $14$ का तत्व है। इंडियम $(In)$ समूह $13$ का तत्व है। $Ge$ में $In$ मिलाने से p-प्रकार का अर्धचालक बनता है। अतः, $X$ p-प्रकार का है।
$2$. आर्सेनिक $(As)$ समूह $15$ का तत्व है। $Ge$ में $As$ मिलाने से n-प्रकार का अर्धचालक बनता है। अतः, $Y$ n-प्रकार का है।
$3$. बनने वाला जंक्शन एक p-n जंक्शन है।
$4$. परिपथ आरेख में, p-सिरा $(X)$ बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल से और n-सिरा $(Y)$ बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से जुड़ा है।
$5$. जब p-सिरा ऋणात्मक टर्मिनल से और n-सिरा धनात्मक टर्मिनल से जुड़ा होता है, तो p-n जंक्शन रिवर्स बायस्ड होता है।

(C) एक आंतरिक अर्धचालक में, पदार्थ शुद्ध होता है और इसमें कोई अशुद्धि नहीं होती है।
जब तापीय ऊर्जा प्रदान की जाती है, तो इलेक्ट्रॉन वैलेंस बैंड से कंडक्शन बैंड में उत्तेजित होते हैं।
यह प्रक्रिया कंडक्शन बैंड में एक मुक्त इलेक्ट्रॉन और वैलेंस बैंड में एक संबंधित होल बनाती है।
चूंकि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन-होल जोड़ी एक साथ उत्पन्न होती है, इसलिए प्रति इकाई आयतन में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n_e)$ प्रति इकाई आयतन में होल्स की संख्या $(n_h)$ के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए, $n_e = n_h$.

(C) $n$-प्रकार का अर्धचालक, एक नैज अर्धचालक ($Si$ या $Ge$ जैसे) में पंचसंयोजी अशुद्धि परमाणुओं ($P$, $As$, या $Sb$ जैसे) को मिलाकर बनाया जाता है।
ये पंचसंयोजी परमाणु चालन बैंड (conduction band) में अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करते हैं।
इसलिए, $n$-प्रकार के अर्धचालक में, इलेक्ट्रॉन बहुसंख्यक आवेश वाहक होते हैं और कोटर (holes) अल्पसंख्यक आवेश वाहक होते हैं।

(C) $n$-प्रकार के अर्धचालक में, आंतरिक अर्धचालक में पंचसंयोजी (pentavalent) अशुद्धि परमाणु (जैसे फास्फोरस, आर्सेनिक, आदि) मिलाए जाते हैं।
इन अशुद्धि परमाणुओं को दाता (donor) परमाणु कहा जाता है।
प्रत्येक दाता परमाणु एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करता है।
ये दान किए गए इलेक्ट्रॉन दाता ऊर्जा स्तरों $(E_D)$ नामक असतत ऊर्जा स्तरों पर स्थित होते हैं।
ये दाता ऊर्जा स्तर बैंड अंतराल के भीतर, चालन बैंड के किनारे $(E_C)$ के ठीक नीचे स्थित होते हैं।
चूंकि ये चालन बैंड के बहुत करीब होते हैं, इसलिए ये इलेक्ट्रॉन कमरे के तापमान पर आसानी से चालन बैंड में उत्तेजित हो सकते हैं, जिससे विद्युत चालकता में योगदान मिलता है।

(A) अचालकों में, संयोजी बैंड (valence band) और चालन बैंड (conduction band) के बीच का ऊर्जा बैंड गैप बहुत बड़ा (आमतौर पर $> 3 \ eV$) होता है।
इस बड़े ऊर्जा अंतराल के कारण, कमरे के तापमान पर भी इलेक्ट्रॉन संयोजी बैंड से चालन बैंड में आसानी से नहीं जा सकते हैं।
परिणामस्वरूप, चालन बैंड खाली रहता है क्योंकि विद्युत का चालन करने के लिए कोई इलेक्ट्रॉन उपलब्ध नहीं होते हैं।

(A) दिए गए परिपथ में चार गेट हैं: $G_1$ और $G_2$ $NOT$ गेट हैं, $G_3$ एक $NOR$ गेट है, और $G_4$ एक $NOT$ गेट है।
मान लीजिए कि इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$G_1$ और $G_2$ के आउटपुट क्रमशः $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं।
ये इनपुट $NOR$ गेट $G_3$ में जाते हैं। $G_3$ का आउटपुट $\overline{\bar{A} + \bar{B}}$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, $\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ होता है।
यह आउटपुट फिर $NOT$ गेट $G_4$ से होकर गुजरता है।
अंतिम आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ प्राप्त होता है, जो कि $NAND$ गेट का बूलियन व्यंजक है।

(C) $NAND$ गेट, $AND$ गेट और उसके बाद $NOT$ गेट का एक संयोजन है।
$AND$ गेट के लिए, आउटपुट $A \cdot B$ होता है।
इस परिणाम पर $NOT$ ऑपरेशन लागू करने से $NAND$ गेट का आउटपुट प्राप्त होता है।
इसलिए, $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है।

(B) इस सर्किट में एक $NOR$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट है, जो मिलकर $A$ और $B$ इनपुट के लिए एक $OR$ गेट बनाते हैं। मान लीजिए यह आउटपुट $Y_1$ है। अतः, $Y_1 = A + B$.
इनपुट $C$ और $D$ एक $AND$ गेट से जुड़े हैं, इसलिए $Y_2 = C \cdot D$.
इसके बाद $Y_1$ और $Y_2$ आउटपुट को एक $NOR$ गेट में भेजा जाता है जिससे $Y_3$ प्राप्त होता है। अतः, $Y_3 = \overline{Y_1 + Y_2}$.
दिए गए इनपुट: $A = 0, B = 1, C = 0, D = 1$.
$Y_1$ की गणना: $Y_1 = A + B = 0 + 1 = 1$.
$Y_2$ की गणना: $Y_2 = C \cdot D = 0 \cdot 1 = 0$.
$Y_3$ की गणना: $Y_3 = \overline{Y_1 + Y_2} = \overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$.
अतः, नए आउटपुट $(1, 0, 0)$ हैं।

(A) जब एक $p-n$ जंक्शन डायोड को फॉरवर्ड बायस किया जाता है, तो बाहरी बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $p$-प्रकार के क्षेत्र से और ऋणात्मक टर्मिनल $n$-प्रकार के क्षेत्र से जुड़ा होता है।
यह बाहरी विद्युत क्षेत्र अवक्षय परत (depletion region) के आंतरिक विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है।
परिणामस्वरूप, बहुसंख्यक आवेश वाहक (majority charge carriers) जंक्शन की ओर धकेले जाते हैं, जिससे अवक्षय परत की चौड़ाई कम हो जाती है।
अतः, विभव प्राचीर (potential barrier) की ऊँचाई कम हो जाती है, जिससे डायोड में से विद्युत धारा प्रवाहित होने लगती है।

(A) ब्रूस्टर का नियम बताता है कि ब्रूस्टर कोण $(i_B)$ की स्पर्शज्या (tangent) माध्यम के अपवर्तनांक $(\mu)$ के बराबर होती है: $\tan(i_B) = \mu$।
चूंकि किसी माध्यम का अपवर्तनांक $(\mu)$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ पर निर्भर करता है (वर्ण-विक्षेपण के कारण), और प्रकाश के विभिन्न रंगों की तरंगदैर्ध्य अलग-अलग होती है, इसलिए अपवर्तनांक भी विभिन्न रंगों के लिए बदलता रहता है।
परिणामस्वरूप, ब्रूस्टर कोण $(i_B = \arctan(\mu))$ विभिन्न रंगों के प्रकाश के लिए अलग-अलग होता है।