MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) जब एक द्रव्यमान $m$ को $k_1$ और $k_2$ बल नियतांक वाली दो स्प्रिंगों के बीच समांतर क्रम में जोड़ा जाता है, तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff}$ का मान $k_{eff} = k_1 + k_2$ होता है।
इस प्रश्न में, दोनों स्प्रिंगें द्रव्यमान $m$ के साथ समांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं। इसलिए, प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_{eff} = 2k + k = 3k$ होगा।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए दोलन की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}}$ होता है।
$k_{eff}$ का मान रखने पर, हमें $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3k}{m}}$ प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $T^2 \propto l$, या $l = kT^2$ जहाँ $k = \frac{g}{4\pi^2}$ एक नियतांक है।
यहाँ $T_1 = 2.4 \text{ s}$ और $T_2 = 1.8 \text{ s}$ दिया गया है।
अतः $l_1 = k(2.4)^2$ और $l_2 = k(1.8)^2$ होगा।
$l_3 = (l_1 - l_2)$ लंबाई वाले लोलक के लिए, आवर्तकाल $T_3$ का मान $l_3 = kT_3^2$ से प्राप्त होता है।
$l_1$ और $l_2$ के मान रखने पर: $kT_3^2 = k(2.4)^2 - k(1.8)^2$.
$T_3^2 = (2.4)^2 - (1.8)^2$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$T_3^2 = (2.4 - 1.8)(2.4 + 1.8) = (0.6)(4.2) = 2.52$.
$T_3 = \sqrt{2.52} \approx 1.587 \text{ s}$.
अतः, निकटतम मान $T_3 \approx 1.6 \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(D) $SHM$ (सरल आवर्त गति) कर रहे एक पिंड की कुल ऊर्जा $(E)$ उसकी गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$m$ द्रव्यमान और $\omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ $SHM$ कर रहे पिंड के लिए, कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ होती है।
चूंकि प्रत्यानयन बल $F = -Kx$ है, हम जानते हैं कि $K = m \omega^2$ होता है।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $E = \frac{1}{2} K a^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ, $K$ बल नियतांक है और $a$ आयाम है।
अतः, कुल ऊर्जा केवल बल नियतांक $K$ और आयाम $a$ पर निर्भर करती है।

(B) माना आयाम $A = 3 \text{ cm}$ है।
माना विस्थापन $x$ है।
$SHM$ में एक कण की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ है।
$SHM$ में एक कण की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का सूत्र $PE = \frac{1}{2} kx^2$ है।
प्रश्न के अनुसार, $KE = PE + 0.25 PE = 1.25 PE = \frac{5}{4} PE$.
$KE$ और $PE$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{1}{2} k(A^2 - x^2) = \frac{5}{4} (\frac{1}{2} kx^2)$.
$A^2 - x^2 = \frac{5}{4} x^2$.
$A^2 = x^2 + \frac{5}{4} x^2 = \frac{9}{4} x^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$A = \frac{3}{2} x$.
चूंकि $A = 3 \text{ cm}$ दिया गया है, इसलिए $3 = \frac{3}{2} x$.
अतः, $x = 2 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि सतह घर्षण रहित है, इसलिए निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
अधिकतम विस्थापन (आयाम $A = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$) पर वेग शून्य होता है, इसलिए कुल ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा होती है: $E = \frac{1}{2} k A^2$.
किसी भी स्थिति $x$ पर, कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का योग होती है: $E = K + \frac{1}{2} k x^2$.
कुल ऊर्जा के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} k A^2 = K + \frac{1}{2} k x^2$.
$K$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$.
दिया गया है $K = 0.25 \text{ J}$, $A = 0.1 \text{ m}$, और $x = 0.05 \text{ m}$:
$0.25 = \frac{1}{2} k ((0.1)^2 - (0.05)^2)$.
$0.5 = k (0.01 - 0.0025)$.
$0.5 = k (0.0075)$.
$k = \frac{0.5}{0.0075} = \frac{5000}{75} = \frac{200}{3} \approx 66.67 \text{ Nm}^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में, $k \approx 67 \text{ Nm}^{-1}$।

(A) $S.H.M.$ कर रहे एक ब्लॉक के लिए, कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है और यह चरम स्थिति $(x = A)$ पर अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $E$ के बराबर होती है।
कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$.
किसी भी विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
$x = A/2$ पर, स्थितिज ऊर्जा $U$:
$U = \frac{1}{2} k (A/2)^2 = \frac{1}{2} k (A^2/4) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} k A^2) = \frac{E}{4}$.
किसी भी स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K = E - U$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, $K = E - \frac{E}{4} = \frac{3E}{4}$.

(C) $S.H.M.$ कर रहे कण के लिए, $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है।
$x$ विस्थापन पर गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ है, जहाँ $A$ आयाम है।
प्रश्न के अनुसार, $U = 8K$.
मान रखने पर, $\frac{1}{2} k x^2 = 8 \times \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2} k$ को हटाने पर, $x^2 = 8(A^2 - x^2)$.
$x^2 = 8A^2 - 8x^2$.
$9x^2 = 8A^2$.
$x^2 = \frac{8}{9} A^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $x = \sqrt{\frac{8}{9}} A = \frac{2\sqrt{2}}{3} A$.

(D) माध्य स्थिति $(x = 0)$ से शुरू होने वाले सरल आवर्त गति करने वाले कण के लिए गति का समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
$x = \frac{A}{2}$ के लिए, $\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_1)$, जिसका अर्थ है $\sin(\omega t_1) = \frac{1}{2}$।
अतः, $\omega t_1 = \frac{\pi}{6}$। दिया गया है $t_1 = 2 \text{ s}$, इसलिए $\omega(2) = \frac{\pi}{6}$, जिससे $\omega = \frac{\pi}{12} \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
अब, $x = A$ के लिए, $A = A \sin(\omega t_2)$, जिसका अर्थ है $\sin(\omega t_2) = 1$।
अतः, $\omega t_2 = \frac{\pi}{2}$। $\omega = \frac{\pi}{12}$ रखने पर, हमें $t_2 = \frac{\pi/2}{\pi/12} = 6 \text{ s}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{A}{2}$ से $x = A$ तक जाने में लगा समय $\Delta t = t_2 - t_1 = 6 \text{ s} - 2 \text{ s} = 4 \text{ s}$ है।

(C) $S.H.M.$ करने वाले कण का विस्थापन $x(t) = A \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$ और $\omega = 2\pi \text{ rad/s}$ है।
वेग $v(t)$ समय के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है: $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t)$.
चाल $|v(t)| = |A\omega \sin(\omega t)|$ है। चाल अधिकतम तब होती है जब $|\sin(\omega t)| = 1$ हो।
यह तब होता है जब $\omega t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$ हो।
पहली बार के लिए, $\omega t = \frac{\pi}{2}$.
$\omega = 2\pi$ रखने पर, हमें $2\pi t = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर, $t = \frac{\pi}{2 \times 2\pi} = \frac{1}{4} \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(A) $S.H.M.$ करने वाले कण की कुल ऊर्जा $E$, उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग होती है।
$E = K + U = 2 \text{ J} + 1.2 \text{ J} = 3.2 \text{ J}$.
$S.H.M.$ में कुल ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, और $A$ आयाम है।
दी गई आवृत्ति $f = \frac{16}{\pi} \text{ Hz}$ है, इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left( \frac{16}{\pi} \right) = 32 \text{ rad/s}$ होगी।
ऊर्जा समीकरण में मान रखने पर:
$3.2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (32)^2 \times A^2$
$3.2 = 0.2 \times 1024 \times A^2$
$3.2 = 204.8 \times A^2$
$A^2 = \frac{3.2}{204.8} = \frac{1}{64}$
$A = \sqrt{\frac{1}{64}} = 0.125 \text{ m}$.

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 10 \text{ kg}$
बल नियतांक $k = 10 \text{ N/m}$
वेग $v = 40 \text{ cm/s} = 0.4 \text{ m/s}$
आयाम $A = 0.5 \text{ m}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{10}{10}} = 1 \text{ rad/s}$.
$S.H.M.$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $x$ विस्थापन है।
मान रखने पर: $0.4 = 1 \times \sqrt{(0.5)^2 - x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(0.4)^2 = (0.5)^2 - x^2$.
$0.16 = 0.25 - x^2$.
$x^2 = 0.25 - 0.16 = 0.09$.
$x = \sqrt{0.09} = 0.3 \text{ m}$.
अतः, विस्थापन $0.3 \text{ m}$ है।

(C) वेग के लिए दिया गया समीकरण $4v^2 = 50 - x^2$ है।
$4$ से विभाजित करने पर, हमें $v^2 = \frac{50}{4} - \frac{x^2}{4} = 12.5 - \frac{x^2}{4}$ प्राप्त होता है।
$SHM$ में वेग के लिए मानक समीकरण $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2) = \omega^2 A^2 - \omega^2 x^2$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें $\omega^2 = 1/4$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\omega = 1/2 \text{ rad/s}$।
आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2 \times (22/7)}{1/2} = 4 \times \frac{22}{7} = \frac{88}{7} \text{ s}$ है।
यह दिया गया है कि आवर्तकाल $x/7 \text{ s}$ है, इसलिए $x/7 = 88/7$, जिससे $x = 88$ प्राप्त होता है।

(A) माध्य स्थिति से शुरू होने वाले $S.H.M.$ करने वाले कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t)$ है।
कुल ऊर्जा $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2$ है।
हमें दिया गया है कि $K.E. = 50\% \text{ of } T.E.$, इसलिए $\frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t) = 0.5 \times \frac{1}{2} m A^2 \omega^2$।
इसे सरल करने पर $\cos^2(\omega t) = 0.5$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\cos(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, इसलिए $\omega t = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ रेडियन}$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \text{ rad/s}$ है।
मान रखने पर: $(\frac{\pi}{3}) t = \frac{\pi}{4}$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{3}{4} = 0.75 \text{ s}$।

(B) $S.H.M.$ में एक कण के लिए, स्थिति $x$ पर वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $x$ पर त्वरण $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि वेग का परिमाण और त्वरण का परिमाण समान है: $|v| = |a|$.
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$.
$\sqrt{A^2 - x^2} = \omega x$.
यहाँ $A = 4 \text{ cm}$ और $x = 3 \text{ cm}$ दिया गया है:
$\sqrt{4^2 - 3^2} = \omega (3)$.
$\sqrt{16 - 9} = 3\omega$.
$\sqrt{7} = 3\omega \implies \omega = \frac{\sqrt{7}}{3} \text{ rad/s}$.
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$T = \frac{2\pi}{(\sqrt{7}/3)} = \frac{6\pi}{\sqrt{7}} \text{ s}$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t$
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं:
$x_1 = \sin \omega t \cos \frac{\pi}{4} + \cos \omega t \sin \frac{\pi}{4} = \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
अब, $x_2 = \sin \omega t + \cos \omega t$ के लिए, $\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$x_2 = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t) = \sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$
$x_1$ और $x_2$ की कलाओं (phases) की तुलना करने पर, दोनों की कला $\phi = \omega t + \frac{\pi}{4}$ समान है।
अतः, कलांतर $\Delta \phi = (\omega t + \frac{\pi}{4}) - (\omega t + \frac{\pi}{4}) = 0$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.4 \text{ kg}$, प्रत्यानयन बल $F = 0.4 \text{ N}$, विस्थापन $x = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$.
$1$. सरल आवर्त गति में प्रत्यानयन बल $F = kx$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k$ बल नियतांक है।
$k = F / x = 0.4 \text{ N} / 0.04 \text{ m} = 10 \text{ N/m}$.
$2$. त्वरण $a$ का मान $F = ma$ से प्राप्त होता है, अतः $a = F / m$.
$a = 0.4 \text{ N} / 0.4 \text{ kg} = 1 \text{ m/s}^2$.
अतः, बल नियतांक $10 \text{ N/m}$ है और त्वरण का परिमाण $1 \text{ m/s}^2$ है।

(B) $S.H.M.$ कर रहे एक कण के लिए, प्रत्यानयन बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k$ बल नियतांक है।
अतः, $k = -\frac{F}{x}$.
विस्थापन $x$ पर कण की स्थितिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}kx^2$ द्वारा दी जाती है।
स्थितिज ऊर्जा के समीकरण में $k$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} \left( -\frac{F}{x} \right) x^2$
$E = -\frac{1}{2} Fx$
संबंध ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2E = -Fx$
$2E + Fx = 0$
$F$ से भाग देने पर:
$\frac{2E}{F} + x = 0$.

(A) माध्य स्थिति पर, द्रव्यमान $m_1$ का वेग अधिकतम होता है, जो $v_{max} = \omega A = \sqrt{\frac{k}{m_1}} A$ द्वारा दिया जाता है।
जब $m_1$ पर $m_2$ द्रव्यमान रखा जाता है, तो कुल द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ हो जाता है। चूंकि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है और माध्य स्थिति पर होती है, इसलिए संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = m_1 v_{max}$ है।
अंतिम संवेग $P_f = (m_1 + m_2) v'_{max}$ है, जहाँ $v'_{max}$ नया अधिकतम वेग है।
चूंकि $P_i = P_f$, इसलिए $m_1 v_{max} = (m_1 + m_2) v'_{max}$।
अतः, $v'_{max} = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_{max}$।
नया आयाम $A_1$, $v'_{max} = \omega' A_1 = \sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} A_1$ द्वारा दिया जाता है।
$v'_{max}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\sqrt{\frac{k}{m_1 + m_2}} A_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sqrt{\frac{k}{m_1}} A$।
सरल करने पर, $A_1 = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}} \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot \sqrt{\frac{k}{m_1}} A = \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}} A$।
इसलिए, $A/A_1 = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1}} = [\frac{m_1 + m_2}{m_1}]^{1/2}$।

(D) सरल आवर्त गति में $x$ विस्थापन पर कण की चाल $v$ का सूत्र है: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$, जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
अधिकतम चाल $v_{max}$ माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर होती है और यह $v_{max} = \omega A$ है।
प्रश्न के अनुसार, चाल $v$ अधिकतम चाल की एक-चौथाई है:
$v = \frac{v_{max}}{4} = \frac{\omega A}{4}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \frac{\omega A}{4}$.
दोनों पक्षों को $\omega$ से विभाजित करने पर:
$\sqrt{A^2 - x^2} = \frac{A}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$A^2 - x^2 = \frac{A^2}{16}$.
$x^2$ के लिए हल करने पर:
$x^2 = A^2 - \frac{A^2}{16} = \frac{15A^2}{16}$.
वर्गमूल लेने पर:
$x = \sqrt{\frac{15A^2}{16}} = \frac{A\sqrt{15}}{4}$.
अतः, विस्थापन $\frac{A\sqrt{15}}{4}$ है।

(C) रैखिक $S.H.M.$ कर रहे कण की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = \frac{1}{2} k x^2$ है, जहाँ $k = m \omega^2$ बल नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
कण की कुल ऊर्जा $(T.E.)$ का सूत्र $T.E. = \frac{1}{2} k r^2$ है, जहाँ $r$ आयाम है।
प्रश्न के अनुसार, $P.E. = \lambda \times T.E.$
इन व्यंजकों को रखने पर, $\frac{1}{2} k x^2 = \lambda \times (\frac{1}{2} k r^2)$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2} k$ को हटाने पर, $x^2 = \lambda r^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $x = r\sqrt{\lambda}$ प्राप्त होता है।

(D) विस्थापन का समीकरण $y = A \cos(\pi t + \pi \phi)$ है।
$t = 0$ पर, $y = A \cos(\pi \phi) = 2$ --- $(1)$
वेग $v = \frac{dy}{dt} = -A \pi \sin(\pi t + \pi \phi)$ है।
$t = 0$ पर, $v = -A \pi \sin(\pi \phi) = 2\pi$.
अतः, $A \sin(\pi \phi) = -2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$A^2 \cos^2(\pi \phi) + A^2 \sin^2(\pi \phi) = 2^2 + (-2)^2$
$A^2 (\cos^2(\pi \phi) + \sin^2(\pi \phi)) = 4 + 4$
$A^2 = 8$
$A = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}$.

(C) सरल आवर्त गति में एक कण का वेग $v$ सूत्र $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $a$ आयाम है।
दिया गया है कि आवर्तकाल $T$ है, इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
हमें $x = \frac{a}{3}$ पर चाल ज्ञात करनी है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \left( \frac{2\pi}{T} \right) \sqrt{a^2 - \left( \frac{a}{3} \right)^2}$
$v = \left( \frac{2\pi}{T} \right) \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{9}}$
$v = \left( \frac{2\pi}{T} \right) \sqrt{\frac{8a^2}{9}}$
$v = \left( \frac{2\pi}{T} \right) \left( \frac{2\sqrt{2}a}{3} \right)$
$v = \frac{4\sqrt{2}\pi a}{3T}$

(D) $S.H.M.$ की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k'}{m}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $k'$ बल नियतांक है।
दिया गया है $f = \frac{\sqrt{Ka}}{\pi m} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4Ka}{m}}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर, हमें $\sqrt{\frac{k'}{m}} = \sqrt{\frac{4Ka}{m}}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $k' = 4Ka$.
$S.H.M.$ में कण की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k' x^2$ द्वारा दी जाती है।
$k'$ का मान रखने पर, हमें $U = \frac{1}{2} (4Ka) x^2 = 2Kax^2$ प्राप्त होता है।

(B) सरल आवर्त गति में कण का अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए, $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$.
यह दिया गया है कि द्रव्यमान समान हैं $(m_A = m_B = m)$, इसलिए कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_A = \sqrt{\frac{K_A}{m}}$ और $\omega_B = \sqrt{\frac{K_B}{m}}$ हैं।
चूंकि अधिकतम वेग समान हैं, इसलिए $A_A \omega_A = A_B \omega_B$ होगा।
$\omega$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, $A_A \sqrt{\frac{K_A}{m}} = A_B \sqrt{\frac{K_B}{m}}$.
इसे सरल करने पर, $A_A \sqrt{K_A} = A_B \sqrt{K_B}$ प्राप्त होता है।
अतः,'$B$' के आयाम और '$A$' के आयाम का अनुपात $\frac{A_B}{A_A} = \frac{\sqrt{K_A}}{\sqrt{K_B}} = \sqrt{\frac{K_A}{K_B}}$ है।

(C) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए कण का विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A$ आयाम है और $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \text{ rad/s}$ है।
$t = 0$ पर, $x(0) = 0$ है।
$t = 1 \text{ s}$ पर, $x(1) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) = A \sin(45^\circ) = \frac{A}{\sqrt{2}}$ है।
$1$ ले सेकंड में तय की गई दूरी $d_1 = |x(1) - x(0)| = \frac{A}{\sqrt{2}}$ है।
$t = 2 \text{ s}$ पर, $x(2) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 2) = A \sin(90^\circ) = A$ है।
$2$ रे सेकंड में तय की गई दूरी $d_2 = |x(2) - x(1)| = |A - \frac{A}{\sqrt{2}}| = A(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = A(\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}})$ है।
$2$ रे सेकंड में तय की गई दूरी और $1$ ले सेकंड में तय की गई दूरी का अनुपात $\frac{d_2}{d_1} = \frac{A(\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}})}{\frac{A}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} - 1$ है।

(A) $S.H.M.$ में माध्य स्थिति से $x$ दूरी पर एक कण का वेग $V$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$, जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $V^2 = \omega^2(A^2 - x^2) = \omega^2 A^2 - \omega^2 x^2$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्तों के लिए:
$V_1^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ --- $(1)$
$V_2^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$V_2^2 - V_1^2 = (\omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2) - (\omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2)$
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2 x_1^2 - \omega^2 x_2^2$
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2(x_1^2 - x_2^2)$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega^2 = \frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}$
$\omega = \sqrt{\frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}}$

(C) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
यहाँ $k = 180 \text{ N/m}$ और $m = 0.2 \text{ kg}$ दिया गया है।
$\omega = \sqrt{\frac{180}{0.2}} = \sqrt{900} = 30 \text{ rad/s}$.
साम्यावस्था पर दोलक का अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ होता है, जहाँ $A$ आयाम है।
यहाँ $A = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ है।
$v_{max} = 0.04 \times 30 = 1.2 \text{ m/s}$.
अतः, साम्यावस्था पर वेग $1.2 \text{ m/s}$ है।

(B) मान लीजिए कि आवर्तकाल $T_1 = T$ और $T_2 = \frac{4T}{3}$ हैं।
दोनों लोलकों के फिर से समान कला में होने के लिए, व्यतीत समय $t$ दोनों आवर्तकालों का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
अतः, $t = n_1 T_1 = n_2 T_2$, जहाँ $n_1$ और $n_2$ पूर्णांक हैं।
मान रखने पर: $t = n_1 T = n_2 \left( \frac{4T}{3} \right)$.
इसका अर्थ है $n_1 = n_2 \left( \frac{4}{3} \right)$, या $\frac{n_1}{n_2} = \frac{4}{3}$।
इस अनुपात को संतुष्ट करने वाले सबसे छोटे पूर्णांक $n_1 = 4$ और $n_2 = 3$ हैं।
इसलिए, व्यतीत समय $t = n_1 T_1 = 4 \times T = 4T$ होगा।

(D) $S.H.M.$ कर रहे कण का किसी स्थिति $x$ पर वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$।
यहाँ, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, जो आवर्तकाल $T$ से $\omega = \frac{2\pi}{T}$ के रूप में संबंधित है।
दिया गया है $x = \frac{a}{3}$, इसे वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{3}\right)^2}$
$v = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{9}}$
$v = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \sqrt{\frac{8a^2}{9}}$
$v = \left(\frac{2\pi}{T}\right) \left(\frac{2\sqrt{2}a}{3}\right)$
$v = \frac{4\sqrt{2}\pi a}{3T}$।

(D) $S.H.M.$ निष्पादित कर रहे एक कण के लिए, विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है।
विस्थापन $x$ पर गतिज ऊर्जा $(K)$ $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $U = nK$, इसलिए $\frac{1}{2} k x^2 = n \cdot \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$.
इसे सरल करने पर $x^2 = n(A^2 - x^2)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $x = (\frac{2\sqrt{2}}{3})A$, इसलिए $x^2 = (\frac{8}{9})A^2$.
समीकरण में $x^2$ का मान रखने पर: $(\frac{8}{9})A^2 = n(A^2 - \frac{8}{9}A^2)$.
$(\frac{8}{9})A^2 = n(\frac{1}{9}A^2)$.
$n$ के लिए हल करने पर, हमें $n = 8$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $x = a \sin \omega t + b \cos \omega t$ है।
आयाम ज्ञात करने के लिए, हम इसे $x = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $a = A \cos \phi$ और $b = A \sin \phi$ है।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर: $a^2 + b^2 = A^2 \cos^2 \phi + A^2 \sin^2 \phi = A^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = A^2$ प्राप्त होता है।
अतः, आयाम $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ है।
समीकरण $x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\omega t + \phi)$ बन जाता है, जो $\sqrt{a^2 + b^2}$ आयाम के साथ सरल आवर्त गति $(SHM)$ को दर्शाता है।

(A) आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा $U$, दाब $P$ और आयतन $V$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $U = \frac{3}{2} PV$।
दिया गया है कि प्रति इकाई आयतन ऊर्जा (ऊर्जा घनत्व) $u = \frac{U}{V} = 600 \text{ J/L}$ है।
चूंकि $1 \text{ L} = 10^{-3} \text{ m}^3$, इसलिए $SI$ मात्रक में ऊर्जा घनत्व $u = \frac{600 \text{ J}}{10^{-3} \text{ m}^3} = 6 \times 10^5 \text{ J/m}^3$ है।
संबंध $u = \frac{3}{2} P$ का उपयोग करने पर, हमें $P = \frac{2}{3} u$ प्राप्त होता है।
$u$ का मान रखने पर: $P = \frac{2}{3} \times 6 \times 10^5 \text{ N/m}^2 = 4 \times 10^5 \text{ N/m}^2$।

(C) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार, एक आदर्श गैस द्वारा पात्र की दीवारों पर लगाया गया दबाव $(P)$ संबंध $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल वेग है।
चूंकि $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$, इसलिए $v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$ होता है।
इसे दबाव के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P = \frac{1}{3} \rho \left(\frac{3RT}{M}\right) = \frac{\rho RT}{M}$ प्राप्त होता है।
चूंकि एक बंद पात्र में गैस की निश्चित मात्रा के लिए घनत्व $\rho$ और मोलर द्रव्यमान $M$ स्थिर रहते हैं, इसलिए दबाव $P$ तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
बल $(F)$ को दबाव और दीवार के क्षेत्रफल के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(F = P \times A)$।
चूंकि पात्र की दीवारों का क्षेत्रफल स्थिर है, इसलिए बल $F$ भी दबाव के सीधे आनुपातिक होता है, और इस प्रकार यह तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(F \propto T^1)$।

(B) तापमान $T$ पर गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E_1 = \frac{3}{2} k_B T$ होती है, जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
$V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E_2 = eV$ होती है।
शर्त $E_1 = E_2$ के अनुसार:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
इसलिए, $T = \frac{2eV}{3k_B}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k_B = R/N_A$ होता है, दिए गए विकल्पों के आधार पर सही उत्तर $B$ है।

(D) गैस के एक अणु की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} k_B T$ है, जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $K \propto T$ है।
यदि गतिज ऊर्जा को दोगुना करना है, अर्थात $K' = 2K$, तो नया तापमान $T'$ को संबंध $K' \propto T'$ को संतुष्ट करना होगा।
चूँकि $K' = 2K$, इसलिए $T' = 2T$ होगा।
अतः, गैस के अणुओं की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा को दोगुना करने के लिए परम ताप को बढ़ाकर $2T$ करना होगा।

(A) गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E_1 = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
$V$ वोल्ट के विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E_2 = eV$ है।
शर्त $E_1 = E_2$ के अनुसार:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
हम जानते हैं कि बोल्ट्जमैन नियतांक $k_B = \frac{R}{N}$, जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $N$ एवोगैड्रो संख्या है।
समीकरण में $k_B$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{2} (\frac{R}{N}) T = eV$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{2eVN}{3R}$
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) एक आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ उसके परम तापमान $(T)$ (केल्विन में) के सीधे आनुपातिक होती है।
$K.E. \propto T$
दिया गया है, प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^\circ$$C$ = $27 + 273 = 300$ $K$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = E_0$.
अंतिम तापमान $T_2 = 177^\circ$$C$ = $177 + 273 = 450$ $K$.
संबंध $\frac{K_2}{K_1} = \frac{T_2}{T_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{K_2}{E_0} = \frac{450}{300}$
$\frac{K_2}{E_0} = \frac{3}{2}$
$K_2 = \frac{3}{2} E_0$.

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार, एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P$ निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$
जहाँ $\rho$ गैस का घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल वेग है।
हम जानते हैं कि प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $E$ इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$
इससे, हम लिख सकते हैं कि $\rho v_{rms}^2 = 2E$।
इस मान को दबाव के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \frac{1}{3} (2E) = \frac{2}{3} E$
अतः, दबाव गैस की प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा का $(2/3)$ गुना होता है।

(D) हमें संबंध $\frac{R}{C_v} = 0.4$ दिया गया है, जिसका अर्थ है $C_v = \frac{R}{0.4} = 2.5R$.
आदर्श गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2}R$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) की संख्या है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{f}{2}R = 2.5R$.
इससे हमें $f = 5$ प्राप्त होता है।
$f = 5$ स्वतंत्रता की कोटि वाला गैस अणु एक दृढ़ द्वि-परमाणुक अणु ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि) के अनुरूप है।
अतः, गैस दृढ़ द्वि-परमाणुक है।

(C) एक-परमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f_1 = 3$ है। विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma_1 = 1 + 2/f_1 = 1 + 2/3 = 5/3$ है।
एक द्वि-परमाणुक गैस के लिए जो एक दृढ़ घूर्णक के रूप में कार्य करती है, स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ ($3$ स्थानांतरणीय + $2$ घूर्णी) है। विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma_2 = 1 + 2/f_2 = 1 + 2/5 = 7/5$ है।
अतः, अभीष्ट अनुपात $\gamma_1/\gamma_2 = (5/3) / (7/5) = (5/3) \times (5/7) = 25/21$ है।

(A) जब पात्र को अचानक रोक दिया जाता है, तो पात्र की गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
मान लीजिए गैस के मोलों की संख्या $n$ है। पात्र की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} M_{total} V^2$ है, जहाँ $M_{total} = nM$ है।
अतः, $K = \frac{1}{2} nMV^2$।
यह गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $\Delta U = n C_v \Delta T$।
एक कठोर द्वि-परमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} nMV^2 = n (\frac{5}{2} R) \Delta T$।
$\Delta T$ के लिए हल करने पर: $\Delta T = \frac{MV^2}{5R}$।

(D) एक गैर-दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए, अणु में $3$ स्थानांतरण (translational) स्वतंत्रता की कोटि, $2$ घूर्णन (rotational) स्वतंत्रता की कोटि और $2$ कंपन (vibrational) स्वतंत्रता की कोटि होती है।
स्वतंत्रता की कुल कोटि $(f)$ = $3 + 2 + 2 = 7$ है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ का सूत्र $C_V = (f/2)R$ है।
$f = 7$ रखने पर, हमें $C_V = (7/2)R$ प्राप्त होता है।

(B) नाइट्रोजन $(N_2)$ के मोलों की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आणविक भार}} = \frac{14}{28} = 0.5 \text{ mol}$ है।
नाइट्रोजन जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए, स्थिर दबाव पर मोलर ऊष्मा धारिता $(C_p)$ $C_p = \frac{7}{2}R$ होती है।
स्थिर दबाव पर दी गई ऊष्मा ऊर्जा $(Q)$ का सूत्र $Q = n C_p \Delta T$ है।
मान रखने पर: $Q = 0.5 \times \left(\frac{7}{2}R\right) \times 48$.
$Q = 0.5 \times 3.5 R \times 48$.
$Q = 1.75 R \times 48 = 84 R$.
अतः, आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा $84 R$ है।

(B) गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, इसलिए $v_{rms}$ को $3$ गुना कम करने का अर्थ है कि तापमान $T$ को $3^2 = 9$ गुना कम होना चाहिए।
अतः, $T_f = \frac{T_i}{9}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ है।
इसलिए, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
मान रखने पर, $T_i V_i^{1.5-1} = \frac{T_i}{9} V_f^{1.5-1}$.
$V_i^{0.5} = \frac{1}{9} V_f^{0.5}$.
$\sqrt{V_i} = \frac{1}{9} \sqrt{V_f}$.
$\frac{V_f}{V_i} = 9^2 = 81$.
अतः, गैस का $81$ गुना प्रसार करना होगा।

(D) गैस के अणुओं की $r.m.s.$ चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, $r.m.s.$ चाल को $3$ गुना कम करने का अर्थ है कि तापमान $T$ में $3^2 = 9$ गुना की कमी होनी चाहिए।
अतः, $T_f = \frac{T_i}{9}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ होता है।
इसलिए, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
$T_f = \frac{T_i}{9}$ और $\gamma = 1.5$ (या $\frac{3}{2}$) रखने पर:
$T_i V_i^{1.5-1} = \frac{T_i}{9} V_f^{1.5-1}$
$V_i^{0.5} = \frac{1}{9} V_f^{0.5}$
$\sqrt{V_i} = \frac{1}{9} \sqrt{V_f}$
$\frac{V_f}{V_i} = 9^2 = 81$.
अतः, गैस का $81$ गुना प्रसार करना होगा।

(B) गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है, $T$ परम ताप है, और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
समतापीय प्रक्रिया में, निकाय का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि $v_{rms}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है (किसी दी गई गैस के लिए), यदि तापमान स्थिर रहता है, तो अणुओं का $r.m.s.$ वेग भी समान रहेगा।
अतः, जब किसी गैस को समतापीय रूप से संपीड़ित किया जाता है, तो अणुओं का $r.m.s.$ वेग समान रहता है।

(B) गैस अणु का r.m.s. वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए हाइड्रोजन का तापमान $T_H$ है और ऑक्सीजन का तापमान $T_O = 47 + 273 = 320 \text{ K}$ है।
दिया गया है: $v_{H} = 4.5 \times v_{O}$।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = 4.5 \times \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_H}{M_H} = (4.5)^2 \times \frac{T_O}{M_O}$।
चूंकि $M_H = 2$ और $M_O = 32$: $\frac{T_H}{2} = 20.25 \times \frac{320}{32}$।
$\frac{T_H}{2} = 20.25 \times 10 = 202.5$।
$T_H = 405 \text{ K}$।
सेल्सियस में बदलने पर: $405 - 273 = 132^{\circ}C$।

(B) दी गई गतियाँ $v_1=1, v_2=3, v_3=5, v_4=7, v_5=2, v_6=4, v_7=6 \text{ km/s}$ हैं।
$1$. औसत वेग $(v_{avg})$:
$v_{avg} = \frac{1+3+5+7+2+4+6}{7} = \frac{28}{7} = 4 \text{ km/s}$.
$2$. वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2+v_3^2+v_4^2+v_5^2+v_6^2+v_7^2}{7}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{1^2+3^2+5^2+7^2+2^2+4^2+6^2}{7}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{1+9+25+49+4+16+36}{7}} = \sqrt{\frac{140}{7}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ km/s}$.
$3$. $v_{rms}$ और $v_{avg}$ का अनुपात:
$\frac{v_{rms}}{v_{avg}} = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(D) गैस के अणु का रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग '$v$' निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ '$R$' सार्वत्रिक गैस नियतांक है,'$T$' परम तापमान है और '$M$' गैस का मोलर द्रव्यमान है।
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$v^2 = \frac{3RT}{M}$
चूंकि दी गई गैस के लिए '$3$','$R$' और '$M$' नियतांक हैं, हम लिख सकते हैं:
$v^2 \propto T$
इसका अर्थ है कि:
$\frac{v^2}{T} = \text{constant}$
अतः, सही संबंध $\frac{v^2}{T} = \text{constant}$ है।

(B) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, इसलिए $v_{rms}$ को $2$ गुना कम करने के लिए, तापमान $T$ को $4$ गुना कम करना होगा (अर्थात $T_f = T_i / 4$)।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ होता है।
अतः, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
यहाँ $\gamma = 1.5$ दिया गया है, इसलिए $\gamma - 1 = 0.5 = 1/2$.
मान रखने पर: $T_i V_i^{1/2} = (T_i / 4) V_f^{1/2}$.
$4 = (V_f / V_i)^{1/2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $16 = V_f / V_i$.
इसलिए, गैस का $16$ गुना प्रसार किया जाना चाहिए।

(B) हवा में प्रकाश की चाल $c = \frac{x}{t_0}$ है।
सघन माध्यम में प्रकाश की चाल $v = \frac{4x}{t_1}$ है।
हवा के सापेक्ष माध्यम का अपवर्तनांक $n = \frac{c}{v} = \frac{x/t_0}{4x/t_1} = \frac{t_1}{4t_0}$ है।
क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{1}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $\sin C = \frac{1}{t_1 / (4t_0)} = \frac{4t_0}{t_1}$।
इस प्रकार, $C = \sin^{-1} (\frac{4t_0}{t_1})$।

(C) गोलीय दर्पणों के लिए, फोकस दूरी $(F)$ को ध्रुव और मुख्य फोकस के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। वक्रता त्रिज्या $(R)$ ध्रुव और वक्रता केंद्र के बीच की दूरी है। पैराकियल सन्निकटन (paraxial approximation) के अनुसार, छोटे द्वारक (aperture) वाले दर्पणों के लिए, फोकस बिंदु ध्रुव और वक्रता केंद्र के ठीक बीच में स्थित होता है। इसलिए, संबंध $F = R/2$ द्वारा दिया जाता है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में, केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है, जहाँ $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
चूंकि कोणीय पृथक्करण $\theta$ केवल तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और स्लिट की चौड़ाई $a$ पर निर्भर करता है, इसलिए यह स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी $D$ से स्वतंत्र है।
अतः, जब स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी को दोगुना किया जाता है, तो फ्रिंजों के बीच कोणीय पृथक्करण समान रहता है।

(D) एकल-स्लिट विवर्तन प्रयोग में, केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $(w)$ का सूत्र $w = \frac{2D\lambda}{a}$ होता है, जहाँ $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है, $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
प्रश्न के अनुसार, स्लिट की चौड़ाई केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई के बराबर है, इसलिए $a = w$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $a = \frac{2D\lambda}{a}$ प्राप्त होता है।
$D$ के लिए समीकरण को हल करने पर: $a^2 = 2D\lambda$।
अतः, $D = \frac{a^2}{2\lambda}$।

(B) एकल स्लिट विवर्तन के लिए, केंद्रीय उच्चिष्ठ की अर्ध कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
प्रथम स्थिति में: $\theta = \frac{\lambda}{a}$
द्वितीय स्थिति में: $q\theta = \frac{p\lambda}{a} \implies q = p$ (क्योंकि $\theta = \frac{\lambda}{a}$)।
प्रथम गौण उच्चिष्ठ के लिए शर्त $\sin \theta' = \frac{3\lambda}{2a}$ है। छोटे कोणों के लिए, $\theta' \approx \frac{3\lambda}{2a}$।
प्रथम स्थिति में, $\theta'_1 = \frac{3\lambda}{2a} = \frac{3}{2}\theta$।
द्वितीय स्थिति में, $\theta'_2 = \frac{3(p\lambda)}{2a} = \frac{3p\lambda}{2a} = p \times \left(\frac{3\lambda}{2a}\right) = p\theta'_1$।
अतः, अनुपात $\frac{\theta'_1}{\theta'_2} = \frac{\theta'_1}{p\theta'_1} = \frac{1}{p}$।
चूंकि प्रश्न में $q = p$ दिया गया है, इसलिए अनुपात $\frac{1}{q}$ या $1 : q$ होगा।

(C) एकल स्लिट फ्रॉनहोफर विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 6480 \text{ Å}$ है और प्रारंभिक कोणीय चौड़ाई $\theta_1 = \frac{2\lambda_1}{a}$ है।
जब तरंगदैर्ध्य को बदलकर $\lambda_2 = \lambda$ कर दिया जाता है, तो नई कोणीय चौड़ाई $\theta_2 = \frac{2\lambda}{a}$ होती है।
प्रश्न के अनुसार, कोणीय चौड़ाई $25\%$ कम हो जाती है, इसलिए $\theta_2 = \theta_1 - 0.25\theta_1 = 0.75\theta_1$.
$\theta_1$ और $\theta_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2\lambda}{a} = 0.75 \times \frac{2\lambda_1}{a}$.
यह $\lambda = 0.75 \times \lambda_1$ में सरल हो जाता है।
$\lambda = 0.75 \times 6480 \text{ Å} = 4860 \text{ Å}$.

(D) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(RP)$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जिसका सूत्र है: $RP \propto \frac{1}{\lambda}$।
अतः, $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए विभेदन क्षमता का अनुपात इस प्रकार होगा:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$।
यहाँ $\lambda_1 = 6800 \text{ Å}$ और $\lambda_2 = 5100 \text{ Å}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{RP_1}{RP_2} = \frac{5100}{6800} = \frac{51}{68} = \frac{3}{4}$।
अतः, अनुपात $3 : 4$ है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए, $n$-वें द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = (n + 1/2) \lambda$ है, जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है, $\theta$ विवर्तन कोण है और $\lambda$ तरंगदैर्घ्य है।
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है, $\sin \theta \approx \tan \theta = y/D$, जहाँ $y$ केंद्र से दूरी है और $D$ पर्दे तक की दूरी है।
दूसरे उच्चिष्ठ के लिए, $n = 2$, इसलिए शर्त $a(y/D) = (2 + 1/2) \lambda = 2.5 \lambda$ हो जाती है।
दिया गया है: $a = 0.66 \text{ mm} = 0.66 \times 10^{-3} \text{ m}$, $D = 1.4 \text{ m}$, $y = 2.8 \text{ mm} = 2.8 \times 10^{-3} \text{ m}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(0.66 \times 10^{-3}) \times (2.8 \times 10^{-3} / 1.4) = 2.5 \lambda$.
$(0.66 \times 10^{-3}) \times (2 \times 10^{-3}) = 2.5 \lambda$.
$1.32 \times 10^{-6} = 2.5 \lambda$.
$\lambda = (1.32 \times 10^{-6}) / 2.5 = 0.528 \times 10^{-6} \text{ m} = 5280 \times 10^{-10} \text{ m} = 5280 \text{ Å}$.

(B) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए, $n$-वें क्रम के द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त है: $a \sin \theta = (n + 1/2) \lambda$, जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta \approx \tan \theta = y/D$.
अतः, $a(y/D) = (n + 1/2) \lambda$.
दिया गया है: $\lambda = 580 \times 10^{-9} \text{ m}$, $D = 2.5 \text{ m}$, $y = 14.5 \times 10^{-3} \text{ m}$, और $n = 2$.
मान रखने पर: $a \times (14.5 \times 10^{-3} / 2.5) = (2 + 0.5) \times 580 \times 10^{-9}$.
$a \times (5.8 \times 10^{-3}) = 2.5 \times 580 \times 10^{-9}$.
$a = (2.5 \times 580 \times 10^{-9}) / (5.8 \times 10^{-3})$.
$a = (1450 \times 10^{-9}) / (5.8 \times 10^{-3}) = 250 \times 10^{-6} \text{ m} = 0.25 \times 10^{-3} \text{ m}$.

(A) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वें द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ है, जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
पहले उच्चिष्ठ के लिए, $n = 1$, अतः $a \sin \theta = \frac{3}{2} \lambda$.
स्थिति $1$: $a_1 \sin 30^{\circ} = \frac{3}{2} \lambda \implies a_1 (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \lambda \implies a_1 = 3 \lambda$.
स्थिति $2$: $a_2 \sin 45^{\circ} = \frac{3}{2} \lambda \implies a_2 (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3}{2} \lambda \implies a_2 = \frac{3\sqrt{2}}{2} \lambda = \frac{3}{\sqrt{2}} \lambda$.
स्लिट की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta a = a_1 - a_2 = 3 \lambda - \frac{3}{\sqrt{2}} \lambda = 3 \lambda (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 3 \lambda \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right)$.

(C) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(RP)$ का सूत्र है: $RP = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$, जहाँ $n$ वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक है, $\beta$ वस्तु से आने वाले प्रकाश के शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण है, और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $RP$ अपवर्तनांक $(n)$ के सीधे समानुपाती होता है।
इसलिए, वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक बढ़ाने से सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता में सुधार होता है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में, केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है, जहाँ $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि कोणीय चौड़ाई तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और स्लिट की चौड़ाई $a$ पर निर्भर करती है।
यह $\frac{\lambda}{a}$ के अनुपात पर भी निर्भर करती है।
हालाँकि, कोणीय चौड़ाई स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी $D$ पर निर्भर नहीं करती है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
पथ अंतर $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ के लिए, कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः, $I_1 = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$.
पथ अंतर $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{3}$ के लिए, कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।
अतः, $I_2 = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{3}) = 4I_0 (\frac{1}{2})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{4} = I_0$.
अब, $\frac{I_1 + I_2}{I_0} = \frac{2I_0 + I_0}{I_0} = \frac{3I_0}{I_0} = 3$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, पर्दे पर बिंदु $y$ पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
एक स्लिट के ठीक सामने के बिंदु के लिए, $y = d/2$ होता है।
इसलिए, पथ अंतर $\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$ है।
निम्निष्ठ (विनाशी व्यतिकरण) होने के लिए, पथ अंतर $\lambda/2$ का विषम गुणज होना चाहिए, अर्थात $\Delta x = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{d^2}{2D} = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{d^2}{D(2n-1)}$।
अतः, $\lambda \propto \frac{1}{2n-1}$।
$n = 1, 2, 3, \dots$ के लिए, $(2n-1)$ के मान $1, 3, 5, \dots$ हैं।
इसलिए, संभावित तरंगदैर्घ्य $\frac{d^2}{D}, \frac{d^2}{3D}, \frac{d^2}{5D}, \dots$ के अनुपात में हैं।

(D) बाइप्रिज्म प्रयोग में, केंद्रीय फ्रिंज से $n^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = (2n-1) \frac{D\lambda}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $4^{th}$ अदीप्त फ्रिंज एक स्लिट के सामने बनती है। केंद्रीय अक्ष से स्लिट की दूरी $d/2$ है।
इसलिए, हम $y_4 = d/2$ रखते हैं।
$4^{th}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए, $n = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $d/2 = (2(4) - 1) \frac{D\lambda}{2d}$.
$d/2 = 7 \frac{D\lambda}{2d}$.
दोनों पक्षों को $2d$ से गुणा करने पर, हमें $d^2 = 7D\lambda$ प्राप्त होता है।
अतः, $\lambda = \frac{d^2}{7D}$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है, तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए, नई कोणीय चौड़ाई $\theta'$ का मान $\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ होगा।
यहाँ $\theta = 0.2^\circ$ और $\mu = 4/3$ दिया गया है।
मान रखने पर, हमें $\theta' = \frac{0.2}{4/3} = 0.2 \times \frac{3}{4} = 0.15^\circ$ प्राप्त होता है।
अतः, फ्रिंज की नई कोणीय चौड़ाई $0.15^\circ$ होगी।

(B) स्लैब द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu_2 - 1)t - (\mu_1 - 1)t = (\mu_2 - \mu_1)t$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta x = (1.55 - 1.51) \times 0.1 \text{ mm} = 0.04 \times 0.1 \text{ mm} = 0.004 \text{ mm} = 4 \times 10^{-6} \text{ m}$.
फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ के संदर्भ में केंद्रीय फ्रिंज का विस्थापन $n = \frac{\Delta x}{\lambda}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ $\lambda = 4000 \text{ Å} = 4000 \times 10^{-10} \text{ m} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$ है।
अतः, $n = \frac{4 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}} = 10$.
इस प्रकार, केंद्रीय दीप्त फ्रिंज $10$ फ्रिंजों से विस्थापित होगी।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में, किसी बिंदु $P$ पर पथ अंतर (path difference) $\Delta x$ को $S_2P - S_1P = d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चित्र की ज्यामिति से, $S_2P - S_1P = S_2B = \Delta x$ है।
दीप्त फ्रिंज के लिए, पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ होता है, जहाँ $n$ फ्रिंज का क्रम है।
बिंदु $Q$, केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) $O$ के एक तरफ दूसरी दीप्त फ्रिंज है, इसलिए इसकी स्थिति $y_Q = 2\beta$ है, जहाँ $\beta$ फ्रिंज चौड़ाई है।
बिंदु $P$, $Q$ के दूसरी ओर ग्यारहवीं दीप्त फ्रिंज है। $O$ से $P$ की दूरी $y_P = (11 - 2)\beta = 9\beta$ है, जो $O$ के विपरीत दिशा में है।
अतः, बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x = 9\lambda$ है।
दिया गया है $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$।
इसलिए, $S_2B = 9 \times 6 \times 10^{-7} \text{ m} = 54 \times 10^{-7} \text{ m} = 5.4 \times 10^{-6} \text{ m}$।

(B) $n$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda_n D}{d}$, जहाँ $\lambda_n = \frac{\lambda_0}{n}$ होता है।
दिया गया है:
$\lambda_0 = 6300 \text{ Å} = 6300 \times 10^{-10} \text{ m}$
$n = 1.33$
$D = 1.33 \text{ m}$
$d = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$
मान रखने पर:
$\lambda_n = \frac{6300 \times 10^{-10}}{1.33} \text{ m}$
$\beta = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}}$
$\beta = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} = 6300 \times 10^{-7} \text{ m} = 6.3 \times 10^{-4} \text{ m}$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ क्रम की दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
स्लिट पृथक्करण $d = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$.
स्क्रीन की दूरी $D = 2 \text{ m}$.
क्रम $n = 5$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 480 \text{ nm} = 480 \times 10^{-9} \text{ m}$ और $\lambda_2 = 600 \text{ nm} = 600 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$\lambda_1$ के लिए $5^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_1 = \frac{5 \times 480 \times 10^{-9} \times 2}{3 \times 10^{-3}} = 1600 \times 10^{-6} \text{ m} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ m}$.
$\lambda_2$ के लिए $5^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_2 = \frac{5 \times 600 \times 10^{-9} \times 2}{3 \times 10^{-3}} = 2000 \times 10^{-6} \text{ m} = 2.0 \times 10^{-3} \text{ m}$.
दोनों फ्रिंजों के बीच का पृथक्करण $\Delta y = |y_2 - y_1| = (2.0 - 1.6) \times 10^{-3} \text{ m} = 0.4 \times 10^{-3} \text{ m} = 4 \times 10^{-4} \text{ m}$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ है।
पहले बिंदु के लिए, पथ अंतर $\Delta x_1 = 0$, इसलिए $\phi_1 = 0$। तीव्रता $I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$।
दूसरे बिंदु के लिए, पथ अंतर $\Delta x_2 = \lambda/4$, इसलिए $\phi_2 = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/4) = \pi/2$। तीव्रता $I_2 = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 4I_0 \times (1/\sqrt{2})^2 = 4I_0 \times (1/2) = 2I_0$।
तीव्रताओं का अनुपात $I_1/I_2 = (4I_0)/(2I_0) = 2/1$ अर्थात $2:1$ है।

(C) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = 0.4 \text{ mm}$ दी गई है।
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n\beta$ होती है।
$m^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_m = (m - 0.5)\beta$ होती है।
$6^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति: $y_6 = 6\beta = 6 \times 0.4 = 2.4 \text{ mm}$।
$4^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति: $y'_4 = (4 - 0.5)\beta = 3.5 \times 0.4 = 1.4 \text{ mm}$।
उनके बीच की दूरी $|y_6 - y'_4| = |2.4 - 1.4| = 1.0 \text{ mm}$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, स्लिट $A_1$ और $A_2$ से बिंदु $P$ तक पहुँचने वाली प्रकाश तरंगों के बीच पथ अंतर $\Delta x = A_2P - A_1P$ होता है।
दिया गया है कि $A_1P$, $A_1A_2$ के लंबवत है, इसलिए हमारे पास एक समकोण त्रिभुज $\Delta A_1A_2P$ है जहाँ $A_1A_2 = a$ और $A_1P = D$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, $A_2P = \sqrt{A_1A_2^2 + A_1P^2} = \sqrt{a^2 + D^2}$।
अतः, पथ अंतर $\Delta x = \sqrt{a^2 + D^2} - D$ है।
पहले निम्निष्ठ (विनाशी व्यतिकरण) के लिए, पथ अंतर $\frac{\lambda}{2}$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए, $\sqrt{a^2 + D^2} - D = \frac{\lambda}{2}$।
$\sqrt{a^2 + D^2} = D + \frac{\lambda}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $a^2 + D^2 = (D + \frac{\lambda}{2})^2 = D^2 + \lambda D + \frac{\lambda^2}{4}$।
$a^2 = \lambda D + \frac{\lambda^2}{4}$।
चूंकि $\lambda$, $D$ की तुलना में बहुत छोटा है, इसलिए $\frac{\lambda^2}{4}$ को नगण्य माना जा सकता है।
अतः, $a^2 \approx \lambda D$, जिससे $a = \sqrt{\lambda D}$ प्राप्त होता है।

(A) माना पहली स्लिट की चौड़ाई $w_1 = w$ और दूसरी स्लिट की चौड़ाई $w_2 = 2w$ है। चूंकि तीव्रता $I \propto \text{\text{चौड़ाई}}$, इसलिए $I_1 = I_0$ और $I_2 = 2I_0$ है।
चूंकि $I \propto A^2$, आयाम $A_1 = a$ और $A_2 = a\sqrt{2}$ हैं।
परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi = 3I_0 + 2\sqrt{2} I_0 \cos \phi$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_m$ तब होती है जब $\cos \phi = 1$, अतः $I_m = I_0(3 + 2\sqrt{2})$।
$\cos \phi = 2 \cos^2 \frac{\phi}{2} - 1$ का उपयोग करने पर, $I = I_0(3 - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \cos^2 \frac{\phi}{2})$।
$I_0 = I_m(3 - 2\sqrt{2})$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $I = \frac{I_m}{9}(1 + 8 \cos^2 \frac{\phi}{2})$ प्राप्त होता है।

(C) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है, अर्थात $I \propto A^2$।
मान लीजिए कि दो कला-संबद्ध स्रोतों के आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं।
अधिकतम तीव्रता $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2$ होती है।
दिया गया है कि अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{36}{1}$ है।
अतः, $\frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \frac{36}{1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} = \frac{6}{1}$ प्राप्त होता है।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर, $\frac{(A_1 + A_2) + (A_1 - A_2)}{(A_1 + A_2) - (A_1 - A_2)} = \frac{6 + 1}{6 - 1}$।
इसे सरल करने पर $\frac{2A_1}{2A_2} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{7}{5}$ है।

(B) स्क्रीन पर एक निश्चित क्षेत्र की चौड़ाई $L$ है। फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है, और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
$L$ चौड़ाई वाले क्षेत्र में फ्रिंजों की संख्या $n$ को $n = \frac{L}{\beta} = \frac{Ld}{\lambda D}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $L, d,$ और $D$ स्थिर हैं, इसलिए $n \propto \frac{1}{\lambda}$, जिसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिया गया है $n_1 = 8$, $\lambda_1 = 6600 \text{ Å}$, और $\lambda_2 = 4400 \text{ Å}$.
मान रखने पर: $8 \times 6600 = n_2 \times 4400$.
$n_2 = \frac{8 \times 6600}{4400} = \frac{8 \times 66}{44} = \frac{8 \times 3}{2} = 12$.
अतः, देखे जाने वाले फ्रिंजों की संख्या $12$ है।

(D) व्यतिकरण करने वाली किरणों में से एक के पथ में $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट रखने से उत्पन्न फ्रिंज विस्थापन $\Delta x$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta x = \frac{t(\mu - 1)D}{d}$.
चूंकि $t$, $D$, और $d$ स्थिर हैं, इसलिए विस्थापन $(\mu - 1)$ के सीधे आनुपातिक है।
अतः, $\frac{y_2}{y_1} = \frac{\mu_2 - 1}{\mu_1 - 1}$.
दिया गया है कि $y_1 = y$, $\mu_1 = 1.44$, और $\mu_2 = 1.66$.
मान रखने पर: $\frac{y_2}{y} = \frac{1.66 - 1}{1.44 - 1} = \frac{0.66}{0.44} = \frac{66}{44} = \frac{3}{2}$.
इस प्रकार, $y_2 = \frac{3y}{2}$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त यह है कि पथांतर $\Delta x$ तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए, अर्थात $n = 1, 2, 3, \dots$ के लिए $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$।
कलान्तर $\Delta \phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
$n^{th}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए $\Delta x$ का मान रखने पर:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$।
व्यंजक को सरल करने पर:
$\Delta \phi = (2n - 1)\pi$ रेडियन।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) केंद्रीय फ्रिंज से $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $x_n = n \cdot \frac{D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $D$ स्रोत और पर्दे के बीच की दूरी है, और $d$ दो कला-संबद्ध स्रोतों के बीच की दूरी है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$\lambda_1 = 6000 \text{ Å}$
$4^{th}$ और $13^{th}$ दीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $y = x_{13} - x_4 = (13 - 4) \frac{D \lambda_1}{d} = 9 \frac{D \lambda_1}{d}$ है।
द्वितीय स्थिति के लिए:
$\lambda_2 = \lambda$
$6^{th}$ और $16^{th}$ दीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $y = x_{16} - x_6 = (16 - 6) \frac{D \lambda_2}{d} = 10 \frac{D \lambda_2}{d}$ है।
चूँकि दोनों स्थितियों में दूरी $y$ समान है:
$9 \frac{D \lambda_1}{d} = 10 \frac{D \lambda_2}{d}$
$9 \lambda_1 = 10 \lambda_2$
$9 \times 6000 = 10 \times \lambda$
$\lambda = \frac{54000}{10} = 5400 \text{ Å}$.

(A) $\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए $m^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_m = m \frac{D \lambda_1}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए $n^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = (n - \frac{1}{2}) \frac{D \lambda_2}{d} = \frac{(2n - 1)}{2} \frac{D \lambda_2}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि फ्रिंज संपाती हैं, $y_m = y_n$:
$m \frac{D \lambda_1}{d} = \frac{(2n - 1)}{2} \frac{D \lambda_2}{d}$.
समीकरण को सरल करने पर, हमें $m \lambda_1 = \frac{(2n - 1)}{2} \lambda_2$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2m}{2n - 1}$ है।

(D) प्रकाश तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है, अर्थात $I \propto A^2$।
दिए गए आयामों का अनुपात $A_1 : A_2 = 3 : 1$ है, मान लीजिए $A_1 = 3k$ और $A_2 = k$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_{max} = (A_1 + A_2)^2 = (3k + k)^2 = (4k)^2 = 16k^2$ होगी।
न्यूनतम तीव्रता $I_{min} = (A_1 - A_2)^2 = (3k - k)^2 = (2k)^2 = 4k^2$ होगी।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{16k^2}{4k^2} = \frac{16}{4} = 4 : 1$ है।

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में, परिणामी तरंग की तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
दीप्त फ्रिंजों के लिए, $\cos \phi = 1$, अतः $I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$।
अदीप्त फ्रिंजों के लिए, $\cos \phi = -1$, अतः $I_{min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$।
कंट्रास्ट को फ्रिंजों की दृश्यता द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो तब अधिकतम होता है जब $I_{min} = 0$ हो।
$I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = 0$ रखने पर हमें $\sqrt{I_1} = \sqrt{I_2}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $I_1 = I_2$।
अतः, अधिकतम कंट्रास्ट प्राप्त करने के लिए दोनों कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रता समान होनी चाहिए।

(D) '$t$' मोटाई और '$\mu$' अपवर्तनांक वाली फिल्म द्वारा उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ है।
प्रारंभ में, $5^{th}$ अदीप्त फ्रिंज उस बिंदु पर है, इसलिए पथ अंतर $\Delta x_1 = (5 - 0.5)\lambda = 4.5\lambda$ है।
फिल्म रखने के बाद, $7^{th}$ दीप्त फ्रिंज उसी बिंदु पर प्राप्त होती है, इसलिए पथ अंतर $\Delta x_2 = 7\lambda$ है।
पथ अंतर में परिवर्तन फिल्म द्वारा उत्पन्न पथ अंतर के बराबर होता है: $\Delta x = \Delta x_2 - \Delta x_1$.
$(\mu - 1)t = 7\lambda - 4.5\lambda = 2.5\lambda$.
अतः, फिल्म की मोटाई $t = \frac{2.5\lambda}{(\mu - 1)}$ है।

(B) पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\pi \Delta x / \lambda)$ द्वारा दी जाती है।
पथ अंतर $\Delta x_1 = \lambda/6$ के लिए, $X = I_{max} \cos^2(\pi/6) = I_{max} (3/4)$, इसलिए $I_{max} = 4X/3$.
पथ अंतर $\Delta x_2 = \lambda/3$ के लिए, $I_2 = I_{max} \cos^2(\pi/3) = I_{max} (1/4)$.
$I_{max}$ का मान रखने पर, $I_2 = (4X/3) \times (1/4) = X/3$.

(A) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
$\Delta x$ का मान रखने पर: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
अब, तीव्रता की गणना करने पर: $I = I_0 \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{3})$।
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \cos(60^{\circ}) = 0.5 = \frac{1}{2}$, इसलिए $I = I_0 (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_0}{4}$।

(C) न्यूटन के प्रकाश के कणिका सिद्धांत के अनुसार, प्रकाश 'कॉर्पसल्स' (corpuscles) नामक छोटे कणों से बना होता है।
यह सिद्धांत मानता है कि प्रकाश एक सीधी रेखा में गमन करता है।
यह सिद्धांत यह भविष्यवाणी करता है कि जब प्रकाश विरल माध्यम (जैसे हवा) से सघन माध्यम (जैसे कांच) में प्रवेश करता है, तो उसका वेग बढ़ जाता है।
इसलिए, यह कथन कि 'हवा में प्रकाश का वेग कांच की तुलना में अधिक होता है' इस सिद्धांत के अनुसार गलत है, क्योंकि यह इसके विपरीत भविष्यवाणी करता है।
अतः, विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(A) हवा में आपतित तरंगाग्र की ज्यामिति से, हमारे पास $\sin i = \frac{x}{AB}$ है।
पानी में अपवर्तित तरंगाग्र की ज्यामिति से, हमारे पास $\sin r = \frac{y}{AB}$ है।
स्नेल के नियम के अनुसार, हवा के सापेक्ष पानी का अपवर्तनांक $n_{wa} = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{x/AB}{y/AB} = \frac{x}{y}$ है।
हालाँकि, प्रश्न में पानी के सापेक्ष हवा का अपवर्तनांक $(n_{aw})$ पूछा गया है, जो $n_{wa}$ का व्युत्क्रम है।
आरेख को देखने पर, दूरी $AB$ दोनों त्रिभुजों के लिए उभयनिष्ठ है। आपतित तरंगाग्र द्वारा निर्मित त्रिभुज में, तरंगाग्र और इंटरफेस के बीच का कोण $i$ है। अतः, $x = AB \sin i$.
अपवर्तित तरंगाग्र द्वारा निर्मित त्रिभुज में, तरंगाग्र और इंटरफेस के बीच का कोण $r$ है। अतः, $y = AB \sin r$.
आरेख से, हम $w$ और $z$ से संबंधित संबंधों की भी पहचान कर सकते हैं। विशेष रूप से, $z = AB \cos i$ और $w = AB \cos r$.
इसलिए, $\frac{z}{w} = \frac{AB \cos i}{AB \cos r} = \frac{\cos i}{\cos r}$.
$n_{wa} = \frac{\sin i}{\sin r}$ संबंध का उपयोग करके, हम पाते हैं कि चौड़ाई का अनुपात अपवर्तनांक से संबंधित है। दिए गए विकल्पों और ज्यामिति के आधार पर, सही अनुपात $\frac{w}{z}$ है।

(B) फोटॉन के लिए, ऊर्जा $E$ और उसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda_p$ के बीच संबंध $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ है, जिसका अर्थ है $\lambda_p = \frac{hc}{E}$।
गैर-सापेक्षवादी इलेक्ट्रॉन के लिए, गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ है, इसलिए $p = \sqrt{2mE}$।
इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e$ को $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दिया जाता है।
अब, हम $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}$ का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$।
चूंकि $c$ और $m$ स्थिरांक हैं, इसलिए अनुपात $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}$, $\sqrt{E}$ के समानुपाती है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hv - h v_0$ होती है, जहाँ $v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
आवृत्ति $v_1$ के लिए, $K_1 = h v_1 - h v_0$.
आवृत्ति $v_2$ के लिए, $K_2 = h v_2 - h v_0$.
गतिज ऊर्जा का अनुपात $K_1 / K_2 = k / 1$ दिया गया है, इसलिए $K_1 = k K_2$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $h v_1 - h v_0 = k(h v_2 - h v_0)$.
$h$ से विभाजित करने पर: $v_1 - v_0 = k v_2 - k v_0$.
$v_0$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $k v_0 - v_0 = k v_2 - v_1$.
$v_0(k - 1) = k v_2 - v_1$.
अतः, $v_0 = \frac{k v_2 - v_1}{k - 1}$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूँकि धातु की प्लेटें समान हैं, इसलिए $\phi$ दोनों के लिए समान होगा।
पहली प्लेट के लिए: $E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$
दूसरी प्लेट के लिए: $E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$
दिया गया है कि $\lambda_1 = 1.5\lambda_2 = \frac{3}{2}\lambda_2$, इसलिए $\frac{1}{\lambda_1} = \frac{2}{3\lambda_2}$।
इस मान को $E_1$ के समीकरण में रखने पर: $E_1 = \frac{hc(2/3\lambda_2)} - \phi = \frac{2}{3}(\frac{hc}{\lambda_2}) - \phi$।
चूँकि $E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$, इसलिए $\frac{hc}{\lambda_2} = E_2 + \phi$।
इस मान को $E_1$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $E_1 = \frac{2}{3}(E_2 + \phi) - \phi = \frac{2}{3}E_2 + \frac{2}{3}\phi - \phi = \frac{2}{3}E_2 - \frac{1}{3}\phi$।
चूँकि $\phi > 0$ है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $E_1 < \frac{2}{3}E_2$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E_k)$ $E_k = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है, और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
यह समीकरण दर्शाता है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E_k)$ केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति $(\nu)$ और धातु की सतह के कार्य फलन $(\phi)$ पर निर्भर करती है।
यह आपतित विकिरण की तीव्रता $(I)$ पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए, यदि आपतित विकिरण की आवृत्ति को स्थिर रखा जाए, तो आपतित विकिरण की तीव्रता $(I)$ बढ़ाने पर भी अधिकतम गतिज ऊर्जा $(E_k)$ स्थिर रहती है।
ग्राफ $P$, $I$ के बदलते मानों के लिए $E$ का एक स्थिर मान दर्शाता है, जो इस संबंध को सही ढंग से चित्रित करता है।
अतः, सही ग्राफ $P$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - W$ होती है, जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए, $E_1 = 3W$. अतः, $K_1 = 3W - W = 2W$.
चूँकि $K = \frac{1}{2}mv^2$, इसलिए $\frac{1}{2}mv_1^2 = 2W$, जिसका अर्थ है $v_1 = \sqrt{\frac{4W}{m}}$.
दूसरी स्थिति के लिए, $E_2 = 5W$. अतः, $K_2 = 5W - W = 4W$.
इसी प्रकार, $\frac{1}{2}mv_2^2 = 4W$, जिसका अर्थ है $v_2 = \sqrt{\frac{8W}{m}}$.
वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{4W/m}}{\sqrt{8W/m}} = \sqrt{\frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः, अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hf - \Phi$ होती है, जहाँ $\Phi = hf_0$ कार्य फलन (work function) है।
$2f_0$ आवृत्ति के लिए, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_1 = h(2f_0) - hf_0 = hf_0$ है।
चूंकि $K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2$, इसलिए $\frac{1}{2}mv_1^2 = hf_0 \implies v_1 = \sqrt{\frac{2hf_0}{m}}$।
$5f_0$ आवृत्ति के लिए, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_2 = h(5f_0) - hf_0 = 4hf_0$ है।
चूंकि $K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2$, इसलिए $\frac{1}{2}mv_2^2 = 4hf_0 \implies v_2 = \sqrt{\frac{8hf_0}{m}}$।
$v_1 : v_2$ का अनुपात = $\sqrt{\frac{2hf_0}{m}} : \sqrt{\frac{8hf_0}{m}} = \sqrt{2} : \sqrt{8} = \sqrt{2} : 2\sqrt{2} = 1 : 2$।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$, जहाँ $K_{max}$ उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा है, $h$ प्लांक नियतांक है, $c$ प्रकाश की गति है, $\lambda$ आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $\phi$ पदार्थ का कार्य फलन (work function) है।
निरोधी विभव $V_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से इस प्रकार संबंधित है: $eV_s = K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
इस समीकरण से, हम देख सकते हैं कि $V_s = \frac{hc}{e\lambda} - \frac{\phi}{e}$.
यदि आपतित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को कम किया जाता है, तो पद $\frac{hc}{e\lambda}$ बढ़ जाता है।
चूंकि कार्य फलन $\phi$ किसी दिए गए पदार्थ के लिए स्थिर है, इसलिए जैसे-जैसे $\lambda$ कम होता है, निरोधी विभव $V_s$ बढ़ना चाहिए।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = h v - \Phi_0$, जहाँ $K_{max}$ उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा है, $h$ प्लांक नियतांक है, $v$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है, और $\Phi_0$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $K_{max} = e V_s$, जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $V_s$ निरोधी विभव है, हम लिख सकते हैं: $e V_s = h v - \Phi_0$.
निरोधी विभव के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $V_s = \frac{h}{e} v - \frac{\Phi_0}{e}$.
इस रैखिक समीकरण से यह स्पष्ट है कि निरोधी विभव $(V_s)$ आपतित विकिरण की आवृत्ति $(v)$ के सीधे समानुपाती होता है।
इसलिए, यदि आवृत्ति $(v)$ बढ़ाई जाती है, तो निरोधी विभव $(V_s)$ भी बढ़ता है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, निरोधी विभव $V_s$ इस प्रकार दिया जाता है: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$, जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $e(V/12) = \frac{hc}{6\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $12$ से गुणा करने पर: $eV = \frac{12hc}{6\lambda} - \frac{12hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{12hc}{\lambda_0}$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ की तुलना करने पर: $\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{12hc}{\lambda_0}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{12hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{11hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda}$
अतः, $\lambda_0 = 11\lambda$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
हम जानते हैं कि निरोधी विभव $V$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से इस समीकरण द्वारा संबंधित है:
$K_{max} = eV$
इस मान को प्रकाश-विद्युत समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda} = W_0 + eV$
$\lambda = \frac{hc}{W_0 + eV}$

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda_i} - \frac{hc}{\lambda_0}$ है।
$K = \frac{p^2}{2m}$ प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है, हमें $\frac{p^2}{2m} = hc(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0})$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार, तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{p}$ है, जिसका अर्थ है $p = \frac{h}{\lambda_e}$।
गतिज ऊर्जा समीकरण में $p$ का मान रखने पर: $\frac{h^2}{2m\lambda_e^2} = hc(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0})$।
$\lambda_e^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\lambda_e^2 = \frac{h^2}{2mhc(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0})} = \frac{h}{2mc(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0})}$।
अतः, $\lambda_e = [\frac{h}{2mc(\frac{1}{\lambda_i} - \frac{1}{\lambda_0})}]^{1/2}$।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$, जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति में: $\frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(1)$
दूसरी स्थिति में, नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{2\lambda}{3}$ है। मान लीजिए नई अधिकतम गति $V'$ है।
$\frac{1}{2}m(V')^2 = \frac{hc}{2\lambda/3} - \phi = \frac{3hc}{2\lambda} - \phi = 1.5 \frac{hc}{\lambda} - \phi$
समीकरण $(1)$ से, $\frac{hc}{\lambda} = \frac{1}{2}mV^2 + \phi$
अतः, $\frac{1}{2}m(V')^2 = 1.5(\frac{1}{2}mV^2 + \phi) - \phi = 0.75mV^2 + 1.5\phi - \phi = 0.75mV^2 + 0.5\phi$
$\frac{1}{2}m(V')^2 = 0.75mV^2 + 0.5\phi$
$(V')^2 = 1.5V^2 + \frac{\phi}{m}$
$(V')^2 > 1.5V^2$
$V' > V(1.5)^{1/2}$
अतः, नई अधिकतम गति $V(1.5)^{1/2}$ से अधिक होगी।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - h\nu_0$ होती है, जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
पहले मामले के लिए: $K_{max1} = h\nu_1 - h\nu_0$.
दूसरे मामले के लिए: $K_{max2} = h\nu_2 - h\nu_0$.
अनुपात $\frac{K_{max1}}{K_{max2}} = \frac{3}{K}$ दिया गया है।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{h\nu_1 - h\nu_0}{h\nu_2 - h\nu_0} = \frac{3}{K}$.
$K(\nu_1 - \nu_0) = 3(\nu_2 - \nu_0)$.
$K\nu_1 - K\nu_0 = 3\nu_2 - 3\nu_0$.
$K\nu_1 - 3\nu_2 = K\nu_0 - 3\nu_0$.
$K\nu_1 - 3\nu_2 = \nu_0(K - 3)$.
अतः, देहली आवृत्ति $\nu_0 = \frac{K\nu_1 - 3\nu_2}{K - 3}$ है।