MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $1$. डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = MR^2/4$ है।
$2$. लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार, डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और सतह के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = I_d + I_d = MR^2/4 + MR^2/4 = MR^2/2$ होता है।
$3$. समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए, डिस्क के किनारे पर स्थित एक बिंदु से गुजरने वाली और सतह के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ होगा, जहाँ $d = R$ केंद्र और किनारे के बीच की दूरी है।
$4$. मान रखने पर: $I = MR^2/2 + M(R)^2 = MR^2/2 + MR^2 = (3/2)MR^2$.
$5$. दिए गए व्यंजक $(x/2)MR^2$ के साथ तुलना करने पर, $x/2 = 3/2$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $x = 3$।

(C) एक ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार, द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समानांतर और $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, दूरी $d = R/3$ है।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{2}{5}MR^2 + M(R/3)^2$
$I = \frac{2}{5}MR^2 + M(R^2/9)$
$I = MR^2(\frac{2}{5} + \frac{1}{9})$
$I = MR^2(\frac{18 + 5}{45})$
$I = \frac{23}{45}MR^2$.

(B) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाले अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}Mr^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए, केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ निम्न प्रकार दिया जाता है:
$I = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}Mr^2 + Md^2$।
दिया गया है $r = 5 \text{ cm}$ और $d = 10 \text{ cm}$, अतः:
$I = M \left( \frac{2}{5}(5)^2 + (10)^2 \right) = M \left( \frac{2}{5} \times 25 + 100 \right) = M(10 + 100) = 110M$।
घूर्णन त्रिज्या $k$ को $I = Mk^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, इसलिए $k^2 = \frac{I}{M} = 110$।
दिया गया है $k = \sqrt{x}$, अतः $k^2 = x = 110$।
इसलिए, $x$ का मान $110$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस बेलन का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
माना पदार्थ का घनत्व $\rho$ है।
मूल बेलन का द्रव्यमान $M_1 = \rho \cdot \pi R^2 L$ है।
अतः, $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 L) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 L$।
काटे गए बेलन की त्रिज्या $r = R/2$ और लंबाई $l = L/2$ है।
काटे गए भाग का द्रव्यमान $M_2 = \rho \cdot \pi (R/2)^2 (L/2) = \rho \cdot \pi (R^2/4) (L/2) = \frac{1}{8} \rho \pi R^2 L = \frac{M_1}{8}$ है।
उसी अक्ष के परितः काटे गए भाग का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} M_2 r^2 = \frac{1}{2} (\frac{M_1}{8}) (R/2)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{M_1}{8} \cdot \frac{R^2}{4} = \frac{M_1 R^2}{64}$ है।
चूंकि $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R^2$, इसलिए $M_1 R^2 = 2 I_1$ है।
इसे $I_2$ में प्रतिस्थापित करने पर, $I_2 = \frac{2 I_1}{64} = \frac{I_1}{32}$ प्राप्त होता है।
अतः, $I_1/I_2 = 32$ या $32 : 1$ है।

(B) $1$. $M_d = M/2$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण:
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए, $I_{tangent} = I_{cm} + M_d R^2$.
डिस्क के लिए, $I_{cm} = (1/4) M_d R^2$.
अतः, $I_{disc} = (1/4) (M/2) R^2 + (M/2) R^2 = (1/8) M R^2 + (4/8) M R^2 = (5/8) M R^2$.
$2$. $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसकी स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण:
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए, $I_{tangent} = I_{cm} + M R^2$.
ठोस गोले के लिए, $I_{cm} = (2/5) M R^2$.
अतः, $I_{sphere} = (2/5) M R^2 + M R^2 = (7/5) M R^2$.
$3$. डिस्क और गोले के जड़त्व आघूर्ण का अनुपात:
अनुपात $= I_{disc} / I_{sphere} = [(5/8) M R^2] / [(7/5) M R^2] = (5/8) * (5/7) = 25/56$.
इस प्रकार, अनुपात $25 : 56$ है।

(C) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ होता है।
दिए गए निकाय में, मध्य स्तंभ के $3$ गोलों के केंद्र $AA'$ अक्ष पर स्थित हैं, इसलिए उनका जड़त्व आघूर्ण $3 \times \frac{2}{5} mr^2 = 1.2 mr^2$ होगा।
किनारे पर स्थित $2$ गोलों के केंद्र अक्ष से $r$ दूरी पर हैं। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार, उनका जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + md^2 = \frac{2}{5} mr^2 + m(r)^2 = 1.4 mr^2$ होगा।
ऐसे $2$ गोलों के लिए, कुल जड़त्व आघूर्ण $2 \times 1.4 mr^2 = 2.8 mr^2$ होगा।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 1.2 mr^2 + 2.8 mr^2 = 4 mr^2$ है।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) बिंदु द्रव्यमानों के निकाय का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $r_i$ अक्ष से $i$-वें द्रव्यमान की लंबवत दूरी है।
यहाँ, अक्ष बिंदु $D$ से गुजरती है और वर्ग के तल के लंबवत है।
$D(0,0)$ से दूरियाँ:
$A(0,b)$ पर द्रव्यमान $m$: दूरी $r_A = b$, अतः $I_A = m(b)^2 = mb^2$.
$B(b,b)$ पर द्रव्यमान $2m$: दूरी $r_B = b\sqrt{2}$, अतः $I_B = 2m(b\sqrt{2})^2 = 4mb^2$.
$C(b,0)$ पर द्रव्यमान $3m$: दूरी $r_C = b$, अतः $I_C = 3m(b)^2 = 3mb^2$.
$D(0,0)$ पर द्रव्यमान $4m$: दूरी $r_D = 0$, अतः $I_D = 0$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_A + I_B + I_C + I_D = mb^2 + 4mb^2 + 3mb^2 + 0 = 8mb^2$.

(C) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = 2/5 MR^2$ होता है।
समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार, केंद्र से $d = R/3$ की दूरी पर व्यास के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ होता है।
मान रखने पर, हमें $I = 2/5 MR^2 + M(R/3)^2$ प्राप्त होता है।
$I = 2/5 MR^2 + M(R^2/9)$.
लघुत्तम समापवर्त्य $45$ लेने पर, $I = (18/45) MR^2 + (5/45) MR^2$ प्राप्त होता है।
$I = 23/45 MR^2$.

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पतली समान वृत्ताकार डिस्क की उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ है।
चूंकि $I = MK^2$, इसलिए $MK_c^2 = \frac{1}{2}MR^2$, जिससे $K_c = \frac{R}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
उसी डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{4}MR^2$ है।
चूंकि $I_d = MK_d^2$, इसलिए $MK_d^2 = \frac{1}{4}MR^2$, जिससे $K_d = \frac{R}{2}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $K_d : K_c = \frac{R/2}{R/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः, अनुपात $1:\sqrt{2}$ है।

(A) एक खोखले गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{3}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार, केंद्र से $h$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Mh^2$ द्वारा दिया जाता है।
$I_{cm}$ का मान रखने पर, हमें $I = \frac{2}{3}MR^2 + Mh^2$ प्राप्त होता है।
घूर्णन त्रिज्या $K$ को $I = MK^2$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $K = R$ दिया गया है, इसलिए $I = MR^2$ होगा।
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$MR^2 = \frac{2}{3}MR^2 + Mh^2$
$R^2 = \frac{2}{3}R^2 + h^2$
$h^2 = R^2 - \frac{2}{3}R^2$
$h^2 = \frac{1}{3}R^2$
$h = \frac{R}{\sqrt{3}}$
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) इस निकाय में एक केंद्रीय छल्ला और छह आसपास के छल्ले शामिल हैं।
$1$. केंद्रीय छल्ले के लिए, उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{central} = MR^2$ है।
$2$. छह आसपास के छल्लों में से प्रत्येक के लिए, केंद्रीय छल्ले के केंद्र और आसपास के छल्ले के केंद्र के बीच की दूरी $d = 2R$ है।
$3$. समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक आसपास के छल्ले का केंद्रीय छल्ले के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{surrounding} = I_{CM} + Md^2 = MR^2 + M(2R)^2 = MR^2 + 4MR^2 = 5MR^2$ है।
$4$. चूंकि ऐसे छह आसपास के छल्ले हैं, इसलिए उनका कुल जड़त्व आघूर्ण $6 \times 5MR^2 = 30MR^2$ है।
$5$. निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_{central} + 30MR^2 = MR^2 + 30MR^2 = 31MR^2$ है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले की उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = (2/5)MR^2$ होता है।
चूंकि $I = MK^2$, इसलिए $MK_d^2 = (2/5)MR^2$, जिससे $K_d = R \sqrt{2/5}$ प्राप्त होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार, ठोस गोले की उसकी स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_t = I_{cm} + MR^2 = (2/5)MR^2 + MR^2 = (7/5)MR^2$ होता है।
चूंकि $MK_t^2 = (7/5)MR^2$, इसलिए $K_t = R \sqrt{7/5}$ प्राप्त होता है।
अतः, $K_d/K_t$ का अनुपात $\frac{R \sqrt{2/5}}{R \sqrt{7/5}} = \sqrt{\frac{2/5}{7/5}} = \sqrt{2/7} = (2/7)^{1/2}$ है।

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, छड़ द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा उसके द्वारा प्राप्त घूर्णन गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभ में, छड़ का द्रव्यमान केंद्र जमीन से $h = l/2$ की ऊंचाई पर है।
खोई गई स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ = $mgh = mg(l/2)$.
प्राप्त घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)$ = $(1/2)I\omega^2$, जहाँ $I$ कब्जे $A$ के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है।
एक सिरे के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = ml^2/3$ होता है।
$PE$ और $KE$ को बराबर करने पर: $mgl/2 = (1/2)(ml^2/3)\omega^2$.
$mgl/2 = (ml^2/6)\omega^2$.
$\omega^2 = (mgl/2) \times (6/ml^2) = 3g/l$.
अतः, $\omega = \sqrt{3g/l}$.

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली रिंग का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_A = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
रिंग का उसके तल में स्थित स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार: $I_B = I_{CM} + MR^2 = MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ होता है।
चूंकि दोनों रिंगों की घूर्णन गतिज ऊर्जा समान है $(K_A = K_B)$:
$\frac{1}{2}I_A \omega_A^2 = \frac{1}{2}I_B \omega_B^2$
$I_A$ और $I_B$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{2} (\frac{1}{2}MR^2) \omega_A^2 = \frac{1}{2} (\frac{3}{2}MR^2) \omega_B^2$
$\frac{1}{2} \omega_A^2 = \frac{3}{2} \omega_B^2$
$\omega_A^2 = 3 \omega_B^2$
$\frac{\omega_B^2}{\omega_A^2} = \frac{1}{3}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\omega_B}{\omega_A} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः, अनुपात $1:\sqrt{3}$ है।

(C) $M_s$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} M_s R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए, इसकी स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{sphere} = I_{cm} + M_s R^2 = \frac{2}{5} M_s R^2 + M_s R^2 = \frac{7}{5} M_s R^2$ होगा।
यहाँ $M_s = 5 \text{ kg}$ दिया गया है, इसलिए $I_{sphere} = \frac{7}{5} \times 5 \times R^2 = 7 R^2$ होगा।
$M_d$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{4} M_d R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए, उसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{disc} = I_{cm} + M_d R^2 = \frac{1}{4} M_d R^2 + M_d R^2 = \frac{5}{4} M_d R^2$ होगा।
यहाँ $M_d = 4 \text{ kg}$ दिया गया है, इसलिए $I_{disc} = \frac{5}{4} \times 4 \times R^2 = 5 R^2$ होगा।
अतः, अनुपात $\frac{I_{sphere}}{I_{disc}} = \frac{7 R^2}{5 R^2} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $x = 7$ और $y = 5$ है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, कक्षीय आवर्तकाल का वर्ग $T^2$, कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष $r$ के घन के समानुपाती होता है, अर्थात $T^2 \propto r^3$।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए, कक्षीय त्रिज्या $r = R + h$ होती है।
भूस्थिर उपग्रह $(S_1)$ के लिए: ऊँचाई $h_1 = 4R$, इसलिए $r_1 = R + 4R = 5R$। भूस्थिर उपग्रह का आवर्तकाल $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ होता है।
दूसरे उपग्रह $(S_2)$ के लिए: ऊँचाई $h_2 = 1.5R$, इसलिए $r_2 = R + 1.5R = 2.5R = 5R/2$। मान लीजिए इसका आवर्तकाल $T_2 = T$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $(T_2/T_1)^2 = (r_2/r_1)^3$।
$(T/24)^2 = (2.5R / 5R)^3 = (1/2)^3 = 1/8$।
$(T/24)^2 = 1/8 \implies T/24 = 1/\sqrt{8} = 1/(2\sqrt{2})$।
$T = 24 / (2\sqrt{2}) = 12 / \sqrt{2} = 6 \times 2 / \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ घंटे}$।

(C) सूर्य से $r$ दूरी पर स्थित किसी ग्रह की कक्षीय चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है, जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ सूर्य का द्रव्यमान है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$ है।
अतः, ग्रह $A$ और ग्रह $B$ की चालों का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $r_B = 100 r_A$, इसलिए इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{100 r_A}{r_A}} = \sqrt{100} = 10$.
इस प्रकार, ग्रह $A$ और ग्रह $B$ की चाल का अनुपात $10$ है।

(C) सूर्य से $r$ दूरी पर स्थित ग्रह की कक्षीय गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ है, जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ सूर्य का द्रव्यमान है।
इस सूत्र से, हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$ है।
इसलिए, ग्रहों $A$ और $B$ की कक्षीय गति का अनुपात $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}$ है।
यह दिया गया है कि $r_B = 225 r_A$, इसलिए मान रखने पर:
$\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{225 r_A}} = \sqrt{\frac{1}{225}} = \frac{1}{15}$।
चूंकि ग्रह $A$ की कक्षीय गति $V$ है, इसलिए $v_A = V$ है।
अतः, $v_B = \frac{v_A}{15} = \frac{V}{15}$।

(A) ग्रह की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए, कक्षीय वेग $v = \sqrt{gR}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
चूंकि उपग्रह सतह के निकट है, आवर्तकाल $T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi R}{\sqrt{gR}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ होता है।
गुरुत्वीय त्वरण $g$ और घनत्व $\rho$ के बीच संबंध $g = \frac{GM}{R^2}$ है, जहाँ $M$ ग्रह का द्रव्यमान है।
चूंकि $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$, इसलिए $g = \frac{G(\frac{4}{3}\pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3}\pi R \rho G$ प्राप्त होता है।
$g$ के इस मान को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{\frac{4}{3}\pi R \rho G}} = 2\pi \sqrt{\frac{3}{4\pi \rho G}} = \sqrt{\frac{3\pi}{\rho G}}$।

(A) माना पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है। पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पिंड को $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ वेग से प्रक्षेपित किया जाता है।
पृथ्वी की सतह और अधिकतम ऊँचाई $h$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
सतह पर कुल ऊर्जा = अधिकतम ऊँचाई पर कुल ऊर्जा
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$v^2 = \frac{GM}{2R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{2R} \right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = R/3$
अतः, पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $R/3$ है।

(A) किसी ग्रह का पलायन वेग $v = \sqrt{2GM/R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी के लिए, $v_e = \sqrt{2GM_e/R_e}$ है।
ग्रह $P$ के लिए, द्रव्यमान $M_p = M_e / 9$ और त्रिज्या $R_p = R_e / 2$ है।
ग्रह $P$ पर पलायन वेग $v_p = \sqrt{2G(M_e/9) / (R_e/2)} = \sqrt{(2GM_e/R_e) \times (2/9)} = v_e \sqrt{2/9} = v_e \sqrt{2} / 3$ है।
प्रश्न के अनुसार, ग्रह $P$ पर पलायन वेग $v_e / (3 \sqrt{x})$ दिया गया है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $v_e \sqrt{2} / 3 = v_e / (3 \sqrt{x})$।
यह $\sqrt{2} = 1 / \sqrt{x}$ में सरल होता है, जिसका अर्थ है $x = 1/2$ या $0.5$। दिए गए विकल्पों के आधार पर, यदि प्रश्न का अर्थ $M_p = 9M_e$ और $R_p = 2R_e$ है, तो $v_p = v_e \sqrt{9/2} = v_e \times 3 / \sqrt{2} = v_e \times 3 \sqrt{2} / 2$ होगा। यदि व्यंजक $v_e \sqrt{x} / 3$ है, तो $x=18$ प्राप्त होता है।

(A) अनंत तक पलायन करने के लिए, पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।
मान लीजिए कि पिंड को $M_1$ से $r_1 = 2d/3$ की दूरी से $v$ गति से प्रक्षेपित किया जाता है। $M_2$ से इसकी दूरी $r_2 = d - 2d/3 = d/3$ होगी।
इस बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GM_1m}{r_1} - \frac{GM_2m}{r_2} = -\frac{GM_1m}{2d/3} - \frac{GM_2m}{d/3} = -\frac{3GM_1m}{2d} - \frac{3GM_2m}{d} = -\frac{3Gm}{2d} (M_1 + 2M_2)$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
पिंड के अनंत तक पलायन करने के लिए, $K + U = 0$ होना चाहिए।
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{3Gm}{2d} (M_1 + 2M_2) = 0$.
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{3G}{2d} (M_1 + 2M_2)$.
$v^2 = \frac{6G}{d} (M_1 + 2M_2)$.
$v = \sqrt{\frac{6G}{d} (M_1 + 2M_2)}$.

(A) $m$ द्रव्यमान के पिंड की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -GMm/r$ होती है।
पृथ्वी की सतह पर, $r = R$, इसलिए $U_i = -GMm/R$ है।
$h = 2R$ की ऊँचाई पर, केंद्र से दूरी $r = R + h = R + 2R = 3R$ होगी।
अतः, ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = -GMm/(3R)$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = -GMm/(3R) - (-GMm/R) = GMm/R - GMm/(3R) = (2/3) GMm/R$ है।
चूँकि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = GM/R^2$ है, इसलिए $GM = gR^2$ होगा।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, $\Delta U = (2/3) (gR^2) m / R = (2/3) mgR$ प्राप्त होता है।

(C) कथन $I$ सही है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ पृथ्वी की सतह पर अधिकतम होता है और ऊँचाई $(h)$ तथा गहराई $(d)$ दोनों के साथ घटता है।
कथन $II$ गलत है। $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g_h = g(1 - 2h/R)$ (जब $h \ll R$) द्वारा और $d$ गहराई पर $g_d = g(1 - d/R)$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $h = d$ है, तो $g_h = g(1 - 2h/R)$ और $g_d = g(1 - h/R)$ होगा।
स्पष्ट रूप से, $h = d$ के लिए $g_h \neq g_d$ होता है (जहाँ $h, d > 0$)।
अतः, कथन $I$ सही है लेकिन कथन $II$ गलत है।

(A) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g - \omega^2 R$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर भार अपने प्रारंभिक मान का $(3/5)$ गुना हो जाता है, इसलिए $g' = (3/5)g$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(3/5)g = g - \omega^2 R$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 R = g - (3/5)g = (2/5)g$ प्राप्त होता है।
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = (2g)/(5R)$।
अतः, $\omega = \sqrt{(2g)/(5R)}$ या $(2g/5R)^{1/2}$।

(B) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g' = g - \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है, $\omega$ कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर वजन वर्तमान वजन का $3/5$ हो जाता है, इसलिए $g' = (3/5)g$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(3/5)g = g - \omega^2 R$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 R = g - (3/5)g = (2/5)g$।
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = 2g / (5R)$, जिससे $\omega = \sqrt{2g/5R}$ प्राप्त होता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी की सतह पर, $T_1 = 2\pi \sqrt{l/g}$, जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी की सतह से $h = 2R$ की ऊँचाई पर, गुरुत्वीय त्वरण $g_h$ का मान $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ होता है।
$h = 2R$ रखने पर, हमें $g_h = g \left( \frac{R}{R+2R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{g}{9}$ प्राप्त होता है।
ऊँचाई $h$ पर आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{l/g_h} = 2\pi \sqrt{l/(g/9)} = 2\pi \sqrt{9l/g} = 3 \times 2\pi \sqrt{l/g} = 3T_1$ होता है।
अतः, अनुपात $T_1 : T_2 = T_1 : 3T_1 = 1:3$ है।

(A) सेकंड लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \text{ s}$ होता है।
लोलक की लंबाई का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ है, जिसका अर्थ है $l = g(T/2\pi)^2$।
पृथ्वी की सतह पर, $l_s = g(T/2\pi)^2$।
'$h$' ऊंचाई पर, $l_h = g_h(T/2\pi)^2$, जहाँ $g_h$ ऊंचाई '$h$' पर गुरुत्वीय त्वरण है।
अनुपात लेने पर, $l_h/l_s = g_h/g = (R/(R+h))^2$, जहाँ '$R$' पृथ्वी की त्रिज्या है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $\sqrt{l_h/l_s} = R/(R+h)$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(R+h)\sqrt{l_h} = R\sqrt{l_s}$।
$R\sqrt{l_h} + h\sqrt{l_h} = R\sqrt{l_s}$।
$h\sqrt{l_h} = R(\sqrt{l_s} - \sqrt{l_h})$।
अतः, $R = \frac{h\sqrt{l_h}}{\sqrt{l_s} - \sqrt{l_h}}$।

(D) पृथ्वी की सतह से '$h$' ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = g(1 - 2h/R)$ होता है, जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी की सतह से '$d$' गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g(1 - d/R)$ होता है।
प्रश्न के अनुसार, $d = 90 \text{ km}$ गहराई पर $g_h = g_d$ है।
अतः, $g(1 - 2h/R) = g(1 - d/R)$।
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने और सरल करने पर:
$1 - 2h/R = 1 - d/R$
$-2h/R = -d/R$
$2h = d$
$h = d/2$
चूँकि $d = 90 \text{ km}$ दिया गया है, इसलिए:
$h = 90 / 2 = 45 \text{ km}$।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - 2h/R)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
वस्तु का भार $W = mg$ होता है, इसलिए $h$ ऊँचाई पर भार $W_h = mg_h = mg(1 - 2h/R)$ होगा।
भार में कमी $\Delta W = W - W_h = mg - mg(1 - 2h/R) = mg(2h/R)$ है।
भार में प्रतिशत कमी $(\Delta W / W) \times 100 = (2h/R) \times 100$ है।
यहाँ $h = 48 \text{ km}$ और $R = 6400 \text{ km}$ दिया गया है।
प्रतिशत कमी $= (2 \times 48 / 6400) \times 100 = (96 / 6400) \times 100 = 96 / 64 = 1.5\%$.

(A) $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - 2h/R)$ और $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - d/R)$ होता है।
चूँकि दोनों ही स्थितियों में गुरुत्वीय त्वरण $g$ से कम होता है, इसलिए विकल्प $A$ सही है।
विकल्प $B$ के लिए, $g_h = g_d$ होने हेतु $2h = d$ होना आवश्यक है, अतः $h=d$ गलत है।
विकल्प $C$ के लिए, भिन्नात्मक परिवर्तन $\Delta g/g = 2h/R = 2(640)/6400 = 0.2 = 20\%$ है, इसलिए $10\%$ गलत है।
विकल्प $D$ के लिए, पृथ्वी के घूर्णन के कारण ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण प्रभावित नहीं होता है क्योंकि ध्रुवों पर अपकेंद्री बल शून्य होता है ($r=0$ होने के कारण)। अतः विकल्प $D$ गलत है।

(A) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$, हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
अतः, $g_p$ और $g_e$ का अनुपात होगा:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{R_p}{R_e} \times \frac{\rho_p}{\rho_e}$.
दिया गया है कि $\frac{R_p}{R_e} = 2.5$ और $\frac{\rho_p}{\rho_e} = 3$, इसलिए:
$\frac{g_p}{g_e} = 2.5 \times 3 = 7.5$.

(D) सीमांत वेग (टर्मिनल वेलोसिटी) पर, गेंद पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है। इसलिए, श्यान बल $F_v$ गेंद के प्रभावी भार के बराबर होता है।
$F_v = W_{eff} = V(\rho_b - \rho_l)g$
यहाँ, $V = (4/3)\pi r^3$ गोले का आयतन है।
दिया गया है: $r = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$, $\rho_b = 10.5 \text{ g/cc} = 10500 \text{ kg/m}^3$, $\rho_l = 1.5 \text{ g/cc} = 1500 \text{ kg/m}^3$, $g = 9.8 \text{ m/s}^2$, $\pi = 22/7$.
घनत्व में अंतर: $\rho_b - \rho_l = 10500 - 1500 = 9000 \text{ kg/m}^3$.
$F_v = (4/3) \times (22/7) \times (10^{-3})^3 \times 9000 \times 9.8$
$F_v = (4/3) \times (22/7) \times 10^{-9} \times 9000 \times 9.8 = 3696 \times 10^{-8} \text{ N}$.
अतः, $x = 8$.

(A) श्यान माध्यम में गिरती हुई गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग '$V_t$' निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$.
इससे स्पष्ट है कि $V_t \propto r^2$.
मान लीजिए कि छोटी बूंदों का टर्मिनल वेग '$V$' है और उनकी त्रिज्या '$r$' है। अतः, $V = k r^2$ (जहाँ '$k$' एक स्थिरांक है)।
जब '$r$' त्रिज्या की दो बूंदें मिलकर '$R$' त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन संरक्षित रहता है:
$2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$2r^3 = R^3 \implies R = 2^{1/3}r$.
बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग '$V_{big}$' उसकी त्रिज्या के वर्ग '$R^2$' के समानुपाती होता है:
$V_{big} = k R^2$.
दोनों वेगों का अनुपात लेने पर:
$\frac{V_{big}}{V} = \frac{k R^2}{k r^2} = \frac{R^2}{r^2}$.
अतः, $V_{big} = V \frac{R^2}{r^2}$.

(D) जब एक गोलाकार वस्तु एक श्यान तरल में गिरती है, तो वह तीन बलों का अनुभव करती है: नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $(F_g)$, ऊपर की ओर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $(F_b)$, और ऊपर की ओर कार्य करने वाला श्यान घर्षण बल $(F_v)$।
जैसे-जैसे गोले का वेग बढ़ता है, श्यान बल बढ़ता जाता है। टर्मिनल वेग तब प्राप्त होता है जब गोले पर लगने वाला कुल बल शून्य हो जाता है, जिसका अर्थ है कि वस्तु का त्वरण शून्य हो जाता है।
इस बिंदु पर, नीचे की ओर लगने वाला बल ऊपर की ओर लगने वाले बलों के योग द्वारा संतुलित होता है:
$F_g = F_b + F_v$
अतः, उत्प्लावन बल और श्यान बल का योग गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर हो जाता है।

(D) रेनॉल्ड्स संख्या $(R_n)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग विभिन्न द्रव प्रवाह स्थितियों में प्रवाह पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
क्षैतिज सतह पर या पाइप के माध्यम से प्रवाह के लिए, प्रवाह को आमतौर पर तब लैमिनर (धारा रेखीय) माना जाता है जब $R_n < 2000$ हो।
जब रेनॉल्ड्स संख्या $2000$ के क्रांतिक मान से अधिक हो जाती है $(R_n > 2000)$, तो प्रवाह अस्थिर या अशांत (turbulent) हो जाता है।

(C) रेनॉल्ड्स संख्या '$R_n$' द्रव के प्रवाह की प्रकृति को निर्धारित करती है।
'$R_n < 1000$' के लिए, प्रवाह धारा रेखीय (streamline) होता है।
'$1000 < R_n < 2000$' के लिए, प्रवाह अस्थिर होता है और यह धारा रेखीय और विक्षुब्ध प्रवाह के बीच की संक्रमण अवस्था में होता है।
'$R_n > 2000$' के लिए, प्रवाह विक्षुब्ध (turbulent) होता है।
चूंकि दी गई रेनॉल्ड्स संख्या $1450$ है, जो '$1000 < R_n < 2000$' की सीमा में आती है, इसलिए प्रवाह संक्रमण अवस्था में है, जिसका अर्थ है कि यह धारा रेखीय से विक्षुब्ध प्रवाह में बदल रहा है।

(D) जब एक छोटा धातु का गोला एक श्यान द्रव में गिरता है, तो वह तीन बलों का अनुभव करता है: नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$, ऊपर की ओर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल $(F_B)$, और ऊपर की ओर कार्य करने वाला श्यान घर्षण बल $(F_v = 6\pi\eta rv)$।
परिणामी बल $F_{net} = mg - F_B - 6\pi\eta rv = ma$ है।
प्रारंभ में, वेग $(v)$ शून्य होता है, इसलिए श्यान घर्षण बल शून्य होता है और त्वरण अधिकतम होता है। जैसे-जैसे वेग बढ़ता है, श्यान घर्षण बल बढ़ता है, जिससे परिणामी बल और त्वरण कम हो जाते हैं।
अंततः, जब श्यान घर्षण बल प्रभावी भार को संतुलित कर लेता है तो परिणामी बल शून्य हो जाता है, और गोला एक स्थिर वेग प्राप्त कर लेता है जिसे सीमांत वेग (terminal velocity) कहा जाता है। यह व्यवहार एक वक्र द्वारा दर्शाया जाता है जो मूल बिंदु से शुरू होता है, घटती ढलान के साथ बढ़ता है और एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी (asymptote) के करीब पहुंचता है, जो ग्राफ $(d)$ के अनुरूप है।

(A) $r$ त्रिज्या वाली द्रव की बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है, $P_1 = \frac{2T}{r} = 9 \text{ units}$।
जब $r$ त्रिज्या की $27$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन संरक्षित रहता है:
$27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$27r^3 = R^3 \implies R = 3r$।
बड़ी बूंद के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P_2 = \frac{2T}{R}$ है।
$R = 3r$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $P_2 = \frac{2T}{3r} = \frac{1}{3} \times (\frac{2T}{r})$।
चूंकि $\frac{2T}{r} = 9$, इसलिए $P_2 = \frac{1}{3} \times 9 = 3 \text{ units}$।

(B) केशिका नली में पानी के मेनिस्कस (meniscus) पर दबाव का अंतर यंग-लाप्लास समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta P = 2T/R_{eff}$.
यहाँ, केशिका स्थान की प्रभावी त्रिज्या नली और तार के बीच का अंतर है, जो $R_{eff} = R - r$ है।
संतुलन पर, दबाव का अंतर '$h$' ऊँचाई के पानी के स्तंभ के हाइड्रोस्टेटिक दबाव को संतुलित करता है: $\Delta P = h\rho g$.
दोनों समीकरणों को बराबर करने पर: $2T/(R-r) = h\rho g$.
'$h$' के लिए हल करने पर: $h = 2T/((R-r)\rho g)$.

(B) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
बड़ी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $E = T \cdot 4\pi R^2$ है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
चूँकि आयतन संरक्षित रहता है, बड़ी बूंद का आयतन $512$ छोटी बूंदों के कुल आयतन के बराबर होगा:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 512 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 512 r^3 \implies R = 8r$ या $r = \frac{R}{8}$।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_{final}$ सभी $512$ बूंदों की पृष्ठ ऊर्जा का योग है:
$E_{final} = 512 \cdot (T \cdot 4\pi r^2)$
समीकरण में $r = \frac{R}{8}$ रखने पर:
$E_{final} = 512 \cdot T \cdot 4\pi \left(\frac{R}{8}\right)^2$
$E_{final} = 512 \cdot T \cdot 4\pi \cdot \frac{R^2}{64}$
$E_{final} = \frac{512}{64} \cdot (T \cdot 4\pi R^2)$
$E_{final} = 8E$.

(B) पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि के कारण किया गया कार्य $W = T \Delta A$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन है, जहाँ $\Delta A = A_{\text{अंतिम}} - A_{\text{प्रारंभिक}}$।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है, $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, $R = 4r$, जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{4}$।
प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल $A_i = 4\pi R^2$।
अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल $A_f = 64 \times 4\pi r^2 = 64 \times 4\pi (\frac{R}{4})^2 = 64 \times 4\pi \times \frac{R^2}{16} = 16 \times 4\pi R^2 = 64\pi R^2$।
पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 64\pi R^2 - 4\pi R^2 = 60\pi R^2$ (नोट: गणना के अनुसार $W = T(A_f - A_i) = T(16 \times 4\pi R^2 - 4\pi R^2) = T(4\pi R^2(4-1)) = 12\pi R^2 T$)।

(B) केशिका उन्नयन (capillary rise) का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूंकि $h, T, r$ और $g$ तीनों द्रवों के लिए स्थिर हैं, इसलिए $\cos \theta \propto \rho$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$ है, इसलिए $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ होगा।
चूंकि $0^\circ$ से $90^\circ$ के बीच कोसाइन फलन एक घटता हुआ फलन है, इसलिए कोसाइन का मान जितना अधिक होगा, कोण उतना ही छोटा होगा।
अतः, संपर्क कोणों के बीच का संबंध $\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$ है।

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है, बड़ी बूंद का आयतन दो छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$2 \times (4/3 \pi r^3) = 4/3 \pi R^3$
$2r^3 = R^3 \implies R = 2^{1/3}r$.
पृष्ठीय ऊर्जा $E$ को $E = T \times A$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
$E_{before} = 2 \times (T \times 4\pi r^2) = 8\pi r^2 T$.
$E_{after} = T \times 4\pi R^2 = 4\pi T (2^{1/3}r)^2 = 4\pi T r^2 2^{2/3}$.
परिवर्तन के बाद और पहले की कुल पृष्ठीय ऊर्जाओं का अनुपात:
$E_{after} / E_{before} = (4\pi T r^2 2^{2/3}) / (8\pi r^2 T) = 2^{2/3} / 2 = 2^{2/3 - 1} = 2^{-1/3}$.
अतः, अनुपात $2^{-1/3} : 1$ है।

(A) माना मूल बूंद की त्रिज्या $R$ है और $1000$ छोटी बूंदों में से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है: $1000 \times (4/3 \pi r^3) = 4/3 \pi R^3$.
यह $1000r^3 = R^3$ में सरल हो जाता है, जिससे $R = 10r$ या $r = R/10$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $u_i = T \times 4\pi R^2$ है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
अंतिम कुल पृष्ठीय ऊर्जा $u_f = 1000 \times (T \times 4\pi r^2)$ है।
$r = R/10$ प्रतिस्थापित करने पर: $u_f = 1000 \times T \times 4\pi (R/10)^2 = 1000 \times T \times 4\pi (R^2/100) = 10 \times (T \times 4\pi R^2) = 10 u_i$.
अतः, $u_f/u_i = 10$.
दिया गया है कि $u_f/u_i = 10/x$, इसलिए $10 = 10/x$, जिसका अर्थ है कि $x = 1$।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
आयतन संरक्षण के नियम के अनुसार, $1000$ छोटी बूंदों का कुल आयतन $1$ बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होता है:
$1000 \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$
$1000 r^3 = R^3 \implies R = 10r$.
बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा $U = T \cdot A$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
$1$ बड़ी बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा: $U_{large} = T \cdot 4\pi R^2 = T \cdot 4\pi (10r)^2 = 100 T \cdot 4\pi r^2$.
$1000$ छोटी बूंदों की कुल पृष्ठीय ऊर्जा: $U_{small_total} = 1000 \cdot (T \cdot 4\pi r^2) = 1000 T \cdot 4\pi r^2$.
$1$ बड़ी बूंद और $1000$ छोटी बूंदों की पृष्ठीय ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{U_{large}}{U_{small_total}} = \frac{100 T \cdot 4\pi r^2}{1000 T \cdot 4\pi r^2} = \frac{100}{1000} = \frac{1}{10}$.
अतः, अनुपात $1 : 10$ है।

(A) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है कि पहले बुलबुले में अतिरिक्त दबाव $(P_1)$ दूसरे बुलबुले $(P_2)$ के दबाव का तीन गुना है:
$P_1 = 3P_2$
$\frac{4T}{r_1} = 3 \times \frac{4T}{r_2}$
$\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2} \implies r_2 = 3r_1$
गोलाकार साबुन के बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
आयतन का अनुपात:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$
$r_2 = 3r_1$ रखने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{3r_1}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
अतः, पहले साबुन के बुलबुले के आयतन और दूसरे साबुन के बुलबुले के आयतन का अनुपात $1:27$ है।

(A) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव, $\rho$ घनत्व और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इससे स्पष्ट है कि $h \propto \frac{1}{r}$।
यदि त्रिज्या $xr$ हो जाती है, तो नई ऊँचाई $h' = \frac{h}{x}$ होगी।
केशिका नली में पानी का द्रव्यमान $m = V \cdot \rho = (\pi r^2 h) \cdot \rho$ होता है।
द्रव्यमान के सूत्र में $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ रखने पर:
$m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi r T \cos \theta}{g}$।
अतः, $m \propto r$ है।
यदि त्रिज्या $r$ से बदलकर $xr$ हो जाती है, तो नया द्रव्यमान $m' = x \cdot m$ होगा।

(C) जब द्रव की सतह वक्र होती है, तो पृष्ठ तनाव के कारण सतह के आर-पार दबाव का अंतर होता है।
यंग-लाप्लास समीकरण के अनुसार, एक वक्र द्रव सतह के अवतल पक्ष पर दबाव हमेशा उत्तल पक्ष पर दबाव से अधिक होता है।
गोलीय सतह के लिए यह दबाव अंतर $\Delta P = P_{\text{concave}} - P_{\text{convex}} = \frac{2T}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ वक्रता की त्रिज्या है।
इसलिए, अवतल पक्ष पर दबाव उत्तल पक्ष पर दबाव से अधिक होता है।

(A) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = P_{in} - P_{out} = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
बुलबुले $A$ के लिए: $\Delta P_A = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm} = \frac{4T}{r_A}$.
बुलबुले $B$ के लिए: $\Delta P_B = 1.04 - 1 = 0.04 \text{ atm} = \frac{4T}{r_B}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{\Delta P_A}{\Delta P_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{0.02}{0.04} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार, $r_A = 2r_B$.
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
आयतन का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \frac{r_A^3}{r_B^3} = (2)^3 = 8$ है।
अतः, अनुपात $8:1$ है।

(B) क्यूरी के नियम के अनुसार, एक अनुचुंबकीय (paramagnetic) पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ उसके परम तापमान $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से, $\chi \propto \frac{1}{T}$ या $\chi T = \text{स्थिरांक}$.
यह नियम अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए सत्य है। लौह-चुंबकीय (ferromagnetic) पदार्थों के लिए, संबंध क्यूरी-वाइस नियम का पालन करता है, $\chi = \frac{C}{T - T_c}$, जहाँ $T_c$ क्यूरी तापमान है, जिसका अर्थ है कि गुणनफल $\chi T$ स्थिर नहीं होता है।

(B) प्रतिचुंबकीय पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं।
जब प्रतिचुंबकीय द्रव से भरी $U$-नली की एक भुजा को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है, तो चुंबकीय बल द्रव पर कार्य करता है, जो इसे प्रबल चुंबकीय क्षेत्र के क्षेत्र से दूर धकेलता है।
चूंकि द्रव प्रतिचुंबकीय है, इसलिए यह चुंबकीय क्षेत्र से प्रतिकर्षण बल का अनुभव करता है।
परिणामस्वरूप, चुंबकीय क्षेत्र में रखी गई भुजा में द्रव का स्तर नीचे गिर जाएगा, और संतुलन बनाए रखने के लिए दूसरी भुजा में द्रव का स्तर ऊपर उठ जाएगा।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबक के दोलन की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu B}{I}}$ है, जहाँ $\mu$ चुंबकीय आघूर्ण है, $B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
इस सूत्र से, हम देख सकते हैं कि $n \propto \sqrt{B}$ है।
दिया गया है कि प्रारंभिक आवृत्ति $n$ है जब क्षेत्र $B$ है, और अंतिम आवृत्ति $n' = n/3$ है जब क्षेत्र $X$ है, तो अनुपात होगा:
$\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{X}{B}}$
मान रखने पर:
$\frac{n/3}{n} = \sqrt{\frac{X}{B}}$
$\frac{1}{3} = \sqrt{\frac{X}{B}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{9} = \frac{X}{B}$
अतः, $X = B/9$।

(C) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$, जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है, $M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
प्रारंभिक आवर्तकाल $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ दिया गया है।
नए चुंबक के लिए, नया जड़त्व आघूर्ण $I' = 3I$ और नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = M/3$ है।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{3I}{(M/3)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{9I}{MB}} = 3 \times (2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}})$.
अतः, $T' = 3T_0$।

(C) दिया गया है:
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H = 2000 \text{ A/m}$.
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 6 \times 10^{-4} \text{ Wb}$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 3 \text{ cm}^2 = 3 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
हम जानते हैं कि चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$, जहाँ $B$ चुंबकीय फ्लक्स घनत्व है।
$B = \frac{\phi}{A} = \frac{6 \times 10^{-4} \text{ Wb}}{3 \times 10^{-4} \text{ m}^2} = 2 \text{ T}$.
साथ ही, $B = \mu H$, जहाँ $\mu$ चुंबकीय पारगम्यता है।
$\mu = \frac{B}{H} = \frac{2 \text{ T}}{2000 \text{ A/m}} = \frac{2}{2 \times 10^3} = 10^{-3} \text{ Wb/A} \cdot \text{m}$.
अतः, चुंबकीय पारगम्यता $10^{-3} \text{ Wb/A} \cdot \text{m}$ है।

(B) दिया गया है:
चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता, $H = 1000 \text{ A/m}$
चुंबकीय फ्लक्स, $\phi = 3 \times 10^{-4} \text{ Wb}$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, $A = 1.5 \text{ cm}^2 = 1.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
सबसे पहले, चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $(B)$ की गणना करें:
$B = \frac{\phi}{A} = \frac{3 \times 10^{-4} \text{ Wb}}{1.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2} = 2 \text{ T (या Wb/m}^2)$
चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $(B)$, चुंबकीय पारगम्यता $(\mu)$ और चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता $(H)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$B = \mu H$
इसलिए, चुंबकीय पारगम्यता $(\mu)$ होगी:
$\mu = \frac{B}{H} = \frac{2 \text{ Wb/m}^2}{1000 \text{ A/m}} = 2 \times 10^{-3} \text{ Wb/(A} \cdot \text{m)}$
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) निर्वात में टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है।
जब टोरॉइड को $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति वाले पदार्थ से भरा जाता है, तो चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 (1 + \chi) n I = B_0 (1 + \chi)$ हो जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र में वृद्धि $\Delta B = B - B_0 = B_0 \chi$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta B}{B_0} \times 100 \% = \chi \times 100 \%$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\chi = 2.6 \times 10^{-5}$, इसलिए प्रतिशत वृद्धि $(2.6 \times 10^{-5}) \times 100 \% = 2.6 \times 10^{-3} \%$ है।

(A) चुंबकन $(M)$ को नमूने के प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $M = \frac{m}{V}$, जहाँ $m$ चुंबकीय आघूर्ण है और $V$ आयतन है।
दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $m = 8 \times 10^{-7} \text{ A} \cdot \text{m}^2$, द्रव्यमान $M_{mass} = 2 \text{ g}$, घनत्व $\rho = 4 \text{ g/cm}^3$.
सबसे पहले, आयतन की गणना करें: $V = \frac{M_{mass}}{\rho} = \frac{2 \text{ g}}{4 \text{ g/cm}^3} = 0.5 \text{ cm}^3$.
आयतन को $SI$ इकाइयों में बदलें: $V = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
अब, चुंबकन की गणना करें: $M = \frac{8 \times 10^{-7} \text{ A} \cdot \text{m}^2}{0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 16 \times 10^{-1} \text{ A/m} = 1.6 \text{ A/m}$.

(D) माना प्रत्येक तार की लंबाई $L$ है।
$N_1 = 2$ फेरों वाले वृत्ताकार लूप के लिए, एक फेरे की परिधि $2\pi r = L/2$ है, इसलिए $r = L/(4\pi)$।
चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = N_1 I A_1 = 2 \cdot I \cdot \pi r^2 = 2 \cdot I \cdot \pi \cdot (L^2 / 16\pi^2) = I L^2 / (8\pi)$।
$N_2 = 1$ फेरे वाले वर्गाकार लूप के लिए, परिमाप $4a = L$ है, इसलिए $a = L/4$।
चुंबकीय आघूर्ण $M_2 = N_2 I A_2 = 1 \cdot I \cdot a^2 = I \cdot (L^2 / 16) = I L^2 / 16$।
अनुपात $M_1 / M_2 = (I L^2 / 8\pi) / (I L^2 / 16) = 16 / (8\pi) = 2 / \pi$।

(A) वृत्ताकार कक्षा में गतिमान कण का चुंबकीय आघूर्ण '$\mu$' का सूत्र $\mu = I A$ है, जहाँ '$I$' धारा है और '$A$' कक्षा का क्षेत्रफल है।
'$q$' आवेश वाला कण '$\omega$' कोणीय गति से घूम रहा है, तो धारा '$I = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$ होगी।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः, $\mu = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{q\omega r^2}{2}$।
कण का कोणीय संवेग '$L = mvr = m(\omega r)r = m\omega r^2$ होता है।
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग के परिमाण का अनुपात $\frac{\mu}{L} = \frac{q\omega r^2 / 2}{m\omega r^2} = \frac{q}{2m}$ प्राप्त होता है।
यह अनुपात केवल कण के आवेश '$q$' और द्रव्यमान '$m$' पर निर्भर करता है।

(A) माना तार की लंबाई $L$ है। $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के लिए, परिधि $L = 2\pi r$ है, इसलिए $r = L/(2\pi)$। चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A = I \times (\pi r^2) = I \times \pi \times (L^2 / 4\pi^2) = IL^2 / (4\pi)$ है।
$a$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के लिए, परिमाप $L = 4a$ है, इसलिए $a = L/4$। चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = I \times A_1 = I \times a^2 = I \times (L/4)^2 = IL^2 / 16$ है।
अनुपात $M/M_1 = (IL^2 / 4\pi) / (IL^2 / 16) = 16 / (4\pi) = 4/\pi$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में स्थित धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = N i A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $N$ फेरों की संख्या है, $i$ धारा है, $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है और $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र और कुंडली के क्षेत्रफल के लंबवत के बीच का कोण है।
$L$ लंबाई के तार को $N$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली में मोड़ने पर, एक फेरे की परिधि $2 \pi r = L/N$ होती है, इसलिए त्रिज्या $r = L / (2 \pi N)$ है।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (L / (2 \pi N))^2 = L^2 / (4 \pi N^2)$ है।
टॉर्क के समीकरण में $A$ का मान रखने पर: $\tau = N i (L^2 / (4 \pi N^2)) B \sin \theta = (i L^2 B \sin \theta) / (4 \pi N)$।
अधिकतम टॉर्क के लिए, $\tau$ का मान $N$ के व्युत्क्रमानुपाती है। इसलिए, $\tau$ को अधिकतम करने के लिए, $N$ जितना संभव हो उतना कम होना चाहिए। फेरों की न्यूनतम संख्या $N = 1$ है।

(A) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के बीच, जो $r$ दूरी पर स्थित हैं, प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल का सूत्र है:
$F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$
चूंकि तार $CD$ संतुलन में निलंबित है, इसलिए ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल प्रति इकाई लंबाई नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
प्रति इकाई लंबाई गुरुत्वाकर्षण बल $\lambda g$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\lambda$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
दोनों बलों को बराबर करने पर:
$\lambda g = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$
$\lambda$ के लिए हल करने पर:
$\lambda = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r g}$
अतः, प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r g}$ है।

(A) तार का प्रतिरोध $R$, सूत्र $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है, $L$ तार की लंबाई है और $A$ तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
एक चल कुंडली धारामापी में, कुंडली $S$ क्षेत्रफल वाले फ्रेम पर $N$ बार लपेटे गए $L$ लंबाई के तार से बनी होती है। तार की कुल लंबाई $L = N \times (\text{एक फेरे की परिधि})$ होती है।
यदि फेरों की संख्या $N$ कम हो जाती है, तो कुंडली में प्रयुक्त तार की कुल लंबाई $L$ कम हो जाती है।
चूंकि $R \propto L$, इसलिए कुल लंबाई $L$ में कमी होने से धारामापी कुंडली का प्रतिरोध $R$ घट जाता है।

(D) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल का सूत्र $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$ है।
दिए गए मान $I_1 = 2 \text{ A}$, $I_2 = 4 \text{ A}$, $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$, और $L = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ हैं।
बल के सूत्र $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi d}$ में इन मानों को रखने पर:
$F = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 2 \times 4 \times 0.1}{2\pi \times 0.2}$.
$F = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8 \times 0.1}{0.2} = \frac{1.6 \times 10^{-7}}{0.2} = 8 \times 10^{-7} \text{ N}$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{m}$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
'$n$' फेरों,'$I$' धारा और $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश वाली कुंडली के लिए, चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{m} = nI\vec{A}$ होता है।
इस मान को टॉर्क के सूत्र में रखने पर, हमें $\vec{\tau} = (nI\vec{A}) \times \vec{B} = nI(\vec{A} \times \vec{B})$ प्राप्त होता है।
अतः, टॉर्क के लिए सही व्यंजक $nI(\vec{A} \times \vec{B})$ है।

(A) धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, तार $x$-अक्ष पर है, इसलिए लंबाई सदिश $\vec{L} = L\hat{i}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$ है।
सदिश गुणन की गणना करने पर: $\vec{L} \times \vec{B} = (L\hat{i}) \times (B\hat{i} + 2B\hat{j} - 2B\hat{k})$.
सदिश गुणन के गुणों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \times \hat{i} = 0$, $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$, $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$):
$\vec{L} \times \vec{B} = L B (\hat{i} \times \hat{i}) + 2LB (\hat{i} \times \hat{j}) - 2LB (\hat{i} \times \hat{k}) = 0 + 2LB\hat{k} - 2LB(-\hat{j}) = 2LB\hat{j} + 2LB\hat{k}$.
बल सदिश $\vec{F} = I(2LB\hat{j} + 2LB\hat{k}) = 2ILB\hat{j} + 2ILB\hat{k}$ है।
बल का परिमाण $|\vec{F}| = \sqrt{(2ILB)^2 + (2ILB)^2} = \sqrt{4(ILB)^2 + 4(ILB)^2} = \sqrt{8(ILB)^2} = \sqrt{8} ILB$ है।

(C) तार $W_1$ द्वारा तार $W_2$ की स्थिति पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ का मान सूत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi a}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार समानांतर हैं और '$a$' दूरी पर स्थित हैं, इसलिए $I_2 = 3i$ धारा वाले तार $W_2$ पर प्रति इकाई लंबाई बल $f$ का मान $f = B_1 I_2$ होता है।
मान रखने पर, हमें $f = \left(\frac{\mu_0 i}{2\pi a}\right) \times (3i)$ प्राप्त होता है।
अतः, $f = \frac{3\mu_0 i^2}{2\pi a}$ है।

(A) $1$. $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित आवेशित कण $q$ द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV$ होती है।
$2$. गतिज ऊर्जा को $K = p^2 / 2m$ के रूप में भी व्यक्त किया जाता है, जहाँ $p$ संवेग है और $m$ द्रव्यमान है। अतः, $qV = p^2 / 2m$, जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mqV}$।
$3$. जब एक आवेशित कण $B$ के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है, तो वह $r = p / (qB)$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
$4$. $p$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $r = \sqrt{2mqV} / (qB)$ प्राप्त होता है।
$5$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $r^2 = 2mqV / (q^2 B^2)$।
$6$. द्रव्यमान $m$ के लिए हल करने पर, हमें $m = (q^2 B^2 r^2) / (2qV) = (q B^2 r^2) / (2V)$ प्राप्त होता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में वेग $\vec{V}$ से गतिमान $q$ आवेश वाले कण पर कार्य करने वाला लॉरेंट्ज़ चुंबकीय बल $\vec{F}_m$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F}_m = q(\vec{V} \times \vec{B})$.
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा वेग सदिश $\vec{V}$ के लंबवत होता है (क्योंकि सदिश गुणनफल $\vec{V} \times \vec{B}$, $\vec{V}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत होता है), इसलिए यह बल हमेशा कण के विस्थापन $d\vec{r}$ के लंबवत होता है।
बल द्वारा किया गया कार्य $W$ समाकलन $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{F}_m$ और $d\vec{r}$ परस्पर लंबवत हैं, इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\vec{F}_m \cdot d\vec{r} = 0$ होता है।
अतः, चुंबकीय बल द्वारा आवेशित कण पर किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।

(B) जब $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक कण $v$ वेग से एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करता है, तो यह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = qvB$ का अनुभव करता है जो अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
अतः, $qvB = \frac{mv^2}{r}$, जहाँ $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
इससे, त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होती है।
परिक्रमण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $T = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{mv}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $T = \frac{2\pi m}{qB}$ से यह स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ द्रव्यमान $m$, आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ पर निर्भर करता है, लेकिन यह कण के वेग $v$ से स्वतंत्र है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रहे आवेशित कण की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{mv}{qB}$ है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है, $v$ वेग है, $q$ आवेश है, और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है, हम $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ लिख सकते हैं।
इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $R \propto \sqrt{K}$ है।
दिया गया है कि नई ऊर्जा $K' = 3K$ है, इसलिए नई त्रिज्या $R'$ का मान $R' = \sqrt{\frac{K'}{K}} R = \sqrt{\frac{3K}{K}} R = \sqrt{3}R$ होगा।

(B) साइक्लोट्रॉन में, एक आवेशित कण लंबवत चुंबकीय क्षेत्र $B$ के प्रभाव में वृत्ताकार पथ पर गति करता है। चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$।
इससे, रैखिक वेग $V = \frac{qBr}{m}$ प्राप्त होता है। जैसे-जैसे त्रिज्या $r$ बढ़ती है, रैखिक वेग $V$ बढ़ता है।
कोणीय वेग $\omega$ को $\omega = \frac{V}{r} = \frac{qB}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि साइक्लोट्रॉन में किसी दिए गए कण के लिए $q$, $B$, और $m$ स्थिर होते हैं, इसलिए त्रिज्या $r$ चाहे जो भी हो, कोणीय वेग $\omega$ स्थिर रहता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $p$ इलेक्ट्रॉन के संवेग का परिमाण है।
संवेग $p = mv$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $v$ इसके वेग का परिमाण है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में, इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है।
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा इलेक्ट्रॉन के वेग के लंबवत होता है, इसलिए यह इलेक्ट्रॉन पर कोई कार्य नहीं करता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ स्थिर है, इसलिए वेग $v$ का परिमाण स्थिर रहता है।
परिणामस्वरूप, संवेग $p = mv$ का परिमाण स्थिर रहता है।
चूंकि $h$, $m$, और $v$ सभी स्थिर हैं, इसलिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ स्थिर रहती है।

(C) मान लीजिए कि तार $A$ और $B$ पर हैं, जिनमें $I_1 = 8 \text{ A}$ और $I_2 = 15 \text{ A}$ विपरीत दिशाओं में हैं। दूरी $AB = 7 \text{ cm}$ है।
बिंदु $P$, $A$ और $B$ से समान दूरी पर है, इसलिए $PA = PB = r$। चूंकि $\angle APB = 90^\circ$, $\triangle APB$ में, $AB^2 = PA^2 + PB^2 = 2r^2$ है।
$7^2 = 2r^2 \implies 49 = 2r^2 \implies r^2 = 24.5 \implies r = \sqrt{24.5} \text{ cm} = \sqrt{24.5} \times 10^{-2} \text{ m}$।
तार $A$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$ और तार $B$ के कारण $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं, $P$ पर $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2\pi r} \sqrt{I_1^2 + I_2^2}$ है।
$B = \frac{2 \times 10^{-7}}{r} \sqrt{8^2 + 15^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{\sqrt{24.5} \times 10^{-2}} \times 17 = \frac{34 \times 10^{-5}}{\sqrt{24.5}} \approx \frac{34 \times 10^{-5}}{4.95} \approx 6.86 \times 10^{-5} \text{ T}$।
दिया गया है $B = X \times 10^{-6} \text{ T}$, इसलिए $X \approx 68.6 \approx 68$।

(B) दो तारों के बीच की दूरी $d = 3 \text{ m}$ है। मध्य बिंदु प्रत्येक तार से $r = d/2 = 1.5 \text{ m}$ की दूरी पर है।
एक लंबे सीधे तार के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले तार $(I_1 = 3 \text{ A})$ के लिए, मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2\pi \times 1.5} = \frac{3\mu_0}{3\pi} = \frac{\mu_0}{\pi} = \frac{2\mu_0}{2\pi}$ है।
दूसरे तार $(I_2 = 4.5 \text{ A})$ के लिए, मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4.5}{2\pi \times 1.5} = \frac{4.5\mu_0}{3\pi} = \frac{1.5\mu_0}{\pi} = \frac{3\mu_0}{2\pi}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं, इसलिए दोनों तारों के कारण मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार)।
अतः, परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{2\mu_0}{2\pi} + \frac{3\mu_0}{2\pi} = \frac{5\mu_0}{2\pi}$ है।

(A) एक लंबे सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n = N/L$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \mu_0 \frac{N}{L} I A$ है।
सोलेनोइड का चुंबकीय आघूर्ण $M = N I A$ है।
फ्लक्स समीकरण में $M$ का मान रखने पर: $\phi = \frac{\mu_0 M}{L}$.
दिया गया है $\phi = \frac{\pi}{2} \times 10^{-6} \text{ Wb}$, $L = 0.6 \text{ m}$, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$\frac{\pi}{2} \times 10^{-6} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times M}{0.6}$.
$\frac{1}{2} \times 10^{-6} = \frac{4 \times 10^{-7} \times M}{0.6}$.
$0.5 \times 10^{-6} = \frac{4 \times 10^{-7} \times M}{0.6}$.
$M = \frac{0.5 \times 10^{-6} \times 0.6}{4 \times 10^{-7}} = \frac{0.3 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}} = \frac{0.3}{0.4} = 0.75 \text{ Am}^2$.

(C) एक लंबी परिनालिका (solenoid) के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu n I = \mu_0 \mu_r n I$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n = N/L$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है।
दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 2 \text{ cm}^2 = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$, लंबाई $L = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$, फेरों की संख्या $N = 400$, धारा $I = 0.4 \text{ A}$, चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 4\pi \times 10^{-6} \text{ Wb}$.
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \mu_0 \mu_r (N/L) I \cdot A$.
मान रखने पर: $4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot (400 / 0.4) \cdot 0.4 \cdot (2 \times 10^{-4})$.
$4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot 1000 \cdot 0.4 \cdot 2 \times 10^{-4}$.
$4\pi \times 10^{-6} = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$10^{-6} = 10^{-7} \cdot \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$10 = \mu_r \cdot 8 \times 10^{-2}$.
$\mu_r = 10 / (8 \times 10^{-2}) = 1000 / 8 = 125$.

(A) जब रिंग घूमती है तो यह एक वृत्ताकार धारा लूप की तरह कार्य करती है।
धारा $I$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, $I = \frac{q}{T}$, जहाँ $T$ एक चक्कर का समय अंतराल है।
चूंकि आवृत्ति $f$ है, इसलिए समय अंतराल $T = \frac{1}{f}$ होगा।
अतः, समतुल्य धारा $I = qf$ होगी।
$R$ त्रिज्या वाले और $I$ धारा ले जाने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर, हमें $B = \frac{\mu_0 (qf)}{2R} = \frac{\mu_0 qf}{2R}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है।
एक फेरे के लिए जिसकी त्रिज्या $R_1$ है, परिधि $2\pi R_1 = L$ है, इसलिए $R_1 = L / (2\pi)$।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 R_1} = \frac{\mu_0 I}{2 (L / 2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ है।
$n$ फेरों के लिए जिसकी त्रिज्या $R_n$ है, तार की कुल लंबाई $n(2\pi R_n) = L$ है, इसलिए $R_n = L / (2\pi n)$।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_n = \frac{n \mu_0 I}{2 R_n} = \frac{n \mu_0 I}{2 (L / 2\pi n)} = \frac{n^2 \mu_0 I \pi}{L}$ है।
एक फेरे और $n$ फेरों के लिए चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $B_1 / B_n = (\frac{\mu_0 I \pi}{L}) / (\frac{n^2 \mu_0 I \pi}{L}) = 1 / n^2$ होगा।

(B) एक लंबी परिनालिका के लिए, उसके केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण $(B)$ का सूत्र है: $B = \mu_0 n I$.
परिभाषा के अनुसार, चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $(H)$ मुक्त स्थान में चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण $(B)$ से इस संबंध द्वारा जुड़ी होती है: $H = B / \mu_0$.
$H$ के समीकरण में $B$ का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: $H = (\mu_0 n I) / \mu_0$.
अतः, $H = n I$.
इस प्रकार, सही विकल्प $B$ है।

(B) $I$ धारा प्रवाहित करने वाले एक लंबे सीधे तार से '$r$' लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र '$B$' का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र दूरी '$r$' के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$B \propto \frac{1}{r}$
माना कि '$r_1 = r$' दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र '$B_1 = B$' है और '$r_2 = 2r$' दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र '$B_2$' है।
अतः, $\frac{B_2}{B_1} = \frac{r_1}{r_2}$
मान रखने पर:
$\frac{B_2}{B} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$
इसलिए, $B_2 = \frac{B}{2}$.

(A) $N$ फेरों, $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ होता है।
$L$ लंबाई के तार के एक फेरे $(N=1)$ के लिए, परिधि $2\pi R = L$ है, इसलिए $R = \frac{L}{2\pi}$.
अतः, $B = \frac{\mu_0 (1) I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 \pi I}{L}$.
जब उसी तार को $N'=2$ फेरों में मोड़ा जाता है, तो नई त्रिज्या $R'$ के लिए $2\pi R' = L/2$ होता है, इसलिए $R' = \frac{L}{4\pi} = \frac{R}{2}$.
नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_0 N' I}{2R'} = \frac{\mu_0 (2) I}{2(R/2)} = 4 \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = 4B$ होगा।

(A) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र: $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण: $M = I A = I (\pi R^2)$ होता है।
अनुपात '$x$' इस प्रकार है: $x = \frac{B}{M} = \frac{\mu_0 I / 2R}{I \pi R^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi R^3}$।
जब धारा '$I$' को '$3I$' और त्रिज्या '$R$' को '$3R$' कर दिया जाता है:
नया अनुपात $x' = \frac{\mu_0}{2 \pi (3R)^3} = \frac{\mu_0}{2 \pi (27 R^3)} = \frac{1}{27} \left( \frac{\mu_0}{2 \pi R^3} \right) = \frac{x}{27}$।
अतः, नया अनुपात '$x/27$' होगा।

(C) बिंदु '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र तीन भागों के कारण चुंबकीय क्षेत्रों का योग है: सीधा तार $AB$, वृत्ताकार चाप $BC$, और सीधा तार $CD$।
$1$. अर्ध-अनंत तार के लिए, लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ होता है।
$2$. तार $AB$ के कारण '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$।
$3$. वृत्ताकार चाप $BC$ (त्रिज्या $r$, कोण $\pi/2$) के कारण '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{arc} = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{8r}$।
$4$. तार $CD$ के कारण '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{AB} + B_{arc} + B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} + \frac{\mu_0 I}{8r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (1 + \frac{\pi}{2} + 1) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (2 + \frac{\pi}{2})$।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(D) $I$ धारा वहन करने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
इस सूत्र से, हम देख सकते हैं कि $B \propto \frac{1}{r}$ है।
मान लीजिए $r_1 = 2 \text{ cm}$ की दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ है और $r_2 = 5 \text{ cm}$ की दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ है।
अतः, अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{r_2}{r_1}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{5}{2} = 5 : 2$.
इसलिए, $2 \text{ cm}$ और $5 \text{ cm}$ पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $5 : 2$ है।

(A) एक आदर्श परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$B = \mu n I$
जहाँ:
- $\mu$ परिनालिका के भीतर माध्यम की पारगम्यता (permeability) है।
- $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
- $I$ परिनालिका में प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय प्रेरण माध्यम की पारगम्यता, प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या और प्रवाहित धारा पर निर्भर करता है। यह तार की त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है।
अतः, सही राशियाँ $(a)$, $(c)$ और $(d)$ हैं।

(C) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ परिनालिका में प्रवाहित धारा है।
माना प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \mu_0 n I$ है।
प्रश्न के अनुसार, नई धारा $I' = 3I$ है और प्रति इकाई लंबाई में नए फेरों की संख्या $n' = n/2$ है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B'$ इस प्रकार होगा: $B' = \mu_0 n' I' = \mu_0 (n/2) (3I) = \frac{3}{2} \mu_0 n I$।
$B = \mu_0 n I$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $B' = \frac{3}{2} B$ प्राप्त होता है।

(C) $I_2$ धारा वाले लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
वर्गाकार लूप के लिए, ऊपरी भाग $BC$ और निचले भाग $AD$ पर लगने वाले बल समान और विपरीत दिशा में होते हैं, इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
भाग $AB$ पर लगने वाला बल ($r_1 = L/3$ दूरी पर) $F_{AB} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi (L/3)} = \frac{3\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}$ (आकर्षक, तार की ओर)।
भाग $CD$ पर लगने वाला बल ($r_2 = L/3 + L = 4L/3$ दूरी पर) $F_{CD} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi (4L/3)} = \frac{3\mu_0 I_1 I_2}{8\pi}$ (प्रतिकर्षी, तार से दूर)।
कुल बल $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = \frac{3\mu_0 I_1 I_2}{2\pi} - \frac{3\mu_0 I_1 I_2}{8\pi} = \frac{12\mu_0 I_1 I_2 - 3\mu_0 I_1 I_2}{8\pi} = \frac{9\mu_0 I_1 I_2}{8\pi}$.

(D) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय तीव्रता $H$ का सूत्र $H = nI$ है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ प्रवाहित धारा है।
दिया गया है:
कुल फेरों की संख्या $N = 1000$
परिनालिका की लंबाई $L = 4 \text{ m}$
धारा $I = 4 \text{ A}$
सबसे पहले, प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या ज्ञात करें: $n = N / L = 1000 / 4 = 250 \text{ फेरे/m}$।
अब, मानों को सूत्र में रखने पर:
$H = 250 \times 4 = 1000 \text{ A/m} = 10^{3} \text{ A/m}$।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(D) $i$ धारा प्रवाहित करने वाले $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$, जो केंद्र पर $\theta$ कोण बनाता है, का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi r}$
दिया गया है, $\theta = \frac{\pi}{5}$ रेडियन।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 i (\frac{\pi}{5})}{4 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i \pi}{20 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i}{20 r}$
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(C) $I$ धारा वाले $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र: $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
लूप की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र: $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
यहाँ $x = R$ दिया गया है, इसलिए अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2\sqrt{2} R^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2} R}$ होगा।
अब, केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र और अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात: $\frac{B_{center}}{B_{axis}} = \frac{\mu_0 I / 2R}{\mu_0 I / 4\sqrt{2} R} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} : 1$ होगा।

(D) यह विन्यास दो अर्ध-अनंत तारों और दो चौथाई-अनंत खंडों से बना है। ज्यामिति को देखते हुए, बिंदु '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र की गणना बायो-सावर्ट नियम का उपयोग करके की जा सकती है।
एक अर्ध-अनंत तार के लिए, $a$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}$ होता है।
इस विन्यास में, खंड $AB$ और $BC$ बिंदु '$O$' पर कागज के तल के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। इसी प्रकार, खंड $TE$ और अन्य क्षैतिज खंड भी '$O$' पर कागज के तल के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
समरूपता और दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर, चारों खंडों का योगदान जुड़ जाता है। विशेष रूप से, प्रत्येक खंड बिंदु '$O$' के सापेक्ष एक अर्ध-अनंत तार की तरह कार्य करता है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = 4 \times (\frac{\mu_0 I}{4\pi a}) = \frac{\mu_0 I}{\pi a}$ होगा।

(B) एक लंबे सीधे धारावाही तार से '$r$' दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय क्षेत्र दूरी '$r$' के व्युत्क्रमानुपाती होता है, अर्थात $B \propto \frac{1}{r}$
दिया गया है कि '$r$' दूरी पर, $B_1 = 0.4 \text{ tesla}$
जब दूरी को दोगुना किया जाता है, तो $r_2 = 2r$
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ होगा:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (2r)} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \right) = \frac{1}{2} B_1$
$B_2 = \frac{0.4}{2} = 0.2 \text{ tesla}$.

(C) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार, एक बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकलन $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $I_{\text{enclosed}}$ लूप $P$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र से गुजरने वाली कुल धारा है।
लूप के अंदर की धाराएँ $I_1 = 3 \text{ A}$ (ऊपर की ओर) और $I_2 = 1.5 \text{ A}$ (नीचे की ओर) हैं।
ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर, कुल परिबद्ध धारा $I_{\text{enclosed}} = 3 \text{ A} - 1.5 \text{ A} = 1.5 \text{ A}$ है।
लूप के बाहर की धारा रेखीय समाकलन में योगदान नहीं देती है।
इसलिए, $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (1.5 \text{ A}) = 1.5 \mu_0$.

(C) $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली $X$ के लिए: त्रिज्या $R_x = r$, दूरी $x_x = d/2$ है। चूंकि $d \gg r$, इसलिए $B_x \approx \frac{\mu_0 I r^2}{2(d/2)^3} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(d^3/8)} = \frac{4 \mu_0 I r^2}{d^3}$ है।
कुंडली $Y$ के लिए: त्रिज्या $R_y = 2r$, दूरी $x_y = d$ है। चूंकि $d \gg r$, इसलिए $B_y \approx \frac{\mu_0 I (2r)^2}{2d^3} = \frac{4 \mu_0 I r^2}{2d^3} = \frac{2 \mu_0 I r^2}{d^3}$ है।
$B_x$ और $B_y$ की तुलना करने पर, हमें $B_x = 2 B_y$ प्राप्त होता है।

(B) $I$ धारा वाली $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित अक्षीय बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $B_2 = 8B_1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\mu_0 I}{2R} = 8 \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{1}{R} = \frac{8R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
$(R^2 + x^2)^{3/2} = 8R^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$(R^2 + x^2)^{1/2} = 2R$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$R^2 + x^2 = 4R^2$.
$x^2 = 3R^2$.
$x = \sqrt{3} R$.

(A) जब स्विच $S$ चालू (closed) होता है, तो दोनों बल्ब $B_1$ और $B_2$ जलते हैं। जब स्विच $S$ को खोला (बंद/off किया) जाता है, तो प्रतिरोधक $R$ और बल्ब $B_1$ वाली शाखा में धारा तुरंत शून्य हो जाती है क्योंकि उस शाखा में कोई ऊर्जा भंडारण तत्व नहीं होता है।
हालाँकि, बल्ब $B_2$ वाली शाखा में लगा प्रेरक $L$ उसमें प्रवाहित होने वाली धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है। लेंज के नियम के अनुसार, प्रेरक एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न करता है जो स्विच खुलने के बाद कुछ समय के लिए प्रेरक $L$ और बल्ब $B_2$ द्वारा बने लूप में धारा के प्रवाह को बनाए रखता है।
इसलिए, बल्ब $B_1$ तुरंत बंद हो जाता है, जबकि बल्ब $B_2$ प्रेरक $L$ द्वारा आपूर्ति की गई घटती धारा के कारण कुछ समय तक जलता रहता है और फिर देरी से बंद होता है।

(D) विभवांतर $V_{AB}$ को $A$ से $B$ तक के पथ द्वारा ज्ञात किया जाता है। तीर द्वारा दर्शाए गए धारा $I$ की दिशा का अनुसरण करते हुए:
$V_A - I R - L(dI/dt) - E = V_B$
$V_{AB} = V_A - V_B = I R + L(dI/dt) + E$
यहाँ $L = 3 \text{ H}$, $R = 6 \text{ } \Omega$, $E = 6 \text{ V}$, और $dI/dt = -1 \text{ A/s}$ दिया गया है।
मान लीजिए कि इस क्षण पर धारा $I = 2 \text{ A}$ है:
$V_{AB} = (2 \text{ A})(6 \text{ } \Omega) + (3 \text{ H})(-1 \text{ A/s}) + 6 \text{ V}$
$V_{AB} = 12 - 3 + 6 = 15 \text{ V}$.

(A) माना $A$ और $B$ के बीच विभवांतर $V_{AB}$ है। परिपथ में एक प्रतिरोध $R$ और एक प्रेरक $L$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
परिपथ के सिरों पर विभवांतर $V_{AB} = iR + L(di/dt)$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $1$: $i = 3 \text{ A}$, $di/dt = 1 \text{ A/s}$, $V_{AB} = 12 \text{ V}$।
$12 = 3R + L(1) \implies 3R + L = 12$ --- $(1)$
स्थिति $2$: $i = 3 \text{ A}$, $di/dt = -1 \text{ A/s}$, $V_{AB} = 6 \text{ V}$।
$6 = 3R + L(-1) \implies 3R - L = 6$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(3R + L) + (3R - L) = 12 + 6$
$6R = 18$
$R = 3 \text{ } \Omega$।