MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया समीकरण $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$ है।
सर्वसमिका $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने के लिए दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2 \sin x \cos x = 2 \times \frac{1}{4}$
$\sin(2x) = \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ होता है।
$\sin \theta = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
यहाँ, $\theta = 2x$ और $\alpha = \frac{\pi}{6}$ है।
अतः, $2x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$।
$2$ से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12}$।

(D) चरण $1$: विकल्प $(A)$ का मूल्यांकन करें: $\exists x \in A$ इस प्रकार कि $x + 4 \leq 9$। यदि $x = 1$ है, तो $1 + 4 = 5 \leq 9$, जो सत्य है।
चरण $2$: विकल्प $(B)$ का मूल्यांकन करें: $\exists x \in A$ इस प्रकार कि $12 - x = 7$। इसका अर्थ है $x = 12 - 7 = 5$। चूंकि $5 \in A$ है, यह सत्य है।
चरण $3$: विकल्प $(C)$ का मूल्यांकन करें: $\forall x \in A, x + 3 \geq 4$। $x = 1$ के लिए, $1 + 3 = 4 \geq 4$। $x = 5$ के लिए, $5 + 3 = 8 \geq 4$। यह सभी $x \in A$ के लिए सत्य है।
चरण $4$: विकल्प $(D)$ का मूल्यांकन करें: $\exists x \in A$ इस प्रकार कि $x + 2 < 3$। इसका अर्थ है $x < 1$। चूंकि $A$ में सबसे छोटा अवयव $1$ है, इसलिए ऐसा कोई $x \in A$ नहीं है जिसके लिए $x < 1$ हो। अतः, यह कथन असत्य है।

(D) चरण $1$: विकल्प $(A)$ का विश्लेषण करें। $\sin(-x) = -\sin(x)$, इसलिए $\sin(x)$ एक विषम फलन है। सत्य मान '$F$' है।
चरण $2$: विकल्प $(B)$ का विश्लेषण करें। एक वर्ग आव्यूह केवल तभी व्युत्क्रमणीय होता है जब उसका सारणिक शून्य न हो। उदाहरण के लिए, शून्य आव्यूह अव्युत्क्रमणीय होता है। सत्य मान '$F$' है।
चरण $3$: विकल्प $(C)$ का विश्लेषण करें। मान लीजिए $z = a + bi$ है। तब $z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, जो एक वास्तविक संख्या है। सत्य मान '$F$' है।
चरण $4$: विकल्प $(D)$ का विश्लेषण करें। किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए, $x^2 \ge 0$ होता है। यह हमेशा सत्य है। सत्य मान '$T$' है।

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और $z$ कर्ण है, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार $x^2 + y^2 = z^2$ है।
इसका अर्थ है $y^2 = z^2 - x^2$, जिसे $y^2 = (z-x)(z+x)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का आधार $y$ पर लघुगणक लेने पर: $\log_y(y^2) = \log_y((z-x)(z+x))$।
$2 = \log_y(z-x) + \log_y(z+x)$।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ का उपयोग करने पर, $\frac{1}{\log_{z-x} y} = \log_y(z-x)$ और $\frac{1}{\log_{z+x} y} = \log_y(z+x)$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\frac{1}{\log_{x+z} y} + \frac{1}{\log_{z-x} y} = \log_y(z+x) + \log_y(z-x) = \log_y((z+x)(z-x)) = \log_y(y^2) = 2$।

(A) माना $p(x) = a(x-1)(x-\alpha)$ और $q(x) = b(x-1)(x-\beta)$ है।
$r(x) = p(x) + q(x) = (a+b)x^2 - (a(1+\alpha) + b(1+\beta))x + (a\alpha + b\beta)$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$, $r(x)$ के मूल हैं, मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{a(1+\alpha) + b(1+\beta)}{a+b}$ होगा।
इसे हल करने पर $a\alpha + b\beta = a+b$ प्राप्त होता है।
अतः $r(x) = (a+b)(x-1)^2$ प्राप्त होता है।
सीमा के अस्तित्व के लिए $a=b$ होना चाहिए। यदि $a=b=k$ है, तो $\alpha+\beta = 2$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{p(x)} - \sqrt{q(x)} = \sqrt{k(x-1)} \frac{\beta-\alpha}{\sqrt{x-\alpha} + \sqrt{x-\beta}}$ है।
जैसे $x \to \infty$, यह $\frac{\sqrt{k}(\beta-\alpha)}{2} \sqrt{x}$ के रूप में व्यवहार करता है, जो केवल तभी अभिसरित होता है जब $\beta-\alpha = 0$ हो। अतः सीमा $0$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $5x^2 - 4x + 1 = 0$ है।
माना मूल $\tan A$ और $\tan B$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों से, मूलों का योग $\tan A + \tan B = -(\frac{-4}{5}) = \frac{4}{5}$ है।
मूलों का गुणनफल $\tan A \tan B = \frac{1}{5}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\tan(A + B) = \frac{4/5}{1 - 1/5} = \frac{4/5}{4/5} = 1$।
चूंकि $\tan(A + B) = 1$, इसलिए $A + B = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए, मूल $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ, $a = 1, b = 2, c = 4$ है।
मूल $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2}$ हैं।
चूंकि $\sqrt{-12} = \sqrt{12} \cdot i = 2\sqrt{3}i$, इसलिए मूल $x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$ हैं।
मान लीजिए मूल $\alpha = -1 + \sqrt{3}i$ और $\beta = -1 - \sqrt{3}i$ हैं।
मूलों के बीच का अंतर $|\alpha - \beta| = |(-1 + \sqrt{3}i) - (-1 - \sqrt{3}i)| = |2\sqrt{3}i| = 2\sqrt{3}$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 - ax + 1 = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए, विविक्तकर $D$ का मान $0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4(a)(1) = a^2 - 4a$।
शर्त: $a^2 - 4a \ge 0 \implies a(a - 4) \ge 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a \le 0$ या $a \ge 4$ हो।
दिए गए समुच्चय $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में कुल $10$ अवयव हैं।
यदि $a = 0$, तो समीकरण $1 = 0$ हो जाता है, जो असत्य है, इसलिए $a = 0$ वास्तविक मूल नहीं देता है।
$a \ge 4$ के लिए, मान $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ हैं, जो $6$ मान हैं।
अतः, अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है।
प्रायिकता $P = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$।

(A) समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं, जिन्हें $\omega$ और $\omega^2$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अतः, $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$, जहाँ $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है।
हमें $\alpha^{2026} + \beta^{2026} = \omega^{2026} + (\omega^2)^{2026} = \omega^{2026} + \omega^{4052}$ की गणना करनी है।
घातांकों को $3$ से विभाजित करने पर: $2026 = 3 \times 675 + 1$, इसलिए $\omega^{2026} = \omega^1 = \omega$ है।
$4052 = 3 \times 1350 + 2$, इसलिए $\omega^{4052} = \omega^2$ है।
अतः, $\alpha^{2026} + \beta^{2026} = \omega + \omega^2$ है।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है, इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $x = \sqrt{-1 - \sqrt{-1 - \sqrt{-1 - ... \infty}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $x^2 = -1 - \sqrt{-1 - \sqrt{-1 - ... \infty}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि व्यंजक पुनरावृत्त होता है, हम लिख सकते हैं $x^2 = -1 - x$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $x^2 + x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल इकाई के अवास्तविक घनमूल हैं, जो $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
अतः, $x$ का मान $\omega$ या $\omega^2$ हो सकता है।
अभिसरण या विशिष्ट संरचना के आधार पर, सही मान $\omega^2$ है।

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_k = (k + 1)(k + \frac{1}{\omega})(k + \frac{1}{\omega^2})$ है, जहाँ $k = 1$ से $n$ तक है।
चूँकि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$, हमारे पास $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ है।
अतः, $T_k = (k + 1)(k + \omega^2)(k + \omega) = (k + 1)(k^2 + k(\omega + \omega^2) + \omega^3)$।
$\omega + \omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $T_k = (k + 1)(k^2 - k + 1) = k^3 + 1$ प्राप्त होता है।
योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 1) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} 1$ है।
सूत्र $\sum k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ का उपयोग करने पर, हमें $S_n = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 + n$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है, इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है।
हम $\omega$ की घातों को सरल करते हैं:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = 1^3 \cdot \omega = \omega$।
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = 1^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin [\pi(\omega + \omega^2) - \frac{\pi}{4}]$।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$, इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ है।
अब, इस मान को रखने पर:
$\sin [\pi(-1) - \frac{\pi}{4}] = \sin [-\pi - \frac{\pi}{4}] = \sin [-\frac{5\pi}{4}]$।
गुणधर्म $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$-\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) समीकरण $x^2 - x + 1 = 0$ के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं, जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha^{200} + \beta^{206} + 2 = (\omega)^{200} + (\omega^2)^{206} + 2$ प्राप्त होता है।
घातों को सरल करने पर: $\omega^{200} = \omega^{3 \times 66 + 2} = (\omega^3)^{66} \cdot \omega^2 = 1^{66} \cdot \omega^2 = \omega^2$।
$\omega^{412} = \omega^{3 \times 137 + 1} = (\omega^3)^{137} \cdot \omega = 1^{137} \cdot \omega = \omega$।
अतः, व्यंजक $\omega^2 + \omega + 2$ बन जाता है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है, इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ होगा।
अतः, $-1 + 2 = 1$।

(A) माना $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
तब $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ होगा।
व्यंजक $\omega^{18} + (\omega^2)^{18} = \omega^{18} + \omega^{36}$ बन जाता है।
चूँकि $\omega^3 = 1$, इसलिए $\omega^{18} = (\omega^3)^6 = 1^6 = 1$ है।
इसी प्रकार, $\omega^{36} = (\omega^3)^{12} = 1^{12} = 1$ है।
अतः, $1 + 1 = 2$।

(C) दिया गया है कि $w$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है, इसलिए $w^3 = 1$ और $1 + w + w^2 = 0$ है।
व्यंजक $w^{10} - w^7 + w^5 - w^2 + 1$ को सरल करने पर:
$w^{10} = (w^3)^3 \cdot w = 1^3 \cdot w = w$
$w^7 = (w^3)^2 \cdot w = 1^2 \cdot w = w$
$w^5 = (w^3) \cdot w^2 = 1 \cdot w^2 = w^2$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$w - w + w^2 - w^2 + 1 = 1$
अतः, मान $1$ है।

(A) माना बिंदु $A$ के निर्देशांक $(x, y) = (5, 12)$ हैं और घूर्णन कोण $\theta = 30^\circ$ है।
वामावर्त दिशा में $\theta$ कोण से घूर्णन के बाद नए बिंदु $B$ के निर्देशांक $(x', y')$ निम्न सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$
मान $x = 5$, $y = 12$, $\theta = 30^\circ$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y' = 5 \sin 30^\circ + 12 \cos 30^\circ$
$y' = 5 \left( \frac{1}{2} \right) + 12 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
$y' = \frac{5}{2} + 6\sqrt{3}$
अतः बिंदु $B$ का कोटि $\frac{5}{2} + 6\sqrt{3}$ है।

(A) माना $z_1 = 1 + i\sqrt{3} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$।
इसी प्रकार, $z_2 = 1 - i\sqrt{3} = 2(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{-i\pi/3}$।
तब, $(z_1)^{2n} + (z_2)^{2n} = (2e^{i\pi/3})^{2n} + (2e^{-i\pi/3})^{2n}$।
$= 2^{2n} e^{i2n\pi/3} + 2^{2n} e^{-i2n\pi/3}$।
$= 2^{2n} (e^{i2n\pi/3} + e^{-i2n\pi/3})$।
यूलर के सूत्र $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ का उपयोग करने पर, $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos \theta$।
$= 2^{2n} \cdot 2 \cos(\frac{2n\pi}{3}) = 2^{2n+1} \cos(\frac{2n\pi}{3})$।

(A) डी मॉइवर प्रमेय (De Moivre's Theorem) का उपयोग करते हुए, $(\cos \phi + i\sin \phi)^n = \cos(n\phi) + i\sin(n\phi)$।
अंश: $(\cos 2\theta + i\sin 2\theta)^7 = \cos(14\theta) + i\sin(14\theta)$।
हर: $(\cos 4\theta + i\sin 4\theta)^3 = \cos(12\theta) + i\sin(12\theta)$।
व्यंजक: $\frac{\cos(14\theta) + i\sin(14\theta)}{\cos(12\theta) + i\sin(12\theta)} = \cos(14\theta - 12\theta) + i\sin(14\theta - 12\theta)$।
परिणाम: $\cos 2\theta + i\sin 2\theta$।

(C) दिया गया व्यंजक: $Z = \frac{(1 + i)^n}{(1 - i)^{n-2}}$।
आधार को सरल करने पर: $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{1^2+1^2} = \frac{1-1+2i}{2} = i$।
अतः, $Z = \frac{(1+i)^2 (1+i)^{n-2}}{(1-i)^{n-2}} = (1+i)^2 \left( \frac{1+i}{1-i} \right)^{n-2} = 2i \cdot (i)^{n-2}$।
इसे सरल करने पर: $Z = 2 \cdot i^{n-1}$।
$Z$ के वास्तविक होने के लिए, $i^{n-1}$ का वास्तविक होना आवश्यक है।
$i^{n-1}$ वास्तविक होगा यदि $n-1$ का मान $2$ का गुणज हो। सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$ जिसके लिए $n-1 = 2$ है, वह $n = 3$ है।

(D) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = -1 + i\sqrt{3}$ है।
$z = x + iy$ से तुलना करने पर, हमें $x = -1$ और $y = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
कोणांक $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $x < 0$ और $y > 0$ है, इसलिए सम्मिश्र संख्या द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
अतः, $\theta = \pi - \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$।

(A) दिया गया है: $(1 + i)(1 + 2i) \dots (1 + ni) = x + iy$।
दोनों पक्षों का मापांक (modulus) लेने पर: $|(1 + i)(1 + 2i) \dots (1 + ni)| = |x + iy|$।
गुणधर्म $|z_1 z_2 \dots z_n| = |z_1| |z_2| \dots |z_n|$ का उपयोग करने पर: $|1 + i| |1 + 2i| \dots |1 + ni| = |x + iy|$।
चूँकि $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$, हमें प्राप्त होता है: $\sqrt{1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2} \cdot \dots \cdot \sqrt{1^2 + n^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$।
यह सरल होकर बनता है: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \dots \sqrt{1 + n^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2 \cdot 5 \cdot 10 \dots (1 + n^2) = x^2 + y^2$।

(A) चरण $1$: $z = \frac{1}{1+i}$ को अंश और हर में संयुग्मी $(1-i)$ से गुणा करके सरल करें।
$z = \frac{1(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1^2 - i^2} = \frac{1-i}{1+1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$।
चरण $2$: मापांक $r = |z| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ज्ञात करें।
चरण $3$: कोणांक $\theta$ ज्ञात करें। चूँकि $z$ चतुर्थ चतुर्थांश में है $(x > 0, y < 0)$, $\tan \alpha = |\frac{y}{x}| = |\frac{-1/2}{1/2}| = 1$, इसलिए $\alpha = \frac{\pi}{4}$।
अतः, $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$।
चरण $4$: ध्रुवीय रूप $z = r(\cos \theta + i\sin \theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4})$ है।

(A) यह योग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $z = \sum_{n=0}^{2026} i^n = \frac{1(1 - i^{2027})}{1 - i}$।
चूँकि $i^4 = 1$, इसलिए $i^{2027} = i^{2024} \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$ है।
अतः, $z = \frac{1 - (-i)}{1 - i} = \frac{1 + i}{1 - i}$।
अंश और हर को $(1 + i)$ से गुणा करने पर: $z = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$।
हमें $\sqrt{z} = \sqrt{i}$ ज्ञात करना है।
चूँकि $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$, इसलिए $\sqrt{i} = (e^{i\frac{\pi}{2}})^{1/2} = e^{i\frac{\pi}{4}}$।
अतः, एक मान $e^{i\frac{\pi}{4}}$ है।

(D) दिया गया है $i = \sqrt{-1}$, हम जानते हैं कि $i^2 = -1$, $i^4 = 1$, और $\frac{1}{i} = -i$ है।
सबसे पहले, $i^{18} = (i^4)^4 \cdot i^2 = (1)^4 \cdot (-1) = -1$ को सरल करें।
अगला, $(\frac{1}{i})^{25} = (-i)^{25} = (-1)^{25} \cdot i^{25} = -1 \cdot (i^4)^6 \cdot i = -1 \cdot 1 \cdot i = -i$ को सरल करें।
इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $[i^{18} + (\frac{1}{i})^{25}]^3 = [-1 - i]^3$।
$-1$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $[-1(1 + i)]^3 = (-1)^3 (1 + i)^3 = -1(1^3 + i^3 + 3(1)(i)(1 + i))$।
चूंकि $i^3 = -i$, हमारे पास है: $-1(1 - i + 3i + 3i^2) = -1(1 + 2i - 3) = -1(-2 + 2i) = 2 - 2i$।

(B) माना कि एक समान गेंदों की संख्या $7$ है और भिन्न गेंदों की संख्या $23 - 7 = 16$ है।
$12$ गेंदें चुनने के लिए, हम $k$ एक समान गेंदें चुन सकते हैं जहाँ $0 \le k \le 7$ है।
यदि हम $k$ एक समान गेंदें चुनते हैं, तो हमें $16$ भिन्न गेंदों में से $12 - k$ गेंदें चुननी होंगी।
तरीकों की संख्या $\sum_{k=0}^{7} {^{16}C_{12-k}}$ है।
इसका विस्तार: ${^{16}C_{12}} + {^{16}C_{11}} + {^{16}C_{10}} + {^{16}C_{9}} + {^{16}C_{8}} + {^{16}C_{7}} + {^{16}C_{6}} + {^{16}C_{5}}$ है।
चूंकि मूल विकल्प गलत थे, सही योग ${^{16}C_{5}} + {^{16}C_{6}} + {^{16}C_{7}} + {^{16}C_{8}} + {^{16}C_{9}} + {^{16}C_{10}} + {^{16}C_{11}} + {^{16}C_{12}}$ है।
विकल्पों की संरचना को देखते हुए, विकल्प $B$ योग प्रक्रिया का सबसे निकटतम तार्किक निरूपण है।

(B) $1$. मान लीजिए कोण $a-d$, $a$, और $a+d$ हैं। चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है, $(a-d) + a + (a+d) = 180^\circ$, जिससे $3a = 180^\circ$, अतः $a = 60^\circ$ प्राप्त होता है।
$2$. चूंकि यह एक समकोण त्रिभुज है, एक कोण $90^\circ$ होना चाहिए। अतः, $a+d = 90^\circ \implies 60^\circ + d = 90^\circ \implies d = 30^\circ$।
$3$. कोण $30^\circ$, $60^\circ$, और $90^\circ$ हैं।
$4$. एक $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ त्रिभुज में, भुजाओं का अनुपात $1 : \sqrt{3} : 2$ होता है। सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोण $(30^\circ)$ के सम्मुख होती है।
$5$. दी गई सबसे छोटी भुजा $4$ है, अतः भुजाएँ $4$, $4\sqrt{3}$, और $8$ हैं।
$6$. समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ sq. units}$ है।

(B) माना $P = \cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cos 8\theta \cos 16\theta$ है।
$2^5 \sin \theta$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{2^5 \sin \theta \cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cos 8\theta \cos 16\theta}{32 \sin \theta}$।
सूत्र $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का बार-बार उपयोग करने पर:
$P = \frac{\sin 32\theta}{32 \sin \theta}$।
दिया गया है $33\theta = \pi$, इसलिए $32\theta = \pi - \theta$ है।
अतः, $\sin 32\theta = \sin(\pi - \theta) = \sin \theta$।
इसे $P$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \frac{\sin \theta}{32 \sin \theta} = \frac{1}{32}$।

(C) माना $\theta = \frac{\pi}{5} = 36^\circ$ है। तब $5\theta = 180^\circ$, इसलिए $2\theta = 180^\circ - 3\theta$ है।
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर: $\cos(2\theta) = \cos(180^\circ - 3\theta) = -\cos(3\theta)$।
द्विगुण और त्रिगुण कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $2\cos^2\theta - 1 = -(4\cos^3\theta - 3\cos\theta)$।
$4\cos^3\theta + 2\cos^2\theta - 3\cos\theta - 1 = 0$।
चूँकि $\cos\theta \neq -1$, हम $(\cos\theta + 1)$ से विभाजित कर सकते हैं जिससे $4\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$\cos\theta$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $\cos\theta = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$।
चूँकि $\frac{\pi}{5}$ प्रथम चतुर्थांश में है, $\cos(\frac{\pi}{5}) > 0$, इसलिए $\cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$।

(C) दिया गया व्यंजक: $E = \cos^2 10^\circ - \cos 10^\circ \cos 50^\circ + \cos^2 50^\circ$
$2$ से गुणा और भाग करने पर: $E = \frac{1}{2} [2\cos^2 10^\circ - 2\cos 10^\circ \cos 50^\circ + 2\cos^2 50^\circ]$
$2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ और $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [(1 + \cos 20^\circ) - (\cos 60^\circ + \cos(-40^\circ)) + (1 + \cos 100^\circ)]$
$E = \frac{1}{2} [1 + \cos 20^\circ - \frac{1}{2} - \cos 40^\circ + 1 + \cos 100^\circ]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^\circ - \cos 40^\circ + \cos 100^\circ]$
$\cos 100^\circ - \cos 40^\circ = -2 \sin(\frac{100+40}{2}) \sin(\frac{100-40}{2}) = -2 \sin 70^\circ \sin 30^\circ = -2 \cos 20^\circ (\frac{1}{2}) = -\cos 20^\circ$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^\circ - \cos 20^\circ] = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

(C) चरण $1$: $105^\circ$ को $(60^\circ + 45^\circ)$ के रूप में लिखें।
चरण $2$: सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करें।
चरण $3$: $A = 60^\circ$ और $B = 45^\circ$ प्रतिस्थापित करें: $\tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ}$।
चरण $4$: मान $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ और $\tan 45^\circ = 1$ रखें: $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \times 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$।
चरण $5$: हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2 + \sqrt{3})$।
चरण $6$: विकल्पों के साथ तुलना करने पर, विकल्प $C$, $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$, चरण $4$ के परिणाम के समान है।

(A) माना $x = \theta - \alpha$ और $y = \theta - \beta$ है। तब $x - y = (\theta - \alpha) - (\theta - \beta) = \beta - \alpha$, इसलिए $\alpha - \beta = y - x$ है।
दिया है $\cos(x) = a$ और $\sin(y) = b$ है।
हमें $E = \cos^2(y - x) + 2ab \sin(y - x) + \cos^2(x)$ का मान ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर, व्यंजक का सरलीकरण $a^2 + b^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 3\alpha = 4 \sin \alpha \cdot \sin(x + \alpha) \cdot \sin(x - \alpha)$
सर्वसमिका $\sin(x + \alpha) \sin(x - \alpha) = \sin^2 x - \sin^2 \alpha$ का उपयोग करने पर:
$\sin 3\alpha = 4 \sin \alpha (\sin^2 x - \sin^2 \alpha)$
$\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha$ का उपयोग करने पर:
$3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha = 4 \sin \alpha \sin^2 x - 4 \sin \alpha \sin^2 \alpha$
चूंकि $\alpha \neq n\pi$, $\sin \alpha \neq 0$, हम $\sin \alpha$ से विभाजित कर सकते हैं:
$3 - 4 \sin^2 \alpha = 4 \sin^2 x - 4 \sin^2 \alpha$
$3 = 4 \sin^2 x$
$\sin^2 x = \frac{3}{4} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \sin^2(\frac{\pi}{3})$
$\sin^2 x = \sin^2 \theta$ का व्यापक हल $x = n\pi \pm \theta$ होता है।
अतः, $x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$।

(D) हम सर्वसमिका $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक $\frac{\tan 160^\circ - \tan 110^\circ}{1 + \tan 160^\circ \tan 110^\circ} = \tan(160^\circ - 110^\circ) = \tan 50^\circ$ है।
हम जानते हैं कि $\tan 50^\circ = \cot 40^\circ = \frac{1}{\tan 40^\circ}$ है।
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $\theta = 20^\circ$ है:
$\tan 40^\circ = \frac{2 \tan 20^\circ}{1 - \tan^2 20^\circ} = \frac{2P}{1 - P^2}$।
अतः, $\tan 50^\circ = \frac{1}{\frac{2P}{1 - P^2}} = \frac{1 - P^2}{2P}$।

(D) दिया है $\angle C = 90^\circ$, अतः $A + B = 90^\circ$, जिसका अर्थ है $B = 90^\circ - A$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
अतः, $a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B = 2R \sin(90^\circ - A) = 2R \cos A$।
अब, $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{(2R \sin A)^2 - (2R \cos A)^2}{(2R \sin A)^2 + (2R \cos A)^2}$ पर विचार करें।
$= \frac{4R^2(\sin^2 A - \cos^2 A)}{4R^2(\sin^2 A + \cos^2 A)} = \frac{-(\cos^2 A - \sin^2 A)}{1} = -\cos(2A)$।
चूँकि $B = 90^\circ - A$, तो $A - B = A - (90^\circ - A) = 2A - 90^\circ$।
इसलिए, $\sin(A - B) = \sin(2A - 90^\circ) = -\sin(90^\circ - 2A) = -\cos(2A)$।
दोनों परिणामों की तुलना करने पर, $\sin(A - B) = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$।

(A) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{\sin^2 3A}{\sin^2 A} - \frac{\cos^2 3A}{\cos^2 A}$
$E = \frac{\sin^2 3A \cos^2 A - \cos^2 3A \sin^2 A}{\sin^2 A \cos^2 A}$
$\sin^2 x \cos^2 y - \cos^2 x \sin^2 y = \sin(x-y)\sin(x+y)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{\sin(3A-A)\sin(3A+A)}{\sin^2 A \cos^2 A} = \frac{\sin 2A \sin 4A}{\sin^2 A \cos^2 A}$
$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ और $\sin 4A = 2 \sin 2A \cos 2A = 4 \sin A \cos A \cos 2A$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{(2 \sin A \cos A)(4 \sin A \cos A \cos 2A)}{\sin^2 A \cos^2 A}$
$E = \frac{8 \sin^2 A \cos^2 A \cos 2A}{\sin^2 A \cos^2 A} = 8 \cos 2A$

(A) दिया गया है कि $^nC_4$, $^nC_5$, और $^nC_6$ समांतर श्रेणी में हैं, अतः $2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$ है।
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$।
$n!$ से भाग देने और $6!(n-4)!$ से गुणा करने पर:
$2 \cdot \frac{6!(n-4)!}{5!(n-5)!} = \frac{6!(n-4)!}{4!(n-4)!} + \frac{6!(n-4)!}{6!(n-6)!}$।
$2 \cdot 6(n-4) = 6 \cdot 5 + (n-4)(n-5)$।
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$।
$n^2 - 21n + 98 = 0$।
$(n-7)(n-14) = 0$।
अतः, $n = 7$ या $n = 14$ है।

(C) हम सर्वसमिका $\frac{1}{k+1} {}^n\mathrm{C}_k = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_{k+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {}^n\mathrm{C}_k$ है।
सर्वसमिका प्रतिस्थापित करने पर: $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_{k+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} {}^{n+1}\mathrm{C}_{k+1}$।
माना $j = k+1$, तब $S = \frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_j$।
चूंकि $\sum_{j=0}^{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_j = 2^{n+1}$ है, इसलिए $\sum_{j=1}^{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_j = 2^{n+1} - {}^{n+1}\mathrm{C}_0 = 2^{n+1} - 1$ है।
अतः, $S = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1} = \frac{1023}{10}$।
पदों की तुलना करने पर, $n+1 = 10$, इसलिए $n = 9$। जांच: $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$।

(B) चरण $1$: $x + 2y + 6 = 0$ और $2x - y = 2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
दूसरे समीकरण से, $y = 2x - 2$।
पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(2x - 2) + 6 = 0 \implies x + 4x - 4 + 6 = 0 \implies 5x + 2 = 0 \implies x = -2/5$।
तब $y = 2(-2/5) - 2 = -4/5 - 10/5 = -14/5$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2/5, -14/5)$ है।
चरण $2$: रेखाओं के परिवार का समीकरण उपयोग करें: $(x + 2y + 6) + \lambda(2x - y - 2) = 0$।
यह $(1 + 2\lambda)x + (2 - \lambda)y + (6 - 2\lambda) = 0$ में सरल होता है।
चरण $3$: $y$-अंतःखंड $5$ है, इसलिए रेखा $(0, 5)$ से गुजरती है।
समीकरण में $(0, 5)$ प्रतिस्थापित करें: $(1 + 2\lambda)(0) + (2 - \lambda)(5) + (6 - 2\lambda) = 0$।
$10 - 5\lambda + 6 - 2\lambda = 0 \implies 16 - 7\lambda = 0 \implies \lambda = 16/7$।
चरण $4$: $\lambda = 16/7$ को समीकरण में वापस रखें:
$(1 + 2(16/7))x + (2 - 16/7)y + (6 - 2(16/7)) = 0$।
$(7 + 32)/7 x + (14 - 16)/7 y + (42 - 32)/7 = 0$।
$39x - 2y + 10 = 0$।

(B) चरण $1$: $x - y + 1 = 0$ $(i)$ और $2x + 3y - 8 = 0$ (ii) के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करें।
$(i)$ से, $y = x + 1$। इसे (ii) में प्रतिस्थापित करें: $2x + 3(x + 1) - 8 = 0 \implies 2x + 3x + 3 - 8 = 0 \implies 5x = 5 \implies x = 1$।
तब $y = 1 + 1 = 2$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ है।
चरण $2$: रेखा का $x$-अंतःखंड $3$ है, इसलिए यह $(3, 0)$ से गुजरती है।
चरण $3$: $(1, 2)$ और $(3, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें।
ढाल $m = \frac{0 - 2}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = -1$ है।
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए: $y - 0 = -1(x - 3) \implies y = -x + 3 \implies x + y - 3 = 0$।

(D) दिया गया समीकरण $(2 + k)x + (1 + k)y = 5 + 7k$ है।
$k$ वाले पदों को एक साथ समूहित करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:
$2x + kx + y + ky = 5 + 7k$
$(2x + y - 5) + k(x + y - 7) = 0$
$k$ के सभी मानों के लिए इस रेखा को एक निश्चित बिंदु से गुजरने के लिए, कोष्ठक में दिए गए दोनों व्यंजकों का शून्य होना आवश्यक है:
$2x + y - 5 = 0$ ---$(1)$
$x + y - 7 = 0$ ---$(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(2x + y - 5) - (x + y - 7) = 0$
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x = -2$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-2 + y - 7 = 0 \implies y = 9$
निश्चित बिंदु $(-2, 9)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $d = \sqrt{(-2)^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$ है।
अतः, $d^2 = 85$।

(C) रेखाओं के परिवार का दिया गया समीकरण: $4ax + 3by + c = 0$ $(1)$।
दी गई शर्त: $a + b + c = 0$, जिसका अर्थ है $c = -a - b$ $(2)$।
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4ax + 3by - a - b = 0$
$a$ और $b$ को समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:
$a(4x - 1) + b(3y - 1) = 0$
सभी वास्तविक स्थिरांक $a$ और $b$ के लिए इस समीकरण के सत्य होने हेतु, $a$ और $b$ के गुणांक स्वतंत्र रूप से शून्य होने चाहिए:
$4x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4}$
$3y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{3}$
अतः, रेखाएँ बिंदु $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ पर संगामी हैं।

(A) रेखा का समीकरण $px + qy = r$ है। $r$ से भाग देने पर, $\frac{x}{r/p} + \frac{y}{r/q} = 1$ प्राप्त होता है।
अक्षों पर अंतःखंड $a = \frac{r}{p}$ और $b = \frac{r}{q}$ हैं।
निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |a| \times |b| = \frac{1}{2} \times \frac{r}{p} \times \frac{r}{q} = \frac{r^2}{2pq}$ है।
दिया गया क्षेत्रफल $\frac{1}{54}$ है, अतः $\frac{r^2}{2pq} = \frac{1}{54}$।
यह $2pq = 54r^2$ या $pq = 27r^2$ में सरल होता है।

(A) माना रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है, जहाँ $a$ और $b$ क्रमशः $x$ और $y$ अंतःखंड हैं।
दिया गया है कि अंतःखंडों का योग शून्य है, $a + b = 0$, जिसका अर्थ है $b = -a$।
इसे रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x}{a} - \frac{y}{a} = 1$, या $x - y = a$।
चूँकि रेखा $A(3, 4)$ से गुजरती है, हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं: $3 - 4 = a$, अतः $a = -1$।
इससे रेखा $x - y = -1$, या $x - y + 1 = 0$ प्राप्त होती है।
गैर-शून्य अंतःखंडों की शर्त के कारण, केवल एक ही ऐसी रेखा संभव है।

(C) माना रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है। अंतःखंड $(a, 0)$ और $(0, b)$ हैं।
बिंदु $(-5, 3)$, $(a, 0)$ और $(0, b)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $4:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर, बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{4(0) + 3(a)}{4+3}, \frac{4(b) + 3(0)}{4+3} \right) = \left( \frac{3a}{7}, \frac{4b}{7} \right)$ हैं।
इन्हें $(-5, 3)$ के बराबर रखने पर:
$\frac{3a}{7} = -5 \implies a = -\frac{35}{3}$
$\frac{4b}{7} = 3 \implies b = \frac{21}{4}$
$a$ और $b$ का मान अंतःखंड रूप में रखने पर: $\frac{x}{-35/3} + \frac{y}{21/4} = 1$।
$-\frac{3x}{35} + \frac{4y}{21} = 1$।
$105$ ($35$ और $21$ का लघुत्तम समापवर्त्य) से गुणा करने पर: $-9x + 20y = 105$।
$9x - 20y + 105 = 0$।

(A) चरण $1$: $L_1$ के लिए $p$ का मान ज्ञात करें। चूँकि $L_1$, $(5, 0)$ से गुजरती है, $\frac{5}{p} + \frac{0}{2} = 1 \implies p = 5$। अतः $L_1: \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1 \implies 2x + 5y - 10 = 0$।
चरण $2$: चूँकि $L_2$, $L_1$ के समांतर है, इसका समीकरण $2x + 5y + k = 0$ होगा। दिया है $L_2: \frac{x}{10} + \frac{y}{q} = 1$, इसे $qx + 10y - 10q = 0$ के रूप में लिखने पर। गुणांकों की तुलना करने पर, $\frac{q}{2} = \frac{10}{5} \implies q = 4$। अतः $L_2: 4x + 10y - 40 = 0 \implies 2x + 5y - 20 = 0$।
चरण $3$: समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
चरण $4$: यहाँ $A=2, B=5, C_1=-10, C_2=-20$ है। अतः $d = \frac{|-10 - (-20)|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{10}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{10}{\sqrt{29}}$।

(B) चरण $1$: रेखाओं $x - y + 1 = 0$ और $2x + y - 7 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। समीकरणों को जोड़ने पर: $(x - y + 1) + (2x + y - 7) = 0 \implies 3x - 6 = 0 \implies x = 2$। $x = 2$ को $x - y + 1 = 0$ में रखने पर, हमें $2 - y + 1 = 0 \implies y = 3$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $P(2, 3)$ है।
चरण $2$: $(2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण जिसका ढाल $m$ है, $y - 3 = m(x - 2)$ है। चूंकि यह धनात्मक अक्षों को $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ पर काटती है, $m$ ऋणात्मक होना चाहिए। मान लें $m = -k$ जहाँ $k > 0$ है। समीकरण $y - 3 = -k(x - 2) \implies kx + y = 2k + 3$ है।
चरण $3$: अंतःखंड $A(\frac{2k+3}{k}, 0)$ और $B(0, 2k+3)$ हैं। $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $Area = \frac{1}{2} \times \frac{2k+3}{k} \times (2k+3) = \frac{(2k+3)^2}{2k} = \frac{4k^2 + 12k + 9}{2k} = 2k + 6 + \frac{9}{2k}$ है।
चरण $4$: $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करते हुए, $2k + \frac{9}{2k} \ge 2\sqrt{2k \cdot \frac{9}{2k}} = 2\sqrt{9} = 6$। अतः, $Area \ge 6 + 6 = 12$ वर्ग इकाई।

(B) माना रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों पर बनाए गए अंतःखंड $a$ और $a$ हैं। अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ है, जो $x + y - a = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ की स्पर्श रेखा है, केंद्र $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 2$ के बराबर होनी चाहिए।
लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $2 = \frac{|0 + 0 - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$।
$2 = \frac{|-a|}{\sqrt{2}}$।
$|a| = 2\sqrt{2}$।
अतः, प्रत्येक अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{2}$ है।

(B) रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ होता है, जहाँ $p$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है और $\alpha$ लंब द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
दिया है $\alpha = 45^\circ$, समीकरण $x \cos 45^\circ + y \sin 45^\circ = p$ है, जो सरल होकर $\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = p$ या $x + y = p\sqrt{2}$ हो जाता है।
अक्षों पर अंतःखंड $x = p\sqrt{2}$ और $y = p\sqrt{2}$ हैं।
अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} (p\sqrt{2})(p\sqrt{2}) = p^2$ है।
क्षेत्रफल $49$ दिया है, अतः $p^2 = 49$, जिसका अर्थ है $p = 7$।
$p = 7$ को समीकरण $x + y = p\sqrt{2}$ में रखने पर, हमें $x + y = 7\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $-a$ और $-a$ हैं, जहाँ $a > 0$ है।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{-a} + \frac{y}{-a} = 1$ है, जिसे $x + y + a = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ, $A = 1, B = 1, C = a$, और $d = 4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $4 = \frac{|a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$।
अतः, $a = 4\sqrt{2}$।
$a$ का मान समीकरण में रखने पर: $x + y + 4\sqrt{2} = 0$।

(B) चरण $1$: $A$ और $B$ के निर्देशांक ज्ञात करें। $X$-अक्ष के लिए, $y=0$ रखें: $2x = 4 \implies x=2$। अतः $A = (2, 0)$। $Y$-अक्ष के लिए, $x=0$ रखें: $y=4$। अतः $B = (0, 4)$।
चरण $2$: $AB$ का मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात करें। $M = (\frac{2+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = (1, 2)$।
चरण $3$: चूंकि $AC \perp BC$, बिंदु $C$ उस वृत्त पर स्थित है जिसका व्यास $AB$ है। इस वृत्त का केंद्र मध्य-बिंदु $M(1, 2)$ है।
चरण $4$: इस वृत्त की त्रिज्या $r$, दूरी $MA$ है: $r = \sqrt{(2-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$।
चरण $5$: चूंकि $C$ वृत्त पर स्थित है, इसलिए $C$ की केंद्र $M$ से दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{5}$ के बराबर है।

(C) ऊँचाई फलन $h(t) = -5t^2 + 14t + 3$ है।
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dh}{dt} = -10t + 14$।
$\frac{dh}{dt} = 0$ रखने पर, हमें $-10t + 14 = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $t = 1.4 \text{ s}$।
$t = 1.4$ का मान ऊँचाई समीकरण में रखने पर: $h(1.4) = 3 + 14(1.4) - 5(1.4)^2$।
$h(1.4) = 3 + 19.6 - 5(1.96) = 22.6 - 9.8 = 12.8 \text{ m}$।
अतः, अधिकतम ऊँचाई $12.8 \text{ m}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} (\frac{x - y}{1 + xy})$ होता है।
चूंकि $a_1, a_2, \dots, a_n$ समांतर श्रेणी में हैं, इसलिए $a_{k+1} - a_k = d$ है।
अतः, योग के प्रत्येक पद को $\tan^{-1} (\frac{a_{k+1} - a_k}{1 + a_k a_{k+1}}) = \tan^{-1} a_{k+1} - \tan^{-1} a_k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया व्यंजक $\tan [(\tan^{-1} a_2 - \tan^{-1} a_1) + (\tan^{-1} a_3 - \tan^{-1} a_2) + \dots + (\tan^{-1} a_n - \tan^{-1} a_{n-1})]$ बन जाता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है, जो सरल होकर $\tan [\tan^{-1} a_n - \tan^{-1} a_1]$ हो जाता है।
सूत्र $\tan (\tan^{-1} x - \tan^{-1} y) = \frac{x - y}{1 + xy}$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{a_n - a_1}{1 + a_n a_1}$ प्राप्त होता है।

(A) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{4}$ पर संतत होने के लिए, $f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x)$ होना चाहिए।
माना $t = x - \frac{\pi}{4}$, तो जैसे $x \to \frac{\pi}{4}$, $t \to 0$। तब $x = t + \frac{\pi}{4}$।
$\cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(t + \frac{\pi}{2}) = \sqrt{2} \cos t$।
$1 - \sin 2x = 1 - \sin(2t + \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos 2t = 2 \sin^2 t$।
$f(x) = \frac{2\sqrt{2} - (\sqrt{2} \cos t)^3}{2 \sin^2 t} = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cos^3 t}{2 \sin^2 t} = \sqrt{2} \frac{1 - \cos^3 t}{\sin^2 t}$।
$1 - \cos^3 t = (1 - \cos t)(1 + \cos t + \cos^2 t)$ और $\sin^2 t = (1 - \cos t)(1 + \cos t)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \sqrt{2} \frac{(1 - \cos t)(1 + \cos t + \cos^2 t)}{(1 - \cos t)(1 + \cos t)} = \sqrt{2} \frac{1 + \cos t + \cos^2 t}{1 + \cos t}$।
जैसे $t \to 0$, $\cos t \to 1$, अतः $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \sqrt{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$।
नोट: दिए गए विकल्पों में $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ नहीं है।

(C) दिया है $\sec^{-1} \left( \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} \right) = 2a$, अतः $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \sec(2a)$ है।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) लगाने पर: $\frac{(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2)} = \frac{\sec(2a) + 1}{\sec(2a) - 1}$।
$\frac{2x^2}{2y^2} = \frac{\frac{1}{\cos(2a)} + 1}{\frac{1}{\cos(2a)} - 1} = \frac{1 + \cos(2a)}{1 - \cos(2a)} = \frac{2\cos^2(a)}{2\sin^2(a)} = \cot^2(a)$।
अतः, $\frac{x^2}{y^2} = \cot^2(a) \implies x^2 = y^2 \cot^2(a)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x = 2y \frac{dy}{dx} \cot^2(a)$।
$x = y \frac{dy}{dx} \cot^2(a) \implies y \frac{dy}{dx} = x \tan^2(a)$।
$y \frac{dy}{dx} = x \cdot f(a)$ से तुलना करने पर, हमें $f(a) = \tan^2(a)$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $f \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \tan^2 \left( \frac{2\pi}{3} \right) = (-\sqrt{3})^2 = 3$।

(A) माना $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ है। हमें $f(0.007)$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x = 0.008$ और $\Delta x = -0.001$, ताकि $x + \Delta x = 0.007$ हो।
रैखिक सन्निकटन का सूत्र $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ है।
यहाँ, $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$, इसलिए $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ है।
$x = 0.008$ के लिए, $f(0.008) = (0.008)^{\frac{1}{3}} = 0.2$ है।
$f'(0.008) = \frac{1}{3(0.008)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(0.04)} = \frac{1}{0.12} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \approx 8.333$ है।
अब, $f(0.007) \approx 0.2 + (8.333)(-0.001) = 0.2 - 0.008333 = 0.191667$ है।
विकल्पों में सबसे निकटतम मान $0.191$ है।

(B) दिया गया परवलय समीकरण: $y^2 = \frac{36}{5}x$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dt} = \frac{36}{5} \frac{dx}{dt}$।
हमें दिया गया है कि कोटि $(y)$, भुज $(x)$ की दर से तीन गुना बढ़ रही है, अतः $\frac{dy}{dt} = 3 \frac{dx}{dt}$।
इसे अवकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2y(3 \frac{dx}{dt}) = \frac{36}{5} \frac{dx}{dt}$।
यह मानते हुए कि $\frac{dx}{dt} \neq 0$, हमें $6y = \frac{36}{5}$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $y = \frac{6}{5}$ हो जाता है।
अब, $y = \frac{6}{5}$ को मूल परवलय समीकरण में रखने पर: $(\frac{6}{5})^2 = \frac{36}{5}x$।
$\frac{36}{25} = \frac{36}{5}x$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{36}{25} \times \frac{5}{36} = \frac{1}{5}$।
अतः, अभीष्ट बिंदु $(1/5, 6/5)$ है।

(B) चरण $1$: एक वर्ग आव्यूह $A$ को $A = B + C$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$ सममित है और $C = \frac{1}{2}(A - A^T)$ विषम-सममित है।
चरण $2$: $A^T = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चरण $3$: $B = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$।
चरण $4$: $C = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$।
चरण $5$: सारणिकों की गणना करें: $|A| = (4 \times 2) - (1 \times 3) = 8 - 3 = 5$। $|B| = (4 \times 2) - (2 \times 2) = 8 - 4 = 4$। $|C| = (0 \times 0) - (-1 \times 1) = 1$।
चरण $6$: विकल्पों की जाँच करें: $|B| + |C| = 4 + 1 = 5$। चूँकि $|A| = 5$, इसलिए संबंध $|A| = |B| + |C|$ सही है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2i & i^3 \\ i^2 & 1 \end{bmatrix}$। चूँकि $i^2 = -1$ और $i^3 = -i$, हमारे पास $A = \begin{bmatrix} 2i & -i \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
चरण $1$: सारणिक $|A| = (2i)(1) - (-i)(-1) = 2i - i = i$ ज्ञात करें।
चरण $2$: सहखंडज $adj(A)$ ज्ञात करें। $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए, $adj(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः, $adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix}$।
चरण $3$: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{i} \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चूँकि $\frac{1}{i} = -i$, हमें $A^{-1} = -i \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & -i^2 \\ -i & -2i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & 1 \\ -i & 2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$।
यह आव्यूह $\begin{bmatrix} \cos(240^\circ) & -\sin(240^\circ) \\ \sin(240^\circ) & \cos(240^\circ) \end{bmatrix}$ के रूप में है, जो $\theta = 240^\circ = 4\pi/3$ के साथ एक घूर्णन आव्यूह $R_\theta$ है।
घूर्णन आव्यूह के लिए, $A^{-1} = R_{-\theta}$ और $A^2 = R_{2\theta}$ होता है।
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos(120^\circ) & -\sin(120^\circ) \\ \sin(120^\circ) & \cos(120^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$।
$A^2 = \begin{bmatrix} \cos(480^\circ) & -\sin(480^\circ) \\ \sin(480^\circ) & \cos(480^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(120^\circ) & -\sin(120^\circ) \\ \sin(120^\circ) & \cos(120^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$।
अतः, $A^{-1} - A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, जो एक शून्य आव्यूह है।
एक शून्य आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह और एक अदिश आव्यूह भी होता है, लेकिन यह एक इकाई आव्यूह नहीं है।

(C) चरण $1$: $A^2$ की गणना करें।
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
चरण $2$: चूँकि $A^2 = I$, दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर $A = A^{-1}$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: विकल्पों की जाँच करें। विकल्प $(C)$ कहता है $A^{-1} = A$, जो हमारे परिणाम से मेल खाता है।

(C) चरण $1$: $A$ का सारणिक ज्ञात कीजिए। $|A| = 2(3-0) - 0(15-0) + (-1)(5-0) = 6 - 5 = 1$।
चरण $2$: सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करें। चूँकि $|A| = 1$, $A^{-1} = \text{adj}(A)$।
चरण $3$: सहखंडज आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात कीजिए।
$C_{11} = +(3-0) = 3$, $C_{12} = -(15-0) = -15$, $C_{13} = +(5-0) = 5$।
$C_{21} = -(0 - (-1)) = -1$, $C_{22} = +(6-0) = 6$, $C_{23} = -(2-0) = -2$।
$C_{31} = +(0 - (-1)) = 1$, $C_{32} = -(0 - (-5)) = -5$, $C_{33} = +(2-0) = 2$।
चरण $4$: सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (transpose) ही $\text{adj}(A)$ है: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}$।
चरण $5$: $A^{-1}$ से तुलना करने पर, हमें $\gamma = 3$, $\alpha = -15$, $\beta = 5$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $|\alpha \cdot \beta \cdot \gamma| = |(-15) \cdot 5 \cdot 3| = |-225| = 225$।

(C) चरण $1$: सारणिक $|A| = 1(0 - (-25)) - 3(0 - (-10)) - 2(-15 - 0) = 1(25) - 3(10) - 2(-15) = 25 - 30 + 30 = 25$ ज्ञात करें।
चरण $2$: $A^{-1}$ की पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ का अवयव $\frac{C_{21}}{|A|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $C_{21}$, $A$ के दूसरे पंक्ति और पहले स्तंभ के अवयव का सहखंड है।
चरण $3$: $C_{21} = (-1)^{2+1} \times \text{minor}_{21} = -1 \times \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \times (0 - (-10)) = -10$।
चरण $4$: अभीष्ट अवयव $\frac{C_{21}}{|A|} = \frac{-10}{25} = -\frac{2}{5}$ है। नोट: दिए गए विकल्पों में सही मान नहीं है।

(A) चरण $1$: मैट्रिक्स $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें।
$|A| = 1(4 - 9) - 3(12 - 9) + 3(9 - 3) = 1(-5) - 3(3) + 3(6) = -5 - 9 + 18 = 4$।
चरण $2$: $A^{-1}$ की तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ का अवयव $\frac{C_{23}}{|A|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $C_{23}$, $A$ की दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ के अवयव का सहखंड (cofactor) है।
चरण $3$: दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ को हटाकर उपसारणिक (minor) $M_{23}$ की गणना करें: $M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 9) = -6$।
चरण $4$: सहखंड $C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -1 \times (-6) = 6$।
चरण $5$: अभीष्ट अवयव $\frac{C_{23}}{|A|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।

(A) चरण $1$: $A$ का सारणिक ज्ञात करें। $|A| = (3 \times 4) - (-2 \times 1) = 12 + 2 = 14$।
चरण $2$: $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें। $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए, सहखंडज $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
चरण $3$: अतः, $adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$।
चरण $4$: प्रतिलोम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{14} & \frac{2}{14} \\ -\frac{1}{14} & \frac{3}{14} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \\ -\frac{1}{14} & \frac{3}{14} \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया समीकरण: $A^2 - A + I = 0$
दोनों पक्षों से $I$ घटाने पर: $A^2 - A = -I$
बाएँ पक्ष से $A$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $A(A - I) = -I$
दोनों पक्षों को बाएँ से $A^{-1}$ से गुणा करने पर: $A^{-1}A(A - I) = A^{-1}(-I)$
चूँकि $A^{-1}A = I$, इसलिए: $I(A - I) = -A^{-1}$
$A - I = -A^{-1}$
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर: $A^{-1} = -(A - I) = I - A$

(D) चरण $1$: $A^{-1}$ ज्ञात करें। दिया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $\det(A) = (3)(-1) - (-4)(1) = -3 + 4 = 1$। अतः, $A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$।
चरण $2$: $(A^{-1})^2$ की गणना करें। $(A^{-1})^2 = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 8 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$।
चरण $3$: $(A^{-1})^2 + B$ की गणना करें। $\begin{bmatrix} -3 & 8 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & -13 \\ 5 & -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$।
चरण $4$: निकाय $\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ को हल करें। इसका अर्थ है $3x - 5y = 0$, या $3x = 5y$। विकल्पों में से, केवल $(5, 3)$ समीकरण $3(5) = 5(3)$ को संतुष्ट करता है।

(C) हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$, जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$A$ की दूसरी पंक्ति को $A^{-1}$ के तीसरे स्तंभ से गुणा करने पर $I$ का $(2, 3)$ अवयव प्राप्त होता है, जो $0$ है।
$(1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times y) + (3 \times \frac{1}{2}) = 0 \implies \frac{1}{2} + 2y + \frac{3}{2} = 0 \implies 2 + 2y = 0 \implies y = -1$।
$A$ की तीसरी पंक्ति को $A^{-1}$ के पहले स्तंभ से गुणा करने पर $I$ का $(3, 1)$ अवयव प्राप्त होता है, जो $0$ है।
$(3 \times \frac{1}{2}) + (x \times -4) + (1 \times \frac{5}{2}) = 0 \implies \frac{3}{2} - 4x + \frac{5}{2} = 0 \implies 4 - 4x = 0 \implies x = 1$।
कार्तीय निर्देशांक $(1, -1)$ हैं।
ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ के लिए, $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
चूंकि बिंदु $(1, -1)$ चतुर्थ चतुर्थांश में है, $\theta = \arctan(\frac{y}{x}) = \arctan(-1) = \frac{7\pi}{4}$।
अतः, ध्रुवीय निर्देशांक $(\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4})$ हैं।

(C) माना $A = \begin{bmatrix} 1 + pq & p & 0 \\ q & 1 + pq & p \\ 0 & q & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले, सारणिक $|A| = (1+pq)((1+pq)(1) - pq) - p(q(1) - 0) + 0 = (1+pq)(1) - pq = 1 + pq - pq = 1$ की गणना करें।
चूंकि $|A| = 1$ है, इसलिए प्रतिलोम $A^{-1}$ सहखंडज आव्यूह $adj(A)$ है।
सहखंड $C_{ij}$ इस प्रकार हैं:
$C_{11} = (1+pq)(1) - pq = 1$, $C_{12} = -(q - 0) = -q$, $C_{13} = q^2 - 0 = q^2$।
$C_{21} = -(p - 0) = -p$, $C_{22} = (1+pq) - 0 = 1+pq$, $C_{23} = -(q(1+pq) - 0) = -(q+pq^2)$।
$C_{31} = p^2 - 0 = p^2$, $C_{32} = -(p(1+pq) - 0) = -(p+p^2q)$, $C_{33} = (1+pq)^2 - pq = 1 + 2pq + p^2q^2 - pq = 1 + pq + p^2q^2$।
अतः, $A^{-1} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -p & p^2 \\ -q & 1 + pq & -(p + p^2q) \\ q^2 & -(q + pq^2) & 1 + pq + p^2q^2 \end{bmatrix}$।

(D) चरण $1$: आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।
$|A| = 2((-3)(1) - (1)(2)) - (-1)((4)(1) - (1)(1)) + 4((4)(2) - (-3)(1))$
$|A| = 2(-5) + 1(3) + 4(11) = -10 + 3 + 44 = 37$.
चरण $2$: प्रतिलोम $A^{-1}$, $\frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $3$: सहखंडज आव्यूह के $(3,3)$ स्थान पर अवयव सहखंड $C_{33}$ है।
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = (1)((2)(-3) - (-1)(4)) = -6 + 4 = -2$.
चरण $4$: चूँकि $B = A^{-1} = \frac{1}{37} \text{adj}(A)$, $B$ में $(3,3)$ पर अवयव $\frac{C_{33}}{37} = \frac{-2}{37}$ है।
दिए गए आव्यूह $B$ के साथ तुलना करने पर, हमें $k = -2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $x^2 - 4x + 2 = 0$। चूँकि $a$ और $b$ मूल हैं, $a+b = 4$ और $ab = 2$ है।
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = ab - 1 = 2 - 1 = 1$ है।
प्रतिलोम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} b & -1 \\ -1 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b & -1 \\ -1 & a \end{bmatrix}$ है।
अब, $A + A^{-1} = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b & -1 \\ -1 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & 0 \\ 0 & a+b \end{bmatrix}$ है।
चूँकि $a+b = 4$, इसलिए $A + A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = 4I_2$ है।
$A + A^{-1} = kI_2$ के साथ तुलना करने पर, हमें $k = 4$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: $A$ का सारणिक ज्ञात कीजिए। $|A| = (1)(4) - (-5)(-2) = 4 - 10 = -6$।
चरण $2$: $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात कीजिए। $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए, सहखंडज $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
चरण $3$: अतः, $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$।
चरण $4$: सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करें।
चरण $5$: $A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \sec \theta & -\tan \theta \\ -\tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix}$।
$2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए, $\text{adj } A = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः, $\text{adj } A = \begin{bmatrix} \sec \theta & \tan \theta \\ \tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix}$।
दिया है $A + \text{adj } A = 4I$, जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
$\begin{bmatrix} \sec \theta & -\tan \theta \\ -\tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sec \theta & \tan \theta \\ \tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$।
आव्यूहों को जोड़ने पर: $\begin{bmatrix} 2 \sec \theta & 0 \\ 0 & 2 \sec \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर: $2 \sec \theta = 4 \implies \sec \theta = 2$।
चूँकि $\sec \theta = 2$, इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$।
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए, $\theta = \frac{\pi}{3}$।

(A) चरण $1$: $\det(A)$ की गणना करें। चूँकि $A$ एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है, $\det(A) = (2k - 1)^3$ है।
चरण $2$: $\det(\text{adj } A)$ की गणना करें। हम जानते हैं कि $\det(\text{adj } A) = (\det A)^{n-1}$ होता है। यहाँ $n=3$ है, इसलिए $\det(\text{adj } A) = ((2k - 1)^3)^2 = (2k - 1)^6$ है।
चरण $3$: $\det(B)$ की गणना करें। $B$ एक $3 \times 3$ कोटि का विषम-सममित आव्यूह है। विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक $0$ होता है। अतः $\det(B) = 0$ है।
चरण $4$: $\det(\text{adj } B)$ की गणना करें। चूँकि $\det(B) = 0$ है, $\det(\text{adj } B) = (\det B)^{3-1} = 0^2 = 0$ है।
चरण $5$: समीकरण $(2k - 1)^6 + 0 = 11^6$ को हल करें। इसका अर्थ है $(2k - 1)^6 = 11^6$, इसलिए $2k - 1 = 11$ या $2k - 1 = -11$ है।
चरण $6$: यदि $2k - 1 = 11$ है, तो $2k = 12$, जिससे $k = 6$ प्राप्त होता है। तब $k - 5 = 6 - 5 = 1$ है।
चरण $7$: यदि $2k - 1 = -11$ है, तो $2k = -10$, जिससे $k = -5$ प्राप्त होता है। तब $k - 5 = -5 - 5 = -10$ (विकल्पों में नहीं है)।
अतः, मान $1$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$।
हम जानते हैं कि $A(adj A) = |A|I$, जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$।
अतः, $A(adj A) = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$।
साथ ही, $A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$।
$AA^T = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 9 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 13 \end{bmatrix}$।
$A(adj A) = AA^T$ की तुलना करने पर:
$10a + 3b = 13$ ($(2,2)$ अवयव से)।
विकर्ण के बाहर के अवयवों के लिए, $15a - 2b = 0$, इसलिए $b = \frac{15a}{2}$।
$b$ का मान $10a + 3b = 13$ में रखने पर:
$10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13 \implies 10a + \frac{45a}{2} = 13 \implies \frac{20a + 45a}{2} = 13 \implies 65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$।
तब $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$।
अतः, $5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$।

(D) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए, $\text{adj}(\text{adj } A) = |A|^{n-2} A$ होता है।
साथ ही, सहखंडज आव्यूह का गुणधर्म $B = \text{adj } A$ है, इसलिए $B^{-1} = (\text{adj } A)^{-1} = \frac{1}{|A|} A$ होगा।
सबसे पहले, सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = \cos \alpha (\cos \alpha - 0) - (-\sin \alpha)(\sin \alpha - 0) + 0 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$।
चूंकि $|A| = 1$ है, इसलिए $B = \text{adj } A$ है।
हम जानते हैं कि $A \cdot \text{adj } A = |A| I = I$ होता है।
अतः, $\text{adj } A = A^{-1}$।
इसलिए, $B = A^{-1}$।
तब $B^{-1} = (A^{-1})^{-1} = A$ होगा।

(B) चरण $1$: आव्यूह $A$ का निर्माण करें। $i, j \in \{1, 2, 3\}$ के लिए, यदि $i+j$ सम है तो $a_{ij} = 1$ और यदि $i+j$ विषम है तो $a_{ij} = 0$ है।
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
चरण $2$: सारणिक $|A|$ की गणना करें।
$|A| = 1(1-0) - 0(0-0) + 1(0-1) = 1 - 1 = 0$।
चरण $3$: सहखंडज आव्यूह $C$ की गणना करें:
$C_{11} = 1, C_{12} = 0, C_{13} = -1, C_{21} = 0, C_{22} = 0, C_{23} = 0, C_{31} = -1, C_{32} = 0, C_{33} = 1$।
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) चरण $1$: हम जानते हैं कि $adj(A^{-1}) = adj((A^{-1})) = \frac{1}{\det(A)} A$ है।
चरण $2$: $\det(A)$ की गणना करें। चूँकि $A$ एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है, $\det(A) = (-1) \times (2) \times (-1) = 2$ है।
चरण $3$: अतः, $adj(A^{-1}) = \frac{1}{2} A = \begin{bmatrix} -0.5 & 1012.5 & 1013 \\ 0 & 1 & 1013.5 \\ 0 & 0 & -0.5 \end{bmatrix}$ है।
चरण $4$: सभी अवयवों का योग = $-0.5 + 1012.5 + 1013 + 0 + 1 + 1013.5 + 0 + 0 - 0.5 = 3039$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$।
घूर्णन आव्यूह के गुण का उपयोग करते हुए, $A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$।
अतः, $A^{-3} = \begin{bmatrix} \cos(-3\theta) & -\sin(-3\theta) \\ \sin(-3\theta) & \cos(-3\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(3\theta) & \sin(3\theta) \\ -\sin(3\theta) & \cos(3\theta) \end{bmatrix}$।
दिया है $\theta = \pi/6$, तो $3\theta = 3(\pi/6) = \pi/2$।
मान प्रतिस्थापित करने पर, $A^{-3} = \begin{bmatrix} \cos(\pi/2) & \sin(\pi/2) \\ -\sin(\pi/2) & \cos(\pi/2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$।

(B) दिया है $AB = C$। बाईं ओर $A^{-1}$ से गुणा करने पर, हमें $B = A^{-1}C$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर, $B^{-1} = (A^{-1}C)^{-1} = C^{-1}A$।
सबसे पहले, $C^{-1}$ ज्ञात करें। सारणिक $|C| = (7 \times 6) - (3 \times 0) = 42$। सहखंडज $adj(C) = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$। अतः, $C^{-1} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$।
अब, $B^{-1} = C^{-1}A = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$।
$B^{-1} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} (6 \times 3) + (-3 \times -1) & (6 \times 1) + (-3 \times 2) \\ (0 \times 3) + (7 \times -1) & (0 \times 1) + (7 \times 2) \end{bmatrix} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 21 & 0 \\ -7 & 14 \end{bmatrix}$।
इसे सरल करने पर: $B^{-1} = \frac{7}{42} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) हम गुणधर्म $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले, $A^{-1}$ ज्ञात करें। दिया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$, $|A| = (2)(-2) - (3)(5) = -4 - 15 = -19$ है।
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-19} \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$ है।
अब, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/5 & 2/5 \\ 2/5 & -1/5 \end{bmatrix} \times \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$ है।
$= \frac{1}{5 \times 19} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \frac{1}{95} \begin{bmatrix} (1)(2)+(2)(5) & (1)(3)+(2)(-2) \\ (2)(2)+(-1)(5) & (2)(3)+(-1)(-2) \end{bmatrix}$ है।
$= \frac{1}{95} \begin{bmatrix} 12 & -1 \\ -1 & 8 \end{bmatrix}$ है।

(D) चरण $1$: दिया है $XA = B^T$, दाईं ओर $A^{-1}$ से गुणा करने पर: $X = B^T A^{-1}$।
चरण $2$: दिया है $A^{-1}Y = B$, इसलिए $Y = AB$।
चरण $3$: $XY = (B^T A^{-1})(AB) = B^T (A^{-1}A) B = B^T I B = B^T B$ की गणना करें।
चरण $4$: $B^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$।
चरण $5$: $XY = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = (1 \times 1) + (0 \times 0) + (1 \times 1) = 1 + 0 + 1 = [2]$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$।
पंक्ति रूपांतरण $R_1 \to R_1 + 3R_2$ लागू करने पर:
नया $R_1 = [-5 + 3(2), -3 + 3(1)] = [-5 + 6, -3 + 3] = [1, 0]$।
रूपांतरित आव्यूह $A' = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह में, मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी अवयव शून्य होते हैं। यहाँ, स्थिति $(2, 1)$ पर अवयव $2$ है, इसलिए यह ऊपरी त्रिभुजाकार नहीं है।
एक निचले त्रिभुजाकार आव्यूह में, मुख्य विकर्ण के ऊपर के सभी अवयव शून्य होते हैं। यहाँ, स्थिति $(1, 2)$ पर अवयव $0$ है। चूँकि मुख्य विकर्ण के ऊपर का अवयव शून्य है, यह एक निचला त्रिभुजाकार आव्यूह है।

(B) चरण $1$: $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+0 & -2-2 \\ 0+0 & 0+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चरण $2$: समीकरण $A^2 + xA + yI_2 = O_2$ में $A^2$, $A$ और $I_2$ का मान रखें।
$\begin{bmatrix} 4 & -4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} + x \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
चरण $3$: आव्यूहों को संयोजित करें: $\begin{bmatrix} 4 + 2x + y & -4 - x \\ 0 & 4 + 2x + y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
चरण $4$: संगत अवयवों की तुलना करें: $-4 - x = 0 \implies x = -4$।
चरण $5$: $x = -4$ को $4 + 2x + y = 0$ में रखें: $4 + 2(-4) + y = 0 \implies 4 - 8 + y = 0 \implies y = 4$।

(A) चरण $1$: $2A = 2 \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 14 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चरण $2$: $3B = 3 \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चरण $3$: $2A + 3B = \begin{bmatrix} 6-3 & 0 & 0 \\ 0 & -10+6 & 0 \\ 0 & 0 & 14+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 26 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चरण $4$: एक विकर्ण आव्यूह $D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3)$ का प्रतिलोम $D^{-1} = \text{diag}(1/d_1, 1/d_2, 1/d_3)$ होता है।
चरण $5$: अतः, $(2A + 3B)^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & -1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 1/26 \end{bmatrix}$ है।

(A) चरण $1$: $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 2 \\ 1 & 18 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चरण $2$: $2A = 2 \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चरण $3$: $A^2 - 2A + I = \begin{bmatrix} 11 & 2 \\ 1 & 18 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चरण $4$: आव्यूह घटाव और योग करने पर: $\begin{bmatrix} 11 - (-6) + 1 & 2 - 4 + 0 \\ 1 - 2 + 0 & 18 - 8 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & -2 \\ -1 & 11 \end{bmatrix}$।
चरण $5$: $\begin{bmatrix} 18 & p \\ q & 11 \end{bmatrix}$ से तुलना करने पर, हमें $p = -2$ और $q = -1$ प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: $a_{ij} = |2i - 5j|$ का उपयोग करके आव्यूह $A$ की रचना करें।
$A = \begin{pmatrix} 3 & 8 & 13 \\ 1 & 6 & 11 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}$।
चरण $2$: सारणिक $|A|$ की गणना करें।
$|A| = 3(54 - 44) - 8(9 - 11) + 13(4 - 6) = 30 + 16 - 26 = 20$।
चरण $3$: $A^{-1}$ की दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव $\frac{C_{32}}{|A|}$ है, जहाँ $C_{32}$ अवयव $a_{32}$ का सहखंड है।
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 3 & 13 \\ 1 & 11 \end{vmatrix} = -1(33 - 13) = -20$।
चरण $4$: अवयव $= \frac{-20}{20} = -1$।

(A) माना $t = \tan(\theta/2)$ है। तब $A = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$ है। सारणिक $|A| = 1 + t^2$ है।
$A^{-1} = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix}$ है।
अब, $A^{-1}B = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1-t^2 & 2t \\ -2t & 1-t^2 \end{bmatrix}$ है।
सर्वसमिकाओं $\cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$ का उपयोग करने पर, हमें $A^{-1}B = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: रैखिक समीकरण निकाय $2a + b - c = 4$, $-a + 2b + c = 0$, और $a - b + 2c = -2$ को हल करें।
चरण $2$: तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(2a-a+a) + (b+2b-b) + (-c+c+2c) = 4+0-2 \implies 2a + 2b + 2c = 2 \implies a + b + c = 1$।
चरण $3$: $-a + 2b + c = 0$ से, $c = a - 2b$ प्राप्त होता है। इसे $a+b+c=1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $a+b+(a-2b)=1 \implies 2a-b=1 \implies b=2a-1$।
चरण $4$: $b$ और $c$ के मान को $2a+b-c=4$ में रखने पर: $2a + (2a-1) - (a - 2(2a-1)) = 4 \implies 2a + 2a - 1 - a + 4a - 2 = 4 \implies 7a = 7 \implies a=1$।
चरण $5$: तब $b = 2(1)-1 = 1$ और $c = 1-2(1) = -1$। बिंदु $P$ $(1, 1, -1)$ है।
चरण $6$: $P(1, 1, -1)$ की $2x + y + 2z - 10 = 0$ से दूरी $d = \frac{|2(1) + 1(1) + 2(-1) - 10|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 1 - 2 - 10|}{\sqrt{9}} = \frac{|-9|}{3} = 3 \text{ इकाई}$ है।

(B) सहखंड $C_{ij}$ को $(-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $M_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का उपसारणिक (minor) है।
चरण $1$: $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (1)(8 - 0) = 8$ की गणना करें।
चरण $2$: $C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4 - 2) = -2$ की गणना करें।
चरण $3$: $C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1)(0 - 2) = 2$ की गणना करें।
चरण $4$: इन मानों को दिए गए समीकरण $pC_{11} + 4C_{21} - 5C_{32} = -2$ में प्रतिस्थापित करें।
$p(8) + 4(-2) - 5(2) = -2$।
$8p - 8 - 10 = -2$।
$8p - 18 = -2$।
$8p = 16$।
$p = 2$।

(D) चरण $1$: सूत्र $3 \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right)$ का उपयोग करें।
चरण $2$: सूत्र में $x = 1/2$ प्रतिस्थापित करें।
चरण $3$: अंश की गणना करें: $3(1/2) - (1/2)^3 = 3/2 - 1/8 = 12/8 - 1/8 = 11/8$।
चरण $4$: हर की गणना करें: $1 - 3(1/2)^2 = 1 - 3/4 = 1/4$।
चरण $5$: व्यंजक $\tan^{-1}\left(\frac{11/8}{1/4}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{11}{8} \times 4\right) = \tan^{-1}(11/2)$ हो जाता है।

(B) माना $\theta = \sin^{-1}(1/5)$, तब $\sin \theta = 1/5$ है।
हमें $\sin(3\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin(3\theta) = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin \theta = 1/5$ को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(3\theta) = 3(1/5) - 4(1/5)^3$
$\sin(3\theta) = 3/5 - 4/125$
$\sin(3\theta) = (75 - 4) / 125 = 71/125$।

(C) माना $x = \tan \theta$ है। तब $\theta = \tan^{-1} x$ होगा।
$|x| \le 1$ के लिए मानक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर:
$\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
$\cos^{-1}(\frac{1-x^2}{1+x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
$\tan^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3(2\theta) - 4(2\theta) + 2(2\theta) = \frac{\pi}{3}$
$6\theta - 8\theta + 4\theta = \frac{\pi}{3}$
$2\theta = \frac{\pi}{3}$
$\theta = \frac{\pi}{6}$
चूंकि $x = \tan \theta$ है, इसलिए $x = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: $xy > 1$ के लिए गुणधर्म $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \pi + \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ का उपयोग करें।
चरण $2$: $\tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(5) = \pi + \tan^{-1}(\frac{3+5}{1-15}) = \pi + \tan^{-1}(\frac{8}{-14}) = \pi - \tan^{-1}(4/7)$ को संयोजित करें।
चरण $3$: व्यंजक $\tan^{-1}(1) + \pi - \tan^{-1}(4/7) + \tan^{-1}(1/4) = \pi + \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(1/4) - \tan^{-1}(4/7)$ बन जाता है।
चरण $4$: $\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(1/4) = \tan^{-1}(\frac{1+1/4}{1-1/4}) = \tan^{-1}(\frac{5/4}{3/4}) = \tan^{-1}(5/3)$ का उपयोग करें।
चरण $5$: अब, $\tan^{-1}(5/3) - \tan^{-1}(4/7) = \tan^{-1}(\frac{5/3 - 4/7}{1 + (5/3)(4/7)}) = \tan^{-1}(\frac{35-12}{21+20}) = \tan^{-1}(23/41)$।
चरण $6$: $\tan^{-1}(\alpha/2)$ के साथ तुलना करने पर, $\alpha/2 = 23/41$, अतः $\alpha = 46/41$।

(C) माना $\alpha = \sin^{-1}(12/13)$, तब $\sin \alpha = 12/13$। अतः, $\tan \alpha = 12/5$।
माना $\beta = \cos^{-1}(4/5)$, तब $\cos \beta = 4/5$। अतः, $\tan \beta = 3/4$।
अब, $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{12/5 + 3/4}{1 - (12/5)(3/4)} = \frac{(48+15)/20}{1 - 36/20} = \frac{63/20}{-16/20} = -63/16$।
चूँकि $\alpha + \beta$ द्वितीय चतुर्थांश में है, $\alpha + \beta = \pi - \tan^{-1}(63/16)$।
अतः, $\alpha + \beta + \tan^{-1}(63/16) = \pi - \tan^{-1}(63/16) + \tan^{-1}(63/16) = \pi$।

(B) श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = \tan^{-1}(\frac{1}{x^2 + (2k-1)x + (k^2-k+1)})$ है।
हर को $1 + (x+k-1)(x+k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः, $T_k = \tan^{-1}(\frac{(x+k) - (x+k-1)}{1 + (x+k)(x+k-1)}) = \tan^{-1}(x+k) - \tan^{-1}(x+k-1)$।
योग $y$ एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $y = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(x+k) - \tan^{-1}(x+k-1)) = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y' = \frac{1}{1+(x+n)^2} - \frac{1}{1+x^2}$।
$x=0$ पर, $y'(0) = \frac{1}{1+n^2} - \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1+n^2} - 1 = \frac{1 - (1+n^2)}{1+n^2} = -\frac{n^2}{n^2+1}$।

(C) हम सर्वसमिका $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ का उपयोग करते हैं।
ध्यान दें कि $\frac{1}{n^2+n+1} = \frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}$ है।
अतः, $\tan^{-1}(\frac{1}{n^2+n+1}) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$ है।
योग $\sum_{n=1}^{2026} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n))$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + \dots + (\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(2026))$।
योग सरल होकर $\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(1)$ हो जाता है।
सर्वसमिका का पुनः उपयोग करने पर: $\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(\frac{2027-1}{1+2027 \cdot 1}) = \tan^{-1}(\frac{2026}{2028}) = \tan^{-1}(\frac{1013}{1014})$।
हमें $\tan^{-1}(1 - \frac{1}{x}) = \tan^{-1}(\frac{1013}{1014})$ दिया गया है।
अतः, $1 - \frac{1}{x} = \frac{1013}{1014} \implies \frac{1}{x} = 1 - \frac{1013}{1014} = \frac{1}{1014}$।
इसलिए, $x = 1014$।

(B) माना $u = \log x$ है। तब $\log(e/x^3) = 1 - 3u$ और $\log(ex^3) = 1 + 3u$ है।
साथ ही, $\log(e^4x^3) = 4 + 3u$ और $\log(e/x^{12}) = 1 - 12u$ है।
इन मानों को $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1-3u}{1+3u} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{4+3u}{1-12u} \right)$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1-3u}{1+3u} \right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(3u) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(3u)$ और $\tan^{-1} \left( \frac{4+3u}{1-12u} \right) = \tan^{-1}(4) + \tan^{-1}(3u)$ है।
अतः, $y = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1}(4)$, जो एक अचर है।
इसलिए, $\frac{dy}{dx} = 0$ है।

(C) माना $A = \tan^{-1} 3$, तब $\tan A = 3$ है। चूँकि $sec^2 A = 1 + \tan^2 A$ होता है, इसलिए $sec^2(\tan^{-1} 3) = 1 + 3^2 = 1 + 9 = 10$ होगा।
माना $B = sec^{-1} 3$, तब $sec B = 3$ है। चूँकि $\tan^2 B = sec^2 B - 1$ होता है, इसलिए $\tan^2(sec^{-1} 3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $10 - 8 = 2$।

(A) चरण $1$: $\sin^{-1}(\sin \frac{7\pi}{6})$ को सरल करें। चूँकि $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$, $\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$। अतः, $\sin^{-1}(\sin \frac{7\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6}$।
चरण $2$: $\cos^{-1}(\cos \frac{7\pi}{6})$ को सरल करें। चूँकि $\frac{7\pi}{6} = 2\pi - \frac{5\pi}{6}$, $\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$। अतः, $\cos^{-1}(\cos \frac{7\pi}{6}) = \frac{5\pi}{6}$।
चरण $3$: $\tan^{-1}(\tan \frac{2\pi}{3})$ को सरल करें। चूँकि $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$, $\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\tan(\frac{\pi}{3}) = \tan(-\frac{\pi}{3})$। अतः, $\tan^{-1}(\tan \frac{2\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3}$।
चरण $4$: मानों का योग: $-\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$। दिए गए विकल्प सही नहीं हैं।

(C) चरण $1$: $\tan^{-1}(\sqrt{3})$ का मान ज्ञात करें। चूँकि $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, इसलिए $\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ है।
चरण $2$: $\sec^{-1}(-2)$ का मान ज्ञात करें। चूँकि $\sec(\frac{2\pi}{3}) = -2$, इसलिए $\sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3}$ है।
चरण $3$: $\sin^{-1}(-\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात करें। चूँकि $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, इसलिए $\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ है।
चरण $4$: व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करें: $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6}) = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$।