MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) एक सशर्त कथन $A \to B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ के रूप में परिभाषित है।
दिया गया कथन: $[p \lor (p \to q)] \to (p \land \sim q)$।
यहाँ, $A = [p \lor (p \to q)]$ और $B = (p \land \sim q)$ है।
चरण $1$: $\sim B = \sim (p \land \sim q) = \sim p \lor \sim (\sim q) = \sim p \lor q$ ज्ञात करें।
चरण $2$: $\sim A = \sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q)$ ज्ञात करें।
चूँकि $\sim (p \to q) = p \land \sim q$ है, इसलिए $\sim A = \sim p \land (p \land \sim q)$ होगा।
चरण $3$: $\sim B \to \sim A$ बनाने के लिए संयोजित करें, जो $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ है।
यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(D) चरण $1$: $(I)$ का विश्लेषण करें। $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$। यह सही है।
चरण $2$: $(II)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv \sim (p \to q) \lor r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। यह $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ के तुल्य नहीं है। यह गलत है।
चरण $3$: $(III)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \to r) \land (q \to r)$। यह $(p \to r) \land (\sim q \to r)$ के तुल्य नहीं है। यह गलत है।
चरण $4$: $(IV)$ का विश्लेषण करें। $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। यह सही है।
निष्कर्ष: $(I)$ और $(IV)$ सही हैं।

(C) माना $S_1, S_2, S_3$ स्विच हैं। परिपथ तीन समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$: $S_1$ और $S_2$ श्रेणीक्रम में $\rightarrow (S_1 \land S_2)$
शाखा $2$: $S_1'$ और $S_2$ श्रेणीक्रम में $\rightarrow (S_1' \land S_2)$
शाखा $3$: $S_3$ और $S_2'$ श्रेणीक्रम में $\rightarrow (S_3 \land S_2')$
कुल परिपथ व्यंजक $C = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$ है।
प्रथम दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(S_1 \lor S_1') \land S_2 \lor (S_3 \land S_2')$।
चूँकि $(S_1 \lor S_1') = T$ (एक पुनरुक्ति), व्यंजक $T \land S_2 \lor (S_3 \land S_2')$ बन जाता है।
यह $S_2 \lor (S_3 \land S_2')$ में सरल हो जाता है।
पुनः वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$।
चूँकि $(S_2 \lor S_2') = T$, व्यंजक $(S_2 \lor S_3)$ में सरल हो जाता है।
यह समानांतर में दो स्विच $S_2$ और $S_3$ को दर्शाता है। स्विचों की न्यूनतम संख्या $2$ है।

(C) दिया गया कथन पैटर्न $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q) = F$ है।
चूंकि वियोजन (disjunction) $F$ है, इसलिए सभी घटक $F$ होने चाहिए: $(\sim p \land q) = F$, $(\sim p \land \sim q) = F$, और $(p \land \sim q) = F$।
$(\sim p \land q) = F$ और $(\sim p \land \sim q) = F$ से, हम $\sim p$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं: $\sim p \land (q \lor \sim q) = F$। चूंकि $(q \lor \sim q)$ एक पुनरुक्ति (tautology) $T$ है, हमारे पास $\sim p \land T = F$ है, जिसका अर्थ है $\sim p = F$, इसलिए $p = T$।
अब $p = T$ को $(p \land \sim q) = F$ में प्रतिस्थापित करें: $T \land \sim q = F$, जिसका अर्थ है $\sim q = F$, इसलिए $q = T$।
अब $(p \lor \sim q) = (T \lor \sim T) = (T \lor F) = T$ का मूल्यांकन करें।
अब $(p \to q) = (T \to T) = T$ का मूल्यांकन करें।
अतः, सत्य मान $T, T$ हैं।

(C) मान लीजिए $1$ चालू स्थिति को दर्शाता है और $0$ बंद स्थिति को दर्शाता है।
सर्किट को बूलियन व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
यहाँ, $S'_1$, $S_1$ का निषेध है (अर्थात $S'_1 = \neg S_1$) और $S'_2$, $S_2$ का निषेध है (अर्थात $S'_2 = \neg S_2$)।
सर्किट प्रकाशित $(L=1)$ होता है यदि $(S_1 \land S_2) = 1$ या $(S'_1 \land S'_2) = 1$ हो।
$(S_1 \land S_2) = 1$ का अर्थ है $S_1 = 1$ और $S_2 = 1$।
$(S'_1 \land S'_2) = 1$ का अर्थ है $S'_1 = 1$ और $S'_2 = 1$, जिसका अर्थ है $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$।
अतः, कमरा तब प्रकाशित होता है जब $S_1$ और $S_2$ दोनों चालू हों या दोनों बंद हों।

(A) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है।
चरण $1$: विकल्प $(A)$ का विश्लेषण करें: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
यदि $p=T, q=T$, तो $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
यदि $p=T, q=F$, तो $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
यदि $p=F, q=T$, तो $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
यदि $p=F, q=F$, तो $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
चूंकि यह कथन सभी स्थितियों में सत्य है, इसलिए यह एक पुनरुक्ति है।

(A) $1$. मान लीजिए स्विच को $S_1, S_2, S_3$ चरों द्वारा दर्शाया गया है।
$2$. वर्णित परिपथ $(S_1 \lor S_2) \land S_3$ है।
$3$. स्विचिंग परिपथ तर्क में, '$OR$' संक्रिया समानांतर संयोजन के अनुरूप है और '$AND$' संक्रिया श्रेणी संयोजन के अनुरूप है।
$4$. अतः, $(S_1 \lor S_2)$ का अर्थ है $S_1$ और $S_2$ समानांतर में हैं।
$5$. $\land S_3$ पद इंगित करता है कि यह समानांतर ब्लॉक $S_3$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
$6$. यह विवरण से मेल खाता है: $S_3$ और $S_1$ व $S_2$ के समानांतर संयोजन का श्रेणी संयोजन।

(C) $1$. प्रतिबन्ध $\sim p \to q$ केवल तब असत्य होता है जब $\sim p$ का मान $T$ हो और $q$ का मान $F$ हो।
$2$. चूँकि $\sim p = T$, इसलिए $p = F$ होगा।
$3$. दिया गया है कि $q = F$, द्वि-प्रतिबन्ध $q \leftrightarrow r$ केवल तब असत्य होता है जब $q$ और $r$ के सत्य मान भिन्न हों।
$4$. चूँकि $q = F$, इसलिए $q \leftrightarrow r$ को असत्य होने के लिए $r$ का मान $T$ होना चाहिए।
$5$. अतः, सत्य मान $p = F$, $q = F$, और $r = T$ हैं, जो $(F, F, T)$ है।

(C) दिए गए सत्य मान: $p = T, q = F, r = T$।
$(A)$ $[F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$।
$(B)$ $(T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$।
$(C)$ $[(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$।
$(D)$ $(T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$।
चूंकि विकल्प $(C)$ का परिणाम $F$ है, इसलिए यह एक सत्य कथन नहीं है।

(C) निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
यहाँ, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ और $B = (p \land q)$ है।
चूंकि $B$ असत्य है, $(p \land q) = F$ है।
चूंकि $A$ सत्य है, $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, और $(\sim r) = T$ है।
$(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(q \to r) = T$ और $r = F$ है, इसलिए $q$ को $F$ होना चाहिए (क्योंकि $T \to F$ असत्य होता है)।
चूंकि $(p \lor q) = T$ और $q = F$ है, इसलिए $p$ को $T$ होना चाहिए।
अतः, $p = T, q = F, r = F$ है।
अब विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (सत्य कथन)।
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (सत्य कथन)।
$(C)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = T$ (यह सत्य नहीं है क्योंकि यह सत्य है)।
$(D)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = F$ (सत्य कथन)।
इसलिए, विकल्प $(C)$ सही उत्तर है।

(B) चरण $1$: दिया गया कथन $S = \sim p \lor q$ है, जो $p \to q$ के समतुल्य है।
चरण $2$: $p \to q$ का प्रतिलोम $\sim p \to \sim q$ होता है।
चरण $3$: $\sim p \to \sim q$ को $\sim (\sim p) \lor \sim q$ अर्थात $p \lor \sim q$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चरण $4$: इस प्रतिलोम का निषेध $\sim (p \lor \sim q)$ है।
चरण $5$: डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए, $\sim (p \lor \sim q) = \sim p \land \sim (\sim q) = \sim p \land q$।

(B) चरण $1$: कथन $I$ का विश्लेषण करें। 'यदि $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (सत्य), तो $2$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (असत्य)।' एक सशर्त कथन $P \implies Q$ केवल तब असत्य होता है जब $P$ सत्य हो और $Q$ असत्य हो। अतः, $I$ असत्य है।
चरण $2$: कथन $II$ का विश्लेषण करें। '$e$ एक स्वर है (सत्य) और $12 \times 3 = 36$ (सत्य)।' चूंकि दोनों भाग सत्य हैं, इसलिए संयोजन सत्य है।
चरण $3$: कथन $III$ का विश्लेषण करें। 'यह सत्य नहीं है कि ($14$ भाज्य है (सत्य) और $3$ सम है (असत्य))।' आंतरिक संयोजन असत्य है, इसलिए इसका निषेध सत्य है। अतः, $III$ सत्य है।
चरण $4$: कथन $IV$ का विश्लेषण करें। '$\sqrt{5}$ अपरिमेय है (सत्य) और $3 + \sqrt{5}$ एक सम्मिश्र संख्या है (सत्य, क्योंकि सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र होती हैं)।' चूंकि दोनों सत्य हैं, इसलिए कथन सत्य है।
चरण $5$: निष्कर्ष। केवल कथन $I$ सत्य नहीं है। सही विकल्प $B$ है।

(D) चरण $1$: $p$ का मूल्यांकन करें। $3^4 = 81$ और $4^3 = 64$ है। चूँकि $81 > 64$, पूर्ववर्ती सत्य है। $3^3 = 27$ और $4^4 = 256$ है। चूँकि $27 > 256$ असत्य है, इसलिए निहितार्थ $T \implies F$, $F$ है। अतः, $p$ असत्य $(F)$ है।
चरण $2$: $q$ का मूल्यांकन करें। $x^2 - 2x + 2 = 0$ के लिए, विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ है। चूँकि $D < 0$, मूल वास्तविक नहीं हैं। कथन 'मुंबई महाराष्ट्र में है' सत्य $(T)$ है। द्वि-प्रतिबंध $F \iff T$, $F$ है। अतः, $q$ असत्य $(F)$ है।
चरण $3$: $r$ का मूल्यांकन करें। $r$ है '$p$ सत्य है या $q$ असत्य है'। चूँकि $p$ असत्य है और $q$ असत्य है, '$q$ असत्य है' सत्य $(T)$ है। अतः, $F \lor T$, $T$ है। इसलिए, $r$ सत्य $(T)$ है।
चरण $4$: विकल्पों की जाँच करें। $p=F, q=F, r=T$ है।
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$।
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$।
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$।
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$।
अतः, विकल्प $D$ सही है।

(A) एक सशर्त कथन $P \to Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $\sim q \to p$ है।
यहाँ, $P = \sim q$ और $Q = p$ है।
अतः, प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ होगा, जो $\sim p \to \sim(\sim q)$ बन जाता है।
द्वि-निषेध नियम का उपयोग करते हुए, $\sim(\sim q) = q$ होता है।
इस प्रकार, प्रतिधनात्मक $\sim p \to q$ है।

(C) $1$. तार्किक व्यंजक $\sim p \lor q$ केवल तभी असत्य होता है जब $\sim p$ असत्य हो और $q$ भी असत्य हो।
$2$. यदि $\sim p$ असत्य है, तो $p$ सत्य $(T)$ होना चाहिए।
$3$. चूँकि $q$ असत्य $(F)$ है, हमारे पास $p = T$ और $q = F$ है।
$4$. अब, विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(a)$ $p \leftrightarrow q \equiv T \leftrightarrow F = F$
$(b)$ $p \rightarrow q \equiv T \rightarrow F = F$
$(c)$ $q \rightarrow p \equiv F \rightarrow T = T$
$(d)$ $q \rightarrow p \equiv F \rightarrow T = T$
$5$. अतः, $q \rightarrow p$ सत्य है।

(C) तार्किक समतुल्यता $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर:
$(p \lor q) \to \sim r \equiv \sim (p \lor q) \lor \sim r$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए, $\sim (p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$ होता है।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\sim p \land \sim q \lor \sim r$ प्राप्त होता है, जो कि $( \sim p \land \sim q) \lor \sim r$ है।

(C) निहितार्थ $A \to B$ केवल तब $False$ होता है जब $A$ का मान $True$ हो और $B$ का मान $False$ हो।
यहाँ, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ और $B = (p \land q)$ है।
चूँकि $B$ का मान $False$ है, इसलिए $(p \land q) = False$ है।
चूँकि $A$ का मान $True$ है, इसलिए $(p \lor q) = True$, $(q \to r) = True$, और $(\sim r) = True$ है।
$(\sim r) = True$ से, हमें $r = False$ प्राप्त होता है।
$r = False$ को $(q \to r) = True$ में रखने पर: $(q \to False) = True$, जिसका अर्थ है $q = False$ है।
$q = False$ को $(p \lor q) = True$ में रखने पर: $(p \lor False) = True$, जिसका अर्थ है $p = True$ है।
अब, $(p \land q) = (True \land False) = False$ की जाँच करें, जो हमारी शर्त से मेल खाता है।
अतः, $p = True$ और $q = False$ है।
तब, $p \to q = (True \to False) = False$ है।
और $q \to p = (False \to True) = True$ है।
सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(A) चरण $1$: कथन $r$ का विश्लेषण करें।
$p \to q$ केवल तब असत्य होता है जब $p = T$ और $q = F$ हो। इस स्थिति में, $p \lor q = T \lor F = T$ है। चूँकि कथन दावा करता है कि $p \lor q$ असत्य है, इसलिए $r$ असत्य $(F)$ है।
चरण $2$: कथन $s$ का विश्लेषण करें।
$p \leftrightarrow q$ तब असत्य होता है जब $p$ और $q$ के सत्य मान भिन्न हों ($p=T, q=F$ या $p=F, q=T$)।
यदि $p=T, q=F$, तो $p \lor q = T$ है। यदि $p=F, q=T$, तो $p \lor q = T$ है। दोनों स्थितियों में, $p \lor q$ सत्य है। चूँकि कथन दावा करता है कि $p \lor q$ असत्य है, इसलिए $s$ असत्य $(F)$ है।
चरण $3$: $r \to s$ और $s \to r$ का मूल्यांकन करें।
चूँकि $r = F$ और $s = F$, इसलिए $r \to s = F \to F = T$ और $s \to r = F \to F = T$ है। अतः, सत्य मान $T, T$ हैं।

(C) चरण $1$: विकल्प $(A)$ का विश्लेषण करें: $∃x ∈ A$ इस प्रकार है कि $x + 3 = 9$। यदि $x = 6$ है, तो $6 + 3 = 9$। चूँकि $6 ∈ A$ है, यह कथन सत्य है।
चरण $2$: विकल्प $(B)$ का विश्लेषण करें: $∃x ∈ A$ इस प्रकार है कि $x + 2 < 9$। यदि $x = 1$ है, तो $1 + 2 = 3 < 9$। चूँकि $1 ∈ A$ है, यह कथन सत्य है।
चरण $3$: विकल्प $(C)$ का विश्लेषण करें: $∀x ∈ A, x + 6 ≥ 10$। यदि $x = 1$ है, तो $1 + 6 = 7$। चूँकि $7 < 10$ है, इसलिए स्थिति $x + 6 ≥ 10$ सभी $x ∈ A$ के लिए मान्य नहीं है। अतः, यह कथन असत्य है।
चरण $4$: विकल्प $(D)$ का विश्लेषण करें: $∃x ∈ A$ इस प्रकार है कि $x + 6 < 10$। यदि $x = 1$ है, तो $1 + 6 = 7 < 10$। चूँकि $1 ∈ A$ है, यह कथन सत्य है।
निष्कर्ष: विकल्प $(C)$ सत्य नहीं है।

(B) $1$. एक सशर्त कथन $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
$2$. यहाँ, $(p \land q) \to (r \lor \sim s)$ असत्य है, इसलिए $(p \land q) = T$ और $(r \lor \sim s) = F$ है।
$3$. $(p \land q) = T$ के लिए, $p$ और $q$ दोनों का $T$ होना आवश्यक है।
$4$. $(r \lor \sim s) = F$ के लिए, $r$ और $\sim s$ दोनों का $F$ होना आवश्यक है।
$5$. चूँकि $r = F$ और $\sim s = F$ है, इसलिए $s = T$ होगा।
$6$. अतः, सत्य मान $p = T, q = T, r = F, s = T$ हैं।

(B) चरण $1$: $A$ का विश्लेषण: $(q \to p) \lor (p \to q) \equiv (\sim q \lor p) \lor (\sim p \lor q) \equiv (\sim q \lor q) \lor (\sim p \lor p) \equiv T \lor T \equiv T$। अतः, $A$ एक पुनरुक्ति है।
चरण $2$: $B$ का विश्लेषण: $(\sim p \lor \sim q) \leftrightarrow \sim (p \land q)$। डी मॉर्गन नियम के अनुसार, $\sim p \lor \sim q \equiv \sim (p \land q)$। अतः, $B$ का रूप $X \leftrightarrow X$ है, जो एक पुनरुक्ति है।
चरण $3$: $C$ का विश्लेषण: $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p) \land \sim q \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$। अतः, $C$ एक व्याघात है।
चरण $4$: $D$ का विश्लेषण: $(p \land q) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv (p \land q) \land \sim (p \land q) \equiv F$। अतः, $D$ एक व्याघात है।
निष्कर्ष: $A$ और $B$ पुनरुक्ति हैं, $C$ और $D$ व्याघात हैं।

(D) द्विशर्तक कथन $p \leftrightarrow q$, $(p \to q) \land (q \to p)$ के समतुल्य है।
अतः, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv ∼ ((p \to q) \land (q \to p))$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर, यह $∼ (p \to q) \lor ∼ (q \to p)$ हो जाता है।
चूँकि $p \to q \equiv ∼ p \lor q$, इसलिए $∼ (p \to q) \equiv p \land ∼ q$।
इसी प्रकार, $∼ (q \to p) \equiv q \land ∼ p$।
अतः, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv (p \land ∼ q) \lor (q \land ∼ p)$।
अब, विकल्प $(D)$ की जाँच करें: $p \leftrightarrow ∼ q \equiv (p \to ∼ q) \land (∼ q \to p) \equiv (∼ p \lor ∼ q) \land (q \lor p) \equiv (p \land q) \lor (∼ p \land ∼ q)$।
सत्यता सारणी के अनुसार, $p \leftrightarrow ∼ q$ और $∼ (p \leftrightarrow q)$ के मान सभी स्थितियों में समान हैं। अतः, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow ∼ q$।

(A) चरण $1$: निहितार्थ $A \to B$ केवल तभी असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
चरण $2$: यहाँ, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ और $B = (p \land q)$ है।
चरण $3$: $B = (p \land q)$ के असत्य होने के लिए, $p$ या $q$ में से कम से कम एक का असत्य होना आवश्यक है।
चरण $4$: $A$ के सत्य होने के लिए, $(p \lor q)$ सत्य होना चाहिए, $(q \to r)$ सत्य होना चाहिए, और $(\sim r)$ सत्य होना चाहिए।
चरण $5$: $(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: चूँकि $(q \to r) = T$ और $r = F$ है, इसलिए $q$ को असत्य होना चाहिए।
चरण $7$: चूँकि $(p \lor q) = T$ और $q = F$ है, इसलिए $p$ को सत्य होना चाहिए।
चरण $8$: अब, $p \to q$ का मूल्यांकन करें: $T \to F = F$।
चरण $9$: $q \to p$ का मूल्यांकन करें: $F \to T = T$।
चरण $10$: सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(B) दिया गया है: $p = T, q = F, r = F$।
चरण $1$: कथन $S = [\sim (p \land \sim q) \lor (q \lor \sim r)]$ का मूल्यांकन करें।
$\sim q = T$, इसलिए $(p \land \sim q) = (T \land T) = T$। अतः, $\sim (p \land \sim q) = F$।
$\sim r = T$, इसलिए $(q \lor \sim r) = (F \lor T) = T$।
$S = (F \lor T) = T$।
चरण $2$: द्वैत कथन $S^*$ ज्ञात करें। $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से, और $F$ को $T$ से बदलें।
द्वैत $S^*$ है $[\sim (p \lor \sim q) \land (q \land \sim r)]$।
चरण $3$: $S^*$ का मूल्यांकन करें।
$(p \lor \sim q) = (T \lor T) = T$, इसलिए $\sim (p \lor \sim q) = F$।
$(q \land \sim r) = (F \land T) = F$।
$S^* = (F \land F) = F$।
सत्य मान क्रमशः $T$ और $F$ हैं।

(A) चरण $1$: दिया गया कथन $S = p \to (q \to r)$ है।
चरण $2$: $S$ का प्रतिलोम $∼ p \to ∼ (q \to r)$ है।
चरण $3$: प्रतिलोम का विलोम $∼ (q \to r) \to ∼ p$ है।
चरण $4$: $q \to r \equiv ∼ q \lor r$ का उपयोग करने पर, व्यंजक $∼ (∼ q \lor r) \to ∼ p$ हो जाता है, जो $(q \land ∼ r) \to ∼ p$ है।
चरण $5$: किसी कथन का द्वैत $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलकर प्राप्त किया जाता है। निहितार्थ $A \to B$ का अर्थ $∼ A \lor B$ है। अतः, $(q \land ∼ r) \to ∼ p$ का अर्थ $∼ (q \land ∼ r) \lor ∼ p \equiv (∼ q \lor r) \lor ∼ p$ है।
चरण $6$: $(∼ q \lor r) \lor ∼ p$ का द्वैत $(∼ q \land r) \land ∼ p$ है।
चरण $7$: विकल्प $∼ [p \lor (r \to q)]$ का मान $∼ [p \lor (∼ r \lor q)] \equiv ∼ p \land (r \land ∼ q)$ है, जो द्वैत रूप से मेल खाता है।

(C) माना $p$ कथन "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" है और $q$ कथन "वह $3$ का गुणज है" है।
दिया गया कथन "यदि $p$, तो $q$" के रूप में है, जिसे $p \implies q$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$p \implies q$ का निषेध $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $p$ "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" है और $\sim q$ "वह $3$ का गुणज नहीं है" है।
अतः, निषेध "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है और वह $3$ का गुणज नहीं है" है।
यह विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(D) चरण $1$: किसी कथन पैटर्न का द्वैत ज्ञात करने के लिए, $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलें। निहितार्थ $A \to B$, $\sim A \lor B$ के समतुल्य है।
चरण $2$: दिया गया कथन $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ है।
चरण $3$: द्वैत रूपांतरण लागू करने पर, हमें $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: चूंकि $(p \lor \sim q) \equiv \sim p \to \sim q$ और $(q \lor \sim p) \equiv p \to q$, व्यंजक $(\sim p \to \sim q) \land (p \to q)$ है।
चरण $5$: विकल्पों का विश्लेषण करने पर, सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए $S_1$ वह स्विच है जिसे $p$ द्वारा दर्शाया गया है और $S_2$ वह स्विच है जिसे $q$ द्वारा दर्शाया गया है।
समांतर सर्किट में, स्विच इस प्रकार जुड़े होते हैं कि यदि $p$ या $q$ में से कोई भी बंद हो तो धारा प्रवाहित होती है।
इसे तार्किक वियोजन $p \lor q$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यदि सर्किट दो स्विचों का एक सरल समांतर संयोजन है, तो सरलतम रूप $p \lor q$ है।

(D) माना $S$ कथन $(p \lor \sim q) \to (p \land \sim q)$ है।
$A \to B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ होता है।
अतः, $S$ का प्रतिधनात्मक $\sim (p \land \sim q) \to \sim (p \lor \sim q)$ है।
डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करने पर, यह $(\sim p \lor q) \to (\sim p \land q)$ है।
एक निहितार्थ $P \to Q$ का निषेध $P \land \sim Q$ होता है।
यहाँ, $P = (\sim p \lor q)$ और $Q = (\sim p \land q)$ है।
निषेध $= (\sim p \lor q) \land \sim (\sim p \land q)$।
दूसरे भाग पर डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर: $\sim (\sim p \land q) = (p \lor \sim q)$।
इसलिए, निषेध $(\sim p \lor q) \land (p \lor \sim q)$ है।

(B) चरण $1$: दिए गए निहितार्थ का विश्लेषण करें। एक निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
चरण $2$: यहाँ, $A = [(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r]$ और $B = (p \land \sim q)$ है। चूँकि $B$ असत्य है, $(p \land \sim q)$ का मान $F$ है।
चरण $3$: चूँकि $A$ सत्य है, सभी घटक सत्य होने चाहिए: $(p \leftrightarrow q) = T$, $(q \to r) = T$, और $\sim r = T$। अतः $r = F$ है।
चरण $4$: चूँकि $(q \to r) = T$ और $r = F$ है, तो $q$ का मान $F$ होना चाहिए (क्योंकि $T \to F$ असत्य होता है)।
चरण $5$: चूँकि $(p \leftrightarrow q) = T$ और $q = F$ है, तो $p$ का मान $F$ होना चाहिए।
चरण $6$: पहले प्रतिरूप का मूल्यांकन करें: $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r) = (F \to F) \leftrightarrow (F \to F) = T \leftrightarrow T = T$।
चरण $7$: दूसरे प्रतिरूप का मूल्यांकन करें: $\sim (p \lor r) \to (q \land p) = \sim (F \lor F) \to (F \land F) = \sim F \to F = T \to F = F$।
चरण $8$: सत्य मान $(T, F)$ हैं।

(C) $1$. प्रतिबन्ध $p \to (q \lor \sim r)$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ सत्य $(T)$ हो और $(q \lor \sim r)$ असत्य $(F)$ हो।
$2$. $(q \lor \sim r)$ के असत्य होने के लिए, $q$ का $F$ होना और $\sim r$ का $F$ होना आवश्यक है। अतः $q = F$ और $r = T$ है।
$3$. हमारे पास $p = T$, $q = F$, और $r = T$ हैं।
$4$. $(p \leftrightarrow q) \land r$ का मान ज्ञात करें: $(T \leftrightarrow F) \land T = F \land T = F$।
$5$. $\sim p \to \sim q$ का मान ज्ञात करें: $\sim T \to \sim F = F \to T = T$।
$6$. सत्य मान $F, T$ हैं।

(C) मान लीजिए $V$ कथन 'वोल्टेज बढ़ता है' है और $C$ कथन 'धारा घटती है' है।
$p: V \implies C$
$q: \neg V \implies \neg C$
$r: C \implies V$
$s: \neg C \implies \neg V$
$1$. एक सशर्त कथन $A \implies B$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ होता है, और वे तार्किक रूप से समतुल्य होते हैं।
$2$. $p: V \implies C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $\neg C \implies \neg V$ है, जो $s$ है। अतः, $p$ और $s$ समतुल्य हैं।
$3$. $q: \neg V \implies \neg C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $\neg(\neg C) \implies \neg(\neg V)$ है, जो सरल होकर $C \implies V$ बनता है, जो $r$ है। अतः, $q$ और $r$ समतुल्य हैं।
इसलिए, समान अर्थ वाले युग्म $(p, s)$ और $(q, r)$ हैं।

(B) माना $A = (p \land q)$ और $B = (\sim p \lor r)$ है।
दिया गया कथन पैटर्न $(A \to B) \lor (B \to A)$ है।
हम जानते हैं कि $(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$ और $(B \to A) \equiv (\sim B \lor A)$ होता है।
अतः, व्यंजक $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ बन जाता है।
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों द्वारा, यह $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ के समतुल्य है।
चूँकि $(\sim A \lor A) \equiv T$ (पुनरुक्ति) और $(\sim B \lor B) \equiv T$ होता है, व्यंजक $T \lor T$ बन जाता है, जो $T$ है।
इसलिए, कथन पैटर्न एक पुनरुक्ति है।

(A) माना दिया गया कथन $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ है।
निहितार्थ नियम $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर, $S \equiv \sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ प्राप्त होता है।
$S$ का निषेध $\sim S = \sim [\sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)]$ है।
डी मॉर्गन नियम $\sim (A \lor B) = \sim A \land \sim B$ का उपयोग करने पर, $\sim S = (p \land q) \land \sim (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ प्राप्त होता है।
पुनः डी मॉर्गन नियम लागू करने पर, $\sim S = (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(p \land q) \land q = p \land q$, इसलिए $\sim S = (p \land q) \land (p \lor r) = q \land (p \land (p \lor r))$ है।
अवशोषण नियम (absorption law) द्वारा, $p \land (p \lor r) = p$, अतः $\sim S = q \land p = p \land q$ है।

(C) चरण $1$: $S_1$ का विश्लेषण करें। $n=1$ के लिए, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, जो $4$ से विभाज्य है। अतः, $S_1$ सत्य है।
चरण $2$: $S_2$ का विश्लेषण करें। $x=1$ के लिए, $1-17 = -16 < 20$। अतः, $S_2$ सत्य है।
चरण $3$: $S_3$ का विश्लेषण करें। समीकरण $x^2+3x-10=0$ का गुणनखंड $(x+5)(x-2)=0$ है, जिससे $x=-5$ या $x=2$ प्राप्त होता है। यह सभी $n \in N$ के लिए सत्य नहीं है। अतः, $S_3$ असत्य है।
चरण $4$: $S_4$ का विश्लेषण करें। सभी $n \in N$ (जहाँ $N = \{1, 2, 3, ...\}$) के लिए, $n \geq 1$, इसलिए $n^2 \geq 1$। अतः, $S_4$ सत्य है।
चरण $5$: निष्कर्ष। केवल $S_3$ असत्य है।

(D) चरण $1$: दिया गया कथन $p \lor q$ है। एक कथन $p \to q$ का विलोम $q \to p$ होता है। तर्कशास्त्र के प्रश्नों के संदर्भ में, $p \lor q$ का विलोम $p \to q$ के विलोम के रूप में लिया जाता है, जो $q \to p$ है।
चरण $2$: निहितार्थ $q \to p$ का निषेध $\sim(q \to p)$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $3$: तार्किक तुल्यता $\sim(q \to p) \equiv q \land \sim p$ का उपयोग करते हुए।
चरण $4$: अतः, निषेध $q \land \sim p$ है, जो $\sim p \land q$ के समतुल्य है।

(D) एक सशर्त कथन $P \to Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ होता है।
यहाँ, $P = [p \lor (p \to q)]$ और $Q = (p \land \sim q)$ है।
सबसे पहले, $\sim Q$ ज्ञात करें: $\sim (p \land \sim q) = \sim p \lor \sim (\sim q) = \sim p \lor q$।
अगला, $\sim P$ ज्ञात करें: $\sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q) = \sim p \land \sim (\sim p \lor q) = \sim p \land (p \land \sim q)$।
अतः, प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ का मान $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर, विकल्प $(D)$ सही रूप है।

(D) चरण $1$: $(I)$ का विश्लेषण करें। नियम $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$ का उपयोग करते हुए। अतः, $(I)$ सही है।
चरण $2$: $(II)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। यह $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ के तुल्य नहीं है। अतः, $(II)$ गलत है।
चरण $3$: $(III)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \to r) \land (q \to r)$। यह $(p \to r) \land (\sim q \to r)$ के तुल्य नहीं है। अतः, $(III)$ गलत है।
चरण $4$: $(IV)$ का विश्लेषण करें। $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor \sim q \lor r$। साथ ही, $q \to (p \to r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv \sim q \lor \sim p \lor r$। दोनों तुल्य हैं। अतः, $(IV)$ सही है।
निष्कर्ष: $(I)$ और $(IV)$ सही हैं।

(C) माना $S_1, S_2, S_3$ स्विच हैं। परिपथ तीन समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$: $S_1$ और $S_2$ श्रेणीक्रम में, जिसे $S_1 \land S_2$ द्वारा दर्शाया गया है।
शाखा $2$: $S_1'$ और $S_2$ श्रेणीक्रम में, जिसे $S_1' \land S_2$ द्वारा दर्शाया गया है।
शाखा $3$: $S_3$ और $S_2'$ श्रेणीक्रम में, जिसे $S_3 \land S_2'$ द्वारा दर्शाया गया है।
कुल परिपथ इन शाखाओं का समानांतर संयोजन है:
$L = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
प्रथम दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$L = ((S_1 \lor S_1') \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
चूंकि $S_1 \lor S_1' = T$ (एक पुनरुक्ति, हमेशा बंद):
$L = (T \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
$L = S_2 \lor (S_3 \land S_2')$
पुनः वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$L = (S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$
चूंकि $S_2 \lor S_2' = T$:
$L = S_2 \lor S_3$
इस सरलीकृत परिपथ के लिए $2$ स्विच ($S_2$ और $S_3$) की आवश्यकता है।

(C) चरण $1$: दिए गए कथन पैटर्न $( \sim p \land q) \lor ( \sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ को सरल करें।
चरण $2$: पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करें: $( \sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$।
चरण $3$: चूंकि $(q \lor \sim q) \equiv T$, व्यंजक $( \sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ बन जाता है।
चरण $4$: वितरण नियम को फिर से लागू करें: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$।
चरण $5$: दिया गया है कि सत्य मान $F$ है, अतः $\sim p \lor \sim q \equiv F$। इसका अर्थ है $\sim p \equiv F$ (इसलिए $p \equiv T$) और $\sim q \equiv F$ (इसलिए $q \equiv T$)।
चरण $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor \sim T) \equiv (T \lor F) \equiv T$ का मूल्यांकन करें।
चरण $7$: $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ का मूल्यांकन करें।
चरण $8$: सत्य मान $T, T$ हैं।

(C) मान लीजिए $1$ चालू स्थिति को दर्शाता है और $0$ बंद स्थिति को दर्शाता है।
मान लीजिए $S_1$ और $S_2$ स्विच की स्थितियाँ हैं।
$S'_1$ और $S'_2$ क्रमशः $S_1$ और $S_2$ के पूरक हैं।
सर्किट को बूलियन व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
यह व्यंजक $XNOR$ गेट ऑपरेशन के बराबर है, जो केवल तब $1$ (प्रकाशित) आउटपुट देता है जब दोनों इनपुट समान हों।
इसलिए, कमरा तब प्रकाशित होता है जब $S_1 = S_2$ हो, जिसका अर्थ है कि दोनों चालू हैं या दोनों बंद हैं।

(A) चरण $1$: एक पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है।
चरण $2$: विकल्प $(A)$ का विश्लेषण करें: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
चरण $3$: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$ के लिए सत्यता सारणी बनाएं:
- यदि $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
- यदि $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
- यदि $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
- यदि $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
चरण $4$: चूंकि सभी सत्य मान $T$ हैं, इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(A) माना दिया गया व्यंजक $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ है।
साहचर्य नियम का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $S = (p \lor q) \land \sim q \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$.
सबसे पहले, $(p \lor q) \land \sim q$ का मूल्यांकन करें। वितरण नियम द्वारा, यह $(p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)$ है। चूँकि $(q \land \sim q) = F$ (एक व्याघात) है, यह सरल होकर $(p \land \sim q) \lor F = (p \land \sim q)$ हो जाता है।
अब इसे $S$ में वापस प्रतिस्थापित करें: $S = (p \land \sim q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$.
माना $A = (p \land \sim q)$ है। तब $S = A \land [(\sim p \land q) \lor A]$ होगा।
अवशोषण नियम के अनुसार, $A \land (B \lor A) = A$ होता है।
अतः, $S = A = (p \land \sim q)$।

(C) मान लीजिए $S_1$ और $S_2$ दो स्विच हैं जो समानांतर (parallel) में जुड़े हैं। लैंप $L$ तब जलेगा जब या तो $S_1$ बंद हो या $S_2$ बंद हो।
बूलियन बीजगणित में, इसे $S_1 \lor S_2$ ($OR$ गेट लॉजिक) के रूप में दर्शाया जाता है।
$OR$ ऑपरेशन के लिए परिपथ आरेख में समानांतर में जुड़े दो स्विच होते हैं।
विकल्पों को देखने पर:
$(A)$ एक एकल स्विच $S_1$ को दर्शाता है।
$(B)$ एक एकल स्विच $S_2$ को दर्शाता है।
$(C)$ समानांतर में जुड़े दो स्विच $S_1$ और $S_2$ को दर्शाता है।
$(D)$ श्रेणीक्रम (series) में जुड़े दो स्विच $S_1$ और $S_2$ को दर्शाता है।
अतः, समानांतर संयोजन को दर्शाने वाला परिपथ $(C)$ है।

(C) $1$. प्रतिबन्ध $\sim p \to q$ केवल तब असत्य होता है जब $\sim p$ का मान $T$ हो और $q$ का मान $F$ हो।
$2$. चूँकि $\sim p = T$ है, इसलिए $p = F$ होगा।
$3$. द्वि-प्रतिबन्ध $q \leftrightarrow r$ तब असत्य होता है जब $q$ और $r$ के सत्य मान भिन्न हों।
$4$. हम जानते हैं कि $q = F$ है, इसलिए $q \leftrightarrow r$ को असत्य होने के लिए $r$ का मान $T$ होना चाहिए।
$5$. अतः, सत्य मान $p = F$, $q = F$, और $r = T$ हैं।

(C) दिए गए सत्य मान: $p = T$, $q = F$, $r = T$।
$(A)$ $[q \land (p \to q)] \to p = [F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$।
$(B)$ $(p \land q) \to (q \lor \sim p) = (T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$।
$(C)$ $[(\sim p \lor q) \land \sim r] \leftrightarrow p = [(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$।
$(D)$ $(p \land q) \lor (\sim q \lor r) = (T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$।
चूँकि विकल्प $(C)$ का परिणाम $F$ है, यह एक सत्य कथन नहीं है।

(C) चरण $1$: निहितार्थ $A \to B$ के असत्य होने के लिए, $A$ का सत्य होना और $B$ का असत्य होना आवश्यक है।
चरण $2$: $B = (p \land q)$ असत्य है, इसलिए $p$ या $q$ में से कम से कम एक असत्य है।
चरण $3$: $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ सत्य है। इसका अर्थ है $(p \lor q)$ सत्य है, $(q \to r)$ सत्य है, और $(\sim r)$ सत्य है।
चरण $4$: चूँकि $(\sim r)$ सत्य है, $r$ असत्य है। चूँकि $(q \to r)$ सत्य है और $r$ असत्य है, इसलिए $q$ का असत्य होना आवश्यक है।
चरण $5$: चूँकि $(p \lor q)$ सत्य है और $q$ असत्य है, इसलिए $p$ का सत्य होना आवश्यक है।
चरण $6$: अतः, $p = T, q = F, r = F$ है।
चरण $7$: विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (सत्य कथन)।
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (सत्य कथन)।
$(C)$ $(\sim q) \to p = T \to T = T$ (असत्य कथन, क्योंकि यह सत्य है)।
$(D)$ $(\sim p) \land r = F \land F = F$ (सत्य कथन)।
चरण $8$: विकल्प $(C)$ वह है जो सत्य नहीं है।

(B) चरण $1$: दिया गया कथन $S = \sim p \lor q$ है।
चरण $2$: कथन $p \implies q$ का प्रतिलोम $\sim p \implies \sim q$ होता है, जो $\sim(\sim p) \lor \sim q = p \lor \sim q$ के बराबर है।
चरण $3$: इस प्रतिलोम का निषेध $\sim(p \lor \sim q)$ है।
चरण $4$: डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए, $\sim(p \lor \sim q) = \sim p \land \sim(\sim q) = \sim p \land q$ है। अतः सही विकल्प $B$ है।

(B) चरण $1$: कथन $I$ का विश्लेषण करें। मान लें $P$ है '$1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है' (सत्य) और $Q$ है '$2$ एक अभाज्य संख्या नहीं है' (असत्य)। निहितार्थ $P \implies Q$ का मान $T \implies F$ है, जो असत्य है।
चरण $2$: कथन $II$ का विश्लेषण करें। '$e$ एक स्वर है' सत्य है और '$12 \times 3 = 36$' सत्य है। चूँकि दोनों सत्य हैं, इसलिए संयोजन सत्य है।
चरण $3$: कथन $III$ का विश्लेषण करें। मान लें $P$ है '$14$ एक भाज्य संख्या है' (सत्य) और $Q$ है '$3$ एक सम संख्या है' (असत्य)। संयोजन $P \land Q$ असत्य है। कथन 'यह सत्य नहीं है कि $P \land Q$' का मान $\neg(F)$ है, जो सत्य है।
चरण $4$: कथन $IV$ का विश्लेषण करें। '$\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है' सत्य है। '$3 + \sqrt{5}$ एक सम्मिश्र संख्या है' सत्य है (क्योंकि सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र होती हैं)। चूँकि दोनों सत्य हैं, इसलिए कथन सत्य है।
चरण $5$: निष्कर्ष। केवल कथन $I$ सत्य नहीं है। अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) $1$. $p$ का मूल्यांकन करें: $3^4 = 81$ और $4^3 = 64$, इसलिए $3^4 > 4^3$ सत्य है। $3^3 = 27$ और $4^4 = 256$, इसलिए $3^3 > 4^4$ असत्य है। निहितार्थ $T \implies F$ असत्य है। अतः, $p$ का मान $F$ है।
$2$. $q$ का मूल्यांकन करें: $x^2 - 2x + 2 = 0$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ है। मूल सम्मिश्र हैं, वास्तविक नहीं। अतः, पहला भाग $F$ है। 'मुंबई महाराष्ट्र में है' $T$ है। द्वि-प्रतिबंध $F \iff T$ असत्य है। अतः, $q$ का मान $F$ है।
$3$. $r$ का मूल्यांकन करें: $r$ का अर्थ $p \lor \neg q$ है। चूँकि $p$ का मान $F$ है और $\neg q$ का मान $T$ है $(F \lor T)$, इसलिए $r$ का मान $T$ है।
$4$. विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$
अतः, विकल्प $(D)$ सत्य है।

(D) दिया गया है $f(x) = 3x^3 + 4e^x$ और $g(x) = f^{-1}(x)$।
हम जानते हैं कि $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ जहाँ $y = f(x)$ है।
सबसे पहले, $x$ का मान ज्ञात करें ताकि $f(x) = 4$ हो: $3x^3 + 4e^x = 4$। निरीक्षण द्वारा, $x = 0$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है क्योंकि $3(0)^3 + 4e^0 = 0 + 4(1) = 4$ है।
अब, $f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 + 4e^x) = 9x^2 + 4e^x$ ज्ञात करें।
$x = 0$ पर, $f'(0) = 9(0)^2 + 4e^0 = 0 + 4 = 4$ है।
अतः, $g'(4) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{4}$ है।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ और $g(x)$ प्रतिलोम फलन हैं, इसलिए $f(g(x)) = x$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$।
अतः, $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$।
चूंकि $f(x) = x + e^x$, इसका अवकलज $f'(x) = 1 + e^x$ है।
$f'(x)$ में $g(x)$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $f'(g(x)) = 1 + e^{g(x)}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, $g'(x) = \frac{1}{1 + e^{g(x)}}$।

(C) माना $y = \tan^{-1}(a + bx)$ है।
श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, $x$ के सापेक्ष अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (a + bx)^2} \cdot \frac{d}{dx}(a + bx) = \frac{b}{1 + (a + bx)^2}$।
दिया गया है कि $x = 0$ पर, $\frac{dy}{dx} = 1$:
$\frac{b}{1 + (a + 0)^2} = 1 \implies \frac{b}{1 + a^2} = 1 \implies b = 1 + a^2$।
हमें $a^6 - b^3$ का मान ज्ञात करना है। $b = 1 + a^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a^6 - (1 + a^2)^3 = a^6 - (1^3 + 3(1)^2(a^2) + 3(1)(a^2)^2 + (a^2)^3)$।
$a^6 - (1 + 3a^2 + 3a^4 + a^6) = -1 - 3a^2 - 3a^4$।
यदि $a=0$ रखा जाए, तो $b=1$ प्राप्त होता है, जिससे $a^6 - b^3 = -1$ प्राप्त होता है। विकल्प $C$ में $a=0$ रखने पर $-1$ प्राप्त होता है। अतः, $C$ सही विकल्प है।

(B) माना $y = \sin^2 \{ \cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \}$ है।
माना $x = \cos \theta$, तब $\theta = \cos^{-1} x$ है।
$\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$ है।
अतः, $\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \cot^{-1}(\tan(\theta/2)) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर, $y = \sin^2(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}) = \cos^2(\theta/2) = \frac{1+\cos \theta}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x = \cos \theta$ है, इसलिए $y = \frac{1+x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$ है।
अब, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} + \frac{x}{2}) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(C) दिया गया है $y = \cos^{-1}(\sin x)$।
हम जानते हैं कि $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$।
अतः, $y = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x))$।
चूँकि $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})$।
चूँकि $0 < x - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2}$, व्यंजक $y = \cos^{-1}(\cos(x - \frac{\pi}{2})) = x - \frac{\pi}{2}$ बन जाता है।
इसलिए, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x - \frac{\pi}{2}) = 1$।

(A) माना $u = 2^x$ है। तब $4^x = (2^x)^2 = u^2$ होगा।
व्यंजक $y = \cos^{-1} \left( \frac{1-u^2}{1+u^2} \right)$ हो जाता है।
$u = \tan \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $y = \cos^{-1} \left( \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} \right) = \cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1} u = 2 \tan^{-1} (2^x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(2^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2^x) = \frac{2}{1+4^x} \cdot 2^x \log 2$।
$x = 1$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cdot 2^1 \log 2}{1+4^1} = \frac{4 \log 2}{5}$।

(C) माना $x = \tan \theta$। $0 < a < \frac{1}{2}$ के लिए, $x = \tan \theta$ जहाँ $\theta \in (0, \pi/6)$ है।
$f(x) = \cot^{-1}(\tan 3\theta) = \cot^{-1}(\cot(\pi/2 - 3\theta)) = \pi/2 - 3\theta = \pi/2 - 3\tan^{-1} x$।
$g(x) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1} x$।
अब, $\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{(\pi/2 - 3\tan^{-1} x) - (\pi/2 - 3\tan^{-1} a)}{(2\tan^{-1} x) - (2\tan^{-1} a)} = \frac{-3(\tan^{-1} x - \tan^{-1} a)}{2(\tan^{-1} x - \tan^{-1} a)}$।
$x \to a$ सीमा लेने पर, हमें $\frac{-3}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $y = \cot^{-1} \left( \frac{1 + \sin 5x}{\cos 5x} \right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$ और $\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = \cot^{-1} \left( \frac{(\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2})^2}{(\cos \frac{5x}{2} - \sin \frac{5x}{2})(\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2})} \right)$
$y = \cot^{-1} \left( \frac{\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2}}{\cos \frac{5x}{2} - \sin \frac{5x}{2}} \right)$
अंश और हर को $\cos \frac{5x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$y = \cot^{-1} \left( \frac{1 + \tan \frac{5x}{2}}{1 - \tan \frac{5x}{2}} \right) = \cot^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{5x}{2} \right) \right)$
चूँकि $\cot^{-1}(\tan \theta) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - \theta))$, हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \frac{5x}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{5x}{2}$
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{\pi}{4} - \frac{5x}{2}) = -\frac{5}{2}$।

(A) माना $x = 5 \tan \theta$, तब $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{x}{5} \right)$।
व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $y = \sin^{-1} \left( \frac{25 - 25 \tan^2 \theta}{25 + 25 \tan^2 \theta} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = \sin^{-1} (\cos 2\theta)$।
सर्वसमिका $\cos 2\theta = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right)$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $y = \sin^{-1} \left( \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right) \right) = \frac{\pi}{2} - 2\theta$।
$\theta$ का मान वापस रखने पर: $y = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1} \left( \frac{x}{5} \right)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y' = 0 - 2 \cdot \frac{1}{1 + (x/5)^2} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{1 + x^2/25} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{25 + x^2} = -\frac{10}{25 + x^2}$।
$x = 1$ पर: $y'(1) = -\frac{10}{25 + 1^2} = -\frac{10}{26} = -\frac{5}{13}$।

(D) माना $x = \cos \theta$, तब $\theta = \cos^{-1} x$ है।
$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$ है।
अब, $\cot^{-1}(\tan(\theta/2)) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$ है।
इसे $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \cos^2(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}) = \sin^2(\theta/2)$ है।
सर्वसमिका $\sin^2(\theta/2) = \frac{1-\cos \theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{1-x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{x}{2}$ है।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$ है।

(B) माना $u = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{x} \right)$ है। $x = \tan \theta$ रखने पर, $\theta = \tan^{-1} x$ होगा।
$u = \tan^{-1} \left( \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$ है।
अतः, $\frac{du}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)}$ है।
माना $v = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ है। $|x| \le 1$ के लिए, $v = 2 \tan^{-1} x$ है।
अतः, $\frac{dv}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$ है।
$v$ के सापेक्ष $u$ का अवकलज $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{1/(2(1+x^2))}{2/(1+x^2)} = \frac{1}{4}$ है।

(B) दिया है $\cot[f(x)] = \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} = \tan(3\theta)$ जहाँ $x = \tan \theta$ है। अतः, $f(x) = \text{arccot}(\tan(3\theta)) = \frac{\pi}{2} - 3\arctan(x)$।
तब $f'(x) = -\frac{3}{1+x^2}$।
दिया है $\sin[g(x)] = \frac{1 - x^2}{1 + x^2} = \cos(2\theta)$ जहाँ $x = \tan \theta$ है। अतः, $g(x) = \arcsin(\cos(2\theta)) = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 2\theta)) = \frac{\pi}{2} - 2\arctan(x)$।
तब $g'(x) = -\frac{2}{1+x^2}$।
एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करते हुए, $\lim_{x \to t} \frac{f(x) - f(t)}{g(x) - g(t)} = \frac{f'(t)}{g'(t)} = \frac{-3/(1+t^2)}{-2/(1+t^2)} = \frac{3}{2}$।

(B) माना $u = \log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ और $v = \log_x 10 = \frac{\ln 10}{\ln x}$ है।
हमें $\frac{du}{dv}$ ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $v = \frac{1}{u}$ है।
अतः, $\frac{dv}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$ होगा।
इसलिए, $\frac{du}{dv} = \frac{1}{dv/du} = -u^2$ होगा।
चूंकि $u = \log_{10} x$ है, इसलिए $\frac{du}{dv} = -(\log_{10} x)^2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = (x+1)(2x+1)(3x+1) \dots (nx+1)$ है। तब $y = [f(x)]^4$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर, $\frac{dy}{dx} = 4[f(x)]^3 \cdot f'(x)$ है।
$x = 0$ पर, $f(0) = (1)(1)(1) \dots (1) = 1$ है।
$f'(0)$ ज्ञात करने के लिए, हम लघुगणकीय अवकलन (logarithmic differentiation) का उपयोग करते हैं: $\ln f(x) = \sum_{i=1}^{n} \ln(ix+1)$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{ix+1}$।
$x = 0$ पर, $\frac{f'(0)}{f(0)} = \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
चूँकि $f(0) = 1$ है, इसलिए $f'(0) = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
अब, $\frac{dy}{dx} \big|_{x=0} = 4[f(0)]^3 \cdot f'(0) = 4(1)^3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 2n(n+1)$ है।
दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} \big|_{x=0} = 2k$, अतः $2k = 2n(n+1)$, जिससे $k = n(n+1)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $y = (x^2 + 1)^{\sin x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = \sin x \cdot \ln(x^2 + 1)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(x^2 + 1) + \sin x \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x$।
अतः, $\frac{dy}{dx} = y [\frac{2x \sin x}{x^2 + 1} + \cos x \cdot \ln(x^2 + 1)]$।
इसे दिए गए रूप $\frac{dy}{dx} = y [\frac{2x \sin x}{g(x)} + \cos x \cdot \log(g(x))]$ से तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $g(x) = x^2 + 1$।
हमें फलन $f(x) = \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{x^2 + 1}$ का विश्लेषण करना है।
$x > 0$ के लिए, जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है, $x^2 + 1$ बढ़ता है।
चूंकि $x^2 + 1$ हर में है और हमेशा धनात्मक है, इसलिए जैसे-जैसे $x^2 + 1$ बढ़ता है, $\frac{1}{x^2 + 1}$ घटता है।
विशेष रूप से, $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$। चूंकि $x > 0$, इसलिए $f'(x) < 0$।
अतः, फलन निरंतर ह्रासमान है।

(A) दिया है $x = \sin(t)$, अतः $\frac{dx}{dt} = \cos(t)$।
दिया है $y = \cos(pt)$, अतः $\frac{dy}{dt} = -p \sin(pt)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-p \sin(pt)}{\cos(t)}$।
चूँकि $\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - x^2}$, हमारे पास $\frac{dy}{dx} = \frac{-p \sin(pt)}{\sqrt{1 - x^2}}$ है।
अतः, $\sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = -p \sin(pt)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} \right) = -p^2 \cos(pt) \frac{dt}{dx}$।
चूँकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos(t)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \frac{dy}{dx} = -p^2 \frac{\cos(pt)}{\sqrt{1 - x^2}}$।
पूरे समीकरण को $\sqrt{1 - x^2}$ से गुणा करने पर:
$(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = -p^2 \cos(pt) = -p^2 y$।

(D) दिया गया है $x = at^2 - 1$ और $y = t^3 + 1$।
सबसे पहले, $t$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dx}{dt} = 2at$ और $\frac{dy}{dt} = 3t^2$।
तब, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3t^2}{2at} = \frac{3t}{2a}$।
अब, द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{3t}{2a}) = \frac{d}{dt}(\frac{3t}{2a}) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{3}{2a} \cdot \frac{1}{2at} = \frac{3}{4a^2t}$ ज्ञात करें।
$t = 1$ पर, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4a^2(1)} = \frac{3}{4a^2}$।
दिया गया है $\frac{3}{4a^2} = \frac{3}{16}$, जिससे $4a^2 = 16$ प्राप्त होता है, अतः $a^2 = 4$।
चूँकि $a > 0$, इसलिए $a = 2$।

(C) दिया गया है $x = a \sin^3 t$ और $y = a \cos^3 t$।
$\frac{dx}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-3a \cos^2 t \sin t}{3a \sin^2 t \cos t} = -\cot t$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot t) = \frac{d}{dt}(-\cot t) \cdot \frac{dt}{dx} = \csc^2 t \cdot \frac{1}{3a \sin^2 t \cos t}$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3a \sin^4 t \cos t} = \frac{\sec t \csc^4 t}{3a}$।
$t = \frac{\pi}{3}$ पर, $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos t = \frac{1}{2}$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3a (\sqrt{3}/2)^4 (1/2)} = \frac{1}{3a (9/16) (1/2)} = \frac{1}{27a/32} = \frac{32}{27a}$।

(D) दिया गया है $x = 4t^3 + 3$ और $y = 3t^4 + 4$।
$\frac{dx}{dt} = 12t^2$ और $\frac{dy}{dt} = 12t^3$।
$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt} = \frac{12t^2}{12t^3} = \frac{1}{t} = t^{-1}$।
अब, $\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy}) = \frac{d}{dt}(\frac{dx}{dy}) \cdot \frac{dt}{dy}$।
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dt}(t^{-1}) \cdot \frac{1}{12t^3} = (-t^{-2}) \cdot \frac{1}{12t^3} = -\frac{1}{12t^5}$।
दिया है $\frac{d^2x}{dy^2} = (\frac{dx}{dy})^n$, अतः $-\frac{1}{12t^5} = (t^{-1})^n = t^{-n}$।
समीकरण $-\frac{1}{12} (t^{-1})^5 = (\frac{dx}{dy})^5$ से तुलना करने पर, $n = 5$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y = \sqrt{\tan x + y}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $y^2 = \tan x + y$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2y \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर, $(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \sec^2 x$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2 x}{2y - 1}$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर, $\tan x = 1$। समीकरण $y^2 - y - \tan x = 0$ में मान रखने पर, $y^2 - y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करके $y$ का मान निकालने पर, $y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$। चूँकि $y > 0$, इसलिए $y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$।
तब $2y - 1 = 2(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) - 1 = \sqrt{5}$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर, $\sec^2 x = (\sqrt{2})^2 = 2$।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{5}}$।
इसलिए, $(\frac{dy}{dx})^2 = (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{4}{5}$।

(A) दिया गया है $x^3 + y^3 = 6$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{y^2}$।
अब, $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y^2(2x) - x^2(2y \frac{dy}{dx})}{y^4} = -\frac{2xy^2 - 2x^2y(-\frac{x^2}{y^2})}{y^4} = -\frac{2xy^3 + 2x^4}{y^5} = -\frac{2x(y^3 + x^3)}{y^5}$।
चूँकि $x^3 + y^3 = 6$, इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{12x}{y^5}$।
इसी प्रकार, समरूपता से, $\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{12y}{x^5}$।
इनका गुणा करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} \cdot \frac{d^2x}{dy^2} = (-\frac{12x}{y^5})(-\frac{12y}{x^5}) = \frac{144}{x^4 y^4} = \frac{144}{(xy)^4}$।
$\frac{m}{(xy)^n}$ से तुलना करने पर, हमें $m = 144$ और $n = 4$ प्राप्त होता है।
अतः, $\frac{m}{n} = \frac{144}{4} = 36$।

(A) दिया गया है $\sqrt{y + x} + \sqrt{y - x} = c$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(y + x) + (y - x) + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2 \implies 2y + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2 \implies \sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$।
पुनः वर्ग करने पर: $y^2 - x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y + y^2 \implies -x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y \implies c^2y = x^2 + \frac{c^4}{4}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $c^2 \frac{dy}{dx} = 2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{c^2}$।
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$ से, हमारे पास $\frac{c^2}{2} = y + \sqrt{y^2 - x^2}$ है।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2(y + \sqrt{y^2 - x^2})} = \frac{x}{y + \sqrt{y^2 - x^2}} = \frac{x}{y + y\sqrt{1 - (x/y)^2}} = \frac{x/y}{1 + \sqrt{1 - (x/y)^2}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x/y (1 - \sqrt{1 - (x/y)^2})}{1 - (1 - (x/y)^2)} = \frac{x/y (1 - \sqrt{1 - (x/y)^2})}{(x/y)^2} = \frac{1 - \sqrt{1 - (x/y)^2}}{x/y} = \frac{y}{x} - \sqrt{(y/x)^2 - 1}$।
$\frac{dy}{dx} = f(x) - \sqrt{[f(x)]^2 - 1}$ से तुलना करने पर, $f(x) = \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: $x = 0$ पर $y$ का मान ज्ञात करें। $e^y + xy = e$ में $x = 0$ रखने पर, $e^y + 0 = e$, अतः $y = 1$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $e^y + xy = e$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $e^y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$।
चरण $3$: $x = 0, y = 1$ को अवकलज में रखने पर: $e^1 \frac{dy}{dx} + 1 + 0 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$।
चरण $4$: $e^y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$ का पुनः अवकलन करने पर: $e^y (\frac{dy}{dx})^2 + e^y \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$।
चरण $5$: $x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ को द्वितीय अवकलज समीकरण में रखने पर: $e^1(-\frac{1}{e})^2 + e^1 \frac{d^2y}{dx^2} + 2(-\frac{1}{e}) + 0 = 0$।
चरण $6$: सरल करने पर: $\frac{1}{e} + e \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{e} = 0 \implies e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$।
चरण $7$: क्रमित युग्म $(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2})$ है।

(A) दिया गया है $y^m + y^{-m} = 2x$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$m y^{m-1} \frac{dy}{dx} - m y^{-m-1} \frac{dy}{dx} = 2$।
$\frac{dy}{dx} (m y^{m-1} - m y^{-m-1}) = 2$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{m(y^{m-1} - y^{-m-1})} = \frac{2y}{m(y^m - y^{-m})}$।
दिए गए समीकरण से, $(y^m - y^{-m})^2 = (y^m + y^{-m})^2 - 4 = (2x)^2 - 4 = 4(x^2 - 1)$।
अतः, $y^m - y^{-m} = 2\sqrt{x^2 - 1}$।
इसे अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{m(2\sqrt{x^2 - 1})} = \frac{y}{m\sqrt{x^2 - 1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{y^2}{m^2(x^2 - 1)}$।
इसलिए, $(x^2 - 1) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{y^2}{m^2}$।

(B) दिया गया समीकरण: $x e^{xy} = y + \sin^2 x$ है।
चरण $1$: $x = 0$ पर $y$ का मान ज्ञात करें।
समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $0 \cdot e^{0} = y + \sin^2(0) \implies 0 = y + 0 \implies y = 0$।
चरण $2$: गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d}{dx}(x e^{xy}) = \frac{d}{dx}(y + \sin^2 x)$
$e^{xy} + x \cdot e^{xy} \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + 2 \sin x \cos x$।
चरण $3$: अवकलित समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ रखें:
$e^{0} + 0 \cdot e^{0} \cdot (0 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + 2 \sin(0) \cos(0)$
$1 + 0 = \frac{dy}{dx} + 0$
$\frac{dy}{dx} = 1$।

(A) दिया गया है $y = \sqrt{p x^3 y}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $y^2 = p x^3 y$ प्राप्त होता है। चूँकि $y \neq 0$, हम $y$ से विभाजित कर सकते हैं जिससे $y = p x^3$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें $\frac{dy}{dx} = 3 p x^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि जब $y = 1$ है, तब $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}$ है। $y = p x^3$ से, जब $y = 1$, तो $1 = p x^3$, इसलिए $x^3 = \frac{1}{p}$, जिसका अर्थ है $x = p^{-1/3}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}$ और $x = p^{-1/3}$ को अवकलज समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{2} = 3 p (p^{-1/3})^2$
$\frac{3}{2} = 3 p (p^{-2/3})$
$\frac{3}{2} = 3 p^{1/3}$
$\frac{1}{2} = p^{1/3}$
$p = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$।
नोट: दिए गए विकल्पों में सही मान $\frac{1}{8}$ शामिल नहीं है। यदि हम प्रश्न में $y^2 = p x^3$ की त्रुटि मान लें, तो $p = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $3y^2 - 2xy - x = 0$ है।
सबसे पहले, $y = 2$ होने पर $x$ का मान ज्ञात करें: $3(2)^2 - 2x(2) - x = 0 \implies 12 - 4x - x = 0 \implies 12 = 5x \implies x = \frac{12}{5}$।
समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें: $\frac{d}{dx}(3y^2) - \frac{d}{dx}(2xy) - \frac{d}{dx}(x) = 0$।
$6y \frac{dy}{dx} - (2y + 2x \frac{dy}{dx}) - 1 = 0$।
$y = 2$ और $x = \frac{12}{5}$ प्रतिस्थापित करें: $6(2) \frac{dy}{dx} - 2(2) - 2(\frac{12}{5}) \frac{dy}{dx} - 1 = 0$।
$12 \frac{dy}{dx} - 4 - \frac{24}{5} \frac{dy}{dx} - 1 = 0$।
$(12 - \frac{24}{5}) \frac{dy}{dx} = 5$।
$(\frac{60 - 24}{5}) \frac{dy}{dx} = 5$।
$\frac{36}{5} \frac{dy}{dx} = 5$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{25}{36}$।

(C) दिया गया है $x^m + y^m = k$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$mx^{m-1} + my^{m-1} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{m-1}}{y^{m-1}}$।
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left[ \frac{(m-1)x^{m-2}y^{m-1} - x^{m-1}(m-1)y^{m-2} \frac{dy}{dx}}{(y^{m-1})^2} \right]$।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{m-1}}{y^{m-1}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left[ \frac{(m-1)x^{m-2}y^{m-1} - x^{m-1}(m-1)y^{m-2} (-\frac{x^{m-1}}{y^{m-1}})}{y^{2m-2}} \right] = -\frac{(m-1)x^{m-2}y^{2m-2} + (m-1)x^{2m-2}y^{m-2}}{y^{3m-3}}$।
यह सरल होकर $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(m-1)x^{m-2}y^{m-2}(y^m + x^m)}{y^{3m-3}} = -\frac{(m-1)x^{m-2}k}{y^{2m-1}}$ हो जाता है।
$\frac{ax^b}{y^c}$ से तुलना करने पर, $a = -k(m-1)$, $b = m-2$, $c = 2m-1$ प्राप्त होता है।
दिया है $a + b + c = 0$, अतः $-k(m-1) + (m-2) + (2m-1) = 0$।
$-k(m-1) + 3m - 3 = 0 \implies -k(m-1) + 3(m-1) = 0$।
चूंकि $m \neq 1$, $(m-1)$ से भाग देने पर $-k + 3 = 0$, अतः $k = 3$।

(D) दिया गया है $\sqrt{y + x} + \sqrt{y - x} = c$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y + x) + (y - x) + 2\sqrt{(y + x)(y - x)} = c^2$
$2y + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2$
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$
पुनः वर्ग करने पर:
$y^2 - x^2 = (\frac{c^2}{2} - y)^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y + y^2$
$-x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y$
$c^2y = x^2 + \frac{c^4}{4}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$c^2 \frac{dy}{dx} = 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{c^2}$
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$ से, $c^2 = 2(\sqrt{y^2 - x^2} + y)$।
$\frac{dy}{dx}$ में $c^2$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2(\sqrt{y^2 - x^2} + y)} = \frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2} + y}$
इसे परिमेयकरण करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(y - \sqrt{y^2 - x^2})}{y^2 - (y^2 - x^2)} = \frac{x(y - \sqrt{y^2 - x^2})}{x^2} = \frac{y - \sqrt{y^2 - x^2}}{x} = \frac{y}{x} - \sqrt{\frac{y^2}{x^2} - 1}$
$\frac{dy}{dx} = K - \sqrt{\frac{y^2}{x^2} - 1}$ से तुलना करने पर, $K = \frac{y}{x}$।

(B) दिया गया है: $\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = 6$।
$\sqrt{xy}$ से गुणा करने पर: $x + y = 6\sqrt{xy}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + y)^2 = 36xy$।
$x^2 + 2xy + y^2 = 36xy \implies x^2 - 34xy + y^2 = 0$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(x^2) - 34\frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$।
$2x - 34(y + x\frac{dy}{dx}) + 2y\frac{dy}{dx} = 0$।
$2$ से भाग देने पर: $x - 17y - 17x\frac{dy}{dx} + y\frac{dy}{dx} = 0$।
$x - 17y = \frac{dy}{dx}(17x - y)$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{x - 17y}{17x - y}$।

(B) दिया गया है $y = \sin(e^{\log 2x})$।
गुणधर्म $e^{\log_e f(x)} = f(x)$ का उपयोग करते हुए, हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$y = \sin(2x)$।
अब, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2\cos(2x)$।
अवकलज में $x = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\pi)$।
चूँकि $\cos(\pi) = -1$, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = 2(-1) = -2$।

(A) दिया गया है $y = (x + (x^2 + 1)^{1/2})^{1/2}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x + (x^2 + 1)^{1/2})^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x + (x^2 + 1)^{1/2})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \cdot (1 + \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \cdot (\frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{2y\sqrt{x^2 + 1}}$

(D) दिया गया है $\int f'(x) e^{x^2} dx = (x - 1) e^{x^2} + k$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) e^{x^2} = \frac{d}{dx} [(x - 1) e^{x^2}]$
$f'(x) e^{x^2} = (1) e^{x^2} + (x - 1) e^{x^2} (2x)$
$f'(x) e^{x^2} = e^{x^2} [1 + 2x^2 - 2x]$
$f'(x) = 2x^2 - 2x + 1$
$f'(x)$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = \int (2x^2 - 2x + 1) dx$
$f(x) = \frac{2x^3}{3} - x^2 + x + c$
अतः, विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया है $y = \sin(2 \sin^{-1} x)$।
माना $\sin^{-1} x = \theta$, तब $x = \sin \theta$।
अतः, $y = \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$।
चूंकि $\sin \theta = x$, इसलिए $\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$।
इस प्रकार, $y = 2x \sqrt{1 - x^2}$।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1 - x^2}) + \sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x) \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} + \sqrt{1 - x^2} \cdot 1 \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{-x^2 + (1 - x^2)}{\sqrt{1 - x^2}} \right] = 2 \left[ \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \right] = \frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$।

(A) माना $u = f(\sin x)$ और $v = g(\sec x)$ है। हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ ज्ञात करना है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{du}{dx} = f'(\sin x) \cdot \cos x$ और $\frac{dv}{dx} = g'(\sec x) \cdot \sec x \tan x$ है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर, $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sec x = \sqrt{2}$, और $\tan x = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{du}{dx} = f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$।
$\frac{dv}{dx} = g'(\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$।
अतः, $\frac{du}{dv} = \frac{3/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2}$।

(B) $1$. $[1, 3]$ पर रोले प्रमेय के लिए, $f(1) = f(3)$ होना चाहिए।
$f(1) = a + b + 5$ और $f(3) = 27a + 9b + 27$।
$f(1) = f(3) \implies 13a + 4b = -11$ (समीकरण $1$)।
$2$. रोले प्रमेय के अनुसार $f'(c) = 0$।
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 11$।
$f'(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 3a(2 + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + 11 = 0$।
इसे हल करने पर: $13a + 4b + 11 + \sqrt{3}(4a + \frac{2b}{3}) = 0$।
अतः $4a + \frac{2b}{3} = 0 \implies b = -6a$।
$3$. $b = -6a$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $13a + 4(-6a) = -11 \implies -11a = -11 \implies a = 1, b = -6$।

(C) मध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार, अंतराल $[1, 5]$ पर एक अवकलनीय फलन $f(x)$ के लिए, एक $c \in (1, 5)$ ऐसा विद्यमान है कि $\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c)$ है।
दिया गया है कि $f'(x) \le 5$, इसलिए $f'(c) \le 5$ है।
अतः, $\frac{f(5) - 4}{4} \le 5$ है।
$f(5) - 4 \le 20$ है।
$f(5) \le 24$ है।
$f(5)$ का अधिकतम मान $24$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \log(x^2 + a) - \log(x)$।
चूंकि रोले का प्रमेय लागू होता है, $f(3) = f(4)$।
$\log(9+a) - \log(3) = \log(16+a) - \log(4) \implies \frac{9+a}{3} = \frac{16+a}{4}$।
$36 + 4a = 48 + 3a \implies a = 12$।
अतः, $f(x) = \log(x^2 + 12) - \log(x)$।
$f'(x) = \frac{2x}{x^2+12} - \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - (x^2+12)}{x(x^2+12)} = \frac{x^2-12}{x(x^2+12)}$।
दिया है $f'(c) = 0$, इसलिए $c^2 - 12 = 0 \implies c^2 = 12$।
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2-12}{x^3+12x} \right) = \frac{(2x)(x^3+12x) - (x^2-12)(3x^2+12)}{(x^3+12x)^2}$।
$c^2=12$ प्रतिस्थापित करने पर: $f''(c) = \frac{(2c)(c^3+12c) - (0)(3c^2+12)}{(c^3+12c)^2} = \frac{2c^4+24c^2}{(c^3+12c)^2} = \frac{2(12)^2 + 24(12)}{(12c+12c)^2} = \frac{288+288}{(24c)^2} = \frac{576}{576c^2} = \frac{1}{c^2} = \frac{1}{12}$।

(A) चरण $1$: चूँकि $f(x)$, $[1, 3]$ पर रोले प्रमेय को संतुष्ट करता है, इसलिए $f(1) = f(3)$ होना चाहिए।
चरण $2$: $f(1) = a(1)^3 - b(1)^2 - 8(1) - 4 = a - b - 12$ की गणना करें।
चरण $3$: $f(3) = a(3)^3 - b(3)^2 - 8(3) - 4 = 27a - 9b - 28$ की गणना करें।
चरण $4$: $f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर, हमें $a - b - 12 = 27a - 9b - 28$ प्राप्त होता है, जो $26a - 8b = 16$ या $13a - 4b = 8$ (समीकरण $1$) में सरल हो जाता है।
चरण $5$: $f'(x) = 3ax^2 - 2bx - 8$ ज्ञात करें। दिया है $f'(2) = 0$, इसलिए $3a(2)^2 - 2b(2) - 8 = 0$, जो $12a - 4b = 8$ (समीकरण $2$) है।
चरण $6$: समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर: $(13a - 4b) - (12a - 4b) = 8 - 8$, जिससे $a = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $7$: $a = 0$ को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $12(0) - 4b = 8$, इसलिए $-4b = 8$, जिससे $b = -2$ प्राप्त होता है।
चरण $8$: अतः, $a - b = 0 - (-2) = 2$।

(D) $1$. रोले के प्रमेय के लिए $f(0) = f(\pi)$ आवश्यक है।
$2$. $f(0) = a(0)^2 + b(0) + \sin(0) = 0$।
$3$. $f(\pi) = a\pi^2 + b\pi + \sin(\pi) = a\pi^2 + b\pi = 0$। चूँकि $\pi \neq 0$, इसलिए $a\pi + b = 0$, अतः $b = -a\pi$।
$4$. स्पर्श रेखा की ढाल $f'(x) = 2ax + b + \cos x$ है।
$5$. दिया है $f'(\frac{\pi}{4}) = 0$, इसलिए $2a(\frac{\pi}{4}) + b + \cos(\frac{\pi}{4}) = 0$।
$6$. $\frac{a\pi}{2} + b + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$।
$7$. $b = -a\pi$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{a\pi}{2} - a\pi + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \implies -\frac{a\pi}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies a = \frac{2}{\pi\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$।
$8$. तब $b = -a\pi = -\frac{\sqrt{2}}{\pi} \cdot \pi = -\sqrt{2}$।
$9$. $a - b = \frac{\sqrt{2}}{\pi} - (-\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}\pi}{\pi} = \frac{\sqrt{2}(1 + \pi)}{\pi}$।

(C) चरण $1$: रोले प्रमेय की शर्तों की जाँच करें। $f(x)$ एक बहुपद है, इसलिए यह $[0, 1]$ पर संतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है।
चरण $2$: सीमा मानों की जाँच करें। $f(0) = 0^2(1-0)^2 = 0$ और $f(1) = 1^2(1-1)^2 = 0$। चूंकि $f(0) = f(1)$, रोले प्रमेय लागू होता है।
चरण $3$: $f'(x)$ ज्ञात करें। $f(x) = x^2(1 - 2x + x^2) = x^2 - 2x^3 + x^4$। अतः, $f'(x) = 2x - 6x^2 + 4x^3$।
चरण $4$: $f'(c) = 0$ को हल करें। $2c - 6c^2 + 4c^3 = 0 \implies 2c(1 - 3c + 2c^2) = 0$।
चरण $5$: द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें। $2c(1 - c)(1 - 2c) = 0$। मूल $c = 0, c = 1, c = \frac{1}{2}$ हैं।
चरण $6$: रोले प्रमेय के अनुसार $c \in (0, 1)$ होना चाहिए। अतः, $c = \frac{1}{2}$ सही मान है।

(C) माना $f(x) = (x - \alpha)(x - k)$ है। चूँकि $f(x)$ मोनिक है, $x^2$ का गुणांक $1$ है। अंतराल $[\alpha, \alpha + 3]$ पर रोले का प्रमेय बताता है कि $f(\alpha) = f(\alpha + 3) = 0$, इसलिए $k = \alpha + 3$। अतः $f(x) = (x - \alpha)(x - \alpha - 3)$ है।
$f(x)$ का शीर्ष $c$, $x = \frac{\alpha + (\alpha + 3)}{2} = \alpha + 1.5$ पर है।
चूँकि $g(x) = f(x) + 2$, इसलिए $g'(x) = f'(x)$, अतः $g(x)$ का शीर्ष भी $c = \alpha + 1.5$ है।
$g(x)$ के लिए $[\beta, 3]$ पर रोले का प्रमेय बताता है कि $g(\beta) = g(3) = 0$ है। चूँकि $g(x)$ एक परवलय है जिसका शीर्ष $x = c$ पर है, इसके मूल $c$ के सापेक्ष सममित हैं। अतः $\frac{\beta + 3}{2} = c = \alpha + 1.5$, जिससे $\beta + 3 = 2\alpha + 3$, अर्थात $\beta = 2\alpha$ प्राप्त होता है।
चूँकि $g(3) = 0$, इसलिए $f(3) + 2 = 0$, जिससे $f(3) = -2$। $f(x)$ में $x=3$ रखने पर: $(3 - \alpha)(3 - \alpha - 3) = -2 \implies (3 - \alpha)(-\alpha) = -2 \implies \alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$।
अब, $(f \circ g)(\alpha) = f(g(\alpha))$। चूँकि $g(x) = f(x) + 2$, $g(\alpha) = f(\alpha) + 2 = 0 + 2 = 2$।
अतः $(f \circ g)(\alpha) = f(2) = (2 - \alpha)(2 - \alpha - 3) = (2 - \alpha)(-1 - \alpha) = - (2 - \alpha)(1 + \alpha) = - (2 + 2\alpha - \alpha - \alpha^2) = - (2 + \alpha - \alpha^2)$।
चूँकि $\alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$, तो $\alpha^2 = 3\alpha + 2$। इसे प्रतिस्थापित करने पर: $-(2 + \alpha - (3\alpha + 2)) = -(-2\alpha) = 2\alpha$।
दी गई शर्तों के अनुसार, $\alpha = 1$ द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता है। तब $f(2) = (2-1)(2-1-3) = 1(-2) = -2$।

(B) दिया गया है $f(x) = (x^2 + 3x)e^{-\frac{1}{2}x}$।
गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात कीजिए:
$f'(x) = (2x + 3)e^{-\frac{1}{2}x} + (x^2 + 3x)e^{-\frac{1}{2}x} \cdot (-\frac{1}{2})$
$f'(x) = e^{-\frac{1}{2}x} [2x + 3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x]$
$f'(x) = e^{-\frac{1}{2}x} [-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3]$
$f'(c) = 0$ रखिए:
$-\frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}c + 3 = 0$
$-2$ से गुणा करने पर:
$c^2 - c - 6 = 0$
$(c - 3)(c + 2) = 0$
$c = 3$ या $c = -2$।
चूंकि $c$ को विवृत अंतराल $(-3, 0)$ में स्थित होना चाहिए, इसलिए हम $c = -2$ चुनते हैं।

(C) माना आयत की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ है।
आयत का परिमाप $2(l + b) = 64 \text{ m}$ है, इसलिए $l + b = 32 \text{ m}$, जिसका अर्थ है $b = 32 - l$।
क्षेत्रफल $A = l \times b = l(32 - l) = 32l - l^2$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम $A$ का $l$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dA}{dl} = 32 - 2l$।
$\frac{dA}{dl} = 0$ रखने पर, हमें $32 - 2l = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए $l = 16 \text{ m}$।
तब $b = 32 - 16 = 16 \text{ m}$।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 16 \times 16 = 256 \text{ m}^2$ है।

(D) चरण $1$: अवकलज $f'(x) = 6x^2 - 30x + 36$ ज्ञात कीजिए।
चरण $2$: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखिए: $6(x^2 - 5x + 6) = 0 \implies 6(x-2)(x-3) = 0$। अतः, $x = 2$ और $x = 3$ है।
चरण $3$: $x = 2$ पर स्थानीय उच्चतम मान की गणना कीजिए: $f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) + 40 = 16 - 60 + 72 + 40 = 68$।
चरण $4$: $x = 3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान की गणना कीजिए: $f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) + 40 = 54 - 135 + 108 + 40 = 67$।
चरण $5$: स्थानीय चरम मानों के बीच का अंतर $|68 - 67| = 1$ है।

(A) माना वर्ग के लिए टुकड़े की लंबाई $x$ है और वृत्त के लिए टुकड़े की लंबाई $40 - x$ है।
वर्ग की भुजा $s = \frac{x}{4}$ है। वर्ग का क्षेत्रफल $A_s = (\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{16}$ है।
वृत्त की परिधि $2\pi r = 40 - x$ है, इसलिए $r = \frac{40 - x}{2\pi}$ है। वृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi (\frac{40 - x}{2\pi})^2 = \frac{(40 - x)^2}{4\pi}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(40 - x)^2}{4\pi}$ है।
न्यूनतम करने के लिए, $A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(40 - x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{40 - x}{2\pi} = 0$ ज्ञात करें।
$\frac{x}{8} = \frac{40 - x}{2\pi} \implies \pi x = 160 - 4x \implies x(\pi + 4) = 160$ है।
$x = \frac{160}{\pi + 4}$ है।
दूसरा टुकड़ा $40 - \frac{160}{\pi + 4} = \frac{40\pi + 160 - 160}{\pi + 4} = \frac{40\pi}{\pi + 4}$ है।

(B) माना पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ है, जहाँ $r$ त्रिज्या है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{dS}{dt} = 4\pi \text{ cm}^2/\text{s}$।
जब $S = 16\pi \text{ cm}^2$ है, तो $4\pi r^2 = 16\pi$, जिसका अर्थ है $r^2 = 4$, अतः $r = 2 \text{ cm}$।
इन मानों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4\pi = 8\pi(2) \frac{dr}{dt}$।
$4\pi = 16\pi \frac{dr}{dt}$।
$\frac{dr}{dt} = \frac{4\pi}{16\pi} = 0.25 \text{ cm/s}$।

(D) शीर्षों $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $s = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष $A(a, 0)$, $B(0, b)$, और $C(x, x)$ हैं:
$s = \frac{1}{2} |a(b - x) + 0(x - 0) + x(0 - b)|$
$s = \frac{1}{2} |ab - ax - bx| = \frac{1}{2} |ab - x(a + b)|$।
चूंकि $s$ निरपेक्ष मान है, $s = \pm \frac{1}{2} (ab - x(a + b))$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{ds}{dx} = \pm \frac{1}{2} (-(a + b)) = \mp \frac{a + b}{2}$।
विकल्पों को देखते हुए, परिमाण $\frac{a + b}{2}$ है।

(B) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{dV}{dt} = -8 \text{ cm}^3/\text{s}$ (चूंकि आयतन घट रहा है) और $r = 2 \text{ cm}$।
मान रखने पर: $-8 = 4\pi(2)^2 \frac{dr}{dt}$।
$-8 = 16\pi \frac{dr}{dt}$।
$\frac{dr}{dt} = -\frac{8}{16\pi} = -\frac{1}{2\pi} \text{ cm/s}$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि त्रिज्या $\frac{1}{2\pi} \text{ cm/s}$ की दर से घट रही है।

(A) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $x$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{dx}{dt} = \sqrt{3} \text{ cm/sec}$ और $x = 12 \text{ cm}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} (12) (\sqrt{3}) = 6 \times 3 = 18 \text{ cm}^2/\text{sec}$।