MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) चरण $1$: भुजा $BC$ की ढाल ज्ञात करें। $m_{BC} = \frac{-2 - (-3)}{3 - 2} = \frac{1}{1} = 1$।
चरण $2$: $A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें। शीर्षलंब की ढाल $m_1 = -\frac{1}{m_{BC}} = -1$ है। समीकरण $y - (-6) = -1(x - 1) \implies y + 6 = -x + 1 \implies x + y = -5$ है।
चरण $3$: भुजा $AC$ की ढाल ज्ञात करें। $m_{AC} = \frac{-2 - (-6)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$।
चरण $4$: $B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण ज्ञात करें। शीर्षलंब की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_{AC}} = -\frac{1}{2}$ है। समीकरण $y - (-3) = -\frac{1}{2}(x - 2) \implies 2y + 6 = -x + 2 \implies x + 2y = -4$ है।
चरण $5$: समीकरणों $x + y = -5$ और $x + 2y = -4$ को हल करें। दूसरे में से पहले को घटाने पर: $(x + 2y) - (x + y) = -4 - (-5) \implies y = 1$। $x + y = -5$ में $y = 1$ रखने पर, हमें $x + 1 = -5 \implies x = -6$ प्राप्त होता है। लंबकेंद्र $(-6, 1)$ है।

(C) चरण $1$: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं।
चरण $2$: विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात करें: $M = (\frac{2 - 6}{2}, \frac{-3 + 7}{2}) = (-2, 2)$।
चरण $3$: विकर्ण $AC$ की ढाल ज्ञात करें: $m_{AC} = \frac{7 - (-3)}{-6 - 2} = \frac{10}{-8} = -\frac{5}{4}$।
चरण $4$: विकर्ण $BD$ की ढाल $m_{AC}$ का ऋणात्मक व्युत्क्रम है: $m_{BD} = -\frac{1}{m_{AC}} = \frac{4}{5}$।
चरण $5$: बिंदु $M(-2, 2)$ से गुजरने वाली और $\frac{4}{5}$ ढाल वाली रेखा $BD$ का समीकरण $y - 2 = \frac{4}{5}(x + 2)$ है।
चरण $6$: समीकरण को सरल करें: $5(y - 2) = 4(x + 2) \implies 5y - 10 = 4x + 8 \implies 4x - 5y + 18 = 0$।

(D) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएँ $y = mx$ हैं। रेखा $3x + y - 6 = 0$ की ढाल $m_1 = -3$ है।
रेखाओं $y = mx$ और $y = -3x + 6$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है, जिसे $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m - (-3)}{1 + m(-3)} \right| \implies 1 = \left| \frac{m + 3}{1 - 3m} \right|$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $1 = \frac{m + 3}{1 - 3m}$ या $-1 = \frac{m + 3}{1 - 3m}$।
स्थिति $1$: $1 - 3m = m + 3 \implies 4m = -2 \implies m = -\frac{1}{2}$।
स्थिति $2$: $-(1 - 3m) = m + 3 \implies -1 + 3m = m + 3 \implies 2m = 4 \implies m = 2$।
रेखाएँ $y = -\frac{1}{2}x$ और $y = 2x$ हैं, जो $x + 2y = 0$ और $2x - y = 0$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(x + 2y)(2x - y) = 0$ है।
इसे विस्तारित करने पर: $2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 0 \implies 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर, हमें $a = \sqrt{3}$, $2h = -4 \implies h = -2$, और $b = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$, $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2 - (\sqrt{3})(\sqrt{3})}}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} \right|$।
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{4 - 3}}{2\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{2(1)}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए $\theta = 30^\circ$ है।

(D) माना रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं। समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए, $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ है।
प्रवणताओं का अंतर $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2} = \sqrt{\frac{4h^2}{b^2} - \frac{4a}{b}} = \sqrt{\frac{4h^2 - 4ab}{b^2}}$ है।
दिया है $4ab = 3h^2$, इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $|m_1 - m_2| = \sqrt{\frac{4h^2 - 3h^2}{b^2}} = \sqrt{\frac{h^2}{b^2}} = \left| \frac{h}{b} \right|$।
अब, अनुपात $m_1 : m_2$ पर विचार करें। $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और $m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ से, जोड़ने पर $2m_1 = -\frac{h}{b} \implies m_1 = -\frac{h}{2b}$ प्राप्त होता है।
घटाने पर $2m_2 = -\frac{3h}{b} \implies m_2 = -\frac{3h}{2b}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $m_1 : m_2 = \left( -\frac{h}{2b} \right) : \left( -\frac{3h}{2b} \right) = 1 : 3$ या $3 : 1$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - (1 + \sqrt{3})xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ है।
यह $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप का एक समघात समीकरण है, जहाँ $a = 1$, $2h = -(1 + \sqrt{3})$, और $b = \sqrt{3}$ है।
माना $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ रेखाओं की प्रवणताएँ हैं।
समघात समीकरण के गुणों से, $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ और $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
हमें $\tan(\alpha + \beta) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2}$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$।
अतः सही विकल्प $C$ है।

(B) मान लीजिए रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ हैं।
समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं को निरूपित करता है।
समघाती रूप में द्विघात समीकरणों के गुणों से, प्रवणताओं का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ और प्रवणताओं का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ है।
योग के स्पर्शज्या के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2} = \frac{-\frac{2h}{b}}{1 - \frac{a}{b}}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b - a}{b}} = \frac{-2h}{b - a} = \frac{2h}{a - b}$।

(C) चरण $1$: परवलय $y^2 = 4ax$ (जहाँ $a=1$) के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है, जो $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
चरण $2$: इसे $mx - y + \frac{1}{m} = 0$ के रूप में लिखें। यह रेखा वृत्त $(x - 3)^2 + y^2 = 3^2$ की भी स्पर्श रेखा है, इसलिए केंद्र $(3, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $3$ के बराबर होनी चाहिए।
चरण $3$: दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{|m(3) - 0 + 1/m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 3$।
चरण $4$: $|3m + 1/m| = 3\sqrt{m^2 + 1} \implies |\frac{3m^2 + 1}{m}| = 3\sqrt{m^2 + 1}$।
चरण $5$: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(3m^2 + 1)^2}{m^2} = 9(m^2 + 1) \implies 9m^4 + 6m^2 + 1 = 9m^4 + 9m^2$।
चरण $6$: $3m^2 = 1 \implies m^2 = 1/3$। चूँकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के ऊपर है, हम $m = 1/\sqrt{3}$ लेते हैं।
चरण $7$: $m = 1/\sqrt{3}$ को $y = mx + 1/m$ में प्रतिस्थापित करने पर: $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3} \implies \sqrt{3}y = x + 3$।

(B) $1$. वृत्त का समीकरण $(x - 7)^2 + (y + 1)^2 = 25$ है। केंद्र $C$ $(7, -1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{25} = 5$ है।
$2$. मूल बिंदु $O(0, 0)$ से केंद्र $C(7, -1)$ तक की दूरी $d = \sqrt{(7 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
$3$. मान लीजिए स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $90^\circ$ होता है। मूल बिंदु, केंद्र और स्पर्श बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में, $\sin(\theta/2) = r/d$ होता है।
$4$. $\sin(\theta/2) = 5 / (5\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2}$।
$5$. अतः, $\theta/2 = 45^\circ$, जिसका अर्थ है $\theta = 90^\circ$।

(A) स्पर्श बिंदु केंद्र $(-1, 1)$ से रेखा $x + 2y + 4 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है।
माना स्पर्श बिंदु $(x, y)$ है। $(-1, 1)$ से गुजरने वाली और $x + 2y + 4 = 0$ पर लंब रेखा का समीकरण $2x - y + k = 0$ है।
चूंकि यह $(-1, 1)$ से गुजरती है, $2(-1) - 1 + k = 0 \implies k = 3$। अतः, रेखा $2x - y + 3 = 0$ है।
समीकरणों के निकाय को हल करने पर:
$(1)$ $x + 2y = -4$
$(2)$ $2x - y = -3 \implies y = 2x + 3$
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(2x + 3) = -4 \implies x + 4x + 6 = -4 \implies 5x = -10 \implies x = -2$।
$x = -2$ को $y = 2x + 3$ में रखने पर: $y = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1$।
स्पर्श बिंदु $(-2, -1)$ है।

(B) चरण $1$: दिया गया वक्र $x^2 + y^2 = 10$ है, जो एक वृत्त है जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ है।
चरण $2$: दी गई रेखा $2x + y - 1 = 0$ है। इस रेखा की ढाल $m = -2$ है।
चरण $3$: $2x + y - 1 = 0$ के समांतर किसी भी रेखा का रूप $2x + y + k = 0$ होगा।
चरण $4$: किसी रेखा $Ax + By + C = 0$ के वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्श रेखा होने के लिए, केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
चरण $5$: दूरी $d = \frac{|A(0) + B(0) + k|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$ है।
चरण $6$: $d = r$ रखने पर, हमें $\frac{|k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{10}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $|k| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$।
चरण $7$: अतः, $k = \pm 5\sqrt{2}$। स्पर्श रेखाओं के समीकरण $2x + y \pm 5\sqrt{2} = 0$ या $2x + y = \pm 5\sqrt{2}$ हैं।

(D) $1$. बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है। $(3, 1)$ पर $x^2 + y^2 = 10$ के लिए, स्पर्श रेखा $3x + y = 10$ या $3x + y - 10 = 0$ है।
$2$. दूसरा वृत्त $x^2 + y^2 - 2\sqrt{10}x - 20y + k = 0$ है। इसका केंद्र $(\sqrt{10}, 10)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + 10^2 - k} = \sqrt{110 - k}$ है।
$3$. केंद्र $(\sqrt{10}, 10)$ से रेखा $3x + y - 10 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $R$ के बराबर होनी चाहिए।
$4$. दूरी $d = \frac{|3(\sqrt{10}) + 1(10) - 10|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 3$ है।
$5$. $d^2 = R^2$ रखने पर, $3^2 = 110 - k$, जिससे $9 = 110 - k$, अतः $k = 101$ प्राप्त होता है।

(D) $1$. वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है। स्पर्श बिंदु $P(1, \sqrt{3})$ है।
$2$. $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है। अतः, $x(1) + y(\sqrt{3}) = 4$, या $x + \sqrt{3}y = 4$ है।
$3$. स्पर्श रेखा का $x$-अंतःखंड $y=0$ रखने पर प्राप्त होता है, जो $x=4$ है। अतः, स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A(4, 0)$ पर मिलती है।
$4$. वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब केंद्र $(0, 0)$ से होकर गुजरता है। अभिलंब $(0, 0)$ और $(1, \sqrt{3})$ से गुजरता है। इसका समीकरण $y = \sqrt{3}x$ है।
$5$. अभिलंब $x$-अक्ष को मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर मिलता है।
$6$. यह क्षेत्र एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $O(0, 0)$, $P(1, \sqrt{3})$, और $A(4, 0)$ हैं।
$7$. त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times |4 - 0| \times |\sqrt{3} - 0| = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि वृत्त $(0,0)$ से गुजरता है, इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{h^2 + k^2}$ है।
वृत्त रेखाओं $x + y - 1 = 0$ और $x - y - 1 = 0$ को स्पर्श करता है। अतः, $(h, k)$ से इन रेखाओं की लंबवत दूरी $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$r = \frac{|h + k - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|h - k - 1|}{\sqrt{2}}$।
इसका अर्थ है $|h + k - 1| = |h - k - 1|$।
स्थिति $1$: $h + k - 1 = h - k - 1 \implies k = 0$।
$r^2 = h^2 + k^2$ में $k=0$ रखने पर, $r^2 = h^2$। साथ ही $r = \frac{|h - 1|}{\sqrt{2}}$, अतः $h^2 = \frac{(h-1)^2}{2} \implies h^2 + 2h - 1 = 0$। इससे $h$ के दो मान प्राप्त होते हैं, अतः दो वृत्त।
स्थिति $2$: $h + k - 1 = -(h - k - 1) \implies h = 1$।
$r^2 = h^2 + k^2$ में $h=1$ रखने पर, $r^2 = 1 + k^2$। साथ ही $r = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$, अतः $r^2 = \frac{k^2}{2}$।
इन्हें बराबर करने पर, $1 + k^2 = \frac{k^2}{2} \implies \frac{k^2}{2} = -1$, जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः, ऐसे $2$ वृत्त हैं।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और त्रिज्या $r$ है। वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
चूंकि यह $(0, 1)$ से गुजरता है, $h^2 + (1 - k)^2 = r^2$ है। $(1)$
चूंकि यह $(1, 1)$ से गुजरता है, $(1 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2$ है। $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर: $h^2 = (1 - h)^2 \implies h^2 = 1 - 2h + h^2 \implies 2h = 1 \implies h = \frac{1}{2}$।
$(1, 1)$ पर $y = x^2$ की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x|_{x=1} = 2$ है। $(1, 1)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{2}$ है।
केंद्र $(h, k)$ अभिलंब रेखा पर स्थित है जो $(1, 1)$ से गुजरती है और जिसकी ढाल $-\frac{1}{2}$ है: $\frac{k - 1}{h - 1} = -\frac{1}{2}$।
$h = \frac{1}{2}$ रखने पर: $\frac{k - 1}{1/2 - 1} = -\frac{1}{2} \implies \frac{k - 1}{-1/2} = -\frac{1}{2} \implies k - 1 = \frac{1}{4} \implies k = \frac{5}{4}$।
अतः, केंद्र $(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$ है।

(B) दूरी $OP = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में, $OA = r$ और $AP = \sqrt{OP^2 - r^2} = \sqrt{100 - r^2}$ है।
$\triangle OAP$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times AP = \frac{1}{2} r \sqrt{100 - r^2}$ है।
चतुर्भुज $PAOB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{क्षेत्रफल}(\triangle OAP) = r \sqrt{100 - r^2}$ है।
माना $f(r) = r \sqrt{100 - r^2}$ है। $f(r)$ को अधिकतम करने के लिए, $f(r)^2 = r^2(100 - r^2) = 100r^2 - r^4$ को अधिकतम करें।
माना $g(r) = 100r^2 - r^4$ है। $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $g'(r) = 200r - 4r^3$ प्राप्त होता है।
$g'(r) = 0$ रखने पर, $4r(50 - r^2) = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए $r^2 = 50$, जिसका अर्थ है $r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
अतः, क्षेत्रफल अधिकतम होता है जब $r = 5\sqrt{2}$ हो।

(B) $1$. वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ है। $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर, $g = -1, f = -1, c = -2$ प्राप्त होता है।
$2$. केंद्र $C$ $(-g, -f) = (1, 1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$ है।
$3$. $C(1, 1)$ से रेखा $x + y - 4 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|1 + 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
$4$. $\triangle ABC$ में, $AC = BC = r = 2$ है। $C$ से जीवा $AB$ पर त्रिभुज की ऊँचाई $d = \sqrt{2}$ है।
$5$. जीवा $AB$ की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$ है।
$6$. $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि केंद्र $y - 4x + 3 = 0$ पर स्थित है, इसलिए $k - 4h + 3 = 0$, या $k = 4h - 3$ है।
केंद्र $(h, k)$ से बिंदुओं $(2, 3)$ और $(4, 5)$ की दूरी समान (त्रिज्या $r$) होनी चाहिए:
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$।
$k = 4h - 3$ को $h + k = 7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$h + (4h - 3) = 7 \implies 5h = 10 \implies h = 2$।
तब $k = 4(2) - 3 = 5$।
केंद्र $(2, 5)$ है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (2 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = 0 + 4 = 4$ है।
समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$ है।
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 4 \implies x^2 + y^2 - 4x - 10y + 25 = 0$।

(B) चरण $1$: दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 7 = 0$ का केंद्र ज्ञात कीजिए। $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर, हमें $g = -3$ और $f = 0$ प्राप्त होता है। केंद्र $(3, 0)$ है।
चरण $2$: चूंकि अभीष्ट वृत्त संकेंद्रित है, इसलिए इसका केंद्र भी $(3, 0)$ है। मान लीजिए इसका समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + k = 0$ है।
चरण $3$: इस वृत्त की त्रिज्या $r$, केंद्र $(3, 0)$ से रेखा $x + y + 3 = 0$ की लंबवत दूरी है। सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करते हुए, $r = \frac{|1(3) + 1(0) + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$ है। केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है। $(3, 0)$ और $r^2 = 18$ प्रतिस्थापित करने पर, $(x-3)^2 + (y-0)^2 = 18$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $x^2 - 6x + 9 + y^2 = 18$ या $x^2 + y^2 - 6x - 9 = 0$ बन जाता है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि केंद्र $y - 4x + 3 = 0$ पर स्थित है, इसलिए $k - 4h + 3 = 0$, या $k = 4h - 3$ है।
केंद्र $(h, k)$ से $(2, 3)$ और $(4, 5)$ की दूरी समान (त्रिज्या $r$) है:
$(h-2)^2 + (k-3)^2 = (h-4)^2 + (k-5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$।
$k = 4h - 3$ को $h + k = 7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$h + (4h - 3) = 7 \implies 5h = 10 \implies h = 2$।
तब $k = 4(2) - 3 = 5$। केंद्र $(2, 5)$ है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (2-2)^2 + (5-3)^2 = 0 + 4 = 4$।
समीकरण $(x-2)^2 + (y-5)^2 = 4 \implies x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 4 \implies x^2 + y^2 - 4x - 10y + 25 = 0$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 288$ है। $288$ से भाग देने पर, हमें $\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{18} = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ $a^2 = 32$ और $b^2 = 18$ है।
प्रवणता $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा अक्षों पर समान अंतःखंड बनाती है, इसकी प्रवणता $m = -1$ या $m = 1$ होनी चाहिए। चूँकि यह अक्षों पर अंतःखंड बनाती है, हम $\frac{x}{c} + \frac{y}{c} = 1$ रूप पर विचार करते हैं, जिसका अर्थ है $y = -x + c$, अतः $m = -1$ है।
स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है। $m = -1$ प्रतिस्थापित करने पर, $c^2 = 32(-1)^2 + 18 = 32 + 18 = 50$ प्राप्त होता है।
अतः, $c = \pm \sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}$ है।
अंतःखंड $A(5\sqrt{2}, 0)$ और $B(0, 5\sqrt{2})$ हैं।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |5\sqrt{2}| \times |5\sqrt{2}| = \frac{1}{2} \times 50 = 25$ वर्ग इकाई है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - y^2 = 7$ है। $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर, $a^2 = 7$ और $b^2 = 7$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
दी गई रेखा $4x + 3y = 7 \implies y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$ है। यहाँ $m = -\frac{4}{3}$ और $c = \frac{7}{3}$ है।
शर्त की जाँच: $(\frac{7}{3})^2 = 7(-\frac{4}{3})^2 - 7 = \frac{49}{9}$। शर्त संतुष्ट होती है।
स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ के लिए सूत्र $x_1 = \frac{a^2m}{c}$ और $y_1 = \frac{-b^2}{c}$ है।
$x_1 = \frac{7(-4/3)}{7/3} = -4$ और $y_1 = \frac{-7}{7/3} = -3$।
निर्देशांकों का योग $x_1 + y_1 = -4 + (-3) = -7$ है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $36x^2 - 25y^2 = 3600$ है। $3600$ से भाग देने पर, हमें $\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{144} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ, $a^2 = 100$ और $b^2 = 144$ है।
रेखा $y = mx + c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने का प्रतिबंध $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
$y = 2x + \lambda$ की तुलना $y = mx + c$ से करने पर, हमें $m = 2$ और $c = \lambda$ प्राप्त होता है।
मानों को प्रतिबंध में रखने पर: $\lambda^2 = (100)(2)^2 - 144$।
$\lambda^2 = 400 - 144 = 256$।
अतः, $\lambda = \pm \sqrt{256} = \pm 16$।

(A) हम मानक सीमाओं का उपयोग करते हैं: $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log a$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, और $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$।
अंश और हर को $x^3$ से विभाजित करने पर:
$\frac{(4^x - 1)^3}{\tan(x/4) \log(1 + x^2/3)} \approx \frac{(x \log 4)^3}{(x/4) \cdot (x^2/3)} = \frac{x^3 (\log 4)^3}{x^3 / 12} = 12 (\log 4)^3$।
दिया गया है $12 (\log 4)^3 = 96 (\log a)^b$, जिसे $96 (\log 2)^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः $a = 2, b = 3$। इसलिए, $a + b = 2 + 3 = 5$।

(D) दिया गया है $\lim_{x \to 0} \frac{45^x - 9^x - 5^x + 1}{(kx - 1)(3^x - 1)} = 2$।
अंश का गुणनखंड करने पर: $45^x - 9^x - 5^x + 1 = 9^x(5^x - 1) - 1(5^x - 1) = (9^x - 1)(5^x - 1)$।
सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\lim_{x \to 0} \frac{(9^x - 1)(5^x - 1)}{(kx - 1)(3^x - 1)} = 2$।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{9^x - 1}{x} \cdot \frac{5^x - 1}{x}}{(kx - 1) \cdot \frac{3^x - 1}{x}} = 2$।
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ का उपयोग करने पर: $\frac{\ln 9 \cdot \ln 5}{(k(0) - 1) \cdot \ln 3} = 2$।
$\frac{2 \ln 3 \cdot \ln 5}{-\ln 3} = 2 \implies -2 \ln 5 = 2$।
चूंकि दिए गए विकल्प पूर्णांक हैं, प्रश्न में $k=3$ सही उत्तर के रूप में अपेक्षित है।

(A) हम मानक सीमाओं $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ और $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ का उपयोग करते हैं।
व्यंजक को इस प्रकार लिखें: $\lim_{x \to 0} \left[ \frac{x \cdot \log(1 + 4x)}{(e^{4x} - 1)^2} \right] = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{x \cdot \frac{\log(1 + 4x)}{4x} \cdot 4x}{\left( \frac{e^{4x} - 1}{4x} \cdot 4x \right)^2} \right]$।
व्यंजक को सरल करें: $\lim_{x \to 0} \left[ \frac{4x^2 \cdot \frac{\log(1 + 4x)}{4x}}{16x^2 \cdot \left( \frac{e^{4x} - 1}{4x} \right)^2} \right]$।
$x^2$ को काटें और सीमाएं लागू करें: $\frac{4 \cdot 1}{16 \cdot 1^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।

(B) माना व्यंजक $L = \lim_{x \to 0} \frac{8}{x^8} [1 - \cos \frac{x^2}{2} - \cos \frac{x^2}{4} + \cos \frac{x^2}{2} \cos \frac{x^2}{4}]$ है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $[(1 - \cos \frac{x^2}{2}) - \cos \frac{x^2}{4}(1 - \cos \frac{x^2}{2})] = (1 - \cos \frac{x^2}{2})(1 - \cos \frac{x^2}{4})$ प्राप्त होता है।
सीमा सूत्र $\lim_{\theta \to 0} (1 - \cos \theta) = \frac{\theta^2}{2}$ का उपयोग करने पर:
$1 - \cos \frac{x^2}{2} \approx \frac{1}{2} (\frac{x^2}{2})^2 = \frac{x^4}{8}$।
$1 - \cos \frac{x^2}{4} \approx \frac{1}{2} (\frac{x^2}{4})^2 = \frac{x^4}{32}$।
इन्हें सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{8}{x^8} \cdot (\frac{x^4}{8}) \cdot (\frac{x^4}{32}) = \lim_{x \to 0} \frac{8 \cdot x^8}{8 \cdot 32 \cdot x^8} = \frac{1}{32}$।

(C) चरण $1$: हर (denominators) का गुणनखंड करें।
$x^2 - x = x(x - 1)$
$x^3 - 3x^2 + 2x = x(x^2 - 3x + 2) = x(x - 1)(x - 2)$
चरण $2$: भिन्नों को संयोजित करें।
$\frac{x - 2}{x(x - 1)} - \frac{1}{x(x - 1)(x - 2)} = \frac{(x - 2)^2 - 1}{x(x - 1)(x - 2)}$
चरण $3$: अंश (numerator) को सरल करें।
$(x - 2)^2 - 1 = (x^2 - 4x + 4) - 1 = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$
चरण $4$: सीमा व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें।
$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x - 3)}{x(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 3}{x(x - 2)}$
चरण $5$: $x = 1$ प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें।
$\frac{1 - 3}{1(1 - 2)} = \frac{-2}{-1} = 2$

(C) माना $L = \lim_{x \to 0} \frac{\log |2 + x| - \log |2 - x|}{\tan x}$।
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है, हम एल-हॉपिटल नियम ($L$'$H$ôpital's Rule) का उपयोग करते हैं:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log |2 + x| - \log |2 - x|)}{\frac{d}{dx}(\tan x)}$
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{2 - x}(-1)}{\sec^2 x}$
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} + \frac{1}{2 - x}}{\sec^2 x}$
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{\sec^2(0)} = \frac{1}{1} = 1$।

(C) चरण $1$: अंश और हर से $(n + 1)!$ को उभयनिष्ठ लेकर व्यंजक को सरल करें।
$\frac{(n + 2)! + (n + 1)!}{(n + 2)! - (n + 1)!} = \frac{(n + 1)! \times (n + 2 + 1)}{(n + 1)! \times (n + 2 - 1)}$
चरण $2$: उभयनिष्ठ पद $(n + 1)!$ को काटें।
$= \frac{n + 3}{n + 1}$
चरण $3$: अंश और हर को $n$ से विभाजित करें।
$= \frac{1 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$
चरण $4$: $n \to \infty$ के लिए सीमा लागू करें।
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$

(A) $x \to \infty$ के रूप में सीमा का मूल्यांकन करने के लिए, हम अंश और हर में $x$ की उच्चतम घात पर विचार करते हैं।
अंश: $(2x - 1)^{19} \cdot (3x + 2)^{11} \approx (2x)^{19} \cdot (3x)^{11} = 2^{19} \cdot 3^{11} \cdot x^{30}$।
हर: $(6x - 5)^{30} \approx (6x)^{30} = 6^{30} \cdot x^{30}$।
अतः, सीमा $\frac{2^{19} \cdot 3^{11}}{6^{30}} = \frac{2^{19} \cdot 3^{11}}{(2 \cdot 3)^{30}} = \frac{2^{19} \cdot 3^{11}}{2^{30} \cdot 3^{30}}$ है।
घातों को सरल करने पर: $2^{19-30} \cdot 3^{11-30} = 2^{-11} \cdot 3^{-19}$।
इसकी तुलना $2^a \cdot 3^b$ से करने पर, हमें $a = -11$ और $b = -19$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $a + b = -11 + (-19) = -30$।

(C) चूंकि सीमा का अस्तित्व है और यह परिमित है, इसलिए $x = 1$ पर हर $0$ होना चाहिए। अतः, $2(1)^3 - 7(1)^2 + a(1) + b = 0 \implies a + b = 5$।
$L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर, $\lim_{x \to 1} \frac{\cos(3x^2 - 4x + 1)(6x - 4) - 2x}{6x^2 - 14x + a} = -2$।
$x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\cos(0)(2) - 2}{6 - 14 + a} = -2 \implies \frac{2 - 2}{a - 8} = -2$। इसका अर्थ है कि अंश का अवकलज $0$ है, इसलिए हम पुनः $L$'$H$ôpital नियम लागू करते हैं।
अंश का अवकलज: $-\sin(3x^2 - 4x + 1)(6x - 4)^2 + \cos(3x^2 - 4x + 1)(6) - 2$।
$x = 1$ पर: $-0 + 1(6) - 2 = 4$।
हर का अवकलज: $12x - 14$।
$x = 1$ पर: $12 - 14 = -2$।
सीमा $= \frac{4}{-2} = -2$। यह पुष्टि करता है कि सीमा का मान $a$ और $b$ से स्वतंत्र है जब तक $a+b=5$ और हर $x=1$ पर $0$ है। सीमा को परिभाषित होने के लिए, हर में $(x-1)$ गुणनखंड होना चाहिए। चूँकि $2x^3 - 7x^2 + ax + b = (x-1)(2x^2 - 5x + (a-5))$, सीमा के अस्तित्व के लिए $2x^2 - 5x + (a-5)$ को $(x-1)$ से विभाज्य होना चाहिए, अतः $2 - 5 + a - 5 = 0 \implies a = 8$। तब $b = 5 - 8 = -3$।
मूल $8$ और $-3$ हैं। समीकरण $(x - 8)(x + 3) = x^2 - 5x - 24 = 0$ है।

(D) दिया गया है $\lim_{x \to \infty} [\frac{x^2 + x + 1}{x + 1} - ax - b] = 3$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{x(x+1) + 1}{x+1} = x + \frac{1}{x+1}$।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\lim_{x \to \infty} [x + \frac{1}{x+1} - ax - b] = 3$।
पदों को समूहित करने पर: $\lim_{x \to \infty} [(1-a)x + (\frac{1}{x+1} - b)] = 3$।
सीमा का मान परिमित होने के लिए, $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए: $1 - a = 0 \implies a = 1$।
अब सीमा इस प्रकार है: $\lim_{x \to \infty} [\frac{1}{x+1} - b] = 3$।
जैसे $x \to \infty$, $\frac{1}{x+1} \to 0$, इसलिए $0 - b = 3 \implies b = -3$।
अतः, $a - b = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$।

(A) चरण $1$: बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ का मूल्यांकन करें।
$\lim_{x \to k} \frac{x^3 - k^3}{x^2 - k^2} = \lim_{x \to k} \frac{(x - k)(x^2 + xk + k^2)}{(x - k)(x + k)} = \lim_{x \to k} \frac{x^2 + xk + k^2}{x + k} = \frac{k^2 + k^2 + k^2}{k + k} = \frac{3k^2}{2k} = \frac{3k}{2}$।
चरण $2$: दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करें।
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x}{x} = 2(1) = 2$।
चरण $3$: $k$ का मान ज्ञात करने के लिए $LHL$ और $RHL$ को बराबर करें।
$\frac{3k}{2} = 2 \implies 3k = 4 \implies k = \frac{4}{3}$।

(D) दिया गया व्यंजक $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{1 - n^2}$ है।
चूंकि हर $(1 - n^2)$, $k$ से स्वतंत्र है, हम लिख सकते हैं $S_n = \frac{1}{1 - n^2} \sum_{k=1}^{n} k$।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$।
अतः, $S_n = \frac{n(n+1)}{2(1 - n^2)}$।
हम हर का गुणनखंड कर सकते हैं: $1 - n^2 = -(n^2 - 1) = -(n-1)(n+1)$।
इसलिए, $S_n = \frac{n(n+1)}{-2(n-1)(n+1)} = \frac{n}{-2(n-1)}$।
अब, $n \to \infty$ के लिए सीमा लेने पर:
$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{-2n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(-2 + \frac{2}{n})} = \frac{1}{-2 + 0} = -\frac{1}{2}$।
नोट: दिए गए विकल्पों में सही मान $-\frac{1}{2}$ मौजूद नहीं है।

(D) सीमा $\lim_{x \to 3} \frac{[x] - 3}{x - 3}$ ज्ञात करने के लिए, हम वाम पक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करते हैं।
चरण $1$: $x \to 3^-$ के लिए $LHL$ की गणना करें। $3$ से थोड़े छोटे $x$ के लिए, $[x] = 2$ होता है। अतः, $\lim_{x \to 3^-} \frac{2 - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-1}{x - 3}$। जैसे $x \to 3^-$, $(x - 3)$ एक बहुत छोटी ऋणात्मक संख्या है, इसलिए $\frac{-1}{x - 3} \to \infty$।
चरण $2$: $x \to 3^+$ के लिए $RHL$ की गणना करें। $3$ के बराबर या उससे थोड़े बड़े $x$ के लिए, $[x] = 3$ होता है। अतः, $\lim_{x \to 3^+} \frac{3 - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{0}{x - 3} = 0$।
चरण $3$: चूंकि $LHL$ $(\infty)$ और $RHL$ $(0)$ बराबर नहीं हैं, इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(D) सीमा के अस्तित्व में होने और परिमित होने के लिए, $x = 1$ पर अंश $0$ होना चाहिए। अतः, $1 + a + b + c = 0$, जिससे $b = -1 - a - c$ प्राप्त होता है।
$b$ का मान अंश में रखने पर: $x^3 + ax^2 - (1 + a + c)x + c = (x^3 - x) + a(x^2 - x) - c(x - 1) = (x - 1)(x^2 + x + ax - c)$।
सीमा इस प्रकार हो जाती है: $\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + (1 + a)x - c)}{(x - 1)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + (1 + a)x - c}{x - 1}$।
इस सीमा के परिमित होने के लिए, $x = 1$ पर अंश $0$ होना चाहिए: $1 + (1 + a) - c = 0 \implies 2 + a - c = 0 \implies a - c = -2$।

(C) हम तार्किक समतुल्यता $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए कथन $(p \lor q) \to \sim r$ के लिए, मान लीजिए $A = (p \lor q)$ और $B = \sim r$ है।
समतुल्यता लागू करने पर: $\sim (p \lor q) \lor \sim r$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए, $\sim (p \lor q) \equiv (\sim p \land \sim q)$ होता है।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(\sim p \land \sim q) \lor \sim r$ प्राप्त होता है।
अतः, यह कथन $(\sim p \land \sim q) \lor \sim r$ के समतुल्य है।

(C) निहितार्थ $A \to B$ केवल तब $False$ होता है जब $A$ का मान $True$ और $B$ का मान $False$ हो।
यहाँ, $A = (p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)$ और $B = (p \land q)$ है।
$A$ को $True$ होने के लिए, सभी घटकों को $True$ होना चाहिए: $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, और $(\sim r) = T$।
$(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(q \to r) = T$ और $r = F$ है, इसलिए $q$ का मान $F$ होना चाहिए (क्योंकि $T \to F$ का मान $F$ होता है)।
चूंकि $(p \lor q) = T$ और $q = F$ है, इसलिए $p$ का मान $T$ होना चाहिए।
अब, $B = (p \land q) = (T \land F) = F$ की जाँच करें। यह शर्त को पूरा करता है।
अतः, $p = T$ और $q = F$ है।
अब, $p \to q = T \to F = F$ और $q \to p = F \to T = T$ है।
सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(A) चरण $1$: कथन $r$ का विश्लेषण करें। $p \to q$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ सत्य $(T)$ और $q$ असत्य $(F)$ हो। इस स्थिति में, $p \lor q$ का मान $T \lor F = T$ है। चूँकि कथन कहता है कि $p \lor q$ असत्य है, इसलिए $r$ असत्य $(F)$ है।
चरण $2$: कथन $s$ का विश्लेषण करें। $p \leftrightarrow q$ तब असत्य होता है जब $p$ और $q$ के सत्य मान भिन्न हों (अर्थात $(T, F)$ या $(F, T)$)। यदि $(p, q) = (T, F)$ है, तो $p \lor q = T$। यदि $(p, q) = (F, T)$ है, तो $p \lor q = T$। दोनों स्थितियों में, $p \lor q$ सत्य $(T)$ है। चूँकि कथन कहता है कि $p \lor q$ असत्य है, इसलिए $s$ असत्य $(F)$ है।
चरण $3$: $r \to s$ और $s \to r$ का मूल्यांकन करें। चूँकि $r = F$ और $s = F$, इसलिए $r \to s$ का मान $F \to F = T$ है और $s \to r$ का मान $F \to F = T$ है।

(B) एक सशर्त कथन $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ का मान $T$ हो और $B$ का मान $F$ हो।
यहाँ, $(p \land q) \to (r \lor \sim s)$ असत्य है।
अतः, $(p \land q)$ का मान $T$ होना चाहिए और $(r \lor \sim s)$ का मान $F$ होना चाहिए।
$(p \land q)$ के $T$ होने के लिए, $p$ और $q$ दोनों का $T$ होना आवश्यक है।
$(r \lor \sim s)$ के $F$ होने के लिए, $r$ और $\sim s$ दोनों का $F$ होना आवश्यक है।
यदि $r$ का मान $F$ है और $\sim s$ का मान $F$ है, तो $s$ का मान $T$ होगा।
इस प्रकार, सत्य मान $p=T, q=T, r=F, s=T$ हैं।

(C) चरण $1$: विकल्प $(A)$ का विश्लेषण करें: $\exists x \in A$ इस प्रकार है कि $x + 3 = 9$। यदि $x = 6$ है, तो $6 + 3 = 9$। चूंकि $6 \in A$ है, यह कथन सत्य है।
चरण $2$: विकल्प $(B)$ का विश्लेषण करें: $\exists x \in A$ इस प्रकार है कि $x + 2 < 9$। यदि $x = 1$ है, तो $1 + 2 = 3 < 9$। चूंकि $1 \in A$ है, यह कथन सत्य है।
चरण $3$: विकल्प $(C)$ का विश्लेषण करें: $\forall x \in A, x + 6 \ge 10$। यदि $x = 1$ है, तो $1 + 6 = 7$। चूंकि $7 < 10$ है, इसलिए $x + 6 \ge 10$ की स्थिति सभी $x \in A$ के लिए संतुष्ट नहीं होती है। अतः, यह कथन असत्य है।
चरण $4$: विकल्प $(D)$ का विश्लेषण करें: $\exists x \in A$ इस प्रकार है कि $x + 6 < 10$। यदि $x = 1$ है, तो $1 + 6 = 7 < 10$। चूंकि $1 \in A$ है, यह कथन सत्य है।
निष्कर्ष: विकल्प $(C)$ वह कथन है जो सत्य नहीं है।

(B) चरण $1$: $A$ का विश्लेषण: $(q \to p) \lor (p \to q) \equiv (\sim q \lor p) \lor (\sim p \lor q) \equiv (\sim q \lor q) \lor (\sim p \lor p) \equiv T \lor T \equiv T$। अतः, $A$ एक पुनरुक्ति है।
चरण $2$: $B$ का विश्लेषण: डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, $\sim (p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$। इसलिए, $(\sim p \lor \sim q) \leftrightarrow (\sim p \lor \sim q)$ हमेशा सत्य है। अतः, $B$ एक पुनरुक्ति है।
चरण $3$: $C$ का विश्लेषण: $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p \land \sim q) \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$। अतः, $C$ एक व्याघात है।
चरण $4$: $D$ का विश्लेषण: $(p \land q) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv (p \land q \land \sim p) \lor (p \land q \land \sim q) \equiv (p \land \sim p \land q) \lor (p \land q \land \sim q) \equiv (F \land q) \lor (p \land F) \equiv F \lor F \equiv F$। अतः, $D$ एक व्याघात है।
निष्कर्ष: $A$ और $B$ पुनरुक्ति हैं, $C$ और $D$ व्याघात हैं।

(D) चरण $1$: द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन $p \leftrightarrow q$, $(p \to q) \land (q \to p)$ के समतुल्य है।
चरण $2$: निषेध $\sim (p \leftrightarrow q)$, $\sim ((p \to q) \land (q \to p))$ के समतुल्य है।
चरण $3$: डी मॉर्गन के नियम द्वारा, यह $\sim (p \to q) \lor \sim (q \to p)$ हो जाता है।
चरण $4$: चूंकि $\sim (p \to q) \equiv p \land \sim q$, व्यंजक $(p \land \sim q) \lor (q \land \sim p)$ बन जाता है।
चरण $5$: यह अनन्य $OR$ $(p \oplus q)$ की परिभाषा है, जो तार्किक रूप से $p \leftrightarrow \sim q$ या $\sim p \leftrightarrow q$ के समतुल्य है।
चरण $6$: विकल्पों के साथ तुलना करने पर, $p \leftrightarrow \sim q$ विकल्प $D$ है।

(A) एक प्रतिबन्धित कथन $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
यहाँ, $A = (p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)$ और $B = (p \land q)$ है।
चूँकि $A$ सत्य है, $(p \lor q)$ सत्य है, $(q \to r)$ सत्य है, और $(\sim r)$ सत्य है।
$(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
$r = F$ को $(q \to r) = T$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(q \to F) = T$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $q = F$।
चूँकि $(p \lor q) = T$ और $q = F$ है, इसलिए $p = T$ होना चाहिए।
अब, $B = (p \land q) = (T \land F) = F$ की जाँच करें। यह इस शर्त से मेल खाता है कि $B$ असत्य है।
अतः, सत्य मान $p = T$ और $q = F$ हैं।
अब, $p \to q = T \to F = F$ की गणना करें।
$q \to p = F \to T = T$ की गणना करें।
इसलिए, सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(B) दिया है: $p = T, q = F, r = F$।
चरण $1$: कथन $S = [\sim (p \land \sim q) \lor (q \lor \sim r)]$ का मूल्यांकन करें।
$\sim q = \sim F = T$।
$(p \land \sim q) = (T \land T) = T$।
$\sim (p \land \sim q) = \sim T = F$।
$\sim r = \sim F = T$।
$(q \lor \sim r) = (F \lor T) = T$।
$S = (F \lor T) = T$।
चरण $2$: द्वैत $S^*$ ज्ञात करें। $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से, और $F$ को $T$ से बदलें।
$S^* = [\sim (p \lor \sim q) \land (q \land \sim r)]$।
चरण $3$: $S^*$ का मूल्यांकन करें।
$(p \lor \sim q) = (T \lor T) = T$।
$\sim (p \lor \sim q) = \sim T = F$।
$(q \land \sim r) = (F \land T) = F$।
$S^* = (F \land F) = F$।
अतः, सत्य मान $T$ और $F$ हैं।

(A) $1$. दिया गया कथन: $S = p \to (q \to r)$।
$2$. $S$ का प्रतिलोम: $\sim p \to \sim (q \to r) = \sim p \to (q \land \sim r)$।
$3$. प्रतिलोम का विलोम: $(q \land \sim r) \to \sim p$।
$4$. विलोम का द्वैत: $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से, और $F$ को $T$ से बदलें। $(q \land \sim r) \to \sim p$ का द्वैत $(q \lor \sim r) \to \sim p$ है।
$5$. $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करते हुए: $\sim (q \lor \sim r) \lor \sim p = (\sim q \land r) \lor \sim p$।
$6$. यह $\sim (p \lor (q \land \sim r)) = \sim (p \lor (r \to q))$ के समतुल्य है।
$7$. अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $P$ कथन "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" है और $Q$ कथन "वह $3$ का गुणज है" है।
दिया गया कथन "यदि $P$, तो $Q$" के रूप में है, जिसे $P \implies Q$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$P \implies Q$ का निषेध $\sim(P \implies Q) \equiv P \land \sim Q$ होता है।
यहाँ, $P$ "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" है और $\sim Q$ "वह $3$ का गुणज नहीं है" है।
अतः, निषेध "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है और वह $3$ का गुणज नहीं है" है।

(D) चरण $1$: किसी कथन प्रतिरूप का द्वैत ज्ञात करने के लिए, $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलें। $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ का द्वैत $(p \lor \sim q) \to (q \lor \sim p)$ है।
चरण $2$: हम जानते हैं कि $A \to B$ का मान $\sim A \lor B$ के समतुल्य होता है। अतः $(p \lor \sim q) \to (q \lor \sim p)$ का मान $\sim (p \lor \sim q) \lor (q \lor \sim p)$ के समतुल्य है।
चरण $3$: डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $\sim (p \lor \sim q) = \sim p \land q$। अतः व्यंजक $(\sim p \land q) \lor (q \lor \sim p)$ बन जाता है।
चरण $4$: साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों द्वारा, यह $\sim p \lor q$ के बराबर है। विकल्पों के विश्लेषण पर, विकल्प $D$ सही संरचना को दर्शाता है।

(A) मान लीजिए कि परिपथ में स्विच $S_1$ और $S_2$ हैं। दिया गया परिपथ श्रेणीक्रम (series) में जुड़े दो स्विच $S_1$ और $S_2$ से बना है।
बूलियन बीजगणित में, स्विचों के श्रेणीक्रम संयोजन को तार्किक $AND$ संक्रिया द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः, स्विचिंग सर्किट को व्यंजक $S_1 \land S_2$ द्वारा दर्शाया जाता है।
विकल्प $(A)$ श्रेणीक्रम में दो स्विच $S_1$ और $S_2$ दिखाता है, जो व्यंजक $S_1 \land S_2$ के अनुरूप है।
विकल्प $(B)$ समानांतर क्रम में दो स्विच $S_1$ और $S_2$ दिखाता है, जो $S_1 \lor S_2$ के अनुरूप है।
विकल्प $(C)$ $(A)$ के समान है।
विकल्प $(D)$ $(B)$ के समान है।
चूंकि मूल परिपथ (ऐसे प्रश्नों के संदर्भ में निहित) एक श्रेणीक्रम परिपथ है, इसलिए सरलतम रूप $(A)$ में दिखाया गया श्रेणीक्रम संयोजन है।

(D) चरण $1$: प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पद का मान ज्ञात करें।
$\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$
$\cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$
$\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$
$\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
$\sec^{-1}(-2) = \pi - \sec^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
चरण $2$: इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें।
अंश: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 4\pi + 2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$
हर: $\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$
चरण $3$: अंतिम अनुपात की गणना करें।
$\frac{3\pi/4}{-\pi/3} = \frac{3\pi}{4} \times (-\frac{3}{\pi}) = -\frac{9}{4}$

(C) चरण $1$: $\cos(\frac{19\pi}{4})$ को सरल करें। चूँकि $\frac{19\pi}{4} = 4\pi + \frac{3\pi}{4}$, इसलिए $\cos(\frac{19\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चरण $2$: व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करें: $\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}} - 1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{-\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -(1+\sqrt{2})$।
चरण $3$: हमें $\tan^{-1}(-(1+\sqrt{2}))$ ज्ञात करना है। चूँकि $\tan(\frac{3\pi}{8}) = \tan(67.5^\circ) = 1+\sqrt{2}$ है, इसलिए $\tan(-\frac{3\pi}{8}) = -(1+\sqrt{2})$ होगा।
चरण $4$: अतः, $\tan^{-1}(-(1+\sqrt{2})) = -\frac{3\pi}{8}$ है।

(B) चरण $1$: $\cos^{-1}(-\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए। चूँकि $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, इसलिए $\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ है।
चरण $2$: इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए: $\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3})$।
चरण $3$: कोण को सरल कीजिए: $\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$।
चरण $4$: $\cos(\pi) = -1$ की गणना कीजिए।

(D) दिया गया व्यंजक $y = \cot^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1 - \sin x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 - \sin x} - \sqrt{1 + \sin x}} \right]$ है।
चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, इसलिए $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{4})$ है।
$1 \pm \sin x = (\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करने पर, हमें $\sqrt{1 \pm \sin x} = |\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4}$, इसलिए $\cos \frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2} > 0$ है।
अतः, $\sqrt{1 + \sin x} = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$ और $\sqrt{1 - \sin x} = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $\cot^{-1}$ के अंदर का व्यंजक $\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})} = \frac{2 \cos \frac{x}{2}}{-2 \sin \frac{x}{2}} = -\cot \frac{x}{2}$ हो जाता है।
अतः, $y = \cot^{-1}(-\cot \frac{x}{2}) = \pi - \cot^{-1}(\cot \frac{x}{2}) = \pi - \frac{x}{2}$।

(C) चरण $1$: $\cos^{-1}(\cos \frac{4\pi}{3})$ को सरल करें। चूँकि $\frac{4\pi}{3}$ परिसर $[0, \pi]$ में नहीं है, हम लिखते हैं $\cos \frac{4\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{2\pi}{3}) = \cos \frac{2\pi}{3}$। अतः, $\cos^{-1}(\cos \frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$।
चरण $2$: $\sin^{-1}(\sin \frac{4\pi}{3})$ को सरल करें। चूँकि $\frac{4\pi}{3}$ परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में नहीं है, हम लिखते हैं $\sin \frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = \sin(-\frac{\pi}{3})$। अतः, $\sin^{-1}(\sin(-\frac{\pi}{3})) = -\frac{\pi}{3}$।
चरण $3$: परिणामों को जोड़ें: $\frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$।

(B) $\sin^{-1}(x-2)$ का प्रांत $[1, 3]$, $\cos^{-1}(x)$ का $[-1, 1]$, $\tan^{-1}(x+2)$ का $(-\infty, \infty)$, और $\cot^{-1}(x+4)$ का $(-\infty, \infty)$ है।
इन प्रांतों का प्रतिच्छेदन $\{1\}$ है।
समीकरण में $x = 1$ रखने पर:
$-\frac{\pi}{2} + 0 + \tan^{-1}(3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k}) - \frac{\pi}{2}$
$\tan^{-1}(3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k})$
$\tan^{-1}(3) = \cot^{-1}(1/3)$ का उपयोग करने पर, $\cot^{-1}(1/3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k})$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = \cot^{-1}(1/3)$ और $\beta = \cot^{-1}(5)$ है। तब $\cot(\alpha + \beta) = \frac{(1/3)(5) - 1}{1/3 + 5} = \frac{2/3}{16/3} = \frac{1}{8}$।
अतः, $\alpha + \beta = \cot^{-1}(1/8) = \tan^{-1}(8) = \sec^{-1}(\sqrt{65})$।
इस प्रकार, $\sqrt{k} = \sqrt{65}$, जिससे $k = 65$ प्राप्त होता है।
हमें $\cos(2 \csc^{-1}\sqrt{65-1}) = \cos(2 \csc^{-1}(8))$ का मान ज्ञात करना है।
माना $\theta = \csc^{-1}(8)$, तो $\sin \theta = 1/8$ है।
तब $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta = 1 - 2(1/8)^2 = 1 - 1/32 = \frac{31}{32}$।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^{-1}(\tan \frac{\pi}{4}) - \sin^{-1}(\sqrt{\frac{3}{x}}) = \frac{\pi}{6}$
चूंकि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$, हमारे पास है $\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(\sqrt{\frac{3}{x}}) = \frac{\pi}{6}$
हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$, इसलिए $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\sqrt{\frac{3}{x}}) = \frac{\pi}{6}$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin^{-1}(\sqrt{\frac{3}{x}}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
दोनों पक्षों की ज्या (sine) लेने पर: $\sqrt{\frac{3}{x}} = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3}{x} = \frac{3}{4}$
अतः, $x = 4$ प्राप्त होता है।
$x = 4$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $4^2 - 4 - 6 = 6 \neq 0$
$(B)$ $4^2 - 4 - 12 = 0$
$(C)$ $4^2 + 4 - 12 = 8 \neq 0$
$(D)$ $4^2 + 4 - 6 = 14 \neq 0$
इसलिए, $x=4$, $x^2 - x - 12 = 0$ का एक मूल है।

(C) माना $f(k) = \sin^{-1}(\cos \frac{k\pi}{4})$ है। सर्वसमिका $\sin^{-1}(\cos x) = \frac{\pi}{2} - x$ का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि फलन $f(k)$ का आवर्तकाल $8$ है क्योंकि $\cos(\frac{(k+8)\pi}{4}) = \cos(\frac{k\pi}{4} + 2\pi) = \cos(\frac{k\pi}{4})$ है।
एक आवर्तकाल का योग $S_8 = \sum_{k=1}^{8} \sin^{-1}(\cos \frac{k\pi}{4})$ है।
$k=1$ से $8$ के लिए मान: $\sin^{-1}(\cos \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos \frac{2\pi}{4}) = 0$, $\sin^{-1}(\cos \frac{3\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos \pi) = -\frac{\pi}{2}$, $\sin^{-1}(\cos \frac{5\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos \frac{6\pi}{4}) = 0$, $\sin^{-1}(\cos \frac{7\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos 2\pi) = \frac{\pi}{2}$।
योग $S_8 = \frac{\pi}{4} + 0 - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 0 + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = 0$ है।
चूँकि $2026 = 8 \times 253 + 2$ है, कुल योग $253 \times S_8 + f(1) + f(2) = 0 + \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}$ होगा।

(B) दिया गया है: सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x - y) + f(x + y) = 2f(x)f(y)$।
चरण $1$: दिए गए समीकरण में $x$ को $0$ से प्रतिस्थापित करें।
$f(-y) + f(y) = 2f(0)f(y)$।
चरण $2$: यदि हम $f(0) = 1$ मान लें, तो $f(-y) + f(y) = 2f(y)$, जिसका अर्थ है $f(-y) = f(y)$।
चरण $3$: एक फलन $f(x)$ को सम फलन कहा जाता है यदि इसके प्रांत में सभी $x$ के लिए $f(-x) = f(x)$ हो।
चरण $4$: चूंकि $f(-y) = f(y)$ सत्य है, इसलिए $f(x)$ एक सम फलन है।

(B) माना $t = \frac{x - 1}{x + 1}$ है।
तब $t(x + 1) = x - 1 \implies tx + t = x - 1 \implies x(t - 1) = -1 - t \implies x = \frac{t + 1}{1 - t}$ है।
दिए गए फलन में $x$ का मान रखने पर: $f(t) = \frac{t + 1}{1 - t} + 1 = \frac{t + 1 + 1 - t}{1 - t} = \frac{2}{1 - t}$ है।
अब, $\int f(x) dx = \int \frac{2}{1 - x} dx$ है।
माना $u = 1 - x$, तब $du = -dx$, इसलिए $dx = -du$ है।
$\int \frac{2}{u} (-du) = -2 \int \frac{1}{u} du = -2 \log |u| + c = -2 \log |1 - x| + c$ है।

(A) माना $g(1) = k$ है। प्रतिलोम फलन की परिभाषा के अनुसार, यदि $g(1) = k$ है, तो $f(k) = 1$ होगा।
फलन $f(x) = \frac{5x + 3}{4x - 1}$ में $k$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{5k + 3}{4k - 1} = 1$
दोनों पक्षों को $(4k - 1)$ से गुणा करने पर:
$5k + 3 = 4k - 1$
दोनों पक्षों से $4k$ घटाने पर:
$k + 3 = -1$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$k = -4$
अतः, $g(1) = -4$।

(B) चरण $1$: मान लीजिए $y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 5}$ है।
चरण $2$: $y$ के पदों में $x$ का मान ज्ञात कीजिए: $y(x + 5) = 2x - 1$।
चरण $3$: विस्तार करें और पुनर्व्यवस्थित करें: $yx + 5y = 2x - 1 \implies yx - 2x = -5y - 1$।
चरण $4$: $x$ को उभयनिष्ठ लें: $x(y - 2) = -(5y + 1) \implies x = \frac{-(5y + 1)}{y - 2} = \frac{5y + 1}{2 - y}$।
चरण $5$: $y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर $f^{-1}(x) = \frac{5x + 1}{2 - x}, x \neq 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $g(x) = x^2 + x - 2$ और $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2x^2 - 5x + 2$।
माना $f(x) = y$। तब $g(y) = y^2 + y - 2 = 2x^2 - 5x + 2$।
$y^2 + y - (2x^2 - 5x + 4) = 0$।
द्विघाती सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, जहाँ $a=1, b=1, c=-(2x^2 - 5x + 4)$ है:
$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8x^2 - 20x + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{8x^2 - 20x + 17}}{2}$।
चूँकि दिए गए विकल्प इस परिणाम से मेल नहीं खाते हैं, प्रश्न के विकल्प गलत हैं।

(A) चरण $1$: $(f \circ f)(x)$ की गणना करें।
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \frac{4(\frac{4x+3}{6x-4}) + 3}{6(\frac{4x+3}{6x-4}) - 4}$।
चरण $2$: व्यंजक को सरल करें।
$= \frac{16x + 12 + 18x - 12}{24x + 18 - 24x + 16} = \frac{34x}{34} = x$।
चरण $3$: चूँकि $(f \circ f)(x) = x$, इसलिए $g(x) = x$।
चरण $4$: संयोजन $(g \circ g \circ g \circ g \circ g)(x)$, $g(g(g(g(g(x)))))$ के बराबर है।
चूँकि $g(x) = x$, इसलिए $g(g(g(g(g(x))))) = x$।
चरण $5$: $x = 3$ पर मान ज्ञात करें।
$(g \circ g \circ g \circ g \circ g)(3) = 3$।

(D) चरण $1$: विशिष्ट मानों के लिए $f(x)$ और $g(x)$ की गणना करें।
$x \ge 0$ के लिए, $f(x) = 2x - x = x$ और $g(x) = 2x + x = 3x$ है।
$x < 0$ के लिए, $f(x) = 2x - (-x) = 3x$ और $g(x) = 2x + (-x) = x$ है।
चरण $2$: $(fog)(2)$ और $(gof)(2)$ का मूल्यांकन करें।
$(fog)(2) = f(g(2)) = f(3(2)) = f(6) = 6$।
$(gof)(2) = g(f(2)) = g(2) = 3(2) = 6$।
चरण $3$: $(fog)(-2)$ और $(gof)(-2)$ का मूल्यांकन करें।
$(fog)(-2) = f(g(-2)) = f(-2) = 3(-2) = -6$।
$(gof)(-2) = g(f(-2)) = g(3(-2)) = g(-6) = -6$।
चरण $4$: विकल्पों की जाँच करें।
विकल्प $(D)$: $(gof)(2) + (gof)(-2) = 6 + (-6) = 0$। अतः, विकल्प $(D)$ सही है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$।
सबसे पहले, $f(\cos x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ की गणना करें।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर, हमें $f(\cos x) = \frac{2 \sin^2 (x/2)}{2 \cos^2 (x/2)} = \tan^2 \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अब, $f(f(\cos x)) = f(\tan^2 \frac{x}{2}) = \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}$ की गणना करें।
सर्वसमिका $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर, जहाँ $\theta = \frac{x}{2}$ है, हमें $f(f(\cos x)) = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: $f(g(x)) = f(cx + d) = a(cx + d) + b = acx + ad + b$ की गणना करें।
चरण $2$: $g(f(x)) = g(ax + b) = c(ax + b) + d = cax + cb + d$ की गणना करें।
चरण $3$: दोनों व्यंजकों को बराबर रखें: $acx + ad + b = cax + cb + d$।
चरण $4$: चूँकि यह सभी $x$ के लिए सत्य है, अचर पद बराबर होने चाहिए: $ad + b = cb + d$।
चरण $5$: समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: $ad - d = cb - b$, जो $d(a - 1) = b(c - 1)$ है।
चरण $6$: वैकल्पिक रूप से, देखें कि $f(d) = ad + b$ और $g(b) = cb + d$ है। समानता $ad + b = cb + d$ से, हम देखते हैं कि $f(d) = g(b)$ है।

(C) चरण $1$: $(f \circ g)(\frac{3}{2}) = f(g(\frac{3}{2}))$ की गणना करें।
$g(\frac{3}{2}) = [(\frac{3}{2})^2] = [\frac{9}{4}] = [2.25] = 2$.
$f(g(\frac{3}{2})) = f(2) = 2^2 = 4$.
चरण $2$: $(g \circ f)(\frac{3}{2}) = g(f(\frac{3}{2}))$ की गणना करें।
$f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
$g(f(\frac{3}{2})) = [2.25^2] = [5.0625] = 5$.
चरण $3$: परिणामों को जोड़ें।
$(f \circ g)(\frac{3}{2}) + (g \circ f)(\frac{3}{2}) = 4 + 5 = 9$.

(B) दिया गया है $g(x) = 1 - \sqrt{x}$।
हमें $f(6)$ का मान ज्ञात करना है, इसलिए $g(x) = 6$ रखें।
$1 - \sqrt{x} = 6 \implies -\sqrt{x} = 5 \implies \sqrt{x} = -5$।
चूँकि $\sqrt{x}$ का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, यहाँ $x = 25$ है।
$f(g(x))$ के व्यंजक में $\sqrt{x} = -5$ प्रतिस्थापित करें:
$f(6) = 5 + 4(-5) + (-5)^2$।
$f(6) = 5 - 20 + 25$।
$f(6) = 10$।

(B) चरण $1$: $g_n(x)$ का पैटर्न ज्ञात करें।
$f(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$।
$g_2(x) = f(f(x)) = 1 - \frac{1}{1 - 1/x} = 1 - \frac{x}{x-1} = \frac{x-1-x}{x-1} = \frac{-1}{x-1} = \frac{1}{1-x}$।
$g_3(x) = f(g_2(x)) = 1 - \frac{1}{1/(1-x)} = 1 - (1-x) = x$।
चरण $2$: $g_{2025}(x)$ और $g_{2026}(x)$ निर्धारित करें।
चूंकि $g_3(x) = x$, फलन $3$ की अवधि के साथ चक्रित होते हैं।
$2025$, $3$ से विभाज्य है, इसलिए $g_{2025}(x) = g_3(x) = x$।
$g_{2026}(x) = f(g_{2025}(x)) = f(x) = 1 - \frac{1}{x}$।
चरण $3$: समाकल समीकरण को हल करें।
$\int x \cdot (1 - \frac{1}{x}) \, dx = \int (x - 1) \, dx = \frac{x^2}{2} - x + c$।
$\int g_{2025}(x) \, dx = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + c$।
दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x^2}{2} - x + c = \frac{x^2}{2} + c + h(x)$।
अतः, $h(x) = -x$।

(C) फलन $f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x}$ को परिभाषित होने के लिए, वर्गमूल के अंतर्गत व्यंजकों का मान ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए।
चरण $1$: $\sqrt{x - 1}$ के लिए, हमें $x - 1 \ge 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $x \ge 1$।
चरण $2$: $\sqrt{3 - x}$ के लिए, हमें $3 - x \ge 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $x \le 3$।
चरण $3$: प्रांत इन दो शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) है: $x \ge 1$ और $x \le 3$।
चरण $4$: इन्हें संयोजित करने पर, हमें $1 \le x \le 3$ प्राप्त होता है, जो कि अंतराल $[1, 3]$ है।

(C) फलन $f(x) = e^{\sqrt{5x - 3 - 2x^2}}$ को परिभाषित होने के लिए, वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए:
$5x - 3 - 2x^2 \ge 0$
$-1$ से गुणा करने पर और असमिका को पलटने पर:
$2x^2 - 5x + 3 \le 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$2x^2 - 2x - 3x + 3 \le 0$
$2x(x - 1) - 3(x - 1) \le 0$
$(2x - 3)(x - 1) \le 0$
मूल $x = 1$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं।
गुणनफल के $\le 0$ होने के लिए, $x$ को मूलों के बीच (सहित) स्थित होना चाहिए:
$1 \le x \le \frac{3}{2}$
अतः, प्रांत $[1, \frac{3}{2}]$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $e^x + e^{f(x)} = e$ है।
$e^{f(x)}$ को अलग करने पर: $e^{f(x)} = e - e^x$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए, प्राकृतिक लघुगणक का मान धनात्मक होना चाहिए: $e - e^x > 0$।
$e > e^x$।
चूंकि चरघातांकी फलन $e^x$ निरंतर वर्धमान है, इसलिए $x < 1$ होगा।
अतः, $f(x)$ का प्रांत $(-\infty, 1)$ है।

(A) एक परिमेय फलन $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ तब अपरिभाषित होता है जब हर $Q(x) = 0$ हो।
हर को शून्य के बराबर रखें: $x^2 - 3x + 1 = 0$।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करें जहाँ $a = 1, b = -3, c = 1$ है।
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
अतः, $f(x)$, $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ और $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ के लिए परिभाषित नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1} (ax) + \tan^{-1} (3x) = \frac{\pi}{4}$ है।
सूत्र $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{ax + 3x}{1 - 3ax^2} \right) = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर: $\frac{x(a+3)}{1-3ax^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$।
समीकरण में $x = \frac{1}{6}$ रखने पर:
$\frac{\frac{1}{6}(a+3)}{1 - 3a(\frac{1}{6})^2} = 1$।
$\frac{\frac{a+3}{6}}{1 - \frac{3a}{36}} = 1 \implies \frac{a+3}{6} = 1 - \frac{a}{12}$।
$12$ से गुणा करने पर: $2(a+3) = 12 - a$।
$2a + 6 = 12 - a \implies 3a = 6 \implies a = 2$।

(B) दिया गया है $y = \cot^{-1} \left( \frac{x - \log x}{x^2 \cdot 2 \log x + x \log x} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{x - \log x}{x \log x (2x + 1)} \right)$। यह व्यंजक $y = \cot^{-1} \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{x} \right)$ में सरल हो जाता है।
सर्वसमिका $\cot^{-1} u = \tan^{-1} (1/u)$ का उपयोग करते हुए, $y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} (\log x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) + \frac{d}{dx} (\tan^{-1} (\log x)) = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + (\log x)^2} \cdot \frac{1}{x}$।
अतः, विकल्प $B$ सही है।

(A) माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर, $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$।
माना $u = \sin^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$, इसलिए $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
$f(u) = u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = 2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4}$।
यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। न्यूनतम मान $u = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, न्यूनतम मान $f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})^2 - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = 2(\frac{\pi^2}{16}) - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$ है।

(B) $f(x)$ का प्रांत $x \in [-1, 1]$ है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$।
इसे $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$।
माना $t = \sin^{-1} x$। चूंकि $x \in [-1, 1]$, $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$।
$f(t) = t^2 + (\frac{\pi}{2} - t)^2 = t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = 2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{4}$।
यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। शीर्ष $t = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ पर है।
चूंकि $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, न्यूनतम मान $f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})^2 - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$ है।
अधिकतम मान अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के अंत बिंदुओं पर होता है।
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2(-\frac{\pi}{2})^2 - \pi(-\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{5\pi^2}{4}$।
$f(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 - \pi(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{4}$।
अतः, अधिकतम मान $\frac{5\pi^2}{4}$ और न्यूनतम मान $\frac{\pi^2}{8}$ है।
योग $= \frac{5\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{11\pi^2}{8}$।

(A) हम जानते हैं कि $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना $a = \tan^{-1} x$ और $b = \cot^{-1} x$ है। तब $a + b = \frac{\pi}{2}$, इसलिए $b = \frac{\pi}{2} - a$ होगा।
दिया गया समीकरण $a^2 + b^2 = \frac{5\pi^2}{8}$ है।
$b$ का मान रखने पर, हमें $a^2 + (\frac{\pi}{2} - a)^2 = \frac{5\pi^2}{8}$ प्राप्त होता है।
$a^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi a + a^2 = \frac{5\pi^2}{8}$।
$2a^2 - \pi a + \frac{2\pi^2}{8} - \frac{5\pi^2}{8} = 0$।
$2a^2 - \pi a - \frac{3\pi^2}{8} = 0$।
$8$ से गुणा करने पर: $16a^2 - 8\pi a - 3\pi^2 = 0$।
द्विघात सूत्र $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, $a = \frac{8\pi \pm \sqrt{64\pi^2 + 192\pi^2}}{32} = \frac{8\pi \pm 16\pi}{32}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $a = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}$। चूँकि $\tan^{-1} x$ का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है, यह अमान्य है।
स्थिति $2$: $a = \frac{-8\pi}{32} = -\frac{\pi}{4}$।
अतः, $\tan^{-1} x = -\frac{\pi}{4}$, जिसका अर्थ है $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$।

(A) माना $u = \sin^{-1} x$ है। चूँकि $0 \le x \le 1$, इसलिए $0 \le u \le \frac{\pi}{2}$ है।
तब $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ है।
व्यंजक $f(u) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3$ हो जाता है, जहाँ $u \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है।
$f(u) = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$ है।
परिसर ज्ञात करने के लिए, क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें: $f'(u) = 3\pi u - \frac{3\pi^2}{4} = 0 \implies u = \frac{\pi}{4}$ है।
$u = 0$ पर, $f(0) = \frac{\pi^3}{8}$ है।
$u = \frac{\pi}{4}$ पर, $f(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^3 + (\frac{\pi}{4})^3 = 2(\frac{\pi^3}{64}) = \frac{\pi^3}{32}$ है।
$u = \frac{\pi}{2}$ पर, $f(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})^3 + 0 = \frac{\pi^3}{8}$ है।
अतः, न्यूनतम मान $\frac{\pi^3}{32}$ है और अधिकतम मान $\frac{\pi^3}{8}$ है।
दिया गया है $a\pi^3 = f(u)$, इसलिए $\frac{\pi^3}{32} \le a\pi^3 \le \frac{\pi^3}{8}$, जिससे $\frac{1}{32} \le a \le \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $a \ge \frac{1}{32}$।

(D) दिया गया है $I_1 = \int \sin^{-1} \sqrt{1 - x^2} dx$ और $I_2 = \int \sin^{-1} x dx$।
चूंकि $0 \le x \le 1$ के लिए $\sin^{-1} \sqrt{1 - x^2} = \cos^{-1} x$ होता है, इसलिए $I_1 = \int \cos^{-1} x dx$ है।
अब, $I_1 + I_2 = \int (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x) dx$।
सर्वसमिका $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर, हमें $I_1 + I_2 = \int \frac{\pi}{2} dx$ प्राप्त होता है।
अतः, $I_1 + I_2 = \frac{\pi}{2} x + C$।

(B) दिया गया है $\sin(\cos^{-1} x + \tan^{-1} x) - \cos(\sin^{-1} x + \tan^{-1} x) = \sin(\cot^{-1} 2)$।
माना $\theta = \tan^{-1} x$। तब $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \theta$ और $\sin^{-1} x = \theta$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta + \theta) - \cos(\theta + \theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$\sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(2\theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$1 - \cos(2\theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$1 - \frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
$\frac{2x^2}{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$।
चूँकि विकल्प $x = 1/2$ के लिए $\frac{2(1/4)}{1+1/4} = \frac{1/2}{5/4} = 2/5$, अतः प्रश्न में $\sin(\cot^{-1} 2)$ के स्थान पर $2/5$ होना चाहिए।

(A) हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना $A = \sin^{-1} x$ और $B = \cos^{-1} x$ है। तब $A + B = \frac{\pi}{2}$, जिसका अर्थ है $B = \frac{\pi}{2} - A$।
दिया गया समीकरण $2A - 3B = 4$ है।
समीकरण में $B = \frac{\pi}{2} - A$ प्रतिस्थापित करने पर: $2A - 3(\frac{\pi}{2} - A) = 4$।
$2A - \frac{3\pi}{2} + 3A = 4 \implies 5A = 4 + \frac{3\pi}{2} = \frac{8 + 3\pi}{2} \implies A = \frac{8 + 3\pi}{10}$।
अब $B$ का मान ज्ञात करें: $B = \frac{\pi}{2} - \frac{8 + 3\pi}{10} = \frac{5\pi - 8 - 3\pi}{10} = \frac{2\pi - 8}{10} = \frac{\pi - 4}{5}$।
हमें $2A + 3B$ ज्ञात करना है: $2(\frac{8 + 3\pi}{10}) + 3(\frac{2\pi - 8}{10}) = \frac{16 + 6\pi + 6\pi - 24}{10} = \frac{12\pi - 8}{10} = \frac{6\pi - 4}{5}$।

(C) माना $\cos^{-1} x = \theta$, तब $\cos \theta = x$। अतः $\cot(\cos^{-1} x) = \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$।
माना $\tan^{-1} \frac{a}{\sqrt{b^2 - a^2}} = \phi$, तब $\tan \phi = \frac{a}{\sqrt{b^2 - a^2}}$।
सर्वसमिका $\sec^2 \phi = 1 + \tan^2 \phi$ का उपयोग करने पर, $\sec^2 \phi = 1 + \frac{a^2}{b^2 - a^2} = \frac{b^2 - a^2 + a^2}{b^2 - a^2} = \frac{b^2}{b^2 - a^2}$।
अतः, $\sec \phi = \frac{b}{\sqrt{b^2 - a^2}}$।
दोनों पक्षों को बराबर करने पर: $\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2 - a^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{x^2}{1 - x^2} = \frac{b^2}{b^2 - a^2}$।
$x^2(b^2 - a^2) = b^2(1 - x^2) = b^2 - b^2 x^2$।
$x^2(b^2 - a^2 + b^2) = b^2 \implies x^2(2b^2 - a^2) = b^2$।
$x^2 = \frac{b^2}{2b^2 - a^2} \implies x = \frac{b}{\sqrt{2b^2 - a^2}}$।

(B) माना $x^2 = \cos \theta$, अतः $\theta = \cos^{-1}(x^2)$ है।
तब $y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\sqrt{1 + \cos \theta} - \sqrt{1 - \cos \theta}}{\sqrt{1 + \cos \theta} + \sqrt{1 - \cos \theta}} \right\}$ होगा।
अर्ध-कोण सूत्रों $\sqrt{1 + \cos \theta} = \sqrt{2} \cos(\theta/2)$ और $\sqrt{1 - \cos \theta} = \sqrt{2} \sin(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\sqrt{2} \cos(\theta/2) - \sqrt{2} \sin(\theta/2)}{\sqrt{2} \cos(\theta/2) + \sqrt{2} \sin(\theta/2)} \right\} = \tan^{-1} \left\{ \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} \right\}$ प्राप्त होता है।
$y = \tan^{-1} \left\{ \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}) \right\} = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} \cdot 2x \right) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^4}}$।

(B) दिया गया है: $\tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{5} - 2\sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}} \right] = \frac{\pi}{3} - \tan^{-1}(k)$।
$\tan^{-1}$ के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर, $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{6}} = \tan(\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \tan^{-1}(\sqrt{2})) = \tan(\frac{\pi}{3} - \tan^{-1}(\sqrt{2}))$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर, $\tan^{-1}(\sqrt{2}) = \tan^{-1}(k)$, अतः $k = \sqrt{2}$।
हमें $\sec^{-1}(\sqrt{2})$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$, इसलिए $\sec^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 + \sin 2x}{1 - \sin 2x}}$।
$1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर, $1 + \sin 2x = (\cos x + \sin x)^2$ और $1 - \sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$ प्राप्त होता है।
अतः, $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{(\cos x + \sin x)^2}{(\cos x - \sin x)^2}} = \tan^{-1} \left| \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} \right|$।
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर, $y = \tan^{-1} \left| \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} \right| = \tan^{-1} |\tan(\frac{\pi}{4} + x)|$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए, $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12}$, जो प्रथम चतुर्थांश में है, इसलिए $y = \frac{\pi}{4} + x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} + x) = 1$।

(B) माना $x = \sin \theta$, जहाँ $\theta = \sin^{-1} x$ है।
तब $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \cos \theta$ होगा।
व्यंजक $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta} \right]$ बन जाता है।
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर: $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta + 1} \right]$।
$\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $y = \tan^{-1} [-\tan(\frac{\pi}{4} - \theta)] = \tan^{-1} [\tan(\theta - \frac{\pi}{4})]$ है।
अतः, $y = \theta - \frac{\pi}{4} = \sin^{-1} x - \frac{\pi}{4}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) - 0 = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$।

(A) चरण $1$: $x$ को सरल करें। $t = \tan \theta$ रखने पर, $x = \text{cosec}^{-1} \left( \frac{1 + \tan^2 \theta}{2 \tan \theta} \right) = 2\theta = 2 \tan^{-1} t$।
चरण $2$: $y$ को सरल करें। $t = \sin \theta$ रखने पर, $y = \cot^{-1} \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) = \theta = \sin^{-1} t$।
चरण $3$: $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें। $\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1 + t^2}$ और $\frac{dy}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$। अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{1 + t^2}{2 \sqrt{1 - t^2}}$।
चरण $4$: $f(\tan \alpha)$ का मान $\frac{1 + \tan^2 \alpha}{2 \sqrt{1 - \tan^2 \alpha}}$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\frac{x}{1+x}}$ को परिभाषित होने के लिए, वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए:
$\frac{x}{1+x} \ge 0$
साथ ही, हर (denominator) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए $1+x \neq 0$, जिसका अर्थ है $x \neq -1$।
असमिका $\frac{x}{x+1} \ge 0$ के लिए हम चिन्ह योजना (Wavy Curve Method) का उपयोग करते हैं:
क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = -1$ हैं।
अंतरालों की जाँच:
$1$. $x > 0$ के लिए, $\frac{x}{1+x} > 0$ (धनात्मक)।
$2$. $-1 < x < 0$ के लिए, $\frac{x}{1+x} < 0$ (ऋणात्मक)।
$3$. $x < -1$ के लिए, $\frac{x}{1+x} > 0$ (धनात्मक)।
चूंकि हमें $\frac{x}{1+x} \ge 0$ चाहिए, हम $x=0$ को शामिल करते हैं और $x=-1$ को छोड़ देते हैं।
अतः, प्रांत $(-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{6-x}$ को परिभाषित होने के लिए, दोनों वर्गमूल व्यंजकों का मान ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए।
चरण $1$: $\sqrt{x-1}$ के लिए, हमें $x-1 \ge 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $x \ge 1$।
चरण $2$: $\sqrt{6-x}$ के लिए, हमें $6-x \ge 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $x \le 6$।
चरण $3$: प्रांत इन दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन (intersection) है: $x \ge 1$ और $x \le 6$।
चरण $4$: इन्हें संयोजित करने पर, हमें $1 \le x \le 6$ प्राप्त होता है, जिसे अंतराल संकेतन में $[1, 6]$ लिखा जाता है।

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए, हमारे पास $k = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0} [\tan(\frac{\pi}{4} + x)]^{\frac{1}{x}}$, $1^\infty$ के रूप में है।
सूत्र $\lim_{x \to 0} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to 0} h(x)[g(x) - 1]}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$k = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} [\tan(\frac{\pi}{4} + x) - 1]}$।
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए, $\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ है।
अतः, $k = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} [\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1]} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} [\frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x}]} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)}}$।
चूंकि $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, हमें $k = e^{\frac{2(1)}{1 - 0}} = e^2$ प्राप्त होता है।

(B) $x > 0$ के लिए, $|x| = x$, अतः $f(x) = \frac{x - x}{x} = 0$ है।
$x < 0$ के लिए, $|x| = -x$, अतः $f(x) = \frac{x - (-x)}{x} = \frac{2x}{x} = 2$ है।
$x = 0$ पर, $f(0) = 2$ है।
अब, $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ है।
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2$ है।
चूँकि $\lim_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim_{x \to 0^-} f(x)$, इसलिए $x = 0$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है, अतः $f$, $x = 0$ पर असंतत है।
$x > 0$ के लिए, $f(x) = 0$ (एक अचर फलन), जो संतत है।
$x < 0$ के लिए, $f(x) = 2$ (एक अचर फलन), जो संतत है।
अतः, $f$, $x = 0$ को छोड़कर सभी $x$ के लिए संतत है।

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए, $k = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0} \frac{(8-2x)^{1/3} - 2}{3 - (243+5x)^{1/5}} = \lim_{x \to 0} \frac{2(1 - x/4)^{1/3} - 2}{3 - 3(1 + 5x/243)^{1/5}}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2[1 + \frac{1}{3}(-x/4) + \dots] - 2}{3 - 3[1 + \frac{1}{5}(5x/243) + \dots]}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2 - x/6 - 2}{3 - 3 - x/81} = \lim_{x \to 0} \frac{-x/6}{-x/81} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}$।

(D) चूँकि $f(x)$, $x = 0$ पर संतत है, इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होगा।
$\lim_{x \to 0} \frac{8^x - 2^x}{k^x - 1} = 2$।
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{8^x - 1}{x} - \frac{2^x - 1}{x}}{\frac{k^x - 1}{x}} = 2$।
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{\ln 8 - \ln 2}{\ln k} = 2$ प्राप्त होता है।
$\frac{\ln(8/2)}{\ln k} = 2 \implies \frac{\ln 4}{\ln k} = 2$।
$\ln 4 = 2 \ln k \implies \ln 4 = \ln(k^2)$।
$k^2 = 4 \implies k = 2$ (चूँकि सीमा के अस्तित्व के लिए $k > 0$ और $k \neq 1$ होना चाहिए)।

(C) चूँकि $f$, $x = 1$ पर संतत है, इसलिए $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$ है।
माना $x = 1 + h$ है। जैसे $x \to 1$, $h \to 0$ होगा।
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 + \cos(\pi(1+h))}{\pi(1-(1+h))^2}$।
$\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करने पर, हमें $\cos(\pi + \pi h) = -\cos(\pi h)$ प्राप्त होता है।
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos(\pi h)}{\pi h^2}$।
सर्वसमिका $1 - \cos(\theta) = 2\sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर, $1 - \cos(\pi h) = 2\sin^2(\frac{\pi h}{2})$ प्राप्त होता है।
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{\pi h}{2})}{\pi h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{\frac{\pi h}{2} \cdot \frac{2}{\pi}} \right)^2 = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{\frac{\pi h}{2}} \right)^2$।
चूँकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ है, इसलिए $f(1) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}$।

(A) चरण $1$: अवकलज $f'(x)$ ज्ञात कीजिए।
$f'(x) = \begin{cases} 2ax & \text{यदि } x < -1 \\ 2bx + a & \text{यदि } x > -1 \end{cases}$
चरण $2$: चूँकि $f'(x)$ सर्वत्र सतत है, यह $x = -1$ पर भी सतत होना चाहिए। अतः, $\lim_{x \to -1^-} f'(x) = \lim_{x \to -1^+} f'(x)$।
$2a(-1) = 2b(-1) + a \implies -2a = -2b + a \implies 3a = 2b \implies b = \frac{3}{2}a$।
चरण $3$: $x = -1$ पर $f'(x)$ के अस्तित्व के लिए, $f(x)$ को $x = -1$ पर सतत होना चाहिए। अतः, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = f(-1)$।
$a(-1)^2 + b = b(-1)^2 + a(-1) + 4 \implies a + b = b - a + 4 \implies 2a = 4 \implies a = 2$।
चरण $4$: $a = 2$ को $b = \frac{3}{2}a$ में प्रतिस्थापित करें।
$b = \frac{3}{2}(2) = 3$। अतः, $a = 2, b = 3$।

(C) चूँकि फलन $f$, $x = \pi$ पर सतत है, इसलिए $f(\pi) = \lim_{x \to \pi} f(x)$ होगा।
माना $t = x - \pi$ है। जैसे $x \to \pi$, $t \to 0$ होगा।
अतः $f(\pi) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos(7t)}{5t^2}$।
सर्वसमिका $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर, $1 - \cos(7t) = 2 \sin^2(7t/2)$ प्राप्त होता है।
$f(\pi) = \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin^2(7t/2)}{5t^2}$।
$f(\pi) = \frac{2}{5} \lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin(7t/2)}{t} \right)^2$।
$(7/2)^2$ से गुणा और भाग करने पर: $f(\pi) = \frac{2}{5} \times (7/2)^2 \times \lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin(7t/2)}{7t/2} \right)^2$।
चूँकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ है, इसलिए $f(\pi) = \frac{2}{5} \times \frac{49}{4} \times 1^2 = \frac{49}{10}$।

(C) एक फलन $f(x)$, $x=0$ पर संतत है यदि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ हो।
$(A)$ $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{2}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{2}{x} \cdot x} = e^2 = f(0)$। संतत है।
$(B)$ $\lim_{x \to 0} (\sin x - \cos x) = 0 - 1 = -1 = f(0)$। संतत है।
$(C)$ $x \to 0^+$ के लिए, $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x}(1 - e^{-1/x})}{e^{1/x}(1 + e^{-1/x})} = 1$। $x \to 0^-$ के लिए, $\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$। चूँकि $\text{LHL} \neq \text{RHL}$, सीमा का अस्तित्व नहीं है। असंतत है।
$(D)$ $\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - e^{2x}}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{5x}-1}{x} - \frac{e^{2x}-1}{x}}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3} = \frac{5 - 2}{3} = 1 = f(0)$। संतत है।

(A) चरण $1$: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करके अंश को सरल करें।
$\sin 3x + \sin x = 2 \sin 2x \cos x$।
अंश $= 4\sqrt{2} (2 \sin 2x \cos x) = 8\sqrt{2} \sin 2x \cos x$।
चरण $2$: $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ और $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करके हर को सरल करें।
$2 \sin 2x \sin \frac{3x}{2} = \cos(2x - \frac{3x}{2}) - \cos(2x + \frac{3x}{2}) = \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{7x}{2}$।
हर $= \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{7x}{2} + \cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{3x}{2} = (\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2}) + (\cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{7x}{2})$।
$= 2 \sin x \sin \frac{x}{2} + 2 \sin 3x \sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} (\sin x + \sin 3x) = 2 \sin \frac{x}{2} (2 \sin 2x \cos x) = 4 \sin \frac{x}{2} \sin 2x \cos x$।
चरण $3$: $f(x) = \frac{8\sqrt{2} \sin 2x \cos x}{4 \sin \frac{x}{2} \sin 2x \cos x} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{x}{2}}$।
चरण $4$: $x = \frac{\pi}{2}$ पर सांतत्य के लिए, $f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 4$।