MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया समीकरण $16x^2 - 24xy + 9y^2 - 8x + 6y - 35 = 0$ है।
ध्यान दें कि $16x^2 - 24xy + 9y^2 = (4x - 3y)^2$ है।
माना $u = 4x - 3y$ है। तब समीकरण $u^2 - 2u - 35 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(u - 7)(u + 5) = 0$।
इससे दो रेखाएँ प्राप्त होती हैं: $L_1: 4x - 3y - 7 = 0$ और $L_2: 4x - 3y + 5 = 0$।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ $ax + by + \frac{c_1 + c_2}{2} = 0$ रेखा होती है।
यहाँ $a = 4, b = -3, c_1 = -7, c_2 = 5$ है।
बिंदुपथ $4x - 3y + \frac{-7 + 5}{2} = 0$ है।
$4x - 3y - 1 = 0$।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है। यहाँ, $a = 1$, $h = -p$, और $b = -1$ है।
कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-p}$।
$\frac{x^2 - y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$।
$-p(x^2 - y^2) = 2xy$।
$-px^2 + py^2 = 2xy$।
$px^2 + 2xy - py^2 = 0$।
इसे दिए गए समीकरण $x^2 - 2qxy - y^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर, हम अपने व्युत्पन्न समीकरण को $p$ से विभाजित करते हैं:
$x^2 + \frac{2}{p}xy - y^2 = 0$।
गुणांकों की तुलना करने पर: $-2q = \frac{2}{p}$।
$-q = \frac{1}{p}$, जिसका अर्थ है $pq = -1$ या $pq + 1 = 0$।

(D) चरण $1$: रेखाओं के युग्म $2x^2 - 3xy - 2y^2 = 0$ का गुणनखंड करें। हमारे पास $2x^2 - 4xy + xy - 2y^2 = 2x(x - 2y) + y(x - 2y) = (2x + y)(x - 2y) = 0$ है। रेखाएं $L_1: 2x + y = 0$ और $L_2: x - 2y = 0$ हैं।
चरण $2$: ध्यान दें कि ढलानों $m_1 = -2$ और $m_2 = 1/2$ का गुणनफल $-2 \times (1/2) = -1$ है। अतः, रेखाएं $L_1$ और $L_2$ लंबवत हैं, जो मूल बिंदु $(0, 0)$ पर मिलती हैं।
चरण $3$: तीसरी रेखा $L_3: 3x - y = 7$ है। त्रिभुज $L_1, L_2, L_3$ के प्रतिच्छेदन से बनता है। चूंकि $L_1 \perp L_2$, त्रिभुज मूल बिंदु पर समकोण है।
चरण $4$: मूल बिंदु से रेखा $L_3$ तक भुजाओं की लंबाई की गणना करें। $(0,0)$ से $L_1$ की दूरी $d_1 = |(3(0) - (0) - 7) / \sqrt{3^2 + (-1)^2}| = 7 / \sqrt{10}$ है। $L_3$ पर शीर्ष प्रणालियों को हल करके पाए जाते हैं: $L_1 \cap L_3 \implies 2x + y = 0, 3x - y = 7 \implies x = 1, y = -2$। $L_2 \cap L_3 \implies x - 2y = 0, 3x - y = 7 \implies x = 2, y = 1$।
चरण $5$: समकोण बनाने वाली भुजाओं की लंबाई $OA = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$ और $OB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ है। चूंकि $OA = OB$, त्रिभुज समद्विबाहु है। अतः, यह एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$ है। इसकी तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर, हमें $a = 1$, $2h = -3$ (अतः $h = -\frac{3}{2}$), और $b = 2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच न्यून कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(2)}}{1 + 2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4} - 2}}{3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{3} \right| = \left| \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{3} \right| = \frac{1}{3}$।
चूंकि $\tan \theta = \frac{1}{3}$, व्यंजक को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर: $\frac{3 \tan \theta + 2}{3 \tan \theta - 2}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \frac{1}{3}$ रखने पर: $\frac{3(\frac{1}{3}) + 2}{3(\frac{1}{3}) - 2} = \frac{1 + 2}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3$।

(C) दिया गया समीकरण $2x^2 + 7xy + 3y^2 = 0$ है। इसकी तुलना $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से करने पर, हमें $a = 2$, $2h = 7 \implies h = \frac{7}{2}$, और $b = 3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच न्यून कोण $\theta$ के लिए सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ है।
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{7}{2})^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{49}{4} - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4}}}{5} \right| = \left| \frac{2 \cdot \frac{5}{2}}{5} \right| = 1$।
चूंकि $\tan \theta = 1$, इसलिए $\theta = 45^\circ$। अतः, $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 3(\frac{1}{\sqrt{2}})}{4(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 5(\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\frac{2-3}{\sqrt{2}}}{\frac{4+5}{\sqrt{2}}} = \frac{-1}{9}$।

(C) रेखाओं के युग्म का व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
$2x^2 + xy - y^2 - x + 2y - 1 = 0$ की तुलना व्यापक रूप से करने पर, हमें $a = 2$, $2h = 1 \implies h = \frac{1}{2}$, और $b = -1$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$, $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{1}{2})^2 - (2)(-1)}}{2 + (-1)} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4} + 2}}{1} \right| = 2\sqrt{\frac{9}{4}} = 2 \times \frac{3}{2} = 3$।
अतः, $\theta = \tan^{-1}(3)$। चूंकि प्रश्न में न्यून कोण पूछा गया है, हम विकल्पों की जाँच करते हैं। ध्यान दें कि $\tan \theta = 3 \implies \sin \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
इसलिए, $\theta = \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{10}}$। सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ है। $abh$ से गुणा करने पर, $bhx^2 + 2axy + ahy^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2$ से भाग देने पर, $ahy^2/x^2 + 2ay/x + bh = 0$ प्राप्त होता है। माना $m = y/x$ रेखाओं की ढाल है।
तब $ahm^2 + 2am + bh = 0$ है।
माना मूल $m$ और $2m$ हैं। मूलों का योग: $m + 2m = 3m = -2a / ah = -2/h$, अतः $m = -2/(3h)$ है।
मूलों का गुणनफल: $m \cdot 2m = 2m^2 = bh / ah = b/a$ है।
$m = -2/(3h)$ को $2m^2 = b/a$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(-2/(3h))^2 = b/a \implies 2(4 / 9h^2) = b/a \implies 8 / 9h^2 = b/a$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $h^2 / ab = 9 / 8$ प्राप्त होता है, अतः $h^2 : ab = 9:8$ है।

(A) माना अभीष्ट रेखाओं की ढाल $m$ है। दी गई रेखा $3x + y - 6 = 0$ की ढाल $m_1 = -3$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है। सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m - (-3)}{1 + m(-3)} \right| \implies 1 = \left| \frac{m + 3}{1 - 3m} \right|$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $1 = \frac{m + 3}{1 - 3m}$ या $1 = -\frac{m + 3}{1 - 3m}$।
स्थिति $1$: $1 - 3m = m + 3 \implies 4m = -2 \implies m = -\frac{1}{2}$।
स्थिति $2$: $1 - 3m = -(m + 3) \implies 1 - 3m = -m - 3 \implies 2m = 4 \implies m = 2$।
रेखाओं के समीकरण $y = -\frac{1}{2}x$ और $y = 2x$ हैं, जो $x + 2y = 0$ और $2x - y = 0$ हैं।
संयुक्त समीकरण $(x + 2y)(2x - y) = 0$ है।
$2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 0 \implies 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$।

(C) चरण $1$: मान लीजिए रेखा $y = 3 - x$ है। इसे रेखाओं के युग्म $x^2 - 3xy + y^2 = 0$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
चरण $2$: $x^2 - 3x(3 - x) + (3 - x)^2 = 0$।
चरण $3$: $x^2 - 9x + 3x^2 + 9 - 6x + x^2 = 0$।
चरण $4$: $5x^2 - 15x + 9 = 0$। मान लीजिए मूल $x_1$ और $x_2$ हैं, जो $A$ और $B$ के $x$-निर्देशांक हैं।
चरण $5$: मध्य-बिंदु का $x$-निर्देशांक $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-(-15)}{2 \times 5} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ है।
चरण $6$: चूँकि मध्य-बिंदु रेखा $x + y = 3$ पर स्थित है, $y$-निर्देशांक $y = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ है।
चरण $7$: अतः, मध्य-बिंदु $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ है।

(D) पहला वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ है, जिसका केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 4$ है।
दूसरा वृत्त $x^2 + y^2 + 2ax + 4y + 4 = 0$ है। इसे $(x+a)^2 + (y+2)^2 = a^2$ के रूप में लिखने पर, केंद्र $C_2 = (-a, -2)$ और त्रिज्या $r_2 = |a|$ प्राप्त होती है।
दो वृत्तों के आंतरिक रूप से स्पर्श करने के लिए, उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2$, उनकी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होनी चाहिए: $d = |r_1 - r_2|$।
$d = \sqrt{(-a - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{a^2 + 4}$।
अतः, $\sqrt{a^2 + 4} = |4 - |a||$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^2 + 4 = (4 - |a|)^2 = 16 - 8|a| + a^2$।
$4 = 16 - 8|a| \implies 8|a| = 12 \implies |a| = 12/8 = 3/2$।
इस प्रकार, $a = \pm 3/2$। विकल्पों को देखते हुए, हम सही मान चुनते हैं।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि केंद्र $4x - y - 3 = 0$ पर स्थित है, इसलिए $4h - k - 3 = 0$, या $k = 4h - 3$ है।
चूँकि वृत्त $(2, 3)$ और $(4, 5)$ से होकर गुजरता है, केंद्र से इन बिंदुओं की दूरियाँ समान (त्रिज्या $r$) होंगी:
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$।
$h + k = 7$ में $k = 4h - 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h + (4h - 3) = 7 \implies 5h = 10 \implies h = 2$।
तब $k = 4(2) - 3 = 5$ है।
केंद्र $(2, 5)$ है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (2 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = 0 + 4 = 4$ है।
समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$ है।

(A) चरण $1$: दो समांतर रेखाओं $3x - 4y + 8 = 0$ और $3x - 4y - 28 = 0$ के बीच की दूरी वृत्त का व्यास है। दूरी $d = \frac{|8 - (-28)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{36}{5} = 7.2$ है। अतः त्रिज्या $r = 3.6$ है।
चरण $2$: केंद्र $(h, k)$, $x + 2y = 0$ पर स्थित है, इसलिए $h = -2k$। केंद्र दोनों रेखाओं से समान दूरी पर है। मध्य रेखा $3x - 4y - 10 = 0$ है।
चरण $3$: $h = -2k$ को $3h - 4k - 10 = 0$ में रखने पर, $3(-2k) - 4k - 10 = 0 \implies k = -1$ और $h = 2$। केंद्र $(2, -1)$ है।
चरण $4$: वृत्त का समीकरण $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = r^2$ है। $r^2 = 12.96$।

(C) समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ के एक वृत्त को निरूपित करने के लिए, $xy$ का गुणांक $0$ होना चाहिए और $x^2$ तथा $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए।
चरण $1$: $xy$ के गुणांक को $0$ के बराबर रखें: $3 - p = 0 \implies p = 3$।
चरण $2$: $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों को समान रखें: $3 = q$।
चरण $3$: समीकरण में $p=3$ और $q=3$ प्रतिस्थापित करें: $3x^2 + 3y^2 - 2(3)x = 8(3)(3) \implies 3x^2 + 3y^2 - 6x = 72$।
चरण $4$: $3$ से भाग दें: $x^2 + y^2 - 2x = 24$।
चरण $5$: वर्ग पूर्ण करें: $(x^2 - 2x + 1) + y^2 = 24 + 1 \implies (x - 1)^2 + y^2 = 25$।
चरण $6$: त्रिज्या $r = \sqrt{25} = 5$ है। क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi(5)^2 = 25\pi$ वर्ग इकाई है।

(C) समीकरण के वृत्त निरूपित करने के लिए, $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए। अतः, $a + 1 = 3$, जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $a = 2$ रखने पर: $3x^2 + 3y^2 - 6x + 9y + 6 = 0$।
$3$ से भाग देने पर: $x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 = 0$।
सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर, हमें $2g = -2 \implies g = -1$ और $2f = 3 \implies f = 3/2$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(-g, -f) = (1, -3/2)$ है।
त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (3/2)^2 - 2} = \sqrt{1 + 9/4 - 2} = \sqrt{9/4 - 1} = \sqrt{5/4} = \sqrt{5}/2$ है।

(D) वृत्त $C_1: x^2 + y^2 - 6x = 0$ के लिए, केंद्र $C_1 = (3, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2 + 0^2 - 0} = 3$ है।
वृत्त $C_2: x^2 + y^2 + 6x + 2y + 1 = 0$ के लिए, केंद्र $C_2 = (-3, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 - 1} = \sqrt{9 + 1 - 1} = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$ है।
चूंकि $r_1 + r_2 = 3 + 3 = 6$ और $\sqrt{37} > 6$, केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग से अधिक है $(d > r_1 + r_2)$।
अतः, वृत्त अलग-अलग हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद या स्पर्श नहीं करते हैं।
इस स्थिति में, उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $4$ है।

(B) परवलय का समीकरण $x^2 = 48y$ है। इसकी तुलना $x^2 = 4ay$ से करने पर, हमें $4a = 48$ प्राप्त होता है, अतः $a = 12$ है।
परवलय का शीर्ष $V(0, 0)$ है।
नाभिलंब के सिरे $(2a, a)$ और $(-2a, a)$ पर हैं, जो $(24, 12)$ और $(-24, 12)$ हैं।
शीर्षों $(0, 0)$, $(24, 12)$, और $(-24, 12)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(12 - 12) + 24(12 - 0) + (-24)(0 - 12)|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 288 + 288| = \frac{1}{2} |576| = 288 \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) $y^2 = 4ax$ रूप के परवलय के लिए, नाभि $(a, 0)$ पर होती है और नियता का समीकरण $x = -a$ होता है।
दिया गया है $y^2 = 16x$, इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर $4a = 16$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $a = 4$।
नाभि $(4, 0)$ पर है और नियता $x = -4$ है।
नाभि $(4, 0)$ और नियता $x = -4$ के बीच की दूरी $|4 - (-4)| = |4 + 4| = 8$ इकाई है।

(D) माना नाभि $(a, 0)$ है और नियता $x = 0$ है। परवलय उन बिंदुओं $(x, y)$ का बिंदुपथ है जिनकी $(a, 0)$ से दूरी $x = 0$ से दूरी के बराबर है: $(x-a)^2 + y^2 = x^2$। सरल करने पर, $y^2 = 2ax - a^2 = 2a(x - a/2)$।
चूँकि $P(\alpha, 4)$ परवलय पर स्थित है, $16 = 2a(\alpha - a/2) = 2a\alpha - a^2$।
परवलय $y^2 = 2ax - a^2$ के बिंदु $P(\alpha, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $4y = a(x + \alpha) - a^2$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा $(0, 0)$ से गुजरती है, $0 = a\alpha - a^2$, जिसका अर्थ है $a = \alpha$ (चूँकि $a \neq 0$)।
$a = \alpha$ को परवलय के समीकरण में रखने पर: $16 = 2\alpha^2 - \alpha^2 = \alpha^2$।
अतः $\alpha^2 = 16$, इसलिए $\alpha = 4$ (चूँकि नाभि धनात्मक $X$-अक्ष पर है, $\alpha > 0$)।
बिंदु $P$ $(4, 4)$ है।
मूल बिंदु से $P$ की दूरी $\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए, $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ, $a^2 = 16$, $b^2 = 9$, और झुकाव $30^\circ$ है, इसलिए $m = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \pm \sqrt{16(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 9}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{16}{3} + 9}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{16 + 27}{3}}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{43}{3}}$
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}y = x \pm \sqrt{43}$
$x - \sqrt{3}y \pm \sqrt{43} = 0$।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 144$ है। $144$ से भाग देने पर, हमें $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर, $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
रेखा $3x + 4y + k = 0$ को $4y = -3x - k$ के रूप में लिखें, जिससे $y = -\frac{3}{4}x - \frac{k}{4}$ प्राप्त होता है।
यहाँ, $m = -\frac{3}{4}$ और $c = -\frac{k}{4}$ है।
इन मानों को शर्त में प्रतिस्थापित करने पर: $(-\frac{k}{4})^2 = 16(-\frac{3}{4})^2 + 9$।
$\frac{k^2}{16} = 16(\frac{9}{16}) + 9$।
$\frac{k^2}{16} = 9 + 9 = 18$।
$k^2 = 18 \times 16 = 288$।
$k = \pm \sqrt{288} = \pm 12\sqrt{2}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ है, जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है।
प्रवणता $m$ वाली दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ होता है।
दिया है $m = -1/2$, समीकरण होगा $y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{4(-\frac{1}{2})^2 + 3} = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{1 + 3} = -\frac{1}{2}x \pm 2$।
$X$-अंतःखंड $(A)$ के लिए, $y = 0$ रखें: $0 = -\frac{1}{2}x \pm 2 \implies x = \pm 4$। अतः $A = (\pm 4, 0)$।
$Y$-अंतःखंड $(B)$ के लिए, $x = 0$ रखें: $y = \pm 2$। अतः $B = (0, \pm 2)$।
$\Delta AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |x_A| \times |y_B| = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 1$ है, जिसे $\frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ, $a^2 = 1/4$ और $b^2 = 1/9$ है। चूँकि $a^2 > b^2$, दीर्घ अक्ष $X$-अक्ष के अनुदिश है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/9}{1/4}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभियाँ $S$ और $S'$ $(\pm ae, 0)$ पर हैं, अतः $S = (\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$ और $S' = (-\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$ है।
दीर्घवृत्त धनात्मक $Y$-अक्ष को $A(0, 1/3)$ पर काटता है।
$\Delta SAS'$ का आधार $SS' = \frac{\sqrt{5}}{6} - (-\frac{\sqrt{5}}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $A$ का $y$-निर्देशांक है, जो $1/3$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{18}$ वर्ग इकाई।

(D) दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ होती हैं। चूँकि रेखा $3x + 2y - 6 = 0$ एक नाभिय जीवा है, यह नाभियों $(\pm ae, 0)$ में से किसी एक से होकर गुजरनी चाहिए।
दिया है $e = 2/3$, नाभियाँ $(\pm \frac{2a}{3}, 0)$ हैं।
स्थिति $1$: रेखा $(\frac{2a}{3}, 0)$ से गुजरती है $\implies 3(\frac{2a}{3}) + 2(0) - 6 = 0 \implies 2a = 6 \implies a = 3$।
स्थिति $2$: रेखा $(-\frac{2a}{3}, 0)$ से गुजरती है $\implies 3(-\frac{2a}{3}) + 2(0) - 6 = 0 \implies -2a = 6 \implies a = -3$ (संभव नहीं क्योंकि $a > 0$)।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर, $b^2 = 3^2(1 - (2/3)^2) = 9(1 - 4/9) = 9(5/9) = 5$।
अतः, $a^2 + b^2 = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$।

(A) चरण $1$: $x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को पुनः लिखें।
$7(x^2 - 2x) + 16(y^2 + 4y) = 377$
चरण $2$: वर्ग पूर्ण करने के लिए अचर जोड़ें।
$7(x^2 - 2x + 1) + 16(y^2 + 4y + 4) = 377 + 7(1) + 16(4)$
$7(x - 1)^2 + 16(y + 2)^2 = 377 + 7 + 64 = 448$
चरण $3$: मानक रूप प्राप्त करने के लिए $448$ से विभाजित करें।
$\frac{7(x - 1)^2}{448} + \frac{16(y + 2)^2}{448} = 1$
$\frac{(x - 1)^2}{64} + \frac{(y + 2)^2}{28} = 1$
चरण $4$: $a^2$ और $b^2$ की पहचान करें। यहाँ $a^2 = 64$ और $b^2 = 28$ है।
चरण $5$: उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ की गणना करें।
$e = \sqrt{1 - \frac{28}{64}} = \sqrt{\frac{64 - 28}{64}} = \sqrt{\frac{36}{64}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ है, जहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ है। अतः $a = 5$ और $b = 3$ है।
दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु को $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (5 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
केंद्र $(0, 0)$ से इस बिंदु की दूरी $5$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $\sqrt{(5 \cos \theta - 0)^2 + (3 \sin \theta - 0)^2} = 5$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25 \cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta = 25$।
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर: $25(1 - \sin^2 \theta) + 9 \sin^2 \theta = 25$।
$25 - 25 \sin^2 \theta + 9 \sin^2 \theta = 25$।
$-16 \sin^2 \theta = 0$, जिसका अर्थ है $\sin \theta = 0$।
अतः, $\theta = 0$ या $\pi$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $16x^2 + 25y^2 = 400$ है। $400$ से भाग देने पर, हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ, $a^2 = 25$ और $b^2 = 16$, इसलिए $a = 5$ और $b = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ है।
नाभियाँ $S(ae, 0) = (3, 0)$ और $S'(-ae, 0) = (-3, 0)$ हैं।
माना $P = (x_0, y_0)$ है। $\Delta PSS'$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (SS') \times |y_0| = 9$ है।
दूरी $SS' = 2ae = 2(3) = 6$ है।
अतः, $\frac{1}{2} \times 6 \times |y_0| = 9 \implies 3|y_0| = 9 \implies |y_0| = 3$ है।
चूंकि $P$ दीर्घवृत्त पर स्थित है, $16x_0^2 + 25(3)^2 = 400$ है।
$16x_0^2 + 225 = 400 \implies 16x_0^2 = 175 \implies x_0^2 = \frac{175}{16}$ है।
$x_0 = \pm \frac{\sqrt{25 \times 7}}{4} = \pm \frac{5\sqrt{7}}{4}$ है।
अतः, भुज $\frac{5\sqrt{7}}{4}$ है।

(D) $1$. $p$ का मूल्यांकन: $3^4 = 81$ और $4^3 = 64$ है। चूँकि $81 > 64$ सत्य है, और $3^3 = 27 > 4^1 = 4$ भी सत्य है, इसलिए निहितार्थ $T \implies T$, $T$ है। अतः, $p$ सत्य है।
$2$. $q$ का मूल्यांकन: $x^2 - 2x + 2 = 0$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ है। चूँकि $D < 0$, मूल वास्तविक नहीं हैं। 'मुंबई महाराष्ट्र में है' कथन सत्य है। द्वि-प्रतिबंध $F \iff T$ असत्य है। अतः, $q$ असत्य है।
$3$. $r$ का मूल्यांकन: $r$ है $p \vee \neg q$। चूँकि $p$ सत्य है और $\neg q$ सत्य है, $T \vee T$ सत्य है। अतः, $r$ सत्य है।
$4$. विकल्पों की जाँच:
$(A)$ $(T \vee F) \wedge T = T \wedge T = T$
$(B)$ $T \vee (F \wedge T) = T \vee F = T$
$(C)$ $T \wedge (F \vee T) = T \wedge T = T$
$(D)$ $(T \wedge F) \vee T = F \vee T = T$
नोट: सभी विकल्प $T$ परिणाम देते हैं।

(A) एक प्रतिबंधात्मक कथन $P \to Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $\sim q \to p$ है।
यहाँ, $P = \sim q$ और $Q = p$ है।
प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ होगा।
मान रखने पर, हमें $\sim p \to \sim(\sim q)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sim(\sim q) = q$ होता है, इसलिए प्रतिधनात्मक $\sim p \to q$ है।

(C) तार्किक व्यंजक $\sim p \vee q$ केवल तभी असत्य होता है जब $\sim p$ और $q$ दोनों असत्य हों।
यदि $\sim p$ असत्य है, तो $p$ सत्य होना चाहिए।
चूंकि $q$ असत्य है, हमारे पास $p = T$ और $q = F$ है।
अब, विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(A)$ $p \leftrightarrow q \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$।
$(B)$ $p \to q \equiv T \to F \equiv F$।
$(C)$ $q \to p \equiv F \to T \equiv T$।
$(D)$ $q \to p \equiv F \to T \equiv T$ (जो $F$ नहीं है)।
अतः, $q \to p$ सत्य है।

(C) चरण $1$: तार्किक समतुल्यता $A \to B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करें।
चरण $2$: इसे दिए गए व्यंजक पर लागू करें: $(p \vee q) \to \sim r \equiv \sim (p \vee q) \vee \sim r$।
चरण $3$: डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करें, जो कहता है कि $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$।
चरण $4$: इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर हमें $(\sim p \wedge \sim q) \vee \sim r$ प्राप्त होता है।

(C) निहितार्थ $A \to B$, $False$ केवल तब होता है जब $A$, $True$ हो और $B$, $False$ हो।
यहाँ, $A = [(p \vee q) \wedge (q \to r) \wedge (\sim r)]$ और $B = (p \wedge q)$ है।
चूँकि $B$, $False$ है, इसलिए $(p \wedge q)$ का मान $False$ है।
चूँकि $A$, $True$ है, इसलिए सभी घटक $(p \vee q)$, $(q \to r)$, और $(\sim r)$ का $True$ होना आवश्यक है।
$(\sim r) = True$ से, हमें $r = False$ प्राप्त होता है।
$r = False$ को $(q \to r) = True$ में प्रतिस्थापित करने पर, यह $(q \to False) = True$ हो जाता है। इसका अर्थ है $q = False$ है।
$q = False$ को $(p \vee q) = True$ में प्रतिस्थापित करने पर, यह $(p \vee False) = True$ हो जाता है। इसका अर्थ है $p = True$ है।
अब, आवश्यक सत्य मानों का मूल्यांकन करें:
$p \to q$ का मान $True \to False$ हो जाता है, जो $False$ है।
$q \to p$ का मान $False \to True$ हो जाता है, जो $True$ है।
अतः, सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(C) चरण $1$: विकल्प $(A)$ का विश्लेषण करें: $\exists x \in A$ ताकि $x + 3 = 9$। यदि $x = 6$ है, तो $6 + 3 = 9$। चूँकि $6 \in A$, यह कथन सत्य है।
चरण $2$: विकल्प $(B)$ का विश्लेषण करें: $\exists x \in A$ ताकि $x + 2 < 9$। यदि $x = 1$ है, तो $1 + 2 = 3 < 9$। चूँकि $1 \in A$, यह कथन सत्य है।
चरण $3$: विकल्प $(C)$ का विश्लेषण करें: $\forall x \in A, x + 6 \geq 10$। यदि $x = 1$ है, तो $1 + 6 = 7$। चूँकि $7 < 10$, शर्त $x + 6 \geq 10$ सभी $x \in A$ के लिए संतुष्ट नहीं होती है। अतः, यह कथन असत्य है।
चरण $4$: विकल्प $(D)$ का विश्लेषण करें: $\exists x \in A$ ताकि $x + 6 < 10$। यदि $x = 1$ है, तो $1 + 6 = 7 < 10$। चूँकि $1 \in A$, यह कथन सत्य है।
निष्कर्ष: विकल्प $(C)$ असत्य कथन है।

(A) $1$. $r$ के लिए: $p \to q$ केवल तब असत्य होता है जब $p=T$ और $q=F$ हो। इस स्थिति में, $p \vee q = T \vee F = T$ होता है। चूँकि कथन कहता है कि $p \vee q$ असत्य है, इसलिए $r$ असत्य $(F)$ है।
$2$. $s$ के लिए: $p \leftrightarrow q$ तब असत्य होता है जब $p$ और $q$ के सत्य मान भिन्न हों ($T, F$ या $F, T$)।
- यदि $p=T, q=F$, तो $p \vee q = T$। कथन $s$ दावा करता है कि यह असत्य है, अतः $s$ असत्य $(F)$ है।
- यदि $p=F, q=T$, तो $p \vee q = T$। कथन $s$ दावा करता है कि यह असत्य है, अतः $s$ असत्य $(F)$ है।
चूँकि $s$ उन सभी स्थितियों में असत्य है जहाँ शर्त पूरी होती है, इसलिए $s$ असत्य $(F)$ है।
$3$. अब, $r=F$ और $s=F$ है। $r \to s$ का सत्य मान $F \to F = T$ है। $s \to r$ का सत्य मान $F \to F = T$ है।

(B) $1$. एक निहितार्थ (implication) $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
$2$. यहाँ, $A = (p \wedge q)$ और $B = (r \vee \sim s)$ है।
$3$. $(p \wedge q)$ के सत्य होने के लिए, $p$ और $q$ दोनों का सत्य $(T)$ होना आवश्यक है।
$4$. $(r \vee \sim s)$ के असत्य होने के लिए, $r$ और $\sim s$ दोनों का असत्य $(F)$ होना आवश्यक है।
$5$. यदि $r$ असत्य $(F)$ है और $\sim s$ असत्य $(F)$ है, तो $s$ को सत्य $(T)$ होना चाहिए।
$6$. अतः, सत्य मान $p=T, q=T, r=F, s=T$ हैं।

(B) चरण $1$: $A$ का विश्लेषण: $(q \to p) \vee (p \to q) \equiv (\sim q \vee p) \vee (\sim p \vee q) \equiv (\sim q \vee q) \vee (\sim p \vee p) \equiv T \vee T \equiv T$। अतः, $A$ एक पुनरुक्ति है।
चरण $2$: $B$ का विश्लेषण: डी मॉर्गन के नियम से, $\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$। अतः, $(\sim p \vee \sim q) \leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$ हमेशा सत्य है। अतः, $B$ एक पुनरुक्ति है।
चरण $3$: $C$ का विश्लेषण: $[(p \vee q) \wedge \sim p] \wedge \sim q \equiv [(p \wedge \sim p) \vee (q \wedge \sim p)] \wedge \sim q \equiv [F \vee (q \wedge \sim p)] \wedge \sim q \equiv (q \wedge \sim p \wedge \sim q) \equiv (q \wedge \sim q) \wedge \sim p \equiv F \wedge \sim p \equiv F$। अतः, $C$ एक व्याघात है।
चरण $4$: $D$ का विश्लेषण: $(p \wedge q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge q \wedge \sim p) \vee (p \wedge q \wedge \sim q) \equiv (p \wedge \sim p \wedge q) \vee (p \wedge q \wedge \sim q) \equiv (F \wedge q) \vee (p \wedge F) \equiv F \vee F \equiv F$। अतः, $D$ एक व्याघात है।

(D) द्विशर्तक कथन $p \leftrightarrow q$ तब सत्य होता है जब $p$ और $q$ का सत्य मान समान हो।
अतः, $\sim (p \leftrightarrow q)$ तब सत्य होता है जब $p$ और $q$ के सत्य मान भिन्न हों।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $D$: $p \leftrightarrow \sim q$ तब सत्य होता है जब $p$ और $\sim q$ का सत्य मान समान हो, जिसका अर्थ है कि $p$ और $q$ के सत्य मान भिन्न होने चाहिए।
इस प्रकार, $\sim (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$।

(A) एक प्रतिबन्धित कथन $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
यहाँ, $A = [(p \vee q) \wedge (q \to r) \wedge (\sim r)]$ और $B = (p \wedge q)$ है।
चूँकि $B$ असत्य है, $(p \wedge q) = F$ है।
चूँकि $A$ सत्य है, $(p \vee q) = T$, $(q \to r) = T$, और $(\sim r) = T$ है।
$(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
$r = F$ को $(q \to r) = T$ में प्रतिस्थापित करने पर, $(q \to F) = T$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $q = F$ है।
$q = F$ को $(p \vee q) = T$ में प्रतिस्थापित करने पर, $(p \vee F) = T$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $p = T$ है।
अब, $p \to q$ और $q \to p$ के सत्यता मानों की गणना करें:
$p \to q = T \to F = F$ है।
$q \to p = F \to T = T$ है।
अतः, सत्यता मान $(F, T)$ हैं।

(B) दिए गए सत्य मान: $p = T, q = F, r = F$।
चरण $1$: कथन $S = [\sim (p \wedge \sim q) \vee (q \vee \sim r)]$ का मूल्यांकन करें।
$\sim q = \sim F = T$।
$(p \wedge \sim q) = (T \wedge T) = T$।
$\sim (p \wedge \sim q) = \sim T = F$।
$(q \vee \sim r) = (F \vee \sim F) = (F \vee T) = T$।
$S = (F \vee T) = T$।
चरण $2$: द्वैत कथन $S^*$ ज्ञात करें। द्वैत के लिए, $\wedge$ को $\vee$ से, $\vee$ को $\wedge$ से, $T$ को $F$ से, और $F$ को $T$ से बदलें।
$S^* = [\sim (p \vee \sim q) \wedge (q \wedge \sim r)]$।
चरण $3$: $S^*$ का मूल्यांकन करें।
$(p \vee \sim q) = (T \vee T) = T$।
$\sim (p \vee \sim q) = \sim T = F$।
$(q \wedge \sim r) = (F \wedge T) = F$।
$S^* = (F \wedge F) = F$।
अतः, सत्य मान $T$ और $F$ हैं।

(B) माना कथन $S: p \to (q \to r)$ है।
$1$. $S$ का प्रतिलोम $\sim p \to \sim (q \to r)$ है।
$2$. प्रतिलोम का विलोम $\sim (q \to r) \to \sim p$ है।
$3$. चूँकि $\sim (q \to r) \equiv q \wedge \sim r$, कथन $(q \wedge \sim r) \to \sim p$ बन जाता है।
$4$. $A \to B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर, हमें $\sim (q \wedge \sim r) \vee \sim p \equiv (\sim q \vee r) \vee \sim p$ प्राप्त होता है।
$5$. किसी कथन का द्वैत $\vee$ को $\wedge$ से, $\wedge$ को $\vee$ से, $T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलकर प्राप्त किया जाता है। $(\sim q \vee r) \vee \sim p$ का द्वैत $(\sim q \wedge r) \wedge \sim p$ है।
$6$. विकल्पों की जाँच करने पर, सही उत्तर $p \vee (r \to q)$ है।

(C) माना $p$ कथन है "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" और $q$ कथन है "वह $3$ का गुणज है"।
दिया गया कथन "यदि $p$, तो $q$" के रूप में है, जिसे $p \implies q$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$p \implies q$ का निषेध $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ होता है।
यहाँ, $p$ है "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" और $\sim q$ है "वह $3$ का गुणज नहीं है"।
अतः, निषेध है "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है लेकिन वह $3$ का गुणज नहीं है"।
यह विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(D) चरण $1$: किसी कथन का द्वैत ज्ञात करने के लिए, $\wedge$ को $\vee$ से, $\vee$ को $\wedge$ से, $T$ को $F$ से, और $F$ को $T$ से बदलें। ध्यान दें कि निहितार्थ ऑपरेटर $\to$ को नहीं बदला जाता है।
चरण $2$: दिया गया कथन $(p \wedge \sim q) \to (q \wedge \sim p)$ है।
चरण $3$: $\wedge$ को $\vee$ से बदलने पर, द्वैत $(p \vee \sim q) \to (q \vee \sim p)$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: तार्किक समतुल्यता $a \to b \equiv \sim a \vee b$ का उपयोग करें। अतः, $(p \vee \sim q) \to (q \vee \sim p) \equiv \sim (p \vee \sim q) \vee (q \vee \sim p)$।
चरण $5$: डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर, $\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$। अतः व्यंजक $(\sim p \wedge q) \vee (q \vee \sim p)$ हो जाता है।

(C) माना $S_1$ और $S_2$ स्विच हैं। परिपथ में तीन समानांतर शाखाएँ हैं। प्रतीकात्मक निरूपण है:
$L = (S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_2') \lor (S_1' \land S_2)$
प्रथम दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$L = (S_1 \land (S_2 \lor S_2')) \lor (S_1' \land S_2)$
चूँकि $(S_2 \lor S_2') = 1$ (पुनरुक्ति):
$L = (S_1 \land 1) \lor (S_1' \land S_2)$
$L = S_1 \lor (S_1' \land S_2)$
वितरण नियम $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ का उपयोग करने पर:
$L = (S_1 \lor S_1') \land (S_1 \lor S_2)$
चूँकि $(S_1 \lor S_1') = 1$:
$L = 1 \land (S_1 \lor S_2) = S_1 \lor S_2$
यह समानांतर में दो स्विच $S_1$ और $S_2$ के बराबर है।

(D) माना कथन $S: A \to B$ है, जहाँ $A = (p \vee \sim q)$ और $B = (p \wedge \sim q)$ है।
$S$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ है।
प्रतिधनात्मक का निषेध $\sim (\sim B \to \sim A)$ है।
सर्वसमिका $\sim (X \to Y) \equiv X \wedge \sim Y$ का उपयोग करने पर, हमें $\sim B \wedge \sim (\sim A) \equiv \sim B \wedge A$ प्राप्त होता है।
$A$ और $B$ का मान रखने पर: $(p \vee \sim q) \wedge \sim (p \wedge \sim q)$।
डी मॉर्गन नियम का उपयोग करने पर, $\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$।
अतः, व्यंजक $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$ है।

(B) चरण $1$: दिए गए निहितार्थ $[(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r] \to (p \land \sim q) = F$ का विश्लेषण करें। एक निहितार्थ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $T$ हो और परिणामी $F$ हो।
चरण $2$: परिणामी $(p \land \sim q) = F$। पूर्ववर्ती $[(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r] = T$। इसका अर्थ है $(p \leftrightarrow q) = T$, $(q \to r) = T$, और $\sim r = T$।
चरण $3$: $\sim r = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है। चूँकि $(q \to r) = T$ और $r = F$, इसलिए $q$ को $F$ होना चाहिए। चूँकि $(p \leftrightarrow q) = T$ और $q = F$, इसलिए $p$ को $F$ होना चाहिए।
चरण $4$: प्रथम प्रतिरूप $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r)$ का मूल्यांकन करें। $p=F, q=F, r=F$ प्रतिस्थापित करने पर: $(F \to F) \leftrightarrow (F \to F) \equiv T \leftrightarrow T = T$।
चरण $5$: द्वितीय प्रतिरूप $\sim (p \lor r) \to (q \land p)$ का मूल्यांकन करें। $p=F, q=F, r=F$ प्रतिस्थापित करने पर: $\sim (F \lor F) \to (F \land F) \equiv \sim F \to F \equiv T \to F = F$।
चरण $6$: सत्य मान $(T, F)$ हैं।

(C) $1$. प्रतिबंधन $p \to (q \lor \sim r)$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ का मान $T$ हो और $(q \lor \sim r)$ का मान $F$ हो।
$2$. $(q \lor \sim r)$ के $F$ होने के लिए, $q$ का मान $F$ और $\sim r$ का मान $F$ होना चाहिए। अतः, $q = F$ और $r = T$ है।
$3$. अब, $(p \leftrightarrow q) \land r$ का मूल्यांकन करें: चूँकि $p = T, q = F, r = T$ है, हमें $(T \leftrightarrow F) \land T = F \land T = F$ प्राप्त होता है।
$4$. $\sim p \to \sim q$ का मूल्यांकन करें: चूँकि $p = T, q = F$ है, हमें $\sim T \to \sim F = F \to T = T$ प्राप्त होता है।
$5$. अतः, सत्य मान $F, T$ हैं।

(C) माना $V$ कथन 'वोल्टेज बढ़ता है' है और $C$ कथन 'धारा घटती है' है।
$p: V \implies \neg C$
$q: \neg V \implies C$
$r: \neg C \implies V$
$s: C \implies \neg V$
याद रखें कि एक सशर्त कथन $A \implies B$ तार्किक रूप से अपने प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ के समतुल्य होता है।
$p: V \implies \neg C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $C \implies \neg V$ है, जो $s$ है। अतः, $p \equiv s$ है।
$q: \neg V \implies C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $\neg C \implies V$ है, जो $r$ है। अतः, $q \equiv r$ है।
इसलिए, समान अर्थ वाले युग्म $(p, s)$ और $(q, r)$ हैं।

(B) माना $A = (p \land q)$ और $B = (\sim p \lor r)$ है।
दिया गया व्यंजक $(A \to B) \lor (B \to A)$ के रूप में है।
हम जानते हैं कि $(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$ होता है।
अतः, व्यंजक $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ बन जाता है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों द्वारा, यह $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ के समतुल्य है।
चूंकि $(\sim A \lor A)$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है और $(\sim B \lor B)$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है, व्यंजक $T \lor T$ हो जाता है, जो $T$ है।
इसलिए, कथन पैटर्न एक पुनरुक्ति है।

(A) माना $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ है।
निहितार्थ नियम $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q)$।
$S \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor ((\sim p \land \sim r) \lor \sim q)$।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों द्वारा, $S \equiv \sim p \lor \sim q \lor (\sim p \land \sim r)$।
चूंकि $(\sim p \land \sim r) \implies \sim p$, व्यंजक सरल होकर $S \equiv \sim p \lor \sim q$ हो जाता है।
$S$ का निषेध $\sim(\sim p \lor \sim q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम द्वारा, $\sim(\sim p \lor \sim q) \equiv p \land q$।

(C) चरण $1$: $S_1$ का विश्लेषण करें। $n=1$ के लिए, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, जो $4$ से विभाज्य है। अतः, $S_1$ सत्य है।
चरण $2$: $S_2$ का विश्लेषण करें। $x=1$ के लिए, $1-17 = -16 < 20$। अतः, $S_2$ सत्य है।
चरण $3$: $S_3$ का विश्लेषण करें। समीकरण $n^2+3n-10 = 0$ का गुणनखंड $(n+5)(n-2) = 0$ है, जिससे $n=2$ या $n=-5$ प्राप्त होता है। चूँकि $n \in N$, यह केवल $n=2$ के लिए सत्य है, सभी $n \in N$ के लिए नहीं। अतः, $S_3$ असत्य है।
चरण $4$: $S_4$ का विश्लेषण करें। सभी $n \in N$ $(n \ge 1)$ के लिए, $n^2 \ge 1$ हमेशा सत्य है। अतः, $S_4$ सत्य है।
निष्कर्ष: केवल $S_3$ असत्य है।

(A) $1$. दिया गया कथन $p \lor q$ है।
$2$. कथन $p \implies q$ का विलोम $q \implies p$ होता है। एक सरल वियोजन (disjunction) $p \lor q$ के लिए, विलोम घटकों को बदलकर प्राप्त किया जाता है: $q \lor p$।
$3$. चूँकि $p \lor q$ तार्किक रूप से $q \lor p$ के बराबर है, इसलिए विलोम $q \lor p$ है।
$4$. विलोम का निषेध $\sim(q \lor p)$ है।
$5$. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, $\sim(q \lor p) \equiv \sim q \land \sim p$, जो $\sim p \land \sim q$ के बराबर है।

(D) चरण $1$: अंश को $(x + 2) - 2$ के रूप में लिखें।
चरण $2$: समाकलन को विभाजित करें: $\int \frac{x + 2 - 2}{x + 2} dx = \int \left( \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{2}{x + 2} \right) dx$।
चरण $3$: व्यंजक को सरल करें: $\int (1 - \frac{2}{x + 2}) dx$।
चरण $4$: पद-दर-पद समाकलन करें: $\int 1 dx - 2 \int \frac{1}{x + 2} dx = x - 2 \log|x + 2| + c$।

(A) चरण $1$: हर में वर्ग पूर्ण करें: $2ax - x^2 = -(x^2 - 2ax) = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) = a^2 - (x - a)^2$।
चरण $2$: इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करें: $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - (x - a)^2}}$।
चरण $3$: मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करें।
चरण $4$: यहाँ $u = x - a$ है, इसलिए समाकलन $\sin^{-1}(\frac{x - a}{a}) + c$ हो जाता है।
चरण $5$: इसकी तुलना $f(g(x)) + c$ से करने पर, हमें $f(x) = \sin^{-1}(x)$ और $g(x) = \frac{x - a}{a}$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: हर के लिए पूर्ण वर्ग बनाएं $x^2 - 5x + 8 = (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) + 8 - \frac{25}{4} = (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{7}{4}$।
चरण $2$: समाकल $\int \frac{1}{(x - \frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} dx$ बन जाता है।
चरण $3$: सूत्र $\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करें।
चरण $4$: यहाँ $u = x - \frac{5}{2}$ और $a = \frac{\sqrt{7}}{2}$ है।
चरण $5$: परिणाम $\frac{1}{\sqrt{7}/2} \tan^{-1}(\frac{x - 5/2}{\sqrt{7}/2}) + c = \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1}(\frac{2x - 5}{\sqrt{7}}) + c$ है।

(A) दिया गया समाकल $I = \int \sqrt{16x^2 + 16x} \, dx = 4 \int \sqrt{x^2 + x} \, dx$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 + x = (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$।
सूत्र $\int \sqrt{u^2 - a^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{u^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log |u + \sqrt{u^2 - a^2}| + c$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u = x + \frac{1}{2}$ और $a = \frac{1}{2}$ है।
$I = 4 [\frac{x + 1/2}{2} \sqrt{(x + 1/2)^2 - (1/2)^2} - \frac{1/4}{2} \log |(x + 1/2) + \sqrt{(x + 1/2)^2 - (1/2)^2}|] + c$।
$I = 2(2x + 1) \sqrt{x^2 + x} - \frac{1}{2} \log |x + 1/2 + \sqrt{x^2 + x}| + c$।
नोट: दिए गए विकल्प $\int \sqrt{4^x + 4} \, dx$ जैसे घातांकीय रूपों पर आधारित प्रतीत होते हैं। यदि प्रश्न $\int \sqrt{4^x + 4} \, dx$ है, तो $u = 2^x$ रखने पर, $du = 2^x \log 2 \, dx$ प्राप्त होता है। विकल्प $A$ घातांकीय समाकल के लिए सबसे निकटतम संरचनात्मक रूप है।

(B) हमारे पास $I = \int \frac{\sin x}{\sin 4x} dx = \int \frac{\sin x}{2 \sin 2x \cos 2x} dx = \int \frac{\sin x}{4 \sin x \cos x (1 - 2 \sin^2 x)} dx = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{\cos x (1 - 2 \sin^2 x)}$ है।
अंश और हर को $\cos x$ से गुणा करने पर: $I = \frac{1}{4} \int \frac{\cos x dx}{\cos^2 x (1 - 2 \sin^2 x)} = \frac{1}{4} \int \frac{\cos x dx}{(1 - \sin^2 x)(1 - 2 \sin^2 x)}$।
माना $\sin x = t$, तब $\cos x dx = dt$। अतः $I = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{(1 - t^2)(1 - 2t^2)}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1 - t^2)(1 - 2t^2)} = \frac{A}{1 - t^2} + \frac{B}{1 - 2t^2}$। हल करने पर $A = -1$ और $B = 2$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{2}{1 - 2t^2} - \frac{1}{1 - t^2} \right) dt = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{1 - (\sqrt{2}t)^2} - \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1 - t^2}$।
$\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right|$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{1 + \sqrt{2}t}{1 - \sqrt{2}t} \right| - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| + c$।
चूंकि $\frac{1}{2} \log \left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right| = \log |\sec x + \tan x|$, परिणाम $\frac{1}{4\sqrt{2}} \log \left| \frac{1 + \sqrt{2} \sin x}{1 - \sqrt{2} \sin x} \right| - \frac{1}{4} \log |\sec x + \tan x| + c$ है।

(B) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$ है।
अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin x \cos x / \cos^4 x}{\tan^4 x + 1} dx = \int \frac{2 \tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$ प्राप्त होता है।
माना $u = \tan^2 x$, तब $du = 2 \tan x \sec^2 x dx$ है।
$I = \int \frac{du}{u^2 + 1} = \tan^{-1}(u) + c = \tan^{-1}(\tan^2 x) + c$ है।
अतः, $f(x) = \tan^{-1}(\tan^2 x)$ है।
इसलिए, $\tan(f(x)) = \tan(\tan^{-1}(\tan^2 x)) = \tan^2 x$ है।

(C) माना $I = \int \frac{30x^{14} + 15^x \log 225}{x^{15} + 15^x} dx$ है।
ध्यान दें कि $15^x \log 225 = 15^x \log(15^2) = 2 \cdot 15^x \log 15$ है।
माना $u = x^{15} + 15^x$ है।
तब $du = (15x^{14} + 15^x \log 15) dx$ होगा।
अंश $2(15x^{14} + 15^x \log 15) dx = 2 du$ है।
अतः, $I = \int \frac{2}{u} du = 2 \log|u| + c$ होगा।
$u$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, $I = 2 \log|x^{15} + 15^x| + c = \log(x^{15} + 15^x)^2 + c$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $1 + \sin x = \cos^2(x/2) + \sin^2(x/2) + 2\sin(x/2)\cos(x/2) = (\cos(x/2) + \sin(x/2))^2$ है।
अतः, $\sqrt{1 + \sin x} = |\cos(x/2) + \sin(x/2)|$ है।
उस अंतराल को मानते हुए जहाँ $\cos(x/2) + \sin(x/2) > 0$ है, हमारे पास $\int (\cos(x/2) + \sin(x/2)) \, dx$ है।
$= 2\sin(x/2) - 2\cos(x/2) + c$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए, हम $2\sin(x/2) - 2\cos(x/2) = 2\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x/2) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x/2) \right) = 2\sqrt{2} \sin(x/2 - \pi/4) + c$ लिख सकते हैं।

(A) दिया गया है $\int \frac{x + 1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{x}{x^2 + 1} dx + \int \frac{1}{x^2 + 1} dx$।
$= \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + \tan^{-1} x + c$।
इसे दिए गए व्यंजक $\tan^{-1} x + g(x) + c$ से तुलना करने पर, हमें $g(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)$ प्राप्त होता है।
यह ज्ञात करने के लिए कि $g(x)$ कहाँ वर्धमान है, हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं: $g'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{x}{x^2 + 1}$।
$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए, $g'(x) > 0$ होना चाहिए।
$\frac{x}{x^2 + 1} > 0$। चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $x^2 + 1 > 0$ है, इसलिए $x > 0$ होना चाहिए।
अतः, $g(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ में वर्धमान है, जो कि $R^+$ है।

(B) अंश और हर को $e^x$ से गुणा करें:
$I = \int \frac{(x + 1)e^x}{xe^x(1 + xe^x)^2} dx$
माना $u = xe^x$, तब $du = (e^x + xe^x) dx = e^x(1 + x) dx$।
इन्हें समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{du}{u(1 + u)^2}$
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{u(1 + u)^2} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1 + u} + \frac{C}{(1 + u)^2}$
$1 = A(1 + u)^2 + Bu(1 + u) + Cu$
$u = 0$ के लिए, $A = 1$। $u = -1$ के लिए, $C = -1$। $u^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $A + B = 0 \implies B = -1$।
$I = \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u} - \frac{1}{(1 + u)^2} \right) du$
$I = \log|u| - \log|1 + u| + \frac{1}{1 + u} + c$
$I = \log \left| \frac{u}{1 + u} \right| + \frac{1}{1 + u} + c$
$u = xe^x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \log \left( \frac{xe^x}{1 + xe^x} \right) + \frac{1}{1 + xe^x} + c$

(A) माना $t = \sqrt{x - 2}$, तब $t^2 = x - 2$, जिसका अर्थ है $x = t^2 + 2$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, $dx = 2t dt$।
समाकलन में इनका प्रतिस्थापन करने पर:
$\int \frac{t}{t^2 + 2} (2t dt) = 2 \int \frac{t^2}{t^2 + 2} dt$
$= 2 \int \frac{t^2 + 2 - 2}{t^2 + 2} dt = 2 \int \left( 1 - \frac{2}{t^2 + 2} \right) dt$
$= 2 \left( \int 1 dt - 2 \int \frac{1}{t^2 + (\sqrt{2})^2} dt \right)$
$= 2 \left( t - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{2}} \right) \right) + c$
$= 2t - 2\sqrt{2} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{2}} \right) + c$
$t = \sqrt{x - 2}$ का मान वापस रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$= 2\sqrt{x - 2} - 2\sqrt{2} \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{2}} \right) + c$

(B) हम जानते हैं कि $1 + \sin x = \sin^2(x/2) + \cos^2(x/2) + 2 \sin(x/2) \cos(x/2) = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$ है।
अतः, $\sqrt{1 + \sin x} = |\sin(x/2) + \cos(x/2)|$ है।
उस अंतराल को मानते हुए जहाँ $\sin(x/2) + \cos(x/2) > 0$ है, हमारे पास $\int (\sin(x/2) + \cos(x/2)) \, dx$ है।
$= -2 \cos(x/2) + 2 \sin(x/2) = 2(\sin(x/2) - \cos(x/2))$ है।
$\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta - \pi/4) = -\sqrt{2} \cos(\theta + \pi/4)$ का उपयोग करने पर।
अतः, $2(\sin(x/2) - \cos(x/2)) = -2\sqrt{2} \cos(x/2 + \pi/4)$ है।
इसे $-4 \cos(ax + b)$ के साथ तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $a=1/2$ और $b=\pi/4$ है।

(C) दिया गया समाकल $I = \int \frac{1}{\cos^3 x \sqrt{2 \sin x \cos x}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\cos^{3.5} x \sqrt{\sin x}} dx$ है।
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sec^2 x \cdot \sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{(1+\tan^2 x) \sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx$।
माना $\tan x = t$, तब $dt = \sec^2 x dx$।
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int (1+t^2) t^{-1/2} dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \int (t^{-1/2} + t^{3/2}) dt = \frac{1}{\sqrt{2}} [2t^{1/2} + \frac{2}{5} t^{5/2}] = \sqrt{2} \sqrt{\tan x} + \frac{\sqrt{2}}{5} \tan^2 x \sqrt{\tan x} = \frac{\sqrt{2}}{5} \sqrt{\tan x} (5 + \tan^2 x)$।
$p(\tan^2 x + q)\sqrt{\tan x}$ से तुलना करने पर, $p = \frac{\sqrt{2}}{5}$ और $q = 5$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \text{cosec}^{-1} \left( \sqrt{\frac{a + x}{x}} \right) dx$। चूँकि $\text{cosec}^{-1} \sqrt{\frac{a+x}{x}} = \sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}}$, माना $x = a \tan^2 \theta$। तब $dx = 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$।
इनका प्रतिस्थापन करने पर, $I = \int \sin^{-1} \left( \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a + a \tan^2 \theta}} \right) (2a \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta = \int \sin^{-1} (\sin \theta) (2a \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta = \int \theta (2a \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $I = 2a \left[ \theta \int \tan \theta \sec^2 \theta d\theta - \int \left( 1 \cdot \int \tan \theta \sec^2 \theta d\theta \right) d\theta \right] = 2a \left[ \theta \cdot \frac{\tan^2 \theta}{2} - \int \frac{\tan^2 \theta}{2} d\theta \right] = a \theta \tan^2 \theta - a \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta$।
$I = a \theta \tan^2 \theta - a (\tan \theta - \theta) + c = a \theta \tan^2 \theta - a \tan \theta + a \theta + c$।

(A) माना $I = \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x + \sin x} dx$ है।
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{(1 - \sin^2 x) \cos x}{\sin^2 x + \sin x} dx$।
माना $u = \sin x$, तब $du = \cos x dx$ है।
$I = \int \frac{1 - u^2}{u^2 + u} du = \int \frac{(1 - u)(1 + u)}{u(u + 1)} du$।
$I = \int \frac{1 - u}{u} du = \int (\frac{1}{u} - 1) du$।
$I = \log|u| - u + c$।
$u = \sin x$ वापस रखने पर, हमें $I = \log|\sin x| - \sin x + c$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: सर्वसमिका $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ का उपयोग करें।
$\int \cot^4 x \, dx = \int \cot^2 x (\csc^2 x - 1) \, dx$
चरण $2$: समाकलन का विस्तार करें।
$= \int \cot^2 x \csc^2 x \, dx - \int \cot^2 x \, dx$
चरण $3$: दूसरे समाकलन में $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ प्रतिस्थापित करें।
$= \int \cot^2 x \csc^2 x \, dx - \int (\csc^2 x - 1) \, dx$
चरण $4$: समाकलन करें। पहले भाग के लिए, $u = \cot x$ लें, तब $du = -\csc^2 x \, dx$ होगा।
$= -\frac{\cot^3 x}{3} - (-\cot x - x) + c$
$= -\frac{\cot^3 x}{3} + \cot x + x + c$

(A) माना $I = \int \frac{(x+1)(x+\log x)^2}{x} dx$ है।
समाकल्य को इस प्रकार लिखें: $I = \int \left( \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \right) (x + \log x)^2 dx = \int (1 + \frac{1}{x}) (x + \log x)^2 dx$।
माना $u = x + \log x$ है।
तब, $du = (1 + \frac{1}{x}) dx$ होगा।
समाकल में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int u^2 du$।
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $I = \frac{u^3}{3} + c$।
$u = x + \log x$ का मान वापस रखने पर: $I = \frac{(x + \log x)^3}{3} + c$।

(B) मानक समाकल $\int \frac{1}{Ax^2+B} dx = \frac{1}{\sqrt{AB}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{A}{B}}\right) + c$ है।
दिया है $\int \frac{1}{ax^2+b} dx = \frac{1}{\sqrt{ab}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{a}{b}}\right) + c = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{2}{3}}\right) + c$।
तुलना करने पर, $\sqrt{ab} = \sqrt{6} \implies ab = 6$ और $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \implies \frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
$ab=6$ और $a = \frac{2b}{3}$ को हल करने पर, $(\frac{2b}{3})b = 6 \implies b^2 = 9 \implies b = 3$ और $a = 2$ प्राप्त होता है।
अब, $\int \frac{1}{bx^2+a} dx = \int \frac{1}{3x^2+2} dx = \frac{1}{\sqrt{3 \cdot 2}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{3}{2}}\right) + c = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{2}}\right) + c$।

(B) चरण $1$: अंश को $(x^4 - x^2 + 1) + x^2$ के रूप में लिखें।
चरण $2$: समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int \frac{x^4 - x^2 + 1}{x^6 + 1} dx + \int \frac{x^2}{x^6 + 1} dx$।
चरण $3$: ध्यान दें कि $x^6 + 1 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$। अतः, पहला समाकलन $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1} x$ हो जाता है।
चरण $4$: दूसरे समाकलन के लिए, $u = x^3$ मान लें, तब $du = 3x^2 dx$, इसलिए $x^2 dx = \frac{1}{3} du$। समाकलन $\int \frac{1}{3(u^2 + 1)} du = \frac{1}{3} \tan^{-1}(u) = \frac{1}{3} \tan^{-1}(x^3)$ हो जाता है।
चरण $5$: दोनों को जोड़ने पर, हमें $\tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1}(x^3) + c$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: $f(x)$ ज्ञात करने के लिए $f'(x)$ का समाकलन करें।
$f(x) = \int \frac{(\sqrt{x}+1)e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx$
चरण $2$: प्रतिस्थापन का उपयोग करें। माना $u = \sqrt{x}$, तब $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx$, जिसका अर्थ है $dx = 2\sqrt{x} \, du = 2u \, du$।
चरण $3$: समाकल में प्रतिस्थापित करें:
$f(x) = \int \frac{(u+1)e^u}{u} \cdot 2u \, du = 2 \int (u+1)e^u \, du$
चरण $4$: खंडशः समाकलन का उपयोग करें $\int (u+1)e^u \, du = (u+1)e^u - \int e^u \, du = (u+1)e^u - e^u + C = ue^u + C$।
अतः, $f(x) = 2ue^u + C = 2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}} + C$।
चरण $5$: $C$ ज्ञात करने के लिए $f(0) = e$ का उपयोग करें।
$f(0) = 2(0)e^0 + C = e \implies C = e$।
चरण $6$: $f(1)$ ज्ञात करें।
$f(1) = 2\sqrt{1}e^{\sqrt{1}} + e = 2e + e = 3e$।

(D) माना $I = \int 2x^{1/3} \sin x^{2/3} dx$ है।
$u = x^{2/3}$ प्रतिस्थापित करने पर, $du = \frac{2}{3} x^{-1/3} dx$, जिसका अर्थ है $dx = \frac{3}{2} x^{1/3} du$।
समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int 2x^{1/3} \sin(u) \cdot \frac{3}{2} x^{1/3} du = 3 \int x^{2/3} \sin(u) du = 3 \int u \sin u du$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर $\int u \sin u du = u(-\cos u) - \int 1 \cdot (-\cos u) du = -u \cos u + \sin u$।
अतः, $I = 3[-u \cos u + \sin u] + c$।
$u = x^{2/3}$ का मान वापस रखने पर, $I = 3[-x^{2/3} \cos x^{2/3} + \sin x^{2/3}] + c$।

(A) माना $I = \int \frac{\sin^3 x}{(\cos^4 x + 3 \cos^2 x + 1) \tan^{-1}(\sec x + \cos x)} dx$ है।
$u = \sec x + \cos x$ प्रतिस्थापित करें। तब $du = (\sec x \tan x - \sin x) dx = \sin x (\frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x}) dx = \sin x \tan^2 x dx$ है।
हर के पद को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cos^4 x + 3 \cos^2 x + 1 = \cos^2 x ((\sec x + \cos x)^2 + 1) = \cos^2 x (u^2 + 1)$।
अतः $I = \int \frac{\sin x (\sec^2 x - 1)}{(u^2 + 1) \tan^{-1} u} dx = \int \frac{du}{(u^2 + 1) \tan^{-1} u}$ है।
$v = \tan^{-1} u$ लेने पर, $dv = \frac{1}{u^2 + 1} du$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int \frac{1}{v} dv = \log|v| + c = \log(\tan^{-1}(\sec x + \cos x)) + c$।

(A) माना $I = \int f(x)g(x) dx = \int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} e^{\sin^{-1} x} dx$ है।
$u = \sin^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर, $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ प्राप्त होता है।
समाकलन $I = \int u e^u du$ बन जाता है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर, $\int u e^u du = u e^u - \int e^u du = u e^u - e^u + c$ प्राप्त होता है।
$u = \sin^{-1} x$ का मान वापस रखने पर, $I = e^{\sin^{-1} x}(\sin^{-1} x - 1) + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int x^3 f(x^2) dx$ है।
$t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर, $dt = 2x dx$, जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$।
साथ ही, $x^2 = t$ है।
इन्हें समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int x^2 f(x^2) (x dx) = \int t f(t) \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t f(t) dt$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $\int u dv = uv - \int v du$, माना $u = t$ और $dv = f(t) dt$ है।
तब $du = dt$ और $v = \int f(t) dt = g(t)$ है।
अतः, $I = \frac{1}{2} [t g(t) - \int g(t) dt]$।
$t = x^2$ वापस रखने पर, हमें $I = \frac{1}{2} [x^2 g(x^2) - \int g(x^2) d(x^2)]$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $I = \int \frac{\sin x}{2 \sin 2x \cos 2x} dx = \int \frac{\sin x}{4 \sin x \cos x (1 - 2 \sin^2 x)} dx = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{\cos x (1 - 2 \sin^2 x)}$।
अंश और हर को $\cos x$ से गुणा करने पर: $I = \frac{1}{4} \int \frac{\cos x dx}{\cos^2 x (1 - 2 \sin^2 x)} = \frac{1}{4} \int \frac{\cos x dx}{(1 - \sin^2 x)(1 - 2 \sin^2 x)}$।
माना $u = \sin x$, तब $du = \cos x dx$। $I = \frac{1}{4} \int \frac{du}{(1 - u^2)(1 - 2u^2)}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1 - u^2)(1 - 2u^2)} = \frac{A}{1 - u^2} + \frac{B}{1 - 2u^2}$।
$1 = A(1 - 2u^2) + B(1 - u^2)$। $u^2 = 1$ के लिए, $A = -1$। $u^2 = 1/2$ के लिए, $B = 2$।
$I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{-1}{1 - u^2} + \frac{2}{1 - 2u^2} \right) du = -\frac{1}{4} \int \frac{du}{1 - u^2} + \frac{2}{4} \int \frac{du}{1 - (\sqrt{2}u)^2}$।
$I = -\frac{1}{8} \log \left| \frac{1+u}{1-u} \right| + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{1+\sqrt{2}u}{1-\sqrt{2}u} \right| + c$।
दिए गए रूप से तुलना करने पर: $\alpha = -1/8$, $\beta = 1/(4\sqrt{2})$।
$\beta^2 = 1/32$। अतः, $32(\alpha + \beta^2) = 32(-1/8 + 1/32) = 32(-4/32 + 1/32) = 32(-3/32) = -3$।

(A) माना $I = \int \frac{(x+1) dx}{x(1+xe^x)}$ है।
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{(x+1)e^x dx}{xe^x(1+xe^x)}$।
माना $u = xe^x$ है। तब $du = (e^x + xe^x) dx = e^x(1+x) dx$ होगा।
समाकल में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{du}{u(1+u)}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{u(1+u)} = \frac{1}{u} - \frac{1}{1+u}$।
$I = \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{1+u} \right) du = \log|u| - \log|1+u| + c$।
$I = \log \left| \frac{u}{1+u} \right| + c$।
$u = xe^x$ का मान वापस रखने पर:
$I = \log \left| \frac{xe^x}{1+xe^x} \right| + c$।

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt[n]{\text{cosec}^{2}x^n - 1}}{x^{(1-n)}} dx$ है।
चूँकि $\text{cosec}^{2}x^n - 1 = \cot^{2}x^n$, समाकलन $I = \int \frac{(\cot^{2}x^n)^{1/n}}{x^{1-n}} dx = \int \frac{(\cot x^n)^{2/n}}{x^{1-n}} dx$ हो जाता है।
यदि हम $u = x^n$ लें, तो $du = n x^{n-1} dx$, जिससे $dx = \frac{du}{n x^{n-1}}$ प्राप्त होता है।
सरलीकरण पर, $I = \frac{1}{n} \int \cot u du = \frac{1}{n} \log|\sin u| + c = \frac{1}{n} \log|\sin x^n| + c$।

(C) पैटर्न का अवलोकन करें: $f_1(x) = \log x$, $f_2(x) = \log(\log x)$, $f_3(x) = \log(\log(\log x))$।
सामान्यतः, $f_n(x) = \underbrace{\log(\log(\dots\log x))}_{n \text{ बार}}$।
मान लीजिए $I = \int \frac{1}{f(x) f_1(x) f_2(x) \dots f_{2026}(x)} dx$ है।
ध्यान दें कि $\frac{d}{dx} f_{2027}(x) = \frac{d}{dx} (\log(f_{2026}(x))) = \frac{1}{f_{2026}(x)} \cdot \frac{d}{dx} f_{2026}(x)$।
इस श्रृंखला नियम को जारी रखते हुए, $\frac{d}{dx} f_{2027}(x) = \frac{1}{f_{2026}(x) f_{2025}(x) \dots f_1(x) f(x)}$।
अतः, $\int \frac{1}{f(x) f_1(x) \dots f_{2026}(x)} dx = f_{2027}(x) + c$।

(C) माना $I = \int e^{x+\tan^{-1} x} \left(\frac{x^2+2}{1+x^2}\right) dx$ है।
ध्यान दें कि $\sec^2(\tan^{-1} x) = 1 + x^2$ होता है।
माना $g(x) = x + \tan^{-1} x$ है। तब $g'(x) = 1 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2+1}{1+x^2} = \frac{x^2+2}{1+x^2}$ है।
समाकल $\int e^{g(x)} g'(x) dx = e^{g(x)} + c$ बन जाता है।
अतः, $f(x) = x + \tan^{-1} x$ है।
$f'(x) = 1 + \frac{1}{1+x^2}$ है।
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $1+x^2 > 0$ है, इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
अतः, $f(x)$, $\mathbb{R}$ पर निरंतर वर्धमान है।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x^{7/2}(x^4+1)^{3/8}}$ है।
कोष्ठक में से $x^4$ को बाहर निकालने पर: $I = \int \frac{dx}{x^{7/2} [x^4(1 + x^{-4})]^{3/8}}$।
$I = \int \frac{dx}{x^{7/2} \cdot x^{3/2} (1 + x^{-4})^{3/8}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + x^{-4})^{3/8}}$।
माना $u = 1 + x^{-4}$, तब $du = -4x^{-5} dx$, जिसका अर्थ है $x^{-5} dx = -\frac{1}{4} du$।
समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int (u)^{-3/8} \cdot (-\frac{1}{4} du) = -\frac{1}{4} \int u^{-3/8} du$।
$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{u^{5/8}}{5/8} + c = -\frac{2}{5} (1 + x^{-4})^{5/8} + c = -\frac{2}{5} \left(\frac{x^4+1}{x^4}\right)^{5/8} + c$।
तुलना करने पर $n = 5/8$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right) dx$ है।
हम $\frac{x}{\log x}$ का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\log x} \right) = \frac{(\log x)(1) - x(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2} = \frac{\log x}{(\log x)^2} - \frac{1}{(\log x)^2} = \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2}$।
अतः, $\int \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right) dx = \frac{x}{\log x} + c$।

(A) माना $I = \int \frac{\sqrt{x^2+1} [\log(x^2+1) - 2 \log x]}{x^4} dx = \int \frac{x \sqrt{1+1/x^2} \log((1+1/x^2))}{x^4} dx = \int \frac{\sqrt{1+1/x^2} \log(1+1/x^2)}{x^3} dx$.
माना $t = 1+1/x^2$ है। तब $dt = -2/x^3 dx$, जिसका अर्थ है $dx/x^3 = -dt/2$.
इन्हें समाकल में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \sqrt{t} \log(t) (-1/2) dt = -1/2 \int t^{1/2} \log(t) dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u dv = uv - \int v du$, जहाँ $u = \log(t)$ और $dv = t^{1/2} dt$ है।
$du = (1/t) dt$ और $v = (2/3) t^{3/2}$ है।
$I = -1/2 [\log(t) \cdot (2/3) t^{3/2} - \int (2/3) t^{3/2} \cdot (1/t) dt] = -1/2 [\frac{2}{3} t^{3/2} \log(t) - \frac{2}{3} \int t^{1/2} dt]$.
$I = -1/2 [\frac{2}{3} t^{3/2} \log(t) - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}] + c = -\frac{1}{3} t^{3/2} \log(t) + \frac{2}{9} t^{3/2} + c$.
$I = t^{3/2} [-\frac{1}{3} \log(t) + \frac{2}{9}] + c = (1+\frac{1}{x^2})^{3/2} [-\frac{1}{3} \log(1+\frac{1}{x^2}) + \frac{2}{9}] + c$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{\sin^2 x + \tan^2 x}$ है।
चूँकि $\sin^2 x = \frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$, इसलिए $I = \int \frac{dx}{\frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x} + \tan^2 x} = \int \frac{(1 + \tan^2 x) dx}{\tan^2 x + \tan^2 x(1 + \tan^2 x)} = \int \frac{\sec^2 x \ dx}{2\tan^2 x + \tan^4 x}$ है।
माना $u = \tan x$, तब $du = \sec^2 x \ dx$ है। समाकल $I = \int \frac{du}{u^4 + 2u^2} = \int \frac{du}{u^2(u^2 + 2)}$ हो जाता है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{u^2(u^2 + 2)} = \frac{A}{u^2} + \frac{B}{u^2 + 2}$। हल करने पर $A = \frac{1}{2}$ और $B = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः, $I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2} - \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{2} (-\frac{1}{u}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + c$ है।
$u = \tan x$ प्रतिस्थापित करने पर, $I = -\frac{1}{2 \tan x} - \frac{1}{2\sqrt{2}} \tan^{-1} \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{x^4(x^{10}-1)}{x^{20}+3x^{10}+1} dx$। अंश और हर को $x^{10}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{x^{14}(1 - x^{-10})}{x^{20}(1 + 3x^{-10} + x^{-20})} dx = \int \frac{x^{-6}(1 - x^{-10})}{1 + 3x^{-10} + x^{-20}} dx$।
माना $u = x^5 + x^{-5}$। तब $du = (5x^4 - 5x^{-6}) dx = 5x^4(1 - x^{-10}) dx$।
$I = \frac{1}{5} \int \frac{du}{u^2 + 1} = \frac{1}{5} \tan^{-1}(u) + c = \frac{1}{5} \tan^{-1}(x^5 + x^{-5}) + c$।

(D) माना $t = x^2$, तब $dt = 2x dx$, अतः $x dx = \frac{dt}{2}$ है।
$f(x) = \int \frac{1}{2(t+4)(t+9)} dt$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(t+4)(t+9)} = \frac{1}{5} (\frac{1}{t+4} - \frac{1}{t+9})$ है।
$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \int (\frac{1}{t+4} - \frac{1}{t+9}) dt = \frac{1}{10} [\ln|t+4| - \ln|t+9|] + C = \frac{1}{10} \ln|\frac{x^2+4}{x^2+9}| + C$ है।
दिया है $f(0) = \frac{1}{10} \ln(\frac{4}{9}) + C = \frac{1}{10} \ln((\frac{2}{3})^2) + C = \frac{1}{5} \ln(\frac{2}{3}) + C$ है।
चूंकि $f(0) = \frac{1}{5} \ln(\frac{2}{3})$ है, इसलिए $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, $f(x) = \frac{1}{10} \ln(\frac{x^2+4}{x^2+9})$ है।
$f(1) = \frac{1}{10} \ln(\frac{1+4}{1+9}) = \frac{1}{10} \ln(\frac{5}{10}) = \frac{1}{10} \ln(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{10} \ln(2)$ है।

(A) माना $I = \int (x^{21} + x^6 + x^3)(2x^{18} + 7x^3 + 14)^{1/3} dx$ है।
प्रथम पद से $x^{18}$ उभयनिष्ठ लेने पर: $I = \int x^{18}(x^3 + x^{-12} + x^{-15})(2x^{18} + 7x^3 + 14)^{1/3} dx$।
समाकल को इस प्रकार लिखें: $I = \int x^{18} \cdot x^{18/3} (2 + 7x^{-15} + 14x^{-18})^{1/3} (x^3 + x^{-12} + x^{-15}) dx$।
$I = \int x^{24} (2 + 7x^{-15} + 14x^{-18})^{1/3} (x^3 + x^{-12} + x^{-15}) dx$।
माना $t = 2x^{18} + 7x^3 + 14$ है। तब $dt = (36x^{17} + 21x^2) dx = 3x^2(12x^{15} + 7) dx$।
हल करने पर, $I = \frac{1}{56} (2x^{18} + 7x^3 + 14)^{4/3} + c$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: द्विघात व्यंजक $2x-x^2$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाएं।
$2x-x^2 = -(x^2-2x) = -(x^2-2x+1-1) = -( (x-1)^2 - 1 ) = 1 - (x-1)^2$।
चरण $2$: पूर्ण वर्ग का उपयोग करके समाकल को पुनः लिखें।
$\int \frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}} dx$।
चरण $3$: मानक समाकल सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \sin^{-1}(u) + c$ का उपयोग करें।
मान लीजिए $u = x-1$, तो $du = dx$।
अतः, $\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \sin^{-1}(u) + c = \sin^{-1}(x-1) + c$।

(B) माना $I = \int \frac{\log x}{(1+\log x)^2} dx$ है।
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, जिससे $x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
तब $I = \int \frac{t}{(1+t)^2} e^t dt$।
अंश को $(t+1-1)$ के रूप में लिखने पर: $I = \int \frac{t+1-1}{(1+t)^2} e^t dt$।
$I = \int \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) e^t dt$।
मानक समाकल सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करने पर, जहाँ $f(t) = \frac{1}{1+t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{(1+t)^2}$ है।
अतः, $I = e^t \left( \frac{1}{1+t} \right) + c$।
$t = \log x$ और $e^t = x$ वापस रखने पर: $I = \frac{x}{1+\log x} + c$।

(C) माना $F(x) = \int f(x) dx$ और $G(x) = \int g(x) dx$ है। तब $F'(x) = f(x)$ और $G'(x) = g(x)$ होगा।
हमें $F(x)G(x)$ के लिए व्यंजक ज्ञात करना है।
अवकलन के गुणन नियम द्वारा, $\frac{d}{dx}[F(x)G(x)] = F(x)G'(x) + F'(x)G(x) = F(x)g(x) + f(x)G(x)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, $F(x)G(x) = \int [f(x)G(x) + g(x)F(x)] dx$ प्राप्त होता है।
$F(x) = \int f(x) dx$ और $G(x) = \int g(x) dx$ का मान वापस रखने पर, $F(x)G(x) = \int [f(x) \int g(x) dx + g(x) \int f(x) dx] dx$ प्राप्त होता है।

(D) एक परिमेय फलन वहाँ असंतत होता है जहाँ उसका हर शून्य होता है।
हर को शून्य के बराबर रखें: $x^2 - 5|x| + 6 = 0$।
चूँकि $x^2 = |x|^2$, हम इसे $|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $|x| = t$, तब $t^2 - 5t + 6 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 2)(t - 3) = 0$।
अतः, $|x| = 2$ या $|x| = 3$।
इससे $x = \pm 2$ या $x = \pm 3$ प्राप्त होता है।
असंततता के बिंदु $x = 2, -2, 3, -3$ हैं।
ऐसे कुल $4$ बिंदु हैं।

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए, $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{3^{x+3} - 3^{-x} - 2}{\tan x \cdot \log(1+x)}$।
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3^{x+3} - 3^{-x} - 2 = 27 \cdot 3^x - 3^{-x} - 2 = \frac{27 \cdot 3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 1}{3^x}$।
माना $t = 3^x$। जैसे $x \to 0, t \to 1$। अंश $(9t+1)(3t-1)$ हो जाता है।
अतः $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(9 \cdot 3^x + 1)(3 \cdot 3^x - 1)}{3^x \cdot \tan x \cdot \log(1+x)}$।
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए, सीमा का मान ज्ञात किया जाता है।

(B) $f(x)$ के $x = 2$ पर संतत होने के लिए, $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ होना चाहिए।
माना $L = \lim_{x \to 2} \left( \frac{5x - 8}{8 - 3x} \right)^{\frac{3}{2x-4}}$।
जैसे ही $x \to 2$, आधार $\frac{5(2)-8}{8-3(2)} = \frac{2}{2} = 1$ और घातांक $\frac{3}{2(2)-4} \to \infty$ है।
यह $1^\infty$ रूप है। हम सूत्र $\lim_{x \to a} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} h(x)[g(x)-1]}$ का उपयोग करते हैं।
$L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{3}{2x-4} \left( \frac{5x-8}{8-3x} - 1 \right)}$।
कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करने पर: $\frac{5x-8 - (8-3x)}{8-3x} = \frac{8x-16}{8-3x} = \frac{8(x-2)}{8-3x}$।
वापस प्रतिस्थापित करने पर: $L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{3}{2(x-2)} \cdot \frac{8(x-2)}{8-3x}}$।
$(x-2)$ को काटने पर: $L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{24}{2(8-3x)}}$।
सीमा का मूल्यांकन करने पर: $L = e^{\frac{24}{2(8-6)}} = e^{\frac{24}{4}} = e^6$।

(B) चरण $1$: $x \to 0$ होने पर $f(x)$ की सीमा का मूल्यांकन करें।
चरण $2$: $x$ के $0$ के बहुत करीब होने पर, $\tan x$, $0$ के बहुत करीब होता है, इसलिए $\tan^2 x$ एक छोटा धनात्मक मान है जो $0$ के करीब है।
चरण $3$: चूंकि $x \in (-\epsilon, \epsilon) \setminus \{0\}$ के लिए $0 < \tan^2 x < 1$ है, इसलिए महत्तम पूर्णांक फलन $[\tan^2 x] = 0$ होगा।
चरण $4$: इस प्रकार, $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ है।
चरण $5$: चूंकि $f(0) = [\tan^2 0] = [0] = 0$ है, हमारे पास $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ है, इसलिए $f(x)$, $x = 0$ पर संतत है।
चरण $6$: चूंकि $x = 0$ के पड़ोस में $f(x) = 0$ है, इसलिए $f'(0) = 0$ है।

(A) $f(x)$ के $x = 3$ पर सतत होने के लिए, बायीं सीमा, दायीं सीमा और $x = 3$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = 3a + 1$।
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3b + 3$।
सीमाओं को बराबर करने पर: $3a + 1 = 3b + 3$।
$3a - 3b = 3 - 1$।
$3(a - b) = 2$।
$a - b = \frac{2}{3}$।

(D) $1$. परिभाषा के अनुसार, एक फलन $f(x)$ सम होता है यदि सभी $x \in R$ के लिए $f(-x) = f(x)$ हो।
$2$. श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[f(x)]$।
$3$. इससे हमें $f'(-x) \cdot (-1) = f'(x)$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $f'(-x) = -f'(x)$ हो जाता है।
$4$. एक फलन $g(x)$ विषम होता है यदि $g(-x) = -g(x)$ हो। चूँकि $f'(-x) = -f'(x)$ है, अतः $f'(x)$ एक विषम फलन है।

(A) दिया गया है $y = (x^2 + 8x + 3)^{1/2}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x^2 + 8x + 3)^{-1/2} \cdot (2x + 8) = \frac{x + 4}{\sqrt{x^2 + 8x + 3}}$।
भागफल नियम का उपयोग करके पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\sqrt{x^2 + 8x + 3} \cdot (1) - (x + 4) \cdot \frac{x + 4}{\sqrt{x^2 + 8x + 3}}}{x^2 + 8x + 3}$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(x^2 + 8x + 3) - (x + 4)^2}{(x^2 + 8x + 3)^{3/2}} = \frac{x^2 + 8x + 3 - (x^2 + 8x + 16)}{(x^2 + 8x + 3)^{3/2}} = \frac{-13}{(x^2 + 8x + 3)^{3/2}}$।
$x = 3$ पर, $x^2 + 8x + 3 = 9 + 24 + 3 = 36$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-13}{(36)^{3/2}} = \frac{-13}{6^3} = \frac{-13}{216}$।

(A) माना $u = \frac{ax + b}{cx + d}$ है। तब $y = u^2$ है।
$\frac{dy}{dx} = 2u \frac{du}{dx}$ है।
$\frac{du}{dx} = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ है।
अवकलन करने पर, $2 \frac{dy}{dx} \frac{d^3y}{dx^3} = 3 \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2$ प्राप्त होता है। चूँकि यह विकल्प में नहीं है, प्रश्न में त्रुटि है।

(C) दिया गया है $y = (3x + 5)^{-1}$।
$(ax + b)^{-1}$ के $n^{th}$ अवकलज का सामान्य सूत्र उपयोग करने पर, जो कि $\frac{d^n}{dx^n}(ax + b)^{-1} = \frac{(-1)^n \cdot n! \cdot a^n}{(ax + b)^{n+1}}$ है।
यहाँ, $a = 3$, $b = 5$, और $n = 9$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{d^9y}{dx^9} = \frac{(-1)^9 \cdot 9! \cdot 3^9}{(3x + 5)^{9+1}}$।
अतः, $\frac{d^9y}{dx^9} = \frac{(-1)^9 \cdot 9! \cdot 3^9}{(3x + 5)^{10}}$।

(B) दिया गया है $f''(x) = g''(x)$, अतः $f''(x) - g''(x) = 0$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, $f'(x) - g'(x) = c_1$ प्राप्त होता है।
दिया है $f'(1) = 4$ और $2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2$। अतः, $c_1 = 4 - 2 = 2$ है।
इसलिए, $f'(x) - g'(x) = 2$ है।
पुनः समाकलन करने पर, $f(x) - g(x) = 2x + c_2$ प्राप्त होता है।
दिया है $f(2) = 9$ और $3g(2) = 9 \implies g(2) = 3$।
समीकरण में $x = 2$ रखने पर: $f(2) - g(2) = 2(2) + c_2 \implies 9 - 3 = 4 + c_2 \implies 6 = 4 + c_2 \implies c_2 = 2$।
अतः, $f(x) - g(x) = 2x + 2$ है।
$x = 4$ पर, $f(4) - g(4) = 2(4) + 2 = 8 + 2 = 10$ है।

(D) दिया गया है $y = x + e^x$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dy}{dx} = 1 + e^x$ प्राप्त होता है।
अतः, $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{1 + e^x} = (1 + e^x)^{-1}$।
अब, श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $y$ के सापेक्ष $\frac{dx}{dy}$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} (1 + e^x)^{-1} = \frac{d}{dx} (1 + e^x)^{-1} \cdot \frac{dx}{dy}$।
$\frac{d^2x}{dy^2} = -1(1 + e^x)^{-2} \cdot e^x \cdot \frac{1}{1 + e^x}$।
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{-e^x}{(1 + e^x)^3}$।