MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$ છે.
$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરવા માટે બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2 \sin x \cos x = 2 \times \frac{1}{4}$
$\sin(2x) = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ થાય છે.
$\sin \theta = \sin \alpha$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
અહીં, $\theta = 2x$ અને $\alpha = \frac{\pi}{6}$ છે.
તેથી, $2x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$.
$2$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$x = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12}$.

(D) પગલું $1$: વિકલ્પ $(A)$ ચકાસો: $\exists x \in A$ જેથી $x + 4 \leq 9$। જો $x = 1$ લઈએ, તો $1 + 4 = 5 \leq 9$, જે સત્ય છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(B)$ ચકાસો: $\exists x \in A$ જેથી $12 - x = 7$। આનો અર્થ છે કે $x = 12 - 7 = 5$। કારણ કે $5 \in A$ છે, આ સત્ય છે.
પગલું $3$: વિકલ્પ $(C)$ ચકાસો: $\forall x \in A, x + 3 \geq 4$। $x = 1$ માટે, $1 + 3 = 4 \geq 4$। $x = 5$ માટે, $5 + 3 = 8 \geq 4$। આ તમામ $x \in A$ માટે સત્ય છે.
પગલું $4$: વિકલ્પ $(D)$ ચકાસો: $\exists x \in A$ જેથી $x + 2 < 3$। આનો અર્થ છે કે $x < 1$। કારણ કે $A$ માં સૌથી નાનો ઘટક $1$ છે, તેથી એવો કોઈ $x \in A$ નથી જેના માટે $x < 1$ હોય. તેથી, આ વિધાન અસત્ય છે.

(D) પગલું $1$: વિકલ્પ $(A)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $\sin(-x) = -\sin(x)$, તેથી $\sin(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. સત્ય મૂલ્ય '$F$' છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(B)$ નું વિશ્લેષણ કરો. ચોરસ શ્રેણિક ત્યારે જ અસામાન્ય હોય જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, શૂન્ય શ્રેણિક સામાન્ય (singular) હોય છે. સત્ય મૂલ્ય '$F$' છે.
પગલું $3$: વિકલ્પ $(C)$ નું વિશ્લેષણ કરો. ધારો કે $z = a + bi$. તો $z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, જે એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. સત્ય મૂલ્ય '$F$' છે.
પગલું $4$: વિકલ્પ $(D)$ નું વિશ્લેષણ કરો. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે, $x^2 \ge 0$ થાય છે. આ હંમેશા સત્ય છે. સત્ય મૂલ્ય '$T$' છે.

(B) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ છે અને $z$ કર્ણ છે, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ $x^2 + y^2 = z^2$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $y^2 = z^2 - x^2$, જેને $y^2 = (z-x)(z+x)$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ આધાર $y$ પર લઘુગણક લેતા: $\log_y(y^2) = \log_y((z-x)(z+x))$.
$2 = \log_y(z-x) + \log_y(z+x)$.
આધાર પરિવર્તન સૂત્ર $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{\log_{z-x} y} = \log_y(z-x)$ અને $\frac{1}{\log_{z+x} y} = \log_y(z+x)$ મળે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{1}{\log_{x+z} y} + \frac{1}{\log_{z-x} y} = \log_y(z+x) + \log_y(z-x) = \log_y((z+x)(z-x)) = \log_y(y^2) = 2$.

(A) ધારો કે $p(x) = a(x-1)(x-\alpha)$ અને $q(x) = b(x-1)(x-\beta)$ છે.
$r(x) = p(x) + q(x) = (a+b)x^2 - (a(1+\alpha) + b(1+\beta))x + (a\alpha + b\beta)$ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ એ $r(x)$ ના બીજ હોવાથી, બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{a(1+\alpha) + b(1+\beta)}{a+b}$ થાય.
આને ઉકેલતા $a\alpha + b\beta = a+b$ મળે છે.
તેથી $r(x) = (a+b)(x-1)^2$ મળે છે.
લક્ષના અસ્તિત્વ માટે $a=b$ હોવું જોઈએ. જો $a=b=k$ હોય, તો $\alpha+\beta = 2$ મળે છે.
$\sqrt{p(x)} - \sqrt{q(x)} = \sqrt{k(x-1)} \frac{\beta-\alpha}{\sqrt{x-\alpha} + \sqrt{x-\beta}}$ થાય.
જેમ $x \to \infty$, આ પદ $\frac{\sqrt{k}(\beta-\alpha)}{2} \sqrt{x}$ તરીકે વર્તે છે, જે ફક્ત $\beta-\alpha = 0$ હોય ત્યારે જ સંપાત થાય છે. તેથી લક્ષ $0$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $5x^2 - 4x + 1 = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\tan A$ અને $\tan B$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ, બીજનો સરવાળો $\tan A + \tan B = -(\frac{-4}{5}) = \frac{4}{5}$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $\tan A \tan B = \frac{1}{5}$ થાય.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $\tan(A + B) = \frac{4/5}{1 - 1/5} = \frac{4/5}{4/5} = 1$ મળે.
તેથી $\tan(A + B) = 1$ હોવાથી, $A + B = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે, બીજો $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં, $a = 1, b = 2, c = 4$ છે.
બીજો $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2}$ છે.
કારણ કે $\sqrt{-12} = \sqrt{12} \cdot i = 2\sqrt{3}i$, તેથી બીજો $x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$ છે.
ધારો કે બીજો $\alpha = -1 + \sqrt{3}i$ અને $\beta = -1 - \sqrt{3}i$ છે.
બીજો વચ્ચેનો તફાવત $|\alpha - \beta| = |(-1 + \sqrt{3}i) - (-1 - \sqrt{3}i)| = |2\sqrt{3}i| = 2\sqrt{3}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 - ax + 1 = 0$ ના વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે, વિવેચક $D$ નું મૂલ્ય $0$ કરતા મોટું અથવા તેના બરાબર હોવું જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4(a)(1) = a^2 - 4a$।
શરત: $a^2 - 4a \ge 0 \implies a(a - 4) \ge 0$।
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $a \le 0$ અથવા $a \ge 4$ હોય.
આપેલ ગણ $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માં કુલ $10$ ઘટકો છે.
જો $a = 0$ હોય, તો સમીકરણ $1 = 0$ બને છે, જે અસત્ય છે, તેથી $a = 0$ માટે વાસ્તવિક બીજ મળતા નથી.
$a \ge 4$ માટે, મૂલ્યો $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ છે, જે $6$ મૂલ્યો છે.
આમ, સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
સંભાવના $P = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$।

(A) સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ એ એકમના સંકર ઘનમૂળ છે, જેને $\omega$ અને $\omega^2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી, $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$, જ્યાં $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ છે.
આપણે $\alpha^{2026} + \beta^{2026} = \omega^{2026} + (\omega^2)^{2026} = \omega^{2026} + \omega^{4052}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ઘાતાંકોને $3$ વડે ભાગતા: $2026 = 3 \times 675 + 1$, તેથી $\omega^{2026} = \omega^1 = \omega$ છે.
$4052 = 3 \times 1350 + 2$, તેથી $\omega^{4052} = \omega^2$ છે.
તેથી, $\alpha^{2026} + \beta^{2026} = \omega + \omega^2$ થાય.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ છે, તેથી $\omega + \omega^2 = -1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $x = \sqrt{-1 - \sqrt{-1 - \sqrt{-1 - ... \infty}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $x^2 = -1 - \sqrt{-1 - \sqrt{-1 - ... \infty}}$ મળે છે.
પદનું પુનરાવર્તન થતું હોવાથી, આપણે $x^2 = -1 - x$ લખી શકીએ.
પદોને ગોઠવતા, આપણને $x^2 + x + 1 = 0$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ એ એકમના અવાસ્તવિક ઘનમૂળ છે, જે $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
તેથી, $x$ ની કિંમત $\omega$ અથવા $\omega^2$ હોઈ શકે છે.
અભિસરણ અથવા વિશિષ્ટ બંધારણને આધારે, સાચી કિંમત $\omega^2$ છે.

(A) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_k = (k + 1)(k + \frac{1}{\omega})(k + \frac{1}{\omega^2})$ છે, જ્યાં $k = 1$ થી $n$ છે.
કારણ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$, આપણી પાસે $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ અને $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ છે.
તેથી, $T_k = (k + 1)(k + \omega^2)(k + \omega) = (k + 1)(k^2 + k(\omega + \omega^2) + \omega^3)$.
$\omega + \omega^2 = -1$ અને $\omega^3 = 1$ મૂકતા, આપણને $T_k = (k + 1)(k^2 - k + 1) = k^3 + 1$ મળે છે.
સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 1) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} 1$ છે.
સૂત્ર $\sum k^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $S_n = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 + n$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે, તેથી $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ થાય.
આપણે $\omega$ ના ઘાતાંકોને સરળ કરીએ:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = 1^3 \cdot \omega = \omega$.
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = 1^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin [\pi(\omega + \omega^2) - \frac{\pi}{4}]$.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$, તેથી $\omega + \omega^2 = -1$ થાય.
હવે, આ કિંમત મૂકતા:
$\sin [\pi(-1) - \frac{\pi}{4}] = \sin [-\pi - \frac{\pi}{4}] = \sin [-\frac{5\pi}{4}]$.
ગુણધર્મ $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) સમીકરણ $x^2 - x + 1 = 0$ ના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે, જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ થાય છે.
પદાવલિમાં કિંમતો મૂકતા: $\alpha^{200} + \beta^{206} + 2 = (\omega)^{200} + (\omega^2)^{206} + 2$ મળે છે.
ઘાતને સરળ બનાવતા: $\omega^{200} = \omega^{3 \times 66 + 2} = (\omega^3)^{66} \cdot \omega^2 = 1^{66} \cdot \omega^2 = \omega^2$.
$\omega^{412} = \omega^{3 \times 137 + 1} = (\omega^3)^{137} \cdot \omega = 1^{137} \cdot \omega = \omega$.
આમ, પદાવલિ $\omega^2 + \omega + 2$ બને છે.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ છે, તેથી $\omega + \omega^2 = -1$ થાય.
તેથી, $-1 + 2 = 1$.

(A) ધારો કે $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
તેથી $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ થાય.
પદાવલિ $\omega^{18} + (\omega^2)^{18} = \omega^{18} + \omega^{36}$ બને છે.
કારણ કે $\omega^3 = 1$, તેથી $\omega^{18} = (\omega^3)^6 = 1^6 = 1$ થાય.
તે જ રીતે, $\omega^{36} = (\omega^3)^{12} = 1^{12} = 1$ થાય.
આમ, $1 + 1 = 2$.

(C) આપેલ છે કે $w$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે, તેથી $w^3 = 1$ અને $1 + w + w^2 = 0$ થાય.
પદાવલિ $w^{10} - w^7 + w^5 - w^2 + 1$ ને સાદું રૂપ આપતા:
$w^{10} = (w^3)^3 \cdot w = 1^3 \cdot w = w$
$w^7 = (w^3)^2 \cdot w = 1^2 \cdot w = w$
$w^5 = (w^3) \cdot w^2 = 1 \cdot w^2 = w^2$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$w - w + w^2 - w^2 + 1 = 1$
આમ, કિંમત $1$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ ના યામ $(x, y) = (5, 12)$ છે અને પરિભ્રમણ કોણ $\theta = 30^\circ$ છે.
ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\theta$ ખૂણે પરિભ્રમણ પછી નવા બિંદુ $B$ ના યામ $(x', y')$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$
કિંમતો $x = 5$, $y = 12$, $\theta = 30^\circ$ મૂકતા:
$y' = 5 \sin 30^\circ + 12 \cos 30^\circ$
$y' = 5 \left( \frac{1}{2} \right) + 12 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
$y' = \frac{5}{2} + 6\sqrt{3}$
આમ, બિંદુ $B$ નો યામ $\frac{5}{2} + 6\sqrt{3}$ છે.

(A) ધારો કે $z_1 = 1 + i\sqrt{3} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$।
તે જ રીતે, $z_2 = 1 - i\sqrt{3} = 2(\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{-i\pi/3}$।
તેથી, $(z_1)^{2n} + (z_2)^{2n} = (2e^{i\pi/3})^{2n} + (2e^{-i\pi/3})^{2n}$।
$= 2^{2n} e^{i2n\pi/3} + 2^{2n} e^{-i2n\pi/3}$।
$= 2^{2n} (e^{i2n\pi/3} + e^{-i2n\pi/3})$।
આઈલરના સૂત્ર $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, $e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos \theta$।
$= 2^{2n} \cdot 2 \cos(\frac{2n\pi}{3}) = 2^{2n+1} \cos(\frac{2n\pi}{3})$।

(A) ડી મોઇવરના પ્રમેય (De Moivre's Theorem) નો ઉપયોગ કરતા, $(\cos \phi + i\sin \phi)^n = \cos(n\phi) + i\sin(n\phi)$।
અંશ: $(\cos 2\theta + i\sin 2\theta)^7 = \cos(14\theta) + i\sin(14\theta)$।
છેદ: $(\cos 4\theta + i\sin 4\theta)^3 = \cos(12\theta) + i\sin(12\theta)$।
પદાવલિ: $\frac{\cos(14\theta) + i\sin(14\theta)}{\cos(12\theta) + i\sin(12\theta)} = \cos(14\theta - 12\theta) + i\sin(14\theta - 12\theta)$।
પરિણામ: $\cos 2\theta + i\sin 2\theta$।

(C) આપેલ પદાવલિ: $Z = \frac{(1 + i)^n}{(1 - i)^{n-2}}$.
આધારને સરળ બનાવતા: $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{1^2+1^2} = \frac{1-1+2i}{2} = i$.
તેથી, $Z = \frac{(1+i)^2 (1+i)^{n-2}}{(1-i)^{n-2}} = (1+i)^2 \left( \frac{1+i}{1-i} \right)^{n-2} = 2i \cdot (i)^{n-2}$.
આને સરળ બનાવતા: $Z = 2 \cdot i^{n-1}$.
$Z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તે માટે, $i^{n-1}$ વાસ્તવિક હોવું જોઈએ.
$i^{n-1}$ વાસ્તવિક હશે જો $n-1$ એ $2$ નો ગુણક હોય. સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ જેના માટે $n-1 = 2$ થાય, તે $n = 3$ છે.

(D) આપેલ સંકર સંખ્યા $z = -1 + i\sqrt{3}$ છે.
$z = x + iy$ સાથે સરખાવતા, $x = -1$ અને $y = \sqrt{3}$ મળે છે.
કોણાંક $\theta$ નું મૂલ્ય $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $x < 0$ અને $y > 0$ હોવાથી, સંકર સંખ્યા બીજા ચરણમાં આવેલી છે.
તેથી, $\theta = \pi - \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

(A) આપેલ છે: $(1 + i)(1 + 2i) \dots (1 + ni) = x + iy$।
બંને બાજુ માનાંક (modulus) લેતા: $|(1 + i)(1 + 2i) \dots (1 + ni)| = |x + iy|$।
ગુણધર્મ $|z_1 z_2 \dots z_n| = |z_1| |z_2| \dots |z_n|$ નો ઉપયોગ કરતા: $|1 + i| |1 + 2i| \dots |1 + ni| = |x + iy|$।
કારણ કે $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$, આપણને મળે છે: $\sqrt{1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2} \cdot \dots \cdot \sqrt{1^2 + n^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$।
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \dots \sqrt{1 + n^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2 \cdot 5 \cdot 10 \dots (1 + n^2) = x^2 + y^2$।

(A) પગલું $1$: $z = \frac{1}{1+i}$ ને અંશ અને છેદમાં અનુબદ્ધ $(1-i)$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપો.
$z = \frac{1(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1^2 - i^2} = \frac{1-i}{1+1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$।
પગલું $2$: માનાંક $r = |z| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ શોધો.
પગલું $3$: કોણાંક $\theta$ શોધો. કારણ કે $z$ ચોથા ચરણમાં છે $(x > 0, y < 0)$, $\tan \alpha = |\frac{y}{x}| = |\frac{-1/2}{1/2}| = 1$, તેથી $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
આમ, $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
પગલું $4$: ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = r(\cos \theta + i\sin \theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4})$ છે.

(A) આ સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $z = \sum_{n=0}^{2026} i^n = \frac{1(1 - i^{2027})}{1 - i}$।
કારણ કે $i^4 = 1$, તેથી $i^{2027} = i^{2024} \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$ થાય છે।
તેથી, $z = \frac{1 - (-i)}{1 - i} = \frac{1 + i}{1 - i}$।
અંશ અને છેદને $(1 + i)$ વડે ગુણતા: $z = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$।
આપણે $\sqrt{z} = \sqrt{i}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$, તેથી $\sqrt{i} = (e^{i\frac{\pi}{2}})^{1/2} = e^{i\frac{\pi}{4}}$ થાય.
તેથી, એક કિંમત $e^{i\frac{\pi}{4}}$ છે.

(D) આપેલ છે $i = \sqrt{-1}$, આપણે જાણીએ છીએ કે $i^2 = -1$, $i^4 = 1$, અને $\frac{1}{i} = -i$ થાય.
પ્રથમ, $i^{18} = (i^4)^4 \cdot i^2 = (1)^4 \cdot (-1) = -1$ ને સાદું રૂપ આપો.
ત્યારબાદ, $(\frac{1}{i})^{25} = (-i)^{25} = (-1)^{25} \cdot i^{25} = -1 \cdot (i^4)^6 \cdot i = -1 \cdot 1 \cdot i = -i$ ને સાદું રૂપ આપો.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $[i^{18} + (\frac{1}{i})^{25}]^3 = [-1 - i]^3$ મળે.
$-1$ સામાન્ય લેતા: $[-1(1 + i)]^3 = (-1)^3 (1 + i)^3 = -1(1^3 + i^3 + 3(1)(i)(1 + i))$ મળે.
કારણ કે $i^3 = -i$, તેથી: $-1(1 - i + 3i + 3i^2) = -1(1 + 2i - 3) = -1(-2 + 2i) = 2 - 2i$ થાય.

(B) ધારો કે એક સમાન દડાઓની સંખ્યા $7$ છે અને અલગ દડાઓની સંખ્યા $23 - 7 = 16$ છે.
$12$ દડા પસંદ કરવા માટે, આપણે $k$ એક સમાન દડા પસંદ કરી શકીએ છીએ જ્યાં $0 \le k \le 7$ છે.
જો આપણે $k$ એક સમાન દડા પસંદ કરીએ, તો આપણે $16$ અલગ દડાઓમાંથી $12 - k$ દડા પસંદ કરવા પડશે.
રીતોની સંખ્યા $\sum_{k=0}^{7} {^{16}C_{12-k}}$ છે.
આનું વિસ્તરણ: ${^{16}C_{12}} + {^{16}C_{11}} + {^{16}C_{10}} + {^{16}C_{9}} + {^{16}C_{8}} + {^{16}C_{7}} + {^{16}C_{6}} + {^{16}C_{5}}$ છે.
મૂળ વિકલ્પો ખોટા હોવાથી, સાચો સરવાળો ${^{16}C_{5}} + {^{16}C_{6}} + {^{16}C_{7}} + {^{16}C_{8}} + {^{16}C_{9}} + {^{16}C_{10}} + {^{16}C_{11}} + {^{16}C_{12}}$ છે.
વિકલ્પોની રચના જોતા, વિકલ્પ $B$ એ સરવાળાની પ્રક્રિયાનું સૌથી નજીકનું તાર્કિક નિરૂપણ છે.

(B) $1$. ધારો કે ખૂણાઓ $a-d$, $a$, અને $a+d$ છે. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી, $(a-d) + a + (a+d) = 180^\circ$, જે આપણને $3a = 180^\circ$ આપે છે, તેથી $a = 60^\circ$.
$2$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી, એક ખૂણો $90^\circ$ હોવો જોઈએ. તેથી, $a+d = 90^\circ \implies 60^\circ + d = 90^\circ \implies d = 30^\circ$.
$3$. ખૂણાઓ $30^\circ$, $60^\circ$, અને $90^\circ$ છે.
$4$. $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ ત્રિકોણમાં, બાજુઓનો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{3} : 2$ હોય છે. સૌથી નાની બાજુ સૌથી નાના ખૂણા $(30^\circ)$ ની સામે હોય છે.
$5$. સૌથી નાની બાજુ $4$ આપેલી હોવાથી, બાજુઓ $4$, $4\sqrt{3}$, અને $8$ છે.
$6$. કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ sq. units}$ થાય.

(B) ધારો કે $P = \cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cos 8\theta \cos 16\theta$ છે.
$2^5 \sin \theta$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$P = \frac{2^5 \sin \theta \cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cos 8\theta \cos 16\theta}{32 \sin \theta}$.
સૂત્ર $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ નો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{\sin 32\theta}{32 \sin \theta}$.
આપેલ છે કે $33\theta = \pi$, તેથી $32\theta = \pi - \theta$ થાય.
આમ, $\sin 32\theta = \sin(\pi - \theta) = \sin \theta$.
આ કિંમત $P$ ના પદમાં મૂકતા:
$P = \frac{\sin \theta}{32 \sin \theta} = \frac{1}{32}$.

(C) ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{5} = 36^\circ$ છે. તેથી $5\theta = 180^\circ$, એટલે કે $2\theta = 180^\circ - 3\theta$ થાય.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા: $\cos(2\theta) = \cos(180^\circ - 3\theta) = -\cos(3\theta)$ મળે.
દ્વિગુણ અને ત્રિગુણ ખૂણાના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $2\cos^2\theta - 1 = -(4\cos^3\theta - 3\cos\theta)$.
$4\cos^3\theta + 2\cos^2\theta - 3\cos\theta - 1 = 0$.
$\cos\theta \neq -1$ હોવાથી, આપણે $(\cos\theta + 1)$ વડે ભાગતા $4\cos^2\theta - 2\cos\theta - 1 = 0$ મળે.
$\cos\theta$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos\theta = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$.
$\frac{\pi}{5}$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી, $\cos(\frac{\pi}{5}) > 0$, તેથી $\cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ થાય.

(C) આપેલ પદાવલિ: $E = \cos^2 10^\circ - \cos 10^\circ \cos 50^\circ + \cos^2 50^\circ$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $E = \frac{1}{2} [2\cos^2 10^\circ - 2\cos 10^\circ \cos 50^\circ + 2\cos^2 50^\circ]$
$2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ અને $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} [(1 + \cos 20^\circ) - (\cos 60^\circ + \cos(-40^\circ)) + (1 + \cos 100^\circ)]$
$E = \frac{1}{2} [1 + \cos 20^\circ - \frac{1}{2} - \cos 40^\circ + 1 + \cos 100^\circ]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^\circ - \cos 40^\circ + \cos 100^\circ]$
$\cos 100^\circ - \cos 40^\circ = -2 \sin(\frac{100+40}{2}) \sin(\frac{100-40}{2}) = -2 \sin 70^\circ \sin 30^\circ = -2 \cos 20^\circ (\frac{1}{2}) = -\cos 20^\circ$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^\circ - \cos 20^\circ] = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

(C) પગલું $1$: $105^\circ$ ને $(60^\circ + 45^\circ)$ તરીકે દર્શાવો.
પગલું $2$: સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $3$: $A = 60^\circ$ અને $B = 45^\circ$ મૂકતા: $\tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ}$.
પગલું $4$: કિંમતો $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ અને $\tan 45^\circ = 1$ મૂકતા: $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \times 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$.
પગલું $5$: છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2 + \sqrt{3})$.
પગલું $6$: વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, વિકલ્પ $C$, $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$, એ પગલા $4$ ના પરિણામ સમાન છે.

(A) ધારો કે $x = \theta - \alpha$ અને $y = \theta - \beta$ છે. તેથી $x - y = (\theta - \alpha) - (\theta - \beta) = \beta - \alpha$, એટલે કે $\alpha - \beta = y - x$ થાય.
આપેલ છે કે $\cos(x) = a$ અને $\sin(y) = b$ છે.
આપણે $E = \cos^2(y - x) + 2ab \sin(y - x) + \cos^2(x)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા, પદાવલિનું સાદું રૂપ $a^2 + b^2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 3\alpha = 4 \sin \alpha \cdot \sin(x + \alpha) \cdot \sin(x - \alpha)$
નિત્યસમ $\sin(x + \alpha) \sin(x - \alpha) = \sin^2 x - \sin^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 3\alpha = 4 \sin \alpha (\sin^2 x - \sin^2 \alpha)$
$\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha = 4 \sin \alpha \sin^2 x - 4 \sin \alpha \sin^2 \alpha$
કારણ કે $\alpha \neq n\pi$, $\sin \alpha \neq 0$, તેથી આપણે $\sin \alpha$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$3 - 4 \sin^2 \alpha = 4 \sin^2 x - 4 \sin^2 \alpha$
$3 = 4 \sin^2 x$
$\sin^2 x = \frac{3}{4} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \sin^2(\frac{\pi}{3})$
$\sin^2 x = \sin^2 \theta$ નો વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi \pm \theta$ છે.
તેથી, $x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$.

(D) અમે નિત્યસમ $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $\frac{\tan 160^\circ - \tan 110^\circ}{1 + \tan 160^\circ \tan 110^\circ} = \tan(160^\circ - 110^\circ) = \tan 50^\circ$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 50^\circ = \cot 40^\circ = \frac{1}{\tan 40^\circ}$ થાય.
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $\theta = 20^\circ$ છે:
$\tan 40^\circ = \frac{2 \tan 20^\circ}{1 - \tan^2 20^\circ} = \frac{2P}{1 - P^2}$.
તેથી, $\tan 50^\circ = \frac{1}{\frac{2P}{1 - P^2}} = \frac{1 - P^2}{2P}$.

(D) આપેલ છે $\angle C = 90^\circ$, તેથી $A + B = 90^\circ$, જેનો અર્થ છે $B = 90^\circ - A$।
સાઇન નિયમ (sine rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
તેથી, $a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B = 2R \sin(90^\circ - A) = 2R \cos A$।
હવે, $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{(2R \sin A)^2 - (2R \cos A)^2}{(2R \sin A)^2 + (2R \cos A)^2}$ ધ્યાનમાં લો.
$= \frac{4R^2(\sin^2 A - \cos^2 A)}{4R^2(\sin^2 A + \cos^2 A)} = \frac{-(\cos^2 A - \sin^2 A)}{1} = -\cos(2A)$।
કારણ કે $B = 90^\circ - A$, તો $A - B = A - (90^\circ - A) = 2A - 90^\circ$।
તેથી, $\sin(A - B) = \sin(2A - 90^\circ) = -\sin(90^\circ - 2A) = -\cos(2A)$।
બંને પરિણામોની સરખામણી કરતા, $\sin(A - B) = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$।

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{\sin^2 3A}{\sin^2 A} - \frac{\cos^2 3A}{\cos^2 A}$
$E = \frac{\sin^2 3A \cos^2 A - \cos^2 3A \sin^2 A}{\sin^2 A \cos^2 A}$
$\sin^2 x \cos^2 y - \cos^2 x \sin^2 y = \sin(x-y)\sin(x+y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\sin(3A-A)\sin(3A+A)}{\sin^2 A \cos^2 A} = \frac{\sin 2A \sin 4A}{\sin^2 A \cos^2 A}$
$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ અને $\sin 4A = 2 \sin 2A \cos 2A = 4 \sin A \cos A \cos 2A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{(2 \sin A \cos A)(4 \sin A \cos A \cos 2A)}{\sin^2 A \cos^2 A}$
$E = \frac{8 \sin^2 A \cos^2 A \cos 2A}{\sin^2 A \cos^2 A} = 8 \cos 2A$

(A) આપેલ છે કે $^nC_4$, $^nC_5$, અને $^nC_6$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, તેથી $2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$ થાય.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$.
$n!$ વડે ભાગતા અને $6!(n-4)!$ વડે ગુણતા:
$2 \cdot \frac{6!(n-4)!}{5!(n-5)!} = \frac{6!(n-4)!}{4!(n-4)!} + \frac{6!(n-4)!}{6!(n-6)!}$.
$2 \cdot 6(n-4) = 6 \cdot 5 + (n-4)(n-5)$.
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$.
$n^2 - 21n + 98 = 0$.
$(n-7)(n-14) = 0$.
આમ, $n = 7$ અથવા $n = 14$ મળે.

(C) આપણે નિત્યસમ $\frac{1}{k+1} {}^n\mathrm{C}_k = \frac{1}{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_{k+1}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {}^n\mathrm{C}_k$ છે.
નિત્યસમ મૂકતા: $S = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_{k+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} {}^{n+1}\mathrm{C}_{k+1}$.
ધારો કે $j = k+1$, તો $S = \frac{1}{n+1} \sum_{j=1}^{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_j$.
કારણ કે $\sum_{j=0}^{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_j = 2^{n+1}$ છે, તેથી $\sum_{j=1}^{n+1} {}^{n+1}\mathrm{C}_j = 2^{n+1} - {}^{n+1}\mathrm{C}_0 = 2^{n+1} - 1$ થાય.
આમ, $S = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1} = \frac{1023}{10}$.
પદોની સરખામણી કરતા, $n+1 = 10$, તેથી $n = 9$. ચકાસણી: $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$.

(B) પગલું $1$: $x + 2y + 6 = 0$ અને $2x - y = 2$ ના છેદબિંદુ શોધો.
બીજા સમીકરણ પરથી, $y = 2x - 2$.
પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 2(2x - 2) + 6 = 0 \implies x + 4x - 4 + 6 = 0 \implies 5x + 2 = 0 \implies x = -2/5$.
ત્યારબાદ $y = 2(-2/5) - 2 = -4/5 - 10/5 = -14/5$.
છેદબિંદુ $(-2/5, -14/5)$ છે.
પગલું $2$: રેખાઓના પરિવારનું સમીકરણ વાપરો: $(x + 2y + 6) + \lambda(2x - y - 2) = 0$.
આ $(1 + 2\lambda)x + (2 - \lambda)y + (6 - 2\lambda) = 0$ માં સરળ થાય છે.
પગલું $3$: $y$-અંતઃખંડ $5$ છે, તેથી રેખા $(0, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણમાં $(0, 5)$ મૂકતા: $(1 + 2\lambda)(0) + (2 - \lambda)(5) + (6 - 2\lambda) = 0$.
$10 - 5\lambda + 6 - 2\lambda = 0 \implies 16 - 7\lambda = 0 \implies \lambda = 16/7$.
પગલું $4$: $\lambda = 16/7$ ને સમીકરણમાં પાછા મૂકતા:
$(1 + 2(16/7))x + (2 - 16/7)y + (6 - 2(16/7)) = 0$.
$(7 + 32)/7 x + (14 - 16)/7 y + (42 - 32)/7 = 0$.
$39x - 2y + 10 = 0$.

(B) પગલું $1$: $x - y + 1 = 0$ $(i)$ અને $2x + 3y - 8 = 0$ (ii) ના છેદબિંદુ શોધો.
$(i)$ પરથી, $y = x + 1$. આને (ii) માં મૂકતા: $2x + 3(x + 1) - 8 = 0 \implies 2x + 3x + 3 - 8 = 0 \implies 5x = 5 \implies x = 1$.
તેથી $y = 1 + 1 = 2$. છેદબિંદુ $(1, 2)$ છે.
પગલું $2$: રેખાનો $x$-અંતઃખંડ $3$ છે, તેથી તે $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
પગલું $3$: $(1, 2)$ અને $(3, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઢાળ $m = \frac{0 - 2}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = -1$ છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા: $y - 0 = -1(x - 3) \implies y = -x + 3 \implies x + y - 3 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $(2 + k)x + (1 + k)y = 5 + 7k$ છે.
$k$ વાળા પદોને એકસાથે જૂથબદ્ધ કરવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવો:
$2x + kx + y + ky = 5 + 7k$
$(2x + y - 5) + k(x + y - 7) = 0$
$k$ ની તમામ કિંમતો માટે આ રેખા એક નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય તે માટે, કૌંસમાં આપેલા બંને પદો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2x + y - 5 = 0$ ---$(1)$
$x + y - 7 = 0$ ---$(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(2x + y - 5) - (x + y - 7) = 0$
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x = -2$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$-2 + y - 7 = 0 \implies y = 9$
નિશ્ચિત બિંદુ $(-2, 9)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $d = \sqrt{(-2)^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$ છે.
તેથી, $d^2 = 85$.

(C) રેખાઓના કુટુંબનું આપેલ સમીકરણ: $4ax + 3by + c = 0$ $(1)$.
આપેલ શરત: $a + b + c = 0$, જેનો અર્થ છે $c = -a - b$ $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$4ax + 3by - a - b = 0$
$a$ અને $b$ ને જૂથબદ્ધ કરવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવો:
$a(4x - 1) + b(3y - 1) = 0$
બધા વાસ્તવિક અચળાંકો $a$ અને $b$ માટે આ સમીકરણ સાચું હોવા માટે, $a$ અને $b$ ના સહગુણકો સ્વતંત્ર રીતે શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$4x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4}$
$3y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{3}$
આમ, રેખાઓ બિંદુ $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ પર સંગામી છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $px + qy = r$ છે. $r$ વડે ભાગતા, $\frac{x}{r/p} + \frac{y}{r/q} = 1$ મળે છે.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a = \frac{r}{p}$ અને $b = \frac{r}{q}$ છે.
બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |a| \times |b| = \frac{1}{2} \times \frac{r}{p} \times \frac{r}{q} = \frac{r^2}{2pq}$ છે.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{54}$ છે, તેથી $\frac{r^2}{2pq} = \frac{1}{54}$.
આનું સાદું રૂપ $2pq = 54r^2$ અથવા $pq = 27r^2$ થાય છે.

(A) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે, જ્યાં $a$ અને $b$ અનુક્રમે $x$ અને $y$ અંતઃખંડો છે.
આપેલ છે કે અંતઃખંડોનો સરવાળો શૂન્ય છે, $a + b = 0$, જેનો અર્થ છે $b = -a$।
આને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x}{a} - \frac{y}{a} = 1$, અથવા $x - y = a$ મળે.
રેખા $A(3, 4)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી, આપણે આ યામોને મૂકીએ: $3 - 4 = a$, તેથી $a = -1$ મળે.
આથી રેખા $x - y = -1$, અથવા $x - y + 1 = 0$ મળે છે.
શૂન્યતર અંતઃખંડોની શરત મુજબ, આવી માત્ર એક જ રેખા શક્ય છે.

(C) ધારો કે રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે. અંતઃખંડો $(a, 0)$ અને $(0, b)$ છે.
બિંદુ $(-5, 3)$ એ $(a, 0)$ અને $(0, b)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, બિંદુના યામ $\left( \frac{4(0) + 3(a)}{4+3}, \frac{4(b) + 3(0)}{4+3} \right) = \left( \frac{3a}{7}, \frac{4b}{7} \right)$ મળે છે.
તેને $(-5, 3)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{3a}{7} = -5 \implies a = -\frac{35}{3}$
$\frac{4b}{7} = 3 \implies b = \frac{21}{4}$
$a$ અને $b$ ની કિંમત અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં મૂકતા: $\frac{x}{-35/3} + \frac{y}{21/4} = 1$.
$-\frac{3x}{35} + \frac{4y}{21} = 1$.
$105$ ($35$ અને $21$ નો લ.સા.અ.) વડે ગુણતા: $-9x + 20y = 105$.
$9x - 20y + 105 = 0$.

(A) પગલું $1$: $L_1$ માટે $p$ શોધો. $L_1$ એ $(5, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી, $\frac{5}{p} + \frac{0}{2} = 1 \implies p = 5$। તેથી, $L_1: \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1 \implies 2x + 5y - 10 = 0$।
પગલું $2$: $L_2$ એ $L_1$ ને સમાંતર હોવાથી, તેનું સમીકરણ $2x + 5y + k = 0$ થશે. આપેલ છે $L_2: \frac{x}{10} + \frac{y}{q} = 1$, જેને $qx + 10y - 10q = 0$ તરીકે લખતા. સહગુણકોની સરખામણી કરતા, $\frac{q}{2} = \frac{10}{5} \implies q = 4$। તેથી $L_2: 4x + 10y - 40 = 0 \implies 2x + 5y - 20 = 0$।
પગલું $3$: સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
પગલું $4$: અહીં $A=2, B=5, C_1=-10, C_2=-20$ છે. તેથી, $d = \frac{|-10 - (-20)|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{10}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{10}{\sqrt{29}}$।

(B) પગલું $1$: રેખાઓ $x - y + 1 = 0$ અને $2x + y - 7 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો. સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x - y + 1) + (2x + y - 7) = 0 \implies 3x - 6 = 0 \implies x = 2$ મળે. $x = 2$ ને $x - y + 1 = 0$ માં મૂકતા, આપણને $2 - y + 1 = 0 \implies y = 3$ મળે છે. છેદબિંદુ $P(2, 3)$ છે.
પગલું $2$: $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = m(x - 2)$ છે. કારણ કે તે ધન અક્ષોને $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ પર છેદે છે, તેથી $m$ ઋણ હોવો જોઈએ. ધારો કે $m = -k$ જ્યાં $k > 0$ છે. સમીકરણ $y - 3 = -k(x - 2) \implies kx + y = 2k + 3$ છે.
પગલું $3$: અંતઃખંડો $A(\frac{2k+3}{k}, 0)$ અને $B(0, 2k+3)$ છે. $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $Area = \frac{1}{2} \times \frac{2k+3}{k} \times (2k+3) = \frac{(2k+3)^2}{2k} = \frac{4k^2 + 12k + 9}{2k} = 2k + 6 + \frac{9}{2k}$ છે.
પગલું $4$: $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા, $2k + \frac{9}{2k} \ge 2\sqrt{2k \cdot \frac{9}{2k}} = 2\sqrt{9} = 6$ મળે. તેથી, $Area \ge 6 + 6 = 12$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે રેખા દ્વારા યામ અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડ $a$ અને $a$ છે. અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ છે, જે $x + y - a = 0$ માં સાદું રૂપ પામે છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ ને સ્પર્શતી હોવાથી, કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 2$ જેટલું હોવું જોઈએ.
લંબ અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \frac{|0 + 0 - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$.
$2 = \frac{|-a|}{\sqrt{2}}$.
$|a| = 2\sqrt{2}$.
આમ, દરેક અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{2}$ છે.

(B) રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે, જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\alpha$ એ લંબ દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આપેલ છે $\alpha = 45^\circ$, તેથી સમીકરણ $x \cos 45^\circ + y \sin 45^\circ = p$ છે, જે સાદું રૂપ આપતા $\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = p$ અથવા $x + y = p\sqrt{2}$ મળે છે.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $x = p\sqrt{2}$ અને $y = p\sqrt{2}$ છે.
અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} (p\sqrt{2})(p\sqrt{2}) = p^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $49$ આપેલ છે, તેથી $p^2 = 49$, જેનો અર્થ છે $p = 7$.
$p = 7$ ને સમીકરણ $x + y = p\sqrt{2}$ માં મૂકતા, આપણને $x + y = 7\sqrt{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડ અનુક્રમે $-a$ અને $-a$ છે, જ્યાં $a > 0$ છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{-a} + \frac{y}{-a} = 1$ છે, જેનું સાદું રૂપ $x + y + a = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $A = 1, B = 1, C = a$, અને $d = 4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $4 = \frac{|a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
તેથી, $a = 4\sqrt{2}$.
$a$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $x + y + 4\sqrt{2} = 0$.

(B) પગલું $1$: $A$ અને $B$ ના યામ શોધો. $X$-અક્ષ માટે, $y=0$ લો: $2x = 4 \implies x=2$। તેથી $A = (2, 0)$। $Y$-અક્ષ માટે, $x=0$ લો: $y=4$। તેથી $B = (0, 4)$।
પગલું $2$: $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો. $M = (\frac{2+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = (1, 2)$।
પગલું $3$: કારણ કે $AC \perp BC$, બિંદુ $C$ એવા વર્તુળ પર આવેલું છે જેનો વ્યાસ $AB$ છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર મધ્યબિંદુ $M(1, 2)$ છે.
પગલું $4$: આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ અંતર $MA$ છે: $r = \sqrt{(2-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$।
પગલું $5$: કારણ કે $C$ વર્તુળ પર આવેલું છે, તેથી $C$ નું કેન્દ્ર $M$ થી અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{5}$ જેટલું થાય.

(C) ઊંચાઈનું વિધેય $h(t) = -5t^2 + 14t + 3$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે, આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય તરીકે લઈએ છીએ: $\frac{dh}{dt} = -10t + 14$.
$\frac{dh}{dt} = 0$ લેતા, આપણને $-10t + 14 = 0$ મળે છે, જેનો અર્થ છે $t = 1.4 \text{ s}$.
$t = 1.4$ ની કિંમત ઊંચાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $h(1.4) = 3 + 14(1.4) - 5(1.4)^2$.
$h(1.4) = 3 + 19.6 - 5(1.96) = 22.6 - 9.8 = 12.8 \text{ m}$.
આમ, મહત્તમ ઊંચાઈ $12.8 \text{ m}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} (\frac{x - y}{1 + xy})$ થાય છે.
કારણ કે $a_1, a_2, \dots, a_n$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, તેથી $a_{k+1} - a_k = d$ થાય.
આમ, સરવાળાના દરેક પદને $\tan^{-1} (\frac{a_{k+1} - a_k}{1 + a_k a_{k+1}}) = \tan^{-1} a_{k+1} - \tan^{-1} a_k$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ પદાવલિ $\tan [(\tan^{-1} a_2 - \tan^{-1} a_1) + (\tan^{-1} a_3 - \tan^{-1} a_2) + \dots + (\tan^{-1} a_n - \tan^{-1} a_{n-1})]$ બને છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે, જેનું સાદું રૂપ $\tan [\tan^{-1} a_n - \tan^{-1} a_1]$ થાય છે.
સૂત્ર $\tan (\tan^{-1} x - \tan^{-1} y) = \frac{x - y}{1 + xy}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{a_n - a_1}{1 + a_n a_1}$ મળે છે.

(A) $f(x)$ એ $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ સતત હોવા માટે, $f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x)$ થવું જોઈએ.
ધારો કે $t = x - \frac{\pi}{4}$, તેથી જેમ $x \to \frac{\pi}{4}$, તેમ $t \to 0$. તો $x = t + \frac{\pi}{4}$.
$\cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin(t + \frac{\pi}{2}) = \sqrt{2} \cos t$.
$1 - \sin 2x = 1 - \sin(2t + \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos 2t = 2 \sin^2 t$.
$f(x) = \frac{2\sqrt{2} - (\sqrt{2} \cos t)^3}{2 \sin^2 t} = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cos^3 t}{2 \sin^2 t} = \sqrt{2} \frac{1 - \cos^3 t}{\sin^2 t}$.
$1 - \cos^3 t = (1 - \cos t)(1 + \cos t + \cos^2 t)$ અને $\sin^2 t = (1 - \cos t)(1 + \cos t)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \sqrt{2} \frac{(1 - \cos t)(1 + \cos t + \cos^2 t)}{(1 - \cos t)(1 + \cos t)} = \sqrt{2} \frac{1 + \cos t + \cos^2 t}{1 + \cos t}$.
જેમ $t \to 0$, $\cos t \to 1$, તેથી $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \sqrt{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ નથી.

(C) આપેલ છે $\sec^{-1} \left( \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} \right) = 2a$, તેથી $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \sec(2a)$ થાય.
યોગ-વિયોગ (componendo and dividendo) લેતા: $\frac{(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2)} = \frac{\sec(2a) + 1}{\sec(2a) - 1}$.
$\frac{2x^2}{2y^2} = \frac{\frac{1}{\cos(2a)} + 1}{\frac{1}{\cos(2a)} - 1} = \frac{1 + \cos(2a)}{1 - \cos(2a)} = \frac{2\cos^2(a)}{2\sin^2(a)} = \cot^2(a)$.
તેથી, $\frac{x^2}{y^2} = \cot^2(a) \implies x^2 = y^2 \cot^2(a)$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2x = 2y \frac{dy}{dx} \cot^2(a)$.
$x = y \frac{dy}{dx} \cot^2(a) \implies y \frac{dy}{dx} = x \tan^2(a)$.
$y \frac{dy}{dx} = x \cdot f(a)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $f(a) = \tan^2(a)$ મળે છે.
તેથી, $f \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \tan^2 \left( \frac{2\pi}{3} \right) = (-\sqrt{3})^2 = 3$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ છે. આપણે $f(0.007)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $x = 0.008$ અને $\Delta x = -0.001$, જેથી $x + \Delta x = 0.007$ થાય.
રેખીય અંદાજ (linear approximation) માટેનું સૂત્ર $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ છે.
અહીં, $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$, તેથી $f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ છે.
$x = 0.008$ માટે, $f(0.008) = (0.008)^{\frac{1}{3}} = 0.2$ છે.
$f'(0.008) = \frac{1}{3(0.008)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3(0.04)} = \frac{1}{0.12} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \approx 8.333$ છે.
હવે, $f(0.007) \approx 0.2 + (8.333)(-0.001) = 0.2 - 0.008333 = 0.191667$ છે.
વિકલ્પોમાં સૌથી નજીકની કિંમત $0.191$ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y^2 = \frac{36}{5}x$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dt} = \frac{36}{5} \frac{dx}{dt}$ મળે.
આપણને આપેલ છે કે કોટિ $(y)$, ભુજ $(x)$ ના દર કરતા ત્રણ ગણી ઝડપે વધે છે, તેથી $\frac{dy}{dt} = 3 \frac{dx}{dt}$ થાય.
આ કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $2y(3 \frac{dx}{dt}) = \frac{36}{5} \frac{dx}{dt}$ મળે.
ધારો કે $\frac{dx}{dt} \neq 0$, તો $6y = \frac{36}{5}$ મળે, જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{6}{5}$ થાય.
હવે, $y = \frac{6}{5}$ ને મૂળ પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{6}{5})^2 = \frac{36}{5}x$ મળે.
$\frac{36}{25} = \frac{36}{5}x$ થાય.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{36}{25} \times \frac{5}{36} = \frac{1}{5}$ મળે.
આમ, માંગેલ બિંદુ $(1/5, 6/5)$ છે.

(B) પગલું $1$: એક ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને $A = B + C$ તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાં $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$ સંમિત છે અને $C = \frac{1}{2}(A - A^T)$ વિસંમિત છે.
પગલું $2$: $A^T = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: $B = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$.
પગલું $4$: $C = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
પગલું $5$: નિશ્ચાયકોની ગણતરી કરો: $|A| = (4 \times 2) - (1 \times 3) = 8 - 3 = 5$. $|B| = (4 \times 2) - (2 \times 2) = 8 - 4 = 4$. $|C| = (0 \times 0) - (-1 \times 1) = 1$.
પગલું $6$: વિકલ્પો તપાસો: $|B| + |C| = 4 + 1 = 5$. કારણ કે $|A| = 5$, તેથી સંબંધ $|A| = |B| + |C|$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2i & i^3 \\ i^2 & 1 \end{bmatrix}$। કારણ કે $i^2 = -1$ અને $i^3 = -i$, તેથી $A = \begin{bmatrix} 2i & -i \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ થાય.
પગલું $1$: નિશ્ચાયક $|A| = (2i)(1) - (-i)(-1) = 2i - i = i$ શોધો.
પગલું $2$: સહઅવયજ શ્રેણિક $adj(A)$ શોધો. $2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે, $adj(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી, $adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix}$.
પગલું $3$: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{i} \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $\frac{1}{i} = -i$, આપણને $A^{-1} = -i \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & -i^2 \\ -i & -2i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & 1 \\ -i & 2 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$.
આ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \cos(240^\circ) & -\sin(240^\circ) \\ \sin(240^\circ) & \cos(240^\circ) \end{bmatrix}$ સ્વરૂપમાં છે, જે $\theta = 240^\circ = 4\pi/3$ સાથેનો પરિભ્રમણ શ્રેણિક $R_\theta$ છે.
પરિભ્રમણ શ્રેણિક માટે, $A^{-1} = R_{-\theta}$ અને $A^2 = R_{2\theta}$ થાય.
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos(120^\circ) & -\sin(120^\circ) \\ \sin(120^\circ) & \cos(120^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} \cos(480^\circ) & -\sin(480^\circ) \\ \sin(480^\circ) & \cos(480^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(120^\circ) & -\sin(120^\circ) \\ \sin(120^\circ) & \cos(120^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$.
આમ, $A^{-1} - A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, જે એક શૂન્ય શ્રેણિક છે.
શૂન્ય શ્રેણિક એ વિકર્ણ શ્રેણિક અને અદિશ શ્રેણિક પણ છે, પરંતુ તે એકમ શ્રેણિક નથી.

(C) પગલું $1$: $A^2$ ની ગણતરી કરો.
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
પગલું $2$: કારણ કે $A^2 = I$, બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા $A = A^{-1}$ મળે છે.
પગલું $3$: વિકલ્પો તપાસો. વિકલ્પ $(C)$ જણાવે છે કે $A^{-1} = A$, જે આપણા પરિણામ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) પગલું $1$: $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો. $|A| = 2(3-0) - 0(15-0) + (-1)(5-0) = 6 - 5 = 1$.
પગલું $2$: સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરો. કારણ કે $|A| = 1$, $A^{-1} = \text{adj}(A)$.
પગલું $3$: સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો.
$C_{11} = +(3-0) = 3$, $C_{12} = -(15-0) = -15$, $C_{13} = +(5-0) = 5$.
$C_{21} = -(0 - (-1)) = -1$, $C_{22} = +(6-0) = 6$, $C_{23} = -(2-0) = -2$.
$C_{31} = +(0 - (-1)) = 1$, $C_{32} = -(0 - (-5)) = -5$, $C_{33} = +(2-0) = 2$.
પગલું $4$: સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્ત શ્રેણિક એ $\text{adj}(A)$ છે: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}$.
પગલું $5$: $A^{-1}$ સાથે સરખામણી કરતા, આપણને $\gamma = 3$, $\alpha = -15$, $\beta = 5$ મળે છે.
પગલું $6$: $|\alpha \cdot \beta \cdot \gamma| = |(-15) \cdot 5 \cdot 3| = |-225| = 225$.

(C) પગલું $1$: નિશ્ચાયક $|A| = 1(0 - (-25)) - 3(0 - (-10)) - 2(-15 - 0) = 1(25) - 3(10) - 2(-15) = 25 - 30 + 30 = 25$ શોધો.
પગલું $2$: $A^{-1}$ ની પ્રથમ હાર અને બીજા સ્તંભનો ઘટક $\frac{C_{21}}{|A|}$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $C_{21}$ એ $A$ ના બીજા હાર અને પ્રથમ સ્તંભના ઘટકનો સહઅવયવ છે.
પગલું $3$: $C_{21} = (-1)^{2+1} \times \text{minor}_{21} = -1 \times \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \times (0 - (-10)) = -10$.
પગલું $4$: જરૂરી ઘટક $\frac{C_{21}}{|A|} = \frac{-10}{25} = -\frac{2}{5}$ છે. નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં સાચો જવાબ નથી.

(A) પગલું $1$: મેટ્રિક્સ $A$ નો નિશ્ચાયક (determinant) શોધો.
$|A| = 1(4 - 9) - 3(12 - 9) + 3(9 - 3) = 1(-5) - 3(3) + 3(6) = -5 - 9 + 18 = 4$.
પગલું $2$: $A^{-1}$ ની ત્રીજી હાર અને બીજા સ્તંભનો ઘટક $\frac{C_{23}}{|A|}$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $C_{23}$ એ $A$ ની બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભના ઘટકનો સહઅવયવ (cofactor) છે.
પગલું $3$: બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભને દૂર કરીને માઇનર $M_{23}$ ની ગણતરી કરો: $M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 9) = -6$.
પગલું $4$: સહઅવયવ $C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -1 \times (-6) = 6$.
પગલું $5$: જરૂરી ઘટક $\frac{C_{23}}{|A|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ છે.

(A) પગલું $1$: $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો. $|A| = (3 \times 4) - (-2 \times 1) = 12 + 2 = 14$.
પગલું $2$: $A$ નો સહઅવયવજ (adjoint) શોધો. $2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે, સહઅવયવજ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
પગલું $3$: તેથી, $adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$.
પગલું $4$: વ્યસ્ત $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{14} & \frac{2}{14} \\ -\frac{1}{14} & \frac{3}{14} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \\ -\frac{1}{14} & \frac{3}{14} \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $A^2 - A + I = 0$
બંને બાજુથી $I$ બાદ કરતા: $A^2 - A = -I$
ડાબી બાજુથી $A$ સામાન્ય લેતા: $A(A - I) = -I$
બંને બાજુ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા: $A^{-1}A(A - I) = A^{-1}(-I)$
કારણ કે $A^{-1}A = I$, તેથી: $I(A - I) = -A^{-1}$
$A - I = -A^{-1}$
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા: $A^{-1} = -(A - I) = I - A$

(D) પગલું $1$: $A^{-1}$ શોધો. આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $\det(A) = (3)(-1) - (-4)(1) = -3 + 4 = 1$। તેથી, $A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$।
પગલું $2$: $(A^{-1})^2$ ની ગણતરી કરો. $(A^{-1})^2 = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 8 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$।
પગલું $3$: $(A^{-1})^2 + B$ ની ગણતરી કરો. $\begin{bmatrix} -3 & 8 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & -13 \\ 5 & -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$।
પગલું $4$: સમીકરણ સંહતિ $\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ને ઉકેલો. આનો અર્થ એ છે કે $3x - 5y = 0$, અથવા $3x = 5y$। વિકલ્પોમાંથી, માત્ર $(5, 3)$ એ $3(5) = 5(3)$ નું સમાધાન કરે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$, જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ ની બીજી હારનો $A^{-1}$ ના ત્રીજા સ્તંભ સાથે ગુણાકાર કરતા $I$ નો $(2, 3)$ ઘટક મળે છે, જે $0$ છે.
$(1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times y) + (3 \times \frac{1}{2}) = 0 \implies \frac{1}{2} + 2y + \frac{3}{2} = 0 \implies 2 + 2y = 0 \implies y = -1$.
$A$ ની ત્રીજી હારનો $A^{-1}$ ના પ્રથમ સ્તંભ સાથે ગુણાકાર કરતા $I$ નો $(3, 1)$ ઘટક મળે છે, જે $0$ છે.
$(3 \times \frac{1}{2}) + (x \times -4) + (1 \times \frac{5}{2}) = 0 \implies \frac{3}{2} - 4x + \frac{5}{2} = 0 \implies 4 - 4x = 0 \implies x = 1$.
કાર્તેઝિયન યામ $(1, -1)$ છે.
ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ માટે, $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
બિંદુ $(1, -1)$ ચોથા ચરણમાં હોવાથી, $\theta = \arctan(\frac{y}{x}) = \arctan(-1) = \frac{7\pi}{4}$.
આમ, ધ્રુવીય યામ $(\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4})$ છે.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 + pq & p & 0 \\ q & 1 + pq & p \\ 0 & q & 1 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ, નિશ્ચાયક $|A| = (1+pq)((1+pq)(1) - pq) - p(q(1) - 0) + 0 = (1+pq)(1) - pq = 1 + pq - pq = 1$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $|A| = 1$ છે, તેથી વ્યસ્ત $A^{-1}$ એ સહઅવયજ શ્રેણિક $adj(A)$ છે.
સહઅવયવો $C_{ij}$ નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = (1+pq)(1) - pq = 1$, $C_{12} = -(q - 0) = -q$, $C_{13} = q^2 - 0 = q^2$.
$C_{21} = -(p - 0) = -p$, $C_{22} = (1+pq) - 0 = 1+pq$, $C_{23} = -(q(1+pq) - 0) = -(q+pq^2)$.
$C_{31} = p^2 - 0 = p^2$, $C_{32} = -(p(1+pq) - 0) = -(p+p^2q)$, $C_{33} = (1+pq)^2 - pq = 1 + 2pq + p^2q^2 - pq = 1 + pq + p^2q^2$.
આમ, $A^{-1} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -p & p^2 \\ -q & 1 + pq & -(p + p^2q) \\ q^2 & -(q + pq^2) & 1 + pq + p^2q^2 \end{bmatrix}$.

(D) પગલું $1$: શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો.
$|A| = 2((-3)(1) - (1)(2)) - (-1)((4)(1) - (1)(1)) + 4((4)(2) - (-3)(1))$
$|A| = 2(-5) + 1(3) + 4(11) = -10 + 3 + 44 = 37$.
પગલું $2$: વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $3$: એડજોઈન્ટ શ્રેણિકના $(3,3)$ સ્થાન પરનો ઘટક એ સહઅવયવ $C_{33}$ છે.
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = (1)((2)(-3) - (-1)(4)) = -6 + 4 = -2$.
પગલું $4$: કારણ કે $B = A^{-1} = \frac{1}{37} \text{adj}(A)$, તેથી $B$ માં $(3,3)$ પરનો ઘટક $\frac{C_{33}}{37} = \frac{-2}{37}$ છે.
આપેલ શ્રેણિક $B$ સાથે સરખામણી કરતા, આપણને $k = -2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $x^2 - 4x + 2 = 0$। કારણ કે $a$ અને $b$ બીજ છે, $a+b = 4$ અને $ab = 2$ થાય.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{bmatrix}$ છે. નિશ્ચાયક $|A| = ab - 1 = 2 - 1 = 1$ છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} b & -1 \\ -1 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b & -1 \\ -1 & a \end{bmatrix}$ છે.
હવે, $A + A^{-1} = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b & -1 \\ -1 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b & 0 \\ 0 & a+b \end{bmatrix}$ થાય.
કારણ કે $a+b = 4$, તેથી $A + A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = 4I_2$ મળે.
$A + A^{-1} = kI_2$ સાથે સરખાવતા, આપણને $k = 4$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો. $|A| = (1)(4) - (-5)(-2) = 4 - 10 = -6$।
પગલું $2$: $A$ નો એડજોઈન્ટ (adjoint) શોધો. $2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે, એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે।
પગલું $3$: તેથી, $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$।
પગલું $4$: સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરો।
પગલું $5$: $A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \sec \theta & -\tan \theta \\ -\tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix}$।
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે, $\text{adj } A = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી, $\text{adj } A = \begin{bmatrix} \sec \theta & \tan \theta \\ \tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $A + \text{adj } A = 4I$, જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} \sec \theta & -\tan \theta \\ -\tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sec \theta & \tan \theta \\ \tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા: $\begin{bmatrix} 2 \sec \theta & 0 \\ 0 & 2 \sec \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા: $2 \sec \theta = 4 \implies \sec \theta = 2$.
કારણ કે $\sec \theta = 2$, તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે, $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) પગલું $1$: $\det(A)$ ની ગણતરી કરો. $A$ એ અપર ટ્રાયંગ્યુલર મેટ્રિક્સ હોવાથી, $\det(A) = (2k - 1)^3$ થાય.
પગલું $2$: $\det(\text{adj } A)$ ની ગણતરી કરો. આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(\text{adj } A) = (\det A)^{n-1}$ થાય. અહીં $n=3$ છે, તેથી $\det(\text{adj } A) = ((2k - 1)^3)^2 = (2k - 1)^6$ થાય.
પગલું $3$: $\det(B)$ ની ગણતરી કરો. $B$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક મેટ્રિક્સ છે. એકી કક્ષાના સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક મેટ્રિક્સનો નિશ્ચાયક $0$ હોય છે. તેથી, $\det(B) = 0$ થાય.
પગલું $4$: $\det(\text{adj } B)$ ની ગણતરી કરો. $\det(B) = 0$ હોવાથી, $\det(\text{adj } B) = (\det B)^{3-1} = 0^2 = 0$ થાય.
પગલું $5$: સમીકરણ $(2k - 1)^6 + 0 = 11^6$ ઉકેલો. આનો અર્થ એ છે કે $(2k - 1)^6 = 11^6$, તેથી $2k - 1 = 11$ અથવા $2k - 1 = -11$ થાય.
પગલું $6$: જો $2k - 1 = 11$ હોય, તો $2k = 12$, તેથી $k = 6$ મળે. ત્યારે $k - 5 = 6 - 5 = 1$ થાય.
પગલું $7$: જો $2k - 1 = -11$ હોય, તો $2k = -10$, તેથી $k = -5$ મળે. ત્યારે $k - 5 = -5 - 5 = -10$ (વિકલ્પોમાં નથી).
તેથી, કિંમત $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A(adj A) = |A|I$, જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$.
તેથી, $A(adj A) = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
વળી, $A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$.
$AA^T = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 9 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 13 \end{bmatrix}$.
$A(adj A) = AA^T$ ને સરખાવતા:
$10a + 3b = 13$ ($(2,2)$ ઘટક પરથી).
વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો માટે, $15a - 2b = 0$, તેથી $b = \frac{15a}{2}$.
$b$ ની કિંમત $10a + 3b = 13$ માં મૂકતા:
$10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13 \implies 10a + \frac{45a}{2} = 13 \implies \frac{20a + 45a}{2} = 13 \implies 65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$.
તેથી $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
આમ, $5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે, $\text{adj}(\text{adj } A) = |A|^{n-2} A$ થાય છે.
વળી, એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $B = \text{adj } A$ છે, તેથી $B^{-1} = (\text{adj } A)^{-1} = \frac{1}{|A|} A$ થાય.
સૌ પ્રથમ, નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = \cos \alpha (\cos \alpha - 0) - (-\sin \alpha)(\sin \alpha - 0) + 0 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
કારણ કે $|A| = 1$ છે, તેથી $B = \text{adj } A$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \text{adj } A = |A| I = I$ થાય છે.
તેથી, $\text{adj } A = A^{-1}$.
માટે, $B = A^{-1}$.
તેથી $B^{-1} = (A^{-1})^{-1} = A$ થાય.

(B) પગલું $1$: શ્રેણિક $A$ બનાવો. $i, j \in \{1, 2, 3\}$ માટે, જો $i+j$ બેકી હોય તો $a_{ij} = 1$ અને જો $i+j$ એકી હોય તો $a_{ij} = 0$ છે.
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
પગલું $2$: નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો.
$|A| = 1(1-0) - 0(0-0) + 1(0-1) = 1 - 1 = 0$।
પગલું $3$: સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ ની ગણતરી કરો:
$C_{11} = 1, C_{12} = 0, C_{13} = -1, C_{21} = 0, C_{22} = 0, C_{23} = 0, C_{31} = -1, C_{32} = 0, C_{33} = 1$।
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) પગલું $1$: આપણે જાણીએ છીએ કે $adj(A^{-1}) = adj((A^{-1})) = \frac{1}{\det(A)} A$ થાય.
પગલું $2$: $\det(A)$ ની ગણતરી કરો. $A$ એ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક હોવાથી, $\det(A) = (-1) \times (2) \times (-1) = 2$ થાય.
પગલું $3$: તેથી, $adj(A^{-1}) = \frac{1}{2} A = \begin{bmatrix} -0.5 & 1012.5 & 1013 \\ 0 & 1 & 1013.5 \\ 0 & 0 & -0.5 \end{bmatrix}$ થાય.
પગલું $4$: તમામ ઘટકોનો સરવાળો = $-0.5 + 1012.5 + 1013 + 0 + 1 + 1013.5 + 0 + 0 - 0.5 = 3039$ થાય.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, $A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$.
તેથી, $A^{-3} = \begin{bmatrix} \cos(-3\theta) & -\sin(-3\theta) \\ \sin(-3\theta) & \cos(-3\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(3\theta) & \sin(3\theta) \\ -\sin(3\theta) & \cos(3\theta) \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $\theta = \pi/6$, તેથી $3\theta = 3(\pi/6) = \pi/2$.
કિંમત મૂકતા, $A^{-3} = \begin{bmatrix} \cos(\pi/2) & \sin(\pi/2) \\ -\sin(\pi/2) & \cos(\pi/2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે $AB = C$। ડાબી બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા, આપણને $B = A^{-1}C$ મળે છે. બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા, $B^{-1} = (A^{-1}C)^{-1} = C^{-1}A$।
સૌ પ્રથમ, $C^{-1}$ શોધો. નિશ્ચાયક $|C| = (7 \times 6) - (3 \times 0) = 42$। એડજોઈન્ટ $adj(C) = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$। તેથી, $C^{-1} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$।
હવે, $B^{-1} = C^{-1}A = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$।
$B^{-1} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} (6 \times 3) + (-3 \times -1) & (6 \times 1) + (-3 \times 2) \\ (0 \times 3) + (7 \times -1) & (0 \times 1) + (7 \times 2) \end{bmatrix} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 21 & 0 \\ -7 & 14 \end{bmatrix}$।
આને સાદું રૂપ આપતા: $B^{-1} = \frac{7}{42} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$।
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) અમે ગુણધર્મ $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ, $A^{-1}$ શોધો. આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$, $|A| = (2)(-2) - (3)(5) = -4 - 15 = -19$ છે.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-19} \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$ છે.
હવે, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/5 & 2/5 \\ 2/5 & -1/5 \end{bmatrix} \times \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$ છે.
$= \frac{1}{5 \times 19} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \frac{1}{95} \begin{bmatrix} (1)(2)+(2)(5) & (1)(3)+(2)(-2) \\ (2)(2)+(-1)(5) & (2)(3)+(-1)(-2) \end{bmatrix}$ છે.
$= \frac{1}{95} \begin{bmatrix} 12 & -1 \\ -1 & 8 \end{bmatrix}$ છે.

(D) પગલું $1$: આપેલ છે $XA = B^T$, જમણી બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા: $X = B^T A^{-1}$ મળે.
પગલું $2$: આપેલ છે $A^{-1}Y = B$, તેથી $Y = AB$ મળે.
પગલું $3$: $XY = (B^T A^{-1})(AB) = B^T (A^{-1}A) B = B^T I B = B^T B$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: $B^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ છે.
પગલું $5$: $XY = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = (1 \times 1) + (0 \times 0) + (1 \times 1) = 1 + 0 + 1 = [2]$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} -5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
હાર પરિવર્તન $R_1 \to R_1 + 3R_2$ લાગુ પાડતા:
નવી $R_1 = [-5 + 3(2), -3 + 3(1)] = [-5 + 6, -3 + 3] = [1, 0]$.
રૂપાંતરિત શ્રેણિક $A' = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
ઉપરના ત્રિકોણીય શ્રેણિકમાં, મુખ્ય વિકર્ણની નીચેના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય છે. અહીં, $(2, 1)$ સ્થાન પરનો ઘટક $2$ છે, તેથી તે ઉપરનો ત્રિકોણીય નથી.
નીચેના ત્રિકોણીય શ્રેણિકમાં, મુખ્ય વિકર્ણની ઉપરના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય છે. અહીં, $(1, 2)$ સ્થાન પરનો ઘટક $0$ છે. મુખ્ય વિકર્ણની ઉપરનો ઘટક શૂન્ય હોવાથી, તે નીચેનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક છે.

(B) પગલું $1$: $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+0 & -2-2 \\ 0+0 & 0+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: સમીકરણ $A^2 + xA + yI_2 = O_2$ માં $A^2$, $A$ અને $I_2$ ની કિંમત મૂકો.
$\begin{bmatrix} 4 & -4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} + x \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પગલું $3$: શ્રેણિકોનો સરવાળો કરો: $\begin{bmatrix} 4 + 2x + y & -4 - x \\ 0 & 4 + 2x + y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પગલું $4$: અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરો: $-4 - x = 0 \implies x = -4$.
પગલું $5$: $x = -4$ ને $4 + 2x + y = 0$ માં મૂકો: $4 + 2(-4) + y = 0 \implies 4 - 8 + y = 0 \implies y = 4$.

(A) પગલું $1$: $2A = 2 \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 14 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: $3B = 3 \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: $2A + 3B = \begin{bmatrix} 6-3 & 0 & 0 \\ 0 & -10+6 & 0 \\ 0 & 0 & 14+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 26 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: વિકર્ણ શ્રેણિક $D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3)$ નો વ્યસ્ત $D^{-1} = \text{diag}(1/d_1, 1/d_2, 1/d_3)$ થાય.
પગલું $5$: તેથી, $(2A + 3B)^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & -1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 1/26 \end{bmatrix}$ મળે.

(A) પગલું $1$: $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 2 \\ 1 & 18 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: $2A = 2 \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: $A^2 - 2A + I = \begin{bmatrix} 11 & 2 \\ 1 & 18 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: શ્રેણિકની બાદબાકી અને સરવાળો કરતા: $\begin{bmatrix} 11 - (-6) + 1 & 2 - 4 + 0 \\ 1 - 2 + 0 & 18 - 8 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & -2 \\ -1 & 11 \end{bmatrix}$ મળે.
પગલું $5$: $\begin{bmatrix} 18 & p \\ q & 11 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $p = -2$ અને $q = -1$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: $a_{ij} = |2i - 5j|$ નો ઉપયોગ કરીને શ્રેણિક $A$ બનાવો.
$A = \begin{pmatrix} 3 & 8 & 13 \\ 1 & 6 & 11 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}$.
પગલું $2$: નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો.
$|A| = 3(54 - 44) - 8(9 - 11) + 13(4 - 6) = 30 + 16 - 26 = 20$.
પગલું $3$: $A^{-1}$ ની બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભનો ઘટક $\frac{C_{32}}{|A|}$ છે, જ્યાં $C_{32}$ એ $a_{32}$ નો સહઅવયવ છે.
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 3 & 13 \\ 1 & 11 \end{vmatrix} = -1(33 - 13) = -20$.
પગલું $4$: ઘટક $= \frac{-20}{20} = -1$.

(A) ધારો કે $t = \tan(\theta/2)$ છે. તો $A = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$ છે. નિશ્ચાયક $|A| = 1 + t^2$ છે.
$A^{-1} = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix}$ છે.
હવે, $A^{-1}B = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1-t^2 & 2t \\ -2t & 1-t^2 \end{bmatrix}$ છે.
નિત્યસમ $\cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ અને $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $A^{-1}B = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ $2a + b - c = 4$, $-a + 2b + c = 0$, અને $a - b + 2c = -2$ ને ઉકેલો.
પગલું $2$: ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(2a-a+a) + (b+2b-b) + (-c+c+2c) = 4+0-2 \implies 2a + 2b + 2c = 2 \implies a + b + c = 1$.
પગલું $3$: $-a + 2b + c = 0$ પરથી, $c = a - 2b$ મળે છે. તેને $a+b+c=1$ માં મૂકતા: $a+b+(a-2b)=1 \implies 2a-b=1 \implies b=2a-1$.
પગલું $4$: $b$ અને $c$ ની કિંમત $2a+b-c=4$ માં મૂકતા: $2a + (2a-1) - (a - 2(2a-1)) = 4 \implies 2a + 2a - 1 - a + 4a - 2 = 4 \implies 7a = 7 \implies a=1$.
પગલું $5$: તેથી $b = 2(1)-1 = 1$ અને $c = 1-2(1) = -1$. બિંદુ $P$ $(1, 1, -1)$ છે.
પગલું $6$: $P(1, 1, -1)$ નું $2x + y + 2z - 10 = 0$ થી અંતર $d = \frac{|2(1) + 1(1) + 2(-1) - 10|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 1 - 2 - 10|}{\sqrt{9}} = \frac{|-9|}{3} = 3 \text{ એકમ}$ છે.

(B) સહઅવયવ $C_{ij}$ એ $(-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $M_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો નિશ્ચાયક (minor) છે.
પગલું $1$: $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (1)(8 - 0) = 8$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: $C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (-1)(4 - 2) = -2$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: $C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1)(0 - 2) = 2$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: આ કિંમતોને આપેલા સમીકરણ $pC_{11} + 4C_{21} - 5C_{32} = -2$ માં મૂકો.
$p(8) + 4(-2) - 5(2) = -2$.
$8p - 8 - 10 = -2$.
$8p - 18 = -2$.
$8p = 16$.
$p = 2$.

(D) પગલું $1$: સૂત્ર $3 \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $2$: સૂત્રમાં $x = 1/2$ મૂકો.
પગલું $3$: અંશની ગણતરી કરો: $3(1/2) - (1/2)^3 = 3/2 - 1/8 = 12/8 - 1/8 = 11/8$.
પગલું $4$: છેદની ગણતરી કરો: $1 - 3(1/2)^2 = 1 - 3/4 = 1/4$.
પગલું $5$: પદાવલિ $\tan^{-1}\left(\frac{11/8}{1/4}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{11}{8} \times 4\right) = \tan^{-1}(11/2)$ થાય છે.

(B) ધારો કે $\theta = \sin^{-1}(1/5)$, તો $\sin \theta = 1/5$ થાય.
આપણે $\sin(3\theta)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\sin(3\theta) = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \theta = 1/5$ ને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\sin(3\theta) = 3(1/5) - 4(1/5)^3$
$\sin(3\theta) = 3/5 - 4/125$
$\sin(3\theta) = (75 - 4) / 125 = 71/125$.

(C) ધારો કે $x = \tan \theta$. તો $\theta = \tan^{-1} x$ થાય.
$|x| \le 1$ માટે પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય આદેશનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
$\cos^{-1}(\frac{1-x^2}{1+x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
$\tan^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = 2 \tan^{-1} x = 2\theta$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(2\theta) - 4(2\theta) + 2(2\theta) = \frac{\pi}{3}$
$6\theta - 8\theta + 4\theta = \frac{\pi}{3}$
$2\theta = \frac{\pi}{3}$
$\theta = \frac{\pi}{6}$
કારણ કે $x = \tan \theta$ છે, તેથી $x = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: $xy > 1$ માટે ગુણધર્મ $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \pi + \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $2$: $\tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(5) = \pi + \tan^{-1}(\frac{3+5}{1-15}) = \pi + \tan^{-1}(\frac{8}{-14}) = \pi - \tan^{-1}(4/7)$ ને જોડો.
પગલું $3$: પદાવલિ $\tan^{-1}(1) + \pi - \tan^{-1}(4/7) + \tan^{-1}(1/4) = \pi + \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(1/4) - \tan^{-1}(4/7)$ બને છે.
પગલું $4$: $\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(1/4) = \tan^{-1}(\frac{1+1/4}{1-1/4}) = \tan^{-1}(\frac{5/4}{3/4}) = \tan^{-1}(5/3)$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $5$: હવે, $\tan^{-1}(5/3) - \tan^{-1}(4/7) = \tan^{-1}(\frac{5/3 - 4/7}{1 + (5/3)(4/7)}) = \tan^{-1}(\frac{35-12}{21+20}) = \tan^{-1}(23/41)$.
પગલું $6$: $\tan^{-1}(\alpha/2)$ સાથે સરખાવતા, $\alpha/2 = 23/41$, તેથી $\alpha = 46/41$.

(C) ધારો કે $\alpha = \sin^{-1}(12/13)$, તો $\sin \alpha = 12/13$। તેથી, $\tan \alpha = 12/5$।
ધારો કે $\beta = \cos^{-1}(4/5)$, તો $\cos \beta = 4/5$। તેથી, $\tan \beta = 3/4$।
હવે, $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{12/5 + 3/4}{1 - (12/5)(3/4)} = \frac{(48+15)/20}{1 - 36/20} = \frac{63/20}{-16/20} = -63/16$।
કારણ કે $\alpha + \beta$ બીજા ચરણમાં છે, $\alpha + \beta = \pi - \tan^{-1}(63/16)$।
તેથી, $\alpha + \beta + \tan^{-1}(63/16) = \pi - \tan^{-1}(63/16) + \tan^{-1}(63/16) = \pi$।

(B) શ્રેણીનું $k$-મું પદ $T_k = \tan^{-1}(\frac{1}{x^2 + (2k-1)x + (k^2-k+1)})$ છે.
છેદને $1 + (x+k-1)(x+k)$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી, $T_k = \tan^{-1}(\frac{(x+k) - (x+k-1)}{1 + (x+k)(x+k-1)}) = \tan^{-1}(x+k) - \tan^{-1}(x+k-1)$.
સરવાળો $y$ એ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $y = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(x+k) - \tan^{-1}(x+k-1)) = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $y' = \frac{1}{1+(x+n)^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
$x=0$ પર, $y'(0) = \frac{1}{1+n^2} - \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1+n^2} - 1 = \frac{1 - (1+n^2)}{1+n^2} = -\frac{n^2}{n^2+1}$.

(C) અમે નિત્યસમ $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
નોંધો કે $\frac{1}{n^2+n+1} = \frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}$ છે.
તેથી, $\tan^{-1}(\frac{1}{n^2+n+1}) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$ છે.
સરવાળો $\sum_{n=1}^{2026} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n))$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે: $(\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + \dots + (\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(2026))$.
સરવાળો સાદું રૂપ આપતા $\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(1)$ મળે છે.
નિત્યસમનો ફરીથી ઉપયોગ કરતા: $\tan^{-1}(2027) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(\frac{2027-1}{1+2027 \cdot 1}) = \tan^{-1}(\frac{2026}{2028}) = \tan^{-1}(\frac{1013}{1014})$.
આપણને $\tan^{-1}(1 - \frac{1}{x}) = \tan^{-1}(\frac{1013}{1014})$ આપેલ છે.
તેથી, $1 - \frac{1}{x} = \frac{1013}{1014} \implies \frac{1}{x} = 1 - \frac{1013}{1014} = \frac{1}{1014}$.
તેથી, $x = 1014$.

(B) ધારો કે $u = \log x$ છે. તેથી $\log(e/x^3) = 1 - 3u$ અને $\log(ex^3) = 1 + 3u$ થાય.
તે જ રીતે, $\log(e^4x^3) = 4 + 3u$ અને $\log(e/x^{12}) = 1 - 12u$ થાય.
આ કિંમતોને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1-3u}{1+3u} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{4+3u}{1-12u} \right)$ મળે.
નિત્યસમ $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1-3u}{1+3u} \right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(3u) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(3u)$ અને $\tan^{-1} \left( \frac{4+3u}{1-12u} \right) = \tan^{-1}(4) + \tan^{-1}(3u)$ થાય.
આમ, $y = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1}(4)$, જે એક અચળ પદ છે.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય.

(C) ધારો કે $A = \tan^{-1} 3$, તો $\tan A = 3$ થાય. કારણ કે $sec^2 A = 1 + \tan^2 A$ છે, તેથી $sec^2(\tan^{-1} 3) = 1 + 3^2 = 1 + 9 = 10$ મળે.
ધારો કે $B = sec^{-1} 3$, તો $sec B = 3$ થાય. કારણ કે $\tan^2 B = sec^2 B - 1$ છે, તેથી $\tan^2(sec^{-1} 3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ મળે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $10 - 8 = 2$.

(A) પગલું $1$: $\sin^{-1}(\sin \frac{7\pi}{6})$ ને સરળ બનાવો. $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ હોવાથી, $\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$ થાય. તેથી, $\sin^{-1}(\sin \frac{7\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6}$.
પગલું $2$: $\cos^{-1}(\cos \frac{7\pi}{6})$ ને સરળ બનાવો. $\frac{7\pi}{6} = 2\pi - \frac{5\pi}{6}$ હોવાથી, $\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$ થાય. તેથી, $\cos^{-1}(\cos \frac{7\pi}{6}) = \frac{5\pi}{6}$.
પગલું $3$: $\tan^{-1}(\tan \frac{2\pi}{3})$ ને સરળ બનાવો. $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ હોવાથી, $\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\tan(\frac{\pi}{3}) = \tan(-\frac{\pi}{3})$ થાય. તેથી, $\tan^{-1}(\tan \frac{2\pi}{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
પગલું $4$: કિંમતોનો સરવાળો: $-\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$. આપેલા વિકલ્પો સાચા નથી.

(C) પગલું $1$: $\tan^{-1}(\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો. કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, તેથી $\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ છે.
પગલું $2$: $\sec^{-1}(-2)$ ની કિંમત શોધો. કારણ કે $\sec(\frac{2\pi}{3}) = -2$, તેથી $\sec^{-1}(-2) = \frac{2\pi}{3}$ છે.
પગલું $3$: $\sin^{-1}(-\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધો. કારણ કે $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$, તેથી $\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ છે.
પગલું $4$: પદાવલિમાં કિંમતો મૂકો: $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6}) = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.