MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $S$ એ વિધાન $(p \lor \sim q) \to (p \land \sim q)$ છે.
$A \to B$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ થાય છે.
તેથી, $S$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim(p \land \sim q) \to \sim(p \lor \sim q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા, આ $(\sim p \lor q) \to (\sim p \land q)$ થાય છે.
$A \to B$ નું નિષેધ $A \land \sim B$ થાય છે.
તેથી, પ્રતિધનાત્મકનું નિષેધ $(\sim p \lor q) \land \sim(\sim p \land q)$ છે.
ડી મોર્ગનનો નિયમ ફરીથી લાગુ કરતા: $(\sim p \lor q) \land (p \lor \sim q)$.

(B) પગલું $1$: ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
પગલું $2$: અહીં, $A = [(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r]$ સત્ય છે અને $B = (p \land \sim q)$ અસત્ય છે.
પગલું $3$: $A = T$ પરથી, આપણને $(p \leftrightarrow q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $\sim r = T$ (એટલે કે $r = F$) મળે છે.
પગલું $4$: કારણ કે $r = F$ અને $(q \to r) = T$, તેથી $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $F \to F$ સત્ય છે).
પગલું $5$: કારણ કે $q = F$ અને $(p \leftrightarrow q) = T$, તેથી $p$ એ $F$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $F \leftrightarrow F$ સત્ય છે).
પગલું $6$: $B = (p \land \sim q) = (F \land \sim F) = (F \land T) = F$ ચકાસો. આ આપણી શરત સાથે મેળ ખાય છે.
પગલું $7$: $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r) = (F \to F) \leftrightarrow (F \to F) = T \leftrightarrow T = T$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
પગલું $8$: $\sim (p \lor r) \to (q \land p) = \sim (F \lor F) \to (F \land F) = \sim F \to F = T \to F = F$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
પગલું $9$: સત્યતા મૂલ્યો $(T, F)$ છે.

(C) $1$. પ્રતીક $p \to (q \lor \sim r)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $p$ એ $T$ હોય અને $(q \lor \sim r)$ એ $F$ હોય.
$2$. $(q \lor \sim r)$ ને $F$ થવા માટે, $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ અને $\sim r$ એ $F$ હોવું જોઈએ. તેથી $q = F$ અને $r = T$ છે.
$3$. હવે, $(p \leftrightarrow q) \land r$ નું મૂલ્યાંકન કરો: કારણ કે $p = T, q = F$, તેથી $(T \leftrightarrow F)$ એ $F$ છે. આમ, $F \land T = F$ છે.
$4$. $\sim p \to \sim q$ નું મૂલ્યાંકન કરો: કારણ કે $p = T$ અને $q = F$, તેથી $\sim p = F$ અને $\sim q = T$ છે. પ્રતીક $F \to T$ એ $T$ છે.
$5$. સત્ય મૂલ્યો અનુક્રમે $F$ અને $T$ છે.

(C) ધારો કે $V$ એ 'વોલ્ટેજ વધે છે' વિધાન છે અને $C$ એ 'પ્રવાહ ઘટે છે' વિધાન છે.
તો $p: V \implies C$ છે.
$p$ નું પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) $\neg C \implies \neg V$ છે, જે $s$ છે: 'જો પ્રવાહ ઘટતો નથી, તો વોલ્ટેજ વધતો નથી'. તેથી, $p \equiv s$ છે.
$p$ નું વ્યસ્ત (converse) $C \implies V$ છે, જે $r$ છે: 'જો પ્રવાહ ઘટે, તો વોલ્ટેજ વધે છે'. તેથી, $r$ અને $q$ એકબીજાના પ્રતિધનાત્મક છે, તેથી $r \equiv q$ છે.
જોડીઓની સરખામણી કરતા: $p$ અને $s$ સમાન છે, અને $q$ અને $r$ સમાન છે.
તેથી, સમાન અર્થ ધરાવતી જોડીઓ $(p, s)$ અને $(q, r)$ છે.

(B) ધારો કે $A = (p \land q)$ અને $B = (\sim p \lor r)$ છે.
આપેલ પદાવલિ $(A \to B) \lor (B \to A)$ સ્વરૂપમાં છે.
તાર્કિક સમતુલ્યતા $(X \to Y) \equiv (\sim X \lor Y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$
$(B \to A) \equiv (\sim B \lor A)$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$
ક્રમનો નિયમ અને જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તેને નીચે મુજબ ગોઠવી શકાય:
$(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$
કારણ કે $(X \lor \sim X)$ હંમેશા સત્ય $(T)$ હોય છે:
$T \lor T = T$
તેથી, આ વિધાન ભાત એક નિત્યસત્ય છે.

(A) ધારો કે $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ છે.
ગર્ભિતાર્થનો નિયમ $A \to B \equiv \sim A \lor B$ વાપરતા:
$S \equiv \sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ મળે છે.
$S$ નું નિષેધ $\sim S \equiv \sim [\sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)]$ છે.
ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\sim S \equiv (p \land q) \land \sim (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\sim S \equiv (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$.
કારણ કે $(p \land q) \land q \equiv p \land q$ થાય છે, તેથી $\sim S \equiv (p \land q) \land (p \lor r)$ મળે છે.
કારણ કે $(p \land q) \implies (p \lor r)$ એ નિત્યસત્ય (tautology) છે, તેથી $(p \land q) \land (p \lor r) \equiv p \land q$ થાય છે.

(C) પગલું $1$: $S_1$ નું વિશ્લેષણ કરો. $n=1$ માટે, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી, $S_1$ સત્ય છે.
પગલું $2$: $S_2$ નું વિશ્લેષણ કરો. $x=1$ માટે, $1-17 = -16 < 20$ છે. કારણ કે ઓછામાં ઓછો એક $x \in N$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે આનું પાલન કરે છે, $S_2$ સત્ય છે.
પગલું $3$: $S_3$ નું વિશ્લેષણ કરો. આ વિધાન દાવો કરે છે કે તમામ $n \in N$ માટે, $x^2+3x-10=0$ છે. આ અસત્ય છે કારણ કે સમીકરણ $x$ પર આધાર રાખે છે અને તે તમામ $x$ માટે સત્ય નથી, તેમજ તેનો $n$ સાથે કોઈ સંબંધ નથી. તેથી, $S_3$ અસત્ય છે.
પગલું $4$: $S_4$ નું વિશ્લેષણ કરો. તમામ $n \in N$ માટે, $n \ge 1$, તેથી $n^2 \ge 1^2 = 1$ છે. તેથી, $S_4$ સત્ય છે.
નિષ્કર્ષ: માત્ર $S_3$ અસત્ય છે.

(D) પગલું $1$: વિધાન $p \lor q$ છે. વિધાન $p \implies q$ નું પ્રતિપ $q \implies p$ થાય છે. જોકે, તાર્કિક વિયોજન $p \lor q$ માટે, પ્રતિપ ઘટકોની અદલાબદલી કરવાથી મળે છે, જે $q \lor p$ જ રહે છે.
પગલું $2$: કારણ કે $p \lor q$ એ તાર્કિક રીતે $q \lor p$ ને સમાન છે, તેથી $p \lor q$ નું પ્રતિપ $p \lor q$ જ છે.
પગલું $3$: વિધાન $p \lor q$ નું નિષેધ $\sim(p \lor q)$ થાય.
પગલું $4$: ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$.

(D) શરતી વિધાન $A \to B$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં, $A = [p \lor (p \to q)]$ અને $B = (p \land \sim q)$ છે.
પ્રથમ, $\sim B$ શોધો: $\sim(p \land \sim q) \equiv \sim p \lor \sim(\sim q) \equiv \sim p \lor q$.
ત્યારબાદ, $\sim A$ શોધો: $\sim[p \lor (p \to q)] \equiv \sim p \land \sim(p \to q)$.
કારણ કે $(p \to q) \equiv (\sim p \lor q)$, તેથી $\sim(p \to q) \equiv \sim(\sim p \lor q) \equiv (p \land \sim q)$.
આમ, $\sim A \equiv \sim p \land (p \land \sim q)$.
તેથી, પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ એ $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ છે.

(D) પગલું $1$: $(I)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$ નિયમનો ઉપયોગ કરતા. આમ, $(I)$ સાચું છે.
પગલું $2$: $(II)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। આ $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ ને સમાન નથી. આમ, $(II)$ ખોટું છે.
પગલું $3$: $(III)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (p \to r) \land (\sim q \to r)$। આમ, $(III)$ સાચું છે.
પગલું $4$: $(IV)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। આમ, $(IV)$ સાચું છે.
પગલું $5$: વિશ્લેષણના આધારે $(I)$, $(III)$, અને $(IV)$ સાચા છે. આપેલા વિકલ્પોમાં $(I)$ અને $(IV)$ સાચા હોવાથી, વિકલ્પ $(D)$ સૌથી યોગ્ય છે.

(C) આ સર્કિટ ત્રણ સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે. સર્કિટ માટેનું તાર્કિક સમીકરણ છે:
$S = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = ((S_1 \lor S_1') \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
કારણ કે $S_1 \lor S_1' = 1$ (સ્વતઃ સત્ય):
$S = (1 \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
$S = S_2 \lor (S_3 \land S_2')$
વિભાજનના નિયમ $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$
કારણ કે $S_2 \lor S_2' = 1$:
$S = S_2 \lor S_3$
આ સરળ સર્કિટમાં માત્ર બે સ્વિચ, $S_2$ અને $S_3$, સમાંતરમાં જોડાયેલ હોવી જરૂરી છે.

(C) પગલું $1$: આપેલી વિધાન પેટર્ન $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ ને સરળ બનાવો.
પગલું $2$: પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરો: $(\sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$.
પગલું $3$: કારણ કે $(q \lor \sim q) \equiv T$, પદ $(\sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ બને છે.
પગલું $4$: ફરીથી વિભાજનનો નિયમ લાગુ કરો: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$.
પગલું $5$: આપેલ સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે, તેથી $\sim p \lor \sim q \equiv F$. આનો અર્થ છે કે $\sim p \equiv F$ (એટલે કે $p \equiv T$) અને $\sim q \equiv F$ (એટલે કે $q \equiv T$).
પગલું $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor F) \equiv T$ અને $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ નું મૂલ્યાંકન કરો.

(C) ધારો કે $1$ એ ચાલુ સ્થિતિ દર્શાવે છે અને $0$ એ બંધ સ્થિતિ દર્શાવે છે.
સ્વિચ $S$ માટે, $S'$ એ પૂરક ($NOT$ ગેટ) દર્શાવે છે.
સર્કિટને બુલિયન અભિવ્યક્તિ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
આ $XNOR$ ગેટનો તર્ક છે.
આઉટપુટ $L$ નું મૂલ્ય $1$ (પ્રકાશિત) થાય છે જો બંને ઇનપુટ $S_1$ અને $S_2$ સમાન હોય.
તેથી, રૂમ ત્યારે પ્રકાશિત થાય છે જ્યારે $S_1$ અને $S_2$ બંને ચાલુ $(1, 1)$ હોય અથવા બંને બંધ $(0, 0)$ હોય.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ છે.
પગલું $1$: મધ્ય કૌંસને સરળ બનાવો. પદાવલિ $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$ એ $p \oplus q$ (exclusive $OR$) ની વ્યાખ્યા છે.
પગલું $2$: આને પદાવલિમાં મૂકતા: $S = (p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$ મળે.
પગલું $3$: જો $\sim q$ સત્ય હોય, તો $q$ અસત્ય છે. $q = F$ મૂકતા:
$S = (p \lor F) \land (p \oplus F) \land T$
$S = p \land p \land T = p$ મળે.
સત્યતા કોષ્ટક (truth table) દ્વારા ચકાસતા:
જો $p=T, q=F$ હોય, તો $S = T$ મળે છે.
જો $p=F, q=F$ હોય, તો $S = F$ મળે છે.
આમ, $S \equiv p \land \sim q$ થાય.

(A) પુનરુક્તિ (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ સંભવિત સત્ય મૂલ્યો માટે સાચું હોય છે.
પગલું $1$: વિકલ્પ $A$ નું વિશ્લેષણ કરો: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
પગલું $2$: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવો.
- જો $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
- જો $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
- જો $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
- જો $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
બધા મૂલ્યો $T$ હોવાથી, તે એક પુનરુક્તિ છે.

(A) ધારો કે $S_1, S_2, S_3$ સ્વિચ દર્શાવે છે. આ પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે લેમ્પ $L$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
શાખા $1$: $S_1$ એ $S_2$ અને $S_3$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે. તાર્કિક પદાવલિ $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ છે.
શાખા $2$: $S_3', S_2'$ અને $S_1$ શ્રેણીમાં છે. તાર્કિક પદાવલિ $S_3' \land S_2' \land S_1$ છે.
શાખાઓ સમાંતર હોવાથી, કુલ પદાવલિ $Y = (S_1 \land (S_2 \lor S_3)) \lor (S_3' \land S_2' \land S_1)$ છે.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $Y = (S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3) \lor (S_3' \land S_2' \land S_1)$.
$S_1$ સામાન્ય લેતા: $Y = S_1 \land (S_2 \lor S_3 \lor (S_3' \land S_2'))$.
નિયમ $(A \lor (B \land C)) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $(S_2 \lor (S_3' \land S_2')) = (S_2 \lor S_3') \land (S_2 \lor S_2') = (S_2 \lor S_3') \land 1 = (S_2 \lor S_3')$ મળે છે.
તેથી, $Y = S_1 \land (S_3 \lor S_2 \lor S_3') = S_1 \land ((S_3 \lor S_3') \lor S_2) = S_1 \land (1 \lor S_2) = S_1 \land 1 = S_1$.
આમ, પરિપથ એક જ સ્વિચ $S_1$ માં સરળ બને છે જે લેમ્પ $L$ સાથે શ્રેણીમાં છે, જે આકૃતિ $(a)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) $1$. શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
$2$. આપેલ છે કે $\sim p \to q$ અસત્ય છે, તેથી $\sim p = T$ અને $q = F$ હોવું જોઈએ.
$3$. કારણ કે $\sim p = T$, તેથી $p = F$ થશે.
$4$. દ્વિ-શરતી વિધાન $q \leftrightarrow r$ ત્યારે અસત્ય હોય જ્યારે $q$ અને $r$ ના સત્યતા મૂલ્યો અલગ હોય.
$5$. કારણ કે $q = F$ અને $q \leftrightarrow r$ અસત્ય છે, તેથી $r$ નું મૂલ્ય $T$ હોવું જોઈએ.
$6$. આમ, સત્યતા મૂલ્યો $(p, q, r) = (F, F, T)$ છે.

(C) આપેલ સત્ય મૂલ્યો: $p = T, q = F, r = T$.
પગલું $1$: વિકલ્પ $(A)$ નું મૂલ્યાંકન: $[F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(B)$ નું મૂલ્યાંકન: $(T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$.
પગલું $3$: વિકલ્પ $(C)$ નું મૂલ્યાંકન: $[(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$.
પગલું $4$: વિકલ્પ $(D)$ નું મૂલ્યાંકન: $(T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$.
વિકલ્પ $(C)$ નું પરિણામ $F$ હોવાથી, તે સત્ય વિધાન નથી.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
પગલું $1$: $[(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ ને સત્ય અને $(p \land q)$ ને અસત્ય લો.
પગલું $2$: સંયોજન સત્ય હોવા માટે, દરેક ભાગ સત્ય હોવો જોઈએ: $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $(\sim r) = T$.
પગલું $3$: $(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે. કારણ કે $(q \to r) = T$ અને $r = F$ છે, તેથી $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
પગલું $4$: કારણ કે $(p \lor q) = T$ અને $q = F$ છે, તેથી $p$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
પગલું $5$: $(p \land q) = (T \land F) = F$ તપાસો, જે સુસંગત છે.
પગલું $6$: $p=T, q=F, r=F$ સાથે વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન)
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન)
$(C)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = T$ (આ સત્ય નથી, કારણ કે તે સત્ય છે)
$(D)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = F$ (સત્ય વિધાન)
આમ, વિકલ્પ $(C)$ સાચો જવાબ છે.

(B) પગલું $1$: ધારો કે આપેલ વિધાન $S = \sim p \lor q$ છે. શરતી વિધાન $p \to q$ નો પ્રતિલોમ $\sim p \to \sim q$ છે. વિધાન $\sim p \lor q$ એ $p \to q$ ને સમતુલ્ય છે.
પગલું $2$: $p \to q$ નો પ્રતિલોમ $\sim p \to \sim q$ છે, જે $\sim(\sim p) \lor \sim q = p \lor \sim q$ ને સમતુલ્ય છે.
પગલું $3$: પ્રતિલોમનું નિષેધ $\sim(p \lor \sim q)$ છે.
પગલું $4$: ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim(p \lor \sim q) = \sim p \land \sim(\sim q) = \sim p \land q$ થાય છે.

(B) પગલું $1$: વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ કરો. 'જો $1$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (સત્ય), તો $2$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (અસત્ય)'. એક શરતી વિધાન $P \implies Q$ અસત્ય હોય છે જો $P$ સત્ય હોય અને $Q$ અસત્ય હોય. તેથી, $I$ અસત્ય છે.
પગલું $2$: વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$e$ એક સ્વર છે (સત્ય) અને $12 \times 3 = 36$ (સત્ય)'. બંને ભાગ સત્ય હોવાથી, સંયોજન સત્ય છે.
પગલું $3$: વિધાન $III$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$14$ એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે (સત્ય) અને $3$ એક બેકી સંખ્યા છે (અસત્ય)'. સંયોજન '$14$ વિભાજ્ય છે અને $3$ બેકી છે' અસત્ય છે. તેથી, 'તે સત્ય નથી કે...' વિધાનને સત્ય બનાવે છે.
પગલું $4$: વિધાન $IV$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે (સત્ય), પરંતુ $3 + \sqrt{5}$ એક સંકર સંખ્યા છે (સત્ય, કારણ કે બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સંકર સંખ્યાઓ છે)'. બંને ભાગ સત્ય હોવાથી, વિધાન સત્ય છે.
પગલું $5$: નિષ્કર્ષ. માત્ર વિધાન $I$ અસત્ય છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સૂત્ર $\cos(x - y) \cos(x + y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(60^{\circ} - A) \cos(60^{\circ} + A) = \cos^2 60^{\circ} - \sin^2 A$
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$= (\frac{1}{2})^2 - \sin^2 A = \frac{1}{4} - \sin^2 A$
હવે $\cos A$ વડે ગુણતા:
$= \cos A (\frac{1}{4} - \sin^2 A) = \frac{1}{4} \cos A - \cos A \sin^2 A$
કારણ કે $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$:
$= \frac{1}{4} \cos A - \cos A (1 - \cos^2 A) = \frac{1}{4} \cos A - \cos A + \cos^3 A = \cos^3 A - \frac{3}{4} \cos A$
$\frac{1}{4}$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{1}{4} (4 \cos^3 A - 3 \cos A)$
નિત્યસમ $\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{4} \cos 3A$

(A) આપેલ છે: $\cos 43^{\circ} + \sin 43^{\circ} = k$.
બંને બાજુ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 43^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 43^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$.
$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 45^{\circ} \cos 43^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 43^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(45^{\circ} + 43^{\circ}) = \frac{k}{\sqrt{2}}$.
$\sin 88^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\sin 88^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 88^{\circ}) = \cos 2^{\circ}$ હોવાથી:
$\cos 2^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ છે $\angle C = \frac{\pi}{3}$, તેથી $A + B = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
આપણે $X = \cos^2 A + \cos^2 B - \cos A \cos B$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X = \frac{1 + \cos 2A}{2} + \frac{1 + \cos 2B}{2} - \cos A \cos B$
$X = 1 + \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) - \cos A \cos B$
$\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X = 1 + \cos(A+B) \cos(A-B) - \cos A \cos B$
કારણ કે $A+B = \frac{2\pi}{3}$, $\cos(A+B) = -\frac{1}{2}$.
$X = 1 - \frac{1}{2} \cos(A-B) - \cos A \cos B$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X = 1 - \frac{1}{2} \cos(A-B) - \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} + \cos(A-B)] = \frac{5}{4} - \cos(A-B)$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં, સાચો જવાબ $\frac{3}{4}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
તે જ રીતે, $\sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$.
હવે, $\cos 15^{\circ} - \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ છે કે $x + y = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા: $\tan(x + y) = \tan(\frac{\pi}{4})$.
સૂત્ર $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી, $\tan x + \tan y = 1 - \tan x \tan y$.
પદોને ગોઠવતા: $\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1 + 1$.
ડાબી બાજુના અવયવ પાડતા: $(1 + \tan x) + \tan y(1 + \tan x) = 2$.
$(1 + \tan x)(1 + \tan y) = 2$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ટેન્જન્ટ વિધેયનું આવર્તમાન (period) $\pi$ છે.
તેથી, કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $\tan(x - n\pi) = \tan x$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ $\tan(x - 9\pi)$ ને આપણે $\tan(x - 9\pi) = \tan x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ કારણ કે $9$ એક પૂર્ણાંક છે.
વૈકલ્પિક રીતે, નિત્યસમ $\tan(\theta - n\pi) = \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\tan(x - 9\pi) = \tan x$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $f_k(x) = \frac{1}{k}(\cos^k x + \sin^k x)$।
$k=4$ માટે, $f_4(x) = \frac{1}{4}(\cos^4 x + \sin^4 x)$।
$\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $f_4(x) = \frac{1}{4}(1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x))$ મળે છે.
$k=6$ માટે, $f_6(x) = \frac{1}{6}(\cos^6 x + \sin^6 x)$।
$\cos^6 x + \sin^6 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^4 x - \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $f_6(x) = \frac{1}{6}(1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x))$ મળે છે.
હવે, $f_6(x) - f_4(x) = \frac{1}{6} - \frac{1}{8}\sin^2(2x) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{8}\sin^2(2x)) = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2-3}{12} = -\frac{1}{12}$।

(A) આપેલ છે $\angle A = 90^{\circ}$, તેથી $B + C = 90^{\circ}$, એટલે કે $C = 90^{\circ} - B$ છે.
સાઇન નિયમ (sine rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = a$, જ્યાં $a$ કર્ણ છે.
તેથી, $b = a \sin B$ અને $c = a \sin C = a \sin(90^{\circ} - B) = a \cos B$ છે.
હવે, $\sin(B - C) = \sin B \cos C - \cos B \sin C$ છે.
કારણ કે $C = 90^{\circ} - B$, તેથી $\cos C = \sin B$ અને $\sin C = \cos B$ છે.
તેથી, $\sin(B - C) = \sin^2 B - \cos^2 B$ છે.
$b = a \sin B$ અને $c = a \cos B$ પરથી, આપણને $\sin B = \frac{b}{a}$ અને $\cos B = \frac{c}{a}$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા, $\sin(B - C) = (\frac{b}{a})^2 - (\frac{c}{a})^2 = \frac{b^2 - c^2}{a^2}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos 3x \cdot \tan 5x = \sin 7x$
$\cos 3x \cdot \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = \sin 7x$
$\cos 3x \cdot \sin 5x = \sin 7x \cdot \cos 5x$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} [\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)] = \frac{1}{2} [\sin(7x+5x) + \sin(7x-5x)]$
$\sin 8x + \sin 2x = \sin 12x + \sin 2x$
$\sin 12x = \sin 8x$
$\sin 12x - \sin 8x = 0$
$2 \cos(10x) \sin(2x) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 2x = 0 \implies 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}$। $[0, \frac{\pi}{2})$ માં, $x = 0$।
કિસ્સો $2$: $\cos 10x = 0 \implies 10x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies x = \frac{(2n+1)\pi}{20}$।
$x \in [0, \frac{\pi}{2})$ માટે, $n = 0, 1, 2, 3, 4 \implies x = \frac{\pi}{20}, \frac{3\pi}{20}, \frac{5\pi}{20}, \frac{7\pi}{20}, \frac{9\pi}{20}$।
પ્રદેશની ચકાસણી: $\tan 5x$ એ $5x = (2k+1)\frac{\pi}{2} \implies x = \frac{(2k+1)\pi}{10}$ પર અવ્યાખ્યાયિત છે।
$k=0, 1, 2$ માટે, આ કિંમતો મળેલા ઉકેલોમાં નથી।
કુલ માન્ય ઉકેલો: $x = 0, \frac{\pi}{20}, \frac{3\pi}{20}, \frac{5\pi}{20}, \frac{7\pi}{20}, \frac{9\pi}{20}$। કુલ $6$ ઉકેલો.

(A) સમીકરણ $\cos \theta - \sin \theta = 1$ ને $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4}$
$\cos x = \cos \alpha$ નો વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \alpha$ છે:
$\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$
કિસ્સો $1$: $\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{4} \implies \theta = 2n\pi$
કિસ્સો $2$: $\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi - \frac{\pi}{4} \implies \theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$
આમ, $\theta = 2n\pi, 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ જ્યાં $n \in Z$ છે.

(B) આપેલ છે $\cos(p\theta) + \cos(q\theta) = 0$।
સરવાળા-થી-ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos(\frac{(p+q)\theta}{2}) \cos(\frac{(p-q)\theta}{2}) = 0$।
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $\cos(\frac{(p+q)\theta}{2}) = 0$ અથવા $\cos(\frac{(p-q)\theta}{2}) = 0$।
$\cos x = 0$ માટે, વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{(p+q)\theta}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{p+q}$।
કિસ્સો $2$: $\frac{(p-q)\theta}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{p-q}$।
આમ, $\theta = \frac{(2n+1)\pi}{p \pm q}$।

(C) આપેલ છે $\frac{1}{\cos 4\theta} - \frac{1}{\cos 2\theta} = 2$।
$LCM$ લેતા: $\frac{\cos 2\theta - \cos 4\theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$।
$\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2 \sin 3\theta \sin \theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$।
$\sin 3\theta \sin \theta = \cos 4\theta \cos 2\theta$।
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ અને $2 \cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}(\cos 2\theta - \cos 4\theta) = \frac{1}{2}(\cos 2\theta + \cos 6\theta)$।
$-\cos 4\theta = \cos 6\theta \implies \cos 6\theta + \cos 4\theta = 0$।
$2 \cos 5\theta \cos \theta = 0$।
કિસ્સો $1$: $\cos 5\theta = 0 \implies 5\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{10} = \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$।
કિસ્સો $2$: $\cos \theta = 0 \implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$।
આમ, $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}, \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$।

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin x - \sin 2x + \sin 3x = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(\sin 3x + \sin x) - \sin 2x = 0$
સરવાળા-થી-ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(\frac{3x+x}{2}) \cos(\frac{3x-x}{2}) - \sin 2x = 0$
$2 \sin 2x \cos x - \sin 2x = 0$
$\sin 2x$ ને સામાન્ય લેતા: $\sin 2x (2 \cos x - 1) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\sin 2x = 0$ અથવા $2 \cos x - 1 = 0$ છે.
કિસ્સો $1$: $\sin 2x = 0$। કારણ કે $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ છે, તેથી $0 \leq 2x \leq \pi$ થાય. આમ, $2x = 0$ અથવા $2x = \pi$, જે $x = 0$ અથવા $x = \frac{\pi}{2}$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: $2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$। કારણ કે $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ છે, $x = \frac{\pi}{3}$ થાય.
$x$ ના મૂલ્યો $0, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ છે.
કુલ મૂલ્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cot \theta \cdot \cot 2\theta = 1$
$\implies \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} = 1$
$\implies \cos \theta \cdot \cos 2\theta = \sin \theta \cdot \sin 2\theta$
$\implies \cos \theta \cdot \cos 2\theta - \sin \theta \cdot \sin 2\theta = 0$
નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\implies \cos(\theta + 2\theta) = 0$
$\implies \cos 3\theta = 0$
$\cos x = 0$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in Z$ છે.
તેથી, $3\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$
$\implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{6}, n \in Z$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin 3\theta - \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$.
$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ અને $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3\sin \theta - 4\sin^3 \theta - (1 - \sin^2 \theta) = \frac{1}{4}$.
$-4\sin^3 \theta + \sin^2 \theta + 3\sin \theta - 1 = \frac{1}{4}$.
$-4$ વડે ગુણતા: $16\sin^3 \theta - 4\sin^2 \theta - 12\sin \theta + 4 = -1$.
$16\sin^3 \theta - 4\sin^2 \theta - 12\sin \theta + 5 = 0$.
ધારો કે $x = \sin \theta$. કારણ કે $\theta \in [0, \pi]$, $x \in [0, 1]$.
$f(x) = 16x^3 - 4x^2 - 12x + 5 = 0$.
$f(0) = 5$ અને $f(1) = 5$.
$f'(x) = 48x^2 - 8x - 12 = 4(12x^2 - 2x - 3)$.
$f'(x) = 0$ ના બીજ $x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{12}$ છે.
$x \in [0, 1]$ હોવાથી, $x_0 = \frac{1 + \sqrt{37}}{12} \approx 0.59$ ધ્યાનમાં લો.
$f(0.59) < 0$ મળે છે.
$f(0) > 0$, $f(x_0) < 0$, અને $f(1) > 0$ હોવાથી, $(0, 1)$ માં $x$ ના બે બીજ છે.
દરેક $x$ માટે, $[0, \pi]$ માં $\theta$ ના બે મૂલ્યો મળે છે.
આમ, કુલ $4$ ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos x - \sin x = -1$.
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા, $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{3\pi}{4}$ મળે.
કિસ્સો $1$: $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{3\pi}{4} \implies x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
$x \in [0, 6\pi]$ માટે, $n=0, 1, 2$ લેતા $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$ મળે.
કિસ્સો $2$: $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi - \frac{3\pi}{4} \implies x = 2n\pi - \pi$.
$x \in [0, 6\pi]$ માટે, $n=1, 2, 3$ લેતા $x = \pi, 3\pi, 5\pi$ મળે.
આપેલ છે કે $x = k(\frac{\pi}{3})$, તેથી $k = \frac{3x}{\pi}$.
$x = \frac{\pi}{2}$ માટે, $k = 1.5$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
$x = \frac{5\pi}{2}$ માટે, $k = 7.5$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
$x = \frac{9\pi}{2}$ માટે, $k = 13.5$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
$x = \pi$ માટે, $k = 3$.
$x = 3\pi$ માટે, $k = 9$.
$x = 5\pi$ માટે, $k = 15$.
આમ, $k \in \{3, 9, 15\}$. મૂલ્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) પગલું $1$: પ્રથમ સમીકરણ $2 \sin^2 \theta - 2 \cos^2 \theta + 1 = 0$ ને ઉકેલો.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $2 \sin^2 \theta - 2(1 - \sin^2 \theta) + 1 = 0$ મળે છે.
$2 \sin^2 \theta - 2 + 2 \sin^2 \theta + 1 = 0 \implies 4 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
પગલું $2$: દ્વિતીય સમીકરણ $2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$ ને ઉકેલો.
ધારો કે $x = \sin \theta$. તો $2x^2 + 3x - 2 = 0 \implies (2x - 1)(x + 2) = 0$.
તેથી, $\sin \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin \theta = -2$. કારણ કે $-1 \le \sin \theta \le 1$, તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2}$.
પગલું $3$: સામાન્ય ઉકેલો શોધો.
સામાન્ય શરત $\sin \theta = \frac{1}{2}$ છે.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં, $\sin \theta = \frac{1}{2}$ એ $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5\pi}{6}$ પર મળે છે.
આમ, $2$ સામાન્ય ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos x + \sin x = \cos 2x + \sin 2x$
$\cos x - \cos 2x = \sin 2x - \sin x$
$\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ અને $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{-x}{2} = 2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}$
$2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}$
$2 \sin \frac{x}{2} (\sin \frac{3x}{2} - \cos \frac{3x}{2}) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = n\pi \implies x = 2n\pi$। અહીં $p=2$ છે.
કિસ્સો $2$: $\sin \frac{3x}{2} = \cos \frac{3x}{2} \implies \tan \frac{3x}{2} = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$\frac{3x}{2} = n\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$। અહીં $q=2$ છે.
આમ, $p:q = 2:2 = 1:1$.

(C) આપેલ છે $\text{cosec}(\theta) = -2$, જેનો અર્થ છે $\sin(\theta) = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\sin(\theta)$ ઋણ છે, તેથી $\theta$ ત્રીજા અથવા ચોથા ચરણમાં હોવો જોઈએ.
સંદર્ભ ખૂણો $\alpha$ એવો છે કે $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$, તેથી $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
ત્રીજા ચરણમાં, $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
ચોથા ચરણમાં, $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
આમ, મુખ્ય ઉકેલો $\frac{7\pi}{6}$ અને $\frac{11\pi}{6}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos 4\theta = \cos 3\theta$ છે.
$\cos x = \cos y$ માટે વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર વાપરતા, જે $x = 2n\pi \pm y$ છે, જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$ છે.
અહીં, $x = 4\theta$ અને $y = 3\theta$ છે.
કિસ્સો $1$: $4\theta = 2n\pi + 3\theta \implies \theta = 2n\pi$ છે.
કિસ્સો $2$: $4\theta = 2n\pi - 3\theta \implies 7\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{2n\pi}{7}$ છે.
આમ, વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi$ અથવા $\theta = \frac{2n\pi}{7}$ છે, જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$ છે.

(D) પ્રથમ ચરણમાં બંને અક્ષોથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુ $(x, y)$ માટે $x = y = a$ થાય, જ્યાં $a > 0$ છે.
આ કિંમતને રેખાના સમીકરણ $y = 2x + c$ માં મૂકતા, આપણને $a = 2a + c$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $c = -a$ મળે છે.
કારણ કે $a > 0$ છે, તેથી $c < 0$ થશે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી માત્ર $-2$ જ ઋણ છે.
તેથી, $c = -2$ માટે, આપણી પાસે $a = 2a - 2$ છે, જે $a = 2$ આપે છે. $a > 0$ હોવાથી, બિંદુ $(2, 2)$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે અને શરતનું પાલન કરે છે.

(A) પગલું $1$: રેખાઓના ઢાળ (slopes) તપાસો. $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = 4/7$ છે. $L_3$ નો ઢાળ $m_3 = -7/4$ છે. કારણ કે $m_1 \times m_3 = (4/7) \times (-7/4) = -1$, રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે.
પગલું $2$: કાટકોણ ત્રિકોણમાં, લંબકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુ છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે.
પગલું $3$: $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ શોધો:
$4x - 7y = -10$
$7x + 4y = 15$
સમીકરણો ઉકેલતા: $x = 1$ અને $y = 2$ મળે છે. તેથી લંબકેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.

(B) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે. આ સમીકરણ સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ છે. સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A=a, H=2, B=-2, G=2, F=4, C=1$ મળે છે. કિંમતો મૂકતા: $a(-2)(1) + 2(4)(2)(2) - a(4)^2 - (-2)(2)^2 - 1(2)^2 = 0 \implies -2a + 32 - 16a + 8 - 4 = 0 \implies -18a + 36 = 0 \implies a = 2$। સમીકરણ $2x^2 + 4xy - 2y^2 + 4x + 8y + 1 = 0$ બને છે. ધારો કે છેદબિંદુ $(h, k)$ છે. $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન કરતા: $f_x = 4x + 4y + 4 = 0 \implies x + y = -1$ અને $f_y = 4x - 4y + 8 = 0 \implies x - y = -2$ મળે છે. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$ મળે છે. બાદબાકી કરતા: $2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$ મળે છે. છેદબિંદુ $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ છે.

(B) ધારો કે $f(x, y) = x^2 - ky^2 - 4x + 6y - 5 = 0$ છે.
સમીકરણ બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટે, છેદબિંદુ $(h, k_0)$ પર $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષ આંશિક વિકલન શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 4 = 0 \implies x = 2$.
$\frac{\partial f}{\partial y} = -2ky + 6 = 0 \implies ky = 3$.
વળી, રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
અહીં $a=1, b=-k, c=-5, h=0, g=-2, f=3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $(1)(-k)(-5) + 2(3)(-2)(0) - 1(3)^2 - (-k)(-2)^2 - (-5)(0)^2 = 0$.
$5k - 9 + 4k = 0 \implies 9k = 9 \implies k = 1$.
$k=1$ ને $ky=3$ માં મૂકતા, આપણને $y=3$ મળે છે.
આમ, છેદબિંદુ $(2, 3)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ છે.
આને $(x - 2y)(x - 2y + k) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
આમ, બે રેખાઓ $L_1: x - 2y = 0$ અને $L_2: x - 2y + k = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $a = 1$, $b = -2$, $c_1 = 0$, અને $c_2 = k$ છે.
આપેલ છે કે $d = 3$, તેથી $3 = \frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}$.
$3 = \frac{|-k|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{k}{\sqrt{5}}$ (કારણ કે $k > 0$ છે).
$k = 3\sqrt{5}$.
$L_2$ ના સમીકરણમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $x - 2y + 3\sqrt{5} = 0$ મળે છે.
તેથી, રેખાઓ $x - 2y = 0$ અને $x - 2y + 3\sqrt{5} = 0$ છે.

(A) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે. આની સરખામણી $kx^2 - 5xy + 6y^2 + x - 3y = 0$ સાથે કરતા, આપણને $a=k, h=-5/2, b=6, g=1/2, f=-3/2, c=0$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $k(6)(0) + 2(-3/2)(1/2)(-5/2) - k(-3/2)^2 - 6(1/2)^2 - 0(-5/2)^2 = 0$.
$0 + 15/4 - 9k/4 - 6/4 = 0 \implies 9/4 - 9k/4 = 0 \implies k=1$.
સમીકરણ $x^2 - 5xy + 6y^2 + x - 3y = 0$ બને છે.
છેદબિંદુ $(x, y)$ એ $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષ આંશિક વિકલન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે:
$\frac{\partial}{\partial x} = 2x - 5y + 1 = 0$ અને $\frac{\partial}{\partial y} = -5x + 12y - 3 = 0$.
આને ઉકેલતા: $2x - 5y = -1$ $(i)$ અને $-5x + 12y = 3$ (ii).
$(i)$ ને $5$ વડે અને (ii) ને $2$ વડે ગુણતા: $10x - 25y = -5$ અને $-10x + 24y = 6$.
સરવાળો કરતા: $-y = 1 \implies y = -1$.
$(i)$ માં $y = -1$ મૂકતા: $2x - 5(-1) = -1 \implies 2x + 5 = -1 \implies 2x = -6 \implies x = -3$.
છેદબિંદુ $(-3, -1)$ છે.

(B) પગલું $1$: પ્રથમ રેખાનું સમીકરણ શોધો. તે $(1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી, તેનું સમીકરણ $y = 4$ અથવા $y - 4 = 0$ છે.
પગલું $2$: બીજી રેખાનું સમીકરણ શોધો. તે $(1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને $X$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેનો ઢાળ $m = \tan(45^\circ) = 1$ છે. બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $(y - 4) = 1(x - 1)$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $y - 4 = x - 1$ અથવા $x - y + 3 = 0$ થાય છે.
પગલું $3$: સંયુક્ત સમીકરણ એ બંને વ્યક્તિગત સમીકરણોનો ગુણાકાર છે: $(y - 4)(x - y + 3) = 0$.
પગલું $4$: ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $xy - y^2 + 3y - 4x + 4y - 12 = 0$.
પગલું $5$: સાદું રૂપ આપતા $xy - y^2 - 4x + 7y - 12 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 4xy + 4y^2 + kx - 2ky = 0$ છે.
આને $(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
$(x - 2y)$ સામાન્ય લેતા, આપણને $(x - 2y)(x - 2y + k) = 0$ મળે છે.
આમ, બે રેખાઓ $L_1: x - 2y = 0$ અને $L_2: x - 2y + k = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $a = 1$, $b = -2$, $c_1 = 0$, અને $c_2 = k$ છે.
$d = 3$ આપેલ હોવાથી, $3 = \frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}$.
$3 = \frac{|k|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$.
$|k| = 3\sqrt{5}$.
તેથી, $k = \pm 3\sqrt{5}$.

(D) પગલું $1$: $x^2 - 6xy + 5y^2 + 10x - 14y + 9 = 0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો. ધારો કે $f(x, y) = x^2 - 6xy + 5y^2 + 10x - 14y + 9 = 0$ છે.
પગલું $2$: $x$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન કરતા: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 6y + 10 = 0 \implies x - 3y + 5 = 0$ $(i)$.
પગલું $3$: $y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન કરતા: $\frac{\partial f}{\partial y} = -6x + 10y - 14 = 0 \implies -3x + 5y - 7 = 0$ (ii).
પગલું $4$: સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને ઉકેલો. $(i)$ પરથી, $x = 3y - 5$. તેને (ii) માં મૂકતા: $-3(3y - 5) + 5y - 7 = 0 \implies -9y + 15 + 5y - 7 = 0 \implies -4y + 8 = 0 \implies y = 2$.
પગલું $5$: $y = 2$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x = 3(2) - 5 = 1$. છેદબિંદુ $(1, 2)$ છે.
પગલું $6$: $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી યામ અક્ષોને સમાંતર રેખાઓ $x = 1$ અને $y = 2$ છે.
પગલું $7$: સંયુક્ત સમીકરણ $(x - 1)(y - 2) = 0 \implies xy - 2x - y + 2 = 0$ છે.

(D) આપેલ છે $y = \tan \left( \log \left( \frac{3 + 2x}{3 - 2x} \right) \right)$.
ધારો કે $u = \log \left( \frac{3 + 2x}{3 - 2x} \right) = \log(3 + 2x) - \log(3 - 2x)$.
તો $y = \tan(u)$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx}$.
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} [\log(3 + 2x) - \log(3 - 2x)] = \frac{2}{3 + 2x} - \frac{-2}{3 - 2x} = \frac{2}{3 + 2x} + \frac{2}{3 - 2x}$ ની ગણતરી કરો.
$\frac{du}{dx} = \frac{2(3 - 2x) + 2(3 + 2x)}{(3 + 2x)(3 - 2x)} = \frac{6 - 4x + 6 + 4x}{9 - 4x^2} = \frac{12}{9 - 4x^2}$ ને સરળ બનાવો.
આમ, $\frac{dy}{dx} = \sec^2 \left( \log \left( \frac{3 + 2x}{3 - 2x} \right) \right) \cdot \left( \frac{12}{9 - 4x^2} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = \left( \frac{A}{B + Cx^2} \right) \cdot \sec^2 \left( \log \left( \frac{3 + 2x}{3 - 2x} \right) \right)$ સાથે સરખામણી કરતા, આપણને $A = 12$, $B = 9$, અને $C = -4$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x - 5$, તેથી $f'(x) = 1$ થાય.
$g(x) = [f(4h(x) + 3)]^2$ છે.
ચેઈન રૂલ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા, $g'(x) = 2[f(4h(x) + 3)] \cdot f'(4h(x) + 3) \cdot \frac{d}{dx}(4h(x) + 3)$ થાય.
$g'(x) = 2[f(4h(x) + 3)] \cdot 1 \cdot 4h'(x) = 8h'(x) \cdot f(4h(x) + 3)$ થાય.
$x = 1$ આગળ, $g'(1) = 8h'(1) \cdot f(4h(1) + 3)$ થાય.
$h(1) = 4$ અને $h'(1) = -2$ કિંમતો મૂકતા:
$g'(1) = 8(-2) \cdot f(4(4) + 3) = -16 \cdot f(19)$ થાય.
કારણ કે $f(x) = x - 5$ છે, તેથી $f(19) = 19 - 5 = 14$ થાય.
$g'(1) = -16 \cdot 14 = -224$ થાય.

(C) પગલું $1$: આપેલા વિધેયોના વિકલિત શોધો.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1)^{1/2} = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
$g'(x) = \frac{(x^2 + 1)(1) - (x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$.
$h'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 3) = 2$.
પગલું $2$: સંયોજન $f'(h'(g'(x)))$ નું મૂલ્ય શોધો.
કારણ કે $h'(x) = 2$ એ અચળ વિધેય છે, તેથી કોઈપણ $x$ માટે $h'(g'(x)) = 2$ થશે.
તેથી, $f'(h'(g'(x))) = f'(2)$.
પગલું $3$: $f'(x)$ માં $x = 2$ મૂકો.
$f'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(C) ધારો કે $y = \sin \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) = \sin (\log(x+3) - \log x)$ છે.
ચેઈન રૂલ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{dy}{dx} = \cos \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right)$ મળે છે.
હવે, $\frac{d}{dx} \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) = \frac{x}{x+3} \cdot \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)$ છે.
$= \frac{x}{x+3} \cdot \left( -\frac{3}{x^2} \right) = -\frac{3}{x(x+3)}$ છે.
આમ, $\frac{dy}{dx} = \cos \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) \cdot \left( -\frac{3}{x(x+3)} \right) = \frac{-3}{x(x+3)} \cos \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $y = \log_8(\log_5 x)$ છે.
બેઝ ચેન્જ ફોર્મ્યુલા $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ નો ઉપયોગ કરતા, $y = \frac{\ln(\log_5 x)}{\ln 8}$ મળે.
કારણ કે $\log_5 x = \frac{\ln x}{\ln 5}$, તેથી $y = \frac{\ln(\frac{\ln x}{\ln 5})}{\ln 8} = \frac{\ln(\ln x) - \ln(\ln 5)}{\ln 8}$ થાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln 8} \cdot \frac{d}{dx} [\ln(\ln x) - \ln(\ln 5)]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln 8} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{\ln 8 \cdot \ln x} \cdot \frac{1}{x}$
આમ, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln x \ln 8}$.

(A) આપેલ છે કે $h(x) = \{f(x)\}^2 + \{g(x)\}^2$.
$h(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h'(x) = 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x)$.
કારણ કે $f'(x) = g(x)$, તેથી $g'(x) = f''(x)$.
આપેલ છે કે $f''(x) = -f(x)$, તેથી $g'(x) = -f(x)$.
આ કિંમતોને વિકલનમાં મૂકતા:
$h'(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$.
કારણ કે $h'(x) = 0$, તેથી $h(x)$ એ અચળ વિધેય છે.
તેથી, $h(10) = h(5) = 11$.

(B) આપેલ છે $f(x) = \cos^4 x + \sin^4 x$।
નિત્યસમ $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા, $f(x) = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$।
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $f'(x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot 2\sin(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -\sin(4x)$।
આપણે $f'(x) > 0$ જોઈએ છે, તેથી $-\sin(4x) > 0$, જેનો અર્થ છે $\sin(4x) < 0$।
$0 \le x \le 2\pi$ માટે, $0 \le 4x \le 8\pi$।
$\sin(4x) < 0$ એ અંતરાલ $(\pi, 2\pi), (3\pi, 4\pi), (5\pi, 6\pi), (7\pi, 8\pi)$ માં હોય છે।
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\pi < 4x < 2\pi \implies \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$।
આ વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે।

(C) આપેલ છે $f(x) = \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x$।
$2 \sin x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$f(x) = \frac{2 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x}{2 \sin x} = \frac{\sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x}{2 \sin x}$।
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{\sin 32x}{32 \sin x}$।
હવે, $f'(x) = \frac{1}{32} \left[ \frac{32 \cos 32x \sin x - \sin 32x \cos x}{\sin^2 x} \right]$।
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે, $\sin 32x = \sin(8\pi) = 0$ અને $\cos 32x = \cos(8\pi) = 1$।
$f' \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{32} \left[ \frac{32(1) \sin(\pi/4) - 0}{\sin^2(\pi/4)} \right] = \frac{32 \sin(\pi/4)}{32 \sin^2(\pi/4)} = \frac{1}{\sin(\pi/4)} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(C) આપેલ છે $y = x \cdot 7^x$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot 7^x + x \cdot \frac{d}{dx}(7^x)$
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot 7^x + x \cdot (7^x \ln 7)$
$\frac{dy}{dx} = 7^x(1 + x \ln 7)$
$x = 1$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = 7^1(1 + 1 \cdot \ln 7) = 7(1 + \ln 7)$
કારણ કે $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$, તેથી:
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{7(1 + \ln 7)}$
$\ln 7 = \log_e 7$ નો ઉપયોગ કરતા, પરિણામ $\frac{1}{7(\log 7 + 1)}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $y = \sqrt{\cos x^2 + y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $y^2 = \cos x^2 + y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = -\sin x^2 \cdot (2x) + \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા:
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = -2x \sin x^2$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x \sin x^2}{2y - 1}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{2y - 1}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $f(x) = -2x \sin x^2$ મળે છે.
હવે, $\int f(x) dx = \int -2x \sin x^2 dx$.
ધારો કે $u = x^2$, તો $du = 2x dx$.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને $\int -\sin u du = \cos u + c$ મળે છે.
$u = x^2$ પાછું મૂકતા, આપણને $\cos x^2 + c$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos(2^{n-1}\theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ થાય છે.
અહીં, $n=5$ અને $\theta = x$ છે, તેથી $f(x) = \frac{\sin(32x)}{32 \sin x}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $f'(x) = \frac{1}{32} \left[ \frac{32 \cos(32x) \sin x - \cos x \sin(32x)}{\sin^2 x} \right]$.
$x = \frac{\pi}{4}$ પર, $\sin(32 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(8\pi) = 0$ અને $\cos(32 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(8\pi) = 1$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $f' \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{32} \left[ \frac{32(1) \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4)(0)}{\sin^2(\pi/4)} \right]$.
$f' \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{32 \sin(\pi/4)}{32 \sin^2(\pi/4)} = \frac{1}{\sin(\pi/4)} = \text{cosec} \left( \frac{\pi}{4} \right)$.

(D) આપેલ છે $g(x) = (x^2 + 2x + 1) \cdot f(x)$.
વિકલન માટે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x + 1) \cdot f(x) + (x^2 + 2x + 1) \cdot f'(x)$.
$g'(x) = (2x + 2) \cdot f(x) + (x^2 + 2x + 1) \cdot f'(x)$.
$x = 0$ આગળ: $g'(0) = (2(0) + 2) \cdot f(0) + (0^2 + 2(0) + 1) \cdot f'(0) = 2 \cdot f(0) + 1 \cdot f'(0)$.
આપેલ છે $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 5}{x} = 4$, કારણ કે $f(0) = 5$, આ લક્ષ એ વિકલિત $f'(0) = 4$ દર્શાવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $g'(0) = 2(5) + 1(4) = 10 + 4 = 14$.

(D) ધારો કે $u = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$ છે. તેથી $y = f(u)$, એટલે કે $\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot \frac{du}{dx}$ થાય.
સૌ પ્રથમ, ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{du}{dx}$ શોધો: $\frac{du}{dx} = \frac{(x^2 + 1)(2) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}$.
$x = 1$ આગળ, $u = \frac{2(1) - 1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{du}{dx} = \frac{-2(1)^2 + 2(1) + 2}{(1^2 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ થાય.
કારણ કે $f'(x) = \sin^2 x$ છે, તેથી $f'(u) = \sin^2 u$ થાય. આમ $f'(1/2) = \sin^2(1/2)$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = f'(1/2) \cdot \frac{du}{dx} = \sin^2(1/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sin^2 \left( \frac{1}{2} \right)$.

(C) ધારો કે $f(x) = (1/x)^x = x^{-x}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે, $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = -[\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}] = -(\ln(x) + 1)$.
વિકલિતને $0$ લેતા: $-(\ln(x) + 1) = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = 1/e$.
દ્વિતીય વિકલિતની ચકાસણી કરતા: $\frac{d^2}{dx^2}(\ln(f(x))) = -\frac{1}{x}$. $x = 1/e$ પર, આ $-e < 0$ છે, તેથી તે સ્થાનિક મહત્તમ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય $f(1/e) = (1/(1/e))^{1/e} = e^{1/e}$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{\log x}{x}$ છે.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = \frac{x(\frac{1}{x}) - \log x(1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
ક્રાંતિક બિંદુ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$.
કારણ કે $e \approx 2.718$, $x = e$ એ અંતરાલ $(2, \infty)$ માં આવેલું છે.
$x = e$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસો: $x < e$ માટે, $f'(x) > 0$ (વધતું વિધેય); $x > e$ માટે, $f'(x) < 0$ (ઘટતું વિધેય).
આમ, $x = e$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
જેમ $x \to 2^+$, $f(x) \to \frac{\log 2}{2} \approx 0.346$.
જેમ $x \to \infty$, $f(x) \to 0$.
વિધેય $x = e$ સુધી વધે છે અને ત્યારબાદ $x \to \infty$ થતાં $0$ તરફ ઘટે છે, તેથી $(2, \infty)$ પર વિધેયનું ન્યૂનતમ સીમાબિંદુ (infimum) $0$ છે, પરંતુ તે ક્યારેય પ્રાપ્ત થતું નથી. તેથી, ન્યૂનતમ મૂલ્યનું અસ્તિત્વ નથી.

(A) ધારો કે પાયાની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે. ઘનફળ $V = \pi r^2 h = 125\pi$, તેથી $h = \frac{125}{r^2}$ મળે.
ઉપરના ઢાંકણ વગરના નળાકારનું પૃષ્ઠફળ $S = \pi r^2 + 2\pi rh$ છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા: $S = \pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{125}{r^2} \right) = \pi r^2 + \frac{250\pi}{r}$ મળે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે, $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dr} = 2\pi r - \frac{250\pi}{r^2}$ મળે.
$\frac{dS}{dr} = 0$ લેતા: $2\pi r = \frac{250\pi}{r^2} \implies r^3 = 125 \implies r = 5 \text{ cm}$ મળે.
$r = 5$ ની કિંમત $S$ માં મૂકતા: $S = \pi(5)^2 + \frac{250\pi}{5} = 25\pi + 50\pi = 75\pi \text{ cm}^2$ મળે.

(D) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $28-x$ છે, જ્યાં $x > 0$ અને $28-x > 0$ છે.
ધારો કે $f(x) = x^3 + (28-x)^2$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે, $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો: $f'(x) = 3x^2 - 2(28-x) = 3x^2 + 2x - 56$।
$f'(x) = 0$ લેતા: $3x^2 + 2x - 56 = 0$।
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-56)}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 672}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{676}}{6} = \frac{-2 \pm 26}{6}$।
$x > 0$ હોવાથી, $x = \frac{24}{6} = 4$ મળે છે.
બે ભાગ $4$ અને $28-4 = 24$ છે.
તફાવત $|24 - 4| = 20$ છે.

(B) ધારો કે વક્ર $4y = x^2$ પરનું એક બિંદુ $(x, y)$ છે, જ્યાં $y = \frac{x^2}{4}$ છે.
$(x, \frac{x^2}{4})$ અને $(0, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $D$ નો વર્ગ $D^2 = (x - 0)^2 + (\frac{x^2}{4} - 5)^2$ છે.
ધારો કે $f(x) = D^2 = x^2 + \frac{x^4}{16} - \frac{5x^2}{2} + 25 = \frac{x^4}{16} - \frac{3x^2}{2} + 25$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે, $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો અને તેને $0$ લો:
$f'(x) = \frac{4x^3}{16} - 3x = \frac{x^3}{4} - 3x = 0$.
$x(\frac{x^2}{4} - 3) = 0$, જે $x = 0$ અથવા $x^2 = 12 \implies x = \pm 2\sqrt{3}$ આપે છે.
$x = \pm 2\sqrt{3}$ માટે, $y = \frac{(\pm 2\sqrt{3})^2}{4} = \frac{12}{4} = 3$ મળે છે.
આમ, બિંદુઓ $(2\sqrt{3}, 3)$ અને $(-2\sqrt{3}, 3)$ છે.

(C) ધારો કે લંબાઈ $x \text{ m}$ અને પહોળાઈ $y \text{ m}$ છે.
ઘનફળ $V = x \cdot y \cdot 4 = 36 \implies xy = 9 \implies y = \frac{9}{x}$.
ખર્ચ $C = 100(xy) + 50(2 \cdot 4x + 2 \cdot 4y) = 100(9) + 400(x + y) = 900 + 400(x + \frac{9}{x})$.
$C$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે, $\frac{dC}{dx} = 400(1 - \frac{9}{x^2}) = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$.
કારણ કે $x=3$, $y = \frac{9}{3} = 3$.
ન્યૂનતમ ખર્ચ $C = 900 + 400(3 + 3) = 900 + 400(6) = 900 + 2400 = 3300$.

(B) પગલું $1$: ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધો.
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{75} + x^{25} \cdot 75(1 - x)^{74}(-1)$
પગલું $2$: $f'(x)$ ને સરળ બનાવો.
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{74} [(1 - x) - 3x] = 25x^{24}(1 - x)^{74} (1 - 4x)$
પગલું $3$: ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો.
$25x^{24}(1 - x)^{74} (1 - 4x) = 0$
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0$, $x = 1$, અને $x = 1/4$ છે.
પગલું $4$: ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો.
$f(0) = 0$, $f(1) = 0$, $f(1/4) = (1/4)^{25}(3/4)^{75} > 0$।
કારણ કે $[0, 1]$ પર $f(x) \ge 0$ છે અને $x = 1/4$ પર કિંમત ધન છે, તેથી મહત્તમ કિંમત $x = 1/4$ પર મળે છે।

(D) વિધેય $f(x)$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોય તે માટે, તેનું વિકલિત $f'(x) < 0$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે હોવું જોઈએ.
પ્રથમ, વિકલિત મેળવો: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x - \cos x - kx + b) = \cos x + \sin x - k$.
આપણે $\cos x + \sin x - k < 0$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે $k > \cos x + \sin x$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું રહે તે માટે, $k$ ની કિંમત $(\cos x + \sin x)$ પદાવલિની મહત્તમ કિંમત કરતા મોટી હોવી જોઈએ.
પદાવલિ $\cos x + \sin x$ ને $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ તરીકે લખી શકાય છે.
$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2}$ છે.
તેથી, $k > \sqrt{2}$ હોવું જોઈએ.

(D) ધારો કે $g(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \pi/4)$ છે.
કારણ કે $f(x) = \tan^{-1}(g(x))$ અને $\tan^{-1}(u)$ એ વધતું વિધેય છે, તેથી $f(x)$ ત્યારે વધે છે જ્યારે $g(x)$ વધે.
$g'(x) = \cos x - \sin x$ છે.
$g(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે, $g'(x) > 0 \implies \cos x > \sin x$ હોવું જોઈએ.
અંતરાલ $(-\pi/2, \pi/2)$ માં, $\cos x > \sin x$ ત્યારે થાય છે જ્યારે $x < \pi/4$ હોય.
આમ, વિધેય $(-\pi/2, \pi/4)$ માં વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{x + 3}{x^2 - 9x + 20} dx$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ, $f'(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9x + 20}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)$.
તેથી, $f'(x) = \frac{x + 3}{(x - 4)(x - 5)}$.
$f(x)$ ક્યાં વધે છે કે ઘટે છે તે જાણવા માટે, આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = -3, 4, 5$ નો ઉપયોગ કરીને $f'(x)$ ની નિશાનીનું વિશ્લેષણ કરીએ.
અંતરાલો: $(-\infty, -3)$, $(-3, 4)$, $(4, 5)$, $(5, \infty)$.
$x \in (-\infty, -3)$ માટે, $f'(x) = \frac{(-)}{(-)(-)} = (-)$, તેથી $f(x)$ ઘટે છે.
$x \in (-3, 4)$ માટે, $f'(x) = \frac{(+)}{(-)(-)} = (+)$, તેથી $f(x)$ વધે છે.
$x \in (4, 5)$ માટે, $f'(x) = \frac{(+)}{(+)(-)} = (-)$, તેથી $f(x)$ ઘટે છે.
$x \in (5, \infty)$ માટે, $f'(x) = \frac{(+)}{(+)(+)} = (+)$, તેથી $f(x)$ વધે છે.
આમ, $f(x)$ એ $(-\infty, -3] \cup (4, 5)$ પર ઘટે છે.

(D) પગલું $1$: વિકલન $f'(x)$ શોધો.
$f(x) = \log(1 + x) - \frac{x}{1 + x}$
$f'(x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{(1 + x)(1) - x(1)}{(1 + x)^2} = \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^2}$
$f'(x) = \frac{(1 + x) - 1}{(1 + x)^2} = \frac{x}{(1 + x)^2}$
પગલું $2$: એકવિધતા માટેના અંતરાલ નક્કી કરો.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે, $f'(x) > 0 \implies \frac{x}{(1 + x)^2} > 0$ હોવું જોઈએ. દરેક $x \neq -1$ માટે $(1 + x)^2 > 0$ હોવાથી, $f'(x) > 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $x > 0$ હોય.
$f(x)$ ઘટતું વિધેય હોય તે માટે, $f'(x) < 0 \implies \frac{x}{(1 + x)^2} < 0$ હોવું જોઈએ. આ ત્યારે થાય જ્યારે $x < 0$ હોય (અને $\log(1+x)$ ના પ્રદેશને કારણે $x > -1$ હોય).
આમ, $f(x)$, $(0, \infty)$ પર વધતું છે અને $(-1, 0)$ પર ઘટતું છે.

(D) આપેલ છે કે $g(x) = f(x) + f(1 - x)$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, આપણને $g'(x) = f'(x) - f'(1 - x)$ મળે છે.
કારણ કે $f''(x) < 0$ છે, $f'(x)$ એ સતત ઘટતું વિધેય છે.
$x \in [0, 1/2]$ માટે, $x \le 1 - x$ છે, જેનો અર્થ છે કે $f'(x) \ge f'(1 - x)$ કારણ કે $f'(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
તેથી, $x \in [0, 1/2]$ માટે $g'(x) = f'(x) - f'(1 - x) \ge 0$ છે, તેથી $g(x)$ એ $[0, 1/2]$ પર વધતું વિધેય છે.
$x \in [1/2, 1]$ માટે, $x \ge 1 - x$ છે, જેનો અર્થ છે કે $f'(x) \le f'(1 - x)$ કારણ કે $f'(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
તેથી, $x \in [1/2, 1]$ માટે $g'(x) = f'(x) - f'(1 - x) \le 0$ છે, તેથી $g(x)$ એ $[1/2, 1]$ પર ઘટતું વિધેય છે.
આમ, $g(x)$ એ $[0, 1/2]$ પર વધતું વિધેય છે અને $[1/2, 1]$ પર ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{64} = 8$ છે.
કારણ કે $63$ એ $64$ ની ખૂબ નજીક છે, આપણે રેખીય અંદાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
ધારો કે $f(x) = \sqrt{x}$, $x = 64$, અને $\Delta x = -1$ છે.
તો $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{63} \approx \sqrt{64} + \frac{1}{2\sqrt{64}} (-1)$.
$\sqrt{63} \approx 8 - \frac{1}{2 \times 8} = 8 - \frac{1}{16}$.
$\sqrt{63} \approx 8 - 0.0625 = 7.9375$.
વિકલ્પોમાં સૌથી નજીકની કિંમત $7.9373$ છે.

(C) ગોળાનો વ્યાસ $d = 3x + \frac{9}{2} = \frac{3}{2}(2x + 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}(2x + 3)$ છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા, $V = \frac{4}{3}\pi \left[ \frac{3}{4}(2x + 3) \right]^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{64}(2x + 3)^3 = \frac{9\pi}{16}(2x + 3)^3$ મળે છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષ $V$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dx} = \frac{9\pi}{16} \cdot 3(2x + 3)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x + 3) = \frac{27\pi}{16}(2x + 3)^2 \cdot 2 = \frac{27\pi}{8}(2x + 3)^2$.

(A) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા છે અને $V$ ગોળાકાર મોથબોલનું કદ છે. કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે કદમાં ફેરફારનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં છે: $\frac{dV}{dt} = -k S$, જ્યાં $k > 0$ છે.
કારણ કે $V = \frac{4}{3} \pi r^3$, તેથી $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
આને સમીકરણમાં મૂકતા: $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k (4 \pi r^2)$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{dr}{dt} = -k$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $r(t) = -kt + C$.
$t = 0$ પર, $r = 3$, તેથી $C = 3$. આમ, $r(t) = 3 - kt$.
$t = 4$ પર, $r = 1$, તેથી $1 = 3 - 4k$, જે $4k = 2$, અથવા $k = 0.5$ આપે છે.
મોથબોલ સંપૂર્ણપણે ત્યારે બાષ્પીભવન થશે જ્યારે $r = 0$: $0 = 3 - 0.5t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $0.5t = 3$, તેથી $t = 6 \text{ મહિના}$.

(B) આપેલ વક્ર $9y^2 = x^3$ છે. $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, $18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ છે.
અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે, તેથી તેનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ. વક્રને જોતા, સમાન અંતઃખંડ બનાવવા માટે અભિલંબનો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ (એટલે કે $x + y = x_1 + y_1$).
$-\frac{6y_1}{x_1^2} = -1$ લેતા, આપણને $x_1^2 = 6y_1$ મળે છે.
$y_1 = \frac{x_1^2}{6}$ ને વક્રના સમીકરણ $9y_1^2 = x_1^3$ માં મૂકતા:
$9(\frac{x_1^2}{6})^2 = x_1^3 \implies 9(\frac{x_1^4}{36}) = x_1^3 \implies \frac{x_1^4}{4} = x_1^3$ મળે.
$x_1 \neq 0$ હોવાથી, $x_1 = 4$ મળે. ત્યારબાદ $y_1^2 = \frac{4^3}{9} = \frac{64}{9}$, તેથી $y_1 = \pm 8/3$ મળે.
ઢાળની શરત ચકાસતા: જો $x_1 = 4, y_1 = 8/3$ હોય, તો ઢાળ $m = -\frac{6(8/3)}{16} = -1$ થાય. તેથી, બિંદુ $(4, 8/3)$ છે.

(A) પગલું $1$: બિંદુ $(-2, 2)$ પર $t$ ની કિંમત શોધો.
$x = 1 - 3t^2 = -2 \implies 3t^2 = 3 \implies t^2 = 1 \implies t = \pm 1$.
$y = t - 3t^3 = 2$. જો $t = 1$, $y = -2 \neq 2$. જો $t = -1$, $y = 2$. તેથી $t = -1$.
પગલું $2$: સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ શોધો.
$\frac{dx}{dt} = -6t$ અને $\frac{dy}{dt} = 1 - 9t^2$.
$t = -1$ પર, $\frac{dx}{dt} = 6$ અને $\frac{dy}{dt} = -8$.
ઢાળ $m = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.
પગલું $3$: બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરો.
$y - 2 = -\frac{4}{3}(x + 2) \implies 3y - 6 = -4x - 8 \implies 4x + 3y + 2 = 0$.

(A) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.
$Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે, $X = 0$ લેતા: $Y_P = y - x \frac{dy}{dx}$ મળે. તેથી, $P = (0, y - x \frac{dy}{dx})$ છે.
સ્પર્શકને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{dx}{dy}$ છે.
આ રેખા $P(0, y - x \frac{dy}{dx})$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m_2 = \frac{0 - (y - x \frac{dy}{dx})}{1 - 0} = -y + x \frac{dy}{dx}$ છે.
$m_2$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $-\frac{dx}{dy} = -y + x \frac{dy}{dx}$ મળે.
$-\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા: $1 = y \frac{dy}{dx} - x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ મળે.
આમ, $y \frac{dy}{dx} - x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1$ છે.

(D) પગલું $1$: બિંદુ $(2, 3)$ એ વક્ર $y^2 = ax^3 + b$ પર હોવાથી, $3^2 = a(2)^3 + b$, જે $9 = 8a + b$ માં પરિણમે છે (સમીકરણ $1$).
પગલું $2$: વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
પગલું $3$: બિંદુ $(2, 3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{3a(2)^2}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ છે. આપેલ રેખા $y = 4x - 5$ નો ઢાળ $4$ છે, તેથી $2a = 4$ લેતા $a = 2$ મળે છે.
પગલું $4$: $a = 2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $9 = 8(2) + b \implies 9 = 16 + b \implies b = -7$.
પગલું $5$: $7a - 2b = 7(2) - 2(-7) = 14 + 14 = 28$ ની ગણતરી કરો.

(D) આપેલ વક્ર $y = \sqrt{9 - 3x^2}$ છે. જે બિંદુએ ભુજ $(x)$ અને કોટિ $(y)$ સમાન હોય, ત્યાં $x = y$ થાય.
સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા: $x = \sqrt{9 - 3x^2} \implies x^2 = 9 - 3x^2 \implies 4x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{4} \implies x = \frac{3}{2}$ (કારણ કે $y$ ધન હોવું જોઈએ).
તેથી, સ્પર્શક બિંદુ $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ છે.
$y^2 = 9 - 3x^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = -6x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{y}$.
$(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ બિંદુએ, ઢાળ $m = -\frac{3(3/2)}{3/2} = -3$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - \frac{3}{2} = -3(x - \frac{3}{2})$ થાય.
$y - \frac{3}{2} = -3x + \frac{9}{2} \implies 3x + y - 6 = 0$.

(C) પગલું $1$: બિંદુ $(1, 1)$ એ વક્ર $xy + ax + by = 0$ પર આવેલું હોવાથી, $(1)(1) + a(1) + b(1) = 0$, જેનો અર્થ છે $1 + a + b = 0$, અથવા $a + b = -1$ થાય.
પગલું $2$: સમીકરણ $xy + ax + by = 0$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $y + x \frac{dy}{dx} + a + b \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
પગલું $3$: $(1, 1)$ આગળ, ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \tan(\tan^{-1} 2) = 2$ છે. આ કિંમતો મૂકતા: $1 + (1)(2) + a + b(2) = 0$ મળે.
પગલું $4$: આનું સાદું રૂપ $1 + 2 + a + 2b = 0$ થાય, તેથી $a + 2b = -3$ મળે.
પગલું $5$: સમીકરણો $a + b = -1$ અને $a + 2b = -3$ ને ઉકેલતા, બીજામાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતા: $(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1) \implies b = -2$ મળે. તેથી $a = -1 - (-2) = 1$ થાય.
પગલું $6$: $\frac{ab}{a + b} = \frac{(1)(-2)}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2$ ની ગણતરી કરો.

(A) આપેલ વક્ર $x = a \sin^3 t$ અને $y = b \cos^3 t$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dx}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$ અને $\frac{dy}{dt} = -3b \cos^2 t \sin t$ મળે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-3b \cos^2 t \sin t}{3a \sin^2 t \cos t} = -\frac{b}{a} \cot t$ છે.
$t = \frac{\pi}{2}$ પર, $\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} \cot(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx}$ થાય, જે અવ્યાખ્યાયિત (શિરોલંબ રેખા) છે.
જોકે, $t = \frac{\pi}{2}$ પર, બિંદુ $(x, y) = (a \sin^3(\frac{\pi}{2}), b \cos^3(\frac{\pi}{2})) = (a, 0)$ છે.
$(a, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા $x = a$ અથવા $x - a = 0$ છે.
$x - a = 0$ ની સરખામણી $x + By + C = 0$ સાથે કરતા, $B = 0$ અને $C = -a$ મળે.
તેથી, $B - C = 0 - (-a) = a$ થાય.

(A) $1$. વક્ર $y = \frac{1}{x}$ છે. કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શકની ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x_1^2} = -y_1^2$ છે.
$2$. $(x_1, y_1)$ પર અભિલંબની ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{y_1^2} = x_1^2$ છે.
$3$. $(x_1, y_1)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = x_1^2(x - x_1)$ છે, જે $x_1^2 x - y + (y_1 - x_1^3) = 0$ માં સાદું રૂપ પામે છે.
$4$. આની સરખામણી $ax + by + 5 = 0$ સાથે કરતા, આપણને $\frac{x_1^2}{a} = \frac{-1}{b} = \frac{y_1 - x_1^3}{5}$ મળે છે.
$5$. કારણ કે $x_1^2 > 0$ અને $a = -b x_1^2$, અભિલંબના અસ્તિત્વ માટે $a$ અને $b$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ. તેથી $a > 0$ અને $b < 0$ એ સાચી શરત છે.

(C) પગલું $1$: બિંદુ $(1, -1)$ એ વક્ર $y^2 = ax^3 + b$ પર હોવાથી, $(-1)^2 = a(1)^3 + b$, જે $a + b = 1$ માં પરિણમે છે.
પગલું $2$: વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$ મળે.
પગલું $3$: બિંદુ $(1, -1)$ પર, સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{3a(1)^2}{2(-1)} = -\frac{3a}{2}$ છે.
પગલું $4$: રેખા $x + y = 0$ ને $y = -x$ તરીકે લખી શકાય, જેનો ઢાળ $-1$ છે.
પગલું $5$: ઢાળને સરખાવતા: $-\frac{3a}{2} = -1$, જેથી $a = 2/3$ મળે.
પગલું $6$: $a = 2/3$ ને $a + b = 1$ માં મૂકતા: $2/3 + b = 1$, તેથી $b = 1/3$ મળે.

(A) પગલું $1$: છેદના અવયવ પાડો: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$।
પગલું $2$: આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરો: $\frac{x + 2}{(x - 3)(x - 4)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 4}$।
પગલું $3$: $A$ અને $B$ માટે ઉકેલો: $x + 2 = A(x - 4) + B(x - 3)$।
$x = 3$ માટે: $3 + 2 = A(3 - 4) \implies 5 = -A \implies A = -5$।
$x = 4$ માટે: $4 + 2 = B(4 - 3) \implies 6 = B \implies B = 6$।
પગલું $4$: સંકલન કરો: $\int (\frac{-5}{x - 3} + \frac{6}{x - 4}) dx = -5 \log |x - 3| + 6 \log |x - 4| + c$।

(C) ધારો કે $I = \int \frac{2x}{4 - 3x - x^2} dx$ છે.
છેદના અવયવ પાડતા: $4 - 3x - x^2 = (4 + x)(1 - x)$ મળે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2x}{(4 + x)(1 - x)} = \frac{A}{4 + x} + \frac{B}{1 - x}$।
$2x = A(1 - x) + B(4 + x)$।
$x = 1$ માટે: $2 = 5B \implies B = \frac{2}{5}$।
$x = -4$ માટે: $-8 = 5A \implies A = -\frac{8}{5}$।
$I = \int \left( \frac{-8/5}{4 + x} + \frac{2/5}{1 - x} \right) dx$।
$I = -\frac{8}{5} \log |4 + x| + \frac{2/5}{-1} \log |1 - x| + c$।
$I = -\frac{8}{5} \log |4 + x| - \frac{2}{5} \log |1 - x| + c$।

(D) ધારો કે $t = x^2$ છે. તેથી સંકલ્ય $\frac{t}{(t+2)(t+5)}$ બને છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{t}{(t+2)(t+5)} = \frac{A}{t+2} + \frac{B}{t+5}$.
$t = A(t+5) + B(t+2)$.
$t = -2$ માટે, $-2 = A(3) \implies A = -2/3$.
$t = -5$ માટે, $-5 = B(-3) \implies B = 5/3$.
તેથી, $\int \frac{x^2 \, dx}{(x^2 + 2)(x^2 + 5)} = \int \left( \frac{-2/3}{x^2 + 2} + \frac{5/3}{x^2 + 5} \right) dx$.
$= -\frac{2}{3} \int \frac{dx}{x^2 + (\sqrt{2})^2} + \frac{5}{3} \int \frac{dx}{x^2 + (\sqrt{5})^2}$.
$\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} + c$.
$= -\frac{\sqrt{2}}{3} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5}}{3} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} + c$.

(C) પગલું $1$: છેદના અવયવ પાડો: $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$।
પગલું $2$: આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરો: $\frac{3x + 7}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$।
પગલું $3$: $A$ અને $B$ માટે ઉકેલો: $3x + 7 = A(x - 1) + B(x - 2)$।
$x = 2$ માટે: $3(2) + 7 = A(2 - 1) \implies A = 13$।
$x = 1$ માટે: $3(1) + 7 = B(1 - 2) \implies 10 = -B \implies B = -10$।
પગલું $4$: સંકલન કરો: $\int (\frac{13}{x - 2} - \frac{10}{x - 1}) dx = 13 \log |x - 2| - 10 \log |x - 1| + c$।
પગલું $5$: $m \log |x - 2| + n \log |x - 1| + c$ સાથે સરખામણી કરતા, આપણને $m = 13$ અને $n = -10$ મળે છે।
પગલું $6$: $m + n = 13 + (-10) = 3$ ની ગણતરી કરો।

(A) સંકલન $I = \int e^{2x} \frac{2(\sin 2x \cos 2x - 1)}{2 \sin^2 2x} dx = \int e^{2x} \frac{\sin 2x \cos 2x - 1}{\sin^2 2x} dx$ છે.
$I = \int e^{2x} (\frac{\sin 2x \cos 2x}{\sin^2 2x} - \frac{1}{\sin^2 2x}) dx = \int e^{2x} (\cot 2x - \csc^2 2x) dx$.
પ્રથમ પદનું ખંડશઃ સંકલન કરતા: $\int e^{2x} \cot 2x dx = \cot 2x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int (-\csc^2 2x \cdot 2) \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + \int e^{2x} \csc^2 2x dx$.
આને પાછું મૂકતા: $I = (\frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + \int e^{2x} \csc^2 2x dx) - \int e^{2x} \csc^2 2x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + c$.
$A e^{2x} \cot 2x + c$ સાથે સરખાવતા, આપણને $A = 1/2$ મળે છે.
તેથી, $A^3 = (1/2)^3 = 1/8$.

(C) પગલું $1$: ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરીને $\int x^2 e^x dx$ ની કિંમત શોધો.
ધારો કે $u = x^2$ અને $dv = e^x dx$ છે. તો $du = 2x dx$ અને $v = e^x$ થશે.
$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$.
પગલું $2$: ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીને $\int 2x e^x dx$ ની કિંમત શોધો.
ધારો કે $u = 2x$ અને $dv = e^x dx$ છે. તો $du = 2 dx$ અને $v = e^x$ થશે.
$\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x$.
પગલું $3$: મૂળ સંકલનમાં કિંમત મૂકો.
$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + c = e^x(x^2 - 2x + 2) + c$.
પગલું $4$: $e^x f(x) + c$ સાથે સરખામણી કરતા $f(x) = x^2 - 2x + 2$ મળે છે.
પગલું $5$: $f(x) = x^2 - 2x + 2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.
$f'(x) = 2x - 2$. $f'(x) = 0$ લેતા $x = 1$ મળે છે.
$f(1) = (1)^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ નું પ્રતિ-વિકલિત $e^x$ છે, તેથી $\int f(x) \, dx = e^x$, જેનો અર્થ છે કે $f(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$।
આપેલ છે કે $g(x)$ નું પ્રતિ-વિકલિત $\cos x$ છે, તેથી $\int g(x) \, dx = \cos x$, જેનો અર્થ છે કે $g(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$।
આપણે $I = \int f(x) \cos x \, dx + \int g(x) e^x \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f(x)$ અને $g(x)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$I = \int e^x \cos x \, dx + \int (-\sin x) e^x \, dx$।
$I = \int e^x \cos x \, dx - \int e^x \sin x \, dx$।
વિકલનના ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx}(e^x \cos x) = e^x \cos x + e^x(-\sin x) = e^x \cos x - e^x \sin x$।
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$e^x \cos x = \int (e^x \cos x - e^x \sin x) \, dx + c$।
$e^x \cos x = \int e^x \cos x \, dx - \int e^x \sin x \, dx + c$।
આમ, $I = e^x \cos x + c$।

(B) આપેલ છે $f(x) = \cos x$, તેથી $f'(x) = -\sin x$ થાય. સંકલન $I = \int \frac{e^{\cos x}(x \sin^3 x + \cos x)}{1 - \cos^2 x} dx$ છે.
કારણ કે $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$, તેથી $I = \int e^{\cos x} \left( \frac{x \sin^3 x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) dx$ મળે.
$I = \int e^{\cos x} (x \sin x + \cot x \text{cosec } x) dx$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(e^{\cos x}(\text{cosec } x + x)) = e^{\cos x}(-\sin x \text{cosec } x - \text{cosec } x \cot x + 1 - x \sin x) = -e^{\cos x}(\text{cosec } x \cot x + x \sin x)$ થાય.
તેથી, $\int e^{\cos x}(x \sin x + \text{cosec } x \cot x) dx = -e^{\cos x}(\text{cosec } x + x) + c$ મળે.

(A) ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = \log x$ અને $dv = x^3 \, dx$.
તેથી $du = \frac{1}{x} \, dx$ અને $v = \frac{x^4}{4}$ થશે.
$\int x^3 \log x \, dx = (\log x) \left( \frac{x^4}{4} \right) - \int \left( \frac{x^4}{4} \right) \left( \frac{1}{x} \right) \, dx$.
$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx$.
$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \left( \frac{x^4}{4} \right) + c$.
$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} + c$.
$= \frac{x^4}{16} [4 \log x - 1] + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \sin(\log x) dx$ છે.
$\log x = t$ આદેશ લેતા, $x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
તેથી $I = \int e^t \sin t dt$ થાય.
ખંડશઃ સંકલન સૂત્ર $\int e^t \sin t dt = \frac{e^t}{1^2 + 1^2} (\sin t - \cos t) + c$ નો ઉપયોગ કરતા.
$I = \frac{e^t}{2} (\sin t - \cos t) + c$ મળે.
$t = \log x$ અને $e^t = x$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \frac{x}{2} [\sin(\log x) - \cos(\log x)] + c$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int (e^{\log(\sin x)} + \cos x) x \, dx$ છે.
કારણ કે $e^{\log(\sin x)} = \sin x$, સંકલન $I = \int (\sin x + \cos x) x \, dx$ થાય છે.
$I = \int x \sin x \, dx + \int x \cos x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલન $\int u v \, dx = u \int v \, dx - \int (u' \int v \, dx) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (1)(-\cos x) \, dx = -x \cos x + \sin x$ માટે.
$\int x \cos x \, dx = x(\sin x) - \int (1)(\sin x) \, dx = x \sin x + \cos x$ માટે.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $I = (-x \cos x + \sin x) + (x \sin x + \cos x) + c$.
$I = x(\sin x - \cos x) + (\sin x + \cos x) + c$.

(A) ખંડશઃ સંકલન $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરીને, ધારો કે $u = x^3$ અને $dv = \cos x \, dx$ છે.
પગલું $1$: $\int x^3 \cos x \, dx = x^3 \sin x - \int 3x^2 \sin x \, dx$.
પગલું $2$: $\int 3x^2 \sin x \, dx$ માટે, ધારો કે $u = 3x^2, dv = \sin x \, dx \implies du = 6x \, dx, v = -\cos x$ છે.
તેથી, $\int 3x^2 \sin x \, dx = -3x^2 \cos x - \int (-6x \cos x) \, dx = -3x^2 \cos x + 6 \int x \cos x \, dx$.
પગલું $3$: $\int x \cos x \, dx$ માટે, ધારો કે $u = x, dv = \cos x \, dx \implies du = dx, v = \sin x$ છે.
તેથી, $\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x$.
પગલું $4$: બધા ભાગોને જોડતા: $x^3 \sin x - (-3x^2 \cos x + 6(x \sin x + \cos x)) + c = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6 \cos x + c$.

(C) ધારો કે $y = f^{-1}(x)$, તો $x = f(y)$ થાય.
બંને બાજુ $y$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા, $dx = f'(y) dy$ મળે.
હવે, $\int f^{-1}(x) dx = \int y f'(y) dy$ થાય.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u dv = uv - \int v du$, જ્યાં $u = y$ અને $dv = f'(y) dy$ છે.
તેથી $du = dy$ અને $v = f(y)$ થાય.
આમ, $\int y f'(y) dy = y f(y) - \int f(y) dy$ થાય.
કારણ કે $\int f(y) dy = g(y) + c$ છે, તેથી આપણને $y f(y) - g(y) + c$ મળે.
$y = f^{-1}(x)$ મૂકતા, આપણને $f^{-1}(x) \cdot f(f^{-1}(x)) - g(f^{-1}(x)) + c$ મળે.
કારણ કે $f(f^{-1}(x)) = x$ છે, તેથી પરિણામ $x f^{-1}(x) - g(f^{-1}(x)) + c$ છે.