MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) શરતી વિધાન $P \to Q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $\sim q \to p$ છે.
અહીં, $P = \sim q$ અને $Q = p$ છે.
પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ થશે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\sim p \to \sim(\sim q)$ મળે છે.
દ્વિ-નિષેધના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim(\sim q) = q$ થાય છે.
તેથી, પ્રતિધનાત્મક $\sim p \to q$ છે.

(C) તાર્કિક વિધાન $\sim p \lor q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ અને $q$ બંને અસત્ય હોય.
જો $\sim p$ અસત્ય હોય, તો $p$ સત્ય $(T)$ હોવું જોઈએ.
જો $q$ અસત્ય હોય, તો $q$ અસત્ય $(F)$ છે.
હવે, $p = T$ અને $q = F$ સાથે વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(A)$ $p \leftrightarrow q$ એ $T \leftrightarrow F$ થશે, જે $F$ છે.
$(B)$ $p \to q$ એ $T \to F$ થશે, જે $F$ છે.
$(C)$ $q \to p$ એ $F \to T$ થશે, જે $T$ છે.
$(D)$ $q \to p$ અસત્ય $(F)$ છે, જે ખોટું છે કારણ કે તે $T$ છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) ધારો કે $\frac{s - a}{11} = \frac{s - b}{12} = \frac{s - c}{13} = k$ છે.
તેથી $s - a = 11k$, $s - b = 12k$, $s - c = 13k$ થાય.
આનો સરવાળો કરતા, $(s - a) + (s - b) + (s - c) = 36k \implies 3s - (a + b + c) = 36k$ મળે.
કારણ કે $a + b + c = 2s$ છે, તેથી $3s - 2s = 36k \implies s = 36k$ થાય.
તેથી $a = s - 11k = 25k$, $b = s - 12k = 24k$, $c = s - 13k = 23k$ થાય.
$\tan^2 \frac{A}{2}$ નું સૂત્ર $\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan^2 \frac{A}{2} = \frac{(12k)(13k)}{(36k)(11k)} = \frac{156k^2}{396k^2} = \frac{156}{396} = \frac{13}{33}$ મળે.
આપેલ છે કે $\lambda \tan^2 \frac{A}{2} = 455$, તેથી $\lambda \left( \frac{13}{33} \right) = 455$ થાય.
$\lambda = \frac{455 \times 33}{13} = 35 \times 33 = 1155$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ છે.
તેમનો ગુણાકાર કરતા, આપણને $\tan(\frac{A}{2}) \tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)(s-a)(s-c)}{s(s-a)s(s-b)}} = \sqrt{\frac{(s-c)^2}{s^2}} = \frac{s-c}{s}$ મળે છે.
આને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા: $1 + \frac{s-c}{s} = \frac{s + s - c}{s} = \frac{2s - c}{s}$.
કારણ કે $2s = a + b + c$, તેથી $\frac{a + b + c - c}{s} = \frac{a + b}{s}$ થાય.
આની સરખામણી $\frac{k}{s}$ સાથે કરતા, આપણને $k = a + b$ મળે છે.

(A) ટેન્જન્ટ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$।
કિંમતો મૂકતા: $a-b = (\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = 2$ અને $a+b = (\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}$।
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{2}{2\sqrt{3}} \cot(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1$।
તેથી, $\frac{A-B}{2} = 45^\circ \implies A-B = 90^\circ$।
કારણ કે $A+B+C = 180^\circ$ અને $C = 60^\circ$, તેથી $A+B = 120^\circ$।
સમીકરણો ઉકેલતા: $A-B = 90^\circ$ અને $A+B = 120^\circ$ થી $2A = 210^\circ \implies A = 105^\circ$ અને $B = 15^\circ$ મળે છે।

(C) પગલું $1$: અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: સૂત્ર $\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} = \sqrt{\frac{(21-14)(21-15)}{14 \times 15}} = \sqrt{\frac{42}{210}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $3$: $\cos(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} = \sqrt{\frac{21 \times 8}{210}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: $\sin A = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}$.
પગલું $5$: સરવાળો = $\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{4}{5} = \frac{\sqrt{5} + 4}{5}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2}$, તેથી $2s = a+b+c$ છે.
આમ, $b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2s - 2a = 2(s-a)$ છે.
$\tan(\frac{A}{2})$ નું સૂત્ર $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $2s \cdot 2(s-a) \cdot \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$.
$= 4s(s-a) \cdot \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s(s-a)}}$.
$= 4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ, $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
તેથી, પદાવલિની કિંમત $4\Delta$ છે.

(C) આપેલ છે $a:b:c = 18:17:7$. ધારો કે $a = 18k, b = 17k, c = 7k$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{18k+17k+7k}{2} = 21k$ છે.
સૂત્ર $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{21k(21k-18k)}{(21k-17k)(21k-7k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 3k}{4k \cdot 14k}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.
$\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}} = \sqrt{\frac{21k(21k-17k)}{(21k-18k)(21k-7k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 4k}{3k \cdot 14k}} = \sqrt{2}$.
$\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{21k(21k-7k)}{(21k-18k)(21k-17k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 14k}{3k \cdot 4k}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$.
ગુણોત્તર $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = \frac{3}{2\sqrt{2}} : \sqrt{2} : \frac{7}{\sqrt{2}} = 3 : 4 : 14$.

(B) પગલું $1$: પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો $\frac{2 \sin A - \sin 2A}{2 \sin A + \sin 2A} = \frac{2 \sin A (1 - \cos A)}{2 \sin A (1 + \cos A)} = \frac{1 - \cos A}{1 + \cos A} = \tan^2(\frac{A}{2})$.
પગલું $2$: અર્ધ-ખૂણાના સૂત્ર $\tan^2(\frac{A}{2}) = \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}$ નો ઉપયોગ કરો, જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$ છે.
પગલું $3$: $s = \frac{2 + 3.5 + 2.5}{2} = 4$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: કિંમતો મૂકતા: $\tan^2(\frac{A}{2}) = \frac{(4 - 3.5)(4 - 2.5)}{4(4 - 2)} = \frac{0.5 \times 1.5}{8} = \frac{3}{32}$.
પગલું $5$: ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{4 \times 2 \times 0.5 \times 1.5} = \sqrt{6}$.
પગલું $6$: વિકલ્પ $(\frac{3}{4\Delta})^2 = \frac{9}{16 \times 6} = \frac{3}{32}$ થાય છે. તેથી સાચો જવાબ $(\frac{3}{4\Delta})^2$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) = 3b^2c^2$ છે.
નિત્યસમ $(a+b+c)(b+c-a) = (b+c)^2 - a^2$ અને $(c+a-b)(a+b-c) = a^2 - (b-c)^2$ નો ઉપયોગ કરતા, ડાબી બાજુ $((b+c)^2 - a^2)(a^2 - (b-c)^2) = 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4$ થાય છે.
આ $16\Delta^2$ બરાબર છે જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
હેરોનના સૂત્ર દ્વારા, $16\Delta^2 = 16s(s-a)(s-b)(s-c) = 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4$ છે.
આપેલ છે કે $16\Delta^2 = 3b^2c^2$, તેથી $2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 3b^2c^2$ છે.
ગોઠવતા, $2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = b^2c^2$ મળે છે.
કોસાઇન નિયમ $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ નો ઉપયોગ કરતા, $a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos A$ છે.
આને સમીકરણમાં મૂકતા $4b^2c^2 \cos^2 A = b^2c^2$ મળે છે, તેથી $\cos^2 A = \frac{1}{4}$ છે.
આમ, $\cos A = \pm \frac{1}{2}$, જે $\angle A = 60^\circ \text{ અથવા } 120^\circ$ આપે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = (b - c)^2 \cos^2 \frac{A}{2} + (b + c)^2 \sin^2 \frac{A}{2}$
અર્ધ-કોણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ અને $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$, જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$ છે.
$E = (b-c)^2 \frac{s(s-a)}{bc} + (b+c)^2 \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$
$E = \frac{1}{bc} [ (b^2 - 2bc + c^2)s(s-a) + (b^2 + 2bc + c^2)(s-b)(s-c) ]$
કારણ કે $s-b = \frac{a-b+c}{2}$ અને $s-c = \frac{a+b-c}{2}$, તેથી $(s-b)(s-c) = \frac{a^2 - (b-c)^2}{4}$ અને $s(s-a) = \frac{(b+c)^2 - a^2}{4}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, પદાવલિનું સાદું રૂપ $a^2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $2a^2 = b^2 + c^2$। કોસાઇનના નિયમ મુજબ, $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$।
$b^2 + c^2 = 2a^2$ મૂકતા, આપણને $\cos A = \frac{2a^2 - a^2}{2bc} = \frac{a^2}{2bc}$ મળે છે.
નિત્યસમ $\cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{\cos 3A}{\cos A} = 4\cos^2 A - 3$ થાય.
તેથી, $\frac{\cos 3A}{\cos A} + 2 = 4\cos^2 A - 3 + 2 = 4\cos^2 A - 1$.
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ મૂકો. કારણ કે $a^2 = \frac{b^2 + c^2}{2}$, $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - (b^2 + c^2)/2}{2bc} = \frac{b^2 + c^2}{4bc}$.
ત્યારે $4\cos^2 A - 1 = 4(\frac{b^2 + c^2}{4bc})^2 - 1 = \frac{(b^2 + c^2)^2}{4b^2c^2} - 1 = \frac{b^4 + c^4 + 2b^2c^2 - 4b^2c^2}{4b^2c^2} = \frac{b^4 + c^4 - 2b^2c^2}{4b^2c^2} = \frac{(b^2 - c^2)^2}{4b^2c^2} = (\frac{b^2 - c^2}{2bc})^2$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$। તેથી, $b \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos B}{2} \right) = \frac{3a}{2}$।
$2$ વડે ગુણતા: $b + b \cos C + c + c \cos B = 3a$।
પ્રક્ષેપના નિયમ (projection rule) મુજબ, $b \cos C + c \cos B = a$।
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $b + c + a = 3a$।
તેથી, $b + c = 2a$।
આ શરત સૂચવે છે કે $b, a, c$ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે.

(B) પગલું $1$: $\cos A$ શોધવા માટે કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરો.
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2(5)(6)} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$।
પગલું $2$: $\cos C$ શોધવા માટે કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરો.
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2(4)(5)} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$।
પગલું $3$: ડબલ એંગલ આઈડેન્ટિટી $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ નો ઉપયોગ કરો.
$\cos 2A = 2(\frac{3}{4})^2 - 1 = 2(\frac{9}{16}) - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}$।
પગલું $4$: કારણ કે $\cos C = \frac{1}{8}$ અને $\cos 2A = \frac{1}{8}$ છે, તેથી આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે $C = 2A$ છે.

(B) $1$. અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21$ ની ગણતરી કરો.
$2$. હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો: $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
$3$. $\sin A$ શોધવા માટે ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2}bc \sin A$ નો ઉપયોગ કરો: $84 = \frac{1}{2} \times 14 \times 15 \times \sin A \implies 84 = 105 \sin A \implies \sin A = \frac{84}{105} = \frac{4}{5}$.
$4$. કારણ કે $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, તેથી $\cos A = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
$5$. તેથી, $\sin A + \cos A = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(a + b + c)(a + b - c) = ab$
આને આ રીતે લખી શકાય: $((a + b) + c)((a + b) - c) = ab$
નિત્યસમ $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $(a + b)^2 - c^2 = ab$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = ab$
પદોને ગોઠવતા: $a^2 + b^2 - c^2 = -ab$
કોસાઇનના નિયમ (Law of Cosines) મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
સૂત્રમાં $a^2 + b^2 - c^2 = -ab$ મૂકતા: $\cos C = \frac{-ab}{2ab} = -\frac{1}{2}$
કારણ કે $\cos C = -\frac{1}{2}$, તેથી ખૂણો $C = \frac{2\pi}{3}$ અથવા $120^\circ$ થાય.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 3$, $b = 5$, અને $c = 7$ છે.
સૌથી મોટો ખૂણો સૌથી લાંબી બાજુની સામે હોય છે, જે $c = 7$ છે. ધારો કે આ ખૂણો $C$ છે.
કોસાઇનના નિયમ (Law of Cosines) નો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)}$.
$\cos C = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{34 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos C = -\frac{1}{2}$, તેથી ખૂણો $C = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

(C) $1$. આપેલ છે $\cos A = \frac{1}{2}$, તેથી $A = 60^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{3}$ છે.
$2$. $\triangle ABC$ માં, $\angle A + \angle B + \angle C = \pi$. તેથી, $\angle C = \pi - (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
$3$. સાઈન નિયમ (Sine Rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$4$. $\frac{3}{\sin(\pi/3)} = \frac{b}{\sin(\pi/6)} = \frac{c}{\sin(\pi/2)}$.
$5$. $\frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{b}{1/2} = \frac{c}{1}$.
$6$. $2\sqrt{3} = 2b = c$. તેથી, $b = \sqrt{3}$ અને $c = 2\sqrt{3}$.

(A) આપેલ છે કે ખૂણા $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, ધારો કે $A = a-d, B = a, C = a+d$ છે.
ચूंकि $A+B+C = \pi$, આપણી પાસે $3a = \pi$ છે, તેથી $a = \frac{\pi}{3}$ છે. આમ, $B = 60^\circ$ છે.
સાઇન નિયમ (Sine Rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, તેથી $b = 2R \sin B$ અને $c = 2R \sin C$ છે.
આપેલ શરત $3c^2 = 2b^2$ છે, જેનો અર્થ છે $3(2R \sin C)^2 = 2(2R \sin B)^2$.
$3 \sin^2 C = 2 \sin^2 60^\circ = 2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$.
$\sin^2 C = \frac{1}{2}$, તેથી $\sin C = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે. આમ, $C = 45^\circ$ અથવા $C = 135^\circ$ છે.
જો $C = 45^\circ$ હોય, તો $A = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ = \frac{5\pi}{12}$ છે.
જો $C = 135^\circ$ હોય, તો $A = 180^\circ - 60^\circ - 135^\circ = -15^\circ$ છે, જે અશક્ય છે.
તેથી, $A = \frac{5\pi}{12}$ છે.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a P_1 = \frac{1}{2} b P_2 = \frac{1}{2} c P_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $P_1 = \frac{2\Delta}{a}, P_2 = \frac{2\Delta}{b}, P_3 = \frac{2\Delta}{c}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{\cos A}{P_1} + \frac{\cos B}{P_2} + \frac{\cos C}{P_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$.
સાઇન નિયમ (sine rule) $a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta} = \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$.
નિત્યસમ $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{R(4 \sin A \sin B \sin C)}{2\Delta}$.
કારણ કે $\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$, તેથી $\sin A \sin B \sin C = \frac{\Delta}{2R^2}$.
આ કિંમત મૂકતા: $= \frac{4R \Delta}{2\Delta (2R^2)} = \frac{4R}{4R^2} = \frac{1}{R}$.

(C) ધારો કે $BD = x$ અને $DC = 3x$, તેથી $BC = 4x$ છે. $\triangle ABC$ માં, સાઈન નિયમ (Sine Rule) મુજબ, $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \implies \frac{AB}{AC} = \frac{\sin(\pi/4)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
$\triangle ABD$ માં, સાઈન નિયમ મુજબ, $\frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AB}{\sin \angle ADB} \implies \sin \angle BAD = \frac{BD \cdot \sin \angle ADB}{AB}$.
$\triangle ACD$ માં, સાઈન નિયમ મુજબ, $\frac{DC}{\sin \angle CAD} = \frac{AC}{\sin \angle ADC} \implies \sin \angle CAD = \frac{DC \cdot \sin \angle ADC}{AC}$.
કારણ કે $\angle ADB + \angle ADC = \pi$, તેથી $\sin \angle ADB = \sin \angle ADC$ થાય. આમ, $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{BD}{AB} \cdot \frac{AC}{DC} = \frac{x}{AB} \cdot \frac{AC}{3x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{AC}{AB}$.
$\frac{AC}{AB} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ મૂકતા, આપણને $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ મળે છે.

(C) સાઇન નિયમ (Sine Rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, તેથી $\sin A = \frac{a}{2R}$ અને $\sin B = \frac{b}{2R}$ મળે છે.
આ કિંમતોને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા: $\cos C = \frac{a/2R}{2(b/2R)} = \frac{a}{2b}$.
કોસાઇન નિયમ (Cosine Rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos C$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{a}{2b}$.
બંને બાજુ $2ab$ વડે ગુણતા: $a^2 + b^2 - c^2 = a^2$.
સાદું રૂપ આપતા $b^2 - c^2 = 0$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $b^2 = c^2$, તેથી $b = c$.

(B) આપેલ છે કે $\cot A, \cot B, \cot C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, તેથી $2 \cot B = \cot A + \cot C$ થાય.
નિત્યસમ $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા, $2 \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{\sin C \cos A + \cos C \sin A}{\sin A \sin C} = \frac{\sin(A+C)}{\sin A \sin C}$ મળે.
કારણ કે $A+B+C = \pi$, તેથી $\sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$ થાય.
આમ, $2 \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin B}{\sin A \sin C}$, જેનો અર્થ છે $2 \cos B \sin A \sin C = \sin^2 B$.
$2 \sin A \sin C = \cos(A-C) - \cos(A+C) = \cos(A-C) + \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા, $\cos B(\cos(A-C) + \cos B) = \sin^2 B = 1 - \cos^2 B$ મળે.
$\cos B \cos(A-C) + \cos^2 B = 1 - \cos^2 B \implies \cos B \cos(A-C) = 1 - 2 \cos^2 B = -\cos(2B) = \cos(2(A+C))$ થાય.
સાઇનના નિયમ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ છે.
આને સમાંતર શ્રેણીની શરતમાં મૂકતા: $\frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta} = 2 \frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}$.
$2b^2 = a^2+c^2$, જેનો અર્થ છે કે $a^2, b^2, c^2$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(D) ધારો કે ખૂણાઓ $A-d, A, A+d$ છે. ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી, $(A-d) + A + (A+d) = 180^\circ \implies 3A = 180^\circ \implies A = 60^\circ$।
Sine Rule નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
$A, B, C$ એ $A$.$P$. માં હોવાથી, $2B = A+C$ અને $A+B+C = 180^\circ$, તેથી $B = 60^\circ$।
$B=60^\circ$ અને $b:c = \sqrt{3}:\sqrt{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\angle A = 75^\circ$ મળે છે।

(A) પગલું $1$: કૌંસની અંદરના પદને સરળ બનાવો. પદ $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$ એ $p \oplus q$ (exclusive $OR$) ની વ્યાખ્યા છે.
પગલું $2$: આને મૂળ પદમાં મૂકતા: $(p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$ મળે.
પગલું $3$: $\sim q$ સાથેના સંયોજનનું મૂલ્યાંકન કરો. જો $\sim q$ સત્ય હોય, તો $q$ અસત્ય હોવું જોઈએ. $q = F$ મૂકતા: $(p \lor F) \land [(\sim p \land F) \lor (p \land \sim F)] \land \sim F$ મળે.
પગલું $4$: સરળ બનાવતા: $p \land [F \lor (p \land T)] \land T = p \land p \land T = p$ મળે.
પગલું $5$: સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરતા, તે $p \land \sim q$ ને સમકક્ષ છે.

(A) આપેલ પરિપથ સમાંતર ક્રમમાં બે સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ ધરાવે છે. ધારો કે $p$ એ વિધાન છે કે સ્વિચ $S_1$ બંધ છે અને $q$ એ વિધાન છે કે સ્વિચ $S_2$ બંધ છે.
સ્વિચ સમાંતરમાં હોવાથી, પરિપથ માટેનું તાર્કિક પદ $(p \lor q)$ છે.
આપણે વિકલ્પોમાંથી સમાન પદ શોધવાની જરૂર છે.
ચાલો વિકલ્પોને સરળ બનાવીએ:
$(A)$ $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p \equiv [(\sim p \lor q) \land \sim q] \to \sim p \equiv [(\sim p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)] \to \sim p \equiv [(\sim p \land \sim q) \lor F] \to \sim p \equiv (\sim p \land \sim q) \to \sim p \equiv \sim(\sim p \land \sim q) \lor \sim p \equiv (p \lor q) \lor \sim p \equiv (p \lor \sim p) \lor q \equiv T \lor q \equiv T$.
$(B)$ $(p \to q) \land (p \land \sim q) \equiv (\sim p \lor q) \land (p \land \sim q) \equiv (\sim p \land p \land \sim q) \lor (q \land p \land \sim q) \equiv (F \land \sim q) \lor (p \land F) \equiv F \lor F \equiv F$.
$(C)$ $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p) \land \sim q \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$.
$(D)$ પદમાં $r$ નો સમાવેશ થાય છે, જે પરિપથમાં નથી.
નોંધ: પ્રશ્ન માટે આપેલી આકૃતિ સમાંતરમાં બે સ્વિચ દર્શાવે છે, જે $(p \lor q)$ ને અનુરૂપ છે. જો પ્રશ્નનો અર્થ એવો હોય કે જે ચોક્કસ તાર્કિક સ્વરૂપમાં સરળ બને તેવો પરિપથ શોધવો, તો આપેલા વિકલ્પો સીધા $(p \lor q)$ સાથે મેળ ખાતા નથી.

(C) પગલું $1$: $\sim p \to q$ અસત્ય છે તેનું વિશ્લેષણ કરો. એક શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય. તેથી, $\sim p = T$ (જેનો અર્થ છે $p = F$) અને $q = F$ છે.
પગલું $2$: $q \leftrightarrow r$ અસત્ય છે તેનું વિશ્લેષણ કરો. એક દ્વિ-શરતી વિધાન $A \leftrightarrow B$ ત્યારે અસત્ય હોય છે જ્યારે $A$ અને $B$ ના સત્યતા મૂલ્યો અલગ હોય. કારણ કે $q = F$ છે, તેથી $r$ નું $T$ હોવું જરૂરી છે.
પગલું $3$: આને જોડતા, આપણને $p = F$, $q = F$, અને $r = T$ મળે છે. સત્યતા મૂલ્ય $(F, F, T)$ છે.

(C) આપેલ સત્ય મૂલ્યો: $p = T, q = F, r = T$ છે.
$(A)$ $[q \land (p \to q)] \to p = [F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$.
$(B)$ $(p \land q) \to (q \lor \sim p) = (T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$.
$(C)$ $[(\sim p \lor q) \land \sim r] \leftrightarrow p = [(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$.
$(D)$ $(p \land q) \lor (\sim q \lor r) = (T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$.
વિકલ્પ $(C)$ નું પરિણામ $F$ હોવાથી, તે સત્ય વિધાન નથી.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
$1$. ધારો કે $A = (p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)$ સત્ય છે અને $B = (p \land q)$ અસત્ય છે.
$2$. $A$ સત્ય હોવા માટે, $(p \lor q)$, $(q \to r)$, અને $(\sim r)$ ત્રણેય સત્ય હોવા જોઈએ.
$3$. કારણ કે $(\sim r)$ સત્ય છે, $r$ અસત્ય છે.
$4$. કારણ કે $(q \to r)$ સત્ય છે અને $r$ અસત્ય છે, $q$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
$5$. કારણ કે $(p \lor q)$ સત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે, $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
$6$. $B = (p \land q) = (T \land F) = False$ ચકાસો. આ આપણી શરત સાથે મેળ ખાય છે.
$7$. વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(a)$ $p \to q = T \to F = False$ (સત્ય વિધાન)
$(b)$ $p \to r = T \to F = False$ (સત્ય વિધાન)
$(c)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = True$ (આ સત્ય નથી કારણ કે તે સત્ય છે)
$(d)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = False$ (સત્ય વિધાન)
તેથી, વિકલ્પ $(c)$ સાચો જવાબ છે.

(C) પગલું $1$: આપેલ વિધાન $S = \sim p \lor \sim q$ છે.
પગલું $2$: વિધાન $A \lor B$ નો પ્રતિલોમ $\sim A \lor \sim B$ થાય છે. તેથી $\sim p \lor \sim q$ નો પ્રતિલોમ $\sim(\sim p) \lor \sim(\sim q)$ થશે, જે સાદું રૂપ આપતા $p \lor q$ મળે છે.
પગલું $3$: પ્રતિલોમ $p \lor q$ નું નિષેધ $\sim(p \lor q)$ છે.
પગલું $4$: ડી મોર્ગનના નિયમ (De Morgan's Law) મુજબ, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$ થાય છે.

(B) પગલું $1$: વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ કરો. 'જો $1$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (સત્ય), તો $2$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (અસત્ય)'. શરતી વિધાન $P \implies Q$ અસત્ય હોય છે જો $P$ સત્ય હોય અને $Q$ અસત્ય હોય. તેથી, $I$ અસત્ય છે.
પગલું $2$: વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$e$ એક સ્વર છે (સત્ય) અને $12 \times 3 = 36$ (સત્ય)'. બંને ભાગ સત્ય હોવાથી, સંયોજન સત્ય છે.
પગલું $3$: વિધાન $III$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$14$ વિભાજ્ય સંખ્યા છે (સત્ય) અને $3$ બેકી સંખ્યા છે (અસત્ય)'. સંયોજન 'સત્ય અને અસત્ય' અસત્ય છે. વિધાન કહે છે 'તે સત્ય નથી કે (અસત્ય)', જે આખા વિધાનને સત્ય બનાવે છે.
પગલું $4$: વિધાન $IV$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે (સત્ય), પરંતુ $3 + \sqrt{5}$ એક સંકર સંખ્યા છે (સત્ય)'. બંને ભાગ સત્ય હોવાથી, વિધાન સત્ય છે.
પગલું $5$: નિષ્કર્ષ. માત્ર વિધાન $I$ અસત્ય છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $1$. વિધાન $p$ નું વિશ્લેષણ: $3^4 = 81$ અને $4^3 = 64$ છે. કારણ કે $81 > 64$, પૂર્વવર્તી સત્ય છે. $3^3 = 27$ અને $4^4 = 256$ છે. કારણ કે $27 > 256$ અસત્ય છે, તેથી ગર્ભિતાર્થ $T \implies F$ અસત્ય છે. આમ, $p$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
$2$. વિધાન $q$ નું વિશ્લેષણ: સમીકરણ $x^2 - 2x + 2 = 0$ નો વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ છે. કારણ કે $D < 0$, બીજ વાસ્તવિક નથી. 'મુંબઈ મહારાષ્ટ્રમાં છે' વિધાન સત્ય છે. દ્વિ-શરતી વિધાન $F \iff T$ અસત્ય છે. આમ, $q$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
$3$. વિધાન $r$ નું વિશ્લેષણ: $r$ એ $p \lor \neg q$ છે. કારણ કે $p$ અસત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે, તેથી $\neg q$ સત્ય છે. આમ, $r = F \lor T = T$ છે.
$4$. વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન:
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$
તેથી, વિકલ્પ $(D)$ સત્ય છે.

(D) શરતી વિધાન $P \to Q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $\sim q \to p$ છે, જ્યાં $P = \sim q$ અને $Q = p$ છે.
તેનું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ થશે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\sim p \to \sim(\sim q)$ મળે છે.
કારણ કે $\sim(\sim q) = q$ થાય છે, તેથી પ્રતિધનાત્મક $\sim p \to q$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ $\sim p \to q$ સાથે મેળ ખાતું નથી.

(C) તાર્કિક વિધાન $\sim p \lor q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ અને $q$ બંને અસત્ય હોય.
કારણ કે $\sim p$ અસત્ય છે, તેથી $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
કારણ કે $q$ અસત્ય છે, તેથી આપણી પાસે $p = T$ અને $q = F$ છે.
હવે, વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(A)$ $p \leftrightarrow q$ એ $T \leftrightarrow F$ છે, જે $F$ છે.
$(B)$ $p \to q$ એ $T \to F$ છે, જે $F$ છે.
$(C)$ $q \to p$ એ $F \to T$ છે, જે $T$ છે.
$(D)$ $q \to p$ એ $F \to T$ છે, જે $T$ છે ($F$ નથી).
તેથી, સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(C) પગલું $1$: તાર્કિક સમકક્ષતા $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $2$: આને આપેલ પદાવલિ $(p \lor q) \to \sim r$ પર લાગુ કરો, જ્યાં $A = (p \lor q)$ અને $B = \sim r$ છે.
પગલું $3$: પદાવલિ $\sim (p \lor q) \lor \sim r$ બને છે.
પગલું $4$: ડી મોર્ગનનો નિયમ, $\sim (p \lor q) \equiv (\sim p \land \sim q)$ લાગુ કરો.
પગલું $5$: આને પાછું મૂકતા, આપણને $(\sim p \land \sim q) \lor \sim r$ મળે છે.

(C) $1$. એક શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ $False$ હોય જ્યારે $A$ એ $True$ હોય અને $B$ એ $False$ હોય.
$2$. અહીં, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ અને $B = (p \land q)$ છે.
$3$. કારણ કે $B = (p \land q)$ એ $False$ છે, તેથી $p \land q = F$ છે.
$4$. કારણ કે $A$ એ $True$ છે, તેથી બધા ઘટકો $True$ હોવા જોઈએ: $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $(\sim r) = T$.
$5$. $(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
$6$. $(q \to r) = T$ માં $r = F$ મૂકતા, આપણને $(q \to F) = T$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $q = F$.
$7$. $(p \lor q) = T$ માં $q = F$ મૂકતા, આપણને $(p \lor F) = T$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $p = T$.
$8$. હવે, $p \land q = T \land F = F$ તપાસો, જે આપણી શરત સાથે મેળ ખાય છે.
$9$. અંતે, $p \to q = T \to F = F$ અને $q \to p = F \to T = T$ છે.
$10$. આમ, સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(A) પગલું $1$: વિધાન $r$ નું વિશ્લેષણ કરો.
$p \to q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $p=T$ અને $q=F$ હોય. આ કિસ્સામાં, $p \lor q = T \lor F = T$ થાય છે. વિધાન દાવો કરે છે કે $p \lor q$ અસત્ય છે, તેથી $r$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $2$: વિધાન $s$ નું વિશ્લેષણ કરો.
$p \leftrightarrow q$ ત્યારે અસત્ય હોય જ્યારે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોય (એટલે કે $(T, F)$ અથવા $(F, T)$).
જો $(p, q) = (T, F)$ હોય, તો $p \lor q = T$ થાય. જો $(p, q) = (F, T)$ હોય, તો $p \lor q = T$ થાય. બંને કિસ્સામાં, $p \lor q$ સત્ય છે. વિધાન દાવો કરે છે કે $p \lor q$ અસત્ય છે, તેથી $s$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $3$: $r \to s$ અને $s \to r$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$r = F$ અને $s = F$ હોવાથી, ગર્ભિતાર્થ $F \to F$ નું મૂલ્ય $T$ થાય છે.
આમ, $r \to s = T$ અને $s \to r = T$ છે.

(B) પગલું $1$: ગણ $A$ આ મુજબ આપેલ છે $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
પગલું $2$: દરેક વિકલ્પ તપાસો:
$(A)$ $3 \in A$: $3$ એ ગણ $A$ નો સભ્ય છે, તેથી આ સત્ય છે.
$(B)$ $7 \in A$: $7$ એ ગણ $A$ નો સભ્ય નથી, તેથી આ અસત્ય છે.
$(C)$ $5 \in A$: $5$ એ ગણ $A$ નો સભ્ય છે, તેથી આ સત્ય છે.
$(D)$ $1 \in A$: $1$ એ ગણ $A$ નો સભ્ય છે, તેથી આ સત્ય છે.
પગલું $3$: તેથી, જે વિધાન સત્ય નથી તે $7 \in A$ છે.

(B) શરતી વિધાન $P \to Q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $P, T$ હોય અને $Q, F$ હોય.
અહીં, $P = (p \land q)$ અને $Q = (r \lor \sim s)$ છે.
$(p \land q) \to (r \lor \sim s)$ અસત્ય હોવા માટે, $(p \land q)$ એ $T$ હોવું જોઈએ અને $(r \lor \sim s)$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
$(p \land q)$ એ $T$ હોવા માટે, $p$ અને $q$ બંને $T$ હોવા જોઈએ.
$(r \lor \sim s)$ એ $F$ હોવા માટે, $r$ અને $\sim s$ બંને $F$ હોવા જોઈએ.
જો $\sim s$ એ $F$ હોય, તો $s$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
આમ, $p = T, q = T, r = F, s = T$.

(B) પગલું $1$: $A$ નું વિશ્લેષણ: $(q \to p) \lor (p \to q) \equiv (\sim q \lor p) \lor (\sim p \lor q) \equiv (p \lor \sim p) \lor (q \lor \sim q) \equiv T \lor T \equiv T$। તેથી, $A$ એ નિત્યસત્ય છે.
પગલું $2$: $B$ નું વિશ્લેષણ: $(\sim p \lor \sim q) \leftrightarrow \sim (p \land q)$। ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim (p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$। તેથી, $B$ એ $X \leftrightarrow X$ છે, જે નિત્યસત્ય છે.
પગલું $3$: $C$ નું વિશ્લેષણ: $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p \land \sim q) \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$। તેથી, $C$ એ વિરોધાભાસ છે.
પગલું $4$: $D$ નું વિશ્લેષણ: $(p \land q) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv (p \land q) \land \sim (p \land q) \equiv F$। તેથી, $D$ એ વિરોધાભાસ છે.
નિષ્કર્ષ: $A$ અને $B$ નિત્યસત્ય છે, $C$ અને $D$ વિરોધાભાસ છે.

(D) દ્વિ-શરતી વિધાન માટે તાર્કિક સમાનતા $(p \leftrightarrow q) \equiv (p \to q) \land (q \to p)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sim (p \leftrightarrow q)$ એ $p \leftrightarrow \sim q$ અથવા $\sim p \leftrightarrow q$ ને સમાન છે.
ચાલો $\sim (p \leftrightarrow q)$ માટે સત્યતા કોષ્ટક ચકાસીએ:
જો $p=T, q=T$, તો $\sim (T \leftrightarrow T) = \sim (T) = F$ થાય.
જો $p=T, q=F$, તો $\sim (T \leftrightarrow F) = \sim (F) = T$ થાય.
જો $p=F, q=T$, તો $\sim (F \leftrightarrow T) = \sim (F) = T$ થાય.
જો $p=F, q=F$, તો $\sim (F \leftrightarrow F) = \sim (T) = F$ થાય.
હવે વિકલ્પ $(D)$ ચકાસો: $p \leftrightarrow \sim q$.
જો $p=T, q=T$, તો $T \leftrightarrow F = F$ થાય.
જો $p=T, q=F$, તો $T \leftrightarrow T = T$ થાય.
જો $p=F, q=T$, તો $F \leftrightarrow F = T$ થાય.
જો $p=F, q=F$, તો $F \leftrightarrow T = F$ થાય.
સત્યતા મૂલ્યો સમાન હોવાથી, $\sim (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$ થાય છે.

(A) શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
અહીં, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ અને $B = (p \land q)$ છે.
કારણ કે $B = (p \land q)$ અસત્ય છે, $p$ અથવા $q$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અસત્ય હોવું જોઈએ.
કારણ કે $A$ સત્ય છે, બધા ઘટકો $(p \lor q)$, $(q \to r)$, અને $(\sim r)$ સત્ય હોવા જોઈએ.
$(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
$r = F$ ને $(q \to r) = T$ માં મૂકતા, તે $(q \to F) = T$ બને છે. આનો અર્થ છે $q = F$.
હવે $q = F$ ને $(p \lor q) = T$ માં મૂકતા, તે $(p \lor F) = T$ બને છે. આનો અર્થ છે $p = T$.
સુસંગતતા તપાસો: $p=T, q=F, r=F$। $B = (T \land F) = F$ (સાચું)।
હવે સત્યતા મૂલ્યોની ગણતરી કરો:
$p \to q = T \to F = F$।
$q \to p = F \to T = T$।
આમ, સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(B) આપેલ છે: $p = T, q = F, r = F$.
પગલું $1$: વિધાન $S = [\sim (p \land \sim q) \lor (q \lor \sim r)]$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$\sim q = T$, તેથી $(p \land \sim q) = (T \land T) = T$. આમ, $\sim (p \land \sim q) = F$.
$\sim r = T$, તેથી $(q \lor \sim r) = (F \lor T) = T$.
$S = (F \lor T) = T$.
પગલું $2$: દ્વૈત $S^*$ શોધો. $\land$ ને $\lor$ વડે, $\lor$ ને $\land$ વડે, $T$ ને $F$ વડે, અને $F$ ને $T$ વડે બદલો.
$S^* = [\sim (p \lor \sim q) \land (q \land \sim r)]$.
પગલું $3$: $S^*$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$(p \lor \sim q) = (T \lor T) = T$. આમ, $\sim (p \lor \sim q) = F$.
$(q \land \sim r) = (F \land T) = F$.
$S^* = (F \land F) = F$.
સત્યતા મૂલ્યો $T$ અને $F$ છે.

(B) ધારો કે વિધાન $S: p \to (q \to r)$ છે.
$1$. $S$ નું પ્રતિલોમ $\sim p \to \sim (q \to r)$ છે.
$2$. પ્રતિલોમનું વ્યસ્ત $\sim (q \to r) \to \sim p$ છે.
$3$. કારણ કે $\sim (q \to r) \equiv q \land \sim r$, વિધાન $(q \land \sim r) \to \sim p$ બને છે.
$4$. $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\sim (q \land \sim r) \lor \sim p \equiv (\sim q \lor r) \lor \sim p$ મળે છે.
$5$. વિધાનનું દ્વૈત $\land$ ને $\lor$ સાથે, $\lor$ ને $\land$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલીને મેળવવામાં આવે છે. $(\sim q \lor r) \lor \sim p$ નું દ્વૈત $(\sim q \land r) \land \sim p$ છે.
$6$. વિકલ્પો તપાસતા, આપણે પ્રતિલોમના વ્યસ્તના દ્વૈતનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ: $p \to (q \to r)$ ના પ્રતિલોમનું વ્યસ્ત $(q \to r) \to p$ છે. $(q \to r) \to p$ નું દ્વૈત $(\sim q \lor r) \lor p$ છે, જે $p \lor (r \to q)$ છે.

(A) ધારો કે $p$ એ વિધાન "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે" છે અને $q$ એ વિધાન "તે $3$ નો ગુણક છે" છે.
આપેલ વિધાન "જો $p$, તો $q$" સ્વરૂપમાં છે, જેને $p \implies q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$p \implies q$ નું નિષેધ $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ છે.
અહીં, $p \land \sim q$ નો અર્થ છે "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે અને તે $3$ નો ગુણક નથી".
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા, વિકલ્પ $(A)$ અને $(D)$ સમાન તાર્કિક વિધાન દર્શાવે છે. વિકલ્પ $(A)$ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ હોવાથી, તે સાચો વિકલ્પ છે.

(C) પગલું $1$: વિધાન પેટર્નનું દ્વૈત શોધવા માટે, $\land$ ને $\lor$ વડે, $\lor$ ને $\land$ વડે, $T$ ને $F$ વડે અને $F$ ને $T$ વડે બદલો. નોંધો કે $\to$ એ મૂળભૂત સંયોજક નથી, તેથી આપણે પહેલા વિધાનને $\land, \lor, \sim$ નો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખીએ છીએ.
પગલું $2$: વિધાન $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ છે. કારણ કે $A \to B \equiv \sim A \lor B$, વિધાન $\sim (p \land \sim q) \lor (q \land \sim p)$ બને છે.
પગલું $3$: ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા, $\sim (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor q$ મળે. તેથી વિધાન $(\sim p \lor q) \lor (q \land \sim p)$ છે.
પગલું $4$: $(\sim p \lor q) \lor (q \land \sim p)$ નું દ્વૈત $(\sim p \land q) \land (q \lor \sim p)$ છે.
પગલું $5$: આ $(\sim p \land q) \land (\sim p \lor q)$ માં સરળ બને છે. આ $\sim p \land q$ ના સમકક્ષ છે, જે $\sim (p \lor \sim q)$ છે.
પગલું $6$: વિકલ્પો તપાસતા, મૂળ અભિવ્યક્તિ $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ નું દ્વૈત $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ છે ($\to$ ને $\lor$ વડે અને $\land$ ને $\lor$ વડે બદલીને).
પગલું $7$: સાચું દ્વૈત $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ છે, જે $(\sim p \to q) \land (q \to p)$ ના સમકક્ષ છે.

(B) ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ સ્વિચ છે. આપેલ સર્કિટ ત્રણ સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે. સ્વિચિંગ ફંક્શન $f$ નીચે મુજબ છે:
$f = (S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_2') \lor (S_1' \land S_2)$
વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $f = (S_1 \land (S_2 \lor S_2')) \lor (S_1' \land S_2)$
કારણ કે $(S_2 \lor S_2') = 1$ (પુનરુક્તિ), આપણી પાસે છે:
$f = (S_1 \land 1) \lor (S_1' \land S_2)$
$f = S_1 \lor (S_1' \land S_2)$
ફરીથી વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $f = (S_1 \lor S_1') \land (S_1 \lor S_2)$
કારણ કે $(S_1 \lor S_1') = 1$, આપણી પાસે છે:
$f = 1 \land (S_1 \lor S_2) = S_1 \lor S_2$
આ બે સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ ના સમાંતર જોડાણ વાળા સર્કિટને અનુરૂપ છે. આ વિકલ્પ $(B)$ માં દર્શાવેલ સર્કિટ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) પગલું $1$: ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
પગલું $2$: અહીં, $A = [(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r]$ અને $B = (p \land \sim q)$ છે. કારણ કે $B$ અસત્ય છે, $(p \land \sim q)$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
પગલું $3$: કારણ કે $A$ સત્ય છે, $(p \leftrightarrow q)$ સત્ય છે, $(q \to r)$ સત્ય છે, અને $\sim r$ સત્ય છે. તેથી, $r$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
પગલું $4$: કારણ કે $(q \to r)$ સત્ય છે અને $r$ અસત્ય છે, તો $q$ અસત્ય હોવું જોઈએ (કારણ કે $T \to F$ અસત્ય છે).
પગલું $5$: કારણ કે $(p \leftrightarrow q)$ સત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે, તો $p$ પણ અસત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $6$: સુસંગતતા તપાસો: $p=F, q=F, r=F$. તો $p \land \sim q = F \land T = F$. આ $B$ ના અસત્ય હોવા સાથે મેળ ખાય છે.
પગલું $7$: $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r)$ નું મૂલ્યાંકન: $(F \to F) \leftrightarrow (F \to F) = T \leftrightarrow T = T$.
પગલું $8$: $\sim (p \lor r) \to (q \land p)$ નું મૂલ્યાંકન: $\sim (F \lor F) \to (F \land F) = \sim F \to F = T \to F = F$.
પગલું $9$: સત્યતા મૂલ્યો $(T, F)$ છે.

(A) ધારો કે $S$ એ વિધાન $(p \lor \sim q) \to (p \land \sim q)$ છે.
$1$. $A \to B$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ છે.
$2$. $S$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim (p \land \sim q) \to \sim (p \lor \sim q)$ છે.
$3$. ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા, આ $(\sim p \lor q) \to (\sim p \land q)$ થાય છે.
$4$. $P \to Q$ નું નિષેધ $P \land \sim Q$ છે.
$5$. પ્રતિધનાત્મકનું નિષેધ $(\sim p \lor q) \land \sim (\sim p \land q)$ છે.
$6$. ડી મોર્ગનનો નિયમ ફરીથી લાગુ કરતા, $\sim (\sim p \land q) = (p \lor \sim q)$ મળે છે.
$7$. આમ, પરિણામ $(\sim p \lor q) \land (p \lor \sim q)$ છે.

(C) પગલું $1$: આપેલ અસત્ય ગર્ભિતાર્થ $p \to (q \lor \sim r) \equiv F$ નું વિશ્લેષણ કરો. ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A, T$ હોય અને $B, F$ હોય.
પગલું $2$: આમ, $p = T$ અને $(q \lor \sim r) = F$ છે.
પગલું $3$: $(q \lor \sim r)$ ને $F$ થવા માટે, $q = F$ અને $\sim r = F$ બંને હોવા જોઈએ. તેથી, $q = F$ અને $r = T$ છે.
પગલું $4$: $(p \leftrightarrow q) \land r$ નું મૂલ્યાંકન કરો. કિંમતો મૂકતા: $(T \leftrightarrow F) \land T \equiv F \land T \equiv F$.
પગલું $5$: $\sim p \to \sim q$ નું મૂલ્યાંકન કરો. કિંમતો મૂકતા: $\sim T \to \sim F \equiv F \to T \equiv T$.
પગલું $6$: સત્ય મૂલ્યો $F, T$ છે.

(D) આપેલ છે કે $s \propto v^2$, આપણે લખી શકીએ $s = kv^2$, જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ માટે ફરીથી ગોઠવતા, $v^2 = s/k$, જેનો અર્થ છે $v = \frac{1}{\sqrt{k}} s^{1/2}$.
પ્રવેગ $a$ એ $a = v \frac{dv}{ds}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = \frac{1}{\sqrt{k}} s^{1/2}$ નું $s$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dv}{ds} = \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{1}{2} s^{-1/2}$ મળે છે.
આ કિંમતોને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a = (\frac{1}{\sqrt{k}} s^{1/2}) \cdot (\frac{1}{2\sqrt{k}} s^{-1/2})$.
સાદું રૂપ આપતા, $a = \frac{1}{2k} \cdot s^{1/2 - 1/2} = \frac{1}{2k}$.
કારણ કે $k$ એક અચળાંક છે, તેથી $a$ એક અચળ મૂલ્ય છે.

(A) જ્યારે ઊંચાઈ $s(t) = 0$ હોય ત્યારે કણ જમીન સાથે અથડાય છે.
$128t - 16t^2 = 0 \implies 16t(8 - t) = 0$.
$t > 0$ હોવાથી, કણ $t = 8 \text{ s}$ પર જમીન સાથે અથડાય છે.
વેગ $v(t)$ એ સ્થાન વિધેય $s(t)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે: $v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(128t - 16t^2) = 128 - 32t$.
વેગના સમીકરણમાં $t = 8$ મૂકતા: $v(8) = 128 - 32(8) = 128 - 256 = -128 \text{ ft/sec}$.

(D) ધારો કે ગોળાકાર ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
પૃષ્ઠફળ $S = 4\pi r^2$, તેથી $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt} = 5$ થાય.
ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, તેથી $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = 10$ થાય.
ઘનફળના વધવાના દરના સમીકરણને પૃષ્ઠફળના વધવાના દરના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{4\pi r^2 \frac{dr}{dt}}{8\pi r \frac{dr}{dt}} = \frac{10}{5}$।
$\frac{r}{2} = 2$।
$r = 4 \text{ cm}$।

(A) ધારો કે બરફના પડની જાડાઈ $x$ છે. બરફ સાથે દડાની કુલ ત્રિજ્યા $R = 10 + x$ છે.
બરફના પડનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi(10+x)^3 - \frac{4}{3}\pi(10)^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $\frac{dV}{dt} = 4\pi(10+x)^2 \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$ (કારણ કે તે ઓગળે છે) અને $x = 5 \text{ cm}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $-50 = 4\pi(10+5)^2 \frac{dx}{dt}$।
$-50 = 4\pi(15)^2 \frac{dx}{dt} \implies -50 = 4\pi(225) \frac{dx}{dt}$।
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt} \implies \frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \text{ cm/min}$।
આમ, જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18\pi} \text{ cm/min}$ છે.

(A) ધારો કે $x$ એ સમક્ષિતિજ અંતર છે અને $z$ એ અવલોકનકારથી વિમાનનું સીધું અંતર છે.
આપેલ ઊંચાઈ $h = 1 \text{ km}$ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ, $z^2 = x^2 + h^2$, તેથી $z^2 = x^2 + 1^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2z \frac{dz}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} \implies z \frac{dz}{dt} = x \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે $z = 1250 \text{ m} = 1.25 \text{ km}$ અને $\frac{dx}{dt} = 600 \text{ km/hr}$.
જ્યારે $z = 1.25 \text{ km}$ હોય ત્યારે $x$ ની કિંમત શોધો: $x = \sqrt{z^2 - 1^2} = \sqrt{1.25^2 - 1^2} = \sqrt{1.5625 - 1} = \sqrt{0.5625} = 0.75 \text{ km}$.
વિકલન સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $1.25 \frac{dz}{dt} = 0.75 \times 600$.
$\frac{dz}{dt} = \frac{450}{1.25} = 360 \text{ km/hr}$.

(C) પગલું $1$: $x = 1$ આગળ $y$-યામ શોધો. $y = 3(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$। સ્પર્શ બિંદુ $(1, 1)$ છે.
પગલું $2$: $x$ ની સાપેક્ષે $y$ નું વિકલન કરીને સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો. $\frac{dy}{dx} = 9x^2 - 6x + 1$।
પગલું $3$: $x = 1$ આગળ ઢાળ $m$ ની કિંમત શોધો. $m = 9(1)^2 - 6(1) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4$।
પગલું $4$: સમીકરણ શોધવા માટે બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરો. $y - 1 = 4(x - 1)$।
પગલું $5$: સમીકરણનું સાદું રૂપ આપો. $y - 1 = 4x - 4 \implies 4x - y - 3 = 0$।

(D) જ્યારે સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \infty$ હોય ત્યારે તે શિરોલંબ હોય છે, જે $\frac{dx}{dy} = 0$ ને સમાન છે.
સમીકરણ $y^2 - xy + 9 = 0$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dy}(y^2) - \frac{d}{dy}(xy) + \frac{d}{dy}(9) = 0$
$2y - (x \cdot 1 + y \cdot \frac{dx}{dy}) = 0$
શિરોલંબ સ્પર્શક માટે, $\frac{dx}{dy} = 0$ મૂકતા:
$2y - x = 0 \implies x = 2y$
$x = 2y$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 - (2y)y + 9 = 0$
$y^2 - 2y^2 + 9 = 0$
$-y^2 + 9 = 0$
$y^2 = 9$
$y = \pm 3$.

(A) વક્ર $xy + 7 = 0$ આપેલ છે, તેથી $y = -\frac{7}{x}$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $\frac{dy}{dx} = \frac{7}{x^2}$ મળે.
કોઈપણ બિંદુ $(x_0, y_0)$ પર સ્પર્શકની ઢાળ $m_t = \frac{7}{x_0^2}$ છે.
અભિલંબની ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{x_0^2}{7}$ છે.
$(x_0, y_0)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_0 = -\frac{x_0^2}{7}(x - x_0)$ છે.
$7$ વડે ગુણતા, $7y - 7y_0 = -x_0^2 x + x_0^3$ મળે.
પદોને ગોઠવતા: $x_0^2 x + 7y - (7y_0 + x_0^3) = 0$ મળે.
આને $Ax + By + C = 0$ સાથે સરખાવતા, $A = x_0^2$ અને $B = 7$ મળે છે.
કોઈપણ $x_0 \neq 0$ માટે $x_0^2 > 0$ અને $7 > 0$ હોવાથી, $A$ અને $B$ બંને સમાન ચિહ્ન (ધન) ધરાવે છે.
તેથી, $A > 0$ અને $B > 0$ છે.

(C) $2y^3 = x^3 + ax^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $6y^2 \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2ax$ મળે.
બિંદુ $(a, a)$ આગળ, ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{3a^2 + 2a^2}{6a^2} = \frac{5a^2}{6a^2} = \frac{5}{6}$ થાય.
$(a, a)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - a = \frac{5}{6}(x - a)$ છે.
$6$ વડે ગુણતા, $6y - 6a = 5x - 5a$, જેનું સાદું રૂપ $5x - 6y = -a$ થાય.
અંતઃખંડ શોધવા માટે, સમીકરણને $\frac{x}{-a/5} + \frac{y}{a/6} = 1$ સ્વરૂપમાં લખો.
આમ, અંતઃખંડ $\alpha = -a/5$ અને $\beta = a/6$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha^2 + \beta^2 = 61$, તેથી $\frac{a^2}{25} + \frac{a^2}{36} = 61$ થાય.
$\frac{36a^2 + 25a^2}{900} = 61 \implies \frac{61a^2}{900} = 61$ મળે.
$a^2 = 900 \implies a = \pm 30$ થાય.

(D) આપેલ રેખા $2x - 2y = 3$ છે, જેને $y = x - 1.5$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m = 1$ છે.
અભિલંબ આ રેખાને સમાંતર હોવાથી, અભિલંબનો ઢાળ $m_n = 1$ થાય.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -1 / m_n = -1 / 1 = -1$ થશે.
વક્ર $y = x \log x$ માટે, વિકલન $\frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ છે.
સ્પર્શકના ઢાળને વિકલન સાથે સરખાવતા: $\log x + 1 = -1$, જે આપણને $\log x = -2$ આપે છે.
આમ, $x = e^{-2}$ મળે.
$x = e^{-2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = e^{-2} \log(e^{-2}) = e^{-2} (-2) = -2e^{-2}$.
તેથી, માંગેલ બિંદુ $(e^{-2}, -2e^{-2})$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ થાય છે.
ધારો કે $a = \sin^2 x$ અને $b = \cos^2 x$ છે. તેથી $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$ થશે.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ છે, તેથી $\sin^6 x + \cos^6 x = \sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x$ થશે.
$2 \sin^2 x \cos^2 x$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા, આપણને $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x$ મળે છે.
હવે, સંકલન $\int \frac{1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx = \int (\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} - 3) dx$ બને છે.
$1 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\int (\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} - 3) dx = \int (\sec^2 x + \csc^2 x - 3) dx$ મળે છે.
પદવાર સંકલન કરતા, આપણને $\tan x - \cot x - 3x + c$ મળે છે.

(D) ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $\frac{u^2}{2v^2}$ નું વિકલન મેળવો:
$\frac{d}{dx} (\frac{u^2}{2v^2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2 \frac{d}{dx}(u^2) - u^2 \frac{d}{dx}(v^2)}{(v^2)^2}$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2 (2u \frac{du}{dx}) - u^2 (2v \frac{dv}{dx})}{v^4}$
$= \frac{v^2 u \frac{du}{dx} - u^2 v \frac{dv}{dx}}{v^4}$
$= \frac{v(uv \frac{du}{dx} - u^2 \frac{dv}{dx})}{v^4}$
$= \frac{uv \frac{du}{dx} - u^2 \frac{dv}{dx}}{v^3}$
કારણ કે $\frac{u^2}{2v^2}$ નું વિકલન એ સંકલ્ય (integrand) છે, તેથી સંકલન $\frac{u^2}{2v^2} + c$ થાય.

(A) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 4x \cos 3x = \frac{1}{2} [\sin(4x+3x) + \sin(4x-3x)] = \frac{1}{2} [\sin 7x + \sin x]$
હવે, પદાવલિનું સંકલન કરતા:
$\int \sin 4x \cos 3x \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 7x + \sin x) \, dx$
$= \frac{1}{2} [-\frac{\cos 7x}{7} - \cos x] + c$
$= -\frac{1}{14} \cos 7x - \frac{1}{2} \cos x + c$

(C) પગલું $1$: વક્રો $y^2 = 4kx$ અને $y = kx$ ના છેદબિંદુઓ શોધો.
$y = kx$ ને $y^2 = 4kx$ માં મૂકતા:
$(kx)^2 = 4kx \implies k^2x^2 - 4kx = 0 \implies kx(kx - 4) = 0$।
તેથી, $x = 0$ અથવા $x = \frac{4}{k}$।
પગલું $2$: સંકલનનો ઉપયોગ કરીને ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{4/k} (\sqrt{4kx} - kx) \, dx = \int_{0}^{4/k} (2\sqrt{k}\sqrt{x} - kx) \, dx$।
પગલું $3$: સંકલનનું મૂલ્ય શોધો:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = [2\sqrt{k} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - k \cdot \frac{x^2}{2}]_{0}^{4/k} = [\frac{4\sqrt{k}}{3}x^{3/2} - \frac{kx^2}{2}]_{0}^{4/k}$।
પગલું $4$: સીમાઓ મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{4\sqrt{k}}{3}(\frac{4}{k})^{3/2} - \frac{k}{2}(\frac{4}{k})^2 = \frac{4\sqrt{k}}{3} \cdot \frac{8}{k\sqrt{k}} - \frac{k}{2} \cdot \frac{16}{k^2} = \frac{32}{3k} - \frac{8}{k} = \frac{32 - 24}{3k} = \frac{8}{3k}$।
પગલું $5$: આપેલ ક્ષેત્રફળ $\frac{2}{3}$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{8}{3k} = \frac{2}{3} \implies 8 = 2k \implies k = 4$।

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2^2$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{1}^{2}$.
$A = 2 \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{3} + 2 \sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right]$.
$A = 2 \left[ (2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right]$.
$A = 2 \left[ \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} \right] = 2 \left[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$.

(B) પગલું $1$: સમીકરણોને $y^2 = \frac{9}{4}x$ અને $x^2 = \frac{16}{3}y$ તરીકે લખો, જેનો અર્થ છે $y = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ અને $y = \frac{3}{16}x^2$।
પગલું $2$: $y = \frac{3}{16}x^2$ ને $4y^2 = 9x$ માં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો: $4(\frac{3}{16}x^2)^2 = 9x \Rightarrow 4(\frac{9}{256}x^4) = 9x \Rightarrow \frac{9}{64}x^4 = 9x \Rightarrow x^4 = 64x$।
પગલું $3$: $x(x^3 - 64) = 0$ ઉકેલતા $x = 0$ અને $x = 4$ મળે છે. અનુરૂપ $y$ કિંમતો $0$ અને $3$ છે.
પગલું $4$: ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{4} (\frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{16}x^2) dx$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $5$: $A = [\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{3}{16} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4} = [x^{3/2} - \frac{x^3}{16}]_{0}^{4} = (4^{3/2} - \frac{4^3}{16}) = (8 - 4) = 4$ ચોરસ એકમ।

(C) રેખાઓ $y = 2x$, $y = x/2$ અને $x = 2$ છે.
$y = 2x$ અને $y = x/2$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$y = 2x$ અને $x = 2$ નું છેદબિંદુ $(2, 4)$ છે.
$y = x/2$ અને $x = 2$ નું છેદબિંદુ $(2, 1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} (2x - x/2) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{2} (3x/2) \, dx$.
$A = \frac{3}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$.
$A = \frac{3}{4} [4 - 0] = 3 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) $1$. વક્ર $y = 2x^2$ છે, જેનો અર્થ છે $x = \sqrt{y/2} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}$।
$2$. પ્રદેશ $x = 1$ (જ્યાં $y = 2(1)^2 = 2$) અને $y = 4$ (જ્યાં $x = \sqrt{4/2} = \sqrt{2}$) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$3$. ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) dx$ દ્વારા મળે છે.
$4$. $A = [4x - \frac{2x^3}{3}]_{1}^{\sqrt{2}}$.
$5$. $A = (4\sqrt{2} - \frac{2(2\sqrt{2})}{3}) - (4(1) - \frac{2(1)^3}{3})$.
$6$. $A = (4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) - (4 - \frac{2}{3}) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{10}{3} = \frac{8\sqrt{2} - 10}{3}$.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા: $A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4}$.
સીમાઓ મૂકતા: $A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$.
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$.
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1$.

(D) પ્રદેશ $y = x^2$, $y = 8/x$, અને $y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓ શોધો:
$1$. $y = x^2$ અને $y = 1 \implies x = \pm 1$। કારણ કે $xy \leq 8$ અને $y \geq 1$, આપણે $x > 0$ લઈએ છીએ, તેથી $x = 1$।
$2$. $y = 8/x$ અને $y = 1 \implies x = 8$।
$3$. $y = x^2$ અને $y = 8/x \implies x^3 = 8 \implies x = 2$।
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (8/x - 1) dx$ છે.
$A = [x^3/3 - x]_{1}^{2} + [8 \ln|x| - x]_{2}^{8}$।
$A = (8/3 - 2) - (1/3 - 1) + (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2)$।
$A = (2/3) - (-2/3) + 8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2$।
$A = 4/3 + 24 \ln 2 - 8 - 8 \ln 2 + 2 = 16 \ln 2 - 14/3$।

(B) $1$. $x^2 + y^2 = 9$ અને $y^2 = 8x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો. $y^2 = 8x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + 8x - 9 = 0 \implies (x+9)(x-1) = 0$। $x \geq 0$ હોવાથી, $x = 1$ મળે. તેથી $y^2 = 8$, એટલે કે $y = \pm 2\sqrt{2}$।
$2$. ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે. ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{8x} \, dx + \int_{1}^{3} \sqrt{9-x^2} \, dx \right]$।
$3$. પ્રથમ સંકલન: $2\sqrt{2} \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = 2\sqrt{2} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$।
$4$. દ્વિતીય સંકલન: $\int_{1}^{3} \sqrt{3^2 - x^2} \, dx = [\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{3})]_{1}^{3} = (0 + \frac{9}{2} \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{8} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})) = \frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})$।
$5$. કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 [\frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})] = \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9 \sin^{-1}(\frac{1}{3})$।

(B) પગલું $1$: વક્રોનું વિશ્લેષણ કરો. વક્ર $y = |x| - 1$ એ $(0, -1)$ શિરોબિંદુ ધરાવતો $V$-આકાર છે. વક્ર $y = -|x| + 1$ એ $(0, 1)$ શિરોબિંદુ ધરાવતો ઉલટો $V$-આકાર છે.
પગલું $2$: છેદબિંદુઓ શોધો. $|x| - 1 = -|x| + 1$ લેતા, આપણને $2|x| = 2$ મળે છે, તેથી $|x| = 1$, જે $x = 1$ અને $x = -1$ આપે છે. છેદબિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(-1, 0)$ છે.
પગલું $3$: આકૃતિ ઓળખો. આ બે વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ એક ચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0, 1), (1, 0), (0, -1),$ અને $(-1, 0)$ છે.
પગલું $4$: ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો. ચોરસના વિકર્ણોની લંબાઈ $d_1 = 2$ (ઊભી) અને $d_2 = 2$ (આડી) છે. ચોરસ (અથવા સમબાજુ ચતુષ્કોણ) નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ ચોરસ એકમ છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{3} \sqrt{3^2 - x^2} dx$ છે.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા.
સીમાઓ $0$ થી $3$ લાગુ કરતા:
$I = [\frac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{3})]_{0}^{3}$.
ઉપરની સીમા $x = 3$ મૂકતા:
$(\frac{3}{2} \sqrt{9 - 9} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{3}{3})) = (0 + \frac{9}{2} \sin^{-1}(1)) = \frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4}$.
નીચેની સીમા $x = 0$ મૂકતા:
$(\frac{0}{2} \sqrt{9 - 0} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(0)) = (0 + 0) = 0$.
તેથી, $I = \frac{9\pi}{4} - 0 = \frac{9\pi}{4}$.

(A) છાયાંકિત પ્રદેશ $x = 2\pi$ થી $x = \frac{9\pi}{4}$ સુધી $y = \sin x$ અને $x = \frac{9\pi}{4}$ થી $x = \frac{5\pi}{2}$ સુધી $y = \cos x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{2\pi}^{\frac{9\pi}{4}} \sin x \, dx + \int_{\frac{9\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} \cos x \, dx$
$A = [-\cos x]_{2\pi}^{\frac{9\pi}{4}} + [\sin x]_{\frac{9\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}}$
$A = -(\cos \frac{9\pi}{4} - \cos 2\pi) + (\sin \frac{5\pi}{2} - \sin \frac{9\pi}{4})$
$A = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$A = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$A = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{4\pi} x |\sin(\frac{x}{2})| dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x \in [0, 2\pi]$ માટે $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ અને $x \in [2\pi, 4\pi]$ માટે $\sin(\frac{x}{2}) \le 0$ છે, તેથી:
$A = \int_{0}^{2\pi} x \sin(\frac{x}{2}) dx + \int_{2\pi}^{4\pi} x (-\sin(\frac{x}{2})) dx$.
ખંડશઃ સંકલન $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u=x, dv=\sin(\frac{x}{2})dx$:
$\int x \sin(\frac{x}{2}) dx = -2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{0}^{2\pi} = (-2(2\pi)(-1) + 0) - (0) = 4\pi$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $-[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{2\pi}^{4\pi} = -[(-2(4\pi)(1) + 0) - (-2(2\pi)(-1) + 0)] = -[-8\pi - 4\pi] = 12\pi$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi + 12\pi = 16\pi$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $y^2 = 4(1 - x^2)$ મળે છે, જેનો અર્થ છે $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$.
આ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું સમીકરણ છે જ્યાં $a = 1$ અને $b = 2$ છે.
વક્ર $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ આ ઉપવલયના ઉપરના અડધા ભાગને દર્શાવે છે.
પૂર્ણ ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab = \pi(1)(2) = 2\pi$ છે.
વક્ર અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ ઉપવલયના ઉપરના અડધા ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2\pi = \pi \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) પ્રદેશ $y = x^3$, $y = 8$, અને $x = 0$ દ્વારા આવૃત છે.
$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા, આપણને $x = y^{1/3}$ મળે છે.
$y = x^3$ અને $y = 8$ નું છેદબિંદુ $x^3 = 8$ પર મળે છે, જે $x = 2$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 8$ સુધી $x$ નું $y$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$A = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} \left[ y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} \left( 8^{4/3} - 0^{4/3} \right)$
$A = \frac{3}{4} \left( (2^3)^{4/3} \right) = \frac{3}{4} \times 2^4 = \frac{3}{4} \times 16 = 12 \text{ ચોરસ એકમ।}$

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \frac{2}{\log_e 2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્ર $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log_e a}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \left[ \frac{2^{kx}}{k \log_e 2} \right]_{0}^{2}$ મળે છે.
સીમાઓ મૂકતા: $\frac{1}{k \log_e 2} (2^{2k} - 2^0) = \frac{2}{\log_e 2}$.
બંને બાજુથી $\log_e 2$ ને દૂર કરતા: $\frac{2^{2k} - 1}{k} = 2$.
$2^{2k} - 1 = 2k$.
નિરીક્ષણ દ્વારા, જો $k = 1/2$ હોય, તો $2^{2(1/2)} - 1 = 2^1 - 1 = 1$ અને $2k = 2(1/2) = 1$.
બંને બાજુ સમાન હોવાથી, $k = 1/2$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $x^2 = by$ છે, જેનો અર્થ છે $x = \sqrt{b} \sqrt{y}$ (કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે).
વક્ર અને રેખાઓ $y = 1$ તથા $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} \sqrt{b} \sqrt{y} \, dy$
આપેલ છે $A = 28$, તેથી:
$28 = \sqrt{b} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$28 = \sqrt{b} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}]$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [8 - 1]$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} \cdot 7$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{14}{3}$
$\sqrt{b} = 28 \cdot \frac{3}{14} = 2 \cdot 3 = 6$
$b = 6^2 = 36$.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$x < 4$ માટે $|x - 4| = -(x - 4)$ અને $x \ge 4$ માટે $|x - 4| = (x - 4)$ હોવાથી, આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$.
બીજા ભાગની ગણતરી: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 0.5 + 0.5 = 1 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ રેખા $2x - y + 1 = 0$ છે, જેને $x = \frac{y - 1}{2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
પ્રદેશ $y = -1$, $y = 3$ અને y-અક્ષ $(x = 0)$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{3} |x| \, dy$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x = \frac{y - 1}{2}$, તેથી $A = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$ છે.
$y = 1$ પર, $x = 0$ છે. $y \in [-1, 1]$ માટે, $x \le 0$, તેથી $|x| = -\frac{y - 1}{2} = \frac{1 - y}{2}$.
$y \in [1, 3]$ માટે, $x \ge 0$, તેથી $|x| = \frac{y - 1}{2}$.
$A = \int_{-1}^{1} \frac{1 - y}{2} \, dy + \int_{1}^{3} \frac{y - 1}{2} \, dy$.
$A = \frac{1}{2} [y - \frac{y^2}{2}]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{1}^{3}$.
$A = \frac{1}{2} [(1 - 0.5) - (-1 - 0.5)] + \frac{1}{2} [(4.5 - 3) - (0.5 - 1)]$.
$A = \frac{1}{2} [0.5 + 1.5] + \frac{1}{2} [1.5 + 0.5] = 1 + 1 = 2$ ચોરસ એકમ.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 4$ સુધી $|y|$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે.
$A = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$
કારણ કે $x < 0$ માટે $|x| = -x$ અને $x \ge 0$ માટે $|x| = x$ થાય છે, તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = (0 - (-\frac{(-2)^2}{2})) + (\frac{4^2}{2} - 0)$
$A = (0 - (-2)) + (8 - 0) = 2 + 8 = 10$ ચોરસ એકમ.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $\int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx = \frac{37}{4}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x^3 + ax = x(x^2 + a)$, વિધેય $x \in [-2, 0]$ માટે ઋણ અને $x \in [0, 1]$ માટે ધન છે (આપેલ છે $a > 0$).
તેથી, $A = \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$-\left[ \frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$.
$-(0 - (4 + 2a)) + (\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) = \frac{37}{4}$.
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$.
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
$a = 2$.

(B) પરવલય $y^2 = 4kx$ અને રેખા $x = k$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ એ $A = 2 \int_{0}^{k} \sqrt{4kx} \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$A = 2 \cdot 2\sqrt{k} \int_{0}^{k} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{k} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{k} = 4\sqrt{k} \cdot \frac{2}{3} k^{3/2} = \frac{8}{3} k^2$.
આપેલ છે કે $A = \frac{128}{3}$, તેથી $\frac{8}{3} k^2 = \frac{128}{3} \implies k^2 = 16 \implies k = 4$ (કારણ કે $k > 0$).
હવે, $\sin^{-1}(\frac{2}{k}) = \sin^{-1}(\frac{2}{4}) = \sin^{-1}(\frac{1}{2})$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, તેથી મૂલ્ય $\frac{\pi}{6}$ છે.

(A) પગલું $1$: $y = 0$ મૂકીને $X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધો.
$0 = 2x - x^2 \implies x(2 - x) = 0$।
તેથી, વક્ર $X$-અક્ષને $x = 0$ અને $x = 2$ પર છેદે છે.
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $3$: સંકલનનું મૂલ્ય શોધો:
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$।
પગલું $4$: સીમાઓ મૂકતા:
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$।

(A) આપેલ વક્ર $y = 4x^2$ છે, જેને $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$Y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = 2$ તથા $y = 4$ વચ્ચે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$।
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}] \text{ ચોરસ એકમ}$।

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x < 4$ માટે $|x - 4| = -(x - 4)$ અને $x \ge 4$ માટે $|x - 4| = (x - 4)$ થાય છે, તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$।
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$।
બીજા ભાગની ગણતરી: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$।
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 0.5 + 0.5 = 1$ ચોરસ એકમ.

(A) રેખાનું સમીકરણ $2x - y + 1 = 0$ છે, જેને $x = \frac{y - 1}{2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
પ્રદેશ $y = -1$, $y = 3$, $x = 0$ (y-અક્ષ) અને $x = \frac{y - 1}{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{3} |x| \, dy = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$ દ્વારા મળે છે.
અમે સંકલનને $y = 1$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં પદની નિશાની બદલાય છે:
$A = \int_{-1}^{1} -(\frac{y - 1}{2}) \, dy + \int_{1}^{3} (\frac{y - 1}{2}) \, dy$.
$A = -\frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{1}^{3}$.
$A = -\frac{1}{2} [(\frac{1}{2} - 1) - (\frac{1}{2} + 1)] + \frac{1}{2} [(\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1)]$.
$A = -\frac{1}{2} [-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}] + \frac{1}{2} [\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})] = -\frac{1}{2}(-2) + \frac{1}{2}(2) = 1 + 1 = 2$.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{-2}^{4} |y| \, dx = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x < 0$ માટે $|x| = -x$ અને $x \ge 0$ માટે $|x| = x$ થાય છે, તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $\int_{-2}^{0} (-x) \, dx = [-\frac{x^2}{2}]_{-2}^{0} = 0 - (-\frac{(-2)^2}{2}) = 0 - (-2) = 2$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $\int_{0}^{4} x \, dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = \frac{16}{2} - 0 = 8$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 2 + 8 = 10 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx = \frac{37}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $a > 0$, $x^3 + ax = x(x^2 + a) = 0$ ફક્ત $x = 0$ પર થાય છે કારણ કે $x^2 + a > 0$ છે.
$x \in [-2, 0]$ માટે, $x^3 + ax \le 0$ છે. $x \in [0, 1]$ માટે, $x^3 + ax \ge 0$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$.
સંકલન કરતા: $-[\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{-2}^{0} + [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$.
$-[0 - (\frac{16}{4} + \frac{4a}{2})] + [(\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) - 0] = \frac{37}{4}$.
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$.
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
$a = 5 \times \frac{2}{5} = 2$.

(B) પરવલય $y^2 = 4kx$ અને રેખા $x = k$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ એ $A = 2 \int_{0}^{k} \sqrt{4kx} \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$A = 2 \cdot 2\sqrt{k} \int_{0}^{k} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{k} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{k} = 4\sqrt{k} \cdot \frac{2}{3} k^{3/2} = \frac{8}{3} k^2$.
આપેલ છે કે $A = \frac{128}{3}$, તેથી $\frac{8}{3} k^2 = \frac{128}{3} \implies k^2 = 16 \implies k = 4$ (કારણ કે $k > 0$).
હવે, $\sin^{-1} \left( \frac{2}{k} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{2}{4} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6}$.

(A) પગલું $1$: $y = 0$ લઈને તે બિંદુઓ શોધો જ્યાં વક્ર $y = 2x - x^2$, $X$-અક્ષને છેદે છે.
$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$। તેથી, $x = 0$ અને $x = 2$ મળે છે.
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $A$ એ $0$ થી $2$ સુધી $x$ ની સાપેક્ષ $y$ નું સંકલન છે.
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$।
પગલું $3$: સંકલનનું મૂલ્ય શોધો.
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$।
પગલું $4$: સીમાઓ મૂકો.
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$।

(C) આપેલ વક્ર $y = \sqrt{16 - x^2}$ છે, જે $x^2 + y^2 = 4^2$ ના ઉપરના અર્ધ-વર્તુળને દર્શાવે છે જેની ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
આપણે વક્ર, $x = 0$, $x = 4$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
આ $r = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ક્ષેત્રફળનો ચોથો ભાગ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા.
ક્ષેત્રફળ $= [\frac{x}{2} \sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{0}^{4}$.
ક્ષેત્રફળ $= [\frac{4}{2} \sqrt{16 - 16} + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(0)]$.
ક્ષેત્રફળ $= [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - [0] = 4\pi$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વક્ર $y = 4x^2$ છે, જેનો અર્થ છે $x^2 = \frac{y}{4}$, તેથી $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે).
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{2}^{4} x \, dy$ છે.
$A = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$.
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$.
$A = \frac{1}{2} [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{2}^{4}$.
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}]$.
$A = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ ચોરસ એકમ.

(C) પગલું $1$: $y = kx$ ને $y^2 = 4kx$ માં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો.
$(kx)^2 = 4kx \implies k^2x^2 - 4kx = 0 \implies kx(kx - 4) = 0$।
તેથી, $x = 0$ અને $x = \frac{4}{k}$।
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{4/k} (\sqrt{4kx} - kx) \, dx = \frac{2}{3}$।
પગલું $3$: સંકલન કરતા: $2\sqrt{k} \int_{0}^{4/k} x^{1/2} \, dx - k \int_{0}^{4/k} x \, dx = \frac{2}{3}$।
$2\sqrt{k} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{4/k} - k [\frac{x^2}{2}]_{0}^{4/k} = \frac{2}{3}$।
$\frac{32}{3k} - \frac{8}{k} = \frac{2}{3} \implies \frac{8}{3k} = \frac{2}{3}$।
પગલું $4$: $k$ માટે ઉકેલતા, $2k = 8 \implies k = 4$।

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2^2$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 2$ છે. રેખા $x = 1$ છે.
નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = 2 [\frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{1}^{2}$।
$A = 2 [(\frac{2}{2} \sqrt{4 - 4} + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{4 - 1} + 2 \sin^{-1}(\frac{1}{2}))]$।
$A = 2 [(0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{6})]$।
$A = 2 [\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}] = 2 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$।

(B) પગલું $1$: સમીકરણોને $y^2 = \frac{9}{4}x$ અને $x^2 = \frac{16}{3}y$ તરીકે ફરીથી લખો.
પગલું $2$: પ્રથમ સમીકરણમાં $y = \frac{3x^2}{16}$ મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો: $(\frac{3x^2}{16})^2 = \frac{9}{4}x \implies \frac{9x^4}{256} = \frac{9}{4}x \implies x^4 = 64x$.
પગલું $3$: $x(x^3 - 64) = 0$ ને ઉકેલતા $x = 0$ અને $x = 4$ મળે છે. અનુરૂપ $y$ કિંમતો $0$ અને $3$ છે.
પગલું $4$: ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{4} (\sqrt{\frac{9}{4}x} - \frac{3x^2}{16}) dx$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $5$: $A = \int_{0}^{4} (\frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{3}{16}x^2) dx = [\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{3}{16} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4} = [x^{3/2} - \frac{x^3}{16}]_{0}^{4}$.
પગલું $6$: $A = (4^{3/2} - \frac{4^3}{16}) = (8 - 4) = 4 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) રેખાઓ $y = 2x$, $y = \frac{x}{2}$ અને $x = 2$ છે.
છેદબિંદુઓ:
$1$. $y = 2x$ અને $y = \frac{x}{2}$, $(0, 0)$ પર છેદે છે.
$2$. $y = 2x$ અને $x = 2$, $(2, 4)$ પર છેદે છે.
$3$. $y = \frac{x}{2}$ અને $x = 2$, $(2, 1)$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} (2x - \frac{x}{2}) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$A = \int_{0}^{2} \frac{3x}{2} \, dx$.
$A = \frac{3}{2} [\frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = \frac{3}{4} [4 - 0] = 3$ ચોરસ એકમ.

(A) પગલું $1$: છેદબિંદુઓ શોધો. વક્ર $y = 2x^2$ છે. આપેલી રેખાઓ $x = 1$ અને $y = 4$ છે. $x = 1$ પર, $y = 2(1)^2 = 2$ મળે. $y = 4$ પર, $2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$ મળે.
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $x=1$ થી $x=\sqrt{2}$ સુધી રેખા $y=4$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી વક્ર $y=2x^2$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
પગલું $3$: ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) \, dx$.
પગલું $4$: સંકલન કરતા: $A = [4x - \frac{2x^3}{3}]_{1}^{\sqrt{2}}$.
પગલું $5$: સીમાઓ મૂકતા: $A = (4\sqrt{2} - \frac{2(\sqrt{2})^3}{3}) - (4(1) - \frac{2(1)^3}{3}) = (4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) - (4 - \frac{2}{3}) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{10}{3} = \frac{8\sqrt{2} - 10}{3}$.

(A) અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં, $\cos x \ge \sin x$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$ છે.
$A = [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$A = \sqrt{2} - 1$.