MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 = 4ay$ છે, જ્યાં $a$ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.
પગલું $1$: $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $2x = 4a \frac{dy}{dx}$.
પગલું $2$: આના પરથી આપણને $2a = \frac{x}{dy/dx}$ મળે છે.
પગલું $3$: ફરીથી વિકલન કરતા: $2 = 2a \frac{d^2y}{dx^2}$.
પગલું $4$: $2a$ ની કિંમત મૂકતા: $2 = \left( \frac{x}{dy/dx} \right) \frac{d^2y}{dx^2}$.
પગલું $5$: સાદું રૂપ આપતા: $2 \frac{dy}{dx} = x \frac{d^2y}{dx^2}$, એટલે કે $x \frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} = 0$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સાચું સમીકરણ $x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ છે.

(A) પગલું $1$: રેખાનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
પગલું $2$: $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ મળે.
પગલું $3$: આનાથી $\frac{dy}{dx} = - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = - \cot \alpha$ મળે છે.
પગલું $4$: $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (- \cot \alpha) = 0$ (કારણ કે $\alpha$ અચળાંક છે).
પગલું $5$: આમ, વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ છે.

(A) પગલું $1$: આપેલ સમીકરણ $\sqrt{2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^3} = (\frac{d^3y}{dx^3})^{5/2}$ છે.
પગલું $2$: અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે, બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^3 = (\frac{d^3y}{dx^3})^5$ મળે છે.
પગલું $3$: અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે, તેથી કક્ષા $3$ છે.
પગલું $4$: સમીકરણને વિકલનોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત $5$ છે, તેથી ઘાત $5$ છે.

(A) પગલું $1$: અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવા માટે સમીકરણને ફરીથી લખો: $3 - (\frac{d^3y}{dx^3})^{7/3} = (\frac{dy}{dx})^5 \implies 3 - (\frac{dy}{dx})^5 = (\frac{d^3y}{dx^3})^{7/3}$।
પગલું $2$: અપૂર્ણાંક ઘાત $1/3$ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન કરો: $(3 - (\frac{dy}{dx})^5)^3 = (\frac{d^3y}{dx^3})^7$।
પગલું $3$: કક્ષા એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે, જે $3$ છે. પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જે સમીકરણને વિકલનોમાં બહુપદી બનાવ્યા પછી મળે છે, જે $7$ છે.
પગલું $4$: આમ, કક્ષા $3$ છે અને પરિમાણ $7$ છે।

(C) પગલું $1$: વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે. અહીં, સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે, તેથી કક્ષા $3$ છે.
પગલું $2$: વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ઘાતાંક છે, જો સમીકરણ વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી હોય. અહીં, પદ $\cos \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$ એ વિકલિતનું ત્રિકોણમિતીય વિધેય છે, જેનો અર્થ છે કે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
પગલું $3$: તેથી, આ વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ વ્યાખ્યાયિત નથી.

(D) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ, સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\vec{v} \cdot \vec{c} = |\vec{v}| |\vec{c}| \cos \theta$ છે, જ્યાં $\theta$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કારણ કે $|\vec{c}| = 1$, મહત્તમ મૂલ્ય $|\vec{v}|$ છે.
$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$.

(C) સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે કે આધારિત તે તપાસવા માટે, આપણે અદિશ ત્રિગુણન $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ ની ગણતરી કરીએ છીએ, જે સદિશોના ઘટકો દ્વારા રચાયેલ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે.
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & -3 & 1 \end{vmatrix}$
$= 2(2(1) - 2(-3)) - (-3)(3(1) - 2(4)) + 1(3(-3) - 2(4))$
$= 2(2 + 6) + 3(3 - 8) + 1(-9 - 8)$
$= 2(8) + 3(-5) + 1(-17)$
$= 16 - 15 - 17 = -16$
અદિશ ત્રિગુણન શૂન્ય ન હોવાથી, સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.

(B) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ એ સદિશોના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1-x \\ y & x & 1+x-y \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$= 1 \cdot [1(1+x-y) - x(1-x)] - 0 + (-1) \cdot [x(x) - 1(y)]$
$= (1 + x - y - x + x^2) - (x^2 - y)$
$= (1 + x^2 - y) - (x^2 - y)$
$= 1 + x^2 - y - x^2 + y$
$= 1$
પરિણામ અચળ $1$ હોવાથી, અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $x$ કે $y$ પર આધાર રાખતું નથી.

(B) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા મળે છે.
$V = 11$ આપેલ હોવાથી, $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 66$ થાય.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર (scalar triple product) નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda - 10 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 22\lambda - 88$.
$|22\lambda - 88| = 66$ ને ઉકેલતા:
કિસ્સો $1$: $22\lambda - 88 = 66 \implies 22\lambda = 154 \implies \lambda = 7$.
કિસ્સો $2$: $22\lambda - 88 = -66 \implies 22\lambda = 22 \implies \lambda = 1$.
$\lambda$ ના શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $7 + 1 = 8$ થાય.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(\vec{a}+\vec{b})$, $B(\vec{b}+\vec{c})$, અને $C(\vec{c}+\vec{a})$ છે.
સમતલ પરના સદિશો $\vec{AB} = B - A = \vec{c} - \vec{a}$ અને $\vec{AC} = C - A = \vec{c} - \vec{b}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (\vec{c} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{A} \cdot \vec{n}$ છે.
$\vec{A} \cdot \vec{n} = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ છે.
આમ, સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ છે.

(C) ત્રણ સદિશો $\vec{a}$, $\vec{b}$, અને $\vec{c}$ સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય, એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ થાય.
આ તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 2 \\ 2 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\lambda(\lambda^2 - 6) - 1(\lambda - 4) + 1(3 - 2\lambda) = 0$
$\lambda^3 - 6\lambda - \lambda + 4 + 3 - 2\lambda = 0$
$\lambda^3 - 9\lambda + 7 = 0$
આ $\lambda$ માં $A\lambda^3 + B\lambda^2 + C\lambda + D = 0$ સ્વરૂપનું ત્રિઘાત સમીકરણ છે. અહીં $A=1, B=0, C=-9, D=7$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $A\lambda^3 + B\lambda^2 + C\lambda + D = 0$ ના બીજનો સરવાળો $-B/A$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $B=0$ છે, બીજનો સરવાળો $-0/1 = 0$ થાય છે.

(C) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતર ફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય દ્વારા મળે છે.
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ x & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - x(0 - x^2) + 1(0 - x) = 1 + x^3 - x$.
ધારો કે $f(x) = x^3 - x + 1$ છે. ન્યૂનતમ ઘનફળ શોધવા માટે, આપણે $f'(x) = 3x^2 - 1$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$f'(x) = 0$ લેતા, આપણને $3x^2 = 1$ મળે છે, તેથી $x^2 = 1/3$, જે $x = \pm 1/\sqrt{3}$ આપે છે.
ઘનફળ $|f(x)|$ હોવાથી, આપણે કિંમતો તપાસીએ છીએ. $x = 1/\sqrt{3}$ માટે, $f(1/\sqrt{3}) = (1/\sqrt{3})^3 - 1/\sqrt{3} + 1 = 1/(3\sqrt{3}) - 1/\sqrt{3} + 1 = 1 - 2/(3\sqrt{3}) > 0$.
$x = -1/\sqrt{3}$ માટે, $f(-1/\sqrt{3}) = -1/(3\sqrt{3}) + 1/\sqrt{3} + 1 = 1 + 2/(3\sqrt{3}) > 0$.
ઘનફળનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x = 1/\sqrt{3}$ પર મળે છે.

(D) સમાંતર ફલકનું ઘનફળ $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ દ્વારા મળે છે.
$V = |\det \begin{pmatrix} 2a & 0 & 1 \\ 0 & a & -a \\ 3 & a & 0 \end{pmatrix}|$
$V = |2a(0 - (-a^2)) - 0 + 1(0 - 3a)| = |2a^3 - 3a| = 3a - 2a^3$ (કારણ કે $a \in [0, 1]$ માટે $2a^3 - 3a \le 0$ છે).
$f(a) = 3a - 2a^3$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે, $f'(a) = 3 - 6a^2 = 0$ લેતા.
$a = 1/\sqrt{2}$ માટે, $f(1/\sqrt{2}) = 3/\sqrt{2} - 2(1/2\sqrt{2}) = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}$।

(B) ધારો કે $c = a \times b$ છે. $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ એકમ સદિશો હોવાથી, $c$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ છે.
તેથી, $|a| = 1, |b| = 1, |c| = 1$ અને $a \cdot b = 0, a \cdot c = 0, b \cdot c = 0$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a + c \quad b + c \quad c] = (a + c) \cdot ((b + c) \times c)$ છે.
ક્રોસ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(b + c) \times c = (b \times c) + (c \times c) = (b \times c) + 0 = b \times c$ મળે છે.
$a, b, c$ એ ઓર્થોનોર્મલ સેટ બનાવતા હોવાથી, $b \times c = a$ થાય છે.
તેથી, પદાવલિ $(a + c) \cdot a = (a \cdot a) + (c \cdot a) = |a|^2 + 0 = 1 + 0 = 1$ થાય છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ વાળા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}) \cdot ((\vec{AC}) \times (\vec{AD}))|$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ, સદિશો શોધો: $\vec{AB} = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$, $\vec{AC} = (p+1)\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$, $\vec{AD} = 0\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણન નિશ્ચાયક છે: $\begin{vmatrix} 4 & -4 & -2 \\ p+1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & 1 \end{vmatrix} = 12p + 8$.
આપેલ છે $V = \frac{1}{6} |12p + 8| = \frac{16}{3}$, તેથી $|12p + 8| = 32$.
કિસ્સો $1$: $12p + 8 = 32 \implies p = 2$.
કિસ્સો $2$: $12p + 8 = -32 \implies p = -\frac{10}{3}$.
વિકલ્પો મુજબ, $p = -\frac{10}{3}$ સાચો જવાબ છે.

(A) સહ-આદિમ ધાર $\vec{a}$, $\vec{b}$, અને $\vec{c}$ ધરાવતા સમાંતર ષટ્ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા મળે છે.
આ સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે:
$V = |\det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$V = |2((-1)(3) - (-1)(1)) - 1((3)(3) - (-1)(0)) + (-1)((3)(1) - (-1)(0))|$
$V = |2(-3 + 1) - 1(9 - 0) - 1(3 - 0)|$
$V = |2(-2) - 9 - 3|$
$V = |-4 - 9 - 3| = |-16| = 16 \text{ ઘન એકમ}$।

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ, સદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \times \vec{v}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 0) - \hat{j}(1 - (-4)) + \hat{k}(0 - 4) = 2\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$।
ધારો કે $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = 2\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$।
માન $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 25 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$।
કારણ કે $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{n} \cdot \vec{w} = |\vec{n}| |\vec{w}| \cos \theta$, અને $|\vec{w}| = 1$, મહત્તમ મૂલ્ય $|\vec{n}| = 3\sqrt{5}$ છે જ્યારે $\vec{w}$ એ $\vec{n}$ ની દિશામાં હોય.

(D) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$. કારણ કે $\vec{a} \perp \vec{b}$, તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
કારણ કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ$ છે, $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-1/2) = -1/2$.
આપેલ છે કે $(\vec{a} + \vec{c}) \perp (\vec{b} + \vec{c})$, તેથી $(\vec{a} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{b} + |\vec{c}|^2 = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $0 + \vec{a} \cdot \vec{c} - 1/2 + 1 = 0$, જે આપે છે $\vec{a} \cdot \vec{c} = -1/2$.
હવે $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{b} + |\vec{c}|^2$ ની ગણતરી કરો.
$= 0 - (-1/2) - (-1/2) + 1 = 1/2 + 1/2 + 1 = 2$.

(D) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ છે. ધારો કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = x$ છે.
અદિશ ગુણાકારનું સૂત્ર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1/2 = (x)(x) \cos(60^\circ)$ મળે.
કારણ કે $\cos(60^\circ) = 1/2$ છે, તેથી $1/2 = x^2 (1/2)$ મળે.
$x^2$ માટે ઉકેલતા, આપણને $x^2 = 1$ મળે છે.
તેથી, $x = |\vec{a}| = 1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a} \implies (\vec{r} - \vec{b}) \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b} \implies (\vec{r} - \vec{a}) \times \vec{b} = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે અમુક અદિશ $t, s$ માટે $\vec{r} - \vec{b} = t\vec{a}$ અને $\vec{r} - \vec{a} = s\vec{b}$ છે.
તેથી, $\vec{r} = \vec{b} + t\vec{a} = (\hat{i} - \hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j}) = (1+t)\hat{i} + t\hat{j} - \hat{k}$.
વળી, $\vec{r} = \vec{a} + s\vec{b} = (\hat{i} + \hat{j}) + s(\hat{i} - \hat{k}) = (1+s)\hat{i} + \hat{j} - s\hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા: $1+t = 1+s \implies t=s$, $t=1$, અને $-1 = -s \implies s=1$ મળે છે.
$t=1$ ને $\vec{r} = (1+t)\hat{i} + t\hat{j} - \hat{k}$ માં મૂકતા, $\vec{r} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 1, -1)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે, તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|\cos\theta = 1 + 1 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta) = 4\cos^2(\theta/2)$ થાય.
તેથી, $|a + b| = 2\cos(\theta/2)$ મળે.
તે જ રીતે, $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|\cos\theta = 1 + 1 - 2\cos\theta = 2(1 - \cos\theta) = 4\sin^2(\theta/2)$ થાય.
તેથી, $|a - b| = 2\sin(\theta/2)$ મળે.
માટે, $|a + b| / |a - b| = (2\cos(\theta/2)) / (2\sin(\theta/2)) = \cot(\theta/2)$ થાય.

(E) પગલું $1$: $|\vec{a}|$ અને $\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો.
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
પગલું $2$: $|\vec{c}|$ શોધો.
$|\vec{c} - \vec{a}|^2 = 8 \implies |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 8$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|$ હોવાથી, ધારો કે $|\vec{c}| = x$.
$x^2 + 9 - 2x = 8 \implies (x-1)^2 = 0 \implies |\vec{c}| = 1$.
પગલું $3$: $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}|$ ની ગણતરી કરો.
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \sin(60^\circ) = (3\sqrt{2}) \times (1) \times (\sqrt{3}/2) = 3\sqrt{6}/2$.

(B) ધારો કે $\vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{AD} = \vec{b}$ છે. $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{a} \times \vec{b}|$ છે.
$AC = 3a + 2b$ હોવાથી, આપણે તેને સદિશ $\vec{AC} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ તરીકે લઈએ છીએ.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |\vec{a} \times (3\vec{a} + 2\vec{b})| = \frac{1}{2} |3(\vec{a} \times \vec{a}) + 2(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |0 + 2(\vec{a} \times \vec{b})| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{AD} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |\vec{b} \times (3\vec{a} + 2\vec{b})| = \frac{1}{2} |3(\vec{b} \times \vec{a}) + 2(\vec{b} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |-3(\vec{a} \times \vec{b}) + 0| = \frac{3}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= |\vec{a} \times \vec{b}| + \frac{3}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$.
આમ, $\alpha = 5/2$ થાય.

(A) સમાંતર ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ, સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 13\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
ઘનફળ $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |(1, 1, 1) \cdot (13, -7, -2)| = |13 - 7 - 2| = 4 \text{ ઘન એકમ}$.
પાયાનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ પાયાના સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન છે:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$A = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{38}$.
ઊંચાઈ $h = V / A = 4 / \sqrt{38} = 2\sqrt{2} / \sqrt{19} \text{ એકમ}$.

(C) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{v}$, $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને લંબ છે, તેથી $\vec{v} \cdot \vec{c} = 0 \implies x + y + z = 0 \implies z = -(x + y)$.
કારણ કે $\vec{v}$, $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે, તેથી $\vec{v}$, અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(2-1) = -3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
હવે, $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \implies -3x + y + z = 0$.
$z = -(x + y)$ મૂકતા, આપણને $-3x + y - x - y = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$ મળે છે.
ત્યારે $z = -y$. તેથી $\vec{v} = y\hat{j} - y\hat{k} = y(\hat{j} - \hat{k})$.
એકમ સદિશ માટે, $|\vec{v}| = 1 \implies |y|\sqrt{1^2 + (-1)^2} = 1 \implies |y|\sqrt{2} = 1 \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ, $\vec{v} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$.

(A) પગલું $1$: $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ શોધો.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 1) - \hat{j}(4 + 1) + \hat{k}(-2 - 3) = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$.
પગલું $2$: સદિશ $\vec{a}$ અને અભિલંબ $\vec{n}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| |\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(5) + (1)(-5) + (-3)(-5) = 10 - 5 + 15 = 20$.
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
પગલું $3$: $\cos \alpha = \frac{20}{\sqrt{14} \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{42}}$.
પગલું $4$: સદિશ અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ - \alpha$ થાય. તેથી, $\sin \theta = \cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{42}}$, જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1}(4/\sqrt{42})$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j}$.
આપણને $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ આપેલ છે.
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times \vec{c}$ લેતા.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિત્યસમ $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 2$ છે.
તેથી, $3\vec{a} - 2\vec{b} = \vec{a} \times \vec{c}$.
$\vec{a} \times \vec{c} = -2\hat{k}$ મળે છે.
તેથી, $2\vec{b} = 3\vec{a} - (\vec{a} \times \vec{c}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{b} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{11}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$.

(A) કારણ કે $a, b, c$ સમતલીય એકમ સદિશો છે અને $d$ તેમને લંબ છે, તેથી $d$ એ સમતલને લંબ એકમ સદિશ છે. આમ, $(a \times b) = |a||b| \sin(30^\circ) d = (1)(1)(1/2) d = \frac{1}{2} d$ થાય.
સદિશ ત્રિગુણનફળ નિત્યસમ $(a \times b) \times (c \times d) = ((a \times b) \cdot d) c - ((a \times b) \cdot c) d$ નો ઉપયોગ કરતા.
કારણ કે $(a \times b) = \frac{1}{2} d$, તેથી $(a \times b) \cdot d = \frac{1}{2} (d \cdot d) = \frac{1}{2}$ અને $(a \times b) \cdot c = \frac{1}{2} (d \cdot c) = 0$ (કારણ કે $d \perp c$) મળે.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} c - 0 = \frac{3}{26} i - \frac{2}{13} j + \frac{6}{13} k$ મળે.
તેથી, $c = 2(\frac{3}{26} i - \frac{2}{13} j + \frac{6}{13} k) = \frac{3}{13} i - \frac{4}{13} j + \frac{12}{13} k$ થાય.

(B) પગલું $1$: સદિશ ગુણાકાર $v = a \times b = (2i + j + 2k) \times (3i - 4j)$ ની ગણતરી કરો.
$v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & -4 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-8)) - j(0 - 6) + k(-8 - 3) = 8i + 6j - 11k$.
પગલું $2$: રેખા $(0, 0, 0)$ અને $(4, 3, c)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $(4, 3, c)$ ના પ્રમાણમાં છે. રેખા $v = (8, 6, -11)$ ને સમાંતર હોવાથી, $(4, 3, c) = k(8, 6, -11)$ મળે.
પગલું $3$: ઘટકોની સરખામણી કરતા, $4 = 8k \implies k = 1/2$. તેથી $3 = 6k$ (સુસંગત) અને $c = -11k = -11(1/2) = -5.5$.
પગલું $4$: રેખા $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને દિશા ગુણોત્તર $(8, 6, -11)$ છે. કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x/8 = y/6 = z/-11$ છે.

(B) પગલું $1$: $\vec{AB}$ અને $\vec{AD}$ ના મૂલ્યોની ગણતરી કરો.
$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{4 + 100 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{AD}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
પગલું $2$: $\vec{AB}$ અને $\vec{AD}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધો.
$\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AB}| |\vec{AD}|} = \frac{(2)(-1) + (10)(2) + (11)(2)}{15 \times 3} = \frac{-2 + 20 + 22}{45} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
પગલું $3$: કારણ કે $\vec{AD'}$ એ જ સમતલમાં છે અને $\vec{AB}$ ને લંબ છે, $\vec{AD'}$ અને $\vec{AB}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે. $\vec{AD}$ અને $\vec{AD'}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. તેથી, $\theta = 90^\circ - \alpha$ (અથવા $\alpha = 90^\circ - \theta$).
પગલું $4$: $\cos \alpha = \cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $\cos \theta = 8/9$, $\sin \theta = \sqrt{1 - (8/9)^2} = \sqrt{1 - 64/81} = \sqrt{17/81} = \sqrt{17}/9$.

(B) આપેલ છે $\vec{a} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 4\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k}$।
$\vec{b}$ પર $\vec{a}$ નો પ્રક્ષેપ $\vec{OM} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (6)(4) + (2)(0) + (-3)(3) = 24 + 0 - 9 = 15$.
$|\vec{b}|^2 = 4^2 + 0^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
તેથી, $\vec{OM} = \frac{15}{25} \vec{b} = \frac{3}{5} (4\hat{i} + 3\hat{k}) = \frac{12}{5}\hat{i} + \frac{9}{5}\hat{k}$.
સદિશ $\vec{AM} = \vec{OM} - \vec{a} = (\frac{12}{5} - 6)\hat{i} + (0 - 2)\hat{j} + (\frac{9}{5} - (-3))\hat{k} = -\frac{18}{5}\hat{i} - 2\hat{j} + \frac{24}{5}\hat{k}$.
$l(AM) = |\vec{AM}| = \sqrt{(-\frac{18}{5})^2 + (-2)^2 + (\frac{24}{5})^2} = \sqrt{\frac{324}{25} + 4 + \frac{576}{25}} = \sqrt{\frac{900}{25} + 4} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ એકમ}$.

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા, $|ab \cos \theta| = |ab \sin \theta|$, જેનો અર્થ છે કે $|\cos \theta| = |\sin \theta|$, તેથી $|\tan \theta| = 1$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, $\cos \theta < 0$ છે, જેનો અર્થ છે કે $\theta$ બીજા ચરણમાં છે $(90^\circ < \theta \le 180^\circ)$.
બીજા ચરણમાં, $\tan \theta = -1$ અને $\sin \theta = 1/\sqrt{2}$ થાય છે.
તેથી, $\sin \theta + \tan \theta = 1/\sqrt{2} - 1 = (1 - \sqrt{2})/\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 2)/2$.

(D) આપેલ છે $|u| = 1, |v| = 2, |w| = 3$। $u$ ની દિશામાં $v$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{v \cdot u}{|u|}$ છે અને $u$ ની દિશામાં $w$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{w \cdot u}{|u|}$ છે.
પ્રક્ષેપો સમાન હોવાથી, $v \cdot u = w \cdot u$, જેનો અર્થ છે $(v - w) \cdot u = 0$।
વળી, $v \perp w$, તેથી $v \cdot w = 0$।
આપણે $|u - v + w|$ શોધવાનું છે. $|u - v + w|^2 = (u - v + w) \cdot (u - v + w)$ ધ્યાનમાં લો.
$|u - v + w|^2 = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2 - 2(u \cdot v) + 2(u \cdot w) - 2(v \cdot w)$।
$v \cdot u = w \cdot u$ હોવાથી, આપણી પાસે $u \cdot v - u \cdot w = 0$ છે.
વળી $v \cdot w = 0$ છે.
$|u - v + w|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2(u \cdot v - u \cdot w) - 2(0) = 1 + 4 + 9 - 0 - 0 = 14$।
તેથી, $|u - v + w| = \sqrt{14}$।

(C) આપેલ છે: $a \cdot b = \beta$ અને $a \times b = c$.
સદિશ ત્રિ-ગુણાકાર $b \times (a \times b)$ ધ્યાનમાં લો.
સદિશ ત્રિ-ગુણાકાર નિત્યસમ $b \times (a \times b) = (b \cdot b)a - (b \cdot a)b$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $b \times c = |b|^2 a - \beta b$.
$a$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $|b|^2 a = b \times c + \beta b$.
તેથી, $a = \frac{b \times c + \beta b}{|b|^2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ગુણાકાર (dot product) ને $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી, $|\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$ થાય.
સદિશ ગુણાકાર (cross product) નું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી, $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ થાય.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$|\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 + |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta + |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ મળે.
$|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ સામાન્ય લેતા:
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$ મળે.
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ થાય છે, તેથી પરિણામ $|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ છે.

(A) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય, એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ છે $\vec{a} = (\sin \theta)\hat{i} + (\cos \theta)\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \sqrt{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sin \theta)(1) + (\cos \theta)(-\sqrt{3}) + (0)(2) = 0$.
$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 0$.
$\sin \theta = \sqrt{3} \cos \theta$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$.
$\theta \in (0, \pi/2)$ હોવાથી, $\theta = \pi/3$.

(B) પગલું $1$: સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AD}$ ના માન શોધો.
$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{AD}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
પગલું $2$: $\vec{AB}$ અને $\vec{AD}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધો.
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = -2 + 20 + 22 = 40$.
$\cos \theta = \frac{40}{15 \times 3} = \frac{8}{9}$.
પગલું $3$: કારણ કે $\vec{AD'}$ એ $\vec{AD}$ ને ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે જેથી $\vec{AD'} \perp \vec{AB}$, તેથી $\vec{AD'}$ અને $\vec{AB}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
પગલું $4$: પરિભ્રમણનો ખૂણો $\alpha = |\theta - 90^\circ|$ છે.
$\cos \alpha = \cos(\theta - 90^\circ) = \sin \theta$.
પગલું $5$: $\sin \theta = \sqrt{1 - (8/9)^2} = \sqrt{17}/9$.

(B) $1$. પદ $(A)$ $(a \times b) \cdot c$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર દર્શાવે છે, જે અર્થપૂર્ણ છે.
$2$. પદ $(B)$ $a \times (b \cdot c)$ અર્થહીન છે કારણ કે $(b \cdot c)$ એક અદિશ છે, અને સદિશ $a$ તથા અદિશનો સદિશ ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી.
$3$. પદ $(C)$ $a \cdot (b \cdot c)$ અર્થહીન છે કારણ કે $(b \cdot c)$ એક અદિશ છે, અને સદિશ $a$ તથા અદિશનો અદિશ ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી.
$4$. પદ $(D)$ $|a|(b \cdot c)$ એ અદિશ $|a|$ અને અદિશ $(b \cdot c)$ નો ગુણાકાર દર્શાવે છે, જે અર્થપૂર્ણ છે.
$5$. પદ $(E)$ $(a \cdot b) \times (b \cdot c)$ અર્થહીન છે કારણ કે $(a \cdot b)$ અને $(b \cdot c)$ બંને અદિશ છે, અને બે અદિશ વચ્ચે સદિશ ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી.
$6$. આમ, $(A)$ અને $(D)$ અર્થપૂર્ણ છે, જ્યારે $(B)$, $(C)$, અને $(E)$ અર્થહીન છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$D$ એ $BA$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી, $\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{a}}{2}$.
$E$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી, $\vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.
આપણે મધ્યગાઓ $AE$ અને $DC$ ની લંબાઈનો સરવાળો શોધવાનો છે.
$\vec{AE} = \vec{e} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$.
$\vec{DC} = \vec{c} - \vec{d} = \vec{c} - \frac{\vec{b} + \vec{a}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2}$.
સદિશોનો સરવાળો કરતા: $\vec{AE} + \vec{DC} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2} = \frac{3\vec{c} - 3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{c} - \vec{a})$.
તેનું માન: $|\vec{AE} + \vec{DC}| = \frac{3}{2}|\vec{c} - \vec{a}| = \frac{3}{2} AC$.

(B) , $B$, અને $C$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = (0-2)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (4-2)\hat{i} + (0-3)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 - 0) = 6\hat{i} + 10\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 10^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 100 + 36} = \sqrt{172}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{172} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) ધારો કે $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$, તેથી $c = |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
ધારો કે $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$, તેથી $b = |\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
$\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને $c:b = 3\sqrt{2}:6 = 1:\sqrt{2}$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $BC$ ને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{m\vec{c} + n\vec{b}}{m+n}$ છે.
અહીં $m=1, n=\sqrt{2}$, તેથી $\vec{p} = \frac{1\vec{c} + \sqrt{2}\vec{b}}{1+\sqrt{2}} = \frac{(-4\hat{i} + 9\hat{j} + 6\hat{k}) + \sqrt{2}(-\hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k})}{1+\sqrt{2}} = \frac{(-4-\sqrt{2})\hat{i} + (9+6\sqrt{2})\hat{j} + (6+6\sqrt{2})\hat{k}}{1+\sqrt{2}}$.
સહગુણકોનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{-4-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = 2 - 3\sqrt{2}$, $\frac{9+6\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = 3 + 3\sqrt{2}$ અને $\frac{6+6\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = 6$. તેથી $\vec{p} = (2 - 3\sqrt{2})\hat{i} + (3 + 3\sqrt{2})\hat{j} + 6\hat{k}$.

(D) ધારો કે $|\vec{a}| = x$ અને $|\vec{b}| = y$ છે. ધારો કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = xy \cos \theta$ છે.
કારણ કે $(\vec{a} + 3\vec{b}) \perp (7\vec{a} - 5\vec{b})$, તેમનો અદિશ ગુણાકાર $0$ છે:
$7|\vec{a}|^2 - 5\vec{a} \cdot \vec{b} + 21\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0 \implies 7x^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 15y^2 = 0$ $(1)$
કારણ કે $(\vec{a} - 4\vec{b}) \perp (7\vec{a} - 2\vec{b})$, તેમનો અદિશ ગુણાકાર $0$ છે:
$7|\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 28\vec{a} \cdot \vec{b} + 8|\vec{b}|^2 = 0 \implies 7x^2 - 30\vec{a} \cdot \vec{b} + 8y^2 = 0$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$46\vec{a} \cdot \vec{b} = 7y^2$ મળે છે.
સમીકરણ પ્રણાલી ઉકેલતા $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}xy$ અને $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ મળે છે. તેથી $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{1}{2}$, તેથી $\theta = \pi/3$ છે.

(A) ધારો કે સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
દિક્-કોસાઇન $l = \cos \alpha$, $m = \cos \beta$, $n = \cos \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\beta = \pi/4$ અને $\gamma = \pi/2$, તેથી $m = \cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ અને $n = \cos(\pi/2) = 0$ છે.
કારણ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$, તેથી $l^2 + (1/\sqrt{2})^2 + 0^2 = 1$, જે $l^2 + 1/2 = 1$ આપે છે, તેથી $l^2 = 1/2$, એટલે કે $l = \pm 1/\sqrt{2}$ છે.
સદિશ $\vec{r} = |\vec{r}|(l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}) = 3\sqrt{2}(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} + 0\hat{k}) = \pm 3\hat{i} + 3\hat{j}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{p}| = 3$, $|\vec{q}| = 2$ અને ખૂણો $\theta = \pi/3$ છે.
$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}| \cos(\pi/3) = 3 \times 2 \times (1/2) = 3$.
$|\vec{a}|^2 = |3\vec{p} - \vec{q}|^2 = 9|\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 - 6(\vec{p} \cdot \vec{q}) = 9(9) + 4 - 6(3) = 81 + 4 - 18 = 67$ ની ગણતરી કરો.
તેથી, $|\vec{a}| = \sqrt{67}$.
$|\vec{b}|^2 = |\vec{p} + 3\vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 + 9|\vec{q}|^2 + 6(\vec{p} \cdot \vec{q}) = 9 + 9(4) + 6(3) = 9 + 36 + 18 = 63$ ની ગણતરી કરો.
તેથી, $|\vec{b}| = \sqrt{63}$.
ગુણોત્તર $|\vec{a}| : |\vec{b}| = \sqrt{67} : \sqrt{63}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે, તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$ છે.
કારણ કે $a$ એ $b$ અને $c$ ના સમતલને લંબ છે, તેથી $a \cdot b = 0$ અને $a \cdot c = 0$ છે.
$b$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે, તેથી $b \cdot c = |b||c| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
હવે, $|a + b + c|^2 = (a + b + c) \cdot (a + b + c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $|a + b + c|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(0 + \frac{1}{2} + 0) = 3 + 1 = 4$ છે.
તેથી, $|a + b + c| = \sqrt{4} = 2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|a| = |b| = |c| = 1$ અને $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $d = xa + yb + zc$ એ $a$ ને લંબ છે, $d \cdot a = 0 \implies x(a \cdot a) + y(b \cdot a) + z(c \cdot a) = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $x(1) + y(\frac{1}{2}) + z(\frac{1}{2}) = 0 \implies 2x + y + z = 0$ $(i)$.
કારણ કે $d$ એ $b$ ને લંબ છે, $d \cdot b = 0 \implies x(a \cdot b) + y(b \cdot b) + z(c \cdot b) = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $x(\frac{1}{2}) + y(1) + z(\frac{1}{2}) = 0 \implies x + 2y + z = 0$ (ii).
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $(2x - x) + (y - 2y) + (z - z) = 0 \implies x - y = 0 \implies x = y$.
$(i)$ માં $x = y$ મૂકતા: $2x + x + z = 0 \implies 3x + z = 0 \implies z = -3x$.
તેથી, $\frac{x + y}{z} = \frac{x + x}{-3x} = \frac{2x}{-3x} = -\frac{2}{3}$.

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{a}$, $\vec{b}$, અને $\vec{c}$ સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય, એટલે કે $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$.
આ તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & c_3 \end{vmatrix} = 0$.
બીજી હારને અનુસરીને વિસ્તરણ કરતા:
$-1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & c_3 \end{vmatrix} = 0$.
$-1(c_3 - 2) = 0$.
$c_3 - 2 = 0$.
$c_3 = 2$.

(C) આપેલ છે કે $a + b + c = 0$, તેથી $a + b = -c$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|a + b|^2 = |-c|^2$.
$|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| \cos(a \wedge b) = |c|^2$.
$7^2 + 5^2 + 2(7)(5) \cos(a \wedge b) = 3^2$.
$49 + 25 + 70 \cos(a \wedge b) = 9$.
$74 + 70 \cos(a \wedge b) = 9 \implies 70 \cos(a \wedge b) = -65 \implies \cos(a \wedge b) = -\frac{13}{14}$.
તે જ રીતે, $b + c = -a$ માટે:
$|b|^2 + |c|^2 + 2|b||c| \cos(b \wedge c) = |a|^2$.
$5^2 + 3^2 + 2(5)(3) \cos(b \wedge c) = 7^2$.
$25 + 9 + 30 \cos(b \wedge c) = 49$.
$34 + 30 \cos(b \wedge c) = 49 \implies 30 \cos(b \wedge c) = 15 \implies \cos(b \wedge c) = \frac{1}{2}$.

(D) ધારો કે સદિશ $\vec{r} = xi + yj + zk$ છે. દિક્-કોસાઇન $l = \cos \alpha$, $m = \cos \beta$, $n = \cos \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\beta = \frac{\pi}{4}$ અને $\gamma = \frac{\pi}{2}$.
તેથી, $m = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $n = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
કારણ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$, આપણી પાસે $l^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 0^2 = 1$ છે, જે $l^2 + \frac{1}{2} = 1$ આપે છે, તેથી $l^2 = \frac{1}{2}$, એટલે કે $l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
એકમ સદિશ $\hat{r} = li + mj + nk = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}i + \frac{1}{\sqrt{2}}j + 0k$ છે.
સદિશ $\vec{r} = |\vec{r}| \hat{r} = 3\sqrt{2} (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}i + \frac{1}{\sqrt{2}}j) = \pm 3i + 3j$ છે.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ નિયમિત ષટ્કોણના કેન્દ્ર $O$ પર છે. શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ છે.
કેન્દ્ર $O$ હોવાથી, $\vec{a} + \vec{d} = \vec{0}$, $\vec{b} + \vec{e} = \vec{0}$, અને $\vec{c} + \vec{f} = \vec{0}$ છે.
વળી, $\vec{d} = -\vec{a}$ છે.
આપેલ સરવાળો $\vec{S} = (\vec{b}-\vec{a}) + (\vec{c}-\vec{a}) + (\vec{d}-\vec{a}) + (\vec{e}-\vec{a}) + (\vec{f}-\vec{a})$ છે.
$\vec{S} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} + \vec{f}) - 6\vec{a} - \vec{a} = \vec{0} - 6\vec{a} = -6\vec{a} = 6\vec{d}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{S} = p\vec{AD} = p(\vec{d}-\vec{a}) = p(2\vec{d}) = 2p\vec{d}$ છે.
$6\vec{d} = 2p\vec{d}$ ની સરખામણી કરતા, આપણને $p = 3$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{S} = q\vec{AO} = q\vec{a} = q(-\vec{d})$ છે.
કારણ કે $\vec{S} = 6\vec{d}$ છે, તેથી સદિશ દિશા મુજબ $\vec{S} = 6\vec{AO}$ થાય છે. આમ $p=3, q=6$ છે.