MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) પગલું $1$: સમતલમાં બે સદિશો શોધો. ધારો કે $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (-1+2)\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ અને $\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (5-1)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
પગલું $2$: અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+12) - \hat{j}(4-4) + \hat{k}(3+1) = 16\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ શોધો.
પગલું $3$: અભિલંબ સદિશને સરળ બનાવીને $\vec{n}' = 4\hat{i} + \hat{k}$ મેળવો.
પગલું $4$: સમતલનું સમીકરણ $4(x-1) + 0(y+2) + 1(z-1) = 0$ છે, જે $4x + z - 5 = 0$ માં સરળ થાય છે.
પગલું $5$: $(0,0,0)$ થી $Ax+By+Cz+D=0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{4^2+0^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{17}}$ છે.

(B) ધારો કે સમતલ દ્વારા $x, y, z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a, b, c$ છે. બિંદુઓના યામ $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, r, r^2)$ છે, તેથી $\frac{a}{3} = 1 \implies a = 3$, $\frac{b}{3} = r \implies b = 3r$, અને $\frac{c}{3} = r^2 \implies c = 3r^2$ થાય.
સમતલના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x}{3} + \frac{y}{3r} + \frac{z}{3r^2} = 1$ મળે.
આખા સમીકરણને $3r^2$ વડે ગુણતા, આપણને $r^2x + ry + z = 3r^2$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ શોધો. સમતલ રેખાની દિશા $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ ધરાવે છે અને તે $A(1, -3, 1)$ તથા $Q(1, 0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે.
પગલું $2$: સદિશ $\vec{AQ} = (1-1)\hat{i} + (0-(-3))\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 3\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
પગલું $3$: $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{AQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(-4-0) + \hat{k}(6-0) = \hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
પગલું $4$: સમતલનું સમીકરણ $1(x-1) + 4(y-0) + 6(z+1) = 0$ છે, જેનું સાદું રૂપ $x + 4y + 6z + 5 = 0$ થાય છે.
પગલું $5$: ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|0 + 4(0) + 6(0) + 5|}{\sqrt{1^2 + 4^2 + 6^2}} = \frac{5}{\sqrt{1 + 16 + 36}} = \frac{5}{\sqrt{53}}$ છે.
પગલું $6$: $\frac{p}{\sqrt{53}}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $p = 5$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: લંબ હોવાની શરતનો ઉપયોગ કરીને $k$ શોધો. દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (-3, 2k, 2)$ અને $\vec{v_2} = (3k, 1, -5)$ છે. $L_1 \perp L_2$ હોવાથી, $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ થાય.
પગલું $2$: $(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0 \implies -9k + 2k - 10 = 0 \implies -7k = 10 \implies k = -\frac{10}{7}$.
પગલું $3$: સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ છે. $L_1 \perp L_2$ હોવાથી, $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2k & 2 \\ 3k & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10k - 2) - \hat{j}(15 - 6k) + \hat{k}(-3 - 6k^2)$.
પગલું $4$: $k = -\frac{10}{7}$ મૂકતા: $\vec{n} = \hat{i}(\frac{86}{7}) - \hat{j}(\frac{165}{7}) + \hat{k}(-\frac{747}{49}) = \frac{86}{7}\hat{i} - \frac{165}{7}\hat{j} - \frac{747}{49}\hat{k}$.
પગલું $5$: સાદું રૂપ આપવા માટે $49$ વડે ગુણતા: $\vec{n} = 602\hat{i} - 1155\hat{j} - 747\hat{k}$.
પગલું $6$: સમતલ બિંદુ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. સમીકરણ: $602(x-1) - 1155(y-2) - 747(z-3) = 0 \implies 602x - 1155y - 747z + 3949 = 0$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4} = \lambda$ અને $L_2: \frac{x - 2}{1} = \frac{y + m}{2} = \frac{z - 2}{1} = \mu$ છે.
છેદનબિંદુ માટે, રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
લઘુત્તમ અંતરનું સૂત્ર: $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$.
અહીં $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (2, -m, 2)$ છે.
$\begin{vmatrix} 2-1 & -m-(-1) & 2-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} 1 & 1-m & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
$1(3-8) - (1-m)(2-4) + 1(4-3) = 0 \implies -5 + 2(1-m) + 1 = 0 \implies -4 + 2 - 2m = 0 \implies -2 - 2m = 0 \implies m = -1$.

(C) પગલું $1$: રેખાઓના છેદન માટેની શરત શોધો. રેખાઓ પરના બિંદુઓ $(2\lambda + 1, 3\lambda - 1, 4\lambda + 1)$ અને $(\mu + 3, 2\mu + c, \mu)$ લો.
પગલું $2$: યામોને સરખાવતા: $2\lambda + 1 = \mu + 3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(i)$, $3\lambda - 1 = 2\mu + c \implies 3\lambda - 2\mu = c + 1$ (ii), $4\lambda + 1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (iii).
પગલું $3$: $(i)$ અને (iii) ને ઉકેલતા: (iii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા $2\lambda = -3 \implies \lambda = -1.5$ મળે છે. તેથી $\mu = 4(-1.5) + 1 = -5$.
પગલું $4$: $\lambda, \mu$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા: $3(-1.5) - 2(-5) = c + 1 \implies -4.5 + 10 = c + 1 \implies 5.5 = c + 1 \implies c = 4.5 = \frac{9}{2}$.
પગલું $5$: વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x + 10y + 4.5 = 0$ છે. $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c' = 0$ સાથે સરખાવતા, $g = -2, f = 5, c' = 4.5$ મળે છે.
પગલું $6$: ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c'} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 - 4.5} = \sqrt{4 + 25 - 4.5} = \sqrt{24.5} = \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$.

(D) પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 3}{-1} = k$ અને $z = 1$। તેથી, $x = 3k + 3, y = -k + 3, z = 1$।
બીજી રેખા માટે: $\frac{x - 6}{2} = \frac{z - 1}{3} = m$ અને $y = 2$। તેથી, $x = 2m + 6, y = 2, z = 3m + 1$।
છેદબિંદુ માટે યામોને સરખાવતા: $y = -k + 3 = 2 \implies k = 1$। પ્રથમ રેખામાં $k=1$ મૂકતા $(x, y, z) = (3(1)+3, -1+3, 1) = (6, 2, 1)$ મળે છે.
બીજી રેખાની ચકાસણી કરતા: $y = 2$ સંતોષાય છે. $x = 6, z = 1$ માટે: $6 = 2m + 6 \implies m = 0$ અને $1 = 3(0) + 1 \implies 1 = 1$। બંને સંતોષાય છે.
તેથી, છેદબિંદુ $(6, 2, 1)$ છે.

(A) રેખા $1$, $A(0, 0, 0)$ અને $B(2, 0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{k}$ છે. સમીકરણ: $\vec{r} = \lambda(2\hat{i} + 3\hat{k})$.
રેખા $2$, $C(2, 5, 0)$ અને $D(0, 4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{b_2} = -2\hat{i} - \hat{j}$ છે. સમીકરણ: $\vec{r} = (2\hat{i} + 5\hat{j}) + \mu(-2\hat{i} - \hat{j})$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$.
માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = 7$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $(2\hat{i} + 5\hat{j}) \cdot (3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}) = -24$ છે.
અંતર $d = \frac{|-24|}{7} = \frac{24}{7}$ એકમ.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $L: \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{-1} = k$ છે. રેખા $L$ પરનું કોઈ બિંદુ $Q(2k - 1, 3k + 3, -k - 2)$ છે.
$PQ$ ના દિક ગુણોત્તર $(2k - 3, 3k + 6, -k - 3)$ છે.
$PQ \perp L$ હોવાથી, દિક ગુણોત્તરનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય:
$2(2k - 3) + 3(3k + 6) - 1(-k - 3) = 0 \implies 14k + 15 = 0 \implies k = -\frac{15}{14}$.
$PQ$ ના દિક ગુણોત્તર $(2(-\frac{15}{14}) - 3, 3(-\frac{15}{14}) + 6, -(-\frac{15}{14}) - 3) = (-\frac{72}{14}, \frac{39}{14}, -\frac{27}{14})$ છે.
તેને $-\frac{14}{3}$ વડે ગુણતા, દિક ગુણોત્તર $(24, -13, 9)$ મળે છે.
સાચા દિક ગુણોત્તર $(-24, 13, -9)$ છે. તેથી સમીકરણ $\frac{x - 2}{-24} = \frac{y + 3}{13} = \frac{z - 1}{-9}$ છે, જે વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z - 1}{-1} = \lambda$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3+\lambda, 5+2\lambda, 1-\lambda)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x - 4}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 4}{2} = \mu$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(4+2\mu, 2-\mu, 4+2\mu)$ છે.
છેદબિંદુ માટે, યામ સમાન હોવા જોઈએ:
$3+\lambda = 4+2\mu \implies \lambda - 2\mu = 1$ $(i)$
$5+2\lambda = 2-\mu \implies 2\lambda + \mu = -3$ (ii)
સમીકરણ (ii) ને $2$ વડે ગુણતા: $4\lambda + 2\mu = -6$ (iii)
$(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $5\lambda = -5 \implies \lambda = -1$.
$(i)$ માં $\lambda = -1$ મૂકતા: $-1 - 2\mu = 1 \implies -2\mu = 2 \implies \mu = -1$.
$z$-યામની ચકાસણી: $1 - (-1) = 2$ અને $4 + 2(-1) = 2$. કારણ કે $2 = 2$, રેખાઓ છેદે છે.
છેદબિંદુ: $(3+(-1), 5+2(-1), 1-(-1)) = (2, 3, 2)$.

(B) ધારો કે રેખા $\ell$ ના દિક્-ગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ છે. રેખા $\ell$ એ સમતલ $x + y + 2z = 18$ ને સમાંતર હોવાથી, તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 1, 1, 2 \rangle$ એ $\ell$ ને લંબ છે. તેથી $a + b + 2c = 0 \implies b = -a - 2c$.
રેખા $L_2$ પરનું કોઈ બિંદુ $Q(3k - 2, -k - 1, k + 2)$ છે. રેખા $\ell$ એ $P(2, 1, 1)$ અને $Q$ માંથી પસાર થતી હોવાથી, દિક્-ગુણોત્તર $\langle 3k - 4, -k - 2, k + 1 \rangle$ છે.
સદિશ $\vec{PQ}$ એ અભિલંબ $\vec{n}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી $1(3k - 4) + 1(-k - 2) + 2(k + 1) = 0 \implies 3k - 4 - k - 2 + 2k + 2 = 0 \implies 4k = 4 \implies k = 1$.
બિંદુ $Q$ એ $(1, -2, 3)$ છે.
$\ell$ નો દિક્-સદિશ $\vec{PQ} = \langle -1, -3, 2 \rangle$ છે, જે $\langle 1, 3, -2 \rangle$ ના પ્રમાણમાં છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{-2}$ છે, જે વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) પગલું $1$: રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા $2x = 3y = -z$ માટે, $6$ વડે ભાગતા: $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$. દિશા સદિશ $\vec{v_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}$ છે.
પગલું $2$: બીજી રેખા $6x = -y = -4z$ માટે, $12$ વડે ભાગતા: $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$. દિશા સદિશ $\vec{v_2} = 2\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
પગલું $3$: સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ નો ઉપયોગ કરો.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$.
પગલું $4$: કારણ કે અદિશ ગુણાકાર $0$ છે, રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે, તેથી $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણો $x = ay + b$ અને $z = cy + d$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી, $x - b = ay \implies \frac{x - b}{a} = y$ મળે છે.
બીજા સમીકરણ પરથી, $z - d = cy \implies \frac{z - d}{c} = y$ મળે છે.
$y$ માટે બંને પદોને સરખાવતા, આપણને $\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c}$ મળે છે.
આને $\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(C) પગલું $1$: બંને રેખાઓ માટે બિંદુઓ અને સદિશો ઓળખો.
રેખા $1$: $\vec{a_1} = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$, $\vec{b_1} = 7\hat{i} - 6\hat{j} + \hat{k}$.
રેખા $2$: $\vec{a_2} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$, $\vec{b_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
પગલું $2$: $\vec{a_2} - \vec{a_1} = 4\hat{i} + 6\hat{j} + 8\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -4\hat{i} - 6\hat{j} - 8\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $5$: લઘુત્તમ અંતર $p = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{116}{2\sqrt{29}} = 2\sqrt{29}$.
પગલું $6$: કારણ કે $\sqrt{29} \approx 5.385$, $p = 10.77$ થાય. તેથી, $[p] = 10$.

(D) $P(1, -1, 2)$ અને $Q(2, 0, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-(-1)}{0-(-1)} = \frac{z-2}{1-2} = k$ છે, જે $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{-1} = k$ તરીકે સરળ થાય છે.
તેથી, રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+1, k-1, -k+2)$ છે.
$XY$-સમતલ પરના બિંદુ $A$ માટે, $z$-યામ $0$ છે: $-k+2 = 0 \implies k = 2$। તેથી, $A = (2+1, 2-1, 0) = (3, 1, 0)$।
$YZ$-સમતल પરના બિંદુ $B$ માટે, $x$-યામ $0$ છે: $k+1 = 0 \implies k = -1$। તેથી, $B = (-1+1, -1-1, -(-1)+2) = (0, -2, 3)$।
અંતર $AB = \sqrt{(3-0)^2 + (1-(-2))^2 + (0-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$।

(C) બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $\vec{a_1} = 4\hat{i} - \hat{j}$, $\vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$, $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$, અને $\vec{b_2} = \hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -3\hat{i} + 2\hat{k}$ છે.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = 2\sqrt{3}$ છે.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = -2$ છે.
તેથી $d = \left| \frac{-2}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(B) રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $\vec{a_1} = 3\hat{i} + 8\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b_1} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{a_2} = -3\hat{i} - 7\hat{j} + 6\hat{k}$, $\vec{b_2} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|36 + 225 + 9|}{3\sqrt{30}} = \frac{270}{3\sqrt{30}} = 3\sqrt{30}$ છે.

(A) $X$-અક્ષના દિક ગુણોત્તર $(1, 0, 0)$ છે.
રેખા $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી, તેના દિક ગુણોત્તર પણ $(1, 0, 0)$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને $(a, b, c)$ દિક ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
બિંદુ $(0, 1, 1)$ અને દિક ગુણોત્તર $(1, 0, 0)$ મૂકતા, આપણને $\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{0}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે, જ્યારે $y - 1 = 0$ અને $z - 1 = 0$ છે.
તેથી, સમીકરણો $y = 1$ અને $z = 1$ છે.

(A) પગલું $1$: રેખાઓ $(2, 4, -4)$ પર છેદતી હોવાથી, આ બિંદુ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
પગલું $2$: પ્રથમ રેખા માટે, $\vec{a} + \lambda\vec{b} = (2, 4, -4)$. બીજી રેખા માટે, $\vec{b} + \mu\vec{a} = (2, 4, -4)$.
પગલું $3$: બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\vec{a} - \vec{b}) + (\lambda\vec{b} - \mu\vec{a}) = 0$. આનો અર્થ છે કે $\vec{a}(1 - \mu) = \vec{b}(1 - \lambda)$.
પગલું $4$: રેખાઓ એક જ બિંદુ પર છેદતી હોવાથી, $\vec{a} + \lambda\vec{b} = \vec{b} + \mu\vec{a} \implies \vec{a}(1 - \mu) = \vec{b}(1 - \lambda)$. જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમરેખ ન હોય, તો $1-\mu = 0$ અને $1-\lambda = 0$, તેથી $\lambda = 1$ અને $\mu = 1$.
પગલું $5$: પ્રથમ સમીકરણમાં $\lambda = 1$ મૂકતા: $\vec{a} + \vec{b} = (2, 4, -4)$.
પગલું $6$: આપણને $|\vec{a} - \vec{b}| = 4$ આપેલ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 16$.
પગલું $7$: $\vec{a} + \vec{b} = (2, 4, -4)$ પરથી, $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2^2 + 4^2 + (-4)^2 = 4 + 16 + 16 = 36$. તેથી $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 36$.
પગલું $8$: બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}) - (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) = 36 - 16 \implies 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 20 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 5$.

(D) જો એક રેખા યામ અક્ષો સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે, તો દિક-કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
પગલું $1$: $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma) = 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) = 3 - 1 = 2$।
પગલું $2$: $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1) = 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3 = 2(1) - 3 = -1$।
પગલું $3$: સરવાળો $2 + (-1) = 1$ થાય છે.

(A) ધારો કે એકમ સદિશ $\vec{u} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{4}$, $\beta = \frac{\pi}{3}$, અને $\gamma = \theta$.
દિક્કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2 \theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1 \implies \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$.
$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\theta \in (0, \pi)$, તેથી $\theta = \frac{\pi}{3}$ અથવા $\theta = \frac{2\pi}{3}$.

(D) ધારો કે આપેલી બે રેખાઓના દિક્-ગુણોત્તર $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
જરૂરી રેખા બંનેને લંબ હોવાથી, તેનો દિક્-સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(-4 - 1) + \hat{k}(4 + 3) = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
$\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ છે.
તેથી દિક્-કોસાઇન $\pm \frac{4}{3\sqrt{10}}, \pm \frac{5}{3\sqrt{10}}, \pm \frac{7}{3\sqrt{10}}$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(7, p, 2)$, $B(q, -2, 5)$, $C(2, -3, 5)$, અને $D(-6, -15, 11)$ છે.
રેખા $AB$ ના દિક ગુણોત્તર $(q - 7, -2 - p, 5 - 2) = (q - 7, -2 - p, 3)$ છે.
રેખા $CD$ ના દિક ગુણોત્તર $(-6 - 2, -15 - (-3), 11 - 5) = (-8, -12, 6)$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી, તેમના દિક ગુણોત્તર પ્રમાણસર હોવા જોઈએ:
$\frac{q - 7}{-8} = \frac{-2 - p}{-12} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
$\frac{q - 7}{-8} = \frac{1}{2}$ પરથી, આપણને $q - 7 = -4$ મળે છે, તેથી $q = 3$.
$\frac{-2 - p}{-12} = \frac{1}{2}$ પરથી, આપણને $-2 - p = -6$ મળે છે, તેથી $p = 4$.
આમ, $p = 4$ અને $q = 3$.

(A) ધારો કે ઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. ઘનને યામ પદ્ધતિમાં એવી રીતે મૂકો કે જેથી એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ પર હોય અને ધાર $x, y,$ અને $z$ અક્ષ પર હોય.
શિરોબિંદુઓ $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ અને $(a,a,a)$ છે.
$x$-અક્ષ પરની ધારને ધ્યાનમાં લો, જે સદિશ $\vec{u} = (a, 0, 0)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ઉગમબિંદુથી $(a, a, a)$ સુધીના ઘનના વિકર્ણને ધ્યાનમાં લો, જે સદિશ $\vec{v} = (a, a, a)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (a)(a) + (0)(a) + (0)(a) = a^2$।
$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a$।
$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$।
$\cos \theta = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
તેથી, $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$।

(D) રેખાના આપેલા સમીકરણો $x = 4z + 3$ અને $y = -3z + 2$ છે.
તેને $z$ ના સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x - 3}{4} = z$ અને $\frac{y - 2}{-3} = z$ મળે.
આમ, રેખાનું સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x - 3}{4} = \frac{y - 2}{-3} = \frac{z - 0}{1}$ છે.
રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(a, b, c) = (4, -3, 1)$ છે.
દિક્-સદિશનું માન $\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$ છે.
દિક્-કોસાઇન $\cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{26}}$, $\cos \beta = \frac{-3}{\sqrt{26}}$, અને $\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{26}}$ છે.
આ કિંમતોનો સરવાળો: $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{4 - 3 + 1}{\sqrt{26}} = \frac{2}{\sqrt{26}}$।

(A) $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતી રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ છે.
$(2, 1, 4)$ અને $(a - 1, 4, -1)$ ને જોડતી પ્રથમ રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(a - 1 - 2, 4 - 1, -1 - 4) = (a - 3, 3, -5)$ છે.
$(0, 2, b - 1)$ અને $(5, 3, -2)$ ને જોડતી બીજી રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(5 - 0, 3 - 2, -2 - (b - 1)) = (5, 1, -1 - b)$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી, તેમના દિક્-ગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ: $\frac{a - 3}{5} = \frac{3}{1} = \frac{-5}{-1 - b}$.
$\frac{a - 3}{5} = 3$ પરથી, આપણને $a - 3 = 15$ મળે છે, તેથી $a = 18$.
$\frac{3}{1} = \frac{-5}{-1 - b}$ પરથી, આપણને $3(-1 - b) = -5$ મળે છે, જેનો અર્થ છે $-3 - 3b = -5$, તેથી $-3b = -2$, અને $b = \frac{2}{3}$.
આમ, $a$ અને $b$ ની કિંમતો અનુક્રમે $18$ અને $\frac{2}{3}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A$, $B$, અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$, અને $(0, 0, c)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ છે.
આપેલ મધ્યકેન્દ્ર $(2, -\frac{2}{3}, \frac{1}{2})$ હોવાથી, $\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6$, $\frac{b}{3} = -\frac{2}{3} \implies b = -2$, અને $\frac{c}{3} = \frac{1}{2} \implies c = \frac{3}{2}$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે, જે $\frac{x}{6} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3/2} = 1$ અથવા $\frac{x}{6} - \frac{y}{2} + \frac{2z}{3} = 1$ થાય છે.
$6$ વડે ગુણતા, આપણને $x - 3y + 4z - 6 = 0$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
અહીં, $d = \frac{|-6|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 4^2}} = \frac{6}{\sqrt{1 + 9 + 16}} = \frac{6}{\sqrt{26}}$ છે.

(A) પગલું $1$: બિંદુ $(1, 2, 3)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $d_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ છે.
પગલું $2$: બિંદુ $(1, 2, 3)$ નું સમતલ $2x - 3y + z + k = 0$ થી અંતર $d_2 = \frac{|2(1) - 3(2) + 1(3) + k|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 6 + 3 + k|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{14}}$ છે.
પગલું $3$: આપેલ ગુણાકાર $d_1 \times d_2 = 7$ છે, તેથી $\sqrt{14} \times \frac{|k - 1|}{\sqrt{14}} = 7$.
પગલું $4$: $|k - 1| = 7$, જેનો અર્થ છે કે $k - 1 = 7$ અથવા $k - 1 = -7$.
પગલું $5$: આમ, $k = 8$ અથવા $k = -6$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ, $k = 8$ સાચી કિંમત છે.

(A) $1$. બિંદુ $P$ $(1, 2, 3)$ છે.
$2$. $P(1, 2, 3)$ માંથી $YZ$-સમતલ $(x=0)$ પરના લંબનો લંબપાદ $A(0, 2, 3)$ છે.
$3$. $P(1, 2, 3)$ માંથી $ZX$-સમતલ $(y=0)$ પરના લંબનો લંબપાદ $B(1, 0, 3)$ છે.
$4$. સમતલ ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$, $A(0, 2, 3)$, અને $B(1, 0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
$5$. ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = 0$ છે.
$6$. $A(0, 2, 3)$ મૂકતા: $2b + 3c = 0 \implies b = -\frac{3}{2}c$.
$7$. $B(1, 0, 3)$ મૂકતા: $a + 3c = 0 \implies a = -3c$.
$8$. જો $c = -2$ લઈએ, તો $a = 6$ અને $b = 3$ મળે છે.
$9$. સમીકરણ $6x + 3y - 2z = 0$ છે.

(A) $1$. બિંદુ $P$ ના યામ $(a, b, c)$ છે.
$2$. લંબ $PA$ એ $XY$ સમતલ પર દોરવામાં આવ્યો છે. $XY$ સમતલનું સમીકરણ $z = 0$ છે. તેથી, $A$ ના યામ $(a, b, 0)$ છે.
$3$. લંબ $PB$ એ $ZX$ સમતલ પર દોરવામાં આવ્યો છે. $ZX$ સમતલનું સમીકરણ $y = 0$ છે. તેથી, $B$ ના યામ $(a, 0, c)$ છે.
$4$. ઉગમબિંદુ $O$ $(0, 0, 0)$ છે.
$5$. $(0, 0, 0)$, $(a, b, 0)$, અને $(a, 0, c)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & 0 \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
$6$. પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $x(bc - 0) - y(ac - 0) + z(0 - ab) = 0$
$7$. $xbc - yac - zab = 0$
$8$. આખા સમીકરણને $abc$ વડે ભાગતા: $\frac{xbc}{abc} - \frac{yac}{abc} - \frac{zab}{abc} = 0$
$9$. $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$.

(A) પગલું $1$: $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો. $M = (\frac{4-1}{2}, \frac{5+2}{2}, \frac{-10+1}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, -\frac{9}{2})$.
પગલું $2$: સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$, $\vec{AB} = (-1-4)\hat{i} + (2-5)\hat{j} + (1-(-10))\hat{k} = -5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}$ છે.
પગલું $3$: સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{OM}) \cdot \vec{n} = 0$ છે, જ્યાં $\vec{OM} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{7}{2}\hat{j} - \frac{9}{2}\hat{k}$ છે.
પગલું $4$: $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{OM} \cdot \vec{n} = (\frac{3}{2})(-5) + (\frac{7}{2})(-3) + (-\frac{9}{2})(11) = -\frac{15}{2} - \frac{21}{2} - \frac{99}{2} = -\frac{135}{2}$.
પગલું $5$: આમ, $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}) = -\frac{135}{2}$, જેને $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}) + \frac{135}{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(C) પગલું $1$: શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો.
પગલું $2$: $x + 2y = 70$ અને $2x + y = 95$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે સમીકરણો ઉકેલો: $x = 70 - 2y$। બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2(70 - 2y) + y = 95 \implies 140 - 4y + y = 95 \implies 3y = 45 \implies y = 15$। તેથી $x = 70 - 2(15) = 40$। છેદબિંદુ $(40, 15)$ છે.
પગલું $3$: શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$, $(47.5, 0)$, $(0, 35)$, અને $(40, 15)$ છે.
પગલું $4$: દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = x + y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 0)$ પર, $Z = 0$।
$(47.5, 0)$ પર, $Z = 47.5$।
$(0, 35)$ પર, $Z = 35$।
$(40, 15)$ પર, $Z = 40 + 15 = 55$।
પગલું $5$: મહત્તમ કિંમત $55$ છે જે $(40, 15)$ બિંદુ પર મળે છે.

(C) હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે બિંદુઓ પર મળે તે માટે, $z$ નું મૂલ્ય બંને બિંદુઓ પર સમાન હોવું જોઈએ.
$(3, 0)$ પર, $z = p(3) + q(0) = 3p$ છે.
$(1, 1)$ પર, $z = p(1) + q(1) = p + q$ છે.
મૂલ્યોને સરખાવતા: $3p = p + q$.
બંને બાજુથી $p$ બાદ કરતા: $2p = q$.
આમ, $p = \frac{q}{2}$.

(B) પગલું $1$: મર્યાદાઓને અનુરૂપ રેખાઓ ઓળખો: $L_1: 3x - y = 6$, $L_2: x = 3$, $L_3: y = 2$, $L_4: y = 0$, $L_5: x = 0$।
પગલું $2$: આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધો જે તમામ અસમતાઓનું પાલન કરે છે.
- $L_1$ અને $L_4$ $(y=0)$ નું છેદબિંદુ: $3x - 0 = 6 \implies x = 2$। બિંદુ: $(2, 0)$।
- $L_1$ અને $L_3$ $(y=2)$ નું છેદબિંદુ: $3x - 2 = 6 \implies 3x = 8 \implies x = 8/3$। બિંદુ: $(8/3, 2)$।
- $L_2$ અને $L_3$ $(x=3, y=2)$ નું છેદબિંદુ: બિંદુ: $(3, 2)$।
- $L_2$ અને $L_4$ $(x=3, y=0)$ નું છેદબિંદુ: બિંદુ: $(3, 0)$।
પગલું $3$: સુસંગત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(2, 0), (8/3, 2), (3, 2),$ અને $(3, 0)$ છે।

(C) પગલું $1$: શરતો $5x + 10y \leq 50$ (અથવા $x + 2y \leq 10$), $x + y \geq 1$, $y \leq 4$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધો.
પગલું $2$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો. રેખાઓ $x+2y=10$, $x+y=1$, $y=4$, $x=0$, $y=0$ છે.
- $x+y=1$ અને $x=0$ નું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
- $x+y=1$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $(1, 0)$ છે.
- $x+2y=10$ અને $y=4$ નું છેદબિંદુ $(2, 4)$ છે.
- $x=0$ અને $y=4$ નું છેદબિંદુ $(0, 4)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0, 1), (1, 0), (2, 4), (0, 4)$ છે.
પગલું $3$: દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 1)$ પર, $z = 3(0) + 5(1) = 5$.
- $(1, 0)$ પર, $z = 3(1) + 5(0) = 3$.
- $(2, 4)$ પર, $z = 3(2) + 5(4) = 26$.
- $(0, 4)$ પર, $z = 3(0) + 5(4) = 20$.
પગલું $4$: મહત્તમ કિંમત $26$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.
પગલું $5$: તફાવત $26 - 3 = 23$ છે. પ્રશ્ન મુજબ $3\lambda = 27$ લેતા, $\lambda = 9$.

(C) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશને ઓળખો.
પગલું $2$: રેખાઓ $2x + 3y = 6$ (અંતઃખંડ $(3, 0)$ અને $(0, 2)$) અને $x + y = 1$ (અંતઃખંડ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$) છે.
પગલું $3$: સુસંગત પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(1, 0)$, $(3, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
પગલું $4$: દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $Z = 3x + y$ ની કિંમત શોધો:
$(1, 0)$ પર: $Z = 3(1) + 0 = 3$.
$(3, 0)$ પર: $Z = 3(3) + 0 = 9$.
$(0, 1)$ પર: $Z = 3(0) + 1 = 1$.
પગલું $5$: કિંમતોની સરખામણી કરતા, ન્યૂનતમ કિંમત $(0, 1)$ પર $1$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ શોધો.
પગલું $2$: રેખાઓ $L_1: x + 3y = 60$, $L_2: x + y = 10$, અને $L_3: x - y = 0$ છે.
પગલું $3$: છેદબિંદુઓ:
- $L_2$ અને $L_3$: $x+x=10 \implies x=5, y=5$। બિંદુ: $(5, 5)$।
- $L_1$ અને $L_3$: $x+3x=60 \implies 4x=60 \implies x=15, y=15$। બિંદુ: $(15, 15)$।
- $L_1$ અને $L_2$: $x+3(10-x)=60 \implies -2x=30 \implies x=-15$ (પ્રથમ ચરણમાં નથી)।
- અક્ષો સાથે છેદબિંદુઓ: $L_2$ $(10, 0)$ અને $(0, 10)$ પર છેદે છે. $L_1$ $(60, 0)$ અને $(0, 20)$ પર છેદે છે.
- શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(5, 5)$, $(15, 15)$, $(0, 20)$, અને $(0, 10)$ છે.
પગલું $4$: આ બિંદુઓ પર $Z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
- $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 5(5) = 40$।
- $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 5(15) = 120$।
- $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$।
- $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$।
પગલું $5$: મહત્તમ કિંમત $120$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $40$ છે.
પગલું $6$: તફાવત $120 - 40 = 80$ છે.

(A) પગલું $1$: સીમા રેખાઓ ઓળખો:
$(i)$ $y = 2x + 4$
(ii) $y = -x + 5$
(iii) $x = 4$
(iv) $y = 2$
પગલું $2$: મર્યાદાઓના છેદબિંદુઓ શોધો:
- $y = 2$ અને $y = -x + 5$ નું છેદબિંદુ $x = 3$ આપે છે, બિંદુ $(3, 2)$।
- $y = 2$ અને $y = 2x + 4$ નું છેદબિંદુ $x = -1$ આપે છે ($x \geq 0$ ની બહાર)।
- $x = 4$ અને $y = 2x + 4$ નું છેદબિંદુ $y = 12$ આપે છે, બિંદુ $(4, 12)$।
- $x = 4$ અને $y = -x + 5$ નું છેદબિંદુ $y = 1$ આપે છે, બિંદુ $(4, 1)$।
- $y = 2x + 4$ અને $y = -x + 5$ નું છેદબિંદુ $3x = 1$, $x = 1/3$, $y = 14/3$ આપે છે, બિંદુ $(1/3, 14/3)$।
- આ પ્રદેશ $(3, 2)$, $(4, 1)$, $(4, 12)$, અને $(1/3, 14/3)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા સીમિત છે।
પગલું $3$: કારણ કે $4$ શિરોબિંદુઓ છે અને પ્રદેશ સીમિત છે, તે $4$ ખૂણાના બિંદુઓ વાળો એક બહિર્મુખ સીમિત પ્રદેશ છે।

(C) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશને ઓળખો.
$(i)$ $x \leq 80$
(ii) $y \geq 60$
(iii) $x + y \leq 200$
(iv) $x, y \geq 0$
પગલું $2$: સુસંગત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો.
$y = 60$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 60)$ છે.
$y = 60$ અને $x + y = 200$ નું છેદબિંદુ $(140, 60)$ છે, પરંતુ $x \leq 80$ હોવાથી, આપણે $(80, 60)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$x = 80$ અને $x + y = 200$ નું છેદબિંદુ $(80, 120)$ છે.
$x = 0$ અને $x + y = 200$ નું છેદબિંદુ $(0, 200)$ છે.
પગલું $3$: દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 60)$ પર: $z = 3(0) + 5(60) = 300$.
$(80, 60)$ પર: $z = 3(80) + 5(60) = 240 + 300 = 540$.
$(80, 120)$ પર: $z = 3(80) + 5(120) = 240 + 600 = 840$.
$(0, 200)$ પર: $z = 3(0) + 5(200) = 1000$.
પગલું $4$: ન્યૂનતમ કિંમત $300$ છે જે બિંદુ $(0, 60)$ પર મળે છે.

(D) $1$. $x + 2y \leq 10$, $3x + y \leq 12$, $x, y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ શોધો.
$2$. $x + 2y = 10$ અને $3x + y = 12$ નું છેદબિંદુ ઉકેલતા: $y = 12 - 3x$, તેથી $x + 2(12 - 3x) = 10 \implies x + 24 - 6x = 10 \implies -5x = -14 \implies x = \frac{14}{5}$। તેથી $y = 12 - 3(\frac{14}{5}) = \frac{60 - 42}{5} = \frac{18}{5}$।
$3$. ખૂણાના બિંદુઓ $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$, અને $(0, 5)$ છે.
$4$. દરેક બિંદુ પર $z = 5x + 10y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 0)$ પર, $z = 0$।
- $(4, 0)$ પર, $z = 5(4) + 10(0) = 20$।
- $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ પર, $z = 5(\frac{14}{5}) + 10(\frac{18}{5}) = 14 + 36 = 50$।
- $(0, 5)$ પર, $z = 5(0) + 10(5) = 50$।
$5$. કારણ કે $z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(50)$ $(0, 5)$ અને $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ બંને પર છે, તેથી મહત્તમ મૂલ્ય આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના દરેક બિંદુ પર મળે છે.

(D) $1$. છાયાંકિત પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો છે, તેથી બિન-ઋણાત્મકતા અવરોધો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
$2$. આ પ્રદેશ ત્રણ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે:
$(i)$ $(0, 12)$ અને $(6, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $2x + y = 12$ છે. કારણ કે પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે, તેથી અવરોધ $2x + y \leq 12$ છે.
(ii) $(0, 6)$ અને $(12, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x + 2y = 12$ છે. કારણ કે પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે, તેથી અવરોધ $x + 2y \leq 12$ છે.
(iii) $(0, 4)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x + 1.25y = 5$ છે. કારણ કે પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે, તેથી અવરોધ $x + 1.25y \geq 5$ છે.
$3$. આ બધાને જોડતા, અવરોધોની સિસ્ટમ $2x + y \leq 12, x + 2y \leq 12, x + 1.25y \geq 5, x \geq 0, y \geq 0$ છે.

(A) પગલું $1$: પ્રતિબંધો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ ઓળખો.
પગલું $2$: રેખાઓ $3x + y = 15$ અને $3x + 4y = 24$ છે.
પગલું $3$: છેદબિંદુ: પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા $3y = 9$ મળે છે, તેથી $y = 3$। $y=3$ ને $3x + y = 15$ માં મૂકતા $3x = 12$ મળે છે, તેથી $x = 4$। છેદબિંદુ $(4, 3)$ છે.
પગલું $4$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$, $(5, 0)$, $(4, 3)$, અને $(0, 6)$ છે.
પગલું $5$: દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = 4x + 5y$ નું મૂલ્ય શોધો:
$(0, 0)$ પર, $Z = 4(0) + 5(0) = 0$।
$(5, 0)$ પર, $Z = 4(5) + 5(0) = 20$।
$(4, 3)$ પર, $Z = 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31$।
$(0, 6)$ પર, $Z = 4(0) + 5(6) = 30$।
પગલું $6$: મહત્તમ મૂલ્ય $31$ છે.

(D) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ ઓળખો.
પગલું $2$: રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
- $x+y=5$ અને $2x+y=7$ થી $(2, 3)$ મળે છે.
- $2x+y=7$ અને $3x+2y=11$ થી $(3, 1)$ મળે છે.
- $x=0$ અને $y=0$ થી $(0, 0)$ મળે છે.
- $x=0$ અને $3x+2y=11$ થી $(0, 5.5)$ મળે છે.
- $y=0$ અને $2x+y=7$ થી $(3.5, 0)$ મળે છે.
પગલું $3$: દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $z = 4x + y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 0)$ પર, $z = 0$ છે.
- $(3.5, 0)$ પર, $z = 4(3.5) + 0 = 14$ છે.
- $(3, 1)$ પર, $z = 4(3) + 1 = 13$ છે.
- $(2, 3)$ પર, $z = 4(2) + 3 = 11$ છે.
- $(0, 5.5)$ પર, $z = 5.5$ છે.
પગલું $4$: મહત્તમ મૂલ્ય $14$ છે.

(D) પગલું $1$: ઉદ્દેશ્ય વિધેય વ્યાખ્યાયિત કરો. નફો $z = 1500x_1 + 900x_2$ છે. આપણે તેને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
પગલું $2$: મર્યાદાઓ ઓળખો. કુલ ક્ષમતા $x_1 + x_2 \leq 250$ છે.
પગલું $3$: એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસ આરક્ષણ: $x_1 \geq 30$.
પગલું $4$: ઇકોનોમી ક્લાસ પસંદગી: $x_2 \geq 4x_1$.
પગલું $5$: બિન-ઋણાત્મકતા મર્યાદાઓ: $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$.
પગલું $6$: આ બધાને જોડતા, આપણને $LPP$ મળે છે: Maximize $z = 1500x_1 + 900x_2$ subject to $x_1 + x_2 \leq 250, x_1 \geq 30, x_2 \geq 4x_1, x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$.

(C) પગલું $1$: રેખાઓ $2x + 3y = 6$ અને $x + y = 1$ ને આલેખીને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ ઓળખો.
પગલું $2$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓ અને અક્ષોના છેદબિંદુઓ છે: $(0, 1)$, $(0, 2)$, $(3, 0)$, અને $(1, 0)$।
પગલું $3$: દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 3x + y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 1)$ પર, $z = 3(0) + 1 = 1$।
$(0, 2)$ પર, $z = 3(0) + 2 = 2$।
$(3, 0)$ પર, $z = 3(3) + 0 = 9$।
$(1, 0)$ પર, $z = 3(1) + 0 = 3$।
પગલું $4$: મહત્તમ કિંમત $9$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.
પગલું $5$: તફાવત $9 - 1 = 8$ છે.

(A) પગલું $1$: પ્રતિબંધો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશને ઓળખો.
પ્રતિબંધ $1$: $x + 3y \leq 6$। સીમા રેખા $(6, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
પ્રતિબંધ $2$: $2x + 6y \leq 18$ ને $x + 3y \leq 9$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે. સીમા રેખા $(9, 0)$ અને $(0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
પગલું $2$: કારણ કે $x + 3y \leq 6$ એ $x + 3y \leq 9$ કરતા વધુ કડક પ્રતિબંધ છે, તેથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં $x + 3y \leq 6$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
પગલું $3$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$, $(6, 0)$ અને $(0, 2)$ છે.
પગલું $4$: આ શિરોબિંદુઓ પર $z = 2x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 0)$ પર, $z = 2(0) + 5(0) = 0$.
$(6, 0)$ પર, $z = 2(6) + 5(0) = 12$.
$(0, 2)$ પર, $z = 2(0) + 5(2) = 10$.
પગલું $5$: મહત્તમ કિંમત $(6, 0)$ બિંદુ પર $12$ છે. કારણ કે મહત્તમ કિંમત એક જ શિરોબિંદુ પર મળે છે, તેથી ઉકેલ અનન્ય છે.

(C) $1$. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $x + 2y \leq 70$, $2x + y \leq 95$, $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$2$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે: $(0, 0)$, $2x + y = 95$ પરથી $(47.5, 0)$, $x + 2y = 70$ પરથી $(0, 35)$, અને $x + 2y = 70$ તથા $2x + y = 95$ નું છેદબિંદુ.
$3$. સમીકરણો ઉકેલતા: $x = 70 - 2y$ ને $2(70 - 2y) + y = 95$ માં મૂકતા $140 - 4y + y = 95$ મળે છે, તેથી $3y = 45$, $y = 15$। ત્યારબાદ $x = 70 - 30 = 40$। છેદબિંદુ $(40, 15)$ છે.
$4$. શિરોબિંદુઓ પર $Z = x + y$ નું મૂલ્ય:
$(0, 0)$ પર, $Z = 0$।
$(47.5, 0)$ પર, $Z = 47.5$।
$(0, 35)$ પર, $Z = 35$।
$(40, 15)$ પર, $Z = 40 + 15 = 55$।
$5$. મહત્તમ મૂલ્ય $55$ છે જે બિંદુ $(40, 15)$ પર મળે છે.

(C) હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે બિંદુઓ પર મળે તે માટે, બંને બિંદુઓ પર $z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
$(3, 0)$ પર, $z_1 = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1, 1)$ પર, $z_2 = p(1) + q(1) = p + q$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $3p = p + q$.
બંને બાજુથી $p$ બાદ કરતા: $2p = q$.
આમ, શરત $p = \frac{q}{2}$ છે.

(B) પગલું $1$: સીમા રેખાઓ ઓળખો: $L_1: 3x - y = 6$, $L_2: x = 3$, $L_3: y = 2$, $L_4: y = 0$, $L_5: x = 0$।
પગલું $2$: આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધો જે તમામ મર્યાદાઓને સંતોષે છે.
- $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $3(3) - y = 6 \implies y = 3$। કારણ કે $y \leq 2$, આ બિંદુ $(3, 3)$ બહાર છે.
- $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $3x - 2 = 6 \implies 3x = 8 \implies x = 8/3$। બિંદુ $(8/3, 2)$ છે.
- $L_1$ અને $L_4$ નું છેદબિંદુ: $3x - 0 = 6 \implies x = 2$। બિંદુ $(2, 0)$ છે.
- $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: બિંદુ $(3, 2)$ છે.
- $L_2$ અને $L_4$ નું છેદબિંદુ: બિંદુ $(3, 0)$ છે.
પગલું $3$: શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(2, 0), (3, 0), (3, 2), (8/3, 2)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.

(C) પગલું $1$: મર્યાદાઓ $5x + 10y \leq 50$ (અથવા $x + 2y \leq 10$), $x + y \geq 1$, $y \leq 4$, $x \geq 0$, અને $y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશને ઓળખો.
પગલું $2$: સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓને ઉકેલીને સુસંગત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો: $(0, 0.5)$, $(0, 4)$, $(2, 4)$, $(10, 0)$, અને $(1, 0)$.
પગલું $3$: દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 3x + 5y$ નું મૂલ્ય શોધો:
$(0, 0.5)$ પર, $z = 3(0) + 5(0.5) = 2.5$.
$(0, 4)$ પર, $z = 3(0) + 5(4) = 20$.
$(2, 4)$ પર, $z = 3(2) + 5(4) = 26$.
$(10, 0)$ પર, $z = 3(10) + 5(0) = 30$.
$(1, 0)$ પર, $z = 3(1) + 5(0) = 3$.
પગલું $4$: મહત્તમ મૂલ્ય $30$ છે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2.5$ છે.
પગલું $5$: તફાવત $30 - 2.5 = 27.5$ છે. આપેલ છે કે $3\lambda = 27.5$, તેથી $\lambda = 27.5 / 3 = 9.166...$ છે.