MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) $1$. શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધો:
$2x + 3y = 6$ રેખા $(3, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$x + y = 1$ રેખા $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(1, 0)$, $(3, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
$3$. દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = 3x + y$ ની કિંમત શોધો:
$(1, 0)$ પર: $Z = 3(1) + 0 = 3$.
$(3, 0)$ પર: $Z = 3(3) + 0 = 9$.
$(0, 1)$ પર: $Z = 3(0) + 1 = 1$.
$4$. કિંમતોની સરખામણી કરતા, ન્યૂનતમ કિંમત $1$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો.
- $x + 3y = 60$ અને $x - y = 0 \implies x=15, y=15$। બિંદુ: $(15, 15)$।
- $x + 3y = 60$ અને $x = 0 \implies y=20$। બિંદુ: $(0, 20)$।
- $x + y = 10$ અને $x - y = 0 \implies x=5, y=5$। બિંદુ: $(5, 5)$।
- $x + y = 10$ અને $x = 0 \implies y=10$। બિંદુ: $(0, 10)$।
પગલું $2$: દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો.
- $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 5(15) = 45 + 75 = 120$।
- $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$।
- $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 5(5) = 15 + 25 = 40$।
- $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$।
પગલું $3$: મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.
- મહત્તમ કિંમત $Z_{max} = 120$।
- ન્યૂનતમ કિંમત $Z_{min} = 40$।
પગલું $4$: તફાવતની ગણતરી કરો.
- તફાવત $= Z_{max} - Z_{min} = 120 - 40 = 80$।

(C) $1$. રેખાઓ $y = 2x + 4$, $x + y = 5$, $x = 4$, અને $y = 2$ ને આલેખો.
$2$. પ્રદેશ $y - 2x \leq 4$ એ રેખા $y = 2x + 4$ ની ઉપર છે.
$3$. પ્રદેશ $x + y \geq 5$ એ રેખા $x + y = 5$ ની ઉપર છે.
$4$. પ્રદેશ $x \leq 4$ એ રેખા $x = 4$ ની ડાબી બાજુએ છે.
$5$. પ્રદેશ $y \geq 2$ એ રેખા $y = 2$ ની ઉપર છે.
$6$. છેદબિંદુઓ છે: $(0, 4)$, $(1, 6)$, $(4, 6)$, $(4, 2)$, અને $(3, 2)$।
$7$. કારણ કે બધી શરતો $5$ શિરોબિંદુઓ વાળો એક બંધ બહુકોણ બનાવે છે, તેથી શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $5$ ખૂણાના બિંદુઓ વાળો એક બહિર્મુખ સીમિત પ્રદેશ છે।

(C) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશને ઓળખો.
પગલું $2$: રેખાઓ $x=80$, $y=60$, $x+y=200$ અને અક્ષોના છેદબિંદુઓ સુસંગત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ છે.
પગલું $3$: શિરોબિંદુઓ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલીને મેળવવામાં આવે છે:
- $y=60$ અને $x=0$ નું છેદબિંદુ $(0, 60)$ આપે છે.
- $y=60$ અને $x+y=200$ નું છેદબિંદુ $(140, 60)$ આપે છે, પરંતુ $x \leq 80$ હોવાથી, આપણે $(80, 60)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
- $x=80$ અને $x+y=200$ નું છેદબિંદુ $(80, 120)$ આપે છે.
- $x=0$ અને $x+y=200$ નું છેદબિંદુ $(0, 200)$ આપે છે.
પગલું $4$: દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 60)$ પર: $z = 3(0) + 5(60) = 300$.
- $(80, 60)$ પર: $z = 3(80) + 5(60) = 240 + 300 = 540$.
- $(80, 120)$ પર: $z = 3(80) + 5(120) = 240 + 600 = 840$.
- $(0, 200)$ પર: $z = 3(0) + 5(200) = 1000$.
પગલું $5$: ન્યૂનતમ કિંમત $300$ છે જે બિંદુ $(0, 60)$ પર મળે છે.

(D) પગલું $1$: $x + 2y \leq 10$, $3x + y \leq 12$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ શોધો.
પગલું $2$: $x + 2y = 10$ અને $3x + y = 12$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે સમીકરણ ઉકેલો: $y = 12 - 3x$। પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 2(12 - 3x) = 10 \implies x + 24 - 6x = 10 \implies -5x = -14 \implies x = \frac{14}{5}$। તેથી $y = 12 - 3(\frac{14}{5}) = \frac{60 - 42}{5} = \frac{18}{5}$। છેદબિંદુ $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ છે.
પગલું $3$: ખૂણાના બિંદુઓ પર $z = 5x + 10y$ ની કિંમત શોધો: $(0, 0) \implies z = 0$; $(4, 0) \implies z = 20$; $(0, 5) \implies z = 50$; $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5}) \implies z = 5(\frac{14}{5}) + 10(\frac{18}{5}) = 14 + 36 = 50$।
પગલું $4$: કારણ કે $z$ ની મહત્તમ કિંમત $50$ એ બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ પર મળે છે, તેથી મહત્તમ કિંમત આ બંને બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના દરેક બિંદુ પર મળશે.

(D) $1$. છાયાંકિત પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો છે, તેથી બિન-ઋણાત્મક અવરોધો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
$2$. આ પ્રદેશ ત્રણ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો છે:
$(i)$ $(0, 12)$ અને $(6, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{6} + \frac{y}{12} = 1$ છે, જે $2x + y = 12$ માં સરળ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુની તરફ હોવાથી, અવરોધ $2x + y \leq 12$ છે.
(ii) $(0, 6)$ અને $(12, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{12} + \frac{y}{6} = 1$ છે, જે $x + 2y = 12$ માં સરળ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુની તરફ હોવાથી, અવરોધ $x + 2y \leq 12$ છે.
(iii) $(0, 4)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1$ છે, જે $4x + 5y = 20$ અથવા $x + 1.25y = 5$ માં સરળ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર હોવાથી, અવરોધ $x + 1.25y \geq 5$ છે.
$3$. આ બધાને જોડતા, અવરોધોની સિસ્ટમ $2x + y \leq 12, x + 2y \leq 12, x + 1.25y \geq 5, x \geq 0, y \geq 0$ છે. આ વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(A) પગલું $1$: શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ શોધો.
પગલું $2$: રેખાઓ $3x + y = 15$ અને $3x + 4y = 24$ છે.
પગલું $3$: છેદબિંદુ: પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા $3y = 9$ મળે છે, તેથી $y = 3$। $y = 3$ ને $3x + y = 15$ માં મૂકતા $3x = 12$ મળે છે, તેથી $x = 4$। છેદબિંદુ $(4, 3)$ છે.
પગલું $4$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(0, 0)$, $(5, 0)$, $(4, 3)$, અને $(0, 6)$ છે.
પગલું $5$: દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $Z = 4x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 0)$ પર, $Z = 4(0) + 5(0) = 0$।
$(5, 0)$ પર, $Z = 4(5) + 5(0) = 20$।
$(4, 3)$ પર, $Z = 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31$।
$(0, 6)$ પર, $Z = 4(0) + 5(6) = 30$।
પગલું $6$: મહત્તમ કિંમત $31$ છે.

(D) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ ઓળખો.
પગલું $2$: રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$(i)$ $x+y=5$ અને $2x+y=7$ થી $x=2, y=3$ મળે છે.
(ii) $2x+y=7$ અને $3x+2y=11$ થી $x=3, y=1$ મળે છે.
(iii) અક્ષો પરના અંતઃખંડો $(0, 0), (5, 0), (0, 5), (0, 5.5), (3.66, 0)$ છે.
પગલું $3$: સુસંગત પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ પર $z = 4x + y$ ની કિંમત તપાસતા:
$(0, 0)$ પર, $z = 0$.
$(3.5, 0)$ પર, $z = 4(3.5) + 0 = 14$.
$(3, 1)$ પર, $z = 4(3) + 1 = 13$.
$(2, 3)$ પર, $z = 4(2) + 3 = 11$.
$(0, 5)$ પર, $z = 4(0) + 5 = 5$.
પગલું $4$: મહત્તમ કિંમત $14$ છે.

(D) પગલું $1$: ઉદ્દેશ્ય વિધેય વ્યાખ્યાયિત કરો. નફો દરેક એક્ઝિક્યુટિવ ટિકિટ $(x_1)$ પર $1500$ અને દરેક ઇકોનોમી ટિકિટ $(x_2)$ પર $900$ છે. તેથી, $z = 1500x_1 + 900x_2$ ને મહત્તમ કરો.
પગલું $2$: મર્યાદાઓ ઓળખો. કુલ ક્ષમતા $250$ છે, તેથી $x_1 + x_2 \leq 250$ છે.
પગલું $3$: એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસનું અનામત ઓછામાં ઓછું $30$ છે, તેથી $x_1 \geq 30$ છે.
પગલું $4$: ઇકોનોમી ક્લાસની પસંદગી એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસ કરતા ઓછામાં ઓછી $4$ ગણી છે, તેથી $x_2 \geq 4x_1$ છે.
પગલું $5$: નોન-નેગેટિવિટી મર્યાદાઓ $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$ છે. આ બધાને જોડતા, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) પગલું $1$: શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ ઓળખો.
પગલું $2$: રેખાઓ $2x + 3y = 6$ અને $x + y = 1$ છે.
પગલું $3$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 1)$, $(0, 2)$, $(1, 0)$ અને $(3, 0)$ છે.
પગલું $4$: દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 3x + y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 1)$ પર, $z = 3(0) + 1 = 1$.
$(0, 2)$ પર, $z = 3(0) + 2 = 2$.
$(1, 0)$ પર, $z = 3(1) + 0 = 3$.
$(3, 0)$ પર, $z = 3(3) + 0 = 9$.
પગલું $5$: મહત્તમ કિંમત $9$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.
પગલું $6$: તફાવત $9 - 1 = 8$ છે.

(A) પગલું $1$: પ્રતિબંધોનું વિશ્લેષણ કરો. પ્રતિબંધો $x + 3y \leq 6$ અને $2x + 6y \leq 18$ છે. નોંધો કે $2x + 6y \leq 18$ ને $x + 3y \leq 9$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
પગલું $2$: કારણ કે $x + 3y \leq 6$ એ $x + 3y \leq 9$ કરતા વધુ કડક શરત છે, તેથી સુસંગત પ્રદેશ ફક્ત $x + 3y \leq 6$, $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
પગલું $3$: સુસંગત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$, $(6, 0)$ અને $(0, 2)$ છે.
પગલું $4$: આ શિરોબિંદુઓ પર $z = 2x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 0)$ પર, $z = 2(0) + 5(0) = 0$।
$(6, 0)$ પર, $z = 2(6) + 5(0) = 12$।
$(0, 2)$ પર, $z = 2(0) + 5(2) = 10$।
પગલું $5$: મહત્તમ કિંમત $(6, 0)$ બિંદુ પર $12$ છે. કારણ કે મહત્તમ કિંમત ફક્ત એક જ બિંદુ પર મળે છે, તેથી ઉકેલ અનન્ય છે.

(D) પગલું $1$: ઘટનાઓ $E$ અને $F$ માટે પરિણામો ઓળખો.
$E = \{ X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે} \} = \{2, 3, 5\}$।
$F = \{ X < 4 \} = \{1, 2, 3\}$।
પગલું $2$: યોગગણ $E \cup F$ ઓળખો.
$E \cup F = \{1, 2, 3, 5\}$।
પગલું $3$: સંભાવના $P(E \cup F)$ ની ગણતરી કરો.
$P(E \cup F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5)$।
$P(E \cup F) = 0.15 + 0.20 + 0.25 + 0.10 = 0.70$।

(D) પગલું $1$: મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times 0.3) + (1 \times 0.4) + (2 \times 0.3) = 0 + 0.4 + 0.6 = 1.0$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times 0.3) + (1^2 \times 0.4) + (2^2 \times 0.3) = 0 + 0.4 + 1.2 = 1.6$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1.6 - (1.0)^2 = 1.6 - 1.0 = 0.6$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.6} \approx 0.77$ ની ગણતરી કરો. નજીકનો વિકલ્પ $0.7$ હોવાથી, આપણે $D$ પસંદ કરીએ છીએ.

(A) સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x)$ ને $F(x_i) = \sum_{j=1}^{i} P(X = x_j)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$x=1$ માટે: $F(1) = P(X=1) = 1/10$.
$x=2$ માટે: $F(2) = P(X=1) + P(X=2) = 1/10 + 2/10 = 3/10$.
$x=3$ માટે: $F(3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 3/10 + 3/10 = 6/10$.
$x=4$ માટે: $F(4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 6/10 + 4/10 = 10/10 = 1$.
આમ, સાચું વિતરણ વિકલ્પ $A$ માં આપેલ છે.

(C) પગલું $1$: ઘટના $E = \{ X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે} \}$ માટે નિદર્શાવકાશ નક્કી કરો. $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2$ અને $3$ છે. તેથી, $E = \{2, 3\}$.
પગલું $2$: ઘટના $F = \{ X < 4 \}$ માટે નિદર્શાવકાશ નક્કી કરો. $4$ થી નાની સંખ્યાઓ $1, 2, 3$ છે. તેથી, $F = \{1, 2, 3\}$.
પગલું $3$: છેદગણ $E \cap F$ શોધો. સામાન્ય ઘટકો $\{2, 3\}$ છે.
પગલું $4$: $P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.2 + 0.3 = 0.5$ ની ગણતરી કરો.

(A) પગલું $1$: બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ. તેથી, $\sum P(x) = k(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = 1$ છે.
પગલું $2$: સરવાળાની ગણતરી કરો: $k(1 + 4 + 9 + 16) = 30k = 1$, તેથી $k = \frac{1}{30}$ છે.
પગલું $3$: મધ્યક $E(X) = \sum x \cdot P(x) = \sum x \cdot kx^2 = k \sum x^3$ છે.
પગલું $4$: $\sum x^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $5$: $E(X) = \frac{1}{30} \cdot 100 = \frac{10}{3} \approx 3.33$ છે.

(C) દડાઓની કુલ સંખ્યા $= 8 + N$ છે.
કાઢવામાં આવેલા દડાની સંખ્યા $= 2$ છે.
યાદચ્છિક ચલ $X$ એ લીલા દડાની સંખ્યા દર્શાવે છે, તેથી $X \in \{0, 1, 2\}$ છે.
સંભાવના વિતરણ હાઇપરજિયોમેટ્રિક વિતરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P(X=k) = \frac{\binom{N}{k} \binom{8}{2-k}}{\binom{N+8}{2}}$.
$N+8$ ની વસ્તીમાંથી $n=2$ ના નમૂના માટે, જેમાં $N$ લીલા દડા છે, અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = n \cdot \frac{N}{N+8}$ છે.
આપેલ છે કે $E(X) = 1.2$, તેથી $2 \cdot \frac{N}{N+8} = 1.2$ છે.
$\frac{N}{N+8} = 0.6$ છે.
$N = 0.6(N+8) \implies N = 0.6N + 4.8$ છે.
$0.4N = 4.8 \implies N = \frac{4.8}{0.4} = 12$ છે.

(D) ધારો કે $P(X = 1) = a, P(X = 2) = b, P(X = 3) = c, P(X = 4) = d$ છે. આપેલ છે કે $2a = 3b = c = 5d = k$.
તેથી $a = k/2, b = k/3, c = k, d = k/5$ મળે.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી, $a + b + c + d = 1$ થાય.
કિંમતો મુકતા: $k/2 + k/3 + k + k/5 = 1$.
$2, 3, 1, 5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $30$ છે: $(15k + 10k + 30k + 6k) / 30 = 1$.
$61k / 30 = 1$, તેથી $k = 30/61$ મળે.
$P(X = 4) = d = k/5$ હોવાથી, $P(X = 4) = (30/61) / 5 = 6/61$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $F(x)$ એ $X$ નું c.d.f. છે, તેથી $F(x) = P(X \le x)$ થાય.
આપણને $F(b) = P(X \le b) = 0.7$ આપેલ છે.
આપણને $P(X > a) = 0.4$ આપેલ છે. કારણ કે $P(X \le a) + P(X > a) = 1$ થાય, તેથી $P(X \le a) = 1 - 0.4 = 0.6$ થાય.
આપણે $P(a < X < b)$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $X$ એ સતત યાદચ્છિક ચલ છે, $P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a) = P(X \le b) - P(X \le a)$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, $P(a < X < b) = 0.7 - 0.6 = 0.1$ મળે.

(B) સંભાવના ઘનતા વિધેય માટે, વક્રની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1$ હોવું જોઈએ, તેથી $\int_{-1}^{4} f(x) \, dx = 1$ થાય.
$\int_{-1}^{4} k(9 + 8x - x^2) \, dx = 1$.
$k \left[ 9x + 4x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{4} = 1$.
$k \left[ (9(4) + 4(4^2) - \frac{4^3}{3}) - (9(-1) + 4(-1)^2 - \frac{(-1)^3}{3}) \right] = 1$.
$k \left[ (36 + 64 - \frac{64}{3}) - (-9 + 4 + \frac{1}{3}) \right] = 1$.
$k \left[ (100 - \frac{64}{3}) - (-5 + \frac{1}{3}) \right] = 1$.
$k \left[ \frac{300 - 64}{3} - \frac{-15 + 1}{3} \right] = 1$.
$k \left[ \frac{236}{3} + \frac{14}{3} \right] = 1$.
$k \left[ \frac{250}{3} \right] = 1$.
$k = \frac{3}{250}$.

(A) ધારો કે $X$ એ જીતની રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. દરેક અંક $k$ આવવાની સંભાવના $P(k) = 1/6$ છે, જ્યાં $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
અંક $k$ માટે જીતની રકમ $W(k) = \frac{36}{k} - 2k$ છે.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E[X] = \sum_{k=1}^{6} W(k) \cdot P(k)$ દ્વારા મળે છે.
$E[X] = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{6} (\frac{36}{k} - 2k) = \frac{1}{6} [(\frac{36}{1} - 2) + (\frac{36}{2} - 4) + (\frac{36}{3} - 6) + (\frac{36}{4} - 8) + (\frac{36}{5} - 10) + (\frac{36}{6} - 12)]$.
$E[X] = \frac{1}{6} [34 + 14 + 6 + 1 + (7.2 - 10) + (6 - 12)]$.
$E[X] = \frac{1}{6} [55 - 2.8 - 6] = \frac{1}{6} [46.2] = 7.7$।

(D) સંભાવના $P(X < k)$ એ $\int_{0}^{k} f(x) \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(X < a/2) = \int_{0}^{a/2} \frac{1}{2a} \, dx = \left[ \frac{x}{2a} \right]_{0}^{a/2} = \frac{a/2}{2a} = \frac{1}{4}$ માટે.
$P(X > 3a/2) = \int_{3a/2}^{2a} \frac{1}{2a} \, dx = \left[ \frac{x}{2a} \right]_{3a/2}^{2a} = \frac{2a - 3a/2}{2a} = \frac{a/2}{2a} = \frac{1}{4}$ માટે.
બંને સંભાવનાઓ $\frac{1}{4}$ જેટલી હોવાથી, $P(X < a/2) = P(X > 3a/2)$ થાય છે.

(A) $5$ માંથી $2$ કાર્ડ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{5}{2} = 10$ છે.
શક્ય જોડીઓ અને તેમના સરવાળા:
$(1,1) \rightarrow 2, (1,2) \rightarrow 3, (1,2) \rightarrow 3, (1,3) \rightarrow 4, (1,2) \rightarrow 3, (1,2) \rightarrow 3, (1,3) \rightarrow 4, (2,2) \rightarrow 4, (2,3) \rightarrow 5, (2,3) \rightarrow 5$।
બધા શક્ય સરવાળાનો કુલ સરવાળો $= 2+3+3+4+3+3+4+4+5+5 = 36$ છે.
અપેક્ષિત કિંમત $E[X] = \frac{\text{સરવાળાનો કુલ સરવાળો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{36}{10} = 3.6$।
નોંધ: $3.6$ વિકલ્પોમાં ન હોવાથી, પ્રશ્ન ક્ષતિપૂર્ણ છે.

(C) પગલું $1$: p.d.f. ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો કે $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ છે.
પગલું $2$: સંકલનની ગણતરી કરો: $\int_{0}^{1} kx dx + \int_{1}^{2} k dx + \int_{2}^{3} (-kx + 3k) dx = 1$.
પગલું $3$: સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $[k \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} + [kx]_{1}^{2} + [-k \frac{x^2}{2} + 3kx]_{2}^{3} = 1$.
પગલું $4$: $\frac{k}{2} + k + [(- \frac{9k}{2} + 9k) - (- \frac{4k}{2} + 6k)] = 1$.
પગલું $5$: $\frac{k}{2} + k + [\frac{9k}{2} - 4k] = 1 \implies \frac{k}{2} + k + \frac{k}{2} = 1 \implies 2k = 1 \implies k = 1/2$.
પગલું $6$: $P(2 < X \leq 3) = \int_{2}^{3} (-kx + 3k) dx = [-\frac{kx^2}{2} + 3kx]_{2}^{3}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $7$: $k = 1/2$ મૂકતા: $[-\frac{x^2}{4} + \frac{3x}{2}]_{2}^{3} = (-\frac{9}{4} + \frac{9}{2}) - (-1 + 3) = \frac{9}{4} - 2 = 1/4$.

(B) પગલું $1$: અપેક્ષિત કિંમત $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X) = (1 \times 1/5) + (2 \times 2/5) + (3 \times 2/5) = 1/5 + 4/5 + 6/5 = 11/5$.
પગલું $2$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X^2) = (1^2 \times 1/5) + (2^2 \times 2/5) + (3^2 \times 2/5) = 1/5 + 8/5 + 18/5 = 27/5$.
પગલું $3$: વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ની ગણતરી કરો.
$Var(X) = 27/5 - (11/5)^2 = 27/5 - 121/25 = (135 - 121) / 25 = 14/25$.
આમ, કિંમતો $11/5$ અને $14/25$ છે.

(C) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે, $E(X) = np = 2$ અને $Var(X) = npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા: $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2} = 0.5$.
$p + q = 1$ હોવાથી, $p = 1 - 0.5 = 0.5$.
$p$ ની કિંમત $np = 2$ માં મુકતા: $n(0.5) = 2 \implies n = 4$.
આપણે $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ શોધવાનું છે.
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.5)^0 (0.5)^4 = 1 \times 1 \times 0.0625 = 0.0625$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.5)^1 (0.5)^3 = 4 \times 0.5 \times 0.125 = 0.25$.
$P(X \le 1) = 0.0625 + 0.25 = 0.3125$.

(A) આપેલ સંભાવના દળ વિધેય $P(X = x) = \frac{^5C_x}{2^5}$ છે.
આ $n = 5$ અને $p = 0.5$ સાથેનું દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ છે.
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{^5C_0 + ^5C_1 + ^5C_2}{2^5} = \frac{1 + 5 + 10}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$ ની ગણતરી કરો.
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{^5C_3 + ^5C_4 + ^5C_5}{2^5} = \frac{10 + 5 + 1}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $P(X \leq 2) = 0.5$ અને $P(X \geq 3) = 0.5$ છે, તેથી $P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ થાય છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ નું સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
આપણી પાસે $P(X = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$ અને $P(X = k-1) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} p^{k-1} q^{n-k+1}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} \times \frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n! p^{k-1} q^{n-k+1}}$.
પદોનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \frac{(k-1)!}{k!} \times \frac{(n-k+1)!}{(n-k)!} \times \frac{p^k}{p^{k-1}} \times \frac{q^{n-k}}{q^{n-k+1}}$.
આનાથી $\frac{1}{k} \times (n-k+1) \times p \times \frac{1}{q} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q}$ મળે છે.

(C) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે, સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $n = 6$ અને $p = 1/2$ છે.
$p = 1/2$ હોવાથી, વિતરણ સંમિત (symmetric) છે.
સંમિત દ્વિપદી વિતરણ માટે, મહત્તમ સંભાવના મધ્યક પર મળે છે, જે $E[X] = np = 6 \times (1/2) = 3$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે, $k=3$ માટે ગણતરી કરતા: $P(X=3) = \binom{6}{3} (1/2)^3 (1/2)^3 = 20 \times (1/64) = 20/64$.
$k=2$ અથવા $k=4$ માટે: $P(X=2) = P(X=4) = \binom{6}{2} (1/2)^6 = 15 \times (1/64) = 15/64$.
$20/64 > 15/64$ હોવાથી, મહત્તમ સંભાવના $X = 3$ પર મળે છે.

(C) ધારો કે $x$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે અને $y$ એ ખોટા જવાબોની સંખ્યા છે.
કુલ પ્રશ્નો $x + y = 10$ છે.
મેળવેલા ગુણ $4x - y = 30$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $5x = 40 \implies x = 8$.
તેથી $y = 10 - 8 = 2$.
સાચા જવાબની સંભાવના $p = 1/4$ છે અને ખોટા જવાબની સંભાવના $q = 3/4$ છે.
$8$ સાચા અને $2$ ખોટા જવાબો મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=8) = \binom{10}{8} p^8 q^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(X=8) = \binom{10}{2} (1/4)^8 (3/4)^2 = 45 \times \frac{1}{4^8} \times \frac{9}{4^2} = \frac{45 \times 9}{4^{10}} = \frac{405}{4^{10}}$.

(D) ની એક રમત જીતવાની સંભાવના $p = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ છે.
$A$ ની એક રમત હારવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
ધારો કે $X$ એ $n=3$ રમતોમાં $A$ દ્વારા જીતેલી રમતોની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(3, 1/3)$ ને અનુસરે છે.
$A$ દ્વારા ઓછામાં ઓછી બે રમતો જીતવાની સંભાવના $P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3)$ છે.
$P(X=2) = \binom{3}{2} p^2 q^1 = 3 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3}) = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27}$.
$P(X=3) = \binom{3}{3} p^3 q^0 = 1 \times (\frac{1}{3})^3 \times 1 = \frac{1}{27}$.
$P(X \ge 2) = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$.

(B) આ દ્વિપદી વિતરણ (binomial distribution) નો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 8$, $p = 0.8$, અને $q = 1 - p = 0.2$ છે.
બરાબર $k$ સફળતાઓની સંભાવના $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k = 4$ માટે:
$P(X = 4) = \binom{8}{4} (0.8)^4 (0.2)^{8-4}$
$P(X = 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times (0.8)^4 \times (0.2)^4$
$P(X = 4) = 70 \times (0.8)^4 \times (0.2)^4$
કારણ કે $70 \times (0.2)^4 = 70 \times 0.0016 = 0.112$, તેથી સંભાવના $(0.112)(0.8)^4$ છે.

(D) $1$. બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$2$. ડબલેટ $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે. આવા $6$ પરિણામો છે.
$3$. સફળતાની સંભાવના $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.
$4$. નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
$5$. પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 4$ છે. ઓછામાં ઓછી $1$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ છે.
$6$. $P(X = 0) = ^nC_0 \cdot p^0 \cdot q^n = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^4 = \frac{625}{1296}$ છે.
$7$. $P(X \ge 1) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$ છે.

(B) નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે, છાપ મળવાની સંભાવના $p = 1/2$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1/2$ છે. પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 8$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = \binom{8}{0} (1/2)^8 = 1 \times (1/256) = 1/256$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (1/2)^8 = 8 \times (1/256) = 8/256$.
$P(X=2) = \binom{8}{2} (1/2)^8 = 28 \times (1/256) = 28/256$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $P(X \le 2) = (1 + 8 + 28) / 256 = 37/256$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે, મધ્યક $\mu = np = 1$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 0.75$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા: $\frac{npq}{np} = \frac{0.75}{1} \implies q = 0.75 = \frac{3}{4}$.
કારણ કે $p + q = 1$, તેથી $p = 1 - 0.75 = 0.25 = \frac{1}{4}$.
$np = 1$ નો ઉપયોગ કરતા, $n(\frac{1}{4}) = 1 \implies n = 4$.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \binom{4}{k} (\frac{1}{4})^k (\frac{3}{4})^{4-k}$ છે.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસતા: $P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{4})^1 (\frac{3}{4})^3 = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{27}{64} = \frac{27}{64}$.
$P(X = 2) = \binom{4}{2} (\frac{1}{4})^2 (\frac{3}{4})^2 = 6 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{16} = \frac{54}{256} = \frac{27}{128}$.
તેથી $P(X = 1) = 2 \cdot P(X = 2)$, તેથી વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $n = 6$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે અને $p = 1/10$ એ વ્યક્તિના વ્યસ્ત હોવાની સંભાવના છે. તેથી $q = 1 - p = 9/10$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
ઓછામાં ઓછી $5$ વ્યક્તિઓ વ્યસ્ત હોય તે માટે, આપણે $P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ ની જરૂર છે.
$P(X = 5) = \binom{6}{5} (1/10)^5 (9/10)^1 = 6 \times (1/10^5) \times (9/10) = 54/10^6$.
$P(X = 6) = \binom{6}{6} (1/10)^6 (9/10)^0 = 1 \times (1/10^6) \times 1 = 1/10^6$.
$P(X \ge 5) = 54/10^6 + 1/10^6 = 55/10^6$.

(C) ધારો કે $X$ એ સફળ આગાહીઓની (છાપ) સંખ્યા છે. સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી, છાપની સંભાવના $p = 1/2$ અને કાંટાની સંભાવના $q = 1/2$ છે. ઉછાળની સંખ્યા $n = 9$ છે.
$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(9, 1/2)$ ને અનુસરે છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધી રહ્યા છીએ કે જ્યાં સફળ આગાહીઓની સંખ્યા નિષ્ફળ આગાહીઓની સંખ્યા કરતા વધારે હોય.
ધારો કે $S$ એ સફળતાઓની સંખ્યા છે અને $F$ એ નિષ્ફળતાઓની સંખ્યા છે. આપણી પાસે $S + F = 9$ છે અને આપણે $S > F$ જોઈએ છે.
$F = 9 - S$ હોવાથી, શરત $S > 9 - S$ નો અર્થ છે $2S > 9$, અથવા $S > 4.5$.
$S$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ, તેથી આપણને $S \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$ જોઈએ છે.
$p = 1/2$ માટે વિતરણ સંમિત હોવાથી, $P(S \ge 5) = P(S \le 4)$ થાય.
$P(S \le 9) = 1$ હોવાથી, આપણી પાસે $P(S \le 4) + P(S \ge 5) = 1$ છે.
તેથી, $2 \cdot P(S \ge 5) = 1$, જે આપણને $P(S \ge 5) = 1/2$ આપે છે.

(A) $1$. એક નિષ્પક્ષ પાસાનો નિદર્શ અવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે, તેથી કુલ પરિણામો $n(S) = 6$ છે.
$2$. પાસા પરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5\}$ છે, તેથી સફળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
$3$. એક વાર ફેંકતા સફળતાની સંભાવના, $p = 3/6 = 1/2$ છે.
$4$. એક વાર ફેંકતા નિષ્ફળતાની સંભાવના, $q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2$ છે.
$5$. પાસાને $n = 4$ વખત ફેંકવામાં આવે છે. એક પણ સફળતા ન મળવાની (એટલે કે $0$ સફળતા) સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
$6$. $k = 0$ માટે, $P(X = 0) = \binom{4}{0} (1/2)^0 (1/2)^{4-0} = 1 \times 1 \times (1/2)^4 = 1/16$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે, $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, જ્યાં $n = 6$, $p$ સફળતાની સંભાવના છે, અને $q = 1 - p$ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $9P(X = 4) = P(X = 2)$, તેથી $9 \binom{6}{4} p^4 q^2 = \binom{6}{2} p^2 q^4$ છે.
કારણ કે $\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = 15$, સમીકરણ સરળ બનીને $9 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$ થાય છે.
બંને બાજુને $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા (ધારીને કે $p, q \neq 0$), આપણને $9p^2 = q^2$ મળે છે.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા, $3p = q$ મળે છે.
કારણ કે $p + q = 1$, સમીકરણમાં $q = 3p$ મૂકતા: $p + 3p = 1 \implies 4p = 1 \implies p = 0.25$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - 0.25 = 0.75$ છે.

(D) ધારો કે $p$ એ બોમ્બ લક્ષ્યને અથડાય તેની સંભાવના છે, તેથી $p = 0.8 = 4/5$ છે.
ધારો કે $q$ એ બોમ્બ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના છે, તેથી $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2 = 1/5$ છે.
આપણે $n = 6$ બોમ્બ ફેંકીએ છીએ. ધારો કે $X$ એ લક્ષ્ય ચૂકી ગયેલા બોમ્બની સંખ્યા છે.
આપણે ઓછામાં ઓછો $1$ બોમ્બ લક્ષ્ય ચૂકી જાય તેની સંભાવના શોધવી છે, જે $P(X \ge 1)$ છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ મળે.
$P(X = 0)$ એ સંભાવના છે કે એક પણ બોમ્બ લક્ષ્ય ચૂકતો નથી, એટલે કે બધા $6$ બોમ્બ લક્ષ્યને અથડાય છે.
$P(X = 0) = p^6 = (4/5)^6$ છે.
તેથી, $P(X \ge 1) = 1 - (4/5)^6$ થાય.

(C) ધારો કે $n = 4$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે.
એક પ્રયત્નમાં 'ક્લબ'નું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
'ક્લબ'નું પત્તું ન ખેંચવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $k = 2$:
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^{4-2}$
$P(X = 2) = 6 \times \left(\frac{1}{16}\right) \times \left(\frac{9}{16}\right)$
$P(X = 2) = \frac{54}{256} = \frac{27}{128}$।

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
આપેલ છે $n = 6$, તેથી $P(X = 4) = \binom{6}{4} p^4 (1-p)^2 = 15 p^4 (1-p)^2$ અને $P(X = 2) = \binom{6}{2} p^2 (1-p)^4 = 15 p^2 (1-p)^4$ છે.
આપેલ છે $9P(X = 4) = P(X = 2)$, પદોને મૂકતા:
$9 \times 15 p^4 (1-p)^2 = 15 p^2 (1-p)^4$.
બંને બાજુને $15 p^2 (1-p)^2$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $p \neq 0, 1$):
$9 p^2 = (1-p)^2$.
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા:
$3p = 1-p$ અથવા $3p = -(1-p)$.
$3p = 1-p$ માટે, આપણને $4p = 1$ મળે છે, તેથી $p = 1/4$ છે.
$3p = p-1$ માટે, આપણને $2p = -1$ મળે છે, જે $p = -1/2$ આપે છે (જે શક્ય નથી કારણ કે $0 \le p \le 1$).
તેથી, $p = 1/4$ છે.

(C) ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિને રોગ છે અને $T$ એ ઘટના છે કે પરીક્ષણ સકારાત્મક છે.
આપેલ છે: $P(D) = 0.01$, $P(D^c) = 0.99$।
સંવેદનશીલતા $P(T|D) = 0.98$।
વિશિષ્ટતા $P(T^c|D^c) = 0.95$, તેથી $P(T|D^c) = 1 - 0.95 = 0.05$।
બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, $P(D|T) = \frac{P(T|D)P(D)}{P(T|D)P(D) + P(T|D^c)P(D^c)}$।
$P(D|T) = \frac{0.98 \times 0.01}{(0.98 \times 0.01) + (0.05 \times 0.99)}$।
$P(D|T) = \frac{0.0098}{0.0098 + 0.0495} = \frac{0.0098}{0.0593} \approx 0.16526$।
આમ, સંભાવના આશરે $16.5\%$ છે।

(A) આપેલ છે કે $E_1$ અને $E_2$ સમાન રીતે સંભવિત, પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે, તેથી $P(E_1) = P(E_2) = 0.5$ થાય.
બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, $P(E_1|A) = \frac{P(A|E_1)P(E_1)}{P(A|E_1)P(E_1) + P(A|E_2)P(E_2)}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(E_1|A) = \frac{0.2 \times 0.5}{(0.2 \times 0.5) + (0.3 \times 0.5)}$.
$P(E_1|A) = \frac{0.1}{0.1 + 0.15} = \frac{0.1}{0.25}$.
$P(E_1|A) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.

(B) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $5x$ છે અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા $4x$ છે. કુલ વસ્તી $= 9x$ છે.
સાક્ષર પુરુષો $= 5x$ ના $80\% = 0.8 \times 5x = 4x$। નિરક્ષર પુરુષો $= 5x - 4x = x$।
સાક્ષર સ્ત્રીઓ $= 4x$ ના $90\% = 0.9 \times 4x = 3.6x$। નિરક્ષર સ્ત્રીઓ $= 4x - 3.6x = 0.4x$।
કુલ નિરક્ષર વ્યક્તિઓ $= x + 0.4x = 1.4x$।
નિરક્ષર વ્યક્તિ પુરુષ હોવાની સંભાવના $P = \frac{\text{નિરક્ષર પુરુષો}}{\text{કુલ નિરક્ષર વ્યક્તિઓ}} = \frac{x}{1.4x} = \frac{1}{1.4} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ છે.

(D) ધારો કે $P(A) = 0.4$ એ એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ બનવાની સંભાવના છે.
એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ ન બને તેની સંભાવના $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6$ છે.
કારણ કે $3$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નો કરવામાં આવે છે, તેથી $3$ પ્રયત્નોમાંથી એક પણ પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ ન બને તેની સંભાવના $(P(A'))^3 = (0.6)^3 = 0.216$ છે.
ઘટના $A$ ઓછામાં ઓછી એક વાર બને તેની સંભાવના $1 - P(\text{ઘટના } A \text{ ક્યારેય ન બને}) = 1 - 0.216 = 0.784$ છે.

(C) આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{4}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$ અને $P(A|B) = 2P(B|A)$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા, $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ અને $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 2 \times \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
કારણ કે $P(A \cap B) \neq 0$, આપણે બંને બાજુ $P(A \cap B)$ વડે ભાગી શકીએ: $\frac{1}{P(B)} = \frac{2}{P(A)}$.
ગોઠવણી કરતા $P(B) = \frac{P(A)}{2}$ મળે છે.
$P(A) = \frac{1}{4}$ મૂકતા: $P(B) = \frac{1/4}{2} = \frac{1}{8}$.

(B) આપેલ છે કે $P(A) = \frac{2}{3}$, $P(B) = \frac{1}{2}$, અને $P(A | B) = \frac{2}{3}$।
$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ હોવાથી, $P(A \cap B) = P(A | B) \cdot P(B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ મળે.
અહીં $P(A \cap B) = P(A)$ છે, જેનો અર્થ છે કે $A \subset B$.
આપણે $P(A' \cup B) + P(A \cup B')$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$P(A' \cup B) = 1 - P(A \cap B') = 1 - (P(A) - P(A \cap B)) = 1 - (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$P(A \cup B') = 1 - P(A' \cap B) = 1 - (P(B) - P(A \cap B)) = 1 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
સરવાળો $= \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

(B) ધારો કે $K$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે અને $G$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે.
ધારો કે $C$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થીને સાચો જવાબ મળે છે.
આપેલ છે: $P(K) = 0.9$, $P(G) = 1 - 0.9 = 0.1$।
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે, તો સાચો જવાબ મળવાની સંભાવના $P(C|K) = 1$ છે.
જો વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવે છે, તો સાચો જવાબ મળવાની સંભાવના $P(C|G) = \frac{1}{4} = 0.25$ છે.
બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, વિદ્યાર્થીએ અનુમાન લગાવ્યું હતું તેની સંભાવના, જ્યારે તેને સાચો જવાબ મળ્યો છે, તે $P(G|C) = \frac{P(C|G)P(G)}{P(C|G)P(G) + P(C|K)P(K)}$ છે.
$P(G|C) = \frac{0.25 \times 0.1}{(0.25 \times 0.1) + (1 \times 0.9)} = \frac{0.025}{0.025 + 0.9} = \frac{0.025}{0.925} = \frac{25}{925} = \frac{1}{37}$।

(C) ધારો કે $W_A$ એ થેલી $A$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે અને $B_A$ એ થેલી $A$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
$P(W_A) = \frac{3}{8}$ અને $P(B_A) = \frac{5}{8}$.
જો સફેદ દડો સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો થેલી $B$ માં હવે $5$ સફેદ અને $3$ કાળા દડા (કુલ $8$) છે. $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W|W_A) = \frac{5}{8}$ છે.
જો કાળો દડો સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો થેલી $B$ માં હવે $4$ સફેદ અને $4$ કાળા દડા (કુલ $8$) છે. $B$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W|B_A) = \frac{4}{8}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(W) = P(W_A) \cdot P(W|W_A) + P(B_A) \cdot P(W|B_A)$
$P(W) = (\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8}) + (\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{8}) = \frac{15}{64} + \frac{20}{64} = \frac{35}{64}$.