MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ છે, જેને $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$, તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\ln|x| + C$.
$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies \ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = C$.
આપેલ છે $y(1) = 1$, તેથી $\ln(1) - \frac{1^2}{2(1)^2} = C \implies C = -1/2$.
સમીકરણ $\ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = -1/2$ છે.
આપેલ છે $y(x_0) = e$, તેથી $\ln(e) - \frac{x_0^2}{2e^2} = -1/2$.
$1 - \frac{x_0^2}{2e^2} = -1/2 \implies \frac{x_0^2}{2e^2} = 3/2 \implies x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \pm \sqrt{3}e$.

(D) આપેલ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$ છે.
ધારો કે $y = vx$, તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x - vx}{x + vx} = \frac{1 - v}{1 + v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1 - v}{1 + v} - v = \frac{1 - 2v - v^2}{1 + v}$.
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{1 + v}{1 - 2v - v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
ધારો કે $u = 1 - 2v - v^2$, તો $du = -2(1 + v) dv$.
$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C \implies -\frac{1}{2} \ln|1 - 2v - v^2| = \ln|x| + C$.
$1 - 2(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2 = \frac{K}{x^2}$.
$x^2 - 2xy - y^2 = K$. તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $K = 0$.
$x^2 - 2xy - y^2 = 0$. આ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે જ્યાં $H^2 - AB = 2 > 0$, જે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \, dy + 2y \, dx = 0$
પદોને ગોઠવતા: $x \, dy = -2y \, dx$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{2y} = -\frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{2y} \, dy = -\int \frac{1}{x} \, dx$
$\frac{1}{2} \ln|y| = -\ln|x| + C$
$2$ વડે ગુણતા: $\ln|y| = -2\ln|x| + 2C$
$\ln|y| = \ln|x^{-2}| + C_1$ (જ્યાં $C_1 = 2C$)
$y = e^{C_1} \cdot x^{-2} \implies y = \frac{K}{x^2}$ (જ્યાં $K = e^{C_1}$)
આપેલ છે $x = 2$ અને $y = 1$: $1 = \frac{K}{2^2} \implies K = 4$
આમ, વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \frac{4}{x^2}$ છે, જે $x^2 y = 4$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) ધારો કે $S = 4\pi r^2$ એ પૃષ્ઠફળ છે. આપેલ છે કે $\frac{dS}{dt} = kS$।
સંકલન કરતા, $\ln S = kt + C$, તેથી $S(t) = S_0 e^{kt}$।
$t = 0$ પર, $r = 2 \text{ cm}$, તેથી $S_0 = 4\pi(2)^2 = 16\pi \text{ cm}^2$।
$t = 5$ પર, $r = 7 \text{ cm}$, તેથી $S(5) = 4\pi(7)^2 = 196\pi \text{ cm}^2$।
$196\pi = 16\pi e^{5k} \implies e^{5k} = \frac{196}{16} = 12.25$।
$e^k = (12.25)^{1/5}$।
$t = 12$ પર, $S(12) = 16\pi (e^k)^{12} = 16\pi (12.25)^{12/5}$।
ગણતરી કરતા, $S(12) \approx 16 \times 3.14159 \times 49 \approx 2463.01 \text{ cm}^2$।
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, $S(12) = 2464 \text{ cm}^2$।

(A) પગલું $1$: $(y - a)^2 = 4(x - b)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(y - a) \frac{dy}{dx} = 4$, જેનું સાદું રૂપ $(y - a) \frac{dy}{dx} = 2$ થાય છે.
પગલું $2$: $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} + (y - a) \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
પગલું $3$: પગલું $1$ પરથી, $(y - a) = \frac{2}{dy/dx}$. આ કિંમતને પગલું $2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{dy}{dx})^2 + \frac{2}{dy/dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
પગલું $4$: અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા: $(\frac{dy}{dx})^3 + 2 \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
પગલું $5$: સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે, અને તેની ઘાત $1$ છે. તેથી, ઘાત $1$ છે.

(A) પગલું $1$: રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
પગલું $2$: $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ મળે છે.
પગલું $3$: આનો અર્થ એ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\cot \alpha$.
પગલું $4$: $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot \alpha) = 0$ (કારણ કે $\alpha$ એક અચળાંક છે).
પગલું $5$: આમ, માંગેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ છે.

(B) $y$-અક્ષ પર ધરી ધરાવતા પરવલયનું વ્યાપક સમીકરણ $y = ax^2 + b$ છે.
અહીં બે સ્વૈચ્છિક અચળાંકો $a$ અને $b$ હોવાથી, આપણે બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 2ax$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2a$.
પ્રથમ વિકલિત પરથી, $a = \frac{1}{2x} \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત બીજા વિકલિતમાં મૂકતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 \left( \frac{1}{2x} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{1}{x} \frac{dy}{dx}$.
તેને ગોઠવતા $x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવા માટે સમીકરણને ફરીથી લખો: $3 - (\frac{d^3y}{dx^3})^{2/3} = (\frac{dy}{dx})^5 \implies 3 - (\frac{dy}{dx})^5 = (\frac{d^3y}{dx^3})^{2/3}$।
પગલું $2$: અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન કરો: $(3 - (\frac{dy}{dx})^5)^3 = (\frac{d^3y}{dx^3})^2$।
પગલું $3$: હાજર રહેલ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે, તેથી કક્ષા $3$ છે.
પગલું $4$: સમીકરણને કરણી અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત કર્યા પછી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત $2$ છે, તેથી પરિમાણ $2$ છે.

(B) પગલું $1$: આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^3} = (\frac{d^3y}{dx^3})^{5/2}$ છે.
પગલું $2$: વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^3 = (\frac{d^3y}{dx^3})^5$ મળે છે.
પગલું $3$: વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલ ઉચ્ચતમ વિકલિત છે. અહીં, ઉચ્ચતમ વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે, તેથી કક્ષા $3$ છે.
પગલું $4$: ઘાત એ ઉચ્ચતમ વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે. $\frac{d^3y}{dx^3}$ ની ઘાત $5$ છે. તેથી, ઘાત $5$ છે.

(C) પગલું $1$: વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે. અહીં, સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે, તેથી કક્ષા $3$ છે.
પગલું $2$: વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ઘાત છે, જો સમીકરણ તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી હોય.
પગલું $3$: આ સમીકરણમાં, પદ $\cos(\frac{d^2y}{dx^2})$ માં વિકલિતનું ત્રિકોણમિતીય વિધેય સામેલ છે, જેનો અર્થ છે કે તેને વિકલિતોના બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
પગલું $4$: તેથી, આ વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) પગલું $1$: આપેલ સમીકરણ લખો: $\sqrt{1 + \frac{1}{(dy/dx)^2}} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$.
પગલું $2$: વર્ગમૂળની અંદરના પદને સાદું રૂપ આપો: $\sqrt{\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2}} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$.
પગલું $3$: આ $\frac{\sqrt{(dy/dx)^2 + 1}}{|dy/dx|} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$ બને છે.
પગલું $4$: જમણી બાજુના વર્ગમૂળને દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરો: $\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2} = (d^2y/dx^2)^3$.
પગલું $5$: અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $(dy/dx)^2$ વડે ગુણો: $(dy/dx)^2 + 1 = (d^2y/dx^2)^3 \cdot (dy/dx)^2$.
પગલું $6$: સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $d^2y/dx^2$ છે, તેથી ક્રમ $2$ છે. સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત $3$ છે, તેથી ઘાત $3$ છે.

(B) પગલું $1$: આપેલ વિકલ સમીકરણ $(\frac{d^3y}{dx^3})^{2/3} - 3 \frac{d^2y}{dx^2} + 5 \frac{dy}{dx} + 4 = 0$ છે.
પગલું $2$: પરિમાણ શોધવા માટે, સમીકરણ તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી હોવું જોઈએ. આપણે બંને બાજુ $3$ ઘાત લઈને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરીએ છીએ: $(\frac{d^3y}{dx^3})^2 = (3 \frac{d^2y}{dx^2} - 5 \frac{dy}{dx} - 4)^3$.
પગલું $3$: હાજર રહેલ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે, તેથી કક્ષા $3$ છે.
પગલું $4$: સમીકરણને બહુપદી બનાવ્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $2$ છે, તેથી પરિમાણ $2$ છે.

(B) પગલું $1$: આપેલ સમીકરણ $\sqrt{1 + \frac{1}{(dy/dx)^2}} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$ છે.
પગલું $2$: વર્ગમૂળની અંદરના પદને સાદું રૂપ આપો: $\sqrt{\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2}} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$.
પગલું $3$: આને $\frac{\sqrt{1 + (dy/dx)^2}}{|dy/dx|} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$ તરીકે લખી શકાય.
પગલું $4$: જમણી બાજુના વર્ગમૂળને દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરો: $\frac{1 + (dy/dx)^2}{(dy/dx)^2} = (d^2y/dx^2)^3$.
પગલું $5$: અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $(dy/dx)^2$ વડે ગુણો: $1 + (dy/dx)^2 = (dy/dx)^2 \cdot (d^2y/dx^2)^3$.
પગલું $6$: સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલન $d^2y/dx^2$ છે, તેથી કક્ષા $2$ છે.
પગલું $7$: સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી બનાવ્યા પછી સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $3$ છે, તેથી ઘાત $3$ છે.

(A) પગલું $1$: આપેલ સમીકરણને સરળ બનાવો। $\sqrt{\frac{(\frac{dy}{dx})^2 + 1}{(\frac{dy}{dx})^2}} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{\frac{3}{2}}$।
પગલું $2$: વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરો: $\frac{(\frac{dy}{dx})^2 + 1}{(\frac{dy}{dx})^2} = (\frac{d^2y}{dx^2})^3$।
પગલું $3$: અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $(\frac{dy}{dx})^2$ વડે ગુણો: $(\frac{dy}{dx})^2 + 1 = (\frac{d^2y}{dx^2})^3 (\frac{dy}{dx})^2$।
પગલું $4$: હાજર સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે, તેથી કક્ષા $2$ છે।
પગલું $5$: સમીકરણને વિકલનોમાં બહુપદી બનાવ્યા પછી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનનો ઘાત $3$ છે, તેથી પરિમાણ $3$ છે।

(B) પગલું $1$: આપેલ વિકલ સમીકરણ લખો: $(\frac{d^3y}{dx^3})^{\frac{2}{3}} = 3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4$।
પગલું $2$: પરિમાણ શોધવા માટે, સમીકરણ વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $3$ ઘાત લો: $((\frac{d^3y}{dx^3})^{\frac{2}{3}})^3 = (3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4)^3$।
પગલું $3$: આનું સાદું રૂપ $(\frac{d^3y}{dx^3})^2 = (3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4)^3$ થાય છે।
પગલું $4$: કક્ષા એ સૌથી મોટું વિકલિત છે, જે $3$ છે. પરિમાણ એ સંમેયીકરણ પછી સૌથી મોટા વિકલિતની ઘાત છે, જે $2$ છે. આમ, કક્ષા $3$ છે અને પરિમાણ $2$ છે।

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{1 + \frac{1}{(\frac{dy}{dx})^2}} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{\frac{3}{2}}$
ડાબી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $\sqrt{\frac{(\frac{dy}{dx})^2 + 1}{(\frac{dy}{dx})^2}} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{\frac{3}{2}}$
$\frac{\sqrt{(\frac{dy}{dx})^2 + 1}}{|\frac{dy}{dx}|} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{\frac{3}{2}}$
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(\frac{dy}{dx})^2 + 1}{(\frac{dy}{dx})^2} = (\frac{d^2y}{dx^2})^3$
$(\frac{dy}{dx})^2$ વડે ગુણતા: $(\frac{dy}{dx})^2 + 1 = (\frac{d^2y}{dx^2})^3 (\frac{dy}{dx})^2$
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે, તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $3$ છે, તેથી પરિમાણ $3$ છે.
આમ, કક્ષા અને પરિમાણ અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે.

(B) આપેલ છે $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{b} = \vec{0}$, તેથી $\vec{b} = -\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c})$ છે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\vec{b} = -[(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c}] = (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
કારણ કે $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{a} \cdot \vec{a}| = 1^2 = 1$ છે. તેથી, $\vec{b} = \vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
બંને બાજુ માનનો વર્ગ લેતા: $|\vec{b}|^2 = |\vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a}|^2 = |\vec{c}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{c})^2 |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{c} \cdot \vec{a}) = |\vec{c}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{c})^2$.
આપેલ છે $|\vec{b}| = 1$ અને $|\vec{c}| = 2$, તેથી $1^2 = 2^2 - (\vec{a} \cdot \vec{c})^2$, જેનો અર્થ છે કે $(\vec{a} \cdot \vec{c})^2 = 3$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta = 1 \cdot 2 \cos \theta = 2 \cos \theta$, તેથી $(2 \cos \theta)^2 = 3$, જેનો અર્થ છે $4 \cos^2 \theta = 3$.
$\cos^2 \theta = \frac{3}{4} \implies \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (લઘુકોણ $\theta$ માટે).
તેથી, $\theta = \frac{\pi}{6}$.

(C) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\vec{b}}{2}$, તેથી $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(\vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{1}{2})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = 0$.
ચુંકે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ અસમતલીય છે, તેઓ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી, તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
આમ, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
ચુંકે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ શૂન્યેતર સદિશો છે અને તેમનો અદિશ ગુણાકાર $0$ છે, તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(D) આપેલ છે $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{b} = \vec{0}$.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા.
કારણ કે $|\vec{a}| = 1$, આપણી પાસે $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$ છે.
તેથી, $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - \vec{c} + \vec{b} = \vec{0}$, જેનો અર્થ છે $\vec{b} = \vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
બંને બાજુ માનનો વર્ગ લેતા: $|\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{c})^2 |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{c} \cdot \vec{a})$.
કારણ કે $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{c}| = 2$, અને $|\vec{a}| = 1$, આપણને મળે છે $1 = 4 + (\vec{a} \cdot \vec{c})^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c})^2$.
$1 = 4 - (\vec{a} \cdot \vec{c})^2$, તેથી $(\vec{a} \cdot \vec{c})^2 = 3$.
આમ, $|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta = \pm \sqrt{3}$, જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1 \cdot 2 \cdot \cos \theta = \sqrt{3} \implies \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી, $\theta = \frac{\pi}{6}$.

(D) ધારો કે $V = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ છે. વ્યાખ્યા મુજબ, $\vec{a} \cdot \vec{p} = \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{V} = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}{V} = 1$ થાય.
તે જ રીતે, $\vec{b} \cdot \vec{q} = 1$ અને $\vec{c} \cdot \vec{r} = 1$ થાય.
વળી, $\vec{b} \cdot \vec{p} = 0$, $\vec{c} \cdot \vec{p} = 0$, $\vec{c} \cdot \vec{q} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{q} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{r} = 0$, અને $\vec{b} \cdot \vec{r} = 0$ થાય કારણ કે સદિશનો તેની સાથેના ક્રોસ પ્રોડક્ટ સાથેનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોય છે.
હવે, પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot \vec{r} = (\vec{a} \cdot \vec{p} + \vec{b} \cdot \vec{p}) + (\vec{b} \cdot \vec{q} + \vec{c} \cdot \vec{q}) + (\vec{c} \cdot \vec{r} + \vec{a} \cdot \vec{r})$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $(1 + 0) + (1 + 0) + (1 + 0) = 3$ મળે છે.

(B) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય.
ધારો કે સદિશો $\vec{u} = a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$, $\vec{v} = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$, અને $\vec{w} = c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0$ છે.
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$।
બીજી હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા: $-1(ab - c^2) + 0 - 1(ac - ac) = 0$।
$-(ab - c^2) = 0$।
$c^2 = ab$।
$c = \sqrt{ab}$।
આમ, $c$ એ $a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક છે।

(A) પગલું $1$: અદિશ ત્રિગુણન $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ નો ઉપયોગ કરીને સમાંતર ષટ્ફલકનું ઘનફળ શોધો.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -2 \\ -3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-2)) - \hat{j}(4 - 6) + \hat{k}(1 - (-9)) = 14\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k}$.
ઘનફળ $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |(-2)(14) + (5)(2) + (3)(10)| = |-28 + 10 + 30| = 12$.
પગલું $2$: $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા રચિત પાયાનું ક્ષેત્રફળ શોધો, જે $|\vec{b} \times \vec{c}|$ છે.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + 10^2} = \sqrt{196 + 4 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.
પગલું $3$: ઊંચાઈ $h = V / \text{ક્ષેત્રફળ} = 12 / (10\sqrt{3}) = 6 / (5\sqrt{3}) = (6\sqrt{3}) / 15 = 2\sqrt{3} / 5$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ છે, જે નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f(x) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારના અનુસંધાનમાં વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x = x^3 - 27x + 26$
સ્થાનિક મહત્તમ શોધવા માટે, $f'(x) = 3x^2 - 27$ મેળવો. $f'(x) = 0$ લેતા $x^2 = 9$, તેથી $x = \pm 3$ મળે છે.
$f''(x) = 6x$। સ્થાનિક મહત્તમ માટે, $f''(x) < 0$ હોવું જોઈએ, તેથી $x_0 = -3$ છે.
હવે $x = -3$ પર $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (-3)(7) + (-2)(-2) + (3)(-3) = -21 + 4 - 9 = -26$.

(B) અદિશ ત્રિપુટી ગુણાકાર $[\vec{a} \quad \vec{a} + \vec{b} \quad \vec{a} \times \vec{b}] = \vec{a} \cdot ((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b}))$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
સદિશ ત્રિપુટી ગુણાકાર નિત્યસમ $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b})$ નું વિસ્તરણ કરીએ:
$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})$
$= ((\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}) + ((\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b})$
$= (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + |\vec{b}|^2 \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b}$
હવે, $\vec{a}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$[\vec{a} \quad \vec{a} + \vec{b} \quad \vec{a} \times \vec{b}] = \vec{a} \cdot [(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + |\vec{b}|^2 \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b}]$
$= (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{a}) - |\vec{a}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{a}) - (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$= (8)(16) - (16)(8) + (9)(16) - (8)(8)$
$= 0 + 144 - 64 = 80$.

(D) કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં છે, તેથી અદિશ ત્રિગુણન $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$ થાય.
આ ઘટકોના નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-1) - (2)(x-2)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$.
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$.
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$.
$4 + 2x = 0$.
$2x = -4$.
$x = -2$.

(A) શિરોબિંદુઓ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a}))|$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $\vec{a} = (5, -1, 1)$, $\vec{b} = (7, -4, p)$, $\vec{c} = (1, -6, 10)$, $\vec{d} = (-1, -3, 7)$ છે.
$\vec{b}-\vec{a} = (2, -3, p-1)$, $\vec{c}-\vec{a} = (-4, -5, 9)$, $\vec{d}-\vec{a} = (-6, -2, 6)$ છે.
ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |\det \begin{pmatrix} 2 & -3 & p-1 \\ -4 & -5 & 9 \\ -6 & -2 & 6 \end{pmatrix}| = 11$ છે.
$|2(-30 + 18) + 3(-24 + 54) + (p-1)(8 - 30)| = 66$ છે.
$|2(-12) + 3(30) + (p-1)(-22)| = 66$ છે.
$|-24 + 90 - 22p + 22| = 66$ છે.
$|88 - 22p| = 66$ છે.
કિસ્સો $1$: $88 - 22p = 66 \implies 22p = 22 \implies p = 1$ છે.
કિસ્સો $2$: $88 - 22p = -66 \implies 22p = 154 \implies p = 7$ છે.
આમ, $p$ ની એક કિંમત $1$ છે.

(A) આપેલ છે કે, સમાંતર ફલકનું ઘનફળ $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 3$ છે.
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ સહ-આદિમ ધારવાળા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં, $\vec{u} = \vec{a} \times \vec{b}$, $\vec{v} = 2(\vec{a} \times \vec{c})$, $\vec{w} = 2(\vec{b} \times \vec{c})$ છે.
તેથી, $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = [(\vec{a} \times \vec{b}) \ (2(\vec{a} \times \vec{c})) \ (2(\vec{b} \times \vec{c}))] = 4 [(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{a} \times \vec{c}) \ (\vec{b} \times \vec{c})]$ થાય.
નિત્યસમ $[(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{b} \times \vec{c}) \ (\vec{c} \times \vec{a})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ નો ઉપયોગ કરતા, $[(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{a} \times \vec{c}) \ (\vec{b} \times \vec{c})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ મળે છે.
તેથી, $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = 4 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 4 \times (3)^2 = 4 \times 9 = 36$ થાય.
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} \times 36 = 6 \text{ ઘન એકમ}$ છે.

(A) નિશ્ચાયક $\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right|$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ દર્શાવે છે.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ છે, તેથી $\vec{a} = \pm \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$.
આમ, $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \pm \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \pm |\vec{b} \times \vec{c}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં, આપણને કિંમત $|\vec{b} \times \vec{c}|^2$ મળે છે.
સૂત્ર $|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}||\vec{c}| \sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતાં, જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે.
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 \sin^2(\frac{\pi}{3}) = |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$, જેને આપણે $(\vec{r} - \vec{c}) \times \vec{b} = 0$ લખી શકીએ. આનો અર્થ એ છે કે કોઈ અદિશ $t$ માટે $\vec{r} - \vec{c} = t\vec{b}$, તેથી $\vec{r} = \vec{c} + t\vec{b}$ થાય.
$\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$ માં $\vec{r}$ ની કિંમત મૂકતા, $(\vec{c} + t\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$, જેનો અર્થ છે $\vec{c} \cdot \vec{a} + t(\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (4)(2) + (-3)(0) + (7)(1) = 8 + 0 + 7 = 15$ ની ગણતરી કરો.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(2) + (1)(0) + (1)(1) = 2 + 0 + 1 = 3$ ની ગણતરી કરો.
આમ, $15 + 3t = 0$, જે આપણને $t = -5$ આપે છે.
હવે, $\vec{r} = \vec{c} - 5\vec{b} = (4\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}) - 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$.
અંતે, $\vec{r} \cdot \vec{c} = (-1)(4) + (-8)(-3) + (2)(7) = -4 + 24 + 14 = 34$.

(B) $P(1, 0, -3)$ માંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખાને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z + 3}{-6} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2r + 1, 3r, -6r - 3)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y - z = 9$ પર આવેલું હોવાથી, આપણે યામો મૂકીએ:
$(2r + 1) - (3r) - (-6r - 3) = 9$.
$2r + 1 - 3r + 6r + 3 = 9$.
$5r + 4 = 9 \implies 5r = 5 \implies r = 1$.
છેદબિંદુ $(2(1) + 1, 3(1), -6(1) - 3) = (3, 3, -9)$ છે.
$(1, 0, -3)$ અને $(3, 3, -9)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (3 - 0)^2 + (-9 - (-3))^2}$ છે.
$d = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ એકમ}$.

(A) રેખા $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2$.
માનની ગણતરી કરો: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
તેથી, $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$.

(B) દિશા સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ વાળી રેખા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ વાળા સમતલ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ ની સાઈન માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$, $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(p) + (1)(1) = p + 3$ છે.
માન $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + p^2 + 1^2} = \sqrt{p^2 + 5}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{|p + 3|}{\sqrt{3} \sqrt{p^2 + 5}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2}{9} = \frac{(p + 3)^2}{3(p^2 + 5)}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2}{3} = \frac{p^2 + 6p + 9}{p^2 + 5}$.
$2(p^2 + 5) = 3(p^2 + 6p + 9) \implies 2p^2 + 10 = 3p^2 + 18p + 27$.
$p^2 + 18p + 17 = 0$.
$(p + 1)(p + 17) = 0$.
આમ, $p = -1$ અથવા $p = -17$ છે.

(B) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ થી બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલ: $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1, \mu)$ નું સમતલથી અંતર: $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\mu) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\mu|}{13}$ છે.
બિંદુ $(-3, 0, 1)$ નું સમતલથી અંતર: $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-9 - 12 + 13|}{13} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$ છે.
બિંદુઓ સમાન અંતરે હોવાથી, $d_1 = d_2$, તેથી $\frac{|20 - 12\mu|}{13} = \frac{8}{13}$ છે.
$|20 - 12\mu| = 8$ છે.
કિસ્સો $1$: $20 - 12\mu = 8 \implies 12\mu = 12 \implies \mu = 1$ છે.
કિસ્સો $2$: $20 - 12\mu = -8 \implies 12\mu = 28 \implies \mu = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$ છે.
આમ, $\mu$ ના મૂલ્યો $1, \frac{7}{3}$ છે.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સમાંતર સદિશો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 3) - \hat{j}(4 - 3) + \hat{k}(4 + 1) = -4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ છે.
અહીં, $\vec{a} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = (-2)(-4) + (7)(-1) + (5)(5) = 8 - 7 + 25 = 26$.
આમ, સમીકરણ $\vec{r} \cdot (-4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = 26$ છે.

(A) પગલું $1$: $A, B, C$ બિંદુઓના યામ શોધો જ્યાં સમતલ અક્ષોને છેદે છે.
$x$-અક્ષ માટે, $y=0, z=0 \implies x=2$। તેથી, $A = (2, 0, 0)$।
$y$-અક્ષ માટે, $x=0, z=0 \implies y=3$। તેથી, $B = (0, 3, 0)$।
$z$-અક્ષ માટે, $x=0, y=0 \implies z=4$। તેથી, $C = (0, 0, 4)$।
પગલું $2$: સદિશ $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધો.
$\vec{AB} = (-2, 3, 0)$, $\vec{AC} = (-2, 0, 4)$।
પગલું $3$: સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરો.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$।
પગલું $4$: ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$।
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \sqrt{61}$ ચોરસ એકમ।

(B) રેખા $L$ બિંદુ $B(2, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (2-3)\hat{i} + (3-7)\hat{j} + (-2 - (-7))\hat{k} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-10) - \hat{j}(-1+15) + \hat{k}(-2-12) = -14\hat{i} - 14\hat{j} - 14\hat{k}$ છે.
આપણે $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-3) + 1(y-7) + 1(z+7) = 0$ છે, જેનું સાદું રૂપ $x + y + z - 3 = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી, $d^2 = 3$ થાય.

(A) સમતલનું સમીકરણ $2x - 3y - 6z = 49$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિક-ગુણોત્તર અભિલંબ સદિશ જેટલા જ હોય. તેથી, રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-6} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k, -3k, -6k)$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ બિંદુ સમતલ પર આવેલું હોવાથી, તેને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(2k) - 3(-3k) - 6(-6k) = 49$.
$4k + 9k + 36k = 49 \implies 49k = 49 \implies k = 1$.
$k = 1$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા, આપણને $(2(1), -3(1), -6(1)) = (2, -3, -6)$ મળે છે.

(A) સમતલો $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ અને $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(2x - y + z - 3) + \lambda(4x - 3y + 5z + 9) = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(2 + 4\lambda)x + (-1 - 3\lambda)y + (1 + 5\lambda)z + (-3 + 9\lambda) = 0$.
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2 + 4\lambda)\hat{i} + (-1 - 3\lambda)\hat{j} + (1 + 5\lambda)\hat{k}$ છે.
સમતલ એ દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ વાળી રેખાને સમાંતર હોવાથી, અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v}$ ને લંબ હોવો જોઈએ, તેથી $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$.
$2(2 + 4\lambda) + 4(-1 - 3\lambda) + 5(1 + 5\lambda) = 0$.
$4 + 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$.
$21\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = -5/21$.
સમતલના સમીકરણમાં $\lambda = -5/21$ મૂકતા: $(2 - 20/21)x + (-1 + 15/21)y + (1 - 25/21)z + (-3 - 45/21) = 0$.
$(42 - 20)/21 x + (-21 + 15)/21 y + (21 - 25)/21 z + (-63 - 45)/21 = 0$.
$22x - 6y - 4z - 108 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $11x - 3y - 2z - 54 = 0$.

(B) ઉગમબિંદુથી $d$ અંતરે અને સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ છે, જ્યાં $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ એ એકમ લંબ સદિશ છે.
આપેલ છે $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $d = 5$.
$\vec{n}$ નું માન શોધો: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
એકમ લંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{3}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \left( \frac{2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{3} \right) = 5$ છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા, આપણને $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 15$ મળે છે.

(B) રેખાઓ બિંદુઓ $A(1, -1, 0)$ અને $B(-1, -1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશો $\vec{v_1} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
રેખાઓ એક જ સમતલમાં હોવાથી, સદિશ $\vec{AB} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$, $\vec{v_1}$ અને $\vec{v_2}$ સાથે સમતલીય હોવો જોઈએ. તેથી, અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{AB}, \vec{v_1}, \vec{v_2}] = 0$ થાય.
$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 2 & \lambda & 2 \\ 5 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = -2(\lambda^2 - 4) = 0 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & \lambda & 2 \\ 5 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda^2 - 4)\hat{i} - (2\lambda - 10)\hat{j} + (4 - 5\lambda)\hat{k}$ છે.
$\lambda = 2$ માટે, $\vec{n} = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k} = 6(\hat{j} - \hat{k})$. સમતલ $0(x-1) + 1(y+1) - 1(z-0) = 0 \implies y - z + 1 = 0$ છે.
$\lambda = -2$ માટે, $\vec{n} = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k} = 14(\hat{j} + \hat{k})$. સમતલ $0(x-1) + 1(y+1) + 1(z-0) = 0 \implies y + z + 1 = 0$ છે.
આ બંનેને જોડતા, સમીકરણ $y \pm z + 1 = 0$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પગલું $2$: જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{n_1}$ અને $\vec{n_2}$ બંનેને લંબ છે, તેથી $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(3 - 6) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
પગલું $3$: બિંદુ $(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
પગલું $4$: કિંમતો મૂકતા: $-2(x - 1) + 4(y - 2) - 3(z - 1) = 0 \implies -2x + 2 + 4y - 8 - 3z + 3 = 0 \implies -2x + 4y - 3z - 3 = 0$, જે $2x - 4y + 3z + 3 = 0$ છે.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + by + cz = 0$ છે, જે $ax + by + cz = a$ માં સરળ થાય છે. તે $(0, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $a(0) + b(1) + c(0) = a$, એટલે કે $b = a$। અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (a, a, c)$ છે.
સમતલ $2x + 3y = 7$ નો અભિલંબ $\vec{n_2} = (2, 3, 0)$ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ સૂત્ર $\cos(45^{\circ}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|5a|}{\sqrt{2a^2 + c^2} \sqrt{13}}$।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{25a^2}{13(2a^2 + c^2)}$।
$13(2a^2 + c^2) = 50a^2 \implies 13c^2 = 24a^2 \implies c = \pm a \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{13}}$।
જો $a = \sqrt{13}$ લઈએ, તો $b = \sqrt{13}$ અને $c = 2\sqrt{6}$ મળે છે. તેથી દિક્-ગુણોત્તર $\sqrt{13}, \sqrt{13}, 2\sqrt{6}$ છે.

(C) પગલું $1$: સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને ઓળખો. રેખાઓ સમાંતર છે કારણ કે તેમનો દિશા સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ સમાન છે.
પગલું $2$: ધારો કે $A = (0, 4, -1)$ અને $B = (2, 1, 0)$ રેખાઓ પરના બિંદુઓ છે. સદિશ $\vec{AB} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ છે.
પગલું $3$: અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{b} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.
પગલું $4$: સમતલનું સમીકરણ $4x + 5y + 7z - 13 = 0$ છે.
પગલું $5$: બિંદુ $(2, 5, 10)$ થી સમતલનું અંતર $d = \frac{|4(2) + 5(5) + 7(10) - 13|}{\sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2}} = \frac{90}{\sqrt{90}} = \sqrt{90}$ છે.
પગલું $6$: તેથી, $d^2 = 90$ થાય.

(A) પગલું $1$: સમતલ પરના એક બિંદુનો સ્થાન સદિશ નક્કી કરો. ધારો કે $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j}$ છે.
પગલું $2$: બિંદુઓ $A(-1, 2, 0)$ અને $B(2, 2, -1)$ ને જોડતા સદિશ દ્વારા પ્રથમ દિશા સદિશ $\vec{b}$ શોધો. $\vec{b} = (2 - (-1))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (-1 - 0)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{k}$ છે.
પગલું $3$: રેખા $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1/2}{1} = \frac{z + 1}{-1}$ પરથી બીજો દિશા સદિશ $\vec{c}$ શોધો. દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, -1)$ છે, તેથી $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
પગલું $4$: સમતલનું પ્રાચલિક સ્વરૂપ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ છે.
સદિશોને મૂકતા: $\vec{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ મળે છે.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(B) પગલું $1$: સમતલના સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં ફેરવો.
પગલું $2$: આપેલ છે $2x + 3y + z = 6$, $6$ વડે ભાગતા $\frac{2x}{6} + \frac{3y}{6} + \frac{z}{6} = 1$ મળે, જે $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1$ માં સાદું રૂપ પામે છે.
પગલું $3$: અંતઃખંડો $a = 3, b = 2$ અને $c = 6$ છે. તેથી $A, B, C$ ના યામ $(3, 0, 0), (0, 2, 0)$ અને $(0, 0, 6)$ છે.
પગલું $4$: ઉગમબિંદુ અને અંતઃખંડો $a, b, c$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |abc|$ છે.
પગલું $5$: $V = \frac{1}{6} \times 3 \times 2 \times 6 = 6 \text{ ઘન એકમો}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\vec{r} = \lambda(\hat{i} + 3\hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + 2\hat{j}$ છે.
ધારો કે $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે. તો $x = \lambda + \mu$, $y = 2 + \mu$, $z = 3\lambda + 2\mu$ છે.
$y = 2 + \mu$ પરથી, આપણને $\mu = y - 2$ મળે છે.
$\mu$ ની કિંમત $x = \lambda + \mu$ માં મૂકતા: $x = \lambda + y - 2 \implies \lambda = x - y + 2$ મળે.
$\lambda$ અને $\mu$ ની કિંમત $z = 3\lambda + 2\mu$ માં મૂકતા: $z = 3(x - y + 2) + 2(y - 2) = 3x - 3y + 6 + 2y - 4 = 3x - y + 2$ મળે.
આમ, સમતલનું સમીકરણ $3x - y - z = -2$ અથવા $3x - y - z + 2 = 0$ છે.
અંતઃખંડ સ્વરૂપ માટે, $3x - y - z = -2 \implies \frac{x}{-2/3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1$ છે.
આથી, $a = -2/3$, $b = 2$, $c = 2$ છે.
તેથી $a + b + c = -2/3 + 2 + 2 = -2/3 + 4 = 10/3$ થાય.

(A) પગલું $1$: સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1}$ શોધો. સમતલ $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
પગલું $2$: $\vec{n_1} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 2) - \hat{j}(-6 + 1) + \hat{k}(-6 - 2) = -6\hat{i} + 5\hat{j} - 8\hat{k}$.
પગલું $3$: $xy$-સમતલનો અભિલંબ $\vec{n_2} = \hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
પગલું $4$: સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$, $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $5$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-6)(0) + (5)(0) + (-8)(1) = -8$. તેથી, $|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| = 8$.
પગલું $6$: $|\vec{n_1}| = \sqrt{(-6)^2 + 5^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 25 + 64} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$. $|\vec{n_2}| = 1$.
પગલું $7$: $\cos \theta = \frac{8}{5\sqrt{5}}$. તેથી, $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{5\sqrt{5}} \right)$.

(A) પગલું $1$: સમતલ $z$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી, તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$, $z$-અક્ષના સદિશ $\vec{k} = (0, 0, 1)$ ને લંબ છે. તેથી, અભિલંબ સદિશનો $z$-ઘટક $0$ છે. સમતલનું સમીકરણ $3x - 2y - q = 0$ છે, જે આ શરતને સંતોષે છે.
પગલું $2$: સમતલ $A(1, p, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા: $3(1) - 2(p) - q = 0 \implies 3 - 2p - q = 0$।
પગલું $3$: સમતલ $B(3, 2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા: $3(3) - 2(2) - q = 0 \implies 9 - 4 - q = 0 \implies 5 - q = 0 \implies q = 5$।
પગલું $4$: પગલા $2$ ના સમીકરણમાં $q = 5$ મૂકતા: $3 - 2p - 5 = 0 \implies -2p - 2 = 0 \implies p = -1$।
પગલું $5$: આમ, $p = -1$ અને $q = 5$ મળે છે.

(C) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ છે.
$y=0, z=0$ લેતા $x=2$ મળે, તેથી $A = (2, 0, 0)$।
$x=0, z=0$ લેતા $y=3$ મળે, તેથી $B = (0, 3, 0)$।
$x=0, y=0$ લેતા $z=4$ મળે, તેથી $C = (0, 0, 4)$।
સદિશ $\vec{AB} = B - A = (-2, 3, 0)$ અને $\vec{AC} = C - A = (-2, 0, 4)$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(-8 - 0) + \hat{k}(0 - (-6)) = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$।
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 8^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 61} = \sqrt{61}$ છે.

(D) સમતલ $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}) = 32$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 5\hat{i} + b\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
રેખા સમતલને સમાંતર હોવાથી, રેખા સમતલના અભિલંબ સદિશને લંબ હશે. તેથી, $\vec{n}$ અને $\vec{v}$ નો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$
$(3)(5) + (-2)(b) + (7)(3) = 0$
$15 - 2b + 21 = 0$
$36 - 2b = 0$
$2b = 36$
$b = 18$.