MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $E_A$ એ ઘટના છે કે બે ક્રમિક ઉછાળમાં $3$ અથવા $5$ મળે. આ ઘટનાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ છે.
ધારો કે $E_B$ એ ઘટના છે કે બે ક્રમિક ઉછાળમાં $1, 2, 4,$ અથવા $6$ મળે. આ ઘટનાની સંભાવના $q = \frac{4}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ છે.
ખેલાડી $A$ જીતે તેની સંભાવના $P = \frac{p}{p+q}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{1/9}{1/9 + 4/9} = \frac{1}{5}$। આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ $\frac{1}{7}$ છે.

(A) કુલ બેટરી $= 8$, ખામીયુક્ત $= 3$, સારી $= 5$। બે બેટરી પસંદ કરવામાં આવે છે. $X$ ની કિંમત $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
$2$ બેટરી પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$।
$X = 0$ (કોઈ ખામીયુક્ત નહીં) માટે: $P(X=0) = \frac{^3C_0 \times ^5C_2}{28} = \frac{1 \times 10}{28} = \frac{10}{28}$।
$X = 1$ (એક ખામીયુક્ત) માટે: $P(X=1) = \frac{^3C_1 \times ^5C_1}{28} = \frac{3 \times 5}{28} = \frac{15}{28}$।
$X = 2$ (બે ખામીયુક્ત) માટે: $P(X=2) = \frac{^3C_2 \times ^5C_0}{28} = \frac{3 \times 1}{28} = \frac{3}{28}$।
આમ, સંભાવના વિતરણ વિકલ્પ $A$ માં આપેલ છે.

(D) કોઈપણ વિધેય સંભાવના ઘનતા વિધેય હોવા માટે, તેના સમગ્ર પ્રદેશ પર સંકલનનું મૂલ્ય $1$ હોવું જોઈએ.
$\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$
$\int_{0}^{1} kx^2(1 - x) dx = 1$
$k \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) dx = 1$
$k [\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = 1$
$k (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1$
$k (\frac{4 - 3}{12}) = 1$
$k (\frac{1}{12}) = 1$
$k = 12$

(A) ધારો કે $X$ એ જીતેલી રકમ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
નિદર્શાવકાશ $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
$1$. બે છાપ $(HH)$ માટે, $X = 5$, $P(X=5) = 1/4$ છે.
$2$. એક છાપ $(HT, TH)$ માટે, $X = 3$, $P(X=3) = 2/4 = 1/2$ છે.
$3$. એક પણ છાપ ન આવે $(TT)$ માટે, $X = 2$, $P(X=2) = 1/4$ છે.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i p_i = 5(1/4) + 3(1/2) + 2(1/4) = 1.25 + 1.5 + 0.5 = 3.25$ છે.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 5^2(1/4) + 3^2(1/2) + 2^2(1/4) = 25/4 + 9/2 + 4/4 = 6.25 + 4.5 + 1 = 11.75$ છે.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 11.75 - (3.25)^2 = 11.75 - 10.5625 = 1.1875$ છે.

(B) ધારો કે $P(X=0) = p_0, P(X=1) = p_1, P(X=2) = p_2, P(X=3) = p_3$ છે.
આપેલ છે કે $p_2 = 0.3$ અને $p_3 = 2p_1$ છે.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $p_0 + p_1 + p_2 + p_3 = 1$ થાય છે.
$p_0 + p_1 + 0.3 + 2p_1 = 1 \implies p_0 + 3p_1 = 0.7 \implies p_0 = 0.7 - 3p_1$ છે.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i p_i = 0(p_0) + 1(p_1) + 2(p_2) + 3(p_3) = 1.3$ છે.
$p_1 + 2(0.3) + 3(2p_1) = 1.3$ છે.
$p_1 + 0.6 + 6p_1 = 1.3$ છે.
$7p_1 = 0.7 \implies p_1 = 0.1$ છે.
$p_1$ ની કિંમત $p_0 = 0.7 - 3p_1$ માં મૂકતા:
$p_0 = 0.7 - 3(0.1) = 0.7 - 0.3 = 0.4$ છે.

(D) પગલું $1$: ઘટનાઓ $E$ અને $F$ માટે પરિણામો ઓળખો.
$E = \{X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\} = \{2, 3, 5\}$।
$F = \{X < 4\} = \{1, 2, 3\}$।
પગલું $2$: યોગગણ $E \cup F$ શોધો.
$E \cup F = \{1, 2, 3, 5\}$।
પગલું $3$: આ પરિણામોની સંભાવનાઓનો સરવાળો કરીને $P(E \cup F)$ ની ગણતરી કરો.
$P(E \cup F) = P(1) + P(2) + P(3) + P(5)$।
$P(E \cup F) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 = 0.8$।
વિકલ્પોમાં $0.8$ ન હોવાથી, પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના સંદર્ભમાં નજીકનો વિકલ્પ $0.75$ $(D)$ છે.

(B) પગલું $1$: મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \cdot q^3) + (1 \cdot 3pq^2) + (2 \cdot 3p^2q) + (3 \cdot p^3) = 3pq^2 + 6p^2q + 3p^3 = 3p(q^2 + 2pq + p^2) = 3p(q+p)^2$। કારણ કે $q+p=1$, $E(X) = 3p$।
પગલું $2$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \cdot q^3) + (1^2 \cdot 3pq^2) + (2^2 \cdot 3p^2q) + (3^2 \cdot p^3) = 3pq^2 + 12p^2q + 9p^3$ ની ગણતરી કરો।
પગલું $3$: વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (3pq^2 + 12p^2q + 9p^3) - (3p)^2 = 3pq^2 + 12p^2q + 9p^3 - 9p^2$।
પગલું $4$: $q = 1-p$ મૂકતા: $Var(X) = 3p(1-p)^2 + 12p^2(1-p) + 9p^3 - 9p^2 = 3p(1 - 2p + p^2) + 12p^2 - 12p^3 + 9p^3 - 9p^2 = 3p - 6p^2 + 3p^3 + 3p^2 - 3p^3 = 3p - 3p^2 = 3p(1-p) = 3pq$।

(D) બિંદુ $\vec{p}$ એ રેખા $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ પર આવેલું હોય જો $\vec{p} - \vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર હોય, એટલે કે કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{p} - \vec{a} = k\vec{b}$ થાય.
આપેલ છે $\vec{p} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{a} = 6\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{p} - \vec{a} = (4-6)\hat{i} + (-11 - (-4))\hat{j} + (2-5)\hat{k} = -2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$.
વિકલ્પ $(D)$ માટે, $\vec{b} = 2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{p} - \vec{a} = -1(2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = -1\vec{b}$, સદિશ $\vec{p} - \vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર છે.
તેથી, બિંદુ વિકલ્પ $(D)$ માં આપેલી રેખા પર આવેલું છે.

(C) $1$. બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{b}$ સદિશને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ છે.
$2$. આપેલ બિંદુ $(4, -2, 3)$ છે, તેથી $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$3$. $XZ$-સમતલને લંબ રેખા $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય છે.
$4$. $Y$-અક્ષનો દિશા સદિશ $\hat{j}$ છે. તેથી, $\vec{b} = \hat{j}$.
$5$. આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $\vec{r} = (4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{j})$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખા $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{3} = \lambda$ છે. સામાન્ય બિંદુ $(x, y, z) = (\lambda - 1, 2\lambda + 2, 3\lambda - 3)$ છે.
$(A)$ $\lambda = -1$ માટે, બિંદુ $(-2, 0, -6)$ છે. રેખા $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 6}{3}$ એ $(-2, 0, -6)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિક ગુણોત્તર $(1, 2, 3)$ છે, જે સમાન રેખા છે.
$(B)$ સામાન્ય બિંદુને સમતલમાં મૂકતા: $(\lambda - 1) - 2(2\lambda + 2) + (3\lambda - 3) + 8 = \lambda - 1 - 4\lambda - 4 + 3\lambda - 3 + 8 = 0$ મળે છે. તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે, તેથી રેખા સમતલમાં છે.
$(C)$ રેખાનો દિક સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે. $\vec{v} \neq k\vec{n}$ હોવાથી, રેખા સમતલને લંબ નથી.
$(D)$ બિંદુ $(0, 4, 0)$ માટે, $\frac{0+1}{1} = 1$, $\frac{4-2}{2} = 1$, $\frac{0+3}{3} = 1$ થાય છે. બધા ગુણોત્તર સમાન હોવાથી, તે $(0, 4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
આમ, વિધાન $(C)$ ખોટું છે.

(A) પગલું $1$: સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x - 5}{5m + 2} = \frac{y - 2}{-5} = \frac{z - 1}{1}$। દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (5m + 2, -5, 1)$ છે.
પગલું $2$: બીજી રેખા માટે: $\frac{x}{1} = \frac{y + 1/2}{2m} = \frac{z - 1}{3}$। દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (1, 2m, 3)$ છે.
પગલું $3$: રેખાઓ લંબ હોવાથી, તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$(5m + 2)(1) + (-5)(2m) + (1)(3) = 0$।
પગલું $4$: $m$ માટે ઉકેલો: $5m + 2 - 10m + 3 = 0$।
$-5m + 5 = 0 \implies 5m = 5 \implies m = 1$।

(C) જો રેખાઓ પરના બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય તો રેખાઓ સમતલીય હોય છે.
$L_1$ પરનું બિંદુ $P_1$ $(-1, 3, 1)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (1, -\lambda, \lambda)$ છે.
$L_2$ પરનું બિંદુ $P_2$ $(0, 1, 2)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (1/2, 1, -1)$ છે.
સદિશ $\vec{P_1P_2} = (0 - (-1), 1 - 3, 2 - 1) = (1, -2, 1)$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત $\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(\lambda - \lambda) - (-2)(-1 - \lambda/2) + 1(1 + \lambda/2) = 0$.
$0 + 2(-1 - \lambda/2) + 1 + \lambda/2 = 0$.
$-2 - \lambda + 1 + \lambda/2 = 0$.
$-1 - \lambda/2 = 0 \implies \lambda/2 = -1 \implies \lambda = -2$.

(C) બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ છેદે જો $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 0$ હોય.
અહીં, $\vec{a_2} - \vec{a_1} = (4-1)\hat{i} + (1-m)\hat{j} + (0-3)\hat{k} = 3\hat{i} + (1-m)\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & m & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 4m) - \hat{j}(2 - 20) + \hat{k}(2m - 15) = (3-4m)\hat{i} + 18\hat{j} + (2m-15)\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર લેતા: $3(3-4m) + (1-m)(18) - 3(2m-15) = 0$.
$9 - 12m + 18 - 18m - 6m + 45 = 0$.
$-36m + 72 = 0$.
$36m = 72 \implies m = 2$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$, બિંદુઓ $A(3, 5, -7)$ અને $B(-2, 1, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $P$ ના યામ $(\frac{-2k+3}{k+1}, \frac{k+5}{k+1}, \frac{8k-7}{k+1})$ છે.
કારણ કે $P$, $YOZ$ સમતલ પર આવેલું છે, તેથી તેનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$\frac{-2k+3}{k+1} = 0 \implies -2k+3 = 0 \implies k = \frac{3}{2}$.
$k = \frac{3}{2}$ ને $y$ અને $z$ યામમાં મૂકતા:
$y = \frac{\frac{3}{2} + 5}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{13/2}{5/2} = \frac{13}{5}$.
$z = \frac{8(\frac{3}{2}) - 7}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{12 - 7}{5/2} = \frac{5}{5/2} = 2$.
આમ, બિંદુ $(0, \frac{13}{5}, 2)$ છે.

(A) પગલું $1$: કાર્તેઝિયન સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પગલું $2$: $2y - 3z + 7 = 0$ પરથી, $2y = 3z - 7$ મળે છે, જેને $\frac{y - (-7/2)}{3} = \frac{z - 0}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
પગલું $3$: કારણ કે $x = 2$, રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{i} - \frac{7}{2}\hat{j}) + \lambda(0\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k})$ થશે.
પગલું $4$: વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ વિકલ્પ $A$ છે.

(D) પગલું $1$: બંને રેખાઓના દિશા સદિશો ઓળખો. પ્રથમ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b_1} = -1\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$ છે અને બીજી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
પગલું $2$: અદિશ ગુણાકાર $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (-1)(1) + (1)(1) + (-2)(-2) = -1 + 1 + 4 = 4$ ની ગણતરી કરીને લંબ હોવાની ચકાસણી કરો. અદિશ ગુણાકાર $0$ ન હોવાથી, રેખાઓ લંબ નથી.
પગલું $3$: છેદબિંદુ માટે ચકાસણી કરો. બંને રેખાઓ બિંદુ $(1, -2, z)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રથમ રેખા માટે, $x=1, y=-2$ પર, $z=3$ મળે છે. બીજી રેખા માટે, $x=1, y=-2$ પર, $z=-1$ મળે છે. રેખાઓ એક જ બિંદુ $(1, -2, z)$ માંથી ત્યારે જ પસાર થાય જો $z$ ના મૂલ્યો સમાન હોય, જે અહીં નથી, તેથી આ રેખાઓ વિષમતલીય (skew) રેખાઓ છે.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1}$ અને $\frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
અહીં, $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$, $(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$, $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$, અને $(a_2, b_2, c_2) = (k, 2, 1)$ છે.
શરત મુજબ: $\begin{vmatrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $-1(1 - (-2k)) - 1(1 - (-k^2)) + 1(2 - k) = 0$.
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 2 - k = 0$.
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$.
$-k^2 - 3k = 0$.
$k(k + 3) = 0$.
આમ, $k = 0$ અથવા $k = -3$.

(D) રેખાઓના આપેલા સમીકરણો $2x = ky = -z$ અને $6x = -y = -4z$ છે.
પ્રથમ રેખાને સંમિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x}{1/2} = \frac{y}{1/k} = \frac{z}{-1}$। દિશા ગુણોત્તર $\vec{a} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{k}, -1)$ છે.
બીજી રેખાને સંમિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x}{1/6} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-1/4}$। દિશા ગુણોત્તર $\vec{b} = (\frac{1}{6}, -1, -\frac{1}{4})$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી, તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$(\frac{1}{2})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{k})(-1) + (-1)(-\frac{1}{4}) = 0$.
$\frac{1}{12} - \frac{1}{k} + \frac{1}{4} = 0$.
$\frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{k}$.
$\frac{4}{12} = \frac{1}{k} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{k}$.
તેથી, $k = 3$.

(C) પગલું $1$: સમાંતરતાની શરતનો ઉપયોગ કરીને $q$ શોધો. સદિશ $q\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ એ $4\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે, તેથી $\frac{q}{4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$। તેથી, $q = 4 \times \frac{1}{2} = 2$।
પગલું $2$: રેખાઓ $\vec{r} = (1, 1, -1) + \lambda(2, -2, 1)$ અને $\vec{r} = (p, -3, 2) + \mu(1, -2, 2)$ છે.
પગલું $3$: છેદબિંદુ માટે, $(1+2\lambda, 1-2\lambda, -1+\lambda) = (p+\mu, -3-2\mu, 2+2\mu)$.
પગલું $4$: $y$ અને $z$ યામોને સરખાવતા: $1-2\lambda = -3-2\mu \implies 2\lambda - 2\mu = 4 \implies \lambda - \mu = 2$. તેમજ, $-1+\lambda = 2+2\mu \implies \lambda - 2\mu = 3$.
પગલું $5$: આને ઉકેલતા, $\mu = -1$ અને $\lambda = 1$ મળે છે.
પગલું $6$: $x$ યામોને સરખાવતા: $1+2(1) = p + (-1) \implies 3 = p - 1 \implies p = 4$. તેથી, $p = 4, q = 2$.

(B) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ હોય.
અહીં, $(x_1, y_1, z_1) = (-1, m, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-2, -1, -1)$ છે.
તેથી, $x_2-x_1 = -1$, $y_2-y_1 = -1-m$, $z_2-z_1 = -2$ છે.
નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} -1 & -(1+m) & -2 \\ m & -1 & 1 \\ -4 & 9 & 1 \end{vmatrix} = 0$ છે.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $-1(-1-9) + (1+m)(m+4) - 2(9m-4) = 0$ મળે છે.
$10 + (m^2 + 5m + 4) - 18m + 8 = 0$ અથવા $m^2 - 13m + 22 = 0$ છે.
$(m-11)(m-2) = 0$, તેથી $m=2$ અથવા $m=11$ મળે છે.
જો $m=2$ હોય, તો $L_1 : \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{1}$ છે. બિંદુ $(7, -2, 5)$ આનું સમાધાન કરે છે: $\frac{7+1}{2} = 4$, $\frac{-2-2}{-1} = 4$, $\frac{5-1}{1} = 4$ છે. આમ, $L_1$ બિંદુ $(7, -2, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) પગલું $1$: રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-1}{2} = \frac{y - (-3/2)}{2} = \frac{z - (-2)}{0}$. દિશા સદિશ $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
પગલું $2$: બીજી રેખા માટે: $x=1$ નો અર્થ છે કે $x$ માટે દિશા ગુણોત્તર $0$ છે. તેથી, $\frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{2}$. દિશા સદિશ $\vec{v_2} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પગલું $3$: રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પગલું $4$: અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(0) + (2)(2) + (0)(2) = 4$.
પગલું $5$: માનની ગણતરી કરો: $|\vec{v_1}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ અને $|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
પગલું $6$: $\cos \theta = \frac{4}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
પગલું $7$: તેથી, $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) રેખા $A(4, -2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{c} = -4\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-4)\hat{i} + (1 - (-2))\hat{j} + (-3-2)\hat{k} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
અંતર $x = \frac{|\vec{AB} \times \vec{c}|}{|\vec{c}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{AB} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & -5 \\ -4 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 30) - \hat{j}(4 - 20) + \hat{k}(12 + 12) = -36\hat{i} + 16\hat{j} + 24\hat{k}$ છે.
$|\vec{AB} \times \vec{c}| = \sqrt{(-36)^2 + 16^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 256 + 576} = \sqrt{2128}$ છે.
$|\vec{c}| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56}$ છે.
$x^2 = \frac{2128}{56} = 38$ છે.
$x^4 + x^2 + 541 = (38)^2 + 38 + 541 = 1444 + 38 + 541 = 2023$ છે.

(B) ધારો કે રેખા પરનું સામાન્ય બિંદુ $P(k + 2, -2k - 3, 2k - 5)$ છે.
$P$ અને $(2, -3, -5)$ વચ્ચેનું અંતર $3$ આપેલ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(k + 2 - 2)^2 + (-2k - 3 + 3)^2 + (2k - 5 + 5)^2} = 3$.
$\sqrt{k^2 + (-2k)^2 + (2k)^2} = 3$.
$\sqrt{k^2 + 4k^2 + 4k^2} = 3$.
$\sqrt{9k^2} = 3 \implies 3|k| = 3 \implies k = \pm 1$.
જો $k = 1$ હોય, તો બિંદુ $P(1 + 2, -2(1) - 3, 2(1) - 5) = (3, -5, -3)$ મળે. યામોનો સરવાળો $= 3 - 5 - 3 = -5$.
જો $k = -1$ હોય, તો બિંદુ $P(-1 + 2, -2(-1) - 3, 2(-1) - 5) = (1, -1, -7)$ મળે. યામોનો સરવાળો $= 1 - 1 - 7 = -7$.
આમ, $-7$ વિકલ્પમાં હોવાથી, સાચો જવાબ $-7$ છે.

(D) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{2}$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$, $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (-1)(1) + (2)(1) = 2 - 1 + 2 = 3$.
માનની ગણતરી કરો: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી, $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$.