MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે $a + b + c = 0$, તેથી $a = -(b + c)$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|a|^2 = |-(b + c)|^2 = |b + c|^2$ મળે.
$|a|^2 = |b|^2 + |c|^2 + 2|b||c| \cos \theta$.
$|a| = |b| = |c| = 3$ હોવાથી, $3^2 = 3^2 + 3^2 + 2(3)(3) \cos \theta$ મળે.
$9 = 9 + 9 + 18 \cos \theta$.
$18 \cos \theta = -9$, તેથી $\cos \theta = -1/2$ થાય.
$\cos \theta = -1/2$ હોવાથી, $\theta = 120^\circ$ થાય.
તેથી $\tan \theta = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$ અને $\cot \theta = \cot(120^\circ) = -1/\sqrt{3}$ મળે.
$\tan^2 \theta = (-\sqrt{3})^2 = 3$.
$\cot^2 \theta = (-1/\sqrt{3})^2 = 1/3$.
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 3 + 1/3 = 10/3$.

(A) ધારો કે $\vec{u} = 5\vec{a} + 2\vec{b}$ અને $\vec{v} = \vec{a} - 3\vec{b}$ છે.
વિકર્ણો $\vec{d_1} = \vec{u} + \vec{v} = 6\vec{a} - \vec{b}$ અને $\vec{d_2} = \vec{u} - \vec{v} = 4\vec{a} + 5\vec{b}$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec{a}|^2 = 8$, $|\vec{b}|^2 = 9$, અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{4}) = (2\sqrt{2})(3)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6$ છે.
$|\vec{d_1}|^2 = (6\vec{a} - \vec{b}) \cdot (6\vec{a} - \vec{b}) = 36|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 36(8) + 9 - 12(6) = 288 + 9 - 72 = 225$ છે.
તેથી, $|\vec{d_1}| = \sqrt{225} = 15$ છે.
$|\vec{d_2}|^2 = (4\vec{a} + 5\vec{b}) \cdot (4\vec{a} + 5\vec{b}) = 16|\vec{a}|^2 + 25|\vec{b}|^2 + 40(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 16(8) + 25(9) + 40(6) = 128 + 225 + 240 = 593$ છે.
તેથી, $|\vec{d_2}| = \sqrt{593}$ છે.
લંબાઈ $15$ અને $\sqrt{593}$ છે.

(A) બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 6\hat{i} + \hat{j}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\hat{i} + 3\hat{j}$
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = -6\hat{i} - \hat{j}$
$\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d} = \hat{i} - 3\hat{j}$
કારણ કે $\vec{AB} = -\vec{CD}$ અને $\vec{BC} = -\vec{DA}$, $ABCD$ એ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે.
પાસેની બાજુઓનો અદિશ ગુણાકાર: $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (6)(-1) + (1)(3) = -3 \neq 0$. તેથી, તે લંબચોરસ નથી.
માન: $|\vec{AB}| = \sqrt{37}$ અને $|\vec{BC}| = \sqrt{10}$.
કારણ કે $|\vec{AB}| \neq |\vec{BC}|$, તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
તેથી, $ABCD$ એ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે જે સમબાજુ ચતુષ્કોણ પણ નથી અને લંબચોરસ પણ નથી.

(D) ભ્રમણ દરમિયાન સદિશનું મૂલ્ય અપરિવર્તિત રહે છે. તેથી $|\vec{v}|^2 = |\vec{v}'|^2$ થાય.
$|\vec{v}|^2 = 3^2 + 4^2 + (-5)^2 = 9 + 16 + 25 = 50$ થાય.
$|\vec{v}'|^2 = (a + 1)^2 + (-3)^2 + 5^2 = (a + 1)^2 + 9 + 25 = (a + 1)^2 + 34$ થાય.
બંનેને સરખાવતા: $(a + 1)^2 + 34 = 50$ થાય.
$(a + 1)^2 = 16$ થાય.
$a + 1 = \pm 4$ થાય.
કિસ્સો $1$: $a + 1 = 4 \implies a = 3$ થાય.
કિસ્સો $2$: $a + 1 = -4 \implies a = -5$ થાય.
આમ, $a$ ની શક્ય કિંમતો $3$ અથવા $-5$ છે.

(C) પગલું $1$: $(\vec{a} + \vec{b}) = (4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: $(\vec{b} + \vec{c}) = (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + (3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}) = 5\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: અદિશ ગુણાકાર $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k})$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: અદિશ ગુણાકાર કરો: $(6 \times 5) + (2 \times 5) + (3 \times 7) = 30 + 10 + 21 = 61$.

(C) પગલું $1$: કારણ કે $\vec{a} \parallel \vec{b}$, તેમના ઘટકો પ્રમાણસર છે: $\frac{\lambda}{2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
પગલું $2$: $\frac{\lambda}{2} = \frac{1}{4}$ પરથી, આપણને $\lambda = \frac{2}{4} = 0.5$ મળે છે.
પગલું $3$: કારણ કે $\vec{b} \perp \vec{c}$, તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય છે: $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.
પગલું $4$: $(2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \mu \hat{j} + \hat{k}) = 0 \implies (2)(1) + (4)(\mu) + (4)(1) = 0$.
પગલું $5$: $2 + 4\mu + 4 = 0 \implies 4\mu = -6 \implies \mu = -1.5$.
પગલું $6$: $\lambda - \mu = 0.5 - (-1.5) = 0.5 + 1.5 = 2$ ની ગણતરી કરો.

(D) ધારો કે $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v} = (2+b)\hat{i} + (4+2)\hat{j} + (-5+3)\hat{k} = (2+b)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
$\vec{s}$ ને સમાંતર એકમ સદિશ $\hat{s} = \frac{\vec{s}}{|\vec{s}|} = \frac{(2+b)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{(2+b)^2 + 6^2 + (-2)^2}}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\hat{s}$ નો અદિશ ગુણાકાર $1$ છે, તેથી $\vec{a} \cdot \hat{s} = 1$ છે.
$\frac{(1)(2+b) + (1)(6) + (1)(-2)}{\sqrt{(2+b)^2 + 36 + 4}} = 1$ છે.
$\frac{b+6}{\sqrt{(2+b)^2 + 40}} = 1$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(b+6)^2 = (2+b)^2 + 40$ છે.
$b^2 + 12b + 36 = b^2 + 4b + 4 + 40$ છે.
$8b = 8$, તેથી $b = 1$ છે.

(A) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v}$ છે. કારણ કે $\vec{v}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે સમતલીય છે અને $\vec{a}$ ને લંબ છે, તેથી $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ થશે.
પ્રથમ, $\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(9-0) + \hat{k}(3-4) = 6\hat{i} - 9\hat{j} - \hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
હવે, $\vec{v} = \vec{a} \times (6\hat{i} - 9\hat{j} - \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 6 & -9 & -1 \end{vmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$= \hat{i}(-2 - (-27)) - \hat{j}(-1 - 18) + \hat{k}(-9 - 12) = 25\hat{i} + 19\hat{j} - 21\hat{k}$.

(D) આપેલ છે $|a| = \sqrt{3}$, $|b| = 3$, અને $|a - b| = 4$. $|a - b| = 4$ નો વર્ગ કરતા $|a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b) = 16$ મળે, તેથી $3 + 9 - 2(a \cdot b) = 16$, જે દર્શાવે છે કે $a \cdot b = -2$.
ધારો કે $v = 2i + 2j - k$ છે. સમીકરણ $a \times v = v \times b$ ને $a \times v + b \times v = 0$ તરીકે લખી શકાય, તેથી $(a + b) \times v = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(a + b)$ એ $v = 2i + 2j - k$ ને સમાંતર છે. તેથી $a + b = k(2i + 2j - k)$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
$|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = 3 + 9 + 2(-2) = 8$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $|a + b|^2 = k^2(2^2 + 2^2 + (-1)^2) = 9k^2$, આપણી પાસે $9k^2 = 8$ છે, તેથી $k^2 = 8/9$ અને $|k| = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
આપણને $|(a + b) \cdot (3i + 4j + 2k)| = |k(2i + 2j - k) \cdot (3i + 4j + 2k)| = |k(6 + 8 - 2)| = |12k| = 12 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 8\sqrt{2}$ ની જરૂર છે.
આપેલ છે કે આ $\sqrt{\lambda}$ બરાબર છે, તેથી $\sqrt{\lambda} = 8\sqrt{2} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{128}$. તેથી $\lambda = 128$.

(C) કારણ કે $\triangle ABC$ એ $A$ આગળ કાટકોણ છે, તેથી $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ થાય.
આપેલ પદાવલિ: $E = \vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$.
કારણ કે $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$, પદાવલિ $E = \vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$ બને છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં, $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}|^2$ અને $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}|^2$ થાય.
તેથી, $E = |\vec{BA}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{BC}|^2$.
$|\vec{BC}|^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 = |(5-3)\hat{i} + (1-(-2))\hat{j} + (-3-1)\hat{k}|^2 = |2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}|^2$ ની ગણતરી કરો.
$|\vec{BC}|^2 = 2^2 + 3^2 + (-4)^2 = 4 + 9 + 16 = 29$.

(A) આપેલ છે કે દરેક સદિશ બાકીના બે સદિશોના સરવાળાને લંબ છે:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$
$\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$
$\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા, આપણને $2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ મળે છે, તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ થાય.
હવે, $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0) = 9 + 16 + 25 = 50$
તેથી, $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(D) પગલું $1$: બિંદુ $D$ નો સ્થાન સદિશ શોધો જે $BC$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\vec{d} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{b}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$.
પગલું $2$: બિંદુ $E$ એ $AD$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\vec{e} = \frac{1(\vec{d}) + 2(\vec{a})}{1+2} = \frac{\vec{d} + 2\vec{a}}{3}$.
પગલું $3$: $\vec{e}$ ના સમીકરણમાં $\vec{d}$ ની કિંમત મૂકતા: $\vec{e} = \frac{\frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} + 2\vec{a}}{3} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c} + 6\vec{a}}{9} = \frac{6\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{9}$.

(D) આપેલ છે કે $a \cdot (b + c) = 0$, $b \cdot (c + a) = 0$, અને $c \cdot (a + b) = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a \cdot b + a \cdot c = 0$, $b \cdot c + b \cdot a = 0$, અને $c \cdot a + c \cdot b = 0$ છે.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$, તેથી $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$ મળે છે.
કારણ કે $a \cdot b + a \cdot c = 0$ છે, તેથી $a \cdot b = 0$, $b \cdot c = 0$, અને $c \cdot a = 0$ મળે છે.
હવે, $|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ છે.
$|a + b + c|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 2(0) = 1 + 4 + 9 = 14$ છે.
તેથી, $|a + b + c| = \sqrt{14}$ થાય.

(D) આપેલ છે $|a+b+c|^2 = 1^2 = 1$। કારણ કે $c = \lambda(a \times b)$, $c$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ છે, તેથી $a \cdot c = 0$ અને $b \cdot c = 0$।
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 1$ નું વિસ્તરણ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{6}})^2 + 2(a \cdot b + 0 + 0) = 1$।
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + 2(a \cdot b) = 1$।
$\frac{2+3+1}{6} + 2(a \cdot b) = 1 \implies 1 + 2(a \cdot b) = 1 \implies a \cdot b = 0$।
કારણ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta = 0$ અને $|a|, |b| \neq 0$, તેથી $\cos \theta = 0$, એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ $OBDC$ માં, વિકર્ણો $\vec{d_1} = \vec{OD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = \vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{OD} = \vec{OB} + \vec{OC}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2\vec{OB} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) + (-3\hat{i} - 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k} \implies \vec{OB} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2\vec{OC} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) - (-3\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 8\hat{k} \implies \vec{OC} = 2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$.
સમાંતર ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}$.
$= 1(4 - 2) - 2(-4 - 4) + 3(-1 - 2) = 1(2) - 2(-8) + 3(-3) = 2 + 16 - 9 = 9$.
આમ, ઘનફળ $9$ ઘન એકમ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{p} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$, જેને આપણે $\vec{p} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{a} = 0$ લખી શકીએ, જેનો અર્થ છે કે $(\vec{p} - \vec{b}) \times \vec{a} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{p} - \vec{b})$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર છે, તેથી કોઈ અદિશ $t$ માટે $\vec{p} - \vec{b} = t\vec{a}$.
આમ, $\vec{p} = \vec{b} + t\vec{a} = (\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (1+t)\hat{i} + (t-3)\hat{j} + (t+2)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{p} \cdot \vec{c} = 0$, જ્યાં $\vec{c} = 3\hat{i} - 2\hat{k}$, તેથી $((1+t)\hat{i} + (t-3)\hat{j} + (t+2)\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - 2\hat{k}) = 0$.
$3(1+t) - 2(t+2) = 0 \implies 3 + 3t - 2t - 4 = 0 \implies t - 1 = 0 \implies t = 1$.
$\vec{p}$ માં $t=1$ મૂકતા, $\vec{p} = (1+1)\hat{i} + (1-3)\hat{j} + (1+2)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
અંતે, $|\vec{p}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$.

(A) પગલું $1$: $x^2 + y^2 = 9$ અને $y^2 = 8x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો. $y^2 = 8x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + 8x - 9 = 0 \implies (x+9)(x-1) = 0$। $x \geq 0$ હોવાથી, $x = 1$ મળે. તેથી $y^2 = 8$, એટલે કે $y = \pm 2\sqrt{2}$।
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે. ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{8x} \, dx + \int_{1}^{3} \sqrt{9-x^2} \, dx \right]$।
પગલું $3$: પ્રથમ સંકલનની ગણતરી: $2 \int_{0}^{1} 2\sqrt{2} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_0^1 = \frac{8\sqrt{2}}{3}$।
પગલું $4$: બીજા સંકલનની ગણતરી: $2 [\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{3})]_1^3 = 2 [(\frac{3}{2}(0) + \frac{9}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{8} + \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{3}))] = 2 [\frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{3})] = \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9\sin^{-1}(\frac{1}{3})$।
પગલું $5$: કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9\sin^{-1}(\frac{1}{3})$।

(B) પગલું $1$: વક્રોને ઓળખો. વક્ર $y = |x| - 1$ એ $(0, -1)$ પર શિરોબિંદુ ધરાવતો $V$-આકાર દર્શાવે છે. વક્ર $y = -|x| + 1$ એ $(0, 1)$ પર શિરોબિંદુ ધરાવતો ઉલટો $V$-આકાર દર્શાવે છે.
પગલું $2$: છેદબિંદુઓ શોધો. $|x| - 1 = -|x| + 1$ લેતા, આપણને $2|x| = 2$ મળે છે, તેથી $|x| = 1$, જેનો અર્થ છે $x = 1$ અથવા $x = -1$। $x = 1$ પર, $y = 0$। $x = -1$ પર, $y = 0$। છેદબિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(-1, 0)$ છે.
પગલું $3$: ઘેરાયેલો પ્રદેશ એક ચોરસ (અથવા સમબાજુ ચતુષ્કોણ) છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0, 1), (1, 0), (0, -1),$ અને $(-1, 0)$ છે.
પગલું $4$: વિકર્ણો $d_1$ અને $d_2$ ધરાવતા સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે. અહીં, $d_1$ (ઊભો) $= 1 - (-1) = 2$ અને $d_2$ (આડો) $= 1 - (-1) = 2$ છે.
પગલું $5$: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{3} \sqrt{3^2 - x^2} dx$ ।
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $a = 3$ છે.
સીમાઓ $0$ થી $3$ લાગુ કરતા:
$I = [\frac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{3})]_{0}^{3}$
$I = (\frac{3}{2} \sqrt{9 - 9} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{3}{3})) - (\frac{0}{2} \sqrt{9 - 0} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{0}{3}))$
$I = (0 + \frac{9}{2} \sin^{-1}(1)) - (0 + 0)$
$I = \frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4}$ ।

(A) છાયાંકિત પ્રદેશ $x = 2\pi$ થી $x = \frac{9\pi}{4}$ સુધી $y = \sin x$ દ્વારા અને $x = \frac{9\pi}{4}$ થી $x = \frac{5\pi}{2}$ સુધી $y = \cos x$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
છેદબિંદુ ત્યાં છે જ્યાં $\sin x = \cos x$, એટલે કે $\tan x = 1$, તેથી $x = \frac{9\pi}{4}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{2\pi}^{9\pi/4} \sin x \, dx + \int_{9\pi/4}^{5\pi/2} \cos x \, dx$
$A = [-\cos x]_{2\pi}^{9\pi/4} + [\sin x]_{9\pi/4}^{5\pi/2}$
$A = -(\cos(9\pi/4) - \cos(2\pi)) + (\sin(5\pi/2) - \sin(9\pi/4))$
$A = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$A = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{4\pi} x |\sin(\frac{x}{2})| dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x \in [0, 2\pi]$ માટે $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ અને $x \in [2\pi, 4\pi]$ માટે $\sin(\frac{x}{2}) \le 0$ છે, તેથી:
$A = \int_{0}^{2\pi} x \sin(\frac{x}{2}) dx + \int_{2\pi}^{4\pi} x (-\sin(\frac{x}{2})) dx$.
ખંડશઃ સંકલન $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u=x, dv=\sin(\frac{x}{2})dx$:
$\int x \sin(\frac{x}{2}) dx = -2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{0}^{2\pi} = (-2(2\pi)(-1) + 0) - (0) = 4\pi$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $-[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{2\pi}^{4\pi} = -[(-2(4\pi)(1) + 0) - (-2(2\pi)(-1) + 0)] = -[-8\pi - 4\pi] = 12\pi$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi + 12\pi = 16\pi$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $y^2 = 4(1 - x^2)$, જેનો અર્થ છે $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$.
આ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું સમીકરણ છે જ્યાં $a = 1$ અને $b = 2$ છે.
વક્ર $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ એ ઉપવલયનો ઉપરનો અડધો ભાગ દર્શાવે છે.
આખા ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi ab = \pi(1)(2) = 2\pi$ છે.
વક્ર અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ ઉપવલયના ઉપરના અડધા ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2\pi = \pi \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) પ્રદેશ $y = x^3$, $y = 8$ અને $x = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા, આપણને $x = y^{1/3}$ મળે છે.
$y = x^3$ અને $y = 8$ નું છેદબિંદુ $x^3 = 8$ પર મળે છે, જે $x = 2$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 0$ થી $y = 8$ સુધી $y$ ની સાપેક્ષે $x$ નું સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$A = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} [8^{4/3} - 0^{4/3}]$
$A = \frac{3}{4} [(2^3)^{4/3}] = \frac{3}{4} [2^4] = \frac{3}{4} \times 16 = 12$ ચોરસ એકમ.

(C) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} 2^{kx} dx = \frac{2}{\ln 2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્ર $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\int_{0}^{2} 2^{kx} dx = \left[ \frac{2^{kx}}{k \ln 2} \right]_{0}^{2}$ મળે છે.
સીમાઓ મૂકતા: $\frac{1}{k \ln 2} (2^{2k} - 2^0) = \frac{2}{\ln 2}$.
$\frac{2^{2k} - 1}{k} = 2$.
$2^{2k} - 1 = 2k$.
નિરીક્ષણ દ્વારા, જો $k = 1/2$ હોય, તો $2^{2(1/2)} - 1 = 2^1 - 1 = 1$ અને $2k = 2(1/2) = 1$ થાય છે.
આમ $1 = 1$ હોવાથી, $k$ ની કિંમત $\frac{1}{2}$ છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $x^2 = by$ છે, જેનો અર્થ છે $x = \sqrt{b} \sqrt{y}$ (કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં છે).
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y = 1$ થી $y = 4$ સુધી $y$ ની સાપેક્ષમાં $x$ નું સંકલન છે:
$A = \int_{1}^{4} \sqrt{b} \sqrt{y} \, dy = 28$
$\sqrt{b} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy = 28$
$\sqrt{b} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}] = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [8 - 1] = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} \cdot 7 = 28$
$\sqrt{b} = \frac{28 \cdot 3}{14} = 2 \cdot 3 = 6$
$b = 6^2 = 36$।

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $x < 4$ માટે $|x - 4| = -(x - 4)$ અને $x \ge 4$ માટે $|x - 4| = (x - 4)$ થાય છે, તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$.
પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$.
બીજા ભાગની ગણતરી: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 0.5 + 0.5 = 1$ ચોરસ એકમ.

(A) પગલું $1$: સમીકરણ $2x - y + 1 = 0$ માંથી $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો. આપણને $2x = y - 1$ મળે છે, તેથી $x = \frac{y - 1}{2}$.
પગલું $2$: વક્ર $x = f(y)$, $y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = c$ તથા $y = d$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{c}^{d} |x| \, dy$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $3$: સીમાઓ $y = -1$ થી $y = 3$ મૂકતા: $A = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$.
પગલું $4$: પદ $\frac{y - 1}{2}$ એ $y = 1$ પર ચિહ્ન બદલે છે. તેથી, $A = \int_{-1}^{1} -(\frac{y - 1}{2}) \, dy + \int_{1}^{3} (\frac{y - 1}{2}) \, dy$.
પગલું $5$: સંકલનની ગણતરી કરો: $\frac{1}{2} [-( \frac{y^2}{2} - y )]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [ \frac{y^2}{2} - y ]_{1}^{3} = \frac{1}{2} [-( (\frac{1}{2} - 1) - (\frac{1}{2} + 1) )] + \frac{1}{2} [ (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) ] = \frac{1}{2} [ -(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}) ] + \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) ] = \frac{1}{2} [2] + \frac{1}{2} [2] = 1 + 1 = 2$ ચોરસ એકમ.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 4$ સુધી $|y|$ નું $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન છે.
$A = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$
કારણ કે $x < 0$ માટે $|x| = -x$ અને $x \ge 0$ માટે $|x| = x$ થાય છે, તેથી આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = (0 - (-\frac{(-2)^2}{2})) + (\frac{4^2}{2} - 0)$
$A = (0 - (-2)) + (8 - 0)$
$A = 2 + 8 = 10 \text{ ચોરસ એકમ}$।

(B) ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $y = x^3 + ax = x(x^2 + a)$ અને $a > 0$ છે, વક્ર અંતરાલ $[-2, 1]$ માં માત્ર $x = 0$ આગળ $x$-અક્ષને છેદે છે.
$x \in [-2, 0]$ માટે, $x^3 + ax \le 0$, તેથી $|x^3 + ax| = -(x^3 + ax)$।
$x \in [0, 1]$ માટે, $x^3 + ax \ge 0$, તેથી $|x^3 + ax| = x^3 + ax$।
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$।
સંકલન કરતા: $-[\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{-2}^{0} + [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$।
$-(0 - (4 + 2a)) + (\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) = \frac{37}{4}$।
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$।
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$।
$a = 2$।

(B) પરવલય $y^2 = 4kx$ અને રેખા $x = k$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ નું સૂત્ર $A = 2 \int_{0}^{k} \sqrt{4kx} \, dx$ છે.
$A = 2 \cdot 2\sqrt{k} \int_{0}^{k} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{k} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{k}$.
$A = 4\sqrt{k} \cdot \frac{2}{3} k^{3/2} = \frac{8}{3} k^2$.
આપેલ છે કે $A = \frac{128}{3}$, તેથી $\frac{8}{3} k^2 = \frac{128}{3}$.
$8k^2 = 128 \implies k^2 = 16 \implies k = 4$ (કારણ કે $k > 0$).
આપણે $\sin^{-1}(\frac{2}{k}) = \sin^{-1}(\frac{2}{4}) = \sin^{-1}(\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

(A) પગલું $1$: $y = 0$ લઈને $X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધો.
$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$।
તેથી, $x = 0$ અને $x = 2$ મળે છે.
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $3$: સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$।
પગલું $4$: સીમાઓ મૂકતા: $\left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - (0 - 0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$।

(A) આપેલ વક્ર $y = 4x^2$ છે, જેને $x$ ના સ્વરૂપમાં $x = \sqrt{\frac{y}{4}} = \frac{\sqrt{y}}{2}$ લખી શકાય.
પ્રથમ ચરણમાં $Y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = 2$ તથા $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$.
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{2}^{4}$.
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વક્ર $y = \sqrt{16 - x^2}$ છે, જે $x^2 + y^2 = 4^2$ ના ઉપરના અર્ધ-વર્તુળને દર્શાવે છે જેની ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
આપણે $x = 0$ અને $x = 4$ ની વચ્ચે $X$-અક્ષની ઉપર ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
આ પ્રદેશ $r = 4$ વાળા વર્તુળનો ચોથો ભાગ છે.
આખા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi(4)^2 = 16\pi$ છે.
તેથી, માંગેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{4} \times 16\pi = 4\pi$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) ધારો કે $V$ એ ગોળાકાર વરસાદના ટીપાનું કદ છે અને $S$ એ તેની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ અને $S = 4 \pi r^2$.
બાષ્પીભવનનો દર એ કદમાં થતા ફેરફારનો દર, $\frac{dV}{dt}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} \propto -S$, તેથી $\frac{dV}{dt} = -k' S$ (જ્યાં $k' > 0$ એક અચળાંક છે).
$V$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dV}{dt}$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k' (4 \pi r^2)$.
બંને બાજુ $4 \pi r^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{dr}{dt} = -k'$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $\frac{dr}{dt} + k' = 0$ મળે છે. કારણ કે $k'$ એ ધન અચળાંક છે, આપણે તેને $k$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ, $\frac{dr}{dt} + k = 0$.

(A) પગલું $1$: વિકલ સમીકરણને $(c + dy) dy = (a + bx) dx$ તરીકે ફરીથી લખો.
પગલું $2$: બંને બાજુ સંકલન કરો: $\int (c + dy) dy = \int (a + bx) dx$.
પગલું $3$: આ $cy + \frac{d}{2} y^2 = ax + \frac{b}{2} x^2 + C$ આપે છે.
પગલું $4$: પદોને ફરીથી ગોઠવો: $\frac{b}{2} x^2 - \frac{d}{2} y^2 - ax + cy + C = 0$.
પગલું $5$: ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળ માટે, $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ, અને $x$ અને $y$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
પગલું $6$: આમ, $a = 0$, $c = 0$, અને $\frac{b}{2} = -\frac{d}{2}$, જેનો અર્થ છે $b = -d$ અથવા $b + d = 0$.

(B) પગલું $1$: સમીકરણને $xy^6$ વડે ભાગતા $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{xy^5} = x^2$ મળે છે.
પગલું $2$: ધારો કે $v = y^{-5}$, તો $\frac{dv}{dx} = -5y^{-6} \frac{dy}{dx}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5} \frac{dv}{dx}$.
પગલું $3$: સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-\frac{1}{5} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = x^2$, જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dx} - \frac{5}{x}v = -5x^2$ થાય છે.
પગલું $4$: સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{5}{x} dx} = e^{-5 \ln x} = x^{-5}$ છે.
પગલું $5$: ઉકેલ $v \cdot x^{-5} = \int (-5x^2) \cdot x^{-5} dx = \int -5x^{-3} dx = -5 \frac{x^{-2}}{-2} + c = \frac{5}{2}x^{-2} + c$ છે.
પગલું $6$: $x^5$ વડે ગુણતા, $v = \frac{5}{2}x^3 + cx^5$ મળે છે, તેથી $y^{-5} = \frac{5}{2}x^3 + cx^5$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $2x \frac{dy}{dx} = y + 3$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y + 3} = \frac{dx}{2x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y + 3} = \int \frac{dx}{2x}$
$\ln|y + 3| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$
$2$ વડે ગુણતા: $2 \ln|y + 3| = \ln|x| + 2C$
$\ln(y + 3)^2 = \ln|x| + C'$
$(y + 3)^2 = kx$, જ્યાં $k = e^{C'}$
આ સમીકરણ $(y - k_1)^2 = 4a(x - k_2)$ સ્વરૂપનું છે, જે પરવલયોના પરિવારને દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે: $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$।
તેને આ રીતે લખો: $\frac{dx}{dy} = x + y$।
આ $\frac{dx}{dy} - x = y$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે।
અહીં, $P = -1$ અને $Q = y$ છે।
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ છે।
ઉકેલ આ મુજબ મળે છે: $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$।
$x e^{-y} = \int y e^{-y} dy + c$।
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int y e^{-y} dy = y(-e^{-y}) - \int 1(-e^{-y}) dy = -y e^{-y} - e^{-y}$।
તેથી, $x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} + c$।
$e^y$ વડે ગુણતા: $x = -y - 1 + ce^y$।
ગોઠવતા: $x + y + 1 = ce^y$।

(C) પગલું $1$: વિકલ સમીકરણને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખો.
$x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = \frac{1}{x^2}$.
પગલું $2$: સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$.
પગલું $3$: સમીકરણને $IF$ વડે ગુણીને સંકલન કરો: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} y = \frac{1}{x^3}$.
આ $\frac{d}{dx} (y \cdot \frac{1}{x}) = x^{-3}$ છે.
પગલું $4$: બંને બાજુ સંકલન કરતા: $y \cdot \frac{1}{x} = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + c = -\frac{1}{2x^2} + c$.
પગલું $5$: $2x^2$ વડે ગુણતા: $2xy = -1 + 2cx^2$, જેનું સાદું રૂપ $2xy - 2cx^2 + 1 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} - y = 0$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $(x + 2y^3) = y \frac{dx}{dy}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y} = \frac{x}{y} + 2y^2$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = 2y^2$
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P = -\frac{1}{y}$ અને $Q = 2y^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$ છે.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$
$\frac{x}{y} = y^2 + c$
$x = y(y^2 + c) = (c + y^2)y$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $(x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = -(1 + t^2)$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા, $\frac{dx}{dt} = -\frac{x - e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2} = -\frac{x}{1 + t^2} + \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$.
આને $\frac{dx}{dt} + \frac{1}{1 + t^2} x = \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(t) dt} = e^{\int \frac{1}{1 + t^2} dt} = e^{\tan^{-1} t}$ દ્વારા મળે છે.

(A) આપેલ છે $y = e^{-mx}$.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = -m e^{-mx}$.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = m^2 e^{-mx}$.
આ કિંમતોને વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $m^2 e^{-mx} + 4(-m e^{-mx}) + 3(e^{-mx}) = 0$.
$e^{-mx}$ સામાન્ય લેતા: $e^{-mx}(m^2 - 4m + 3) = 0$.
કારણ કે $e^{-mx} \neq 0$, તેથી $m^2 - 4m + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(m - 1)(m - 3) = 0$.
આમ, $m = 1$ અથવા $m = 3$.

(B) આપેલ છે: $\sec y + (x - e^{\sin y}) \frac{dy}{dx} = 0$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $(e^{\sin y} - x) \frac{dy}{dx} = \sec y$
$\frac{dx}{dy} = \frac{e^{\sin y} - x}{\sec y} = (e^{\sin y} - x) \cos y$
$\frac{dx}{dy} + x \cos y = e^{\sin y} \cos y$
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P = \cos y$ અને $Q = e^{\sin y} \cos y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dy} = e^{\int \cos y dy} = e^{\sin y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$ છે.
$x e^{\sin y} = \int (e^{\sin y} \cos y \cdot e^{\sin y}) dy + c$.
ધારો કે $u = \sin y$, તો $du = \cos y dy$ થાય.
$x e^{\sin y} = \int e^{2u} du + c = \frac{e^{2u}}{2} + c$.
$x e^{\sin y} = \frac{e^{2 \sin y}}{2} + c$.

(D) પગલું $1$: સમીકરણને $x \sin x$ વડે ભાગીને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ મેળવો.
$\frac{dy}{dx} + \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} y = \frac{1}{x}$.
પગલું $2$: $P(x) = \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} = \cot x + \frac{1}{x}$ ને ઓળખો.
પગલું $3$: સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\cot x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln |\sin x| + \ln |x|} = e^{\ln |x \sin x|} = x \sin x$ શોધો.
પગલું $4$: ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx$ છે.
$y(x \sin x) = \int \frac{1}{x} (x \sin x) dx = \int \sin x dx$.
$xy \sin x = -\cos x + c$.
$xy \sin x + \cos x = c$.

(B) પગલું $1$: વિકલ સમીકરણને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખો.
આપેલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ ને $x$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x \log x$ મળે છે.
પગલું $2$: $P(x)$ ને ઓળખો.
અહીં, $P(x) = \frac{2}{x}$ છે.
પગલું $3$: સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ ની ગણતરી કરો.
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.

(D) પગલું $1$: સમીકરણને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખો.
$\frac{dy}{dx} + \frac{6x^2}{1+x^3}y = \frac{1+x^2}{1+x^3}$.
પગલું $2$: સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધો: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{6x^2}{1+x^3} dx} = e^{2 \ln(1+x^3)} = (1+x^3)^2$.
પગલું $3$: $IF$ વડે ગુણીને સંકલન કરો: $y(1+x^3)^2 = \int (1+x^2)(1+x^3) dx = \int (1 + x^2 + x^3 + x^5) dx = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6} + c$.
પગલું $4$: $y = \frac{1}{(1+x^3)^2} [x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6} + c]$ સાથે સરખાવતા, આપણને $s=2, p=3, q=4, r=6$ મળે છે.
પગલું $5$: $2, 3, 4, 6$ નો $LCM$ $12$ છે.

(D) સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ નો સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$, $IF = e^{\int P \, dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $IF = \tan x$, તેથી $e^{\int P \, dx} = \tan x$ થાય.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\int P \, dx = \ln(\tan x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $P = \frac{d}{dx}(\ln(\tan x))$.
ચેઈન રૂલ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા: $P = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$.
$P = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા: $P = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \csc 2x$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = x^2 + 5$ છે.
પગલું $1$: સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધો.
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$.
પગલું $2$: વિકલ સમીકરણને $IF$ વડે ગુણીને સંકલન કરો.
$x \frac{dy}{dx} + y = x(x^2 + 5) = x^3 + 5x$.
$\frac{d}{dx}(xy) = x^3 + 5x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$xy = \int (x^3 + 5x) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} + c$.

(B) આપેલ છે $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$।
ધારો કે $y = vx$, તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1 + v}{1 - v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}$।
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।
$\int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv = \ln|x| + C$।
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2}) + C = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(\frac{x^2 + y^2}{x^2}) + C$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) - \ln|x| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) + C$।
$2\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln(x^2 + y^2) + 2C$।
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $e^{2\tan^{-1}(\frac{y}{x})} = e^{\ln(x^2 + y^2)} \cdot e^{2C} = k(x^2 + y^2)$।
આ $c(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} = e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})}$ સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y}$ છે.
વ્યસ્ત લેતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + y}{y} = \frac{x}{y} + 1$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 1$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ છે.
$IF$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = \frac{1}{y}$ મળે છે.
$y$ ની સાપેક્ષે બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{x}{y} = \int \frac{1}{y} dy = \ln |y| + C$ મળે છે.
વક્ર $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી, $x=0, y=1$ મૂકતા: $\frac{0}{1} = \ln(1) + C \implies C = 0$ મળે છે.
આમ, $\frac{x}{y} = \ln y$, જેનો અર્થ છે કે $y = e^{\frac{x}{y}}$.