MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $V$ એ વિધાન 'વોલ્ટેજ વધે છે' છે અને $C$ એ વિધાન 'પ્રવાહ ઘટે છે' છે.
તો વિધાનો આ મુજબ છે:
$p: V \implies C$
$q: \neg V \implies \neg C$
$r: C \implies V$
$s: \neg C \implies \neg V$
$1$. ગર્ભિતાર્થ $A \implies B$ નો પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ છે, અને તેઓ તાર્કિક રીતે સમાન છે.
$2$. $p: V \implies C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $\neg C \implies \neg V$ છે, જે $s$ છે. તેથી, $p \equiv s$.
$3$. $q: \neg V \implies \neg C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $\neg(\neg C) \implies \neg(\neg V)$ છે, જેનું સાદું રૂપ $C \implies V$ થાય છે, જે $r$ છે. તેથી, $q \equiv r$.
તેથી, સમાન અર્થ ધરાવતી જોડીઓ $(p, s)$ અને $(q, r)$ છે.

(B) ધારો કે $A = (p \land q)$ અને $B = (\sim p \lor r)$ છે.
આપેલ વિધાન પેટર્ન $(A \to B) \lor (B \to A)$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થ $(A \to B)$ એ તાર્કિક રીતે $(\sim A \lor B)$ ને સમતુલ્ય છે.
તેથી, પદાવલિ $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ બને છે.
તર્કના જૂથના નિયમ અને ક્રમના નિયમ દ્વારા, આપણે તેને $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ તરીકે ફરીથી ગોઠવી શકીએ છીએ.
કારણ કે $(\sim A \lor A)$ એ પુનરુક્તિ $(T)$ છે અને $(\sim B \lor B)$ એ પુનરુક્તિ $(T)$ છે, તેથી પદાવલિ $T \lor T$ બને છે.
બે પુનરુક્તિઓનો વિકલ્પ એ પુનરુક્તિ $(T)$ છે.
તેથી, વિધાન પેટર્ન એક પુનરુક્તિ છે.

(A) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ છે.
ગર્ભિતાર્થનો નિયમ $A \to B \equiv \sim A \lor B$ વાપરતા, આપણને $S \equiv \sim(p \land q) \lor ((p \lor r) \to \sim q)$ મળે છે.
બીજા ભાગ પર ફરીથી નિયમ લાગુ કરતા: $S \equiv \sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q)$.
$S$ નું નિષેધ $\sim S \equiv \sim(\sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q))$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા, $\sim S \equiv (p \land q) \land \sim(\sim(p \lor r) \lor \sim q)$.
$\sim S \equiv (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$.
કારણ કે $(p \land q) \land q \equiv p \land q$, તેથી $\sim S \equiv (p \land q) \land (p \lor r)$.
કારણ કે $(p \land q) \implies p$, અને $p \implies (p \lor r)$, પદ સાદું રૂપ આપીને $p \land q$ બને છે.

(C) પગલું $1$: $S_1$ નું વિશ્લેષણ કરો. $n=1$ માટે, $1^2+1+2 = 4$, જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી, $S_1$ સત્ય છે.
પગલું $2$: $S_2$ નું વિશ્લેષણ કરો. $x=1$ માટે, $1-17 = -16 < 20$. તેથી, $S_2$ સત્ય છે.
પગલું $3$: $S_3$ નું વિશ્લેષણ કરો. સમીકરણ $x^2+3x-10=0$ ના અવયવ $(x+5)(x-2)=0$ છે, જે $x=-5$ અથવા $x=2$ આપે છે. આ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય નથી. તેથી, $S_3$ અસત્ય છે.
પગલું $4$: $S_4$ નું વિશ્લેષણ કરો. તમામ $n \in N$ માટે, $n \ge 1$, તેથી $n^2 \ge 1$. તેથી, $S_4$ સત્ય છે.
પગલું $5$: માત્ર $S_3$ અસત્ય છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $1$. આપેલ વિધાન $p \lor q$ છે.
$2$. વિધાન $p \implies q$ નું પ્રતિવિધાન $q \implies p$ થાય છે. જોકે, સાદા વિયોજન (disjunction) $p \lor q$ માટે, પ્રતિવિધાન $q \lor p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$3$. કારણ કે $p \lor q$ એ તાર્કિક રીતે $q \lor p$ ને સમાન છે (ક્રમનો નિયમ), તેથી $p \lor q$ નું પ્રતિવિધાન $p \lor q$ પોતે જ છે.
$4$. $p \lor q$ નું નિષેધ $\sim(p \lor q)$ છે.
$5$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$.

(D) વિધાન $A \to B$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ થાય છે.
અહીં, $A = [p \lor (p \to q)]$ અને $B = (p \land \sim q)$ છે.
પગલું $1$: $\sim B = \sim (p \land \sim q) = (\sim p \lor \sim (\sim q)) = (\sim p \lor q)$ મેળવો.
પગલું $2$: $\sim A = \sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q)$ મેળવો.
કારણ કે $\sim (p \to q) = (p \land \sim q)$, તેથી $\sim A = \sim p \land (p \land \sim q)$ છે.
પગલું $3$: પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ છે, જે $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ થાય છે.

(D) પગલું $1$: $(I)$ નું વિશ્લેષણ કરો. નિકાસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$। તેથી, $(I)$ સાચું છે.
પગલું $2$: $(II)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। આ $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ ને સમાન નથી. તેથી, $(II)$ ખોટું છે.
પગલું $3$: $(III)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (p \to r) \land (\sim q \to r)$। તેથી, $(III)$ સાચું છે.
પગલું $4$: $(IV)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। તેથી, $(IV)$ સાચું છે.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં $(I)$, $(III)$ અને $(IV)$ નું સંયોજન નથી. વિકલ્પોનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા, $(I)$ અને $(IV)$ ચોક્કસપણે સાચા છે. તેથી, $(D)$ સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(C) પગલું $1$: આપેલ પદાવલિ $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ ને સરળ બનાવો.
પગલું $2$: પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરો: $(\sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$.
પગલું $3$: કારણ કે $(q \lor \sim q) \equiv T$, પદાવલિ $(\sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ બને છે.
પગલું $4$: ફરીથી વિભાજનનો નિયમ વાપરો: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$.
પગલું $5$: આપેલ સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે, તેથી $\sim p \lor \sim q \equiv F$. આનો અર્થ છે કે $\sim p \equiv F$ (એટલે કે $p \equiv T$) અને $\sim q \equiv F$ (એટલે કે $q \equiv T$).
પગલું $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor \sim T) \equiv (T \lor F) \equiv T$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $7$: $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $8$: સત્યતા મૂલ્યો $T, T$ છે.

(A) પુનરુક્તિ (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ સંભવિત સત્ય મૂલ્યો માટે સાચું હોય છે.
પગલું $1$: વિકલ્પ $A$ નું વિશ્લેષણ કરો: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
જો $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
જો $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
જો $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
જો $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
બધા મૂલ્યો $T$ હોવાથી, વિકલ્પ $A$ એક પુનરુક્તિ છે.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ છે.
પગલું $1$: મધ્ય કૌંસને સરળ બનાવો. પદાવલિ $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$ એ $p \oplus q$ (exclusive $OR$) ની વ્યાખ્યા છે.
પગલું $2$: આને $S$ માં મૂકતા: $S = (p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$.
પગલું $3$: $\sim q$ ને પદાવલિમાં વિતરિત કરો. કારણ કે $(p \lor q) \land \sim q$ એ $(p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)$ ને સમકક્ષ છે, અને $(q \land \sim q)$ એ $F$ (અસત્ય) છે, તેથી આ $(p \land \sim q)$ માં સરળ થાય છે.
પગલું $4$: હવે આપણી પાસે $S = (p \land \sim q) \land (p \oplus q)$ છે.
પગલું $5$: $p \oplus q$ ને $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$ તરીકે વિસ્તૃત કરો. તેથી, $S = (p \land \sim q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$.
પગલું $6$: વિભાજનના નિયમ દ્વારા, $S = [(p \land \sim q) \land (\sim p \land q)] \lor [(p \land \sim q) \land (p \land \sim q)]$.
પગલું $7$: પ્રથમ ભાગ $(p \land \sim q \land \sim p \land q)$ એ $F$ છે કારણ કે $(p \land \sim p)$ એ $F$ છે. બીજો ભાગ $(p \land \sim q)$ છે. તેથી, $S = F \lor (p \land \sim q) = p \land \sim q$.

(D) સંચય ${}^{n}C_{r}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે, $n$ અને $r$ એ અઋણ પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ જેથી $n \ge r \ge 0$ થાય.
$1$. $n \ge 0 \implies 10 - x \ge 0 \implies x \le 10$.
$2$. $r \ge 0 \implies x - 6 \ge 0 \implies x \ge 6$.
$3$. $n \ge r \implies 10 - x \ge x - 6 \implies 16 \ge 2x \implies x \le 8$.
આ શરતોને જોડતા: $6 \le x \le 8$ અને $x$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
તેથી, $x \in \{6, 7, 8\}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $y = \log_x x$.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, $x > 0$ અને $x \neq 1$ માટે $\log_a a = 1$ થાય છે.
તેથી, $y = 1$.
$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1) = 0$ મળે છે.
તેથી, $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = (0)^2 = 0$.

(B) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે, $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 0} \frac{(256 - 8x)^{\frac{1}{4}} - 4}{16 - 4(64 + 3x)^{\frac{1}{3}}} = \lim_{x \to 0} \frac{4(1 - \frac{8x}{256})^{\frac{1}{4}} - 4}{16 - 16(1 + \frac{3x}{64})^{\frac{1}{3}}} = \lim_{x \to 0} \frac{4(1 - \frac{x}{32})^{\frac{1}{4}} - 4}{16 - 16(1 + \frac{3x}{64})^{\frac{1}{3}}}$.
દ્વિપદી અંદાજ $(1 + u)^n \approx 1 + nu$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $4(1 + \frac{1}{4} \cdot (-\frac{x}{32})) - 4 = 4 - \frac{x}{32} - 4 = -\frac{x}{32}$.
છેદ: $16 - 16(1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{3x}{64}) = 16 - 16 - \frac{16x}{64} = -\frac{x}{4}$.
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x}{32}}{-\frac{x}{4}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

(C) પગલું $1$: બાજુઓ $OA$ અને $OB$ ની લંબાઈ શોધો.
$OA = \sqrt{(-1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5}$, $OB = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{10}$।
પગલું $2$: ખૂણાના દ્વિભાજક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો. બિંદુ $D$ એ $AB$ ને $OA:OB = 1:\sqrt{2}$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
પગલું $3$: વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $D$ ના યામ શોધો:
$D = \left( \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}, \frac{3+2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \right)$।
પગલું $4$: $OD$ ની લંબાઈ શોધો:
$OD = \frac{\sqrt{20+10\sqrt{2}}}{1+\sqrt{2}}$।
પગલું $5$: $AB$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$।
પગલું $6$: $OD \cdot AB = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{20+10\sqrt{2}}}{1+\sqrt{2}} = 5(\sqrt{2}+1)$।

(B) જેના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$, $(x_3, y_3, z_3)$, અને $(x_4, y_4, z_4)$ હોય તેવા ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ $(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $O(0, 0, 0)$, $A(a, 2, 3)$, $B(1, b, 2)$, $C(2, 1, c)$ અને મધ્યકેન્દ્ર $G(1, 2, -1)$ આપેલ છે.
યામોને સરખાવતા:
$\frac{0+a+1+2}{4} = 1 \implies a+3 = 4 \implies a = 1$.
$\frac{0+2+b+1}{4} = 2 \implies b+3 = 8 \implies b = 5$.
$\frac{0+3+2+c}{4} = -1 \implies c+5 = -4 \implies c = -9$.
તેથી, $P = (1, 5, -9)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $P$ નું અંતર $\sqrt{1^2 + 5^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 25 + 81} = \sqrt{107}$ એકમ છે.

(A) આપેલી અસમતાઓને સંતોષતો પ્રદેશ શોધવા માટે:
$1$. $y - x \geq 2$ માટે: સીમા રેખા $y = x + 2$ છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા, આપણને $0 - 0 \geq 2$ મળે છે, જે અસત્ય છે. તેથી, પ્રદેશ રેખાની તે બાજુએ છે જેમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થતો નથી.
$2$. $x + y \leq 5$ માટે: સીમા રેખા $x + y = 5$ છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા, આપણને $0 + 0 \leq 5$ મળે છે, જે સત્ય છે. તેથી, પ્રદેશ રેખાની તે બાજુએ છે જેમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થાય છે.
$3$. $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
$4$. આ બધાને જોડતા, પ્રદેશ એ રેખાઓ $y = x + 2$, $x + y = 5$, અને $y$-અક્ષ $(x=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો ત્રિકોણ છે.
$5$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા, આકૃતિ $A$ માં છાયાંકિત પ્રદેશ આ ત્રિકોણાકાર વિસ્તારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે।

(C) $1$. છાયાંકિત પ્રદેશની સીમા રેખાઓ ઓળખો:
- $(1, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા: સમીકરણ $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} = 1$ છે, જે $2x + y = 2$ માં સરળ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી, અસમતા $2x + y \geq 2$ છે.
- $(1, 0)$ અને $(0, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા: સમીકરણ $y - 0 = \frac{-1 - 0}{0 - 1}(x - 1)$ છે, જે $y = x - 1$ અથવા $x - y = 1$ માં સરળ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ડાબી બાજુએ હોવાથી, અસમતા $x - y \leq 1$ છે.
- $(0, 4)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા (છેદબિંદુ $B(10/3, 7/3)$ દ્વારા): રેખા $x + 2y = 8$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે હોવાથી, અસમતા $x + 2y \leq 8$ છે.
$2$. આને $x \geq 0, y \geq 0$ સાથે જોડતા, આપણને સિસ્ટમ મળે છે: $2x + y \geq 2, x - y \leq 1, x + 2y \leq 8, x \geq 0, y \geq 0$।
$3$. આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) પગલું $1$: સીમા રેખાઓ ઓળખો.
રેખા $1$: $y - x = 2$ ($(0, 2)$ અને $(-2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે).
રેખા $2$: $x + y = 5$ ($(0, 5)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થાય છે).
રેખા $3$: $x = 0$ ($y$-અક્ષ).
રેખા $4$: $y = 0$ ($x$-અક્ષ).
પગલું $2$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ નક્કી કરો.
પ્રદેશ $y - x \geq 2$ એ રેખા $y = x + 2$ ની ઉપર આવેલો છે.
પ્રદેશ $x + y \leq 5$ એ રેખા $x + y = 5$ ની નીચે આવેલો છે.
પ્રદેશ $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ એ પ્રથમ ચરણ છે.
પગલું $3$: છેદબિંદુઓ શોધો.
$y - x = 2$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ: સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $2y = 7$, તેથી $y = 3.5$ મળે. પછી $x = 1.5$ મળે. બિંદુ $(1.5, 3.5)$ છે.
$y - x = 2$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 2)$ છે.
$x + y = 5$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 5)$ છે.
પગલું $4$: આ પ્રદેશ $(0, 2)$, $(0, 5)$, અને $(1.5, 3.5)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે. આ પ્રદેશ આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો હોવાથી, તે સીમિત છે.

(C) $1$. છાયાંકિત પ્રદેશની સીમા રેખાઓ ઓળખો:
- $(0, 2)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: સમીકરણ $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} = 1 \implies 2x + y = 2$ છે। છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાની ઉપર હોવાથી, અસમતા $2x + y \geq 2$ છે.
- $(1, 0)$ અને $(10/3, 7/3)$ માંથી પસાર થતી રેખા: ઢાળ $m = \frac{7/3 - 0}{10/3 - 1} = \frac{7/3}{7/3} = 1$ છે। સમીકરણ $y - 0 = 1(x - 1) \implies x - y = 1$ છે। છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાની ડાબી બાજુએ હોવાથી, અસમતા $x - y \leq 1$ છે.
- $(0, 4)$ અને $(10/3, 7/3)$ માંથી પસાર થતી રેખા: ઢાળ $m = \frac{7/3 - 4}{10/3 - 0} = \frac{-5/3}{10/3} = -1/2$ છે। સમીકરણ $y - 4 = -1/2(x - 0) \implies 2y - 8 = -x \implies x + 2y = 8$ છે। છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાની નીચે હોવાથી, અસમતા $x + 2y \leq 8$ છે.
$2$. અ-ઋણ પ્રતિબંધો $x \geq 0, y \geq 0$ છે.
$3$. આ બધાને જોડતા, સિસ્ટમ $2x + y \geq 2, x - y \leq 1, x + 2y \leq 8, x \geq 0, y \geq 0$ મળે છે. જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(A) ધારો કે $P(A)$, $P(B)$, અને $P(C)$ એ અનુક્રમે જહાજો $A$, $B$, અને $C$ ના સુરક્ષિત આગમનની સંભાવનાઓ છે.
તરફેણની સંભાવનાઓ $2:5$, $3:7$, અને $6:11$ આપેલી છે.
$P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$, $P(A') = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
$P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$, $P(B') = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$.
$P(C) = \frac{6}{6+11} = \frac{6}{17}$, $P(C') = 1 - \frac{6}{17} = \frac{11}{17}$.
બરાબર બે જહાજો સુરક્ષિત રીતે પહોંચે તેની સંભાવના $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C)$ છે.
$= (\frac{2}{7} \times \frac{3}{10} \times \frac{11}{17}) + (\frac{2}{7} \times \frac{7}{10} \times \frac{6}{17}) + (\frac{5}{7} \times \frac{3}{10} \times \frac{6}{17})$.
$= \frac{66}{1190} + \frac{84}{1190} + \frac{90}{1190} = \frac{240}{1190} = \frac{24}{119}$.

(B) ધારો કે $P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.5$, $P(C) = 0.4$ છે.
આપેલ છેદગણ: $P(A \cap B) = 0.3$, $P(B \cap C) = 0.2$, $P(A \cap C) = 0.2$, $P(A \cap B \cap C) = 0.1$ છે.
બરાબર એક પરીક્ષામાં સફળ થવાની સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(\text{બરાબર એક}) = P(A) + P(B) + P(C) - 2[P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(A \cap C)] + 3P(A \cap B \cap C)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(\text{બરાબર એક}) = 0.6 + 0.5 + 0.4 - 2[0.3 + 0.2 + 0.2] + 3[0.1]$.
$P(\text{બરાબર એક}) = 1.5 - 2[0.7] + 0.3$.
$P(\text{બરાબર એક}) = 1.5 - 1.4 + 0.3 = 0.4$.

(C) $52$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ છે.
પત્તાની એક જોડીમાં $12$ ફેસ કાર્ડ $(J, Q, K)$ અને $4$ એક્કા હોય છે.
$12$ માંથી $1$ ફેસ કાર્ડ પસંદ કરવાની રીતો $^{12}C_1 = 12$ છે.
$4$ માંથી $1$ એક્કો પસંદ કરવાની રીતો $^4C_1 = 4$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $12 \times 4 = 48$ છે.
સંભાવના $\frac{48}{1326} = \frac{24}{663} = \frac{8}{221}$ છે.

(B) એક નિષ્પક્ષ પાસાનો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે, તેથી $n(S) = 6$ છે.
ઘટના $A$: સંખ્યા અયુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. પાસા પરની એકમાત્ર અયુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3$ અને $5$ છે. તેથી, $A = \{3, 5\}$ અને $n(A) = 2$ છે.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે. તેથી, વિધાન $p$ સત્ય $(T)$ છે.
ઘટના $B$: સંખ્યા એકી સંખ્યા છે. તેથી, $B = \{1, 3, 5\}$ અને $n(B) = 3$ છે.
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
છેદગણ $A \cap B$: $A$ અને $B$ બંનેમાં રહેલી સંખ્યાઓ $\{3, 5\}$ છે, તેથી $n(A \cap B) = 2$ છે.
$P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોય તે માટે, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ થવું જોઈએ.
$P(A) \times P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ છે.
કારણ કે $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{6}$, તેથી $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$ છે. તેથી, વિધાન $q$ અસત્ય $(F)$ છે.
સત્ય મૂલ્યો $T, F$ છે.

(B) પગલું $1$: $30$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{30}{3} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060$ છે.
પગલું $2$: ન્યૂનતમ $10$ અને મહત્તમ $26$ હોવા માટે, એક સંખ્યા $10$ હોવી જોઈએ, એક $26$ હોવી જોઈએ, અને ત્રીજી સંખ્યા $x$ એ $10 < x < 26$ શરતનું પાલન કરતી હોવી જોઈએ.
પગલું $3$: $10$ અને $26$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ $\{11, 12, \dots, 25\}$ છે. આ સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $26 - 10 - 1 = 15$ છે.
પગલું $4$: સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $15$ છે.
પગલું $5$: સંભાવના $\frac{15}{4060} = \frac{3}{812}$ છે.

(D) ધારો કે ઉન્નતકોણ $\alpha$, $\beta$, અને $\gamma$ છે. ઝાડની ઊંચાઈ $p$ છે.
$L$ લંબાઈના પડછાયા માટે, $\tan(\theta) = \frac{p}{L}$ થાય.
પડછાયા $p$ માટે: $\tan(\alpha) = \frac{p}{p} = 1 \implies \alpha = \frac{\pi}{4}$.
પડછાયા $2p$ માટે: $\tan(\beta) = \frac{p}{2p} = \frac{1}{2}$.
પડછાયા $3p$ માટે: $\tan(\gamma) = \frac{p}{3p} = \frac{1}{3}$.
આપણે $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4} + \arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3})$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $\arctan(x) + \arctan(y) = \arctan(\frac{x+y}{1-xy})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) = \arctan(\frac{1/2 + 1/3}{1 - 1/6}) = \arctan(\frac{5/6}{5/6}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.
આમ, $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

(A) $1$. પ્રદેશ $y = x^2$, $y = 8/x$, અને $y = 1$ દ્વારા મર્યાદિત છે.
$2$. છેદબિંદુઓ: $x^2 = 1 \implies x = 1$, $8/x = 1 \implies x = 8$, અને $x^2 = 8/x \implies x = 2$ છે.
$3$. ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (8/x - 1) dx$ છે.
$4$. $\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [x^3/3 - x]_{1}^{2} = 4/3$.
$5$. $\int_{2}^{8} (8/x - 1) dx = [8 \ln|x| - x]_{2}^{8} = 16 \ln 2 - 6$.
$6$. કુલ ક્ષેત્રફળ $= 16 \ln 2 - 14/3$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y + 5$ છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y + 5} = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y + 5} = \int dx \implies \log|y + 5| = x + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 4$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log|4 + 5| = 0 + C \implies C = \log 9$.
આમ, $\log|y + 5| = x + \log 9$.
ગોઠવતા: $\log|y + 5| - \log 9 = x \implies \log|\frac{y + 5}{9}| = x$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\frac{y + 5}{9} = e^x \implies y = 9e^x - 5$.
હવે, $y(\log 2)$ ની ગણતરી કરતા: $y(\log 2) = 9e^{\log 2} - 5$.
કારણ કે $e^{\log 2} = 2$, આપણને મળે છે $y(\log 2) = 9(2) - 5 = 18 - 5 = 13$.

(C) પગલું $1$: નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x)f''(x) - (f'(x))^2 = 0$ મળે છે.
પગલું $2$: આ $\frac{f(x)f''(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2} = 0$ ને સમાન છે, જે $\frac{f'(x)}{f(x)}$ નું વિકલન છે.
પગલું $3$: બંને બાજુ સંકલન કરતા $\frac{f'(x)}{f(x)} = c$ મળે છે, જ્યાં $c$ એક અચળાંક છે.
પગલું $4$: પ્રારંભિક શરતો $f(0) = 1$ અને $f'(0) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા, $c = \frac{f'(0)}{f(0)} = \frac{2}{1} = 2$ મળે છે.
પગલું $5$: આમ, $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2$, જેનો અર્થ છે કે $f'(x) = 2f(x)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = e^{x-y} + x^2e^{-y}$
સમીકરણને આ રીતે લખો: $\frac{dy}{dx} = e^{-y}(e^x + x^2)$
ચલને અલગ કરતા: $e^y \ dy = (e^x + x^2) \ dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^y \ dy = \int (e^x + x^2) \ dx$
$e^y = e^x + \frac{x^3}{3} + c$

(B) આપેલ સમીકરણ: $e^{-x}(y + 1)dy + (\cos^2 x - \sin 2x)y dx = 0$
$y e^{-x}$ વડે ભાગતા: $\frac{y+1}{y} dy + e^x (\cos^2 x - \sin 2x) dx = 0$
$(1 + \frac{1}{y}) dy + e^x \cos^2 x dx - e^x \sin 2x dx = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 + \frac{1}{y}) dy + \int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = C$
અહીં $\int e^x \cos^2 x dx = \int e^x (\frac{1 + \cos 2x}{2}) dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx$
સૂત્ર $\int e^x \cos 2x dx = \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2 \sin 2x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int e^x \cos^2 x dx = \frac{e^x}{2} + \frac{e^x}{10} (\cos 2x + 2 \sin 2x) = \frac{e^x}{10} (5 + \cos 2x + 2 \sin 2x)$
તેમજ $\int e^x \sin 2x dx = \frac{e^x}{5} (\sin 2x - 2 \cos 2x)$
કિંમતો મુકતા: $y + \log y + \frac{e^x}{10} (5 + \cos 2x + 2 \sin 2x - 2 \sin 2x + 4 \cos 2x) = C$
$y + \log y + \frac{e^x}{10} (5 + 5 \cos 2x) = C \implies y + \log y + e^x \frac{1 + \cos 2x}{2} = C \implies y + \log y + e^x \cos^2 x = C$
$x = 0, y = 1$ મુકતા: $1 + \log 1 + e^0 \cos^2 0 = C \implies 1 + 0 + 1(1) = C \implies C = 2$
અંતિમ ઉકેલ: $y + \log y + e^x \cos^2 x = 2$

(A) ધારો કે $v = x + y$ છે. તેથી $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$.
$\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v + \cos v$.
$\frac{dv}{1 + \sin v + \cos v} = dx$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\sin v = \frac{2 \tan(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ અને $\cos v = \frac{1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \sin v + \cos v = 1 + \frac{2 \tan(v/2) + 1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)} = \frac{2(1 + \tan(v/2))}{\sec^2(v/2)}$.
આમ, $\int \frac{\sec^2(v/2) dv}{2(1 + \tan(v/2))} = \int dx$.
ધારો કે $u = 1 + \tan(v/2)$, તો $du = \frac{1}{2} \sec^2(v/2) dv$ થાય.
સંકલન $\int \frac{du}{u} = \int dx$ બને છે, જે $\log |u| = x + c$ આપે છે.
કિંમત પાછી મૂકતા, $\log |1 + \tan(\frac{x+y}{2})| = x + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે સમય $t$ પર સંપત્તિ $A$ છે. ઘટવાનો દર $\frac{dA}{dt} = -k\sqrt{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k > 0$ છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dA}{\sqrt{A}} = -k dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $2\sqrt{A} = -kt + C$.
$t = 0$ પર, $A = 10000$, તેથી $2\sqrt{10000} = C \implies C = 200$.
આમ, $2\sqrt{A} = 200 - kt$.
$t = 2$ પર, $A = 5625$, તેથી $2\sqrt{5625} = 200 - 2k \implies 2(75) = 200 - 2k \implies 150 = 200 - 2k \implies 2k = 50 \implies k = 25$.
સમીકરણ $2\sqrt{A} = 200 - 25t$ બને છે.
નાદાર થવા માટે, $A = 0$, તેથી $0 = 200 - 25t \implies 25t = 200 \implies t = 8$ વર્ષ.

(C) ધારો કે $f(x)$ એ $n$ ઘાતની બહુપદી છે. તો $f'(x)$ ની ઘાત $n-1$ છે.
આપેલ છે $f(x) = [f'(x)]^2$, ઘાતને સરખાવતા: $n = 2(n-1) \implies n = 2n - 2 \implies n = 2$।
ધારો કે $f(x) = a(x-h)^2$।
તો $f'(x) = 2a(x-h)$।
આપેલ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $a(x-h)^2 = [2a(x-h)]^2 = 4a^2(x-h)^2$।
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $a = 4a^2 \implies a = 1/4$ (કારણ કે $a \neq 0$)।
આપેલ છે $f(2) = 0$, તેથી $h = 2$।
આમ, $f(x) = \frac{1}{4}(x-2)^2$।
$f(-2)$ ની ગણતરી કરતા: $f(-2) = \frac{1}{4}(-2-2)^2 = \frac{1}{4}(-4)^2 = \frac{16}{4} = 4$।

(C) ધારો કે $v = 9x + y + 5$ છે. $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, $\frac{dv}{dx} = 9 + \frac{dy}{dx}$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 9$ મળે છે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 9 = v^2$.
$\frac{dv}{dx} = v^2 + 9$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dv}{v^2 + 3^2} = \int dx$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{v}{3}) = x + c$ મળે છે.
$v$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{9x + y + 5}{3}) = x + c$.

(B) આપેલ ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x^2 + x} = \frac{y - 1}{x(x + 1)}$ છે.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y - 1} = \int \frac{dx}{x(x + 1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$.
વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી, $x = 1, y = 0$ મૂકતા: $\ln|0 - 1| = \ln|\frac{1}{1 + 1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$.
તેથી, $\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x + 1}|$.
ઘાતાંક લેતા: $y - 1 = \frac{2x}{x + 1} \implies (y - 1)(x + 1) = 2x$.

(B) વિઘટનનો દર $\frac{dM}{dt} = -kM$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k > 0$ છે.
ચલને અલગ કરતા, $\frac{dM}{M} = -k dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\int \frac{dM}{M} = \int -k dt$, જે $\ln M = -kt + C$ આપે છે.
$t = 0$ પર, $M = M_0 = 1.5 \text{ g}$, તેથી $C = \ln(1.5)$ છે.
આમ, $\ln M = -kt + \ln(1.5)$, અથવા $\ln(\frac{M}{1.5}) = -kt$ છે.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $M = 0.5 \text{ g}$ હોય.
કિંમતો મૂકતા, $\ln(\frac{0.5}{1.5}) = -kt$ મળે છે.
$\ln(\frac{1}{3}) = -kt$, જેનો અર્થ છે કે $-\ln 3 = -kt$ છે.
તેથી, $t = \frac{1}{k} \ln 3$ અથવા $\frac{1}{k} \log_e 3$ છે.

(B) ધારો કે $x + y = v$ છે. $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ મળે છે.
સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos(v)$.
$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos(v) = 2 \cos^2 \left( \frac{v}{2} \right)$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{2 \cos^2 \left( \frac{v}{2} \right)} = dx$.
$\frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{v}{2} \right) dv = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{v}{2} \right) dv = \int dx$.
$\tan \left( \frac{v}{2} \right) = x + c$.
$v = x + y$ પાછું મૂકતા: $\tan \left( \frac{x + y}{2} \right) = x + c$.

(D) ધારો કે $p = \frac{dy}{dx}$ છે. આપેલ સમીકરણ $p^2 = 6 - p$ છે, જેને $p^2 + p - 6 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા, આપણને $(p + 3)(p - 2) = 0$ મળે છે, તેથી $p = 2$ અથવા $p = -3$ છે.
કારણ કે $y = f(x)$ એક એકદિષ્ટ વધતું વિધેય છે, તેથી $\frac{dy}{dx} \ge 0$ હોવું જોઈએ, એટલે કે $p = 2$ લેવું પડે.
$\frac{dy}{dx} = 2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા, આપણને $y = 2x + C$ મળે છે.
શરૂઆતની શરત $y(0) = 5$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $5 = 2(0) + C$ મળે છે, તેથી $C = 5$ છે.
આમ, વિધેય $y = 2x + 5$ છે.
$x = 3$ માટે કિંમત શોધતા, $y(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x \sin x + y^3 = 4ax$ $(1)$
$x$ વડે ભાગતા: $\sin x + \frac{y^3}{x} = 4a$ $(2)$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\cos x + \frac{x(3y^2 \frac{dy}{dx}) - y^3(1)}{x^2} = 0$
$x^2$ વડે ગુણતા: $x^2 \cos x + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - y^3 = 0$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા: $3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3 - x^2 \cos x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 - x^2 \cos x}{3xy^2}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $3y = x^{1/3} + c$
પગલું $1$: બંને બાજુઓનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા.
$\frac{d}{dx}(3y) = \frac{d}{dx}(x^{1/3} + c)$
પગલું $2$: ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરો.
$3 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{(1/3 - 1)} + 0$
$3 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{-2/3}$
પગલું $3$: $\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલો.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{9} x^{-2/3} = \frac{1}{9x^{2/3}}$
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{a + bx}{c + dy}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $(c + dy) dy = (a + bx) dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\int (c + dy) dy = \int (a + bx) dx$ મળે.
આનાથી $cy + \frac{d}{2} y^2 = ax + \frac{b}{2} x^2 + C$ મળે છે.
સમીકરણ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળોના પરિવારને દર્શાવે તે માટે, સમીકરણ $x^2 + y^2 = R^2$ ના સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
પદોની સરખામણી કરતા, $a = 0$ અને $c = 0$ હોવા જોઈએ.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને $\frac{d}{2} y^2 = \frac{b}{2} x^2 + C$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $d y^2 - b x^2 = 2C$ થાય છે.
આ વર્તુળ હોવા માટે, $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ અને તેમની નિશાની પણ સમાન હોવી જોઈએ. તેથી, $d = -b$, જેનો અર્થ છે કે $b + d = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + y = x^3 y^6$ છે.
$x y^6$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x y^5} = x^2$ મળે છે.
ધારો કે $v = y^{-5}$, તો $\frac{dv}{dx} = -5 y^{-6} \frac{dy}{dx}$, તેથી $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5} \frac{dv}{dx}$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-\frac{1}{5} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = x^2$ મળે છે.
$-5$ વડે ગુણતા: $\frac{dv}{dx} - \frac{5}{x} v = -5 x^2$ મળે છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{5}{x} dx} = e^{-5 \ln x} = x^{-5}$ છે.
$IF$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx} (v x^{-5}) = -5 x^2 \cdot x^{-5} = -5 x^{-3}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $v x^{-5} = \int -5 x^{-3} dx = -5 \frac{x^{-2}}{-2} + c = \frac{5}{2} x^{-2} + c$ મળે છે.
$x^5$ વડે ગુણતા: $v = \frac{5}{2} x^3 + c x^5$ મળે છે.
કારણ કે $v = y^{-5}$, તેથી ઉકેલ $y^{-5} = \frac{5}{2} x^3 + c x^5$ છે.

(C) પગલું $1$: વિકલ સમીકરણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ તરીકે લખો: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{2x}y = \frac{3}{2x}$।
પગલું $2$: સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{1}{2x} dx} = e^{-\frac{1}{2} \ln|x|} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ શોધો.
પગલું $3$: સમીકરણને $IF$ વડે ગુણો: $\frac{d}{dx} (y \cdot x^{-1/2}) = \frac{3}{2x} \cdot x^{-1/2} = \frac{3}{2} x^{-3/2}$।
પગલું $4$: બંને બાજુ સંકલન કરો: $y \cdot x^{-1/2} = \int \frac{3}{2} x^{-3/2} dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -3x^{-1/2} + C$।
પગલું $5$: $\sqrt{x}$ વડે ગુણતા $y = -3 + C\sqrt{x}$ મળે છે, જેને $y + 3 = C\sqrt{x}$ તરીકે લખી શકાય. બંને બાજુ વર્ગ કરતા $(y+3)^2 = C^2 x$ મળે છે, જે પરવલયોનું કુળ દર્શાવે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$ છે।
તેને આ રીતે લખો: $\frac{dx}{dy} = x + y$।
આ $\frac{dx}{dy} - x = y$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે।
અહીં, $P = -1$ અને $Q = y$ છે।
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ છે।
ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ દ્વારા મળે છે।
$x e^{-y} = \int y e^{-y} dy + c$।
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int y e^{-y} dy = y(-e^{-y}) - \int 1(-e^{-y}) dy = -y e^{-y} - e^{-y} + c$।
તેથી, $x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} + c$।
$e^y$ વડે ગુણતા: $x = -y - 1 + c e^y$।
ગોઠવતા: $x + y + 1 = c e^y$।

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 \frac{dy}{dx} - xy = 1$
$x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^2}$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P = -\frac{1}{x}$ અને $Q = \frac{1}{x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$ છે.
ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ છે.
$y(\frac{1}{x}) = \int \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x} dx + c = \int x^{-3} dx + c$ છે.
$\frac{y}{x} = \frac{x^{-2}}{-2} + c = -\frac{1}{2x^2} + c$ છે.
$2x^2$ વડે ગુણતા: $2xy = -1 + 2cx^2$ મળે છે.
ગોઠવતા: $2xy - 2cx^2 + 1 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} = y$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y} = \frac{x}{y} + 2y^2$
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 2y^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \ dy + c$ છે.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y^2) \cdot \frac{1}{y} \ dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 2y \ dy + c$
$\frac{x}{y} = y^2 + c$
$x = y(y^2 + c) = (c + y^2)y$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $(x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = -(1 + t^2)$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા, $\frac{dx}{dt} = -\frac{x - e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2} = -\frac{x}{1 + t^2} + \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$ મળે.
આ $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ અને $Q(t) = \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(t) dt} = e^{\int \frac{1}{1 + t^2} dt} = e^{\tan^{-1} t}$ દ્વારા મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} + 4 \frac{dy}{dx} + 3y = 0$ છે અને ઉકેલ $y = e^{-mx}$ છે.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = -m e^{-mx}$.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = m^2 e^{-mx}$.
આ કિંમતોને વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$m^2 e^{-mx} + 4(-m e^{-mx}) + 3(e^{-mx}) = 0$.
કારણ કે $e^{-mx} \neq 0$, આપણે $e^{-mx}$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$m^2 - 4m + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(m - 1)(m - 3) = 0$.
આમ, $m = 1$ અથવા $m = 3$.

(B) પગલું $1$: સમીકરણને $\frac{dx}{dy} + x \cos y = e^{\sin y} \cos y$ તરીકે ફરીથી લખો.
પગલું $2$: આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P = \cos y$ અને $Q = e^{\sin y} \cos y$ છે.
પગલું $3$: સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dy} = e^{\int \cos y dy} = e^{\sin y}$ શોધો.
પગલું $4$: ઉકેલ $x(IF) = \int Q(IF) dy + c$ છે.
પગલું $5$: $x e^{\sin y} = \int (e^{\sin y} \cos y) (e^{\sin y}) dy + c = \int e^{2 \sin y} \cos y dy + c$.
પગલું $6$: ધારો કે $u = \sin y$, તો $du = \cos y dy$. સંકલન $\int e^{2u} du = \frac{e^{2u}}{2} = \frac{e^{2 \sin y}}{2}$ થાય છે.
પગલું $7$: આમ, $x e^{\sin y} = \frac{e^{2 \sin y}}{2} + c$.

(D) પગલું $1$: સમીકરણને $x \sin x$ વડે ભાગીને સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ મેળવો.
$\frac{dy}{dx} + \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} y = \frac{1}{x}$.
પગલું $2$: $P(x) = \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} = \cot x + \frac{1}{x}$ ઓળખો.
પગલું $3$: સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\cot x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sin x) + \ln x} = e^{\ln(x \sin x)} = x \sin x$ શોધો.
પગલું $4$: ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.
$y(x \sin x) = \int \frac{1}{x} (x \sin x) dx + c$.
$xy \sin x = \int \sin x dx + c$.
$xy \sin x = -\cos x + c$.

(B) પગલું $1$: વિકલ સમીકરણને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં લખો.
પગલું $2$: આપેલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ ને $x$ વડે ભાગતા $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x \log x$ મળે છે.
પગલું $3$: $P(x) = \frac{2}{x}$ નક્કી કરો.
પગલું $4$: સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + x^3) \frac{dy}{dx} + 6x^2y = 1 + x^2$ છે. $(1 + x^3)$ વડે ભાગતા, $\frac{dy}{dx} + \frac{6x^2}{1 + x^3} y = \frac{1 + x^2}{1 + x^3}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P(x) = \frac{6x^2}{1 + x^3}$ અને $Q(x) = \frac{1 + x^2}{1 + x^3}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{6x^2}{1 + x^3} dx} = e^{2 \ln(1 + x^3)} = (1 + x^3)^2$ છે.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.
$y(1 + x^3)^2 = \int \frac{1 + x^2}{1 + x^3} (1 + x^3)^2 dx + c = \int (1 + x^2)(1 + x^3) dx + c = \int (1 + x^3 + x^2 + x^5) dx + c$ છે.
$y(1 + x^3)^2 = x + \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^6}{6} + c$ છે.
આની સરખામણી $y = \frac{1}{(1 + x^3)^s} [x + \frac{x^p}{p} + \frac{x^q}{q} + \frac{x^r}{r} + c]$ સાથે કરતા, $s = 2$ અને ગણ $\{p, q, r\} = \{4, 3, 6\}$ મળે છે.
$2, 3, 4, 6$ નો $LCM$ $12$ છે.

(D) સુરેખ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ નો સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$, $IF = e^{\int P \, dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $IF = \tan x$, તેથી $e^{\int P \, dx} = \tan x$ થાય.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\int P \, dx = \ln(\tan x)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $P = \frac{d}{dx}(\ln(\tan x))$.
ચેઈન રૂલ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા: $P = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$.
$P = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા: $P = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.
$P = 2 \csc 2x$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ છે, જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = x^2 + 5$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$y \cdot x = \int (x^2 + 5) \cdot x dx + c$.
$xy = \int (x^3 + 5x) dx + c$.
$xy = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} + c$.

(B) આપેલ છે $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$। આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$, તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1 + v}{1 - v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}$।
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \frac{dx}{x}$।
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$।
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C_1$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2}) + C_1 = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(\frac{x^2 + y^2}{x^2}) + C_1$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) - \ln|x| + C_1 = \ln((x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}) + C_1$।
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})} = e^{C_1} (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}$।
ધારો કે $e^{C_1} = \frac{1}{c}$, તો $c e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})} = (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}$ અથવા $c(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} = e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})}$।

(A) આપેલ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y}$ છે.
વ્યસ્ત લેતા, $\frac{dx}{dy} = \frac{x + y}{y} = \frac{x}{y} + 1$ મળે.
આ $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 1$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ છે.
$IF$ વડે ગુણતા, આપણને $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = \frac{1}{y}$ મળે.
$y$ ની સાપેક્ષે બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\frac{x}{y} = \int \frac{1}{y} dy = \ln|y| + C$ મળે.
વક્ર $(0, 1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી, $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા: $\frac{0}{1} = \ln(1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.
આમ, $\frac{x}{y} = \ln y$, જેનું સાદું રૂપ $x = y \ln y$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ છે, જેને $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$, તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x} \implies -\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.
કારણ કે $y = vx$, $v = y/x$, તેથી $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.
આપેલ છે $y(1) = 1$, તેથી $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \implies C = -1/2$.
સમીકરણ $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -1/2$ છે.
આપેલ છે $y(x_0) = e$, તેથી $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -1/2 \implies -\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -1/2$.
$-\frac{x_0^2}{2e^2} = -3/2 \implies x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \pm \sqrt{3}e$.

(D) આપેલ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$ છે.
ધારો કે $y = vx$, તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x - vx}{x + vx} = \frac{1 - v}{1 + v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 - v}{1 + v} - v = \frac{1 - 2v - v^2}{1 + v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1 + v}{1 - 2v - v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$.
ધારો કે $u = 1 - 2v - v^2$, તો $du = -2(1 + v) dv$, તેથી $(1 + v) dv = -\frac{1}{2} du$.
$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C$.
$-\frac{1}{2} \ln|1 - 2v - v^2| = \ln|x| + C$.
$1 - 2(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2 = \frac{k}{x^2}$.
$x^2 - 2xy - y^2 = k$. કારણ કે $x=0, y=0$, તેથી $k=0$.
$x^2 - 2xy - y^2 = 0$, જે સરળ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.

(A) પગલું $1$: વિકલ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવો: $x \, dy = -2y \, dx$।
પગલું $2$: ચલને અલગ કરો: $\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$।
પગલું $3$: બંને બાજુ સંકલન કરો: $\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x} \implies \ln|y| = -2 \ln|x| + C$।
પગલું $4$: સાદું રૂપ આપો: $\ln|y| = \ln|x^{-2}| + C \implies \ln|y| = \ln|\frac{1}{x^2}| + C \implies y = \frac{k}{x^2}$, જ્યાં $k = e^C$ છે.
પગલું $5$: પ્રારંભિક શરત $x = 2, y = 1$ લાગુ કરો: $1 = \frac{k}{2^2} \implies 1 = \frac{k}{4} \implies k = 4$।
પગલું $6$: વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \frac{4}{x^2}$ છે, જે $x^2 y = 4$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) ધારો કે $S = 4\pi r^2$ પૃષ્ઠફળ છે. વિસ્તરણનો દર $\frac{dS}{dt} = kS$ છે.
સંકલન કરતા, $\ln S = kt + C$, તેથી $S(t) = S_0 e^{kt}$.
$t = 0$ પર, $r = 2 \text{ cm}$, તેથી $S_0 = 4\pi(2)^2 = 16\pi$.
$t = 5$ પર, $r = 7 \text{ cm}$, તેથી $S(5) = 4\pi(7)^2 = 196\pi$.
$196\pi = 16\pi e^{5k} \implies e^{5k} = \frac{196}{16} = \frac{49}{4} = 12.25$.
$e^k = (12.25)^{1/5}$.
$t = 12$ પર, $S(12) = S_0 e^{12k} = 16\pi (e^{5k})^{12/5} = 16\pi (12.25)^{12/5}$.
$12.25^{2.4} \approx 49$ નો ઉપયોગ કરતા, $S(12) = 16\pi \times 49 = 784\pi$.
$784 \times \frac{22}{7} = 112 \times 22 = 2464 \text{ cm}^2$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y + 5$ છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y + 5} = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y + 5} = \int dx \implies \log|y + 5| = x + C$.
શરૂઆતની શરત $y(0) = 4$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log|4 + 5| = 0 + C \implies C = \log 9$.
તેથી, $\log|y + 5| = x + \log 9 \implies \log|y + 5| = \log(9e^x)$.
આમ, $y + 5 = 9e^x \implies y = 9e^x - 5$.
હવે, $y(\log 2)$ ની કિંમત શોધતા: $y(\log 2) = 9e^{\log 2} - 5 = 9(2) - 5 = 18 - 5 = 13$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ $f(x)f''(x) - (f'(x))^2 = 0$ છે.
આને $\frac{f(x)f''(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2} = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે, જે $\frac{f'(x)}{f(x)}$ નું વિકલન છે.
તેથી, $\frac{d}{dx} \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right) = 0$ છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, આપણને $\frac{f'(x)}{f(x)} = k$ (એક અચળાંક) મળે છે.
$x = 0$ પર, $k = \frac{f'(0)}{f(0)} = \frac{2}{1} = 2$ છે.
તેથી, $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2$, જેનો અર્થ છે કે $f'(x) = 2f(x)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = e^{x-y} + x^2e^{-y}$
સમીકરણને આ રીતે લખો: $\frac{dy}{dx} = e^{-y}(e^x + x^2)$
ચલને અલગ કરતા: $e^y \ dy = (e^x + x^2) \ dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^y \ dy = \int (e^x + x^2) \ dx$
$e^y = e^x + \frac{x^3}{3} + c$
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે: $e^{-x}(y + 1) dy + (\cos^2 x - \sin 2x)y dx = 0$
$y e^{-x}$ વડે ભાગતા: $\frac{y+1}{y} dy + \frac{\cos^2 x - \sin 2x}{e^{-x}} dx = 0$
$(1 + \frac{1}{y}) dy + e^x(\cos^2 x - 2 \sin x \cos x) dx = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 + \frac{1}{y}) dy + \int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = C$
$\int e^x \cos^2 x dx = \int e^x (\frac{1 + \cos 2x}{2}) dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx$ નો ઉપયોગ કરતા
આમ, $\int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx - \int e^x \sin 2x dx$, જે $e^x \cos^2 x$ માં સરળ થાય છે.
તેથી, $y + \log y = -e^x \cos^2 x + C$
$x = 0, y = 1$ લેતા: $1 + \log 1 = -e^0 \cos^2 0 + C \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$
અંતિમ ઉકેલ: $y + \log y + e^x \cos^2 x = 2$.

(A) ધારો કે $v = x + y$ છે. તેથી $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$ મળે.
$\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v + \cos v$ થાય.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $1 + \sin v + \cos v = 2\cos^2(\frac{v}{2}) + 2\sin(\frac{v}{2})\cos(\frac{v}{2}) = 2\cos^2(\frac{v}{2}) [1 + \tan(\frac{v}{2})]$ થાય.
તેથી, $\int \frac{dv}{2\cos^2(\frac{v}{2}) [1 + \tan(\frac{v}{2})]} = \int dx$ મળે.
ધારો કે $u = 1 + \tan(\frac{v}{2})$ છે, તો $du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{v}{2}) dv = \frac{1}{2\cos^2(\frac{v}{2})} dv$ થાય.
આમ, $\int \frac{du}{u} = \int dx \implies \log |u| = x + c$ મળે.
કિંમત પાછી મૂકતા: $\log |1 + \tan(\frac{x + y}{2})| = x + c$ મળે.

(C) ધારો કે સમય $t$ પર મિલકત $A$ છે. ઘટવાનો દર $\frac{dA}{dt} = -k\sqrt{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k > 0$ છે.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{dA}{\sqrt{A}} = -k dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $2\sqrt{A} = -kt + C$.
$t = 0$ પર, $A = 10000$, તેથી $2\sqrt{10000} = C \implies C = 200$.
આમ, $2\sqrt{A} = 200 - kt$.
$t = 2$ પર, $A = 5625$, તેથી $2\sqrt{5625} = 200 - 2k \implies 2(75) = 200 - 2k \implies 150 = 200 - 2k \implies 2k = 50 \implies k = 25$.
સમીકરણ $2\sqrt{A} = 200 - 25t$ છે.
નાદાર થવા માટે, $A = 0$, તેથી $0 = 200 - 25t \implies 25t = 200 \implies t = 8$ વર્ષ.

(C) ધારો કે $f(x)$ એ $n$ ઘાત ધરાવતી બહુપદી છે. તો $f'(x)$ ની ઘાત $n-1$ થશે.
$f(x) = [f'(x)]^2$ માં ઘાતની સરખામણી કરતા, આપણને $n = 2(n-1)$ મળે છે, જેનો અર્થ છે $n = 2n - 2$, તેથી $n = 2$।
ધારો કે $f(x) = a(x-h)^2$।
તો $f'(x) = 2a(x-h)$।
આપેલ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $a(x-h)^2 = [2a(x-h)]^2 = 4a^2(x-h)^2$।
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે, $a = 4a^2$, તેથી $a = 1/4$ (કારણ કે $a \neq 0$)।
આપેલ છે કે $f(2) = 0$, તેથી શિરોબિંદુ $h = 2$ પર છે.
આમ, $f(x) = \frac{1}{4}(x-2)^2$।
$f(-2)$ ની ગણતરી કરતા: $f(-2) = \frac{1}{4}(-2-2)^2 = \frac{1}{4}(-4)^2 = \frac{16}{4} = 4$।

(B) ધારો કે $v = 9x + y + 5$ છે. તેથી $\frac{dv}{dx} = 9 + \frac{dy}{dx}$, એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 9$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 9 = v^2 \implies \frac{dv}{dx} = v^2 + 9$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dv}{v^2 + 3^2} = \int dx$.
સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{v}{3}) = x + c$ મળે છે.
$v = 9x + y + 5$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{9x + y + 5}{3}) = x + c$.

(B) આપેલ ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x(x + 1)}$ છે.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y - 1} = \int \frac{dx}{x(x + 1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$.
વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી, $x = 1, y = 0$ મુકતા: $\ln|0 - 1| = \ln|\frac{1}{1 + 1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$.
તેથી, $\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x + 1}|$.
ઘાતાંક લેતા: $y - 1 = \frac{2x}{x + 1} \implies (y - 1)(x + 1) = 2x$.

(B) ધારો કે $t$ સમયે દળ $M(t)$ છે. વિઘટનનો દર $\frac{dM}{dt} = -kM$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા, $\frac{dM}{M} = -k dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\ln M = -kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ પર, $M = M_0 = 1.5 \text{ gm}$, તેથી $C = \ln(1.5)$ છે.
આમ, $\ln M = -kt + \ln(1.5)$, જે $\ln(\frac{M}{1.5}) = -kt$ માં સરળ થાય છે.
આપણે તે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે $M = 0.5 \text{ gm}$ હોય.
કિંમતો મૂકતા, $\ln(\frac{0.5}{1.5}) = -kt$ મળે છે.
$\ln(\frac{1}{3}) = -kt$।
$-\ln(3) = -kt$।
$t = \frac{1}{k} \ln 3$।

(B) ધારો કે $x + y = v$ છે. $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ મળે છે.
સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos v$.
$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos v = 2 \cos^2 (\frac{v}{2})$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{2 \cos^2 (\frac{v}{2})} = dx$.
$\frac{1}{2} \sec^2 (\frac{v}{2}) dv = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{2} \sec^2 (\frac{v}{2}) dv = \int dx$.
$\tan (\frac{v}{2}) = x + c$.
$v = x + y$ પાછું મૂકતા: $\tan (\frac{x + y}{2}) = x + c$.

(D) ધારો કે $u = \frac{dy}{dx}$ છે. આપેલ સમીકરણ $u^2 = 6 - u$ છે, જેનો અર્થ છે કે $u^2 + u - 6 = 0$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા, આપણને $(u + 3)(u - 2) = 0$ મળે છે.
આમ, $u = -3$ અથવા $u = 2$ મળે.
કારણ કે $y = f(x)$ એ એકદિષ્ટ વધતું વિધેય છે, તેથી $\frac{dy}{dx} > 0$ હોવું જોઈએ, તેથી આપણે $\frac{dy}{dx} = 2$ લેવું પડશે.
$x$ ની સાપેક્ષે $\frac{dy}{dx} = 2$ નું સંકલન કરતા, આપણને $y = 2x + C$ મળે છે.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 5$ નો ઉપયોગ કરતા, $5 = 2(0) + C$, જેમાંથી $C = 5$ મળે છે.
તેથી, વિધેય $y = 2x + 5$ છે.
$y(3)$ ની કિંમત શોધવા માટે, $x = 3$ મૂકતા: $y(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x \sin x + y^3 = 4ax$ $(1)$
$x$ વડે ભાગતા: $\sin x + \frac{y^3}{x} = 4a$ $(2)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\cos x + \frac{x(3y^2 \frac{dy}{dx}) - y^3(1)}{x^2} = 0$
$x^2$ વડે ગુણતા: $x^2 \cos x + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - y^3 = 0$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ગોઠવતા: $3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3 - x^2 \cos x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 - x^2 \cos x}{3xy^2}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $3y = \sqrt{x + c}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3y)^2 = x + c$
$9y^2 = x + c$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(9y^2) = \frac{d}{dx}(x + c)$
$18y \frac{dy}{dx} = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{18y}$
જો પ્રશ્ન $27y^3 = x+c$ હોય, તો $81y^2 \frac{dy}{dx} = 1$ મળે, જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(A) પગલું $1$: આપેલ સમીકરણ $(y - a)^2 = 4(x - b)$ છે.
પગલું $2$: $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(y - a) \frac{dy}{dx} = 4$, જેનું સાદું રૂપ $(y - a) \frac{dy}{dx} = 2$ મળે છે.
પગલું $3$: ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $(y - a) \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^2 = 0$ મળે છે.
પગલું $4$: પગલું $2$ પરથી, $y - a = \frac{2}{dy/dx}$ છે. આ કિંમતને પગલું $3$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{2}{dy/dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^2 = 0$ મળે છે.
પગલું $5$: છેદ દૂર કરવા માટે $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા: $2 \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^3 = 0$ મળે છે.
પગલું $6$: સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે, જેની ઘાત $1$ છે. તેથી, વિકલ સમીકરણની ઘાત $1$ છે.