MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) શરતી વિધાન $A \to B$ નો પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપેલ વિધાન: $[p \lor (p \to q)] \to (p \land \sim q)$.
અહીં, $A = [p \lor (p \to q)]$ અને $B = (p \land \sim q)$ છે.
પગલું $1$: $\sim B = \sim (p \land \sim q) = \sim p \lor \sim (\sim q) = \sim p \lor q$ શોધો.
પગલું $2$: $\sim A = \sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q)$ શોધો.
કારણ કે $\sim (p \to q) = p \land \sim q$ છે, તેથી $\sim A = \sim p \land (p \land \sim q)$ થશે.
પગલું $3$: $\sim B \to \sim A$ બનાવવા માટે સંયોજિત કરો, જે $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ છે.
આ વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) પગલું $1$: $(I)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$। આ સાચું છે.
પગલું $2$: $(II)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv \sim (p \to q) \lor r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। આ $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ ને સમાન નથી. આ ખોટું છે.
પગલું $3$: $(III)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \to r) \land (q \to r)$। આ $(p \to r) \land (\sim q \to r)$ ને સમાન નથી. આ ખોટું છે.
પગલું $4$: $(IV)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। આ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: $(I)$ અને $(IV)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે $S_1, S_2, S_3$ સ્વિચ છે. સર્કિટ ત્રણ સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે.
શાખા $1$: $S_1$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં $\rightarrow (S_1 \land S_2)$
શાખા $2$: $S_1'$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં $\rightarrow (S_1' \land S_2)$
શાખા $3$: $S_3$ અને $S_2'$ શ્રેણીમાં $\rightarrow (S_3 \land S_2')$
કુલ સર્કિટનું પદ $C = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$ છે.
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $(S_1 \lor S_1') \land S_2 \lor (S_3 \land S_2')$.
કારણ કે $(S_1 \lor S_1') = T$ (એક નિત્યસત્ય), પદ $T \land S_2 \lor (S_3 \land S_2')$ બને છે.
આ $S_2 \lor (S_3 \land S_2')$ માં સરળ થાય છે.
ફરીથી વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $(S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$.
કારણ કે $(S_2 \lor S_2') = T$, પદ $(S_2 \lor S_3)$ માં સરળ થાય છે.
આ સમાંતરમાં બે સ્વિચ $S_2$ અને $S_3$ દર્શાવે છે. સ્વિચની ન્યૂનતમ સંખ્યા $2$ છે.

(C) આપેલ વિધાન પેટર્ન $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q) = F$ છે.
કારણ કે વિયોજન (disjunction) $F$ છે, તેથી બધા ઘટકો $F$ હોવા જોઈએ: $(\sim p \land q) = F$, $(\sim p \land \sim q) = F$, અને $(p \land \sim q) = F$।
$(\sim p \land q) = F$ અને $(\sim p \land \sim q) = F$ પરથી, આપણે $\sim p$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ: $\sim p \land (q \lor \sim q) = F$। કારણ કે $(q \lor \sim q)$ એ નિત્યસત્ય (tautology) $T$ છે, આપણી પાસે $\sim p \land T = F$ છે, જેનો અર્થ છે $\sim p = F$, તેથી $p = T$।
હવે $p = T$ ને $(p \land \sim q) = F$ માં મૂકતા: $T \land \sim q = F$, જેનો અર્થ છે $\sim q = F$, તેથી $q = T$।
હવે $(p \lor \sim q) = (T \lor \sim T) = (T \lor F) = T$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
હવે $(p \to q) = (T \to T) = T$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
આમ, સત્ય મૂલ્યો $T, T$ છે.

(C) ધારો કે $1$ એ $ON$ સ્થિતિ દર્શાવે છે અને $0$ એ $OFF$ સ્થિતિ દર્શાવે છે.
સર્કિટને બુલિયન અભિવ્યક્તિ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
અહીં, $S'_1$ એ $S_1$ નું નિષેધ છે (એટલે કે $S'_1 = \neg S_1$) અને $S'_2$ એ $S_2$ નું નિષેધ છે (એટલે કે $S'_2 = \neg S_2$)।
સર્કિટ પ્રકાશિત $(L=1)$ થાય છે જો $(S_1 \land S_2) = 1$ અથવા $(S'_1 \land S'_2) = 1$ હોય.
$(S_1 \land S_2) = 1$ નો અર્થ છે $S_1 = 1$ અને $S_2 = 1$.
$(S'_1 \land S'_2) = 1$ નો અર્થ છે $S'_1 = 1$ અને $S'_2 = 1$, જેનો અર્થ છે $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$.
આમ, રૂમ ત્યારે પ્રકાશિત થાય છે જ્યારે $S_1$ અને $S_2$ બંને $ON$ હોય અથવા બંને $OFF$ હોય.

(A) નિત્યસત્ય (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે સાચું હોય છે.
પગલું $1$: વિકલ્પ $(A)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
જો $p=T, q=T$, તો $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
જો $p=T, q=F$, તો $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
જો $p=F, q=T$, તો $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
જો $p=F, q=F$, તો $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
આમ, આ વિધાન તમામ કિસ્સાઓમાં સાચું હોવાથી તે એક નિત્યસત્ય છે.

(A) $1$. ધારો કે સ્વિચને $S_1, S_2, S_3$ ચલ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. વર્ણવેલ સર્કિટ $(S_1 \lor S_2) \land S_3$ છે.
$3$. સ્વિચિંગ સર્કિટ તર્કમાં, '$OR$' પ્રક્રિયા સમાંતર જોડાણને અનુરૂપ છે અને '$AND$' પ્રક્રિયા શ્રેણી જોડાણને અનુરૂપ છે.
$4$. તેથી, $(S_1 \lor S_2)$ નો અર્થ છે $S_1$ અને $S_2$ સમાંતરમાં છે.
$5$. $\land S_3$ પદ સૂચવે છે કે આ સમાંતર બ્લોક $S_3$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
$6$. આ વર્ણન સાથે મેળ ખાય છે: $S_3$ અને $S_1$ તથા $S_2$ ના સમાંતર જોડાણનું શ્રેણી જોડાણ.

(C) $1$. શરતી વિધાન $\sim p \to q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ એ $T$ હોય અને $q$ એ $F$ હોય.
$2$. કારણ કે $\sim p = T$, તેથી $p = F$ મળે.
$3$. આપેલ છે કે $q = F$, દ્વિ-શરતી વિધાન $q \leftrightarrow r$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $q$ અને $r$ ના સત્યતા મૂલ્યો અલગ હોય.
$4$. કારણ કે $q = F$, તેથી $q \leftrightarrow r$ ને અસત્ય થવા માટે $r$ નું મૂલ્ય $T$ હોવું જોઈએ.
$5$. તેથી, સત્યતા મૂલ્યો $p = F$, $q = F$, અને $r = T$ છે, જે $(F, F, T)$ છે.

(C) આપેલ સત્ય મૂલ્યો: $p = T, q = F, r = T$.
$(A)$ $[F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$.
$(B)$ $(T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$.
$(C)$ $[(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$.
$(D)$ $(T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$.
વિકલ્પ $(C)$ નું પરિણામ $F$ હોવાથી, તે સત્ય વિધાન નથી.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
અહીં, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ અને $B = (p \land q)$ છે.
કારણ કે $B$ અસત્ય છે, $(p \land q) = F$ છે.
કારણ કે $A$ સત્ય છે, $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $(\sim r) = T$ છે.
$(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
કારણ કે $(q \to r) = T$ અને $r = F$ છે, તેથી $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $T \to F$ એ $F$ છે).
કારણ કે $(p \lor q) = T$ અને $q = F$ છે, તેથી $p$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
આમ, $p = T, q = F, r = F$ છે.
હવે વિકલ્પો તપાસો:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન).
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન).
$(C)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = T$ (આ સત્ય નથી કારણ કે તે સત્ય છે).
$(D)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = F$ (સત્ય વિધાન).
તેથી, વિકલ્પ $(C)$ સાચો જવાબ છે.

(B) પગલું $1$: આપેલ વિધાન $S = \sim p \lor q$ છે, જે $p \to q$ ને સમાન છે.
પગલું $2$: $p \to q$ નું પ્રતિલોમ $\sim p \to \sim q$ છે.
પગલું $3$: $\sim p \to \sim q$ ને $\sim (\sim p) \lor \sim q$ એટલે કે $p \lor \sim q$ તરીકે લખી શકાય છે.
પગલું $4$: આ પ્રતિલોમનું નિષેધ $\sim (p \lor \sim q)$ છે.
પગલું $5$: ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim (p \lor \sim q) = \sim p \land \sim (\sim q) = \sim p \land q$.

(B) પગલું $1$: વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ કરો. 'જો $1$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (સત્ય), તો $2$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (અસત્ય).' શરતી વિધાન $P \implies Q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $P$ સત્ય હોય અને $Q$ અસત્ય હોય. તેથી, $I$ અસત્ય છે.
પગલું $2$: વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$e$ એક સ્વર છે (સત્ય) અને $12 \times 3 = 36$ (સત્ય).' બંને ભાગ સત્ય હોવાથી, સંયોજન સત્ય છે.
પગલું $3$: વિધાન $III$ નું વિશ્લેષણ કરો. 'તે સત્ય નથી કે ($14$ વિભાજ્ય છે (સત્ય) અને $3$ બેકી છે (અસત્ય)).' આંતરિક સંયોજન અસત્ય છે, તેથી તેનું નિષેધ સત્ય છે. તેથી, $III$ સત્ય છે.
પગલું $4$: વિધાન $IV$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$\sqrt{5}$ અસંમેય છે (સત્ય) અને $3 + \sqrt{5}$ એક સંકર સંખ્યા છે (સત્ય, કારણ કે બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સંકર હોય છે).' બંને સત્ય હોવાથી, વિધાન સત્ય છે.
પગલું $5$: નિષ્કર્ષ. માત્ર વિધાન $I$ અસત્ય છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) પગલું $1$: $p$ નું મૂલ્યાંકન કરો. $3^4 = 81$ અને $4^3 = 64$ છે. કારણ કે $81 > 64$, પૂર્વવર્તી સત્ય છે. $3^3 = 27$ અને $4^4 = 256$ છે. કારણ કે $27 > 256$ અસત્ય છે, તેથી ગર્ભિતાર્થ $T \implies F$ એ $F$ છે. આમ, $p$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $2$: $q$ નું મૂલ્યાંકન કરો. $x^2 - 2x + 2 = 0$ માટે, વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ છે. કારણ કે $D < 0$, બીજ વાસ્તવિક નથી. વિધાન 'મુંબઈ મહારાષ્ટ્રમાં છે' સત્ય $(T)$ છે. દ્વિ-શરતી વિધાન $F \iff T$ એ $F$ છે. આમ, $q$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $3$: $r$ નું મૂલ્યાંકન કરો. $r$ એ '$p$ સત્ય છે અથવા $q$ અસત્ય છે' છે. કારણ કે $p$ અસત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે, '$q$ અસત્ય છે' એ સત્ય $(T)$ છે. તેથી, $F \lor T$ એ $T$ છે. એટલે કે, $r$ સત્ય $(T)$ છે.
પગલું $4$: વિકલ્પો તપાસો. $p=F, q=F, r=T$ છે.
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$.
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$.
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$.
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$.
તેથી, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) શરતી વિધાન $P \to Q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $\sim q \to p$ છે.
અહીં, $P = \sim q$ અને $Q = p$ છે.
તેથી, પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ થશે, જે $\sim p \to \sim(\sim q)$ બને છે.
દ્વિ-નિષેધના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim(\sim q) = q$ થાય છે.
આમ, પ્રતિધનાત્મક $\sim p \to q$ છે.

(C) $1$. તાર્કિક પદાવલિ $\sim p \lor q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ અસત્ય હોય અને $q$ પણ અસત્ય હોય.
$2$. જો $\sim p$ અસત્ય હોય, તો $p$ સત્ય $(T)$ હોવું જોઈએ.
$3$. કારણ કે $q$ અસત્ય $(F)$ છે, તેથી $p = T$ અને $q = F$ મળે છે.
$4$. હવે, વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(a)$ $p \leftrightarrow q \equiv T \leftrightarrow F = F$
$(b)$ $p \rightarrow q \equiv T \rightarrow F = F$
$(c)$ $q \rightarrow p \equiv F \rightarrow T = T$
$(d)$ $q \rightarrow p \equiv F \rightarrow T = T$
$5$. આમ, $q \rightarrow p$ સત્ય છે.

(C) તાર્કિક સમકક્ષતા $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(p \lor q) \to \sim r \equiv \sim (p \lor q) \lor \sim r$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim (p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$ થાય છે.
આને પાછું મૂકતા, આપણને $\sim p \land \sim q \lor \sim r$ મળે છે, જે $( \sim p \land \sim q) \lor \sim r$ છે.

(C) શરતી વિધાન $A \to B$ ફક્ત ત્યારે જ $False$ હોય છે જ્યારે $A$ એ $True$ હોય અને $B$ એ $False$ હોય.
અહીં, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ અને $B = (p \land q)$ છે.
$B$ એ $False$ હોવાથી, $(p \land q) = False$ છે.
$A$ એ $True$ હોવાથી, $(p \lor q) = True$, $(q \to r) = True$, અને $(\sim r) = True$ છે.
$(\sim r) = True$ પરથી, આપણને $r = False$ મળે છે.
$r = False$ ને $(q \to r) = True$ માં મૂકતા: $(q \to False) = True$, જેનો અર્થ છે કે $q = False$ છે.
$q = False$ ને $(p \lor q) = True$ માં મૂકતા: $(p \lor False) = True$, જેનો અર્થ છે કે $p = True$ છે.
હવે, $(p \land q) = (True \land False) = False$ તપાસો, જે આપણી શરત સાથે સુસંગત છે.
આમ, $p = True$ અને $q = False$ છે.
તેથી, $p \to q = (True \to False) = False$ છે.
અને $q \to p = (False \to True) = True$ છે.
સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(A) પગલું $1$: વિધાન $r$ નું વિશ્લેષણ કરો.
$p \to q$ માત્ર ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $p = T$ અને $q = F$ હોય. આ કિસ્સામાં, $p \lor q = T \lor F = T$ છે. વિધાન દાવો કરે છે કે $p \lor q$ અસત્ય છે, તેથી $r$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $2$: વિધાન $s$ નું વિશ્લેષણ કરો.
$p \leftrightarrow q$ ત્યારે અસત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોય ($p=T, q=F$ અથવા $p=F, q=T$).
જો $p=T, q=F$, તો $p \lor q = T$ છે. જો $p=F, q=T$, તો $p \lor q = T$ છે. બંને કિસ્સામાં, $p \lor q$ સત્ય છે. વિધાન દાવો કરે છે કે $p \lor q$ અસત્ય છે, તેથી $s$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $3$: $r \to s$ અને $s \to r$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
કારણ કે $r = F$ અને $s = F$, તેથી $r \to s = F \to F = T$ અને $s \to r = F \to F = T$ છે. આમ, સત્ય મૂલ્યો $T, T$ છે.

(C) પગલું $1$: વિકલ્પ $(A)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $∃x ∈ A$ એવું છે કે $x + 3 = 9$। જો $x = 6$ હોય, તો $6 + 3 = 9$ થાય. કારણ કે $6 ∈ A$ છે, આ વિધાન સત્ય છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(B)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $∃x ∈ A$ એવું છે કે $x + 2 < 9$। જો $x = 1$ હોય, તો $1 + 2 = 3 < 9$ થાય. કારણ કે $1 ∈ A$ છે, આ વિધાન સત્ય છે.
પગલું $3$: વિકલ્પ $(C)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $∀x ∈ A, x + 6 ≥ 10$। જો $x = 1$ હોય, તો $1 + 6 = 7$ થાય. કારણ કે $7 < 10$ છે, તેથી શરત $x + 6 ≥ 10$ એ બધા $x ∈ A$ માટે સાચી નથી. આમ, આ વિધાન અસત્ય છે.
પગલું $4$: વિકલ્પ $(D)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $∃x ∈ A$ એવું છે કે $x + 6 < 10$। જો $x = 1$ હોય, તો $1 + 6 = 7 < 10$ થાય. કારણ કે $1 ∈ A$ છે, આ વિધાન સત્ય છે.
નિષ્કર્ષ: વિકલ્પ $(C)$ સત્ય નથી.

(B) $1$. શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
$2$. અહીં, $(p \land q) \to (r \lor \sim s)$ અસત્ય છે, તેથી $(p \land q) = T$ અને $(r \lor \sim s) = F$ છે.
$3$. $(p \land q) = T$ માટે, $p$ અને $q$ બંને $T$ હોવા જોઈએ.
$4$. $(r \lor \sim s) = F$ માટે, $r$ અને $\sim s$ બંને $F$ હોવા જોઈએ.
$5$. કારણ કે $r = F$ અને $\sim s = F$ છે, તેથી $s = T$ થાય.
$6$. આમ, સત્ય મૂલ્યો $p = T, q = T, r = F, s = T$ છે.

(B) પગલું $1$: $A$ નું વિશ્લેષણ: $(q \to p) \lor (p \to q) \equiv (\sim q \lor p) \lor (\sim p \lor q) \equiv (\sim q \lor q) \lor (\sim p \lor p) \equiv T \lor T \equiv T$। તેથી, $A$ નિત્યસત્ય છે.
પગલું $2$: $B$ નું વિશ્લેષણ: $(\sim p \lor \sim q) \leftrightarrow \sim (p \land q)$। ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim p \lor \sim q \equiv \sim (p \land q)$। તેથી, $B$ એ $X \leftrightarrow X$ છે, જે નિત્યસત્ય છે.
પગલું $3$: $C$ નું વિશ્લેષણ: $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p) \land \sim q \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$। તેથી, $C$ વિરોધાભાસ છે.
પગલું $4$: $D$ નું વિશ્લેષણ: $(p \land q) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv (p \land q) \land \sim (p \land q) \equiv F$। તેથી, $D$ વિરોધાભાસ છે.
નિષ્કર્ષ: $A$ અને $B$ નિત્યસત્ય છે, $C$ અને $D$ વિરોધાભાસ છે.

(D) દ્વિ-શરતી વિધાન $p \leftrightarrow q$ એ $(p \to q) \land (q \to p)$ ને સમાન છે.
તેથી, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv ∼ ((p \to q) \land (q \to p))$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, આ $∼ (p \to q) \lor ∼ (q \to p)$ બને છે.
કારણ કે $p \to q \equiv ∼ p \lor q$, તેથી $∼ (p \to q) \equiv p \land ∼ q$.
તે જ રીતે, $∼ (q \to p) \equiv q \land ∼ p$.
તેથી, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv (p \land ∼ q) \lor (q \land ∼ p)$.
હવે, વિકલ્પ $(D)$ તપાસો: $p \leftrightarrow ∼ q \equiv (p \to ∼ q) \land (∼ q \to p) \equiv (∼ p \lor ∼ q) \land (q \lor p) \equiv (p \land q) \lor (∼ p \land ∼ q)$.
સત્યતા કોષ્ટક મુજબ, $p \leftrightarrow ∼ q$ અને $∼ (p \leftrightarrow q)$ ના મૂલ્યો તમામ કિસ્સાઓમાં સમાન છે. તેથી, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow ∼ q$.

(A) પગલું $1$: શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
પગલું $2$: અહીં, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ અને $B = (p \land q)$ છે.
પગલું $3$: $B = (p \land q)$ અસત્ય હોવા માટે, $p$ અથવા $q$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અસત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $4$: $A$ સત્ય હોવા માટે, $(p \lor q)$ સત્ય હોવું જોઈએ, $(q \to r)$ સત્ય હોવું જોઈએ, અને $(\sim r)$ સત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $5$: $(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
પગલું $6$: કારણ કે $(q \to r) = T$ અને $r = F$ છે, તેથી $q$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $7$: કારણ કે $(p \lor q) = T$ અને $q = F$ છે, તેથી $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $8$: હવે, $p \to q$ નું મૂલ્ય શોધો: $T \to F = F$.
પગલું $9$: $q \to p$ નું મૂલ્ય શોધો: $F \to T = T$.
પગલું $10$: સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(B) આપેલ છે: $p = T, q = F, r = F$।
પગલું $1$: વિધાન $S = [\sim (p \land \sim q) \lor (q \lor \sim r)]$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$\sim q = T$, તેથી $(p \land \sim q) = (T \land T) = T$। આમ, $\sim (p \land \sim q) = F$।
$\sim r = T$, તેથી $(q \lor \sim r) = (F \lor T) = T$।
$S = (F \lor T) = T$।
પગલું $2$: દ્વૈત વિધાન $S^*$ શોધો. $\land$ ને $\lor$ થી, $\lor$ ને $\land$ થી, $T$ ને $F$ થી, અને $F$ ને $T$ થી બદલો.
દ્વૈત $S^*$ છે $[\sim (p \lor \sim q) \land (q \land \sim r)]$।
પગલું $3$: $S^*$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$(p \lor \sim q) = (T \lor T) = T$, તેથી $\sim (p \lor \sim q) = F$।
$(q \land \sim r) = (F \land T) = F$।
$S^* = (F \land F) = F$।
સત્યતા મૂલ્યો અનુક્રમે $T$ અને $F$ છે.

(A) પગલું $1$: આપેલ વિધાન $S = p \to (q \to r)$ છે.
પગલું $2$: $S$ નું પ્રતિલોમ $∼ p \to ∼ (q \to r)$ છે.
પગલું $3$: પ્રતિલોમનું પ્રતીપ $∼ (q \to r) \to ∼ p$ છે.
પગલું $4$: $q \to r \equiv ∼ q \lor r$ નો ઉપયોગ કરતા, પદાવલિ $∼ (∼ q \lor r) \to ∼ p$ બને છે, જે $(q \land ∼ r) \to ∼ p$ છે.
પગલું $5$: વિધાનનું દ્વૈત $\land$ ને $\lor$ સાથે, $\lor$ ને $\land$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલીને મેળવવામાં આવે છે. ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ એટલે $∼ A \lor B$. તેથી, $(q \land ∼ r) \to ∼ p$ એટલે $∼ (q \land ∼ r) \lor ∼ p \equiv (∼ q \lor r) \lor ∼ p$.
પગલું $6$: $(∼ q \lor r) \lor ∼ p$ નું દ્વૈત $(∼ q \land r) \land ∼ p$ છે.
પગલું $7$: વિકલ્પ $∼ [p \lor (r \to q)]$ નું મૂલ્ય $∼ [p \lor (∼ r \lor q)] \equiv ∼ p \land (r \land ∼ q)$ છે, જે દ્વૈત સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) ધારો કે $p$ એ વિધાન "એક પૂર્ણાંક $4$ થી મોટો અને $5$ થી નાનો છે" છે અને $q$ એ વિધાન "તે $3$ નો ગુણક છે" છે.
આપેલ વિધાન "જો $p$, તો $q$" સ્વરૂપમાં છે, જેને $p \implies q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$p \implies q$ નું નિષેધ $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $p$ એ "એક પૂર્ણાંક $4$ થી મોટો અને $5$ થી નાનો છે" અને $\sim q$ એ "તે $3$ નો ગુણક નથી" છે.
તેથી, નિષેધ "એક પૂર્ણાંક $4$ થી મોટો અને $5$ થી નાનો છે પરંતુ તે $3$ નો ગુણક નથી" છે.
આ વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) પગલું $1$: વિધાન પેટર્નનું દ્વૈત શોધવા માટે, $\land$ ને $\lor$ સાથે, $\lor$ ને $\land$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલો.
પગલું $2$: આપેલ વિધાન $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ છે.
પગલું $3$: દ્વૈત રૂપાંતરણ લાગુ કરતાં, આપણને $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ મળે છે.
પગલું $4$: કારણ કે $(p \lor \sim q) \equiv \sim p \to \sim q$ અને $(q \lor \sim p) \equiv p \to q$, તેથી પદાવલિ $(\sim p \to \sim q) \land (p \to q)$ છે.
પગલું $5$: વિકલ્પો તપાસતા, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $S_1$ એ $p$ દ્વારા દર્શાવેલ સ્વિચ છે અને $S_2$ એ $q$ દ્વારા દર્શાવેલ સ્વિચ છે.
સમાંતર સર્કિટમાં, સ્વિચ એવી રીતે જોડાયેલ હોય છે કે જો $p$ અથવા $q$ માંથી કોઈ પણ બંધ હોય તો પ્રવાહ વહે છે.
આને તાર્કિક વિયોજન $p \lor q$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો સર્કિટ બે સ્વિચનું સરળ સમાંતર જોડાણ હોય, તો તેનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ $p \lor q$ છે.

(D) ધારો કે $S$ એ વિધાન $(p \lor \sim q) \to (p \land \sim q)$ છે.
$A \to B$ નો પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ થાય છે.
તેથી, $S$ નો પ્રતિધનાત્મક $\sim (p \land \sim q) \to \sim (p \lor \sim q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા, આ $(\sim p \lor q) \to (\sim p \land q)$ થાય છે.
ગર્ભિત વિધાન $P \to Q$ નો નિષેધ $P \land \sim Q$ થાય છે.
અહીં, $P = (\sim p \lor q)$ અને $Q = (\sim p \land q)$ છે.
નિષેધ $= (\sim p \lor q) \land \sim (\sim p \land q)$.
બીજા ભાગ પર ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા: $\sim (\sim p \land q) = (p \lor \sim q)$ મળે છે.
તેથી, નિષેધ $(\sim p \lor q) \land (p \lor \sim q)$ છે.

(B) પગલું $1$: આપેલ ગર્ભિતાર્થનું વિશ્લેષણ કરો. ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
પગલું $2$: અહીં, $A = [(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r]$ અને $B = (p \land \sim q)$ છે. કારણ કે $B$ અસત્ય છે, $(p \land \sim q)$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
પગલું $3$: કારણ કે $A$ સત્ય છે, બધા ઘટકો સત્ય હોવા જોઈએ: $(p \leftrightarrow q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $\sim r = T$। તેથી $r = F$ છે.
પગલું $4$: કારણ કે $(q \to r) = T$ અને $r = F$ છે, તો $q$ નું મૂલ્ય $F$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $T \to F$ અસત્ય છે).
પગલું $5$: કારણ કે $(p \leftrightarrow q) = T$ અને $q = F$ છે, તો $p$ નું મૂલ્ય $F$ હોવું જોઈએ.
પગલું $6$: પ્રથમ સ્વરૂપનું મૂલ્યાંકન કરો: $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r) = (F \to F) \leftrightarrow (F \to F) = T \leftrightarrow T = T$।
પગલું $7$: બીજા સ્વરૂપનું મૂલ્યાંકન કરો: $\sim (p \lor r) \to (q \land p) = \sim (F \lor F) \to (F \land F) = \sim F \to F = T \to F = F$।
પગલું $8$: સત્યતા મૂલ્યો $(T, F)$ છે.

(C) $1$. પ્રત્યય $p \to (q \lor \sim r)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $p$ સત્ય $(T)$ હોય અને $(q \lor \sim r)$ અસત્ય $(F)$ હોય.
$2$. $(q \lor \sim r)$ અસત્ય હોવા માટે, $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ અને $\sim r$ એ $F$ હોવું જોઈએ. તેથી $q = F$ અને $r = T$ છે.
$3$. આપણી પાસે $p = T$, $q = F$, અને $r = T$ છે.
$4$. $(p \leftrightarrow q) \land r$ ની કિંમત શોધો: $(T \leftrightarrow F) \land T = F \land T = F$.
$5$. $\sim p \to \sim q$ ની કિંમત શોધો: $\sim T \to \sim F = F \to T = T$.
$6$. સત્ય મૂલ્યો $F, T$ છે.

(C) ધારો કે $V$ એ વિધાન 'વોલ્ટેજ વધે છે' છે અને $C$ એ વિધાન 'પ્રવાહ ઘટે છે' છે.
$p: V \implies C$
$q: \neg V \implies \neg C$
$r: C \implies V$
$s: \neg C \implies \neg V$
$1$. શરતી વિધાન $A \implies B$ નું પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ છે, અને તે તાર્કિક રીતે સમાન છે.
$2$. $p: V \implies C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $\neg C \implies \neg V$ છે, જે $s$ છે. તેથી, $p$ અને $s$ સમાન છે.
$3$. $q: \neg V \implies \neg C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $\neg(\neg C) \implies \neg(\neg V)$ છે, જેનું સાદું રૂપ $C \implies V$ થાય છે, જે $r$ છે. તેથી, $q$ અને $r$ સમાન છે.
તેથી, સમાન અર્થ ધરાવતી જોડીઓ $(p, s)$ અને $(q, r)$ છે.

(B) ધારો કે $A = (p \land q)$ અને $B = (\sim p \lor r)$ છે.
આપેલ વિધાન પેટર્ન $(A \to B) \lor (B \to A)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$ અને $(B \to A) \equiv (\sim B \lor A)$ થાય છે.
તેથી, પદાવલિ $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ બને છે.
ક્રમના અને જૂથના નિયમો દ્વારા, આ $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ ને સમતુલ્ય છે.
કારણ કે $(\sim A \lor A) \equiv T$ (પુનરુક્તિ) અને $(\sim B \lor B) \equiv T$ થાય છે, પદાવલિ $T \lor T$ બને છે, જે $T$ છે.
તેથી, વિધાન પેટર્ન એક પુનરુક્તિ છે.

(A) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ છે.
ગર્ભિતાર્થ (implication) ના નિયમ $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરતા, $S \equiv \sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ મળે છે.
$S$ નું નિષેધ $\sim S = \sim [\sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)]$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim (A \lor B) = \sim A \land \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા, $\sim S = (p \land q) \land \sim (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ મળે છે.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા, $\sim S = (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$ મળે છે.
કારણ કે $(p \land q) \land q = p \land q$, તેથી $\sim S = (p \land q) \land (p \lor r) = q \land (p \land (p \lor r))$ છે.
શોષણના નિયમ (absorption law) મુજબ, $p \land (p \lor r) = p$, તેથી $\sim S = q \land p = p \land q$ થાય છે.

(C) પગલું $1$: $S_1$ નું વિશ્લેષણ કરો. $n=1$ માટે, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી, $S_1$ સત્ય છે.
પગલું $2$: $S_2$ નું વિશ્લેષણ કરો. $x=1$ માટે, $1-17 = -16 < 20$. તેથી, $S_2$ સત્ય છે.
પગલું $3$: $S_3$ નું વિશ્લેષણ કરો. સમીકરણ $x^2+3x-10=0$ ના અવયવો $(x+5)(x-2)=0$ છે, જે $x=-5$ અથવા $x=2$ આપે છે. આ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય નથી. તેથી, $S_3$ અસત્ય છે.
પગલું $4$: $S_4$ નું વિશ્લેષણ કરો. તમામ $n \in N$ (જ્યાં $N = \{1, 2, 3, ...\}$) માટે, $n \geq 1$, તેથી $n^2 \geq 1$. તેથી, $S_4$ સત્ય છે.
પગલું $5$: નિષ્કર્ષ. માત્ર $S_3$ અસત્ય છે.

(D) પગલું $1$: આપેલ વિધાન $p \lor q$ છે. વિધાન $p \to q$ નું પ્રતિવિધાન $q \to p$ છે. તર્કશાસ્ત્રના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં, $p \lor q$ નું પ્રતિવિધાન એ $p \to q$ ના પ્રતિવિધાન તરીકે લેવામાં આવે છે, જે $q \to p$ છે.
પગલું $2$: ગર્ભિતાર્થ $q \to p$ નું નિષેધ $\sim(q \to p)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પગલું $3$: તાર્કિક સમાનતા $\sim(q \to p) \equiv q \land \sim p$ નો ઉપયોગ કરતા.
પગલું $4$: તેથી, નિષેધ $q \land \sim p$ છે, જે $\sim p \land q$ ને સમાન છે.

(D) શરતી વિધાન $P \to Q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ છે.
અહીં, $P = [p \lor (p \to q)]$ અને $Q = (p \land \sim q)$ છે.
પ્રથમ, $\sim Q$ શોધો: $\sim (p \land \sim q) = \sim p \lor \sim (\sim q) = \sim p \lor q$.
આગળ, $\sim P$ શોધો: $\sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q) = \sim p \land \sim (\sim p \lor q) = \sim p \land (p \land \sim q)$.
આમ, પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ એ $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા, વિકલ્પ $(D)$ સાચું સ્વરૂપ છે.

(D) પગલું $1$: $(I)$ નું વિશ્લેષણ કરો. નિયમ $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$ નો ઉપયોગ કરતા. તેથી, $(I)$ સાચું છે.
પગલું $2$: $(II)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। આ $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ ને સમાન નથી. તેથી, $(II)$ ખોટું છે.
પગલું $3$: $(III)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \to r) \land (q \to r)$। આ $(p \to r) \land (\sim q \to r)$ ને સમાન નથી. તેથી, $(III)$ ખોટું છે.
પગલું $4$: $(IV)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor \sim q \lor r$। તેમજ, $q \to (p \to r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv \sim q \lor \sim p \lor r$। બંને સમાન છે. તેથી, $(IV)$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: $(I)$ અને $(IV)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે $S_1, S_2, S_3$ સ્વિચ છે. સર્કિટ ત્રણ સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે.
શાખા $1$: $S_1$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં, જેને $S_1 \land S_2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
શાખા $2$: $S_1'$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં, જેને $S_1' \land S_2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
શાખા $3$: $S_3$ અને $S_2'$ શ્રેણીમાં, જેને $S_3 \land S_2'$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કુલ સર્કિટ આ શાખાઓનું સમાંતર જોડાણ છે:
$L = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
પ્રથમ બે પદો પર વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = ((S_1 \lor S_1') \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
કારણ કે $S_1 \lor S_1' = T$ (એક પુનરુક્તિ, હંમેશા બંધ):
$L = (T \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
$L = S_2 \lor (S_3 \land S_2')$
ફરીથી વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = (S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$
કારણ કે $S_2 \lor S_2' = T$:
$L = S_2 \lor S_3$
આ સરળ સર્કિટ માટે $2$ સ્વિચ ($S_2$ અને $S_3$) ની જરૂર છે.

(C) પગલું $1$: આપેલ વિધાન પેટર્ન $( \sim p \land q) \lor ( \sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ ને સરળ બનાવો.
પગલું $2$: પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરો: $( \sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$.
પગલું $3$: કારણ કે $(q \lor \sim q) \equiv T$, પદાવલિ $( \sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ બને છે.
પગલું $4$: ફરીથી વિભાજનનો નિયમ લાગુ કરો: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$.
પગલું $5$: આપેલ છે કે સત્ય મૂલ્ય $F$ છે, તેથી $\sim p \lor \sim q \equiv F$. આનો અર્થ એ છે કે $\sim p \equiv F$ (તેથી $p \equiv T$) અને $\sim q \equiv F$ (તેથી $q \equiv T$).
પગલું $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor \sim T) \equiv (T \lor F) \equiv T$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
પગલું $7$: $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
પગલું $8$: સત્ય મૂલ્યો $T, T$ છે.

(C) ધારો કે $1$ એ ચાલુ સ્થિતિ દર્શાવે છે અને $0$ એ બંધ સ્થિતિ દર્શાવે છે.
ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ એ સ્વિચની સ્થિતિ છે.
$S'_1$ અને $S'_2$ એ અનુક્રમે $S_1$ અને $S_2$ ના પૂરક છે.
સર્કિટને બુલિયન અભિવ્યક્તિ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
આ અભિવ્યક્તિ $XNOR$ ગેટ ઓપરેશનની સમકક્ષ છે, જે ફક્ત ત્યારે જ $1$ (પ્રકાશિત) આઉટપુટ આપે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ સમાન હોય.
તેથી, રૂમ ત્યારે પ્રકાશિત થાય છે જ્યારે $S_1 = S_2$ હોય, જેનો અર્થ છે કે બંને ચાલુ છે અથવા બંને બંધ છે.

(A) પગલું $1$: પુનરુક્તિ (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ સંભવિત સત્ય મૂલ્યો માટે સત્ય હોય છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(A)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
પગલું $3$: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવો:
- જો $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
- જો $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
- જો $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
- જો $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
પગલું $4$: કારણ કે તમામ સત્ય મૂલ્યો $T$ છે, તેથી આ વિધાન એક પુનરુક્તિ છે।

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ છે.
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ $S = (p \lor q) \land \sim q \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$.
સૌ પ્રથમ, $(p \lor q) \land \sim q$ નું મૂલ્યાંકન કરો. વિભાજનના નિયમ દ્વારા, આ $(p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)$ છે. કારણ કે $(q \land \sim q) = F$ (એક વ્યાઘાત) છે, તેથી આ સરળ બનીને $(p \land \sim q) \lor F = (p \land \sim q)$ થાય છે.
હવે આને $S$ માં પાછું મૂકતા: $S = (p \land \sim q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$.
ધારો કે $A = (p \land \sim q)$ છે. તો $S = A \land [(\sim p \land q) \lor A]$ થશે.
શોષણના નિયમ મુજબ, $A \land (B \lor A) = A$ થાય છે.
તેથી, $S = A = (p \land \sim q)$.

(C) ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ એ સમાંતર (parallel) માં જોડાયેલી બે સ્વિચ છે. લેમ્પ $L$ ત્યારે જ પ્રકાશિત થશે જો કાં તો $S_1$ બંધ હોય અથવા $S_2$ બંધ હોય.
બુલિયન બીજગણિતમાં, આને $S_1 \lor S_2$ ($OR$ ગેટ લોજિક) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$OR$ ઓપરેશન માટે સર્કિટ ડાયાગ્રામમાં સમાંતરમાં જોડાયેલી બે સ્વિચ હોય છે.
વિકલ્પો જોતા:
$(A)$ એક સિંગલ સ્વિચ $S_1$ દર્શાવે છે.
$(B)$ એક સિંગલ સ્વિચ $S_2$ દર્શાવે છે.
$(C)$ સમાંતરમાં જોડાયેલી બે સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ દર્શાવે છે.
$(D)$ શ્રેણીમાં (series) જોડાયેલી બે સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ દર્શાવે છે.
તેથી, સમાંતર જોડાણ દર્શાવતી સર્કિટ $(C)$ છે.

(C) $1$. શરતી વિધાન $\sim p \to q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ એ $T$ હોય અને $q$ એ $F$ હોય.
$2$. કારણ કે $\sim p = T$ છે, તેથી $p = F$ થશે.
$3$. દ્વિ-શરતી વિધાન $q \leftrightarrow r$ ત્યારે અસત્ય હોય જ્યારે $q$ અને $r$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોય.
$4$. આપણે જાણીએ છીએ કે $q = F$ છે, તેથી $q \leftrightarrow r$ ને અસત્ય થવા માટે $r$ નું મૂલ્ય $T$ હોવું જોઈએ.
$5$. આમ, સત્ય મૂલ્યો $p = F$, $q = F$, અને $r = T$ છે.

(C) આપેલ સત્ય મૂલ્યો: $p = T$, $q = F$, $r = T$।
$(A)$ $[q \land (p \to q)] \to p = [F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$।
$(B)$ $(p \land q) \to (q \lor \sim p) = (T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$।
$(C)$ $[(\sim p \lor q) \land \sim r] \leftrightarrow p = [(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$।
$(D)$ $(p \land q) \lor (\sim q \lor r) = (T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$।
વિકલ્પ $(C)$ નું પરિણામ $F$ હોવાથી, તે સત્ય વિધાન નથી.

(C) પગલું $1$: ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ અસત્ય હોવા માટે, $A$ સત્ય અને $B$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $2$: $B = (p \land q)$ અસત્ય છે, તેથી $p$ અથવા $q$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અસત્ય છે.
પગલું $3$: $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ સત્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે $(p \lor q)$ સત્ય છે, $(q \to r)$ સત્ય છે, અને $(\sim r)$ સત્ય છે.
પગલું $4$: કારણ કે $(\sim r)$ સત્ય છે, $r$ અસત્ય છે. કારણ કે $(q \to r)$ સત્ય છે અને $r$ અસત્ય છે, તેથી $q$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $5$: કારણ કે $(p \lor q)$ સત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે, તેથી $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $6$: આમ, $p = T, q = F, r = F$ છે.
પગલું $7$: વિકલ્પો તપાસો:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન).
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન).
$(C)$ $(\sim q) \to p = T \to T = T$ (અસત્ય વિધાન, કારણ કે તે સત્ય છે).
$(D)$ $(\sim p) \land r = F \land F = F$ (સત્ય વિધાન).
પગલું $8$: વિકલ્પ $(C)$ એ છે જે સત્ય નથી.

(B) પગલું $1$: આપેલ વિધાન $S = \sim p \lor q$ છે.
પગલું $2$: વિધાન $p \implies q$ નો પ્રતિલોમ $\sim p \implies \sim q$ થાય છે, જે $\sim(\sim p) \lor \sim q = p \lor \sim q$ ને સમાન છે.
પગલું $3$: આ પ્રતિલોમનું નિષેધ $\sim(p \lor \sim q)$ છે.
પગલું $4$: ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim(p \lor \sim q) = \sim p \land \sim(\sim q) = \sim p \land q$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પગલું $1$: વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ કરો. ધારો કે $P$ એ '$1$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી' (સત્ય) છે અને $Q$ એ '$2$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી' (અસત્ય) છે. ગર્ભિતાર્થ $P \implies Q$ એ $T \implies F$ છે, જે અસત્ય છે.
પગલું $2$: વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$e$ એક સ્વર છે' સત્ય છે અને '$12 \times 3 = 36$' સત્ય છે. બંને સત્ય હોવાથી, સંયોજન સત્ય છે.
પગલું $3$: વિધાન $III$ નું વિશ્લેષણ કરો. ધારો કે $P$ એ '$14$ એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે' (સત્ય) છે અને $Q$ એ '$3$ એક બેકી સંખ્યા છે' (અસત્ય) છે. સંયોજન $P \land Q$ અસત્ય છે. વિધાન 'તે સત્ય નથી કે $P \land Q$' એ $\neg(F)$ છે, જે સત્ય છે.
પગલું $4$: વિધાન $IV$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે' સત્ય છે. '$3 + \sqrt{5}$ એક સંકર સંખ્યા છે' સત્ય છે (કારણ કે બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સંકર સંખ્યાઓ છે). બંને સત્ય હોવાથી, વિધાન સત્ય છે.
પગલું $5$: નિષ્કર્ષ. માત્ર વિધાન $I$ અસત્ય છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $1$. $p$ નું મૂલ્યાંકન કરો: $3^4 = 81$ અને $4^3 = 64$, તેથી $3^4 > 4^3$ સત્ય છે. $3^3 = 27$ અને $4^4 = 256$, તેથી $3^3 > 4^4$ અસત્ય છે. ગર્ભિતાર્થ $T \implies F$ અસત્ય છે. આમ, $p$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
$2$. $q$ નું મૂલ્યાંકન કરો: $x^2 - 2x + 2 = 0$ નો વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ છે. બીજ સંકર છે, વાસ્તવિક નથી. તેથી, પ્રથમ ભાગ $F$ છે. 'મુંબઈ મહારાષ્ટ્રમાં છે' $T$ છે. દ્વિ-શરતી વિધાન $F \iff T$ અસત્ય છે. આમ, $q$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
$3$. $r$ નું મૂલ્યાંકન કરો: $r$ એટલે $p \lor \neg q$. કારણ કે $p$ નું મૂલ્ય $F$ છે અને $\neg q$ નું મૂલ્ય $T$ છે $(F \lor T)$, તેથી $r$ નું મૂલ્ય $T$ છે.
$4$. વિકલ્પો તપાસો:
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$
તેથી, વિકલ્પ $(D)$ સત્ય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 3x^3 + 4e^x$ અને $g(x) = f^{-1}(x)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ જ્યાં $y = f(x)$ છે.
સૌ પ્રથમ, $x$ ની કિંમત શોધો જેથી $f(x) = 4$ થાય: $3x^3 + 4e^x = 4$. નિરીક્ષણ દ્વારા, $x = 0$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે કારણ કે $3(0)^3 + 4e^0 = 0 + 4(1) = 4$ થાય છે.
હવે, $f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 + 4e^x) = 9x^2 + 4e^x$ શોધો.
$x = 0$ પર, $f'(0) = 9(0)^2 + 4e^0 = 0 + 4 = 4$ થાય છે.
તેથી, $g'(4) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{4}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ અને $g(x)$ પ્રતિવિધેયો છે, તેથી $f(g(x)) = x$ થાય.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1$ મળે.
તેથી, $g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$ થાય.
$f(x) = x + e^x$ હોવાથી, તેનું વિકલિત $f'(x) = 1 + e^x$ મળે.
$f'(x)$ માં $g(x)$ મૂકતા, આપણને $f'(g(x)) = 1 + e^{g(x)}$ મળે છે.
આમ, $g'(x) = \frac{1}{1 + e^{g(x)}}$ થાય.

(C) ધારો કે $y = \tan^{-1}(a + bx)$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (a + bx)^2} \cdot \frac{d}{dx}(a + bx) = \frac{b}{1 + (a + bx)^2}$.
આપેલ છે કે $x = 0$ પર, $\frac{dy}{dx} = 1$:
$\frac{b}{1 + (a + 0)^2} = 1 \implies \frac{b}{1 + a^2} = 1 \implies b = 1 + a^2$.
આપણે $a^6 - b^3$ શોધવાનું છે. $b = 1 + a^2$ મૂકતા:
$a^6 - (1 + a^2)^3 = a^6 - (1^3 + 3(1)^2(a^2) + 3(1)(a^2)^2 + (a^2)^3)$.
$a^6 - (1 + 3a^2 + 3a^4 + a^6) = -1 - 3a^2 - 3a^4$.
જો $a=0$ લેવામાં આવે, તો $b=1$ મળે, જેથી $a^6 - b^3 = -1$ થાય. વિકલ્પ $C$ માં $a=0$ મૂકતા $-1$ મળે છે. તેથી, $C$ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) ધારો કે $y = \sin^2 \{ \cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \}$ છે.
ધારો કે $x = \cos \theta$, તો $\theta = \cos^{-1} x$ થાય.
$\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$ થાય.
તેથી, $\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \cot^{-1}(\tan(\theta/2)) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા, $y = \sin^2(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}) = \cos^2(\theta/2) = \frac{1+\cos \theta}{2}$ મળે.
કારણ કે $x = \cos \theta$ છે, તેથી $y = \frac{1+x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}$ થાય.
હવે, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} + \frac{x}{2}) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.

(C) આપેલ છે $y = \cos^{-1}(\sin x)$।
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$।
તેથી, $y = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x))$।
કારણ કે $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})$।
કારણ કે $0 < x - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2}$, પદ $y = \cos^{-1}(\cos(x - \frac{\pi}{2})) = x - \frac{\pi}{2}$ બને છે।
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x - \frac{\pi}{2}) = 1$।

(A) ધારો કે $u = 2^x$ છે. તેથી $4^x = (2^x)^2 = u^2$ થશે.
પદાવલિ $y = \cos^{-1} \left( \frac{1-u^2}{1+u^2} \right)$ બને છે.
$u = \tan \theta$ આદેશ લેતા, આપણને મળે છે $y = \cos^{-1} \left( \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} \right) = \cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1} u = 2 \tan^{-1} (2^x)$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(2^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2^x) = \frac{2}{1+4^x} \cdot 2^x \log 2$.
$x = 1$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cdot 2^1 \log 2}{1+4^1} = \frac{4 \log 2}{5}$.

(C) ધારો કે $x = \tan \theta$. $0 < a < \frac{1}{2}$ માટે, $x = \tan \theta$ જ્યાં $\theta \in (0, \pi/6)$ છે.
$f(x) = \cot^{-1}(\tan 3\theta) = \cot^{-1}(\cot(\pi/2 - 3\theta)) = \pi/2 - 3\theta = \pi/2 - 3\tan^{-1} x$.
$g(x) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1} x$.
હવે, $\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{(\pi/2 - 3\tan^{-1} x) - (\pi/2 - 3\tan^{-1} a)}{(2\tan^{-1} x) - (2\tan^{-1} a)} = \frac{-3(\tan^{-1} x - \tan^{-1} a)}{2(\tan^{-1} x - \tan^{-1} a)}$.
$x \to a$ લક્ષ લેતા, આપણને $\frac{-3}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $y = \cot^{-1} \left( \frac{1 + \sin 5x}{\cos 5x} \right)$।
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \sin \theta = \left( \cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \right)^2$ અને $\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \cot^{-1} \left( \frac{(\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2})^2}{(\cos \frac{5x}{2} - \sin \frac{5x}{2})(\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2})} \right)$
$y = \cot^{-1} \left( \frac{\cos \frac{5x}{2} + \sin \frac{5x}{2}}{\cos \frac{5x}{2} - \sin \frac{5x}{2}} \right)$
અંશ અને છેદને $\cos \frac{5x}{2}$ વડે ભાગતા:
$y = \cot^{-1} \left( \frac{1 + \tan \frac{5x}{2}}{1 - \tan \frac{5x}{2}} \right) = \cot^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{5x}{2} \right) \right)$
કારણ કે $\cot^{-1}(\tan \theta) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - \theta))$, આપણને મળે છે:
$y = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \frac{5x}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{5x}{2}$
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{\pi}{4} - \frac{5x}{2}) = -\frac{5}{2}$।

(A) ધારો કે $x = 5 \tan \theta$, તો $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{x}{5} \right)$.
પદાવલિમાં કિંમત મૂકતા: $y = \sin^{-1} \left( \frac{25 - 25 \tan^2 \theta}{25 + 25 \tan^2 \theta} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = \sin^{-1} (\cos 2\theta)$.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે $y = \sin^{-1} \left( \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right) \right) = \frac{\pi}{2} - 2\theta$.
$\theta$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $y = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1} \left( \frac{x}{5} \right)$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $y' = 0 - 2 \cdot \frac{1}{1 + (x/5)^2} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{1 + x^2/25} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{25 + x^2} = -\frac{10}{25 + x^2}$.
$x = 1$ માટે: $y'(1) = -\frac{10}{25 + 1^2} = -\frac{10}{26} = -\frac{5}{13}$.

(D) ધારો કે $x = \cos \theta$, તો $\theta = \cos^{-1} x$ થાય.
$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2\sin^2(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$ થાય.
હવે, $\cot^{-1}(\tan(\theta/2)) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$ થાય.
આને $y$ ના પદમાં મૂકતા:
$y = \cos^2(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}) = \sin^2(\theta/2)$ થાય.
નિત્યસમ $\sin^2(\theta/2) = \frac{1-\cos \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{1-x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{x}{2}$ થાય.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} - \frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$ થાય.

(B) ધારો કે $u = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{x} \right)$. $x = \tan \theta$ લેતા, $\theta = \tan^{-1} x$ થાય.
$u = \tan^{-1} \left( \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$ થાય.
તેથી, $\frac{du}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)}$ મળે.
ધારો કે $v = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$. $|x| \le 1$ માટે, $v = 2 \tan^{-1} x$ થાય.
તેથી, $\frac{dv}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$ મળે.
$v$ ની સાપેક્ષે $u$ નું વિકલિત $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{1/(2(1+x^2))}{2/(1+x^2)} = \frac{1}{4}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\cot[f(x)] = \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} = \tan(3\theta)$ જ્યાં $x = \tan \theta$ છે. તેથી, $f(x) = \text{arccot}(\tan(3\theta)) = \frac{\pi}{2} - 3\arctan(x)$.
તેથી $f'(x) = -\frac{3}{1+x^2}$.
આપેલ છે કે $\sin[g(x)] = \frac{1 - x^2}{1 + x^2} = \cos(2\theta)$ જ્યાં $x = \tan \theta$ છે. તેથી, $g(x) = \arcsin(\cos(2\theta)) = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 2\theta)) = \frac{\pi}{2} - 2\arctan(x)$.
તેથી $g'(x) = -\frac{2}{1+x^2}$.
એલ'હોપિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\lim_{x \to t} \frac{f(x) - f(t)}{g(x) - g(t)} = \frac{f'(t)}{g'(t)} = \frac{-3/(1+t^2)}{-2/(1+t^2)} = \frac{3}{2}$.

(B) ધારો કે $u = \log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$ અને $v = \log_x 10 = \frac{\ln 10}{\ln x}$ છે.
આપણે $\frac{du}{dv}$ શોધવાનું છે.
નોંધો કે $v = \frac{1}{u}$ થાય છે.
તેથી, $\frac{dv}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$ થશે.
તેથી, $\frac{du}{dv} = \frac{1}{dv/du} = -u^2$ થશે.
કારણ કે $u = \log_{10} x$ છે, તેથી $\frac{du}{dv} = -(\log_{10} x)^2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = (x+1)(2x+1)(3x+1) \dots (nx+1)$ છે. તેથી $y = [f(x)]^4$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{dy}{dx} = 4[f(x)]^3 \cdot f'(x)$ મળે.
$x = 0$ આગળ, $f(0) = (1)(1)(1) \dots (1) = 1$ થાય.
$f'(0)$ શોધવા માટે, આપણે લઘુગણકીય વિકલન (logarithmic differentiation) નો ઉપયોગ કરીએ: $\ln f(x) = \sum_{i=1}^{n} \ln(ix+1)$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{ix+1}$ મળે.
$x = 0$ આગળ, $\frac{f'(0)}{f(0)} = \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ થાય.
કારણ કે $f(0) = 1$ છે, તેથી $f'(0) = \frac{n(n+1)}{2}$ મળે.
હવે, $\frac{dy}{dx} \big|_{x=0} = 4[f(0)]^3 \cdot f'(0) = 4(1)^3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 2n(n+1)$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} \big|_{x=0} = 2k$, તેથી $2k = 2n(n+1)$, જેનાથી $k = n(n+1)$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $y = (x^2 + 1)^{\sin x}$।
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln y = \sin x \cdot \ln(x^2 + 1)$।
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(x^2 + 1) + \sin x \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x$।
તેથી, $\frac{dy}{dx} = y [\frac{2x \sin x}{x^2 + 1} + \cos x \cdot \ln(x^2 + 1)]$।
આને આપેલ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} = y [\frac{2x \sin x}{g(x)} + \cos x \cdot \log(g(x))]$ સાથે સરખાવતા, આપણને $g(x) = x^2 + 1$ મળે છે।
આપણે વિધેય $f(x) = \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{x^2 + 1}$ નું વિશ્લેષણ કરવાનું છે.
$x > 0$ માટે, જેમ $x$ વધે છે, તેમ $x^2 + 1$ વધે છે.
કારણ કે $x^2 + 1$ છેદમાં છે અને હંમેશા ધન છે, તેથી જેમ $x^2 + 1$ વધે છે, તેમ $\frac{1}{x^2 + 1}$ ઘટે છે.
ખાસ કરીને, $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$। કારણ કે $x > 0$, તેથી $f'(x) < 0$।
તેથી, વિધેય ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ છે $x = \sin(t)$, તેથી $\frac{dx}{dt} = \cos(t)$.
આપેલ છે $y = \cos(pt)$, તેથી $\frac{dy}{dt} = -p \sin(pt)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-p \sin(pt)}{\cos(t)}$.
કારણ કે $\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - x^2}$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{-p \sin(pt)}{\sqrt{1 - x^2}}$.
આમ, $\sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = -p \sin(pt)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} \right) = -p^2 \cos(pt) \frac{dt}{dx}$.
કારણ કે $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos(t)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, આપણને મળે છે:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \frac{dy}{dx} = -p^2 \frac{\cos(pt)}{\sqrt{1 - x^2}}$.
આખા સમીકરણને $\sqrt{1 - x^2}$ વડે ગુણતા:
$(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = -p^2 \cos(pt) = -p^2 y$.

(D) આપેલ છે $x = at^2 - 1$ અને $y = t^3 + 1$.
પ્રથમ, $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો: $\frac{dx}{dt} = 2at$ અને $\frac{dy}{dt} = 3t^2$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3t^2}{2at} = \frac{3t}{2a}$.
હવે, દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{3t}{2a}) = \frac{d}{dt}(\frac{3t}{2a}) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{3}{2a} \cdot \frac{1}{2at} = \frac{3}{4a^2t}$ મેળવો.
$t = 1$ પર, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4a^2(1)} = \frac{3}{4a^2}$.
આપેલ છે કે $\frac{3}{4a^2} = \frac{3}{16}$, તેથી $4a^2 = 16$, એટલે કે $a^2 = 4$.
કારણ કે $a > 0$, તેથી $a = 2$.

(C) આપેલ છે કે $x = a \sin^3 t$ અને $y = a \cos^3 t$.
$\frac{dx}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$ અને $\frac{dy}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-3a \cos^2 t \sin t}{3a \sin^2 t \cos t} = -\cot t$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot t) = \frac{d}{dt}(-\cot t) \cdot \frac{dt}{dx} = \csc^2 t \cdot \frac{1}{3a \sin^2 t \cos t}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3a \sin^4 t \cos t} = \frac{\sec t \csc^4 t}{3a}$.
$t = \frac{\pi}{3}$ આગળ, $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos t = \frac{1}{2}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3a (\sqrt{3}/2)^4 (1/2)} = \frac{1}{3a (9/16) (1/2)} = \frac{1}{27a/32} = \frac{32}{27a}$.

(D) આપેલ છે $x = 4t^3 + 3$ અને $y = 3t^4 + 4$।
$\frac{dx}{dt} = 12t^2$ અને $\frac{dy}{dt} = 12t^3$।
$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt} = \frac{12t^2}{12t^3} = \frac{1}{t} = t^{-1}$।
હવે, $\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy}) = \frac{d}{dt}(\frac{dx}{dy}) \cdot \frac{dt}{dy}$।
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dt}(t^{-1}) \cdot \frac{1}{12t^3} = (-t^{-2}) \cdot \frac{1}{12t^3} = -\frac{1}{12t^5}$।
આપેલ છે કે $\frac{d^2x}{dy^2} = (\frac{dx}{dy})^n$, તેથી $-\frac{1}{12t^5} = (t^{-1})^n = t^{-n}$।
સમીકરણ $-\frac{1}{12} (t^{-1})^5 = (\frac{dx}{dy})^5$ સાથે સરખાવતા, $n = 5$ મળે છે।

(C) આપેલ છે $y = \sqrt{\tan x + y}$।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $y^2 = \tan x + y$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $2y \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા, $(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \sec^2 x$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2 x}{2y - 1}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ પર, $\tan x = 1$. સમીકરણ $y^2 - y - \tan x = 0$ માં કિંમત મૂકતા, $y^2 - y - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $y$ ની કિંમત શોધતા, $y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. કારણ કે $y > 0$, તેથી $y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
ત્યારે $2y - 1 = 2(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) - 1 = \sqrt{5}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ પર, $\sec^2 x = (\sqrt{2})^2 = 2$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
તેથી, $(\frac{dy}{dx})^2 = (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{4}{5}$.

(A) આપેલ છે $x^3 + y^3 = 6$। $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{y^2}$।
હવે, $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y^2(2x) - x^2(2y \frac{dy}{dx})}{y^4} = -\frac{2xy^2 - 2x^2y(-\frac{x^2}{y^2})}{y^4} = -\frac{2xy^3 + 2x^4}{y^5} = -\frac{2x(y^3 + x^3)}{y^5}$।
કારણ કે $x^3 + y^3 = 6$, તેથી $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{12x}{y^5}$।
તે જ રીતે, સંમિતતા દ્વારા, $\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{12y}{x^5}$।
તેમનો ગુણાકાર કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} \cdot \frac{d^2x}{dy^2} = (-\frac{12x}{y^5})(-\frac{12y}{x^5}) = \frac{144}{x^4 y^4} = \frac{144}{(xy)^4}$।
$\frac{m}{(xy)^n}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $m = 144$ અને $n = 4$ મળે છે.
તેથી, $\frac{m}{n} = \frac{144}{4} = 36$।

(A) આપેલ છે $\sqrt{y + x} + \sqrt{y - x} = c$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(y + x) + (y - x) + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2 \implies 2y + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2 \implies \sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $y^2 - x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y + y^2 \implies -x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y \implies c^2y = x^2 + \frac{c^4}{4}$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $c^2 \frac{dy}{dx} = 2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{c^2}$.
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$ પરથી, આપણી પાસે $\frac{c^2}{2} = y + \sqrt{y^2 - x^2}$ છે.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2(y + \sqrt{y^2 - x^2})} = \frac{x}{y + \sqrt{y^2 - x^2}} = \frac{x}{y + y\sqrt{1 - (x/y)^2}} = \frac{x/y}{1 + \sqrt{1 - (x/y)^2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{x/y (1 - \sqrt{1 - (x/y)^2})}{1 - (1 - (x/y)^2)} = \frac{x/y (1 - \sqrt{1 - (x/y)^2})}{(x/y)^2} = \frac{1 - \sqrt{1 - (x/y)^2}}{x/y} = \frac{y}{x} - \sqrt{(y/x)^2 - 1}$.
$\frac{dy}{dx} = f(x) - \sqrt{[f(x)]^2 - 1}$ સાથે સરખાવતા, $f(x) = \frac{y}{x}$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: $x = 0$ આગળ $y$ શોધો. $e^y + xy = e$ માં $x = 0$ મૂકતા, $e^y + 0 = e$, તેથી $y = 1$ મળે છે.
પગલું $2$: $e^y + xy = e$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $e^y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
પગલું $3$: $x = 0, y = 1$ ને વિકલિતમાં મૂકતા: $e^1 \frac{dy}{dx} + 1 + 0 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$.
પગલું $4$: $e^y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$ નું ફરીથી વિકલન કરતા: $e^y (\frac{dy}{dx})^2 + e^y \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
પગલું $5$: $x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ ને દ્વિતીય વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $e^1(-\frac{1}{e})^2 + e^1 \frac{d^2y}{dx^2} + 2(-\frac{1}{e}) + 0 = 0$.
પગલું $6$: સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{e} + e \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{e} = 0 \implies e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$.
પગલું $7$: ક્રમિત જોડ $(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2})$ છે.

(A) આપેલ છે $y^m + y^{-m} = 2x$।
$x$ ની સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$m y^{m-1} \frac{dy}{dx} - m y^{-m-1} \frac{dy}{dx} = 2$।
$\frac{dy}{dx} (m y^{m-1} - m y^{-m-1}) = 2$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{m(y^{m-1} - y^{-m-1})} = \frac{2y}{m(y^m - y^{-m})}$।
આપેલ સમીકરણ પરથી, $(y^m - y^{-m})^2 = (y^m + y^{-m})^2 - 4 = (2x)^2 - 4 = 4(x^2 - 1)$।
તેથી, $y^m - y^{-m} = 2\sqrt{x^2 - 1}$।
આ કિંમત વિકલિતમાં મૂકતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{m(2\sqrt{x^2 - 1})} = \frac{y}{m\sqrt{x^2 - 1}}$।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{y^2}{m^2(x^2 - 1)}$।
તેથી, $(x^2 - 1) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{y^2}{m^2}$।

(B) આપેલ સમીકરણ: $x e^{xy} = y + \sin^2 x$ છે.
પગલું $1$: $x = 0$ આગળ $y$ ની કિંમત શોધો.
સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $0 \cdot e^{0} = y + \sin^2(0) \implies 0 = y + 0 \implies y = 0$ મળે.
પગલું $2$: ગુણાકારનો નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરો:
$\frac{d}{dx}(x e^{xy}) = \frac{d}{dx}(y + \sin^2 x)$
$e^{xy} + x \cdot e^{xy} \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + 2 \sin x \cos x$ મળે.
પગલું $3$: વિકલિત સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$e^{0} + 0 \cdot e^{0} \cdot (0 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + 2 \sin(0) \cos(0)$
$1 + 0 = \frac{dy}{dx} + 0$
$\frac{dy}{dx} = 1$ મળે.

(A) આપેલ છે $y = \sqrt{p x^3 y}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $y^2 = p x^3 y$ મળે છે. $y \neq 0$ હોવાથી, $y$ વડે ભાગતા $y = p x^3$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષે બંને બાજુ વિકલન કરતા, $\frac{dy}{dx} = 3 p x^2$ મળે છે.
આપેલ છે કે જ્યારે $y = 1$ હોય ત્યારે $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}$ છે. $y = p x^3$ પરથી, જ્યારે $y = 1$, ત્યારે $1 = p x^3$, તેથી $x^3 = \frac{1}{p}$, જેનો અર્થ છે $x = p^{-1/3}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}$ અને $x = p^{-1/3}$ ને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{3}{2} = 3 p (p^{-1/3})^2$
$\frac{3}{2} = 3 p (p^{-2/3})$
$\frac{3}{2} = 3 p^{1/3}$
$\frac{1}{2} = p^{1/3}$
$p = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં સાચું મૂલ્ય $\frac{1}{8}$ નથી. જો પ્રશ્નમાં $y^2 = p x^3$ ની ભૂલ હોય તેમ માનીએ, તો $p = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3y^2 - 2xy - x = 0$ છે.
સૌ પ્રથમ, જ્યારે $y = 2$ હોય ત્યારે $x$ ની કિંમત શોધો: $3(2)^2 - 2x(2) - x = 0 \implies 12 - 4x - x = 0 \implies 12 = 5x \implies x = \frac{12}{5}$.
સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો: $\frac{d}{dx}(3y^2) - \frac{d}{dx}(2xy) - \frac{d}{dx}(x) = 0$.
$6y \frac{dy}{dx} - (2y + 2x \frac{dy}{dx}) - 1 = 0$.
$y = 2$ અને $x = \frac{12}{5}$ મૂકતા: $6(2) \frac{dy}{dx} - 2(2) - 2(\frac{12}{5}) \frac{dy}{dx} - 1 = 0$.
$12 \frac{dy}{dx} - 4 - \frac{24}{5} \frac{dy}{dx} - 1 = 0$.
$(12 - \frac{24}{5}) \frac{dy}{dx} = 5$.
$(\frac{60 - 24}{5}) \frac{dy}{dx} = 5$.
$\frac{36}{5} \frac{dy}{dx} = 5$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{25}{36}$.

(C) આપેલ છે $x^m + y^m = k$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$mx^{m-1} + my^{m-1} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{m-1}}{y^{m-1}}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left[ \frac{(m-1)x^{m-2}y^{m-1} - x^{m-1}(m-1)y^{m-2} \frac{dy}{dx}}{(y^{m-1})^2} \right]$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{m-1}}{y^{m-1}}$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left[ \frac{(m-1)x^{m-2}y^{m-1} - x^{m-1}(m-1)y^{m-2} (-\frac{x^{m-1}}{y^{m-1}})}{y^{2m-2}} \right] = -\frac{(m-1)x^{m-2}y^{2m-2} + (m-1)x^{2m-2}y^{m-2}}{y^{3m-3}}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(m-1)x^{m-2}y^{m-2}(y^m + x^m)}{y^{3m-3}} = -\frac{(m-1)x^{m-2}k}{y^{2m-1}}$ થાય છે.
$\frac{ax^b}{y^c}$ સાથે સરખાવતા, $a = -k(m-1)$, $b = m-2$, $c = 2m-1$ મળે છે.
આપેલ છે $a + b + c = 0$, તેથી $-k(m-1) + (m-2) + (2m-1) = 0$.
$-k(m-1) + 3m - 3 = 0 \implies -k(m-1) + 3(m-1) = 0$.
કારણ કે $m \neq 1$, $(m-1)$ વડે ભાગતા $-k + 3 = 0$, તેથી $k = 3$.

(D) આપેલ છે $\sqrt{y + x} + \sqrt{y - x} = c$। બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y + x) + (y - x) + 2\sqrt{(y + x)(y - x)} = c^2$
$2y + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2$
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$y^2 - x^2 = (\frac{c^2}{2} - y)^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y + y^2$
$-x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y$
$c^2y = x^2 + \frac{c^4}{4}$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$c^2 \frac{dy}{dx} = 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{c^2}$
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$ પરથી, $c^2 = 2(\sqrt{y^2 - x^2} + y)$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx}$ માં $c^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2(\sqrt{y^2 - x^2} + y)} = \frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2} + y}$
અંશ અને છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(y - \sqrt{y^2 - x^2})}{y^2 - (y^2 - x^2)} = \frac{x(y - \sqrt{y^2 - x^2})}{x^2} = \frac{y - \sqrt{y^2 - x^2}}{x} = \frac{y}{x} - \sqrt{\frac{y^2}{x^2} - 1}$
$\frac{dy}{dx} = K - \sqrt{\frac{y^2}{x^2} - 1}$ સાથે સરખાવતા, $K = \frac{y}{x}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = 6$।
$\sqrt{xy}$ વડે ગુણતા: $x + y = 6\sqrt{xy}$।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + y)^2 = 36xy$।
$x^2 + 2xy + y^2 = 36xy \implies x^2 - 34xy + y^2 = 0$।
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(x^2) - 34\frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$।
$2x - 34(y + x\frac{dy}{dx}) + 2y\frac{dy}{dx} = 0$।
$2$ વડે ભાગતા: $x - 17y - 17x\frac{dy}{dx} + y\frac{dy}{dx} = 0$।
$x - 17y = \frac{dy}{dx}(17x - y)$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{x - 17y}{17x - y}$।

(B) આપેલ છે $y = \sin(e^{\log 2x})$.
ગુણધર્મ $e^{\log_e f(x)} = f(x)$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે પદાવલિને સરળ બનાવીએ:
$y = \sin(2x)$.
હવે, $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2\cos(2x)$.
વિકલિતમાં $x = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2\cos(\pi)$.
કારણ કે $\cos(\pi) = -1$, તેથી:
$\frac{dy}{dx} = 2(-1) = -2$.

(A) આપેલ છે $y = (x + (x^2 + 1)^{1/2})^{1/2}$.
ચેઈન રૂલ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x + (x^2 + 1)^{1/2})^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x + (x^2 + 1)^{1/2})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \cdot (1 + \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \cdot (\frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{2y\sqrt{x^2 + 1}}$

(D) આપેલ છે કે $\int f'(x) e^{x^2} dx = (x - 1) e^{x^2} + k$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) e^{x^2} = \frac{d}{dx} [(x - 1) e^{x^2}]$
$f'(x) e^{x^2} = (1) e^{x^2} + (x - 1) e^{x^2} (2x)$
$f'(x) e^{x^2} = e^{x^2} [1 + 2x^2 - 2x]$
$f'(x) = 2x^2 - 2x + 1$
$f'(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = \int (2x^2 - 2x + 1) dx$
$f(x) = \frac{2x^3}{3} - x^2 + x + c$
આમ, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે $y = \sin(2 \sin^{-1} x)$।
ધારો કે $\sin^{-1} x = \theta$, તો $x = \sin \theta$ થાય.
તેથી, $y = \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ થાય.
કારણ કે $\sin \theta = x$, તેથી $\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$ થાય.
આમ, $y = 2x \sqrt{1 - x^2}$ મળે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1 - x^2}) + \sqrt{1 - x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x) \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} + \sqrt{1 - x^2} \cdot 1 \right]$
$\frac{dy}{dx} = 2 \left[ \frac{-x^2 + (1 - x^2)}{\sqrt{1 - x^2}} \right] = 2 \left[ \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \right] = \frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$।

(A) ધારો કે $u = f(\sin x)$ અને $v = g(\sec x)$ છે. આપણે $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ શોધવાનું છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{du}{dx} = f'(\sin x) \cdot \cos x$ અને $\frac{dv}{dx} = g'(\sec x) \cdot \sec x \tan x$ થાય.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ, $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sec x = \sqrt{2}$, અને $\tan x = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{du}{dx} = f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
$\frac{dv}{dx} = g'(\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
તેથી, $\frac{du}{dv} = \frac{3/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2}$.

(B) $1$. $[1, 3]$ પર રોલેના પ્રમેય માટે, $f(1) = f(3)$ હોવું જોઈએ।
$f(1) = a + b + 5$ અને $f(3) = 27a + 9b + 27$।
$f(1) = f(3) \implies 13a + 4b = -11$ (સમીકરણ $1$)।
$2$. રોલેના પ્રમેય મુજબ $f'(c) = 0$।
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 11$।
$f'(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 3a(2 + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + 11 = 0$।
આને ઉકેલતા: $13a + 4b + 11 + \sqrt{3}(4a + \frac{2b}{3}) = 0$।
તેથી $4a + \frac{2b}{3} = 0 \implies b = -6a$।
$3$. $b = -6a$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $13a + 4(-6a) = -11 \implies -11a = -11 \implies a = 1, b = -6$।

(C) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ, અંતરાલ $[1, 5]$ પર વિકલનીય વિધેય $f(x)$ માટે, એક $c \in (1, 5)$ એવું મળે કે જેથી $\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c)$ થાય.
આપેલ છે કે $f'(x) \le 5$, તેથી $f'(c) \le 5$ થાય.
તેથી, $\frac{f(5) - 4}{4} \le 5$ થાય.
$f(5) - 4 \le 20$ થાય.
$f(5) \le 24$ થાય.
$f(5)$ ની મહત્તમ કિંમત $24$ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \log(x^2 + a) - \log(x)$।
રોલેનું પ્રમેય લાગુ પડતું હોવાથી, $f(3) = f(4)$।
$\log(9+a) - \log(3) = \log(16+a) - \log(4) \implies \frac{9+a}{3} = \frac{16+a}{4}$।
$36 + 4a = 48 + 3a \implies a = 12$।
તેથી, $f(x) = \log(x^2 + 12) - \log(x)$।
$f'(x) = \frac{2x}{x^2+12} - \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - (x^2+12)}{x(x^2+12)} = \frac{x^2-12}{x(x^2+12)}$।
આપેલ છે $f'(c) = 0$, તેથી $c^2 - 12 = 0 \implies c^2 = 12$।
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2-12}{x^3+12x} \right) = \frac{(2x)(x^3+12x) - (x^2-12)(3x^2+12)}{(x^3+12x)^2}$।
$c^2=12$ મૂકતા: $f''(c) = \frac{(2c)(c^3+12c) - (0)(3c^2+12)}{(c^3+12c)^2} = \frac{2c^4+24c^2}{(c^3+12c)^2} = \frac{2(12)^2 + 24(12)}{(12c+12c)^2} = \frac{288+288}{(24c)^2} = \frac{576}{576c^2} = \frac{1}{c^2} = \frac{1}{12}$।

(A) પગલું $1$: કારણ કે $f(x)$ એ $[1, 3]$ પર રોલ પ્રમેયનું પાલન કરે છે, તેથી $f(1) = f(3)$ હોવું જોઈએ.
પગલું $2$: $f(1) = a(1)^3 - b(1)^2 - 8(1) - 4 = a - b - 12$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: $f(3) = a(3)^3 - b(3)^2 - 8(3) - 4 = 27a - 9b - 28$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: $f(1) = f(3)$ ને સરખાવતા, આપણને $a - b - 12 = 27a - 9b - 28$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $26a - 8b = 16$ અથવા $13a - 4b = 8$ (સમીકરણ $1$) થાય છે.
પગલું $5$: $f'(x) = 3ax^2 - 2bx - 8$ મેળવો. આપેલ છે કે $f'(2) = 0$, તેથી $3a(2)^2 - 2b(2) - 8 = 0$, જે $12a - 4b = 8$ (સમીકરણ $2$) છે.
પગલું $6$: સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(13a - 4b) - (12a - 4b) = 8 - 8$, જે આપણને $a = 0$ આપે છે.
પગલું $7$: $a = 0$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $12(0) - 4b = 8$, તેથી $-4b = 8$, જે આપણને $b = -2$ આપે છે.
પગલું $8$: તેથી, $a - b = 0 - (-2) = 2$.

(D) $1$. રોલના પ્રમેય માટે $f(0) = f(\pi)$ જરૂરી છે.
$2$. $f(0) = a(0)^2 + b(0) + \sin(0) = 0$.
$3$. $f(\pi) = a\pi^2 + b\pi + \sin(\pi) = a\pi^2 + b\pi = 0$. કારણ કે $\pi \neq 0$, તેથી $a\pi + b = 0$, એટલે કે $b = -a\pi$.
$4$. સ્પર્શકનો ઢાળ $f'(x) = 2ax + b + \cos x$ છે.
$5$. આપેલ છે કે $f'(\frac{\pi}{4}) = 0$, તેથી $2a(\frac{\pi}{4}) + b + \cos(\frac{\pi}{4}) = 0$.
$6$. $\frac{a\pi}{2} + b + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.
$7$. $b = -a\pi$ મૂકતા: $\frac{a\pi}{2} - a\pi + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \implies -\frac{a\pi}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies a = \frac{2}{\pi\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$.
$8$. તેથી $b = -a\pi = -\frac{\sqrt{2}}{\pi} \cdot \pi = -\sqrt{2}$.
$9$. $a - b = \frac{\sqrt{2}}{\pi} - (-\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}\pi}{\pi} = \frac{\sqrt{2}(1 + \pi)}{\pi}$.

(C) પગલું $1$: રોલના પ્રમેયની શરતો ચકાસો. $f(x)$ એક બહુપદી છે, તેથી તે $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે.
પગલું $2$: સીમાના મૂલ્યો ચકાસો. $f(0) = 0^2(1-0)^2 = 0$ અને $f(1) = 1^2(1-1)^2 = 0$। કારણ કે $f(0) = f(1)$, રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.
પગલું $3$: $f'(x)$ શોધો. $f(x) = x^2(1 - 2x + x^2) = x^2 - 2x^3 + x^4$। તેથી, $f'(x) = 2x - 6x^2 + 4x^3$।
પગલું $4$: $f'(c) = 0$ ઉકેલો. $2c - 6c^2 + 4c^3 = 0 \implies 2c(1 - 3c + 2c^2) = 0$।
પગલું $5$: દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડો. $2c(1 - c)(1 - 2c) = 0$। ઉકેલો $c = 0, c = 1, c = \frac{1}{2}$ છે.
પગલું $6$: રોલના પ્રમેય મુજબ $c \in (0, 1)$ હોવું જોઈએ. તેથી, $c = \frac{1}{2}$ એ યોગ્ય મૂલ્ય છે.

(C) ધારો કે $f(x) = (x - \alpha)(x - k)$ છે. $f(x)$ મોનિક હોવાથી, $x^2$ નો સહગુણક $1$ છે. અંતરાલ $[\alpha, \alpha + 3]$ પર રોલેનું પ્રમેય સૂચવે છે કે $f(\alpha) = f(\alpha + 3) = 0$, તેથી $k = \alpha + 3$ મળે. આમ $f(x) = (x - \alpha)(x - \alpha - 3)$ છે.
$f(x)$ નું શિરોબિંદુ $c$, $x = \frac{\alpha + (\alpha + 3)}{2} = \alpha + 1.5$ પર છે.
$g(x) = f(x) + 2$ હોવાથી, $g'(x) = f'(x)$, તેથી $g(x)$ નું શિરોબિંદુ પણ $c = \alpha + 1.5$ છે.
$g(x)$ માટે $[\beta, 3]$ પર રોલેનું પ્રમેય સૂચવે છે કે $g(\beta) = g(3) = 0$ છે. $g(x)$ એ પરવલય હોવાથી જેનું શિરોબિંદુ $x = c$ પર છે, તેના બીજ $c$ ની સાપેક્ષે સંમિત છે. તેથી $\frac{\beta + 3}{2} = c = \alpha + 1.5$, જેમાંથી $\beta + 3 = 2\alpha + 3$, એટલે કે $\beta = 2\alpha$ મળે છે.
$g(3) = 0$ હોવાથી, $f(3) + 2 = 0$, તેથી $f(3) = -2$ મળે. $f(x)$ માં $x=3$ મૂકતા: $(3 - \alpha)(3 - \alpha - 3) = -2 \implies (3 - \alpha)(-\alpha) = -2 \implies \alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$ મળે.
હવે, $(f \circ g)(\alpha) = f(g(\alpha))$ છે. $g(x) = f(x) + 2$ હોવાથી, $g(\alpha) = f(\alpha) + 2 = 0 + 2 = 2$ થાય.
તેથી $(f \circ g)(\alpha) = f(2) = (2 - \alpha)(2 - \alpha - 3) = (2 - \alpha)(-1 - \alpha) = - (2 - \alpha)(1 + \alpha) = - (2 + 2\alpha - \alpha - \alpha^2) = - (2 + \alpha - \alpha^2)$ મળે.
$\alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$ હોવાથી, $\alpha^2 = 3\alpha + 2$ થાય. આ કિંમત મૂકતા: $-(2 + \alpha - (3\alpha + 2)) = -(-2\alpha) = 2\alpha$ મળે.
આપેલ શરતો મુજબ, $\alpha = 1$ દ્વિઘાત સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. તેથી $f(2) = (2-1)(2-1-3) = 1(-2) = -2$ થાય.

(B) આપેલ છે $f(x) = (x^2 + 3x)e^{-\frac{1}{2}x}$।
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = (2x + 3)e^{-\frac{1}{2}x} + (x^2 + 3x)e^{-\frac{1}{2}x} \cdot (-\frac{1}{2})$
$f'(x) = e^{-\frac{1}{2}x} [2x + 3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x]$
$f'(x) = e^{-\frac{1}{2}x} [-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3]$
$f'(c) = 0$ લેતા:
$-\frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}c + 3 = 0$
$-2$ વડે ગુણતા:
$c^2 - c - 6 = 0$
$(c - 3)(c + 2) = 0$
$c = 3$ અથવા $c = -2$।
$c$ એ વિવૃત અંતરાલ $(-3, 0)$ માં હોવું જોઈએ, તેથી આપણે $c = -2$ પસંદ કરીએ છીએ।

(C) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિ $2(l + b) = 64 \text{ m}$ છે, તેથી $l + b = 32 \text{ m}$, જેનો અર્થ છે $b = 32 - l$।
ક્ષેત્રફળ $A = l \times b = l(32 - l) = 32l - l^2$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે $A$ નું $l$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $\frac{dA}{dl} = 32 - 2l$।
$\frac{dA}{dl} = 0$ લેતા, આપણને $32 - 2l = 0$ મળે છે, તેથી $l = 16 \text{ m}$।
ત્યારબાદ $b = 32 - 16 = 16 \text{ m}$।
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 16 \times 16 = 256 \text{ m}^2$ છે.

(D) પગલું $1$: વિકલિત $f'(x) = 6x^2 - 30x + 36$ શોધો.
પગલું $2$: ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $6(x^2 - 5x + 6) = 0 \implies 6(x-2)(x-3) = 0$। તેથી, $x = 2$ અને $x = 3$ મળે છે.
પગલું $3$: $x = 2$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યની ગણતરી કરો: $f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) + 40 = 16 - 60 + 72 + 40 = 68$।
પગલું $4$: $x = 3$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યની ગણતરી કરો: $f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) + 40 = 54 - 135 + 108 + 40 = 67$।
પગલું $5$: સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત $|68 - 67| = 1$ છે.

(A) ધારો કે ચોરસ માટેના ટુકડાની લંબાઈ $x$ છે અને વર્તુળ માટેના ટુકડાની લંબાઈ $40 - x$ છે.
ચોરસની બાજુ $s = \frac{x}{4}$ છે. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_s = (\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{16}$ છે.
વર્તુળનો પરિઘ $2\pi r = 40 - x$ છે, તેથી $r = \frac{40 - x}{2\pi}$ છે. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi (\frac{40 - x}{2\pi})^2 = \frac{(40 - x)^2}{4\pi}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(40 - x)^2}{4\pi}$ છે.
ન્યૂનતમ કરવા માટે, $A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(40 - x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{40 - x}{2\pi} = 0$ શોધો.
$\frac{x}{8} = \frac{40 - x}{2\pi} \implies \pi x = 160 - 4x \implies x(\pi + 4) = 160$ છે.
$x = \frac{160}{\pi + 4}$ છે.
બીજો ટુકડો $40 - \frac{160}{\pi + 4} = \frac{40\pi + 160 - 160}{\pi + 4} = \frac{40\pi}{\pi + 4}$ છે.

(B) ધારો કે પૃષ્ઠફળ $S = 4\pi r^2$ છે, જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dS}{dt} = 4\pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
જ્યારે $S = 16\pi \text{ cm}^2$ હોય, ત્યારે $4\pi r^2 = 16\pi$, જેનો અર્થ છે કે $r^2 = 4$, તેથી $r = 2 \text{ cm}$.
આ કિંમતોને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $4\pi = 8\pi(2) \frac{dr}{dt}$.
$4\pi = 16\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{4\pi}{16\pi} = 0.25 \text{ cm/s}$.

(D) શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, અને $(x_3, y_3)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $s = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(a, 0)$, $B(0, b)$, અને $C(x, x)$ છે:
$s = \frac{1}{2} |a(b - x) + 0(x - 0) + x(0 - b)|$
$s = \frac{1}{2} |ab - ax - bx| = \frac{1}{2} |ab - x(a + b)|$।
$s$ એ નિરપેક્ષ મૂલ્ય હોવાથી, $s = \pm \frac{1}{2} (ab - x(a + b))$ થાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{ds}{dx} = \pm \frac{1}{2} (-(a + b)) = \mp \frac{a + b}{2}$।
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા, મૂલ્ય $\frac{a + b}{2}$ છે.

(B) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = -8 \text{ cm}^3/\text{s}$ (કારણ કે ઘનફળ ઘટી રહ્યું છે) અને $r = 2 \text{ cm}$.
કિંમતો મૂકતા: $-8 = 4\pi(2)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-8 = 16\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = -\frac{8}{16\pi} = -\frac{1}{2\pi} \text{ cm/s}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ત્રિજ્યા $\frac{1}{2\pi} \text{ cm/s}$ ના દરે ઘટી રહી છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $x$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા, $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} x \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = \sqrt{3} \text{ cm/sec}$ અને $x = 12 \text{ cm}$.
આ કિંમતો મૂકતા, $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} (12) (\sqrt{3}) = 6 \times 3 = 18 \text{ cm}^2/\text{sec}$.