MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 24xy + 9y^2 - 8x + 6y - 35 = 0$ છે.
નોંધો કે $16x^2 - 24xy + 9y^2 = (4x - 3y)^2$ થાય.
ધારો કે $u = 4x - 3y$. તો સમીકરણ $u^2 - 2u - 35 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(u - 7)(u + 5) = 0$.
આનાથી બે રેખાઓ મળે છે: $L_1: 4x - 3y - 7 = 0$ અને $L_2: 4x - 3y + 5 = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનો બિંદુપથ $ax + by + \frac{c_1 + c_2}{2} = 0$ રેખા છે.
અહીં $a = 4, b = -3, c_1 = -7, c_2 = 5$ છે.
બિંદુપથ $4x - 3y + \frac{-7 + 5}{2} = 0$ છે.
$4x - 3y - 1 = 0$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે. અહીં, $a = 1$, $h = -p$, અને $b = -1$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-p}$.
$\frac{x^2 - y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$.
$-p(x^2 - y^2) = 2xy$.
$-px^2 + py^2 = 2xy$.
$px^2 + 2xy - py^2 = 0$.
આને આપેલા સમીકરણ $x^2 - 2qxy - y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા, આપણે મેળવેલા સમીકરણને $p$ વડે ભાગીએ છીએ:
$x^2 + \frac{2}{p}xy - y^2 = 0$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-2q = \frac{2}{p}$.
$-q = \frac{1}{p}$, જેનો અર્થ છે $pq = -1$ અથવા $pq + 1 = 0$.

(D) પગલું $1$: રેખાઓની જોડી $2x^2 - 3xy - 2y^2 = 0$ ના અવયવ પાડો. આપણી પાસે $2x^2 - 4xy + xy - 2y^2 = 2x(x - 2y) + y(x - 2y) = (2x + y)(x - 2y) = 0$ છે. રેખાઓ $L_1: 2x + y = 0$ અને $L_2: x - 2y = 0$ છે.
પગલું $2$: નોંધો કે ઢાળ $m_1 = -2$ અને $m_2 = 1/2$ નો ગુણાકાર $-2 \times (1/2) = -1$ છે. આમ, રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ લંબ છે, જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર મળે છે.
પગલું $3$: ત્રીજી રેખા $L_3: 3x - y = 7$ છે. ત્રિકોણ $L_1, L_2, L_3$ ના છેદનથી બને છે. કારણ કે $L_1 \perp L_2$, ત્રિકોણ ઉગમબિંદુ પર કાટકોણ છે.
પગલું $4$: ઉગમબિંદુથી રેખા $L_3$ સુધીની બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરો. $(0,0)$ થી $L_1$ નું અંતર $d_1 = |(3(0) - (0) - 7) / \sqrt{3^2 + (-1)^2}| = 7 / \sqrt{10}$ છે. $L_3$ પરના શિરોબિંદુઓ સમીકરણો ઉકેલીને મળે છે: $L_1 \cap L_3 \implies 2x + y = 0, 3x - y = 7 \implies x = 1, y = -2$। $L_2 \cap L_3 \implies x - 2y = 0, 3x - y = 7 \implies x = 2, y = 1$।
પગલું $5$: કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓની લંબાઈ $OA = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$ અને $OB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ છે. કારણ કે $OA = OB$, ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે. આમ, તે કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$ છે. તેને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા, આપણને $a = 1$, $2h = -3$ (તેથી $h = -\frac{3}{2}$), અને $b = 2$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેના લઘુકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2 - (1)(2)}}{1 + 2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{9}{4} - 2}}{3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}}}{3} \right| = \left| \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{3} \right| = \frac{1}{3}$ મળે છે.
$\tan \theta = \frac{1}{3}$ હોવાથી, પદાવલિને $\cos \theta$ વડે ભાગતા: $\frac{3 \tan \theta + 2}{3 \tan \theta - 2}$ મળે છે.
$\tan \theta = \frac{1}{3}$ મૂકતા: $\frac{3(\frac{1}{3}) + 2}{3(\frac{1}{3}) - 2} = \frac{1 + 2}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 7xy + 3y^2 = 0$ છે. તેને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા, $a = 2$, $2h = 7 \implies h = \frac{7}{2}$, અને $b = 3$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેના લઘુકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ છે.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{7}{2})^2 - (2)(3)}}{2 + 3} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{49}{4} - 6}}{5} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{25}{4}}}{5} \right| = \left| \frac{2 \cdot \frac{5}{2}}{5} \right| = 1$.
કારણ કે $\tan \theta = 1$, તેથી $\theta = 45^\circ$ થાય. આમ, $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{2(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 3(\frac{1}{\sqrt{2}})}{4(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 5(\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\frac{2-3}{\sqrt{2}}}{\frac{4+5}{\sqrt{2}}} = \frac{-1}{9}$.

(C) રેખાઓની જોડીનું વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
$2x^2 + xy - y^2 - x + 2y - 1 = 0$ ની વ્યાપક સ્વરૂપ સાથે સરખામણી કરતા, આપણને $a = 2$, $2h = 1 \implies h = \frac{1}{2}$, અને $b = -1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$, $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(\frac{1}{2})^2 - (2)(-1)}}{2 + (-1)} \right| = \left| \frac{2\sqrt{\frac{1}{4} + 2}}{1} \right| = 2\sqrt{\frac{9}{4}} = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.
આમ, $\theta = \tan^{-1}(3)$. પ્રશ્નમાં લઘુકોણ પૂછવામાં આવ્યો હોવાથી, આપણે વિકલ્પો તપાસીએ છીએ. નોંધો કે $\tan \theta = 3 \implies \sin \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
તેથી, $\theta = \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{10}}$. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ છે. $abh$ વડે ગુણતા, $bhx^2 + 2axy + ahy^2 = 0$ મળે છે.
$x^2$ વડે ભાગતા, $ahy^2/x^2 + 2ay/x + bh = 0$ મળે છે. ધારો કે $m = y/x$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે.
તેથી $ahm^2 + 2am + bh = 0$ થાય.
ધારો કે બીજ $m$ અને $2m$ છે. બીજનો સરવાળો: $m + 2m = 3m = -2a / ah = -2/h$, તેથી $m = -2/(3h)$ મળે.
બીજનો ગુણાકાર: $m \cdot 2m = 2m^2 = bh / ah = b/a$ થાય.
$m = -2/(3h)$ ને $2m^2 = b/a$ માં મૂકતા: $2(-2/(3h))^2 = b/a \implies 2(4 / 9h^2) = b/a \implies 8 / 9h^2 = b/a$ મળે.
ગોઠવતા $h^2 / ab = 9 / 8$ મળે છે, તેથી $h^2 : ab = 9:8$ થાય.

(A) ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. આપેલી રેખા $3x + y - 6 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે. સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m - (-3)}{1 + m(-3)} \right| \implies 1 = \left| \frac{m + 3}{1 - 3m} \right|$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $1 = \frac{m + 3}{1 - 3m}$ અથવા $1 = -\frac{m + 3}{1 - 3m}$.
કિસ્સો $1$: $1 - 3m = m + 3 \implies 4m = -2 \implies m = -\frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $1 - 3m = -(m + 3) \implies 1 - 3m = -m - 3 \implies 2m = 4 \implies m = 2$.
રેખાઓના સમીકરણો $y = -\frac{1}{2}x$ અને $y = 2x$ છે, જે $x + 2y = 0$ અને $2x - y = 0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 2y)(2x - y) = 0$ છે.
$2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 0 \implies 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$.

(C) પગલું $1$: ધારો કે રેખા $y = 3 - x$ છે. તેને રેખાઓની જોડી $x^2 - 3xy + y^2 = 0$ ના સમીકરણમાં મૂકો.
પગલું $2$: $x^2 - 3x(3 - x) + (3 - x)^2 = 0$.
પગલું $3$: $x^2 - 9x + 3x^2 + 9 - 6x + x^2 = 0$.
પગલું $4$: $5x^2 - 15x + 9 = 0$. ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે, જે $A$ અને $B$ ના $x$-યામ છે.
પગલું $5$: મધ્યબિંદુનો $x$-યામ $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-(-15)}{2 \times 5} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ છે.
પગલું $6$: મધ્યબિંદુ રેખા $x + y = 3$ પર આવેલું હોવાથી, $y$-યામ $y = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ છે.
પગલું $7$: આમ, મધ્યબિંદુ $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ છે.

(D) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ છે, જેનું કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ છે.
બીજું વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2ax + 4y + 4 = 0$ છે. તેને $(x+a)^2 + (y+2)^2 = a^2$ તરીકે લખતા, કેન્દ્ર $C_2 = (-a, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = |a|$ મળે છે.
બે વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શે તે માટે, તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2$ એ તેમની ત્રિજ્યાઓના તફાવત જેટલું હોવું જોઈએ: $d = |r_1 - r_2|$.
$d = \sqrt{(-a - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{a^2 + 4}$.
તેથી, $\sqrt{a^2 + 4} = |4 - |a||$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $a^2 + 4 = (4 - |a|)^2 = 16 - 8|a| + a^2$.
$4 = 16 - 8|a| \implies 8|a| = 12 \implies |a| = 12/8 = 3/2$.
આમ, $a = \pm 3/2$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે યોગ્ય મૂલ્ય પસંદ કરીએ છીએ.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્ર $4x - y - 3 = 0$ પર હોવાથી, $4h - k - 3 = 0$, અથવા $k = 4h - 3$ મળે.
વર્તુળ $(2, 3)$ અને $(4, 5)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી, કેન્દ્રથી આ બિંદુઓનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) હશે:
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$.
$h + k = 7$ માં $k = 4h - 3$ મૂકતા:
$h + (4h - 3) = 7 \implies 5h = 10 \implies h = 2$.
તેથી $k = 4(2) - 3 = 5$ મળે.
કેન્દ્ર $(2, 5)$ છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (2 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = 0 + 4 = 4$ છે.
સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$ છે.

(A) પગલું $1$: બે સમાંતર રેખાઓ $3x - 4y + 8 = 0$ અને $3x - 4y - 28 = 0$ વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે. અંતર $d = \frac{|8 - (-28)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{36}{5} = 7.2$ છે. તેથી ત્રિજ્યા $r = 3.6$ છે.
પગલું $2$: કેન્દ્ર $(h, k)$, $x + 2y = 0$ પર છે, તેથી $h = -2k$। કેન્દ્ર બંને રેખાઓથી સમાન અંતરે છે. મધ્ય રેખા $3x - 4y - 10 = 0$ છે.
પગલું $3$: $h = -2k$ ને $3h - 4k - 10 = 0$ માં મૂકતા, $3(-2k) - 4k - 10 = 0 \implies k = -1$ અને $h = 2$ મળે છે. કેન્દ્ર $(2, -1)$ છે.
પગલું $4$: વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = r^2$ છે. $r^2 = 12.96$.

(C) સમીકરણ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ વર્તુળ દર્શાવે તે માટે, $xy$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ અને $x^2$ તથા $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ.
પગલું $1$: $xy$ ના સહગુણકને $0$ લો: $3 - p = 0 \implies p = 3$.
પગલું $2$: $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોને સમાન લો: $3 = q$.
પગલું $3$: સમીકરણમાં $p=3$ અને $q=3$ મૂકતા: $3x^2 + 3y^2 - 2(3)x = 8(3)(3) \implies 3x^2 + 3y^2 - 6x = 72$.
પગલું $4$: $3$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - 2x = 24$.
પગલું $5$: પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2 - 2x + 1) + y^2 = 24 + 1 \implies (x - 1)^2 + y^2 = 25$.
પગલું $6$: ત્રિજ્યા $r = \sqrt{25} = 5$ છે. ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi(5)^2 = 25\pi$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) સમીકરણ વર્તુળ દર્શાવે તે માટે, $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ. તેથી, $a + 1 = 3$, જે આપણને $a = 2$ આપે છે.
સમીકરણમાં $a = 2$ મૂકતા: $3x^2 + 3y^2 - 6x + 9y + 6 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 = 0$.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા, આપણને $2g = -2 \implies g = -1$ અને $2f = 3 \implies f = 3/2$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, -3/2)$ છે.
ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (3/2)^2 - 2} = \sqrt{1 + 9/4 - 2} = \sqrt{9/4 - 1} = \sqrt{5/4} = \sqrt{5}/2$ છે.

(D) વર્તુળ $C_1: x^2 + y^2 - 6x = 0$ માટે, કેન્દ્ર $C_1 = (3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2 + 0^2 - 0} = 3$ છે.
વર્તુળ $C_2: x^2 + y^2 + 6x + 2y + 1 = 0$ માટે, કેન્દ્ર $C_2 = (-3, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 - 1} = \sqrt{9 + 1 - 1} = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$ છે.
કારણ કે $r_1 + r_2 = 3 + 3 = 6$ અને $\sqrt{37} > 6$, કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા કરતા વધારે છે $(d > r_1 + r_2)$.
તેથી, વર્તુળો અલગ છે અને એકબીજાને છેદતા કે સ્પર્શતા નથી.
આ કિસ્સામાં, સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $4$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 48y$ છે. આને $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા, આપણને $4a = 48$ મળે છે, તેથી $a = 12$ છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $V(0, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(2a, a)$ અને $(-2a, a)$ પર છે, જે $(24, 12)$ અને $(-24, 12)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$, $(24, 12)$, અને $(-24, 12)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(12 - 12) + 24(12 - 0) + (-24)(0 - 12)|$।
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 288 + 288| = \frac{1}{2} |576| = 288 \text{ ચોરસ એકમ}$।

(B) $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપના પરવલય માટે, નાભિ $(a, 0)$ પર હોય છે અને નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -a$ હોય છે.
આપેલ $y^2 = 16x$ ને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા $4a = 16$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
નાભિ $(4, 0)$ પર છે અને નિયામિકા $x = -4$ છે.
નાભિ $(4, 0)$ અને નિયામિકા $x = -4$ વચ્ચેનું અંતર $|4 - (-4)| = |4 + 4| = 8$ એકમ છે.

(D) ધારો કે નાભિ $(a, 0)$ છે અને નિયામિકા $x = 0$ છે. પરવલય એવા બિંદુઓ $(x, y)$ નો બિંદુપથ છે જેનું $(a, 0)$ થી અંતર $x = 0$ થી અંતર જેટલું હોય: $(x-a)^2 + y^2 = x^2$। સાદું રૂપ આપતા, $y^2 = 2ax - a^2 = 2a(x - a/2)$ મળે.
બિંદુ $P(\alpha, 4)$ પરવલય પર હોવાથી, $16 = 2a(\alpha - a/2) = 2a\alpha - a^2$ થાય.
પરવલય $y^2 = 2ax - a^2$ ના બિંદુ $P(\alpha, 4)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $4y = a(x + \alpha) - a^2$ છે.
સ્પર્શક $(0, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી, $0 = a\alpha - a^2$, જેનો અર્થ છે કે $a = \alpha$ (કારણ કે $a \neq 0$).
$a = \alpha$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $16 = 2\alpha^2 - \alpha^2 = \alpha^2$ મળે.
તેથી $\alpha^2 = 16$, એટલે કે $\alpha = 4$ (નાભિ ધન $X$-અક્ષ પર હોવાથી, $\alpha > 0$).
બિંદુ $P$ $(4, 4)$ છે.
ઉગમબિંદુથી $P$ નું અંતર $\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$ થાય.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે, $m$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
અહીં, $a^2 = 16$, $b^2 = 9$, અને ખૂણો $30^\circ$ છે, તેથી $m = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \pm \sqrt{16(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 9}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{16}{3} + 9}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{16 + 27}{3}}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{43}{3}}$
$\sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3}y = x \pm \sqrt{43}$
$x - \sqrt{3}y \pm \sqrt{43} = 0$.

(D) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 144$ છે. $144$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા, $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શવાની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
રેખા $3x + 4y + k = 0$ ને $4y = -3x - k$ તરીકે લખતા, $y = -\frac{3}{4}x - \frac{k}{4}$ મળે છે.
અહીં, $m = -\frac{3}{4}$ અને $c = -\frac{k}{4}$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $(-\frac{k}{4})^2 = 16(-\frac{3}{4})^2 + 9$।
$\frac{k^2}{16} = 16(\frac{9}{16}) + 9$।
$\frac{k^2}{16} = 9 + 9 = 18$।
$k^2 = 18 \times 16 = 288$।
$k = \pm \sqrt{288} = \pm 12\sqrt{2}$।

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 = 12$ છે, જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ છે.
$m$ ઢાળ ધરાવતા ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
$m = -1/2$ આપેલ હોવાથી, સમીકરણ $y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{4(-\frac{1}{2})^2 + 3} = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{1 + 3} = -\frac{1}{2}x \pm 2$ થશે.
$X$-અંતઃખંડ $(A)$ માટે, $y = 0$ લેતા: $0 = -\frac{1}{2}x \pm 2 \implies x = \pm 4$. તેથી $A = (\pm 4, 0)$.
$Y$-અંતઃખંડ $(B)$ માટે, $x = 0$ લેતા: $y = \pm 2$. તેથી $B = (0, \pm 2)$.
$\Delta AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |x_A| \times |y_B| = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 1$ છે, જેને $\frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં, $a^2 = 1/4$ અને $b^2 = 1/9$ છે. $a^2 > b^2$ હોવાથી, મુખ્ય અક્ષ $X$-અક્ષ પર છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/9}{1/4}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
નાભિઓ $S$ અને $S'$ એ $(\pm ae, 0)$ પર છે, તેથી $S = (\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$ અને $S' = (-\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$ છે.
ઉપવલય ધન $Y$-અક્ષને $A(0, 1/3)$ પર છેદે છે.
$\Delta SAS'$ નો પાયો $SS' = \frac{\sqrt{5}}{6} - (-\frac{\sqrt{5}}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $A$ નો $y$-યામ છે, જે $1/3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{18}$ ચોરસ એકમ.

(D) ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે. કારણ કે રેખા $3x + 2y - 6 = 0$ એ નાભિસ્થ જીવા છે, તે નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ માંથી કોઈ એકમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
આપેલ છે $e = 2/3$, તેથી નાભિઓ $(\pm \frac{2a}{3}, 0)$ છે.
કિસ્સો $1$: રેખા $(\frac{2a}{3}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે $\implies 3(\frac{2a}{3}) + 2(0) - 6 = 0 \implies 2a = 6 \implies a = 3$.
કિસ્સો $2$: રેખા $(-\frac{2a}{3}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે $\implies 3(-\frac{2a}{3}) + 2(0) - 6 = 0 \implies -2a = 6 \implies a = -3$ (શક્ય નથી કારણ કે $a > 0$).
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા, $b^2 = 3^2(1 - (2/3)^2) = 9(1 - 4/9) = 9(5/9) = 5$.
આમ, $a^2 + b^2 = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$.

(A) પગલું $1$: $x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણ વર્ગ બનાવીને સમીકરણ ફરીથી લખો.
$7(x^2 - 2x) + 16(y^2 + 4y) = 377$
પગલું $2$: વર્ગ પૂર્ણ કરવા માટે અચળ ઉમેરો.
$7(x^2 - 2x + 1) + 16(y^2 + 4y + 4) = 377 + 7(1) + 16(4)$
$7(x - 1)^2 + 16(y + 2)^2 = 377 + 7 + 64 = 448$
પગલું $3$: પ્રમાણિત સ્વરૂપ મેળવવા માટે $448$ વડે ભાગો.
$\frac{7(x - 1)^2}{448} + \frac{16(y + 2)^2}{448} = 1$
$\frac{(x - 1)^2}{64} + \frac{(y + 2)^2}{28} = 1$
પગલું $4$: $a^2$ અને $b^2$ ઓળખો. અહીં $a^2 = 64$ અને $b^2 = 28$ છે.
પગલું $5$: ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ ની ગણતરી કરો.
$e = \sqrt{1 - \frac{28}{64}} = \sqrt{\frac{64 - 28}{64}} = \sqrt{\frac{36}{64}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે, જ્યાં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ છે. તેથી $a = 5$ અને $b = 3$ છે.
ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુને $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (5 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી આ બિંદુનું અંતર $5$ આપેલું છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(5 \cos \theta - 0)^2 + (3 \sin \theta - 0)^2} = 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25 \cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta = 25$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ મૂકતા: $25(1 - \sin^2 \theta) + 9 \sin^2 \theta = 25$.
$25 - 25 \sin^2 \theta + 9 \sin^2 \theta = 25$.
$-16 \sin^2 \theta = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = 0$.
તેથી, $\theta = 0$ અથવા $\pi$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $16x^2 + 25y^2 = 400$ છે. $400$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે.
અહીં, $a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$, તેથી $a = 5$ અને $b = 4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.
નાભિઓ $S(ae, 0) = (3, 0)$ અને $S'(-ae, 0) = (-3, 0)$ છે.
ધારો કે $P = (x_0, y_0)$ છે. $\Delta PSS'$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (SS') \times |y_0| = 9$ છે.
અંતર $SS' = 2ae = 2(3) = 6$ છે.
તેથી, $\frac{1}{2} \times 6 \times |y_0| = 9 \implies 3|y_0| = 9 \implies |y_0| = 3$ છે.
કારણ કે $P$ ઉપવલય પર આવેલું છે, $16x_0^2 + 25(3)^2 = 400$ છે.
$16x_0^2 + 225 = 400 \implies 16x_0^2 = 175 \implies x_0^2 = \frac{175}{16}$ છે.
$x_0 = \pm \frac{\sqrt{25 \times 7}}{4} = \pm \frac{5\sqrt{7}}{4}$ છે.
આમ, યામ (abscissa) $\frac{5\sqrt{7}}{4}$ છે.

(D) $1$. $p$ નું મૂલ્યાંકન: $3^4 = 81$ અને $4^3 = 64$ છે. $81 > 64$ સત્ય છે, અને $3^3 = 27 > 4^1 = 4$ પણ સત્ય છે, તેથી ગર્ભિતાર્થ $T \implies T$ એ $T$ છે. આમ, $p$ સત્ય છે.
$2$. $q$ નું મૂલ્યાંકન: $x^2 - 2x + 2 = 0$ નો વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ છે. $D < 0$ હોવાથી, બીજ વાસ્તવિક નથી. 'મુંબઈ મહારાષ્ટ્રમાં છે' વિધાન સત્ય છે. દ્વિ-શરતી વિધાન $F \iff T$ અસત્ય છે. આમ, $q$ અસત્ય છે.
$3$. $r$ નું મૂલ્યાંકન: $r$ એ $p \vee \neg q$ છે. $p$ સત્ય છે અને $\neg q$ સત્ય છે, તેથી $T \vee T$ સત્ય છે. આમ, $r$ સત્ય છે.
$4$. વિકલ્પોની ચકાસણી:
$(A)$ $(T \vee F) \wedge T = T \wedge T = T$
$(B)$ $T \vee (F \wedge T) = T \vee F = T$
$(C)$ $T \wedge (F \vee T) = T \wedge T = T$
$(D)$ $(T \wedge F) \vee T = F \vee T = T$
નોંધ: બધા વિકલ્પો $T$ પરિણામ આપે છે.

(A) શરતી વિધાન $P \to Q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $\sim q \to p$ છે.
અહીં, $P = \sim q$ અને $Q = p$ છે.
પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ થશે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\sim p \to \sim(\sim q)$ મળે છે.
કારણ કે $\sim(\sim q) = q$ થાય છે, તેથી પ્રતિધનાત્મક $\sim p \to q$ છે.

(C) તાર્કિક પદાવલિ $\sim p \vee q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ અને $q$ બંને અસત્ય હોય.
જો $\sim p$ અસત્ય હોય, તો $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
કારણ કે $q$ અસત્ય છે, આપણી પાસે $p = T$ અને $q = F$ છે.
હવે, વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(A)$ $p \leftrightarrow q \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
$(B)$ $p \to q \equiv T \to F \equiv F$.
$(C)$ $q \to p \equiv F \to T \equiv T$.
$(D)$ $q \to p \equiv F \to T \equiv T$ (જે $F$ નથી).
આમ, $q \to p$ સત્ય છે.

(C) પગલું $1$: તાર્કિક સમકક્ષતા $A \to B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $2$: આને આપેલ પદાવલિ પર લાગુ કરો: $(p \vee q) \to \sim r \equiv \sim (p \vee q) \vee \sim r$.
પગલું $3$: ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરો, જે જણાવે છે કે $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
પગલું $4$: આને પદાવલિમાં મૂકતા આપણને $(\sim p \wedge \sim q) \vee \sim r$ મળે છે.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \to B$, $False$ ત્યારે જ હોય જ્યારે $A$, $True$ હોય અને $B$, $False$ હોય.
અહીં, $A = [(p \vee q) \wedge (q \to r) \wedge (\sim r)]$ અને $B = (p \wedge q)$ છે.
$B$, $False$ હોવાથી, $(p \wedge q)$ એ $False$ છે.
$A$, $True$ હોવાથી, તમામ ઘટકો $(p \vee q)$, $(q \to r)$, અને $(\sim r)$ એ $True$ હોવા જોઈએ.
$(\sim r) = True$ પરથી, આપણને $r = False$ મળે છે.
$r = False$ ને $(q \to r) = True$ માં મૂકતા, તે $(q \to False) = True$ બને છે. આનો અર્થ એ છે કે $q = False$ છે.
$q = False$ ને $(p \vee q) = True$ માં મૂકતા, તે $(p \vee False) = True$ બને છે. આનો અર્થ એ છે કે $p = True$ છે.
હવે, જરૂરી સત્યતા મૂલ્યોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$p \to q$ એ $True \to False$ બને છે, જે $False$ છે.
$q \to p$ એ $False \to True$ બને છે, જે $True$ છે.
આમ, સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(C) પગલું $1$: વિકલ્પ $(A)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $\exists x \in A$ જેથી $x + 3 = 9$। જો $x = 6$ હોય, તો $6 + 3 = 9$ થાય. કારણ કે $6 \in A$, આ વિધાન સત્ય છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(B)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $\exists x \in A$ જેથી $x + 2 < 9$। જો $x = 1$ હોય, તો $1 + 2 = 3 < 9$ થાય. કારણ કે $1 \in A$, આ વિધાન સત્ય છે.
પગલું $3$: વિકલ્પ $(C)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $\forall x \in A, x + 6 \geq 10$। જો $x = 1$ હોય, તો $1 + 6 = 7$ થાય. કારણ કે $7 < 10$, શરત $x + 6 \geq 10$ એ બધા $x \in A$ માટે સંતોષાતી નથી. તેથી, આ વિધાન અસત્ય છે.
પગલું $4$: વિકલ્પ $(D)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $\exists x \in A$ જેથી $x + 6 < 10$। જો $x = 1$ હોય, તો $1 + 6 = 7 < 10$ થાય. કારણ કે $1 \in A$, આ વિધાન સત્ય છે.
નિષ્કર્ષ: વિકલ્પ $(C)$ એ અસત્ય વિધાન છે.

(A) $1$. $r$ માટે: $p \to q$ માત્ર ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $p=T$ અને $q=F$ હોય. આ કિસ્સામાં, $p \vee q = T \vee F = T$ થાય છે. વિધાન કહે છે કે $p \vee q$ અસત્ય છે, તેથી $r$ અસત્ય $(F)$ છે.
$2$. $s$ માટે: $p \leftrightarrow q$ ત્યારે અસત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોય ($T, F$ અથવા $F, T$)।
- જો $p=T, q=F$, તો $p \vee q = T$ થાય. વિધાન $s$ દાવો કરે છે કે તે અસત્ય છે, તેથી $s$ અસત્ય $(F)$ છે.
- જો $p=F, q=T$, તો $p \vee q = T$ થાય. વિધાન $s$ દાવો કરે છે કે તે અસત્ય છે, તેથી $s$ અસત્ય $(F)$ છે.
જેથી $s$ તમામ કિસ્સાઓમાં અસત્ય છે, તેથી $s$ અસત્ય $(F)$ છે.
$3$. હવે, $r=F$ અને $s=F$ છે. $r \to s$ નું સત્ય મૂલ્ય $F \to F = T$ છે. $s \to r$ નું સત્ય મૂલ્ય $F \to F = T$ છે.

(B) $1$. એક ગર્ભિત વિધાન (implication) $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
$2$. અહીં, $A = (p \wedge q)$ અને $B = (r \vee \sim s)$ છે.
$3$. $(p \wedge q)$ સત્ય હોવા માટે, $p$ અને $q$ બંને સત્ય $(T)$ હોવા જોઈએ.
$4$. $(r \vee \sim s)$ અસત્ય હોવા માટે, $r$ અને $\sim s$ બંને અસત્ય $(F)$ હોવા જોઈએ.
$5$. જો $r$ અસત્ય $(F)$ હોય અને $\sim s$ અસત્ય $(F)$ હોય, તો $s$ સત્ય $(T)$ હોવું જોઈએ.
$6$. આમ, સત્ય મૂલ્યો $p=T, q=T, r=F, s=T$ છે.

(B) પગલું $1$: $A$ નું વિશ્લેષણ: $(q \to p) \vee (p \to q) \equiv (\sim q \vee p) \vee (\sim p \vee q) \equiv (\sim q \vee q) \vee (\sim p \vee p) \equiv T \vee T \equiv T$। તેથી, $A$ એ નિત્યસત્ય છે.
પગલું $2$: $B$ નું વિશ્લેષણ: ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$। તેથી, $(\sim p \vee \sim q) \leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$ હંમેશા સત્ય છે. તેથી, $B$ એ નિત્યસત્ય છે.
પગલું $3$: $C$ નું વિશ્લેષણ: $[(p \vee q) \wedge \sim p] \wedge \sim q \equiv [(p \wedge \sim p) \vee (q \wedge \sim p)] \wedge \sim q \equiv [F \vee (q \wedge \sim p)] \wedge \sim q \equiv (q \wedge \sim p \wedge \sim q) \equiv (q \wedge \sim q) \wedge \sim p \equiv F \wedge \sim p \equiv F$। તેથી, $C$ એ વિરોધાભાસ છે.
પગલું $4$: $D$ નું વિશ્લેષણ: $(p \wedge q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge q \wedge \sim p) \vee (p \wedge q \wedge \sim q) \equiv (p \wedge \sim p \wedge q) \vee (p \wedge q \wedge \sim q) \equiv (F \wedge q) \vee (p \wedge F) \equiv F \vee F \equiv F$। તેથી, $D$ એ વિરોધાભાસ છે.

(D) દ્વિ-શરતી વિધાન $p \leftrightarrow q$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો સમાન હોય.
તેથી, $\sim (p \leftrightarrow q)$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોય.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $D$: $p \leftrightarrow \sim q$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $\sim q$ ના સત્ય મૂલ્યો સમાન હોય, જેનો અર્થ છે કે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોવા જોઈએ.
આમ, $\sim (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$.

(A) શરતી વિધાન $A \to B$ માત્ર ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
અહીં, $A = [(p \vee q) \wedge (q \to r) \wedge (\sim r)]$ અને $B = (p \wedge q)$ છે.
કારણ કે $B$ અસત્ય છે, $(p \wedge q) = F$ છે.
કારણ કે $A$ સત્ય છે, $(p \vee q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $(\sim r) = T$ છે.
$(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
$r = F$ ને $(q \to r) = T$ માં મૂકતા, $(q \to F) = T$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $q = F$ છે.
$q = F$ ને $(p \vee q) = T$ માં મૂકતા, $(p \vee F) = T$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $p = T$ છે.
હવે, $p \to q$ અને $q \to p$ ના સત્યતા મૂલ્યોની ગણતરી કરો:
$p \to q = T \to F = F$ છે.
$q \to p = F \to T = T$ છે.
આમ, સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(B) આપેલ સત્ય મૂલ્યો: $p = T, q = F, r = F$.
પગલું $1$: વિધાન $S = [\sim (p \wedge \sim q) \vee (q \vee \sim r)]$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$\sim q = \sim F = T$.
$(p \wedge \sim q) = (T \wedge T) = T$.
$\sim (p \wedge \sim q) = \sim T = F$.
$(q \vee \sim r) = (F \vee \sim F) = (F \vee T) = T$.
$S = (F \vee T) = T$.
પગલું $2$: દ્વૈત વિધાન $S^*$ શોધો. દ્વૈત માટે, $\wedge$ ને $\vee$ સાથે, $\vee$ ને $\wedge$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે, અને $F$ ને $T$ સાથે બદલો.
$S^* = [\sim (p \vee \sim q) \wedge (q \wedge \sim r)]$.
પગલું $3$: $S^*$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$(p \vee \sim q) = (T \vee T) = T$.
$\sim (p \vee \sim q) = \sim T = F$.
$(q \wedge \sim r) = (F \wedge T) = F$.
$S^* = (F \wedge F) = F$.
આમ, સત્ય મૂલ્યો $T$ અને $F$ છે.

(B) ધારો કે વિધાન $S: p \to (q \to r)$ છે.
$1$. $S$ નો પ્રતિલોમ $\sim p \to \sim (q \to r)$ છે.
$2$. પ્રતિલોમનો પ્રતીપ $\sim (q \to r) \to \sim p$ છે.
$3$. કારણ કે $\sim (q \to r) \equiv q \wedge \sim r$, વિધાન $(q \wedge \sim r) \to \sim p$ બને છે.
$4$. $A \to B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\sim (q \wedge \sim r) \vee \sim p \equiv (\sim q \vee r) \vee \sim p$ મળે છે.
$5$. વિધાનનું દ્વૈત $\vee$ ને $\wedge$ વડે, $\wedge$ ને $\vee$ વડે, $T$ ને $F$ વડે અને $F$ ને $T$ વડે બદલીને મેળવવામાં આવે છે. $(\sim q \vee r) \vee \sim p$ નું દ્વૈત $(\sim q \wedge r) \wedge \sim p$ છે.
$6$. વિકલ્પો તપાસતા, સાચો જવાબ $p \vee (r \to q)$ છે.

(C) ધારો કે $p$ એ વિધાન "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે" છે અને $q$ એ વિધાન "તે $3$ નો ગુણક છે" છે.
આપેલ વિધાન "જો $p$, તો $q$" સ્વરૂપમાં છે, જેને $p \implies q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$p \implies q$ નું નિષેધ $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ છે.
અહીં, $p$ એ "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે" છે અને $\sim q$ એ "તે $3$ નો ગુણક નથી" છે.
તેથી, નિષેધ "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે પરંતુ તે $3$ નો ગુણક નથી" છે.
આ વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) પગલું $1$: વિધાનનું દ્વૈત શોધવા માટે, $\wedge$ ને $\vee$ સાથે, $\vee$ ને $\wedge$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલો. નોંધો કે ગર્ભિત ઓપરેટર $\to$ બદલાતું નથી.
પગલું $2$: આપેલ વિધાન $(p \wedge \sim q) \to (q \wedge \sim p)$ છે.
પગલું $3$: $\wedge$ ને $\vee$ સાથે બદલતા, દ્વૈત $(p \vee \sim q) \to (q \vee \sim p)$ મળે છે.
પગલું $4$: તાર્કિક સમકક્ષતા $a \to b \equiv \sim a \vee b$ નો ઉપયોગ કરો. તેથી, $(p \vee \sim q) \to (q \vee \sim p) \equiv \sim (p \vee \sim q) \vee (q \vee \sim p)$.
પગલું $5$: ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$. તેથી પદાવલિ $(\sim p \wedge q) \vee (q \vee \sim p)$ બને છે.

(C) ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ સ્વિચ છે. સર્કિટ ત્રણ સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે. સાંકેતિક નિરૂપણ નીચે મુજબ છે:
$L = (S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_2') \lor (S_1' \land S_2)$
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા:
$L = (S_1 \land (S_2 \lor S_2')) \lor (S_1' \land S_2)$
કારણ કે $(S_2 \lor S_2') = 1$ (પુનરુક્તિ):
$L = (S_1 \land 1) \lor (S_1' \land S_2)$
$L = S_1 \lor (S_1' \land S_2)$
વિભાજનનો નિયમ $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ વાપરતા:
$L = (S_1 \lor S_1') \land (S_1 \lor S_2)$
કારણ કે $(S_1 \lor S_1') = 1$:
$L = 1 \land (S_1 \lor S_2) = S_1 \lor S_2$
આ સમાંતરમાં બે સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ ને અનુરૂપ છે.

(D) ધારો કે વિધાન $S: A \to B$ છે, જ્યાં $A = (p \vee \sim q)$ અને $B = (p \wedge \sim q)$ છે.
$S$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ છે.
પ્રતિધનાત્મકનું નિષેધ $\sim (\sim B \to \sim A)$ છે.
નિત્યસમ $\sim (X \to Y) \equiv X \wedge \sim Y$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\sim B \wedge \sim (\sim A) \equiv \sim B \wedge A$ મળે છે.
$A$ અને $B$ ની કિંમત મૂકતા: $(p \vee \sim q) \wedge \sim (p \wedge \sim q)$.
ડી મોર્ગનનો નિયમ વાપરતા, $\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$.
તેથી, પદાવલિ $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$ છે.

(B) પગલું $1$: આપેલ ગર્ભિત વિધાન $[(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r] \to (p \land \sim q) = F$ નું વિશ્લેષણ કરો. ગર્ભિત વિધાન ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વવર્તી $T$ હોય અને પરિણામી $F$ હોય.
પગલું $2$: પરિણામી $(p \land \sim q) = F$. પૂર્વવર્તી $[(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r] = T$. આનો અર્થ છે $(p \leftrightarrow q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $\sim r = T$.
પગલું $3$: $\sim r = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે. કારણ કે $(q \to r) = T$ અને $r = F$, તેથી $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ. કારણ કે $(p \leftrightarrow q) = T$ અને $q = F$, તેથી $p$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
પગલું $4$: પ્રથમ સ્વરૂપ $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r)$ નું મૂલ્યાંકન કરો. $p=F, q=F, r=F$ મૂકતા: $(F \to F) \leftrightarrow (F \to F) \equiv T \leftrightarrow T = T$.
પગલું $5$: બીજા સ્વરૂપ $\sim (p \lor r) \to (q \land p)$ નું મૂલ્યાંકન કરો. $p=F, q=F, r=F$ મૂકતા: $\sim (F \lor F) \to (F \land F) \equiv \sim F \to F \equiv T \to F = F$.
પગલું $6$: સત્યતા મૂલ્યો $(T, F)$ છે.

(C) $1$. પ્રત્યય $p \to (q \lor \sim r)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $p$ એ $T$ હોય અને $(q \lor \sim r)$ એ $F$ હોય.
$2$. $(q \lor \sim r)$ ને $F$ થવા માટે, $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ અને $\sim r$ એ $F$ હોવું જોઈએ. તેથી, $q = F$ અને $r = T$ છે.
$3$. હવે, $(p \leftrightarrow q) \land r$ નું મૂલ્યાંકન કરો: કારણ કે $p = T, q = F, r = T$ છે, આપણને $(T \leftrightarrow F) \land T = F \land T = F$ મળે છે.
$4$. $\sim p \to \sim q$ નું મૂલ્યાંકન કરો: કારણ કે $p = T, q = F$ છે, આપણને $\sim T \to \sim F = F \to T = T$ મળે છે.
$5$. તેથી, સત્ય મૂલ્યો $F, T$ છે.

(C) ધારો કે $V$ એ 'વોલ્ટેજ વધે છે' વિધાન છે અને $C$ એ 'પ્રવાહ ઘટે છે' વિધાન છે.
$p: V \implies \neg C$
$q: \neg V \implies C$
$r: \neg C \implies V$
$s: C \implies \neg V$
યાદ રાખો કે શરતી વિધાન $A \implies B$ એ તેના પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ ને તાર્કિક રીતે સમાન છે.
$p: V \implies \neg C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $C \implies \neg V$ છે, જે $s$ છે. તેથી, $p \equiv s$ છે.
$q: \neg V \implies C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $\neg C \implies V$ છે, જે $r$ છે. તેથી, $q \equiv r$ છે.
તેથી, સમાન અર્થ ધરાવતી જોડીઓ $(p, s)$ અને $(q, r)$ છે.

(B) ધારો કે $A = (p \land q)$ અને $B = (\sim p \lor r)$ છે.
આપેલ પદાવલિ $(A \to B) \lor (B \to A)$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$ થાય છે.
તેથી, પદાવલિ $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ બને છે.
જૂથના અને ક્રમના નિયમો દ્વારા, આ $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ ને સમતુલ્ય છે.
કારણ કે $(\sim A \lor A)$ એ પુનરુક્તિ $(T)$ છે અને $(\sim B \lor B)$ એ પુનરુક્તિ $(T)$ છે, તેથી પદાવલિ $T \lor T$ બને છે, જે $T$ છે.
તેથી, વિધાન પેટર્ન એક પુનરુક્તિ છે.

(A) ધારો કે $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ છે.
ગર્ભિતાર્થ (implication) ના નિયમ $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q)$.
$S \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor ((\sim p \land \sim r) \lor \sim q)$.
જૂથના નિયમ અને ક્રમના નિયમ દ્વારા, $S \equiv \sim p \lor \sim q \lor (\sim p \land \sim r)$.
કારણ કે $(\sim p \land \sim r) \implies \sim p$, તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ $S \equiv \sim p \lor \sim q$ થાય છે.
$S$ નું નિષેધ $\sim(\sim p \lor \sim q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા, $\sim(\sim p \lor \sim q) \equiv p \land q$.

(C) પગલું $1$: $S_1$ નું વિશ્લેષણ કરો. $n=1$ માટે, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી, $S_1$ સત્ય છે.
પગલું $2$: $S_2$ નું વિશ્લેષણ કરો. $x=1$ માટે, $1-17 = -16 < 20$. તેથી, $S_2$ સત્ય છે.
પગલું $3$: $S_3$ નું વિશ્લેષણ કરો. સમીકરણ $n^2+3n-10 = 0$ ના અવયવો $(n+5)(n-2) = 0$ છે, જે $n=2$ અથવા $n=-5$ આપે છે. કારણ કે $n \in N$, તે માત્ર $n=2$ માટે સત્ય છે, બધા $n \in N$ માટે નહીં. તેથી, $S_3$ અસત્ય છે.
પગલું $4$: $S_4$ નું વિશ્લેષણ કરો. બધા $n \in N$ $(n \ge 1)$ માટે, $n^2 \ge 1$ હંમેશા સત્ય છે. તેથી, $S_4$ સત્ય છે.
નિષ્કર્ષ: માત્ર $S_3$ અસત્ય છે.

(A) $1$. આપેલ વિધાન $p \lor q$ છે.
$2$. વિધાન $p \implies q$ નું પ્રતિવિધાન $q \implies p$ થાય છે. એક સાદા વિયોજન (disjunction) $p \lor q$ માટે, પ્રતિવિધાન ઘટકોને અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે: $q \lor p$।
$3$. કારણ કે $p \lor q$ એ તાર્કિક રીતે $q \lor p$ ને સમાન છે, તેથી પ્રતિવિધાન $q \lor p$ છે.
$4$. પ્રતિવિધાનનું નિષેધ $\sim(q \lor p)$ છે.
$5$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim(q \lor p) \equiv \sim q \land \sim p$, જે $\sim p \land \sim q$ ને સમાન છે.

(D) પગલું $1$: અંશને $(x + 2) - 2$ તરીકે લખો.
પગલું $2$: સંકલનને વિભાજિત કરો: $\int \frac{x + 2 - 2}{x + 2} dx = \int \left( \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{2}{x + 2} \right) dx$.
પગલું $3$: પદાવલિને સરળ બનાવો: $\int (1 - \frac{2}{x + 2}) dx$.
પગલું $4$: પદ પ્રમાણે સંકલન કરો: $\int 1 dx - 2 \int \frac{1}{x + 2} dx = x - 2 \log|x + 2| + c$.

(A) પગલું $1$: છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવો: $2ax - x^2 = -(x^2 - 2ax) = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) = a^2 - (x - a)^2$।
પગલું $2$: આને સંકલનમાં મૂકો: $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - (x - a)^2}}$।
પગલું $3$: પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $4$: અહીં $u = x - a$ છે, તેથી સંકલન $\sin^{-1}(\frac{x - a}{a}) + c$ થાય છે.
પગલું $5$: આની સરખામણી $f(g(x)) + c$ સાથે કરતા, આપણને $f(x) = \sin^{-1}(x)$ અને $g(x) = \frac{x - a}{a}$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: છેદ માટે પૂર્ણ વર્ગ બનાવો $x^2 - 5x + 8 = (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) + 8 - \frac{25}{4} = (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{7}{4}$.
પગલું $2$: સંકલન $\int \frac{1}{(x - \frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} dx$ બને છે.
પગલું $3$: સૂત્ર $\int \frac{1}{u^2 + a^2} du = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $4$: અહીં $u = x - \frac{5}{2}$ અને $a = \frac{\sqrt{7}}{2}$ છે.
પગલું $5$: પરિણામ $\frac{1}{\sqrt{7}/2} \tan^{-1}(\frac{x - 5/2}{\sqrt{7}/2}) + c = \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1}(\frac{2x - 5}{\sqrt{7}}) + c$ છે.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \sqrt{16x^2 + 16x} \, dx = 4 \int \sqrt{x^2 + x} \, dx$ છે.
પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા: $x^2 + x = (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$.
સૂત્ર $\int \sqrt{u^2 - a^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{u^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log |u + \sqrt{u^2 - a^2}| + c$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u = x + \frac{1}{2}$ અને $a = \frac{1}{2}$ છે.
$I = 4 [\frac{x + 1/2}{2} \sqrt{(x + 1/2)^2 - (1/2)^2} - \frac{1/4}{2} \log |(x + 1/2) + \sqrt{(x + 1/2)^2 - (1/2)^2}|] + c$.
$I = 2(2x + 1) \sqrt{x^2 + x} - \frac{1}{2} \log |x + 1/2 + \sqrt{x^2 + x}| + c$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો $\int \sqrt{4^x + 4} \, dx$ જેવા ઘાતાંકીય સ્વરૂપો પર આધારિત જણાય છે. જો પ્રશ્ન $\int \sqrt{4^x + 4} \, dx$ હોય, તો $u = 2^x$ લેતા, $du = 2^x \log 2 \, dx$ મળે છે. વિકલ્પ $A$ એ ઘાતાંકીય સંકલન માટે સૌથી નજીકનું બંધારણીય સ્વરૂપ છે.

(B) આપણી પાસે $I = \int \frac{\sin x}{\sin 4x} dx = \int \frac{\sin x}{2 \sin 2x \cos 2x} dx = \int \frac{\sin x}{4 \sin x \cos x (1 - 2 \sin^2 x)} dx = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{\cos x (1 - 2 \sin^2 x)}$ છે.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ગુણતા: $I = \frac{1}{4} \int \frac{\cos x dx}{\cos^2 x (1 - 2 \sin^2 x)} = \frac{1}{4} \int \frac{\cos x dx}{(1 - \sin^2 x)(1 - 2 \sin^2 x)}$.
ધારો કે $\sin x = t$, તો $\cos x dx = dt$. તેથી $I = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{(1 - t^2)(1 - 2t^2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(1 - t^2)(1 - 2t^2)} = \frac{A}{1 - t^2} + \frac{B}{1 - 2t^2}$. ઉકેલતા $A = -1$ અને $B = 2$ મળે છે.
$I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{2}{1 - 2t^2} - \frac{1}{1 - t^2} \right) dt = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{1 - (\sqrt{2}t)^2} - \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1 - t^2}$.
$\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{1 + \sqrt{2}t}{1 - \sqrt{2}t} \right| - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| + c$.
કારણ કે $\frac{1}{2} \log \left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right| = \log |\sec x + \tan x|$, પરિણામ $\frac{1}{4\sqrt{2}} \log \left| \frac{1 + \sqrt{2} \sin x}{1 - \sqrt{2} \sin x} \right| - \frac{1}{4} \log |\sec x + \tan x| + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$ છે.
અંશ અને છેદને $\cos^4 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{2 \sin x \cos x / \cos^4 x}{\tan^4 x + 1} dx = \int \frac{2 \tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$ મળે.
ધારો કે $u = \tan^2 x$, તેથી $du = 2 \tan x \sec^2 x dx$ થાય.
$I = \int \frac{du}{u^2 + 1} = \tan^{-1}(u) + c = \tan^{-1}(\tan^2 x) + c$ મળે.
આમ, $f(x) = \tan^{-1}(\tan^2 x)$ છે.
તેથી, $\tan(f(x)) = \tan(\tan^{-1}(\tan^2 x)) = \tan^2 x$ થાય.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{30x^{14} + 15^x \log 225}{x^{15} + 15^x} dx$ છે.
નોંધો કે $15^x \log 225 = 15^x \log(15^2) = 2 \cdot 15^x \log 15$ થાય.
ધારો કે $u = x^{15} + 15^x$ છે.
તેથી $du = (15x^{14} + 15^x \log 15) dx$ થાય.
અંશ $2(15x^{14} + 15^x \log 15) dx = 2 du$ છે.
આમ, $I = \int \frac{2}{u} du = 2 \log|u| + c$ થાય.
$u$ ની કિંમત પાછી મૂકતા, $I = 2 \log|x^{15} + 15^x| + c = \log(x^{15} + 15^x)^2 + c$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin x = \cos^2(x/2) + \sin^2(x/2) + 2\sin(x/2)\cos(x/2) = (\cos(x/2) + \sin(x/2))^2$ થાય.
તેથી, $\sqrt{1 + \sin x} = |\cos(x/2) + \sin(x/2)|$ થાય.
જે અંતરાલમાં $\cos(x/2) + \sin(x/2) > 0$ હોય તે લેતા, $\int (\cos(x/2) + \sin(x/2)) \, dx$ મળે.
$= 2\sin(x/2) - 2\cos(x/2) + c$ મળે.
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે $2\sin(x/2) - 2\cos(x/2) = 2\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x/2) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x/2) \right) = 2\sqrt{2} \sin(x/2 - \pi/4) + c$ લખી શકીએ.

(A) આપેલ છે કે $\int \frac{x + 1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{x}{x^2 + 1} dx + \int \frac{1}{x^2 + 1} dx$।
$= \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + \tan^{-1} x + c$।
આને આપેલ પદ $\tan^{-1} x + g(x) + c$ સાથે સરખાવતા, આપણને $g(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)$ મળે છે।
$g(x)$ ક્યાં વધતું વિધેય છે તે જાણવા માટે, આપણે તેનું વિકલન કરીએ: $g'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{x}{x^2 + 1}$।
$g(x)$ વધતું વિધેય હોવા માટે, $g'(x) > 0$ હોવું જોઈએ।
$\frac{x}{x^2 + 1} > 0$। કારણ કે તમામ $x \in R$ માટે $x^2 + 1 > 0$ છે, તેથી $x > 0$ હોવું જોઈએ।
આમ, $g(x)$ એ અંતરાલ $(0, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે, જે $R^+$ છે।

(B) અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણો:
$I = \int \frac{(x + 1)e^x}{xe^x(1 + xe^x)^2} dx$
ધારો કે $u = xe^x$, તો $du = (e^x + xe^x) dx = e^x(1 + x) dx$।
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{du}{u(1 + u)^2}$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{u(1 + u)^2} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1 + u} + \frac{C}{(1 + u)^2}$
$1 = A(1 + u)^2 + Bu(1 + u) + Cu$
$u = 0$ માટે, $A = 1$। $u = -1$ માટે, $C = -1$। $u^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A + B = 0 \implies B = -1$।
$I = \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u} - \frac{1}{(1 + u)^2} \right) du$
$I = \log|u| - \log|1 + u| + \frac{1}{1 + u} + c$
$I = \log \left| \frac{u}{1 + u} \right| + \frac{1}{1 + u} + c$
$u = xe^x$ મૂકતા:
$I = \log \left( \frac{xe^x}{1 + xe^x} \right) + \frac{1}{1 + xe^x} + c$

(A) ધારો કે $t = \sqrt{x - 2}$, તેથી $t^2 = x - 2$, જેનો અર્થ છે $x = t^2 + 2$।
બંને બાજુ વિકલન કરતા, $dx = 2t dt$ મળે છે।
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\int \frac{t}{t^2 + 2} (2t dt) = 2 \int \frac{t^2}{t^2 + 2} dt$
$= 2 \int \frac{t^2 + 2 - 2}{t^2 + 2} dt = 2 \int \left( 1 - \frac{2}{t^2 + 2} \right) dt$
$= 2 \left( \int 1 dt - 2 \int \frac{1}{t^2 + (\sqrt{2})^2} dt \right)$
$= 2 \left( t - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{2}} \right) \right) + c$
$= 2t - 2\sqrt{2} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{2}} \right) + c$
$t = \sqrt{x - 2}$ ની કિંમત પાછી મૂકતા, આપણને મળે છે:
$= 2\sqrt{x - 2} - 2\sqrt{2} \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{2}} \right) + c$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin x = \sin^2(x/2) + \cos^2(x/2) + 2 \sin(x/2) \cos(x/2) = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$ થાય.
તેથી, $\sqrt{1 + \sin x} = |\sin(x/2) + \cos(x/2)|$ થાય.
જે અંતરાલમાં $\sin(x/2) + \cos(x/2) > 0$ હોય તે ધારતા, આપણને $\int (\sin(x/2) + \cos(x/2)) \, dx$ મળે.
$= -2 \cos(x/2) + 2 \sin(x/2) = 2(\sin(x/2) - \cos(x/2))$ થાય.
$\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta - \pi/4) = -\sqrt{2} \cos(\theta + \pi/4)$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી, $2(\sin(x/2) - \cos(x/2)) = -2\sqrt{2} \cos(x/2 + \pi/4)$ મળે.
આને $-4 \cos(ax + b)$ સાથે સરખાવતા, $a=1/2$ અને $b=\pi/4$ મળે છે.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{1}{\cos^3 x \sqrt{2 \sin x \cos x}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\cos^{3.5} x \sqrt{\sin x}} dx$ છે.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા: $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sec^2 x \cdot \sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{(1+\tan^2 x) \sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx$.
ધારો કે $\tan x = t$, તેથી $dt = \sec^2 x dx$.
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int (1+t^2) t^{-1/2} dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \int (t^{-1/2} + t^{3/2}) dt = \frac{1}{\sqrt{2}} [2t^{1/2} + \frac{2}{5} t^{5/2}] = \sqrt{2} \sqrt{\tan x} + \frac{\sqrt{2}}{5} \tan^2 x \sqrt{\tan x} = \frac{\sqrt{2}}{5} \sqrt{\tan x} (5 + \tan^2 x)$.
$p(\tan^2 x + q)\sqrt{\tan x}$ સાથે સરખાવતા, $p = \frac{\sqrt{2}}{5}$ અને $q = 5$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \text{cosec}^{-1} \left( \sqrt{\frac{a + x}{x}} \right) dx$। કારણ કે $\text{cosec}^{-1} \sqrt{\frac{a+x}{x}} = \sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}}$, ધારો કે $x = a \tan^2 \theta$। તેથી $dx = 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$।
આ કિંમતો મૂકતા, $I = \int \sin^{-1} \left( \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a + a \tan^2 \theta}} \right) (2a \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta = \int \sin^{-1} (\sin \theta) (2a \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta = \int \theta (2a \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$।
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $I = 2a \left[ \theta \int \tan \theta \sec^2 \theta d\theta - \int \left( 1 \cdot \int \tan \theta \sec^2 \theta d\theta \right) d\theta \right] = 2a \left[ \theta \cdot \frac{\tan^2 \theta}{2} - \int \frac{\tan^2 \theta}{2} d\theta \right] = a \theta \tan^2 \theta - a \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta$।
$I = a \theta \tan^2 \theta - a (\tan \theta - \theta) + c = a \theta \tan^2 \theta - a \tan \theta + a \theta + c$।

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x + \sin x} dx$ છે.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ મૂકતા:
$I = \int \frac{(1 - \sin^2 x) \cos x}{\sin^2 x + \sin x} dx$.
ધારો કે $u = \sin x$, તેથી $du = \cos x dx$ થાય.
$I = \int \frac{1 - u^2}{u^2 + u} du = \int \frac{(1 - u)(1 + u)}{u(u + 1)} du$.
$I = \int \frac{1 - u}{u} du = \int (\frac{1}{u} - 1) du$.
$I = \log|u| - u + c$.
$u = \sin x$ પાછું મૂકતા, આપણને $I = \log|\sin x| - \sin x + c$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: નિત્યસમ $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરો.
$\int \cot^4 x \, dx = \int \cot^2 x (\csc^2 x - 1) \, dx$
પગલું $2$: સંકલનનું વિસ્તરણ કરો.
$= \int \cot^2 x \csc^2 x \, dx - \int \cot^2 x \, dx$
પગલું $3$: બીજા સંકલનમાં $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ મૂકો.
$= \int \cot^2 x \csc^2 x \, dx - \int (\csc^2 x - 1) \, dx$
પગલું $4$: સંકલન કરો. પ્રથમ ભાગ માટે, $u = \cot x$ લો, તો $du = -\csc^2 x \, dx$ થશે.
$= -\frac{\cot^3 x}{3} - (-\cot x - x) + c$
$= -\frac{\cot^3 x}{3} + \cot x + x + c$

(A) ધારો કે $I = \int \frac{(x+1)(x+\log x)^2}{x} dx$ છે.
સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખો: $I = \int \left( \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \right) (x + \log x)^2 dx = \int (1 + \frac{1}{x}) (x + \log x)^2 dx$।
ધારો કે $u = x + \log x$ છે.
તેથી, $du = (1 + \frac{1}{x}) dx$ થશે.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા: $I = \int u^2 du$।
$u$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $I = \frac{u^3}{3} + c$।
$u = x + \log x$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $I = \frac{(x + \log x)^3}{3} + c$।

(B) પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{1}{Ax^2+B} dx = \frac{1}{\sqrt{AB}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{A}{B}}\right) + c$ છે.
આપેલ છે કે $\int \frac{1}{ax^2+b} dx = \frac{1}{\sqrt{ab}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{a}{b}}\right) + c = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{2}{3}}\right) + c$.
સરખામણી કરતા, $\sqrt{ab} = \sqrt{6} \implies ab = 6$ અને $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \implies \frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ મળે છે.
$ab=6$ અને $a = \frac{2b}{3}$ ને ઉકેલતા, $(\frac{2b}{3})b = 6 \implies b^2 = 9 \implies b = 3$ અને $a = 2$ મળે છે.
હવે, $\int \frac{1}{bx^2+a} dx = \int \frac{1}{3x^2+2} dx = \frac{1}{\sqrt{3 \cdot 2}} \tan^{-1} \left(x \sqrt{\frac{3}{2}}\right) + c = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{2}}\right) + c$.

(B) પગલું $1$: અંશને $(x^4 - x^2 + 1) + x^2$ તરીકે લખો।
પગલું $2$: સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો: $I = \int \frac{x^4 - x^2 + 1}{x^6 + 1} dx + \int \frac{x^2}{x^6 + 1} dx$।
પગલું $3$: નોંધો કે $x^6 + 1 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$ છે। તેથી, પ્રથમ સંકલન $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1} x$ બને છે।
પગલું $4$: બીજા સંકલન માટે, $u = x^3$ ધારો, તો $du = 3x^2 dx$, તેથી $x^2 dx = \frac{1}{3} du$ થાય. સંકલન $\int \frac{1}{3(u^2 + 1)} du = \frac{1}{3} \tan^{-1}(u) = \frac{1}{3} \tan^{-1}(x^3)$ બને છે।
પગલું $5$: બંનેને જોડતા, આપણને $\tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1}(x^3) + c$ મળે છે।

(C) પગલું $1$: $f(x)$ શોધવા માટે $f'(x)$ નું સંકલન કરો.
$f(x) = \int \frac{(\sqrt{x}+1)e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx$
પગલું $2$: આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરો. ધારો કે $u = \sqrt{x}$, તો $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx$, જેનો અર્થ છે કે $dx = 2\sqrt{x} \, du = 2u \, du$.
પગલું $3$: સંકલનમાં કિંમત મૂકો:
$f(x) = \int \frac{(u+1)e^u}{u} \cdot 2u \, du = 2 \int (u+1)e^u \, du$
પગલું $4$: ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરો $\int (u+1)e^u \, du = (u+1)e^u - \int e^u \, du = (u+1)e^u - e^u + C = ue^u + C$.
તેથી, $f(x) = 2ue^u + C = 2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}} + C$.
પગલું $5$: $C$ શોધવા માટે $f(0) = e$ નો ઉપયોગ કરો.
$f(0) = 2(0)e^0 + C = e \implies C = e$.
પગલું $6$: $f(1)$ શોધો.
$f(1) = 2\sqrt{1}e^{\sqrt{1}} + e = 2e + e = 3e$.

(D) ધારો કે $I = \int 2x^{1/3} \sin x^{2/3} dx$ છે.
$u = x^{2/3}$ આદેશ લેતા, $du = \frac{2}{3} x^{-1/3} dx$, જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{3}{2} x^{1/3} du$.
સંકલનમાં આદેશ મૂકતા: $I = \int 2x^{1/3} \sin(u) \cdot \frac{3}{2} x^{1/3} du = 3 \int x^{2/3} \sin(u) du = 3 \int u \sin u du$.
ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા $\int u \sin u du = u(-\cos u) - \int 1 \cdot (-\cos u) du = -u \cos u + \sin u$.
આમ, $I = 3[-u \cos u + \sin u] + c$.
$u = x^{2/3}$ ની કિંમત પાછી મૂકતા, $I = 3[-x^{2/3} \cos x^{2/3} + \sin x^{2/3}] + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin^3 x}{(\cos^4 x + 3 \cos^2 x + 1) \tan^{-1}(\sec x + \cos x)} dx$ છે.
$u = \sec x + \cos x$ આદેશ લેતા, $du = (\sec x \tan x - \sin x) dx = \sin x (\frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x}) dx = \sin x \tan^2 x dx$ મળે.
છેદના પદને ફરીથી લખતા: $\cos^4 x + 3 \cos^2 x + 1 = \cos^2 x ((\sec x + \cos x)^2 + 1) = \cos^2 x (u^2 + 1)$ થાય.
તેથી, $I = \int \frac{\sin x (\sec^2 x - 1)}{(u^2 + 1) \tan^{-1} u} dx = \int \frac{du}{(u^2 + 1) \tan^{-1} u}$ મળે.
$v = \tan^{-1} u$ લેતા, $dv = \frac{1}{u^2 + 1} du$ મળે.
તેથી, $I = \int \frac{1}{v} dv = \log|v| + c = \log(\tan^{-1}(\sec x + \cos x)) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int f(x)g(x) dx = \int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} e^{\sin^{-1} x} dx$ છે.
$u = \sin^{-1} x$ આદેશ લેતા, $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ મળે છે.
આથી સંકલન $I = \int u e^u du$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા, $\int u e^u du = u e^u - \int e^u du = u e^u - e^u + c$ મળે છે.
$u = \sin^{-1} x$ ની કિંમત પાછી મૂકતા, $I = e^{\sin^{-1} x}(\sin^{-1} x - 1) + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int x^3 f(x^2) dx$ છે.
$t = x^2$ આદેશ લેતા, $dt = 2x dx$, જેનો અર્થ છે કે $x dx = \frac{1}{2} dt$ થાય.
તેમજ, $x^2 = t$ છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int x^2 f(x^2) (x dx) = \int t f(t) \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t f(t) dt$ મળે.
ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા, $\int u dv = uv - \int v du$, ધારો કે $u = t$ અને $dv = f(t) dt$ છે.
તેથી $du = dt$ અને $v = \int f(t) dt = g(t)$ થાય.
આમ, $I = \frac{1}{2} [t g(t) - \int g(t) dt]$ મળે.
$t = x^2$ પાછું મૂકતા, આપણને $I = \frac{1}{2} [x^2 g(x^2) - \int g(x^2) d(x^2)]$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $I = \int \frac{\sin x}{2 \sin 2x \cos 2x} dx = \int \frac{\sin x}{4 \sin x \cos x (1 - 2 \sin^2 x)} dx = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{\cos x (1 - 2 \sin^2 x)}$।
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ગુણતા: $I = \frac{1}{4} \int \frac{\cos x dx}{\cos^2 x (1 - 2 \sin^2 x)} = \frac{1}{4} \int \frac{\cos x dx}{(1 - \sin^2 x)(1 - 2 \sin^2 x)}$।
ધારો કે $u = \sin x$, તો $du = \cos x dx$। $I = \frac{1}{4} \int \frac{du}{(1 - u^2)(1 - 2u^2)}$।
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(1 - u^2)(1 - 2u^2)} = \frac{A}{1 - u^2} + \frac{B}{1 - 2u^2}$।
$1 = A(1 - 2u^2) + B(1 - u^2)$। $u^2 = 1$ માટે, $A = -1$। $u^2 = 1/2$ માટે, $B = 2$।
$I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{-1}{1 - u^2} + \frac{2}{1 - 2u^2} \right) du = -\frac{1}{4} \int \frac{du}{1 - u^2} + \frac{2}{4} \int \frac{du}{1 - (\sqrt{2}u)^2}$।
$I = -\frac{1}{8} \log \left| \frac{1+u}{1-u} \right| + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{1+\sqrt{2}u}{1-\sqrt{2}u} \right| + c$।
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા: $\alpha = -1/8$, $\beta = 1/(4\sqrt{2})$।
$\beta^2 = 1/32$। તેથી, $32(\alpha + \beta^2) = 32(-1/8 + 1/32) = 32(-4/32 + 1/32) = 32(-3/32) = -3$।

(A) ધારો કે $I = \int \frac{(x+1) dx}{x(1+xe^x)}$ છે.
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{(x+1)e^x dx}{xe^x(1+xe^x)}$.
ધારો કે $u = xe^x$ છે. તેથી $du = (e^x + xe^x) dx = e^x(1+x) dx$ થશે.
સંકલનમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \int \frac{du}{u(1+u)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{u(1+u)} = \frac{1}{u} - \frac{1}{1+u}$.
$I = \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{1+u} \right) du = \log|u| - \log|1+u| + c$.
$I = \log \left| \frac{u}{1+u} \right| + c$.
$u = xe^x$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \log \left| \frac{xe^x}{1+xe^x} \right| + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt[n]{\text{cosec}^{2}x^n - 1}}{x^{(1-n)}} dx$ છે.
કારણ કે $\text{cosec}^{2}x^n - 1 = \cot^{2}x^n$, સંકલન $I = \int \frac{(\cot^{2}x^n)^{1/n}}{x^{1-n}} dx = \int \frac{(\cot x^n)^{2/n}}{x^{1-n}} dx$ થાય છે.
જો આપણે $u = x^n$ લઈએ, તો $du = n x^{n-1} dx$, જેથી $dx = \frac{du}{n x^{n-1}}$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા, $I = \frac{1}{n} \int \cot u du = \frac{1}{n} \log|\sin u| + c = \frac{1}{n} \log|\sin x^n| + c$.

(C) પેટર્નનું અવલોકન કરો: $f_1(x) = \log x$, $f_2(x) = \log(\log x)$, $f_3(x) = \log(\log(\log x))$।
સામાન્ય રીતે, $f_n(x) = \underbrace{\log(\log(\dots\log x))}_{n \text{ વખત}}$।
ધારો કે $I = \int \frac{1}{f(x) f_1(x) f_2(x) \dots f_{2026}(x)} dx$ છે.
નોંધો કે $\frac{d}{dx} f_{2027}(x) = \frac{d}{dx} (\log(f_{2026}(x))) = \frac{1}{f_{2026}(x)} \cdot \frac{d}{dx} f_{2026}(x)$।
આ ચેઈન રૂલને આગળ વધારતા, $\frac{d}{dx} f_{2027}(x) = \frac{1}{f_{2026}(x) f_{2025}(x) \dots f_1(x) f(x)}$।
આમ, $\int \frac{1}{f(x) f_1(x) \dots f_{2026}(x)} dx = f_{2027}(x) + c$.

(C) ધારો કે $I = \int e^{x+\tan^{-1} x} \left(\frac{x^2+2}{1+x^2}\right) dx$ છે.
નોંધો કે $\sec^2(\tan^{-1} x) = 1 + x^2$ થાય છે.
ધારો કે $g(x) = x + \tan^{-1} x$ છે. તો $g'(x) = 1 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2+1}{1+x^2} = \frac{x^2+2}{1+x^2}$ થાય.
સંકલન $\int e^{g(x)} g'(x) dx = e^{g(x)} + c$ બને છે.
તેથી, $f(x) = x + \tan^{-1} x$ છે.
$f'(x) = 1 + \frac{1}{1+x^2}$ છે.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $1+x^2 > 0$ હોવાથી, બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ છે.
તેથી, $f(x)$, $\mathbb{R}$ પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^{7/2}(x^4+1)^{3/8}}$ છે.
કૌંસમાંથી $x^4$ સામાન્ય લેતા: $I = \int \frac{dx}{x^{7/2} [x^4(1 + x^{-4})]^{3/8}}$.
$I = \int \frac{dx}{x^{7/2} \cdot x^{3/2} (1 + x^{-4})^{3/8}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + x^{-4})^{3/8}}$.
ધારો કે $u = 1 + x^{-4}$, તો $du = -4x^{-5} dx$, જેનો અર્થ છે $x^{-5} dx = -\frac{1}{4} du$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા: $I = \int (u)^{-3/8} \cdot (-\frac{1}{4} du) = -\frac{1}{4} \int u^{-3/8} du$.
$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{u^{5/8}}{5/8} + c = -\frac{2}{5} (1 + x^{-4})^{5/8} + c = -\frac{2}{5} \left(\frac{x^4+1}{x^4}\right)^{5/8} + c$.
સરખામણી કરતા $n = 5/8$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right) dx$ છે.
આપણે $\frac{x}{\log x}$ નું વિકલન કરીએ:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\log x} \right) = \frac{(\log x)(1) - x(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2} = \frac{\log x}{(\log x)^2} - \frac{1}{(\log x)^2} = \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2}$.
તેથી, $\int \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{(\log x)^2} \right) dx = \frac{x}{\log x} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{x^2+1} [\log(x^2+1) - 2 \log x]}{x^4} dx = \int \frac{x \sqrt{1+1/x^2} \log((1+1/x^2))}{x^4} dx = \int \frac{\sqrt{1+1/x^2} \log(1+1/x^2)}{x^3} dx$.
ધારો કે $t = 1+1/x^2$ છે. તેથી $dt = -2/x^3 dx$, જેનો અર્થ છે $dx/x^3 = -dt/2$.
આને સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \sqrt{t} \log(t) (-1/2) dt = -1/2 \int t^{1/2} \log(t) dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int u dv = uv - \int v du$, જ્યાં $u = \log(t)$ અને $dv = t^{1/2} dt$ છે.
$du = (1/t) dt$ અને $v = (2/3) t^{3/2}$ છે.
$I = -1/2 [\log(t) \cdot (2/3) t^{3/2} - \int (2/3) t^{3/2} \cdot (1/t) dt] = -1/2 [\frac{2}{3} t^{3/2} \log(t) - \frac{2}{3} \int t^{1/2} dt]$.
$I = -1/2 [\frac{2}{3} t^{3/2} \log(t) - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}] + c = -\frac{1}{3} t^{3/2} \log(t) + \frac{2}{9} t^{3/2} + c$.
$I = t^{3/2} [-\frac{1}{3} \log(t) + \frac{2}{9}] + c = (1+\frac{1}{x^2})^{3/2} [-\frac{1}{3} \log(1+\frac{1}{x^2}) + \frac{2}{9}] + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sin^2 x + \tan^2 x}$ છે.
$\sin^2 x = \frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ હોવાથી, $I = \int \frac{dx}{\frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x} + \tan^2 x} = \int \frac{(1 + \tan^2 x) dx}{\tan^2 x + \tan^2 x(1 + \tan^2 x)} = \int \frac{\sec^2 x \ dx}{2\tan^2 x + \tan^4 x}$ થાય છે.
ધારો કે $u = \tan x$, તો $du = \sec^2 x \ dx$ થાય. સંકલન $I = \int \frac{du}{u^4 + 2u^2} = \int \frac{du}{u^2(u^2 + 2)}$ બને છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{u^2(u^2 + 2)} = \frac{A}{u^2} + \frac{B}{u^2 + 2}$ મળે. ઉકેલતા $A = \frac{1}{2}$ અને $B = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી, $I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2} - \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{2} (-\frac{1}{u}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + c$ થાય.
$u = \tan x$ મૂકતા, $I = -\frac{1}{2 \tan x} - \frac{1}{2\sqrt{2}} \tan^{-1} \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x^4(x^{10}-1)}{x^{20}+3x^{10}+1} dx$। અંશ અને છેદને $x^{10}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{x^{14}(1 - x^{-10})}{x^{20}(1 + 3x^{-10} + x^{-20})} dx = \int \frac{x^{-6}(1 - x^{-10})}{1 + 3x^{-10} + x^{-20}} dx$।
ધારો કે $u = x^5 + x^{-5}$। તેથી $du = (5x^4 - 5x^{-6}) dx = 5x^4(1 - x^{-10}) dx$।
$I = \frac{1}{5} \int \frac{du}{u^2 + 1} = \frac{1}{5} \tan^{-1}(u) + c = \frac{1}{5} \tan^{-1}(x^5 + x^{-5}) + c$।

(D) ધારો કે $t = x^2$, તો $dt = 2x dx$, તેથી $x dx = \frac{dt}{2}$ થાય.
$f(x) = \int \frac{1}{2(t+4)(t+9)} dt$ થાય.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(t+4)(t+9)} = \frac{1}{5} (\frac{1}{t+4} - \frac{1}{t+9})$ થાય.
$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \int (\frac{1}{t+4} - \frac{1}{t+9}) dt = \frac{1}{10} [\ln|t+4| - \ln|t+9|] + C = \frac{1}{10} \ln|\frac{x^2+4}{x^2+9}| + C$ થાય.
આપેલ છે કે $f(0) = \frac{1}{10} \ln(\frac{4}{9}) + C = \frac{1}{10} \ln((\frac{2}{3})^2) + C = \frac{1}{5} \ln(\frac{2}{3}) + C$ થાય.
$f(0) = \frac{1}{5} \ln(\frac{2}{3})$ હોવાથી, $C = 0$ મળે.
તેથી, $f(x) = \frac{1}{10} \ln(\frac{x^2+4}{x^2+9})$ થાય.
$f(1) = \frac{1}{10} \ln(\frac{1+4}{1+9}) = \frac{1}{10} \ln(\frac{5}{10}) = \frac{1}{10} \ln(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{10} \ln(2)$ થાય.

(A) ધારો કે $I = \int (x^{21} + x^6 + x^3)(2x^{18} + 7x^3 + 14)^{1/3} dx$ છે.
પ્રથમ પદમાંથી $x^{18}$ સામાન્ય લેતા: $I = \int x^{18}(x^3 + x^{-12} + x^{-15})(2x^{18} + 7x^3 + 14)^{1/3} dx$ મળે.
સંકલનને આ રીતે લખો: $I = \int x^{18} \cdot x^{18/3} (2 + 7x^{-15} + 14x^{-18})^{1/3} (x^3 + x^{-12} + x^{-15}) dx$।
$I = \int x^{24} (2 + 7x^{-15} + 14x^{-18})^{1/3} (x^3 + x^{-12} + x^{-15}) dx$।
ધારો કે $t = 2x^{18} + 7x^3 + 14$ છે. તેથી $dt = (36x^{17} + 21x^2) dx = 3x^2(12x^{15} + 7) dx$ મળે.
ઉકેલતા, $I = \frac{1}{56} (2x^{18} + 7x^3 + 14)^{4/3} + c$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: દ્વિઘાત પદાવલિ $2x-x^2$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવો.
$2x-x^2 = -(x^2-2x) = -(x^2-2x+1-1) = -( (x-1)^2 - 1 ) = 1 - (x-1)^2$.
પગલું $2$: પૂર્ણવર્ગનો ઉપયોગ કરીને સંકલનને ફરીથી લખો.
$\int \frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}} dx$.
પગલું $3$: પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \sin^{-1}(u) + c$ નો ઉપયોગ કરો.
ધારો કે $u = x-1$, તો $du = dx$.
તેથી, $\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \sin^{-1}(u) + c = \sin^{-1}(x-1) + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\log x}{(1+\log x)^2} dx$ છે.
$\log x = t$ આદેશ લેતા, જેથી $x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
તેથી $I = \int \frac{t}{(1+t)^2} e^t dt$ થાય.
અંશને $(t+1-1)$ તરીકે લખતા: $I = \int \frac{t+1-1}{(1+t)^2} e^t dt$।
$I = \int \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) e^t dt$।
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $f(t) = \frac{1}{1+t}$ અને $f'(t) = -\frac{1}{(1+t)^2}$ છે.
આમ, $I = e^t \left( \frac{1}{1+t} \right) + c$ મળે.
$t = \log x$ અને $e^t = x$ પાછા મૂકતા: $I = \frac{x}{1+\log x} + c$।

(C) ધારો કે $F(x) = \int f(x) dx$ અને $G(x) = \int g(x) dx$ છે. તેથી $F'(x) = f(x)$ અને $G'(x) = g(x)$ થશે.
આપણે $F(x)G(x)$ માટેનું પદ શોધવું છે.
વિકલનના ગુણાકારના નિયમ મુજબ, $\frac{d}{dx}[F(x)G(x)] = F(x)G'(x) + F'(x)G(x) = F(x)g(x) + f(x)G(x)$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા, $F(x)G(x) = \int [f(x)G(x) + g(x)F(x)] dx$ મળે.
$F(x) = \int f(x) dx$ અને $G(x) = \int g(x) dx$ ની કિંમત પાછી મૂકતા, $F(x)G(x) = \int [f(x) \int g(x) dx + g(x) \int f(x) dx] dx$ મળે છે.

(D) સંમેય વિધેય ત્યાં અસતત હોય છે જ્યાં તેનો છેદ શૂન્ય હોય.
છેદને શૂન્ય લો: $x^2 - 5|x| + 6 = 0$।
કારણ કે $x^2 = |x|^2$, આપણે તેને $|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $|x| = t$, તો $t^2 - 5t + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 2)(t - 3) = 0$.
તેથી, $|x| = 2$ અથવા $|x| = 3$.
આનાથી $x = \pm 2$ અથવા $x = \pm 3$ મળે છે.
અસતતતાના બિંદુઓ $x = 2, -2, 3, -3$ છે.
આવા કુલ $4$ બિંદુઓ છે.

(A) $f(x)$ એ $x = 0$ પર સતત હોવા માટે, $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે $f(x) = \frac{3^{x+3} - 3^{-x} - 2}{\tan x \cdot \log(1+x)}$.
અંશને ફરીથી લખતા: $3^{x+3} - 3^{-x} - 2 = 27 \cdot 3^x - 3^{-x} - 2 = \frac{27 \cdot 3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 1}{3^x}$.
ધારો કે $t = 3^x$. જેમ $x \to 0, t \to 1$. અંશ $(9t+1)(3t-1)$ થાય છે.
તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(9 \cdot 3^x + 1)(3 \cdot 3^x - 1)}{3^x \cdot \tan x \cdot \log(1+x)}$.
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ અને $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને, લક્ષની કિંમત મેળવવામાં આવે છે.

(B) $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત હોવા માટે, $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ થવું જોઈએ.
ધારો કે $L = \lim_{x \to 2} \left( \frac{5x - 8}{8 - 3x} \right)^{\frac{3}{2x-4}}$.
જેમ $x \to 2$, આધાર $\frac{5(2)-8}{8-3(2)} = \frac{2}{2} = 1$ અને ઘાતાંક $\frac{3}{2(2)-4} \to \infty$ થાય છે.
આ $1^\infty$ સ્વરૂપ છે. આપણે સૂત્ર $\lim_{x \to a} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} h(x)[g(x)-1]}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{3}{2x-4} \left( \frac{5x-8}{8-3x} - 1 \right)}$.
કૌંસની અંદરના પદને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{5x-8 - (8-3x)}{8-3x} = \frac{8x-16}{8-3x} = \frac{8(x-2)}{8-3x}$.
કિંમત મૂકતા: $L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{3}{2(x-2)} \cdot \frac{8(x-2)}{8-3x}}$.
$(x-2)$ ને ઉડાડતા: $L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{24}{2(8-3x)}}$.
લક્ષની કિંમત શોધતા: $L = e^{\frac{24}{2(8-6)}} = e^{\frac{24}{4}} = e^6$.

(B) પગલું $1$: $x \to 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ ની લક્ષ કિંમત મેળવો.
પગલું $2$: $x$ એ $0$ ની ખૂબ નજીક હોય ત્યારે, $\tan x$ એ $0$ ની ખૂબ નજીક હોય છે, તેથી $\tan^2 x$ એ $0$ ની નજીકની એક નાની ધન કિંમત છે.
પગલું $3$: $x \in (-\epsilon, \epsilon) \setminus \{0\}$ માટે $0 < \tan^2 x < 1$ હોવાથી, મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[\tan^2 x] = 0$ થશે.
પગલું $4$: આમ, $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ છે.
પગલું $5$: $f(0) = [\tan^2 0] = [0] = 0$ હોવાથી, $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ મળે છે, તેથી $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
પગલું $6$: $x = 0$ ના સામીપ્યમાં $f(x) = 0$ હોવાથી, $f'(0) = 0$ થાય છે.

(A) $f(x)$ એ $x = 3$ આગળ સતત હોવા માટે, ડાબી બાજુનું લક્ષ, જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 3$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = 3a + 1$।
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3b + 3$।
લક્ષને સરખાવતા: $3a + 1 = 3b + 3$।
$3a - 3b = 3 - 1$।
$3(a - b) = 2$।
$a - b = \frac{2}{3}$।

(D) $1$. વ્યાખ્યા મુજબ, વિધેય $f(x)$ યુગ્મ છે જો તમામ $x \in R$ માટે $f(-x) = f(x)$ હોય.
$2$. ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[f(x)]$.
$3$. આનાથી આપણને $f'(-x) \cdot (-1) = f'(x)$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $f'(-x) = -f'(x)$ થાય છે.
$4$. વિધેય $g(x)$ અયુગ્મ છે જો $g(-x) = -g(x)$ હોય. કારણ કે $f'(-x) = -f'(x)$ છે, તેથી $f'(x)$ એક અયુગ્મ વિધેય છે.

(A) આપેલ છે $y = (x^2 + 8x + 3)^{1/2}$।
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x^2 + 8x + 3)^{-1/2} \cdot (2x + 8) = \frac{x + 4}{\sqrt{x^2 + 8x + 3}}$।
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\sqrt{x^2 + 8x + 3} \cdot (1) - (x + 4) \cdot \frac{x + 4}{\sqrt{x^2 + 8x + 3}}}{x^2 + 8x + 3}$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(x^2 + 8x + 3) - (x + 4)^2}{(x^2 + 8x + 3)^{3/2}} = \frac{x^2 + 8x + 3 - (x^2 + 8x + 16)}{(x^2 + 8x + 3)^{3/2}} = \frac{-13}{(x^2 + 8x + 3)^{3/2}}$।
$x = 3$ આગળ, $x^2 + 8x + 3 = 9 + 24 + 3 = 36$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-13}{(36)^{3/2}} = \frac{-13}{6^3} = \frac{-13}{216}$।

(A) ધારો કે $u = \frac{ax + b}{cx + d}$ છે. તેથી $y = u^2$ થાય.
$\frac{dy}{dx} = 2u \frac{du}{dx}$ થાય.
$\frac{du}{dx} = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ થાય.
વિકલન કરતા, $2 \frac{dy}{dx} \frac{d^3y}{dx^3} = 3 \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2$ મળે છે. જે વિકલ્પમાં આપેલ નથી, તેથી પ્રશ્નમાં ભૂલ છે.

(C) આપેલ છે $y = (3x + 5)^{-1}$.
$(ax + b)^{-1}$ ના $n^{th}$ વિકલન માટેનું સામાન્ય સૂત્ર વાપરતા, જે $\frac{d^n}{dx^n}(ax + b)^{-1} = \frac{(-1)^n \cdot n! \cdot a^n}{(ax + b)^{n+1}}$ છે.
અહીં, $a = 3$, $b = 5$, અને $n = 9$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{d^9y}{dx^9} = \frac{(-1)^9 \cdot 9! \cdot 3^9}{(3x + 5)^{9+1}}$.
આમ, $\frac{d^9y}{dx^9} = \frac{(-1)^9 \cdot 9! \cdot 3^9}{(3x + 5)^{10}}$.

(B) આપેલ છે કે $f''(x) = g''(x)$, તેથી $f''(x) - g''(x) = 0$ થાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા, $f'(x) - g'(x) = c_1$ મળે.
આપેલ છે $f'(1) = 4$ અને $2g'(1) = 4 \implies g'(1) = 2$. તેથી, $c_1 = 4 - 2 = 2$ થાય.
તેથી, $f'(x) - g'(x) = 2$ થાય.
ફરીથી સંકલન કરતા, $f(x) - g(x) = 2x + c_2$ મળે.
આપેલ છે $f(2) = 9$ અને $3g(2) = 9 \implies g(2) = 3$.
સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા: $f(2) - g(2) = 2(2) + c_2 \implies 9 - 3 = 4 + c_2 \implies 6 = 4 + c_2 \implies c_2 = 2$.
આમ, $f(x) - g(x) = 2x + 2$ થાય.
$x = 4$ આગળ, $f(4) - g(4) = 2(4) + 2 = 8 + 2 = 10$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $y = x + e^x$। $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dy}{dx} = 1 + e^x$ મળે છે.
તેથી, $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = \frac{1}{1 + e^x} = (1 + e^x)^{-1}$.
હવે, ચેઈન રૂલ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $y$ ની સાપેક્ષ $\frac{dx}{dy}$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} (1 + e^x)^{-1} = \frac{d}{dx} (1 + e^x)^{-1} \cdot \frac{dx}{dy}$.
$\frac{d^2x}{dy^2} = -1(1 + e^x)^{-2} \cdot e^x \cdot \frac{1}{1 + e^x}$.
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{-e^x}{(1 + e^x)^3}$.