MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) પગલું $1$: બાજુ $BC$ નો ઢાળ શોધો. $m_{BC} = \frac{-2 - (-3)}{3 - 2} = \frac{1}{1} = 1$.
પગલું $2$: $A$ માંથી $BC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો. વેધનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{m_{BC}} = -1$ છે. સમીકરણ $y - (-6) = -1(x - 1) \implies y + 6 = -x + 1 \implies x + y = -5$ છે.
પગલું $3$: બાજુ $AC$ નો ઢાળ શોધો. $m_{AC} = \frac{-2 - (-6)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$.
પગલું $4$: $B$ માંથી $AC$ પરના વેધનું સમીકરણ શોધો. વેધનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_{AC}} = -\frac{1}{2}$ છે. સમીકરણ $y - (-3) = -\frac{1}{2}(x - 2) \implies 2y + 6 = -x + 2 \implies x + 2y = -4$ છે.
પગલું $5$: સમીકરણો $x + y = -5$ અને $x + 2y = -4$ ને ઉકેલો. બીજામાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતા: $(x + 2y) - (x + y) = -4 - (-5) \implies y = 1$. $x + y = -5$ માં $y = 1$ મૂકતા, આપણને $x + 1 = -5 \implies x = -6$ મળે છે. લંબકેન્દ્ર $(-6, 1)$ છે.

(C) પગલું $1$: સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાના લંબ દ્વિભાજક હોય છે.
પગલું $2$: વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો: $M = (\frac{2 - 6}{2}, \frac{-3 + 7}{2}) = (-2, 2)$।
પગલું $3$: વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ શોધો: $m_{AC} = \frac{7 - (-3)}{-6 - 2} = \frac{10}{-8} = -\frac{5}{4}$।
પગલું $4$: વિકર્ણ $BD$ નો ઢાળ એ $m_{AC}$ નો વિરોધી વ્યસ્ત છે: $m_{BD} = -\frac{1}{m_{AC}} = \frac{4}{5}$।
પગલું $5$: બિંદુ $M(-2, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{4}{5}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $BD$ નું સમીકરણ $y - 2 = \frac{4}{5}(x + 2)$ છે.
પગલું $6$: સમીકરણનું સાદું રૂપ આપો: $5(y - 2) = 4(x + 2) \implies 5y - 10 = 4x + 8 \implies 4x - 5y + 18 = 0$।

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ $y = mx$ છે. રેખા $3x + y - 6 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
રેખાઓ $y = mx$ અને $y = -3x + 6$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે, જે $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m - (-3)}{1 + m(-3)} \right| \implies 1 = \left| \frac{m + 3}{1 - 3m} \right|$.
આનાથી બે કિસ્સાઓ મળે છે: $1 = \frac{m + 3}{1 - 3m}$ અથવા $-1 = \frac{m + 3}{1 - 3m}$.
કિસ્સો $1$: $1 - 3m = m + 3 \implies 4m = -2 \implies m = -\frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $-(1 - 3m) = m + 3 \implies -1 + 3m = m + 3 \implies 2m = 4 \implies m = 2$.
રેખાઓ $y = -\frac{1}{2}x$ અને $y = 2x$ છે, જે $x + 2y = 0$ અને $2x - y = 0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 2y)(2x - y) = 0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 0 \implies 2x^2 + 3xy - 2y^2 = 0$.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ ની સરખામણી સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે કરતા, આપણને $a = \sqrt{3}$, $2h = -4 \implies h = -2$, અને $b = \sqrt{3}$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$, $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{(-2)^2 - (\sqrt{3})(\sqrt{3})}}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{4 - 3}}{2\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{2(1)}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$, તેથી $\theta = 30^\circ$ છે.

(D) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે, $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ થાય.
ઢાળનો તફાવત $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2} = \sqrt{\frac{4h^2}{b^2} - \frac{4a}{b}} = \sqrt{\frac{4h^2 - 4ab}{b^2}}$ છે.
આપેલ છે કે $4ab = 3h^2$, તેને પદમાં મૂકતા: $|m_1 - m_2| = \sqrt{\frac{4h^2 - 3h^2}{b^2}} = \sqrt{\frac{h^2}{b^2}} = \left| \frac{h}{b} \right|$ મળે.
હવે, ગુણોત્તર $m_1 : m_2$ ધ્યાનમાં લો. $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ પરથી, સરવાળો કરતા $2m_1 = -\frac{h}{b} \implies m_1 = -\frac{h}{2b}$ મળે.
બાદબાકી કરતા $2m_2 = -\frac{3h}{b} \implies m_2 = -\frac{3h}{2b}$ મળે.
ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = \left( -\frac{h}{2b} \right) : \left( -\frac{3h}{2b} \right) = 1 : 3$ અથવા $3 : 1$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - (1 + \sqrt{3})xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ છે.
આ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું સમઘાત સમીકરણ છે, જ્યાં $a = 1$, $2h = -(1 + \sqrt{3})$, અને $b = \sqrt{3}$ છે.
ધારો કે $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
સમઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ, $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
આપણે $\tan(\alpha + \beta) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓ દર્શાવે છે.
સમઘાત સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ, ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ છે.
સરવાળા માટેના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2} = \frac{-\frac{2h}{b}}{1 - \frac{a}{b}}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b - a}{b}} = \frac{-2h}{b - a} = \frac{2h}{a - b}$.

(C) પગલું $1$: પરવલય $y^2 = 4ax$ (જ્યાં $a=1$) માટે સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે, જે $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
પગલું $2$: આને $mx - y + \frac{1}{m} = 0$ તરીકે લખો. આ રેખા વર્તુળ $(x - 3)^2 + y^2 = 3^2$ નો પણ સ્પર્શક છે, તેથી કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
પગલું $3$: અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને: $\frac{|m(3) - 0 + 1/m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 3$.
પગલું $4$: $|3m + 1/m| = 3\sqrt{m^2 + 1} \implies |\frac{3m^2 + 1}{m}| = 3\sqrt{m^2 + 1}$.
પગલું $5$: બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(3m^2 + 1)^2}{m^2} = 9(m^2 + 1) \implies 9m^4 + 6m^2 + 1 = 9m^4 + 9m^2$.
પગલું $6$: $3m^2 = 1 \implies m^2 = 1/3$. સ્પર્શક $X$-અક્ષની ઉપર હોવાથી, આપણે $m = 1/\sqrt{3}$ લઈએ છીએ.
પગલું $7$: $m = 1/\sqrt{3}$ ને $y = mx + 1/m$ માં મૂકતા: $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3} \implies \sqrt{3}y = x + 3$.

(B) $1$. વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 7)^2 + (y + 1)^2 = 25$ છે. કેન્દ્ર $C$ $(7, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{25} = 5$ છે.
$2$. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી કેન્દ્ર $C(7, -1)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(7 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
$3$. ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ત્રિજ્યા અને સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ હોય છે. ઉગમબિંદુ, કેન્દ્ર અને સ્પર્શબિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં, $\sin(\theta/2) = r/d$ થાય.
$4$. $\sin(\theta/2) = 5 / (5\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2}$.
$5$. તેથી, $\theta/2 = 45^\circ$, જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^\circ$.

(A) સ્પર્શબિંદુ એ કેન્દ્ર $(-1, 1)$ માંથી રેખા $x + 2y + 4 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x, y)$ છે. $(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $x + 2y + 4 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $2x - y + k = 0$ છે.
તે $(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી, $2(-1) - 1 + k = 0 \implies k = 3$ મળે. તેથી, રેખા $2x - y + 3 = 0$ છે.
સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલતા:
$(1)$ $x + 2y = -4$
$(2)$ $2x - y = -3 \implies y = 2x + 3$
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $x + 2(2x + 3) = -4 \implies x + 4x + 6 = -4 \implies 5x = -10 \implies x = -2$ મળે.
$x = -2$ ને $y = 2x + 3$ માં મૂકતા: $y = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1$ મળે.
સ્પર્શબિંદુ $(-2, -1)$ છે.

(B) પગલું $1$: આપેલ વક્ર $x^2 + y^2 = 10$ છે, જે એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ છે.
પગલું $2$: આપેલ રેખા $2x + y - 1 = 0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m = -2$ છે.
પગલું $3$: $2x + y - 1 = 0$ ને સમાંતર કોઈપણ રેખાનું સ્વરૂપ $2x + y + k = 0$ હશે.
પગલું $4$: રેખા $Ax + By + C = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ને સ્પર્શતી હોય, તો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
પગલું $5$: અંતર $d = \frac{|A(0) + B(0) + k|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$ છે.
પગલું $6$: $d = r$ લેતા, આપણને $\frac{|k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{10}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $|k| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
પગલું $7$: આમ, $k = \pm 5\sqrt{2}$. સ્પર્શકોના સમીકરણો $2x + y \pm 5\sqrt{2} = 0$ અથવા $2x + y = \pm 5\sqrt{2}$ છે.

(D) $1$. બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે. $(3, 1)$ પર $x^2 + y^2 = 10$ માટે, સ્પર્શક $3x + y = 10$ અથવા $3x + y - 10 = 0$ છે.
$2$. બીજું વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2\sqrt{10}x - 20y + k = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $(\sqrt{10}, 10)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + 10^2 - k} = \sqrt{110 - k}$ છે.
$3$. કેન્દ્ર $(\sqrt{10}, 10)$ થી રેખા $3x + y - 10 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $R$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$4$. અંતર $d = \frac{|3(\sqrt{10}) + 1(10) - 10|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 3$ છે.
$5$. $d^2 = R^2$ લેતા, $3^2 = 110 - k$, તેથી $9 = 110 - k$, જેનું સાદુંરૂપ આપતા $k = 101$ મળે છે.

(D) $1$. વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે. સ્પર્શ બિંદુ $P(1, \sqrt{3})$ છે.
$2$. $(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે. તેથી, $x(1) + y(\sqrt{3}) = 4$, અથવા $x + \sqrt{3}y = 4$ મળે.
$3$. સ્પર્શકનો $x$-અંતઃખંડ $y=0$ લેતા $x=4$ મળે છે. તેથી, સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(4, 0)$ બિંદુએ મળે છે.
$4$. વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલ અભિલંબ કેન્દ્ર $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. અભિલંબ $(0, 0)$ અને $(1, \sqrt{3})$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y = \sqrt{3}x$ છે.
$5$. અભિલંબ $x$-અક્ષને ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર મળે છે.
$6$. આ પ્રદેશ એક ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$, $P(1, \sqrt{3})$, અને $A(4, 0)$ છે.
$7$. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times |4 - 0| \times |\sqrt{3} - 0| = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી, તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{h^2 + k^2}$ છે.
વર્તુળ રેખાઓ $x + y - 1 = 0$ અને $x - y - 1 = 0$ ને સ્પર્શે છે. તેથી, $(h, k)$ થી આ રેખાઓનું લંબ અંતર $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$r = \frac{|h + k - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|h - k - 1|}{\sqrt{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $|h + k - 1| = |h - k - 1|$.
કિસ્સો $1$: $h + k - 1 = h - k - 1 \implies k = 0$.
$r^2 = h^2 + k^2$ માં $k=0$ મૂકતા, $r^2 = h^2$. વળી $r = \frac{|h - 1|}{\sqrt{2}}$, તેથી $h^2 = \frac{(h-1)^2}{2} \implies h^2 + 2h - 1 = 0$. આનાથી $h$ ના બે મૂલ્યો મળે છે, તેથી બે વર્તુળો.
કિસ્સો $2$: $h + k - 1 = -(h - k - 1) \implies h = 1$.
$r^2 = h^2 + k^2$ માં $h=1$ મૂકતા, $r^2 = 1 + k^2$. વળી $r = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$, તેથી $r^2 = \frac{k^2}{2}$.
આને સરખાવતા, $1 + k^2 = \frac{k^2}{2} \implies \frac{k^2}{2} = -1$, જેનો $k$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ, આવા $2$ વર્તુળો છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
તે $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $h^2 + (1 - k)^2 = r^2$ મળે. $(1)$
તે $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $(1 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2$ મળે. $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા: $h^2 = (1 - h)^2 \implies h^2 = 1 - 2h + h^2 \implies 2h = 1 \implies h = \frac{1}{2}$.
$(1, 1)$ પર $y = x^2$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x|_{x=1} = 2$ છે. $(1, 1)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ અભિલંબ રેખા પર આવેલું છે જે $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે: $\frac{k - 1}{h - 1} = -\frac{1}{2}$.
$h = \frac{1}{2}$ મૂકતા: $\frac{k - 1}{1/2 - 1} = -\frac{1}{2} \implies \frac{k - 1}{-1/2} = -\frac{1}{2} \implies k - 1 = \frac{1}{4} \implies k = \frac{5}{4}$.
આમ, કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$ છે.

(B) અંતર $OP = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ માં, $OA = r$ અને $AP = \sqrt{OP^2 - r^2} = \sqrt{100 - r^2}$ છે.
$\triangle OAP$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OA \times AP = \frac{1}{2} r \sqrt{100 - r^2}$ છે.
ચતુષ્કોણ $PAOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle OAP) = r \sqrt{100 - r^2}$ છે.
ધારો કે $f(r) = r \sqrt{100 - r^2}$ છે. $f(r)$ ને મહત્તમ કરવા માટે, $f(r)^2 = r^2(100 - r^2) = 100r^2 - r^4$ ને મહત્તમ કરો.
ધારો કે $g(r) = 100r^2 - r^4$ છે. $r$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $g'(r) = 200r - 4r^3$ મળે છે.
$g'(r) = 0$ લેતા, $4r(50 - r^2) = 0$ મળે છે, તેથી $r^2 = 50$, જેનો અર્થ છે કે $r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
આમ, જ્યારે $r = 5\sqrt{2}$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.

(B) $1$. વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ છે. $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા, $g = -1, f = -1, c = -2$ મળે છે.
$2$. કેન્દ્ર $C$ $(-g, -f) = (1, 1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$ છે.
$3$. $C(1, 1)$ થી રેખા $x + y - 4 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|1 + 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
$4$. $\triangle ABC$ માં, $AC = BC = r = 2$ છે. $C$ થી જીવા $AB$ પરના ત્રિકોણની ઊંચાઈ $d = \sqrt{2}$ છે.
$5$. જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$ છે.
$6$. $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્ર $y - 4x + 3 = 0$ પર હોવાથી, $k - 4h + 3 = 0$, અથવા $k = 4h - 3$ મળે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ થી બિંદુઓ $(2, 3)$ અને $(4, 5)$ સુધીનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) હોવું જોઈએ:
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$ મળે.
$k = 4h - 3$ ને $h + k = 7$ માં મૂકતા:
$h + (4h - 3) = 7 \implies 5h = 10 \implies h = 2$ મળે.
તેથી $k = 4(2) - 3 = 5$ મળે.
કેન્દ્ર $(2, 5)$ છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (2 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = 0 + 4 = 4$ છે.
સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$ છે.
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 4 \implies x^2 + y^2 - 4x - 10y + 25 = 0$.

(B) પગલું $1$: આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x + 7 = 0$ નું કેન્દ્ર શોધો. $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા, આપણને $g = -3$ અને $f = 0$ મળે છે. કેન્દ્ર $(3, 0)$ છે.
પગલું $2$: જરૂરી વર્તુળ સમકેન્દ્રી હોવાથી, તેનું કેન્દ્ર પણ $(3, 0)$ છે. ધારો કે તેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + k = 0$ છે.
પગલું $3$: આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખા $x + y + 3 = 0$ નું લંબ અંતર છે. સૂત્ર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા, $r = \frac{|1(3) + 1(0) + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ મળે છે.
પગલું $4$: ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$ છે. કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે. $(3, 0)$ અને $r^2 = 18$ મૂકતા, $(x-3)^2 + (y-0)^2 = 18$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 6x + 9 + y^2 = 18$ અથવા $x^2 + y^2 - 6x - 9 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્ર $y - 4x + 3 = 0$ પર હોવાથી, $k - 4h + 3 = 0$, અથવા $k = 4h - 3$ મળે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ થી $(2, 3)$ અને $(4, 5)$ નું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) છે:
$(h-2)^2 + (k-3)^2 = (h-4)^2 + (k-5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$ મળે.
$k = 4h - 3$ ને $h + k = 7$ માં મૂકતા:
$h + (4h - 3) = 7 \implies 5h = 10 \implies h = 2$ મળે.
તેથી $k = 4(2) - 3 = 5$ થાય. કેન્દ્ર $(2, 5)$ છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (2-2)^2 + (5-3)^2 = 0 + 4 = 4$ થાય.
સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-5)^2 = 4 \implies x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 4 \implies x^2 + y^2 - 4x - 10y + 25 = 0$ છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 288$ છે. $288$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{18} = 1$ મળે છે. અહીં $a^2 = 32$ અને $b^2 = 18$ છે.
ઢાળ $m$ વાળી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
સ્પર્શક રેખા અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે, તેથી તેનો ઢાળ $m = -1$ અથવા $m = 1$ હોવો જોઈએ. તે અક્ષો પર અંતઃખંડ બનાવે છે, તેથી આપણે $\frac{x}{c} + \frac{y}{c} = 1$ સ્વરૂપ વિચારીએ છીએ, જેનો અર્થ છે $y = -x + c$, તેથી $m = -1$ છે.
સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે. $m = -1$ મૂકતા, $c^2 = 32(-1)^2 + 18 = 32 + 18 = 50$ મળે છે.
આમ, $c = \pm \sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}$ છે.
અંતઃખંડો $A(5\sqrt{2}, 0)$ અને $B(0, 5\sqrt{2})$ છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |5\sqrt{2}| \times |5\sqrt{2}| = \frac{1}{2} \times 50 = 25$ ચોરસ એકમ છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - y^2 = 7$ છે. $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા, $a^2 = 7$ અને $b^2 = 7$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
આપેલ રેખા $4x + 3y = 7 \implies y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$ છે. અહીં $m = -\frac{4}{3}$ અને $c = \frac{7}{3}$ છે.
શરત ચકાસતા: $(\frac{7}{3})^2 = 7(-\frac{4}{3})^2 - 7 = \frac{49}{9}$ મળે છે. શરતનું પાલન થાય છે.
સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ માટેનું સૂત્ર $x_1 = \frac{a^2m}{c}$ અને $y_1 = \frac{-b^2}{c}$ છે.
$x_1 = \frac{7(-4/3)}{7/3} = -4$ અને $y_1 = \frac{-7}{7/3} = -3$ મળે છે.
યામોનો સરવાળો $x_1 + y_1 = -4 + (-3) = -7$ થાય છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $36x^2 - 25y^2 = 3600$ છે. $3600$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{144} = 1$ મળે છે.
અહીં, $a^2 = 100$ અને $b^2 = 144$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તે માટેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
$y = 2x + \lambda$ ની સરખામણી $y = mx + c$ સાથે કરતા, આપણને $m = 2$ અને $c = \lambda$ મળે છે.
કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $\lambda^2 = (100)(2)^2 - 144$.
$\lambda^2 = 400 - 144 = 256$.
તેથી, $\lambda = \pm \sqrt{256} = \pm 16$.

(A) આપણે પ્રમાણિત લક્ષનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log a$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, અને $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$।
અંશ અને છેદને $x^3$ વડે ભાગતા:
$\frac{(4^x - 1)^3}{\tan(x/4) \log(1 + x^2/3)} \approx \frac{(x \log 4)^3}{(x/4) \cdot (x^2/3)} = \frac{x^3 (\log 4)^3}{x^3 / 12} = 12 (\log 4)^3$।
આપેલ છે કે $12 (\log 4)^3 = 96 (\log a)^b$, જેને $96 (\log 2)^3$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી $a = 2, b = 3$ મળે છે. તેથી, $a + b = 2 + 3 = 5$.

(D) આપેલ છે $\lim_{x \to 0} \frac{45^x - 9^x - 5^x + 1}{(kx - 1)(3^x - 1)} = 2$।
અંશના અવયવ પાડતા: $45^x - 9^x - 5^x + 1 = 9^x(5^x - 1) - 1(5^x - 1) = (9^x - 1)(5^x - 1)$।
લિમિટમાં કિંમત મૂકતા: $\lim_{x \to 0} \frac{(9^x - 1)(5^x - 1)}{(kx - 1)(3^x - 1)} = 2$।
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{9^x - 1}{x} \cdot \frac{5^x - 1}{x}}{(kx - 1) \cdot \frac{3^x - 1}{x}} = 2$।
પ્રમાણિત લિમિટ $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\ln 9 \cdot \ln 5}{(k(0) - 1) \cdot \ln 3} = 2$।
$\frac{2 \ln 3 \cdot \ln 5}{-\ln 3} = 2 \implies -2 \ln 5 = 2$।
આપેલ વિકલ્પો પૂર્ણાંક હોવાથી, પ્રશ્નમાં $k=3$ સાચો જવાબ હોવાની અપેક્ષા છે.

(A) અમે પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = 1$ અને $\lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખો: $\lim_{x \to 0} \left[ \frac{x \cdot \log(1 + 4x)}{(e^{4x} - 1)^2} \right] = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{x \cdot \frac{\log(1 + 4x)}{4x} \cdot 4x}{\left( \frac{e^{4x} - 1}{4x} \cdot 4x \right)^2} \right]$.
પદાવલિને સરળ બનાવો: $\lim_{x \to 0} \left[ \frac{4x^2 \cdot \frac{\log(1 + 4x)}{4x}}{16x^2 \cdot \left( \frac{e^{4x} - 1}{4x} \right)^2} \right]$.
$x^2$ ને છેદ ઉડાડો અને લક્ષ લાગુ કરો: $\frac{4 \cdot 1}{16 \cdot 1^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે પદાવલિ $L = \lim_{x \to 0} \frac{8}{x^8} [1 - \cos \frac{x^2}{2} - \cos \frac{x^2}{4} + \cos \frac{x^2}{2} \cos \frac{x^2}{4}]$ છે.
કૌંસની અંદરની પદાવલિના અવયવ પાડતા: $[(1 - \cos \frac{x^2}{2}) - \cos \frac{x^2}{4}(1 - \cos \frac{x^2}{2})] = (1 - \cos \frac{x^2}{2})(1 - \cos \frac{x^2}{4})$ મળે છે.
લક્ષના સૂત્ર $\lim_{\theta \to 0} (1 - \cos \theta) = \frac{\theta^2}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - \cos \frac{x^2}{2} \approx \frac{1}{2} (\frac{x^2}{2})^2 = \frac{x^4}{8}$.
$1 - \cos \frac{x^2}{4} \approx \frac{1}{2} (\frac{x^2}{4})^2 = \frac{x^4}{32}$.
આ કિંમતોને લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{8}{x^8} \cdot (\frac{x^4}{8}) \cdot (\frac{x^4}{32}) = \lim_{x \to 0} \frac{8 \cdot x^8}{8 \cdot 32 \cdot x^8} = \frac{1}{32}$.

(C) પગલું $1$: છેદ (denominators) ના અવયવો પાડો.
$x^2 - x = x(x - 1)$
$x^3 - 3x^2 + 2x = x(x^2 - 3x + 2) = x(x - 1)(x - 2)$
પગલું $2$: અપૂર્ણાંકોને ભેગા કરો.
$\frac{x - 2}{x(x - 1)} - \frac{1}{x(x - 1)(x - 2)} = \frac{(x - 2)^2 - 1}{x(x - 1)(x - 2)}$
પગલું $3$: અંશ (numerator) ને સરળ બનાવો.
$(x - 2)^2 - 1 = (x^2 - 4x + 4) - 1 = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$
પગલું $4$: સીમાના પદમાં પાછું મૂકો.
$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x - 3)}{x(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 3}{x(x - 2)}$
પગલું $5$: $x = 1$ મૂકીને સીમાની કિંમત શોધો.
$\frac{1 - 3}{1(1 - 2)} = \frac{-2}{-1} = 2$

(C) ધારો કે $L = \lim_{x \to 0} \frac{\log |2 + x| - \log |2 - x|}{\tan x}$.
સીમા $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી, આપણે એલ-હૉપિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log |2 + x| - \log |2 - x|)}{\frac{d}{dx}(\tan x)}$
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{2 - x}(-1)}{\sec^2 x}$
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} + \frac{1}{2 - x}}{\sec^2 x}$
$x = 0$ મૂકતા:
$L = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{\sec^2(0)} = \frac{1}{1} = 1$.

(C) પગલું $1$: અંશ અને છેદમાંથી $(n + 1)!$ સામાન્ય કાઢીને પદાવલિને સરળ બનાવો.
$\frac{(n + 2)! + (n + 1)!}{(n + 2)! - (n + 1)!} = \frac{(n + 1)! \times (n + 2 + 1)}{(n + 1)! \times (n + 2 - 1)}$
પગલું $2$: સામાન્ય પદ $(n + 1)!$ ને છેદતા.
$= \frac{n + 3}{n + 1}$
પગલું $3$: અંશ અને છેદને $n$ વડે ભાગો.
$= \frac{1 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$
પગલું $4$: $n \to \infty$ માટે લક્ષ (limit) લાગુ કરો.
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$

(A) $x \to \infty$ તરીકે લક્ષનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, આપણે અંશ અને છેદમાં $x$ ની સૌથી મોટી ઘાતને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
અંશ: $(2x - 1)^{19} \cdot (3x + 2)^{11} \approx (2x)^{19} \cdot (3x)^{11} = 2^{19} \cdot 3^{11} \cdot x^{30}$.
છેદ: $(6x - 5)^{30} \approx (6x)^{30} = 6^{30} \cdot x^{30}$.
આમ, લક્ષ $\frac{2^{19} \cdot 3^{11}}{6^{30}} = \frac{2^{19} \cdot 3^{11}}{(2 \cdot 3)^{30}} = \frac{2^{19} \cdot 3^{11}}{2^{30} \cdot 3^{30}}$ છે.
ઘાતને સરળ બનાવતા: $2^{19-30} \cdot 3^{11-30} = 2^{-11} \cdot 3^{-19}$.
આને $2^a \cdot 3^b$ સાથે સરખાવતા, આપણને $a = -11$ અને $b = -19$ મળે છે.
તેથી, $a + b = -11 + (-19) = -30$.

(C) સીમા અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે શાંત છે, તેથી છેદ $x = 1$ પર $0$ હોવો જોઈએ. આમ, $2(1)^3 - 7(1)^2 + a(1) + b = 0 \implies a + b = 5$।
$L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\lim_{x \to 1} \frac{\cos(3x^2 - 4x + 1)(6x - 4) - 2x}{6x^2 - 14x + a} = -2$।
$x = 1$ મૂકતા: $\frac{\cos(0)(2) - 2}{6 - 14 + a} = -2 \implies \frac{2 - 2}{a - 8} = -2$। આનો અર્થ એ છે કે અંશનું વિકલન $0$ છે, તેથી આપણે ફરીથી $L$'$H$ôpital નો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.
અંશનું વિકલન: $-\sin(3x^2 - 4x + 1)(6x - 4)^2 + \cos(3x^2 - 4x + 1)(6) - 2$।
$x = 1$ પર: $-0 + 1(6) - 2 = 4$।
છેદનું વિકલન: $12x - 14$।
$x = 1$ પર: $12 - 14 = -2$।
સીમા $= \frac{4}{-2} = -2$। આ પુષ્ટિ કરે છે કે સીમાનું મૂલ્ય $a$ અને $b$ થી સ્વતંત્ર છે જ્યાં સુધી $a+b=5$ અને છેદ $x=1$ પર $0$ હોય. સીમા વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, છેદમાં $(x-1)$ અવયવ હોવો જોઈએ. કારણ કે $2x^3 - 7x^2 + ax + b = (x-1)(2x^2 - 5x + (a-5))$, સીમાના અસ્તિત્વ માટે $2x^2 - 5x + (a-5)$ ને $(x-1)$ વડે ભાગી શકાય તેવું હોવું જોઈએ, તેથી $2 - 5 + a - 5 = 0 \implies a = 8$। પછી $b = 5 - 8 = -3$।
બીજ $8$ અને $-3$ છે. સમીકરણ $(x - 8)(x + 3) = x^2 - 5x - 24 = 0$ છે.

(D) આપેલ છે $\lim_{x \to \infty} [\frac{x^2 + x + 1}{x + 1} - ax - b] = 3$।
પદાવલિને સરળ બનાવતા: $\frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{x(x+1) + 1}{x+1} = x + \frac{1}{x+1}$।
આને લક્ષમાં મૂકતા: $\lim_{x \to \infty} [x + \frac{1}{x+1} - ax - b] = 3$।
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $\lim_{x \to \infty} [(1-a)x + (\frac{1}{x+1} - b)] = 3$।
લક્ષનું મૂલ્ય નિશ્ચિત હોવા માટે, $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $1 - a = 0 \implies a = 1$।
હવે લક્ષ આ મુજબ છે: $\lim_{x \to \infty} [\frac{1}{x+1} - b] = 3$।
જેમ $x \to \infty$, $\frac{1}{x+1} \to 0$, તેથી $0 - b = 3 \implies b = -3$।
તેથી, $a - b = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$।

(A) પગલું $1$: ડાબી બાજુની સીમા $(LHL)$ ની ગણતરી કરો.
$\lim_{x \to k} \frac{x^3 - k^3}{x^2 - k^2} = \lim_{x \to k} \frac{(x - k)(x^2 + xk + k^2)}{(x - k)(x + k)} = \lim_{x \to k} \frac{x^2 + xk + k^2}{x + k} = \frac{k^2 + k^2 + k^2}{k + k} = \frac{3k^2}{2k} = \frac{3k}{2}$.
પગલું $2$: જમણી બાજુની સીમા $(RHL)$ ની ગણતરી કરો.
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x}{x} = 2(1) = 2$.
પગલું $3$: $k$ ની કિંમત શોધવા માટે $LHL$ અને $RHL$ ને સરખાવો.
$\frac{3k}{2} = 2 \implies 3k = 4 \implies k = \frac{4}{3}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{1 - n^2}$ છે.
છેદ $(1 - n^2)$ એ $k$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી, આપણે લખી શકીએ $S_n = \frac{1}{1 - n^2} \sum_{k=1}^{n} k$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.
તેથી, $S_n = \frac{n(n+1)}{2(1 - n^2)}$.
આપણે છેદના અવયવ પાડી શકીએ: $1 - n^2 = -(n^2 - 1) = -(n-1)(n+1)$.
તેથી, $S_n = \frac{n(n+1)}{-2(n-1)(n+1)} = \frac{n}{-2(n-1)}$.
હવે, $n \to \infty$ માટે લક્ષ લેતા:
$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{-2n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(-2 + \frac{2}{n})} = \frac{1}{-2 + 0} = -\frac{1}{2}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં સાચી કિંમત $-\frac{1}{2}$ ઉપલબ્ધ નથી.

(D) સીમા $\lim_{x \to 3} \frac{[x] - 3}{x - 3}$ શોધવા માટે, આપણે ડાબી બાજુની સીમા $(LHL)$ અને જમણી બાજુની સીમા $(RHL)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
પગલું $1$: $x \to 3^-$ માટે $LHL$ ની ગણતરી કરો. $3$ થી થોડી નાની $x$ ની કિંમત માટે, $[x] = 2$ થાય છે. તેથી, $\lim_{x \to 3^-} \frac{2 - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-1}{x - 3}$। જેમ $x \to 3^-$, $(x - 3)$ એ ખૂબ જ નાની ઋણ સંખ્યા છે, તેથી $\frac{-1}{x - 3} \to \infty$।
પગલું $2$: $x \to 3^+$ માટે $RHL$ ની ગણતરી કરો. $3$ થી મોટી અથવા તેના જેટલી $x$ ની કિંમત માટે, $[x] = 3$ થાય છે. તેથી, $\lim_{x \to 3^+} \frac{3 - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{0}{x - 3} = 0$।
પગલું $3$: કારણ કે $LHL$ $(\infty)$ અને $RHL$ $(0)$ સમાન નથી, તેથી સીમાનું અસ્તિત્વ નથી.

(D) લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે, $x = 1$ આગળ અંશ $0$ હોવો જોઈએ. તેથી, $1 + a + b + c = 0$, જેનો અર્થ છે કે $b = -1 - a - c$.
$b$ ની કિંમત અંશમાં મૂકતા: $x^3 + ax^2 - (1 + a + c)x + c = (x^3 - x) + a(x^2 - x) - c(x - 1) = (x - 1)(x^2 + x + ax - c)$.
લક્ષ આ મુજબ બને છે: $\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + (1 + a)x - c)}{(x - 1)^2} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + (1 + a)x - c}{x - 1}$.
આ લક્ષ શાંત હોય તે માટે, $x = 1$ આગળ અંશ $0$ હોવો જોઈએ: $1 + (1 + a) - c = 0 \implies 2 + a - c = 0 \implies a - c = -2$.

(C) આપણે તાર્કિક સમકક્ષતા $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ વિધાન $(p \lor q) \to \sim r$ માટે, ધારો કે $A = (p \lor q)$ અને $B = \sim r$ છે.
સમકક્ષતા લાગુ કરતા: $\sim (p \lor q) \lor \sim r$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim (p \lor q) \equiv (\sim p \land \sim q)$ થાય છે.
આને પાછું મૂકતા, આપણને $(\sim p \land \sim q) \lor \sim r$ મળે છે.
આમ, આ વિધાન $(\sim p \land \sim q) \lor \sim r$ ને સમકક્ષ છે.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ માત્ર ત્યારે જ $False$ હોય જ્યારે $A$ એ $True$ હોય અને $B$ એ $False$ હોય.
અહીં, $A = (p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)$ અને $B = (p \land q)$ છે.
$A$ ને $True$ થવા માટે, બધા ઘટકો $True$ હોવા જોઈએ: $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $(\sim r) = T$.
$(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
કારણ કે $(q \to r) = T$ અને $r = F$ છે, તેથી $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $T \to F$ એ $F$ છે).
કારણ કે $(p \lor q) = T$ અને $q = F$ છે, તેથી $p$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
હવે, $B = (p \land q) = (T \land F) = F$ ચકાસો. આ શરત સંતોષાય છે.
આમ, $p = T$ અને $q = F$ છે.
હવે, $p \to q = T \to F = F$ અને $q \to p = F \to T = T$ છે.
સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(A) પગલું $1$: વિધાન $r$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $p$ સત્ય $(T)$ અને $q$ અસત્ય $(F)$ હોય. આ કિસ્સામાં, $p \lor q$ નું મૂલ્ય $T \lor F = T$ છે. વિધાન કહે છે કે $p \lor q$ અસત્ય છે, તેથી $r$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $2$: વિધાન $s$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \leftrightarrow q$ ત્યારે અસત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોય (એટલે કે $(T, F)$ અથવા $(F, T)$). જો $(p, q) = (T, F)$ હોય, તો $p \lor q = T$. જો $(p, q) = (F, T)$ હોય, તો $p \lor q = T$. બંને કિસ્સામાં, $p \lor q$ સત્ય $(T)$ છે. વિધાન કહે છે કે $p \lor q$ અસત્ય છે, તેથી $s$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $3$: $r \to s$ અને $s \to r$ નું મૂલ્યાંકન કરો. કારણ કે $r = F$ અને $s = F$, તેથી $r \to s$ નું મૂલ્ય $F \to F = T$ છે અને $s \to r$ નું મૂલ્ય $F \to F = T$ છે.

(B) શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $A$ એ $T$ હોય અને $B$ એ $F$ હોય.
અહીં, $(p \land q) \to (r \lor \sim s)$ અસત્ય છે.
તેથી, $(p \land q)$ એ $T$ હોવું જોઈએ અને $(r \lor \sim s)$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
$(p \land q)$ ને $T$ થવા માટે, $p$ અને $q$ બંને $T$ હોવા જોઈએ.
$(r \lor \sim s)$ ને $F$ થવા માટે, $r$ અને $\sim s$ બંને $F$ હોવા જોઈએ.
જો $r$ એ $F$ હોય અને $\sim s$ એ $F$ હોય, તો $s$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
આમ, સત્ય મૂલ્યો $p=T, q=T, r=F, s=T$ છે.

(C) પગલું $1$: વિકલ્પ $(A)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $\exists x \in A$ એવું છે કે $x + 3 = 9$। જો $x = 6$ હોય, તો $6 + 3 = 9$ થાય. કારણ કે $6 \in A$ છે, આ વિધાન સાચું છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(B)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $\exists x \in A$ એવું છે કે $x + 2 < 9$। જો $x = 1$ હોય, તો $1 + 2 = 3 < 9$ થાય. કારણ કે $1 \in A$ છે, આ વિધાન સાચું છે.
પગલું $3$: વિકલ્પ $(C)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $\forall x \in A, x + 6 \ge 10$। જો $x = 1$ હોય, તો $1 + 6 = 7$ થાય. કારણ કે $7 < 10$ છે, તેથી $x + 6 \ge 10$ ની શરત તમામ $x \in A$ માટે સંતોષાતી નથી. આમ, આ વિધાન ખોટું છે.
પગલું $4$: વિકલ્પ $(D)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $\exists x \in A$ એવું છે કે $x + 6 < 10$। જો $x = 1$ હોય, તો $1 + 6 = 7 < 10$ થાય. કારણ કે $1 \in A$ છે, આ વિધાન સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: વિકલ્પ $(C)$ એ વિધાન છે જે સાચું નથી.

(B) પગલું $1$: $A$ નું વિશ્લેષણ: $(q \to p) \lor (p \to q) \equiv (\sim q \lor p) \lor (\sim p \lor q) \equiv (\sim q \lor q) \lor (\sim p \lor p) \equiv T \lor T \equiv T$। તેથી, $A$ એ નિત્યસત્ય છે.
પગલું $2$: $B$ નું વિશ્લેષણ: ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim (p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$। તેથી, $(\sim p \lor \sim q) \leftrightarrow (\sim p \lor \sim q)$ હંમેશા સાચું છે. તેથી, $B$ એ નિત્યસત્ય છે.
પગલું $3$: $C$ નું વિશ્લેષણ: $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p \land \sim q) \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$। તેથી, $C$ એ વિરોધાભાસ છે.
પગલું $4$: $D$ નું વિશ્લેષણ: $(p \land q) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv (p \land q \land \sim p) \lor (p \land q \land \sim q) \equiv (p \land \sim p \land q) \lor (p \land q \land \sim q) \equiv (F \land q) \lor (p \land F) \equiv F \lor F \equiv F$। તેથી, $D$ એ વિરોધાભાસ છે.
નિષ્કર્ષ: $A$ અને $B$ નિત્યસત્ય છે, $C$ અને $D$ વિરોધાભાસ છે.

(D) પગલું $1$: દ્વિ-શરતી વિધાન $p \leftrightarrow q$ એ $(p \to q) \land (q \to p)$ ને સમાન છે.
પગલું $2$: નકાર $\sim (p \leftrightarrow q)$ એ $\sim ((p \to q) \land (q \to p))$ ને સમાન છે.
પગલું $3$: ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા, આ $\sim (p \to q) \lor \sim (q \to p)$ બને છે.
પગલું $4$: કારણ કે $\sim (p \to q) \equiv p \land \sim q$, અભિવ્યક્તિ $(p \land \sim q) \lor (q \land \sim p)$ બને છે.
પગલું $5$: આ એક્સક્લુઝિવ $OR$ $(p \oplus q)$ ની વ્યાખ્યા છે, જે તાર્કિક રીતે $p \leftrightarrow \sim q$ અથવા $\sim p \leftrightarrow q$ ને સમાન છે.
પગલું $6$: વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા, $p \leftrightarrow \sim q$ એ વિકલ્પ $D$ છે.

(A) શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
અહીં, $A = (p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)$ અને $B = (p \land q)$ છે.
કારણ કે $A$ સત્ય છે, $(p \lor q)$ સત્ય છે, $(q \to r)$ સત્ય છે, અને $(\sim r)$ સત્ય છે.
$(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
$r = F$ ને $(q \to r) = T$ માં મૂકતા, આપણને $(q \to F) = T$ મળે છે, જેનો અર્થ છે $q = F$.
કારણ કે $(p \lor q) = T$ અને $q = F$ છે, તેથી $p = T$ હોવું જોઈએ.
હવે, $B = (p \land q) = (T \land F) = F$ ચકાસો. આ શરત સાથે મેળ ખાય છે કે $B$ અસત્ય છે.
આમ, સત્યતા મૂલ્યો $p = T$ અને $q = F$ છે.
હવે, $p \to q = T \to F = F$ ની ગણતરી કરો.
$q \to p = F \to T = T$ ની ગણતરી કરો.
તેથી, સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(B) આપેલ છે: $p = T, q = F, r = F$।
પગલું $1$: વિધાન $S = [\sim (p \land \sim q) \lor (q \lor \sim r)]$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$\sim q = \sim F = T$।
$(p \land \sim q) = (T \land T) = T$।
$\sim (p \land \sim q) = \sim T = F$।
$\sim r = \sim F = T$।
$(q \lor \sim r) = (F \lor T) = T$।
$S = (F \lor T) = T$।
પગલું $2$: દ્વૈત $S^*$ શોધો. $\land$ ને $\lor$ સાથે, $\lor$ ને $\land$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે, અને $F$ ને $T$ સાથે બદલો.
$S^* = [\sim (p \lor \sim q) \land (q \land \sim r)]$।
પગલું $3$: $S^*$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$(p \lor \sim q) = (T \lor T) = T$।
$\sim (p \lor \sim q) = \sim T = F$।
$(q \land \sim r) = (F \land T) = F$।
$S^* = (F \land F) = F$।
આમ, સત્યતા મૂલ્યો $T$ અને $F$ છે.

(A) $1$. આપેલ વિધાન: $S = p \to (q \to r)$.
$2$. $S$ નો પ્રતિલોમ: $\sim p \to \sim (q \to r) = \sim p \to (q \land \sim r)$.
$3$. પ્રતિલોમનો પ્રતીપ: $(q \land \sim r) \to \sim p$.
$4$. પ્રતીપનું દ્વૈત: $\land$ ને $\lor$ વડે, $\lor$ ને $\land$ વડે, $T$ ને $F$ વડે, અને $F$ ને $T$ વડે બદલો. $(q \land \sim r) \to \sim p$ નું દ્વૈત $(q \lor \sim r) \to \sim p$ છે.
$5$. $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sim (q \lor \sim r) \lor \sim p = (\sim q \land r) \lor \sim p$.
$6$. આ $\sim (p \lor (q \land \sim r)) = \sim (p \lor (r \to q))$ ને સમતુલ્ય છે.
$7$. આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $P$ એ વિધાન "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે" છે અને $Q$ એ વિધાન "તે $3$ નો ગુણક છે" છે.
આપેલ વિધાન "જો $P$, તો $Q$" સ્વરૂપમાં છે, જેને $P \implies Q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$P \implies Q$ નું નિષેધ $\sim(P \implies Q) \equiv P \land \sim Q$ થાય છે.
અહીં, $P$ એ "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે" છે અને $\sim Q$ એ "તે $3$ નો ગુણક નથી" છે.
તેથી, નિષેધ "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે અને તે $3$ નો ગુણક નથી" છે.

(D) પગલું $1$: વિધાન પેટર્નનું દ્વૈત શોધવા માટે, $\land$ ને $\lor$ સાથે, $\lor$ ને $\land$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલો. $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ નું દ્વૈત $(p \lor \sim q) \to (q \lor \sim p)$ છે.
પગલું $2$: આપણે જાણીએ છીએ કે $A \to B$ એ $\sim A \lor B$ ને સમકક્ષ છે. તેથી, $(p \lor \sim q) \to (q \lor \sim p)$ એ $\sim (p \lor \sim q) \lor (q \lor \sim p)$ ને સમકક્ષ છે.
પગલું $3$: ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim (p \lor \sim q) = \sim p \land q$। તેથી પદાવલિ $(\sim p \land q) \lor (q \lor \sim p)$ બને છે.
પગલું $4$: જૂથના અને ક્રમના નિયમો દ્વારા, આ $\sim p \lor q$ બરાબર છે. આપેલા વિકલ્પો તપાસતા, વિકલ્પ $D$ એ યોગ્ય માળખું દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે સર્કિટમાં સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ છે. આપેલી સર્કિટ શ્રેણીમાં જોડાયેલ બે સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ ની બનેલી છે.
બુલિયન બીજગણિતમાં, સ્વિચના શ્રેણી જોડાણને તાર્કિક $AND$ ઓપરેશન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી, સ્વિચિંગ સર્કિટને $S_1 \land S_2$ અભિવ્યક્તિ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $(A)$ શ્રેણીમાં બે સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ દર્શાવે છે, જે $S_1 \land S_2$ અભિવ્યક્તિને અનુરૂપ છે.
વિકલ્પ $(B)$ સમાંતર ક્રમમાં બે સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ દર્શાવે છે, જે $S_1 \lor S_2$ ને અનુરૂપ છે.
વિકલ્પ $(C)$ $(A)$ જેવું જ છે.
વિકલ્પ $(D)$ $(B)$ જેવું જ છે.
મૂળ સર્કિટ (આવા પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં સૂચિત) શ્રેણી સર્કિટ હોવાથી, સૌથી સરળ સ્વરૂપ $(A)$ માં દર્શાવેલ શ્રેણી જોડાણ છે.

(D) પગલું $1$: દરેક પ્રતિવિધેય ત્રિકોણમિતીય પદની કિંમત શોધો.
$\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$
$\cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$
$\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$
$\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$
$\sec^{-1}(-2) = \pi - \sec^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
પગલું $2$: આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો.
અંશ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi + 4\pi + 2\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$
છેદ: $\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$
પગલું $3$: અંતિમ ગુણોત્તરની ગણતરી કરો.
$\frac{3\pi/4}{-\pi/3} = \frac{3\pi}{4} \times (-\frac{3}{\pi}) = -\frac{9}{4}$

(C) પગલું $1$: $\cos(\frac{19\pi}{4})$ ને સરળ બનાવો. કારણ કે $\frac{19\pi}{4} = 4\pi + \frac{3\pi}{4}$, તેથી $\cos(\frac{19\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
પગલું $2$: પદાવલિમાં કિંમતો મૂકો: $\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}} - 1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{-\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = -(1+\sqrt{2})$.
પગલું $3$: આપણે $\tan^{-1}(-(1+\sqrt{2}))$ શોધવાની જરૂર છે. કારણ કે $\tan(\frac{3\pi}{8}) = \tan(67.5^\circ) = 1+\sqrt{2}$ છે, તેથી $\tan(-\frac{3\pi}{8}) = -(1+\sqrt{2})$ થાય.
પગલું $4$: તેથી, $\tan^{-1}(-(1+\sqrt{2})) = -\frac{3\pi}{8}$ છે.

(B) પગલું $1$: $\cos^{-1}(-\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધો. કારણ કે $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, તેથી $\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
પગલું $2$: આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકો: $\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3})$.
પગલું $3$: ખૂણાનું સાદું રૂપ આપો: $\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi$.
પગલું $4$: $\cos(\pi) = -1$ ની ગણતરી કરો.

(D) આપેલ પદાવલિ $y = \cot^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1 - \sin x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 - \sin x} - \sqrt{1 + \sin x}} \right]$ છે.
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી, $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{4})$ થાય.
$1 \pm \sin x = (\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\sqrt{1 \pm \sin x} = |\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}|$ મળે છે.
$0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી, $\cos \frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2} > 0$ થાય.
તેથી, $\sqrt{1 + \sin x} = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$ અને $\sqrt{1 - \sin x} = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા, $\cot^{-1}$ ની અંદરની પદાવલિ $\frac{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})} = \frac{2 \cos \frac{x}{2}}{-2 \sin \frac{x}{2}} = -\cot \frac{x}{2}$ થાય છે.
તેથી, $y = \cot^{-1}(-\cot \frac{x}{2}) = \pi - \cot^{-1}(\cot \frac{x}{2}) = \pi - \frac{x}{2}$.

(C) પગલું $1$: $\cos^{-1}(\cos \frac{4\pi}{3})$ ને સરળ બનાવો. કારણ કે $\frac{4\pi}{3}$ એ વિસ્તાર $[0, \pi]$ માં નથી, આપણે લખીએ છીએ $\cos \frac{4\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{2\pi}{3}) = \cos \frac{2\pi}{3}$. તેથી, $\cos^{-1}(\cos \frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$.
પગલું $2$: $\sin^{-1}(\sin \frac{4\pi}{3})$ ને સરળ બનાવો. કારણ કે $\frac{4\pi}{3}$ એ વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં નથી, આપણે લખીએ છીએ $\sin \frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = \sin(-\frac{\pi}{3})$. તેથી, $\sin^{-1}(\sin(-\frac{\pi}{3})) = -\frac{\pi}{3}$.
પગલું $3$: પરિણામોનો સરવાળો કરો: $\frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

(B) $\sin^{-1}(x-2)$ નો પ્રદેશ $[1, 3]$, $\cos^{-1}(x)$ નો $[-1, 1]$, $\tan^{-1}(x+2)$ નો $(-\infty, \infty)$, અને $\cot^{-1}(x+4)$ નો $(-\infty, \infty)$ છે.
આ પ્રદેશોનો છેદગણ $\{1\}$ છે.
સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$-\frac{\pi}{2} + 0 + \tan^{-1}(3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k}) - \frac{\pi}{2}$
$\tan^{-1}(3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k})$
$\tan^{-1}(3) = \cot^{-1}(1/3)$ નો ઉપયોગ કરતા, $\cot^{-1}(1/3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k})$ મળે.
ધારો કે $\alpha = \cot^{-1}(1/3)$ અને $\beta = \cot^{-1}(5)$ છે. તો $\cot(\alpha + \beta) = \frac{(1/3)(5) - 1}{1/3 + 5} = \frac{2/3}{16/3} = \frac{1}{8}$.
તેથી, $\alpha + \beta = \cot^{-1}(1/8) = \tan^{-1}(8) = \sec^{-1}(\sqrt{65})$.
આમ, $\sqrt{k} = \sqrt{65}$, તેથી $k = 65$ મળે.
આપણે $\cos(2 \csc^{-1}\sqrt{65-1}) = \cos(2 \csc^{-1}(8))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $\theta = \csc^{-1}(8)$, તો $\sin \theta = 1/8$ થાય.
તેથી $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta = 1 - 2(1/8)^2 = 1 - 1/32 = \frac{31}{32}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^{-1}(\tan \frac{\pi}{4}) - \sin^{-1}(\sqrt{\frac{3}{x}}) = \frac{\pi}{6}$
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{4} = 1$, તેથી $\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(\sqrt{\frac{3}{x}}) = \frac{\pi}{6}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$, તેથી $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\sqrt{\frac{3}{x}}) = \frac{\pi}{6}$
પદ ગોઠવતા: $\sin^{-1}(\sqrt{\frac{3}{x}}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$
બંને બાજુ $\sin$ લેતા: $\sqrt{\frac{3}{x}} = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3}{x} = \frac{3}{4}$
આમ, $x = 4$ મળે છે.
$x = 4$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $4^2 - 4 - 6 = 6 \neq 0$
$(B)$ $4^2 - 4 - 12 = 0$
$(C)$ $4^2 + 4 - 12 = 8 \neq 0$
$(D)$ $4^2 + 4 - 6 = 14 \neq 0$
તેથી, $x=4$ એ $x^2 - x - 12 = 0$ નું બીજ છે.

(C) ધારો કે $f(k) = \sin^{-1}(\cos \frac{k\pi}{4})$ છે. નિત્યસમ $\sin^{-1}(\cos x) = \frac{\pi}{2} - x$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે વિધેય $f(k)$ નો આવર્તકાળ $8$ છે કારણ કે $\cos(\frac{(k+8)\pi}{4}) = \cos(\frac{k\pi}{4} + 2\pi) = \cos(\frac{k\pi}{4})$ થાય છે.
એક આવર્તકાળનો સરવાળો $S_8 = \sum_{k=1}^{8} \sin^{-1}(\cos \frac{k\pi}{4})$ છે.
$k=1$ થી $8$ માટે કિંમતો: $\sin^{-1}(\cos \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos \frac{2\pi}{4}) = 0$, $\sin^{-1}(\cos \frac{3\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos \pi) = -\frac{\pi}{2}$, $\sin^{-1}(\cos \frac{5\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos \frac{6\pi}{4}) = 0$, $\sin^{-1}(\cos \frac{7\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos 2\pi) = \frac{\pi}{2}$.
સરવાળો $S_8 = \frac{\pi}{4} + 0 - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 0 + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = 0$ છે.
કારણ કે $2026 = 8 \times 253 + 2$ છે, તેથી કુલ સરવાળો $253 \times S_8 + f(1) + f(2) = 0 + \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}$ થશે.

(B) આપેલ છે: તમામ $x, y \in R$ માટે $f(x - y) + f(x + y) = 2f(x)f(y)$.
પગલું $1$: આપેલ સમીકરણમાં $x$ ને $0$ વડે બદલો.
$f(-y) + f(y) = 2f(0)f(y)$.
પગલું $2$: જો આપણે $f(0) = 1$ લઈએ, તો $f(-y) + f(y) = 2f(y)$, જેનો અર્થ છે કે $f(-y) = f(y)$.
પગલું $3$: એક વિધેય $f(x)$ ને યુગ્મ વિધેય કહેવાય છે જો તેના પ્રદેશમાં તમામ $x$ માટે $f(-x) = f(x)$ હોય.
પગલું $4$: કારણ કે $f(-y) = f(y)$ સાચું છે, તેથી $f(x)$ એ એક યુગ્મ વિધેય છે.

(B) ધારો કે $t = \frac{x - 1}{x + 1}$ છે.
તેથી $t(x + 1) = x - 1 \implies tx + t = x - 1 \implies x(t - 1) = -1 - t \implies x = \frac{t + 1}{1 - t}$ થાય.
આપેલ વિધેયમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $f(t) = \frac{t + 1}{1 - t} + 1 = \frac{t + 1 + 1 - t}{1 - t} = \frac{2}{1 - t}$ મળે.
હવે, $\int f(x) dx = \int \frac{2}{1 - x} dx$ થાય.
ધારો કે $u = 1 - x$, તો $du = -dx$, તેથી $dx = -du$ થાય.
$\int \frac{2}{u} (-du) = -2 \int \frac{1}{u} du = -2 \log |u| + c = -2 \log |1 - x| + c$ મળે.

(A) ધારો કે $g(1) = k$ છે. પ્રતિવિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ, જો $g(1) = k$ હોય, તો $f(k) = 1$ થાય.
વિધેય $f(x) = \frac{5x + 3}{4x - 1}$ માં $k$ મૂકતા:
$\frac{5k + 3}{4k - 1} = 1$
બંને બાજુ $(4k - 1)$ વડે ગુણતા:
$5k + 3 = 4k - 1$
બંને બાજુથી $4k$ બાદ કરતા:
$k + 3 = -1$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$k = -4$
તેથી, $g(1) = -4$.

(B) પગલું $1$: ધારો કે $y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 5}$ છે.
પગલું $2$: $y$ ના સ્વરૂપમાં $x$ શોધો: $y(x + 5) = 2x - 1$.
પગલું $3$: વિસ્તરણ કરો અને પદોને ગોઠવો: $yx + 5y = 2x - 1 \implies yx - 2x = -5y - 1$.
પગલું $4$: $x$ સામાન્ય લો: $x(y - 2) = -(5y + 1) \implies x = \frac{-(5y + 1)}{y - 2} = \frac{5y + 1}{2 - y}$.
પગલું $5$: $y$ ને $x$ વડે બદલતા $f^{-1}(x) = \frac{5x + 1}{2 - x}, x \neq 2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $g(x) = x^2 + x - 2$ અને $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2x^2 - 5x + 2$.
ધારો કે $f(x) = y$. તો $g(y) = y^2 + y - 2 = 2x^2 - 5x + 2$.
$y^2 + y - (2x^2 - 5x + 4) = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $a=1, b=1, c=-(2x^2 - 5x + 4)$ છે:
$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8x^2 - 20x + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{8x^2 - 20x + 17}}{2}$.
આપેલા વિકલ્પો આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતા નથી, તેથી પ્રશ્નના વિકલ્પો ખોટા છે.

(A) પગલું $1$: $(f \circ f)(x)$ ની ગણતરી કરો.
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \frac{4(\frac{4x+3}{6x-4}) + 3}{6(\frac{4x+3}{6x-4}) - 4}$.
પગલું $2$: પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો.
$= \frac{16x + 12 + 18x - 12}{24x + 18 - 24x + 16} = \frac{34x}{34} = x$.
પગલું $3$: કારણ કે $(f \circ f)(x) = x$, તેથી $g(x) = x$.
પગલું $4$: સંયોજન $(g \circ g \circ g \circ g \circ g)(x)$ એ $g(g(g(g(g(x)))))$ ને સમાન છે.
કારણ કે $g(x) = x$, તેથી $g(g(g(g(g(x))))) = x$.
પગલું $5$: $x = 3$ માટે કિંમત શોધો.
$(g \circ g \circ g \circ g \circ g)(3) = 3$.

(D) પગલું $1$: ચોક્કસ કિંમતો માટે $f(x)$ અને $g(x)$ ની ગણતરી કરો.
$x \ge 0$ માટે, $f(x) = 2x - x = x$ અને $g(x) = 2x + x = 3x$ છે.
$x < 0$ માટે, $f(x) = 2x - (-x) = 3x$ અને $g(x) = 2x + (-x) = x$ છે.
પગલું $2$: $(fog)(2)$ અને $(gof)(2)$ ની કિંમત શોધો.
$(fog)(2) = f(g(2)) = f(3(2)) = f(6) = 6$.
$(gof)(2) = g(f(2)) = g(2) = 3(2) = 6$.
પગલું $3$: $(fog)(-2)$ અને $(gof)(-2)$ ની કિંમત શોધો.
$(fog)(-2) = f(g(-2)) = f(-2) = 3(-2) = -6$.
$(gof)(-2) = g(f(-2)) = g(3(-2)) = g(-6) = -6$.
પગલું $4$: વિકલ્પો તપાસો.
વિકલ્પ $(D)$: $(gof)(2) + (gof)(-2) = 6 + (-6) = 0$. તેથી, વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$.
પ્રથમ, $f(\cos x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ ની ગણતરી કરો.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $f(\cos x) = \frac{2 \sin^2 (x/2)}{2 \cos^2 (x/2)} = \tan^2 \frac{x}{2}$ મળે છે.
હવે, $f(f(\cos x)) = f(\tan^2 \frac{x}{2}) = \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}$ ની ગણતરી કરો.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $\theta = \frac{x}{2}$ છે, આપણને $f(f(\cos x)) = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: $f(g(x)) = f(cx + d) = a(cx + d) + b = acx + ad + b$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: $g(f(x)) = g(ax + b) = c(ax + b) + d = cax + cb + d$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: બંને પદોને સરખાવો: $acx + ad + b = cax + cb + d$.
પગલું $4$: આ બધા $x$ માટે સાચું હોવાથી, અચળ પદો સમાન હોવા જોઈએ: $ad + b = cb + d$.
પગલું $5$: સમીકરણને ફરીથી ગોઠવો: $ad - d = cb - b$, જે $d(a - 1) = b(c - 1)$ છે.
પગલું $6$: વૈકલ્પિક રીતે, જુઓ કે $f(d) = ad + b$ અને $g(b) = cb + d$ છે. સમાનતા $ad + b = cb + d$ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f(d) = g(b)$ છે.

(C) પગલું $1$: $(f \circ g)(\frac{3}{2}) = f(g(\frac{3}{2}))$ ની ગણતરી કરો.
$g(\frac{3}{2}) = [(\frac{3}{2})^2] = [\frac{9}{4}] = [2.25] = 2$.
$f(g(\frac{3}{2})) = f(2) = 2^2 = 4$.
પગલું $2$: $(g \circ f)(\frac{3}{2}) = g(f(\frac{3}{2}))$ ની ગણતરી કરો.
$f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
$g(f(\frac{3}{2})) = [2.25^2] = [5.0625] = 5$.
પગલું $3$: પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$(f \circ g)(\frac{3}{2}) + (g \circ f)(\frac{3}{2}) = 4 + 5 = 9$.

(B) આપેલ છે કે $g(x) = 1 - \sqrt{x}$.
આપણે $f(6)$ ની કિંમત શોધવી છે, તેથી $g(x) = 6$ લો.
$1 - \sqrt{x} = 6 \implies -\sqrt{x} = 5 \implies \sqrt{x} = -5$.
કારણ કે $\sqrt{x}$ ની કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે, તેથી $x = 25$ મળે.
$f(g(x))$ ના પદમાં $\sqrt{x} = -5$ મૂકતા:
$f(6) = 5 + 4(-5) + (-5)^2$.
$f(6) = 5 - 20 + 25$.
$f(6) = 10$.

(B) પગલું $1$: $g_n(x)$ ની પેટર્ન શોધો.
$f(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.
$g_2(x) = f(f(x)) = 1 - \frac{1}{1 - 1/x} = 1 - \frac{x}{x-1} = \frac{x-1-x}{x-1} = \frac{-1}{x-1} = \frac{1}{1-x}$.
$g_3(x) = f(g_2(x)) = 1 - \frac{1}{1/(1-x)} = 1 - (1-x) = x$.
પગલું $2$: $g_{2025}(x)$ અને $g_{2026}(x)$ નક્કી કરો.
કારણ કે $g_3(x) = x$, વિધેયો $3$ ના આવર્તકાળ સાથે પુનરાવર્તિત થાય છે.
$2025$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે, તેથી $g_{2025}(x) = g_3(x) = x$.
$g_{2026}(x) = f(g_{2025}(x)) = f(x) = 1 - \frac{1}{x}$.
પગલું $3$: સંકલન સમીકરણ ઉકેલો.
$\int x \cdot (1 - \frac{1}{x}) \, dx = \int (x - 1) \, dx = \frac{x^2}{2} - x + c$.
$\int g_{2025}(x) \, dx = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + c$.
આપેલ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{x^2}{2} - x + c = \frac{x^2}{2} + c + h(x)$.
તેથી, $h(x) = -x$.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x}$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે, વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિઓ અઋણ (non-negative) હોવી જોઈએ.
પગલું $1$: $\sqrt{x - 1}$ માટે, આપણે $x - 1 \ge 0$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે $x \ge 1$.
પગલું $2$: $\sqrt{3 - x}$ માટે, આપણે $3 - x \ge 0$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે $x \le 3$.
પગલું $3$: પ્રદેશ એ આ બે શરતોનો છેદગણ (intersection) છે: $x \ge 1$ અને $x \le 3$.
પગલું $4$: આ બંનેને જોડતા, આપણને $1 \le x \le 3$ મળે છે, જે અંતરાલ $[1, 3]$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = e^{\sqrt{5x - 3 - 2x^2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે, વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ અઋણ (non-negative) હોવી જોઈએ:
$5x - 3 - 2x^2 \ge 0$
$-1$ વડે ગુણતા અને અસમતા ઉલટાવતા:
$2x^2 - 5x + 3 \le 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$2x^2 - 2x - 3x + 3 \le 0$
$2x(x - 1) - 3(x - 1) \le 0$
$(2x - 3)(x - 1) \le 0$
બીજ $x = 1$ અને $x = \frac{3}{2}$ છે.
ગુણાકાર $\le 0$ થાય તે માટે, $x$ એ બીજોની વચ્ચે (સહિત) હોવો જોઈએ:
$1 \le x \le \frac{3}{2}$
આમ, પ્રદેશ $[1, \frac{3}{2}]$ છે।

(B) આપેલ સમીકરણ: $e^x + e^{f(x)} = e$ છે.
$e^{f(x)}$ ને અલગ કરતા: $e^{f(x)} = e - e^x$ મળે છે.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે, પ્રાકૃતિક લઘુગણકનું મૂલ્ય ધન હોવું જોઈએ: $e - e^x > 0$.
$e > e^x$.
ઘાતાંકીય વિધેય $e^x$ એ સતત વધતું વિધેય હોવાથી, $x < 1$ મળે.
આમ, $f(x)$ નો પ્રદેશ $(-\infty, 1)$ છે.

(A) સંમેય વિધેય $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ ત્યારે અવ્યાખ્યાયિત હોય છે જ્યારે છેદ $Q(x) = 0$ થાય.
છેદને શૂન્ય સાથે સરખાવો: $x^2 - 3x + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરો જ્યાં $a = 1, b = -3, c = 1$ છે.
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
આમ, $f(x)$ એ $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ અને $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ માટે વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1} (ax) + \tan^{-1} (3x) = \frac{\pi}{4}$ છે.
સૂત્ર $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{ax + 3x}{1 - 3ax^2} \right) = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા: $\frac{x(a+3)}{1-3ax^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$ થાય.
સમીકરણમાં $x = \frac{1}{6}$ મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{6}(a+3)}{1 - 3a(\frac{1}{6})^2} = 1$.
$\frac{\frac{a+3}{6}}{1 - \frac{3a}{36}} = 1 \implies \frac{a+3}{6} = 1 - \frac{a}{12}$.
$12$ વડે ગુણતા: $2(a+3) = 12 - a$.
$2a + 6 = 12 - a \implies 3a = 6 \implies a = 2$.

(B) આપેલ છે $y = \cot^{-1} \left( \frac{x - \log x}{x^2 \cdot 2 \log x + x \log x} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{x - \log x}{x \log x (2x + 1)} \right)$। આ પદાવલિ $y = \cot^{-1} \left( \frac{1}{\log x} - \frac{1}{x} \right)$ માં સરળ થાય છે.
નિત્યસમ $\cot^{-1} u = \tan^{-1} (1/u)$ નો ઉપયોગ કરતા, $y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} (\log x)$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) + \frac{d}{dx} (\tan^{-1} (\log x)) = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + (\log x)^2} \cdot \frac{1}{x}$।
આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ થાય છે.
આ કિંમત મૂકતા, $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$ મળે.
ધારો કે $u = \sin^{-1} x$ છે. કારણ કે $x \in [-1, 1]$, તેથી $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
$f(u) = u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = 2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4}$ મળે.
આ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે. ન્યૂનતમ કિંમત $u = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
કારણ કે $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, ન્યૂનતમ કિંમત $f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})^2 - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = 2(\frac{\pi^2}{16}) - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$ થાય છે.

(B) $f(x)$ નો પ્રદેશ $x \in [-1, 1]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$.
આને $f(x)$ માં મૂકતા:
$f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$.
ધારો કે $t = \sin^{-1} x$. કારણ કે $x \in [-1, 1]$, $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
$f(t) = t^2 + (\frac{\pi}{2} - t)^2 = t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = 2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{4}$.
આ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે. શિરોબિંદુ $t = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ પર છે.
કારણ કે $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})^2 - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય અંતરાલ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ના અંતિમ બિંદુઓ પર મળે છે.
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2(-\frac{\pi}{2})^2 - \pi(-\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{5\pi^2}{4}$.
$f(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 - \pi(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{4}$.
આમ, મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{5\pi^2}{4}$ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{\pi^2}{8}$ છે.
સરવાળો $= \frac{5\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{11\pi^2}{8}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
ધારો કે $a = \tan^{-1} x$ અને $b = \cot^{-1} x$ છે. તેથી $a + b = \frac{\pi}{2}$, એટલે કે $b = \frac{\pi}{2} - a$ થશે.
આપેલ સમીકરણ $a^2 + b^2 = \frac{5\pi^2}{8}$ છે.
$b$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $a^2 + (\frac{\pi}{2} - a)^2 = \frac{5\pi^2}{8}$ મળે છે.
$a^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi a + a^2 = \frac{5\pi^2}{8}$.
$2a^2 - \pi a + \frac{2\pi^2}{8} - \frac{5\pi^2}{8} = 0$.
$2a^2 - \pi a - \frac{3\pi^2}{8} = 0$.
$8$ વડે ગુણતા: $16a^2 - 8\pi a - 3\pi^2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા, $a = \frac{8\pi \pm \sqrt{64\pi^2 + 192\pi^2}}{32} = \frac{8\pi \pm 16\pi}{32}$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $a = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}$. કારણ કે $\tan^{-1} x$ નો વિસ્તાર $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ છે, આ અમાન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $a = \frac{-8\pi}{32} = -\frac{\pi}{4}$.
આમ, $\tan^{-1} x = -\frac{\pi}{4}$, જેનો અર્થ છે કે $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

(A) ધારો કે $u = \sin^{-1} x$ છે. કારણ કે $0 \le x \le 1$, તેથી $0 \le u \le \frac{\pi}{2}$ છે.
ત્યારે $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ થાય.
પદાવલિ $f(u) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3$ બને છે, જ્યાં $u \in [0, \frac{\pi}{2}]$ છે.
$f(u) = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$ છે.
વિસ્તાર શોધવા માટે, ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો: $f'(u) = 3\pi u - \frac{3\pi^2}{4} = 0 \implies u = \frac{\pi}{4}$ છે.
$u = 0$ પર, $f(0) = \frac{\pi^3}{8}$ છે.
$u = \frac{\pi}{4}$ પર, $f(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^3 + (\frac{\pi}{4})^3 = 2(\frac{\pi^3}{64}) = \frac{\pi^3}{32}$ છે.
$u = \frac{\pi}{2}$ પર, $f(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})^3 + 0 = \frac{\pi^3}{8}$ છે.
આમ, ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{\pi^3}{32}$ છે અને મહત્તમ કિંમત $\frac{\pi^3}{8}$ છે.
આપેલ છે કે $a\pi^3 = f(u)$, તેથી $\frac{\pi^3}{32} \le a\pi^3 \le \frac{\pi^3}{8}$, જેનાથી $\frac{1}{32} \le a \le \frac{1}{8}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a \ge \frac{1}{32}$.

(D) આપેલ છે કે $I_1 = \int \sin^{-1} \sqrt{1 - x^2} dx$ અને $I_2 = \int \sin^{-1} x dx$.
$0 \le x \le 1$ માટે $\sin^{-1} \sqrt{1 - x^2} = \cos^{-1} x$ હોવાથી, $I_1 = \int \cos^{-1} x dx$ મળે.
હવે, $I_1 + I_2 = \int (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x) dx$.
નિત્યસમ $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $I_1 + I_2 = \int \frac{\pi}{2} dx$ મળે છે.
તેથી, $I_1 + I_2 = \frac{\pi}{2} x + C$.

(B) આપેલ છે $\sin(\cos^{-1} x + \tan^{-1} x) - \cos(\sin^{-1} x + \tan^{-1} x) = \sin(\cot^{-1} 2)$.
ધારો કે $\theta = \tan^{-1} x$. તેથી $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \theta$ અને $\sin^{-1} x = \theta$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta + \theta) - \cos(\theta + \theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$\sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(2\theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$1 - \cos(2\theta) = \sin(\cot^{-1} 2)$
$1 - \frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
$\frac{2x^2}{1+x^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
અહીં $x = 1/2$ લેતા $\frac{2(1/4)}{1+1/4} = 2/5$ મળે છે, તેથી પ્રશ્નમાં $\sin(\cot^{-1} 2)$ ના બદલે $2/5$ હોવું જોઈએ.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
ધારો કે $A = \sin^{-1} x$ અને $B = \cos^{-1} x$ છે. તેથી $A + B = \frac{\pi}{2}$, જેનો અર્થ છે કે $B = \frac{\pi}{2} - A$.
આપેલ સમીકરણ $2A - 3B = 4$ છે.
સમીકરણમાં $B = \frac{\pi}{2} - A$ મૂકતા: $2A - 3(\frac{\pi}{2} - A) = 4$.
$2A - \frac{3\pi}{2} + 3A = 4 \implies 5A = 4 + \frac{3\pi}{2} = \frac{8 + 3\pi}{2} \implies A = \frac{8 + 3\pi}{10}$.
હવે $B$ ની કિંમત શોધો: $B = \frac{\pi}{2} - \frac{8 + 3\pi}{10} = \frac{5\pi - 8 - 3\pi}{10} = \frac{2\pi - 8}{10} = \frac{\pi - 4}{5}$.
આપણે $2A + 3B$ શોધવાનું છે: $2(\frac{8 + 3\pi}{10}) + 3(\frac{2\pi - 8}{10}) = \frac{16 + 6\pi + 6\pi - 24}{10} = \frac{12\pi - 8}{10} = \frac{6\pi - 4}{5}$.

(C) ધારો કે $\cos^{-1} x = \theta$, તો $\cos \theta = x$ થાય. તેથી $\cot(\cos^{-1} x) = \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.
ધારો કે $\tan^{-1} \frac{a}{\sqrt{b^2 - a^2}} = \phi$, તો $\tan \phi = \frac{a}{\sqrt{b^2 - a^2}}$ થાય.
નિત્યસમ $\sec^2 \phi = 1 + \tan^2 \phi$ નો ઉપયોગ કરતા, $\sec^2 \phi = 1 + \frac{a^2}{b^2 - a^2} = \frac{b^2 - a^2 + a^2}{b^2 - a^2} = \frac{b^2}{b^2 - a^2}$.
તેથી, $\sec \phi = \frac{b}{\sqrt{b^2 - a^2}}$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2 - a^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{x^2}{1 - x^2} = \frac{b^2}{b^2 - a^2}$.
$x^2(b^2 - a^2) = b^2(1 - x^2) = b^2 - b^2 x^2$.
$x^2(b^2 - a^2 + b^2) = b^2 \implies x^2(2b^2 - a^2) = b^2$.
$x^2 = \frac{b^2}{2b^2 - a^2} \implies x = \frac{b}{\sqrt{2b^2 - a^2}}$.

(B) ધારો કે $x^2 = \cos \theta$, તેથી $\theta = \cos^{-1}(x^2)$ છે.
તેથી $y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\sqrt{1 + \cos \theta} - \sqrt{1 - \cos \theta}}{\sqrt{1 + \cos \theta} + \sqrt{1 - \cos \theta}} \right\}$ થશે.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\sqrt{1 + \cos \theta} = \sqrt{2} \cos(\theta/2)$ અને $\sqrt{1 - \cos \theta} = \sqrt{2} \sin(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \left\{ \frac{\sqrt{2} \cos(\theta/2) - \sqrt{2} \sin(\theta/2)}{\sqrt{2} \cos(\theta/2) + \sqrt{2} \sin(\theta/2)} \right\} = \tan^{-1} \left\{ \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} \right\}$ મળે છે.
$y = \tan^{-1} \left\{ \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}) \right\} = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos^{-1}(x^2)$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} \cdot 2x \right) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^4}}$.

(B) આપેલ છે: $\tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{5} - 2\sqrt{6}}{1 + \sqrt{6}} \right] = \frac{\pi}{3} - \tan^{-1}(k)$.
$\tan^{-1}$ ની અંદરની પદાવલિને સરળ બનાવતા, $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{6}} = \tan(\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \tan^{-1}(\sqrt{2})) = \tan(\frac{\pi}{3} - \tan^{-1}(\sqrt{2}))$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખામણી કરતા, $\tan^{-1}(\sqrt{2}) = \tan^{-1}(k)$, તેથી $k = \sqrt{2}$.
આપણે $\sec^{-1}(\sqrt{2})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$, તેથી $\sec^{-1}(\sqrt{2}) = \frac{\pi}{4}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 + \sin 2x}{1 - \sin 2x}}$.
$1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ અને $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા, $1 + \sin 2x = (\cos x + \sin x)^2$ અને $1 - \sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$ મળે છે.
તેથી, $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{(\cos x + \sin x)^2}{(\cos x - \sin x)^2}} = \tan^{-1} \left| \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} \right|$.
અંશ અને છેદને $\cos x$ વડે ભાગતા, $y = \tan^{-1} \left| \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} \right| = \tan^{-1} |\tan(\frac{\pi}{4} + x)|$ મળે છે.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે, $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12}$, જે પ્રથમ ચરણમાં છે, તેથી $y = \frac{\pi}{4} + x$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} + x) = 1$.

(B) ધારો કે $x = \sin \theta$, જ્યાં $\theta = \sin^{-1} x$ છે.
તેથી $\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \cos \theta$ થશે.
પદાવલિ $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta} \right]$ બને છે.
અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા: $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta + 1} \right]$ મળે.
$\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $y = \tan^{-1} [-\tan(\frac{\pi}{4} - \theta)] = \tan^{-1} [\tan(\theta - \frac{\pi}{4})]$ મળે છે.
આમ, $y = \theta - \frac{\pi}{4} = \sin^{-1} x - \frac{\pi}{4}$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) - 0 = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$।

(A) પગલું $1$: $x$ ને સરળ બનાવો. $t = \tan \theta$ લેતા, $x = \text{cosec}^{-1} \left( \frac{1 + \tan^2 \theta}{2 \tan \theta} \right) = 2\theta = 2 \tan^{-1} t$ મળે.
પગલું $2$: $y$ ને સરળ બનાવો. $t = \sin \theta$ લેતા, $y = \cot^{-1} \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) = \theta = \sin^{-1} t$ મળે.
પગલું $3$: $\frac{dy}{dx}$ શોધો. $\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1 + t^2}$ અને $\frac{dy}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$ થાય. તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1 + t^2}{2 \sqrt{1 - t^2}}$ મળે.
પગલું $4$: $f(\tan \alpha)$ ની કિંમત $\frac{1 + \tan^2 \alpha}{2 \sqrt{1 - \tan^2 \alpha}}$ થાય.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{x}{1+x}}$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે, વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ અ-ઋણ (non-negative) હોવી જોઈએ:
$\frac{x}{1+x} \ge 0$
વળી, છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે, તેથી $1+x \neq 0$, જેનો અર્થ છે $x \neq -1$।
અસમતા $\frac{x}{x+1} \ge 0$ માટે આપણે ચિહ્ન યોજના (Wavy Curve Method) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = -1$ છે.
અંતરાલોની ચકાસણી:
$1$. $x > 0$ માટે, $\frac{x}{1+x} > 0$ (ધન).
$2$. $-1 < x < 0$ માટે, $\frac{x}{1+x} < 0$ (ઋણ).
$3$. $x < -1$ માટે, $\frac{x}{1+x} > 0$ (ધન).
આપણને $\frac{x}{1+x} \ge 0$ જોઈતું હોવાથી, આપણે $x=0$ નો સમાવેશ કરીએ છીએ અને $x=-1$ ને બાકાત રાખીએ છીએ.
આમ, પ્રદેશ $(-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{6-x}$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે, બંને વર્ગમૂળ પદોની કિંમત અઋણ (non-negative) હોવી જોઈએ.
પગલું $1$: $\sqrt{x-1}$ માટે, આપણને $x-1 \ge 0$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે $x \ge 1$।
પગલું $2$: $\sqrt{6-x}$ માટે, આપણને $6-x \ge 0$ ની જરૂર છે, જેનો અર્થ છે $x \le 6$।
પગલું $3$: પ્રદેશ એ આ બંને શરતોનો છેદગણ (intersection) છે: $x \ge 1$ અને $x \le 6$।
પગલું $4$: આ બંનેને જોડતા, આપણને $1 \le x \le 6$ મળે છે, જેને અંતરાલ સંકેતમાં $[1, 6]$ તરીકે લખાય છે।

(B) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે, $k = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 0} [\tan(\frac{\pi}{4} + x)]^{\frac{1}{x}}$ એ $1^\infty$ સ્વરૂપમાં છે.
સૂત્ર $\lim_{x \to 0} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to 0} h(x)[g(x) - 1]}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$k = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} [\tan(\frac{\pi}{4} + x) - 1]}$
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\tan(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$ થાય.
તેથી, $k = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} [\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1]} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} [\frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x}]} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)}}$
કારણ કે $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$, આપણને $k = e^{\frac{2(1)}{1 - 0}} = e^2$ મળે છે.

(B) $x > 0$ માટે, $|x| = x$, તેથી $f(x) = \frac{x - x}{x} = 0$ છે.
$x < 0$ માટે, $|x| = -x$, તેથી $f(x) = \frac{x - (-x)}{x} = \frac{2x}{x} = 2$ છે.
$x = 0$ પર, $f(0) = 2$ છે.
હવે, $x = 0$ પર સાતત્ય ચકાસો:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ છે.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2$ છે.
કારણ કે $\lim_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim_{x \to 0^-} f(x)$, તેથી $x = 0$ પર લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી, તેથી $f$ એ $x = 0$ પર અસતત છે.
$x > 0$ માટે, $f(x) = 0$ (એક અચળ વિધેય), જે સતત છે.
$x < 0$ માટે, $f(x) = 2$ (એક અચળ વિધેય), જે સતત છે.
આમ, $f$ એ $x = 0$ સિવાયના તમામ $x$ માટે સતત છે.

(C) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે, $k = \lim_{x \to 0} f(x)$ થવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 0} \frac{(8-2x)^{1/3} - 2}{3 - (243+5x)^{1/5}} = \lim_{x \to 0} \frac{2(1 - x/4)^{1/3} - 2}{3 - 3(1 + 5x/243)^{1/5}}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2[1 + \frac{1}{3}(-x/4) + \dots] - 2}{3 - 3[1 + \frac{1}{5}(5x/243) + \dots]}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2 - x/6 - 2}{3 - 3 - x/81} = \lim_{x \to 0} \frac{-x/6}{-x/81} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}$.

(D) કારણ કે $f(x)$, $x = 0$ આગળ સતત છે, તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ થાય.
$\lim_{x \to 0} \frac{8^x - 2^x}{k^x - 1} = 2$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{8^x - 1}{x} - \frac{2^x - 1}{x}}{\frac{k^x - 1}{x}} = 2$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{\ln 8 - \ln 2}{\ln k} = 2$ મળે છે.
$\frac{\ln(8/2)}{\ln k} = 2 \implies \frac{\ln 4}{\ln k} = 2$.
$\ln 4 = 2 \ln k \implies \ln 4 = \ln(k^2)$.
$k^2 = 4 \implies k = 2$ (કારણ કે લક્ષના અસ્તિત્વ માટે $k > 0$ અને $k \neq 1$ હોવું જરૂરી છે).

(C) વિધેય $f$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવાથી, $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$ થાય.
ધારો કે $x = 1 + h$. જેમ $x \to 1$, તેમ $h \to 0$.
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 + \cos(\pi(1+h))}{\pi(1-(1+h))^2}$.
$\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\cos(\pi + \pi h) = -\cos(\pi h)$ મળે છે.
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos(\pi h)}{\pi h^2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos(\theta) = 2\sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા, $1 - \cos(\pi h) = 2\sin^2(\frac{\pi h}{2})$ મળે છે.
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{\pi h}{2})}{\pi h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{\frac{\pi h}{2} \cdot \frac{2}{\pi}} \right)^2 = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{\frac{\pi h}{2}} \right)^2$.
કારણ કે $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$, તેથી $f(1) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}$.

(A) પગલું $1$: વિકલિત $f'(x)$ શોધો.
$f'(x) = \begin{cases} 2ax & \text{જો } x < -1 \\ 2bx + a & \text{જો } x > -1 \end{cases}$
પગલું $2$: કારણ કે $f'(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે, તે $x = -1$ પર પણ સતત હોવું જોઈએ. તેથી, $\lim_{x \to -1^-} f'(x) = \lim_{x \to -1^+} f'(x)$.
$2a(-1) = 2b(-1) + a \implies -2a = -2b + a \implies 3a = 2b \implies b = \frac{3}{2}a$.
પગલું $3$: $x = -1$ પર $f'(x)$ ના અસ્તિત્વ માટે, $f(x)$ એ $x = -1$ પર સતત હોવું જોઈએ. તેથી, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = f(-1)$.
$a(-1)^2 + b = b(-1)^2 + a(-1) + 4 \implies a + b = b - a + 4 \implies 2a = 4 \implies a = 2$.
પગલું $4$: $a = 2$ ને $b = \frac{3}{2}a$ માં મૂકો.
$b = \frac{3}{2}(2) = 3$. તેથી, $a = 2, b = 3$.

(C) વિધેય $f$ એ $x = \pi$ આગળ સતત હોવાથી, $f(\pi) = \lim_{x \to \pi} f(x)$ થાય.
ધારો કે $t = x - \pi$. જેમ $x \to \pi$, તેમ $t \to 0$ થાય.
તેથી $f(\pi) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos(7t)}{5t^2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા, $1 - \cos(7t) = 2 \sin^2(7t/2)$ મળે.
$f(\pi) = \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin^2(7t/2)}{5t^2}$.
$f(\pi) = \frac{2}{5} \lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin(7t/2)}{t} \right)^2$.
$(7/2)^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $f(\pi) = \frac{2}{5} \times (7/2)^2 \times \lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin(7t/2)}{7t/2} \right)^2$.
કારણ કે $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$, તેથી $f(\pi) = \frac{2}{5} \times \frac{49}{4} \times 1^2 = \frac{49}{10}$.

(C) વિધેય $f(x)$, $x=0$ આગળ સતત છે જો $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ હોય.
$(A)$ $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{2}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{2}{x} \cdot x} = e^2 = f(0)$. સતત છે.
$(B)$ $\lim_{x \to 0} (\sin x - \cos x) = 0 - 1 = -1 = f(0)$. સતત છે.
$(C)$ $x \to 0^+$ માટે, $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x}(1 - e^{-1/x})}{e^{1/x}(1 + e^{-1/x})} = 1$. $x \to 0^-$ માટે, $\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$. કારણ કે $\text{LHL} \neq \text{RHL}$, લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી. અસતત છે.
$(D)$ $\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - e^{2x}}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{5x}-1}{x} - \frac{e^{2x}-1}{x}}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3} = \frac{5 - 2}{3} = 1 = f(0)$. સતત છે.

(A) પગલું $1$: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને અંશનું સાદું રૂપ આપો.
$\sin 3x + \sin x = 2 \sin 2x \cos x$.
અંશ $= 4\sqrt{2} (2 \sin 2x \cos x) = 8\sqrt{2} \sin 2x \cos x$.
પગલું $2$: $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ અને $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને છેદનું સાદું રૂપ આપો.
$2 \sin 2x \sin \frac{3x}{2} = \cos(2x - \frac{3x}{2}) - \cos(2x + \frac{3x}{2}) = \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{7x}{2}$.
છેદ $= \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{7x}{2} + \cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{3x}{2} = (\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2}) + (\cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{7x}{2})$.
$= 2 \sin x \sin \frac{x}{2} + 2 \sin 3x \sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} (\sin x + \sin 3x) = 2 \sin \frac{x}{2} (2 \sin 2x \cos x) = 4 \sin \frac{x}{2} \sin 2x \cos x$.
પગલું $3$: $f(x) = \frac{8\sqrt{2} \sin 2x \cos x}{4 \sin \frac{x}{2} \sin 2x \cos x} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{x}{2}}$.
પગલું $4$: $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સાતત્ય માટે, $f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 4$.