MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) एक प्रतिबंधात्मक कथन $P \to Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $\sim q \to p$ है।
यहाँ, $P = \sim q$ और $Q = p$ है।
प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ होगा।
मान रखने पर, हमें $\sim p \to \sim(\sim q)$ प्राप्त होता है।
द्वि-निषेध नियम का उपयोग करते हुए, $\sim(\sim q) = q$ होता है।
अतः, प्रतिधनात्मक $\sim p \to q$ है।

(C) तार्किक कथन $\sim p \lor q$ केवल तभी असत्य होता है जब $\sim p$ और $q$ दोनों असत्य हों।
यदि $\sim p$ असत्य है, तो $p$ सत्य $(T)$ होना चाहिए।
यदि $q$ असत्य है, तो $q$ असत्य $(F)$ है।
अब, $p = T$ और $q = F$ के साथ विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(A)$ $p \leftrightarrow q$ का मान $T \leftrightarrow F$ होगा, जो $F$ है।
$(B)$ $p \to q$ का मान $T \to F$ होगा, जो $F$ है।
$(C)$ $q \to p$ का मान $F \to T$ होगा, जो $T$ है।
$(D)$ $q \to p$ असत्य $(F)$ है, जो गलत है क्योंकि यह $T$ है।
अतः, सही विकल्प $(C)$ है।

(A) माना $\frac{s - a}{11} = \frac{s - b}{12} = \frac{s - c}{13} = k$ है।
तब $s - a = 11k$, $s - b = 12k$, $s - c = 13k$ है।
इन्हें जोड़ने पर, $(s - a) + (s - b) + (s - c) = 36k \implies 3s - (a + b + c) = 36k$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a + b + c = 2s$ है, इसलिए $3s - 2s = 36k \implies s = 36k$ है।
तब $a = s - 11k = 25k$, $b = s - 12k = 24k$, $c = s - 13k = 23k$ है।
$\tan^2 \frac{A}{2}$ का सूत्र $\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}$ है।
मान रखने पर: $\tan^2 \frac{A}{2} = \frac{(12k)(13k)}{(36k)(11k)} = \frac{156k^2}{396k^2} = \frac{156}{396} = \frac{13}{33}$ है।
दिया है $\lambda \tan^2 \frac{A}{2} = 455$, अतः $\lambda \left( \frac{13}{33} \right) = 455$ है।
$\lambda = \frac{455 \times 33}{13} = 35 \times 33 = 1155$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\tan(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ है।
इनका गुणा करने पर, हमें $\tan(\frac{A}{2}) \tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)(s-a)(s-c)}{s(s-a)s(s-b)}} = \sqrt{\frac{(s-c)^2}{s^2}} = \frac{s-c}{s}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $1 + \frac{s-c}{s} = \frac{s + s - c}{s} = \frac{2s - c}{s}$।
चूंकि $2s = a + b + c$, इसलिए $\frac{a + b + c - c}{s} = \frac{a + b}{s}$ है।
इसकी तुलना $\frac{k}{s}$ से करने पर, हमें $k = a + b$ प्राप्त होता है।

(A) टैंजेंट नियम का उपयोग करते हुए: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $a-b = (\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = 2$ और $a+b = (\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}$।
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{2}{2\sqrt{3}} \cot(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1$।
अतः, $\frac{A-B}{2} = 45^\circ \implies A-B = 90^\circ$।
चूंकि $A+B+C = 180^\circ$ और $C = 60^\circ$, इसलिए $A+B = 120^\circ$।
समीकरण निकाय को हल करने पर: $A-B = 90^\circ$ और $A+B = 120^\circ$ से $2A = 210^\circ \implies A = 105^\circ$ और $B = 15^\circ$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21$ की गणना करें।
चरण $2$: सूत्र $\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} = \sqrt{\frac{(21-14)(21-15)}{14 \times 15}} = \sqrt{\frac{42}{210}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ का उपयोग करें।
चरण $3$: $\cos(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} = \sqrt{\frac{21 \times 8}{210}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ की गणना करें।
चरण $4$: $\sin A = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}$।
चरण $5$: योग = $\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{4}{5} = \frac{\sqrt{5} + 4}{5}$।

(D) हम जानते हैं कि अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2}$, इसलिए $2s = a+b+c$ है।
अतः, $b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2s - 2a = 2(s-a)$ है।
$\tan(\frac{A}{2})$ का सूत्र $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $2s \cdot 2(s-a) \cdot \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$।
$= 4s(s-a) \cdot \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s(s-a)}}$।
$= 4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$।
हीरोन के सूत्र के अनुसार, $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
अतः, व्यंजक का मान $4\Delta$ है।

(C) दिया गया है $a:b:c = 18:17:7$। मान लीजिए $a = 18k, b = 17k, c = 7k$ है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{18k+17k+7k}{2} = 21k$ है।
सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ का उपयोग करते हुए:
$\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{21k(21k-18k)}{(21k-17k)(21k-7k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 3k}{4k \cdot 14k}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$।
$\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}} = \sqrt{\frac{21k(21k-17k)}{(21k-18k)(21k-7k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 4k}{3k \cdot 14k}} = \sqrt{2}$।
$\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{21k(21k-7k)}{(21k-18k)(21k-17k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 14k}{3k \cdot 4k}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$।
अनुपात $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = \frac{3}{2\sqrt{2}} : \sqrt{2} : \frac{7}{\sqrt{2}} = 3 : 4 : 14$।

(B) चरण $1$: व्यंजक को सरल करें $\frac{2 \sin A - \sin 2A}{2 \sin A + \sin 2A} = \frac{2 \sin A (1 - \cos A)}{2 \sin A (1 + \cos A)} = \frac{1 - \cos A}{1 + \cos A} = \tan^2(\frac{A}{2})$।
चरण $2$: अर्ध-कोण सूत्र $\tan^2(\frac{A}{2}) = \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}$ का उपयोग करें, जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ है।
चरण $3$: $s = \frac{2 + 3.5 + 2.5}{2} = 4$ की गणना करें।
चरण $4$: मान प्रतिस्थापित करें: $\tan^2(\frac{A}{2}) = \frac{(4 - 3.5)(4 - 2.5)}{4(4 - 2)} = \frac{0.5 \times 1.5}{8} = \frac{3}{32}$।
चरण $5$: क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{4 \times 2 \times 0.5 \times 1.5} = \sqrt{6}$।
चरण $6$: विकल्प $(\frac{3}{4\Delta})^2 = \frac{9}{16 \times 6} = \frac{3}{32}$ है। अतः सही उत्तर $(\frac{3}{4\Delta})^2$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) = 3b^2c^2$ है।
सर्वसमिका $(a+b+c)(b+c-a) = (b+c)^2 - a^2$ और $(c+a-b)(a+b-c) = a^2 - (b-c)^2$ का उपयोग करने पर, बायां पक्ष $((b+c)^2 - a^2)(a^2 - (b-c)^2) = 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4$ हो जाता है।
यह $16\Delta^2$ के बराबर है जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
हीरोन के सूत्र द्वारा, $16\Delta^2 = 16s(s-a)(s-b)(s-c) = 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4$ है।
दिया है $16\Delta^2 = 3b^2c^2$, इसलिए $2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 3b^2c^2$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर, $2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = b^2c^2$ प्राप्त होता है।
कोज्या नियम $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ का उपयोग करने पर, $a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos A$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $4b^2c^2 \cos^2 A = b^2c^2$ प्राप्त होता है, अतः $\cos^2 A = \frac{1}{4}$ है।
इस प्रकार, $\cos A = \pm \frac{1}{2}$, जिससे $\angle A = 60^\circ \text{ या } 120^\circ$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $E = (b - c)^2 \cos^2 \frac{A}{2} + (b + c)^2 \sin^2 \frac{A}{2}$
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर: $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ और $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$, जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ है।
$E = (b-c)^2 \frac{s(s-a)}{bc} + (b+c)^2 \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$
$E = \frac{1}{bc} [ (b^2 - 2bc + c^2)s(s-a) + (b^2 + 2bc + c^2)(s-b)(s-c) ]$
चूंकि $s-b = \frac{a-b+c}{2}$ और $s-c = \frac{a+b-c}{2}$, इसलिए $(s-b)(s-c) = \frac{a^2 - (b-c)^2}{4}$ और $s(s-a) = \frac{(b+c)^2 - a^2}{4}$ है।
इनका प्रतिस्थापन करने पर, व्यंजक सरल होकर $a^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $2a^2 = b^2 + c^2$। कोसाइन नियम के अनुसार, $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$।
$b^2 + c^2 = 2a^2$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\cos A = \frac{2a^2 - a^2}{2bc} = \frac{a^2}{2bc}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A$ का उपयोग करते हुए, $\frac{\cos 3A}{\cos A} = 4\cos^2 A - 3$ है।
अतः, $\frac{\cos 3A}{\cos A} + 2 = 4\cos^2 A - 3 + 2 = 4\cos^2 A - 1$।
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ रखें। चूँकि $a^2 = \frac{b^2 + c^2}{2}$, $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - (b^2 + c^2)/2}{2bc} = \frac{b^2 + c^2}{4bc}$।
तब $4\cos^2 A - 1 = 4(\frac{b^2 + c^2}{4bc})^2 - 1 = \frac{(b^2 + c^2)^2}{4b^2c^2} - 1 = \frac{b^4 + c^4 + 2b^2c^2 - 4b^2c^2}{4b^2c^2} = \frac{b^4 + c^4 - 2b^2c^2}{4b^2c^2} = \frac{(b^2 - c^2)^2}{4b^2c^2} = (\frac{b^2 - c^2}{2bc})^2$।

(C) हम जानते हैं कि $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$। अतः, $b \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos B}{2} \right) = \frac{3a}{2}$।
$2$ से गुणा करने पर: $b + b \cos C + c + c \cos B = 3a$।
प्रक्षेप नियम (projection rule) का उपयोग करते हुए, $b \cos C + c \cos B = a$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $b + c + a = 3a$।
अतः, $b + c = 2a$।
यह स्थिति दर्शाती है कि $b, a, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(B) चरण $1$: $\cos A$ ज्ञात करने के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करें।
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2(5)(6)} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$।
चरण $2$: $\cos C$ ज्ञात करने के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करें।
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2(4)(5)} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$।
चरण $3$: द्वि-कोण सर्वसमिका $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ का उपयोग करें।
$\cos 2A = 2(\frac{3}{4})^2 - 1 = 2(\frac{9}{16}) - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}$।
चरण $4$: चूँकि $\cos C = \frac{1}{8}$ और $\cos 2A = \frac{1}{8}$ है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $C = 2A$ है।

(B) $1$. अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21$ की गणना करें।
$2$. हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$।
$3$. $\sin A$ ज्ञात करने के लिए क्षेत्रफल सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2}bc \sin A$ का उपयोग करें: $84 = \frac{1}{2} \times 14 \times 15 \times \sin A \implies 84 = 105 \sin A \implies \sin A = \frac{84}{105} = \frac{4}{5}$।
$4$. चूँकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, इसलिए $\cos A = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$।
$5$. अतः, $\sin A + \cos A = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$।

(B) दिया गया समीकरण: $(a + b + c)(a + b - c) = ab$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $((a + b) + c)((a + b) - c) = ab$
सर्वसमिका $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ का उपयोग करने पर: $(a + b)^2 - c^2 = ab$
वर्ग का विस्तार करने पर: $a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = ab$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $a^2 + b^2 - c^2 = -ab$
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
सूत्र में $a^2 + b^2 - c^2 = -ab$ प्रतिस्थापित करने पर: $\cos C = \frac{-ab}{2ab} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\cos C = -\frac{1}{2}$, इसलिए कोण $C = \frac{2\pi}{3}$ या $120^\circ$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 3$, $b = 5$, और $c = 7$ हैं।
सबसे बड़ा कोण सबसे लंबी भुजा के सम्मुख होता है, जो $c = 7$ है। माना यह कोण $C$ है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)}$।
$\cos C = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{34 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$।
चूँकि $\cos C = -\frac{1}{2}$, इसलिए कोण $C = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$।

(C) $1$. दिया है $\cos A = \frac{1}{2}$, अतः $A = 60^\circ$ या $\frac{\pi}{3}$ है।
$2$. $\triangle ABC$ में, $\angle A + \angle B + \angle C = \pi$। अतः, $\angle C = \pi - (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$।
$3$. ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$।
$4$. $\frac{3}{\sin(\pi/3)} = \frac{b}{\sin(\pi/6)} = \frac{c}{\sin(\pi/2)}$।
$5$. $\frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{b}{1/2} = \frac{c}{1}$।
$6$. $2\sqrt{3} = 2b = c$। अतः, $b = \sqrt{3}$ और $c = 2\sqrt{3}$।

(A) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं, मान लीजिए $A = a-d, B = a, C = a+d$ है।
चूंकि $A+B+C = \pi$, हमारे पास $3a = \pi$ है, इसलिए $a = \frac{\pi}{3}$। अतः, $B = 60^\circ$ है।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, इसलिए $b = 2R \sin B$ और $c = 2R \sin C$ है।
दी गई शर्त $3c^2 = 2b^2$ है, जिसका अर्थ है $3(2R \sin C)^2 = 2(2R \sin B)^2$।
$3 \sin^2 C = 2 \sin^2 60^\circ = 2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$।
$\sin^2 C = \frac{1}{2}$, इसलिए $\sin C = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। अतः, $C = 45^\circ$ या $C = 135^\circ$ है।
यदि $C = 45^\circ$ है, तो $A = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ = \frac{5\pi}{12}$ है।
यदि $C = 135^\circ$ है, तो $A = 180^\circ - 60^\circ - 135^\circ = -15^\circ$ है, जो असंभव है।
इसलिए, $A = \frac{5\pi}{12}$ है।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a P_1 = \frac{1}{2} b P_2 = \frac{1}{2} c P_3$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $P_1 = \frac{2\Delta}{a}, P_2 = \frac{2\Delta}{b}, P_3 = \frac{2\Delta}{c}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\cos A}{P_1} + \frac{\cos B}{P_2} + \frac{\cos C}{P_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$।
ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta} = \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$।
सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{R(4 \sin A \sin B \sin C)}{2\Delta}$।
चूंकि $\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$, इसलिए $\sin A \sin B \sin C = \frac{\Delta}{2R^2}$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $= \frac{4R \Delta}{2\Delta (2R^2)} = \frac{4R}{4R^2} = \frac{1}{R}$।

(C) माना $BD = x$ और $DC = 3x$, अतः $BC = 4x$ है। $\triangle ABC$ में, ज्या नियम (Sine Rule) से, $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \implies \frac{AB}{AC} = \frac{\sin(\pi/4)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} = \sqrt{\frac{2}{3}}$।
$\triangle ABD$ में, ज्या नियम से, $\frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AB}{\sin \angle ADB} \implies \sin \angle BAD = \frac{BD \cdot \sin \angle ADB}{AB}$।
$\triangle ACD$ में, ज्या नियम से, $\frac{DC}{\sin \angle CAD} = \frac{AC}{\sin \angle ADC} \implies \sin \angle CAD = \frac{DC \cdot \sin \angle ADC}{AC}$।
चूंकि $\angle ADB + \angle ADC = \pi$, इसलिए $\sin \angle ADB = \sin \angle ADC$ है। अतः, $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{BD}{AB} \cdot \frac{AC}{DC} = \frac{x}{AB} \cdot \frac{AC}{3x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{AC}{AB}$।
$\frac{AC}{AB} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ प्राप्त होता है।

(C) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, हमारे पास $\sin A = \frac{a}{2R}$ और $\sin B = \frac{b}{2R}$ है।
इन्हें दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\cos C = \frac{a/2R}{2(b/2R)} = \frac{a}{2b}$।
कोज्या नियम (Cosine Rule) का उपयोग करते हुए, $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
$\cos C$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{a}{2b}$।
दोनों पक्षों को $2ab$ से गुणा करने पर: $a^2 + b^2 - c^2 = a^2$।
सरल करने पर $b^2 - c^2 = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $b^2 = c^2$, अतः $b = c$।

(B) दिया गया है कि $\cot A, \cot B, \cot C$ समांतर श्रेणी में हैं, अतः $2 \cot B = \cot A + \cot C$ है।
सर्वसमिका $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर, $2 \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{\sin C \cos A + \cos C \sin A}{\sin A \sin C} = \frac{\sin(A+C)}{\sin A \sin C}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A+B+C = \pi$, इसलिए $\sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$ है।
अतः, $2 \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin B}{\sin A \sin C}$, जिसका अर्थ है $2 \cos B \sin A \sin C = \sin^2 B$।
$2 \sin A \sin C = \cos(A-C) - \cos(A+C) = \cos(A-C) + \cos B$ का उपयोग करने पर, $\cos B(\cos(A-C) + \cos B) = \sin^2 B = 1 - \cos^2 B$ प्राप्त होता है।
$\cos B \cos(A-C) + \cos^2 B = 1 - \cos^2 B \implies \cos B \cos(A-C) = 1 - 2 \cos^2 B = -\cos(2B) = \cos(2(A+C))$।
ज्या नियम $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ है।
इसे समांतर श्रेणी की स्थिति में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta} = 2 \frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}$।
$2b^2 = a^2+c^2$, जिसका अर्थ है कि $a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी में हैं।

(D) माना कोण $A-d, A, A+d$ हैं। चूंकि कोणों का योग $180^\circ$ है, $(A-d) + A + (A+d) = 180^\circ \implies 3A = 180^\circ \implies A = 60^\circ$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $A, B, C$ $A$.$P$. में हैं, $2B = A+C$ और $A+B+C = 180^\circ$, इसलिए $B = 60^\circ$।
$B=60^\circ$ और $b:c = \sqrt{3}:\sqrt{2}$ का उपयोग करने पर, $\angle A = 75^\circ$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें। व्यंजक $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$, $p \oplus q$ (exclusive $OR$) की परिभाषा है।
चरण $2$: इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $(p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$।
चरण $3$: $\sim q$ के साथ संयोजन का मूल्यांकन करें। यदि $\sim q$ सत्य है, तो $q$ असत्य होना चाहिए। $q = F$ प्रतिस्थापित करने पर: $(p \lor F) \land [(\sim p \land F) \lor (p \land \sim F)] \land \sim F$।
चरण $4$: सरल करने पर: $p \land [F \lor (p \land T)] \land T = p \land p \land T = p$।
चरण $5$: सत्यता सारणी का उपयोग करते हुए, यह $p \land \sim q$ के समतुल्य है।

(A) दिया गया परिपथ समानांतर क्रम में दो स्विच $S_1$ और $S_2$ से बना है। मान लीजिए $p$ वह कथन है कि स्विच $S_1$ बंद है और $q$ वह कथन है कि स्विच $S_2$ बंद है।
चूंकि स्विच समानांतर में हैं, परिपथ के लिए तार्किक व्यंजक $(p \lor q)$ है।
हमें विकल्पों में से समतुल्य व्यंजक ज्ञात करना है।
विकल्पों को सरल करते हैं:
$(A)$ $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p \equiv [(\sim p \lor q) \land \sim q] \to \sim p \equiv [(\sim p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)] \to \sim p \equiv [(\sim p \land \sim q) \lor F] \to \sim p \equiv (\sim p \land \sim q) \to \sim p \equiv \sim(\sim p \land \sim q) \lor \sim p \equiv (p \lor q) \lor \sim p \equiv (p \lor \sim p) \lor q \equiv T \lor q \equiv T$.
$(B)$ $(p \to q) \land (p \land \sim q) \equiv (\sim p \lor q) \land (p \land \sim q) \equiv (\sim p \land p \land \sim q) \lor (q \land p \land \sim q) \equiv (F \land \sim q) \lor (p \land F) \equiv F \lor F \equiv F$.
$(C)$ $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p) \land \sim q \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$.
$(D)$ व्यंजक में $r$ शामिल है, जो परिपथ में नहीं है।
नोट: प्रश्न के लिए दिया गया चित्र समानांतर में दो स्विच दिखाता है, जो $(p \lor q)$ के अनुरूप है। यदि प्रश्न का अर्थ किसी ऐसे परिपथ को खोजना है जो एक विशिष्ट तार्किक रूप में सरल हो जाता है, तो दिए गए विकल्प सीधे $(p \lor q)$ से मेल नहीं खाते हैं।

(C) चरण $1$: $\sim p \to q$ असत्य है का विश्लेषण करें। एक प्रतिबंधात्मक कथन $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो। अतः, $\sim p = T$ (जिसका अर्थ है $p = F$) और $q = F$ है।
चरण $2$: $q \leftrightarrow r$ असत्य है का विश्लेषण करें। एक द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन $A \leftrightarrow B$ तब असत्य होता है जब $A$ और $B$ के सत्य मान भिन्न हों। चूँकि $q = F$ है, इसलिए $r$ का $T$ होना आवश्यक है।
चरण $3$: इन्हें संयोजित करने पर, हमें $p = F$, $q = F$, और $r = T$ प्राप्त होता है। सत्य मान $(F, F, T)$ है।

(C) दिए गए सत्य मान: $p = T, q = F, r = T$ हैं।
$(A)$ $[q \land (p \to q)] \to p = [F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$।
$(B)$ $(p \land q) \to (q \lor \sim p) = (T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$।
$(C)$ $[(\sim p \lor q) \land \sim r] \leftrightarrow p = [(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$।
$(D)$ $(p \land q) \lor (\sim q \lor r) = (T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$।
चूंकि विकल्प $(C)$ का परिणाम $F$ है, इसलिए यह एक सत्य कथन नहीं है।

(C) निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
$1$. माना $A = (p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)$ सत्य है और $B = (p \land q)$ असत्य है।
$2$. $A$ के सत्य होने के लिए, $(p \lor q)$, $(q \to r)$, और $(\sim r)$ सभी को सत्य होना चाहिए।
$3$. चूँकि $(\sim r)$ सत्य है, $r$ असत्य है।
$4$. चूँकि $(q \to r)$ सत्य है और $r$ असत्य है, $q$ को असत्य होना चाहिए।
$5$. चूँकि $(p \lor q)$ सत्य है और $q$ असत्य है, $p$ को सत्य होना चाहिए।
$6$. $B = (p \land q) = (T \land F) = False$ की जाँच करें। यह हमारी स्थिति से मेल खाता है।
$7$. विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(a)$ $p \to q = T \to F = False$ (सत्य कथन)
$(b)$ $p \to r = T \to F = False$ (सत्य कथन)
$(c)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = True$ (यह सत्य नहीं है क्योंकि यह सत्य है)
$(d)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = False$ (सत्य कथन)
अतः, विकल्प $(c)$ सही उत्तर है।

(C) चरण $1$: दिया गया कथन $S = \sim p \lor \sim q$ है।
चरण $2$: किसी कथन $A \lor B$ का प्रतिलोम $\sim A \lor \sim B$ होता है। अतः $\sim p \lor \sim q$ का प्रतिलोम $\sim(\sim p) \lor \sim(\sim q)$ होगा, जो सरल होकर $p \lor q$ बन जाता है।
चरण $3$: प्रतिलोम $p \lor q$ का निषेध $\sim(p \lor q)$ है।
चरण $4$: डी मॉर्गन के नियम (De Morgan's Law) के अनुसार, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$ होता है।

(B) चरण $1$: कथन $I$ का विश्लेषण करें। 'यदि $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (सत्य), तो $2$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (असत्य)'। एक सशर्त कथन $P \implies Q$ असत्य होता है यदि $P$ सत्य हो और $Q$ असत्य हो। अतः, $I$ सत्य नहीं है।
चरण $2$: कथन $II$ का विश्लेषण करें। '$e$ एक स्वर है (सत्य) और $12 \times 3 = 36$ (सत्य)'। चूंकि दोनों भाग सत्य हैं, इसलिए संयोजन सत्य है।
चरण $3$: कथन $III$ का विश्लेषण करें। '$14$ एक भाज्य संख्या है (सत्य) और $3$ एक सम संख्या है (असत्य)'। संयोजन 'सत्य और असत्य' असत्य होता है। कथन कहता है 'यह सत्य नहीं है कि (असत्य)', जो पूरे कथन को सत्य बनाता है।
चरण $4$: कथन $IV$ का विश्लेषण करें। '$\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है (सत्य), लेकिन $3 + \sqrt{5}$ एक सम्मिश्र संख्या है (सत्य)'। चूंकि दोनों भाग सत्य हैं, इसलिए कथन सत्य है।
चरण $5$: निष्कर्ष। केवल कथन $I$ सत्य नहीं है। अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) $1$. कथन $p$ का विश्लेषण: $3^4 = 81$ और $4^3 = 64$ है। चूँकि $81 > 64$, पूर्ववर्ती सत्य है। $3^3 = 27$ और $4^4 = 256$ है। चूँकि $27 > 256$ असत्य है, इसलिए निहितार्थ $T \implies F$ असत्य है। अतः, $p$ का मान $F$ है।
$2$. कथन $q$ का विश्लेषण: समीकरण $x^2 - 2x + 2 = 0$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ है। चूँकि $D < 0$, मूल वास्तविक नहीं हैं। 'मुंबई महाराष्ट्र में है' कथन सत्य है। द्वि-प्रतिबंध $F \iff T$ असत्य है। अतः, $q$ का मान $F$ है।
$3$. कथन $r$ का विश्लेषण: $r$ का मान $p \lor \neg q$ है। चूँकि $p$ असत्य है और $q$ असत्य है, इसलिए $\neg q$ सत्य है। अतः, $r = F \lor T = T$ है।
$4$. विकल्पों का मूल्यांकन:
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$
अतः, विकल्प $(D)$ सत्य है।

(D) एक प्रतिबंधात्मक कथन $P \to Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $\sim q \to p$ है, जहाँ $P = \sim q$ और $Q = p$ है।
इसका प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ होगा।
मान रखने पर, हमें $\sim p \to \sim(\sim q)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sim(\sim q) = q$ होता है, इसलिए प्रतिधनात्मक $\sim p \to q$ है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी $\sim p \to q$ से मेल नहीं खाता है।

(C) तार्किक कथन $\sim p \lor q$ केवल तभी असत्य होता है जब $\sim p$ और $q$ दोनों असत्य हों।
चूंकि $\sim p$ असत्य है, इसलिए $p$ सत्य होना चाहिए।
चूंकि $q$ असत्य है, हमारे पास $p = T$ और $q = F$ है।
अब, विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(A)$ $p \leftrightarrow q$ का मान $T \leftrightarrow F$ है, जो $F$ है।
$(B)$ $p \to q$ का मान $T \to F$ है, जो $F$ है।
$(C)$ $q \to p$ का मान $F \to T$ है, जो $T$ है।
$(D)$ $q \to p$ का मान $F \to T$ है, जो $T$ है (न कि $F$)।
अतः, सही विकल्प $(C)$ है।

(C) चरण $1$: तार्किक समतुल्यता $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करें।
चरण $2$: इसे दिए गए व्यंजक $(p \lor q) \to \sim r$ पर लागू करें, जहाँ $A = (p \lor q)$ और $B = \sim r$ है।
चरण $3$: व्यंजक $\sim (p \lor q) \lor \sim r$ बन जाता है।
चरण $4$: डी मॉर्गन के नियम, $\sim (p \lor q) \equiv (\sim p \land \sim q)$ को लागू करें।
चरण $5$: इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(\sim p \land \sim q) \lor \sim r$ प्राप्त होता है।

(C) $1$. एक सशर्त कथन $A \to B$ केवल तब $False$ होता है जब $A$ का मान $True$ हो और $B$ का मान $False$ हो।
$2$. यहाँ, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ और $B = (p \land q)$ है।
$3$. चूँकि $B = (p \land q)$ का मान $False$ है, इसलिए $p \land q = F$ है।
$4$. चूँकि $A$ का मान $True$ है, इसलिए सभी घटक $True$ होने चाहिए: $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, और $(\sim r) = T$।
$5$. $(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
$6$. $(q \to r) = T$ में $r = F$ रखने पर, हमें $(q \to F) = T$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $q = F$।
$7$. $(p \lor q) = T$ में $q = F$ रखने पर, हमें $(p \lor F) = T$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $p = T$।
$8$. अब, $p \land q = T \land F = F$ की जाँच करें, जो हमारी शर्त से मेल खाता है।
$9$. अंत में, $p \to q = T \to F = F$ और $q \to p = F \to T = T$ है।
$10$. अतः, सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(A) चरण $1$: कथन $r$ का विश्लेषण करें।
$p \to q$ केवल तब असत्य होता है जब $p=T$ और $q=F$ हो। इस स्थिति में, $p \lor q = T \lor F = T$ होता है। चूँकि कथन दावा करता है कि $p \lor q$ असत्य है, इसलिए $r$ असत्य $(F)$ है।
चरण $2$: कथन $s$ का विश्लेषण करें।
$p \leftrightarrow q$ तब असत्य होता है जब $p$ और $q$ के सत्य मान भिन्न हों (अर्थात $(T, F)$ या $(F, T)$)।
यदि $(p, q) = (T, F)$ है, तो $p \lor q = T$ है। यदि $(p, q) = (F, T)$ है, तो $p \lor q = T$ है। दोनों स्थितियों में, $p \lor q$ सत्य है। चूँकि कथन दावा करता है कि $p \lor q$ असत्य है, इसलिए $s$ असत्य $(F)$ है।
चरण $3$: $r \to s$ और $s \to r$ का मूल्यांकन करें।
चूँकि $r = F$ और $s = F$ है, इसलिए निहितार्थ $F \to F$ का मान $T$ होता है।
अतः, $r \to s = T$ और $s \to r = T$ है।

(B) चरण $1$: समुच्चय $A$ इस प्रकार दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।
चरण $2$: प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:
$(A)$ $3 \in A$: $3$, समुच्चय $A$ का एक अवयव है, इसलिए यह सत्य है।
$(B)$ $7 \in A$: $7$, समुच्चय $A$ का अवयव नहीं है, इसलिए यह असत्य है।
$(C)$ $5 \in A$: $5$, समुच्चय $A$ का एक अवयव है, इसलिए यह सत्य है।
$(D)$ $1 \in A$: $1$, समुच्चय $A$ का एक अवयव है, इसलिए यह सत्य है।
चरण $3$: अतः, जो कथन सत्य नहीं है वह $7 \in A$ है।

(B) एक प्रतिबन्धात्मक कथन $P \to Q$ केवल तभी असत्य होता है जब $P, T$ हो और $Q, F$ हो।
यहाँ, $P = (p \land q)$ और $Q = (r \lor \sim s)$ है।
$(p \land q) \to (r \lor \sim s)$ के असत्य होने के लिए, $(p \land q)$ का $T$ होना और $(r \lor \sim s)$ का $F$ होना आवश्यक है।
$(p \land q)$ के $T$ होने के लिए, $p$ और $q$ दोनों का $T$ होना आवश्यक है।
$(r \lor \sim s)$ के $F$ होने के लिए, $r$ और $\sim s$ दोनों का $F$ होना आवश्यक है।
यदि $\sim s, F$ है, तो $s, T$ होगा।
अतः, $p = T, q = T, r = F, s = T$।

(B) चरण $1$: $A$ का विश्लेषण: $(q \to p) \lor (p \to q) \equiv (\sim q \lor p) \lor (\sim p \lor q) \equiv (p \lor \sim p) \lor (q \lor \sim q) \equiv T \lor T \equiv T$। अतः, $A$ एक पुनरुक्ति है।
चरण $2$: $B$ का विश्लेषण: $(\sim p \lor \sim q) \leftrightarrow \sim (p \land q)$। डी मॉर्गन के नियम से, $\sim (p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$। अतः, $B$ का रूप $X \leftrightarrow X$ है, जो एक पुनरुक्ति है।
चरण $3$: $C$ का विश्लेषण: $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p \land \sim q) \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$। अतः, $C$ एक व्याघात है।
चरण $4$: $D$ का विश्लेषण: $(p \land q) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv (p \land q) \land \sim (p \land q) \equiv F$। अतः, $D$ एक व्याघात है।
निष्कर्ष: $A$ और $B$ पुनरुक्ति हैं, $C$ और $D$ व्याघात हैं।

(D) द्विशर्तक कथन के लिए तार्किक समतुल्यता $(p \leftrightarrow q) \equiv (p \to q) \land (q \to p)$ है।
हम जानते हैं कि $\sim (p \leftrightarrow q)$, $p \leftrightarrow \sim q$ या $\sim p \leftrightarrow q$ के समतुल्य है।
आइए $\sim (p \leftrightarrow q)$ के लिए सत्यता सारणी की जाँच करें:
यदि $p=T, q=T$, तो $\sim (T \leftrightarrow T) = \sim (T) = F$ है।
यदि $p=T, q=F$, तो $\sim (T \leftrightarrow F) = \sim (F) = T$ है।
यदि $p=F, q=T$, तो $\sim (F \leftrightarrow T) = \sim (F) = T$ है।
यदि $p=F, q=F$, तो $\sim (F \leftrightarrow F) = \sim (T) = F$ है।
अब विकल्प $(D)$ की जाँच करें: $p \leftrightarrow \sim q$।
यदि $p=T, q=T$, तो $T \leftrightarrow F = F$ है।
यदि $p=T, q=F$, तो $T \leftrightarrow T = T$ है।
यदि $p=F, q=T$, तो $F \leftrightarrow F = T$ है।
यदि $p=F, q=F$, तो $F \leftrightarrow T = F$ है।
चूँकि सत्यता मान मेल खाते हैं, इसलिए $\sim (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$ है।

(A) एक प्रतिबंधात्मक कथन $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
यहाँ, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ और $B = (p \land q)$ है।
चूँकि $B = (p \land q)$ असत्य है, $p$ या $q$ में से कम से कम एक असत्य होना चाहिए।
चूँकि $A$ सत्य है, सभी घटक $(p \lor q)$, $(q \to r)$, और $(\sim r)$ सत्य होने चाहिए।
$(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
$r = F$ को $(q \to r) = T$ में रखने पर, यह $(q \to F) = T$ हो जाता है। इसका अर्थ है $q = F$।
अब $q = F$ को $(p \lor q) = T$ में रखने पर, यह $(p \lor F) = T$ हो जाता है। इसका अर्थ है $p = T$।
संगति की जाँच: $p=T, q=F, r=F$। $B = (T \land F) = F$ (सही)।
अब सत्य मानों की गणना करें:
$p \to q = T \to F = F$।
$q \to p = F \to T = T$।
अतः, सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(B) दिया है: $p = T, q = F, r = F$।
चरण $1$: कथन $S = [\sim (p \land \sim q) \lor (q \lor \sim r)]$ का मूल्यांकन करें।
$\sim q = T$, इसलिए $(p \land \sim q) = (T \land T) = T$। अतः, $\sim (p \land \sim q) = F$।
$\sim r = T$, इसलिए $(q \lor \sim r) = (F \lor T) = T$।
$S = (F \lor T) = T$।
चरण $2$: द्वैत $S^*$ ज्ञात करें। $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से, और $F$ को $T$ से बदलें।
$S^* = [\sim (p \lor \sim q) \land (q \land \sim r)]$।
चरण $3$: $S^*$ का मूल्यांकन करें।
$(p \lor \sim q) = (T \lor T) = T$। अतः, $\sim (p \lor \sim q) = F$।
$(q \land \sim r) = (F \land T) = F$।
$S^* = (F \land F) = F$।
सत्य मान $T$ और $F$ हैं।

(B) माना कथन $S: p \to (q \to r)$ है।
$1$. $S$ का प्रतिलोम $\sim p \to \sim (q \to r)$ है।
$2$. प्रतिलोम का विलोम $\sim (q \to r) \to \sim p$ है।
$3$. चूँकि $\sim (q \to r) \equiv q \land \sim r$, कथन $(q \land \sim r) \to \sim p$ बन जाता है।
$4$. $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर, हमें $\sim (q \land \sim r) \lor \sim p \equiv (\sim q \lor r) \lor \sim p$ प्राप्त होता है।
$5$. किसी कथन का द्वैत $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलकर प्राप्त किया जाता है। $(\sim q \lor r) \lor \sim p$ का द्वैत $(\sim q \land r) \land \sim p$ है।
$6$. विकल्पों की जाँच करने पर, हम प्रतिलोम के विलोम के द्वैत का मूल्यांकन करते हैं: $p \to (q \to r)$ के प्रतिलोम का विलोम $(q \to r) \to p$ है। $(q \to r) \to p$ का द्वैत $(\sim q \lor r) \lor p$ है, जो $p \lor (r \to q)$ है।

(A) माना $p$ कथन "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" है और $q$ कथन "यह $3$ का गुणज है" है।
दिया गया कथन "यदि $p$, तो $q$" के रूप में है, जिसे $p \implies q$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$p \implies q$ का निषेधन $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ होता है।
यहाँ, $p \land \sim q$ का अर्थ है "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है और वह $3$ का गुणज नहीं है"।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर, विकल्प $(A)$ और $(D)$ समान तार्किक कथन को दर्शाते हैं। चूँकि विकल्प $(A)$ मानक रूप है, इसलिए यह सही विकल्प है।

(C) चरण $1$: कथन पैटर्न का द्वैत ज्ञात करने के लिए, $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलें। चूँकि $\to$ एक मूल संयोजक नहीं है, इसलिए हम पहले कथन को $\land, \lor, \sim$ का उपयोग करके फिर से लिखते हैं।
चरण $2$: कथन $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ है। चूँकि $A \to B \equiv \sim A \lor B$, कथन $\sim (p \land \sim q) \lor (q \land \sim p)$ बन जाता है।
चरण $3$: डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर, $\sim (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor q$। अतः कथन $(\sim p \lor q) \lor (q \land \sim p)$ है।
चरण $4$: $(\sim p \lor q) \lor (q \land \sim p)$ का द्वैत $(\sim p \land q) \land (q \lor \sim p)$ है।
चरण $5$: यह $(\sim p \land q) \land (\sim p \lor q)$ में सरल हो जाता है। यह $\sim p \land q$ के समतुल्य है, जो $\sim (p \lor \sim q)$ है।
चरण $6$: विकल्पों की जाँच करने पर, मूल अभिव्यक्ति $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ का द्वैत $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ है ($\to$ को $\lor$ से और $\land$ को $\lor$ से बदलकर)।
चरण $7$: सही द्वैत $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ है, जो $(\sim p \to q) \land (q \to p)$ के समतुल्य है।

(B) माना $S_1$ और $S_2$ स्विच हैं। दिया गया सर्किट तीन समानांतर शाखाओं से बना है। स्विचिंग फलन $f$ इस प्रकार है:
$f = (S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_2') \lor (S_1' \land S_2)$
वितरण नियम का उपयोग करने पर, $f = (S_1 \land (S_2 \lor S_2')) \lor (S_1' \land S_2)$
चूंकि $(S_2 \lor S_2') = 1$ (पुनरुक्ति), हमारे पास है:
$f = (S_1 \land 1) \lor (S_1' \land S_2)$
$f = S_1 \lor (S_1' \land S_2)$
वितरण नियम का पुनः उपयोग करने पर, $f = (S_1 \lor S_1') \land (S_1 \lor S_2)$
चूंकि $(S_1 \lor S_1') = 1$, हमारे पास है:
$f = 1 \land (S_1 \lor S_2) = S_1 \lor S_2$
यह दो स्विच $S_1$ और $S_2$ के समानांतर संयोजन वाले सर्किट के अनुरूप है। यह विकल्प $(B)$ में दिखाए गए सर्किट से मेल खाता है।

(B) चरण $1$: निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
चरण $2$: यहाँ, $A = [(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r]$ और $B = (p \land \sim q)$ है। चूँकि $B$ असत्य है, $(p \land \sim q)$ का मान $F$ है।
चरण $3$: चूँकि $A$ सत्य है, $(p \leftrightarrow q)$ सत्य है, $(q \to r)$ सत्य है, और $\sim r$ सत्य है। अतः, $r$ का मान $F$ है।
चरण $4$: चूँकि $(q \to r)$ सत्य है और $r$ असत्य है, तो $q$ को असत्य होना चाहिए (क्योंकि $T \to F$ असत्य होता है)।
चरण $5$: चूँकि $(p \leftrightarrow q)$ सत्य है और $q$ असत्य है, तो $p$ को भी असत्य होना चाहिए।
चरण $6$: संगतता की जाँच: $p=F, q=F, r=F$। तब $p \land \sim q = F \land T = F$। यह $B$ के असत्य होने से मेल खाता है।
चरण $7$: $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r)$ का मूल्यांकन: $(F \to F) \leftrightarrow (F \to F) = T \leftrightarrow T = T$।
चरण $8$: $\sim (p \lor r) \to (q \land p)$ का मूल्यांकन: $\sim (F \lor F) \to (F \land F) = \sim F \to F = T \to F = F$।
चरण $9$: सत्य मान $(T, F)$ हैं।

(A) माना $S$ कथन $(p \lor \sim q) \to (p \land \sim q)$ है।
$1$. $A \to B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ होता है।
$2$. $S$ का प्रतिधनात्मक $\sim (p \land \sim q) \to \sim (p \lor \sim q)$ है।
$3$. डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करने पर, यह $(\sim p \lor q) \to (\sim p \land q)$ है।
$4$. $P \to Q$ का निषेध $P \land \sim Q$ होता है।
$5$. प्रतिधनात्मक का निषेध $(\sim p \lor q) \land \sim (\sim p \land q)$ है।
$6$. डी मॉर्गन के नियम को पुनः लागू करने पर, $\sim (\sim p \land q) = (p \lor \sim q)$ प्राप्त होता है।
$7$. अतः, परिणाम $(\sim p \lor q) \land (p \lor \sim q)$ है।

(C) चरण $1$: दिए गए असत्य निहितार्थ $p \to (q \lor \sim r) \equiv F$ का विश्लेषण करें। एक निहितार्थ $A \to B$ केवल तभी असत्य होता है जब $A, T$ हो और $B, F$ हो।
चरण $2$: अतः, $p = T$ और $(q \lor \sim r) = F$ है।
चरण $3$: $(q \lor \sim r)$ के $F$ होने के लिए, $q = F$ और $\sim r = F$ दोनों का होना आवश्यक है। इसलिए, $q = F$ और $r = T$ है।
चरण $4$: $(p \leftrightarrow q) \land r$ का मूल्यांकन करें। मान प्रतिस्थापित करने पर: $(T \leftrightarrow F) \land T \equiv F \land T \equiv F$।
चरण $5$: $\sim p \to \sim q$ का मूल्यांकन करें। मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sim T \to \sim F \equiv F \to T \equiv T$।
चरण $6$: सत्य मान $F, T$ हैं।

(D) दिया गया है कि $s \propto v^2$, हम लिख सकते हैं $s = kv^2$, जहाँ $k$ एक नियतांक है।
वेग के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $v^2 = s/k$, जिसका अर्थ है $v = \frac{1}{\sqrt{k}} s^{1/2}$।
त्वरण $a$ को $a = v \frac{dv}{ds}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \frac{1}{\sqrt{k}} s^{1/2}$ का $s$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dv}{ds} = \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{1}{2} s^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
इन्हें त्वरण सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $a = (\frac{1}{\sqrt{k}} s^{1/2}) \cdot (\frac{1}{2\sqrt{k}} s^{-1/2})$।
सरल करने पर, $a = \frac{1}{2k} \cdot s^{1/2 - 1/2} = \frac{1}{2k}$।
चूँकि $k$ एक नियतांक है, इसलिए $a$ एक नियतांक है।

(A) कण जमीन से तब टकराता है जब ऊँचाई $s(t) = 0$ हो।
$128t - 16t^2 = 0 \implies 16t(8 - t) = 0$।
चूँकि $t > 0$, कण $t = 8 \text{ s}$ पर जमीन से टकराता है।
वेग $v(t)$, स्थिति फलन $s(t)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलज है: $v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(128t - 16t^2) = 128 - 32t$।
वेग समीकरण में $t = 8$ रखने पर: $v(8) = 128 - 32(8) = 128 - 256 = -128 \text{ ft/sec}$।

(D) माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या $r$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$, अतः $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt} = 5$ है।
आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, अतः $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = 10$ है।
आयतन परिवर्तन की दर के समीकरण को पृष्ठीय क्षेत्रफल परिवर्तन की दर के समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{4\pi r^2 \frac{dr}{dt}}{8\pi r \frac{dr}{dt}} = \frac{10}{5}$।
$\frac{r}{2} = 2$।
$r = 4 \text{ cm}$।

(A) माना बर्फ की परत की मोटाई $x$ है। बर्फ सहित गेंद की कुल त्रिज्या $R = 10 + x$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi(10+x)^3 - \frac{4}{3}\pi(10)^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dV}{dt} = 4\pi(10+x)^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया है $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$ (क्योंकि यह पिघल रही है) और $x = 5 \text{ cm}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $-50 = 4\pi(10+5)^2 \frac{dx}{dt}$।
$-50 = 4\pi(15)^2 \frac{dx}{dt} \implies -50 = 4\pi(225) \frac{dx}{dt}$।
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt} \implies \frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \text{ cm/min}$।
अतः, मोटाई घटने की दर $\frac{1}{18\pi} \text{ cm/min}$ है।

(A) माना $x$ क्षैतिज दूरी है और $z$ प्रेक्षक से हवाई जहाज की सीधी दूरी है।
दी गई ऊँचाई $h = 1 \text{ km}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $z^2 = x^2 + h^2$, इसलिए $z^2 = x^2 + 1^2$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2z \frac{dz}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} \implies z \frac{dz}{dt} = x \frac{dx}{dt}$।
दिया है $z = 1250 \text{ m} = 1.25 \text{ km}$ और $\frac{dx}{dt} = 600 \text{ km/hr}$।
जब $z = 1.25 \text{ km}$ हो, तब $x$ का मान ज्ञात करें: $x = \sqrt{z^2 - 1^2} = \sqrt{1.25^2 - 1^2} = \sqrt{1.5625 - 1} = \sqrt{0.5625} = 0.75 \text{ km}$।
अवकलन समीकरण में मान रखने पर: $1.25 \frac{dz}{dt} = 0.75 \times 600$।
$\frac{dz}{dt} = \frac{450}{1.25} = 360 \text{ km/hr}$।

(C) चरण $1$: $x = 1$ पर $y$-निर्देशांक ज्ञात कीजिए। $y = 3(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$। स्पर्श बिंदु $(1, 1)$ है।
चरण $2$: $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करके स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए। $\frac{dy}{dx} = 9x^2 - 6x + 1$।
चरण $3$: $x = 1$ पर ढाल $m$ का मान ज्ञात कीजिए। $m = 9(1)^2 - 6(1) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4$।
चरण $4$: समीकरण ज्ञात करने के लिए बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग कीजिए। $y - 1 = 4(x - 1)$।
चरण $5$: समीकरण को सरल कीजिए। $y - 1 = 4x - 4 \implies 4x - y - 3 = 0$।

(D) एक स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर होती है जब ढाल $\frac{dy}{dx} = \infty$ हो, जो $\frac{dx}{dy} = 0$ के बराबर है।
समीकरण $y^2 - xy + 9 = 0$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dy}(y^2) - \frac{d}{dy}(xy) + \frac{d}{dy}(9) = 0$
$2y - (x \cdot 1 + y \cdot \frac{dx}{dy}) = 0$
ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा के लिए, $\frac{dx}{dy} = 0$ प्रतिस्थापित करें:
$2y - x = 0 \implies x = 2y$
$x = 2y$ को मूल वक्र समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 - (2y)y + 9 = 0$
$y^2 - 2y^2 + 9 = 0$
$-y^2 + 9 = 0$
$y^2 = 9$
$y = \pm 3$.

(A) वक्र $xy + 7 = 0$ दिया गया है, अतः $y = -\frac{7}{x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{7}{x^2}$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु $(x_0, y_0)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $m_t = \frac{7}{x_0^2}$ है।
अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{x_0^2}{7}$ है।
$(x_0, y_0)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_0 = -\frac{x_0^2}{7}(x - x_0)$ है।
$7$ से गुणा करने पर, $7y - 7y_0 = -x_0^2 x + x_0^3$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x_0^2 x + 7y - (7y_0 + x_0^3) = 0$।
इसे $Ax + By + C = 0$ से तुलना करने पर, $A = x_0^2$ और $B = 7$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी $x_0 \neq 0$ के लिए $x_0^2 > 0$ और $7 > 0$ है, इसलिए $A$ और $B$ दोनों का चिह्न समान (धनात्मक) होना चाहिए।
अतः, $A > 0$ और $B > 0$ है।

(C) $2y^3 = x^3 + ax^2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $6y^2 \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2ax$।
बिंदु $(a, a)$ पर, ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{3a^2 + 2a^2}{6a^2} = \frac{5a^2}{6a^2} = \frac{5}{6}$।
$(a, a)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - a = \frac{5}{6}(x - a)$ है।
$6$ से गुणा करने पर, $6y - 6a = 5x - 5a$, जो $5x - 6y = -a$ में सरल होता है।
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए, समीकरण को $\frac{x}{-a/5} + \frac{y}{a/6} = 1$ के रूप में लिखें।
अतः, अंतःखंड $\alpha = -a/5$ और $\beta = a/6$ हैं।
दिया है $\alpha^2 + \beta^2 = 61$, इसलिए $\frac{a^2}{25} + \frac{a^2}{36} = 61$।
$\frac{36a^2 + 25a^2}{900} = 61 \implies \frac{61a^2}{900} = 61$।
$a^2 = 900 \implies a = \pm 30$।

(D) दी गई रेखा $2x - 2y = 3$ है, जिसे $y = x - 1.5$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की प्रवणता $m = 1$ है।
चूँकि अभिलंब इस रेखा के समांतर है, इसलिए अभिलंब की प्रवणता $m_n = 1$ है।
स्पर्शरेखा की प्रवणता $m_t = -1 / m_n = -1 / 1 = -1$ होगी।
वक्र $y = x \log x$ के लिए, अवकलज $\frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ है।
स्पर्शरेखा की प्रवणता को अवकलज के बराबर रखने पर: $\log x + 1 = -1$, जिससे $\log x = -2$ प्राप्त होता है।
अतः, $x = e^{-2}$ है।
$x = e^{-2}$ को वक्र समीकरण में रखने पर: $y = e^{-2} \log(e^{-2}) = e^{-2} (-2) = -2e^{-2}$।
इसलिए, अभीष्ट बिंदु $(e^{-2}, -2e^{-2})$ है।

(A) हम जानते हैं कि $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ होता है।
माना $a = \sin^2 x$ और $b = \cos^2 x$ है। तब $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$ होगा।
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ है, इसलिए $\sin^6 x + \cos^6 x = \sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x$ होगा।
$2 \sin^2 x \cos^2 x$ जोड़ने और घटाने पर, हमें $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
अब, समाकलन $\int \frac{1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx = \int (\frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} - 3) dx$ हो जाता है।
$1 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2$ का उपयोग करने पर, हमें $\int (\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} - 3) dx = \int (\sec^2 x + \csc^2 x - 3) dx$ प्राप्त होता है।
पद-दर-पद समाकलन करने पर, हमें $\tan x - \cot x - 3x + c$ प्राप्त होता है।

(D) भागफल नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष $\frac{u^2}{2v^2}$ का अवकलज ज्ञात कीजिए:
$\frac{d}{dx} (\frac{u^2}{2v^2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2 \frac{d}{dx}(u^2) - u^2 \frac{d}{dx}(v^2)}{(v^2)^2}$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2 (2u \frac{du}{dx}) - u^2 (2v \frac{dv}{dx})}{v^4}$
$= \frac{v^2 u \frac{du}{dx} - u^2 v \frac{dv}{dx}}{v^4}$
$= \frac{v(uv \frac{du}{dx} - u^2 \frac{dv}{dx})}{v^4}$
$= \frac{uv \frac{du}{dx} - u^2 \frac{dv}{dx}}{v^3}$
चूंकि $\frac{u^2}{2v^2}$ का अवकलज समाकल्य (integrand) है, इसलिए समाकलन $\frac{u^2}{2v^2} + c$ है।

(A) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin 4x \cos 3x = \frac{1}{2} [\sin(4x+3x) + \sin(4x-3x)] = \frac{1}{2} [\sin 7x + \sin x]$
अब, व्यंजक का समाकलन करने पर:
$\int \sin 4x \cos 3x \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 7x + \sin x) \, dx$
$= \frac{1}{2} [-\frac{\cos 7x}{7} - \cos x] + c$
$= -\frac{1}{14} \cos 7x - \frac{1}{2} \cos x + c$

(C) चरण $1$: वक्रों $y^2 = 4kx$ और $y = kx$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
$y = kx$ को $y^2 = 4kx$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(kx)^2 = 4kx \implies k^2x^2 - 4kx = 0 \implies kx(kx - 4) = 0$।
अतः, $x = 0$ या $x = \frac{4}{k}$।
चरण $2$: समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करें:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{4/k} (\sqrt{4kx} - kx) \, dx = \int_{0}^{4/k} (2\sqrt{k}\sqrt{x} - kx) \, dx$।
चरण $3$: समाकलन का मान निकालें:
$\text{क्षेत्रफल} = [2\sqrt{k} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - k \cdot \frac{x^2}{2}]_{0}^{4/k} = [\frac{4\sqrt{k}}{3}x^{3/2} - \frac{kx^2}{2}]_{0}^{4/k}$।
चरण $4$: सीमाएं प्रतिस्थापित करें:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{4\sqrt{k}}{3}(\frac{4}{k})^{3/2} - \frac{k}{2}(\frac{4}{k})^2 = \frac{4\sqrt{k}}{3} \cdot \frac{8}{k\sqrt{k}} - \frac{k}{2} \cdot \frac{16}{k^2} = \frac{32}{3k} - \frac{8}{k} = \frac{32 - 24}{3k} = \frac{8}{3k}$।
चरण $5$: दिए गए क्षेत्रफल $\frac{2}{3}$ के बराबर रखें:
$\frac{8}{3k} = \frac{2}{3} \implies 8 = 2k \implies k = 4$।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 2^2$ है, अतः त्रिज्या $r = 2$ है।
छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$A = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{1}^{2}$।
$A = 2 \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{3} + 2 \sin^{-1}(\frac{1}{2})) \right]$।
$A = 2 \left[ (2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right]$।
$A = 2 \left[ \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} \right] = 2 \left[ \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$।

(B) चरण $1$: समीकरणों को $y^2 = \frac{9}{4}x$ और $x^2 = \frac{16}{3}y$ के रूप में लिखें, जिसका अर्थ है $y = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ और $y = \frac{3}{16}x^2$।
चरण $2$: $y = \frac{3}{16}x^2$ को $4y^2 = 9x$ में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $4(\frac{3}{16}x^2)^2 = 9x \Rightarrow 4(\frac{9}{256}x^4) = 9x \Rightarrow \frac{9}{64}x^4 = 9x \Rightarrow x^4 = 64x$।
चरण $3$: $x(x^3 - 64) = 0$ को हल करने पर $x = 0$ और $x = 4$ प्राप्त होता है। संगत $y$ मान $0$ और $3$ हैं।
चरण $4$: क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4} (\frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{16}x^2) dx$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $5$: $A = [\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{3}{16} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4} = [x^{3/2} - \frac{x^3}{16}]_{0}^{4} = (4^{3/2} - \frac{4^3}{16}) = (8 - 4) = 4$ वर्ग इकाई।

(C) रेखाएँ $y = 2x$, $y = x/2$ और $x = 2$ हैं।
$y = 2x$ और $y = x/2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है।
$y = 2x$ और $x = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 4)$ है।
$y = x/2$ और $x = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है।
क्षेत्रफल $A$, समाकल $\int_{0}^{2} (2x - x/2) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \int_{0}^{2} (3x/2) \, dx$।
$A = \frac{3}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$।
$A = \frac{3}{4} [4 - 0] = 3 \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) $1$. वक्र $y = 2x^2$ है, जिसका अर्थ है $x = \sqrt{y/2} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}$।
$2$. क्षेत्र $x = 1$ (जहाँ $y = 2(1)^2 = 2$) और $y = 4$ (जहाँ $x = \sqrt{4/2} = \sqrt{2}$) द्वारा परिबद्ध है।
$3$. क्षेत्रफल $A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. $A = [4x - \frac{2x^3}{3}]_{1}^{\sqrt{2}}$।
$5$. $A = (4\sqrt{2} - \frac{2(2\sqrt{2})}{3}) - (4(1) - \frac{2(1)^3}{3})$।
$6$. $A = (4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) - (4 - \frac{2}{3}) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{10}{3} = \frac{8\sqrt{2} - 10}{3}$।

(A) क्षेत्रफल $A$ को समाकल $\int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \, dx$ द्वारा दर्शाया जाता है।
समाकल का मान ज्ञात करने पर: $A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4}$।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$।
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$।
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1$।

(D) क्षेत्र $y = x^2$, $y = 8/x$, और $y = 1$ द्वारा परिबद्ध है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$1$. $y = x^2$ और $y = 1 \implies x = \pm 1$। चूँकि $xy \leq 8$ और $y \geq 1$, हम $x > 0$ लेते हैं, अतः $x = 1$।
$2$. $y = 8/x$ और $y = 1 \implies x = 8$।
$3$. $y = x^2$ और $y = 8/x \implies x^3 = 8 \implies x = 2$।
क्षेत्रफल $A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (8/x - 1) dx$ है।
$A = [x^3/3 - x]_{1}^{2} + [8 \ln|x| - x]_{2}^{8}$।
$A = (8/3 - 2) - (1/3 - 1) + (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2)$।
$A = (2/3) - (-2/3) + 8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2$।
$A = 4/3 + 24 \ln 2 - 8 - 8 \ln 2 + 2 = 16 \ln 2 - 14/3$।

(B) $1$. $x^2 + y^2 = 9$ और $y^2 = 8x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। $y^2 = 8x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + 8x - 9 = 0 \implies (x+9)(x-1) = 0$। चूँकि $x \geq 0$, इसलिए $x = 1$। तब $y^2 = 8$, अतः $y = \pm 2\sqrt{2}$।
$2$. क्षेत्रफल $x$-अक्ष के परितः सममित है। क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{8x} \, dx + \int_{1}^{3} \sqrt{9-x^2} \, dx \right]$।
$3$. प्रथम समाकल: $2\sqrt{2} \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = 2\sqrt{2} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$।
$4$. द्वितीय समाकल: $\int_{1}^{3} \sqrt{3^2 - x^2} \, dx = [\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{3})]_{1}^{3} = (0 + \frac{9}{2} \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{8} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})) = \frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})$।
$5$. कुल क्षेत्रफल $= 2 [\frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})] = \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9 \sin^{-1}(\frac{1}{3})$।

(B) चरण $1$: वक्रों का विश्लेषण करें। वक्र $y = |x| - 1$ शीर्ष $(0, -1)$ वाला एक $V$-आकार है। वक्र $y = -|x| + 1$ शीर्ष $(0, 1)$ वाला एक उल्टा $V$-आकार है।
चरण $2$: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। $|x| - 1 = -|x| + 1$ रखने पर, हमें $2|x| = 2$ प्राप्त होता है, इसलिए $|x| = 1$, जिससे $x = 1$ और $x = -1$ मिलता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ और $(-1, 0)$ हैं।
चरण $3$: आकृति की पहचान करें। इन दो वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र एक वर्ग है जिसके शीर्ष $(0, 1), (1, 0), (0, -1),$ और $(-1, 0)$ हैं।
चरण $4$: क्षेत्रफल की गणना करें। वर्ग के विकर्णों की लंबाई $d_1 = 2$ (ऊर्ध्वाधर) और $d_2 = 2$ (क्षैतिज) है। वर्ग (या समचतुर्भुज) का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ वर्ग इकाई है।

(B) माना $I = \int_{0}^{3} \sqrt{3^2 - x^2} dx$ है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर।
सीमाओं $0$ से $3$ को लागू करने पर:
$I = [\frac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{3})]_{0}^{3}$।
ऊपरी सीमा $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{3}{2} \sqrt{9 - 9} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{3}{3})) = (0 + \frac{9}{2} \sin^{-1}(1)) = \frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4}$।
निचली सीमा $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{0}{2} \sqrt{9 - 0} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(0)) = (0 + 0) = 0$।
अतः, $I = \frac{9\pi}{4} - 0 = \frac{9\pi}{4}$।

(A) छायांकित क्षेत्र $x = 2\pi$ से $x = \frac{9\pi}{4}$ तक $y = \sin x$ और $x = \frac{9\pi}{4}$ से $x = \frac{5\pi}{2}$ तक $y = \cos x$ द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार दिया गया है:
$A = \int_{2\pi}^{\frac{9\pi}{4}} \sin x \, dx + \int_{\frac{9\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} \cos x \, dx$
$A = [-\cos x]_{2\pi}^{\frac{9\pi}{4}} + [\sin x]_{\frac{9\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}}$
$A = -(\cos \frac{9\pi}{4} - \cos 2\pi) + (\sin \frac{5\pi}{2} - \sin \frac{9\pi}{4})$
$A = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$A = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$A = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$ वर्ग इकाई।

(D) क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4\pi} x |\sin(\frac{x}{2})| dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $x \in [0, 2\pi]$ के लिए $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ और $x \in [2\pi, 4\pi]$ के लिए $\sin(\frac{x}{2}) \le 0$ है, इसलिए:
$A = \int_{0}^{2\pi} x \sin(\frac{x}{2}) dx + \int_{2\pi}^{4\pi} x (-\sin(\frac{x}{2})) dx$।
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u=x, dv=\sin(\frac{x}{2})dx$:
$\int x \sin(\frac{x}{2}) dx = -2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})$।
प्रथम समाकलन का मान: $[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{0}^{2\pi} = (-2(2\pi)(-1) + 0) - (0) = 4\pi$।
द्वितीय समाकलन का मान: $-[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{2\pi}^{4\pi} = -[(-2(4\pi)(1) + 0) - (-2(2\pi)(-1) + 0)] = -[-8\pi - 4\pi] = 12\pi$।
कुल क्षेत्रफल $A = 4\pi + 12\pi = 16\pi$।

(C) दिया गया समीकरण $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $y^2 = 4(1 - x^2)$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$।
यह दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का समीकरण है जहाँ $a = 1$ और $b = 2$ है।
वक्र $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ इस दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे भाग को दर्शाता है।
पूर्ण दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab = \pi(1)(2) = 2\pi$ है।
वक्र और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे भाग का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2\pi = \pi \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) क्षेत्र $y = x^3$, $y = 8$, और $x = 0$ द्वारा परिबद्ध है।
$x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर, हमें $x = y^{1/3}$ प्राप्त होता है।
$y = x^3$ और $y = 8$ का प्रतिच्छेदन $x^3 = 8$ पर होता है, जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$, $y = 0$ से $y = 8$ तक $x$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन है:
$A = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$A = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} \left[ y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} \left( 8^{4/3} - 0^{4/3} \right)$
$A = \frac{3}{4} \left( (2^3)^{4/3} \right) = \frac{3}{4} \times 2^4 = \frac{3}{4} \times 16 = 12 \text{ वर्ग इकाई।}$

(C) क्षेत्रफल $A$ को समाकल $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \frac{2}{\log_e 2}$ द्वारा दर्शाया गया है।
सूत्र $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\log_e a}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\int_{0}^{2} 2^{kx} \, dx = \left[ \frac{2^{kx}}{k \log_e 2} \right]_{0}^{2}$।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{k \log_e 2} (2^{2k} - 2^0) = \frac{2}{\log_e 2}$।
दोनों पक्षों से $\log_e 2$ को हटाने पर: $\frac{2^{2k} - 1}{k} = 2$।
$2^{2k} - 1 = 2k$।
निरीक्षण द्वारा, यदि $k = 1/2$ है, तो $2^{2(1/2)} - 1 = 2^1 - 1 = 1$ और $2k = 2(1/2) = 1$।
चूंकि दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए $k = 1/2$ सही उत्तर है।

(A) वक्र का समीकरण $x^2 = by$ है, जिसका अर्थ है $x = \sqrt{b} \sqrt{y}$ (क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है)।
वक्र और रेखाओं $y = 1$ तथा $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{1}^{4} x \, dy = \int_{1}^{4} \sqrt{b} \sqrt{y} \, dy$
दिया है $A = 28$, अतः:
$28 = \sqrt{b} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy$
$28 = \sqrt{b} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4}$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}]$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [8 - 1]$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} \cdot 7$
$28 = \sqrt{b} \cdot \frac{14}{3}$
$\sqrt{b} = 28 \cdot \frac{3}{14} = 2 \cdot 3 = 6$
$b = 6^2 = 36$.

(D) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूँकि $x < 4$ के लिए $|x - 4| = -(x - 4)$ और $x \ge 4$ के लिए $|x - 4| = (x - 4)$ होता है, हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$।
प्रथम भाग का मान: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$।
द्वितीय भाग का मान: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$।
कुल क्षेत्रफल $A = 0.5 + 0.5 = 1 \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दी गई रेखा $2x - y + 1 = 0$ है, जिसे $x = \frac{y - 1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
क्षेत्र $y = -1$, $y = 3$ और y-अक्ष $(x = 0)$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{3} |x| \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $x = \frac{y - 1}{2}$, इसलिए $A = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$ है।
$y = 1$ पर, $x = 0$ है। $y \in [-1, 1]$ के लिए, $x \le 0$, इसलिए $|x| = -\frac{y - 1}{2} = \frac{1 - y}{2}$।
$y \in [1, 3]$ के लिए, $x \ge 0$, इसलिए $|x| = \frac{y - 1}{2}$।
$A = \int_{-1}^{1} \frac{1 - y}{2} \, dy + \int_{1}^{3} \frac{y - 1}{2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} [y - \frac{y^2}{2}]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{1}^{3}$।
$A = \frac{1}{2} [(1 - 0.5) - (-1 - 0.5)] + \frac{1}{2} [(4.5 - 3) - (0.5 - 1)]$।
$A = \frac{1}{2} [0.5 + 1.5] + \frac{1}{2} [1.5 + 0.5] = 1 + 1 = 2$ वर्ग इकाई।

(D) क्षेत्रफल $A$, $x = -2$ से $x = 4$ तक $|y|$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन है।
$A = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$
चूंकि $x < 0$ के लिए $|x| = -x$ और $x \ge 0$ के लिए $|x| = x$ होता है, हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = (0 - (-\frac{(-2)^2}{2})) + (\frac{4^2}{2} - 0)$
$A = (0 - (-2)) + (8 - 0) = 2 + 8 = 10$ वर्ग इकाइयाँ।

(B) क्षेत्रफल $A$ को $\int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx = \frac{37}{4}$ द्वारा दिया गया है।
चूँकि $x^3 + ax = x(x^2 + a)$, फलन $x \in [-2, 0]$ के लिए ऋणात्मक और $x \in [0, 1]$ के लिए धनात्मक है (दिया है $a > 0$)।
अतः, $A = \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$।
समाकलनों का मूल्यांकन करने पर:
$-\left[ \frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$।
$-(0 - (4 + 2a)) + (\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) = \frac{37}{4}$।
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$।
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$।
$a = 2$।

(B) परवलय $y^2 = 4kx$ और रेखा $x = k$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ का मान $A = 2 \int_{0}^{k} \sqrt{4kx} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = 2 \cdot 2\sqrt{k} \int_{0}^{k} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{k} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{k} = 4\sqrt{k} \cdot \frac{2}{3} k^{3/2} = \frac{8}{3} k^2$।
दिया है $A = \frac{128}{3}$, इसलिए $\frac{8}{3} k^2 = \frac{128}{3} \implies k^2 = 16 \implies k = 4$ (चूंकि $k > 0$)।
अब, $\sin^{-1}(\frac{2}{k}) = \sin^{-1}(\frac{2}{4}) = \sin^{-1}(\frac{1}{2})$ की गणना करें।
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, इसलिए मान $\frac{\pi}{6}$ है।

(A) चरण $1$: $y = 0$ रखकर $X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
$0 = 2x - x^2 \implies x(2 - x) = 0$।
अतः, वक्र $X$-अक्ष को $x = 0$ और $x = 2$ पर काटता है।
चरण $2$: क्षेत्रफल $A$, समाकलन $\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $3$: समाकलन का मूल्यांकन करें:
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$।
चरण $4$: सीमाएं प्रतिस्थापित करें:
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दिया गया वक्र $y = 4x^2$ है, जिसे $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$Y$-अक्ष और रेखाओं $y = 2$ तथा $y = 4$ के बीच प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $A$ निम्न समाकल द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{2}^{4}$।
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}] \text{ वर्ग इकाई}$।

(D) क्षेत्रफल $A$, समाकल $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $x < 4$ के लिए $|x - 4| = -(x - 4)$ और $x \ge 4$ के लिए $|x - 4| = (x - 4)$ होता है, हम समाकल को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$।
प्रथम भाग का मान: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$।
द्वितीय भाग का मान: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$।
कुल क्षेत्रफल $A = 0.5 + 0.5 = 1$ वर्ग इकाई।

(A) रेखा का समीकरण $2x - y + 1 = 0$ है, जिसे $x = \frac{y - 1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
क्षेत्र $y = -1$, $y = 3$, $x = 0$ (y-अक्ष) और $x = \frac{y - 1}{2}$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{3} |x| \, dy = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
हम समाकलन को $y = 1$ पर विभाजित करते हैं जहाँ व्यंजक का चिह्न बदलता है:
$A = \int_{-1}^{1} -(\frac{y - 1}{2}) \, dy + \int_{1}^{3} (\frac{y - 1}{2}) \, dy$।
$A = -\frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [\frac{y^2}{2} - y]_{1}^{3}$।
$A = -\frac{1}{2} [(\frac{1}{2} - 1) - (\frac{1}{2} + 1)] + \frac{1}{2} [(\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1)]$।
$A = -\frac{1}{2} [-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}] + \frac{1}{2} [\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})] = -\frac{1}{2}(-2) + \frac{1}{2}(2) = 1 + 1 = 2$।

(D) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन $\int_{-2}^{4} |y| \, dx = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूँकि $x < 0$ के लिए $|x| = -x$ और $x \ge 0$ के लिए $|x| = x$ होता है, हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$।
प्रथम भाग का मान: $\int_{-2}^{0} (-x) \, dx = [-\frac{x^2}{2}]_{-2}^{0} = 0 - (-\frac{(-2)^2}{2}) = 0 - (-2) = 2$।
द्वितीय भाग का मान: $\int_{0}^{4} x \, dx = [\frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = \frac{16}{2} - 0 = 8$।
कुल क्षेत्रफल $A = 2 + 8 = 10 \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) क्षेत्रफल $A = \int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx = \frac{37}{4}$ द्वारा दिया गया है।
चूँकि $a > 0$, $x^3 + ax = x(x^2 + a) = 0$ केवल $x = 0$ पर होता है क्योंकि $x^2 + a > 0$ है।
$x \in [-2, 0]$ के लिए, $x^3 + ax \le 0$ है। $x \in [0, 1]$ के लिए, $x^3 + ax \ge 0$ है।
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$।
समाकलन करने पर: $-[\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{-2}^{0} + [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$।
$-[0 - (\frac{16}{4} + \frac{4a}{2})] + [(\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) - 0] = \frac{37}{4}$।
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$।
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$।
$a = 5 \times \frac{2}{5} = 2$।

(B) परवलय $y^2 = 4kx$ और रेखा $x = k$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ का मान $A = 2 \int_{0}^{k} \sqrt{4kx} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = 2 \cdot 2\sqrt{k} \int_{0}^{k} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{k} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{k} = 4\sqrt{k} \cdot \frac{2}{3} k^{3/2} = \frac{8}{3} k^2$।
दिया है $A = \frac{128}{3}$, अतः $\frac{8}{3} k^2 = \frac{128}{3} \implies k^2 = 16 \implies k = 4$ (चूँकि $k > 0$)।
अब, $\sin^{-1} \left( \frac{2}{k} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{2}{4} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6}$।

(A) चरण $1$: $y = 0$ रखकर उन बिंदुओं को ज्ञात करें जहाँ वक्र $y = 2x - x^2$, $X$-अक्ष को काटता है।
$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$। अतः, $x = 0$ और $x = 2$।
चरण $2$: क्षेत्रफल $A$, $0$ से $2$ तक $x$ के सापेक्ष $y$ का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$।
चरण $3$: समाकलन का मान ज्ञात करें।
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2}$।
चरण $4$: सीमाओं का प्रतिस्थापन करें।
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) दिया गया वक्र $y = \sqrt{16 - x^2}$ है, जो $x^2 + y^2 = 4^2$ के ऊपरी अर्ध-वृत्त को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या $r = 4$ है।
हमें वक्र, $x = 0$, $x = 4$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
यह $r = 4$ त्रिज्या वाले वृत्त के क्षेत्रफल का एक-चौथाई भाग है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx$।
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर।
क्षेत्रफल $= [\frac{x}{2} \sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{4})]_{0}^{4}$।
क्षेत्रफल $= [\frac{4}{2} \sqrt{16 - 16} + 8 \sin^{-1}(1)] - [0 + 8 \sin^{-1}(0)]$।
क्षेत्रफल $= [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - [0] = 4\pi$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया वक्र $y = 4x^2$ है, जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{y}{4}$, अतः $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है)।
क्षेत्रफल $A = \int_{2}^{4} x \, dy$ है।
$A = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} [\frac{y^{3/2}}{3/2}]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{2}^{4}$।
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}]$।
$A = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ वर्ग इकाई।

(C) चरण $1$: $y = kx$ को $y^2 = 4kx$ में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
$(kx)^2 = 4kx \implies k^2x^2 - 4kx = 0 \implies kx(kx - 4) = 0$।
अतः, $x = 0$ और $x = \frac{4}{k}$।
चरण $2$: क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4/k} (\sqrt{4kx} - kx) \, dx = \frac{2}{3}$।
चरण $3$: समाकलन करने पर: $2\sqrt{k} \int_{0}^{4/k} x^{1/2} \, dx - k \int_{0}^{4/k} x \, dx = \frac{2}{3}$।
$2\sqrt{k} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{4/k} - k [\frac{x^2}{2}]_{0}^{4/k} = \frac{2}{3}$।
$\frac{32}{3k} - \frac{8}{k} = \frac{2}{3} \implies \frac{8}{3k} = \frac{2}{3}$।
चरण $4$: $k$ के लिए हल करने पर, $2k = 8 \implies k = 4$।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 2^2$ है, अतः त्रिज्या $r = 2$ है। रेखा $x = 1$ है।
छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = 2 \int_{1}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$A = 2 [\frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{1}^{2}$।
$A = 2 [(\frac{2}{2} \sqrt{4 - 4} + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{4 - 1} + 2 \sin^{-1}(\frac{1}{2}))]$।
$A = 2 [(0 + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{6})]$।
$A = 2 [\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}] = 2 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$।

(B) चरण $1$: समीकरणों को $y^2 = \frac{9}{4}x$ और $x^2 = \frac{16}{3}y$ के रूप में लिखें।
चरण $2$: पहले समीकरण में $y = \frac{3x^2}{16}$ प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $(\frac{3x^2}{16})^2 = \frac{9}{4}x \implies \frac{9x^4}{256} = \frac{9}{4}x \implies x^4 = 64x$।
चरण $3$: $x(x^3 - 64) = 0$ को हल करने पर $x = 0$ और $x = 4$ प्राप्त होता है। संगत $y$ मान $0$ और $3$ हैं।
चरण $4$: क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4} (\sqrt{\frac{9}{4}x} - \frac{3x^2}{16}) dx$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $5$: $A = \int_{0}^{4} (\frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{3}{16}x^2) dx = [\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{3}{16} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4} = [x^{3/2} - \frac{x^3}{16}]_{0}^{4}$।
चरण $6$: $A = (4^{3/2} - \frac{4^3}{16}) = (8 - 4) = 4 \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) रेखाएँ $y = 2x$, $y = \frac{x}{2}$ और $x = 2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु:
$1$. $y = 2x$ और $y = \frac{x}{2}$, $(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$2$. $y = 2x$ और $x = 2$, $(2, 4)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$3$. $y = \frac{x}{2}$ और $x = 2$, $(2, 1)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
क्षेत्रफल $A$, समाकलन $\int_{0}^{2} (2x - \frac{x}{2}) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \int_{0}^{2} \frac{3x}{2} \, dx$।
$A = \frac{3}{2} [\frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = \frac{3}{4} [4 - 0] = 3$ वर्ग इकाई।

(A) चरण $1$: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। वक्र $y = 2x^2$ है। दी गई रेखाएं $x = 1$ और $y = 4$ हैं। $x = 1$ पर, $y = 2(1)^2 = 2$। $y = 4$ पर, $2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$।
चरण $2$: क्षेत्रफल $x=1$ से $x=\sqrt{2}$ तक रेखा $y=4$ के नीचे के क्षेत्रफल में से वक्र $y=2x^2$ के नीचे का क्षेत्रफल घटाकर प्राप्त होता है।
चरण $3$: क्षेत्रफल $A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) \, dx$।
चरण $4$: समाकलन करने पर: $A = [4x - \frac{2x^3}{3}]_{1}^{\sqrt{2}}$।
चरण $5$: सीमाएं रखने पर: $A = (4\sqrt{2} - \frac{2(\sqrt{2})^3}{3}) - (4(1) - \frac{2(1)^3}{3}) = (4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) - (4 - \frac{2}{3}) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{10}{3} = \frac{8\sqrt{2} - 10}{3}$।

(A) अंतराल $[0, \frac{\pi}{4}]$ में, $\cos x \ge \sin x$ है।
क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx$ है।
$A = [\sin x - (-\cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$A = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0)$
$A = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1)$
$A = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1$
$A = \sqrt{2} - 1$.