MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है $a + b + c = 0$, अतः $a = -(b + c)$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|a|^2 = |-(b + c)|^2 = |b + c|^2$।
$|a|^2 = |b|^2 + |c|^2 + 2|b||c| \cos \theta$।
चूँकि $|a| = |b| = |c| = 3$, हमारे पास है $3^2 = 3^2 + 3^2 + 2(3)(3) \cos \theta$।
$9 = 9 + 9 + 18 \cos \theta$।
$18 \cos \theta = -9$, इसलिए $\cos \theta = -1/2$।
चूँकि $\cos \theta = -1/2$, $\theta = 120^\circ$।
तब $\tan \theta = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$ और $\cot \theta = \cot(120^\circ) = -1/\sqrt{3}$।
$\tan^2 \theta = (-\sqrt{3})^2 = 3$।
$\cot^2 \theta = (-1/\sqrt{3})^2 = 1/3$।
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 3 + 1/3 = 10/3$।

(A) माना $\vec{u} = 5\vec{a} + 2\vec{b}$ और $\vec{v} = \vec{a} - 3\vec{b}$ है।
विकर्ण $\vec{d_1} = \vec{u} + \vec{v} = 6\vec{a} - \vec{b}$ और $\vec{d_2} = \vec{u} - \vec{v} = 4\vec{a} + 5\vec{b}$ हैं।
दिया है $|\vec{a}|^2 = 8$, $|\vec{b}|^2 = 9$, और $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{4}) = (2\sqrt{2})(3)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6$ है।
$|\vec{d_1}|^2 = (6\vec{a} - \vec{b}) \cdot (6\vec{a} - \vec{b}) = 36|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 36(8) + 9 - 12(6) = 288 + 9 - 72 = 225$ है।
अतः, $|\vec{d_1}| = \sqrt{225} = 15$ है।
$|\vec{d_2}|^2 = (4\vec{a} + 5\vec{b}) \cdot (4\vec{a} + 5\vec{b}) = 16|\vec{a}|^2 + 25|\vec{b}|^2 + 40(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 16(8) + 25(9) + 40(6) = 128 + 225 + 240 = 593$ है।
अतः, $|\vec{d_2}| = \sqrt{593}$ है।
लंबाई $15$ और $\sqrt{593}$ हैं।

(A) भुजाओं को निरूपित करने वाले सदिश हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 6\hat{i} + \hat{j}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\hat{i} + 3\hat{j}$
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = -6\hat{i} - \hat{j}$
$\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d} = \hat{i} - 3\hat{j}$
चूँकि $\vec{AB} = -\vec{CD}$ और $\vec{BC} = -\vec{DA}$, $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।
आसन्न भुजाओं का अदिश गुणनफल: $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (6)(-1) + (1)(3) = -3 \neq 0$। अतः, यह आयत नहीं है।
परिमाण: $|\vec{AB}| = \sqrt{37}$ और $|\vec{BC}| = \sqrt{10}$।
चूँकि $|\vec{AB}| \neq |\vec{BC}|$, यह समचतुर्भुज नहीं है।
अतः, $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जो न तो समचतुर्भुज है और न ही आयत।

(D) घूर्णन के अंतर्गत सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है। अतः $|\vec{v}|^2 = |\vec{v}'|^2$ है।
$|\vec{v}|^2 = 3^2 + 4^2 + (-5)^2 = 9 + 16 + 25 = 50$ है।
$|\vec{v}'|^2 = (a + 1)^2 + (-3)^2 + 5^2 = (a + 1)^2 + 9 + 25 = (a + 1)^2 + 34$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $(a + 1)^2 + 34 = 50$ है।
$(a + 1)^2 = 16$ है।
$a + 1 = \pm 4$ है।
स्थिति $1$: $a + 1 = 4 \implies a = 3$ है।
स्थिति $2$: $a + 1 = -4 \implies a = -5$ है।
अतः $a$ के संभावित मान $3$ या $-5$ हैं।

(C) चरण $1$: $(\vec{a} + \vec{b}) = (4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ की गणना करें।
चरण $2$: $(\vec{b} + \vec{c}) = (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + (3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}) = 5\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ की गणना करें।
चरण $3$: अदिश गुणनफल $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k})$ की गणना करें।
चरण $4$: अदिश गुणनफल करें: $(6 \times 5) + (2 \times 5) + (3 \times 7) = 30 + 10 + 21 = 61$।

(C) चरण $1$: चूँकि $\vec{a} \parallel \vec{b}$, उनके घटक समानुपाती हैं: $\frac{\lambda}{2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$।
चरण $2$: $\frac{\lambda}{2} = \frac{1}{4}$ से, हमें $\lambda = \frac{2}{4} = 0.5$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: चूँकि $\vec{b} \perp \vec{c}$, उनका अदिश गुणनफल शून्य है: $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$।
चरण $4$: $(2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \mu \hat{j} + \hat{k}) = 0 \implies (2)(1) + (4)(\mu) + (4)(1) = 0$।
चरण $5$: $2 + 4\mu + 4 = 0 \implies 4\mu = -6 \implies \mu = -1.5$।
चरण $6$: $\lambda - \mu = 0.5 - (-1.5) = 0.5 + 1.5 = 2$ की गणना करें।

(D) माना $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v} = (2+b)\hat{i} + (4+2)\hat{j} + (-5+3)\hat{k} = (2+b)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
$\vec{s}$ के समांतर इकाई सदिश $\hat{s} = \frac{\vec{s}}{|\vec{s}|} = \frac{(2+b)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{(2+b)^2 + 6^2 + (-2)^2}}$ है।
$\vec{a}$ और $\hat{s}$ का अदिश गुणनफल $1$ है, अतः $\vec{a} \cdot \hat{s} = 1$ है।
$\frac{(1)(2+b) + (1)(6) + (1)(-2)}{\sqrt{(2+b)^2 + 36 + 4}} = 1$ है।
$\frac{b+6}{\sqrt{(2+b)^2 + 40}} = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(b+6)^2 = (2+b)^2 + 40$ है।
$b^2 + 12b + 36 = b^2 + 4b + 4 + 40$ है।
$8b = 8$, इसलिए $b = 1$ है।

(A) माना अभीष्ट सदिश $\vec{v}$ है। चूँकि $\vec{v}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ समतलीय है और $\vec{a}$ के लंबवत है, तो $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ होगा।
पहले, $\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(9-0) + \hat{k}(3-4) = 6\hat{i} - 9\hat{j} - \hat{k}$ की गणना करें।
अब, $\vec{v} = \vec{a} \times (6\hat{i} - 9\hat{j} - \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 6 & -9 & -1 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$= \hat{i}(-2 - (-27)) - \hat{j}(-1 - 18) + \hat{k}(-9 - 12) = 25\hat{i} + 19\hat{j} - 21\hat{k}$।

(D) दिया है $|a| = \sqrt{3}$, $|b| = 3$, और $|a - b| = 4$। $|a - b| = 4$ का वर्ग करने पर $|a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b) = 16$ प्राप्त होता है, अतः $3 + 9 - 2(a \cdot b) = 16$, जिससे $a \cdot b = -2$ प्राप्त होता है।
माना $v = 2i + 2j - k$ है। समीकरण $a \times v = v \times b$ को $a \times v + b \times v = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, अतः $(a + b) \times v = 0$।
इसका अर्थ है कि $(a + b)$, $v = 2i + 2j - k$ के समांतर है। अतः $a + b = k(2i + 2j - k)$ किसी अदिश $k$ के लिए।
$|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = 3 + 9 + 2(-2) = 8$ की गणना करें।
चूँकि $|a + b|^2 = k^2(2^2 + 2^2 + (-1)^2) = 9k^2$, हमारे पास $9k^2 = 8$ है, अतः $k^2 = 8/9$ और $|k| = \frac{2\sqrt{2}}{3}$।
हमें $|(a + b) \cdot (3i + 4j + 2k)| = |k(2i + 2j - k) \cdot (3i + 4j + 2k)| = |k(6 + 8 - 2)| = |12k| = 12 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 8\sqrt{2}$ की आवश्यकता है।
दिया गया है कि यह $\sqrt{\lambda}$ के बराबर है, अतः $\sqrt{\lambda} = 8\sqrt{2} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{128}$। अतः $\lambda = 128$।

(C) चूंकि $\triangle ABC$, $A$ पर समकोण है, इसलिए $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$ है।
दिया गया व्यंजक: $E = \vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$।
चूंकि $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$, व्यंजक $E = \vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$ हो जाता है।
समकोण त्रिभुज में, $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}|^2$ और $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}|^2$ होता है।
अतः, $E = |\vec{BA}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{BC}|^2$।
$|\vec{BC}|^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 = |(5-3)\hat{i} + (1-(-2))\hat{j} + (-3-1)\hat{k}|^2 = |2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}|^2$ की गणना करें।
$|\vec{BC}|^2 = 2^2 + 3^2 + (-4)^2 = 4 + 9 + 16 = 29$।

(A) दिया गया है कि प्रत्येक सदिश अन्य दो के योग पर लंबवत है:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$
$\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$
$\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$
इन समीकरणों को जोड़ने पर, हमें $2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है, अतः $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ है।
अब, $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0) = 9 + 16 + 25 = 50$
अतः, $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$।

(D) चरण $1$: बिंदु $D$ का स्थिति सदिश ज्ञात करें जो $BC$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, $\vec{d} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{b}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$।
चरण $2$: बिंदु $E$, $AD$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, $\vec{e} = \frac{1(\vec{d}) + 2(\vec{a})}{1+2} = \frac{\vec{d} + 2\vec{a}}{3}$।
चरण $3$: $\vec{e}$ के व्यंजक में $\vec{d}$ का मान रखें: $\vec{e} = \frac{\frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} + 2\vec{a}}{3} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c} + 6\vec{a}}{9} = \frac{6\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{9}$।

(D) दिया गया है कि $a \cdot (b + c) = 0$, $b \cdot (c + a) = 0$, और $c \cdot (a + b) = 0$ है।
इसका अर्थ है $a \cdot b + a \cdot c = 0$, $b \cdot c + b \cdot a = 0$, और $c \cdot a + c \cdot b = 0$ है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$, अतः $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$ है।
चूंकि $a \cdot b + a \cdot c = 0$ है, इसलिए $a \cdot b = 0$, $b \cdot c = 0$, और $c \cdot a = 0$ प्राप्त होता है।
अब, $|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ है।
$|a + b + c|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 2(0) = 1 + 4 + 9 = 14$ है।
अतः, $|a + b + c| = \sqrt{14}$ है।

(D) दिया है $|a+b+c|^2 = 1^2 = 1$। चूँकि $c = \lambda(a \times b)$, $c$, $a$ और $b$ दोनों के लंबवत है, इसलिए $a \cdot c = 0$ और $b \cdot c = 0$।
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 1$ का विस्तार करने पर।
मान रखने पर: $(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{6}})^2 + 2(a \cdot b + 0 + 0) = 1$।
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + 2(a \cdot b) = 1$।
$\frac{2+3+1}{6} + 2(a \cdot b) = 1 \implies 1 + 2(a \cdot b) = 1 \implies a \cdot b = 0$।
चूँकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta = 0$ और $|a|, |b| \neq 0$, इसलिए $\cos \theta = 0$, अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) समांतर चतुर्भुज $OBDC$ में, विकर्ण $\vec{d_1} = \vec{OD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ और $\vec{d_2} = \vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\vec{OD} = \vec{OB} + \vec{OC}$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2\vec{OB} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) + (-3\hat{i} - 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k} \implies \vec{OB} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2\vec{OC} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) - (-3\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 8\hat{k} \implies \vec{OC} = 2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$।
समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}$।
$= 1(4 - 2) - 2(-4 - 4) + 3(-1 - 2) = 1(2) - 2(-8) + 3(-3) = 2 + 16 - 9 = 9$।
अतः, आयतन $9$ घन इकाई है।

(C) दिया गया है $\vec{p} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$, जिसे हम $\vec{p} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{a} = 0$ लिख सकते हैं, जिसका अर्थ है $(\vec{p} - \vec{b}) \times \vec{a} = 0$।
इसका अर्थ है कि $(\vec{p} - \vec{b})$, $\vec{a}$ के समांतर है, अतः $\vec{p} - \vec{b} = t\vec{a}$ किसी अदिश $t$ के लिए।
इस प्रकार, $\vec{p} = \vec{b} + t\vec{a} = (\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (1+t)\hat{i} + (t-3)\hat{j} + (t+2)\hat{k}$।
दिया गया है $\vec{p} \cdot \vec{c} = 0$, जहाँ $\vec{c} = 3\hat{i} - 2\hat{k}$, तो $((1+t)\hat{i} + (t-3)\hat{j} + (t+2)\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - 2\hat{k}) = 0$।
$3(1+t) - 2(t+2) = 0 \implies 3 + 3t - 2t - 4 = 0 \implies t - 1 = 0 \implies t = 1$।
$\vec{p}$ में $t=1$ रखने पर, $\vec{p} = (1+1)\hat{i} + (1-3)\hat{j} + (1+2)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$।
अंत में, $|\vec{p}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$।

(A) चरण $1$: $x^2 + y^2 = 9$ और $y^2 = 8x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। $y^2 = 8x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + 8x - 9 = 0 \implies (x+9)(x-1) = 0$। चूँकि $x \geq 0$, इसलिए $x = 1$। तब $y^2 = 8$, अतः $y = \pm 2\sqrt{2}$।
चरण $2$: क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{8x} \, dx + \int_{1}^{3} \sqrt{9-x^2} \, dx \right]$।
चरण $3$: प्रथम समाकल की गणना: $2 \int_{0}^{1} 2\sqrt{2} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_0^1 = \frac{8\sqrt{2}}{3}$।
चरण $4$: द्वितीय समाकल की गणना: $2 [\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{3})]_1^3 = 2 [(\frac{3}{2}(0) + \frac{9}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{8} + \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{3}))] = 2 [\frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{3})] = \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9\sin^{-1}(\frac{1}{3})$।
चरण $5$: कुल क्षेत्रफल $= \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9\sin^{-1}(\frac{1}{3})$।

(B) चरण $1$: वक्रों की पहचान करें। वक्र $y = |x| - 1$ शीर्ष $(0, -1)$ के साथ एक $V$-आकार दर्शाता है। वक्र $y = -|x| + 1$ शीर्ष $(0, 1)$ के साथ एक उल्टा $V$-आकार दर्शाता है।
चरण $2$: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। $|x| - 1 = -|x| + 1$ रखने पर, हमें $2|x| = 2$ प्राप्त होता है, इसलिए $|x| = 1$, जिसका अर्थ है $x = 1$ या $x = -1$। $x = 1$ पर, $y = 0$। $x = -1$ पर, $y = 0$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ और $(-1, 0)$ हैं।
चरण $3$: परिबद्ध क्षेत्र एक वर्ग (या समचतुर्भुज) है जिसके शीर्ष $(0, 1), (1, 0), (0, -1),$ और $(-1, 0)$ हैं।
चरण $4$: विकर्णों $d_1$ और $d_2$ वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ होता है। यहाँ, $d_1$ (ऊर्ध्वाधर) $= 1 - (-1) = 2$ और $d_2$ (क्षैतिज) $= 1 - (-1) = 2$ है।
चरण $5$: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ वर्ग इकाई।

(B) माना $I = \int_{0}^{3} \sqrt{3^2 - x^2} dx$ ।
मानक समाकल सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर, जहाँ $a = 3$ है।
सीमाओं $0$ से $3$ को लागू करने पर:
$I = [\frac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{3})]_{0}^{3}$
$I = (\frac{3}{2} \sqrt{9 - 9} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{3}{3})) - (\frac{0}{2} \sqrt{9 - 0} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{0}{3}))$
$I = (0 + \frac{9}{2} \sin^{-1}(1)) - (0 + 0)$
$I = \frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4}$ ।

(A) छायांकित क्षेत्र $x = 2\pi$ से $x = \frac{9\pi}{4}$ तक $y = \sin x$ द्वारा और $x = \frac{9\pi}{4}$ से $x = \frac{5\pi}{2}$ तक $y = \cos x$ द्वारा परिबद्ध है।
प्रतिच्छेदन बिंदु वह है जहाँ $\sin x = \cos x$, अर्थात $\tan x = 1$, इसलिए $x = \frac{9\pi}{4}$ है।
क्षेत्रफल $A$ निम्न प्रकार है:
$A = \int_{2\pi}^{9\pi/4} \sin x \, dx + \int_{9\pi/4}^{5\pi/2} \cos x \, dx$
$A = [-\cos x]_{2\pi}^{9\pi/4} + [\sin x]_{9\pi/4}^{5\pi/2}$
$A = -(\cos(9\pi/4) - \cos(2\pi)) + (\sin(5\pi/2) - \sin(9\pi/4))$
$A = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$A = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$ वर्ग इकाई।

(D) क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{4\pi} x |\sin(\frac{x}{2})| dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $x \in [0, 2\pi]$ के लिए $\sin(\frac{x}{2}) \ge 0$ और $x \in [2\pi, 4\pi]$ के लिए $\sin(\frac{x}{2}) \le 0$ है, इसलिए:
$A = \int_{0}^{2\pi} x \sin(\frac{x}{2}) dx + \int_{2\pi}^{4\pi} x (-\sin(\frac{x}{2})) dx$।
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u=x, dv=\sin(\frac{x}{2})dx$:
$\int x \sin(\frac{x}{2}) dx = -2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})$।
प्रथम समाकल का मान: $[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{0}^{2\pi} = (-2(2\pi)(-1) + 0) - (0) = 4\pi$।
द्वितीय समाकल का मान: $-[-2x \cos(\frac{x}{2}) + 4 \sin(\frac{x}{2})]_{2\pi}^{4\pi} = -[(-2(4\pi)(1) + 0) - (-2(2\pi)(-1) + 0)] = -[-8\pi - 4\pi] = 12\pi$।
कुल क्षेत्रफल $A = 4\pi + 12\pi = 16\pi$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया समीकरण $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $y^2 = 4(1 - x^2)$, जिसका अर्थ है $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$।
यह एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का समीकरण है जहाँ $a = 1$ और $b = 2$ है।
वक्र $y = 2\sqrt{1 - x^2}$ दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे भाग को दर्शाता है।
पूर्ण दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab = \pi(1)(2) = 2\pi$ है।
वक्र और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के ऊपरी आधे भाग का क्षेत्रफल है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2\pi = \pi \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) क्षेत्र $y = x^3$, $y = 8$ और $x = 0$ द्वारा परिबद्ध है।
$x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर, हमें $x = y^{1/3}$ प्राप्त होता है।
$y = x^3$ और $y = 8$ का प्रतिच्छेदन $x^3 = 8$ पर होता है, जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$, $y = 0$ से $y = 8$ तक $y$ के सापेक्ष $x$ का समाकलन है:
$A = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$A = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8}$
$A = \frac{3}{4} [8^{4/3} - 0^{4/3}]$
$A = \frac{3}{4} [(2^3)^{4/3}] = \frac{3}{4} [2^4] = \frac{3}{4} \times 16 = 12$ वर्ग इकाई।

(C) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{0}^{2} 2^{kx} dx = \frac{2}{\ln 2}$ द्वारा दिया गया है।
सूत्र $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$ का उपयोग करते हुए, $\int_{0}^{2} 2^{kx} dx = \left[ \frac{2^{kx}}{k \ln 2} \right]_{0}^{2}$ प्राप्त होता है।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{k \ln 2} (2^{2k} - 2^0) = \frac{2}{\ln 2}$।
$\frac{2^{2k} - 1}{k} = 2$।
$2^{2k} - 1 = 2k$।
निरीक्षण द्वारा, यदि $k = 1/2$ है, तो $2^{2(1/2)} - 1 = 2^1 - 1 = 1$ और $2k = 2(1/2) = 1$ है।
चूंकि $1 = 1$, इसलिए $k$ का मान $\frac{1}{2}$ है।

(A) वक्र का समीकरण $x^2 = by$ है, जिसका अर्थ है $x = \sqrt{b} \sqrt{y}$ (क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है)।
क्षेत्रफल $A$, $y = 1$ से $y = 4$ तक $y$ के सापेक्ष $x$ का समाकलन है:
$A = \int_{1}^{4} \sqrt{b} \sqrt{y} \, dy = 28$
$\sqrt{b} \int_{1}^{4} y^{1/2} \, dy = 28$
$\sqrt{b} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [4^{3/2} - 1^{3/2}] = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} [8 - 1] = 28$
$\sqrt{b} \cdot \frac{2}{3} \cdot 7 = 28$
$\sqrt{b} = \frac{28 \cdot 3}{14} = 2 \cdot 3 = 6$
$b = 6^2 = 36$।

(D) क्षेत्रफल $A$ को समाकलन $\int_{3}^{5} |x - 4| \, dx$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
चूंकि $x < 4$ के लिए $|x - 4| = -(x - 4)$ और $x \ge 4$ के लिए $|x - 4| = (x - 4)$ होता है, हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{3}^{4} -(x - 4) \, dx + \int_{4}^{5} (x - 4) \, dx$।
प्रथम भाग का मान: $\int_{3}^{4} (-x + 4) \, dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_{3}^{4} = (-8 + 16) - (-4.5 + 12) = 8 - 7.5 = 0.5$।
द्वितीय भाग का मान: $\int_{4}^{5} (x - 4) \, dx = [\frac{x^2}{2} - 4x]_{4}^{5} = (12.5 - 20) - (8 - 16) = -7.5 - (-8) = 0.5$।
कुल क्षेत्रफल $A = 0.5 + 0.5 = 1$ वर्ग इकाई।

(A) चरण $1$: समीकरण $2x - y + 1 = 0$ से $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करें। हमें $2x = y - 1$ प्राप्त होता है, इसलिए $x = \frac{y - 1}{2}$।
चरण $2$: वक्र $x = f(y)$, $y$-अक्ष, और रेखाओं $y = c$ तथा $y = d$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = \int_{c}^{d} |x| \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $3$: सीमाएं $y = -1$ से $y = 3$ प्रतिस्थापित करें: $A = \int_{-1}^{3} |\frac{y - 1}{2}| \, dy$।
चरण $4$: व्यंजक $\frac{y - 1}{2}$, $y = 1$ पर चिन्ह बदलता है। अतः, $A = \int_{-1}^{1} -(\frac{y - 1}{2}) \, dy + \int_{1}^{3} (\frac{y - 1}{2}) \, dy$।
चरण $5$: समाकलनों की गणना करें: $\frac{1}{2} [-( \frac{y^2}{2} - y )]_{-1}^{1} + \frac{1}{2} [ \frac{y^2}{2} - y ]_{1}^{3} = \frac{1}{2} [-( (\frac{1}{2} - 1) - (\frac{1}{2} + 1) )] + \frac{1}{2} [ (\frac{9}{2} - 3) - (\frac{1}{2} - 1) ] = \frac{1}{2} [ -(-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}) ] + \frac{1}{2} [ \frac{3}{2} - (-\frac{1}{2}) ] = \frac{1}{2} [2] + \frac{1}{2} [2] = 1 + 1 = 2$ वर्ग इकाई।

(D) क्षेत्रफल $A$, $x = -2$ से $x = 4$ तक $|y|$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन है।
$A = \int_{-2}^{4} |x| \, dx$
चूँकि $x < 0$ के लिए $|x| = -x$ और $x \ge 0$ के लिए $|x| = x$ होता है, हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{4} x \, dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$A = (0 - (-\frac{(-2)^2}{2})) + (\frac{4^2}{2} - 0)$
$A = (0 - (-2)) + (8 - 0)$
$A = 2 + 8 = 10 \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) क्षेत्रफल $A = \int_{-2}^{1} |x^3 + ax| \, dx$ द्वारा दिया गया है।
चूँकि $y = x^3 + ax = x(x^2 + a)$ और $a > 0$ है, वक्र अंतराल $[-2, 1]$ में केवल $x = 0$ पर $x$-अक्ष को काटता है।
$x \in [-2, 0]$ के लिए, $x^3 + ax \le 0$, अतः $|x^3 + ax| = -(x^3 + ax)$।
$x \in [0, 1]$ के लिए, $x^3 + ax \ge 0$, अतः $|x^3 + ax| = x^3 + ax$।
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{0} -(x^3 + ax) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + ax) \, dx = \frac{37}{4}$।
समाकलन करने पर: $-[\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{-2}^{0} + [\frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{37}{4}$।
$-(0 - (4 + 2a)) + (\frac{1}{4} + \frac{a}{2}) = \frac{37}{4}$।
$4 + 2a + \frac{1}{4} + \frac{a}{2} = \frac{37}{4}$।
$\frac{5a}{2} = \frac{37}{4} - \frac{17}{4} = \frac{20}{4} = 5$।
$a = 2$।

(B) परवलय $y^2 = 4kx$ और रेखा $x = k$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ का मान $A = 2 \int_{0}^{k} \sqrt{4kx} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = 2 \cdot 2\sqrt{k} \int_{0}^{k} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{k} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{k}$।
$A = 4\sqrt{k} \cdot \frac{2}{3} k^{3/2} = \frac{8}{3} k^2$।
दिया गया है $A = \frac{128}{3}$, अतः $\frac{8}{3} k^2 = \frac{128}{3}$।
$8k^2 = 128 \implies k^2 = 16 \implies k = 4$ (चूंकि $k > 0$)।
हमें $\sin^{-1}(\frac{2}{k}) = \sin^{-1}(\frac{2}{4}) = \sin^{-1}(\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात करना है।
$\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$।

(A) चरण $1$: $y = 0$ रखकर $X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$।
अतः, $x = 0$ और $x = 2$।
चरण $2$: क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $3$: समाकलन का मान निकालें: $\left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$।
चरण $4$: सीमाएं प्रतिस्थापित करें: $\left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - (0 - 0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) दिया गया वक्र $y = 4x^2$ है, जिसे $x$ के पदों में $x = \sqrt{\frac{y}{4}} = \frac{\sqrt{y}}{2}$ लिखा जा सकता है।
प्रथम चतुर्थांश में $Y$-अक्ष और रेखाओं $y = 2$ तथा $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} \frac{\sqrt{y}}{2} \, dy$।
$A = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{2}^{4}$।
$A = \frac{1}{3} [4^{3/2} - 2^{3/2}] = \frac{1}{3} [8 - 2\sqrt{2}]$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया वक्र $y = \sqrt{16 - x^2}$ है, जो $x^2 + y^2 = 4^2$ के ऊपरी अर्ध-वृत्त को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या $r = 4$ है।
हमें $x = 0$ और $x = 4$ के बीच $X$-अक्ष के ऊपर परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
यह क्षेत्र $r = 4$ वाले वृत्त का एक-चौथाई भाग है।
पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi(4)^2 = 16\pi$ है।
अतः अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{4} \times 16\pi = 4\pi$ वर्ग इकाई है।

(A) माना $V$ आयतन है और $S$ गोलाकार वर्षा की बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ और $S = 4 \pi r^2$।
वाष्पीकरण की दर आयतन के परिवर्तन की दर, $\frac{dV}{dt}$ है।
दिया गया है $\frac{dV}{dt} \propto -S$, अतः $\frac{dV}{dt} = -k' S$ (जहाँ $k' > 0$ एक स्थिरांक है)।
$V$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$।
$\frac{dV}{dt}$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k' (4 \pi r^2)$।
दोनों पक्षों को $4 \pi r^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dr}{dt} = -k'$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{dr}{dt} + k' = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $k'$ एक धनात्मक स्थिरांक है, हम इसे $k$ लिख सकते हैं।
अतः, $\frac{dr}{dt} + k = 0$।

(A) चरण $1$: अवकल समीकरण को $(c + dy) dy = (a + bx) dx$ के रूप में लिखें।
चरण $2$: दोनों पक्षों का समाकलन करें: $\int (c + dy) dy = \int (a + bx) dx$।
चरण $3$: यह $cy + \frac{d}{2} y^2 = ax + \frac{b}{2} x^2 + C$ देता है।
चरण $4$: पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: $\frac{b}{2} x^2 - \frac{d}{2} y^2 - ax + cy + C = 0$।
चरण $5$: मूल बिंदु पर केंद्रित वृत्त के लिए, $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए, और $x$ और $y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
चरण $6$: अतः, $a = 0$, $c = 0$, और $\frac{b}{2} = -\frac{d}{2}$, जिसका अर्थ है $b = -d$ या $b + d = 0$।

(B) चरण $1$: समीकरण को $xy^6$ से विभाजित करने पर $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{xy^5} = x^2$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: माना $v = y^{-5}$, तब $\frac{dv}{dx} = -5y^{-6} \frac{dy}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5} \frac{dv}{dx}$।
चरण $3$: समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{5} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = x^2$, जो सरल होकर $\frac{dv}{dx} - \frac{5}{x}v = -5x^2$ बनता है।
चरण $4$: समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{5}{x} dx} = e^{-5 \ln x} = x^{-5}$ है।
चरण $5$: हल $v \cdot x^{-5} = \int (-5x^2) \cdot x^{-5} dx = \int -5x^{-3} dx = -5 \frac{x^{-2}}{-2} + c = \frac{5}{2}x^{-2} + c$ है।
चरण $6$: $x^5$ से गुणा करने पर, $v = \frac{5}{2}x^3 + cx^5$ प्राप्त होता है, अतः $y^{-5} = \frac{5}{2}x^3 + cx^5$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2x \frac{dy}{dx} = y + 3$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y + 3} = \frac{dx}{2x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y + 3} = \int \frac{dx}{2x}$
$\ln|y + 3| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$
$2$ से गुणा करने पर: $2 \ln|y + 3| = \ln|x| + 2C$
$\ln(y + 3)^2 = \ln|x| + C'$
$(y + 3)^2 = kx$, जहाँ $k = e^{C'}$
यह समीकरण $(y - k_1)^2 = 4a(x - k_2)$ के रूप का है, जो परवलयों के एक परिवार को निरूपित करता है।

(A) दिया है: $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$।
इसे इस प्रकार लिखें: $\frac{dx}{dy} = x + y$।
यह $\frac{dx}{dy} - x = y$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ, $P = -1$ और $Q = y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
हल इस प्रकार दिया जाता है: $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$।
$x e^{-y} = \int y e^{-y} dy + c$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int y e^{-y} dy = y(-e^{-y}) - \int 1(-e^{-y}) dy = -y e^{-y} - e^{-y}$।
अतः, $x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} + c$।
$e^y$ से गुणा करने पर: $x = -y - 1 + ce^y$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x + y + 1 = ce^y$।

(C) चरण $1$: अवकल समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखें।
$x^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = \frac{1}{x^2}$।
चरण $2$: समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करें: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$।
चरण $3$: समीकरण को $IF$ से गुणा करें और समाकलन करें: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} y = \frac{1}{x^3}$।
यह $\frac{d}{dx} (y \cdot \frac{1}{x}) = x^{-3}$ है।
चरण $4$: दोनों पक्षों का समाकलन करें: $y \cdot \frac{1}{x} = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + c = -\frac{1}{2x^2} + c$।
चरण $5$: $2x^2$ से गुणा करने पर: $2xy = -1 + 2cx^2$, जिसे $2xy - 2cx^2 + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया समीकरण: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} - y = 0$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x + 2y^3) = y \frac{dx}{dy}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y} = \frac{x}{y} + 2y^2$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = 2y^2$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = -\frac{1}{y}$ और $Q = 2y^2$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$ है।
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$
$\frac{x}{y} = y^2 + c$
$x = y(y^2 + c) = (c + y^2)y$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $(x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = -(1 + t^2)$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर, $\frac{dx}{dt} = -\frac{x - e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2} = -\frac{x}{1 + t^2} + \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$।
इसे $\frac{dx}{dt} + \frac{1}{1 + t^2} x = \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(t) dt} = e^{\int \frac{1}{1 + t^2} dt} = e^{\tan^{-1} t}$ द्वारा दिया जाता है।

(A) दिया गया है $y = e^{-mx}$।
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = -m e^{-mx}$।
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = m^2 e^{-mx}$।
इन्हें अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $m^2 e^{-mx} + 4(-m e^{-mx}) + 3(e^{-mx}) = 0$।
$e^{-mx}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $e^{-mx}(m^2 - 4m + 3) = 0$।
चूँकि $e^{-mx} \neq 0$, इसलिए $m^2 - 4m + 3 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(m - 1)(m - 3) = 0$।
अतः, $m = 1$ या $m = 3$।

(B) दिया गया है: $\sec y + (x - e^{\sin y}) \frac{dy}{dx} = 0$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(e^{\sin y} - x) \frac{dy}{dx} = \sec y$
$\frac{dx}{dy} = \frac{e^{\sin y} - x}{\sec y} = (e^{\sin y} - x) \cos y$
$\frac{dx}{dy} + x \cos y = e^{\sin y} \cos y$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \cos y$ और $Q = e^{\sin y} \cos y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dy} = e^{\int \cos y dy} = e^{\sin y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$ है।
$x e^{\sin y} = \int (e^{\sin y} \cos y \cdot e^{\sin y}) dy + c$।
माना $u = \sin y$, तब $du = \cos y dy$ है।
$x e^{\sin y} = \int e^{2u} du + c = \frac{e^{2u}}{2} + c$।
$x e^{\sin y} = \frac{e^{2 \sin y}}{2} + c$।

(D) चरण $1$: समीकरण को $x \sin x$ से विभाजित करके मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करें।
$\frac{dy}{dx} + \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} y = \frac{1}{x}$।
चरण $2$: $P(x) = \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} = \cot x + \frac{1}{x}$ को पहचानें।
चरण $3$: समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\cot x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln |\sin x| + \ln |x|} = e^{\ln |x \sin x|} = x \sin x$ ज्ञात करें।
चरण $4$: हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx$ है।
$y(x \sin x) = \int \frac{1}{x} (x \sin x) dx = \int \sin x dx$।
$xy \sin x = -\cos x + c$।
$xy \sin x + \cos x = c$।

(B) चरण $1$: अवकल समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखें।
दिए गए समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ को $x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x \log x$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $P(x)$ को पहचानें।
यहाँ, $P(x) = \frac{2}{x}$ है।
चरण $3$: समाकलन गुणक $(IF)$ की गणना करें।
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$।

(D) चरण $1$: समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखें।
$\frac{dy}{dx} + \frac{6x^2}{1+x^3}y = \frac{1+x^2}{1+x^3}$।
चरण $2$: समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करें: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{6x^2}{1+x^3} dx} = e^{2 \ln(1+x^3)} = (1+x^3)^2$।
चरण $3$: $IF$ से गुणा करें और समाकलन करें: $y(1+x^3)^2 = \int (1+x^2)(1+x^3) dx = \int (1 + x^2 + x^3 + x^5) dx = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6} + c$।
चरण $4$: $y = \frac{1}{(1+x^3)^2} [x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6} + c]$ से तुलना करने पर, हमें $s=2, p=3, q=4, r=6$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: $2, 3, 4, 6$ का $LCM$ $12$ है।

(D) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक $(IF)$, $IF = e^{\int P \, dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $IF = \tan x$, अतः $e^{\int P \, dx} = \tan x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\int P \, dx = \ln(\tan x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $P = \frac{d}{dx}(\ln(\tan x))$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $P = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$।
$P = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर: $P = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \csc 2x$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^2 + 5$ है।
चरण $1$: समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात कीजिए।
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$।
चरण $2$: अवकल समीकरण को $IF$ से गुणा करें और समाकलन करें।
$x \frac{dy}{dx} + y = x(x^2 + 5) = x^3 + 5x$।
$\frac{d}{dx}(xy) = x^3 + 5x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$xy = \int (x^3 + 5x) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} + c$।

(B) दिया गया है $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$।
माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1 + v}{1 - v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।
$\int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv = \ln|x| + C$।
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2}) + C = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(\frac{x^2 + y^2}{x^2}) + C$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) - \ln|x| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) + C$।
$2\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln(x^2 + y^2) + 2C$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{2\tan^{-1}(\frac{y}{x})} = e^{\ln(x^2 + y^2)} \cdot e^{2C} = k(x^2 + y^2)$।
यह $c(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} = e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})}$ के रूप से मेल खाता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + y}{y} = \frac{x}{y} + 1$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 1$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = \frac{1}{y}$ प्राप्त होता है।
$y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{x}{y} = \int \frac{1}{y} dy = \ln |y| + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र $(0, 1)$ से गुजरता है, $x=0, y=1$ रखने पर: $\frac{0}{1} = \ln(1) + C \implies C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, $\frac{x}{y} = \ln y$, जिसका अर्थ है $y = e^{\frac{x}{y}}$।