MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ है, जिसे $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\int \frac{1}{x} dx$।
$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\ln|x| + C$।
$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C$।
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies \ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = C$।
दिया है $y(1) = 1$, अतः $\ln(1) - \frac{1^2}{2(1)^2} = C \implies C = -1/2$।
समीकरण $\ln|y| - \frac{x^2}{2y^2} = -1/2$ है।
दिया है $y(x_0) = e$, अतः $\ln(e) - \frac{x_0^2}{2e^2} = -1/2$।
$1 - \frac{x_0^2}{2e^2} = -1/2 \implies \frac{x_0^2}{2e^2} = 3/2 \implies x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \pm \sqrt{3}e$।

(D) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$ है।
माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x - vx}{x + vx} = \frac{1 - v}{1 + v}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1 - v}{1 + v} - v = \frac{1 - 2v - v^2}{1 + v}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{1 + v}{1 - 2v - v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।
माना $u = 1 - 2v - v^2$, तब $du = -2(1 + v) dv$।
$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C \implies -\frac{1}{2} \ln|1 - 2v - v^2| = \ln|x| + C$।
$1 - 2(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2 = \frac{K}{x^2}$।
$x^2 - 2xy - y^2 = K$। चूँकि यह $(0, 0)$ से गुजरता है, $K = 0$।
$x^2 - 2xy - y^2 = 0$। यह $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप का समीकरण है जहाँ $H^2 - AB = 2 > 0$, जो सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \, dy + 2y \, dx = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x \, dy = -2y \, dx$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{2y} = -\frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2y} \, dy = -\int \frac{1}{x} \, dx$
$\frac{1}{2} \ln|y| = -\ln|x| + C$
$2$ से गुणा करने पर: $\ln|y| = -2\ln|x| + 2C$
$\ln|y| = \ln|x^{-2}| + C_1$ (जहाँ $C_1 = 2C$)
$y = e^{C_1} \cdot x^{-2} \implies y = \frac{K}{x^2}$ (जहाँ $K = e^{C_1}$)
दिया है $x = 2$ और $y = 1$: $1 = \frac{K}{2^2} \implies K = 4$
अतः, विशिष्ट हल $y = \frac{4}{x^2}$ है, जिसे $x^2 y = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) माना $S = 4\pi r^2$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है। दिया गया है $\frac{dS}{dt} = kS$।
समाकलन करने पर, $\ln S = kt + C$, अतः $S(t) = S_0 e^{kt}$।
$t = 0$ पर, $r = 2 \text{ cm}$, अतः $S_0 = 4\pi(2)^2 = 16\pi \text{ cm}^2$।
$t = 5$ पर, $r = 7 \text{ cm}$, अतः $S(5) = 4\pi(7)^2 = 196\pi \text{ cm}^2$।
$196\pi = 16\pi e^{5k} \implies e^{5k} = \frac{196}{16} = 12.25$।
$e^k = (12.25)^{1/5}$।
$t = 12$ पर, $S(12) = 16\pi (e^k)^{12} = 16\pi (12.25)^{12/5}$।
गणना करने पर, $S(12) \approx 16 \times 3.14159 \times 49 \approx 2463.01 \text{ cm}^2$।
निकटतम विकल्प के अनुसार, $S(12) = 2464 \text{ cm}^2$।

(A) चरण $1$: $(y - a)^2 = 4(x - b)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(y - a) \frac{dy}{dx} = 4$, जो सरल होकर $(y - a) \frac{dy}{dx} = 2$ बनता है।
चरण $2$: $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} + (y - a) \frac{d^2y}{dx^2} = 0$।
चरण $3$: चरण $1$ से, $(y - a) = \frac{2}{dy/dx}$। इसे चरण $2$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{dy}{dx})^2 + \frac{2}{dy/dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = 0$।
चरण $4$: भिन्न को हटाने के लिए $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर: $(\frac{dy}{dx})^3 + 2 \frac{d^2y}{dx^2} = 0$।
चरण $5$: उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है, और इसकी घात $1$ है। अतः, घात $1$ है।

(A) चरण $1$: रेखा का अभिलंब रूप में समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
चरण $2$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: इसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\cot \alpha$।
चरण $4$: $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot \alpha) = 0$ (चूंकि $\alpha$ एक अचर है)।
चरण $5$: अतः, अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ है।

(B) $y$-अक्ष पर स्थित परवलय का व्यापक समीकरण $y = ax^2 + b$ है।
चूंकि इसमें दो स्वेच्छ अचर $a$ और $b$ हैं, हम दो बार अवकलन करते हैं।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2ax$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2a$।
प्रथम अवकलज से, $a = \frac{1}{2x} \frac{dy}{dx}$।
$a$ का मान द्वितीय अवकलज में रखने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2 \left( \frac{1}{2x} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{1}{x} \frac{dy}{dx}$।
इसे व्यवस्थित करने पर $x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए समीकरण को पुनः लिखें: $3 - (\frac{d^3y}{dx^3})^{2/3} = (\frac{dy}{dx})^5 \implies 3 - (\frac{dy}{dx})^5 = (\frac{d^3y}{dx^3})^{2/3}$।
चरण $2$: भिन्नात्मक घात को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों का घन करें: $(3 - (\frac{dy}{dx})^5)^3 = (\frac{d^3y}{dx^3})^2$।
चरण $3$: उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है, इसलिए कोटि $3$ है।
चरण $4$: समीकरण को करणी और भिन्नों से मुक्त करने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है, इसलिए घात $2$ है।

(B) चरण $1$: दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^3} = (\frac{d^3y}{dx^3})^{5/2}$ है।
चरण $2$: वर्गमूल हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^3 = (\frac{d^3y}{dx^3})^5$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज होती है। यहाँ, उच्चतम अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है, इसलिए कोटि $3$ है।
चरण $4$: घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। $\frac{d^3y}{dx^3}$ की घात $5$ है। अतः, घात $5$ है।

(C) चरण $1$: अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ, उच्चतम अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है, इसलिए कोटि $3$ है।
चरण $2$: अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घात होती है, बशर्ते समीकरण अपने अवकलजों के पदों में एक बहुपद हो।
चरण $3$: इस समीकरण में, पद $\cos(\frac{d^2y}{dx^2})$ में अवकलज का एक त्रिकोणमितीय फलन शामिल है, जिसका अर्थ है कि इसे अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
चरण $4$: अतः, इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(A) चरण $1$: दिया गया समीकरण लिखें: $\sqrt{1 + \frac{1}{(dy/dx)^2}} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$।
चरण $2$: वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करें: $\sqrt{\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2}} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$।
चरण $3$: यह $\frac{\sqrt{(dy/dx)^2 + 1}}{|dy/dx|} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$ बन जाता है।
चरण $4$: दाईं ओर के वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें: $\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2} = (d^2y/dx^2)^3$।
चरण $5$: भिन्न को हटाने के लिए $(dy/dx)^2$ से गुणा करें: $(dy/dx)^2 + 1 = (d^2y/dx^2)^3 \cdot (dy/dx)^2$।
चरण $6$: उच्चतम कोटि का अवकलज $d^2y/dx^2$ है, इसलिए कोटि $2$ है। उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है, इसलिए घात $3$ है।

(B) चरण $1$: दिया गया अवकल समीकरण $(\frac{d^3y}{dx^3})^{2/3} - 3 \frac{d^2y}{dx^2} + 5 \frac{dy}{dx} + 4 = 0$ है।
चरण $2$: घात ज्ञात करने के लिए, समीकरण को अपने अवकलजों के संदर्भ में एक बहुपद होना चाहिए। हम दोनों पक्षों की घात $3$ करके भिन्नात्मक घातांक को हटाते हैं: $(\frac{d^3y}{dx^3})^2 = (3 \frac{d^2y}{dx^2} - 5 \frac{dy}{dx} - 4)^3$।
चरण $3$: उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है, इसलिए कोटि $3$ है।
चरण $4$: समीकरण को बहुपद बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है, इसलिए घात $2$ है।

(B) चरण $1$: दिया गया समीकरण $\sqrt{1 + \frac{1}{(dy/dx)^2}} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$ है।
चरण $2$: वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करें: $\sqrt{\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2}} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$।
चरण $3$: इसे $\frac{\sqrt{1 + (dy/dx)^2}}{|dy/dx|} = (d^2y/dx^2)^{3/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चरण $4$: दाईं ओर के वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें: $\frac{1 + (dy/dx)^2}{(dy/dx)^2} = (d^2y/dx^2)^3$।
चरण $5$: भिन्न को हटाने के लिए $(dy/dx)^2$ से गुणा करें: $1 + (dy/dx)^2 = (dy/dx)^2 \cdot (d^2y/dx^2)^3$।
चरण $6$: उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $d^2y/dx^2$ है, इसलिए कोटि $2$ है।
चरण $7$: समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है, इसलिए घात $3$ है।

(A) चरण $1$: दिए गए समीकरण को सरल करें। $\sqrt{\frac{(\frac{dy}{dx})^2 + 1}{(\frac{dy}{dx})^2}} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{\frac{3}{2}}$।
चरण $2$: वर्गमूल हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें: $\frac{(\frac{dy}{dx})^2 + 1}{(\frac{dy}{dx})^2} = (\frac{d^2y}{dx^2})^3$।
चरण $3$: भिन्न को हटाने के लिए $(\frac{dy}{dx})^2$ से गुणा करें: $(\frac{dy}{dx})^2 + 1 = (\frac{d^2y}{dx^2})^3 (\frac{dy}{dx})^2$।
चरण $4$: उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है, इसलिए कोटि $2$ है।
चरण $5$: समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है, इसलिए घात $3$ है।

(B) चरण $1$: दिए गए अवकल समीकरण को लिखें: $(\frac{d^3y}{dx^3})^{\frac{2}{3}} = 3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4$।
चरण $2$: घात ज्ञात करने के लिए, समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में होना चाहिए। भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों की घात $3$ करें: $((\frac{d^3y}{dx^3})^{\frac{2}{3}})^3 = (3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4)^3$।
चरण $3$: यह सरल होकर $(\frac{d^3y}{dx^3})^2 = (3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4)^3$ हो जाता है।
चरण $4$: कोटि उच्चतम अवकलज है, जो $3$ है। घात परिमेयकरण के बाद उच्चतम अवकलज की घात है, जो $2$ है। अतः, कोटि $3$ है और घात $2$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{1 + \frac{1}{(\frac{dy}{dx})^2}} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{\frac{3}{2}}$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\sqrt{\frac{(\frac{dy}{dx})^2 + 1}{(\frac{dy}{dx})^2}} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{\frac{3}{2}}$
$\frac{\sqrt{(\frac{dy}{dx})^2 + 1}}{|\frac{dy}{dx}|} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{\frac{3}{2}}$
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(\frac{dy}{dx})^2 + 1}{(\frac{dy}{dx})^2} = (\frac{d^2y}{dx^2})^3$
$(\frac{dy}{dx})^2$ से गुणा करने पर: $(\frac{dy}{dx})^2 + 1 = (\frac{d^2y}{dx^2})^3 (\frac{dy}{dx})^2$
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है, इसलिए कोटि $2$ है।
अवकलजों में समीकरण को बहुपद बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है, इसलिए घात $3$ है।
अतः, कोटि और घात क्रमशः $2$ और $3$ हैं।

(B) दिया गया है $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{b} = \vec{0}$, अतः $\vec{b} = -\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c})$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\vec{b} = -[(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c}] = (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a}$।
चूँकि $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{a} \cdot \vec{a}| = 1^2 = 1$ है। अतः, $\vec{b} = \vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a}$।
दोनों पक्षों का परिमाण वर्ग करने पर: $|\vec{b}|^2 = |\vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a}|^2 = |\vec{c}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{c})^2 |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{c} \cdot \vec{a}) = |\vec{c}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{c})^2$।
दिया गया है $|\vec{b}| = 1$ और $|\vec{c}| = 2$, अतः $1^2 = 2^2 - (\vec{a} \cdot \vec{c})^2$, जिससे $(\vec{a} \cdot \vec{c})^2 = 3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta = 1 \cdot 2 \cos \theta = 2 \cos \theta$, अतः $(2 \cos \theta)^2 = 3$, जिसका अर्थ है $4 \cos^2 \theta = 3$।
$\cos^2 \theta = \frac{3}{4} \implies \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (न्यून कोण $\theta$ के लिए)।
अतः, $\theta = \frac{\pi}{6}$।

(C) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करने पर: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$।
दिया है $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\vec{b}}{2}$, अतः $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{b}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{1}{2})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = 0$।
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ असमतलीय हैं, वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, उनके गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ शून्येतर सदिश हैं और उनका अदिश गुणनफल $0$ है, उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(D) दिया गया है $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{b} = \vec{0}$।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c}$ का उपयोग करने पर।
चूँकि $|\vec{a}| = 1$, हमारे पास $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$ है।
अतः, $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - \vec{c} + \vec{b} = \vec{0}$, जिसका अर्थ है $\vec{b} = \vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a}$।
दोनों पक्षों का परिमाण वर्ग लेने पर: $|\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{c})^2 |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{c} \cdot \vec{a})$।
चूँकि $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{c}| = 2$, और $|\vec{a}| = 1$, हमें प्राप्त होता है $1 = 4 + (\vec{a} \cdot \vec{c})^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c})^2$।
$1 = 4 - (\vec{a} \cdot \vec{c})^2$, अतः $(\vec{a} \cdot \vec{c})^2 = 3$।
इस प्रकार, $|\vec{a}||\vec{c}| \cos \theta = \pm \sqrt{3}$, जहाँ $\theta$, $\vec{a}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है।
$1 \cdot 2 \cdot \cos \theta = \sqrt{3} \implies \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः, $\theta = \frac{\pi}{6}$।

(D) माना $V = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ है। परिभाषा के अनुसार, $\vec{a} \cdot \vec{p} = \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{V} = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}{V} = 1$ है।
इसी प्रकार, $\vec{b} \cdot \vec{q} = 1$ और $\vec{c} \cdot \vec{r} = 1$ है।
साथ ही, $\vec{b} \cdot \vec{p} = 0$, $\vec{c} \cdot \vec{p} = 0$, $\vec{c} \cdot \vec{q} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{q} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{r} = 0$, और $\vec{b} \cdot \vec{r} = 0$ है क्योंकि किसी सदिश का स्वयं को शामिल करने वाले क्रॉस उत्पाद के साथ अदिश गुणनफल शून्य होता है।
अब, व्यंजक का विस्तार करें: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot \vec{r} = (\vec{a} \cdot \vec{p} + \vec{b} \cdot \vec{p}) + (\vec{b} \cdot \vec{q} + \vec{c} \cdot \vec{q}) + (\vec{c} \cdot \vec{r} + \vec{a} \cdot \vec{r})$ है।
मान रखने पर: $(1 + 0) + (1 + 0) + (1 + 0) = 3$ प्राप्त होता है।

(B) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
माना सदिश $\vec{u} = a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$, $\vec{v} = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$, और $\vec{w} = c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ हैं।
समतलीयता के लिए शर्त $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0$ है।
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$।
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $-1(ab - c^2) + 0 - 1(ac - ac) = 0$।
$-(ab - c^2) = 0$।
$c^2 = ab$।
$c = \sqrt{ab}$।
अतः, $c$, $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य है।

(A) चरण $1$: अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ का उपयोग करके समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात करें।
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -2 \\ -3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-2)) - \hat{j}(4 - 6) + \hat{k}(1 - (-9)) = 14\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k}$.
आयतन $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |(-2)(14) + (5)(2) + (3)(10)| = |-28 + 10 + 30| = 12$.
चरण $2$: $\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्मित आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जो $|\vec{b} \times \vec{c}|$ है।
$|\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + 10^2} = \sqrt{196 + 4 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.
चरण $3$: ऊँचाई $h = V / \text{क्षेत्रफल} = 12 / (10\sqrt{3}) = 6 / (5\sqrt{3}) = (6\sqrt{3}) / 15 = 2\sqrt{3} / 5$.

(D) फलन $f(x)$ अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ है, जो सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$f(x) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x = x^3 - 27x + 26$
स्थानीय उच्चिष्ठ ज्ञात करने के लिए, $f'(x) = 3x^2 - 27$ प्राप्त करते हैं। $f'(x) = 0$ रखने पर $x^2 = 9$, अतः $x = \pm 3$ प्राप्त होता है।
$f''(x) = 6x$। स्थानीय उच्चिष्ठ के लिए, $f''(x) < 0$ होना चाहिए, अतः $x_0 = -3$ है।
अब $x = -3$ पर $\vec{a} \cdot \vec{c}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (-3)(7) + (-2)(-2) + (3)(-3) = -21 + 4 - 9 = -26$।

(B) अदिश त्रिक गुणनफल को $[\vec{a} \quad \vec{a} + \vec{b} \quad \vec{a} \times \vec{b}] = \vec{a} \cdot ((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b}))$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए, हम $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b})$ का विस्तार करते हैं:
$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})$
$= ((\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}) + ((\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b})$
$= (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + |\vec{b}|^2 \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b}$
अब, $\vec{a}$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$[\vec{a} \quad \vec{a} + \vec{b} \quad \vec{a} \times \vec{b}] = \vec{a} \cdot [(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + |\vec{b}|^2 \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b}]$
$= (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{a}) - |\vec{a}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{a}) - (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$= (8)(16) - (16)(8) + (9)(16) - (8)(8)$
$= 0 + 144 - 64 = 80$.

(D) चूंकि $\vec{c}$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है, इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$ होगा।
यह घटकों के सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - (2)(x-2)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$.
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$.
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$.
$4 + 2x = 0$.
$2x = -4$.
$x = -2$.

(A) शीर्षों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a}))|$ द्वारा दिया जाता है।
माना $\vec{a} = (5, -1, 1)$, $\vec{b} = (7, -4, p)$, $\vec{c} = (1, -6, 10)$, $\vec{d} = (-1, -3, 7)$ है।
$\vec{b}-\vec{a} = (2, -3, p-1)$, $\vec{c}-\vec{a} = (-4, -5, 9)$, $\vec{d}-\vec{a} = (-6, -2, 6)$ है।
आयतन $V = \frac{1}{6} |\det \begin{pmatrix} 2 & -3 & p-1 \\ -4 & -5 & 9 \\ -6 & -2 & 6 \end{pmatrix}| = 11$ है।
$|2(-30 + 18) + 3(-24 + 54) + (p-1)(8 - 30)| = 66$ है।
$|2(-12) + 3(30) + (p-1)(-22)| = 66$ है।
$|-24 + 90 - 22p + 22| = 66$ है।
$|88 - 22p| = 66$ है।
स्थिति $1$: $88 - 22p = 66 \implies 22p = 22 \implies p = 1$ है।
स्थिति $2$: $88 - 22p = -66 \implies 22p = 154 \implies p = 7$ है।
अतः, $p$ का एक मान $1$ है।

(A) दिया गया है, समांतर षट्फलक का आयतन $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 3$ है।
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ सह-आदिम किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $\vec{u} = \vec{a} \times \vec{b}$, $\vec{v} = 2(\vec{a} \times \vec{c})$, $\vec{w} = 2(\vec{b} \times \vec{c})$ है।
अतः, $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = [(\vec{a} \times \vec{b}) \ (2(\vec{a} \times \vec{c})) \ (2(\vec{b} \times \vec{c}))] = 4 [(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{a} \times \vec{c}) \ (\vec{b} \times \vec{c})]$ है।
सर्वसमिका $[(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{b} \times \vec{c}) \ (\vec{c} \times \vec{a})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ का उपयोग करने पर, $[(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{a} \times \vec{c}) \ (\vec{b} \times \vec{c})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = 4 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 4 \times (3)^2 = 4 \times 9 = 36$ है।
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} \times 36 = 6 \text{ घन इकाई}$ है।

(A) सारणिक $\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right|$ अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ को दर्शाता है।
चूंकि $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश है, इसलिए $\vec{a} = \pm \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$।
अतः, $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \pm \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \pm |\vec{b} \times \vec{c}|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें मान $|\vec{b} \times \vec{c}|^2$ प्राप्त होता है।
सूत्र $|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}||\vec{c}| \sin(\theta)$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 \sin^2(\frac{\pi}{3}) = |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2$।

(B) दिया गया है $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$, जिसे हम $(\vec{r} - \vec{c}) \times \vec{b} = 0$ लिख सकते हैं। इसका अर्थ है $\vec{r} - \vec{c} = t\vec{b}$ किसी अदिश $t$ के लिए, अतः $\vec{r} = \vec{c} + t\vec{b}$।
$\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$ में $\vec{r}$ का मान रखने पर, $(\vec{c} + t\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$, जिसका अर्थ है $\vec{c} \cdot \vec{a} + t(\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$।
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (4)(2) + (-3)(0) + (7)(1) = 8 + 0 + 7 = 15$ की गणना करें।
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(2) + (1)(0) + (1)(1) = 2 + 0 + 1 = 3$ की गणना करें।
अतः, $15 + 3t = 0$, जिससे $t = -5$ प्राप्त होता है।
अब, $\vec{r} = \vec{c} - 5\vec{b} = (4\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}) - 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$।
अंत में, $\vec{r} \cdot \vec{c} = (-1)(4) + (-8)(-3) + (2)(7) = -4 + 24 + 14 = 34$।

(B) $P(1, 0, -3)$ से गुजरने वाली और दी गई रेखा के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z + 3}{-6} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2r + 1, 3r, -6r - 3)$ है।
इस बिंदु के समतल $x - y - z = 9$ पर स्थित होने के लिए, हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2r + 1) - (3r) - (-6r - 3) = 9$।
$2r + 1 - 3r + 6r + 3 = 9$।
$5r + 4 = 9 \implies 5r = 5 \implies r = 1$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2(1) + 1, 3(1), -6(1) - 3) = (3, 3, -9)$ है।
$(1, 0, -3)$ और $(3, 3, -9)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (3 - 0)^2 + (-9 - (-3))^2}$ है।
$d = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ इकाई}$।

(A) रेखा $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ द्वारा दी गई है, जहाँ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ द्वारा दिया गया है, जहाँ $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2$।
परिमाणों की गणना करें: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$।
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$।
अतः, $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$।

(B) रेखा जिसकी दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है और समतल जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ है, के बीच के कोण $\theta$ की ज्या के लिए सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
दिया है $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$, $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(p) + (1)(1) = p + 3$ है।
परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + p^2 + 1^2} = \sqrt{p^2 + 5}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{|p + 3|}{\sqrt{3} \sqrt{p^2 + 5}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2}{9} = \frac{(p + 3)^2}{3(p^2 + 5)}$।
सरल करने पर: $\frac{2}{3} = \frac{p^2 + 6p + 9}{p^2 + 5}$।
$2(p^2 + 5) = 3(p^2 + 6p + 9) \implies 2p^2 + 10 = 3p^2 + 18p + 27$।
$p^2 + 18p + 17 = 0$।
$(p + 1)(p + 17) = 0$।
अतः, $p = -1$ या $p = -17$ है।

(B) समतल $ax + by + cz + d = 0$ से बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया समतल: $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ है।
बिंदु $(1, 1, \mu)$ की समतल से दूरी: $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\mu) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\mu|}{13}$ है।
बिंदु $(-3, 0, 1)$ की समतल से दूरी: $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-9 - 12 + 13|}{13} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$ है।
चूंकि बिंदु समान दूरी पर हैं, $d_1 = d_2$, इसलिए $\frac{|20 - 12\mu|}{13} = \frac{8}{13}$ है।
$|20 - 12\mu| = 8$ है।
स्थिति $1$: $20 - 12\mu = 8 \implies 12\mu = 12 \implies \mu = 1$ है।
स्थिति $2$: $20 - 12\mu = -8 \implies 12\mu = 28 \implies \mu = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$ है।
अतः, $\mu$ के मान $1, \frac{7}{3}$ हैं।

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$, समांतर सदिशों $\vec{b}$ और $\vec{c}$ का सदिश गुणनफल है।
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 3) - \hat{j}(4 - 3) + \hat{k}(4 + 1) = -4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ होता है।
यहाँ, $\vec{a} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = (-2)(-4) + (7)(-1) + (5)(5) = 8 - 7 + 25 = 26$.
अतः, समीकरण $\vec{r} \cdot (-4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = 26$ है।

(A) चरण $1$: $A, B, C$ बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें जहाँ समतल अक्षों को काटता है।
$x$-अक्ष के लिए, $y=0, z=0 \implies x=2$। अतः, $A = (2, 0, 0)$।
$y$-अक्ष के लिए, $x=0, z=0 \implies y=3$। अतः, $B = (0, 3, 0)$।
$z$-अक्ष के लिए, $x=0, y=0 \implies z=4$। अतः, $C = (0, 0, 4)$।
चरण $2$: सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करें।
$\vec{AB} = (-2, 3, 0)$, $\vec{AC} = (-2, 0, 4)$।
चरण $3$: सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करें।
$\vec{AB} \times \vec{AC} = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$।
चरण $4$: त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \sqrt{61}$ वर्ग इकाई।

(B) रेखा $L$ बिंदु $B(2, 3, -2)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AB} = (2-3)\hat{i} + (3-7)\hat{j} + (-2 - (-7))\hat{k} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-10) - \hat{j}(-1+15) + \hat{k}(-2-12) = -14\hat{i} - 14\hat{j} - 14\hat{k}$ है।
हम $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x-3) + 1(y-7) + 1(z+7) = 0$ है, जो $x + y + z - 3 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ है।
अतः, $d^2 = 3$ है।

(A) समतल का समीकरण $2x - 3y - 6z = 49$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और समतल पर लंब रेखा के दिक-अनुपात अभिलंब सदिश के समान होंगे। अतः, रेखा का समीकरण $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-6} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2k, -3k, -6k)$ के रूप में होगा।
चूँकि यह बिंदु समतल पर स्थित है, इसे समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(2k) - 3(-3k) - 6(-6k) = 49$।
$4k + 9k + 36k = 49 \implies 49k = 49 \implies k = 1$।
$k = 1$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर, हमें $(2(1), -3(1), -6(1)) = (2, -3, -6)$ प्राप्त होता है।

(A) समतलों $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ और $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(2x - y + z - 3) + \lambda(4x - 3y + 5z + 9) = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(2 + 4\lambda)x + (-1 - 3\lambda)y + (1 + 5\lambda)z + (-3 + 9\lambda) = 0$।
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2 + 4\lambda)\hat{i} + (-1 - 3\lambda)\hat{j} + (1 + 5\lambda)\hat{k}$ है।
चूंकि समतल, दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ वाली रेखा के समांतर है, इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$, $\vec{v}$ के लंबवत होना चाहिए, अतः $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$।
$2(2 + 4\lambda) + 4(-1 - 3\lambda) + 5(1 + 5\lambda) = 0$।
$4 + 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$।
$21\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = -5/21$।
समतल समीकरण में $\lambda = -5/21$ रखने पर: $(2 - 20/21)x + (-1 + 15/21)y + (1 - 25/21)z + (-3 - 45/21) = 0$।
$(42 - 20)/21 x + (-21 + 15)/21 y + (21 - 25)/21 z + (-63 - 45)/21 = 0$।
$22x - 6y - 4z - 108 = 0$।
$2$ से भाग देने पर: $11x - 3y - 2z - 54 = 0$।

(B) मूल बिंदु से $d$ दूरी पर और सदिश $\vec{n}$ के अभिलंब समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ होता है, जहाँ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ इकाई अभिलंब सदिश है।
दिया है $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $d = 5$।
$\vec{n}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{3}$ है।
समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \left( \frac{2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{3} \right) = 5$ है।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर, हमें $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 15$ प्राप्त होता है।

(B) रेखाएं बिंदुओं $A(1, -1, 0)$ और $B(-1, -1, 0)$ से गुजरती हैं। दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।
चूंकि रेखाएं एक ही समतल में हैं, सदिश $\vec{AB} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$, $\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ के साथ समतलीय होना चाहिए। अतः, अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{AB}, \vec{v_1}, \vec{v_2}] = 0$ है।
$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 2 & \lambda & 2 \\ 5 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = -2(\lambda^2 - 4) = 0 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$.
समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & \lambda & 2 \\ 5 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda^2 - 4)\hat{i} - (2\lambda - 10)\hat{j} + (4 - 5\lambda)\hat{k}$ है।
$\lambda = 2$ के लिए, $\vec{n} = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k} = 6(\hat{j} - \hat{k})$। समतल $0(x-1) + 1(y+1) - 1(z-0) = 0 \implies y - z + 1 = 0$ है।
$\lambda = -2$ के लिए, $\vec{n} = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k} = 14(\hat{j} + \hat{k})$। समतल $0(x-1) + 1(y+1) + 1(z-0) = 0 \implies y + z + 1 = 0$ है।
इन्हें मिलाने पर, समीकरण $y \pm z + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
चरण $2$: अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$, $\vec{n_1}$ और $\vec{n_2}$ दोनों के लंबवत है, अतः $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(3 - 6) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
चरण $3$: बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
चरण $4$: मान प्रतिस्थापित करने पर: $-2(x - 1) + 4(y - 2) - 3(z - 1) = 0 \implies -2x + 2 + 4y - 8 - 3z + 3 = 0 \implies -2x + 4y - 3z - 3 = 0$, जो $2x - 4y + 3z + 3 = 0$ है।

(D) माना समतल का समीकरण $a(x-1) + by + cz = 0$ है, जो $ax + by + cz = a$ में सरल हो जाता है। चूँकि यह $(0, 1, 0)$ से गुजरता है, $a(0) + b(1) + c(0) = a$, अतः $b = a$। अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (a, a, c)$ है।
समतल $2x + 3y = 7$ का अभिलंब $\vec{n_2} = (2, 3, 0)$ है।
समतलों के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ सूत्र $\cos(45^{\circ}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|5a|}{\sqrt{2a^2 + c^2} \sqrt{13}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{25a^2}{13(2a^2 + c^2)}$।
$13(2a^2 + c^2) = 50a^2 \implies 13c^2 = 24a^2 \implies c = \pm a \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{13}}$।
यदि $a = \sqrt{13}$ लें, तो $b = \sqrt{13}$ और $c = 2\sqrt{6}$ प्राप्त होता है। अतः दिक्-अनुपात $\sqrt{13}, \sqrt{13}, 2\sqrt{6}$ हैं।

(C) चरण $1$: समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n}$ की पहचान करें। रेखाएँ समांतर हैं क्योंकि उनका दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ समान है।
चरण $2$: मान लीजिए $A = (0, 4, -1)$ और $B = (2, 1, 0)$ रेखाओं पर स्थित बिंदु हैं। सदिश $\vec{AB} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ है।
चरण $3$: अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{b} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ है।
चरण $4$: समतल का समीकरण $4x + 5y + 7z - 13 = 0$ है।
चरण $5$: बिंदु $(2, 5, 10)$ से समतल की दूरी $d = \frac{|4(2) + 5(5) + 7(10) - 13|}{\sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2}} = \frac{90}{\sqrt{90}} = \sqrt{90}$ है।
चरण $6$: अतः, $d^2 = 90$ है।

(A) चरण $1$: समतल पर स्थित एक बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात करें। माना $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j}$ है।
चरण $2$: बिंदुओं $A(-1, 2, 0)$ और $B(2, 2, -1)$ को जोड़ने वाले सदिश से पहला दिशा सदिश $\vec{b}$ ज्ञात करें। $\vec{b} = (2 - (-1))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (-1 - 0)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{k}$ है।
चरण $3$: रेखा $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1/2}{1} = \frac{z + 1}{-1}$ से दूसरा दिशा सदिश $\vec{c}$ ज्ञात करें। दिशा अनुपात $(1, 1, -1)$ हैं, अतः $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
चरण $4$: समतल का प्राचलिक रूप $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ है।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ प्राप्त होता है।
यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।

(B) चरण $1$: समतल समीकरण को अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में बदलें।
चरण $2$: दिया गया है $2x + 3y + z = 6$, $6$ से भाग देने पर $\frac{2x}{6} + \frac{3y}{6} + \frac{z}{6} = 1$ प्राप्त होता है, जो $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1$ में सरल हो जाता है।
चरण $3$: अंतःखंड $a = 3, b = 2$ और $c = 6$ हैं। अतः $A, B, C$ के निर्देशांक $(3, 0, 0), (0, 2, 0)$ और $(0, 0, 6)$ हैं।
चरण $4$: मूलबिंदु और अंतःखंड $a, b, c$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |abc|$ होता है।
चरण $5$: $V = \frac{1}{6} \times 3 \times 2 \times 6 = 6 \text{ घन इकाइयाँ}$।

(D) दिया गया समीकरण $\vec{r} = \lambda(\hat{i} + 3\hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + 2\hat{j}$ है।
माना $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है। तब $x = \lambda + \mu$, $y = 2 + \mu$, $z = 3\lambda + 2\mu$ है।
$y = 2 + \mu$ से, हमें $\mu = y - 2$ प्राप्त होता है।
$\mu$ का मान $x = \lambda + \mu$ में रखने पर: $x = \lambda + y - 2 \implies \lambda = x - y + 2$।
$\lambda$ और $\mu$ का मान $z = 3\lambda + 2\mu$ में रखने पर: $z = 3(x - y + 2) + 2(y - 2) = 3x - 3y + 6 + 2y - 4 = 3x - y + 2$।
अतः, समतल का समीकरण $3x - y - z = -2$ या $3x - y - z + 2 = 0$ है।
अंतःखंड रूप के लिए, $3x - y - z = -2 \implies \frac{x}{-2/3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1$ है।
इस प्रकार, $a = -2/3$, $b = 2$, $c = 2$ है।
तब $a + b + c = -2/3 + 2 + 2 = -2/3 + 4 = 10/3$ है।

(A) चरण $1$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ ज्ञात कीजिए। समतल $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर है।
चरण $2$: $\vec{n_1} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 2) - \hat{j}(-6 + 1) + \hat{k}(-6 - 2) = -6\hat{i} + 5\hat{j} - 8\hat{k}$।
चरण $3$: $xy$-समतल का अभिलंब $\vec{n_2} = \hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
चरण $4$: समतलों के बीच का कोण $\theta$, $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $5$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-6)(0) + (5)(0) + (-8)(1) = -8$। अतः, $|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| = 8$।
चरण $6$: $|\vec{n_1}| = \sqrt{(-6)^2 + 5^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 25 + 64} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$। $|\vec{n_2}| = 1$।
चरण $7$: $\cos \theta = \frac{8}{5\sqrt{5}}$। अतः, $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{5\sqrt{5}} \right)$।

(A) चरण $1$: चूंकि समतल $z$-अक्ष के समांतर है, इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$, $z$-अक्ष के सदिश $\vec{k} = (0, 0, 1)$ के लंबवत है। अतः, अभिलंब सदिश का $z$-घटक $0$ है। समतल का समीकरण $3x - 2y - q = 0$ है, जो इस शर्त को पूरा करता है।
चरण $2$: समतल $A(1, p, 2)$ से होकर गुजरता है। इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $3(1) - 2(p) - q = 0 \implies 3 - 2p - q = 0$।
चरण $3$: समतल $B(3, 2, 4)$ से होकर गुजरता है। इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $3(3) - 2(2) - q = 0 \implies 9 - 4 - q = 0 \implies 5 - q = 0 \implies q = 5$।
चरण $4$: चरण $2$ के समीकरण में $q = 5$ प्रतिस्थापित करने पर: $3 - 2p - 5 = 0 \implies -2p - 2 = 0 \implies p = -1$।
चरण $5$: अतः, $p = -1$ और $q = 5$ है।

(C) समतल का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ है।
$y=0, z=0$ रखने पर $x=2$ प्राप्त होता है, अतः $A = (2, 0, 0)$।
$x=0, z=0$ रखने पर $y=3$ प्राप्त होता है, अतः $B = (0, 3, 0)$।
$x=0, y=0$ रखने पर $z=4$ प्राप्त होता है, अतः $C = (0, 0, 4)$।
सदिश $\vec{AB} = B - A = (-2, 3, 0)$ और $\vec{AC} = C - A = (-2, 0, 4)$ हैं।
सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(-8 - 0) + \hat{k}(0 - (-6)) = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 8^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 61} = \sqrt{61}$ है।

(D) समतल $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}) = 32$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 5\hat{i} + b\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि रेखा समतल के समांतर है, इसलिए रेखा समतल के अभिलंब सदिश के लंबवत होगी। अतः, $\vec{n}$ और $\vec{v}$ का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$
$(3)(5) + (-2)(b) + (7)(3) = 0$
$15 - 2b + 21 = 0$
$36 - 2b = 0$
$2b = 36$
$b = 18$.