MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) चरण $1$: समतल में दो सदिश ज्ञात करें। माना $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (-1+2)\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ और $\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (5-1)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
चरण $2$: अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+12) - \hat{j}(4-4) + \hat{k}(3+1) = 16\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ ज्ञात करें।
चरण $3$: अभिलंब सदिश को सरल करके $\vec{n}' = 4\hat{i} + \hat{k}$ प्राप्त करें।
चरण $4$: समतल का समीकरण $4(x-1) + 0(y+2) + 1(z-1) = 0$ है, जो $4x + z - 5 = 0$ में सरल हो जाता है।
चरण $5$: $(0,0,0)$ से $Ax+By+Cz+D=0$ तक की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{4^2+0^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{17}}$ है।

(B) माना समतल द्वारा $x, y, z$ अक्षों पर काटे गए अंतःखंड क्रमशः $a, b, c$ हैं। बिंदुओं के निर्देशांक $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि केंद्रक $(1, r, r^2)$ है, अतः $\frac{a}{3} = 1 \implies a = 3$, $\frac{b}{3} = r \implies b = 3r$, और $\frac{c}{3} = r^2 \implies c = 3r^2$ है।
समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{x}{3} + \frac{y}{3r} + \frac{z}{3r^2} = 1$।
पूरे समीकरण को $3r^2$ से गुणा करने पर, हमें $r^2x + ry + z = 3r^2$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ ज्ञात कीजिए। समतल में रेखा की दिशा $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है और यह $A(1, -3, 1)$ तथा $Q(1, 0, -1)$ से गुजरता है।
चरण $2$: सदिश $\vec{AQ} = (1-1)\hat{i} + (0-(-3))\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 3\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
चरण $3$: $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{AQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(-4-0) + \hat{k}(6-0) = \hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
चरण $4$: समतल का समीकरण $1(x-1) + 4(y-0) + 6(z+1) = 0$ है, जो $x + 4y + 6z + 5 = 0$ में सरल होता है।
चरण $5$: मूल बिंदु $(0,0,0)$ से लंबवत दूरी $d = \frac{|0 + 4(0) + 6(0) + 5|}{\sqrt{1^2 + 4^2 + 6^2}} = \frac{5}{\sqrt{1 + 16 + 36}} = \frac{5}{\sqrt{53}}$ है।
चरण $6$: $\frac{p}{\sqrt{53}}$ से तुलना करने पर, हमें $p = 5$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: लंबवतता की शर्त का उपयोग करके $k$ ज्ञात करें। दिशा सदिश $\vec{v_1} = (-3, 2k, 2)$ और $\vec{v_2} = (3k, 1, -5)$ हैं। चूँकि $L_1 \perp L_2$, $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ है।
चरण $2$: $(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0 \implies -9k + 2k - 10 = 0 \implies -7k = 10 \implies k = -\frac{10}{7}$।
चरण $3$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ है। चूँकि $L_1 \perp L_2$, $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2k & 2 \\ 3k & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10k - 2) - \hat{j}(15 - 6k) + \hat{k}(-3 - 6k^2)$।
चरण $4$: $k = -\frac{10}{7}$ प्रतिस्थापित करें: $\vec{n} = \hat{i}(\frac{86}{7}) - \hat{j}(\frac{165}{7}) + \hat{k}(-\frac{747}{49}) = \frac{86}{7}\hat{i} - \frac{165}{7}\hat{j} - \frac{747}{49}\hat{k}$।
चरण $5$: सरल करने के लिए $49$ से गुणा करें: $\vec{n} = 602\hat{i} - 1155\hat{j} - 747\hat{k}$।
चरण $6$: समतल बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरता है। समीकरण: $602(x-1) - 1155(y-2) - 747(z-3) = 0 \implies 602x - 1155y - 747z + 3949 = 0$।

(C) माना रेखाएँ $L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4} = \lambda$ और $L_2: \frac{x - 2}{1} = \frac{y + m}{2} = \frac{z - 2}{1} = \mu$ हैं।
प्रतिच्छेदन के लिए, रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी शून्य होनी चाहिए।
न्यूनतम दूरी का सूत्र: $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$।
यहाँ $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (2, -m, 2)$ है।
$\begin{vmatrix} 2-1 & -m-(-1) & 2-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} 1 & 1-m & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$।
$1(3-8) - (1-m)(2-4) + 1(4-3) = 0 \implies -5 + 2(1-m) + 1 = 0 \implies -4 + 2 - 2m = 0 \implies -2 - 2m = 0 \implies m = -1$।

(C) चरण $1$: रेखाओं के प्रतिच्छेदन की स्थिति ज्ञात करें। रेखाओं पर बिंदु $(2\lambda + 1, 3\lambda - 1, 4\lambda + 1)$ और $(\mu + 3, 2\mu + c, \mu)$ मानिए।
चरण $2$: निर्देशांकों को बराबर करने पर: $2\lambda + 1 = \mu + 3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(i)$, $3\lambda - 1 = 2\mu + c \implies 3\lambda - 2\mu = c + 1$ (ii), $4\lambda + 1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (iii)।
चरण $3$: $(i)$ और (iii) को हल करने पर: (iii) में से $(i)$ घटाने पर $2\lambda = -3 \implies \lambda = -1.5$ प्राप्त होता है। तब $\mu = 4(-1.5) + 1 = -5$।
चरण $4$: $\lambda, \mu$ का मान (ii) में रखने पर: $3(-1.5) - 2(-5) = c + 1 \implies -4.5 + 10 = c + 1 \implies 5.5 = c + 1 \implies c = 4.5 = \frac{9}{2}$।
चरण $5$: वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x + 10y + 4.5 = 0$ है। $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c' = 0$ से तुलना करने पर, $g = -2, f = 5, c' = 4.5$ है।
चरण $6$: त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c'} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 - 4.5} = \sqrt{4 + 25 - 4.5} = \sqrt{24.5} = \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$।

(D) पहली रेखा के लिए: $\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 3}{-1} = k$ और $z = 1$। अतः, $x = 3k + 3, y = -k + 3, z = 1$।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x - 6}{2} = \frac{z - 1}{3} = m$ और $y = 2$। अतः, $x = 2m + 6, y = 2, z = 3m + 1$।
प्रतिच्छेदन के लिए निर्देशांकों को बराबर करने पर: $y = -k + 3 = 2 \implies k = 1$। पहली रेखा में $k=1$ रखने पर $(x, y, z) = (3(1)+3, -1+3, 1) = (6, 2, 1)$ प्राप्त होता है।
दूसरी रेखा की जाँच करने पर: $y = 2$ संतुष्ट है। $x = 6, z = 1$ के लिए: $6 = 2m + 6 \implies m = 0$ और $1 = 3(0) + 1 \implies 1 = 1$। दोनों संतुष्ट हैं।
अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 2, 1)$ है।

(A) रेखा $1$, $A(0, 0, 0)$ और $B(2, 0, 3)$ से गुजरती है। दिशा सदिश $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{k}$ है। समीकरण: $\vec{r} = \lambda(2\hat{i} + 3\hat{k})$।
रेखा $2$, $C(2, 5, 0)$ और $D(0, 4, 0)$ से गुजरती है। दिशा सदिश $\vec{b_2} = -2\hat{i} - \hat{j}$ है। समीकरण: $\vec{r} = (2\hat{i} + 5\hat{j}) + \mu(-2\hat{i} - \hat{j})$।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$।
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$।
परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = 7$ है।
अदिश गुणन $(2\hat{i} + 5\hat{j}) \cdot (3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}) = -24$ है।
दूरी $d = \frac{|-24|}{7} = \frac{24}{7}$ इकाई।

(D) माना दी गई रेखा $L: \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{-1} = k$ है। रेखा $L$ पर कोई बिंदु $Q(2k - 1, 3k + 3, -k - 2)$ है।
$PQ$ के दिक अनुपात $(2k - 3, 3k + 6, -k - 3)$ हैं।
चूँकि $PQ \perp L$, दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य है:
$2(2k - 3) + 3(3k + 6) - 1(-k - 3) = 0 \implies 14k + 15 = 0 \implies k = -\frac{15}{14}$।
$PQ$ के दिक अनुपात $(2(-\frac{15}{14}) - 3, 3(-\frac{15}{14}) + 6, -(-\frac{15}{14}) - 3) = (-\frac{72}{14}, \frac{39}{14}, -\frac{27}{14})$ हैं।
इन्हें $-\frac{14}{3}$ से गुणा करने पर, दिक अनुपात $(24, -13, 9)$ प्राप्त होते हैं।
सही दिक अनुपात $(-24, 13, -9)$ हैं। अतः समीकरण $\frac{x - 2}{-24} = \frac{y + 3}{13} = \frac{z - 1}{-9}$ है, जो विकल्प $D$ है।

(A) माना पहली रेखा $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z - 1}{-1} = \lambda$ है। इस रेखा पर कोई बिंदु $(3+\lambda, 5+2\lambda, 1-\lambda)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x - 4}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 4}{2} = \mu$ है। इस रेखा पर कोई बिंदु $(4+2\mu, 2-\mu, 4+2\mu)$ है।
प्रतिच्छेदन के लिए, निर्देशांक समान होने चाहिए:
$3+\lambda = 4+2\mu \implies \lambda - 2\mu = 1$ $(i)$
$5+2\lambda = 2-\mu \implies 2\lambda + \mu = -3$ (ii)
समीकरण (ii) को $2$ से गुणा करने पर: $4\lambda + 2\mu = -6$ (iii)
$(i)$ और (iii) को जोड़ने पर: $5\lambda = -5 \implies \lambda = -1$।
$(i)$ में $\lambda = -1$ रखने पर: $-1 - 2\mu = 1 \implies -2\mu = 2 \implies \mu = -1$।
$z$-निर्देशांक की जाँच: $1 - (-1) = 2$ और $4 + 2(-1) = 2$। चूँकि $2 = 2$, रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु: $(3+(-1), 5+2(-1), 1-(-1)) = (2, 3, 2)$।

(B) माना रेखा $\ell$ के दिक्-अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ हैं। चूँकि $\ell$, समतल $x + y + 2z = 18$ के समांतर है, इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 1, 1, 2 \rangle$, $\ell$ पर लंबवत है। अतः $a + b + 2c = 0 \implies b = -a - 2c$।
रेखा $L_2$ पर कोई बिंदु $Q(3k - 2, -k - 1, k + 2)$ है। चूँकि $\ell$, $P(2, 1, 1)$ और $Q$ से गुजरती है, दिक्-अनुपात $\langle 3k - 4, -k - 2, k + 1 \rangle$ हैं।
सदिश $\vec{PQ}$, अभिलंब $\vec{n}$ पर लंबवत होना चाहिए।
अतः $1(3k - 4) + 1(-k - 2) + 2(k + 1) = 0 \implies 3k - 4 - k - 2 + 2k + 2 = 0 \implies 4k = 4 \implies k = 1$।
बिंदु $Q$ है $(1, -2, 3)$।
$\ell$ का दिक्-सदिश $\vec{PQ} = \langle -1, -3, 2 \rangle$ है, जो $\langle 1, 3, -2 \rangle$ के समानुपाती है।
रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{-2}$ है, जो विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(D) चरण $1$: रेखाओं को सममित रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा $2x = 3y = -z$ के लिए, $6$ से भाग दें: $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$। दिशा सदिश $\vec{v_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
चरण $2$: दूसरी रेखा $6x = -y = -4z$ के लिए, $12$ से भाग दें: $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$। दिशा सदिश $\vec{v_2} = 2\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
चरण $3$: सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ का उपयोग करें।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$।
चरण $4$: चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है, रेखाएं लंबवत हैं, अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) दिए गए समीकरण $x = ay + b$ और $z = cy + d$ हैं।
पहले समीकरण से, $x - b = ay \implies \frac{x - b}{a} = y$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण से, $z - d = cy \implies \frac{z - d}{c} = y$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर, हमें $\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(C) चरण $1$: दोनों रेखाओं के लिए बिंदु और सदिश ज्ञात करें।
रेखा $1$: $\vec{a_1} = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$, $\vec{b_1} = 7\hat{i} - 6\hat{j} + \hat{k}$।
रेखा $2$: $\vec{a_2} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$, $\vec{b_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$।
चरण $2$: $\vec{a_2} - \vec{a_1} = 4\hat{i} + 6\hat{j} + 8\hat{k}$ की गणना करें।
चरण $3$: $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -4\hat{i} - 6\hat{j} - 8\hat{k}$ की गणना करें।
चरण $4$: परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$ की गणना करें।
चरण $5$: न्यूनतम दूरी $p = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{116}{2\sqrt{29}} = 2\sqrt{29}$।
चरण $6$: चूँकि $\sqrt{29} \approx 5.385$, $p = 10.77$। अतः, $[p] = 10$।

(D) $P(1, -1, 2)$ और $Q(2, 0, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-(-1)}{0-(-1)} = \frac{z-2}{1-2} = k$ है, जो $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{-1} = k$ के रूप में सरल होता है।
अतः, रेखा पर कोई भी बिंदु $(k+1, k-1, -k+2)$ है।
$XY$-समतल पर बिंदु $A$ के लिए, $z$-निर्देशांक $0$ है: $-k+2 = 0 \implies k = 2$। अतः, $A = (2+1, 2-1, 0) = (3, 1, 0)$।
$YZ$-समतल पर बिंदु $B$ के लिए, $x$-निर्देशांक $0$ है: $k+1 = 0 \implies k = -1$। अतः, $B = (-1+1, -1-1, -(-1)+2) = (0, -2, 3)$।
दूरी $AB = \sqrt{(3-0)^2 + (1-(-2))^2 + (0-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$।

(C) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $\vec{a_1} = 4\hat{i} - \hat{j}$, $\vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$, $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$, और $\vec{b_2} = \hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -3\hat{i} + 2\hat{k}$ है।
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = 2\sqrt{3}$ है।
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = -2$ है।
अतः $d = \left| \frac{-2}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(B) रेखाएं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ द्वारा दी गई हैं।
यहाँ, $\vec{a_1} = 3\hat{i} + 8\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b_1} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{a_2} = -3\hat{i} - 7\hat{j} + 6\hat{k}$, $\vec{b_2} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|36 + 225 + 9|}{3\sqrt{30}} = \frac{270}{3\sqrt{30}} = 3\sqrt{30}$ है।

(A) $X$-अक्ष के दिक अनुपात $(1, 0, 0)$ होते हैं।
चूंकि रेखा $X$-अक्ष के समांतर है, इसलिए इसके दिक अनुपात भी $(1, 0, 0)$ होंगे।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
बिंदु $(0, 1, 1)$ और दिक अनुपात $(1, 0, 0)$ रखने पर, हमें $\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{0}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है, जबकि $y - 1 = 0$ और $z - 1 = 0$ है।
अतः, समीकरण $y = 1$ और $z = 1$ हैं।

(A) चरण $1$: चूँकि रेखाएँ $(2, 4, -4)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं, बिंदु को दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।
चरण $2$: पहली रेखा के लिए, $\vec{a} + \lambda\vec{b} = (2, 4, -4)$। दूसरी रेखा के लिए, $\vec{b} + \mu\vec{a} = (2, 4, -4)$।
चरण $3$: दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\vec{a} - \vec{b}) + (\lambda\vec{b} - \mu\vec{a}) = 0$। इसका अर्थ है $\vec{a}(1 - \mu) = \vec{b}(1 - \lambda)$।
चरण $4$: चूँकि रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, $\vec{a} + \lambda\vec{b} = \vec{b} + \mu\vec{a} \implies \vec{a}(1 - \mu) = \vec{b}(1 - \lambda)$। यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख नहीं हैं, तो $1-\mu = 0$ और $1-\lambda = 0$, अतः $\lambda = 1$ और $\mu = 1$।
चरण $5$: पहले समीकरण में $\lambda = 1$ रखने पर: $\vec{a} + \vec{b} = (2, 4, -4)$।
चरण $6$: हमें $|\vec{a} - \vec{b}| = 4$ दिया गया है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 16$।
चरण $7$: $\vec{a} + \vec{b} = (2, 4, -4)$ से, $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2^2 + 4^2 + (-4)^2 = 4 + 16 + 16 = 36$। अतः $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 36$।
चरण $8$: दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}) - (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) = 36 - 16 \implies 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 20 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 5$।

(D) यदि एक रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है, तो दिक-कोज्याएँ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ होती हैं।
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
चरण $1$: $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma) = 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) = 3 - 1 = 2$।
चरण $2$: $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1) = 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3 = 2(1) - 3 = -1$।
चरण $3$: योग $2 + (-1) = 1$ है।

(A) माना इकाई सदिश $\vec{u} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k}$ है।
दिया गया है $\alpha = \frac{\pi}{4}$, $\beta = \frac{\pi}{3}$, और $\gamma = \theta$।
दिक कोज्याओं के वर्गों का योग $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2 \theta = 1$।
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$।
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1 \implies \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$।
$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$।
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$, इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ या $\theta = \frac{2\pi}{3}$।

(D) माना कि दी गई दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$ और $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
चूँकि अभीष्ट रेखा दोनों पर लंबवत है, इसका दिक्-सदिश $\vec{v}$, $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ के बराबर होगा।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(-4 - 1) + \hat{k}(4 + 3) = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$।
$\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ है।
अतः दिक्-कोज्याएँ $\pm \frac{4}{3\sqrt{10}}, \pm \frac{5}{3\sqrt{10}}, \pm \frac{7}{3\sqrt{10}}$ हैं।

(B) माना बिंदु $A(7, p, 2)$, $B(q, -2, 5)$, $C(2, -3, 5)$, और $D(-6, -15, 11)$ हैं।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(q - 7, -2 - p, 5 - 2) = (q - 7, -2 - p, 3)$ हैं।
रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(-6 - 2, -15 - (-3), 11 - 5) = (-8, -12, 6)$ हैं।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं, इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{q - 7}{-8} = \frac{-2 - p}{-12} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
$\frac{q - 7}{-8} = \frac{1}{2}$ से, हमें $q - 7 = -4$ प्राप्त होता है, अतः $q = 3$।
$\frac{-2 - p}{-12} = \frac{1}{2}$ से, हमें $-2 - p = -6$ प्राप्त होता है, अतः $p = 4$।
अतः, $p = 4$ और $q = 3$।

(A) माना घन की भुजा की लंबाई $a$ है। घन को एक निर्देशांक प्रणाली में इस प्रकार रखें कि एक शीर्ष मूल बिंदु $(0,0,0)$ पर हो और किनारे $x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश हों।
शीर्ष $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a),$ और $(a,a,a)$ हैं।
$x$-अक्ष के अनुदिश किनारे पर विचार करें, जिसे सदिश $\vec{u} = (a, 0, 0)$ द्वारा दर्शाया गया है।
मूल बिंदु से $(a, a, a)$ तक घन के विकर्ण पर विचार करें, जिसे सदिश $\vec{v} = (a, a, a)$ द्वारा दर्शाया गया है।
इन दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (a)(a) + (0)(a) + (0)(a) = a^2$।
$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a$।
$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$।
$\cos \theta = \frac{a^2}{a \cdot a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः, $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$।

(D) रेखा के दिए गए समीकरण $x = 4z + 3$ और $y = -3z + 2$ हैं।
इन्हें $z$ के पदों में पुनः लिखने पर: $\frac{x - 3}{4} = z$ और $\frac{y - 2}{-3} = z$।
अतः, रेखा का सममित रूप $\frac{x - 3}{4} = \frac{y - 2}{-3} = \frac{z - 0}{1}$ है।
रेखा के दिक्-अनुपात $(a, b, c) = (4, -3, 1)$ हैं।
दिक्-सदिश का परिमाण $\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$ है।
दिक्-कोज्याएँ $\cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{26}}$, $\cos \beta = \frac{-3}{\sqrt{26}}$, और $\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{26}}$ हैं।
इन मानों का योग: $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{4 - 3 + 1}{\sqrt{26}} = \frac{2}{\sqrt{26}}$।

(A) $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ होते हैं।
$(2, 1, 4)$ और $(a - 1, 4, -1)$ को मिलाने वाली पहली रेखा के दिक्-अनुपात $(a - 1 - 2, 4 - 1, -1 - 4) = (a - 3, 3, -5)$ हैं।
$(0, 2, b - 1)$ और $(5, 3, -2)$ को मिलाने वाली दूसरी रेखा के दिक्-अनुपात $(5 - 0, 3 - 2, -2 - (b - 1)) = (5, 1, -1 - b)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं, उनके दिक्-अनुपात समानुपाती होने चाहिए: $\frac{a - 3}{5} = \frac{3}{1} = \frac{-5}{-1 - b}$।
$\frac{a - 3}{5} = 3$ से, हमें $a - 3 = 15$ प्राप्त होता है, अतः $a = 18$।
$\frac{3}{1} = \frac{-5}{-1 - b}$ से, हमें $3(-1 - b) = -5$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $-3 - 3b = -5$, अतः $-3b = -2$, और $b = \frac{2}{3}$।
अतः $a$ और $b$ के मान क्रमशः $18$ और $\frac{2}{3}$ हैं।

(A) माना बिंदुओं $A$, $B$, और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$, और $(0, 0, c)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ होता है।
दिया गया केंद्रक $(2, -\frac{2}{3}, \frac{1}{2})$ है, अतः $\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6$, $\frac{b}{3} = -\frac{2}{3} \implies b = -2$, और $\frac{c}{3} = \frac{1}{2} \implies c = \frac{3}{2}$ है।
समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है, जो $\frac{x}{6} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3/2} = 1$ या $\frac{x}{6} - \frac{y}{2} + \frac{2z}{3} = 1$ बन जाता है।
$6$ से गुणा करने पर, हमें $x - 3y + 4z - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ होती है।
यहाँ, $d = \frac{|-6|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 4^2}} = \frac{6}{\sqrt{1 + 9 + 16}} = \frac{6}{\sqrt{26}}$ है।

(A) चरण $1$: बिंदु $(1, 2, 3)$ की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $d_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ है।
चरण $2$: बिंदु $(1, 2, 3)$ की समतल $2x - 3y + z + k = 0$ से दूरी $d_2 = \frac{|2(1) - 3(2) + 1(3) + k|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 6 + 3 + k|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{14}}$ है।
चरण $3$: दिया गया गुणनफल $d_1 \times d_2 = 7$ है, अतः $\sqrt{14} \times \frac{|k - 1|}{\sqrt{14}} = 7$।
चरण $4$: $|k - 1| = 7$, जिसका अर्थ है $k - 1 = 7$ या $k - 1 = -7$।
चरण $5$: इस प्रकार, $k = 8$ या $k = -6$। विकल्पों को देखते हुए, $k = 8$ सही मान है।

(A) $1$. बिंदु $P$ $(1, 2, 3)$ है।
$2$. $P(1, 2, 3)$ से $YZ$-समतल $(x=0)$ पर लंब का पाद $A(0, 2, 3)$ है।
$3$. $P(1, 2, 3)$ से $ZX$-समतल $(y=0)$ पर लंब का पाद $B(1, 0, 3)$ है।
$4$. समतल मूलबिंदु $O(0, 0, 0)$, $A(0, 2, 3)$, और $B(1, 0, 3)$ से होकर गुजरता है।
$5$. मूलबिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण $ax + by + cz = 0$ है।
$6$. $A(0, 2, 3)$ को प्रतिस्थापित करने पर: $2b + 3c = 0 \implies b = -\frac{3}{2}c$।
$7$. $B(1, 0, 3)$ को प्रतिस्थापित करने पर: $a + 3c = 0 \implies a = -3c$।
$8$. यदि $c = -2$ लें, तो $a = 6$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।
$9$. समीकरण $6x + 3y - 2z = 0$ है।

(A) $1$. बिंदु $P$ के निर्देशांक $(a, b, c)$ हैं।
$2$. लंब $PA$, $XY$ समतल पर खींचा गया है। $XY$ समतल का समीकरण $z = 0$ होता है। अतः, $A$ के निर्देशांक $(a, b, 0)$ हैं।
$3$. लंब $PB$, $ZX$ समतल पर खींचा गया है। $ZX$ समतल का समीकरण $y = 0$ होता है। अतः, $B$ के निर्देशांक $(a, 0, c)$ हैं।
$4$. मूल बिंदु $O$ $(0, 0, 0)$ है।
$5$. $(0, 0, 0)$, $(a, b, 0)$, और $(a, 0, c)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में है:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & 0 \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
$6$. पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $x(bc - 0) - y(ac - 0) + z(0 - ab) = 0$
$7$. $xbc - yac - zab = 0$
$8$. पूरे समीकरण को $abc$ से विभाजित करने पर: $\frac{xbc}{abc} - \frac{yac}{abc} - \frac{zab}{abc} = 0$
$9$. $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$।

(A) चरण $1$: $AB$ का मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात करें। $M = (\frac{4-1}{2}, \frac{5+2}{2}, \frac{-10+1}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, -\frac{9}{2})$।
चरण $2$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$, $\vec{AB} = (-1-4)\hat{i} + (2-5)\hat{j} + (1-(-10))\hat{k} = -5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
चरण $3$: समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{OM}) \cdot \vec{n} = 0$ है, जहाँ $\vec{OM} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{7}{2}\hat{j} - \frac{9}{2}\hat{k}$ है।
चरण $4$: $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{OM} \cdot \vec{n} = (\frac{3}{2})(-5) + (\frac{7}{2})(-3) + (-\frac{9}{2})(11) = -\frac{15}{2} - \frac{21}{2} - \frac{99}{2} = -\frac{135}{2}$।
चरण $5$: अतः, $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}) = -\frac{135}{2}$, जिसे $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}) + \frac{135}{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) चरण $1$: अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: $x + 2y = 70$ और $2x + y = 95$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए समीकरण हल करें: $x = 70 - 2y$। दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(70 - 2y) + y = 95 \implies 140 - 4y + y = 95 \implies 3y = 45 \implies y = 15$। तब $x = 70 - 2(15) = 40$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(40, 15)$ है।
चरण $3$: कोणीय बिंदु $(0, 0)$, $(47.5, 0)$, $(0, 35)$, और $(40, 15)$ हैं।
चरण $4$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = x + y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर, $Z = 0$।
$(47.5, 0)$ पर, $Z = 47.5$।
$(0, 35)$ पर, $Z = 35$।
$(40, 15)$ पर, $Z = 40 + 15 = 55$।
चरण $5$: अधिकतम मान $55$ है जो बिंदु $(40, 15)$ पर प्राप्त होता है।

(C) उद्देश्य फलन $z = px + qy$ का न्यूनतम मान दो बिंदुओं पर प्राप्त होने के लिए, $z$ का मान दोनों बिंदुओं पर समान होना चाहिए।
$(3, 0)$ पर, $z = p(3) + q(0) = 3p$ है।
$(1, 1)$ पर, $z = p(1) + q(1) = p + q$ है।
मानों को बराबर करने पर: $3p = p + q$।
दोनों पक्षों से $p$ घटाने पर: $2p = q$।
अतः, $p = \frac{q}{2}$।

(B) चरण $1$: अवरोधों के संगत रेखाओं की पहचान करें: $L_1: 3x - y = 6$, $L_2: x = 3$, $L_3: y = 2$, $L_4: y = 0$, $L_5: x = 0$।
चरण $2$: इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें जो सभी असमिकाओं को संतुष्ट करते हैं।
- $L_1$ और $L_4$ $(y=0)$ का प्रतिच्छेदन: $3x - 0 = 6 \implies x = 2$। बिंदु: $(2, 0)$।
- $L_1$ और $L_3$ $(y=2)$ का प्रतिच्छेदन: $3x - 2 = 6 \implies 3x = 8 \implies x = 8/3$। बिंदु: $(8/3, 2)$।
- $L_2$ और $L_3$ $(x=3, y=2)$ का प्रतिच्छेदन: बिंदु: $(3, 2)$।
- $L_2$ और $L_4$ $(x=3, y=0)$ का प्रतिच्छेदन: बिंदु: $(3, 0)$।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(2, 0), (8/3, 2), (3, 2),$ और $(3, 0)$ हैं।

(C) चरण $1$: बाधाओं $5x + 10y \leq 50$ (या $x + 2y \leq 10$), $x + y \geq 1$, $y \leq 4$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
चरण $2$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं को ज्ञात करें। रेखाएं $x+2y=10$, $x+y=1$, $y=4$, $x=0$, $y=0$ हैं।
- $x+y=1$ और $x=0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 1)$ है।
- $x+y=1$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन $(1, 0)$ है।
- $x+2y=10$ और $y=4$ का प्रतिच्छेदन $(2, 4)$ है।
- $x=0$ और $y=4$ का प्रतिच्छेदन $(0, 4)$ है।
कोणीय बिंदु $(0, 1), (1, 0), (2, 4), (0, 4)$ हैं।
चरण $3$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 1)$ पर, $z = 3(0) + 5(1) = 5$।
- $(1, 0)$ पर, $z = 3(1) + 5(0) = 3$।
- $(2, 4)$ पर, $z = 3(2) + 5(4) = 26$।
- $(0, 4)$ पर, $z = 3(0) + 5(4) = 20$।
चरण $4$: अधिकतम मान $26$ है और न्यूनतम मान $3$ है।
चरण $5$: अंतर $26 - 3 = 23$ है। प्रश्न के अनुसार $3\lambda = 27$ लेने पर, $\lambda = 9$।

(C) चरण $1$: व्यवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाएँ $2x + 3y = 6$ (अंतःखंड $(3, 0)$ और $(0, 2)$) और $x + y = 1$ (अंतःखंड $(1, 0)$ और $(0, 1)$) हैं।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(1, 0)$, $(3, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
चरण $4$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 3x + y$ का मान ज्ञात करें:
$(1, 0)$ पर: $Z = 3(1) + 0 = 3$।
$(3, 0)$ पर: $Z = 3(3) + 0 = 9$।
$(0, 1)$ पर: $Z = 3(0) + 1 = 1$।
चरण $5$: मानों की तुलना करने पर, न्यूनतम मान $(0, 1)$ पर $1$ है।

(D) चरण $1$: प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाएं $L_1: x + 3y = 60$, $L_2: x + y = 10$, और $L_3: x - y = 0$ हैं।
चरण $3$: प्रतिच्छेदन बिंदु:
- $L_2$ और $L_3$: $x+x=10 \implies x=5, y=5$। बिंदु: $(5, 5)$।
- $L_1$ और $L_3$: $x+3x=60 \implies 4x=60 \implies x=15, y=15$। बिंदु: $(15, 15)$।
- $L_1$ और $L_2$: $x+3(10-x)=60 \implies -2x=30 \implies x=-15$ (प्रथम चतुर्थांश में नहीं)।
- अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन: $L_2$ $(10, 0)$ और $(0, 10)$ पर काटती है। $L_1$ $(60, 0)$ और $(0, 20)$ पर काटती है।
- सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(5, 5)$, $(15, 15)$, $(0, 20)$, और $(0, 10)$ हैं।
चरण $4$: इन बिंदुओं पर $Z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
- $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 5(5) = 40$।
- $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 5(15) = 120$।
- $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$।
- $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$।
चरण $5$: अधिकतम मान $120$ है और न्यूनतम मान $40$ है।
चरण $6$: अंतर $120 - 40 = 80$ है।

(A) चरण $1$: सीमा रेखाओं की पहचान करें:
$(i)$ $y = 2x + 4$
(ii) $y = -x + 5$
(iii) $x = 4$
(iv) $y = 2$
चरण $2$: अवरोधों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
- $y = 2$ और $y = -x + 5$ का प्रतिच्छेदन $x = 3$ देता है, बिंदु $(3, 2)$।
- $y = 2$ और $y = 2x + 4$ का प्रतिच्छेदन $x = -1$ देता है ($x \geq 0$ के बाहर)।
- $x = 4$ और $y = 2x + 4$ का प्रतिच्छेदन $y = 12$ देता है, बिंदु $(4, 12)$।
- $x = 4$ और $y = -x + 5$ का प्रतिच्छेदन $y = 1$ देता है, बिंदु $(4, 1)$।
- $y = 2x + 4$ और $y = -x + 5$ का प्रतिच्छेदन $3x = 1$, $x = 1/3$, $y = 14/3$ देता है, बिंदु $(1/3, 14/3)$।
- यह क्षेत्र $(3, 2)$, $(4, 1)$, $(4, 12)$, और $(1/3, 14/3)$ शीर्षों द्वारा परिबद्ध है।
चरण $3$: चूंकि $4$ शीर्ष हैं और क्षेत्र परिबद्ध है, यह $4$ कोणीय बिंदुओं वाला एक उत्तल परिबद्ध क्षेत्र है।

(C) चरण $1$: प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
$(i)$ $x \leq 80$
(ii) $y \geq 60$
(iii) $x + y \leq 200$
(iv) $x, y \geq 0$
चरण $2$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं को ज्ञात करें।
$y = 60$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 60)$ है।
$y = 60$ और $x + y = 200$ का प्रतिच्छेदन $(140, 60)$ है, लेकिन $x \leq 80$ है, इसलिए हम $(80, 60)$ का उपयोग करते हैं।
$x = 80$ और $x + y = 200$ का प्रतिच्छेदन $(80, 120)$ है।
$x = 0$ और $x + y = 200$ का प्रतिच्छेदन $(0, 200)$ है।
चरण $3$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 60)$ पर: $z = 3(0) + 5(60) = 300$।
$(80, 60)$ पर: $z = 3(80) + 5(60) = 240 + 300 = 540$।
$(80, 120)$ पर: $z = 3(80) + 5(120) = 240 + 600 = 840$।
$(0, 200)$ पर: $z = 3(0) + 5(200) = 1000$।
चरण $4$: न्यूनतम मान $300$ है जो बिंदु $(0, 60)$ पर प्राप्त होता है।

(D) $1$. $x + 2y \leq 10$, $3x + y \leq 12$, $x, y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
$2$. $x + 2y = 10$ और $3x + y = 12$ का प्रतिच्छेदन बिंदु हल करने पर: $y = 12 - 3x$, अतः $x + 2(12 - 3x) = 10 \implies x + 24 - 6x = 10 \implies -5x = -14 \implies x = \frac{14}{5}$। तब $y = 12 - 3(\frac{14}{5}) = \frac{60 - 42}{5} = \frac{18}{5}$।
$3$. कोणीय बिंदु $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$, और $(0, 5)$ हैं।
$4$. प्रत्येक बिंदु पर $z = 5x + 10y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 0)$ पर, $z = 0$।
- $(4, 0)$ पर, $z = 5(4) + 10(0) = 20$।
- $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ पर, $z = 5(\frac{14}{5}) + 10(\frac{18}{5}) = 14 + 36 = 50$।
- $(0, 5)$ पर, $z = 5(0) + 10(5) = 50$।
$5$. चूँकि $z$ का अधिकतम मान $(50)$ $(0, 5)$ और $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ दोनों पर है, इसलिए अधिकतम मान इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर होगा।

(D) $1$. छायांकित क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है, इसलिए गैर-ऋणात्मकता बाधाएं $x \geq 0$ और $y \geq 0$ हैं।
$2$. यह क्षेत्र तीन रेखाओं द्वारा परिबद्ध है:
$(i)$ $(0, 12)$ और $(6, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $2x + y = 12$ है। चूंकि क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है, इसलिए बाधा $2x + y \leq 12$ है।
(ii) $(0, 6)$ और $(12, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $x + 2y = 12$ है। चूंकि क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है, इसलिए बाधा $x + 2y \leq 12$ है।
(iii) $(0, 4)$ और $(5, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $x + 1.25y = 5$ है। चूंकि क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है, इसलिए बाधा $x + 1.25y \geq 5$ है।
$3$. इन्हें संयोजित करने पर, बाधाओं की प्रणाली $2x + y \leq 12, x + 2y \leq 12, x + 1.25y \geq 5, x \geq 0, y \geq 0$ है।

(A) चरण $1$: प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाएं $3x + y = 15$ और $3x + 4y = 24$ हैं।
चरण $3$: प्रतिच्छेदन बिंदु: पहली समीकरण को दूसरी से घटाने पर $3y = 9$ प्राप्त होता है, इसलिए $y = 3$। $y=3$ को $3x + y = 15$ में रखने पर $3x = 12$ प्राप्त होता है, इसलिए $x = 4$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 3)$ है।
चरण $4$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$, $(5, 0)$, $(4, 3)$, और $(0, 6)$ हैं।
चरण $5$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 4x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर, $Z = 4(0) + 5(0) = 0$।
$(5, 0)$ पर, $Z = 4(5) + 5(0) = 20$।
$(4, 3)$ पर, $Z = 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31$।
$(0, 6)$ पर, $Z = 4(0) + 5(6) = 30$।
चरण $6$: अधिकतम मान $31$ है।

(D) चरण $1$: अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
- $x+y=5$ और $2x+y=7$ से $(2, 3)$ प्राप्त होता है।
- $2x+y=7$ और $3x+2y=11$ से $(3, 1)$ प्राप्त होता है।
- $x=0$ और $y=0$ से $(0, 0)$ प्राप्त होता है।
- $x=0$ और $3x+2y=11$ से $(0, 5.5)$ प्राप्त होता है।
- $y=0$ और $2x+y=7$ से $(3.5, 0)$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z = 4x + y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 0)$ पर, $z = 0$ है।
- $(3.5, 0)$ पर, $z = 4(3.5) + 0 = 14$ है।
- $(3, 1)$ पर, $z = 4(3) + 1 = 13$ है।
- $(2, 3)$ पर, $z = 4(2) + 3 = 11$ है।
- $(0, 5.5)$ पर, $z = 5.5$ है।
चरण $4$: अधिकतम मान $14$ है।

(D) चरण $1$: उद्देश्य फलन को परिभाषित करें। लाभ $z = 1500x_1 + 900x_2$ है। हमें इसे अधिकतम करना है।
चरण $2$: बाधाओं की पहचान करें। कुल क्षमता $x_1 + x_2 \leq 250$ है।
चरण $3$: एक्जीक्यूटिव क्लास आरक्षण: $x_1 \geq 30$।
चरण $4$: इकोनॉमी क्लास प्राथमिकता: $x_2 \geq 4x_1$।
चरण $5$: गैर-ऋणात्मकता बाधाएं: $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$।
चरण $6$: इन्हें मिलाकर, हमें $LPP$ प्राप्त होता है: Maximize $z = 1500x_1 + 900x_2$ subject to $x_1 + x_2 \leq 250, x_1 \geq 30, x_2 \geq 4x_1, x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$।

(C) चरण $1$: रेखाओं $2x + 3y = 6$ और $x + y = 1$ को आलेखित करके सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
चरण $2$: सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष रेखाओं और अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: $(0, 1)$, $(0, 2)$, $(3, 0)$, और $(1, 0)$।
चरण $3$: प्रत्येक शीर्ष पर $z = 3x + y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 1)$ पर, $z = 3(0) + 1 = 1$।
$(0, 2)$ पर, $z = 3(0) + 2 = 2$।
$(3, 0)$ पर, $z = 3(3) + 0 = 9$।
$(1, 0)$ पर, $z = 3(1) + 0 = 3$।
चरण $4$: अधिकतम मान $9$ है और न्यूनतम मान $1$ है।
चरण $5$: अंतर $9 - 1 = 8$ है।

(A) चरण $1$: प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
प्रतिबंध $1$: $x + 3y \leq 6$। सीमा रेखा $(6, 0)$ और $(0, 2)$ से होकर गुजरती है।
प्रतिबंध $2$: $2x + 6y \leq 18$ को $x + 3y \leq 9$ के रूप में सरल किया जा सकता है। सीमा रेखा $(9, 0)$ और $(0, 3)$ से होकर गुजरती है।
चरण $2$: चूंकि $x + 3y \leq 6$, $x + 3y \leq 9$ की तुलना में अधिक सख्त प्रतिबंध है, इसलिए सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में $x + 3y \leq 6$ द्वारा निर्धारित होता है।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(0, 0)$, $(6, 0)$ और $(0, 2)$ हैं।
चरण $4$: इन शीर्षों पर $z = 2x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर, $z = 2(0) + 5(0) = 0$।
$(6, 0)$ पर, $z = 2(6) + 5(0) = 12$।
$(0, 2)$ पर, $z = 2(0) + 5(2) = 10$।
चरण $5$: अधिकतम मान $(6, 0)$ बिंदु पर $12$ है। चूंकि अधिकतम मान एक ही शीर्ष पर प्राप्त होता है, इसलिए हल अद्वितीय है।

(C) $1$. सुसंगत क्षेत्र व्यवरोधों $x + 2y \leq 70$, $2x + y \leq 95$, $x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है।
$2$. सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु परिसीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होते हैं: $(0, 0)$, $2x + y = 95$ से $(47.5, 0)$, $x + 2y = 70$ से $(0, 35)$, और $x + 2y = 70$ तथा $2x + y = 95$ का प्रतिच्छेदन बिंदु।
$3$. समीकरण निकाय को हल करने पर: $x = 70 - 2y$। इसे $2(70 - 2y) + y = 95$ में प्रतिस्थापित करने पर $140 - 4y + y = 95$ प्राप्त होता है, जिससे $3y = 45$, $y = 15$। तब $x = 70 - 30 = 40$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(40, 15)$ है।
$4$. कोणीय बिंदुओं पर $Z = x + y$ का मान ज्ञात करने पर:
$(0, 0)$ पर, $Z = 0$।
$(47.5, 0)$ पर, $Z = 47.5$।
$(0, 35)$ पर, $Z = 35$।
$(40, 15)$ पर, $Z = 40 + 15 = 55$।
$5$. अधिकतम मान $55$ है जो बिंदु $(40, 15)$ पर प्राप्त होता है।

(C) उद्देश्य फलन $z = px + qy$ का न्यूनतम मान दो बिंदुओं पर प्राप्त होने के लिए, दोनों बिंदुओं पर $z$ का मान समान होना चाहिए।
$(3, 0)$ पर, $z_1 = p(3) + q(0) = 3p$।
$(1, 1)$ पर, $z_2 = p(1) + q(1) = p + q$।
दोनों मानों को बराबर करने पर: $3p = p + q$।
दोनों पक्षों से $p$ घटाने पर: $2p = q$।
अतः, शर्त $p = \frac{q}{2}$ है।

(B) चरण $1$: सीमा रेखाओं की पहचान करें: $L_1: 3x - y = 6$, $L_2: x = 3$, $L_3: y = 2$, $L_4: y = 0$, $L_5: x = 0$।
चरण $2$: इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें जो सभी अवरोधों को संतुष्ट करते हैं।
- $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $3(3) - y = 6 \implies y = 3$। चूँकि $y \leq 2$, यह बिंदु $(3, 3)$ बाहर है।
- $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $3x - 2 = 6 \implies 3x = 8 \implies x = 8/3$। बिंदु $(8/3, 2)$ है।
- $L_1$ और $L_4$ का प्रतिच्छेदन: $3x - 0 = 6 \implies x = 2$। बिंदु $(2, 0)$ है।
- $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: बिंदु $(3, 2)$ है।
- $L_2$ और $L_4$ का प्रतिच्छेदन: बिंदु $(3, 0)$ है।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र शीर्षों $(2, 0), (3, 0), (3, 2), (8/3, 2)$ द्वारा घिरा हुआ है।

(C) चरण $1$: बाधाओं $5x + 10y \leq 50$ (या $x + 2y \leq 10$), $x + y \geq 1$, $y \leq 4$, $x \geq 0$, और $y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
चरण $2$: सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन को हल करके सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष ज्ञात करें: $(0, 0.5)$, $(0, 4)$, $(2, 4)$, $(10, 0)$, और $(1, 0)$।
चरण $3$: प्रत्येक शीर्ष पर $z = 3x + 5y$ का मूल्यांकन करें:
$(0, 0.5)$ पर, $z = 3(0) + 5(0.5) = 2.5$।
$(0, 4)$ पर, $z = 3(0) + 5(4) = 20$।
$(2, 4)$ पर, $z = 3(2) + 5(4) = 26$।
$(10, 0)$ पर, $z = 3(10) + 5(0) = 30$।
$(1, 0)$ पर, $z = 3(1) + 5(0) = 3$।
चरण $4$: अधिकतम मान $30$ है और न्यूनतम मान $2.5$ है।
चरण $5$: अंतर $30 - 2.5 = 27.5$ है। चूँकि $3\lambda = 27.5$, $\lambda = 27.5 / 3 = 9.166...$ है।