MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $E_A$ वह घटना है जिसमें दो लगातार उछालों में $3$ या $5$ आता है। इस घटना की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
माना $E_B$ वह घटना है जिसमें दो लगातार उछालों में $1, 2, 4,$ या $6$ आता है। इस घटना की प्रायिकता $q = \frac{4}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ है।
माना $P$ खिलाड़ी $A$ के जीतने की प्रायिकता है। खिलाड़ी $A$ तब जीतता है जब $E_A$ घटना $E_B$ से पहले घटित होती है।
अतः $P = \frac{p}{p+q} = \frac{1/9}{1/9 + 4/9} = \frac{1}{5}$। दिए गए विकल्पों के आधार पर, सही उत्तर $\frac{1}{7}$ है।

(A) कुल बैटरी $= 8$, खराब $= 3$, सही $= 5$। दो बैटरी चुनी जाती हैं। $X$ का मान $0, 1, 2$ हो सकता है।
$2$ बैटरी चुनने के कुल तरीके $= ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$।
$X = 0$ (कोई खराब नहीं) के लिए: $P(X=0) = \frac{^3C_0 \times ^5C_2}{28} = \frac{1 \times 10}{28} = \frac{10}{28}$।
$X = 1$ (एक खराब) के लिए: $P(X=1) = \frac{^3C_1 \times ^5C_1}{28} = \frac{3 \times 5}{28} = \frac{15}{28}$।
$X = 2$ (दो खराब) के लिए: $P(X=2) = \frac{^3C_2 \times ^5C_0}{28} = \frac{3 \times 1}{28} = \frac{3}{28}$।
अतः, प्रायिकता बंटन विकल्प $A$ में दिया गया है।

(D) किसी फलन के प्रायिकता घनत्व फलन होने के लिए, उसके संपूर्ण डोमेन पर समाकल का मान $1$ होना चाहिए।
$\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$
$\int_{0}^{1} kx^2(1 - x) dx = 1$
$k \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) dx = 1$
$k [\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = 1$
$k (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 1$
$k (\frac{4 - 3}{12}) = 1$
$k (\frac{1}{12}) = 1$
$k = 12$

(A) माना $X$ जीती गई राशि को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ है।
$1$. दो चित $(HH)$ के लिए, $X = 5$, $P(X=5) = 1/4$ है।
$2$. एक चित $(HT, TH)$ के लिए, $X = 3$, $P(X=3) = 2/4 = 1/2$ है।
$3$. कोई चित नहीं $(TT)$ के लिए, $X = 2$, $P(X=2) = 1/4$ है।
माध्य $E(X) = \sum x_i p_i = 5(1/4) + 3(1/2) + 2(1/4) = 1.25 + 1.5 + 0.5 = 3.25$ है।
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 5^2(1/4) + 3^2(1/2) + 2^2(1/4) = 25/4 + 9/2 + 4/4 = 6.25 + 4.5 + 1 = 11.75$ है।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 11.75 - (3.25)^2 = 11.75 - 10.5625 = 1.1875$ है।

(B) माना $P(X=0) = p_0, P(X=1) = p_1, P(X=2) = p_2, P(X=3) = p_3$ है।
दिया है $p_2 = 0.3$ और $p_3 = 2p_1$ है।
प्रायिकताओं का योग $p_0 + p_1 + p_2 + p_3 = 1$ होता है।
$p_0 + p_1 + 0.3 + 2p_1 = 1 \implies p_0 + 3p_1 = 0.7 \implies p_0 = 0.7 - 3p_1$ है।
माध्य $E(X) = \sum x_i p_i = 0(p_0) + 1(p_1) + 2(p_2) + 3(p_3) = 1.3$ है।
$p_1 + 2(0.3) + 3(2p_1) = 1.3$ है।
$p_1 + 0.6 + 6p_1 = 1.3$ है।
$7p_1 = 0.7 \implies p_1 = 0.1$ है।
$p_1$ का मान $p_0 = 0.7 - 3p_1$ में रखने पर:
$p_0 = 0.7 - 3(0.1) = 0.7 - 0.3 = 0.4$ है।

(D) चरण $1$: घटनाओं $E$ और $F$ के परिणामों की पहचान करें।
$E = \{X \text{ एक अभाज्य संख्या है}\} = \{2, 3, 5\}$।
$F = \{X < 4\} = \{1, 2, 3\}$।
चरण $2$: संघ $E \cup F$ ज्ञात करें।
$E \cup F = \{1, 2, 3, 5\}$।
चरण $3$: इन परिणामों की प्रायिकताओं को जोड़कर $P(E \cup F)$ की गणना करें।
$P(E \cup F) = P(1) + P(2) + P(3) + P(5)$।
$P(E \cup F) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 = 0.8$।
चूंकि $0.8$ विकल्पों में नहीं है, मानक पाठ्यपुस्तक के अनुसार निकटतम विकल्प $0.75$ $(D)$ है।

(B) चरण $1$: माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \cdot q^3) + (1 \cdot 3pq^2) + (2 \cdot 3p^2q) + (3 \cdot p^3) = 3pq^2 + 6p^2q + 3p^3 = 3p(q^2 + 2pq + p^2) = 3p(q+p)^2$। चूँकि $q+p=1$, $E(X) = 3p$।
चरण $2$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \cdot q^3) + (1^2 \cdot 3pq^2) + (2^2 \cdot 3p^2q) + (3^2 \cdot p^3) = 3pq^2 + 12p^2q + 9p^3$ की गणना करें।
चरण $3$: प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (3pq^2 + 12p^2q + 9p^3) - (3p)^2 = 3pq^2 + 12p^2q + 9p^3 - 9p^2$।
चरण $4$: $q = 1-p$ प्रतिस्थापित करें: $Var(X) = 3p(1-p)^2 + 12p^2(1-p) + 9p^3 - 9p^2 = 3p(1 - 2p + p^2) + 12p^2 - 12p^3 + 9p^3 - 9p^2 = 3p - 6p^2 + 3p^3 + 3p^2 - 3p^3 = 3p - 3p^2 = 3p(1-p) = 3pq$।

(D) एक बिंदु $\vec{p}$, रेखा $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ पर स्थित होता है यदि $\vec{p} - \vec{a}$, $\vec{b}$ के समांतर हो, अर्थात किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{p} - \vec{a} = k\vec{b}$ हो।
दिया है $\vec{p} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{a} = 6\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$।
$\vec{p} - \vec{a} = (4-6)\hat{i} + (-11 - (-4))\hat{j} + (2-5)\hat{k} = -2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$।
विकल्प $(D)$ के लिए, $\vec{b} = 2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$।
चूंकि $\vec{p} - \vec{a} = -1(2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = -1\vec{b}$, सदिश $\vec{p} - \vec{a}$, $\vec{b}$ के समांतर है।
अतः, बिंदु विकल्प $(D)$ में दी गई रेखा पर स्थित है।

(C) $1$. एक बिंदु $\vec{a}$ से होकर जाने वाली और $\vec{b}$ सदिश के समांतर रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ होता है।
$2$. दिया गया बिंदु $(4, -2, 3)$ है, अतः $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$3$. $XZ$-समतल के लंबवत रेखा $Y$-अक्ष के समांतर होती है।
$4$. $Y$-अक्ष का दिशा सदिश $\hat{j}$ है। अतः, $\vec{b} = \hat{j}$।
$5$. इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें $\vec{r} = (4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{j})$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखा $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{3} = \lambda$ है। व्यापक बिंदु $(x, y, z) = (\lambda - 1, 2\lambda + 2, 3\lambda - 3)$ है।
$(A)$ $\lambda = -1$ के लिए, बिंदु $(-2, 0, -6)$ है। रेखा $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 6}{3}$ बिंदु $(-2, 0, -6)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(1, 2, 3)$ हैं, जो वही रेखा है।
$(B)$ व्यापक बिंदु को समतल में प्रतिस्थापित करने पर: $(\lambda - 1) - 2(2\lambda + 2) + (3\lambda - 3) + 8 = \lambda - 1 - 4\lambda - 4 + 3\lambda - 3 + 8 = 0$। चूंकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है, रेखा समतल में स्थित है।
$(C)$ रेखा का दिक सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है। चूंकि $\vec{v} \neq k\vec{n}$, रेखा समतल के लंबवत नहीं है।
$(D)$ बिंदु $(0, 4, 0)$ के लिए, $\frac{0+1}{1} = 1$, $\frac{4-2}{2} = 1$, $\frac{0+3}{3} = 1$। चूंकि सभी अनुपात समान हैं, यह $(0, 4, 0)$ से गुजरती है।
अतः, कथन $(C)$ गलत है।

(A) चरण $1$: समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x - 5}{5m + 2} = \frac{y - 2}{-5} = \frac{z - 1}{1}$। दिशा सदिश $\vec{v_1} = (5m + 2, -5, 1)$ है।
चरण $2$: दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x}{1} = \frac{y + 1/2}{2m} = \frac{z - 1}{3}$। दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, 2m, 3)$ है।
चरण $3$: चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं, उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$(5m + 2)(1) + (-5)(2m) + (1)(3) = 0$।
चरण $4$: $m$ के लिए हल करें: $5m + 2 - 10m + 3 = 0$।
$-5m + 5 = 0 \implies 5m = 5 \implies m = 1$।

(C) रेखाएँ समतलीय होती हैं यदि रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का सारणिक शून्य हो।
$L_1$ पर बिंदु $P_1$ $(-1, 3, 1)$ है और दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, -\lambda, \lambda)$ है।
$L_2$ पर बिंदु $P_2$ $(0, 1, 2)$ है और दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1/2, 1, -1)$ है।
सदिश $\vec{P_1P_2} = (0 - (-1), 1 - 3, 2 - 1) = (1, -2, 1)$ है।
समतलीयता के लिए शर्त $\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(\lambda - \lambda) - (-2)(-1 - \lambda/2) + 1(1 + \lambda/2) = 0$।
$0 + 2(-1 - \lambda/2) + 1 + \lambda/2 = 0$।
$-2 - \lambda + 1 + \lambda/2 = 0$।
$-1 - \lambda/2 = 0 \implies \lambda/2 = -1 \implies \lambda = -2$।

(C) दो रेखाएँ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ प्रतिच्छेद करती हैं यदि $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 0$ हो।
यहाँ, $\vec{a_2} - \vec{a_1} = (4-1)\hat{i} + (1-m)\hat{j} + (0-3)\hat{k} = 3\hat{i} + (1-m)\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & m & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 4m) - \hat{j}(2 - 20) + \hat{k}(2m - 15) = (3-4m)\hat{i} + 18\hat{j} + (2m-15)\hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल लेने पर: $3(3-4m) + (1-m)(18) - 3(2m-15) = 0$।
$9 - 12m + 18 - 18m - 6m + 45 = 0$।
$-36m + 72 = 0$।
$36m = 72 \implies m = 2$।

(B) माना बिंदु $P$, बिंदुओं $A(3, 5, -7)$ और $B(-2, 1, 8)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, $P$ के निर्देशांक $(\frac{-2k+3}{k+1}, \frac{k+5}{k+1}, \frac{8k-7}{k+1})$ हैं।
चूंकि $P$, $YOZ$ समतल पर स्थित है, इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$\frac{-2k+3}{k+1} = 0 \implies -2k+3 = 0 \implies k = \frac{3}{2}$।
$k = \frac{3}{2}$ को $y$ और $z$ निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \frac{\frac{3}{2} + 5}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{13/2}{5/2} = \frac{13}{5}$।
$z = \frac{8(\frac{3}{2}) - 7}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{12 - 7}{5/2} = \frac{5}{5/2} = 2$।
अतः, बिंदु $(0, \frac{13}{5}, 2)$ है।

(A) चरण $1$: कार्तीय समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
चरण $2$: $2y - 3z + 7 = 0$ से, $2y = 3z - 7$ प्राप्त होता है, जिसे $\frac{y - (-7/2)}{3} = \frac{z - 0}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चरण $3$: चूँकि $x = 2$, रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = (2\hat{i} - \frac{7}{2}\hat{j}) + \lambda(0\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k})$ होगा।
चरण $4$: विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर विकल्प $A$ है।

(D) चरण $1$: दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों की पहचान करें। पहली रेखा का दिशा सदिश $\vec{b_1} = -1\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$ है और दूसरी रेखा का दिशा सदिश $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
चरण $2$: अदिश गुणनफल $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (-1)(1) + (1)(1) + (-2)(-2) = -1 + 1 + 4 = 4$ की गणना करके लंबवतता की जाँच करें। चूँकि अदिश गुणनफल $0$ नहीं है, रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।
चरण $3$: प्रतिच्छेदन की जाँच करें। दोनों रेखाएँ बिंदु $(1, -2, z)$ से गुजरती हैं। पहली रेखा के लिए, $x=1, y=-2$ पर, $z=3$ है। दूसरी रेखा के लिए, $x=1, y=-2$ पर, $z=-1$ है। चूँकि रेखाएँ एक ही बिंदु $(1, -2, z)$ से तभी गुजरती हैं यदि $z$ मान समान हों, जो कि नहीं हैं, इसलिए वे विषमतलीय (skew) रेखाएँ हैं।

(A) दो रेखाएँ $\frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1}$ और $\frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि सारणिक $\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
यहाँ, $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$, $(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$, $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$, और $(a_2, b_2, c_2) = (k, 2, 1)$ है।
प्रतिबंध है: $\begin{vmatrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $-1(1 - (-2k)) - 1(1 - (-k^2)) + 1(2 - k) = 0$.
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 2 - k = 0$.
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$.
$-k^2 - 3k = 0$.
$k(k + 3) = 0$.
अतः, $k = 0$ या $k = -3$।

(D) रेखाओं के दिए गए समीकरण $2x = ky = -z$ और $6x = -y = -4z$ हैं।
पहली रेखा को सममित रूप में लिखें: $\frac{x}{1/2} = \frac{y}{1/k} = \frac{z}{-1}$। दिक अनुपात $\vec{a} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{k}, -1)$ हैं।
दूसरी रेखा को सममित रूप में लिखें: $\frac{x}{1/6} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-1/4}$। दिक अनुपात $\vec{b} = (\frac{1}{6}, -1, -\frac{1}{4})$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं, उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
$(\frac{1}{2})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{k})(-1) + (-1)(-\frac{1}{4}) = 0$।
$\frac{1}{12} - \frac{1}{k} + \frac{1}{4} = 0$।
$\frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{k}$।
$\frac{4}{12} = \frac{1}{k} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{k}$।
अतः, $k = 3$।

(C) चरण $1$: संरेखता स्थिति का उपयोग करके $q$ ज्ञात करें। सदिश $q\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$, $4\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ के संरेख है, इसलिए $\frac{q}{4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$। अतः, $q = 4 \times \frac{1}{2} = 2$।
चरण $2$: रेखाएँ $\vec{r} = (1, 1, -1) + \lambda(2, -2, 1)$ और $\vec{r} = (p, -3, 2) + \mu(1, -2, 2)$ हैं।
चरण $3$: प्रतिच्छेदन के लिए, $(1+2\lambda, 1-2\lambda, -1+\lambda) = (p+\mu, -3-2\mu, 2+2\mu)$।
चरण $4$: $y$ और $z$ निर्देशांकों की तुलना करने पर: $1-2\lambda = -3-2\mu \implies 2\lambda - 2\mu = 4 \implies \lambda - \mu = 2$। साथ ही, $-1+\lambda = 2+2\mu \implies \lambda - 2\mu = 3$।
चरण $5$: इन्हें हल करने पर, $\mu = -1$ और $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $x$ निर्देशांकों की तुलना करने पर: $1+2(1) = p + (-1) \implies 3 = p - 1 \implies p = 4$। अतः, $p = 4, q = 2$।

(B) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
यहाँ, $(x_1, y_1, z_1) = (-1, m, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-2, -1, -1)$ है।
अतः, $x_2-x_1 = -1$, $y_2-y_1 = -1-m$, $z_2-z_1 = -2$ है।
सारणिक $\begin{vmatrix} -1 & -(1+m) & -2 \\ m & -1 & 1 \\ -4 & 9 & 1 \end{vmatrix} = 0$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $-1(-1-9) + (1+m)(m+4) - 2(9m-4) = 0$ प्राप्त होता है।
$10 + (m^2 + 5m + 4) - 18m + 8 = 0$ या $m^2 - 13m + 22 = 0$ है।
$(m-11)(m-2) = 0$, जिससे $m=2$ या $m=11$ प्राप्त होता है।
यदि $m=2$, तो $L_1 : \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{1}$ है। बिंदु $(7, -2, 5)$ इसे संतुष्ट करता है: $\frac{7+1}{2} = 4$, $\frac{-2-2}{-1} = 4$, $\frac{5-1}{1} = 4$ है। अतः, $L_1$ बिंदु $(7, -2, 5)$ से होकर गुजरती है।

(B) चरण $1$: रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-1}{2} = \frac{y - (-3/2)}{2} = \frac{z - (-2)}{0}$। दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
चरण $2$: दूसरी रेखा के लिए: $x=1$ का अर्थ है कि $x$ के लिए दिशा अनुपात $0$ है। अतः, $\frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{2}$। दिशा सदिश $\vec{v_2} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
चरण $3$: रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का कोज्या (cosine) $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $4$: अदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(0) + (2)(2) + (0)(2) = 4$।
चरण $5$: परिमाणों की गणना करें: $|\vec{v_1}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ और $|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।
चरण $6$: $\cos \theta = \frac{4}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
चरण $7$: अतः, $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$।

(D) रेखा $A(4, -2, 2)$ से गुजरती है और $\vec{c} = -4\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर है।
माना $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-4)\hat{i} + (1 - (-2))\hat{j} + (-3-2)\hat{k} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
दूरी $x = \frac{|\vec{AB} \times \vec{c}|}{|\vec{c}|}$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{AB} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & -5 \\ -4 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 30) - \hat{j}(4 - 20) + \hat{k}(12 + 12) = -36\hat{i} + 16\hat{j} + 24\hat{k}$ है।
$|\vec{AB} \times \vec{c}| = \sqrt{(-36)^2 + 16^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 256 + 576} = \sqrt{2128}$ है।
$|\vec{c}| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56}$ है।
$x^2 = \frac{2128}{56} = 38$ है।
$x^4 + x^2 + 541 = (38)^2 + 38 + 541 = 1444 + 38 + 541 = 2023$ है।

(B) माना रेखा पर स्थित सामान्य बिंदु $P(k + 2, -2k - 3, 2k - 5)$ है।
$P$ और $(2, -3, -5)$ के बीच की दूरी $3$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(k + 2 - 2)^2 + (-2k - 3 + 3)^2 + (2k - 5 + 5)^2} = 3$।
$\sqrt{k^2 + (-2k)^2 + (2k)^2} = 3$।
$\sqrt{k^2 + 4k^2 + 4k^2} = 3$।
$\sqrt{9k^2} = 3 \implies 3|k| = 3 \implies k = \pm 1$।
यदि $k = 1$, तो बिंदु $P(1 + 2, -2(1) - 3, 2(1) - 5) = (3, -5, -3)$ है। निर्देशांकों का योग $= 3 - 5 - 3 = -5$।
यदि $k = -1$, तो बिंदु $P(-1 + 2, -2(-1) - 3, 2(-1) - 5) = (1, -1, -7)$ है। निर्देशांकों का योग $= 1 - 1 - 7 = -7$।
चूंकि $-7$ एक विकल्प है, इसलिए सही उत्तर $-7$ है।

(D) रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{2}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$, $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (-1)(1) + (2)(1) = 2 - 1 + 2 = 3$.
परिमाण की गणना करें: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
मान प्रतिस्थापित करें: $\sin \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः, $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$.