MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $x^2 = 4ay$ है, जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
चरण $1$: $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $2x = 4a \frac{dy}{dx}$।
चरण $2$: इससे हमें $2a = \frac{x}{dy/dx}$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: पुनः अवकलन करने पर: $2 = 2a \frac{d^2y}{dx^2}$।
चरण $4$: $2a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $2 = \left( \frac{x}{dy/dx} \right) \frac{d^2y}{dx^2}$।
चरण $5$: सरल करने पर: $2 \frac{dy}{dx} = x \frac{d^2y}{dx^2}$, अर्थात $x \frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} = 0$। दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही समीकरण $x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ है।

(A) चरण $1$: रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
चरण $2$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos \alpha + \frac{dy}{dx} \sin \alpha = 0$।
चरण $3$: इससे हमें $\frac{dy}{dx} = - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = - \cot \alpha$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (- \cot \alpha) = 0$ (चूंकि $\alpha$ एक अचर है)।
चरण $5$: अतः, अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ है।

(A) चरण $1$: दिया गया समीकरण $\sqrt{2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^3} = (\frac{d^3y}{dx^3})^{5/2}$ है।
चरण $2$: भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^3 = (\frac{d^3y}{dx^3})^5$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है, इसलिए कोटि $3$ है।
चरण $4$: समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $5$ है, इसलिए घात $5$ है।

(A) चरण $1$: भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए समीकरण को पुनः लिखें: $3 - (\frac{d^3y}{dx^3})^{7/3} = (\frac{dy}{dx})^5 \implies 3 - (\frac{dy}{dx})^5 = (\frac{d^3y}{dx^3})^{7/3}$।
चरण $2$: भिन्नात्मक घात $1/3$ को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करें: $(3 - (\frac{dy}{dx})^5)^3 = (\frac{d^3y}{dx^3})^7$।
चरण $3$: कोटि उच्चतम अवकलज है, जो $3$ है। घात उच्चतम अवकलज की वह घात है जो समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद प्राप्त होती है, जो $7$ है।
चरण $4$: अतः, कोटि $3$ है और घात $7$ है।

(C) चरण $1$: किसी अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ, उच्चतम अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है, इसलिए कोटि $3$ है।
चरण $2$: किसी अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घात होती है, बशर्ते समीकरण अवकलजों के पदों में एक बहुपद हो। यहाँ, पद $\cos \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$ अवकलज का एक त्रिकोणमितीय फलन है, जिसका अर्थ है कि समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
चरण $3$: अतः, इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(D) अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले, सदिश गुणनफल $\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k}$।
अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{v} \cdot \vec{c} = |\vec{v}| |\vec{c}| \cos \theta$ है, जहाँ $\theta$, $\vec{v}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है।
चूँकि $|\vec{c}| = 1$, अधिकतम मान $|\vec{v}|$ है।
$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$।

(C) यह जाँचने के लिए कि सदिश रैखिकतः स्वतंत्र हैं या आश्रित, हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ की गणना करते हैं, जो सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित आव्यूह का सारणिक है।
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & -3 & 1 \end{vmatrix}$
$= 2(2(1) - 2(-3)) - (-3)(3(1) - 2(4)) + 1(3(-3) - 2(4))$
$= 2(2 + 6) + 3(3 - 8) + 1(-9 - 8)$
$= 2(8) + 3(-5) + 1(-17)$
$= 16 - 15 - 17 = -16$
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है, इसलिए सदिश रैखिकतः स्वतंत्र हैं।

(B) अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ सदिशों के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1-x \\ y & x & 1+x-y \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$= 1 \cdot [1(1+x-y) - x(1-x)] - 0 + (-1) \cdot [x(x) - 1(y)]$
$= (1 + x - y - x + x^2) - (x^2 - y)$
$= (1 + x^2 - y) - (x^2 - y)$
$= 1 + x^2 - y - x^2 + y$
$= 1$
चूंकि परिणाम एक अचर $1$ है, इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $x$ या $y$ पर निर्भर नहीं करता है।

(B) चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ होता है।
दिया है $V = 11$, अतः $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 66$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product) सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda - 10 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 22\lambda - 88$।
$|22\lambda - 88| = 66$ को हल करने पर:
स्थिति $1$: $22\lambda - 88 = 66 \implies 22\lambda = 154 \implies \lambda = 7$।
स्थिति $2$: $22\lambda - 88 = -66 \implies 22\lambda = 22 \implies \lambda = 1$।
$\lambda$ के संभावित मानों का योग $7 + 1 = 8$ है।

(A) माना बिंदु $A(\vec{a}+\vec{b})$, $B(\vec{b}+\vec{c})$, और $C(\vec{c}+\vec{a})$ हैं।
समतल पर स्थित सदिश $\vec{AB} = B - A = \vec{c} - \vec{a}$ और $\vec{AC} = C - A = \vec{c} - \vec{b}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (\vec{c} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b}$ है।
समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{A} \cdot \vec{n}$ है।
$\vec{A} \cdot \vec{n} = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$।
अतः, समीकरण $\vec{r} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ है।

(C) तीन सदिश $\vec{a}$, $\vec{b}$, और $\vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो, अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
यह उनके घटकों से बने सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 2 \\ 2 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\lambda(\lambda^2 - 6) - 1(\lambda - 4) + 1(3 - 2\lambda) = 0$
$\lambda^3 - 6\lambda - \lambda + 4 + 3 - 2\lambda = 0$
$\lambda^3 - 9\lambda + 7 = 0$
यह $\lambda$ में $A\lambda^3 + B\lambda^2 + C\lambda + D = 0$ के रूप का एक त्रिघात समीकरण है। यहाँ $A=1, B=0, C=-9, D=7$ है।
त्रिघात समीकरण $A\lambda^3 + B\lambda^2 + C\lambda + D = 0$ के मूलों का योग $-B/A$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $B=0$ है, मूलों का योग $-0/1 = 0$ है।

(C) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$, अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ के निरपेक्ष मान द्वारा दिया जाता है।
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ x & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - x(0 - x^2) + 1(0 - x) = 1 + x^3 - x$.
माना $f(x) = x^3 - x + 1$ है। न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए, हम $f'(x) = 3x^2 - 1$ का विश्लेषण करते हैं।
$f'(x) = 0$ रखने पर, हमें $3x^2 = 1$ प्राप्त होता है, जिससे $x^2 = 1/3$, अर्थात $x = \pm 1/\sqrt{3}$।
चूंकि आयतन $|f(x)|$ है, हम मानों की जाँच करते हैं। $x = 1/\sqrt{3}$ के लिए, $f(1/\sqrt{3}) = (1/\sqrt{3})^3 - 1/\sqrt{3} + 1 = 1/(3\sqrt{3}) - 1/\sqrt{3} + 1 = 1 - 2/(3\sqrt{3}) > 0$।
$x = -1/\sqrt{3}$ के लिए, $f(-1/\sqrt{3}) = -1/(3\sqrt{3}) + 1/\sqrt{3} + 1 = 1 + 2/(3\sqrt{3}) > 0$।
आयतन का न्यूनतम मान $x = 1/\sqrt{3}$ पर प्राप्त होता है।

(D) समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = |\det \begin{pmatrix} 2a & 0 & 1 \\ 0 & a & -a \\ 3 & a & 0 \end{pmatrix}|$
$V = |2a(0 - (-a^2)) - 0 + 1(0 - 3a)| = |2a^3 - 3a| = 3a - 2a^3$ (चूंकि $a \in [0, 1]$ के लिए $2a^3 - 3a \le 0$ है)।
$f(a) = 3a - 2a^3$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, $f'(a) = 3 - 6a^2 = 0$ रखें।
$a = 1/\sqrt{2}$ पर, $f(1/\sqrt{2}) = 3/\sqrt{2} - 2(1/2\sqrt{2}) = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}$।

(B) माना $c = a \times b$ है। चूँकि $a$ और $b$ एक-दूसरे के लंबवत इकाई सदिश हैं, $c$ एक इकाई सदिश है जो $a$ और $b$ दोनों के लंबवत है।
अतः, $|a| = 1, |b| = 1, |c| = 1$ और $a \cdot b = 0, a \cdot c = 0, b \cdot c = 0$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $[a + c \quad b + c \quad c] = (a + c) \cdot ((b + c) \times c)$ है।
क्रॉस गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(b + c) \times c = (b \times c) + (c \times c) = (b \times c) + 0 = b \times c$ है।
चूँकि $a, b, c$ एक प्रसामान्य लांबिक समुच्चय बनाते हैं, $b \times c = a$ है।
अतः, व्यंजक $(a + c) \cdot a = (a \cdot a) + (c \cdot a) = |a|^2 + 0 = 1 + 0 = 1$ हो जाता है।

(A) शीर्षों $A, B, C, D$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}) \cdot ((\vec{AC}) \times (\vec{AD}))|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले, सदिश ज्ञात करें: $\vec{AB} = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$, $\vec{AC} = (p+1)\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$, $\vec{AD} = 0\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक है: $\begin{vmatrix} 4 & -4 & -2 \\ p+1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & 1 \end{vmatrix} = 12p + 8$।
दिया है $V = \frac{1}{6} |12p + 8| = \frac{16}{3}$, अतः $|12p + 8| = 32$।
स्थिति $1$: $12p + 8 = 32 \implies p = 2$।
स्थिति $2$: $12p + 8 = -32 \implies p = -\frac{10}{3}$।
विकल्पों के अनुसार, $p = -\frac{10}{3}$ सही है।

(A) सह-आदिम कोर $\vec{a}$, $\vec{b}$, और $\vec{c}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है।
यह सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित आव्यूह के सारणिक का निरपेक्ष मान है:
$V = |\det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}|$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$V = |2((-1)(3) - (-1)(1)) - 1((3)(3) - (-1)(0)) + (-1)((3)(1) - (-1)(0))|$
$V = |2(-3 + 1) - 1(9 - 0) - 1(3 - 0)|$
$V = |2(-2) - 9 - 3|$
$V = |-4 - 9 - 3| = |-16| = 16 \text{ घन इकाई}$।

(C) अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले, सदिश गुणनफल $\vec{u} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 0) - \hat{j}(1 - (-4)) + \hat{k}(0 - 4) = 2\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$।
मान लीजिए $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = 2\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$।
परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 25 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$।
चूंकि $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{n} \cdot \vec{w} = |\vec{n}| |\vec{w}| \cos \theta$, और $|\vec{w}| = 1$, अधिकतम मान $|\vec{n}| = 3\sqrt{5}$ है जब $\vec{w}$, $\vec{n}$ की दिशा में हो।

(D) दिया गया है $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$। चूंकि $\vec{a} \perp \vec{b}$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है।
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $120^\circ$ है, $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-1/2) = -1/2$ है।
दिया गया है $(\vec{a} + \vec{c}) \perp (\vec{b} + \vec{c})$, इसलिए $(\vec{a} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0$ है।
इसे विस्तारित करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{b} + |\vec{c}|^2 = 0$।
मान रखने पर: $0 + \vec{a} \cdot \vec{c} - 1/2 + 1 = 0$, जिससे $\vec{a} \cdot \vec{c} = -1/2$ प्राप्त होता है।
अब $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{b} + |\vec{c}|^2$ का मूल्यांकन करें।
$= 0 - (-1/2) - (-1/2) + 1 = 1/2 + 1/2 + 1 = 2$।

(D) दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ है। माना $|\vec{a}| = |\vec{b}| = x$ है।
अदिश गुणनफल का सूत्र $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1/2 = (x)(x) \cos(60^\circ)$।
चूँकि $\cos(60^\circ) = 1/2$ है, इसलिए $1/2 = x^2 (1/2)$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के लिए हल करने पर, हमें $x^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः, $x = |\vec{a}| = 1$ है।

(A) दिए गए समीकरण $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a} \implies (\vec{r} - \vec{b}) \times \vec{a} = 0$ और $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b} \implies (\vec{r} - \vec{a}) \times \vec{b} = 0$ हैं।
इसका अर्थ है कि कुछ अदिश $t, s$ के लिए $\vec{r} - \vec{b} = t\vec{a}$ और $\vec{r} - \vec{a} = s\vec{b}$ है।
अतः, $\vec{r} = \vec{b} + t\vec{a} = (\hat{i} - \hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j}) = (1+t)\hat{i} + t\hat{j} - \hat{k}$।
साथ ही, $\vec{r} = \vec{a} + s\vec{b} = (\hat{i} + \hat{j}) + s(\hat{i} - \hat{k}) = (1+s)\hat{i} + \hat{j} - s\hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर: $1+t = 1+s \implies t=s$, $t=1$, और $-1 = -s \implies s=1$ प्राप्त होता है।
$t=1$ को $\vec{r} = (1+t)\hat{i} + t\hat{j} - \hat{k}$ में रखने पर, $\vec{r} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 1, -1)$ है।

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं, इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
हम जानते हैं कि $|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|\cos\theta = 1 + 1 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta) = 4\cos^2(\theta/2)$ है।
अतः, $|a + b| = 2\cos(\theta/2)$ है।
इसी प्रकार, $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|\cos\theta = 1 + 1 - 2\cos\theta = 2(1 - \cos\theta) = 4\sin^2(\theta/2)$ है।
अतः, $|a - b| = 2\sin(\theta/2)$ है।
इसलिए, $|a + b| / |a - b| = (2\cos(\theta/2)) / (2\sin(\theta/2)) = \cot(\theta/2)$ है।

(E) चरण $1$: $|\vec{a}|$ और $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें।
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
चरण $2$: $|\vec{c}|$ ज्ञात करें।
$|\vec{c} - \vec{a}|^2 = 8 \implies |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 8$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|$, मान लें $|\vec{c}| = x$.
$x^2 + 9 - 2x = 8 \implies (x-1)^2 = 0 \implies |\vec{c}| = 1$.
चरण $3$: $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}|$ की गणना करें।
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \sin(60^\circ) = (3\sqrt{2}) \times (1) \times (\sqrt{3}/2) = 3\sqrt{6}/2$.

(B) मान लीजिए $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{AD} = \vec{b}$ है। $\vec{a}$ और $\vec{b}$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$ है।
चूंकि $AC = 3a + 2b$ है, हम इसे सदिश $\vec{AC} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ के रूप में लेते हैं।
चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है: $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |\vec{a} \times (3\vec{a} + 2\vec{b})| = \frac{1}{2} |3(\vec{a} \times \vec{a}) + 2(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |0 + 2(\vec{a} \times \vec{b})| = |\vec{a} \times \vec{b}|$।
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AD} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |\vec{b} \times (3\vec{a} + 2\vec{b})| = \frac{1}{2} |3(\vec{b} \times \vec{a}) + 2(\vec{b} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |-3(\vec{a} \times \vec{b}) + 0| = \frac{3}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$।
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= |\vec{a} \times \vec{b}| + \frac{3}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$।
अतः, $\alpha = 5/2$ है।

(A) समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले, सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 13\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$।
आयतन $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |(1, 1, 1) \cdot (13, -7, -2)| = |13 - 7 - 2| = 4 \text{ घन इकाई}$।
आधार का क्षेत्रफल $A$, आधार सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के सदिश गुणनफल का परिमाण है:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$।
$A = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{38}$।
ऊँचाई $h = V / A = 4 / \sqrt{38} = 2\sqrt{2} / \sqrt{19} \text{ इकाई}$।

(C) माना अभीष्ट सदिश $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{v}$, $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के लंबवत है, इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{c} = 0 \implies x + y + z = 0 \implies z = -(x + y)$।
चूंकि $\vec{v}$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतलीय है, इसलिए $\vec{v}$, अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(2-1) = -3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$।
अब, $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \implies -3x + y + z = 0$।
$z = -(x + y)$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $-3x + y - x - y = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$ प्राप्त होता है।
तब $z = -y$। अतः $\vec{v} = y\hat{j} - y\hat{k} = y(\hat{j} - \hat{k})$।
इकाई सदिश के लिए, $|\vec{v}| = 1 \implies |y|\sqrt{1^2 + (-1)^2} = 1 \implies |y|\sqrt{2} = 1 \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः, $\vec{v} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$।

(A) चरण $1$: $\vec{b}$ और $\vec{c}$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ ज्ञात करें।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 1) - \hat{j}(4 + 1) + \hat{k}(-2 - 3) = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$।
चरण $2$: सदिश $\vec{a}$ और अभिलंब $\vec{n}$ के बीच का कोण $\alpha$ सूत्र $\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(5) + (1)(-5) + (-3)(-5) = 10 - 5 + 15 = 20$।
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$।
$|\vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$।
चरण $3$: $\cos \alpha = \frac{20}{\sqrt{14} \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{42}}$।
चरण $4$: सदिश और समतल के बीच का कोण $\theta = 90^\circ - \alpha$ होता है। अतः, $\sin \theta = \cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{42}}$, जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1}(4/\sqrt{42})$।

(A) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j}$।
हमें $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ दिया है।
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times \vec{c}$ लेने पर।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 2$ है।
अतः, $3\vec{a} - 2\vec{b} = \vec{a} \times \vec{c}$।
$\vec{a} \times \vec{c} = -2\hat{k}$ है।
अतः, $2\vec{b} = 3\vec{a} - (\vec{a} \times \vec{c}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$।
$\vec{b} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{11}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$।

(A) चूंकि $a, b, c$ समतलीय इकाई सदिश हैं और $d$ उनके लंबवत है, इसलिए $d$ समतल के लंबवत एक इकाई सदिश है। अतः, $(a \times b) = |a||b| \sin(30^\circ) d = (1)(1)(1/2) d = \frac{1}{2} d$।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $(a \times b) \times (c \times d) = ((a \times b) \cdot d) c - ((a \times b) \cdot c) d$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $(a \times b) = \frac{1}{2} d$, हमारे पास $(a \times b) \cdot d = \frac{1}{2} (d \cdot d) = \frac{1}{2}$ और $(a \times b) \cdot c = \frac{1}{2} (d \cdot c) = 0$ (क्योंकि $d \perp c$) है।
इन्हें सर्वसमिका में रखने पर: $\frac{1}{2} c - 0 = \frac{3}{26} i - \frac{2}{13} j + \frac{6}{13} k$।
अतः, $c = 2(\frac{3}{26} i - \frac{2}{13} j + \frac{6}{13} k) = \frac{3}{13} i - \frac{4}{13} j + \frac{12}{13} k$।

(B) चरण $1$: सदिश गुणनफल $v = a \times b = (2i + j + 2k) \times (3i - 4j)$ की गणना करें।
$v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & -4 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-8)) - j(0 - 6) + k(-8 - 3) = 8i + 6j - 11k$।
चरण $2$: रेखा $(0, 0, 0)$ और $(4, 3, c)$ से गुजरती है। रेखा का दिशा सदिश $(4, 3, c)$ के समानुपाती है। चूँकि रेखा $v = (8, 6, -11)$ के समानांतर है, हमारे पास $(4, 3, c) = k(8, 6, -11)$ है।
चरण $3$: घटकों की तुलना करने पर, $4 = 8k \implies k = 1/2$। तब $3 = 6k$ (संगत) और $c = -11k = -11(1/2) = -5.5$।
चरण $4$: रेखा $(0, 0, 0)$ से गुजरती है और दिशा अनुपात $(8, 6, -11)$ है। कार्तीय समीकरण $x/8 = y/6 = z/-11$ है।

(B) चरण $1$: $\vec{AB}$ और $\vec{AD}$ के परिमाणों की गणना करें।
$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{4 + 100 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{AD}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
चरण $2$: $\vec{AB}$ और $\vec{AD}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करें।
$\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AB}| |\vec{AD}|} = \frac{(2)(-1) + (10)(2) + (11)(2)}{15 \times 3} = \frac{-2 + 20 + 22}{45} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
चरण $3$: चूँकि $\vec{AD'}$ उसी तल में है और $\vec{AB}$ के लंबवत है, $\vec{AD'}$ और $\vec{AB}$ के बीच का कोण $90^\circ$ है। $\vec{AD}$ और $\vec{AD'}$ के बीच का कोण $\alpha$ है। अतः, $\theta = 90^\circ - \alpha$ (या $\alpha = 90^\circ - \theta$)।
चरण $4$: $\cos \alpha = \cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$ की गणना करें।
चूँकि $\cos \theta = 8/9$, $\sin \theta = \sqrt{1 - (8/9)^2} = \sqrt{1 - 64/81} = \sqrt{17/81} = \sqrt{17}/9$।

(B) दिया गया है $\vec{a} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 4\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k}$।
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $\vec{OM} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (6)(4) + (2)(0) + (-3)(3) = 24 + 0 - 9 = 15$।
$|\vec{b}|^2 = 4^2 + 0^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$।
अतः, $\vec{OM} = \frac{15}{25} \vec{b} = \frac{3}{5} (4\hat{i} + 3\hat{k}) = \frac{12}{5}\hat{i} + \frac{9}{5}\hat{k}$।
सदिश $\vec{AM} = \vec{OM} - \vec{a} = (\frac{12}{5} - 6)\hat{i} + (0 - 2)\hat{j} + (\frac{9}{5} - (-3))\hat{k} = -\frac{18}{5}\hat{i} - 2\hat{j} + \frac{24}{5}\hat{k}$।
$l(AM) = |\vec{AM}| = \sqrt{(-\frac{18}{5})^2 + (-2)^2 + (\frac{24}{5})^2} = \sqrt{\frac{324}{25} + 4 + \frac{576}{25}} = \sqrt{\frac{900}{25} + 4} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ इकाई}$।

(A) दिया गया है $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$।
परिभाषाओं का उपयोग करने पर, $|ab \cos \theta| = |ab \sin \theta|$, जिसका अर्थ है $|\cos \theta| = |\sin \theta|$, इसलिए $|\tan \theta| = 1$।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, $\cos \theta < 0$ है, जिसका अर्थ है कि $\theta$ दूसरे चतुर्थांश में है $(90^\circ < \theta \le 180^\circ)$।
दूसरे चतुर्थांश में, $\tan \theta = -1$ और $\sin \theta = 1/\sqrt{2}$ होता है।
अतः, $\sin \theta + \tan \theta = 1/\sqrt{2} - 1 = (1 - \sqrt{2})/\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 2)/2$।

(D) दिया है $|u| = 1, |v| = 2, |w| = 3$। $u$ के अनुदिश $v$ का प्रक्षेप $\frac{v \cdot u}{|u|}$ है और $u$ के अनुदिश $w$ का प्रक्षेप $\frac{w \cdot u}{|u|}$ है।
चूंकि प्रक्षेप बराबर हैं, $v \cdot u = w \cdot u$, जिसका अर्थ है $(v - w) \cdot u = 0$।
साथ ही, $v \perp w$, इसलिए $v \cdot w = 0$।
हमें $|u - v + w|$ ज्ञात करना है। $|u - v + w|^2 = (u - v + w) \cdot (u - v + w)$ पर विचार करें।
$|u - v + w|^2 = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2 - 2(u \cdot v) + 2(u \cdot w) - 2(v \cdot w)$।
चूंकि $v \cdot u = w \cdot u$, हमारे पास $u \cdot v - u \cdot w = 0$ है।
साथ ही $v \cdot w = 0$ है।
$|u - v + w|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2(u \cdot v - u \cdot w) - 2(0) = 1 + 4 + 9 - 0 - 0 = 14$।
अतः, $|u - v + w| = \sqrt{14}$।

(C) दिया गया है: $a \cdot b = \beta$ और $a \times b = c$।
सदिश त्रिक गुणनफल $b \times (a \times b)$ पर विचार करें।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $b \times (a \times b) = (b \cdot b)a - (b \cdot a)b$ का उपयोग करने पर।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $b \times c = |b|^2 a - \beta b$।
$a$ के लिए हल करने हेतु पुनर्व्यवस्थित करने पर: $|b|^2 a = b \times c + \beta b$।
अतः, $a = \frac{b \times c + \beta b}{|b|^2}$।

(B) हम जानते हैं कि अदिश गुणनफल (dot product) को $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः, $|\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$ है।
सदिश गुणनफल (cross product) का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ के रूप में परिभाषित है।
अतः, $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ है।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$|\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 + |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta + |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ होता है, इसलिए परिणाम $|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ है।

(A) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो, अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
दिया गया है $\vec{a} = (\sin \theta)\hat{i} + (\cos \theta)\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \sqrt{3}\hat{j} + 2\hat{k}$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sin \theta)(1) + (\cos \theta)(-\sqrt{3}) + (0)(2) = 0$।
$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 0$।
$\sin \theta = \sqrt{3} \cos \theta$।
$\tan \theta = \sqrt{3}$।
चूंकि $\theta \in (0, \pi/2)$, इसलिए $\theta = \pi/3$।

(B) चरण $1$: सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AD}$ के परिमाण ज्ञात करें।
$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{AD}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
चरण $2$: $\vec{AB}$ और $\vec{AD}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करें।
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = -2 + 20 + 22 = 40$.
$\cos \theta = \frac{40}{15 \times 3} = \frac{8}{9}$.
चरण $3$: चूंकि $\vec{AD'}$ को $\vec{AD}$ को घुमाकर प्राप्त किया जाता है ताकि $\vec{AD'} \perp \vec{AB}$, इसलिए $\vec{AD'}$ और $\vec{AB}$ के बीच का कोण $90^\circ$ है।
चरण $4$: घूर्णन कोण $\alpha = |\theta - 90^\circ|$ है।
$\cos \alpha = \cos(\theta - 90^\circ) = \sin \theta$.
चरण $5$: $\sin \theta = \sqrt{1 - (8/9)^2} = \sqrt{17}/9$।

(B) $1$. व्यंजक $(A)$ $(a \times b) \cdot c$ अदिश त्रिक गुणनफल को दर्शाता है, जो अर्थपूर्ण है।
$2$. व्यंजक $(B)$ $a \times (b \cdot c)$ अर्थहीन है क्योंकि $(b \cdot c)$ एक अदिश है, और एक सदिश $a$ तथा एक अदिश का सदिश गुणनफल परिभाषित नहीं है।
$3$. व्यंजक $(C)$ $a \cdot (b \cdot c)$ अर्थहीन है क्योंकि $(b \cdot c)$ एक अदिश है, और एक सदिश $a$ तथा एक अदिश का अदिश गुणनफल परिभाषित नहीं है।
$4$. व्यंजक $(D)$ $|a|(b \cdot c)$ एक अदिश $|a|$ और एक अदिश $(b \cdot c)$ का गुणनफल दर्शाता है, जो अर्थपूर्ण है।
$5$. व्यंजक $(E)$ $(a \cdot b) \times (b \cdot c)$ अर्थहीन है क्योंकि $(a \cdot b)$ और $(b \cdot c)$ दोनों अदिश हैं, और दो अदिशों के बीच सदिश गुणनफल परिभाषित नहीं है।
$6$. अतः, $(A)$ और $(D)$ अर्थपूर्ण हैं, जबकि $(B)$, $(C)$, और $(E)$ अर्थहीन हैं।

(C) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $D$, $BA$ का मध्य-बिंदु है, $\vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{a}}{2}$।
चूंकि $E$, $BC$ का मध्य-बिंदु है, $\vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$।
हमें माध्यिकाओं $AE$ और $DC$ की लंबाइयों का योग ज्ञात करना है।
$\vec{AE} = \vec{e} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$।
$\vec{DC} = \vec{c} - \vec{d} = \vec{c} - \frac{\vec{b} + \vec{a}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2}$।
सदिशों को जोड़ने पर: $\vec{AE} + \vec{DC} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}}{2} = \frac{3\vec{c} - 3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{c} - \vec{a})$।
परिमाण है: $|\vec{AE} + \vec{DC}| = \frac{3}{2}|\vec{c} - \vec{a}| = \frac{3}{2} AC$।

(B) शीर्षों $A$, $B$, और $C$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AB} = (0-2)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}$।
$\vec{AC} = (4-2)\hat{i} + (0-3)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$।
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 - 0) = 6\hat{i} + 10\hat{j} + 6\hat{k}$।
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 10^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 100 + 36} = \sqrt{172}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{172} \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) माना $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$, अतः $c = |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$।
माना $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$, अतः $b = |\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$।
$\angle A$ का कोण समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को $c:b = 3\sqrt{2}:6 = 1:\sqrt{2}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, $BC$ को $m:n$ अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{m\vec{c} + n\vec{b}}{m+n}$ है।
यहाँ $m=1, n=\sqrt{2}$, अतः $\vec{p} = \frac{1\vec{c} + \sqrt{2}\vec{b}}{1+\sqrt{2}} = \frac{(-4\hat{i} + 9\hat{j} + 6\hat{k}) + \sqrt{2}(-\hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k})}{1+\sqrt{2}} = \frac{(-4-\sqrt{2})\hat{i} + (9+6\sqrt{2})\hat{j} + (6+6\sqrt{2})\hat{k}}{1+\sqrt{2}}$।
गुणांकों का परिमेयकरण करने पर: $\frac{-4-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = 2 - 3\sqrt{2}$, $\frac{9+6\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = 3 + 3\sqrt{2}$ और $\frac{6+6\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = 6$। अतः $\vec{p} = (2 - 3\sqrt{2})\hat{i} + (3 + 3\sqrt{2})\hat{j} + 6\hat{k}$।

(D) माना $|\vec{a}| = x$ और $|\vec{b}| = y$ है। माना $\vec{a} \cdot \vec{b} = xy \cos \theta$ है।
चूँकि $(\vec{a} + 3\vec{b}) \perp (7\vec{a} - 5\vec{b})$, उनका अदिश गुणनफल $0$ है:
$7|\vec{a}|^2 - 5\vec{a} \cdot \vec{b} + 21\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0 \implies 7x^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 15y^2 = 0$ $(1)$
चूँकि $(\vec{a} - 4\vec{b}) \perp (7\vec{a} - 2\vec{b})$, उनका अदिश गुणनफल $0$ है:
$7|\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 28\vec{a} \cdot \vec{b} + 8|\vec{b}|^2 = 0 \implies 7x^2 - 30\vec{a} \cdot \vec{b} + 8y^2 = 0$ $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$46\vec{a} \cdot \vec{b} = 7y^2$ प्राप्त होता है।
समीकरण निकाय को हल करने पर $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}xy$ और $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ प्राप्त होता है। अतः $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{1}{2}$, इसलिए $\theta = \pi/3$ है।

(A) माना सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha$, $m = \cos \beta$, $n = \cos \gamma$ हैं।
दिया है $\beta = \pi/4$ और $\gamma = \pi/2$, अतः $m = \cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ और $n = \cos(\pi/2) = 0$ है।
चूँकि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$, इसलिए $l^2 + (1/\sqrt{2})^2 + 0^2 = 1$, जिससे $l^2 + 1/2 = 1$ प्राप्त होता है, अतः $l^2 = 1/2$, इसलिए $l = \pm 1/\sqrt{2}$ है।
सदिश $\vec{r} = |\vec{r}|(l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}) = 3\sqrt{2}(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} + 0\hat{k}) = \pm 3\hat{i} + 3\hat{j}$ है।

(B) दिया है $|\vec{p}| = 3$, $|\vec{q}| = 2$ और कोण $\theta = \pi/3$ है।
$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}| \cos(\pi/3) = 3 \times 2 \times (1/2) = 3$।
$|\vec{a}|^2 = |3\vec{p} - \vec{q}|^2 = 9|\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 - 6(\vec{p} \cdot \vec{q}) = 9(9) + 4 - 6(3) = 81 + 4 - 18 = 67$ की गणना करें।
अतः, $|\vec{a}| = \sqrt{67}$।
$|\vec{b}|^2 = |\vec{p} + 3\vec{q}|^2 = |\vec{p}|^2 + 9|\vec{q}|^2 + 6(\vec{p} \cdot \vec{q}) = 9 + 9(4) + 6(3) = 9 + 36 + 18 = 63$ की गणना करें।
अतः, $|\vec{b}| = \sqrt{63}$।
अनुपात $|\vec{a}| : |\vec{b}| = \sqrt{67} : \sqrt{63}$ है।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं, इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$ है।
चूंकि $a$, $b$ और $c$ के तल के लंबवत है, इसलिए $a \cdot b = 0$ और $a \cdot c = 0$ है।
$b$ और $c$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है, इसलिए $b \cdot c = |b||c| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
अब, $|a + b + c|^2 = (a + b + c) \cdot (a + b + c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ है।
मान रखने पर: $|a + b + c|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(0 + \frac{1}{2} + 0) = 3 + 1 = 4$ है।
अतः, $|a + b + c| = \sqrt{4} = 2$ है।

(B) दिया गया है $|a| = |b| = |c| = 1$ और $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$।
चूंकि $d = xa + yb + zc$, $a$ के लंबवत है, $d \cdot a = 0 \implies x(a \cdot a) + y(b \cdot a) + z(c \cdot a) = 0$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $x(1) + y(\frac{1}{2}) + z(\frac{1}{2}) = 0 \implies 2x + y + z = 0$ $(i)$।
चूंकि $d$, $b$ के लंबवत है, $d \cdot b = 0 \implies x(a \cdot b) + y(b \cdot b) + z(c \cdot b) = 0$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $x(\frac{1}{2}) + y(1) + z(\frac{1}{2}) = 0 \implies x + 2y + z = 0$ (ii)।
$(i)$ में से (ii) को घटाने पर: $(2x - x) + (y - 2y) + (z - z) = 0 \implies x - y = 0 \implies x = y$।
$(i)$ में $x = y$ रखने पर: $2x + x + z = 0 \implies 3x + z = 0 \implies z = -3x$।
अतः, $\frac{x + y}{z} = \frac{x + x}{-3x} = \frac{2x}{-3x} = -\frac{2}{3}$।

(A) तीन सदिश $\vec{a}$, $\vec{b}$, और $\vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो, अर्थात $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & c_3 \end{vmatrix} = 0$।
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & c_3 \end{vmatrix} = 0$।
$-1(c_3 - 2) = 0$।
$c_3 - 2 = 0$।
$c_3 = 2$।

(C) दिया गया है $a + b + c = 0$, अतः $a + b = -c$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|a + b|^2 = |-c|^2$।
$|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| \cos(a \wedge b) = |c|^2$।
$7^2 + 5^2 + 2(7)(5) \cos(a \wedge b) = 3^2$।
$49 + 25 + 70 \cos(a \wedge b) = 9$।
$74 + 70 \cos(a \wedge b) = 9 \implies 70 \cos(a \wedge b) = -65 \implies \cos(a \wedge b) = -\frac{13}{14}$।
इसी प्रकार, $b + c = -a$ के लिए:
$|b|^2 + |c|^2 + 2|b||c| \cos(b \wedge c) = |a|^2$।
$5^2 + 3^2 + 2(5)(3) \cos(b \wedge c) = 7^2$।
$25 + 9 + 30 \cos(b \wedge c) = 49$।
$34 + 30 \cos(b \wedge c) = 49 \implies 30 \cos(b \wedge c) = 15 \implies \cos(b \wedge c) = \frac{1}{2}$।

(D) माना सदिश $\vec{r} = xi + yj + zk$ है। दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha$, $m = \cos \beta$, $n = \cos \gamma$ हैं।
दिया है $\beta = \frac{\pi}{4}$ और $\gamma = \frac{\pi}{2}$।
अतः, $m = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $n = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$।
चूँकि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$, हमारे पास $l^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 0^2 = 1$ है, जिससे $l^2 + \frac{1}{2} = 1$, अतः $l^2 = \frac{1}{2}$, जिससे $l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इकाई सदिश $\hat{r} = li + mj + nk = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}i + \frac{1}{\sqrt{2}}j + 0k$ है।
सदिश $\vec{r} = |\vec{r}| \hat{r} = 3\sqrt{2} (\pm \frac{1}{\sqrt{2}}i + \frac{1}{\sqrt{2}}j) = \pm 3i + 3j$ है।

(C) माना मूल बिंदु सम षट्भुज के केंद्र $O$ पर है। शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$ हैं।
चूँकि $O$ केंद्र है, $\vec{a} + \vec{d} = \vec{0}$, $\vec{b} + \vec{e} = \vec{0}$, और $\vec{c} + \vec{f} = \vec{0}$ है।
साथ ही, $\vec{d} = -\vec{a}$ है।
दिया गया योग $\vec{S} = (\vec{b}-\vec{a}) + (\vec{c}-\vec{a}) + (\vec{d}-\vec{a}) + (\vec{e}-\vec{a}) + (\vec{f}-\vec{a})$ है।
$\vec{S} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} + \vec{f}) - 6\vec{a} - \vec{a} = \vec{0} - 6\vec{a} = -6\vec{a} = 6\vec{d}$ है।
दिया है $\vec{S} = p\vec{AD} = p(\vec{d}-\vec{a}) = p(2\vec{d}) = 2p\vec{d}$ है।
$6\vec{d} = 2p\vec{d}$ की तुलना करने पर, हमें $p = 3$ प्राप्त होता है।
दिया है $\vec{S} = q\vec{AO} = q\vec{a} = q(-\vec{d})$ है।
चूँकि $\vec{S} = 6\vec{d}$ है, तो $q(-\vec{d}) = 6\vec{d}$ का अर्थ है कि सदिश दिशा के अनुसार $\vec{S} = 6\vec{AO}$ है। अतः $p=3, q=6$ है।