MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) मान लीजिए $V$ कथन 'वोल्टेज बढ़ता है' है और $C$ कथन 'धारा घटती है' है।
तब कथन इस प्रकार हैं:
$p: V \implies C$
$q: \neg V \implies \neg C$
$r: C \implies V$
$s: \neg C \implies \neg V$
$1$. एक निहितार्थ $A \implies B$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ होता है, और वे तार्किक रूप से समतुल्य होते हैं।
$2$. $p: V \implies C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $\neg C \implies \neg V$ है, जो $s$ है। अतः, $p \equiv s$।
$3$. $q: \neg V \implies \neg C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $\neg(\neg C) \implies \neg(\neg V)$ है, जो सरल होकर $C \implies V$ बनता है, जो $r$ है। अतः, $q \equiv r$।
इसलिए, समान अर्थ वाले युग्म $(p, s)$ और $(q, r)$ हैं।

(B) माना $A = (p \land q)$ और $B = (\sim p \lor r)$ है।
दिया गया कथन पैटर्न $(A \to B) \lor (B \to A)$ के रूप में है।
हम जानते हैं कि प्रतिबन्धन $(A \to B)$ तार्किक रूप से $(\sim A \lor B)$ के समतुल्य है।
अतः, व्यंजक $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ हो जाता है।
तर्क के साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों द्वारा, हम इसे $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।
चूंकि $(\sim A \lor A)$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है और $(\sim B \lor B)$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है, व्यंजक $T \lor T$ हो जाता है।
दो पुनरुक्तियों का वियोजन एक पुनरुक्ति $(T)$ होता है।
इसलिए, कथन पैटर्न एक पुनरुक्ति है।

(A) माना दिया गया कथन $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ है।
निहितार्थ नियम $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर, हमें $S \equiv \sim(p \land q) \lor ((p \lor r) \to \sim q)$ प्राप्त होता है।
दूसरे भाग पर पुनः नियम लागू करने पर: $S \equiv \sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q)$।
$S$ का निषेध $\sim S \equiv \sim(\sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q))$ है।
डी मॉर्गन के नियम द्वारा, $\sim S \equiv (p \land q) \land \sim(\sim(p \lor r) \lor \sim q)$।
$\sim S \equiv (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$।
चूंकि $(p \land q) \land q \equiv p \land q$, इसलिए $\sim S \equiv (p \land q) \land (p \lor r)$।
चूंकि $(p \land q) \implies p$, और $p \implies (p \lor r)$, व्यंजक सरल होकर $p \land q$ हो जाता है।

(C) चरण $1$: $S_1$ का विश्लेषण करें। $n=1$ के लिए, $1^2+1+2 = 4$, जो $4$ से विभाज्य है। अतः, $S_1$ सत्य है।
चरण $2$: $S_2$ का विश्लेषण करें। $x=1$ के लिए, $1-17 = -16 < 20$। अतः, $S_2$ सत्य है।
चरण $3$: $S_3$ का विश्लेषण करें। समीकरण $x^2+3x-10=0$ का गुणनखंड $(x+5)(x-2)=0$ है, जिससे $x=-5$ या $x=2$ प्राप्त होता है। यह सभी $n \in N$ के लिए सत्य नहीं है। अतः, $S_3$ असत्य है।
चरण $4$: $S_4$ का विश्लेषण करें। सभी $n \in N$ के लिए, $n \ge 1$, इसलिए $n^2 \ge 1$। अतः, $S_4$ सत्य है।
चरण $5$: केवल $S_3$ असत्य है। इसलिए, सही विकल्प $C$ है।

(A) $1$. दिया गया कथन $p \lor q$ है।
$2$. एक कथन $p \implies q$ का विलोम $q \implies p$ होता है। हालाँकि, एक साधारण वियोजन (disjunction) $p \lor q$ के लिए, विलोम को $q \lor p$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$3$. चूँकि $p \lor q$ तार्किक रूप से $q \lor p$ के समतुल्य है (क्रमविनिमेय नियम), इसलिए $p \lor q$ का विलोम स्वयं $p \lor q$ ही है।
$4$. $p \lor q$ का निषेध $\sim(p \lor q)$ है।
$5$. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$।

(D) कथन $A \to B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ होता है।
यहाँ, $A = [p \lor (p \to q)]$ और $B = (p \land \sim q)$ है।
चरण $1$: $\sim B = \sim (p \land \sim q) = (\sim p \lor \sim (\sim q)) = (\sim p \lor q)$ ज्ञात करें।
चरण $2$: $\sim A = \sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q)$ ज्ञात करें।
चूँकि $\sim (p \to q) = (p \land \sim q)$, इसलिए $\sim A = \sim p \land (p \land \sim q)$ है।
चरण $3$: प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ है, जो $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ है।

(D) चरण $1$: $(I)$ का विश्लेषण करें। निर्यात के नियम का उपयोग करते हुए, $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$। अतः, $(I)$ सही है।
चरण $2$: $(II)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। यह $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ के बराबर नहीं है। अतः, $(II)$ गलत है।
चरण $3$: $(III)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (p \to r) \land (\sim q \to r)$। अतः, $(III)$ सही है।
चरण $4$: $(IV)$ का विश्लेषण करें। $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। अतः, $(IV)$ सही है।
नोट: दिए गए विकल्पों में $(I)$, $(III)$ और $(IV)$ का संयोजन नहीं है। विकल्पों का पुनर्मूल्यांकन करने पर, $(I)$ और $(IV)$ निश्चित रूप से सही हैं। इसलिए, $(D)$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(C) चरण $1$: दिए गए व्यंजक $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ को सरल करें।
चरण $2$: पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करें: $(\sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$।
चरण $3$: चूंकि $(q \lor \sim q) \equiv T$, व्यंजक $(\sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ बन जाता है।
चरण $4$: वितरण नियम को पुनः लागू करें: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$।
चरण $5$: दिया गया सत्य मान $F$ है, अतः $\sim p \lor \sim q \equiv F$। इसका अर्थ है $\sim p \equiv F$ (अर्थात $p \equiv T$) और $\sim q \equiv F$ (अर्थात $q \equiv T$)।
चरण $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor \sim T) \equiv (T \lor F) \equiv T$ का मूल्यांकन करें।
चरण $7$: $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ का मूल्यांकन करें।
चरण $8$: सत्य मान $T, T$ हैं।

(A) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है।
चरण $1$: विकल्प $A$ का विश्लेषण करें: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
यदि $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
यदि $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
यदि $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
यदि $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
चूंकि सभी मान $T$ हैं, विकल्प $A$ एक पुनरुक्ति है।

(A) माना दिया गया व्यंजक $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ है।
चरण $1$: मध्य कोष्ठक को सरल करें। व्यंजक $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$, $p \oplus q$ (exclusive $OR$) की परिभाषा है।
चरण $2$: इसे $S$ में प्रतिस्थापित करें: $S = (p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$।
चरण $3$: $\sim q$ को व्यंजक में वितरित करें। चूँकि $(p \lor q) \land \sim q$, $(p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)$ के समतुल्य है, और $(q \land \sim q)$ का मान $F$ (असत्य) है, यह $(p \land \sim q)$ में सरल हो जाता है।
चरण $4$: अब हमारे पास $S = (p \land \sim q) \land (p \oplus q)$ है।
चरण $5$: $p \oplus q$ को $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$ के रूप में विस्तारित करें। अतः, $S = (p \land \sim q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$।
चरण $6$: वितरण नियम द्वारा, $S = [(p \land \sim q) \land (\sim p \land q)] \lor [(p \land \sim q) \land (p \land \sim q)]$।
चरण $7$: पहला भाग $(p \land \sim q \land \sim p \land q)$, $F$ है क्योंकि $(p \land \sim p)$ का मान $F$ है। दूसरा भाग $(p \land \sim q)$ है। अतः, $S = F \lor (p \land \sim q) = p \land \sim q$।

(D) संचय ${}^{n}C_{r}$ को परिभाषित होने के लिए, $n$ और $r$ को ऋणेतर पूर्णांक होना चाहिए ताकि $n \ge r \ge 0$ हो।
$1$. $n \ge 0 \implies 10 - x \ge 0 \implies x \le 10$।
$2$. $r \ge 0 \implies x - 6 \ge 0 \implies x \ge 6$।
$3$. $n \ge r \implies 10 - x \ge x - 6 \implies 16 \ge 2x \implies x \le 8$।
इन शर्तों को मिलाने पर: $6 \le x \le 8$ और $x$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
अतः, $x \in \{6, 7, 8\}$।
इसलिए, सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है $y = \log_x x$।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, $x > 0$ और $x \neq 1$ के लिए $\log_a a = 1$ होता है।
अतः, $y = 1$।
$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1) = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = (0)^2 = 0$।

(B) $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होने के लिए, $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0} \frac{(256 - 8x)^{\frac{1}{4}} - 4}{16 - 4(64 + 3x)^{\frac{1}{3}}} = \lim_{x \to 0} \frac{4(1 - \frac{8x}{256})^{\frac{1}{4}} - 4}{16 - 16(1 + \frac{3x}{64})^{\frac{1}{3}}} = \lim_{x \to 0} \frac{4(1 - \frac{x}{32})^{\frac{1}{4}} - 4}{16 - 16(1 + \frac{3x}{64})^{\frac{1}{3}}}$।
द्विपद सन्निकटन $(1 + u)^n \approx 1 + nu$ का उपयोग करने पर:
अंश: $4(1 + \frac{1}{4} \cdot (-\frac{x}{32})) - 4 = 4 - \frac{x}{32} - 4 = -\frac{x}{32}$।
हर: $16 - 16(1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{3x}{64}) = 16 - 16 - \frac{16x}{64} = -\frac{x}{4}$।
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x}{32}}{-\frac{x}{4}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$।

(C) चरण $1$: भुजाओं $OA$ और $OB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
$OA = \sqrt{(-1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5}$, $OB = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{10}$।
चरण $2$: कोण समद्विभाजक प्रमेय का उपयोग करें। बिंदु $D$, $AB$ को $OA:OB = 1:\sqrt{2}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चरण $3$: विभाजन सूत्र का उपयोग करके $D$ के निर्देशांक ज्ञात करें:
$D = \left( \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}, \frac{3+2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \right)$।
चरण $4$: $OD$ की लंबाई ज्ञात करें:
$OD = \frac{\sqrt{20+10\sqrt{2}}}{1+\sqrt{2}}$।
चरण $5$: $AB$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$।
चरण $6$: $OD \cdot AB = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{20+10\sqrt{2}}}{1+\sqrt{2}} = 5(\sqrt{2}+1)$।

(B) एक चतुष्फलक जिसके शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$, $(x_3, y_3, z_3)$, और $(x_4, y_4, z_4)$ हैं, का केंद्रक $G$ $(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $O(0, 0, 0)$, $A(a, 2, 3)$, $B(1, b, 2)$, $C(2, 1, c)$ और केंद्रक $G(1, 2, -1)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{0+a+1+2}{4} = 1 \implies a+3 = 4 \implies a = 1$।
$\frac{0+2+b+1}{4} = 2 \implies b+3 = 8 \implies b = 5$।
$\frac{0+3+2+c}{4} = -1 \implies c+5 = -4 \implies c = -9$।
अतः, $P = (1, 5, -9)$।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $P$ की दूरी $\sqrt{1^2 + 5^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 25 + 81} = \sqrt{107}$ इकाई है।

(A) दी गई असमिकाओं को संतुष्ट करने वाले क्षेत्र को ज्ञात करने के लिए:
$1$. $y - x \geq 2$ के लिए: सीमा रेखा $y = x + 2$ है। मूल बिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करने पर, हमें $0 - 0 \geq 2$ प्राप्त होता है, जो असत्य है। अतः, क्षेत्र रेखा के उस ओर स्थित है जिसमें मूल बिंदु शामिल नहीं है।
$2$. $x + y \leq 5$ के लिए: सीमा रेखा $x + y = 5$ है। मूल बिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करने पर, हमें $0 + 0 \leq 5$ प्राप्त होता है, जो सत्य है। अतः, क्षेत्र रेखा के उस ओर स्थित है जिसमें मूल बिंदु शामिल है।
$3$. $x \geq 0$ और $y \geq 0$ क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करते हैं।
$4$. इन सबको मिलाने पर, क्षेत्र रेखाओं $y = x + 2$, $x + y = 5$, और $y$-अक्ष $(x=0)$ द्वारा घिरा एक त्रिभुज है।
$5$. दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, चित्र $A$ में छायांकित क्षेत्र इस त्रिभुजाकार क्षेत्र को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) $1$. छायांकित क्षेत्र की परिसीमा रेखाओं की पहचान करें:
- $(1, 0)$ और $(0, 2)$ से गुजरने वाली रेखा: समीकरण $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} = 1$ है, जो $2x + y = 2$ में सरल होता है। चूँकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के ऊपर है, असमिका $2x + y \geq 2$ है।
- $(1, 0)$ और $(0, -1)$ से गुजरने वाली रेखा: समीकरण $y - 0 = \frac{-1 - 0}{0 - 1}(x - 1)$ है, जो $y = x - 1$ या $x - y = 1$ में सरल होता है। चूँकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के बाईं ओर है, असमिका $x - y \leq 1$ है।
- $(0, 4)$ और $(4, 0)$ से गुजरने वाली रेखा (प्रतिच्छेदन $B(10/3, 7/3)$ द्वारा): रेखा $x + 2y = 8$ है। चूँकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे है, असमिका $x + 2y \leq 8$ है।
$2$. इन्हें $x \geq 0, y \geq 0$ के साथ संयोजित करने पर, हमें निकाय प्राप्त होता है: $2x + y \geq 2, x - y \leq 1, x + 2y \leq 8, x \geq 0, y \geq 0$।
$3$. यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(B) चरण $1$: सीमा रेखाओं की पहचान करें।
रेखा $1$: $y - x = 2$ ($(0, 2)$ और $(-2, 0)$ से गुजरती है)।
रेखा $2$: $x + y = 5$ ($(0, 5)$ और $(5, 0)$ से गुजरती है)।
रेखा $3$: $x = 0$ ($y$-अक्ष)।
रेखा $4$: $y = 0$ ($x$-अक्ष)।
चरण $2$: सुसंगत क्षेत्र निर्धारित करें।
क्षेत्र $y - x \geq 2$, रेखा $y = x + 2$ के ऊपर स्थित है।
क्षेत्र $x + y \leq 5$, रेखा $x + y = 5$ के नीचे स्थित है।
क्षेत्र $x \geq 0$ और $y \geq 0$ प्रथम चतुर्थांश है।
चरण $3$: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
$y - x = 2$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन: समीकरणों को जोड़ने पर $2y = 7$, अतः $y = 3.5$। तब $x = 1.5$। बिंदु $(1.5, 3.5)$ है।
$y - x = 2$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 2)$ है।
$x + y = 5$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 5)$ है।
चरण $4$: यह क्षेत्र $(0, 2)$, $(0, 5)$, और $(1.5, 3.5)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है। चूँकि यह क्षेत्र इन रेखाओं द्वारा घिरा हुआ है, इसलिए यह परिबद्ध है।

(C) $1$. छायांकित क्षेत्र की परिसीमा रेखाओं की पहचान करें:
- $(0, 2)$ और $(1, 0)$ से गुजरने वाली रेखा: समीकरण $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} = 1 \implies 2x + y = 2$ है। चूँकि छायांकित क्षेत्र रेखा के ऊपर है, असमिका $2x + y \geq 2$ है।
- $(1, 0)$ और $(10/3, 7/3)$ से गुजरने वाली रेखा: ढाल $m = \frac{7/3 - 0}{10/3 - 1} = \frac{7/3}{7/3} = 1$ है। समीकरण $y - 0 = 1(x - 1) \implies x - y = 1$ है। चूँकि छायांकित क्षेत्र रेखा के बाईं ओर है, असमिका $x - y \leq 1$ है।
- $(0, 4)$ और $(10/3, 7/3)$ से गुजरने वाली रेखा: ढाल $m = \frac{7/3 - 4}{10/3 - 0} = \frac{-5/3}{10/3} = -1/2$ है। समीकरण $y - 4 = -1/2(x - 0) \implies 2y - 8 = -x \implies x + 2y = 8$ है। चूँकि छायांकित क्षेत्र रेखा के नीचे है, असमिका $x + 2y \leq 8$ है।
$2$. ऋणेतर प्रतिबंध $x \geq 0, y \geq 0$ हैं।
$3$. इन्हें संयोजित करने पर, निकाय $2x + y \geq 2, x - y \leq 1, x + 2y \leq 8, x \geq 0, y \geq 0$ प्राप्त होता है। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(A) माना $P(A)$, $P(B)$, और $P(C)$ क्रमशः जहाजों $A$, $B$, और $C$ के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकताएँ हैं।
पक्ष में संयोगानुपात $2:5$, $3:7$, और $6:11$ दिए गए हैं।
$P(A) = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$, $P(A') = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$।
$P(B) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$, $P(B') = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$।
$P(C) = \frac{6}{6+11} = \frac{6}{17}$, $P(C') = 1 - \frac{6}{17} = \frac{11}{17}$।
ठीक दो जहाजों के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकता $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C)$ है।
$= (\frac{2}{7} \times \frac{3}{10} \times \frac{11}{17}) + (\frac{2}{7} \times \frac{7}{10} \times \frac{6}{17}) + (\frac{5}{7} \times \frac{3}{10} \times \frac{6}{17})$।
$= \frac{66}{1190} + \frac{84}{1190} + \frac{90}{1190} = \frac{240}{1190} = \frac{24}{119}$।

(B) माना $P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.5$, $P(C) = 0.4$ है।
दिए गए प्रतिच्छेदन: $P(A \cap B) = 0.3$, $P(B \cap C) = 0.2$, $P(A \cap C) = 0.2$, $P(A \cap B \cap C) = 0.1$ है।
ठीक एक परीक्षा में सफल होने की प्रायिकता का सूत्र है: $P(\text{ठीक एक}) = P(A) + P(B) + P(C) - 2[P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(A \cap C)] + 3P(A \cap B \cap C)$।
मान रखने पर: $P(\text{ठीक एक}) = 0.6 + 0.5 + 0.4 - 2[0.3 + 0.2 + 0.2] + 3[0.1]$।
$P(\text{ठीक एक}) = 1.5 - 2[0.7] + 0.3$।
$P(\text{ठीक एक}) = 1.5 - 1.4 + 0.3 = 0.4$।

(C) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ हैं।
एक गड्डी में $12$ फेस कार्ड $(J, Q, K)$ और $4$ इक्के होते हैं।
$12$ में से $1$ फेस कार्ड चुनने के तरीके $^{12}C_1 = 12$ हैं।
$4$ में से $1$ इक्का चुनने के तरीके $^4C_1 = 4$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $12 \times 4 = 48$ है।
प्रायिकता $\frac{48}{1326} = \frac{24}{663} = \frac{8}{221}$ है।

(B) एक निष्पक्ष पासे का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है, इसलिए $n(S) = 6$ है।
घटना $A$: संख्या एक गैर-सम अभाज्य संख्या है। पासे पर एकमात्र गैर-सम अभाज्य संख्याएँ $3$ और $5$ हैं। अतः, $A = \{3, 5\}$ और $n(A) = 2$ है।
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है। अतः, कथन $p$ सत्य $(T)$ है।
घटना $B$: संख्या एक विषम संख्या है। अतः, $B = \{1, 3, 5\}$ और $n(B) = 3$ है।
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$: $A$ और $B$ दोनों में संख्याएँ $\{3, 5\}$ हैं, इसलिए $n(A \cap B) = 2$ है।
$P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
$A$ और $B$ के स्वतंत्र होने के लिए, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ का पालन होना चाहिए।
$P(A) \times P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ है।
चूँकि $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{6}$, इसलिए $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$ है। अतः, कथन $q$ असत्य $(F)$ है।
सत्य मान $T, F$ हैं।

(B) चरण $1$: $30$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $\binom{30}{3} = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060$ हैं।
चरण $2$: न्यूनतम $10$ और अधिकतम $26$ होने के लिए, एक संख्या $10$ होनी चाहिए, एक $26$ होनी चाहिए, और तीसरी संख्या $x$ को $10 < x < 26$ को संतुष्ट करना चाहिए।
चरण $3$: $10$ और $26$ के बीच की संख्याएँ $\{11, 12, \dots, 25\}$ हैं। इन संख्याओं की कुल संख्या $26 - 10 - 1 = 15$ है।
चरण $4$: अनुकूल परिणामों की संख्या $15$ है।
चरण $5$: प्रायिकता $\frac{15}{4060} = \frac{3}{812}$ है।

(D) मान लीजिए उन्नयन कोण $\alpha$, $\beta$, और $\gamma$ हैं। पेड़ की ऊँचाई $p$ है।
$L$ लंबाई की छाया के लिए, $\tan(\theta) = \frac{p}{L}$।
छाया $p$ के लिए: $\tan(\alpha) = \frac{p}{p} = 1 \implies \alpha = \frac{\pi}{4}$।
छाया $2p$ के लिए: $\tan(\beta) = \frac{p}{2p} = \frac{1}{2}$।
छाया $3p$ के लिए: $\tan(\gamma) = \frac{p}{3p} = \frac{1}{3}$।
हमें $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4} + \arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3})$ ज्ञात करना है।
सूत्र $\arctan(x) + \arctan(y) = \arctan(\frac{x+y}{1-xy})$ का उपयोग करते हुए:
$\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) = \arctan(\frac{1/2 + 1/3}{1 - 1/6}) = \arctan(\frac{5/6}{5/6}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$।
अतः, $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$।

(A) $1$. क्षेत्र $y = x^2$, $y = 8/x$, और $y = 1$ द्वारा परिबद्ध है।
$2$. प्रतिच्छेदन बिंदु: $x^2 = 1 \implies x = 1$, $8/x = 1 \implies x = 8$, और $x^2 = 8/x \implies x = 2$।
$3$. क्षेत्रफल $A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (8/x - 1) dx$ है।
$4$. $\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [x^3/3 - x]_{1}^{2} = 4/3$।
$5$. $\int_{2}^{8} (8/x - 1) dx = [8 \ln|x| - x]_{2}^{8} = 16 \ln 2 - 6$।
$6$. कुल क्षेत्रफल $= 16 \ln 2 - 14/3$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y + 5$ है।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y + 5} = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y + 5} = \int dx \implies \log|y + 5| = x + C$।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 4$ का उपयोग करने पर: $\log|4 + 5| = 0 + C \implies C = \log 9$।
अतः, $\log|y + 5| = x + \log 9$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\log|y + 5| - \log 9 = x \implies \log|\frac{y + 5}{9}| = x$।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $\frac{y + 5}{9} = e^x \implies y = 9e^x - 5$।
अब, $y(\log 2)$ की गणना करें: $y(\log 2) = 9e^{\log 2} - 5$।
चूंकि $e^{\log 2} = 2$, हमें प्राप्त होता है $y(\log 2) = 9(2) - 5 = 18 - 5 = 13$।

(C) चरण $1$: सारणिक का विस्तार करने पर: $f(x)f''(x) - (f'(x))^2 = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: यह $\frac{f(x)f''(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2} = 0$ के बराबर है, जो $\frac{f'(x)}{f(x)}$ का अवकलज है।
चरण $3$: दोनों पक्षों का समाकलन करने पर $\frac{f'(x)}{f(x)} = c$ प्राप्त होता है, जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
चरण $4$: प्रारंभिक स्थितियों $f(0) = 1$ और $f'(0) = 2$ का उपयोग करने पर, $c = \frac{f'(0)}{f(0)} = \frac{2}{1} = 2$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: अतः, $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2$, जिसका अर्थ है $f'(x) = 2f(x)$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{x-y} + x^2e^{-y}$
समीकरण को इस प्रकार लिखें: $\frac{dy}{dx} = e^{-y}(e^x + x^2)$
चरों को पृथक करने पर: $e^y \ dy = (e^x + x^2) \ dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^y \ dy = \int (e^x + x^2) \ dx$
$e^y = e^x + \frac{x^3}{3} + c$

(B) दिया गया समीकरण: $e^{-x}(y + 1)dy + (\cos^2 x - \sin 2x)y dx = 0$
$y e^{-x}$ से भाग देने पर: $\frac{y+1}{y} dy + e^x (\cos^2 x - \sin 2x) dx = 0$
$(1 + \frac{1}{y}) dy + e^x \cos^2 x dx - e^x \sin 2x dx = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 + \frac{1}{y}) dy + \int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = C$
चूँकि $\int e^x \cos^2 x dx = \int e^x (\frac{1 + \cos 2x}{2}) dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx$
सूत्र $\int e^x \cos 2x dx = \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2 \sin 2x)$ का उपयोग करने पर:
$\int e^x \cos^2 x dx = \frac{e^x}{2} + \frac{e^x}{10} (\cos 2x + 2 \sin 2x) = \frac{e^x}{10} (5 + \cos 2x + 2 \sin 2x)$
तथा $\int e^x \sin 2x dx = \frac{e^x}{5} (\sin 2x - 2 \cos 2x)$
मान रखने पर: $y + \log y + \frac{e^x}{10} (5 + \cos 2x + 2 \sin 2x - 2 \sin 2x + 4 \cos 2x) = C$
$y + \log y + \frac{e^x}{10} (5 + 5 \cos 2x) = C \implies y + \log y + e^x \frac{1 + \cos 2x}{2} = C \implies y + \log y + e^x \cos^2 x = C$
$x = 0, y = 1$ पर: $1 + \log 1 + e^0 \cos^2 0 = C \implies 1 + 0 + 1(1) = C \implies C = 2$
अंतिम हल: $y + \log y + e^x \cos^2 x = 2$

(A) माना $v = x + y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$।
$\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v + \cos v$।
$\frac{dv}{1 + \sin v + \cos v} = dx$।
अर्ध-कोण सूत्रों $\sin v = \frac{2 \tan(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ और $\cos v = \frac{1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ का उपयोग करने पर:
$1 + \sin v + \cos v = 1 + \frac{2 \tan(v/2) + 1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)} = \frac{2(1 + \tan(v/2))}{\sec^2(v/2)}$।
अतः, $\int \frac{\sec^2(v/2) dv}{2(1 + \tan(v/2))} = \int dx$।
माना $u = 1 + \tan(v/2)$, तब $du = \frac{1}{2} \sec^2(v/2) dv$ है।
समाकलन $\int \frac{du}{u} = \int dx$ हो जाता है, जिससे $\log |u| = x + c$ प्राप्त होता है।
मान वापस रखने पर, $\log |1 + \tan(\frac{x+y}{2})| = x + c$।

(C) माना समय $t$ पर संपत्ति $A$ है। घटने की दर $\frac{dA}{dt} = -k\sqrt{A}$ द्वारा दी गई है, जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dA}{\sqrt{A}} = -k dt$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $2\sqrt{A} = -kt + C$।
$t = 0$ पर, $A = 10000$, इसलिए $2\sqrt{10000} = C \implies C = 200$।
अतः, $2\sqrt{A} = 200 - kt$।
$t = 2$ पर, $A = 5625$, इसलिए $2\sqrt{5625} = 200 - 2k \implies 2(75) = 200 - 2k \implies 150 = 200 - 2k \implies 2k = 50 \implies k = 25$।
समीकरण $2\sqrt{A} = 200 - 25t$ बन जाता है।
दिवालिया होने के लिए, $A = 0$, इसलिए $0 = 200 - 25t \implies 25t = 200 \implies t = 8$ वर्ष।

(C) माना $f(x)$ घात $n$ का एक बहुपद है। तब $f'(x)$ की घात $n-1$ है।
दिया गया है $f(x) = [f'(x)]^2$, घातों की तुलना करने पर: $n = 2(n-1) \implies n = 2n - 2 \implies n = 2$।
माना $f(x) = a(x-h)^2$।
तब $f'(x) = 2a(x-h)$।
दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $a(x-h)^2 = [2a(x-h)]^2 = 4a^2(x-h)^2$।
गुणांकों की तुलना करने पर: $a = 4a^2 \implies a = 1/4$ (चूंकि $a \neq 0$)।
दिया गया है $f(2) = 0$, इसलिए $h = 2$।
अतः, $f(x) = \frac{1}{4}(x-2)^2$।
$f(-2)$ की गणना करने पर: $f(-2) = \frac{1}{4}(-2-2)^2 = \frac{1}{4}(-4)^2 = \frac{16}{4} = 4$।

(C) माना $v = 9x + y + 5$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dv}{dx} = 9 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 9$ प्राप्त होता है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 9 = v^2$।
$\frac{dv}{dx} = v^2 + 9$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{dv}{v^2 + 3^2} = \int dx$।
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{v}{3}) = x + c$ प्राप्त होता है।
$v$ का मान वापस रखने पर: $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{9x + y + 5}{3}) = x + c$।

(B) दी गई प्रवणता $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x^2 + x} = \frac{y - 1}{x(x + 1)}$ है।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{dy}{y - 1} = \int \frac{dx}{x(x + 1)}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$।
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है, $x = 1, y = 0$ रखने पर: $\ln|0 - 1| = \ln|\frac{1}{1 + 1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$।
अतः, $\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x + 1}|$।
घातांक लेने पर: $y - 1 = \frac{2x}{x + 1} \implies (y - 1)(x + 1) = 2x$।

(B) विघटन की दर $\frac{dM}{dt} = -kM$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करने पर, $\frac{dM}{M} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int \frac{dM}{M} = \int -k dt$, जिससे $\ln M = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर, $M = M_0 = 1.5 \text{ g}$, इसलिए $C = \ln(1.5)$ है।
अतः, $\ln M = -kt + \ln(1.5)$, या $\ln(\frac{M}{1.5}) = -kt$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $M = 0.5 \text{ g}$ हो।
मान रखने पर, $\ln(\frac{0.5}{1.5}) = -kt$ प्राप्त होता है।
$\ln(\frac{1}{3}) = -kt$, जिसका अर्थ है $-\ln 3 = -kt$ है।
इसलिए, $t = \frac{1}{k} \ln 3$ या $\frac{1}{k} \log_e 3$ है।

(B) माना $x + y = v$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos(v)$।
$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos(v) = 2 \cos^2 \left( \frac{v}{2} \right)$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{2 \cos^2 \left( \frac{v}{2} \right)} = dx$।
$\frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{v}{2} \right) dv = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{v}{2} \right) dv = \int dx$।
$\tan \left( \frac{v}{2} \right) = x + c$।
$v = x + y$ वापस रखने पर: $\tan \left( \frac{x + y}{2} \right) = x + c$।

(D) माना $p = \frac{dy}{dx}$ है। दिया गया समीकरण $p^2 = 6 - p$ है, जिसे $p^2 + p - 6 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर, हमें $(p + 3)(p - 2) = 0$ प्राप्त होता है, अतः $p = 2$ या $p = -3$ है।
चूँकि $y = f(x)$ एक एकदिष्ट वर्धमान फलन है, इसलिए $\frac{dy}{dx} \ge 0$ होना चाहिए, अतः $p = 2$ होगा।
$\frac{dy}{dx} = 2$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें $y = 2x + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 5$ का उपयोग करने पर, हमें $5 = 2(0) + C$ मिलता है, जिससे $C = 5$ प्राप्त होता है।
अतः, फलन $y = 2x + 5$ है।
$x = 3$ पर मान ज्ञात करने पर, $y(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $x \sin x + y^3 = 4ax$ $(1)$
$x$ से भाग देने पर: $\sin x + \frac{y^3}{x} = 4a$ $(2)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos x + \frac{x(3y^2 \frac{dy}{dx}) - y^3(1)}{x^2} = 0$
$x^2$ से गुणा करने पर: $x^2 \cos x + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - y^3 = 0$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर: $3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3 - x^2 \cos x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 - x^2 \cos x}{3xy^2}$

(A) दिया गया समीकरण: $3y = x^{1/3} + c$
चरण $1$: दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर।
$\frac{d}{dx}(3y) = \frac{d}{dx}(x^{1/3} + c)$
चरण $2$: घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का प्रयोग करें।
$3 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{(1/3 - 1)} + 0$
$3 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} x^{-2/3}$
चरण $3$: $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात करें।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{9} x^{-2/3} = \frac{1}{9x^{2/3}}$
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{a + bx}{c + dy}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $(c + dy) dy = (a + bx) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int (c + dy) dy = \int (a + bx) dx$।
यह $cy + \frac{d}{2} y^2 = ax + \frac{b}{2} x^2 + C$ देता है।
समीकरण के मूल बिंदु पर केंद्रित वृत्तों के परिवार को दर्शाने के लिए, समीकरण $x^2 + y^2 = R^2$ के रूप में होना चाहिए।
पदों की तुलना करने पर, $a = 0$ और $c = 0$ होना चाहिए।
इन्हें प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{d}{2} y^2 = \frac{b}{2} x^2 + C$ प्राप्त होता है, जो $d y^2 - b x^2 = 2C$ में सरल हो जाता है।
इसे वृत्त होने के लिए, $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए और उनका चिह्न भी समान होना चाहिए। अतः, $d = -b$, जिसका अर्थ है $b + d = 0$।

(A) दिया गया समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x^3 y^6$ है।
$x y^6$ से भाग देने पर: $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x y^5} = x^2$ प्राप्त होता है।
माना $v = y^{-5}$, तब $\frac{dv}{dx} = -5 y^{-6} \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5} \frac{dv}{dx}$ है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{5} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = x^2$ प्राप्त होता है।
$-5$ से गुणा करने पर: $\frac{dv}{dx} - \frac{5}{x} v = -5 x^2$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{5}{x} dx} = e^{-5 \ln x} = x^{-5}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx} (v x^{-5}) = -5 x^2 \cdot x^{-5} = -5 x^{-3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $v x^{-5} = \int -5 x^{-3} dx = -5 \frac{x^{-2}}{-2} + c = \frac{5}{2} x^{-2} + c$ प्राप्त होता है।
$x^5$ से गुणा करने पर: $v = \frac{5}{2} x^3 + c x^5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v = y^{-5}$, अतः हल $y^{-5} = \frac{5}{2} x^3 + c x^5$ है।

(C) चरण $1$: अवकल समीकरण को रैखिक अवकल समीकरण के रूप में लिखें: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{2x}y = \frac{3}{2x}$।
चरण $2$: समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{2x} dx} = e^{-\frac{1}{2} \ln|x|} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ज्ञात करें।
चरण $3$: समीकरण को $IF$ से गुणा करें: $\frac{d}{dx} (y \cdot x^{-1/2}) = \frac{3}{2x} \cdot x^{-1/2} = \frac{3}{2} x^{-3/2}$।
चरण $4$: दोनों पक्षों का समाकलन करें: $y \cdot x^{-1/2} = \int \frac{3}{2} x^{-3/2} dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -3x^{-1/2} + C$।
चरण $5$: $\sqrt{x}$ से गुणा करने पर $y = -3 + C\sqrt{x}$ प्राप्त होता है, जिसे $y + 3 = C\sqrt{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $(y+3)^2 = C^2 x$ प्राप्त होता है, जो परवलयों के एक परिवार को निरूपित करता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$ है।
इसे इस प्रकार लिखें: $\frac{dx}{dy} = x + y$।
यह $\frac{dx}{dy} - x = y$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ, $P = -1$ और $Q = y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
हल $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ द्वारा दिया जाता है।
$x e^{-y} = \int y e^{-y} dy + c$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int y e^{-y} dy = y(-e^{-y}) - \int 1(-e^{-y}) dy = -y e^{-y} - e^{-y} + c$।
अतः, $x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} + c$।
$e^y$ से गुणा करने पर: $x = -y - 1 + c e^y$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x + y + 1 = c e^y$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 \frac{dy}{dx} - xy = 1$
$x^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^2}$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = -\frac{1}{x}$ और $Q = \frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$ है।
हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।
$y(\frac{1}{x}) = \int \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x} dx + c = \int x^{-3} dx + c$ है।
$\frac{y}{x} = \frac{x^{-2}}{-2} + c = -\frac{1}{2x^2} + c$ है।
$2x^2$ से गुणा करने पर: $2xy = -1 + 2cx^2$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy - 2cx^2 + 1 = 0$।

(A) दिया गया समीकरण: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} = y$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y} = \frac{x}{y} + 2y^2$
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 2y^2$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \ dy + c$ है।
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y^2) \cdot \frac{1}{y} \ dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 2y \ dy + c$
$\frac{x}{y} = y^2 + c$
$x = y(y^2 + c) = (c + y^2)y$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $(x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = -(1 + t^2)$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर, $\frac{dx}{dt} = -\frac{x - e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2} = -\frac{x}{1 + t^2} + \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$।
यह $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ और $Q(t) = \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(t) dt} = e^{\int \frac{1}{1 + t^2} dt} = e^{\tan^{-1} t}$ द्वारा दिया जाता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} + 4 \frac{dy}{dx} + 3y = 0$ है और हल $y = e^{-mx}$ है।
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = -m e^{-mx}$।
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = m^2 e^{-mx}$।
इन्हें अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$m^2 e^{-mx} + 4(-m e^{-mx}) + 3(e^{-mx}) = 0$।
चूंकि $e^{-mx} \neq 0$, हम $e^{-mx}$ से विभाजित कर सकते हैं:
$m^2 - 4m + 3 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(m - 1)(m - 3) = 0$।
अतः, $m = 1$ या $m = 3$।

(B) चरण $1$: समीकरण को $\frac{dx}{dy} + x \cos y = e^{\sin y} \cos y$ के रूप में लिखें।
चरण $2$: यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \cos y$ और $Q = e^{\sin y} \cos y$ है।
चरण $3$: समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dy} = e^{\int \cos y dy} = e^{\sin y}$ ज्ञात करें।
चरण $4$: हल $x(IF) = \int Q(IF) dy + c$ है।
चरण $5$: $x e^{\sin y} = \int (e^{\sin y} \cos y) (e^{\sin y}) dy + c = \int e^{2 \sin y} \cos y dy + c$।
चरण $6$: मान लीजिए $u = \sin y$, तो $du = \cos y dy$। समाकलन $\int e^{2u} du = \frac{e^{2u}}{2} = \frac{e^{2 \sin y}}{2}$ हो जाता है।
चरण $7$: अतः, $x e^{\sin y} = \frac{e^{2 \sin y}}{2} + c$।

(D) चरण $1$: समीकरण को $x \sin x$ से विभाजित करके रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करें।
$\frac{dy}{dx} + \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} y = \frac{1}{x}$।
चरण $2$: $P(x) = \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} = \cot x + \frac{1}{x}$ की पहचान करें।
चरण $3$: समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\cot x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sin x) + \ln x} = e^{\ln(x \sin x)} = x \sin x$ ज्ञात करें।
चरण $4$: हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$y(x \sin x) = \int \frac{1}{x} (x \sin x) dx + c$।
$xy \sin x = \int \sin x dx + c$।
$xy \sin x = -\cos x + c$।

(B) चरण $1$: अवकल समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखें।
चरण $2$: दिए गए समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ को $x$ से विभाजित करने पर $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x \log x$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $P(x) = \frac{2}{x}$ की पहचान करें।
चरण $4$: समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + x^3) \frac{dy}{dx} + 6x^2y = 1 + x^2$ है। $(1 + x^3)$ से भाग देने पर, $\frac{dy}{dx} + \frac{6x^2}{1 + x^3} y = \frac{1 + x^2}{1 + x^3}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = \frac{6x^2}{1 + x^3}$ और $Q(x) = \frac{1 + x^2}{1 + x^3}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{6x^2}{1 + x^3} dx} = e^{2 \ln(1 + x^3)} = (1 + x^3)^2$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$y(1 + x^3)^2 = \int \frac{1 + x^2}{1 + x^3} (1 + x^3)^2 dx + c = \int (1 + x^2)(1 + x^3) dx + c = \int (1 + x^3 + x^2 + x^5) dx + c$ है।
$y(1 + x^3)^2 = x + \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^6}{6} + c$ है।
इसकी तुलना $y = \frac{1}{(1 + x^3)^s} [x + \frac{x^p}{p} + \frac{x^q}{q} + \frac{x^r}{r} + c]$ से करने पर, $s = 2$ और समुच्चय $\{p, q, r\} = \{4, 3, 6\}$ प्राप्त होता है।
$2, 3, 4, 6$ का $LCM$ $12$ है।

(D) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक $(IF)$, $IF = e^{\int P \, dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $IF = \tan x$, इसलिए $e^{\int P \, dx} = \tan x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\int P \, dx = \ln(\tan x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $P = \frac{d}{dx}(\ln(\tan x))$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $P = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$।
$P = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर: $P = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$।
$P = 2 \csc 2x$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ है, जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = x^2 + 5$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot x = \int (x^2 + 5) \cdot x dx + c$।
$xy = \int (x^3 + 5x) dx + c$।
$xy = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} + c$।

(B) दिया गया है $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}$। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1 + v}{1 - v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{1 - v}{1 + v^2} dv = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$।
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C_1$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{y^2}{x^2}) + C_1 = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(\frac{x^2 + y^2}{x^2}) + C_1$।
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) - \ln|x| + C_1 = \ln((x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}) + C_1$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})} = e^{C_1} (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}$।
माना $e^{C_1} = \frac{1}{c}$, तब $c e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})} = (x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}$ या $c(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} = e^{\tan^{-1}(\frac{y}{x})}$।

(A) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर, $\frac{dx}{dy} = \frac{x + y}{y} = \frac{x}{y} + 1$।
यह $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 1$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर, हमें $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = \frac{1}{y}$ प्राप्त होता है।
$y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\frac{x}{y} = \int \frac{1}{y} dy = \ln|y| + C$।
चूंकि वक्र $(0, 1)$ से गुजरता है, $x=0$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{0}{1} = \ln(1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$।
अतः, $\frac{x}{y} = \ln y$, जिससे $x = y \ln y$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ है, जिसे $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x} \implies -\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$।
चूंकि $y = vx$, $v = y/x$, इसलिए $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$।
दिया है $y(1) = 1$, तो $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \implies C = -1/2$।
समीकरण $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -1/2$ है।
दिया है $y(x_0) = e$, तो $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -1/2 \implies -\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -1/2$।
$-\frac{x_0^2}{2e^2} = -3/2 \implies x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \pm \sqrt{3}e$।

(D) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x + y}$ है।
माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x - vx}{x + vx} = \frac{1 - v}{1 + v}$।
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 - v}{1 + v} - v = \frac{1 - 2v - v^2}{1 + v}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{1 + v}{1 - 2v - v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।
माना $u = 1 - 2v - v^2$, तब $du = -2(1 + v) dv$, अतः $(1 + v) dv = -\frac{1}{2} du$।
$-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \ln|x| + C$।
$-\frac{1}{2} \ln|1 - 2v - v^2| = \ln|x| + C$।
$1 - 2(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2 = \frac{k}{x^2}$।
$x^2 - 2xy - y^2 = k$। चूँकि $x=0, y=0$, इसलिए $k=0$।
$x^2 - 2xy - y^2 = 0$, जो सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है।

(A) चरण $1$: अवकल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: $x \, dy = -2y \, dx$।
चरण $2$: चरों को पृथक करें: $\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$।
चरण $3$: दोनों पक्षों का समाकलन करें: $\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x} \implies \ln|y| = -2 \ln|x| + C$।
चरण $4$: सरल करें: $\ln|y| = \ln|x^{-2}| + C \implies \ln|y| = \ln|\frac{1}{x^2}| + C \implies y = \frac{k}{x^2}$, जहाँ $k = e^C$ है।
चरण $5$: प्रारंभिक स्थिति $x = 2, y = 1$ लागू करें: $1 = \frac{k}{2^2} \implies 1 = \frac{k}{4} \implies k = 4$।
चरण $6$: विशिष्ट हल $y = \frac{4}{x^2}$ है, जिसे $x^2 y = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) माना $S = 4\pi r^2$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है। विस्तार की दर $\frac{dS}{dt} = kS$ है।
समाकलन करने पर, $\ln S = kt + C$, अतः $S(t) = S_0 e^{kt}$।
$t = 0$ पर, $r = 2 \text{ cm}$, अतः $S_0 = 4\pi(2)^2 = 16\pi$।
$t = 5$ पर, $r = 7 \text{ cm}$, अतः $S(5) = 4\pi(7)^2 = 196\pi$।
$196\pi = 16\pi e^{5k} \implies e^{5k} = \frac{196}{16} = \frac{49}{4} = 12.25$।
$e^k = (12.25)^{1/5}$।
$t = 12$ पर, $S(12) = S_0 e^{12k} = 16\pi (e^{5k})^{12/5} = 16\pi (12.25)^{12/5}$।
$12.25^{2.4} \approx 49$ का उपयोग करने पर, $S(12) = 16\pi \times 49 = 784\pi$।
$784 \times \frac{22}{7} = 112 \times 22 = 2464 \text{ cm}^2$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y + 5$ है।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y + 5} = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y + 5} = \int dx \implies \log|y + 5| = x + C$।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 4$ का उपयोग करने पर: $\log|4 + 5| = 0 + C \implies C = \log 9$।
अतः, $\log|y + 5| = x + \log 9 \implies \log|y + 5| = \log(9e^x)$।
इसलिए, $y + 5 = 9e^x \implies y = 9e^x - 5$।
अब, $y(\log 2)$ का मान ज्ञात करने पर: $y(\log 2) = 9e^{\log 2} - 5 = 9(2) - 5 = 18 - 5 = 13$।

(C) दिया गया सारणिक समीकरण $f(x)f''(x) - (f'(x))^2 = 0$ है।
इसे $\frac{f(x)f''(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, जो $\frac{f'(x)}{f(x)}$ का अवकलज है।
अतः, $\frac{d}{dx} \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right) = 0$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = k$ (एक स्थिरांक) प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर, $k = \frac{f'(0)}{f(0)} = \frac{2}{1} = 2$ है।
इसलिए, $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2$, जिसका अर्थ है $f'(x) = 2f(x)$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{x-y} + x^2e^{-y}$
समीकरण को इस प्रकार लिखें: $\frac{dy}{dx} = e^{-y}(e^x + x^2)$
चरों को पृथक करने पर: $e^y \ dy = (e^x + x^2) \ dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^y \ dy = \int (e^x + x^2) \ dx$
$e^y = e^x + \frac{x^3}{3} + c$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया है: $e^{-x}(y + 1) dy + (\cos^2 x - \sin 2x)y dx = 0$
$y e^{-x}$ से भाग देने पर: $\frac{y+1}{y} dy + \frac{\cos^2 x - \sin 2x}{e^{-x}} dx = 0$
$(1 + \frac{1}{y}) dy + e^x(\cos^2 x - 2 \sin x \cos x) dx = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 + \frac{1}{y}) dy + \int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = C$
$\int e^x \cos^2 x dx = \int e^x (\frac{1 + \cos 2x}{2}) dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx$ का उपयोग करते हुए
अतः, $\int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx - \int e^x \sin 2x dx$, जो $e^x \cos^2 x$ में सरल हो जाता है।
अतः, $y + \log y = -e^x \cos^2 x + C$
$x = 0, y = 1$ पर: $1 + \log 1 = -e^0 \cos^2 0 + C \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$
अंतिम हल: $y + \log y + e^x \cos^2 x = 2$।

(A) माना $v = x + y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$ प्राप्त होता है।
$\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v + \cos v$ है।
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर: $1 + \sin v + \cos v = 2\cos^2(\frac{v}{2}) + 2\sin(\frac{v}{2})\cos(\frac{v}{2}) = 2\cos^2(\frac{v}{2}) [1 + \tan(\frac{v}{2})]$ है।
अतः, $\int \frac{dv}{2\cos^2(\frac{v}{2}) [1 + \tan(\frac{v}{2})]} = \int dx$ है।
माना $u = 1 + \tan(\frac{v}{2})$ है, तब $du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{v}{2}) dv = \frac{1}{2\cos^2(\frac{v}{2})} dv$ है।
इस प्रकार, $\int \frac{du}{u} = \int dx \implies \log |u| = x + c$ प्राप्त होता है।
वापस प्रतिस्थापित करने पर: $\log |1 + \tan(\frac{x + y}{2})| = x + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना समय $t$ पर संपत्ति $A$ है। घटने की दर $\frac{dA}{dt} = -k\sqrt{A}$ द्वारा दी गई है, जहाँ $k > 0$ है।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dA}{\sqrt{A}} = -k dt$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $2\sqrt{A} = -kt + C$।
$t = 0$ पर, $A = 10000$, इसलिए $2\sqrt{10000} = C \implies C = 200$।
अतः, $2\sqrt{A} = 200 - kt$।
$t = 2$ पर, $A = 5625$, इसलिए $2\sqrt{5625} = 200 - 2k \implies 2(75) = 200 - 2k \implies 150 = 200 - 2k \implies 2k = 50 \implies k = 25$।
समीकरण $2\sqrt{A} = 200 - 25t$ है।
दिवालिया होने के लिए, $A = 0$, इसलिए $0 = 200 - 25t \implies 25t = 200 \implies t = 8$ वर्ष।

(C) माना $f(x)$ घात $n$ का एक बहुपद है। तब $f'(x)$ की घात $n-1$ होगी।
$f(x) = [f'(x)]^2$ में घातों की तुलना करने पर, हमें $n = 2(n-1)$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $n = 2n - 2$, अतः $n = 2$।
माना $f(x) = a(x-h)^2$।
तब $f'(x) = 2a(x-h)$।
दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $a(x-h)^2 = [2a(x-h)]^2 = 4a^2(x-h)^2$।
यह सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु, $a = 4a^2$, अतः $a = 1/4$ (क्योंकि $a \neq 0$)।
दिया है $f(2) = 0$, अतः शीर्ष $h = 2$ पर है।
इस प्रकार, $f(x) = \frac{1}{4}(x-2)^2$।
$f(-2)$ की गणना करने पर: $f(-2) = \frac{1}{4}(-2-2)^2 = \frac{1}{4}(-4)^2 = \frac{16}{4} = 4$।

(B) माना $v = 9x + y + 5$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 9 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 9$ है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 9 = v^2 \implies \frac{dv}{dx} = v^2 + 9$ प्राप्त होता है।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{dv}{v^2 + 3^2} = \int dx$।
समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{v}{3}) = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = 9x + y + 5$ का मान वापस रखने पर: $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{9x + y + 5}{3}) = x + c$।

(B) दी गई ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x(x + 1)}$ है।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y - 1} = \int \frac{dx}{x(x + 1)}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$।
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है, $x = 1, y = 0$ रखने पर: $\ln|0 - 1| = \ln|\frac{1}{1 + 1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$।
अतः, $\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x + 1}|$।
घातांक लेने पर: $y - 1 = \frac{2x}{x + 1} \implies (y - 1)(x + 1) = 2x$।

(B) माना $t$ समय पर द्रव्यमान $M(t)$ है। विघटन की दर $\frac{dM}{dt} = -kM$ द्वारा दी गई है।
चरों को अलग करने पर, $\frac{dM}{M} = -k dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\ln M = -kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर, $M = M_0 = 1.5 \text{ gm}$, इसलिए $C = \ln(1.5)$ है।
अतः, $\ln M = -kt + \ln(1.5)$, जो $\ln(\frac{M}{1.5}) = -kt$ में सरल हो जाता है।
हमें वह $t$ ज्ञात करना है जब $M = 0.5 \text{ gm}$ हो।
मान रखने पर, $\ln(\frac{0.5}{1.5}) = -kt$ प्राप्त होता है।
$\ln(\frac{1}{3}) = -kt$।
$-\ln(3) = -kt$।
$t = \frac{1}{k} \ln 3$।

(B) माना $x + y = v$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos v$।
$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos v = 2 \cos^2 (\frac{v}{2})$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{2 \cos^2 (\frac{v}{2})} = dx$।
$\frac{1}{2} \sec^2 (\frac{v}{2}) dv = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \sec^2 (\frac{v}{2}) dv = \int dx$।
$\tan (\frac{v}{2}) = x + c$।
$v = x + y$ वापस रखने पर: $\tan (\frac{x + y}{2}) = x + c$।

(D) माना $u = \frac{dy}{dx}$ है। दिया गया समीकरण $u^2 = 6 - u$ है, जिसका अर्थ है $u^2 + u - 6 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर, हमें $(u + 3)(u - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, $u = -3$ या $u = 2$ है।
चूँकि $y = f(x)$ एक एकदिष्ट वर्धमान फलन है, इसलिए $\frac{dy}{dx} > 0$ होगा, अतः हमें $\frac{dy}{dx} = 2$ लेना होगा।
$x$ के सापेक्ष $\frac{dy}{dx} = 2$ का समाकलन करने पर, हमें $y = 2x + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 5$ का उपयोग करने पर, $5 = 2(0) + C$, जिससे $C = 5$ प्राप्त होता है।
अतः, फलन $y = 2x + 5$ है।
$y(3)$ का मान ज्ञात करने के लिए, $x = 3$ प्रतिस्थापित करें: $y(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$।

(B) दिया गया समीकरण: $x \sin x + y^3 = 4ax$ $(1)$
$x$ से भाग देने पर: $\sin x + \frac{y^3}{x} = 4a$ $(2)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos x + \frac{x(3y^2 \frac{dy}{dx}) - y^3(1)}{x^2} = 0$
$x^2$ से गुणा करने पर: $x^2 \cos x + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - y^3 = 0$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3 - x^2 \cos x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 - x^2 \cos x}{3xy^2}$

(C) दिया गया समीकरण: $3y = \sqrt{x + c}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3y)^2 = x + c$
$9y^2 = x + c$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(9y^2) = \frac{d}{dx}(x + c)$
$18y \frac{dy}{dx} = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{18y}$
यदि प्रश्न $27y^3 = x+c$ था, तो $81y^2 \frac{dy}{dx} = 1$ प्राप्त होता है, जो विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(A) चरण $1$: दिया गया समीकरण $(y - a)^2 = 4(x - b)$ है।
चरण $2$: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(y - a) \frac{dy}{dx} = 4$, जिसे सरल करने पर $(y - a) \frac{dy}{dx} = 2$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $(y - a) \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^2 = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: चरण $2$ से, $y - a = \frac{2}{dy/dx}$ है। इसे चरण $3$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{dy/dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^2 = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: हर को हटाने के लिए $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर: $2 \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^3 = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है, जिसकी घात $1$ है। अतः, अवकल समीकरण की घात $1$ है।