MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) $1$. व्यवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें:
$2x + 3y = 6$ रेखा $(3, 0)$ और $(0, 2)$ से गुजरती है।
$x + y = 1$ रेखा $(1, 0)$ और $(0, 1)$ से गुजरती है।
$2$. सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(1, 0)$, $(3, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
$3$. प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 3x + y$ का मान ज्ञात करें:
$(1, 0)$ पर: $Z = 3(1) + 0 = 3$।
$(3, 0)$ पर: $Z = 3(3) + 0 = 9$।
$(0, 1)$ पर: $Z = 3(0) + 1 = 1$।
$4$. मानों की तुलना करने पर, न्यूनतम मान $1$ है।

(D) चरण $1$: व्यवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
- $x + 3y = 60$ और $x - y = 0 \implies x=15, y=15$। बिंदु: $(15, 15)$।
- $x + 3y = 60$ और $x = 0 \implies y=20$। बिंदु: $(0, 20)$।
- $x + y = 10$ और $x - y = 0 \implies x=5, y=5$। बिंदु: $(5, 5)$।
- $x + y = 10$ और $x = 0 \implies y=10$। बिंदु: $(0, 10)$।
चरण $2$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करें।
- $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 5(15) = 45 + 75 = 120$।
- $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$।
- $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 5(5) = 15 + 25 = 40$।
- $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$।
चरण $3$: अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें।
- अधिकतम मान $Z_{max} = 120$।
- न्यूनतम मान $Z_{min} = 40$।
चरण $4$: अंतर की गणना करें।
- अंतर $= Z_{max} - Z_{min} = 120 - 40 = 80$।

(C) $1$. रेखाओं $y = 2x + 4$, $x + y = 5$, $x = 4$, और $y = 2$ को आलेखित करें।
$2$. क्षेत्र $y - 2x \leq 4$, रेखा $y = 2x + 4$ के ऊपर है।
$3$. क्षेत्र $x + y \geq 5$, रेखा $x + y = 5$ के ऊपर है।
$4$. क्षेत्र $x \leq 4$, रेखा $x = 4$ के बाईं ओर है।
$5$. क्षेत्र $y \geq 2$, रेखा $y = 2$ के ऊपर है।
$6$. प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: $(0, 4)$, $(1, 6)$, $(4, 6)$, $(4, 2)$, और $(3, 2)$।
$7$. चूंकि सभी प्रतिबंध $5$ शीर्षों वाला एक बंद बहुभुज बनाते हैं, इसलिए सुसंगत क्षेत्र $5$ कोणीय बिंदुओं वाला एक उत्तल परिबद्ध क्षेत्र है।

(C) चरण $1$: अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाओं $x=80$, $y=60$, $x+y=200$ और अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष हैं।
चरण $3$: शीर्षों को समीकरणों के निकाय को हल करके प्राप्त किया जाता है:
- $y=60$ और $x=0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 60)$ देता है।
- $y=60$ और $x+y=200$ का प्रतिच्छेदन $(140, 60)$ देता है, लेकिन $x \leq 80$ है, इसलिए हम $(80, 60)$ का उपयोग करते हैं।
- $x=80$ और $x+y=200$ का प्रतिच्छेदन $(80, 120)$ देता है।
- $x=0$ और $x+y=200$ का प्रतिच्छेदन $(0, 200)$ देता है।
चरण $4$: प्रत्येक शीर्ष पर $z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 60)$ पर: $z = 3(0) + 5(60) = 300$।
- $(80, 60)$ पर: $z = 3(80) + 5(60) = 240 + 300 = 540$।
- $(80, 120)$ पर: $z = 3(80) + 5(120) = 240 + 600 = 840$।
- $(0, 200)$ पर: $z = 3(0) + 5(200) = 1000$।
चरण $5$: न्यूनतम मान $300$ है जो बिंदु $(0, 60)$ पर प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: $x + 2y \leq 10$, $3x + y \leq 12$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: $x + 2y = 10$ और $3x + y = 12$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए समीकरण हल करें: $y = 12 - 3x$। पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(12 - 3x) = 10 \implies x + 24 - 6x = 10 \implies -5x = -14 \implies x = \frac{14}{5}$। तब $y = 12 - 3(\frac{14}{5}) = \frac{60 - 42}{5} = \frac{18}{5}$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ है।
चरण $3$: कोणीय बिंदुओं पर $z = 5x + 10y$ का मान ज्ञात करें: $(0, 0) \implies z = 0$; $(4, 0) \implies z = 20$; $(0, 5) \implies z = 50$; $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5}) \implies z = 5(\frac{14}{5}) + 10(\frac{18}{5}) = 14 + 36 = 50$।
चरण $4$: चूंकि $z$ का अधिकतम मान $50$ बिंदुओं $(0, 5)$ और $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ पर प्राप्त होता है, इसलिए अधिकतम मान इन दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर होगा।

(D) $1$. छायांकित क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है, इसलिए ऋणेतर बाधाएं $x \geq 0$ और $y \geq 0$ हैं।
$2$. यह क्षेत्र तीन रेखाओं द्वारा घिरा हुआ है:
$(i)$ $(0, 12)$ और $(6, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{6} + \frac{y}{12} = 1$ है, जो $2x + y = 12$ में सरल होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है, इसलिए बाधा $2x + y \leq 12$ है।
(ii) $(0, 6)$ और $(12, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{12} + \frac{y}{6} = 1$ है, जो $x + 2y = 12$ में सरल होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है, इसलिए बाधा $x + 2y \leq 12$ है।
(iii) $(0, 4)$ और $(5, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1$ है, जो $4x + 5y = 20$ या $x + 1.25y = 5$ में सरल होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है, इसलिए बाधा $x + 1.25y \geq 5$ है।
$3$. इन सबको मिलाने पर, बाधाओं का निकाय $2x + y \leq 12, x + 2y \leq 12, x + 1.25y \geq 5, x \geq 0, y \geq 0$ है। यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(A) चरण $1$: प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाएं $3x + y = 15$ और $3x + 4y = 24$ हैं।
चरण $3$: प्रतिच्छेदन बिंदु: पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर $3y = 9$ प्राप्त होता है, इसलिए $y = 3$। $y = 3$ को $3x + y = 15$ में रखने पर $3x = 12$ प्राप्त होता है, इसलिए $x = 4$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 3)$ है।
चरण $4$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$, $(5, 0)$, $(4, 3)$, और $(0, 6)$ हैं।
चरण $5$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 4x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर, $Z = 4(0) + 5(0) = 0$।
$(5, 0)$ पर, $Z = 4(5) + 5(0) = 20$।
$(4, 3)$ पर, $Z = 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31$।
$(0, 6)$ पर, $Z = 4(0) + 5(6) = 30$।
चरण $6$: अधिकतम मान $31$ है।

(D) चरण $1$: व्यवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$(i)$ $x+y=5$ और $2x+y=7$ से $x=2, y=3$ प्राप्त होता है।
(ii) $2x+y=7$ और $3x+2y=11$ से $x=3, y=1$ प्राप्त होता है।
(iii) अक्षों पर अंतःखंड $(0, 0), (5, 0), (0, 5), (0, 5.5), (3.66, 0)$ हैं।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर $z = 4x + y$ का मान ज्ञात करना:
$(0, 0)$ पर, $z = 0$।
$(3.5, 0)$ पर, $z = 4(3.5) + 0 = 14$।
$(3, 1)$ पर, $z = 4(3) + 1 = 13$।
$(2, 3)$ पर, $z = 4(2) + 3 = 11$।
$(0, 5)$ पर, $z = 4(0) + 5 = 5$।
चरण $4$: अधिकतम मान $14$ है।

(D) चरण $1$: उद्देश्य फलन को परिभाषित करें। लाभ प्रत्येक एक्जीक्यूटिव टिकट $(x_1)$ पर $1500$ और प्रत्येक इकोनॉमी टिकट $(x_2)$ पर $900$ है। अतः, $z = 1500x_1 + 900x_2$ को अधिकतम करें।
चरण $2$: बाधाओं की पहचान करें। कुल क्षमता $250$ है, इसलिए $x_1 + x_2 \leq 250$ है।
चरण $3$: एक्जीक्यूटिव क्लास का आरक्षण कम से कम $30$ है, इसलिए $x_1 \geq 30$ है।
चरण $4$: इकोनॉमी क्लास की प्राथमिकता एक्जीक्यूटिव क्लास से कम से कम $4$ गुना है, इसलिए $x_2 \geq 4x_1$ है।
चरण $5$: ऋणेतर बाधाएं $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$ हैं। इन्हें मिलाने पर, विकल्प $D$ सही है।

(C) चरण $1$: प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाएं $2x + 3y = 6$ और $x + y = 1$ हैं।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(0, 1)$, $(0, 2)$, $(1, 0)$ और $(3, 0)$ हैं।
चरण $4$: प्रत्येक शीर्ष पर $z = 3x + y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 1)$ पर, $z = 3(0) + 1 = 1$।
$(0, 2)$ पर, $z = 3(0) + 2 = 2$।
$(1, 0)$ पर, $z = 3(1) + 0 = 3$।
$(3, 0)$ पर, $z = 3(3) + 0 = 9$।
चरण $5$: अधिकतम मान $9$ है और न्यूनतम मान $1$ है।
चरण $6$: अंतर $9 - 1 = 8$ है।

(A) चरण $1$: प्रतिबन्धों का विश्लेषण करें। प्रतिबन्ध $x + 3y \leq 6$ और $2x + 6y \leq 18$ हैं। ध्यान दें कि $2x + 6y \leq 18$ को $x + 3y \leq 9$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
चरण $2$: चूँकि $x + 3y \leq 6$, $x + 3y \leq 9$ की तुलना में अधिक कठोर शर्त है, इसलिए सुसंगत क्षेत्र केवल $x + 3y \leq 6$, $x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(0, 0)$, $(6, 0)$ और $(0, 2)$ हैं।
चरण $4$: इन शीर्षों पर $z = 2x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर, $z = 2(0) + 5(0) = 0$।
$(6, 0)$ पर, $z = 2(6) + 5(0) = 12$।
$(0, 2)$ पर, $z = 2(0) + 5(2) = 10$।
चरण $5$: अधिकतम मान $(6, 0)$ बिंदु पर $12$ है। चूँकि अधिकतम मान केवल एक बिंदु पर प्राप्त होता है, इसलिए हल अद्वितीय है।

(D) चरण $1$: घटनाओं $E$ और $F$ के परिणामों की पहचान करें।
$E = \{ X \text{ एक अभाज्य संख्या है} \} = \{2, 3, 5\}$।
$F = \{ X < 4 \} = \{1, 2, 3\}$।
चरण $2$: संघ $E \cup F$ की पहचान करें।
$E \cup F = \{1, 2, 3, 5\}$।
चरण $3$: प्रायिकता $P(E \cup F)$ की गणना करें।
$P(E \cup F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5)$।
$P(E \cup F) = 0.15 + 0.20 + 0.25 + 0.10 = 0.70$।

(D) चरण $1$: माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times 0.3) + (1 \times 0.4) + (2 \times 0.3) = 0 + 0.4 + 0.6 = 1.0$ की गणना करें।
चरण $2$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times 0.3) + (1^2 \times 0.4) + (2^2 \times 0.3) = 0 + 0.4 + 1.2 = 1.6$ की गणना करें।
चरण $3$: प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1.6 - (1.0)^2 = 1.6 - 1.0 = 0.6$ की गणना करें।
चरण $4$: मानक विचलन $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.6} \approx 0.77$ की गणना करें। चूँकि निकटतम विकल्प $0.7$ है, हम $D$ का चयन करते हैं।

(A) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $F(x_i) = \sum_{j=1}^{i} P(X = x_j)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x=1$ के लिए: $F(1) = P(X=1) = 1/10$।
$x=2$ के लिए: $F(2) = P(X=1) + P(X=2) = 1/10 + 2/10 = 3/10$।
$x=3$ के लिए: $F(3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 3/10 + 3/10 = 6/10$।
$x=4$ के लिए: $F(4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 6/10 + 4/10 = 10/10 = 1$।
अतः, सही वितरण विकल्प $A$ में दिया गया है।

(C) चरण $1$: घटना $E = \{ X \text{ एक अभाज्य संख्या है} \}$ के लिए प्रतिदर्श समष्टि की पहचान करें। $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ में अभाज्य संख्याएँ $2$ और $3$ हैं। अतः, $E = \{2, 3\}$।
चरण $2$: घटना $F = \{ X < 4 \}$ के लिए प्रतिदर्श समष्टि की पहचान करें। $4$ से छोटी संख्याएँ $1, 2, 3$ हैं। अतः, $F = \{1, 2, 3\}$।
चरण $3$: सर्वनिष्ठ $E \cap F$ ज्ञात करें। उभयनिष्ठ अवयव $\{2, 3\}$ हैं।
चरण $4$: $P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.2 + 0.3 = 0.5$ की गणना करें।

(A) चरण $1$: सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए। अतः, $\sum P(x) = k(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = 1$ है।
चरण $2$: योग की गणना करें: $k(1 + 4 + 9 + 16) = 30k = 1$, इसलिए $k = \frac{1}{30}$ है।
चरण $3$: माध्य $E(X) = \sum x \cdot P(x) = \sum x \cdot kx^2 = k \sum x^3$ है।
चरण $4$: $\sum x^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$ की गणना करें।
चरण $5$: $E(X) = \frac{1}{30} \cdot 100 = \frac{10}{3} \approx 3.33$ है।

(C) गेंदों की कुल संख्या $= 8 + N$ है।
निकाली गई गेंदों की संख्या $= 2$ है।
यादृच्छिक चर $X$ हरी गेंदों की संख्या को दर्शाता है, अतः $X \in \{0, 1, 2\}$ है।
प्रायिकता बंटन हाइपरजियोमेट्रिक बंटन द्वारा दिया जाता है:
$P(X=k) = \frac{\binom{N}{k} \binom{8}{2-k}}{\binom{N+8}{2}}$।
$N+8$ की जनसंख्या में से $n=2$ के नमूने के लिए, जिसमें $N$ हरी गेंदें हैं, प्रत्याशा मान $E(X) = n \cdot \frac{N}{N+8}$ होता है।
दिया है $E(X) = 1.2$, इसलिए $2 \cdot \frac{N}{N+8} = 1.2$ है।
$\frac{N}{N+8} = 0.6$ है।
$N = 0.6(N+8) \implies N = 0.6N + 4.8$ है।
$0.4N = 4.8 \implies N = \frac{4.8}{0.4} = 12$ है।

(D) माना $P(X = 1) = a, P(X = 2) = b, P(X = 3) = c, P(X = 4) = d$ है। दिया है $2a = 3b = c = 5d = k$।
तब $a = k/2, b = k/3, c = k, d = k/5$ है।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $1$ होता है, इसलिए $a + b + c + d = 1$ है।
मान रखने पर: $k/2 + k/3 + k + k/5 = 1$।
$2, 3, 1, 5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $30$ है: $(15k + 10k + 30k + 6k) / 30 = 1$।
$61k / 30 = 1$, अतः $k = 30/61$ है।
चूंकि $P(X = 4) = d = k/5$ है, इसलिए $P(X = 4) = (30/61) / 5 = 6/61$ है।

(A) दिया गया है कि $F(x)$, $X$ का c.d.f. है, इसलिए $F(x) = P(X \le x)$ है।
हमें $F(b) = P(X \le b) = 0.7$ दिया गया है।
हमें $P(X > a) = 0.4$ दिया गया है। चूँकि $P(X \le a) + P(X > a) = 1$ होता है, इसलिए $P(X \le a) = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
हमें $P(a < X < b)$ ज्ञात करना है।
चूँकि $X$ एक सतत यादृच्छिक चर है, $P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a) = P(X \le b) - P(X \le a)$ होता है।
मान रखने पर, $P(a < X < b) = 0.7 - 0.6 = 0.1$ है।

(B) प्रायिकता घनत्व फलन के लिए, वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए, इसलिए $\int_{-1}^{4} f(x) \, dx = 1$ है।
$\int_{-1}^{4} k(9 + 8x - x^2) \, dx = 1$।
$k \left[ 9x + 4x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{4} = 1$।
$k \left[ (9(4) + 4(4^2) - \frac{4^3}{3}) - (9(-1) + 4(-1)^2 - \frac{(-1)^3}{3}) \right] = 1$।
$k \left[ (36 + 64 - \frac{64}{3}) - (-9 + 4 + \frac{1}{3}) \right] = 1$।
$k \left[ (100 - \frac{64}{3}) - (-5 + \frac{1}{3}) \right] = 1$।
$k \left[ \frac{300 - 64}{3} - \frac{-15 + 1}{3} \right] = 1$।
$k \left[ \frac{236}{3} + \frac{14}{3} \right] = 1$।
$k \left[ \frac{250}{3} \right] = 1$।
$k = \frac{3}{250}$।

(A) मान लीजिए $X$ जीत की राशि को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। प्रत्येक फलक $k$ के आने की प्रायिकता $P(k) = 1/6$ है, जहाँ $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
फलक $k$ के लिए जीत की राशि $W(k) = \frac{36}{k} - 2k$ है।
अपेक्षित मान $E[X] = \sum_{k=1}^{6} W(k) \cdot P(k)$ द्वारा दिया जाता है।
$E[X] = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^{6} (\frac{36}{k} - 2k) = \frac{1}{6} [(\frac{36}{1} - 2) + (\frac{36}{2} - 4) + (\frac{36}{3} - 6) + (\frac{36}{4} - 8) + (\frac{36}{5} - 10) + (\frac{36}{6} - 12)]$.
$E[X] = \frac{1}{6} [34 + 14 + 6 + 1 + (7.2 - 10) + (6 - 12)]$.
$E[X] = \frac{1}{6} [55 - 2.8 - 6] = \frac{1}{6} [46.2] = 7.7$।

(D) प्रायिकता $P(X < k)$ को $\int_{0}^{k} f(x) \, dx$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$P(X < a/2) = \int_{0}^{a/2} \frac{1}{2a} \, dx = \left[ \frac{x}{2a} \right]_{0}^{a/2} = \frac{a/2}{2a} = \frac{1}{4}$ के लिए।
$P(X > 3a/2) = \int_{3a/2}^{2a} \frac{1}{2a} \, dx = \left[ \frac{x}{2a} \right]_{3a/2}^{2a} = \frac{2a - 3a/2}{2a} = \frac{a/2}{2a} = \frac{1}{4}$ के लिए।
चूंकि दोनों प्रायिकताएं $\frac{1}{4}$ के बराबर हैं, इसलिए $P(X < a/2) = P(X > 3a/2)$ है।

(A) $5$ में से $2$ कार्ड निकालने के कुल तरीके $\binom{5}{2} = 10$ हैं।
संभावित युग्म और उनके योग हैं:
$(1,1) \rightarrow 2, (1,2) \rightarrow 3, (1,2) \rightarrow 3, (1,3) \rightarrow 4, (1,2) \rightarrow 3, (1,2) \rightarrow 3, (1,3) \rightarrow 4, (2,2) \rightarrow 4, (2,3) \rightarrow 5, (2,3) \rightarrow 5$।
सभी संभावित योगों का कुल योग $= 2+3+3+4+3+3+4+4+5+5 = 36$ है।
प्रत्याशित मान $E[X] = \frac{\text{योगों का कुल योग}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{36}{10} = 3.6$।
नोट: चूंकि $3.6$ विकल्पों में नहीं है, प्रश्न त्रुटिपूर्ण है।

(C) चरण $1$: p.d.f. के गुणधर्म का उपयोग करें कि $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ है।
चरण $2$: समाकलन की गणना करें: $\int_{0}^{1} kx dx + \int_{1}^{2} k dx + \int_{2}^{3} (-kx + 3k) dx = 1$।
चरण $3$: समाकलनों का मूल्यांकन करें: $[k \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} + [kx]_{1}^{2} + [-k \frac{x^2}{2} + 3kx]_{2}^{3} = 1$।
चरण $4$: $\frac{k}{2} + k + [(- \frac{9k}{2} + 9k) - (- \frac{4k}{2} + 6k)] = 1$।
चरण $5$: $\frac{k}{2} + k + [\frac{9k}{2} - 4k] = 1 \implies \frac{k}{2} + k + \frac{k}{2} = 1 \implies 2k = 1 \implies k = 1/2$।
चरण $6$: $P(2 < X \leq 3) = \int_{2}^{3} (-kx + 3k) dx = [-\frac{kx^2}{2} + 3kx]_{2}^{3}$ की गणना करें।
चरण $7$: $k = 1/2$ प्रतिस्थापित करें: $[-\frac{x^2}{4} + \frac{3x}{2}]_{2}^{3} = (-\frac{9}{4} + \frac{9}{2}) - (-1 + 3) = \frac{9}{4} - 2 = 1/4$।

(B) चरण $1$: प्रत्याशित मान $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ की गणना करें।
$E(X) = (1 \times 1/5) + (2 \times 2/5) + (3 \times 2/5) = 1/5 + 4/5 + 6/5 = 11/5$।
चरण $2$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ की गणना करें।
$E(X^2) = (1^2 \times 1/5) + (2^2 \times 2/5) + (3^2 \times 2/5) = 1/5 + 8/5 + 18/5 = 27/5$।
चरण $3$: प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ की गणना करें।
$Var(X) = 27/5 - (11/5)^2 = 27/5 - 121/25 = (135 - 121) / 25 = 14/25$।
अतः, मान $11/5$ और $14/25$ हैं।

(C) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए, $E(X) = np = 2$ और $Var(X) = npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर: $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2} = 0.5$।
चूंकि $p + q = 1$, इसलिए $p = 1 - 0.5 = 0.5$।
$p$ का मान $np = 2$ में रखने पर: $n(0.5) = 2 \implies n = 4$।
हमें $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.5)^0 (0.5)^4 = 1 \times 1 \times 0.0625 = 0.0625$।
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.5)^1 (0.5)^3 = 4 \times 0.5 \times 0.125 = 0.25$।
$P(X \le 1) = 0.0625 + 0.25 = 0.3125$।

(A) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{^5C_x}{2^5}$ है।
यह $n = 5$ और $p = 0.5$ के साथ एक द्विपद बंटन $B(n, p)$ है।
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{^5C_0 + ^5C_1 + ^5C_2}{2^5} = \frac{1 + 5 + 10}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$ की गणना करें।
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{^5C_3 + ^5C_4 + ^5C_5}{2^5} = \frac{10 + 5 + 1}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$ की गणना करें।
चूंकि $P(X \leq 2) = 0.5$ और $P(X \geq 3) = 0.5$ है, इसलिए $P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ है।

(A) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $q = 1 - p$ है।
हमारे पास $P(X = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$ और $P(X = k-1) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} p^{k-1} q^{n-k+1}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} \times \frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n! p^{k-1} q^{n-k+1}}$।
पदों को सरल करने पर: $\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \frac{(k-1)!}{k!} \times \frac{(n-k+1)!}{(n-k)!} \times \frac{p^k}{p^{k-1}} \times \frac{q^{n-k}}{q^{n-k+1}}$।
यह $\frac{1}{k} \times (n-k+1) \times p \times \frac{1}{q} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q}$ के बराबर है।

(C) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए, प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $n = 6$ और $p = 1/2$ है।
चूँकि $p = 1/2$ है, बंटन सममित (symmetric) है।
एक सममित द्विपद बंटन के लिए, अधिकतम प्रायिकता माध्य पर होती है, जो $E[X] = np = 6 \times (1/2) = 3$ है।
वैकल्पिक रूप से, $k=3$ के लिए गणना करने पर: $P(X=3) = \binom{6}{3} (1/2)^3 (1/2)^3 = 20 \times (1/64) = 20/64$।
$k=2$ या $k=4$ के लिए: $P(X=2) = P(X=4) = \binom{6}{2} (1/2)^6 = 15 \times (1/64) = 15/64$।
चूँकि $20/64 > 15/64$ है, अधिकतम प्रायिकता $X = 3$ पर होती है।

(C) माना $x$ सही उत्तरों की संख्या है और $y$ गलत उत्तरों की संख्या है।
कुल प्रश्न $x + y = 10$ हैं।
प्राप्त अंक $4x - y = 30$ हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $5x = 40 \implies x = 8$।
तब $y = 10 - 8 = 2$।
सही उत्तर की प्रायिकता $p = 1/4$ है और गलत उत्तर की प्रायिकता $q = 3/4$ है।
$8$ सही और $2$ गलत उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद बंटन सूत्र $P(X=8) = \binom{10}{8} p^8 q^2$ द्वारा दी जाती है।
$P(X=8) = \binom{10}{2} (1/4)^8 (3/4)^2 = 45 \times \frac{1}{4^8} \times \frac{9}{4^2} = \frac{45 \times 9}{4^{10}} = \frac{405}{4^{10}}$।

(D) के एक खेल जीतने की प्रायिकता $p = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ है।
$A$ के एक खेल हारने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
माना $X$, $n=3$ खेलों में $A$ द्वारा जीते गए खेलों की संख्या है। $X$ द्विपद बंटन $B(n, p) = B(3, 1/3)$ का पालन करता है।
$A$ द्वारा कम से कम दो खेल जीतने की प्रायिकता $P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3)$ है।
$P(X=2) = \binom{3}{2} p^2 q^1 = 3 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3}) = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27}$।
$P(X=3) = \binom{3}{3} p^3 q^0 = 1 \times (\frac{1}{3})^3 \times 1 = \frac{1}{27}$।
$P(X \ge 2) = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$।

(B) यह द्विपद बंटन (binomial distribution) का प्रश्न है जहाँ $n = 8$, $p = 0.8$, और $q = 1 - p = 0.2$ है।
ठीक $k$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 4$ के लिए:
$P(X = 4) = \binom{8}{4} (0.8)^4 (0.2)^{8-4}$
$P(X = 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times (0.8)^4 \times (0.2)^4$
$P(X = 4) = 70 \times (0.8)^4 \times (0.2)^4$
चूंकि $70 \times (0.2)^4 = 70 \times 0.0016 = 0.112$, इसलिए प्रायिकता $(0.112)(0.8)^4$ है।

(D) $1$. दो पासों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
$2$. द्विक $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं। ऐसे $6$ परिणाम हैं।
$3$. सफलता की प्रायिकता $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
$4$. असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
$5$. परीक्षणों की संख्या $n = 4$ है। कम से कम $1$ सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
$6$. $P(X = 0) = ^nC_0 \cdot p^0 \cdot q^n = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^4 = \frac{625}{1296}$ है।
$7$. $P(X \ge 1) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$ है।

(B) एक निष्पक्ष सिक्के के लिए, चित आने की प्रायिकता $p = 1/2$ है और पट आने की प्रायिकता $q = 1/2$ है। परीक्षणों की संख्या $n = 8$ है।
द्विपद बंटन सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए, हमें $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \binom{8}{0} (1/2)^8 = 1 \times (1/256) = 1/256$।
$P(X=1) = \binom{8}{1} (1/2)^8 = 8 \times (1/256) = 8/256$।
$P(X=2) = \binom{8}{2} (1/2)^8 = 28 \times (1/256) = 28/256$।
इन प्रायिकताओं का योग: $P(X \le 2) = (1 + 8 + 28) / 256 = 37/256$।

(B) द्विपद बंटन के लिए, माध्य $\mu = np = 1$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 0.75$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर: $\frac{npq}{np} = \frac{0.75}{1} \implies q = 0.75 = \frac{3}{4}$।
चूंकि $p + q = 1$, इसलिए $p = 1 - 0.75 = 0.25 = \frac{1}{4}$।
$np = 1$ का उपयोग करने पर, $n(\frac{1}{4}) = 1 \implies n = 4$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{4}{k} (\frac{1}{4})^k (\frac{3}{4})^{4-k}$ है।
विकल्प $(B)$ की जाँच करने पर: $P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{4})^1 (\frac{3}{4})^3 = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{27}{64} = \frac{27}{64}$।
$P(X = 2) = \binom{4}{2} (\frac{1}{4})^2 (\frac{3}{4})^2 = 6 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{16} = \frac{54}{256} = \frac{27}{128}$।
चूंकि $P(X = 1) = 2 \cdot P(X = 2)$, अतः विकल्प $(B)$ सही है।

(D) माना $n = 6$ परीक्षणों की संख्या है और $p = 1/10$ व्यक्ति के व्यस्त होने की प्रायिकता है। तब $q = 1 - p = 9/10$ है।
द्विपद बंटन सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
कम से कम $5$ व्यक्तियों के व्यस्त होने के लिए, हमें $P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ की आवश्यकता है।
$P(X = 5) = \binom{6}{5} (1/10)^5 (9/10)^1 = 6 \times (1/10^5) \times (9/10) = 54/10^6$।
$P(X = 6) = \binom{6}{6} (1/10)^6 (9/10)^0 = 1 \times (1/10^6) \times 1 = 1/10^6$।
$P(X \ge 5) = 54/10^6 + 1/10^6 = 55/10^6$।

(C) माना $X$ सफल भविष्यवाणियों (चित) की संख्या है। चूंकि सिक्का निष्पक्ष है, चित की प्रायिकता $p = 1/2$ और पट की प्रायिकता $q = 1/2$ है। उछालों की संख्या $n = 9$ है।
$X$ एक द्विपद बंटन $B(9, 1/2)$ का पालन करता है।
हमें उस प्रायिकता की आवश्यकता है जहाँ सफल भविष्यवाणियों की संख्या असफल भविष्यवाणियों की संख्या से अधिक हो।
माना $S$ सफलताओं की संख्या है और $F$ विफलताओं की संख्या है। हमारे पास $S + F = 9$ है और हम $S > F$ चाहते हैं।
चूंकि $F = 9 - S$, स्थिति $S > 9 - S$ का अर्थ है $2S > 9$, या $S > 4.5$।
चूंकि $S$ एक पूर्णांक होना चाहिए, हमें $S \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$ की आवश्यकता है।
चूंकि $p = 1/2$ के लिए बंटन सममित है, $P(S \ge 5) = P(S \le 4)$।
चूंकि $P(S \le 9) = 1$, हमारे पास $P(S \le 4) + P(S \ge 5) = 1$ है।
अतः, $2 \cdot P(S \ge 5) = 1$, जिससे $P(S \ge 5) = 1/2$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. एक निष्पक्ष पासे का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है, इसलिए कुल परिणाम $n(S) = 6$ हैं।
$2$. पासे पर अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5\}$ हैं, इसलिए सफल परिणामों की संख्या $3$ है।
$3$. एक बार फेंकने पर सफलता की प्रायिकता, $p = 3/6 = 1/2$ है।
$4$. एक बार फेंकने पर असफलता की प्रायिकता, $q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2$ है।
$5$. पासे को $n = 4$ बार फेंका जाता है। कोई सफलता न मिलने (अर्थात $0$ सफलता) की प्रायिकता द्विपद बंटन सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$6$. $k = 0$ के लिए, $P(X = 0) = \binom{4}{0} (1/2)^0 (1/2)^{4-0} = 1 \times 1 \times (1/2)^4 = 1/16$।

(D) द्विपद बंटन के लिए, $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, जहाँ $n = 6$, $p$ सफलता की प्रायिकता है, और $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है।
दिया गया है $9P(X = 4) = P(X = 2)$, अतः $9 \binom{6}{4} p^4 q^2 = \binom{6}{2} p^2 q^4$ है।
चूँकि $\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = 15$, समीकरण सरल होकर $9 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$ हो जाता है।
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $p, q \neq 0$), हमें $9p^2 = q^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $3p = q$ प्राप्त होता है।
चूँकि $p + q = 1$, समीकरण में $q = 3p$ प्रतिस्थापित करने पर: $p + 3p = 1 \implies 4p = 1 \implies p = 0.25$।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - 0.25 = 0.75$ है।

(D) माना $p$ बम के लक्ष्य पर लगने की प्रायिकता है, अतः $p = 0.8 = 4/5$ है।
माना $q$ बम के लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता है, अतः $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2 = 1/5$ है।
हम $n = 6$ बम गिरा रहे हैं। माना $X$ लक्ष्य से चूकने वाले बमों की संख्या है।
हमें कम से कम $1$ बम के चूकने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, जो $P(X \ge 1)$ है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए, $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
$P(X = 0)$ वह प्रायिकता है कि कोई भी बम नहीं चूकता, अर्थात सभी $6$ बम लक्ष्य पर लगते हैं।
$P(X = 0) = p^6 = (4/5)^6$ है।
अतः, $P(X \ge 1) = 1 - (4/5)^6$ है।

(C) माना $n = 4$ परीक्षणों की संख्या है।
एक बार में 'क्लब' का पत्ता निकालने की प्रायिकता $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
'क्लब' का पत्ता न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
द्विपद बंटन सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $k = 2$:
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^{4-2}$
$P(X = 2) = 6 \times \left(\frac{1}{16}\right) \times \left(\frac{9}{16}\right)$
$P(X = 2) = \frac{54}{256} = \frac{27}{128}$।

(A) द्विपद बंटन के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ है।
दिया गया है $n = 6$, अतः $P(X = 4) = \binom{6}{4} p^4 (1-p)^2 = 15 p^4 (1-p)^2$ और $P(X = 2) = \binom{6}{2} p^2 (1-p)^4 = 15 p^2 (1-p)^4$ है।
दिया गया है $9P(X = 4) = P(X = 2)$, व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$9 \times 15 p^4 (1-p)^2 = 15 p^2 (1-p)^4$।
दोनों पक्षों को $15 p^2 (1-p)^2$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $p \neq 0, 1$):
$9 p^2 = (1-p)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$3p = 1-p$ या $3p = -(1-p)$।
$3p = 1-p$ के लिए, हमें $4p = 1$ प्राप्त होता है, अतः $p = 1/4$ है।
$3p = p-1$ के लिए, हमें $2p = -1$ प्राप्त होता है, जिससे $p = -1/2$ मिलता है (जो संभव नहीं है क्योंकि $0 \le p \le 1$)।
अतः, $p = 1/4$ है।

(C) मान लीजिए $D$ वह घटना है कि व्यक्ति को बीमारी है और $T$ वह घटना है कि परीक्षण सकारात्मक है।
दिया गया है: $P(D) = 0.01$, $P(D^c) = 0.99$।
संवेदनशीलता $P(T|D) = 0.98$।
विशिष्टता $P(T^c|D^c) = 0.95$, इसलिए $P(T|D^c) = 1 - 0.95 = 0.05$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए, $P(D|T) = \frac{P(T|D)P(D)}{P(T|D)P(D) + P(T|D^c)P(D^c)}$।
$P(D|T) = \frac{0.98 \times 0.01}{(0.98 \times 0.01) + (0.05 \times 0.99)}$।
$P(D|T) = \frac{0.0098}{0.0098 + 0.0495} = \frac{0.0098}{0.0593} \approx 0.16526$।
अतः, संभावना लगभग $16.5\%$ है।

(A) दिया गया है कि $E_1$ और $E_2$ समान रूप से संभावित, परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं, इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = 0.5$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए, $P(E_1|A) = \frac{P(A|E_1)P(E_1)}{P(A|E_1)P(E_1) + P(A|E_2)P(E_2)}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(E_1|A) = \frac{0.2 \times 0.5}{(0.2 \times 0.5) + (0.3 \times 0.5)}$।
$P(E_1|A) = \frac{0.1}{0.1 + 0.15} = \frac{0.1}{0.25}$।
$P(E_1|A) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$।

(B) माना पुरुषों की संख्या $5x$ है और महिलाओं की संख्या $4x$ है। कुल जनसंख्या $= 9x$ है।
साक्षर पुरुष $= 5x$ का $80\% = 0.8 \times 5x = 4x$। निरक्षर पुरुष $= 5x - 4x = x$।
साक्षर महिलाएं $= 4x$ का $90\% = 0.9 \times 4x = 3.6x$। निरक्षर महिलाएं $= 4x - 3.6x = 0.4x$।
कुल निरक्षर व्यक्ति $= x + 0.4x = 1.4x$।
निरक्षर व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता $P = \frac{\text{निरक्षर पुरुष}}{\text{कुल निरक्षर व्यक्ति}} = \frac{x}{1.4x} = \frac{1}{1.4} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ है।

(D) माना $P(A) = 0.4$ एक परीक्षण में घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता है।
एक परीक्षण में घटना $A$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
चूंकि $3$ स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, इसलिए $3$ परीक्षणों में से किसी में भी घटना $A$ के घटित न होने की प्रायिकता $(P(A'))^3 = (0.6)^3 = 0.216$ है।
घटना $A$ के कम से कम एक बार घटित होने की प्रायिकता $1 - P(\text{घटना } A \text{ कभी नहीं घटित होती}) = 1 - 0.216 = 0.784$ है।

(C) दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{4}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$ और $P(A|B) = 2P(B|A)$।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ और $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$।
इन्हें दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 2 \times \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$।
चूंकि $P(A \cap B) \neq 0$, हम दोनों पक्षों को $P(A \cap B)$ से विभाजित कर सकते हैं: $\frac{1}{P(B)} = \frac{2}{P(A)}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $P(B) = \frac{P(A)}{2}$ प्राप्त होता है।
$P(A) = \frac{1}{4}$ रखने पर: $P(B) = \frac{1/4}{2} = \frac{1}{8}$।

(B) दिया गया है $P(A) = \frac{2}{3}$, $P(B) = \frac{1}{2}$, और $P(A | B) = \frac{2}{3}$।
चूंकि $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, इसलिए $P(A \cap B) = P(A | B) \cdot P(B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$।
यहाँ $P(A \cap B) = P(A)$, जिसका अर्थ है $A \subset B$।
हमें $P(A' \cup B) + P(A \cup B')$ का मान ज्ञात करना है।
$P(A' \cup B) = 1 - P(A \cap B') = 1 - (P(A) - P(A \cap B)) = 1 - (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
$P(A \cup B') = 1 - P(A' \cap B) = 1 - (P(B) - P(A \cap B)) = 1 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
योग $= \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$।

(B) मान लीजिए $K$ वह घटना है कि छात्र उत्तर जानता है और $G$ वह घटना है कि छात्र उत्तर का अनुमान लगाता है।
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि छात्र को सही उत्तर मिलता है।
दिया गया है: $P(K) = 0.9$, $P(G) = 1 - 0.9 = 0.1$।
यदि छात्र उत्तर जानता है, तो सही उत्तर मिलने की प्रायिकता $P(C|K) = 1$ है।
यदि छात्र अनुमान लगाता है, तो सही उत्तर मिलने की प्रायिकता $P(C|G) = \frac{1}{4} = 0.25$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए, छात्र द्वारा अनुमान लगाने की प्रायिकता, यह देखते हुए कि उसे सही उत्तर मिला है, $P(G|C) = \frac{P(C|G)P(G)}{P(C|G)P(G) + P(C|K)P(K)}$ है।
$P(G|C) = \frac{0.25 \times 0.1}{(0.25 \times 0.1) + (1 \times 0.9)} = \frac{0.025}{0.025 + 0.9} = \frac{0.025}{0.925} = \frac{25}{925} = \frac{1}{37}$।

(C) माना $W_A$ थैला $A$ से सफेद गेंद निकालने की घटना है और $B_A$ थैला $A$ से काली गेंद निकालने की घटना है।
$P(W_A) = \frac{3}{8}$ और $P(B_A) = \frac{5}{8}$।
यदि एक सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है, तो थैला $B$ में अब $5$ सफेद और $3$ काली गेंदें (कुल $8$) हैं। $B$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|W_A) = \frac{5}{8}$ है।
यदि एक काली गेंद स्थानांतरित की जाती है, तो थैला $B$ में अब $4$ सफेद और $4$ काली गेंदें (कुल $8$) हैं। $B$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|B_A) = \frac{4}{8}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(W) = P(W_A) \cdot P(W|W_A) + P(B_A) \cdot P(W|B_A)$
$P(W) = (\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8}) + (\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{8}) = \frac{15}{64} + \frac{20}{64} = \frac{35}{64}$।