MHT CET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $S$ कथन $(p \lor \sim q) \to (p \land \sim q)$ है।
$A \to B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ होता है।
अतः, $S$ का प्रतिधनात्मक $\sim(p \land \sim q) \to \sim(p \lor \sim q)$ है।
डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करने पर, यह $(\sim p \lor q) \to (\sim p \land q)$ है।
$A \to B$ का निषेध $A \land \sim B$ होता है।
इसलिए, प्रतिधनात्मक का निषेध $(\sim p \lor q) \land \sim(\sim p \land q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम को पुनः लागू करने पर: $(\sim p \lor q) \land (p \lor \sim q)$।

(B) चरण $1$: निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
चरण $2$: यहाँ, $A = [(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r]$ सत्य है और $B = (p \land \sim q)$ असत्य है।
चरण $3$: $A = T$ से, हमें $(p \leftrightarrow q) = T$, $(q \to r) = T$, और $\sim r = T$ (अर्थात $r = F$) प्राप्त होता है।
चरण $4$: चूँकि $r = F$ और $(q \to r) = T$, इसलिए $q$ को $F$ होना चाहिए (क्योंकि $F \to F$ सत्य है)।
चरण $5$: चूँकि $q = F$ और $(p \leftrightarrow q) = T$, इसलिए $p$ को $F$ होना चाहिए (क्योंकि $F \leftrightarrow F$ सत्य है)।
चरण $6$: $B = (p \land \sim q) = (F \land \sim F) = (F \land T) = F$ की जाँच करें। यह हमारी शर्त से मेल खाता है।
चरण $7$: $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r) = (F \to F) \leftrightarrow (F \to F) = T \leftrightarrow T = T$ का मूल्यांकन करें।
चरण $8$: $\sim (p \lor r) \to (q \land p) = \sim (F \lor F) \to (F \land F) = \sim F \to F = T \to F = F$ का मूल्यांकन करें।
चरण $9$: सत्य मान $(T, F)$ हैं।

(C) $1$. प्रतिबन्ध $p \to (q \lor \sim r)$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ का मान $T$ हो और $(q \lor \sim r)$ का मान $F$ हो।
$2$. $(q \lor \sim r)$ के $F$ होने के लिए, $q$ का $F$ होना और $\sim r$ का $F$ होना आवश्यक है। अतः $q = F$ और $r = T$ है।
$3$. अब, $(p \leftrightarrow q) \land r$ का मूल्यांकन करें: चूँकि $p = T, q = F$, तो $(T \leftrightarrow F)$ का मान $F$ है। अतः $F \land T = F$ है।
$4$. $\sim p \to \sim q$ का मूल्यांकन करें: चूँकि $p = T$ और $q = F$, तो $\sim p = F$ और $\sim q = T$ है। प्रतिबन्ध $F \to T$ का मान $T$ है।
$5$. सत्य मान क्रमशः $F$ और $T$ हैं।

(C) माना $V$ कथन 'वोल्टेज बढ़ता है' है और $C$ कथन 'धारा घटती है' है।
तब $p: V \implies C$ है।
$p$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg C \implies \neg V$ है, जो $s$ है: 'यदि धारा नहीं घटती है, तो वोल्टेज नहीं बढ़ता है'। अतः, $p \equiv s$ है।
$p$ का विलोम (converse) $C \implies V$ है, जो $r$ है: 'यदि धारा घटती है, तो वोल्टेज बढ़ता है'। अतः, $r$ और $q$ एक-दूसरे के प्रतिधनात्मक हैं, इसलिए $r \equiv q$ है।
युग्मों की तुलना करने पर: $p$ और $s$ समान हैं, तथा $q$ और $r$ समान हैं।
अतः, समान अर्थ वाले युग्म $(p, s)$ और $(q, r)$ हैं।

(B) माना $A = (p \land q)$ और $B = (\sim p \lor r)$ है।
दिया गया व्यंजक $(A \to B) \lor (B \to A)$ के रूप में है।
तार्किक समतुल्यता $(X \to Y) \equiv (\sim X \lor Y)$ का उपयोग करने पर:
$(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$
$(B \to A) \equiv (\sim B \lor A)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों द्वारा, इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:
$(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$
चूंकि $(X \lor \sim X)$ हमेशा सत्य $(T)$ होता है:
$T \lor T = T$
अतः, यह कथन प्रतिरूप एक पुनरुक्ति है।

(A) माना $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ है।
निहितार्थ नियम $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ प्राप्त होता है।
$S$ का निषेध $\sim S \equiv \sim [\sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)]$ है।
डी मॉर्गन नियम लागू करने पर: $\sim S \equiv (p \land q) \land \sim (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$।
पुनः डी मॉर्गन नियम लागू करने पर: $\sim S \equiv (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$।
चूंकि $(p \land q) \land q \equiv p \land q$ होता है, इसलिए $\sim S \equiv (p \land q) \land (p \lor r)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(p \land q) \implies (p \lor r)$ एक पुनरुक्ति (tautology) है, अतः $(p \land q) \land (p \lor r) \equiv p \land q$।

(C) चरण $1$: $S_1$ का विश्लेषण करें। $n=1$ के लिए, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, जो $4$ से विभाज्य है। अतः, $S_1$ सत्य है।
चरण $2$: $S_2$ का विश्लेषण करें। $x=1$ के लिए, $1-17 = -16 < 20$ है। चूंकि कम से कम एक $x \in N$ मौजूद है जो इसे संतुष्ट करता है, $S_2$ सत्य है।
चरण $3$: $S_3$ का विश्लेषण करें। यह कथन दावा करता है कि सभी $n \in N$ के लिए, $x^2+3x-10=0$ है। यह असत्य है क्योंकि समीकरण $x$ पर निर्भर करता है और सभी $x$ के लिए सत्य नहीं है, न ही इसका $n$ से कोई संबंध है। अतः, $S_3$ असत्य है।
चरण $4$: $S_4$ का विश्लेषण करें। सभी $n \in N$ के लिए, $n \ge 1$, इसलिए $n^2 \ge 1^2 = 1$ है। अतः, $S_4$ सत्य है।
निष्कर्ष: केवल $S_3$ असत्य है।

(D) चरण $1$: कथन $p \lor q$ है। किसी कथन $p \implies q$ का विलोम $q \implies p$ होता है। तार्किक वियोजन $p \lor q$ के लिए, विलोम घटकों को आपस में बदलने से प्राप्त होता है, जो $q \lor p$ रहता है।
चरण $2$: चूँकि $p \lor q$ तार्किक रूप से $q \lor p$ के समतुल्य है, इसलिए $p \lor q$ का विलोम $p \lor q$ ही है।
चरण $3$: कथन $p \lor q$ का निषेध $\sim(p \lor q)$ है।
चरण $4$: डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$।

(D) एक सशर्त कथन $A \to B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ, $A = [p \lor (p \to q)]$ और $B = (p \land \sim q)$ है।
सबसे पहले, $\sim B$ ज्ञात करें: $\sim(p \land \sim q) \equiv \sim p \lor \sim(\sim q) \equiv \sim p \lor q$।
अगला, $\sim A$ ज्ञात करें: $\sim[p \lor (p \to q)] \equiv \sim p \land \sim(p \to q)$।
चूंकि $(p \to q) \equiv (\sim p \lor q)$, इसलिए $\sim(p \to q) \equiv \sim(\sim p \lor q) \equiv (p \land \sim q)$।
अतः, $\sim A \equiv \sim p \land (p \land \sim q)$।
इसलिए, प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ का मान $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ है।

(D) चरण $1$: $(I)$ का विश्लेषण करें। नियम $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$ का उपयोग करते हुए। अतः, $(I)$ सही है।
चरण $2$: $(II)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। यह $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ के बराबर नहीं है। अतः, $(II)$ गलत है।
चरण $3$: $(III)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (p \to r) \land (\sim q \to r)$। अतः, $(III)$ सही है।
चरण $4$: $(IV)$ का विश्लेषण करें। $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। अतः, $(IV)$ सही है।
चरण $5$: विश्लेषण के आधार पर $(I)$, $(III)$, और $(IV)$ सही हैं। दिए गए विकल्पों में $(I)$ और $(IV)$ सही हैं, इसलिए विकल्प $(D)$ सबसे उपयुक्त है।

(C) परिपथ तीन समानांतर शाखाओं से बना है। परिपथ के लिए तार्किक व्यंजक है:
$S = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$S = ((S_1 \lor S_1') \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
चूंकि $S_1 \lor S_1' = 1$ (पुनरुक्ति):
$S = (1 \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
$S = S_2 \lor (S_3 \land S_2')$
वितरण नियम $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ का उपयोग करने पर:
$S = (S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$
चूंकि $S_2 \lor S_2' = 1$:
$S = S_2 \lor S_3$
इस सरलीकृत परिपथ में केवल दो स्विच, $S_2$ और $S_3$, समानांतर में जुड़े हुए आवश्यक हैं।

(C) चरण $1$: दिए गए कथन प्रतिरूप $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ को सरल करें।
चरण $2$: पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करें: $(\sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$।
चरण $3$: चूँकि $(q \lor \sim q) \equiv T$, व्यंजक $(\sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ बन जाता है।
चरण $4$: पुनः वितरण नियम लागू करें: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$।
चरण $5$: दिया गया सत्यता मान $F$ है, अतः $\sim p \lor \sim q \equiv F$। इसका अर्थ है $\sim p \equiv F$ (अर्थात $p \equiv T$) और $\sim q \equiv F$ (अर्थात $q \equiv T$)।
चरण $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor F) \equiv T$ और $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ का मूल्यांकन करें।

(C) मान लीजिए $1$ चालू स्थिति को दर्शाता है और $0$ बंद स्थिति को दर्शाता है।
स्विच $S$ के लिए, $S'$ पूरक ($NOT$ गेट) को दर्शाता है।
सर्किट को बूलियन व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
यह $XNOR$ गेट का तर्क है।
आउटपुट $L$ का मान $1$ (प्रकाशित) होता है यदि दोनों इनपुट $S_1$ और $S_2$ समान हों।
अतः, कमरा तब प्रकाशित होता है जब $S_1$ और $S_2$ दोनों चालू $(1, 1)$ हों या दोनों बंद $(0, 0)$ हों।

(A) माना दिया गया व्यंजक $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ है।
चरण $1$: मध्य कोष्ठक को सरल करें। व्यंजक $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$, $p \oplus q$ (exclusive $OR$) की परिभाषा है।
चरण $2$: इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $S = (p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$।
चरण $3$: यदि $\sim q$ सत्य है, तो $q$ असत्य है। $q = F$ रखने पर:
$S = (p \lor F) \land (p \oplus F) \land T$
$S = p \land p \land T = p$।
सत्यता सारणी (truth table) से जाँचने पर:
यदि $p=T, q=F$ है, तो $S = T$ प्राप्त होता है।
यदि $p=F, q=F$ है, तो $S = F$ प्राप्त होता है।
अतः, $S \equiv p \land \sim q$।

(A) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है।
चरण $1$: विकल्प $A$ का विश्लेषण करें: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
चरण $2$: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$ के लिए सत्यता सारणी बनाएँ।
- यदि $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
- यदि $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
- यदि $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
- यदि $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
चूंकि सभी मान $T$ हैं, यह एक पुनरुक्ति है।

(A) मान लीजिए $S_1, S_2, S_3$ स्विच को दर्शाते हैं। परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं जो लैंप $L$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं।
शाखा $1$: $S_1$, $S_2$ और $S_3$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। तार्किक व्यंजक $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ है।
शाखा $2$: $S_3', S_2'$ और $S_1$ श्रेणीक्रम में हैं। तार्किक व्यंजक $S_3' \land S_2' \land S_1$ है।
चूँकि शाखाएँ समानांतर में हैं, कुल व्यंजक $Y = (S_1 \land (S_2 \lor S_3)) \lor (S_3' \land S_2' \land S_1)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $Y = (S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3) \lor (S_3' \land S_2' \land S_1)$।
$S_1$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $Y = S_1 \land (S_2 \lor S_3 \lor (S_3' \land S_2'))$।
नियम $(A \lor (B \land C)) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $(S_2 \lor (S_3' \land S_2')) = (S_2 \lor S_3') \land (S_2 \lor S_2') = (S_2 \lor S_3') \land 1 = (S_2 \lor S_3')$ है।
अतः, $Y = S_1 \land (S_3 \lor S_2 \lor S_3') = S_1 \land ((S_3 \lor S_3') \lor S_2) = S_1 \land (1 \lor S_2) = S_1 \land 1 = S_1$।
इस प्रकार, परिपथ एक एकल स्विच $S_1$ में सरल हो जाता है जो लैंप $L$ के साथ श्रेणीक्रम में है, जो चित्र $(a)$ के अनुरूप है।

(C) $1$. प्रतिबन्ध $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
$2$. दिया गया है कि $\sim p \to q$ असत्य है, इसलिए $\sim p = T$ और $q = F$ होना चाहिए।
$3$. चूँकि $\sim p = T$, इसलिए $p = F$ होगा।
$4$. द्वि-प्रतिबन्ध $q \leftrightarrow r$ तब असत्य होता है जब $q$ और $r$ के सत्य मान भिन्न हों।
$5$. चूँकि $q = F$ और $q \leftrightarrow r$ असत्य है, इसलिए $r$ का मान $T$ होना चाहिए।
$6$. अतः, सत्य मान $(p, q, r) = (F, F, T)$ हैं।

(C) दिए गए सत्य मान: $p = T, q = F, r = T$।
चरण $1$: विकल्प $(A)$ का मूल्यांकन: $[F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$।
चरण $2$: विकल्प $(B)$ का मूल्यांकन: $(T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$।
चरण $3$: विकल्प $(C)$ का मूल्यांकन: $[(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$।
चरण $4$: विकल्प $(D)$ का मूल्यांकन: $(T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$।
चूंकि विकल्प $(C)$ का परिणाम $F$ है, इसलिए यह एक सत्य कथन नहीं है।

(C) निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
चरण $1$: $[(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ को सत्य और $(p \land q)$ को असत्य मानिए।
चरण $2$: संयोजन के सत्य होने के लिए, प्रत्येक भाग को सत्य होना चाहिए: $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, और $(\sim r) = T$।
चरण $3$: $(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है। चूंकि $(q \to r) = T$ और $r = F$ है, इसलिए $q$ को $F$ होना चाहिए।
चरण $4$: चूंकि $(p \lor q) = T$ और $q = F$ है, इसलिए $p$ को $T$ होना चाहिए।
चरण $5$: $(p \land q) = (T \land F) = F$ की जाँच करें, जो सुसंगत है।
चरण $6$: $p=T, q=F, r=F$ के साथ विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (सत्य कथन)
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (सत्य कथन)
$(C)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = T$ (यह सत्य नहीं है, क्योंकि यह सत्य है)
$(D)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = F$ (सत्य कथन)
अतः, विकल्प $(C)$ सही उत्तर है।

(B) चरण $1$: माना दिया गया कथन $S = \sim p \lor q$ है। एक सशर्त कथन $p \to q$ का प्रतिलोम $\sim p \to \sim q$ होता है। कथन $\sim p \lor q$, $p \to q$ के समतुल्य है।
चरण $2$: $p \to q$ का प्रतिलोम $\sim p \to \sim q$ है, जो $\sim(\sim p) \lor \sim q = p \lor \sim q$ के समतुल्य है।
चरण $3$: प्रतिलोम का निषेध $\sim(p \lor \sim q)$ है।
चरण $4$: डी मॉर्गन के नियम द्वारा, $\sim(p \lor \sim q) = \sim p \land \sim(\sim q) = \sim p \land q$ है।

(B) चरण $1$: कथन $I$ का विश्लेषण करें। 'यदि $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (सत्य), तो $2$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (असत्य)'। एक सशर्त कथन $P \implies Q$ असत्य होता है यदि $P$ सत्य हो और $Q$ असत्य हो। अतः, $I$ असत्य है।
चरण $2$: कथन $II$ का विश्लेषण करें। '$e$ एक स्वर है (सत्य) और $12 \times 3 = 36$ (सत्य)'। चूँकि दोनों भाग सत्य हैं, इसलिए संयोजन सत्य है।
चरण $3$: कथन $III$ का विश्लेषण करें। '$14$ एक भाज्य संख्या है (सत्य) और $3$ एक सम संख्या है (असत्य)'। संयोजन '$14$ भाज्य है और $3$ सम है' असत्य है। इसलिए, 'यह सत्य नहीं है कि...' कथन को सत्य बनाता है।
चरण $4$: कथन $IV$ का विश्लेषण करें। '$\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है (सत्य), लेकिन $3 + \sqrt{5}$ एक सम्मिश्र संख्या है (सत्य, क्योंकि सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं)'। चूँकि दोनों भाग सत्य हैं, इसलिए कथन सत्य है।
चरण $5$: निष्कर्ष। केवल कथन $I$ सत्य नहीं है। सही विकल्प $B$ है।

(A) सूत्र $\cos(x - y) \cos(x + y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ का उपयोग करने पर:
$\cos(60^{\circ} - A) \cos(60^{\circ} + A) = \cos^2 60^{\circ} - \sin^2 A$
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= (\frac{1}{2})^2 - \sin^2 A = \frac{1}{4} - \sin^2 A$
अब $\cos A$ से गुणा करने पर:
$= \cos A (\frac{1}{4} - \sin^2 A) = \frac{1}{4} \cos A - \cos A \sin^2 A$
चूंकि $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$:
$= \frac{1}{4} \cos A - \cos A (1 - \cos^2 A) = \frac{1}{4} \cos A - \cos A + \cos^3 A = \cos^3 A - \frac{3}{4} \cos A$
$\frac{1}{4}$ कॉमन लेने पर:
$= \frac{1}{4} (4 \cos^3 A - 3 \cos A)$
सर्वसमिका $\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{4} \cos 3A$

(A) दिया है: $\cos 43^{\circ} + \sin 43^{\circ} = k$।
दोनों पक्षों को $\frac{1}{\sqrt{2}}$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 43^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 43^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$।
$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 45^{\circ} \cos 43^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 43^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\sin(45^{\circ} + 43^{\circ}) = \frac{k}{\sqrt{2}}$।
$\sin 88^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$।
चूँकि $\sin 88^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 88^{\circ}) = \cos 2^{\circ}$ है, इसलिए:
$\cos 2^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$।

(A) दिया गया है $\angle C = \frac{\pi}{3}$, इसलिए $A + B = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
हमें $X = \cos^2 A + \cos^2 B - \cos A \cos B$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$X = \frac{1 + \cos 2A}{2} + \frac{1 + \cos 2B}{2} - \cos A \cos B$
$X = 1 + \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) - \cos A \cos B$
$\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$X = 1 + \cos(A+B) \cos(A-B) - \cos A \cos B$
चूंकि $A+B = \frac{2\pi}{3}$, $\cos(A+B) = -\frac{1}{2}$।
$X = 1 - \frac{1}{2} \cos(A-B) - \cos A \cos B$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$X = 1 - \frac{1}{2} \cos(A-B) - \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} + \cos(A-B)] = \frac{5}{4} - \cos(A-B)$।
मानक रूप में, सही उत्तर $\frac{3}{4}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$।
इसी प्रकार, $\sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$।
अब, $\cos 15^{\circ} - \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(B) दिया गया है $x + y = \frac{\pi}{4}$।
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर: $\tan(x + y) = \tan(\frac{\pi}{4})$।
सूत्र $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1$ का उपयोग करने पर।
अतः, $\tan x + \tan y = 1 - \tan x \tan y$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1$।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1 + 1$।
बाएँ पक्ष का गुणनखंड करने पर: $(1 + \tan x) + \tan y(1 + \tan x) = 2$।
$(1 + \tan x)(1 + \tan y) = 2$।

(C) हम जानते हैं कि स्पर्शज्या (tangent) फलन का आवर्तनांक (period) $\pi$ होता है।
इसलिए, किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $\tan(x - n\pi) = \tan x$ होता है।
दिए गए व्यंजक $\tan(x - 9\pi)$ को हम $\tan(x - 9\pi) = \tan x$ के रूप में लिख सकते हैं क्योंकि $9$ एक पूर्णांक है।
वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका $\tan(\theta - n\pi) = \tan \theta$ का उपयोग करने पर, हमें $\tan(x - 9\pi) = \tan x$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $f_k(x) = \frac{1}{k}(\cos^k x + \sin^k x)$।
$k=4$ के लिए, $f_4(x) = \frac{1}{4}(\cos^4 x + \sin^4 x)$।
$\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ का उपयोग करने पर, हमें $f_4(x) = \frac{1}{4}(1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x))$ प्राप्त होता है।
$k=6$ के लिए, $f_6(x) = \frac{1}{6}(\cos^6 x + \sin^6 x)$।
$\cos^6 x + \sin^6 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^4 x - \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$ का उपयोग करने पर, हमें $f_6(x) = \frac{1}{6}(1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x))$ प्राप्त होता है।
अब, $f_6(x) - f_4(x) = \frac{1}{6} - \frac{1}{8}\sin^2(2x) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{8}\sin^2(2x)) = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2-3}{12} = -\frac{1}{12}$।

(A) दिया है $\angle A = 90^{\circ}$, अतः $B + C = 90^{\circ}$, इसलिए $C = 90^{\circ} - B$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर, $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = a$, जहाँ $a$ कर्ण है।
अतः, $b = a \sin B$ और $c = a \sin C = a \sin(90^{\circ} - B) = a \cos B$ है।
अब, $\sin(B - C) = \sin B \cos C - \cos B \sin C$ है।
चूँकि $C = 90^{\circ} - B$, इसलिए $\cos C = \sin B$ और $\sin C = \cos B$ है।
अतः, $\sin(B - C) = \sin^2 B - \cos^2 B$ है।
$b = a \sin B$ और $c = a \cos B$ से, हमें $\sin B = \frac{b}{a}$ और $\cos B = \frac{c}{a}$ प्राप्त होता है।
इनका मान रखने पर, $\sin(B - C) = (\frac{b}{a})^2 - (\frac{c}{a})^2 = \frac{b^2 - c^2}{a^2}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos 3x \cdot \tan 5x = \sin 7x$
$\cos 3x \cdot \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = \sin 7x$
$\cos 3x \cdot \sin 5x = \sin 7x \cdot \cos 5x$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} [\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)] = \frac{1}{2} [\sin(7x+5x) + \sin(7x-5x)]$
$\sin 8x + \sin 2x = \sin 12x + \sin 2x$
$\sin 12x = \sin 8x$
$\sin 12x - \sin 8x = 0$
$2 \cos(10x) \sin(2x) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 2x = 0 \implies 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}$। $[0, \frac{\pi}{2})$ में, $x = 0$।
स्थिति $2$: $\cos 10x = 0 \implies 10x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies x = \frac{(2n+1)\pi}{20}$।
$x \in [0, \frac{\pi}{2})$ के लिए, $n = 0, 1, 2, 3, 4 \implies x = \frac{\pi}{20}, \frac{3\pi}{20}, \frac{5\pi}{20}, \frac{7\pi}{20}, \frac{9\pi}{20}$।
प्रांत की जाँच: $\tan 5x$ का मान $5x = (2k+1)\frac{\pi}{2} \implies x = \frac{(2k+1)\pi}{10}$ पर अपरिभाषित है।
$k=0, 1, 2$ के लिए, ये मान प्राप्त हलों में नहीं हैं।
कुल वैध हल: $x = 0, \frac{\pi}{20}, \frac{3\pi}{20}, \frac{5\pi}{20}, \frac{7\pi}{20}, \frac{9\pi}{20}$। कुल $6$ हल।

(A) समीकरण $\cos \theta - \sin \theta = 1$ को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4}$
$\cos x = \cos \alpha$ का व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \alpha$ होता है:
$\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$
स्थिति $1$: $\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{4} \implies \theta = 2n\pi$
स्थिति $2$: $\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi - \frac{\pi}{4} \implies \theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$
अतः, $\theta = 2n\pi, 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n \in Z$ है।

(B) दिया गया है $\cos(p\theta) + \cos(q\theta) = 0$।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos(\frac{(p+q)\theta}{2}) \cos(\frac{(p-q)\theta}{2}) = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $\cos(\frac{(p+q)\theta}{2}) = 0$ या $\cos(\frac{(p-q)\theta}{2}) = 0$।
$\cos x = 0$ के लिए, व्यापक हल $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ होता है।
स्थिति $1$: $\frac{(p+q)\theta}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{p+q}$।
स्थिति $2$: $\frac{(p-q)\theta}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{p-q}$।
अतः, $\theta = \frac{(2n+1)\pi}{p \pm q}$।

(C) दिया है $\frac{1}{\cos 4\theta} - \frac{1}{\cos 2\theta} = 2$।
$LCM$ लेने पर: $\frac{\cos 2\theta - \cos 4\theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$।
$\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{2 \sin 3\theta \sin \theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$।
$\sin 3\theta \sin \theta = \cos 4\theta \cos 2\theta$।
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ और $2 \cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}(\cos 2\theta - \cos 4\theta) = \frac{1}{2}(\cos 2\theta + \cos 6\theta)$।
$-\cos 4\theta = \cos 6\theta \implies \cos 6\theta + \cos 4\theta = 0$।
$2 \cos 5\theta \cos \theta = 0$।
स्थिति $1$: $\cos 5\theta = 0 \implies 5\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{10} = \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$।
स्थिति $2$: $\cos \theta = 0 \implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$।
अतः, $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}, \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin x - \sin 2x + \sin 3x = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\sin 3x + \sin x) - \sin 2x = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(\frac{3x+x}{2}) \cos(\frac{3x-x}{2}) - \sin 2x = 0$
$2 \sin 2x \cos x - \sin 2x = 0$
$\sin 2x$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\sin 2x (2 \cos x - 1) = 0$
इसका अर्थ है $\sin 2x = 0$ या $2 \cos x - 1 = 0$ है।
स्थिति $1$: $\sin 2x = 0$। चूँकि $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ है, इसलिए $0 \leq 2x \leq \pi$ होगा। अतः, $2x = 0$ या $2x = \pi$, जिससे $x = 0$ या $x = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$। चूँकि $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ है, $x = \frac{\pi}{3}$ होगा।
$x$ के मान $0, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ हैं।
मानों की कुल संख्या $3$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\cot \theta \cdot \cot 2\theta = 1$
$\implies \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} = 1$
$\implies \cos \theta \cdot \cos 2\theta = \sin \theta \cdot \sin 2\theta$
$\implies \cos \theta \cdot \cos 2\theta - \sin \theta \cdot \sin 2\theta = 0$
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\implies \cos(\theta + 2\theta) = 0$
$\implies \cos 3\theta = 0$
$\cos x = 0$ के लिए व्यापक हल $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in Z$ है।
अतः, $3\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$
$\implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{6}, n \in Z$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin 3\theta - \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$।
$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ और $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$3\sin \theta - 4\sin^3 \theta - (1 - \sin^2 \theta) = \frac{1}{4}$।
$-4\sin^3 \theta + \sin^2 \theta + 3\sin \theta - 1 = \frac{1}{4}$।
$-4$ से गुणा करने पर: $16\sin^3 \theta - 4\sin^2 \theta - 12\sin \theta + 4 = -1$।
$16\sin^3 \theta - 4\sin^2 \theta - 12\sin \theta + 5 = 0$।
माना $x = \sin \theta$। चूंकि $\theta \in [0, \pi]$, $x \in [0, 1]$।
$f(x) = 16x^3 - 4x^2 - 12x + 5 = 0$।
$f(0) = 5$ और $f(1) = 5$।
$f'(x) = 48x^2 - 8x - 12 = 4(12x^2 - 2x - 3)$।
$f'(x) = 0$ के मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{12}$ हैं।
चूंकि $x \in [0, 1]$, $x_0 = \frac{1 + \sqrt{37}}{12} \approx 0.59$ पर विचार करें।
$f(0.59) < 0$ है।
चूंकि $f(0) > 0$, $f(x_0) < 0$, और $f(1) > 0$, $(0, 1)$ में $x$ के दो मूल हैं।
प्रत्येक $x$ के लिए, $[0, \pi]$ में $\theta$ के दो मान हैं।
अतः, कुल $4$ हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos x - \sin x = -1$।
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर, $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{3\pi}{4} \implies x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$।
$x \in [0, 6\pi]$ के लिए, $n=0, 1, 2$ पर $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi - \frac{3\pi}{4} \implies x = 2n\pi - \pi$।
$x \in [0, 6\pi]$ के लिए, $n=1, 2, 3$ पर $x = \pi, 3\pi, 5\pi$ प्राप्त होते हैं।
दिया है $x = k(\frac{\pi}{3})$, अतः $k = \frac{3x}{\pi}$।
$x = \frac{\pi}{2}$ के लिए, $k = 1.5$ (प्राकृत संख्या नहीं है)।
$x = \frac{5\pi}{2}$ के लिए, $k = 7.5$ (प्राकृत संख्या नहीं है)।
$x = \frac{9\pi}{2}$ के लिए, $k = 13.5$ (प्राकृत संख्या नहीं है)।
$x = \pi$ के लिए, $k = 3$।
$x = 3\pi$ के लिए, $k = 9$।
$x = 5\pi$ के लिए, $k = 15$।
अतः, $k \in \{3, 9, 15\}$। मानों की संख्या $3$ है।

(B) चरण $1$: प्रथम समीकरण $2 \sin^2 \theta - 2 \cos^2 \theta + 1 = 0$ को हल करें।
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर, हमें $2 \sin^2 \theta - 2(1 - \sin^2 \theta) + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$2 \sin^2 \theta - 2 + 2 \sin^2 \theta + 1 = 0 \implies 4 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$।
चरण $2$: द्वितीय समीकरण $2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$ को हल करें।
माना $x = \sin \theta$ है। तब $2x^2 + 3x - 2 = 0 \implies (2x - 1)(x + 2) = 0$।
अतः, $\sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -2$। चूँकि $-1 \le \sin \theta \le 1$, इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{2}$।
चरण $3$: उभयनिष्ठ हल ज्ञात करें।
उभयनिष्ठ स्थिति $\sin \theta = \frac{1}{2}$ है।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में, $\sin \theta = \frac{1}{2}$ का मान $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5\pi}{6}$ पर होता है।
अतः $2$ उभयनिष्ठ हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos x + \sin x = \cos 2x + \sin 2x$
$\cos x - \cos 2x = \sin 2x - \sin x$
$\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ और $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$-2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{-x}{2} = 2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}$
$2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}$
$2 \sin \frac{x}{2} (\sin \frac{3x}{2} - \cos \frac{3x}{2}) = 0$
स्थिति $1$: $\sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = n\pi \implies x = 2n\pi$। यहाँ $p=2$ है।
स्थिति $2$: $\sin \frac{3x}{2} = \cos \frac{3x}{2} \implies \tan \frac{3x}{2} = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$\frac{3x}{2} = n\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$। यहाँ $q=2$ है।
अतः, $p:q = 2:2 = 1:1$।

(C) दिया गया है $\text{cosec}(\theta) = -2$, जिसका अर्थ है $\sin(\theta) = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $\sin(\theta)$ ऋणात्मक है, इसलिए $\theta$ तीसरे या चौथे चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए।
संदर्भ कोण $\alpha$ ऐसा है कि $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$, अतः $\alpha = \frac{\pi}{6}$।
तीसरे चतुर्थांश में, $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$।
चौथे चतुर्थांश में, $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$।
अतः, मुख्य हल $\frac{7\pi}{6}$ और $\frac{11\pi}{6}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos 4\theta = \cos 3\theta$ है।
$\cos x = \cos y$ के व्यापक हल का सूत्र उपयोग करने पर, जो $x = 2n\pi \pm y$ है, जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
यहाँ, $x = 4\theta$ और $y = 3\theta$ है।
स्थिति $1$: $4\theta = 2n\pi + 3\theta \implies \theta = 2n\pi$ है।
स्थिति $2$: $4\theta = 2n\pi - 3\theta \implies 7\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{2n\pi}{7}$ है।
अतः, व्यापक हल $\theta = 2n\pi$ या $\theta = \frac{2n\pi}{7}$ है, जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।

(D) प्रथम चतुर्थांश में दोनों अक्षों से समान दूरी पर स्थित एक बिंदु $(x, y)$ के लिए $x = y = a$ होता है, जहाँ $a > 0$ है।
इसे रेखा के समीकरण $y = 2x + c$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $a = 2a + c$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $c = -a$ हो जाता है।
चूँकि $a > 0$ है, इसलिए $c < 0$ होगा।
दिए गए विकल्पों में से केवल $-2$ ऋणात्मक है।
अतः, $c = -2$ के लिए, हमारे पास $a = 2a - 2$ है, जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है। चूँकि $a > 0$ है, बिंदु $(2, 2)$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है और शर्त को संतुष्ट करता है।

(A) चरण $1$: रेखाओं की प्रवणता (slopes) की जाँच करें। $L_1$ की प्रवणता $m_1 = 4/7$ है। $L_3$ की प्रवणता $m_3 = -7/4$ है। चूँकि $m_1 \times m_3 = (4/7) \times (-7/4) = -1$, रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ लंबवत हैं।
चरण $2$: एक समकोण त्रिभुज में, लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
चरण $3$: $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$4x - 7y = -10$
$7x + 4y = 15$
समीकरणों को हल करने पर: $x = 1$ और $y = 2$ प्राप्त होता है। अतः लंबकेंद्र $(1, 2)$ है।

(B) द्वितीय-कोटि वक्र का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ है। इसके सरल रेखाओं के युग्म को निरूपित करने के लिए शर्त $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ है। गुणांकों की तुलना करने पर: $A=a, H=2, B=-2, G=2, F=4, C=1$। इन्हें प्रतिस्थापित करने पर: $a(-2)(1) + 2(4)(2)(2) - a(4)^2 - (-2)(2)^2 - 1(2)^2 = 0 \implies -2a + 32 - 16a + 8 - 4 = 0 \implies -18a + 36 = 0 \implies a = 2$। समीकरण $2x^2 + 4xy - 2y^2 + 4x + 8y + 1 = 0$ बन जाता है। माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k)$ है। $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलज हैं: $f_x = 4x + 4y + 4 = 0 \implies x + y = -1$ और $f_y = 4x - 4y + 8 = 0 \implies x - y = -2$। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$। घटाने पर: $2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ है।

(B) माना $f(x, y) = x^2 - ky^2 - 4x + 6y - 5 = 0$ है।
समीकरण के सरल रेखाओं के युग्म को निरूपित करने के लिए, $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलज प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k_0)$ पर शून्य होने चाहिए।
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 4 = 0 \implies x = 2$।
$\frac{\partial f}{\partial y} = -2ky + 6 = 0 \implies ky = 3$।
साथ ही, रेखाओं के युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
यहाँ $a=1, b=-k, c=-5, h=0, g=-2, f=3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1)(-k)(-5) + 2(3)(-2)(0) - 1(3)^2 - (-k)(-2)^2 - (-5)(0)^2 = 0$।
$5k - 9 + 4k = 0 \implies 9k = 9 \implies k = 1$।
$k=1$ को $ky=3$ में रखने पर, हमें $y=3$ प्राप्त होता है।
अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ है।

(A) दिया गया समीकरण $(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ है।
इसे $(x - 2y)(x - 2y + k) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
अतः, दो रेखाएँ $L_1: x - 2y = 0$ और $L_2: x - 2y + k = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $a = 1$, $b = -2$, $c_1 = 0$, और $c_2 = k$ है।
दिया गया है $d = 3$, इसलिए $3 = \frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}$।
$3 = \frac{|-k|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{k}{\sqrt{5}}$ (चूँकि $k > 0$ है)।
$k = 3\sqrt{5}$।
$L_2$ के समीकरण में $k$ का मान रखने पर, हमें $x - 2y + 3\sqrt{5} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, रेखाएँ $x - 2y = 0$ और $x - 2y + 3\sqrt{5} = 0$ हैं।

(A) रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। इसकी तुलना $kx^2 - 5xy + 6y^2 + x - 3y = 0$ से करने पर, हमें $a=k, h=-5/2, b=6, g=1/2, f=-3/2, c=0$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म को निरूपित करने के लिए शर्त $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ है।
मान रखने पर: $k(6)(0) + 2(-3/2)(1/2)(-5/2) - k(-3/2)^2 - 6(1/2)^2 - 0(-5/2)^2 = 0$।
$0 + 15/4 - 9k/4 - 6/4 = 0 \implies 9/4 - 9k/4 = 0 \implies k=1$।
समीकरण $x^2 - 5xy + 6y^2 + x - 3y = 0$ बन जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ को $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\frac{\partial}{\partial x} = 2x - 5y + 1 = 0$ और $\frac{\partial}{\partial y} = -5x + 12y - 3 = 0$।
इन्हें हल करने पर: $2x - 5y = -1$ $(i)$ और $-5x + 12y = 3$ (ii)।
$(i)$ को $5$ से और (ii) को $2$ से गुणा करने पर: $10x - 25y = -5$ और $-10x + 24y = 6$।
जोड़ने पर: $-y = 1 \implies y = -1$।
$(i)$ में $y = -1$ रखने पर: $2x - 5(-1) = -1 \implies 2x + 5 = -1 \implies 2x = -6 \implies x = -3$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-3, -1)$ है।

(B) चरण $1$: पहली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। चूँकि यह $(1, 4)$ से गुजरती है और $X$-अक्ष के समांतर है, इसका समीकरण $y = 4$ या $y - 4 = 0$ है।
चरण $2$: दूसरी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। यह $(1, 4)$ से गुजरती है और $X$-अक्ष के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती है। इसकी ढाल $m = \tan(45^\circ) = 1$ है। बिंदु-ढाल रूप $(y - y_1) = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर, हमें $(y - 4) = 1(x - 1)$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $y - 4 = x - 1$ या $x - y + 3 = 0$ बन जाता है।
चरण $3$: संयुक्त समीकरण दोनों व्यक्तिगत समीकरणों का गुणनफल है: $(y - 4)(x - y + 3) = 0$।
चरण $4$: गुणनफल का विस्तार करने पर: $xy - y^2 + 3y - 4x + 4y - 12 = 0$।
चरण $5$: सरल करने पर $xy - y^2 - 4x + 7y - 12 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - 4xy + 4y^2 + kx - 2ky = 0$ है।
इसे $(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(x - 2y)$ को उभयनिष्ठ लेने पर, हमें $(x - 2y)(x - 2y + k) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, दो रेखाएँ $L_1: x - 2y = 0$ और $L_2: x - 2y + k = 0$ हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
यहाँ, $a = 1$, $b = -2$, $c_1 = 0$, और $c_2 = k$ है।
दिया है $d = 3$, इसलिए $3 = \frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}$।
$3 = \frac{|k|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$।
$|k| = 3\sqrt{5}$।
अतः, $k = \pm 3\sqrt{5}$।

(D) चरण $1$: $x^2 - 6xy + 5y^2 + 10x - 14y + 9 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। माना $f(x, y) = x^2 - 6xy + 5y^2 + 10x - 14y + 9 = 0$ है।
चरण $2$: $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 6y + 10 = 0 \implies x - 3y + 5 = 0$ $(i)$।
चरण $3$: $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर: $\frac{\partial f}{\partial y} = -6x + 10y - 14 = 0 \implies -3x + 5y - 7 = 0$ (ii)।
चरण $4$: समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करें। $(i)$ से, $x = 3y - 5$। इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $-3(3y - 5) + 5y - 7 = 0 \implies -9y + 15 + 5y - 7 = 0 \implies -4y + 8 = 0 \implies y = 2$।
चरण $5$: $y = 2$ को $(i)$ में रखने पर: $x = 3(2) - 5 = 1$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ है।
चरण $6$: $(1, 2)$ से गुजरने वाली निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाएं $x = 1$ और $y = 2$ हैं।
चरण $7$: संयुक्त समीकरण $(x - 1)(y - 2) = 0 \implies xy - 2x - y + 2 = 0$ है।

(D) दिया गया है $y = \tan \left( \log \left( \frac{3 + 2x}{3 - 2x} \right) \right)$।
माना $u = \log \left( \frac{3 + 2x}{3 - 2x} \right) = \log(3 + 2x) - \log(3 - 2x)$।
तब $y = \tan(u)$, इसलिए $\frac{dy}{dx} = \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx}$।
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} [\log(3 + 2x) - \log(3 - 2x)] = \frac{2}{3 + 2x} - \frac{-2}{3 - 2x} = \frac{2}{3 + 2x} + \frac{2}{3 - 2x}$ की गणना करें।
$\frac{du}{dx} = \frac{2(3 - 2x) + 2(3 + 2x)}{(3 + 2x)(3 - 2x)} = \frac{6 - 4x + 6 + 4x}{9 - 4x^2} = \frac{12}{9 - 4x^2}$ को सरल करें।
इस प्रकार, $\frac{dy}{dx} = \sec^2 \left( \log \left( \frac{3 + 2x}{3 - 2x} \right) \right) \cdot \left( \frac{12}{9 - 4x^2} \right)$।
$\frac{dy}{dx} = \left( \frac{A}{B + Cx^2} \right) \cdot \sec^2 \left( \log \left( \frac{3 + 2x}{3 - 2x} \right) \right)$ के साथ तुलना करने पर, हमें $A = 12$, $B = 9$, और $C = -4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया है $f(x) = x - 5$, इसलिए $f'(x) = 1$ है।
$g(x) = [f(4h(x) + 3)]^2$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, $g'(x) = 2[f(4h(x) + 3)] \cdot f'(4h(x) + 3) \cdot \frac{d}{dx}(4h(x) + 3)$ है।
$g'(x) = 2[f(4h(x) + 3)] \cdot 1 \cdot 4h'(x) = 8h'(x) \cdot f(4h(x) + 3)$ है।
$x = 1$ पर, $g'(1) = 8h'(1) \cdot f(4h(1) + 3)$ है।
$h(1) = 4$ और $h'(1) = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$g'(1) = 8(-2) \cdot f(4(4) + 3) = -16 \cdot f(19)$ है।
चूँकि $f(x) = x - 5$ है, इसलिए $f(19) = 19 - 5 = 14$ है।
$g'(1) = -16 \cdot 14 = -224$ है।

(C) चरण $1$: दिए गए फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1)^{1/2} = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$।
$g'(x) = \frac{(x^2 + 1)(1) - (x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$।
$h'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 3) = 2$।
चरण $2$: संयोजन $f'(h'(g'(x)))$ का मूल्यांकन कीजिए।
चूँकि $h'(x) = 2$ एक अचर फलन है, इसलिए किसी भी $x$ के लिए $h'(g'(x)) = 2$ होगा।
अतः, $f'(h'(g'(x))) = f'(2)$।
चरण $3$: $f'(x)$ में $x = 2$ प्रतिस्थापित कीजिए।
$f'(2) = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$।

(C) माना $y = \sin \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) = \sin (\log(x+3) - \log x)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर, $\frac{dy}{dx} = \cos \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right)$ प्राप्त होता है।
अब, $\frac{d}{dx} \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) = \frac{x}{x+3} \cdot \frac{d}{dx} \left( 1 + \frac{3}{x} \right)$ है।
$= \frac{x}{x+3} \cdot \left( -\frac{3}{x^2} \right) = -\frac{3}{x(x+3)}$ है।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \cos \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right) \cdot \left( -\frac{3}{x(x+3)} \right) = \frac{-3}{x(x+3)} \cos \left( \log \left( \frac{x + 3}{x} \right) \right)$ है।

(D) माना $y = \log_8(\log_5 x)$ है।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ का उपयोग करने पर, $y = \frac{\ln(\log_5 x)}{\ln 8}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\log_5 x = \frac{\ln x}{\ln 5}$, इसलिए $y = \frac{\ln(\frac{\ln x}{\ln 5})}{\ln 8} = \frac{\ln(\ln x) - \ln(\ln 5)}{\ln 8}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln 8} \cdot \frac{d}{dx} [\ln(\ln x) - \ln(\ln 5)]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln 8} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{\ln 8 \cdot \ln x} \cdot \frac{1}{x}$
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln x \ln 8}$।

(A) दिया गया है $h(x) = \{f(x)\}^2 + \{g(x)\}^2$।
$h(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h'(x) = 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x)$।
चूंकि $f'(x) = g(x)$, इसलिए $g'(x) = f''(x)$।
दिया गया है $f''(x) = -f(x)$, अतः $g'(x) = -f(x)$।
इन मानों को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$h'(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$।
चूंकि $h'(x) = 0$, इसलिए $h(x)$ एक अचर फलन है।
अतः, $h(10) = h(5) = 11$।

(B) दिया गया है $f(x) = \cos^4 x + \sin^4 x$।
सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करने पर, $f(x) = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot 2\sin(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -\sin(4x)$।
हमें $f'(x) > 0$ चाहिए, अतः $-\sin(4x) > 0$, जिसका अर्थ है $\sin(4x) < 0$।
$0 \le x \le 2\pi$ के लिए, $0 \le 4x \le 8\pi$।
$\sin(4x) < 0$ अंतराल $(\pi, 2\pi), (3\pi, 4\pi), (5\pi, 6\pi), (7\pi, 8\pi)$ में होता है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\pi < 4x < 2\pi \implies \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$।
यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(C) दिया है $f(x) = \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x$।
$2 \sin x$ से गुणा और भाग करने पर:
$f(x) = \frac{2 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x}{2 \sin x} = \frac{\sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x}{2 \sin x}$।
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का बार-बार उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\sin 32x}{32 \sin x}$।
अब, $f'(x) = \frac{1}{32} \left[ \frac{32 \cos 32x \sin x - \sin 32x \cos x}{\sin^2 x} \right]$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर, $\sin 32x = \sin(8\pi) = 0$ और $\cos 32x = \cos(8\pi) = 1$।
$f' \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{32} \left[ \frac{32(1) \sin(\pi/4) - 0}{\sin^2(\pi/4)} \right] = \frac{32 \sin(\pi/4)}{32 \sin^2(\pi/4)} = \frac{1}{\sin(\pi/4)} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(C) दिया गया है $y = x \cdot 7^x$।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot 7^x + x \cdot \frac{d}{dx}(7^x)$
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot 7^x + x \cdot (7^x \ln 7)$
$\frac{dy}{dx} = 7^x(1 + x \ln 7)$
$x = 1$ पर:
$\frac{dy}{dx} = 7^1(1 + 1 \cdot \ln 7) = 7(1 + \ln 7)$
चूंकि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$, इसलिए:
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{7(1 + \ln 7)}$
$\ln 7 = \log_e 7$ का उपयोग करने पर, परिणाम $\frac{1}{7(\log 7 + 1)}$ है।

(C) दिया गया है $y = \sqrt{\cos x^2 + y}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $y^2 = \cos x^2 + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = -\sin x^2 \cdot (2x) + \frac{dy}{dx}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = -2x \sin x^2$।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x \sin x^2}{2y - 1}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{2y - 1}$ से तुलना करने पर, हमें $f(x) = -2x \sin x^2$ प्राप्त होता है।
अब, $\int f(x) dx = \int -2x \sin x^2 dx$।
माना $u = x^2$, तब $du = 2x dx$।
इनका प्रतिस्थापन करने पर, हमें $\int -\sin u du = \cos u + c$ प्राप्त होता है।
$u = x^2$ वापस रखने पर, हमें $\cos x^2 + c$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos(2^{n-1}\theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ होता है।
यहाँ, $n=5$ और $\theta = x$ है, इसलिए $f(x) = \frac{\sin(32x)}{32 \sin x}$।
भागफल नियम का उपयोग करने पर, $f'(x) = \frac{1}{32} \left[ \frac{32 \cos(32x) \sin x - \cos x \sin(32x)}{\sin^2 x} \right]$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर, $\sin(32 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(8\pi) = 0$ और $\cos(32 \cdot \frac{\pi}{4}) = \cos(8\pi) = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $f' \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{32} \left[ \frac{32(1) \sin(\pi/4) - \cos(\pi/4)(0)}{\sin^2(\pi/4)} \right]$।
$f' \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{32 \sin(\pi/4)}{32 \sin^2(\pi/4)} = \frac{1}{\sin(\pi/4)} = \text{cosec} \left( \frac{\pi}{4} \right)$।

(D) दिया गया है $g(x) = (x^2 + 2x + 1) \cdot f(x)$।
अवकलन के गुणन नियम का उपयोग करने पर: $g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x + 1) \cdot f(x) + (x^2 + 2x + 1) \cdot f'(x)$।
$g'(x) = (2x + 2) \cdot f(x) + (x^2 + 2x + 1) \cdot f'(x)$।
$x = 0$ पर: $g'(0) = (2(0) + 2) \cdot f(0) + (0^2 + 2(0) + 1) \cdot f'(0) = 2 \cdot f(0) + 1 \cdot f'(0)$।
दिया गया है $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 5}{x} = 4$, चूँकि $f(0) = 5$, यह सीमा अवकलज $f'(0) = 4$ को दर्शाती है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $g'(0) = 2(5) + 1(4) = 10 + 4 = 14$।

(D) माना $u = \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$ है। तब $y = f(u)$, इसलिए $\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot \frac{du}{dx}$ होगा।
सबसे पहले, भागफल नियम का उपयोग करके $\frac{du}{dx}$ की गणना करें: $\frac{du}{dx} = \frac{(x^2 + 1)(2) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}$।
$x = 1$ पर, $u = \frac{2(1) - 1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$ और $\frac{du}{dx} = \frac{-2(1)^2 + 2(1) + 2}{(1^2 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $f'(x) = \sin^2 x$ है, इसलिए $f'(u) = \sin^2 u$ होगा। अतः $f'(1/2) = \sin^2(1/2)$।
इसलिए, $\frac{dy}{dx} = f'(1/2) \cdot \frac{du}{dx} = \sin^2(1/2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sin^2 \left( \frac{1}{2} \right)$।

(C) माना $f(x) = (1/x)^x = x^{-x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = -[\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}] = -(\ln(x) + 1)$।
अवकलज को $0$ के बराबर रखने पर: $-(\ln(x) + 1) = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = 1/e$।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2}{dx^2}(\ln(f(x))) = -\frac{1}{x}$। $x = 1/e$ पर, यह $-e < 0$ है, अतः यह एक स्थानीय उच्चिष्ठ है।
अधिकतम मान $f(1/e) = (1/(1/e))^{1/e} = e^{1/e}$ है।

(D) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{x(\frac{1}{x}) - \log x(1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$।
चूंकि $e \approx 2.718$, $x = e$ अंतराल $(2, \infty)$ में स्थित है।
$x = e$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जांचें: $x < e$ के लिए, $f'(x) > 0$ (वर्धमान); $x > e$ के लिए, $f'(x) < 0$ (ह्रासमान)।
अतः, $x = e$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
जैसे $x \to 2^+$, $f(x) \to \frac{\log 2}{2} \approx 0.346$।
जैसे $x \to \infty$, $f(x) \to 0$।
चूंकि फलन $x = e$ तक बढ़ता है और फिर $x \to \infty$ होने पर $0$ की ओर घटता है, $(2, \infty)$ पर फलन का निम्नक (infimum) $0$ है, लेकिन यह कभी प्राप्त नहीं होता है। इसलिए, न्यूनतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(A) माना आधार की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है। आयतन $V = \pi r^2 h = 125\pi$, इसलिए $h = \frac{125}{r^2}$ है।
बिना ऊपरी ढक्कन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = \pi r^2 + 2\pi rh$ होता है।
$h$ का मान रखने पर: $S = \pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{125}{r^2} \right) = \pi r^2 + \frac{250\pi}{r}$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, $r$ के सापेक्ष अवकलन करें: $\frac{dS}{dr} = 2\pi r - \frac{250\pi}{r^2}$।
$\frac{dS}{dr} = 0$ रखने पर: $2\pi r = \frac{250\pi}{r^2} \implies r^3 = 125 \implies r = 5 \text{ cm}$।
$r = 5$ का मान $S$ में रखने पर: $S = \pi(5)^2 + \frac{250\pi}{5} = 25\pi + 50\pi = 75\pi \text{ cm}^2$।

(D) माना दो भाग $x$ और $28-x$ हैं, जहाँ $x > 0$ और $28-x > 0$ है।
माना $f(x) = x^3 + (28-x)^2$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें: $f'(x) = 3x^2 - 2(28-x) = 3x^2 + 2x - 56$।
$f'(x) = 0$ रखने पर: $3x^2 + 2x - 56 = 0$।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-56)}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 672}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{676}}{6} = \frac{-2 \pm 26}{6}$।
चूँकि $x > 0$ है, इसलिए $x = \frac{24}{6} = 4$।
दो भाग $4$ और $28-4 = 24$ हैं।
निरपेक्ष अंतर $|24 - 4| = 20$ है।

(B) माना वक्र $4y = x^2$ पर एक बिंदु $(x, y)$ है, जहाँ $y = \frac{x^2}{4}$ है।
$(x, \frac{x^2}{4})$ और $(0, 5)$ के बीच की दूरी $D$ का वर्ग $D^2 = (x - 0)^2 + (\frac{x^2}{4} - 5)^2$ है।
माना $f(x) = D^2 = x^2 + \frac{x^4}{16} - \frac{5x^2}{2} + 25 = \frac{x^4}{16} - \frac{3x^2}{2} + 25$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे $0$ के बराबर रखें:
$f'(x) = \frac{4x^3}{16} - 3x = \frac{x^3}{4} - 3x = 0$।
$x(\frac{x^2}{4} - 3) = 0$, जिससे $x = 0$ या $x^2 = 12 \implies x = \pm 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$x = \pm 2\sqrt{3}$ के लिए, $y = \frac{(\pm 2\sqrt{3})^2}{4} = \frac{12}{4} = 3$ है।
अतः, बिंदु $(2\sqrt{3}, 3)$ और $(-2\sqrt{3}, 3)$ हैं।

(C) माना लंबाई $x \text{ m}$ और चौड़ाई $y \text{ m}$ है।
आयतन $V = x \cdot y \cdot 4 = 36 \implies xy = 9 \implies y = \frac{9}{x}$।
लागत $C = 100(xy) + 50(2 \cdot 4x + 2 \cdot 4y) = 100(9) + 400(x + y) = 900 + 400(x + \frac{9}{x})$।
$C$ को न्यूनतम करने के लिए, $\frac{dC}{dx} = 400(1 - \frac{9}{x^2}) = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$।
चूँकि $x=3$, $y = \frac{9}{3} = 3$।
न्यूनतम लागत $C = 900 + 400(3 + 3) = 900 + 400(6) = 900 + 2400 = 3300$।

(B) चरण $1$: गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें।
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{75} + x^{25} \cdot 75(1 - x)^{74}(-1)$
चरण $2$: $f'(x)$ को सरल करें।
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{74} [(1 - x) - 3x] = 25x^{24}(1 - x)^{74} (1 - 4x)$
चरण $3$: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें।
$25x^{24}(1 - x)^{74} (1 - 4x) = 0$
क्रांतिक बिंदु $x = 0$, $x = 1$, और $x = 1/4$ हैं।
चरण $4$: क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें।
$f(0) = 0$, $f(1) = 0$, $f(1/4) = (1/4)^{25}(3/4)^{75} > 0$।
चूंकि $[0, 1]$ पर $f(x) \ge 0$ है और $x = 1/4$ पर मान धनात्मक है, इसलिए अधिकतम मान $x = 1/4$ पर प्राप्त होता है।

(D) किसी फलन $f(x)$ के सभी वास्तविक $x$ के लिए निरंतर ह्रासमान होने हेतु, इसके अवकलज को $f'(x) < 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए संतुष्ट करना चाहिए।
सबसे पहले, अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x - \cos x - kx + b) = \cos x + \sin x - k$।
हमें $\cos x + \sin x - k < 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $k > \cos x + \sin x$।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह सभी $x$ के लिए सत्य है, $k$ का मान $(\cos x + \sin x)$ व्यंजक के अधिकतम मान से अधिक होना चाहिए।
व्यंजक $\cos x + \sin x$ को $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ का अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।
अतः, हमारे पास $k > \sqrt{2}$ होना चाहिए।

(D) माना $g(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \pi/4)$ है।
चूंकि $f(x) = \tan^{-1}(g(x))$ और $\tan^{-1}(u)$ एक वर्धमान फलन है, इसलिए $f(x)$ तब वर्धमान होगा जब $g(x)$ वर्धमान हो।
$g'(x) = \cos x - \sin x$ है।
$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए, $g'(x) > 0 \implies \cos x > \sin x$ होना चाहिए।
अंतराल $(-\pi/2, \pi/2)$ में, $\cos x > \sin x$ तब होता है जब $x < \pi/4$ हो।
अतः, फलन $(-\pi/2, \pi/4)$ में वर्धमान है।

(C) दिया है $f(x) = \int \frac{x + 3}{x^2 - 9x + 20} dx$।
कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा, $f'(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9x + 20}$।
हर का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)$।
अतः, $f'(x) = \frac{x + 3}{(x - 4)(x - 5)}$।
$f(x)$ के वर्धमान या ह्रासमान होने की जाँच के लिए, हम क्रांतिक बिंदुओं $x = -3, 4, 5$ का उपयोग करके $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं।
अंतराल: $(-\infty, -3)$, $(-3, 4)$, $(4, 5)$, $(5, \infty)$।
$x \in (-\infty, -3)$ के लिए, $f'(x) = \frac{(-)}{(-)(-)} = (-)$, अतः $f(x)$ ह्रासमान है।
$x \in (-3, 4)$ के लिए, $f'(x) = \frac{(+)}{(-)(-)} = (+)$, अतः $f(x)$ वर्धमान है।
$x \in (4, 5)$ के लिए, $f'(x) = \frac{(+)}{(+)(-)} = (-)$, अतः $f(x)$ ह्रासमान है।
$x \in (5, \infty)$ के लिए, $f'(x) = \frac{(+)}{(+)(+)} = (+)$, अतः $f(x)$ वर्धमान है।
इस प्रकार, $f(x)$, $(-\infty, -3] \cup (4, 5)$ पर ह्रासमान है।

(D) चरण $1$: अवकलज $f'(x)$ ज्ञात कीजिए।
$f(x) = \log(1 + x) - \frac{x}{1 + x}$
$f'(x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{(1 + x)(1) - x(1)}{(1 + x)^2} = \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^2}$
$f'(x) = \frac{(1 + x) - 1}{(1 + x)^2} = \frac{x}{(1 + x)^2}$
चरण $2$: एकदिष्टता के लिए अंतराल निर्धारित कीजिए।
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए, $f'(x) > 0 \implies \frac{x}{(1 + x)^2} > 0$। चूँकि सभी $x \neq -1$ के लिए $(1 + x)^2 > 0$ है, इसलिए $f'(x) > 0$ तब होता है जब $x > 0$ हो।
$f(x)$ के ह्रासमान होने के लिए, $f'(x) < 0 \implies \frac{x}{(1 + x)^2} < 0$। यह तब होता है जब $x < 0$ हो (और $\log(1+x)$ के प्रांत के कारण $x > -1$ हो)।
अतः, $f(x)$, $(0, \infty)$ पर वर्धमान है और $(-1, 0)$ पर ह्रासमान है।

(D) दिया गया है $g(x) = f(x) + f(1 - x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $g'(x) = f'(x) - f'(1 - x)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f''(x) < 0$ है, $f'(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
$x \in [0, 1/2]$ के लिए, $x \le 1 - x$ है, जिसका अर्थ है $f'(x) \ge f'(1 - x)$ क्योंकि $f'(x)$ ह्रासमान है।
अतः, $x \in [0, 1/2]$ के लिए $g'(x) = f'(x) - f'(1 - x) \ge 0$ है, इसलिए $g(x)$, $[0, 1/2]$ पर वर्धमान है।
$x \in [1/2, 1]$ के लिए, $x \ge 1 - x$ है, जिसका अर्थ है $f'(x) \le f'(1 - x)$ क्योंकि $f'(x)$ ह्रासमान है।
अतः, $x \in [1/2, 1]$ के लिए $g'(x) = f'(x) - f'(1 - x) \le 0$ है, इसलिए $g(x)$, $[1/2, 1]$ पर ह्रासमान है।
अतः, $g(x)$, $[0, 1/2]$ पर वर्धमान है और $[1/2, 1]$ पर ह्रासमान है।

(A) हम जानते हैं कि $\sqrt{64} = 8$ है।
चूंकि $63$, $64$ के बहुत करीब है, हम रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$।
माना $f(x) = \sqrt{x}$, $x = 64$, और $\Delta x = -1$ है।
तब $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ होगा।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{63} \approx \sqrt{64} + \frac{1}{2\sqrt{64}} (-1)$।
$\sqrt{63} \approx 8 - \frac{1}{2 \times 8} = 8 - \frac{1}{16}$।
$\sqrt{63} \approx 8 - 0.0625 = 7.9375$।
विकल्पों में सबसे निकटतम मान $7.9373$ है।

(C) गोले का व्यास $d = 3x + \frac{9}{2} = \frac{3}{2}(2x + 3)$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}(2x + 3)$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
$r$ का मान रखने पर, $V = \frac{4}{3}\pi \left[ \frac{3}{4}(2x + 3) \right]^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{64}(2x + 3)^3 = \frac{9\pi}{16}(2x + 3)^3$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष $V$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dx} = \frac{9\pi}{16} \cdot 3(2x + 3)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x + 3) = \frac{27\pi}{16}(2x + 3)^2 \cdot 2 = \frac{27\pi}{8}(2x + 3)^2$।

(A) माना $r$ त्रिज्या है और $V$ गोलाकार मॉथबॉल का आयतन है। आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है।
दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है: $\frac{dV}{dt} = -k S$, जहाँ $k > 0$ है।
चूँकि $V = \frac{4}{3} \pi r^3$, इसलिए $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k (4 \pi r^2)$।
यह सरल होकर $\frac{dr}{dt} = -k$ हो जाता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $r(t) = -kt + C$।
$t = 0$ पर, $r = 3$, अतः $C = 3$। इस प्रकार, $r(t) = 3 - kt$।
$t = 4$ पर, $r = 1$, अतः $1 = 3 - 4k$, जिससे $4k = 2$, या $k = 0.5$ प्राप्त होता है।
मॉथबॉल पूरी तरह से तब वाष्पित होगी जब $r = 0$: $0 = 3 - 0.5t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $0.5t = 3$, अतः $t = 6 \text{ महीने}$।

(B) दिया गया वक्र $9y^2 = x^3$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की प्रवणता $m = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ है।
चूँकि अभिलंब अक्षों के साथ समान अंतःखंड बनाता है, इसकी प्रवणता $\pm 1$ होनी चाहिए। वक्र को देखते हुए, समान अंतःखंड बनाने के लिए अभिलंब की प्रवणता $-1$ होनी चाहिए (अर्थात $x + y = x_1 + y_1$)।
$-\frac{6y_1}{x_1^2} = -1$ रखने पर, हमें $x_1^2 = 6y_1$ प्राप्त होता है।
$y_1 = \frac{x_1^2}{6}$ को वक्र समीकरण $9y_1^2 = x_1^3$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$9(\frac{x_1^2}{6})^2 = x_1^3 \implies 9(\frac{x_1^4}{36}) = x_1^3 \implies \frac{x_1^4}{4} = x_1^3$।
चूँकि $x_1 \neq 0$, इसलिए $x_1 = 4$। तब $y_1^2 = \frac{4^3}{9} = \frac{64}{9}$, अतः $y_1 = \pm 8/3$।
प्रवणता की स्थिति की जाँच करने पर: यदि $x_1 = 4, y_1 = 8/3$, तो प्रवणता $m = -\frac{6(8/3)}{16} = -1$। अतः, बिंदु $(4, 8/3)$ है।

(A) चरण $1$: बिंदु $(-2, 2)$ पर $t$ का मान ज्ञात करें।
$x = 1 - 3t^2 = -2 \implies 3t^2 = 3 \implies t^2 = 1 \implies t = \pm 1$।
$y = t - 3t^3 = 2$। यदि $t = 1$, $y = -2 \neq 2$। यदि $t = -1$, $y = 2$। अतः $t = -1$ है।
चरण $2$: स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ज्ञात करें।
$\frac{dx}{dt} = -6t$ और $\frac{dy}{dt} = 1 - 9t^2$।
$t = -1$ पर, $\frac{dx}{dt} = 6$ और $\frac{dy}{dt} = -8$।
ढाल $m = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$।
चरण $3$: बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करें।
$y - 2 = -\frac{4}{3}(x + 2) \implies 3y - 6 = -4x - 8 \implies 4x + 3y + 2 = 0$।

(A) मान लीजिए वक्र पर बिंदु $(x, y)$ है। स्पर्श रेखा की प्रवणता $m_1 = \frac{dy}{dx}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।
$Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए, $X = 0$ रखें: $Y_P = y - x \frac{dy}{dx}$। अतः, $P = (0, y - x \frac{dy}{dx})$ है।
स्पर्श रेखा पर लंब रेखा की प्रवणता $m_2 = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{dx}{dy}$ है।
यह रेखा $P(0, y - x \frac{dy}{dx})$ और $(1, 0)$ से होकर गुजरती है।
प्रवणता $m_2 = \frac{0 - (y - x \frac{dy}{dx})}{1 - 0} = -y + x \frac{dy}{dx}$ है।
$m_2$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $-\frac{dx}{dy} = -y + x \frac{dy}{dx}$।
$-\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर: $1 = y \frac{dy}{dx} - x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$।
अतः, $y \frac{dy}{dx} - x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1$।

(D) चरण $1$: चूंकि बिंदु $(2, 3)$ वक्र $y^2 = ax^3 + b$ पर स्थित है, इसलिए $3^2 = a(2)^3 + b$, जो $9 = 8a + b$ में सरल होता है (समीकरण $1$)।
चरण $2$: वक्र समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$।
चरण $3$: बिंदु $(2, 3)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{3a(2)^2}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ है। दी गई रेखा $y = 4x - 5$ की प्रवणता $4$ है, इसलिए $2a = 4$ रखने पर $a = 2$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $a = 2$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $9 = 8(2) + b \implies 9 = 16 + b \implies b = -7$।
चरण $5$: $7a - 2b = 7(2) - 2(-7) = 14 + 14 = 28$ की गणना करें।

(D) दिया गया वक्र $y = \sqrt{9 - 3x^2}$ है। उस बिंदु पर जहाँ भुज $(x)$ और कोटि $(y)$ समान हैं, $x = y$ है।
समीकरण में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर: $x = \sqrt{9 - 3x^2} \implies x^2 = 9 - 3x^2 \implies 4x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{4} \implies x = \frac{3}{2}$ (चूंकि $y$ धनात्मक होना चाहिए)।
अतः, स्पर्श बिंदु $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ है।
$y^2 = 9 - 3x^2$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = -6x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{y}$।
$(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ पर, ढाल $m = -\frac{3(3/2)}{3/2} = -3$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - \frac{3}{2} = -3(x - \frac{3}{2})$ है।
$y - \frac{3}{2} = -3x + \frac{9}{2} \implies 3x + y - 6 = 0$।

(C) चरण $1$: चूँकि $(1, 1)$ वक्र $xy + ax + by = 0$ पर स्थित है, इसलिए $(1)(1) + a(1) + b(1) = 0$, जिसका अर्थ है $1 + a + b = 0$, या $a + b = -1$ है।
चरण $2$: समीकरण $xy + ax + by = 0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y + x \frac{dy}{dx} + a + b \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $(1, 1)$ पर, ढाल $\frac{dy}{dx} = \tan(\tan^{-1} 2) = 2$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1 + (1)(2) + a + b(2) = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: यह $1 + 2 + a + 2b = 0$ में सरल हो जाता है, अतः $a + 2b = -3$ है।
चरण $5$: समीकरणों $a + b = -1$ और $a + 2b = -3$ को हल करने पर, दूसरे में से पहले को घटाने पर: $(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1) \implies b = -2$ प्राप्त होता है। तब $a = -1 - (-2) = 1$ है।
चरण $6$: $\frac{ab}{a + b} = \frac{(1)(-2)}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2$ की गणना करें।

(A) दिया गया वक्र $x = a \sin^3 t$ और $y = b \cos^3 t$ है।
अवकलज ज्ञात करने पर: $\frac{dx}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = -3b \cos^2 t \sin t$।
स्पर्शरेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-3b \cos^2 t \sin t}{3a \sin^2 t \cos t} = -\frac{b}{a} \cot t$ है।
$t = \frac{\pi}{2}$ पर, $\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} \cot(\frac{\pi}{2}) = 0$।
अभिलंब की प्रवणता $-\frac{1}{dy/dx}$ होती है, जो अपरिभाषित (ऊर्ध्वाधर रेखा) है।
हालाँकि, $t = \frac{\pi}{2}$ पर, बिंदु $(x, y) = (a \sin^3(\frac{\pi}{2}), b \cos^3(\frac{\pi}{2})) = (a, 0)$ है।
$(a, 0)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा $x = a$ या $x - a = 0$ है।
$x - a = 0$ की तुलना $x + By + C = 0$ से करने पर, हमें $B = 0$ और $C = -a$ प्राप्त होता है।
अतः, $B - C = 0 - (-a) = a$।

(A) $1$. वक्र $y = \frac{1}{x}$ है। किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x_1^2} = -y_1^2$ है।
$2$. $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{y_1^2} = x_1^2$ है।
$3$. $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = x_1^2(x - x_1)$ है, जो $x_1^2 x - y + (y_1 - x_1^3) = 0$ में सरल हो जाता है।
$4$. इसकी तुलना $ax + by + 5 = 0$ से करने पर, हमें $\frac{x_1^2}{a} = \frac{-1}{b} = \frac{y_1 - x_1^3}{5}$ प्राप्त होता है।
$5$. चूंकि $x_1^2 > 0$ और $a = -b x_1^2$, अभिलंब के अस्तित्व के लिए $a$ और $b$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए। अतः $a > 0$ और $b < 0$ सही स्थिति है।

(C) चरण $1$: चूँकि बिंदु $(1, -1)$ वक्र $y^2 = ax^3 + b$ पर स्थित है, इसलिए $(-1)^2 = a(1)^3 + b$, जो $a + b = 1$ में सरल होता है।
चरण $2$: वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$।
चरण $3$: बिंदु $(1, -1)$ पर, स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = \frac{3a(1)^2}{2(-1)} = -\frac{3a}{2}$ है।
चरण $4$: रेखा $x + y = 0$ को $y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है, जिसकी प्रवणता $-1$ है।
चरण $5$: प्रवणताओं की तुलना करने पर: $-\frac{3a}{2} = -1$, जिससे $a = 2/3$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $a = 2/3$ को $a + b = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2/3 + b = 1$, अतः $b = 1/3$।

(A) चरण $1$: हर का गुणनखंड करें: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$।
चरण $2$: आंशिक भिन्न का उपयोग करें: $\frac{x + 2}{(x - 3)(x - 4)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 4}$।
चरण $3$: $A$ और $B$ के लिए हल करें: $x + 2 = A(x - 4) + B(x - 3)$।
$x = 3$ के लिए: $3 + 2 = A(3 - 4) \implies 5 = -A \implies A = -5$।
$x = 4$ के लिए: $4 + 2 = B(4 - 3) \implies 6 = B \implies B = 6$।
चरण $4$: समाकलन करें: $\int (\frac{-5}{x - 3} + \frac{6}{x - 4}) dx = -5 \log |x - 3| + 6 \log |x - 4| + c$।

(C) माना $I = \int \frac{2x}{4 - 3x - x^2} dx$ है।
हर का गुणनखंड करने पर: $4 - 3x - x^2 = (4 + x)(1 - x)$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{2x}{(4 + x)(1 - x)} = \frac{A}{4 + x} + \frac{B}{1 - x}$।
$2x = A(1 - x) + B(4 + x)$।
$x = 1$ के लिए: $2 = 5B \implies B = \frac{2}{5}$।
$x = -4$ के लिए: $-8 = 5A \implies A = -\frac{8}{5}$।
$I = \int \left( \frac{-8/5}{4 + x} + \frac{2/5}{1 - x} \right) dx$।
$I = -\frac{8}{5} \log |4 + x| + \frac{2/5}{-1} \log |1 - x| + c$।
$I = -\frac{8}{5} \log |4 + x| - \frac{2}{5} \log |1 - x| + c$।

(D) माना $t = x^2$ है। तब समाकल्य $\frac{t}{(t+2)(t+5)}$ हो जाता है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{t}{(t+2)(t+5)} = \frac{A}{t+2} + \frac{B}{t+5}$।
$t = A(t+5) + B(t+2)$।
$t = -2$ के लिए, $-2 = A(3) \implies A = -2/3$।
$t = -5$ के लिए, $-5 = B(-3) \implies B = 5/3$।
अतः, $\int \frac{x^2 \, dx}{(x^2 + 2)(x^2 + 5)} = \int \left( \frac{-2/3}{x^2 + 2} + \frac{5/3}{x^2 + 5} \right) dx$।
$= -\frac{2}{3} \int \frac{dx}{x^2 + (\sqrt{2})^2} + \frac{5}{3} \int \frac{dx}{x^2 + (\sqrt{5})^2}$।
$\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + c$ का उपयोग करने पर:
$= -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} + c$।
$= -\frac{\sqrt{2}}{3} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5}}{3} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} + c$।

(C) चरण $1$: हर का गुणनखंड करें: $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$।
चरण $2$: आंशिक भिन्नों का उपयोग करें: $\frac{3x + 7}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$।
चरण $3$: $A$ और $B$ के लिए हल करें: $3x + 7 = A(x - 1) + B(x - 2)$।
$x = 2$ के लिए: $3(2) + 7 = A(2 - 1) \implies A = 13$।
$x = 1$ के लिए: $3(1) + 7 = B(1 - 2) \implies 10 = -B \implies B = -10$।
चरण $4$: समाकलन करें: $\int (\frac{13}{x - 2} - \frac{10}{x - 1}) dx = 13 \log |x - 2| - 10 \log |x - 1| + c$।
चरण $5$: $m \log |x - 2| + n \log |x - 1| + c$ से तुलना करने पर, हमें $m = 13$ और $n = -10$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $m + n = 13 + (-10) = 3$ की गणना करें।

(A) समाकल $I = \int e^{2x} \frac{2(\sin 2x \cos 2x - 1)}{2 \sin^2 2x} dx = \int e^{2x} \frac{\sin 2x \cos 2x - 1}{\sin^2 2x} dx$ है।
$I = \int e^{2x} (\frac{\sin 2x \cos 2x}{\sin^2 2x} - \frac{1}{\sin^2 2x}) dx = \int e^{2x} (\cot 2x - \csc^2 2x) dx$।
प्रथम पद का खंडशः समाकलन करने पर: $\int e^{2x} \cot 2x dx = \cot 2x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int (-\csc^2 2x \cdot 2) \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + \int e^{2x} \csc^2 2x dx$।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $I = (\frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + \int e^{2x} \csc^2 2x dx) - \int e^{2x} \csc^2 2x dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + c$।
$A e^{2x} \cot 2x + c$ से तुलना करने पर, हमें $A = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः, $A^3 = (1/2)^3 = 1/8$।

(C) चरण $1$: खंडशः समाकलन (integration by parts) $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करके $\int x^2 e^x dx$ का मान ज्ञात करें।
माना $u = x^2$ और $dv = e^x dx$ है। तब $du = 2x dx$ और $v = e^x$ होगा।
$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$।
चरण $2$: पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करके $\int 2x e^x dx$ का मान ज्ञात करें।
माना $u = 2x$ और $dv = e^x dx$ है। तब $du = 2 dx$ और $v = e^x$ होगा।
$\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x$।
चरण $3$: मूल समाकलन में प्रतिस्थापित करें।
$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + c = e^x(x^2 - 2x + 2) + c$।
चरण $4$: $e^x f(x) + c$ से तुलना करने पर $f(x) = x^2 - 2x + 2$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: $f(x) = x^2 - 2x + 2$ का न्यूनतम मान ज्ञात करें।
$f'(x) = 2x - 2$। $f'(x) = 0$ रखने पर $x = 1$ प्राप्त होता है।
$f(1) = (1)^2 - 2(1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ का प्रति-अवकलज $e^x$ है, अतः $\int f(x) \, dx = e^x$, जिसका अर्थ है $f(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$।
दिया गया है कि $g(x)$ का प्रति-अवकलज $\cos x$ है, अतः $\int g(x) \, dx = \cos x$, जिसका अर्थ है $g(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$।
हमें $I = \int f(x) \cos x \, dx + \int g(x) e^x \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x)$ और $g(x)$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^x \cos x \, dx + \int (-\sin x) e^x \, dx$।
$I = \int e^x \cos x \, dx - \int e^x \sin x \, dx$।
अवकलन के गुणन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dx}(e^x \cos x) = e^x \cos x + e^x(-\sin x) = e^x \cos x - e^x \sin x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$e^x \cos x = \int (e^x \cos x - e^x \sin x) \, dx + c$।
$e^x \cos x = \int e^x \cos x \, dx - \int e^x \sin x \, dx + c$।
अतः, $I = e^x \cos x + c$।

(B) दिया है $f(x) = \cos x$, तब $f'(x) = -\sin x$। समाकल $I = \int \frac{e^{\cos x}(x \sin^3 x + \cos x)}{1 - \cos^2 x} dx$ है।
चूँकि $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$, हमारे पास $I = \int e^{\cos x} \left( \frac{x \sin^3 x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) dx$ है।
$I = \int e^{\cos x} (x \sin x + \cot x \text{cosec } x) dx$।
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(e^{\cos x}(\text{cosec } x + x)) = e^{\cos x}(-\sin x \text{cosec } x - \text{cosec } x \cot x + 1 - x \sin x) = -e^{\cos x}(\text{cosec } x \cot x + x \sin x)$।
अतः, $\int e^{\cos x}(x \sin x + \text{cosec } x \cot x) dx = -e^{\cos x}(\text{cosec } x + x) + c$।

(A) खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$।
माना $u = \log x$ और $dv = x^3 \, dx$ है।
तब $du = \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^4}{4}$ होगा।
$\int x^3 \log x \, dx = (\log x) \left( \frac{x^4}{4} \right) - \int \left( \frac{x^4}{4} \right) \left( \frac{1}{x} \right) \, dx$।
$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx$।
$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{1}{4} \left( \frac{x^4}{4} \right) + c$।
$= \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} + c$।
$= \frac{x^4}{16} [4 \log x - 1] + c$।

(A) माना $I = \int \sin(\log x) dx$ है।
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int e^t \sin t dt$।
खंडशः समाकलन सूत्र $\int e^t \sin t dt = \frac{e^t}{1^2 + 1^2} (\sin t - \cos t) + c$ का उपयोग करने पर।
$I = \frac{e^t}{2} (\sin t - \cos t) + c$।
$t = \log x$ और $e^t = x$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{x}{2} [\sin(\log x) - \cos(\log x)] + c$।

(B) दिया गया समाकल $I = \int (e^{\log(\sin x)} + \cos x) x \, dx$ है।
चूंकि $e^{\log(\sin x)} = \sin x$, समाकल $I = \int (\sin x + \cos x) x \, dx$ हो जाता है।
$I = \int x \sin x \, dx + \int x \cos x \, dx$।
खंडशः समाकलन $\int u v \, dx = u \int v \, dx - \int (u' \int v \, dx) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (1)(-\cos x) \, dx = -x \cos x + \sin x$ के लिए।
$\int x \cos x \, dx = x(\sin x) - \int (1)(\sin x) \, dx = x \sin x + \cos x$ के लिए।
इन परिणामों को जोड़ने पर: $I = (-x \cos x + \sin x) + (x \sin x + \cos x) + c$।
$I = x(\sin x - \cos x) + (\sin x + \cos x) + c$।

(A) खंडशः समाकलन $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए, माना $u = x^3$ और $dv = \cos x \, dx$ है।
चरण $1$: $\int x^3 \cos x \, dx = x^3 \sin x - \int 3x^2 \sin x \, dx$।
चरण $2$: $\int 3x^2 \sin x \, dx$ के लिए, माना $u = 3x^2, dv = \sin x \, dx \implies du = 6x \, dx, v = -\cos x$ है।
अतः, $\int 3x^2 \sin x \, dx = -3x^2 \cos x - \int (-6x \cos x) \, dx = -3x^2 \cos x + 6 \int x \cos x \, dx$।
चरण $3$: $\int x \cos x \, dx$ के लिए, माना $u = x, dv = \cos x \, dx \implies du = dx, v = \sin x$ है।
अतः, $\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x$।
चरण $4$: सभी भागों को संयोजित करने पर: $x^3 \sin x - (-3x^2 \cos x + 6(x \sin x + \cos x)) + c = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6 \cos x + c$।

(C) माना $y = f^{-1}(x)$, तब $x = f(y)$ है।
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $dx = f'(y) dy$ प्राप्त होता है।
अब, $\int f^{-1}(x) dx = \int y f'(y) dy$ है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u dv = uv - \int v du$, जहाँ $u = y$ और $dv = f'(y) dy$ है।
तब $du = dy$ और $v = f(y)$ है।
अतः, $\int y f'(y) dy = y f(y) - \int f(y) dy$ है।
चूँकि $\int f(y) dy = g(y) + c$ है, हमें $y f(y) - g(y) + c$ प्राप्त होता है।
$y = f^{-1}(x)$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $f^{-1}(x) \cdot f(f^{-1}(x)) - g(f^{-1}(x)) + c$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(f^{-1}(x)) = x$ है, परिणाम $x f^{-1}(x) - g(f^{-1}(x)) + c$ है।