MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($m$ द्रव्यमान है, $M$ $H_2$ का मोलर द्रव्यमान $= 2 \text{ g/mol}$ है)।
प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = P$, $V_1 = V$, $T_1 = 500 \text{ K}$, $m_1 = 6 \text{ g}$.
$PV = \frac{6}{2} R(500) = 3R(500) = 1500R$.
अंतिम स्थिति: $P_2 = \frac{P}{2}$, $V_2 = V$, $T_2 = 300 \text{ K}$, $m_2 = ?$.
$\frac{P}{2} V = \frac{m_2}{2} R(300) = 150 m_2 R$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{PV}{(P/2)V} = \frac{1500R}{150 m_2 R} \implies 2 = \frac{10}{m_2}$.
$m_2 = 5 \text{ g}$.
बाहर निकली हाइड्रोजन का द्रव्यमान = $m_1 - m_2 = 6 \text{ g} - 5 \text{ g} = 1 \text{ g}$.

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार, स्थिर दाब पर किसी आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए, आयतन उसके परम ताप के समानुपाती होता है: $V \propto T$ या $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$।
अंतिम तापमान $T_2 = 627^{\circ}C = 627 + 273 = 900 \text{ K}$।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 4 \text{ m}^3$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{4}{300} = \frac{V_2}{900}$।
$V_2 = 4 \times \frac{900}{300} = 4 \times 3 = 12 \text{ m}^3$।
अतः, गैस का नया आयतन $12 \text{ m}^3$ होगा।

(C) $S.T.P.$ पर, प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273 \text{ K}$ है।
दिया गया है कि गैस को नियत दाब पर गर्म किया जाता है, चार्ल्स के नियम के अनुसार, $V \propto T$, इसलिए $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$।
यहाँ $V_2 = 3V_1$ दिया गया है, इसलिए $T_2 = 3T_1 = 3 \times 273 \text{ K} = 819 \text{ K}$।
$r.m.s.$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{3T_1}{T_1}} = \sqrt{3}$।
अतः, $v_2 = \sqrt{3} u \text{ m/s}$।
इस प्रकार, अंतिम तापमान $819 \text{ K}$ और $r.m.s.$ चाल $\sqrt{3} u \text{ m/s}$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है, जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
प्रारंभ में, पात्र में गैस के मोल $n_1 = \frac{PV}{RT}$ हैं।
कुछ गैस के बाहर निकल जाने के बाद, दाब $P'$ हो जाता है जबकि आयतन $V$ और तापमान $T$ स्थिर रहते हैं।
पात्र में बची गैस के अंतिम मोल $n_2 = \frac{P'V}{RT}$ हैं।
बाहर निकली गैस के मोलों की संख्या प्रारंभिक और अंतिम मोलों का अंतर है:
$\Delta n = n_1 - n_2 = \frac{PV}{RT} - \frac{P'V}{RT} = \frac{V}{RT}(P - P')$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से, जहाँ $n$ मोलों की संख्या है। अणुओं की संख्या $N$ को $N = nN_A$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
अतः, $N = \frac{PVN_A}{RT}$.
पात्र $A$ के लिए: $N_A = \frac{PVN_A}{RT}$.
पात्र $B$ के लिए: $N_B = \frac{(2P)(\frac{V}{4})N_A}{R(2T)} = \frac{\frac{PV}{2}N_A}{2RT} = \frac{PVN_A}{4RT}$.
पात्र $B$ और पात्र $A$ के अणुओं की संख्या का अनुपात $\frac{N_B}{N_A} = \frac{\frac{PVN_A}{4RT}}{\frac{PVN_A}{RT}} = \frac{1}{4}$ है।
इसलिए, अनुपात $1 : 4$ है।

(D) $1$. पिच ध्वनि का एक गुण है जो ध्वनि की 'तीक्ष्णता' को निर्धारित करता है, जो सीधे ध्वनि तरंग की आवृत्ति से संबंधित है। उच्च आवृत्ति का अर्थ है उच्च पिच।
$2$. 'टोन' एक एकल आवृत्ति की ध्वनि है, जबकि 'नोट' विभिन्न आवृत्तियों का मिश्रण है।
$3$. पिच और लाउडनेस (तीव्रता) स्वतंत्र गुण हैं। उच्च पिच वाली ध्वनि (जैसे सीटी) बहुत धीमी हो सकती है, जबकि कम पिच वाली ध्वनि (जैसे ड्रम) बहुत तेज हो सकती है।
$4$. जैविक रूप से, महिलाओं के स्वर रज्जु (vocal cords) आमतौर पर पुरुषों की तुलना में छोटे और पतले होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप कंपन की आवृत्ति अधिक होती है। इसलिए, महिलाओं की आवाज आमतौर पर पुरुषों की आवाज से अधिक तीक्ष्ण (उच्च पिच) होती है। अतः, यह कथन कि 'पुरुष की आवाज महिला की आवाज से अधिक तीक्ष्ण होती है' गलत है।

(A) लाउडनेस (Loudness) एक शारीरिक संवेदना है जो मुख्य रूप से ध्वनि की तीव्रता (Intensity) पर निर्भर करती है। उच्च तीव्रता का अर्थ है अधिक तेज ध्वनि।
पिच (Pitch) एक शारीरिक संवेदना है जो मुख्य रूप से ध्वनि की आवृत्ति (Frequency) पर निर्भर करती है। उच्च आवृत्ति उच्च पिच (तीखी ध्वनि) के अनुरूप होती है, जबकि कम आवृत्ति निम्न पिच (भारी ध्वनि) के अनुरूप होती है।

(A) गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है, जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है, $P$ दबाव है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
जब आर्द्रता बढ़ती है, तो जल वाष्प (जिसका मोलर द्रव्यमान $18 \ g/mol$ है) शुष्क हवा (जिसका औसत मोलर द्रव्यमान लगभग $29 \ g/mol$ है) का स्थान ले लेती है।
यह प्रतिस्थापन हवा के मिश्रण के कुल घनत्व $\rho$ को कम कर देता है।
चूंकि ध्वनि की गति $v$ घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}})$, इसलिए घनत्व में कमी से ध्वनि की गति में वृद्धि होती है।
अतः, जैसे-जैसे आर्द्रता बढ़ती है, ध्वनि तरंगों की गति बढ़ जाती है।

(B) गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है, जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है, $P$ दबाव है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
यह दिया गया है कि घनत्व $\rho$ स्थिर रहता है, इसलिए ध्वनि की गति $v$ दबाव के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है, यानी $v \propto \sqrt{P}$।
मान लीजिए कि $P_1$ दबाव पर ध्वनि की गति $v_1$ है और $P_2$ दबाव पर ध्वनि की गति $v_2$ है।
अतः, $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$।
प्रश्न के अनुसार, $v_2 = 1.4 v_1$, इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = 1.4$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $1.4 = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है: $(1.4)^2 = \frac{P_2}{P_1}$।
इसलिए, $\frac{P_2}{P_1} = 1.96$।

(D) आदर्श गैस में ध्वनि की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है, जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात), $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक, $T$ तापमान और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
दोनों गैसों के लिए $T = 295 \text{ K}$ दिया गया है, अतः हीलियम $(v_{He})$ और नाइट्रोजन $(v_{N_2})$ में ध्वनि की चाल का अनुपात:
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{\gamma_{He} R T / M_{He}}{\gamma_{N_2} R T / M_{N_2}}} = \sqrt{\frac{\gamma_{He}}{\gamma_{N_2}} \cdot \frac{M_{N_2}}{M_{He}}}$
दिए गए मान रखने पर: $\gamma_{He} = 5/3$, $\gamma_{N_2} = 7/5$, $M_{He} = 4$, $M_{N_2} = 28$.
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{5/3}{7/5} \cdot \frac{28}{4}} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{7} \cdot 7} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(B) आदर्श गैस में ध्वनि की गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है, जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) है, $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है, $T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
एकपरमाणुक गैसों के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ दोनों गैसों के लिए समान होता है, अर्थात $\gamma = 5/3$।
चूंकि दोनों गैसें समान तापमान $T$ पर रखी गई हैं, इसलिए गैस '$1$' में ध्वनि की गति $(v_1)$ और गैस '$2$' में ध्वनि की गति $(v_2)$ का अनुपात होगा:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{\gamma RT}{m_1}}}{\sqrt{\frac{\gamma RT}{m_2}}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$
अतः, गैस '$1$' और गैस '$2$' में ध्वनि की गति का अनुपात $\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है, तो आभासी आवृत्ति $n_1$ इस प्रकार दी जाती है: $n_1 = n \left( \frac{V}{V - V_s} \right)$.
जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर जाता है, तो आभासी आवृत्ति $n_2$ इस प्रकार दी जाती है: $n_2 = n \left( \frac{V}{V + V_s} \right)$.
आभासी आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta n = n_1 - n_2$ है।
$\Delta n = n \left( \frac{V}{V - V_s} - \frac{V}{V + V_s} \right)$.
$\Delta n = nV \left( \frac{(V + V_s) - (V - V_s)}{(V - V_s)(V + V_s)} \right)$.
$\Delta n = nV \left( \frac{2V_s}{V^2 - V_s^2} \right) = \frac{2nVV_s}{V^2 - V_s^2}$.

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, जब एक प्रेक्षक स्थिर स्रोत के सापेक्ष $V_O$ वेग से गति करता है, तो आभासी आवृत्ति $F'$ का सूत्र $F' = F_0 \left( \frac{V \pm V_O}{V} \right)$ होता है, जहाँ $F_0$ वास्तविक आवृत्ति है और $V$ ध्वनि की गति है।
जब प्रेक्षक $V_1$ वेग से स्रोत की ओर गति करता है: $F_1 = F_0 \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$.
जब प्रेक्षक $V_1$ वेग से स्रोत से दूर गति करता है: $F_2 = F_0 \left( \frac{V - V_1}{V} \right)$.
दिए गए अनुपात $F_1/F_2 = 2$ के अनुसार: $\frac{F_0(V + V_1)/V}{F_0(V - V_1)/V} = 2$.
इसे सरल करने पर $\frac{V + V_1}{V - V_1} = 2$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $V + V_1 = 2(V - V_1)$, अर्थात $V + V_1 = 2V - 2V_1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर $3V_1 = V$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $V/V_1 = 3$।

(C) डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ होती है।
यहाँ, प्रेक्षक स्थिर है, इसलिए $v_o = 0$ है। ध्वनि की गति $v = 330 \text{ m/s}$ और स्रोत की गति $v_s = 30 \text{ m/s}$ है।
ट्रेन $A$ (स्टेशन/प्रेक्षक की ओर आती हुई) के लिए, सुनी गई आवृत्ति $f_A = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 300 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{300} \right) = 330 \text{ Hz}$ है।
ट्रेन $B$ (स्टेशन/प्रेक्षक से दूर जाती हुई) के लिए, सुनी गई आवृत्ति $f_B = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = 300 \left( \frac{330}{330 + 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{360} \right) = 300 \left( \frac{11}{12} \right) = 275 \text{ Hz}$ है।
आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta f = f_A - f_B = 330 \text{ Hz} - 275 \text{ Hz} = 55 \text{ Hz}$ है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है, तो प्रेक्षित आवृत्ति $f'$ का सूत्र है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$f = 450 \text{ Hz}$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 340 \text{ m/s}$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 34 \text{ m/s}$ (स्रोत की गति)
मान रखने पर:
$f' = 450 \left( \frac{340}{340 - 34} \right)$
$f' = 450 \left( \frac{340}{306} \right)$
$f' = 450 \times 1.111... = 500 \text{ Hz}$
अतः, प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $500 \text{ Hz}$ है।

(B) विस्पंद आवृत्ति $|n - f_s| = x$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $f_s$ सोनोमीटर तार की आवृत्ति है। इसका अर्थ है $f_s = n + x$ या $f_s = n - x$।
जब तार का तनाव $T$ बढ़ाया जाता है, तो तार की आवृत्ति $f_s$ बढ़ जाती है क्योंकि $f_s \propto \sqrt{T}$।
यदि $f_s = n + x$ है, तो $f_s$ को बढ़ाने पर यह $n$ से और दूर हो जाएगा, जिससे विस्पंद आवृत्ति $(f_s - n)$ बढ़ जाएगी।
यदि $f_s = n - x$ है, तो $f_s$ को बढ़ाने पर यह $n$ के करीब आ जाएगा, जिससे विस्पंद आवृत्ति $(n - f_s)$ कम हो जाएगी।
चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि विस्पंद आवृत्ति कम हो जाती है, इसलिए तार की प्रारंभिक आवृत्ति $n - x$ होनी चाहिए।

(B) परकशन (ताल वाद्य) वह संगीत वाद्ययंत्र है जिसे किसी पीटने वाले उपकरण से मारकर या रगड़कर, या हाथ से मारकर या रगड़कर बजाया जाता है।
$(1)$ $Drum$ (ड्रम): यह एक ताल वाद्य है जिसे झिल्ली (membrane) पर मारकर बजाया जाता है।
$(2)$ $Saxophone$ (सैक्सोफोन): यह एक वुडविंड (woodwind) वाद्ययंत्र है, न कि ताल वाद्य, क्योंकि यह रीड (reed) के कंपन से ध्वनि उत्पन्न करता है।
$(3)$ $Daphali$ (डफली): यह एक ताल वाद्य है जिसे मारकर बजाया जाता है।
$(4)$ $Xylophone$ (जाइलोफोन): यह एक ताल वाद्य है जिसे लकड़ी की छड़ों पर मैलेट से मारकर बजाया जाता है।
अतः, $Saxophone$ सही उत्तर है।

(A) तरंग का सामान्य समीकरण $Y = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर:
$Y_1 = 0.25 \sin 316t$ के लिए, कोणीय आवृत्ति $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ है।
$Y_2 = 0.25 \sin 310t$ के लिए, कोणीय आवृत्ति $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ है।
कोणीय आवृत्ति और रैखिक आवृत्ति के बीच संबंध $\omega = 2\pi f$ है, इसलिए $f = \omega / (2\pi)$।
अतः, $f_1 = 316 / (2\pi)$ और $f_2 = 310 / (2\pi)$।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = |f_1 - f_2|$।
$f_b = |(316 / 2\pi) - (310 / 2\pi)| = 6 / (2\pi) = 3 / \pi$।
इस प्रकार, प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या $3/\pi$ है।

(C) बीट्स ध्वनिकी (acoustics) में एक ऐसी घटना है जो समान दिशा में यात्रा करने वाली थोड़ी भिन्न आवृत्तियों वाली दो ध्वनि तरंगों के अध्यारोपण के कारण होती है।
जब ये तरंगें अध्यारोपित होती हैं, तो वे किसी बिंदु पर ध्वनि की तीव्रता में आवधिक परिवर्तन पैदा करती हैं, जिसे ध्वनि के उतार-चढ़ाव के रूप में सुना जाता है।
बीट्स की घटना स्पष्ट रूप से सुनाई दे, इसके लिए दोनों तरंगों की आवृत्तियाँ एक-दूसरे के बहुत करीब होनी चाहिए (अर्थात, बीट आवृत्ति $f_b = |f_1 - f_2|$ छोटी होनी चाहिए, आमतौर पर $\le 10 \text{ Hz}$)।
हालाँकि आयामों का बिल्कुल समान होना अनिवार्य नहीं है, लेकिन यह प्रभाव तब सबसे अधिक स्पष्ट होता है जब आयाम समान या लगभग समान होते हैं।

(D) दिए गए तरंग समीकरण $y_1 = 4 \sin(708 \pi t)$ और $y_2 = 3 \sin(700 \pi t)$ हैं।
इन्हें मानक समीकरण $y = A \sin(2 \pi f t)$ के साथ तुलना करने पर:
$y_1$ के लिए: $2 \pi f_1 = 708 \pi \implies f_1 = 354 \text{ Hz}$ और आयाम $A_1 = 4$ है।
$y_2$ के लिए: $2 \pi f_2 = 700 \pi \implies f_2 = 350 \text{ Hz}$ और आयाम $A_2 = 3$ है।
विस्पंद आवृत्ति $f_b = |f_1 - f_2| = |354 - 350| = 4 \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$.
तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$।
अधिकतम तीव्रता (waxing) $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2 = (4 + 3)^2 = 7^2 = 49$ है।
न्यूनतम तीव्रता (wanning) $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2 = (4 - 3)^2 = 1^2 = 1$ है।
अतः, अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $I_{max} : I_{min} = 49:1$ है।
इस प्रकार, प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या $4$ है और तीव्रता का अनुपात $49:1$ है।

(B) मान लीजिए कि व्यक्ति पहली चट्टान से $d_1$ दूरी पर और दूसरी चट्टान से $d_2$ दूरी पर है।
पहली प्रतिध्वनि के लिए लिया गया समय $t_1 = 1$ सेकंड है। ध्वनि व्यक्ति तक वापस आने के लिए $2d_1$ की दूरी तय करती है।
अतः, $2d_1 = v \times t_1 = 330 \times 1 = 330$ m.
$d_1 = 165$ m.
दूसरी प्रतिध्वनि के लिए लिया गया समय $t_2 = 3$ सेकंड है। ध्वनि व्यक्ति तक वापस आने के लिए $2d_2$ की दूरी तय करती है।
अतः, $2d_2 = v \times t_2 = 330 \times 3 = 990$ m.
$d_2 = 495$ m.
दोनों चट्टानों के बीच की कुल दूरी $D = d_1 + d_2 = 165 + 495 = 660$ m है।

(C) मान लीजिए कि $14$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी में हैं: $f_1, f_2, f_3, ..., f_{14}$।
यह दिया गया है कि प्रत्येक फोर्क अपने पिछले फोर्क के साथ प्रति सेकंड '$x$' बीट्स उत्पन्न करता है, इसलिए सार्व अंतर $d = x$ है।
अतः, $f_n = f_1 + (n-1)x$।
अंतिम फोर्क पहले फोर्क का एक सप्तक है, जिसका अर्थ है $f_{14} = 2f_1$।
$n=14$ रखने पर: $f_1 + 13x = 2f_1$, जिसका अर्थ है $f_1 = 13x$।
सातवें फोर्क की आवृत्ति $f_7 = f_1 + 6x = 114 \text{ Hz}$ है।
समीकरण में $f_1 = 13x$ रखने पर: $13x + 6x = 114$।
$19x = 114$।
$x = 114 / 19 = 6$।
अतः,'$x$' का मान $6$ है।

(C) मान लीजिए कि दोनों पाइपों की लंबाई $L$ है।
खुली पाइप के लिए, $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \cdot \frac{v}{2L}$ है। पहला ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक $(n=2)$ है, इसलिए $f_{open} = 2 \cdot \frac{v}{2L} = \frac{v}{L}$।
बंद पाइप के लिए, $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = (2n-1) \cdot \frac{v}{4L}$ है। पहला ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक $(n=2)$ है, इसलिए $f_{closed} = 3 \cdot \frac{v}{4L}$।
बीट आवृत्ति $|f_{open} - f_{closed}| = 3$ है।
$|\frac{v}{L} - \frac{3v}{4L}| = 3$ implies $\frac{v}{4L} = 3$ implies $\frac{v}{L} = 12$।
अब, खुली पाइप की नई लंबाई $L' = \frac{L}{3}$ और बंद पाइप की नई लंबाई $L'' = 3L$ है।
मूल आवृत्तियों का उपयोग करते हुए, यदि हम मूल आवृत्तियों को लें: $f_{open} = \frac{v}{2L}$ और $f_{closed} = \frac{v}{4L}$।
$|f_{open} - f_{closed}| = \frac{v}{4L} = 3$।
नई आवृत्तियाँ: $f'_{open} = \frac{v}{2(L/3)} = 3 \cdot \frac{v}{2L} = 3 \cdot 6 = 18$।
$f''_{closed} = \frac{v}{4(3L)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{v}{4L} = \frac{3}{3} = 1$।
बीट्स की संख्या $|18 - 1| = 17$ होगी।

(D) $L$ लंबाई की बंद पाइप में, मूलभूत विधा (प्रथम सन्नादी) में बंद सिरे पर निस्पंद (node) और खुले सिरे पर प्रस्पंद (antinode) होता है।
मूलभूत विधा के लिए, पाइप की लंबाई $L = \frac{\lambda}{4}$ होती है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
ध्वनि तरंग को खुले सिरे से बंद सिरे तक ($L$ दूरी) पहुँचने में लगा समय $t = \frac{L}{v}$ है, जहाँ $v$ ध्वनि की चाल है।
चूँकि $v = f\lambda$, इसलिए $t = \frac{L}{f\lambda}$।
$L = \frac{\lambda}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $t = \frac{\lambda/4}{f\lambda} = \frac{1}{4f}$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति $f$ के लिए हल करने पर, $f = \frac{1}{4t}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2L}$ है।
खुली पाइप का पहला ओवरटोन $f_{o1} = 2f_o$ है।
समान लंबाई $L$ वाली बंद पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L} = \frac{f_o}{2}$ है।
बंद पाइप का दूसरा ओवरटोन $f_{c2} = 5f_c = 5 \left( \frac{f_o}{2} \right) = 2.5f_o$ है।
प्रश्न के अनुसार, $f_{c2} - f_{o1} = 100 \text{ Hz}$ है।
मान रखने पर: $2.5f_o - 2f_o = 100 \text{ Hz}$।
$0.5f_o = 100 \text{ Hz}$।
$f_o = 200 \text{ Hz}$।

(B) मान लीजिए पाइप की कुल लंबाई $L$ है। दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब पाइप को पानी में इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी लंबाई का $\frac{2}{3}$ भाग पानी में हो, तो पानी के ऊपर बचे वायु स्तंभ की लंबाई $L' = L - \frac{2}{3}L = \frac{1}{3}L$ होती है।
यह वायु स्तंभ अब एक सिरे पर बंद (पानी की सतह) और दूसरे सिरे पर खुली पाइप के रूप में कार्य करता है।
एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f' = \frac{v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है।
सूत्र में $L' = \frac{1}{3}L$ रखने पर, हमें $f' = \frac{v}{4(\frac{1}{3}L)} = \frac{3v}{4L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f = \frac{v}{2L}$, हम $v = 2Lf$ लिख सकते हैं।
इस मान को $f'$ के समीकरण में रखने पर, हमें $f' = \frac{3(2Lf)}{4L} = \frac{6f}{4} = \frac{3}{2}f$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2L}$ है।
खुली पाइप का दूसरा ओवरटोन $f_{o,2} = 3f_o = 3 \times \frac{v}{2L}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L}$ है।
बंद पाइप का तीसरा ओवरटोन $7^{th}$ हार्मोनिक है, जो $f_{c,3} = 7f_c = 7 \times \frac{v}{4L}$ है।
प्रश्न के अनुसार, $f_{c,3} - f_{o,2} = 150 \text{ Hz}$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{7v}{4L} - \frac{3v}{2L} = 150$।
$\frac{7v - 6v}{4L} = 150 \implies \frac{v}{4L} = 150 \text{ Hz}$।
चूंकि $f_o = \frac{v}{2L} = 2 \times \frac{v}{4L}$, इसलिए $f_o = 2 \times 150 = 300 \text{ Hz}$।

(B) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए, अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L$, तरंग दैर्ध्य $\lambda$ के चौथाई का विषम गुणज होती है।
अनुनाद के लिए शर्त $L = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ है, जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
सबसे पहले, $v = f \lambda$ सूत्र का उपयोग करके तरंग दैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें, जहाँ $v = 332$ m/s और $f = 415$ Hz है।
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{332}{415} = 0.8$ m = $80$ cm.
अब, $\lambda = 80$ cm को अनुनाद की शर्त में रखें:
$L = (2n - 1) \frac{80}{4} = (2n - 1) \times 20$ cm.
$n = 1$ के लिए, $L = 20$ cm.
$n = 2$ के लिए, $L = 60$ cm.
$n = 3$ के लिए, $L = 100$ cm.
इन मानों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, $40$ cm, $20$ cm का विषम गुणज नहीं है, इसलिए यह अनुनाद में नहीं है।

(D) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए, हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n + 1)f_0$ द्वारा दी जाती हैं, जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ ओवरटोन संख्या को दर्शाता है।
चौथे ओवरटोन के लिए, $n = 4$ है।
आवृत्ति $f_4 = (2(4) + 1)f_0 = 9f_0$ है।
$n$-वें ओवरटोन में कंपन करने वाली बंद पाइप में निस्पंदों की संख्या का सामान्य सूत्र $x = n + 1$ है।
$n = 4$ रखने पर, हमें $x = 4 + 1 = 5$ प्राप्त होता है।
$n$-वें ओवरटोन में कंपन करने वाली बंद पाइप में प्रस्पंदों की संख्या का सामान्य सूत्र $y = n + 1$ है।
$n = 4$ रखने पर, हमें $y = 4 + 1 = 5$ प्राप्त होता है।
अतः, $x$ और $y$ के मान क्रमशः $5$ और $5$ हैं।

(C) दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $l$ पाइप की लंबाई है।
$L$ लंबाई वाली पहली पाइप के लिए, आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2L}$ है।
$(L + L_1)$ लंबाई वाली दूसरी पाइप के लिए, आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{2(L + L_1)}$ है।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = |f_1 - f_2|$.
$f_b = \left| \frac{v}{2L} - \frac{v}{2(L + L_1)} \right| = \frac{v}{2} \left| \frac{(L + L_1) - L}{L(L + L_1)} \right|$.
$f_b = \frac{v}{2} \left( \frac{L_1}{L(L + L_1)} \right) = \frac{vL_1}{2L(L + L_1)}$.

(D) $L_0$ लंबाई के खुले पाइप के लिए, $n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (n+1) \frac{v}{2L_0}$ द्वारा दी जाती है।
पाँचवें ओवरटोन $(n=5)$ के लिए, आवृत्ति $f_{5, \text{open}} = (5+1) \frac{v}{2L_0} = \frac{6v}{2L_0} = \frac{3v}{L_0}$ है।
$L_c$ लंबाई के एक सिरे पर बंद पाइप के लिए, $n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (2n+1) \frac{v}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है।
पाँचवें ओवरटोन $(n=5)$ के लिए, आवृत्ति $f_{5, \text{closed}} = (2 \times 5 + 1) \frac{v}{4L_c} = \frac{11v}{4L_c}$ है।
चूंकि आवृत्तियाँ एकसमान हैं, इसलिए $f_{5, \text{open}} = f_{5, \text{closed}}$.
अतः, $\frac{3v}{L_0} = \frac{11v}{4L_c}$.
अनुपात $\frac{L_0}{L_c}$ के लिए हल करने पर, हमें $\frac{L_0}{L_c} = \frac{3 \times 4}{11} = \frac{12}{11}$ प्राप्त होता है।

(C) एक ट्यूनिंग फोर्क उन आवृत्तियों के साथ अनुनाद करता है जो उसकी मूल आवृत्ति '$n$' के पूर्णांक गुणज (integer multiples) होते हैं।
इन्हें हार्मोनिक्स या ओवरटोन्स के रूप में जाना जाता है।
दी गई मूल आवृत्ति $n = 288$ Hz है।
अनुनाद आवृत्तियाँ $f = k \times n$ द्वारा दी जाती हैं, जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$
$k = 1$ के लिए, $f = 1 \times 288 = 288$ Hz.
$k = 2$ के लिए, $f = 2 \times 288 = 576$ Hz.
$k = 3$ के लिए, $f = 3 \times 288 = 864$ Hz.
इन मानों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर:
विकल्प $A$ ($288$ Hz) मूल आवृत्ति है $(k=1)$।
विकल्प $B$ ($576$ Hz) दूसरा हार्मोनिक है $(k=2)$।
विकल्प $D$ ($864$ Hz) तीसरा हार्मोनिक है $(k=3)$।
विकल्प $C$ ($844$ Hz) $288$ Hz का पूर्णांक गुणज नहीं है $(844 / 288 \approx 2.93)$।
अतः, ट्यूनिंग फोर्क $844$ Hz की आवृत्ति के साथ अनुनाद नहीं करेगा।

(C) एक सिरे पर बंद $L$ लंबाई के ऑर्गन पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $\nu = \frac{v}{4L}$ होती है, जहाँ $v$ ध्वनि की चाल है।
जब पाइप को दो समान भागों में काटा जाता है, तो प्रत्येक भाग की लंबाई $L' = \frac{L}{2}$ हो जाती है।
एक भाग एक सिरे पर बंद रहता है, इसलिए इसकी मूल आवृत्ति $\nu_1 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{2v}{4L} = 2\nu$ होगी।
दूसरा भाग अब दोनों सिरों पर खुला है, इसलिए इसकी मूल आवृत्ति $\nu_2 = \frac{v}{2L'} = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 4 \times (\frac{v}{4L}) = 4\nu$ होगी।
अतः, आवृत्तियाँ $2\nu$ और $4\nu$ हैं।

(B) $L_c$ लंबाई की बंद पाइप के लिए, $n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_c = (2n + 1) \frac{v}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है। तीसरे ओवरटोन $(n = 3)$ के लिए, $f_c = (2 \times 3 + 1) \frac{v}{4L_c} = \frac{7v}{4L_c}$ होगा।
$L_0$ लंबाई की खुली पाइप के लिए, $n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_0 = (n + 1) \frac{v}{2L_0}$ द्वारा दी जाती है। तीसरे ओवरटोन $(n = 3)$ के लिए, $f_0 = (3 + 1) \frac{v}{2L_0} = \frac{4v}{2L_0} = \frac{2v}{L_0}$ होगा।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं, इसलिए $\frac{7v}{4L_c} = \frac{2v}{L_0}$ होगा।
अनुपात $L_c : L_0$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{L_c}{L_0} = \frac{7}{4 \times 2} = \frac{7}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुपात $L_c : L_0$ का मान $7:8$ है।

(D) एक सिरे पर खुली अनुनाद नली के लिए, अनुनाद की स्थिति $L + e = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $L$ वायु स्तंभ की लंबाई है, $e$ अंत सुधार है, और $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
प्रथम अनुनाद $(n=1)$ के लिए: $L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$।
दिया गया है $L_1 = 18$ cm और $e = 1.1$ cm, अतः $18 + 1.1 = \frac{\lambda}{4} \implies 19.1 = \frac{\lambda}{4} \implies \lambda = 76.4$ cm।
द्वितीय अनुनाद $(n=2)$ के लिए: $L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$।
मान रखने पर: $L_2 + 1.1 = 3 \times 19.1$।
$L_2 + 1.1 = 57.3$।
$L_2 = 57.3 - 1.1 = 56.2$ cm।

(A) एक सिरे पर बंद नली के लिए, अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $\frac{\lambda}{4}$ का विषम गुणज होती है।
मान लीजिए कि दो सबसे छोटी लंबाई $l_1$ और $l_2$ हैं।
$l_1 = \frac{\lambda}{4}$
$l_2 = \frac{3\lambda}{4}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$l_2 - l_1 = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$
इसलिए, $\lambda = 2(l_2 - l_1)$।
हवा में ध्वनि की गति $v = n\lambda$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda$ का मान रखने पर:
$v = n \times 2(l_2 - l_1) = 2n(l_2 - l_1)$।

(B) तने हुए तार के लिए $n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $L$ लंबाई है, $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi r^2$, जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $r$ त्रिज्या है।
अतः, $f_n = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{n}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
पहले तार के लिए: $n_1 = 2$ (पहला ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक होता है), $r_1 = 2r_2$, $L_1 = L_1$.
$f_{1, \text{overtone}} = \frac{2}{2L_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}} = \frac{1}{L_1 (2r_2)} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
दूसरे तार के लिए: $n_2 = 3$ (दूसरा ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक होता है), $r_2 = r_2$, $L_2 = L_2$.
$f_{2, \text{overtone}} = \frac{3}{2L_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
दिया गया है कि $f_{1, \text{overtone}} = f_{2, \text{overtone}}$:
$\frac{1}{2L_1 r_2} = \frac{3}{2L_2 r_2}$.
$\frac{1}{L_1} = \frac{3}{L_2} \text{ implies } \frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{3}$.

(A) दोनों सिरों पर स्थिर सोनोमीटर तार के लिए, $n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n f_1$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $f_1$ मूल आवृत्ति है।
सोनोमीटर तार में, हार्मोनिक्स $1^{st}$ (मूल), $2^{nd}$, $3^{rd}$, $4^{th}$ आदि होते हैं।
ओवरटोन को मूल आवृत्ति से अधिक आवृत्तियों के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1^{st}$ ओवरटोन = $2^{nd}$ हार्मोनिक $(n=2)$
$2^{nd}$ ओवरटोन = $3^{rd}$ हार्मोनिक $(n=3)$
$3^{rd}$ ओवरटोन = $4^{th}$ हार्मोनिक $(n=4)$
$n^{th}$ हार्मोनिक के लिए, निस्पंदों (nodes) की संख्या $(n+1)$ होती है और प्रस्पंदों (antinodes) की संख्या $n$ होती है।
$4^{th}$ हार्मोनिक $(n=4)$ के लिए:
निस्पंदों की संख्या = $4 + 1 = 5$
प्रस्पंदों की संख्या = $4$
अतः, इसमें $5$ निस्पंद और $4$ प्रस्पंद होते हैं।

(B) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है।
चूंकि $T$ और $\mu$ स्थिर हैं, इसलिए $f \propto \frac{1}{L}$ होगा।
माना प्रारंभिक लंबाई $L_1 = L$ और प्रारंभिक आवृत्ति $f_1 = 50 \text{ Hz}$ है।
नई लंबाई $L_2 = L + 0.25L = 1.25L = \frac{5}{4}L$ होगी।
नई मूल आवृत्ति $f_2$ के लिए, $\frac{f_2}{f_1} = \frac{L_1}{L_2} = \frac{L}{1.25L} = \frac{1}{1.25} = 0.8$ प्राप्त होता है।
अतः, $f_2 = 0.8 \times 50 \text{ Hz} = 40 \text{ Hz}$।
दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f'_n = 2f_n$ होती है।
प्रारंभिक दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f'_1 = 2 \times 50 = 100 \text{ Hz}$।
नए दूसरे हार्मोनिक की आवृत्ति $f'_2 = 2 \times 40 = 80 \text{ Hz}$।
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f' = 80 - 100 = -20 \text{ Hz}$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta f'}{f'_1} \times 100 = \frac{-20}{100} \times 100 = -20\%$।
इस प्रकार, आवृत्ति में $20\%$ की कमी होती है।

(C) कंपन करने वाली डोरी की आवृत्ति $f = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ लूप्स (एंटीनोड्स) की संख्या है, $L$ लंबाई है, $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क समान है, आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है।
साथ ही, $L$ और $\mu$ स्थिर हैं, इसलिए $n \propto \sqrt{T}$ होता है।
तनाव $T = Mg$ होने के कारण, $n \propto \sqrt{M}$ होता है, अर्थात $n^2 \propto M$।
प्रथम स्थिति में: $n_1 = 4$ और $M_1 = 1 \text{ kg}$।
द्वितीय स्थिति में: $n_2 = 2$ और $M_2 = M$।
अतः, $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{M_1}{M_2}$।
मान रखने पर: $\frac{4^2}{2^2} = \frac{1}{M}$।
$\frac{16}{4} = \frac{1}{M} \implies 4 = \frac{1}{M}$।
इस प्रकार, $M = 4 \text{ kg}$।

(C) $1$. एक सिरे पर खुली पाइप की मूल आवृत्ति: $f_p = \frac{v}{4L} = \frac{320}{4 \times 0.8} = 100 \text{ Hz}$।
$2$. डोरी अपने प्रथम ओवरटोन में कंपन कर रही है। दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए, प्रथम ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक होता है: $f_s = \frac{v_s}{l}$, जहाँ $v_s = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$।
$3$. दिया गया है $f_s = f_p = 100 \text{ Hz}$, $l = 0.5 \text{ m}$, और $T = 50 \text{ N}$।
$4$. $100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{\mu}} \implies 50 = \sqrt{\frac{50}{\mu}}$।
$5$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2500 = \frac{50}{\mu} \implies \mu = 0.02 \text{ kg/m}$।
$6$. डोरी का द्रव्यमान $m = \mu \times l = 0.02 \times 0.5 = 0.01 \text{ kg} = 10 \text{ g}$।

(C) एक तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
इस संबंध से, हम देखते हैं कि $f \propto \sqrt{T}$।
माना प्रारंभिक आवृत्ति $f_1$ है और अंतिम आवृत्ति $f_2 = f_1 + 0.40f_1 = 1.4f_1$ है।
माना प्रारंभिक तनाव $T_1$ है और अंतिम तनाव $T_2$ है।
चूंकि $f \propto \sqrt{T}$, इसलिए $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर: $\frac{1.4f_1}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} \implies 1.4 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1.4)^2 = \frac{T_2}{T_1} \implies 1.96 = \frac{T_2}{T_1}$।
अतः, $T_2 = 1.96T_1$।
तनाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100\% = (1.96 - 1) \times 100\% = 0.96 \times 100\% = 96\%$ है।

(A) दोनों सिरों पर बंधी सोनोमीटर की तार में, $n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n f_1$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $f_1$ मूल आवृत्ति है।
$n^{th}$ हार्मोनिक $(n-1)^{th}$ ओवरटोन के अनुरूप होता है।
चूंकि तार तीसरे ओवरटोन में कंपन कर रही है, इसलिए $n-1 = 3$, जिसका अर्थ है $n = 4$।
$n^{th}$ हार्मोनिक के लिए, बनने वाले लूप्स की संख्या $n = 4$ है।
एंटीनोड्स की संख्या लूप्स की संख्या के बराबर होती है, जो कि $4$ है।
दोनों सिरों पर बंधी तार में नोड्स की संख्या $n+1 = 4+1 = 5$ होती है।
अतः, एंटीनोड्स की संख्या $4$ और नोड्स की संख्या $5$ है।

(A) तार $A$ की मूल आवृत्ति $f_A = 256 \text{ Hz}$ है।
तार $A$ का तीसरा सन्नाद $3 \times f_A = 3 \times 256 = 768 \text{ Hz}$ है।
तार $B$ की मूल आवृत्ति $f_B = 382 \text{ Hz}$ है।
तार $B$ का दूसरा सन्नाद $2 \times f_B = 2 \times 382 = 764 \text{ Hz}$ है।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $|768 - 764| = 4 \text{ Hz}$।
इसका अर्थ है कि प्रति सेकंड $4$ विस्पंद सुनाई देते हैं।
अतः, $2$ सेकंड में सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या $4 \times 2 = 8$ होगी।

(A) सोनोमीटर तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T$ तार में तनाव है।
जब गोलक हवा में लटका होता है, तो तनाव $T_1 = Mg$ होता है, इसलिए $n_1 \propto \sqrt{Mg}$.
जब गोलक को पानी में डुबोया जाता है, तो उत्प्लावन बल ऊपर की ओर कार्य करता है, इसलिए प्रभावी भार (तनाव) $T_2 = Mg - V\rho_w g = Mg(1 - \frac{V\rho_w}{M}) = Mg(1 - \frac{\rho_w}{\rho_m})$ हो जाता है, जहाँ $\rho_m$ धातु का घनत्व है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
अतः, $n_2 \propto \sqrt{Mg(1 - \frac{\rho_w}{\rho_m})}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{1}{1 - \frac{\rho_w}{\rho_m}}} = \sqrt{\frac{\rho_m}{\rho_m - \rho_w}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{\rho_m}{\rho_m - \rho_w}$.
माना आपेक्षिक घनत्व $\sigma = \frac{\rho_m}{\rho_w}$ है। तब $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{\sigma}{\sigma - 1}$.
$n_1^2(\sigma - 1) = n_2^2 \sigma \implies \sigma(n_1^2 - n_2^2) = n_1^2$.
इसलिए, $\sigma = \frac{n_1^2}{n_1^2 - n_2^2}$.

(B) दोनों सिरों पर स्थिर तार के लिए $n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \cdot f_1$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $f_1$ मूल आवृत्ति है।
यह दिया गया है कि तार $P$ वें हार्मोनिक में $320 \text{ Hz}$ पर अनुनादित होता है, इसलिए $f_P = P \cdot f_1 = 320 \text{ Hz}$।
क्रमिक मोड में अगली उच्च आवृत्ति $(P+1)$ वां हार्मोनिक है, जो $f_{P+1} = (P+1) \cdot f_1 = 400 \text{ Hz}$ के रूप में दी गई है।
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $(P+1)f_1 - P f_1 = 400 - 320$।
इससे $f_1 = 80 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
$f_1$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $P \cdot 80 = 320$।
अतः, $P = 320 / 80 = 4$।

(B) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है $n \propto \frac{1}{L}$।
माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ है। तार की आवृत्ति $n = \frac{k}{L}$ है।
स्थिति $1$: $L_1 = 33 \text{ cm}$, बीट्स = $5$। अतः, $n_1 = f \pm 5 = \frac{k}{33}$।
स्थिति $2$: $L_2 = 32 \text{ cm}$, बीट्स = $5$। अतः, $n_2 = f \pm 5 = \frac{k}{32}$।
चूंकि $L$ घटता है, $n$ बढ़ता है। इसलिए, $n_2 > n_1$।
यदि $n_1 = f - 5$ और $n_2 = f + 5$ है, तो $\frac{k}{32} = f + 5$ और $\frac{k}{33} = f - 5$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $k(\frac{1}{32} - \frac{1}{33}) = 10 \Rightarrow k(\frac{1}{1056}) = 10 \Rightarrow k = 10560$।
अब, $f - 5 = \frac{10560}{33} = 320 \Rightarrow f = 325 \text{ Hz}$।

(C) तने हुए तार की मूल आवृत्ति का सूत्र है: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, जहाँ $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \text{अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2) \rho = \pi (d/2)^2 \rho = \frac{\pi d^2 \rho}{4}$.
आवृत्ति के सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर: $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi d^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
पहले तार के लिए: $n_A = \frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
दूसरे तार के लिए: $n_B = \frac{1}{(2L)(3d)} \sqrt{\frac{2T}{\pi (2\rho)}} = \frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
अनुपात लेने पर $n_B : n_A = \frac{\frac{1}{6Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}}{\frac{1}{Ld} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}} = \frac{1}{6}$.
अतः, $n_B : n_A$ का अनुपात $1 : 6$ है।

(A) एक अप्रगामी तरंग में, तरंग का समीकरण $y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, पद $2A \sin(kx)$ स्थिति $x$ पर कण के आयाम को दर्शाता है।
चूंकि आयाम स्थिति $x$ पर निर्भर करता है, इसलिए अलग-अलग कणों के आयाम अलग-अलग होते हैं।
निस्पंद बिंदुओं (nodes) पर, $\sin(kx) = 0$ होता है, इसलिए आयाम शून्य होता है, जिसका अर्थ है कि निस्पंद बिंदुओं पर कण स्थिर रहते हैं।
सभी कण (निस्पंद बिंदुओं को छोड़कर) समान कोणीय आवृत्ति $\omega$ (और इस प्रकार समान आवर्तकाल $T = 2\pi/\omega$) के साथ सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ करते हैं, लेकिन उनके आयाम उनकी स्थिति $x$ के अनुसार भिन्न होते हैं।

(D) $1$. एक स्थिर तरंग में, दो क्रमागत निस्पंदों (nodes) या दो क्रमागत प्रस्पंदों (antinodes) के बीच की दूरी $\lambda/2$ होती है। अतः, विकल्प $A$ गलत है।
$2$. दोनों सिरों पर खुली पाइप में, सभी सन्नादी (विषम और सम) मौजूद होते हैं। अतः, विकल्प $B$ गलत है।
$3$. एक सिरे पर बंद पाइप में, केवल विषम सन्नादी मौजूद होते हैं। अतः, विकल्प $C$ गलत है।
$4$. तनी हुई डोरी के लिए, मूल आवृत्ति $f_1 = v/2L$ होती है। पहला अधिस्वरक अगली उच्च आवृत्ति है, जो $f_2 = 2v/2L = 2f_1$ है। इसे दूसरा सन्नादी भी कहा जाता है। अतः, विकल्प $D$ सही है।

(A) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में, आपतित प्रकाश की तीव्रता प्रति इकाई समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आपतित फोटॉनों की संख्या के सीधे समानुपाती होती है।
चूंकि प्रत्येक फोटॉन एक प्रकाश-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है (यदि आवृत्ति देहली आवृत्ति से अधिक हो), इसलिए तीव्रता बढ़ाने से प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ जाती है।
परिणामस्वरूप, प्रकाश-विद्युत धारा बढ़ जाती है।
उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन (work function) पर निर्भर करती है, न कि प्रकाश की तीव्रता पर।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार है:
$K_{max} = E - \Phi_0$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
दी गई कट-ऑफ आवृत्ति (देहली आवृत्ति) $\nu$ है, इसलिए कार्य फलन $\Phi_0 = h\nu$ है।
$3\nu$ आवृत्ति वाले आपतित विकिरण की ऊर्जा $E = h(3\nu) = 3h\nu$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$K_{max} = 3h\nu - h\nu = 2h\nu$
चूंकि $K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$, इसलिए:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = 2h\nu$
$v_{max}^2 = \frac{4h\nu}{m}$
$v_{max} = \sqrt{\frac{4h\nu}{m}} = 2\sqrt{\frac{h\nu}{m}}$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\Phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए, $K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए, $K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \Phi$.
दिया गया है कि $\lambda_1 = 3\lambda_2$, इसे $K_1$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$K_1 = \frac{hc}{3\lambda_2} - \Phi$.
चूँकि $\frac{hc}{\lambda_2} = K_2 + \Phi$, इसलिए $K_1 = \frac{K_2 + \Phi}{3} - \Phi = \frac{K_2}{3} + \frac{\Phi}{3} - \Phi = \frac{K_2}{3} - \frac{2\Phi}{3}$.
चूँकि $\Phi > 0$, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $K_1 < \frac{K_2}{3}$।

(C) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $K_{max} = h\nu - \Phi$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $K_{max}$ उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है, $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है, और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण की तुलना सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर, हमें $y = K_{max}$, $x = \nu$, $m = h$, और $c = -\Phi$ प्राप्त होता है।
$K_{max}$ बनाम $\nu$ के ग्राफ का ढाल $h$ (प्लांक नियतांक) है।
चूंकि $h$ एक सार्वत्रिक नियतांक है, इसलिए ढाल सभी धातुओं के लिए समान होता है और यह आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र होता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ होती है, जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
पहले मामले के लिए ($\lambda$ तरंगदैर्ध्य): $K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
दूसरे मामले के लिए ($\lambda/3$ तरंगदैर्ध्य): $K_2 = \frac{hc}{(\lambda/3)} - \phi = \frac{3hc}{\lambda} - \phi$.
दिया गया है कि $K_2 = 4K_1$, इसलिए:
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = 4(\frac{hc}{\lambda} - \phi)$.
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - 4\phi$.
$\phi$ के लिए हल करने पर:
$4\phi - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda}$.
$3\phi = \frac{hc}{\lambda}$.
$\phi = \frac{hc}{3\lambda}$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$, जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $e(\frac{V}{4}) = \frac{hc}{1.5\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $4$ से गुणा करने पर: $eV = \frac{4hc}{1.5\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0} = \frac{8hc}{3\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ की तुलना करने पर: $\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{8hc}{3\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$
$\frac{4hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{8hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{3hc}{\lambda_0} = \frac{5hc}{3\lambda}$
$\frac{3}{\lambda_0} = \frac{5}{3\lambda}$
$\lambda_0 = \frac{9}{5}\lambda$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि फोटोकैथोड समान हैं, इसलिए उनका कार्य फलन $\phi$ समान होगा।
$n_1$ आवृत्ति के लिए, गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mV_1^2 = hn_1 - \phi$ --- $(1)$
$n_2$ आवृत्ति के लिए, गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mV_2^2 = hn_2 - \phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$\frac{1}{2}mV_1^2 - \frac{1}{2}mV_2^2 = (hn_1 - \phi) - (hn_2 - \phi)$
$\frac{1}{2}m(V_1^2 - V_2^2) = h(n_1 - n_2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \frac{2h}{m}(n_1 - n_2)$.

(B) फोटॉन के लिए, ऊर्जा $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda_p}$ होती है। अतः, फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_p = \frac{hc}{E}$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए, डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{p}$ है। गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ होने के कारण, $p = \sqrt{2mE}$ प्राप्त होता है। अतः, $\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
फोटॉन और इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{c}{E} \times \sqrt{2mE} = c \sqrt{\frac{2mE}{E^2}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$ है।

(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित एक इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$।
इसलिए, $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$।
दिया गया है कि $\lambda_1 = \lambda$ और $\lambda_2 = 2\lambda$, इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\lambda}{2\lambda} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$।
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{V_2}{V_1}$।
अतः, $\frac{V_1}{V_2} = 4$।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है।
नई गतिज ऊर्जा $K_2 = 3K$ है।
मान लीजिए कि नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है।
तब, $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$.
मान रखने पर, $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K}{3K}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः, नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य और पिछली डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(A) $V$ विभव के माध्यम से त्वरित आवेशित कण से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है और $q$ आवेश है।
समान तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए, $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mqV}$, जिसका अर्थ है $V \propto \frac{1}{mq}$।
अतः, त्वरक विभव का अनुपात $V_{\alpha} / V_p = \frac{m_p q_p}{m_{\alpha} q_{\alpha}}$ होगा।
दिया गया है: $m_{\alpha} = 4m_p$ और $q_{\alpha} = 2q_p$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{V_{\alpha}}{V_p} = \frac{m_p q_p}{(4m_p)(2q_p)} = \frac{1}{8}$।
प्रश्न के अनुसार प्रोटॉन और $\alpha$-कण के विभव का अनुपात $V_p / V_{\alpha} = 8$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है।
यदि गतिज ऊर्जा को $16$ गुना बढ़ा दिया जाए, तो $K_2 = 16K$ होगा।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2m(16K)}} = \frac{1}{4} \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{\lambda}{4}$ होगी।
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_2 = \lambda - \frac{\lambda}{4} = \frac{3\lambda}{4}$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta \lambda}{\lambda_1} \times 100\% = \frac{3\lambda/4}{\lambda} \times 100\% = 75\%$ होगा।

(D) बोर मॉडल के अनुसार, $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 a_0$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0$ बोर त्रिज्या है।
$n$ वीं कक्षा की परिधि $2\pi r_n = 2\pi n^2 a_0$ होती है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार, स्थिर कक्षा के लिए शर्त $n\lambda = 2\pi r_n$ है।
$r_n$ का मान रखने पर, हमें $n\lambda_n = 2\pi n^2 a_0$ प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर $\lambda_n = 2\pi n a_0$ मिलता है।
ग्राउंड स्टेट $(n = 1)$ के लिए, $\lambda_1 = 2\pi(1)a_0 = 2\pi a_0$ होता है।
$n = 3$ स्तर के लिए, $\lambda_3 = 2\pi(3)a_0 = 3(2\pi a_0) = 3\lambda_1$ होता है।
अतः, $\lambda_3 = 3\lambda_1$ प्राप्त होता है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $m$ द्रव्यमान है, $q$ आवेश है और $V$ विभवांतर है।
चूंकि $h$ और $V$ दोनों कणों के लिए समान हैं, इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mq}}$ होगा।
माना प्रोटॉन का द्रव्यमान और आवेश $m_p$ और $q_p$ है, और $\alpha$-कण का द्रव्यमान और आवेश $m_{\alpha}$ और $q_{\alpha}$ है।
दिया गया है: $m_{\alpha} = 4m_p$ और $q_{\alpha} = 2q_p$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m_p \cdot 2q_p}{m_p \cdot q_p}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।

(B) $V$ विभव द्वारा त्वरित $q$ आवेश और $M$ द्रव्यमान वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2MqV}}$ द्वारा दी जाती है।
$\alpha$-कण के लिए, $M_{\alpha} = 4M_p$ और $q_{\alpha} = 2e$, जहाँ $M_p$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है और $e$ मूल आवेश है।
प्रोटॉन के लिए, $M_p = M_p$ और $q_p = e$.
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_p} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2(4M_p)(2e)V}}}{\frac{h}{\sqrt{2(M_p)(e)V}}} = \sqrt{\frac{2M_p e V}{16M_p e V}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}}$.
इसे $\frac{1}{\sqrt{m}}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $m = 8$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में ऊर्जा स्तर $n_i$ से $n_f$ में संक्रमण के लिए तरंगदैर्घ्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
संक्रमण $1$ ($n_i = 3$ से $n_f = 1$) के लिए:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{8}{9} \right) \implies \lambda_1 = \frac{9}{8R}$.
संक्रमण $2$ ($n_i = 2$ से $n_f = 1$) के लिए:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right) \implies \lambda_2 = \frac{4}{3R}$.
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{9/8R}{4/3R} = \frac{9}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{32}$.
यह दिया गया है कि अनुपात $x/32$ है, इसलिए $x/32 = 27/32$, जिसका अर्थ है कि $x = 27$.

(C) उत्सर्जित विकिरण की तरंग दैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$.
प्रथम स्थिति के लिए: इलेक्ट्रॉन दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 3)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n_f = 2)$ में कूदता है।
$\frac{1}{\lambda_0} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
अतः, $\lambda_0 = \frac{36}{5R}$.
दूसरी स्थिति के लिए: इलेक्ट्रॉन तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 4)$ से दूसरी कक्षा $(n_f = 2)$ में कूदता है।
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$.
अतः, $\lambda = \frac{16}{3R}$.
अब, $\lambda$ को $\lambda_0$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$\lambda = \frac{16}{3R} = \frac{16}{3} \times \frac{5\lambda_0}{36} = \frac{80\lambda_0}{108} = \frac{20\lambda_0}{27}$.
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{20\lambda_0}{x}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 27$ प्राप्त होता है।

(B) मूल अवस्था $n = 1$ के संगत होती है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के संगत होती है।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के संगत होती है।
जब इलेक्ट्रॉन प्रारंभिक अवस्था $n_i = 3$ से अंतिम अवस्था $n_f = 1$ में संक्रमण करता है, तो संभावित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ प्रारंभिक ऊर्जा स्तर है।
वैकल्पिक रूप से, हम संभावित संक्रमणों को सूचीबद्ध कर सकते हैं:
$1$. $n = 3$ से $n = 2$
$2$. $n = 2$ से $n = 1$
$3$. $n = 3$ से $n = 1$
स्पेक्ट्रमी रेखाओं की कुल संख्या = $3$.

(B) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी के लिए, $n_1 = 2$ और $n_2 = m$, जहाँ $m = 3, 4, 5, \dots$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{m^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{m^2} \right)$ प्राप्त होता है।
समीकरण को सरल करने पर, $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{m^2 - 4}{4m^2} \right)$ मिलता है।
व्युत्क्रम लेने पर, $\lambda = \frac{4m^2}{R(m^2 - 4)}$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण $\lambda = \frac{xm^2}{m^2 - 4}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = \frac{4}{R}$ प्राप्त होता है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में संक्रमण के लिए तरंगदैर्घ्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
सबसे छोटी तरंगदैर्घ्य के लिए, संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1$ तक होता है।
हाइड्रोजन की बामर श्रेणी के लिए $(Z = 1)$, $n_1 = 2$ है। अतः, $\frac{1}{\lambda_H} = R(1)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$.
परमाणु क्रमांक $Z$ वाले हाइड्रोजन जैसे परमाणु की ब्रैकेट श्रेणी के लिए, $n_1 = 4$ है। अतः, $\frac{1}{\lambda_Z} = R Z^2 \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R Z^2}{16}$.
दिया गया है कि $\lambda_H = \lambda_Z$, इसलिए हम व्यंजकों की तुलना करते हैं: $\frac{R}{4} = \frac{R Z^2}{16}$.
सरल करने पर, $\frac{1}{4} = \frac{Z^2}{16}$, जिससे $Z^2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः, $Z = 2$।

(C) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$, कार्य फलन $(\phi)$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ के योग के बराबर होती है:
$E = \phi + K_{max} = 2.65 \text{ eV} + 10.1 \text{ eV} = 12.75 \text{ eV}$.
हाइड्रोजन परमाणु में, $n^{th}$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 / n^2 \text{ eV}$ होती है।
जब इलेक्ट्रॉन $n$ अवस्था से मूल अवस्था $(n=1)$ में कूदता है, तो उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा:
$E = E_n - E_1 = -13.6 / n^2 - (-13.6 / 1^2) = 13.6 (1 - 1/n^2) \text{ eV}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$12.75 = 13.6 (1 - 1/n^2)$
$12.75 / 13.6 = 1 - 1/n^2$
$0.9375 = 1 - 1/n^2$
$1/n^2 = 1 - 0.9375 = 0.0625$
$n^2 = 1 / 0.0625 = 16$
$n = 4$.

(A) बोहर के क्वांटमीकरण अभिधारणा के अनुसार, कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = nh / 2\pi$ द्वारा दिया जाता है।
पहली कक्षा के लिए, $n = 1$, इसलिए $mvr = h / 2\pi$।
वेग $v = h / (2\pi mr)$ प्राप्त होता है।
प्रति सेकंड चक्करों की संख्या $f$ आवृत्ति है, जिसे $f = v / (2\pi r)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
आवृत्ति के सूत्र में $v$ का मान रखने पर: $f = (h / 2\pi mr) / (2\pi r) = h / 4\pi^2mr^2$।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में, नाभिक (आवेश $+e$) और इलेक्ट्रॉन (आवेश $-e$) के बीच का स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल, इलेक्ट्रॉन को $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार, स्थिर-वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
इन दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$।
दोनों पक्षों को $r/2$ से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{2r}$।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$ है।
चूंकि $e$, $\pi$, और $\epsilon_0$ स्थिरांक हैं, इसलिए गतिज ऊर्जा $K$, $e^2/r$ के समानुपाती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर के सिद्धांत के अनुसार:
$1$. $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
$2$. $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गति $V_n \propto 1/n$ द्वारा दी जाती है।
अब, $Vr$ के गुणनफल का विश्लेषण करें:
$Vr \propto (1/n) \times n^2 = n$.
यह $n$ के समानुपाती है।
अब, $1/Vr$ का विश्लेषण करें:
$1/Vr \propto 1/n$.
अतः, भौतिक राशि $1/Vr$ मुख्य क्वांटम संख्या '$n$' के व्युत्क्रमानुपाती है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र '$B$' में गति कर रहे '$m$' द्रव्यमान और '$q$' आवेश वाले कण के लिए, साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $\omega = qB/m$ होती है।
बोहर के क्वांटमीकरण प्रतिबंध के अनुसार, कोणीय संवेग $L = n\hbar = nh/2\pi$ होता है।
वृत्ताकार कक्षा में गति कर रहे कण के लिए ऊर्जा $E = (1/2)m v^2 = (1/2)m (r\omega)^2 = (1/2)m r^2 \omega^2$ होती है।
चूंकि $L = mvr = mr^2\omega$, इसलिए $r^2 = L/(m\omega) = (nh/2\pi) / (m \cdot qB/m) = nh / (2\pi qB)$ प्राप्त होता है।
ऊर्जा के समीकरण में $r^2$ और $\omega$ का मान रखने पर: $E = (1/2)m \cdot [nh / (2\pi qB)] \cdot (qB/m)^2$.
$E = (1/2)m \cdot [nh / (2\pi qB)] \cdot (q^2 B^2 / m^2) = nhqB / (4\pi m)$.

(A) '$r$' त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में '$v$' वेग से घूम रहे इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण '$M$' को $M = IA$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ '$I$' धारा है और '$A$' कक्षा का क्षेत्रफल है।
$I = e/T = ev / (2\pi r)$
$A = \pi r^2$
अतः, $M = (ev / 2\pi r) \times \pi r^2 = evr / 2$.
इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग '$L$' का मान $L = mvr$ होता है।
'$M$' के व्यंजक से, हमारे पास $M = (e/2m) \times (mvr) = (e/2m) \times L$ है।
'$L$' के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $L = 2mM / e$ प्राप्त होता है।

(C) बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए, $n^{th}$ कक्षा में वेग $v$, $\frac{1}{n}$ के समानुपाती होता है $(v \propto \frac{1}{n})$ और त्रिज्या $r$, $n^2$ के समानुपाती होती है $(r \propto n^2)$।
इन मानों को अभिकेंद्र त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a_c \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1/n^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$।
अतः, $3^{rd}$ और $5^{th}$ कक्षा के लिए अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात:
$\frac{a_3}{a_5} = \frac{n_5^4}{n_3^4} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{625}{81}$।
इस प्रकार, अनुपात $625 : 81$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल में, $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
इसका तात्पर्य है कि $E \propto n^{-2}$।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका तात्पर्य है कि $L \propto n$, या $n \propto L$।
ऊर्जा संबंध $E \propto n^{-2}$ में $n \propto L$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $E \propto (L)^{-2}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $E \propto L^{-2}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में परिक्रमा कर रहे इलेक्ट्रॉन से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का संबंध $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{2\pi r_n}{n}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $r_n$ $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या है।
चूंकि $r_n \propto n^2$, इसलिए $\lambda \propto \frac{n^2}{n} = n$ होता है।
मूल अवस्था के लिए $n_1 = 1$ है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था $n_2 = 4$ के संगत होती है।
चूंकि $n_2 > n_1$, इसलिए जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा अवस्था में जाता है, डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है:
$r_n = n^2 a_0$
जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है $(n = 1, 2, 3, 4, ...)$ और $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
पहली चार कक्षाओं के लिए:
$n = 1$ के लिए, $r_1 = 1^2 a_0 = 1 a_0$
$n = 2$ के लिए, $r_2 = 2^2 a_0 = 4 a_0$
$n = 3$ के लिए, $r_3 = 3^2 a_0 = 9 a_0$
$n = 4$ के लिए, $r_4 = 4^2 a_0 = 16 a_0$
अतः, त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 : r_3 : r_4 = 1 : 4 : 9 : 16$ है।

(A) बोर के मॉडल के अनुसार, $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi me^2}$ द्वारा दी जाती है।
$n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{e^2}{2\epsilon_0nh}$ है।
कक्षीय आवर्तकाल $T$ एक चक्कर पूरा करने में लगा समय है, जो $T = \frac{2\pi r_n}{v_n}$ होता है।
$r_n$ और $v_n$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2\pi (\frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi me^2})}{(\frac{e^2}{2\epsilon_0nh})}$
$T = \frac{2n^2h^2\epsilon_0}{me^2} \times \frac{2\epsilon_0nh}{e^2}$
$T = \frac{4\epsilon_0^2n^3h^3}{me^4}$.
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) बोर के सिद्धांत के अनुसार, नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच कार्य करने वाला स्थिर वैद्युत बल $F$, कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r^2}$.
बोर मॉडल में, $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $n^2$ के समानुपाती होती है, अर्थात $r \propto n^2$.
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर: $F \propto \frac{1}{r^2} \propto \frac{1}{(n^2)^2} = \frac{1}{n^4}$.
अतः, $F \propto n^{-4}$.

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए, ऊर्जा स्तर $E_n = -13.6 Z^2 / n^2 \text{ eV}$ द्वारा दिए जाते हैं।
जैसे ही इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $(n > 1)$ से मूल अवस्था $(n = 1)$ में संक्रमण करता है, मुख्य क्वांटम संख्या $n$ घटती है।
$1$. कुल ऊर्जा $(T.E.)$: चूंकि $T.E. = -13.6 Z^2 / n^2$, जैसे $n$ घटता है, $T.E.$ का मान अधिक ऋणात्मक हो जाता है। अतः, $T.E.$ घटती है।
$2$. स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$: हम जानते हैं कि $P.E. = 2 \times T.E. = -27.2 Z^2 / n^2$। जैसे $n$ घटता है, $P.E.$ का मान अधिक ऋणात्मक हो जाता है। अतः, $P.E.$ घटती है।
$3$. गतिज ऊर्जा $(K.E.)$: हम जानते हैं कि $K.E. = -T.E. = 13.6 Z^2 / n^2$। जैसे $n$ घटता है, $K.E.$ बढ़ती है।
इसलिए, गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ बढ़ती है, जबकि स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ और कुल ऊर्जा $(T.E.)$ घटती हैं।

(B) एक कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन का कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $(m_{orb})$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $m_{orb} = \frac{e}{2m_e} L$, जहाँ $L$ कक्षीय कोणीय संवेग है।
बोर के क्वांटमीकरण की शर्त के अनुसार, $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
इस मान को $m_{orb}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $m_{orb} = \frac{e}{2m_e} \times \frac{nh}{2\pi}$.
चूंकि $e$, $m_e$, $h$, और $\pi$ स्थिरांक हैं, इसलिए हम देख सकते हैं कि $m_{orb} \propto n$.
अतः, कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के सीधे समानुपाती होता है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$।
हाइड्रोजन परमाणु की दूसरी कक्षा के लिए $(Z=1, n=2)$: $E = -13.6 \times \frac{1^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{1}{4} \text{ eV}$।
अतः, $-13.6 \text{ eV} = 4E$।
हीलियम परमाणु की तीसरी कक्षा के लिए $(Z=2, n=3)$: $E' = -13.6 \times \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \times \frac{4}{9} \text{ eV}$।
$E'$ के समीकरण में $-13.6 = 4E$ रखने पर:
$E' = (4E) \times \frac{4}{9} = \frac{16E}{9}$।

(C) बोहर के क्वांटीकरण अभिधारणा के अनुसार, $n$ क्वांटम संख्या वाली कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = n(h / 2\pi)$ द्वारा दिया जाता है।
तीसरी बोहर कक्षा $(n_1 = 3)$ के लिए, कोणीय संवेग $l = 3(h / 2\pi)$ है।
चौथी बोहर कक्षा $(n_2 = 4)$ के लिए, कोणीय संवेग $L' = 4(h / 2\pi)$ है।
दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर: $L' / l = (4(h / 2\pi)) / (3(h / 2\pi)) = 4/3$।
अतः, $L' = (4/3)l$।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ है, जहाँ $a_0$ बोर त्रिज्या है, $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
हाइड्रोजन की मूल अवस्था के लिए, $n_H = 1$ और $Z_H = 1$ है। अतः, $r_H = a_0 \frac{1^2}{1} = a_0$.
त्रि-आयनित बेरिलियम $(Be^{3+})$ के लिए, $Z_{Be} = 4$ है। मान लीजिए कि ऊर्जा अवस्था $n_{Be}$ है। त्रिज्या $r_{Be} = a_0 \frac{n_{Be}^2}{4}$ होगी।
यह दिया गया है कि $r_{Be} = r_H$, इसलिए $a_0 \frac{n_{Be}^2}{4} = a_0$.
इसे सरल करने पर $\frac{n_{Be}^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $n_{Be}^2 = 4$.
अतः, $n_{Be} = 2$।

(A) $n^{th}$ कक्षा के लिए बोहर त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या स्थिरांक है।
दी गई शर्त के अनुसार: $r_{n+1} - r_n = r_{n-1}$.
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $a_0(n+1)^2 - a_0 n^2 = a_0(n-1)^2$.
$a_0$ से विभाजित करने पर: $(n+1)^2 - n^2 = (n-1)^2$.
पदों का विस्तार करने पर: $(n^2 + 2n + 1) - n^2 = n^2 - 2n + 1$.
सरल करने पर: $2n + 1 = n^2 - 2n + 1$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $n^2 - 4n = 0$.
गुणनखंड करने पर: $n(n - 4) = 0$.
चूँकि $n$ कक्षा की संख्या को दर्शाता है, $(n-1)^{th}$ कक्षा के अस्तित्व के लिए $n > 1$ होना चाहिए। अतः, $n = 4$.

(A) बोर के सिद्धांत के अनुसार, $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति से जुड़ा चुंबकीय आघूर्ण $\mu_l = \frac{e}{2m} L$ होता है।
$L$ का मान रखने पर, हमें $\mu_l = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e$, $m$, $h$ और $\pi$ स्थिरांक हैं, इसलिए हम देख सकते हैं कि $\mu_l \propto n$ है।
अतः, चुंबकीय आघूर्ण मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के समानुपाती होता है।

(C) बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार, $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
डी-ब्रोग्ली संबंध के अनुसार, तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ है।
बोहर क्वांटाइजेशन शर्त को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $mv = \frac{nh}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
इस मान को डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{(nh / 2\pi r)}$।
इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ प्राप्त होता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए, ऊर्जा $E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$ है।
अगली उच्च अवस्था प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था की ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ है।
परमाणु को मूल अवस्था से प्रथम उत्तेजित अवस्था में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
$\Delta E = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = -3.4 \text{ eV} + 13.6 \text{ eV} = 10.2 \text{ eV}$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6/n^2 \text{ eV}$ है।
दिया गया है कि $E_n = -0.544 \text{ eV}$।
अतः, $-13.6/n^2 = -0.544$।
$n^2 = 13.6 / 0.544 = 25$।
इसलिए, $n = 5$।
बोहर के क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार, $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $(L)$ $L = nh/2\pi$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 5$ रखने पर, हमें $L = 5h/2\pi$ प्राप्त होता है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर की अभिधारणा के अनुसार, एक इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनके लिए उसका कोणीय संवेग $(L)$, $h/2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
इसे क्वांटमीकरण शर्त द्वारा व्यक्त किया जाता है: $L = n(h/2\pi)$, जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ मुख्य क्वांटम संख्या है, और $h$ प्लांक नियतांक है।
अतः, कोणीय संवेग वह राशि है जो $h/2\pi$ का पूर्णांक गुणज है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में, नाभिक (आवेश $+e$) और इलेक्ट्रॉन (आवेश $-e$) के बीच का स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल, इलेक्ट्रॉन को $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार, स्थिर-वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
इन दोनों को बराबर करने पर, हमें $\frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $r/2$ से गुणा करने पर, $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{2r}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$ है।
चूंकि $\epsilon_0$ एक नियतांक है, इसलिए गतिज ऊर्जा $e^2/r$ के समानुपाती है।

(C) रेडियोधर्मी नमूने की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $5 \text{ वर्ष}$ है।
कुल बीता हुआ समय $(t)$ $10 \text{ वर्ष}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = t / T_{1/2} = 10 / 5 = 2$ के रूप में की जाती है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे नमूने का अंश $N/N_0 = (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 2$ रखने पर, हमें $N/N_0 = (1/2)^2 = 1/4$ प्राप्त होता है।
क्षय हुए नमूने का अंश $1 - N/N_0 = 1 - 1/4 = 3/4$ है।
क्षय हुए प्रतिशत को ज्ञात करने के लिए, हम $100$ से गुणा करते हैं: $(3/4) \times 100 = 75\%$।

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को सूत्र $A = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ अविघटित परमाणुओं की संख्या है।
क्षय नियतांक $\lambda$ अर्ध-आयु $T$ से $\lambda = \ln(2) / T$ संबंध द्वारा संबंधित है।
इसलिए, सक्रियता $A$ को $A = (\ln(2) / T) \times N$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दो तत्वों के लिए, सक्रियता $A_1 = (\ln(2) / T_1) \times N_1$ और $A_2 = (\ln(2) / T_2) \times N_2$ है।
उनकी सक्रियता का अनुपात $A_1 / A_2 = [(\ln(2) / T_1) \times N_1] / [(\ln(2) / T_2) \times N_2]$ है।
इसे सरल करने पर, हमें $A_1 / A_2 = (N_1 / T_1) \times (T_2 / N_2) = (N_1 T_2) / (N_2 T_1)$ प्राप्त होता है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0(1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n = t/T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि नमूने का $(7/8)$ भाग क्षय हो जाता है, इसलिए शेष मात्रा $N(t) = N_0 - (7/8)N_0 = (1/8)N_0$ है।
इसे क्षय सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $(1/8)N_0 = N_0(1/2)^n$.
$(1/2)^3 = (1/2)^n$, जिसका अर्थ है कि $n = 3$.
चूंकि $n = t/T_{1/2}$, हमारे पास $3 = t / 15 \text{ hr}$ है।
अतः, $t = 3 \times 15 \text{ hr} = 45 \text{ hr}$.

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ के नियम का पालन करती है।
दिया गया है कि $t = 0$ पर, $A(0) = N_0$ है।
$t = 3 \text{ min}$ पर, $A(3) = N_0/e$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $N_0/e = N_0 e^{-\lambda(3)}$।
इसे सरल करने पर $e^{-1} = e^{-3\lambda}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $3\lambda = 1$, इसलिए $\lambda = 1/3 \text{ min}^{-1}$।
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ का सूत्र $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ है।
$\lambda = 1/3$ रखने पर, हमें $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{1/3} = 3 \ln 2 = 3 \log_e 2 \text{ मिनट}$ प्राप्त होता है।

(C) समय $t$ के बाद शेष रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा $N = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n = t/T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
नमूने $A$ के लिए: $(1/8) = (1/2)^n_A \implies (1/2)^3 = (1/2)^n_A \implies n_A = 3$.
चूँकि $n_A = t/T_A$, इसलिए $3 = 9/T_A \implies T_A = 3 \text{ hours}$.
नमूने $B$ के लिए: $(1/128) = (1/2)^n_B \implies (1/2)^7 = (1/2)^n_B \implies n_B = 7$.
चूँकि $n_B = t/T_B$, इसलिए $7 = 9/T_B \implies T_B = 9/7 \text{ hours}$.
$B$ और $A$ की अर्ध-आयु का अनुपात $T_B/T_A = (9/7) / 3 = 3/7$ है।

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 (1/2)^n$ के नियम का पालन करती है, जहाँ $n$ अर्ध-आयु (half-lives) की संख्या है।
दिया गया है कि सक्रियता $4 \text{ days}$ में मूल मान की $(1/4)$ हो जाती है, इसलिए $(1/4) = (1/2)^n$, जिसका अर्थ है $n = 2$।
चूंकि $2$ अर्ध-आयु $4 \text{ days}$ के बराबर हैं, इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 4 / 2 = 2 \text{ days}$ है।
अब, कुल समय $t = 16 \text{ days}$ के लिए, अर्ध-आयु की संख्या $n' = t / T_{1/2} = 16 / 2 = 8$ होगी।
$16 \text{ days}$ के बाद सक्रियता $A = A_0 (1/2)^8$ होगी।
$A = A_0 (1/256)$।
अतः, $x = 1/256$।