MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$, इसलिए $\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$।
यहाँ $\lambda_1 = \lambda$ और $\lambda_2 = \frac{2\lambda}{3}$ दिया गया है।
अतः, $\lambda T_1 = \frac{2\lambda}{3} T_2$, जिसका अर्थ है $T_2 = \frac{3}{2} T_1$।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका की उत्सर्जन क्षमता $E$ उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है, अर्थात् $E \propto T^4$।
इसलिए, $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$।
$T_2 = \frac{3}{2} T_1$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{3/2 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{81}{16}$।
अतः, नई उत्सर्जन क्षमता $E_2 = \frac{81}{16} E$ होगी।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका द्वारा ऊर्जा उत्सर्जन की दर (शक्ति $P$) उसके परम तापमान $(T)$ के चतुर्थ घात (केल्विन में) के समानुपाती होती है।
$P \propto T^4$
यहाँ दिया गया तापमान $827^{\circ}\text{C}$ है।
इसे केल्विन $(T)$ में बदलने पर:
$T = 827 + 273 = 1100 \text{ K}$
अतः, ऊर्जा उत्सर्जन की दर $(1100)^4$ के समानुपाती है।

(C) कुल आपतित ऊर्जा $Q = 170 \text{ J}$ है।
परावर्तित ऊर्जा $Q_r = 17 \text{ J}$ है।
परावर्तन गुणांक $r = Q_r / Q = 17 / 170 = 0.1$ है।
अवशोषण गुणांक $a = 0.7$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी सतह के लिए, $r + a + t = 1$, जहाँ $t$ संचरण गुणांक है।
मान रखने पर: $0.1 + 0.7 + t = 1$.
$0.8 + t = 1 \implies t = 0.2$.
संचरित ऊर्जा $Q_t = t \times Q = 0.2 \times 170 = 34 \text{ J}$ होगी।

(B) कृष्णिका (black body) एक आदर्श भौतिक पिंड है जो अपने ऊपर आपतित सभी विद्युत चुम्बकीय विकिरणों को अवशोषित कर लेता है।
प्लांक के कृष्णिका विकिरण नियम के अनुसार, कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित विकिरण की तीव्रता उसकी तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और तापमान $(T)$ पर निर्भर करती है।
तीव्रता का वितरण सभी तरंगदैर्ध्यों के लिए समान नहीं होता है।
किसी दिए गए तापमान के लिए, तीव्रता तरंगदैर्ध्य के साथ बढ़ती है और एक अधिकतम मान (जो अधिकतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{max}$ के अनुरूप है) तक पहुँचती है, और उसके बाद तरंगदैर्ध्य बढ़ने पर तीव्रता कम हो जाती है।
इसलिए, यह कथन कि 'सभी तरंगदैर्ध्य के लिए तीव्रता समान होती है' गलत है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, ऊष्मा हानि की शुद्ध दर $P = \sigma A e (T^4 - T_0^4)$ है।
दिया गया है:
गोले का प्रारंभिक तापमान $T_1 = 600 \text{ K}$.
वातावरण का तापमान $T_0 = 200 \text{ K}$.
ठंडे होने की दर $R \propto (T_1^4 - T_0^4)$.
अतः, $R = k(600^4 - 200^4)$.
जब तापमान गिरकर $T_2 = 400 \text{ K}$ हो जाता है, तो नई दर $R' = k(400^4 - 200^4)$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{R'}{R} = \frac{400^4 - 200^4}{600^4 - 200^4} = \frac{(400^2 - 200^2)(400^2 + 200^2)}{(600^2 - 200^2)(600^2 + 200^2)}$
$= \frac{120000 \times 200000}{320000 \times 400000} = \frac{240}{1280} = \frac{3}{16}$.
अतः, $R' = \frac{3}{16}R$.

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, वह तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ जिस पर एक कृष्णिका की स्पेक्ट्रमी उत्सर्जन क्षमता अधिकतम होती है, उसे $\lambda_m = \frac{b}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $b = 2.89 \times 10^6 \text{ nm K}$ और $T = 5780 \text{ K}$ दिया गया है।
अतः, $\lambda_m = \frac{2.89 \times 10^6}{5780} \approx 500 \text{ nm}$।
चूंकि अधिकतम उत्सर्जन $\lambda_m = 500 \text{ nm}$ पर होता है, इसलिए $500 \text{ nm}$ पर ऊर्जा घनत्व $U_2$ अधिकतम है।
$\lambda_m$ से छोटी तरंगदैर्ध्य $(300 \text{ nm})$ और बड़ी तरंगदैर्ध्य $(900 \text{ nm})$ के लिए, ऊर्जा घनत्व अधिकतम मान से कम होता है।
इस प्रकार, $U_2$ अधिकतम है, और $U_1$ तथा $U_3$ की तुलना करने पर, कृष्णिका विकिरण का वक्र छोटी तरंगदैर्ध्य की ओर अधिक तीव्र होता है।
अतः, $U_1 < U_2$ और $U_3 < U_2$, अर्थात $U_1 < U_2 > U_3$।

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, विकिरण के लिए ठंडा होने की दर $\frac{dT}{dt}$, $(T^4 - T_0^4)$ के समानुपाती होती है, जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
दिया गया है $T_1 = 600 \text{ K}$, $T_0 = 300 \text{ K}$, और ठंडा होने की दर $R = k(T_1^4 - T_0^4)$ है।
$R = k(600^4 - 300^4) = k(300^4)(2^4 - 1^4) = k(300^4)(15)$।
अब, $T_2 = 400 \text{ K}$ पर, ठंडा होने की दर $R' = k(400^4 - 300^4) = k(300^4)((\frac{4}{3})^4 - 1^4) = k(300^4)(\frac{256}{81} - 1) = k(300^4)(\frac{175}{81})$।
$R'$ को $R$ से विभाजित करने पर:
$\frac{R'}{R} = \frac{k(300^4)(\frac{175}{81})}{k(300^4)(15)} = \frac{175}{81 \times 15} = \frac{175}{1215} = \frac{35}{243}$।
दिया गया है $R' = \frac{x}{243}R$, इसलिए $\frac{x}{243} = \frac{35}{243}$, जिसका अर्थ है $x = 35$।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और कृष्णिका (black body) के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल नियत होता है।
$\lambda_m T = b$ (जहाँ $b$ वीन नियतांक है)।
अतः, $T \propto \frac{1}{\lambda_m}$।
दिया गया है:
$\lambda_A = 3.9 \times 10^{-7} \text{ m}$
$\lambda_B = 5.2 \times 10^{-7} \text{ m}$
तापमान का अनुपात $\frac{T_A}{T_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}$ होगा।
मान रखने पर:
$\frac{T_A}{T_B} = \frac{5.2 \times 10^{-7}}{3.9 \times 10^{-7}} = \frac{5.2}{3.9} = \frac{52}{39} = \frac{4}{3}$।
अतः, अनुपात $4:3$ है।

(C) स्थिर अवस्था में, प्रत्येक छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होती है क्योंकि वे श्रेणीक्रम में जुड़ी होती हैं।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ें समान हैं, इसलिए सभी के लिए $A$ और $L$ समान हैं।
पहली छड़ के लिए: $H = \frac{(2K)A(3T - T_1)}{L}$
दूसरी छड़ के लिए: $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$
तीसरी छड़ के लिए: $H = \frac{(2K)A(T_2 - T)}{L}$
ऊष्मा प्रवाह दरों को बराबर करने पर:
$2(3T - T_1) = (T_1 - T_2) = 2(T_2 - T)$
$2(3T - T_1) = (T_1 - T_2)$ से:
$6T - 2T_1 = T_1 - T_2 \implies 3T_1 - T_2 = 6T$ --- $(1)$
$(T_1 - T_2) = 2(T_2 - T)$ से:
$T_1 - T_2 = 2T_2 - 2T \implies T_1 - 3T_2 = -2T$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $3T_1 - 9T_2 = -6T$ --- $(3)$
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $(3T_1 - T_2) + (3T_1 - 9T_2) = 6T - 6T$
$6T_1 - 10T_2 = 0 \implies 6T_1 = 10T_2$
अतः, $T_1/T_2 = 10/6 = 5/3$।

(C) ऊष्मीय चालकता गुणांक, जिसे $K$ द्वारा दर्शाया जाता है, पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह किसी पदार्थ की ऊष्मा का चालन करने की क्षमता को दर्शाता है।
चूंकि यह पदार्थ का गुण है, इसलिए यह वस्तु के भौतिक आयामों जैसे कि उसकी लंबाई, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल या द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
अतः, यह केवल छड़ के पदार्थ पर निर्भर करता है।

(B) छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{th}$ सूत्र $R_{th} = \frac{L}{kA}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ लंबाई है, $k$ ऊष्मीय चालकता है, और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों का ऊष्मीय प्रतिरोध समान है $(R_{th1} = R_{th2})$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है $(A_1 = A_2 = A)$, इसलिए:
$\frac{L_1}{k_1 A} = \frac{L_2}{k_2 A}$
इसे सरल करने पर $\frac{L_1}{k_1} = \frac{L_2}{k_2}$ प्राप्त होता है, या $\frac{L_1}{L_2} = \frac{k_1}{k_2}$।
चूंकि ऊष्मीय चालकता का अनुपात $\frac{k_1}{k_2} = \frac{6}{5}$ दिया गया है, इसलिए उनकी लंबाई का अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{6}{5}$ होगा।

(C) एक बेलनाकार छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ का सूत्र है: $H = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$, जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और $L$ छड़ की लंबाई है।
चूंकि $A = \pi r^2$, सूत्र $H = \frac{k \pi r^2 (T_1 - T_2)}{L}$ हो जाता है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए: $H_1 = \frac{k \pi r^2 (T_1 - T_2)}{L}$।
जब सभी आयाम दोगुने कर दिए जाते हैं, तो नई त्रिज्या $r' = 2r$ और नई लंबाई $L' = 2L$ हो जाती है।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $H_2$ है: $H_2 = \frac{k \pi (2r)^2 (T_1 - T_2)}{2L} = \frac{k \pi (4r^2) (T_1 - T_2)}{2L} = 2 \left[ \frac{k \pi r^2 (T_1 - T_2)}{L} \right]$।
अतः, $H_2 = 2H_1$।

(B) चालन के कारण छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर (या ऊष्मा हानि की दर) का सूत्र है:
$H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$
जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, $(T_1 - T_2)$ तापमान का अंतर है और $L$ छड़ की लंबाई है।
दिया गया है कि दोनों छड़ों के लिए ऊष्मा हानि की दर समान है:
$H_1 = H_2$
$\frac{K_1 A_1 (T_1 - T_2)}{L} = \frac{K_2 A_2 (T_1 - T_2)}{L}$
चूंकि दोनों छड़ों के लिए लंबाई $L$ और तापमान का अंतर $(T_1 - T_2)$ समान है, इसलिए हम उन्हें दोनों पक्षों से हटा सकते हैं:
$K_1 A_1 = K_2 A_2$
अतः, सही संबंध $A_1 K_1 = A_2 K_2$ है।

(D) स्थिर अवस्था में, श्रेणीक्रम में जुड़े दोनों स्लैब से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होती है।
मान लीजिए कि संपर्क सतह का तापमान $T$ है।
पहले स्लैब से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_2 - T)}{x}$ है।
दूसरे स्लैब से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{(2K)A(T - T_1)}{4x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{KA(T_2 - T)}{x} = \frac{KA(T - T_1)}{2x}$।
इसे सरल करने पर $T_2 - T = \frac{T - T_1}{2}$ प्राप्त होता है, जिससे $2T_2 - 2T = T - T_1$ या $3T = 2T_2 + T_1$ मिलता है, अतः $T = \frac{2T_2 + T_1}{3}$।
$T$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $H = \frac{KA}{x} \left( T_2 - \frac{2T_2 + T_1}{3} \right) = \frac{KA}{x} \left( \frac{3T_2 - 2T_2 - T_1}{3} \right) = \frac{KA(T_2 - T_1)}{3x}$।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $\left[ \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right] \cdot f$ से करने पर, हमें $f = 1/3$ प्राप्त होता है।

(B) छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{th}$ सूत्र $R_{th} = \frac{L}{kA}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ लंबाई है, $k$ ऊष्मीय चालकता है, और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों का ऊष्मीय प्रतिरोध समान है $(R_{th1} = R_{th2})$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल भी समान है $(A_1 = A_2 = A)$, इसलिए:
$\frac{L_1}{k_1 A} = \frac{L_2}{k_2 A}$
इसे सरल करने पर $\frac{L_1}{k_1} = \frac{L_2}{k_2}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $\frac{L_1}{L_2} = \frac{k_1}{k_2}$.
चूंकि ऊष्मीय चालकता का अनुपात $\frac{k_1}{k_2} = \frac{4}{3}$ दिया गया है, इसलिए लंबाई का अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{3}$ होगा।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ की लंबाई '$L$',अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल '$A$' और ऊष्मीय चालकता '$K$' है।
स्थिति $(1)$: छड़ें समानांतर जुड़ी हुई हैं।
तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध '$R_{p}$' इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$, जहाँ $R = \frac{L}{KA}$.
अतः, $R_{p} = \frac{R}{2} = \frac{L}{2KA}$.
स्थानांतरित ऊष्मा $Q = \frac{\Delta T}{R_{p}} \times t = \frac{2KA \Delta T}{L} \times t$.
स्थिति $(2)$: छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं।
तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध '$R_{s}$' इस प्रकार है:
$R_{s} = R + R = 2R = \frac{2L}{KA}$.
स्थानांतरित ऊष्मा $Q = \frac{\Delta T}{R_{s}} \times t'$, जहाँ '$t'$' नया समय है।
$Q = \frac{\Delta T}{2L/KA} \times t' = \frac{KA \Delta T}{2L} \times t'$.
दोनों स्थितियों में स्थानांतरित ऊष्मा की तुलना करने पर:
$\frac{2KA \Delta T}{L} \times t = \frac{KA \Delta T}{2L} \times t'$
$2t = \frac{t'}{2}$
$t' = 4t$.

(C) चरण $1$: $0^{\circ}\text{C}$ पर $15 \text{ g}$ बर्फ को $0^{\circ}\text{C}$ पर पानी में पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की गणना करें।
$Q_1 = m_{\text{ice}} \times L_{\text{ice}} = 15 \text{ g} \times 80 \text{ cal/g} = 1200 \text{ cal}$.
चरण $2$: $40^{\circ}\text{C}$ से $0^{\circ}\text{C}$ तक ठंडा होने पर पानी और बर्तन द्वारा मुक्त की गई ऊष्मा की गणना करें।
$Q_2 = m_{\text{total}} \times S_{\text{water}} \times \Delta T = 60 \text{ g} \times 1 \text{ cal/g}^{\circ}\text{C} \times (40^{\circ}\text{C} - 0^{\circ}\text{C}) = 2400 \text{ cal}$.
चरण $3$: चूंकि $Q_2 > Q_1$, बर्फ पूरी तरह से पिघल जाएगी और शेष ऊष्मा कुल पानी के तापमान को बढ़ाएगी।
बर्फ पिघलने के बाद उपलब्ध ऊष्मा = $2400 \text{ cal} - 1200 \text{ cal} = 1200 \text{ cal}$.
चरण $4$: पानी का कुल द्रव्यमान = $15 \text{ g} + 60 \text{ g} = 75 \text{ g}$ है।
मान लीजिए अंतिम तापमान $T_f$ है।
$1200 \text{ cal} = 75 \text{ g} \times 1 \text{ cal/g}^{\circ}\text{C} \times (T_f - 0^{\circ}\text{C})$.
$T_f = 1200 / 75 = 16^{\circ}\text{C}$.

(A) कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार, धातु द्वारा खोई गई ऊष्मा = पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा।
धातु द्वारा खोई गई ऊष्मा = $C_{metal} \times \Delta T_{metal} = C_{metal} \times (850 - 350) = 500 \times C_{metal}$.
पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $m_{water} \times c_{water} \times \Delta T_{water} = 1 \text{ kg} \times 4200 \text{ J/kg} \cdot \text{K} \times (350 - 300) = 1 \times 4200 \times 50 = 210000 \text{ J}$.
दोनों को बराबर करने पर: $500 \times C_{metal} = 210000$.
$C_{metal} = \frac{210000}{500} = 420 \text{ J/K}$.

(B) पानी का क्वथनांक सेल्सियस पैमाने पर $100^{\circ}C$ और फारेनहाइट पैमाने पर $212^{\circ}F$ होता है।
प्रारंभ में, दोनों थर्मामीटर क्वथनांक पर हैं: $T_C = 100^{\circ}C$ और $T_F = 212^{\circ}F$.
तापमान को तब तक कम किया जाता है जब तक कि फारेनहाइट थर्मामीटर $140^{\circ}F$ न दिखाए।
रूपांतरण सूत्र $T_C = \frac{5}{9}(T_F - 32)$ का उपयोग करते हुए:
$T_C = \frac{5}{9}(140 - 32) = \frac{5}{9}(108) = 5 \times 12 = 60^{\circ}C$.
सेल्सियस पैमाने पर प्रारंभिक तापमान $100^{\circ}C$ था और अंतिम तापमान $60^{\circ}C$ है।
अतः, तापमान में गिरावट $100^{\circ}C - 60^{\circ}C = 40^{\circ}C$ है।

(A) सेल्सियस पैमाने पर तापमान में परिवर्तन $(\Delta C)$ और फारेनहाइट पैमाने $(\Delta F)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta C = \frac{5}{9} \times \Delta F$
यहाँ दिया गया है कि फारेनहाइट पैमाने पर तापमान का अंतर $\Delta F = 54^{\circ}\text{F}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\Delta C = \frac{5}{9} \times 54$
$\Delta C = 5 \times 6$
$\Delta C = 30^{\circ}\text{C}$
अतः, सेल्सियस पैमाने पर तापमान का अंतर $30^{\circ}\text{C}$ है।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है, जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिया गया है, $\eta_1 = 0.2 = 1 - \frac{T_2}{T_1} \implies \frac{T_2}{T_1} = 0.8 \implies T_2 = 0.8 T_1$ (समीकरण $1$)।
जब $T_2$ को $45 \text{ K}$ कम किया जाता है, तो नया सिंक तापमान $T_2' = T_2 - 45$ हो जाता है। नई दक्षता $\eta_2 = 0.5$ है।
अतः, $0.5 = 1 - \frac{T_2 - 45}{T_1} \implies \frac{T_2 - 45}{T_1} = 0.5 \implies T_2 - 45 = 0.5 T_1$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से $T_2 = 0.8 T_1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$0.8 T_1 - 45 = 0.5 T_1$
$0.3 T_1 = 45$
$T_1 = \frac{45}{0.3} = 150 \text{ K}$।
अब, समीकरण $1$ का उपयोग करके $T_2$ ज्ञात करते हैं:
$T_2 = 0.8 \times 150 = 120 \text{ K}$।
इस प्रकार, तापमान $T_1 = 150 \text{ K}$ और $T_2 = 120 \text{ K}$ हैं।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए, $\eta_1 = \frac{1}{6} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$, जिसका अर्थ है $\frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$, इसलिए $T_C = \frac{5}{6} T_H$.
दूसरी स्थिति के लिए, सिंक का तापमान $T_C' = T_C - 64$ हो जाता है। नई दक्षता $\eta_2 = \frac{1}{3} = 1 - \frac{T_C - 64}{T_H}$ है।
यह दर्शाता है कि $\frac{T_C - 64}{T_H} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, इसलिए $T_C - 64 = \frac{2}{3} T_H$.
दूसरे समीकरण में $T_C = \frac{5}{6} T_H$ रखने पर: $\frac{5}{6} T_H - 64 = \frac{2}{3} T_H$.
इसे हल करने पर $(\frac{5}{6} - \frac{4}{6}) T_H = 64$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\frac{1}{6} T_H = 64$, इसलिए $T_H = 384 \text{ K}$.
तब $T_C = \frac{5}{6} \times 384 = 5 \times 64 = 320 \text{ K}$.
अतः, $T_H = 384 \text{ K}$ और $T_C = 320 \text{ K}$ है।

(C) कार्नो इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है, जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
प्रारंभ में, $\eta_1 = 50\% = 0.5$ और $T_1 = 600\text{ K}$ है।
$0.5 = 1 - \frac{T_2}{600} \implies \frac{T_2}{600} = 0.5 \implies T_2 = 300\text{ K}$।
दक्षता में $20\%$ की वृद्धि की जाती है, इसलिए नई दक्षता $\eta_2 = 50\% + 20\% = 70\% = 0.7$ है।
समान सिंक तापमान $T_2 = 300\text{ K}$ का उपयोग करते हुए, हम नया स्रोत तापमान $T_1'$ ज्ञात करते हैं:
$0.7 = 1 - \frac{300}{T_1'} \implies \frac{300}{T_1'} = 1 - 0.7 = 0.3$।
$T_1' = \frac{300}{0.3} = 1000\text{ K}$।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक (निकास) का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\eta_1 = 0.40$, $T_1 = 600\text{ K}$.
$0.40 = 1 - \frac{T_2}{600} \implies \frac{T_2}{600} = 0.60 \implies T_2 = 360\text{ K}$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $\eta_2 = 0.60$, $T_2 = 360\text{ K}$.
$0.60 = 1 - \frac{360}{T_1'} \implies \frac{360}{T_1'} = 1 - 0.60 = 0.40$.
$T_1' = \frac{360}{0.40} = 900\text{ K}$.
अतः, आवश्यक इनटेक तापमान $900\text{ K}$ है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $(\eta)$ का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$।
दिया गया है:
$T_1 = 500 \text{ K}$ (स्रोत का तापमान)
$T_2 = 300 \text{ K}$ (सिंक का तापमान)
सूत्र में मान रखने पर:
$\eta = 1 - \frac{300}{500}$
$\eta = 1 - 0.6 = 0.4$
दक्षता को प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए:
$\eta = 0.4 \times 100\% = 40\%$।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(A) गैस $A$ के समतापीय संपीड़न के लिए: $P_i V_i = P_f V_f$। दिया गया है कि $V_i = V$ और $V_f = V/2$, इसलिए $P_A = P_i (V / (V/2)) = 2P_i$ प्राप्त होता है।
गैस $B$ के रुद्धोष्म संपीड़न के लिए: $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$। दिया गया है कि $V_i = V$ और $V_f = V/2$, इसलिए $P_B = P_i (V / (V/2))^\gamma = 2^\gamma P_i$ प्राप्त होता है।
सभी गैसों के लिए रुद्धोष्म घातांक (adiabatic index) $\gamma > 1$ होता है (उदाहरण के लिए, एकपरमाणुक के लिए $\gamma = 1.67$, द्विपरमाणुक के लिए $\gamma = 1.4$), इसलिए $2^\gamma > 2$ होता है।
अतः, $P_B > P_A$ या $P_A < P_B$ सही संबंध है।

(B) चक्रीय प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $p-V$ लूप द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिए गए $p-V$ आरेख में, प्रक्रिया $ABCDA$ एक आयत बनाती है।
आयत का क्षेत्रफल $\text{Area} = \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
$V$-अक्ष के अनुदिश आयत की चौड़ाई $(5V_0 - 3V_0) = 2V_0$ है।
$p$-अक्ष के अनुदिश आयत की ऊंचाई $(4P_0 - 2P_0) = 2P_0$ है।
अतः, किए गए कार्य का परिमाण $\text{Area} = (2V_0) \times (2P_0) = 4P_0V_0$ है।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त दिशा में है, इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $P \propto T^x$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
रुद्धोष्म घातांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
$x$ के व्यंजक में $\gamma$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{7/5}{(7/5) - 1} = \frac{7/5}{2/5} = \frac{7}{2} = 3.5$.

(C) ऊष्मारोधी पात्र के लिए, प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है।
एकपरमाणुक गैस के लिए, $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक आयतन $V_1$ है और अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V_1}{8}$ है।
संबंध $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{P_2}{P_1} = (\frac{V_1}{V_2})^{\gamma} = (\frac{V_1}{V_1/8})^{\gamma} = 8^{\gamma}$.
$\gamma = \frac{5}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{P_2}{P_1} = 8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$.
अतः, अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब का अनुपात $32:1$ है।

(C) समदाबी प्रक्रिया एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें दबाव स्थिर रहता है $(P = \text{स्थिर})$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
समदाबी प्रक्रिया में, किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है, जो आमतौर पर शून्य नहीं होता है जब तक कि आयतन में परिवर्तन शून्य न हो।
दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$, जो तापमान परिवर्तन के लिए शून्य नहीं होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\Delta U$ तापमान में परिवर्तन $(\Delta T)$ पर निर्भर करता है, इसलिए यह आमतौर पर समदाबी प्रक्रिया में शून्य नहीं होता है जहाँ तापमान बदलता है।
अतः, यह कथन कि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य नहीं होता है, सही है।

(B) एक चक्रीय प्रक्रिया में, निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है। इसलिए, निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ शून्य होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
चूंकि $\Delta U = 0$ है, इसलिए $\Delta Q = \Delta W$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ यह है कि निकाय को दी गई कुल ऊष्मा $(\Delta Q)$ निकाय द्वारा किए गए कुल कार्य $(\Delta W)$ के बराबर होती है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}\text{C} = 27 + 273 = 300\text{ K}$.
अंतिम आयतन $V_2 = (8/27) V_1$.
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$, इसलिए $\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
मान रखने पर: $300 \times V_1^{2/3} = T_2 \times ((8/27) V_1)^{2/3}$.
$300 = T_2 \times (8/27)^{2/3}$.
$300 = T_2 \times ((2/3)^3)^{2/3} = T_2 \times (2/3)^2 = T_2 \times (4/9)$.
$T_2 = 300 \times (9/4) = 75 \times 9 = 675\text{ K}$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 675\text{ K} - 300\text{ K} = 375\text{ K}$ है।

(D) चरण $1$: $V$ से $3V$ आयतन तक समतापीय प्रसार।
समतापीय प्रक्रिया के लिए, $P_1V_1 = P_2V_2$।
यहाँ $P_1 = P$, $V_1 = V$, और $V_2 = 3V$ है।
अतः, $P \cdot V = P_2 \cdot (3V) \implies P_2 = P/3$।
चरण $2$: $3V$ से $81V$ आयतन तक रुद्धोष्म प्रसार।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $P_2V_2^\gamma = P_3V_3^\gamma$।
यहाँ $P_2 = P/3$, $V_2 = 3V$, $V_3 = 81V$, और $\gamma = 5/3$ है।
$P_3 = P_2 \cdot (V_2 / V_3)^\gamma = (P/3) \cdot (3V / 81V)^{5/3} = (P/3) \cdot (1/27)^{5/3} = (P/3) \cdot (1/243) = P/729$।
दिए गए विकल्पों के आधार पर, सही उत्तर $P/243$ है।

(A) जब कंटेनर को अचानक रोका जाता है, तो कंटेनर की गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
माना गैस के मोलों की संख्या $n$ है। कंटेनर की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} M_{total} V^2$ है, जहाँ $M_{total} = nM$ है।
अतः, $K = \frac{1}{2} n M V^2$।
यह गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाती है: $\Delta U = n C_v \Delta T$।
एकपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर: $\frac{1}{2} n M V^2 = n (\frac{3}{2} R) \Delta T$।
$\Delta T$ के लिए हल करने पर: $\Delta T = \frac{\frac{1}{2} n M V^2}{n (\frac{3}{2} R)} = \frac{MV^2}{3R}$।

(A) एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
स्थिर दाब पर, दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
किया गया कार्य $\Delta W = n R \Delta T$ है।
संबंधों $C_v = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ और $C_p = C_v + R = \frac{7}{2}R$ का उपयोग करने पर:
$\Delta U = n (\frac{5}{2}R) \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T$
$\Delta Q = n (\frac{7}{2}R) \Delta T = \frac{7}{2} n R \Delta T$
$\Delta W = n R \Delta T$
अतः, अनुपात $\Delta W : \Delta U : \Delta Q = n R \Delta T : \frac{5}{2} n R \Delta T : \frac{7}{2} n R \Delta T$ है।
$n R \Delta T$ से विभाजित करने पर, हमें $1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर, हमें $2 : 5 : 7$ प्राप्त होता है।

(A) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को सूत्र $\Delta U = nC_v \Delta T$ द्वारा दर्शाया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से, हमारे पास $n \Delta T = \frac{\Delta(PV)}{R}$ है।
चूंकि दाब $P$ स्थिर है, इसलिए $\Delta(PV) = P(V_f - V_i) = P(2V - V) = PV$ होगा।
अतः, $n \Delta T = \frac{PV}{R}$।
हम जानते हैं कि $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$।
इन मानों को आंतरिक ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T = \frac{R}{\gamma - 1} \left( \frac{PV}{R} \right) = \frac{PV}{\gamma - 1}$।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
अंतिम आयतन $V_2 = 2V$ और $\gamma = 3/2$ है।
अतः, $\gamma - 1 = 3/2 - 1 = 1/2$.
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करने पर, $T(V)^{1/2} = T_2(2V)^{1/2}$ प्राप्त होता है।
$T_2 = T \times (V/2V)^{1/2} = T / \sqrt{2}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $n = 1$ मोल है, तो $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{1/2} = 2R(T - T/\sqrt{2}) = 2RT(1 - 1/\sqrt{2})$.
$W = 2RT - \frac{2RT}{\sqrt{2}} = 2RT - \sqrt{2}RT = RT(2 - \sqrt{2})$.

(C) अवस्था परिवर्तन के दौरान किया गया कार्य $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $P = 3 \times 10^5 \text{ Pa}$ और $\Delta V = 1600 \text{ cm}^3 = 1600 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 1.6 \times 10^{-3} \text{ m}^3$ है।
अतः, $W = (3 \times 10^5) \times (1.6 \times 10^{-3}) = 480 \text{ J}$।
प्रश्न के अनुसार, दी गई कुल ऊष्मा $(Q)$ का $10\%$ भाग इस कार्य के लिए उपयोग किया जाता है, इसलिए $0.1 Q = W$।
इस प्रकार, $Q = W / 0.1 = 480 / 0.1 = 4800 \text{ J}$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $Q = \Delta U + W$, जहाँ $\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है।
इसलिए, $\Delta U = Q - W = 4800 - 480 = 4320 \text{ J}$।

(C) एक आदर्श द्वि-परमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{5}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_P = \frac{7}{2}R$ होती है।
सिलेंडर $B$ में पिस्टन स्थिर है, इसलिए प्रक्रिया सम-आयतनिक (isochoric) है। दी गई ऊष्मा $Q = n C_V \Delta T_B$ है।
सिलेंडर $A$ में पिस्टन स्वतंत्र है, इसलिए प्रक्रिया समदाबी (isobaric) है। दी गई ऊष्मा $Q = n C_P \Delta T_A$ है।
चूंकि दोनों को समान ऊष्मा दी जाती है, इसलिए $n C_V \Delta T_B = n C_P \Delta T_A$ होगा।
मान रखने पर: $C_V \Delta T_B = C_P \Delta T_A$.
$\frac{5}{2}R \times 63 = \frac{7}{2}R \times \Delta T_A$.
$5 \times 63 = 7 \times \Delta T_A$.
$\Delta T_A = \frac{5 \times 63}{7} = 5 \times 9 = 45 \text{ K}$.

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ गैस के मोलों की संख्या है।
मोलों की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आणविक भार}}$.
यहाँ ऑक्सीजन का द्रव्यमान = $7 \text{ g}$ और आणविक भार = $32$ दिया गया है।
अतः, $n = \frac{7}{32}$.
आदर्श गैस समीकरण में $n$ का मान रखने पर, हमें $PV = (\frac{7}{32}) RT$ प्राप्त होता है।

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ द्वारा दिया जाता है।
विराम अवस्था में लिफ्ट के लिए, $g_{eff} = g$, इसलिए $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर जाती है, तो $g_{eff} = g + a$, इसलिए $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे जाती है, तो $g_{eff} = g - a$, इसलिए $T_3 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$।
समीकरणों का वर्ग करने पर, हमें $T_2^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g+a}$ और $T_3^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g-a}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{1}{T_2^2} = \frac{g+a}{4\pi^2 l}$ और $\frac{1}{T_3^2} = \frac{g-a}{4\pi^2 l}$।
इनका योग करने पर: $\frac{1}{T_2^2} + \frac{1}{T_3^2} = \frac{g+a+g-a}{4\pi^2 l} = \frac{2g}{4\pi^2 l} = \frac{2}{T_1^2}$।
अतः, $\frac{T_3^2 + T_2^2}{T_2^2 T_3^2} = \frac{2}{T_1^2}$, जिसका अर्थ है $T_1^2 = \frac{2T_2^2 T_3^2}{T_2^2 + T_3^2}$।
वर्गमूल लेने पर, हमें $T_1 = \frac{\sqrt{2}T_2T_3}{\sqrt{T_2^2 + T_3^2}}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि लोलक का द्रव्यमान $m$ है और डोरी की लंबाई $l$ है।
न्यूनतम तनाव $(T_{min})$ चरम स्थिति पर होता है जहाँ वेग शून्य होता है: $T_{min} = mg \cos \theta$.
अधिकतम तनाव $(T_{max})$ सबसे निचले बिंदु (माध्य स्थिति) पर होता है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए, सबसे निचले बिंदु पर वेग $v$, $\frac{1}{2}mv^2 = mgl(1 - \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है, इसलिए $v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$ है।
सबसे निचले बिंदु पर तनाव $T_{max} = mg + \frac{mv^2}{l} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$ है।
दिया गया है कि $T_{max} = 2T_{min}$, इसलिए $mg(3 - 2 \cos \theta) = 2mg \cos \theta$.
$3 - 2 \cos \theta = 2 \cos \theta$.
$3 = 4 \cos \theta$.
$\cos \theta = 0.75$.
अतः, $\theta = \cos^{-1}(0.75)$।

(C) $R$ त्रिज्या वाले वॉच ग्लास में दोलन करने वाला एक छोटा गोला सरल लोलक की तरह व्यवहार करता है।
$R$ त्रिज्या के वॉच ग्लास में लुढ़कने या फिसलने वाले गोले के लिए, लोलक की प्रभावी लंबाई $L = R - r$ होती है।
यदि गोला बहुत छोटा है $(r \approx 0)$, तो प्रभावी लंबाई $L = R = 1.6 \text{ m}$ ली जाती है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ ज्ञात करने का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
दिए गए मान $L = 1.6 \text{ m}$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$ रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.6}{10}}$
$T = 2\pi \sqrt{0.16}$
$T = 2\pi \times 0.4$
$T = 0.8\pi \text{ s}$.

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
यदि घड़ी धीमी चल रही है, तो इसका मतलब है कि इसका आवर्तकाल $T$ बहुत अधिक है (इसे एक दोलन पूरा करने में अधिक समय लग रहा है)।
इसे सही करने के लिए, हमें आवर्तकाल $T$ को कम करने की आवश्यकता है।
सूत्र $T \propto \sqrt{L}$ से, लंबाई $L$ को कम करने पर आवर्तकाल $T$ कम हो जाएगा।
इसलिए, घड़ी को तेज करने के लिए हमें लोलक की लंबाई कम करनी चाहिए।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर, $g = \frac{GM}{R^2}$, इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{LR^2}{GM}}$.
सतह से $h = R$ ऊँचाई पर, प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ होता है।
$h = R$ रखने पर, $g' = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ प्राप्त होता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2T$ है।
$T' = 2T$ की तुलना $T' = xT$ से करने पर, $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) $L$ लंबाई के सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इससे, $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$, जिसका अर्थ है $L = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$।
दिए गए दो लोलकों के लिए:
$L_1 = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2}$ और $L_2 = \frac{T_2^2 g}{4\pi^2}$।
हमें $L' = L_1 - L_2$ लंबाई वाले लोलक के लिए आवर्तकाल $T'$ ज्ञात करना है।
$L_1$ और $L_2$ के मान रखने पर:
$L' = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2} - \frac{T_2^2 g}{4\pi^2} = \frac{g}{4\pi^2} (T_1^2 - T_2^2)$।
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g}}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{g(T_1^2 - T_2^2)}{4\pi^2 g}} = 2\pi \sqrt{\frac{T_1^2 - T_2^2}{4\pi^2}} = \sqrt{T_1^2 - T_2^2}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
प्रथम स्थिति के लिए, $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$.
दूसरी स्थिति के लिए, कुल द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ है, इसलिए नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}} = \frac{3}{2} T$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1}} = \frac{3}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{m_1 + m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$.
इसे सरल करने पर $1 + \frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$.
अतः, अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{5}$ है।

(D) द्रव्यमान-स्प्रिंग निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $K_{eq}$ तुल्य स्प्रिंग नियतांक है।
चित्र $(a)$ के लिए: निकाय में $K$ नियतांक वाली एक स्प्रिंग है। अतः, $K_{eq,a} = K$। आवर्तकाल $T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ है।
चित्र $(b)$ के लिए: दो स्प्रिंग श्रेणी क्रम में जुड़ी हुई हैं। तुल्य स्प्रिंग नियतांक $\frac{1}{K_{eq,b}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ है, इसलिए $K_{eq,b} = \frac{K}{2}$। आवर्तकाल $T_b = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{K}} = \sqrt{2} T_a$ है।
चित्र $(c)$ के लिए: दो स्प्रिंग समांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं। तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq,c} = K + K = 2K$ है। आवर्तकाल $T_c = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$ है।
परिणामों की तुलना करने पर: $T_a = \sqrt{2} T_c$, जिसका अर्थ है $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$। साथ ही, $T_b = \sqrt{2} T_a$। $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$ और $T_b = \sqrt{2} T_a$ से, हमें $T_b = 2 T_c$ प्राप्त होता है। अतः, विकल्प $(d)$ सही है।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
प्रारंभ में, द्रव्यमान $m_1 = 100 \text{ g}$, $m_2 = 300 \text{ g}$ और $m_3 = 500 \text{ g}$ हैं।
जब $500 \text{ g}$ के द्रव्यमान को हटा दिया जाता है, तो शेष द्रव्यमान $M_1 = 100 \text{ g} + 300 \text{ g} = 400 \text{ g}$ होता है।
आवर्तकाल $T_1 = 3 \text{ s}$ है।
अतः, $3 = 2\pi \sqrt{\frac{400}{k}}$।
जब $300 \text{ g}$ के द्रव्यमान को भी हटा दिया जाता है, तो शेष द्रव्यमान $M_2 = 100 \text{ g}$ होता है।
माना नया आवर्तकाल $T_2$ है।
अतः, $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{100}{k}}$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{T_2}{3} = \frac{2\pi \sqrt{100/k}}{2\pi \sqrt{400/k}} = \sqrt{\frac{100}{400}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इसलिए, $T_2 = 3 \times \frac{1}{2} = 1.5 \text{ s}$।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$ है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है, प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ रैखिक रूप से बढ़ता है, जबकि धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ घटता है।
कम आवृत्तियों पर, $X_C$ प्रभावी होता है, इसलिए जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है, $Z$ घटता है।
अनुनाद आवृत्ति (resonant frequency) $f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ पर, $X_L = X_C$ होता है, जिससे प्रतिबाधा $Z = R$ हो जाती है, जो कि न्यूनतम संभव मान है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f_0$ से आगे बढ़ती है, $X_L$ प्रभावी हो जाता है, जिससे प्रतिबाधा $Z$ फिर से बढ़ने लगती है।
अतः, प्रतिबाधा पहले घटती है, अनुनाद पर न्यूनतम हो जाती है और फिर बढ़ती है।

(B) $LR$ परिपथ में, प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
जब एक संधारित्र को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है, तो परिपथ $LCR$ परिपथ बन जाता है।
$LCR$ परिपथ की नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है, जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) है।
सामान्यतः, $LR$ परिपथ में संधारित्र जोड़ने से परिपथ की कुल प्रतिबाधा बढ़ जाती है, जिसके परिणामस्वरूप धारा $I = \frac{V}{Z}$ कम हो जाती है।
अतः, परिपथ में बहने वाली प्रत्यावर्ती धारा घटती है।

(A) परिपथ में अधिकतम धारा तब प्रवाहित होती है जब परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है।
अनुनाद की स्थिति में, प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
$X_L = X_C \implies \omega L = \frac{1}{\omega C}$
यहाँ, $\omega = 2\pi f$ है।
अतः, $C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$
दिया गया है: $L = 2 \times 10^{-6} \text{ H}$, $f = 10 \text{ kHz} = 10^4 \text{ Hz}$, $\pi^2 = 10$
$C = \frac{1}{4 \times 10 \times (10^4)^2 \times 2 \times 10^{-6}}$
$C = \frac{1}{40 \times 10^8 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{80 \times 10^2} = \frac{1}{8000}$
अतः, $x = 8000$।

(A) दिया गया है: स्रोत वोल्टेज $V = 100 \text{ V}$, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 24 \text{ } \Omega$, धारितीय प्रतिघात $X_C = 16 \text{ } \Omega$, प्रतिरोध $R = 6 \text{ } \Omega$।
सबसे पहले, $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{6^2 + (24 - 16)^2} = \sqrt{36 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ } \Omega$।
परिपथ में धारा $I = V / Z = 100 / 10 = 10 \text{ A}$ है।
प्रेरक और संधारित्र के श्रेणी संयोजन के सिरों पर विभवांतर $V_{LC} = I |X_L - X_C|$ है।
$V_{LC} = 10 \times |24 - 16| = 10 \times 8 = 80 \text{ V}$।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होता है।
अनुनाद की स्थिति में, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है, अर्थात $X_L = X_C$।
अतः, प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ हो जाता है, जो कि प्रतिबाधा का न्यूनतम मान है।
चूँकि $Z$ न्यूनतम है, इसलिए धारा $I = \frac{V}{Z}$ अधिकतम होती है।
साथ ही, अनुनाद पर, कला कोण $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = 0$ होता है, जिसका अर्थ है $\phi = 0$।
चूँकि कला कोण $0$ है, इसलिए धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं।

(B) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f = 1 / (2\pi \sqrt{LC})$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ नया प्रेरकत्व $L' = 3L$ और नई धारिता $C' = C + 3C = 4C$ है।
नई अनुनादी आवृत्ति $f' = 1 / (2\pi \sqrt{L'C'}) = 1 / (2\pi \sqrt{3L \times 4C})$ होगी।
$f' = 1 / (2\pi \sqrt{12LC}) = 1 / (2\pi \sqrt{4 \times 3 \times LC}) = 1 / (2 \times 2\pi \sqrt{3LC}) = 1 / (2\sqrt{3} \times 2\pi \sqrt{LC})$.
चूँकि $f = 1 / (2\pi \sqrt{LC})$, इसलिए $f' = f / (2\sqrt{3})$ प्राप्त होता है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, कलान्तर $\phi$ को $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $L$ को हटा दिया जाता है, तो परिपथ एक $RC$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\tan(\pi/3) = \frac{X_C}{R} = \sqrt{3}$ है, इसलिए $X_C = R\sqrt{3}$।
जब $C$ को हटा दिया जाता है, तो परिपथ एक $RL$ परिपथ बन जाता है। कलान्तर $\tan(\pi/3) = \frac{X_L}{R} = \sqrt{3}$ है, इसलिए $X_L = R\sqrt{3}$।
चूंकि $X_L = X_C$, इसलिए जब तीनों घटक जुड़े होते हैं तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है।
अनुनाद पर, प्रतिबाधा $Z = R$ होती है और कलान्तर $\phi = 0$ होता है।
अतः शक्ति गुणांक $\cos \phi = \cos(0) = 1$ है।

(B) एक शुद्ध संधारित्र परिपथ में, धारा वोल्टेज से $\pi/2$ रेडियन के कला कोण से आगे होती है।
तात्क्षणिक वोल्टेज $E = E_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ होता है।
तात्क्षणिक धारा $I = \frac{E}{X_C} = \frac{E_0 \sin(\omega t)}{1/(\omega C)} = E_0 \omega C \sin(\omega t)$ होती है।
चूंकि धारा वोल्टेज से $\pi/2$ आगे है, इसलिए हम वोल्टेज की कला में $\pi/2$ जोड़ते हैं।
अतः, तात्क्षणिक धारा $I = E_0 \omega C \sin(\omega t + \pi/2)$ है।

(A) अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega_0$ पर, धारितीय प्रतिघात $X_C$ और प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ समान होते हैं, इसलिए $X_C = X_L$ है।
दिया गया है कि $X_C = 1/(\omega_0 C)$ और $X_L = \omega_0 L$, अतः $\omega_0$ पर $1/(\omega_0 C) = \omega_0 L$ है।
जब कोणीय आवृत्ति को दोगुना करके $\omega' = 2\omega_0$ कर दिया जाता है, तो नया धारितीय प्रतिघात $X_C' = 1/(2\omega_0 C) = X_C / 2$ होता है।
नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L' = (2\omega_0) L = 2 X_L$ होता है।
चूंकि $X_C = X_L$ है, इसलिए नए धारितीय प्रतिघात और नए प्रेरणिक प्रतिघात का अनुपात $X_C' / X_L' = (X_C / 2) / (2 X_L) = 1/4$ होगा।

(B) $L-R$ श्रेणी परिपथ में, वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दर्शाया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
यहाँ दिया गया है कि कलान्तर $\phi = 45^\circ$ है।
सूत्र में $\phi$ का मान रखने पर: $\tan 45^\circ = \frac{X_L}{R}$.
चूंकि $\tan 45^\circ = 1$, इसलिए $1 = \frac{X_L}{R}$ होगा।
अतः, $X_L = R$ प्राप्त होता है।

(D) $LR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = R / Z$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है।
प्रारंभिक $LR$ परिपथ के लिए, $X_L = 3R$, इसलिए $Z_1 = \sqrt{R^2 + (3R)^2} = \sqrt{10R^2} = R\sqrt{10}$ है।
अतः, $X_1 = R / (R\sqrt{10}) = 1 / \sqrt{10}$ है।
संधारित्र को श्रेणीक्रम में जोड़ने के बाद, परिपथ एक $LCR$ परिपथ बन जाता है जिसमें $X_{net} = X_L - X_C = 3R - R = 2R$ है।
नया प्रतिबाधा (impedance) $Z_2 = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$ है।
अतः, $X_2 = R / (R\sqrt{5}) = 1 / \sqrt{5}$ है।
अनुपात $X_1 / X_2 = (1 / \sqrt{10}) / (1 / \sqrt{5}) = \sqrt{5} / \sqrt{10} = 1 / \sqrt{2}$ है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, आपूर्ति वोल्टेज $V$ को प्रतिरोधक $(V_R)$, प्रेरक $(V_L)$ और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर के फेजर योग द्वारा ज्ञात किया जाता है।
सूत्र है: $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिए गए मान हैं:
$V_L = 60 \text{ V}$
$V_C = 30 \text{ V}$
$V_R = 40 \text{ V}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \sqrt{40^2 + (60 - 30)^2}$
$V = \sqrt{1600 + (30)^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \text{ V}$
अतः, आपूर्ति वोल्टेज $50 \text{ V}$ होगा।

(B) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 1 \text{ H}$, धारिता $C = 20 \mu \text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$, प्रतिरोध $R = 300 \Omega$, आवृत्ति $f = \frac{50}{\pi} \text{ Hz}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{50}{\pi} = 100 \text{ rad/s}$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100 \times 1 = 100 \Omega$.
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2000} = 500 \Omega$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$.
$Z = \sqrt{300^2 + (500 - 100)^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \Omega$.

(D) $RC$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $X_C = 1/(\omega C)$ है।
प्रारंभिक धारा $I_1 = V / \sqrt{R^2 + X_C^2}$ है।
जब आवृत्ति बदलकर $\omega' = \omega/3$ हो जाती है, तो नया धारितीय प्रतिघात $X_C' = 1/((\omega/3)C) = 3X_C$ हो जाता है।
नई धारा $I_2 = V / \sqrt{R^2 + (3X_C)^2}$ है।
दिया गया है कि $I_2 = I_1/2$, इसलिए $2I_2 = I_1$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $2V / \sqrt{R^2 + 9X_C^2} = V / \sqrt{R^2 + X_C^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 / (R^2 + 9X_C^2) = 1 / (R^2 + X_C^2)$।
$4(R^2 + X_C^2) = R^2 + 9X_C^2$।
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$।
$3R^2 = 5X_C^2$।
$X_C^2 / R^2 = 3/5 = 0.6$।
अतः, अनुपात $X_C / R = \sqrt{0.6}$ है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में, प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होती है। अनुनाद पर, $X_L = X_C$, इसलिए $Z = R$ (न्यूनतम) होता है। चूंकि $I = V/Z$, इसलिए धारा $I$ अधिकतम होती है।
समानांतर $LCR$ परिपथ में, प्रवेश्यता (admittance) $Y = \sqrt{(1/R)^2 + (1/X_C - 1/X_L)^2}$ होती है। अनुनाद पर, $1/X_C = 1/X_L$, इसलिए $Y = 1/R$ (न्यूनतम) होता है, जिसका अर्थ है कि प्रतिबाधा $Z = 1/Y = R$ अधिकतम है। चूंकि $I = V/Z$, इसलिए धारा $I$ न्यूनतम होती है।

(C) दिया गया है: $X_L = R$ और $X_L = 2X_C$।
इससे हमें $X_C = X_L / 2 = R / 2$ प्राप्त होता है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $Z = \sqrt{R^2 + (R - R/2)^2} = \sqrt{R^2 + (R/2)^2} = \sqrt{R^2 + R^2/4} = \sqrt{5R^2/4} = \frac{\sqrt{5}R}{2}$।
कलान्तर $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{R - R/2}{R} = \frac{R/2}{R} = 1/2$।
अतः, $\phi = \tan^{-1}(1/2)$।

(C) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $e = 150\sqrt{2} \sin 100t \text{ V}$ है।
इसे मानक समीकरण $e = E_0 \sin \omega t$ से तुलना करने पर, शिखर वोल्टेज $E_0 = 150\sqrt{2} \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ वोल्टेज $V_{rms} = E_0 / \sqrt{2} = 150 \text{ V}$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र $X_C = 1 / (\omega C)$ है।
यहाँ $C = 2 \mu F = 2 \times 10^{-6} \text{ F}$ दिया गया है, अतः $X_C = 1 / (100 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (2 \times 10^{-4}) = 5000 \Omega$.
$RMS$ धारा $I_{rms} = V_{rms} / X_C = 150 / 5000 = 0.03 \text{ A}$ है।
मिलीएम्पियर में बदलने पर, $I_{rms} = 0.03 \times 1000 \text{ mA} = 30 \text{ mA}$ प्राप्त होता है।

(C) परिपथ में $r.m.s.$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $I_{rms} = \frac{210 \text{ V}}{30 \ \Omega} = 7 \text{ A}$.
$AC$ परिपथ में व्यय होने वाली वास्तविक शक्ति $(P)$ का सूत्र $P = I_{rms}^2 \times R$ है।
मान रखने पर: $P = (7 \text{ A})^2 \times 10 \ \Omega = 49 \times 10 = 490 \text{ W}$.

(C) दिया गया है: $q = t^2 - 5$, $C = 4 \ F$, $L = 0.5 \ H$, $R = 2 \ \Omega$.
$t = 3 \ s$ पर, $q = (3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4 \ C$.
धारा $i = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 5) = 2t$.
$t = 3 \ s$ पर, $i = 2(3) = 6 \ A$.
धारा के परिवर्तन की दर $\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2 \ A/s$.
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = \frac{q}{C} = \frac{4}{4} = 1 \ V$.
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = L \frac{di}{dt} = 0.5 \times 2 = 1 \ V$.
प्रतिरोध के सिरों पर वोल्टेज $V_R = iR = 6 \times 2 = 12 \ V$.
कुल वोल्टेज $V_{AB} = V_C + V_L + V_R = 1 + 1 + 12 = 14 \ V$.

(B) दिया गया है: वोल्टेज $V = 25 \ V$, धारा $I = 0.5 \ A$, कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$।
सबसे पहले, ओम के नियम का उपयोग करके $LR$ श्रेणी परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें: $Z = \frac{V}{I} = \frac{25}{0.5} = 50 \ \Omega$।
एक $LR$ श्रेणी परिपथ में, प्रतिरोध $R$ और प्रतिबाधा $Z$ के बीच संबंध $R = Z \cos \phi$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $R = 50 \times \cos 60^{\circ}$।
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$, इसलिए $R = 50 \times \frac{1}{2} = 25 \ \Omega$।
अतः, $R$ का मान $25 \ \Omega$ है।

(B) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में, प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $X_L = 2\pi fL$ और $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ है।
r.m.s. धारा $i = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC})^2}}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ पर, प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम $(Z = R)$ होती है, और इसलिए धारा $i$ अधिकतम होती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$, $f_0$ से दूर जाती है (चाहे बढ़ती हो या घटती हो), प्रतिबाधा $Z$ बढ़ती है, जिससे धारा $i$ कम हो जाती है।
आवृत्ति $f$ के साथ धारा $i$ का यह परिवर्तन एक घंटी के आकार के वक्र (bell-shaped curve) द्वारा दर्शाया जाता है, जो ग्राफ $(P)$ के अनुरूप है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ में, धारा $I = V_R / R$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है कि $V_R = 100 \text{ V}$ और $R = 1000 \Omega$, इसलिए $I = 100 / 1000 = 0.1 \text{ A}$ है।
अनुनाद की स्थिति में, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = 1 / (\omega C) = 1 / (200 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (400 \times 10^{-6}) = 10^6 / 400 = 2500 \Omega$ है।
चूंकि परिपथ अनुनाद में है, इसलिए $X_L = X_C = 2500 \Omega$ होगा।
प्रेरक $L$ के सिरों पर वोल्टेज $V_L = I \times X_L = 0.1 \text{ A} \times 2500 \Omega = 250 \text{ V}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 4 \text{ mH} = 4 \times 10^{-3} \text{ H}$, प्रतिरोध $R = 3 \text{ } \Omega$, और e.m.f. $E = \cos(1000t) \text{ V}$ है।
$E = \cos(1000t)$ की तुलना $E = E_0 \cos(\omega t)$ से करने पर, शिखर वोल्टेज $E_0 = 1 \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 1000 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 1000 \times 4 \times 10^{-3} = 4 \text{ } \Omega$ है।
$L-R$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$ है।
धारा का आयाम $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ A}$ है।

(D) परिपथ $(A)$ में, प्रतिबाधा $Z_A = R = 30 \ \Omega$ है। r.m.s. धारा $I_A = V/Z_A = 210/30 = 7 \ A$ है।
परिपथ $(B)$ में, प्रतिबाधा $Z_B = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
यहाँ, $X_L = 2\pi fL = 2 \times 3.14 \times 50 \times 40 \times 10^{-3} \ \Omega \approx 12.56 \ \Omega$ है।
$X_C = 1/(2\pi fC) = 1/(2 \times 3.14 \times 50 \times 0.4 \times 10^{-6}) \ \Omega \approx 7961.78 \ \Omega$ है।
चूंकि $X_C \gg X_L$, प्रतिबाधा $Z_B$, $R$ से बहुत बड़ी है, इसलिए $I_B = V/Z_B < I_A$ है।
हालाँकि, यदि आवृत्ति $f$ को इस प्रकार बदला जाए कि परिपथ $(B)$ अनुनाद $(X_L = X_C)$ तक पहुँच जाए, तो $Z_B = R = 30 \ \Omega$ होगा। अनुनाद पर, $I_B = V/R = 7 \ A$ होगा, जो $I_A$ के बराबर है। $LCR$ श्रेणी परिपथ में अधिकतम धारा प्रतिरोध $R$ द्वारा सीमित होती है, जो परिपथ $(A)$ के समान है। अतः, $(B)$ में धारा $(A)$ में धारा से कभी भी अधिक नहीं हो सकती। इसलिए, सही विकल्प $(D)$ है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ होता है।
चूंकि धारा वोल्टेज से $45^{\circ}$ आगे है, इसलिए कला कोण $\phi = -45^{\circ}$ है।
अतः, $\tan(-45^{\circ}) = \frac{X_C - X_L}{R} \implies -1 = \frac{X_C - X_L}{R}$।
इससे हमें $X_L - X_C = R$ प्राप्त होता है।
$X_L = 2\pi FL$ और $X_C = \frac{1}{2\pi FC}$ प्रतिस्थापित करने पर, $2\pi FL - \frac{1}{2\pi FC} = R$ मिलता है।
$2\pi FL = R + \frac{1}{2\pi FC} = \frac{2\pi FCR + 1}{2\pi FC}$।
$L$ के लिए हल करने पर, $L = \frac{1 + 2\pi FCR}{4\pi^2 F^2 C}$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण $E = 50 \sin(500t)$ और $I = 600 \sin(500t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ हैं।
अधिकतम वोल्टेज $E_0 = 50 \text{ V}$ है।
अधिकतम धारा $I_0 = 600 \text{ mA} = 0.6 \text{ A}$ है।
कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।
$AC$ परिपथ में औसत शक्ति $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
$E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$।
$P = \frac{E_0 I_0}{2} \cos \phi$।
मान रखने पर: $P = \frac{50 \times 0.6}{2} \times \cos 60^{\circ}$।
$P = 15 \times 0.5 = 7.5 \text{ W}$।

(C) प्रत्यावर्ती e.m.f. के लिए दिया गया समीकरण $e = e_0 \sin \omega t$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $e = \frac{e_0}{2}$ हो।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{e_0}{2} = e_0 \sin \omega t$.
$\sin \omega t = \frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin 30^{\circ} = 0.5$, इसलिए $\omega t = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$ रेडियन।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$, जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
$\omega$ का मान रखने पर: $(\frac{2\pi}{T}) \cdot t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(C) कुंडली का प्रेरकत्व $L = 3 \ H$ है।
$a.c.$ स्रोत के लिए, प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ होता है।
$d.c.$ स्रोत के लिए, आवृत्ति $f = 0$ होती है, इसलिए प्रेरणिक प्रतिघात $X_{dc} = 2 \pi (0) L = 0$ होता है।
प्रश्न के अनुसार, $a.c.$ प्रतिघात और $d.c.$ प्रतिघात का अनुपात $\frac{X_L}{X_{dc}} = \frac{\omega L}{0} = \infty$ (अनंत) होगा।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(A) धारितीय प्रतिघात $X_C$ का सूत्र है: $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$।
दिए गए मान हैं: $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} F = 10^{-5} F$ और $X_C = 2 \times 10^{-3} \Omega$।
आवृत्ति $f$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f = \frac{1}{2\pi X_C C}$।
मान रखने पर: $f = \frac{1}{2 \times \pi \times (2 \times 10^{-3}) \times 10^{-5}}$।
$f = \frac{1}{4 \times \pi \times 10^{-8}} = \frac{10^8}{4\pi} = \frac{100 \times 10^6}{4\pi} = \frac{25}{\pi} \times 10^6$ Hz।
चूंकि $10^6$ Hz = $1$ MHz, इसलिए आवृत्ति $\frac{25}{\pi}$ MHz है।

(C) प्रत्यावर्ती e.m.f. के लिए दिया गया समीकरण $e = e_0 \sin \omega t$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब e.m.f. $e$ अपने अधिकतम मान $e_0$ का आधा हो, अर्थात $e = \frac{e_0}{2}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{e_0}{2} = e_0 \sin \omega t$।
यह सरल होकर $\sin \omega t = \frac{1}{2}$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \frac{1}{2}$ तब होता है जब $\theta = \frac{\pi}{6}$ हो।
इसलिए, $\omega t = \frac{\pi}{6}$।
चूँकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है, इसे समीकरण में रखने पर: $(\frac{2\pi}{T}) t = \frac{\pi}{6}$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$।

(D) $AC$ परिपथ में व्यय होने वाली औसत शक्ति का सूत्र है: $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$.
यहाँ, $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ है।
वोल्टेज और धारा के बीच का कलान्तर (phase difference) $\phi = \frac{\pi}{3}$ (या $60^{\circ}$) है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P_{avg} = \left(\frac{V_0}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \cos 60^{\circ}$.
$P_{avg} = \frac{V_0 I_0}{2} \times 0.5$.
$P_{avg} = \frac{V_0 I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{V_0 I_0}{4}$.

(B) जब एक प्रत्यावर्ती धारा $(a.c.)$ स्रोत को एक शुद्ध संधारित्र के साथ जोड़ा जाता है, तो संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $(e_c)$, धारा $(I_c)$ से $90^{\circ}$ (या $\pi/2$ रेडियन) के कला कोण से पीछे रहता है।
वैकल्पिक रूप से, हम कह सकते हैं कि धारा वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे होती है।
गणितीय रूप से, यदि वोल्टेज $e_c = E_0 \sin(\omega t)$ है, तो धारा $I_c = I_0 \sin(\omega t + \pi/2)$ होती है।
फेजर आरेख में, यदि वोल्टेज वेक्टर धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश है, तो धारा वेक्टर धनात्मक $y$-अक्ष की ओर इंगित करता है, जो $90^{\circ}$ की अग्रता को दर्शाता है।
अतः, विकल्प $B$ इस कला संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) एक पतले प्रिज्म के लिए, न्यूनतम विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = (n - 1)A$, जहाँ $n$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
हवा में, $\delta_1 = (^a n_g - 1)A = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$.
जब प्रिज्म को द्रव में डुबोया जाता है, तो द्रव के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक $^l n_g = \frac{^a n_g}{^a n_l} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ होता है।
नया न्यूनतम विचलन कोण $\delta_2 = (^l n_g - 1)A = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$.
$\delta_1$ और $\delta_2$ की तुलना करने पर: $\frac{\delta_2}{\delta_1} = \frac{1/8 A}{1/2 A} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
अतः, $\delta_2 = \frac{1}{4} \delta_1$.

(B) सामान्य समायोजन में खगोलीय टेलीस्कोप की आवर्धन क्षमता $(m)$ का सूत्र है: $m = -f_o / f_e$, जहाँ $f_o$ ऑब्जेक्टिव लेंस की फोकस दूरी है और $f_e$ आईपिस की फोकस दूरी है।
बड़ी आवर्धन क्षमता $(m)$ प्राप्त करने के लिए, अंश $(f_o)$ बड़ा होना चाहिए और हर $(f_e)$ छोटा होना चाहिए।
अतः, ऑब्जेक्टिव लेंस की फोकस दूरी बड़ी होनी चाहिए।

(A) एक सरल सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता $(M)$ का सूत्र $M = 1 + \frac{D}{f}$ है, जहाँ $D$ स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी है और $f$ उत्तल लेंस की फोकस दूरी है।
कॉची के समीकरण के अनुसार, पदार्थ का अपवर्तनांक $(\mu)$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ पर इस प्रकार निर्भर करता है: $\mu = A + \frac{B}{\lambda^2}$.
चूँकि लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_R)$ नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_B)$ से अधिक होती है, इसलिए लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $(\mu_R)$ नीले प्रकाश के अपवर्तनांक $(\mu_B)$ से कम होता है।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार लेंस की फोकस दूरी $(f)$ और अपवर्तनांक के बीच संबंध: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
चूँकि $\mu_R < \mu_B$, इसलिए लाल प्रकाश के लिए फोकस दूरी $(f_R)$ नीले प्रकाश की फोकस दूरी $(f_B)$ से अधिक होती है।
सूत्र $M = 1 + \frac{D}{f}$ से, हम देख सकते हैं कि $M$, $f$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
इसलिए, जैसे ही प्रकाश नीले से लाल में बदलता है, फोकस दूरी बढ़ जाती है, जिससे आवर्धन क्षमता घट जाती है।

(A) दूरदर्शी की विभेदन क्षमता (resolving power) को दो वस्तुओं के बीच के न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिन्हें दूरदर्शी द्वारा अलग-अलग देखा जा सकता है। कोणीय विभेदन सीमा $(\Delta \theta)$ का सूत्र $\Delta \theta = 1.22 \lambda / D$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ अभिदृश्यक लेंस या दर्पण का व्यास (द्वारक) है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\Delta \theta \propto 1/D$ होता है।
जैसे-जैसे द्वारक $D$ बढ़ता है, $\Delta \theta$ का मान घटता है, जिसका अर्थ है कि दूरदर्शी एक-दूसरे के करीब स्थित दो वस्तुओं के बीच अंतर कर सकता है। इसलिए, बड़ा द्वारक अधिक विभेदन (resolution) प्रदान करता है।

(C) एक पतले प्रिज्म के लिए, न्यूनतम विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = (\mu - 1)A$, जहाँ $\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
हवा में, हवा के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu_a = \frac{\mu_g}{\mu_{air}} = \frac{3/2}{1} = 3/2$ है।
अतः, $\delta = (3/2 - 1)A = \frac{1}{2}A$.
जब प्रिज्म को पानी में डुबोया जाता है, तो पानी के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu_w = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ होता है।
नया न्यूनतम विचलन कोण $\delta'$ इस प्रकार है: $\delta' = (\mu_w - 1)A = (9/8 - 1)A = \frac{1}{8}A$.
$\delta'$ और $\delta$ की तुलना करने पर: $\frac{\delta'}{\delta} = \frac{(1/8)A}{(1/2)A} = \frac{1}{4}$.
इसलिए, $\delta' = \frac{\delta}{4}$.

(A) समबाहु प्रिज्म के लिए, प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$ है।
निर्गत किरण दूसरे फलक को स्पर्श करती हुई निकलती है, जिसका अर्थ है कि निर्गत कोण $e = 90^{\circ}$ है।
दूसरे फलक पर, स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu \sin r_2 = 1 \cdot \sin e$.
$\sqrt{2} \sin r_2 = \sin 90^{\circ} = 1 \implies \sin r_2 = 1/\sqrt{2} \implies r_2 = 45^{\circ}$.
चूंकि $r_1 + r_2 = A$, इसलिए $r_1 + 45^{\circ} = 60^{\circ} \implies r_1 = 15^{\circ}$।
पहले फलक पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $1 \cdot \sin i = \mu \sin r_1$.
$\sin i = \sqrt{2} \sin 15^{\circ} \implies i = \sin^{-1} (\sqrt{2} \sin 15^{\circ})$।

(B) माना पहली सतह पर आपतन कोण $i = 2A$ है और अपवर्तन कोण $r_1$ है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1} = \frac{\sin 2A}{\sin r_1}$।
प्रिज्म के लिए, अपवर्तक कोण $A = r_1 + r_2$ होता है।
चूँकि प्रकाश की किरण दूसरी सतह पर परावर्तन के बाद उसी पथ पर वापस लौटती है, इसलिए इसे दूसरी सतह पर लंबवत गिरना चाहिए।
अतः, दूसरी सतह पर आपतन कोण $0$ है, जिसका अर्थ है कि अपवर्तन कोण $r_2 = 0$ है।
$r_2 = 0$ को प्रिज्म समीकरण में रखने पर: $A = r_1 + 0$, इसलिए $r_1 = A$।
अब, $r_1 = A$ को स्नेल के नियम के समीकरण में रखने पर: $\mu = \frac{\sin 2A}{\sin A}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$।
इस प्रकार, प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $2 \cos A$ है।

(C) एक पतले प्रिज्म के लिए, न्यूनतम विचलन कोण $(\delta_m)$ का सूत्र $\delta_m = (\mu - 1)A$ होता है, जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
यहाँ $\mu = 1.5$ दिया गया है, इसलिए $\delta_m = (1.5 - 1)A = 0.5A = \frac{A}{2}$ होगा।
पतले प्रिज्म के लिए, अपवर्तन कोण $r$ और प्रिज्म कोण $A$ के बीच संबंध $A = 2r$ होता है (क्योंकि न्यूनतम विचलन की स्थिति में $r_1 = r_2 = r$ और $A = r_1 + r_2$ होता है)।
अब, $A = 2r$ को $\delta_m$ के समीकरण में रखने पर, हमें $\delta_m = \frac{2r}{2} = r$ प्राप्त होता है।
अतः, सही संबंध $\delta_m = r$ है।

(B) वह घटना जिसमें एक लेंस सभी रंगों को एक बिंदु पर केंद्रित करने में विफल रहता है, उसे वर्ण विपथन (chromatic aberration) कहा जाता है।
यह इसलिए होता है क्योंकि लेंस सामग्री का अपवर्तनांक प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के साथ बदलता रहता है (वर्ण विक्षेपण)।
चूंकि लेंस की फोकस दूरी $f$, लेंस मेकर सूत्र के अनुसार अपवर्तनांक $n$ पर निर्भर करती है, इसलिए विभिन्न रंगों (जिनकी तरंग दैर्ध्य अलग-अलग होती है) का अपवर्तन अलग-अलग मात्रा में होता है, जिससे वे मुख्य अक्ष पर अलग-अलग बिंदुओं पर अभिसरित होते हैं।

(C) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
उभयोत्तल लेंस के लिए, $R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है, इसलिए $\frac{1}{F} = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right)$।
जब लेंस को ऊर्ध्वाधर अक्ष के अनुदिश काटा जाता है, तो नई सतहों की वक्रता त्रिज्या मूल सतहों के समान ही रहती है (नए समतल-उत्तल लेंस के लिए $R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ होता है)।
नए भाग के लिए लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{F'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें $\frac{1}{F'} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{F}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $F' = 2F$।

(B) लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (n_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
वायु में $(n_a = 1)$: $\frac{1}{f_a} = (n_g - 1) K$, जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
दिया गया है $f_a = 12 \text{ cm}$ और $n_g = 1.6$, अतः $\frac{1}{12} = (1.6 - 1) K = 0.6 K$, जिससे $K = \frac{1}{12 \times 0.6} = \frac{1}{7.2}$.
पानी में $(n_w = 1.28)$: $\frac{1}{f_w} = (\frac{n_g}{n_w} - 1) K$.
मान रखने पर: $\frac{1}{f_w} = (\frac{1.6}{1.28} - 1) \times \frac{1}{7.2} = (1.25 - 1) \times \frac{1}{7.2} = 0.25 \times \frac{1}{7.2} = \frac{1}{4 \times 7.2} = \frac{1}{28.8}$.
अतः, $f_w = 28.8 \text{ cm} = 288 \text{ mm}$.

(D) लेंस मेकर सूत्र के अनुसार, हवा ($1$ अपवर्तनांक) में लेंस की फोकस दूरी '$f$' इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
जब लेंस को '$\mu_0$' अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है, तो नई फोकस दूरी '$f_0$' इस प्रकार होती है:
$\frac{1}{f_0} = \left( \frac{\mu}{\mu_0} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
$\frac{1}{f_0} = \left( \frac{\mu - \mu_0}{\mu_0} \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{f_0}{f} = \frac{(\mu - 1)}{\frac{\mu - \mu_0}{\mu_0}} = \frac{\mu_0(\mu - 1)}{\mu - \mu_0}$
अतः, $f_0 = \frac{\mu_0(\mu - 1)f}{\mu - \mu_0}$.

(B) संपर्क में रखे गए दो लेंसों के संयोजन की प्रभावी शक्ति $P = P_1 + P_2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $P_1 = +20$ $D$ और $P_2 = -4$ $D$ दिया गया है, इसलिए प्रभावी शक्ति $P = 20 - 4 = 16$ $D$ है।
संयोजन की फोकस दूरी $f = 1/P = 1/16$ m = $100/16$ cm = $6.25$ cm है।
एक सरल सूक्ष्मदर्शी के लिए, आवर्धन क्षमता $M = 1 + D/f$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $D = 25$ cm स्पष्ट दृष्टि की दूरी है।
$M = 1 + 25/6.25 = 1 + 4 = 5$.
आवर्धन $M$ को प्रतिबिंब के आकार $h_i$ और वस्तु के आकार $h_o$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात $M = h_i / h_o$.
यहाँ $h_o = 3$ mm = $0.3$ cm दिया गया है, इसलिए $h_i = M \times h_o = 5 \times 0.3$ cm = $1.5$ cm.
अतः, प्रतिबिंब का आकार $1.5$ cm है।

(B) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\mu_l$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
हवा में उत्तल लेंस के लिए, $\mu_l = \frac{\mu_g}{\mu_a} = \frac{1.5}{1} = 1.5$ है। त्रिज्याएँ $R_1 = 40 \text{ cm}$ और $R_2 = -40 \text{ cm}$ हैं।
$P_{air} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.5 \times \left( \frac{2}{40} \right) = 0.5 \times 0.05 = 0.025 \text{ cm}^{-1}$।
जब $\mu_m = 1.25$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है, तो सापेक्ष अपवर्तनांक $\mu_l' = \frac{\mu_g}{\mu_m} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2$ होता है।
$P_{liquid} = (1.2 - 1) \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{-40} \right) = 0.2 \times 0.05 = 0.01 \text{ cm}^{-1}$।
शक्ति का अनुपात $\frac{P_{liquid}}{P_{air}} = \frac{0.01}{0.025} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ है।

(B) मान लीजिए कि हवा, पानी और कांच के अपवर्तनांक क्रमशः $n_a$, $n_w$ और $n_g$ हैं।
दिया गया है:
$1$. हवा के सापेक्ष पानी का अपवर्तनांक: $x = \frac{n_w}{n_a}$
$2$. पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक: $y = \frac{n_g}{n_w}$
$3$. कांच के सापेक्ष हवा का अपवर्तनांक: $z = \frac{n_a}{n_g}$
इन तीनों पदों का गुणा करने पर:
$x \times y \times z = \left( \frac{n_w}{n_a} \right) \times \left( \frac{n_g}{n_w} \right) \times \left( \frac{n_a}{n_g} \right)$
$x \times y \times z = 1$
अतः, सही संबंध $xyz = 1$ है।

(B) स्नेल के नियम के अनुसार, $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$, जहाँ $n_1$ और $n_2$ दो माध्यमों के अपवर्तनांक हैं, $i$ आपतन कोण है, और $r$ अपवर्तन कोण है।
चूँकि किसी माध्यम का अपवर्तनांक $n$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य (या रंग) पर निर्भर करता है (जिसे वर्ण-विक्षेपण की घटना कहा जाता है), इसलिए विभिन्न रंगों के लिए $n$ का मान भिन्न होता है।
विशेष रूप से, किसी दिए गए माध्यम के लिए, बैंगनी प्रकाश के लिए अपवर्तनांक अधिक और लाल प्रकाश के लिए कम होता है।
इसलिए, एक स्थिर आपतन कोण $i$ के लिए, समीकरण $\sin(r) = \frac{n_1}{n_2} \sin(i)$ को संतुष्ट करने के लिए अपवर्तन कोण $r$ को बदलना होगा।
अतः, अपवर्तन कोण विभिन्न रंगों के लिए भिन्न होता है।

(A) स्नेल के नियम के अनुसार, $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$.
यहाँ, $n_1 = 1$ (निर्वात) और $n_2 = n$ (माध्यम) है।
दिया गया है कि $i = 2r$, इसलिए $r = i/2$ है।
इन मानों को स्नेल के नियम में रखने पर: $1 \cdot \sin(i) = n \cdot \sin(i/2)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(i) = 2 \sin(i/2) \cos(i/2)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(i/2) \cos(i/2) = n \sin(i/2)$.
चूँकि $\sin(i/2) \neq 0$, इसलिए दोनों पक्षों से इसे काटने पर:
$2 \cos(i/2) = n$.
$\cos(i/2) = n/2$.
$i/2 = \cos^{-1} (n/2)$.
अतः, $i = 2 \cos^{-1} (n/2)$.

(A) कांच के स्लैब का अपवर्तनांक $\mu$, हवा में प्रकाश की गति $(c)$ और कांच में प्रकाश की गति $(v)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^8 \text{ m/s}} = 1.5$.
$t = 6.0 \text{ cm}$ मोटाई वाले कांच के स्लैब के माध्यम से देखे जाने पर स्याही के बिंदु की आभासी गहराई $(d')$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d' = \frac{t}{\mu} = \frac{6.0 \text{ cm}}{1.5} = 4.0 \text{ cm}$.
वह दूरी जिससे स्याही का बिंदु ऊपर उठा हुआ दिखाई देता है, वह विस्थापन $(\Delta d)$ है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Delta d = t - d' = 6.0 \text{ cm} - 4.0 \text{ cm} = 2.0 \text{ cm}$.
अतः, स्याही का बिंदु $2.0 \text{ cm}$ ऊपर उठा हुआ दिखाई देगा।