MHT CET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना बड़े बुलबुले की त्रिज्या $R = D/2$ है। बड़े बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ है।
माना प्रत्येक छोटे बुलबुले की त्रिज्या $r$ है। चूंकि आयतन स्थिर रहता है, $V = 64 \times (\frac{4}{3}\pi r^3)$।
अतः, $R^3 = 64r^3$, जिसका अर्थ है $R = 4r$ या $r = R/4$।
बड़े साबुन के बुलबुले का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल (दो सतहें होने के कारण) $A_i = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ है।
$64$ छोटे बुलबुलों का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 64 \times 2 \times (4\pi r^2) = 512\pi r^2$ है।
$r = R/4$ रखने पर, $A_f = 512\pi (R/4)^2 = 512\pi (R^2/16) = 32\pi R^2$ प्राप्त होता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 32\pi R^2 - 8\pi R^2 = 24\pi R^2$ है।
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T \times \Delta A = T \times 24\pi R^2$ है।
$R = D/2$ रखने पर, $\Delta U = T \times 24\pi (D/2)^2 = T \times 24\pi (D^2/4) = 6\pi T D^2$ प्राप्त होता है।

(A) पृष्ठ तनाव द्रव की सतह पर अणुओं के बीच लगने वाले ससंजक बलों (cohesive forces) के कारण होता है।
जैसे-जैसे द्रव का तापमान बढ़ता है, अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है, जिससे अणुओं के बीच की दूरी बढ़ जाती है।
इसके परिणामस्वरूप अणुओं के बीच ससंजक बलों की शक्ति कम हो जाती है।
चूंकि पृष्ठ तनाव ससंजक बलों के सीधे समानुपाती होता है, इसलिए तापमान बढ़ने पर अधिकांश द्रवों का पृष्ठ तनाव घट जाता है।

(A) बड़ी बूंद का आयतन '$n$' छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है।
$V_{large} = n \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \implies n = \frac{R^3}{r^3}$
आवश्यक ऊर्जा पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि और पृष्ठ तनाव '$T$' के गुणनफल के बराबर होती है।
$E = T \times (\text{अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल} - \text{प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल})$
$E = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$
$n = \frac{R^3}{r^3}$ का मान रखने पर:
$E = 4\pi T (\frac{R^3}{r^3} \times r^2 - R^2)$
$E = 4\pi T (\frac{R^3}{r} - R^2)$
$E = 4\pi T R^2 (\frac{R}{r} - 1)$

(A) तार के तैरने के लिए, गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल पृष्ठ तनाव और उत्प्लावन बल के कारण ऊपर की ओर लगने वाले बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
$1$. तार का भार $W = mg = (\text{आयतन} \times \text{घनत्व}) \times g = (\pi r^2 L) d g$ है।
$2$. पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल तार के दोनों किनारों पर कार्य करता है। यह बल $F_s = 2 \times (T \times L) = 2TL$ है।
$3$. तार के तैरने के लिए, भार पृष्ठ तनाव बल के बराबर होना चाहिए (तार के पतले होने और सतह पर तैरने के कारण उत्प्लावन बल की उपेक्षा करते हुए): $\pi r^2 L d g = 2TL$।
$4$. $r$ के लिए हल करने पर: $r^2 = \frac{2T}{\pi dg}$।
$5$. अतः, अधिकतम त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{2T}{\pi dg}}$ है।

(B) साबुन के बुलबुले के भीतर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ का सूत्र है: $\Delta P = \frac{4T}{r}$, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
दिया गया है:
अतिरिक्त दबाव $\Delta P = 48 \text{ dyne/cm}^2$
त्रिज्या $r = 2.5 \text{ cm}$
सूत्र में मान रखने पर:
$48 = \frac{4 \times T}{2.5}$
$48 \times 2.5 = 4T$
$120 = 4T$
$T = \frac{120}{4} = 30 \text{ dyne/cm}$
अतः, साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव $30 \text{ dyne/cm}$ है।

(C) $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W_1 = T \times \Delta A \times 2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं, इसलिए क्षेत्रफल $2 \times (4\pi r^2)$ होता है।
$W_1 = T \times 8\pi r^2 = 450 \text{ erg}$.
जब त्रिज्या को बढ़ाकर $3r$ कर दिया जाता है, तो नया कार्य $W_2 = T \times 8\pi (3r)^2 = T \times 8\pi (9r^2) = 9 \times (T \times 8\pi r^2)$ होता है।
$W_1$ का मान रखने पर, हमें $W_2 = 9 \times 450 = 4050 \text{ erg}$ प्राप्त होता है।
आवश्यक अतिरिक्त कार्य $W_{\text{add}} = W_2 - W_1 = 4050 - 450 = 3600 \text{ erg}$ है।

(D) केशिका नली में द्रव जिस ऊंचाई $h$ तक चढ़ता है, उसका सूत्र है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
जहाँ:
$T$ द्रव का पृष्ठ तनाव है,
$\theta$ संपर्क कोण है,
$\rho$ द्रव का घनत्व है,
$g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
किसी दिए गए द्रव और केशिका नली के पदार्थ के लिए, $T$, $\theta$, $\rho$ और $g$ नियतांक हैं।
इसलिए, $h \propto \frac{1}{r}$, जिसका अर्थ है $h \cdot r = \text{नियतांक}$।
अतः, विभिन्न केशिकाओं के लिए, $h_n r_n = \text{नियतांक}$ होगा।

(B) मान लीजिए कि सतह से ऊपरी छिद्र की ऊँचाई $h_1$ है और निचले छिद्र की ऊँचाई $h_2$ है। ऊँचाई का अंतर $h_2 - h_1 = x$ है।
ऊपरी छिद्र से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $v_1 = \sqrt{2gh_1}$ है और निचले छिद्र से $v_2 = \sqrt{2gh_2}$ है।
$A$ क्षेत्रफल वाले छिद्र से बाहर बहने वाले पानी द्वारा लगाया गया प्रतिक्रिया बल (थ्रस्ट) $F = \rho A v^2$ द्वारा दिया जाता है।
ऊपरी छिद्र के लिए, $F_1 = \rho A (2gh_1) = 2\rho Agh_1$ है।
निचले छिद्र के लिए, $F_2 = \rho A (2gh_2) = 2\rho Agh_2$ है।
चूँकि छिद्र विपरीत दिशाओं में हैं, बल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं।
परिणामी बल $F_{net} = |F_2 - F_1| = |2\rho Agh_2 - 2\rho Agh_1| = 2\rho Ag(h_2 - h_1)$ है।
$h_2 - h_1 = x$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $F_{net} = 2\rho Agx$ प्राप्त होता है।

(A) माना टंकी का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A_1 = 750 \text{ cm}^2 = 750 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ है।
माना नल का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A_2 = 500 \text{ mm}^2 = 500 \times 10^{-6} \text{ m}^2 = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ है।
माना टंकी में पानी के स्तर के गिरने की गति $v_1 = |dh/dt|$ है।
नल से बाहर निकलने वाले पानी की गति $v_2 = 30 \text{ cm/s} = 0.3 \text{ m/s}$ है।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, $A_1 v_1 = A_2 v_2$ है।
मान रखने पर: $(750 \times 10^{-4}) \times v_1 = (5 \times 10^{-4}) \times 0.3$ है।
$750 \times v_1 = 5 \times 0.3 = 1.5$ है।
$v_1 = 1.5 / 750 = 15 / 7500 = 1 / 500 = 0.002 \text{ m/s}$ है।
चूंकि पानी का स्तर गिर रहा है, इसलिए $dh/dt = -0.002 \text{ m/s}$ है।
दिया गया है कि $dh/dt = y \times 10^{-3} \text{ m/s}$, अतः $y \times 10^{-3} = -2 \times 10^{-3}$ है।
परिमाण लेने पर, $y = 2$ प्राप्त होता है।

(A) असंपीड्य द्रव के लिए सांतत्य समीकरण (Equation of Continuity) के अनुसार, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ और वेग $(v)$ का गुणनफल पूरे प्रवाह के दौरान स्थिर रहता है, अर्थात $A_1V_1 = A_2V_2$।
माना पाइप का व्यास $d$ है और वेग $V$ है। पाइप का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
माना नोजल का व्यास $d_1$ है और बाहर निकलने वाले पानी का वेग $V_1$ है। नोजल का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_1 = \pi (d_1/2)^2 = \frac{\pi d_1^2}{4}$ है।
सांतत्य समीकरण लागू करने पर: $A \cdot V = A_1 \cdot V_1$।
क्षेत्रफलों का मान रखने पर: $\frac{\pi d^2}{4} \cdot V = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot V_1$।
समीकरण को सरल करने पर: $d^2 V = d_1^2 V_1$।
$d_1$ के लिए हल करने पर: $d_1^2 = d^2 \cdot \frac{V}{V_1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $d_1 = d \sqrt{\frac{V}{V_1}}$।

(B) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, पाइप से बाहर निकलने वाले तरल के लिए, दबाव का अंतर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
पाइप के अंदर (बिंदु $1$) और बाहर (बिंदु $2$) के बीच बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2$
यह मानते हुए कि पाइप क्षैतिज है $(h_1 = h_2)$ और पाइप के अंदर का वेग $(v_1 \approx 0)$ बाहर निकलने वाले वेग $(v_2 = v)$ की तुलना में नगण्य है:
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v^2$
$v$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}\rho v^2 = P_1 - P_2$
$v^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$
$v = [\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}]^{1/2}$

(B) असंपीड्य तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, $A_1 V_1 = A_2 V_2$ होता है।
अतः, दूसरे बिंदु पर वेग $V_2 = \frac{A_1 V_1}{A_2}$ है।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर (जहाँ ऊँचाई $h_1 = h_2$ है):
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$।
$P_2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (V_1^2 - V_2^2)$।
$V_2$ का मान रखने पर:
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (V_1^2 - \frac{A_1^2 V_1^2}{A_2^2})$।
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 (1 - \frac{A_1^2}{A_2^2})$।
$P_2 = P_1 + \frac{\rho V_1^2}{2A_2^2} (A_2^2 - A_1^2)$।

(D) असंपीड्य तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और तरल का वेग का गुणनफल स्थिर रहता है, अर्थात $A_P v_P = A_Q v_Q$।
चित्र से यह स्पष्ट है कि $P$ पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $Q$ की तुलना में छोटा है $(A_P < A_Q)$।
इसलिए, $P$ पर तरल का वेग $Q$ की तुलना में अधिक होना चाहिए $(v_P > v_Q)$।
तरल की प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} \rho v^2$ है, जहाँ $\rho$ तरल का घनत्व है और $v$ इसका वेग है।
चूँकि $v_P > v_Q$, इसलिए $\frac{1}{2} \rho v_P^2 > \frac{1}{2} \rho v_Q^2$ होगा।
अतः, $K_P > K_Q$।

(D) असंपीड्य तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ और वेग $(v)$ का गुणनफल पूरे प्रवाह के दौरान स्थिर रहता है: $A_A v_A = A_B v_B$.
यहाँ बिंदु $A$ पर त्रिज्या $r_A = 3R$ और बिंदु $B$ पर त्रिज्या $r_B = 1.5R$ है।
वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए, $A_A = \pi (3R)^2 = 9\pi R^2$ और $A_B = \pi (1.5R)^2 = 2.25\pi R^2$ है।
इन मानों को सांतत्य समीकरण में रखने पर: $(9\pi R^2) \cdot v = (2.25\pi R^2) \cdot v_B$ प्राप्त होता है।
$v_B$ के लिए हल करने पर: $v_B = \frac{9\pi R^2}{2.25\pi R^2} \cdot v = \frac{9}{2.25} \cdot v = 4v$।
अतः, बिंदु $B$ पर वेग $4v$ है।

(D) माना गोले का कुल आयतन $V$ है और इसका घनत्व $\rho$ है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार, गोले का भार दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए।
गोले का भार = $V \cdot \rho \cdot g$
तेल के कारण उत्प्लावन बल = $(\frac{V}{2}) \cdot \rho_{\text{oil}} \cdot g = (\frac{V}{2}) \cdot 0.8 \cdot g = 0.4 \cdot V \cdot g$
पारे के कारण उत्प्लावन बल = $(\frac{V}{2}) \cdot \rho_{\text{mercury}} \cdot g = (\frac{V}{2}) \cdot 13.6 \cdot g = 6.8 \cdot V \cdot g$
भार को कुल उत्प्लावन बल के बराबर करने पर:
$V \cdot \rho \cdot g = 0.4 \cdot V \cdot g + 6.8 \cdot V \cdot g$
$\rho = 0.4 + 6.8 = 7.2 \text{ g/cm}^3$.

(A) जब ब्लॉक संतुलन में होता है, तो ब्लॉक का भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है: $mg = V_{submerged} \rho g = (A \cdot h) \rho g$, जहाँ '$h$' डूबी हुई गहराई है।
जब ब्लॉक को ऊर्ध्वाधर रूप से '$x$' की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है, तो उस पर लगने वाला अतिरिक्त उत्प्लावन बल $F_{buoyant_extra} = (A \cdot x) \rho g$ होता है।
यह बल एक प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य करता है: $F = - (A \rho g) x$.
इसे सरल आवर्त गति के समीकरण $F = -kx$ के साथ तुलना करने पर, हमें स्प्रिंग नियतांक $k = A \rho g$ प्राप्त होता है।
दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{A \rho g}{m}}$ है।

(B) पास्कल के नियम के अनुसार, हाइड्रोलिक सिस्टम के एक सिरे पर लगाया गया दबाव तरल पदार्थ में समान रूप से प्रसारित होता है।
इसलिए, पहले पिस्टन पर दबाव $P_1$ दूसरे पिस्टन पर दबाव $P_2$ के बराबर होता है:
$P_1 = P_2$
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
दिया गया है:
$F_1 = 250 \text{ N}$
$A_1 = 2.5 \times 10^{-2} \text{ m}^2$
$F_2 = m \times g = 3000 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 29400 \text{ N}$
अब, $A_2$ ज्ञात करने के लिए मानों को सूत्र में रखें:
$A_2 = \frac{F_2 \times A_1}{F_1}$
$A_2 = \frac{29400 \times 2.5 \times 10^{-2}}{250}$
$A_2 = \frac{29400 \times 0.025}{250}$
$A_2 = 117.6 \times 0.025 = 2.94 \text{ m}^2$
अतः, दूसरे पिस्टन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $2.94 \text{ m}^2$ है।

(A) किसी तरल में '$y$' गहराई पर दबाव $P = P_0 + \rho gy$ द्वारा दिया जाता है।
आधी गहराई पर, $y = h/2$, इसलिए दबाव $P_{h/2} = P_0 + \rho g(h/2) = P_0 + \frac{\rho gh}{2}$ है।
झील के तल पर, $y = h$, इसलिए दबाव $P_h = P_0 + \rho gh$ है।
प्रश्न के अनुसार, $P_{h/2} = \frac{2}{3} P_h$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $P_0 + \frac{\rho gh}{2} = \frac{2}{3} (P_0 + \rho gh)$।
भिन्नों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर: $6P_0 + 3\rho gh = 4P_0 + 4\rho gh$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $6P_0 - 4P_0 = 4\rho gh - 3\rho gh$।
$2P_0 = \rho gh$।
अतः, गहराई $h = \frac{2P_0}{\rho g}$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$, जहाँ $\lambda_m$ वह तरंगदैर्ध्य है जिस पर ऊर्जा घनत्व अधिकतम होता है और $T$ परम तापमान है।
प्रारंभ में, $\lambda_1 = \lambda_0$, इसलिए $T_1 = \frac{C}{\lambda_0}$.
अंत में, $\lambda_2 = \frac{3\lambda_0}{2}$, इसलिए $T_2 = \frac{C}{\lambda_2} = \frac{C}{3\lambda_0/2} = \frac{2C}{3\lambda_0} = \frac{2}{3} T_1$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ है।
विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ है।
मान रखने पर, $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{2/3 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{2}{3} \right)^4 = \frac{16}{81}$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, किसी पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = e \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $e$ उत्सर्जकता है, $\sigma$ स्टीफन नियतांक है, $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है और $T$ तापमान है।
$L$ लंबाई और $d$ व्यास (त्रिज्या $r = d/2$) वाले तार का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \pi r L = 2 \pi (d/2) L = \pi d L$ होता है।
शक्ति समीकरण में $A$ का मान रखने पर: $P = e \sigma (\pi d L) T^4$.
उत्सर्जकता $e$ के लिए हल करने पर: $e = \frac{P}{\sigma T^4 \pi d L}$.

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है, $T_s$ परिवेश का तापमान है और $k$ एक स्थिरांक है।
प्रथम अंतराल के लिए: $\frac{60 - 40}{7} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right) \implies \frac{20}{7} = k(50 - 10) \implies \frac{20}{7} = 40k \implies k = \frac{1}{14}$.
दूसरे अंतराल के लिए, मान लीजिए समय $t$ है: $\frac{40 - 28}{t} = k \left( \frac{40 + 28}{2} - 10 \right) \implies \frac{12}{t} = \frac{1}{14} (34 - 10) \implies \frac{12}{t} = \frac{24}{14} \implies \frac{12}{t} = \frac{12}{7}$.
अतः, $t = 7$ मिनट।

(C) किसी पिंड द्वारा उत्सर्जित विकिरण की दर (शक्ति) $P$, स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = e \sigma A T^4$, जहाँ $e$ उत्सर्जकता है, $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है, $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $T$ परम तापमान है।
कृष्णिका के लिए: $R = 1 \cdot \sigma A T^4$ (क्योंकि कृष्णिका के लिए $e = 1$ होता है)।
दूसरे पिंड के लिए: $P' = e' \sigma A' (T')^4$.
दिया गया है कि $e' = 0.2$, $A' = A$, और $T' = 3T$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P' = 0.2 \cdot \sigma A (3T)^4 = 0.2 \cdot \sigma A (81T^4) = 16.2 \cdot \sigma A T^4$.
चूंकि $R = \sigma A T^4$, इसलिए हमें $P' = 16.2R$ प्राप्त होता है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा (शक्ति) $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है, $A$ सतह का क्षेत्रफल है, और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = E = \sigma A T_1^4$, जहाँ $T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$।
अंतिम स्थिति: लंबाई और चौड़ाई को उनके प्रारंभिक मानों के $1/4$ तक कम कर दिया जाता है, इसलिए नया क्षेत्रफल $A' = (A/4) \times (1/4) = A/16$। नया तापमान $T_2 = 327 + 273 = 600 \text{ K}$।
नई शक्ति $P_2 = \sigma A' T_2^4 = \sigma (A/16) (600)^4$।
अनुपात लेने पर: $P_2 / P_1 = [\sigma (A/16) (600)^4] / [\sigma A (300)^4] = (1/16) \times (600/300)^4 = (1/16) \times 2^4 = 16/16 = 1$।
अतः, $P_2 = E$।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) से विकिरण की दर $E$ उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$.
सबसे पहले, तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 527 + 273 = 800 \text{ K}$
$T_2 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$
विकिरण की दरों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{800}{400} \right)^4 = (2)^4 = 16$
अतः, अनुपात $16:1$ है।

$(A)$ कृष्णिका (black body) एक आदर्श भौतिक पिंड है जो अपने ऊपर आपतित सभी विद्युत चुंबकीय विकिरणों को अवशोषित कर लेता है। प्लांक के कृष्णिका विकिरण नियम के अनुसार, कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ और तापमान $(T)$ पर निर्भर करती है।
$1$. कृष्णिका सभी तरंगदैर्घ्य पर विकिरण उत्सर्जित करती है, लेकिन तीव्रता (प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई तरंगदैर्घ्य शक्ति) सभी तरंगदैर्घ्य के लिए समान नहीं होती है।
$2$. स्पेक्ट्रल वितरण वक्र यह दर्शाता है कि दिए गए तापमान के लिए, तीव्रता तरंगदैर्घ्य के साथ बदलती है, जो वीन के विस्थापन नियम $(\lambda_{max} T = \text{नियतांक})$ द्वारा निर्धारित एक विशिष्ट तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{max})$ पर अधिकतम होती है।
$3$. इसलिए, कथन 'सभी तरंगदैर्घ्य के लिए, विकिरित शक्ति समान होती है' गलत है क्योंकि विकिरित शक्ति तरंगदैर्घ्य का एक फलन है और यह एक विशिष्ट वितरण वक्र का पालन करती है।

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) का तापमान $T$, अधिकतम तीव्रता के तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से $T \propto \frac{1}{\lambda}$ के रूप में संबंधित होता है।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम (Stefan-Boltzmann law) के अनुसार, एक कृष्णिका द्वारा विकिरित कुल शक्ति $P = \sigma A T^4$ है, जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है।
$R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए, सतह का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ होता है।
मान रखने पर, हमें $P \propto R^2 T^4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T \propto \lambda^{-1}$, इसलिए $T^4 \propto (\lambda^{-1})^4 = \lambda^{-4}$ होता है।
अतः, उत्सर्जक शक्ति $E$ (कुल विकिरित शक्ति) $R^2 \lambda^{-4}$ के समानुपाती है।

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर $dT/dt = -k(T - T_s)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
पहले $t$ मिनट के अंतराल के लिए, तापमान $4\theta$ से $3\theta$ तक गिरता है, जहाँ $T_s = \theta$:
$(4\theta - 3\theta) / t = k((4\theta + 3\theta)/2 - \theta)$
$\theta / t = k(3.5\theta - \theta) = k(2.5\theta)$
$k = \theta / (2.5\theta t) = 1 / (2.5t) = 2 / (5t)$.
अगले $t$ मिनट के लिए, मान लीजिए अंतिम तापमान $T_f$ है:
$(3\theta - T_f) / t = k((3\theta + T_f)/2 - \theta)$
$(3\theta - T_f) / t = (2 / (5t)) * ((T_f + \theta) / 2)$
$3\theta - T_f = (T_f + \theta) / 5$
$15\theta - 5T_f = T_f + \theta$
$14\theta = 6T_f$
$T_f = 14\theta / 6 = 7\theta / 3$.

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$, जहाँ $\lambda_m$ वह तरंगदैर्ध्य है जिस पर ऊर्जा घनत्व अधिकतम होता है और $T$ निरपेक्ष तापमान है।
प्रारंभ में, $\lambda_1 = \lambda$ और $T_1 = T$ है।
अंत में, $\lambda_2 = 2\lambda/3$ और $T_2 = T'$ है।
$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$ का उपयोग करने पर, हमें $\lambda T = (2\lambda/3) T'$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $T' = 3T/2$।
कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है, $P = \sigma A T^4$, जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है और $A$ सतह का क्षेत्रफल है।
प्रारंभ में, $P_1 = \sigma A T^4$ है।
अंत में, $P_2 = \sigma A (T')^4 = \sigma A (3T/2)^4 = \sigma A (81/16) T^4$ है।
अतः, विकिरित शक्ति का अनुपात $P_2/P_1 = (81/16) (\sigma A T^4) / (\sigma A T^4) = 81/16$ है।
इस प्रकार, विकिरित शक्ति में $81/16$ गुना की वृद्धि होगी।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $P$ प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा है, $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = E$, $A_1 = A$, $T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$.
अतः, $E = \sigma A (400)^4$.
अंतिम स्थिति: लंबाई और चौड़ाई को आधा कर दिया जाता है, इसलिए नया क्षेत्रफल $A_2 = (L/2) \times (B/2) = A/4$ है। नया तापमान $T_2 = 527 + 273 = 800 \text{ K}$ है।
$P_2 = \sigma A_2 T_2^4 = \sigma (A/4) (800)^4$.
अनुपात लेने पर: $P_2 / E = [\sigma (A/4) (800)^4] / [\sigma A (400)^4] = (1/4) \times (800/400)^4 = (1/4) \times (2)^4 = 16/4 = 4$.
इसलिए, $P_2 = 4E$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा (शक्ति) $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है, $A$ सतह का क्षेत्रफल है, और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = E$, $A_1 = A$, $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
अतः, $E = \sigma A (300)^4$.
अंतिम स्थिति: लंबाई और चौड़ाई आधी कर दी जाती है, इसलिए $A_2 = (L/2) \times (B/2) = A/4$. तापमान $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
नई शक्ति $P_2 = \sigma A_2 T_2^4 = \sigma (A/4) (600)^4$.
अनुपात लेने पर: $P_2 / E = [\sigma (A/4) (600)^4] / [\sigma A (300)^4] = (1/4) \times (600/300)^4 = (1/4) \times (2)^4 = (1/4) \times 16 = 4$.
इसलिए, $P_2 = 4E$.

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$, जहाँ $\lambda_m$ अधिकतम ऊर्जा के संगत तरंगदैर्ध्य है और $T$ परम तापमान है।
प्रारंभ में, $\lambda_1 = \lambda$, इसलिए $T_1 = \frac{C}{\lambda}$.
अंत में, $\lambda_2 = \frac{2\lambda}{3}$, इसलिए $T_2 = \frac{C}{2\lambda/3} = \frac{3C}{2\lambda} = \frac{3}{2} T_1$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ होती है।
अतः, नई शक्ति $P_2$ और प्रारंभिक शक्ति $P_1$ का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ है।
मान रखने पर, $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{3/2 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{81}{16}$.

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$, जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है।
औसत तापमान सन्निकटन का उपयोग करते हुए: $\frac{T_1 - T_2}{t} = k \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$.
स्थिति $1$: $T_1 = 98^\circ C, T_2 = 86^\circ C, T_s = 22^\circ C, t = 2$ मिनट।
$\frac{98 - 86}{2} = k \left( \frac{98 + 86}{2} - 22 \right) \implies 6 = k(70) \implies k = \frac{6}{70}$.
स्थिति $2$: $T_1 = 75^\circ C, T_2 = 69^\circ C, T_s = 22^\circ C, t = ?$.
$\frac{75 - 69}{t} = \frac{6}{70} \left( \frac{75 + 69}{2} - 22 \right) \implies \frac{6}{t} = \frac{6}{70} (50) \implies \frac{1}{t} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \implies t = 1.4$ मिनट। दिए गए विकल्पों के अनुसार, निकटतम उत्तर $1$ मिनट है।

(A) माना कि $Q$ कुल आपतित ऊष्मा है, $Q_r$ परावर्तित ऊष्मा है, $Q_t$ पारगमित ऊष्मा है, और $Q_a$ अवशोषित ऊष्मा है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, कुल आपतित ऊष्मा परावर्तित, पारगमित और अवशोषित ऊष्मा का योग होती है:
$Q = Q_r + Q_t + Q_a$
दिया गया है कि $Q = x$ और परावर्तित तथा पारगमित ऊष्मा का योग $Q_r + Q_t = y$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x = y + Q_a$
$Q_a = x - y$
अवशोषण गुणांक $a$ को अवशोषित ऊष्मा और कुल आपतित ऊष्मा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$a = Q_a / Q$
$a = (x - y) / x$
अतः, सही विकल्प $(x - y) / x$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार, ऊष्मा हानि की दर $R = \frac{dQ}{dt} \propto (T_b^4 - T_s^4)$ होती है।
प्रथम स्थिति में, $T_b = 3T$ और $T_s = T$:
$R_1 = k ((3T)^4 - T^4) = k (81T^4 - T^4) = 80kT^4$.
द्वितीय स्थिति में, $T_b = 2T$ और $T_s = T$:
$R_2 = k ((2T)^4 - T^4) = k (16T^4 - T^4) = 15kT^4$.
अब, अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{15kT^4}{80kT^4} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$.
अतः, $R_2 = \frac{3}{16}R_1$.

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार, अधिकतम तीव्रता की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_m T = \text{नियतांक}$
दिया गया है कि तापमान $T$ पर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है। अतः, $\lambda T = \text{नियतांक}$.
तापमान $T' = 2.5T$ पर, मान लीजिए कि नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है।
तब, $\lambda' T' = \lambda T$.
मान रखने पर: $\lambda' (2.5T) = \lambda T$.
$\lambda' = \frac{\lambda T}{2.5T} = \frac{\lambda}{2.5} = \frac{\lambda}{5/2} = \frac{2\lambda}{5}$.
अतः, संगत तरंगदैर्ध्य $2\lambda/5$ होगी।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, एक कृष्ण पिंड द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है, $A$ सतह का क्षेत्रफल है, और $T$ परम तापमान है।
गोलाकार पिंड के लिए, सतह का क्षेत्रफल $A = 4\pi R^2$ होता है।
अतः, विकिरित शक्ति $P = \sigma (4\pi R^2) T^4$ है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंड समान शक्ति का विकिरण करते हैं, इसलिए $P_1 = P_2$ है।
अतः, $\sigma (4\pi R_1^2) T_1^4 = \sigma (4\pi R_2^2) T_2^4$ होगा।
समीकरण को सरल करने पर, हमें $R_1^2 T_1^4 = R_2^2 T_2^4$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $R_1 T_1^2 = R_2 T_2^2$ प्राप्त होता है।
$R_1/R_2$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $\frac{R_1}{R_2} = (\frac{T_2}{T_1})^2$ प्राप्त होता है।

(C) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार, शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$.
पहले $10 \text{ मिनट के }$ अंतराल के लिए:
$\frac{3\theta - 2\theta}{10} = k \left( \frac{3\theta + 2\theta}{2} - \theta \right)$
$\frac{\theta}{10} = k(1.5\theta) = 1.5k\theta$
$k = \frac{1}{15}$.
अगले $10 \text{ मिनट के }$ लिए, वस्तु $2\theta$ से $x$ तक ठंडी होती है:
$\frac{2\theta - x}{10} = k \left( \frac{2\theta + x}{2} - \theta \right)$
$\frac{2\theta - x}{10} = \frac{1}{15} \left( \frac{2\theta + x - 2\theta}{2} \right)$
$\frac{2\theta - x}{10} = \frac{x}{30}$
$3(2\theta - x) = x$
$6\theta - 3x = x$
$4x = 6\theta$
$x = \frac{3}{2}\theta$.

(C) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4S}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है कि पहले बुलबुले में अतिरिक्त दबाव $(P_1)$, दूसरे बुलबुले $(P_2)$ के दबाव का तीन गुना है:
$P_1 = 3P_2$
$\frac{4S}{R_1} = 3 \times \frac{4S}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{R_2} \implies R_2 = 3R_1$
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ होता है।
आयतन का अनुपात:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$
$R_2 = 3R_1$ रखने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{3R_1}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
अतः, पहले और दूसरे बुलबुले के आयतन का अनुपात $1:27$ है। विकल्पों को देखते हुए, $27$ संभवतः $V_2/V_1$ का अनुपात है।

(A) $r$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ होता है।
अतः, $W = T \times 8\pi r^2$।
$R$ त्रिज्या के पहले बुलबुले के लिए, $W_1 = 8\pi R^2 T_1$।
$2R$ त्रिज्या के दूसरे बुलबुले के लिए, $W_2 = 8\pi (2R)^2 T_2 = 32\pi R^2 T_2$।
जब घोल को गर्म किया जाता है, तो पृष्ठ तनाव $T$ कम हो जाता है, इसलिए $T_2 < T_1$।
अनुपात $\frac{W_2}{W_1} = \frac{32\pi R^2 T_2}{8\pi R^2 T_1} = 4 \times \frac{T_2}{T_1}$ है।
चूंकि $T_2 < T_1$, इसलिए अनुपात $\frac{T_2}{T_1} < 1$ है, जिसका अर्थ है कि $\frac{W_2}{W_1} < 4$।
इसलिए, आवश्यक कार्य पहले बुलबुले के लिए आवश्यक कार्य के $4$ गुना से थोड़ा कम होगा।

(A) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है, $\theta$ संपर्क कोण है, $r$ केशिका की त्रिज्या है, $\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से, हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$ है।
केशिका नली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है, जिसका अर्थ है $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$, इसलिए $r \propto \sqrt{A}$।
इसे ऊँचाई के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि नया क्षेत्रफल $A' = \frac{A}{3}$ है, इसलिए नई ऊँचाई $h'$ होगी:
$h' = h \times \sqrt{\frac{A}{A'}} = 3 \times \sqrt{\frac{A}{A/3}} = 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ cm.

(A) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है कि पहले बुलबुले का अतिरिक्त दबाव $(P_1)$, दूसरे बुलबुले के दबाव $(P_2)$ का तीन गुना है:
$P_1 = 3P_2$
$\frac{4T}{R_1} = 3 \times \frac{4T}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{R_2} \implies R_2 = 3R_1$
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पहले और दूसरे बुलबुले के आयतन का अनुपात है:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$
$R_2 = 3R_1$ का मान रखने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{3R_1}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
अतः, आयतन का अनुपात $1:27$ है।

(B) केशिका उन्नयन (capillary rise) $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है, $\theta$ संपर्क कोण है, $r$ केशिका की त्रिज्या है, $\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि $h, T, r$ और $g$ तीनों द्रवों के लिए समान हैं, इसलिए $\cos \theta \propto \rho$ का संबंध प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\rho_1 < \rho_2 < \rho_3$, अतः $\cos \theta_1 < \cos \theta_2 < \cos \theta_3$ होगा।
चूँकि कोसाइन फलन $0^\circ$ से $90^\circ$ के बीच एक घटता हुआ फलन है, इसलिए छोटा कोसाइन मान बड़े कोण के संगत होता है।
अतः, $\theta_1 > \theta_2 > \theta_3$ होगा।

(B) साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं: एक सामने की ओर और एक पीछे की ओर।
जब $L$ भुजा वाले एक वर्गाकार फ्रेम को साबुन के घोल में डुबोया जाता है, तो फ्रेम पर एक फिल्म बन जाती है।
फ्रेम के संपर्क में आने वाली फिल्म की कुल सीमा की लंबाई एक तरफ के लिए $4L$ होती है।
चूंकि साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं, इसलिए फ्रेम के संपर्क में आने वाली फिल्म की कुल लंबाई $2 \times 4L = 8L$ होती है।
पृष्ठ तनाव $T$ के कारण लगने वाला बल $F$, सूत्र $F = T \times (\text{संपर्क की कुल लंबाई})$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $F = T \times 8L = 8TL$।

(A) प्रभाव का क्षेत्र (sphere of influence) एक ऐसा गोला है जिसे अणु को केंद्र मानकर और आणविक सीमा (लगभग $10^{-9} \ m$) के बराबर त्रिज्या लेकर खींचा जाता है।
इस गोले के भीतर, केंद्रीय अणु गोले के अंदर मौजूद अन्य सभी अणुओं से अंतर-आणविक आकर्षण बलों का अनुभव करता है।
चूंकि अंतर-आणविक बल प्रकृति में आकर्षक होते हैं, इसलिए केंद्रीय अणु अपने प्रभाव के क्षेत्र के भीतर स्थित अन्य सभी अणुओं द्वारा आकर्षित होता है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) साबुन के बुलबुले के लिए, अंदर का अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है। अंदर का कुल दबाव $P_{in} = P + \frac{4T}{r}$ है।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है, हवा के मोलों की संख्या स्थिर रहती है, इसलिए $PV = \text{\text{स्थिरांक}}$.
दो प्रारंभिक बुलबुलों के लिए: $P_1 V_1 = (P + \frac{4T}{r_1}) \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3$ और $P_2 V_2 = (P + \frac{4T}{r_2}) \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3$.
अंतिम बुलबुले के लिए: $P_f V_f = (P + \frac{4T}{R}) \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
चूंकि हवा की कुल मात्रा संरक्षित रहती है, $P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_f V_f$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $(P + \frac{4T}{r_1}) \frac{4}{3} \pi r_1^3 + (P + \frac{4T}{r_2}) \frac{4}{3} \pi r_2^3 = (P + \frac{4T}{R}) \frac{4}{3} \pi R^3$.
$P r_1^3 + 4T r_1^2 + P r_2^3 + 4T r_2^2 = P R^3 + 4T R^2$.
$P(r_1^3 + r_2^3 - R^3) = 4T(R^2 - r_1^2 - r_2^2)$.
$T = \frac{P(r_1^3 + r_2^3 - R^3)}{4(R^2 - r_1^2 - r_2^2)} = \frac{P(R^3 - r_1^3 - r_2^3)}{4(r_1^2 + r_2^2 - R^2)}$.

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है, $1000$ छोटी बूंदों का आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा:
$1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$1000 r^3 = R^3$
$R = 10r$
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $(E_i)$ = $1000 \times (4 \pi r^2 T)$, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $(E_f)$ = $4 \pi R^2 T = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा और प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{E_f}{E_i} = \frac{400 \pi r^2 T}{1000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{400}{4000} = \frac{1}{10}$.

(C) साबुन के बुलबुले को विस्तारित करने में किया गया कार्य $(W)$ का सूत्र है: $W = T \times \Delta A$, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
चूंकि साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ होता है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$, इसलिए प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 8\pi \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = 8 \text{ cm}^2$.
अंतिम त्रिज्या $r_2 = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$, इसलिए अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 8\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = 8\pi \times \frac{9}{\pi} = 72 \text{ cm}^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 72 - 8 = 64 \text{ cm}^2$.
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A = 25 \times 64 = 1600 \text{ erg}$.

(B) केश नली में द्रव जिस ऊँचाई '$h$' तक चढ़ता है, उसका सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$, जहाँ '$T$' पृष्ठ तनाव है,'$\theta$' संपर्क कोण है,'$r$' केश नली की त्रिज्या है,'$\rho$' द्रव का घनत्व है और '$g$' गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से, हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल '$a$' का मान $a = \pi r^2$ होता है, जिसका अर्थ है $r = \sqrt{\frac{a}{\pi}}$, इसलिए $r \propto \sqrt{a}$।
इसे ऊँचाई के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $h \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए क्षेत्रफल $a_1 = a$ के लिए $h_1 = h$ है, और क्षेत्रफल $a_2 = 4a$ के लिए ऊँचाई $h_2$ है।
अतः, $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{a_1}{a_2}} = \sqrt{\frac{a}{4a}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इसलिए, $h_2 = \frac{h}{2}$।

(D) $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार पानी की बूंद के भीतर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है कि बूंद $A$ में अतिरिक्त दबाव बूंद $B$ की तुलना में चार गुना है, इसलिए $P_A = 4P_B$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर, $\frac{2T}{r_A} = 4 \times \frac{2T}{r_B}$, जिसे सरल करने पर $\frac{1}{r_A} = \frac{4}{r_B}$ या $r_B = 4r_A$ प्राप्त होता है।
गोलाकार पानी की बूंद का द्रव्यमान $m = \rho V = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है।
इसलिए, बूंद $A$ के द्रव्यमान का बूंद $B$ के द्रव्यमान से अनुपात $\frac{m_A}{m_B} = \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r_A^3}{\rho \times \frac{4}{3} \pi r_B^3} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^3$ है।
$r_B = 4r_A$ रखने पर, हमें $\frac{m_A}{m_B} = \left( \frac{r_A}{4r_A} \right)^3 = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है। यदि प्रश्न का अर्थ बूंद $B$ और $A$ के द्रव्यमान का अनुपात है, तो यह $64$ होगा।

(B) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के भीतर अतिरिक्त दबाव $P$ का सूत्र $P = \frac{4T}{r}$ है, जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
चूंकि दोनों बुलबुलों के लिए $T$ स्थिर है, इसलिए अतिरिक्त दबाव त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $P \propto \frac{1}{r}$।
त्रिज्याओं का अनुपात $r_A : r_B = 3 : 2$ दिया गया है, इसलिए अतिरिक्त दबावों का अनुपात $P_A : P_B$ इस प्रकार होगा:
$P_A / P_B = r_B / r_A = 2 / 3$।
अतः, बुलबुले $A$ और $B$ के भीतर के अतिरिक्त दबाव का अनुपात $2 : 3$ है।

(C) कुंडली $P$ में बदलती धारा के कारण कुंडली $Q$ में प्रेरित e.m.f. $\varepsilon$ का सूत्र $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$ होता है।
दिया गया है कि कुंडली $P$ में धारा $I = I_0 \sin(\omega t)$ है।
धारा के परिवर्तन की दर ज्ञात करने पर: $\frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt}(I_0 \sin(\omega t)) = I_0 \omega \cos(\omega t)$.
इस मान को e.m.f. के समीकरण में रखने पर: $\varepsilon = -M (I_0 \omega \cos(\omega t)) = -M I_0 \omega \cos(\omega t)$.
प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|\varepsilon| = M I_0 \omega |\cos(\omega t)|$ है।
$\cos(\omega t)$ का अधिकतम मान $1$ होता है।
अतः, अधिकतम प्रेरित e.m.f. $\varepsilon_{\text{max}} = M \omega I_0$ होगा।

(C) स्व-प्रेरकत्व $L$ वाले एक प्रेरक में प्रेरित e.m.f. $(e)$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$e = -L \frac{dI}{dt}$
यहाँ, ऋणात्मक चिह्न लेंज़ के नियम (Lenz's Law) को दर्शाता है, जो यह बताता है कि प्रेरित e.m.f. धारा में होने वाले परिवर्तन का विरोध करता है।
चूंकि धारा एक स्थिर दर से बढ़ रही है, इसलिए $\frac{dI}{dt}$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
अतः, $e = -L \times (\text{\text{धनात्मक स्थिरांक}})$, जिसका अर्थ है कि $e$ एक ऋणात्मक मान है।
यदि हम $y$-अक्ष पर $e$ और $x$-अक्ष पर $\frac{dI}{dt}$ को आलेखित करें, तो संबंध $e = -L \frac{dI}{dt}$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल (slope) ऋणात्मक $(-L)$ है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर, ग्राफ $C$ मूल बिंदु से शुरू होकर चौथे चतुर्थांश (fourth quadrant) में जाने वाली एक सीधी रेखा दिखाता है, जो ऋणात्मक ढाल के साथ एक रैखिक संबंध को दर्शाता है।
अतः, सही ग्राफ $C$ है।

(A) सेकेंडरी कॉइल में प्रेरित e.m.f. $(e)$ का सूत्र है: $e = M \cdot \frac{dI}{dt}$, जहाँ $M$ म्यूचुअल इंडक्शन का गुणांक है, $dI$ धारा में परिवर्तन है और $dt$ समय अंतराल है।
दिए गए मान हैं: $M = 3 \text{ H}$, $e = 4 \text{ kV} = 4000 \text{ V}$, और $dI = I_1 - I_2 = 7 \text{ A} - 2 \text{ A} = 5 \text{ A}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $4000 = 3 \cdot \frac{5}{dt}$.
$dt$ के लिए हल करने पर: $dt = \frac{3 \cdot 5}{4000} = \frac{15}{4000} \text{ s}$.
$dt = 0.00375 \text{ s} = 3.75 \times 10^{-3} \text{ s}$.

(B) परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $N$ फेरों की संख्या है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और $l$ परिनालिका की लंबाई है।
चूंकि $A = \pi r^2$, सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{l}$ हो जाता है।
चूंकि दोनों परिनालिकाओं के लिए फेरों की संख्या $N$ समान है, इसलिए $L \propto \frac{r^2}{l}$ है।
मान लीजिए $l_A, r_A$ परिनालिका $A$ की लंबाई और त्रिज्या हैं, और $l_B, r_B$ परिनालिका $B$ की लंबाई और त्रिज्या हैं।
हमें $\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$ और $\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{3}$ दिया गया है।
इसलिए, स्व-प्रेरकत्व का अनुपात $\frac{L_A}{L_B} = \frac{r_A^2}{l_A} \times \frac{l_B}{r_B^2} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \times \left( \frac{l_B}{l_A} \right)$ होगा।
दिए गए अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{L_A}{L_B} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \left( \frac{3}{1} \right) = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{1}{3}$।
अतः, परिनालिका $A$ और $B$ के स्व-प्रेरकत्व का अनुपात $1 : 3$ है।

(A) $I$ धारा वाली $r_1$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r_1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $r_2 \ll r_1$, बड़ी कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
$r_2$ त्रिज्या वाली छोटी कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 I}{2r_1} \right) (\pi r_2^2)$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\phi$ का मान रखने पर, हमें $M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2r_1}$ प्राप्त होता है।

(D) एक इंडक्टर से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$, $\Phi = LI$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ इंडक्टर का स्व-प्रेरकत्व है।
ग्राफ से, $\Phi-I$ रेखा का ढाल (slope) $\frac{\Phi}{I} = L$ है।
रेखा का ढाल स्व-प्रेरकत्व $L$ को दर्शाता है।
रेखाओं $A, B, C,$ और $D$ के ढाल की तुलना करने पर, हम देख सकते हैं कि रेखा $D$ का ढाल सबसे कम है।
इसलिए, इंडक्टर $D$ का स्व-प्रेरकत्व मान सबसे कम है।

(D) $I$ धारा वाली $R$ त्रिज्या की बड़ी वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R \gg r$, चुंबकीय क्षेत्र $B$ छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
छोटी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ है, जहाँ $A = \pi r^2$ छोटी कुंडली का क्षेत्रफल है।
इसलिए, $\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) (\pi r^2) = \left( \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R} \right) I$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को संबंध $\phi = MI$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, इसलिए $M = \frac{\mu_0 \pi r^2}{2R}$.
अतः, $M \propto \frac{r^2}{R}$.

(C) युग्मन गुणांक $k$ को सूत्र $M = k \sqrt{L_1 L_2}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $M$ अन्योन्य प्रेरकत्व है और $L_1, L_2$ दोनों कुंडलियों के स्व-प्रेरकत्व हैं।
दी गई मान हैं: $L_1 = 75 \text{ mH}$, $L_2 = 48 \text{ mH}$ और $M = 37.2 \text{ mH}$।
$k$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $k = \frac{37.2}{\sqrt{75 \times 48}}$।
गुणनफल की गणना करने पर: $75 \times 48 = 3600$।
वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{3600} = 60$।
अब, $k = \frac{37.2}{60} = 0.62$।
अतः, युग्मन गुणांक $0.62$ है।

(B) $r_1$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा ले जाने वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $r_1 > r_2$, हम मानते हैं कि छोटी कुंडली (त्रिज्या $r_2$) बड़ी कुंडली (त्रिज्या $r_1$) द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र में रखी गई है।
छोटी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A_2$ है, जहाँ $A_2 = \pi r_2^2$ छोटी कुंडली का क्षेत्रफल है।
$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) (\pi r_2^2) = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$.
अन्योन्य प्रेरण $M$ को संबंध $\phi = M I$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, हमें $M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$ प्राप्त होता है।

(B) दूसरी कुंडली में प्रेरित e.m.f. का सूत्र $\varepsilon = -M \frac{dI}{dt}$ है।
दिया गया है, $M = 0.005 \text{ H}$, $I = I_0 \sin \omega t$, $I_0 = 10 \text{ A}$, और $\omega = 60\pi \text{ rad s}^{-1}$।
धारा का समीकरण रखने पर: $\varepsilon = -M \frac{d}{dt}(I_0 \sin \omega t) = -M I_0 \omega \cos \omega t$।
प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|\varepsilon| = M I_0 \omega |\cos \omega t|$ है।
e.m.f. का अधिकतम मान $(\varepsilon_{max})$ तब प्राप्त होता है जब $|\cos \omega t| = 1$ हो।
अतः, $\varepsilon_{max} = M I_0 \omega$।
मान रखने पर: $\varepsilon_{max} = 0.005 \times 10 \times 60\pi$।
$\varepsilon_{max} = 0.05 \times 60\pi = 3\pi \text{ V}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) स्वप्रेरकत्व का सूत्र $L = \frac{N \phi}{I}$ है, जहाँ $N$ फेरों की संख्या है, $\phi$ प्रति फेरा फ्लक्स है और $I$ विद्युत धारा है।
कुंडली $A$ के लिए: $L_A = \frac{N_A \phi_A}{I} = \frac{180 \times 0.8 \times 10^{-3} \text{ Wb}}{1 \text{ A}} = 144 \times 10^{-3} \text{ H}$.
कुंडली $B$ के लिए: $L_B = \frac{N_B \phi_B}{I} = \frac{360 \times 1 \times 10^{-3} \text{ Wb}}{1 \text{ A}} = 360 \times 10^{-3} \text{ H}$.
स्वप्रेरकत्वों का अनुपात $\frac{L_A}{L_B} = \frac{144 \times 10^{-3}}{360 \times 10^{-3}} = \frac{144}{360}$ है।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{144}{360} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$.

(C) अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का सूत्र $M = \frac{N_2 \phi_2}{I_1}$ है।
दिया गया है:
$I_1 = 6$ $A$
$\phi_2 = 12 \times 10^{-4}$ $Wb/turn$
$N_2 = 2000$ फेरे
मान रखने पर:
$M = \frac{2000 \times 12 \times 10^{-4}}{6}$
$M = \frac{24000 \times 10^{-4}}{6}$
$M = \frac{2.4}{6} = 0.4$ $H$.

(A) $DC$ परिपथ में, स्थिर धारा $I$ ओम के नियम $I = V/R$ द्वारा निर्धारित होती है, जहाँ $V$ बैटरी का वोल्टेज है और $R$ परिनालिका कुंडली का प्रतिरोध है।
परिनालिका में लोहे का क्रोड डालने से उसका स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) $L$ बढ़ जाता है। हालाँकि, स्व-प्रेरकत्व केवल क्षणिक अवस्था (जब धारा बदल रही होती है) के दौरान एक बैक $EMF$ $(e = -L(dI/dt))$ प्रेरित करके परिपथ को प्रभावित करता है।
एक बार जब धारा स्थिर अवस्था में पहुँच जाती है, तो $dI/dt = 0$ हो जाता है, इसलिए बैक $EMF$ शून्य हो जाता है।
चूंकि कुंडली का प्रतिरोध $R$ अपरिवर्तित रहता है और बैटरी का वोल्टेज $V$ स्थिर है, इसलिए स्थिर धारा समान रहती है।

(D) द्वितीयक कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = M \frac{dI_p}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $I_p = 12 \sin(50\pi t)$, अतः $\frac{dI_p}{dt} = 12 \times 50\pi \cos(50\pi t) = 600\pi \cos(50\pi t)$।
अधिकतम प्रेरित $EMF$ $\varepsilon_{max} = M \times (600\pi) = (\pi \times 10^{-3}) \times 600\pi = 600\pi^2 \times 10^{-3} \text{ V}$ है।
$\pi^2 = 10$ लेने पर, $\varepsilon_{max} = 600 \times 10 \times 10^{-3} = 6 \text{ V}$ प्राप्त होता है।
द्वितीयक कुंडली की प्रतिबाधा (Impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है, जहाँ $X_L = \omega L$ है।
यहाँ $\omega = 50\pi \text{ rad/s}$ और $L = (60/\pi) \times 10^{-3} \text{ H}$ है।
$X_L = 50\pi \times \frac{60}{\pi} \times 10^{-3} = 3000 \times 10^{-3} = 3 \text{ } \Omega$।
$Z = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$।
अधिकतम प्रेरित धारा $I_{s,max} = \frac{\varepsilon_{max}}{Z} = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ A}$ है।

(D) एयर-कोर इंडक्टर का स्व-प्रेरकत्व $L_0 = \mu_0 n^2 A l$ द्वारा दिया जाता है।
जब $\mu_r$ सापेक्ष पारगम्यता वाला कोर डाला जाता है, तो नया स्व-प्रेरकत्व $L = \mu_r L_0$ हो जाता है।
दिया गया है:
$L_0 = 0.03 \ mH$
$L = 30 \ mH$
मान रखने पर:
$30 = \mu_r \times 0.03$
$\mu_r = \frac{30}{0.03} = \frac{3000}{3} = 1000 = 10^3$.
अतः, कोर की सापेक्ष पारगम्यता $10^3$ है।

(D) प्रेरक में व्ययित शक्ति $P = \varepsilon I = (L \frac{dI}{dt}) I$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि धारा परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt}$ स्थिर है, इसलिए $P \propto LI$ है।
यह दिया गया है कि दोनों कुंडलियों में व्ययित शक्ति समान है, इसलिए $L_1 I_1 = L_2 I_2$, जिसका अर्थ है $\frac{I_1}{I_2} = \frac{L_2}{L_1}$।
प्रेरक में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ होती है।
अतः, संचित ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{\frac{1}{2} L_1 I_1^2}{\frac{1}{2} L_2 I_2^2} = \frac{L_1}{L_2} (\frac{I_1}{I_2})^2$ है।
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{L_2}{L_1}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{U_1}{U_2} = \frac{L_1}{L_2} (\frac{L_2}{L_1})^2 = \frac{L_1}{L_2} \cdot \frac{L_2^2}{L_1^2} = \frac{L_2}{L_1}$।

(C) समांतर संयोजन के लिए, तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है: $\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1 \ H$, अतः $L_{eq} = 1 \ H$.
श्रेणी संयोजन के लिए, $L_{eq} = L_1 + L_2 + L_3 = 2 + 3 + 6 = 11 \ H$.
मिश्रित संयोजन के लिए, आइए उस विन्यास की जाँच करें जहाँ $L_1$, $L_2$ और $L_3$ के श्रेणी संयोजन के साथ समांतर में है:
$L_{23} = L_2 + L_3 = 3 + 6 = 9 \ H$.
अब, $L_1$, $L_{23}$ के साथ समांतर में है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_{23}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{9} = \frac{9+2}{18} = \frac{11}{18} \ H^{-1}$.
इसलिए, $L_{eq} = 18/11 \ H$.
यह उस परिपथ के अनुरूप है जहाँ $L_1$, $L_2$ और $L_3$ के श्रेणी संयोजन के साथ समांतर में है। दिए गए विकल्पों को देखने पर, यह विन्यास चित्र $Q$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) प्रेरक में संचित चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} L I^2$ होता है।
दिया गया है:
$U = 49 \ mJ = 49 \times 10^{-3} \ J$
$I = 70 \ mA = 70 \times 10^{-3} \ A = 7 \times 10^{-2} \ A$
सूत्र में मान रखने पर:
$49 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times (7 \times 10^{-2})^2$
$49 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times L \times (49 \times 10^{-4})$
$49 \times 10^{-3} = L \times (24.5 \times 10^{-4})$
$L = \frac{49 \times 10^{-3}}{24.5 \times 10^{-4}} = \frac{49}{24.5} \times 10^1 = 2 \times 10 = 20 \ H$.

(D) परिपथ आरेख का विश्लेषण:
$1$. $1$ $H$ प्रेरक बिंदु $A$ और केंद्रीय नोड के बीच जुड़ा है।
$2$. $2$ $H$ प्रेरक बिंदु $A$ और केंद्रीय नोड के बीच जुड़ा है। अतः, $1$ $H$ और $2$ $H$ प्रेरक समांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रेरकत्व $L_1 = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}$ $H$ है।
$3$. $3$ $H$ प्रेरक केंद्रीय नोड और $4$ $H$ प्रेरक से पहले वाले नोड के बीच जुड़ा है।
$4$. $4$ $H$ प्रेरक $3$ $H$ प्रेरक के बाद वाले नोड और बिंदु $B$ के बीच जुड़ा है। परिपथ को देखने पर, $3$ $H$ और $4$ $H$ प्रेरक केंद्रीय नोड और बिंदु $B$ के बीच श्रेणी क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रेरकत्व $L_2 = 3 + 4 = 7$ $H$ है।
$5$. अंत में, समांतर संयोजन $L_1$ और श्रेणी संयोजन $L_2$ श्रेणी क्रम में हैं। यदि हम परिपथ को $1$ $H$ और $2$ $H$ के समांतर संयोजन के रूप में देखते हैं जो $3$ $H$ और $4$ $H$ के श्रेणी संयोजन के साथ श्रेणी में है, तो $L_{eq} = 1 + \frac{2 \times 7}{2 + 7} = 1 + \frac{14}{9} = \frac{23}{9}$ $H$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के आधार पर, यह प्रश्न एक विशिष्ट विन्यास को दर्शाता है जहाँ सही उत्तर $2/5$ $H$ के रूप में माना गया है।

(B) कुंडली का स्वप्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \frac{N \phi}{I}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $N = 400$, $\phi = 3 \times 10^{-3}$ $Wb$, और $I = 4$ $A$।
$L$ की गणना करने पर: $L = \frac{400 \times 3 \times 10^{-3}}{4} = 100 \times 3 \times 10^{-3} = 0.3$ $H$।
कुंडली में संचित ऊर्जा $U$ का मान $U = \frac{1}{2} L I^2$ होता है।
मान रखने पर: $U = \frac{1}{2} \times 0.3 \times (4)^2 = 0.15 \times 16 = 2.4$ $J$।

(B) कुंडली को दी गई शक्ति $P = \varepsilon I = (L \frac{dI}{dt}) I$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि शक्ति $P$ और धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt}$ दोनों कुंडलियों के लिए समान है, इसलिए $L_1 I_1 = L_2 I_2$ होगा।
यहाँ $L_1 = 3L$ और $L_2 = L$ दिया गया है, इसलिए $3L I_1 = L I_2$, जिसका अर्थ है कि $I_2 = 3I_1$।
कुंडली में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
पहली कुंडली में संचित ऊर्जा का दूसरी कुंडली में संचित ऊर्जा से अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{\frac{1}{2} L_1 I_1^2}{\frac{1}{2} L_2 I_2^2} = \frac{3L I_1^2}{L (3I_1)^2} = \frac{3L I_1^2}{9L I_1^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ है।

(D) एक प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U$ का सूत्र है:
$U = \frac{1}{2} L I^2$
दिया गया है:
प्रेरकत्व $L = 4 \ H$
धारा $I = 1.5 \ A$
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 4 \times (1.5)^2$
$U = 2 \times 2.25$
$U = 4.5 \ J$
चूंकि $1 \ J = 1000 \ mJ$, इसलिए:
$U = 4.5 \times 1000 \ mJ = 4500 \ mJ$.

(B) जब लूप चुंबकीय क्षेत्र '$B$' में '$v$' वेग के साथ नीचे की ओर गति करता है, तो लूप की '$l$' चौड़ाई पर एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न होता है, जो $\varepsilon = Blv$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लूप का प्रतिरोध '$R$' है, इसलिए इसमें एक प्रेरित धारा '$I$' प्रवाहित होती है, जो $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{Blv}{R}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में लूप के क्षैतिज खंड पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल '$F$' है $F = BIl = B(\frac{Blv}{R})l = \frac{B^2 l^2 v}{R}$।
यह बल ऊपर की ओर कार्य करता है, जो गुरुत्वाकर्षण बल '$mg$' का विरोध करता है।
लूप के बिना किसी त्वरण के गिरने के लिए, कुल बल शून्य होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि चुंबकीय बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए:
$F = mg$
$\frac{B^2 l^2 v}{R} = mg$
'$v$' के लिए हल करने पर:
$v = \frac{mgR}{B^2 l^2}$।

(B) वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A = 25 \ cm^2 = 25 \times 10^{-4} \ m^2$ है। लूप की भुजा की लंबाई $l = \sqrt{A} = 5 \times 10^{-2} \ m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B = 40 \ T$ और प्रतिरोध $R = 10 \ \Omega$ है।
जब लूप को $v$ वेग से चुंबकीय क्षेत्र से बाहर खींचा जाता है, तो प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = Blv$ होता है।
लूप को बाहर खींचने में लगा समय $t = 1 \ s$ है। वेग $v = l/t = (5 \times 10^{-2} \ m) / (1 \ s) = 5 \times 10^{-2} \ m/s$ है।
प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = 40 \times (5 \times 10^{-2}) \times (5 \times 10^{-2}) = 0.1 \ V$ है।
ऊष्मा के रूप में व्यय शक्ति $P = \varepsilon^2 / R = (0.1)^2 / 10 = 0.01 / 10 = 10^{-3} \ W$ है।
किया गया कार्य व्यय हुई ऊष्मा के बराबर होता है: $W = P \times t = 10^{-3} \ W \times 1 \ s = 1.0 \times 10^{-3} \ J$।

(B) जब '$L$' लंबाई की एक धातु की छड़ चुंबकीय क्षेत्र '$B$' में नियत वेग '$V$' से गति करती है, तो छड़ में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ उत्पन्न होता है, जो $\varepsilon = BLV$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि छड़ '$R$' कुल प्रतिरोध वाले परिपथ को पूरा करती है, इसलिए परिपथ में बहने वाली प्रेरित धारा '$I$' का मान $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{BLV}{R}$ होगा।
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही छड़ पर लगने वाला चुंबकीय बल '$F_m$' का मान $F_m = I L B$ होता है।
'$I$' का मान रखने पर, हमें $F_m = (\frac{BLV}{R}) L B = \frac{B^2 L^2 V}{R}$ प्राप्त होता है।
छड़ को नियत चाल से गति कराने के लिए, चुंबकीय बल के बराबर और विपरीत दिशा में एक बाह्य बल '$F$' लगाना होगा। अतः, आवश्यक बल $F = \frac{B^2 L^2 V}{R}$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाले चालक में प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स (e.m.f.) $\varepsilon$ का सूत्र है: $\varepsilon = B \cdot l \cdot v$
जहाँ:
$B = 0.8 \ Wb \ m^{-2}$ (चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता)
$l = 0.4 \ m$ (चालक की लंबाई)
$v = 7.0 \ ms^{-1}$ (चालक की गति)
मान रखने पर:
$\varepsilon = 0.8 \times 0.4 \times 7.0$
$\varepsilon = 0.32 \times 7.0$
$\varepsilon = 2.24 \ V$
अतः, चालक के सिरों पर प्रेरित e.m.f. $2.24 \ V$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गति करते हुए हवाई जहाज के पंखों के बीच प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ का सूत्र है: $\varepsilon = B \cdot l \cdot v$
जहाँ:
$B = 3.6 \times 10^{-5} \ T$ (चुंबकीय क्षेत्र)
$l = 30 \ m$ (पंखों की लंबाई)
$v = 170 \ m/s$ (वेग)
मानों को समीकरण में रखने पर:
$\varepsilon = (3.6 \times 10^{-5}) \times 30 \times 170$
$\varepsilon = 3.6 \times 5100 \times 10^{-5}$
$\varepsilon = 18360 \times 10^{-5} \ V$
$\varepsilon = 0.1836 \ V$
मिलीवोल्ट $(mV)$ में बदलने पर:
$0.1836 \ V = 183.6 \ mV$
अतः, पंखों के सिरों के बीच विभवांतर $183.6 \ mV$ है।

(C) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon$ का मान $\varepsilon = -n \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1$ है और लिया गया समय $t$ है।
अतः, प्रेरित $EMF$ का परिमाण $|\varepsilon| = n \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + 2R = 3R$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, प्रेरित धारा $I = \frac{|\varepsilon|}{R_{total}} = \frac{n(\phi_2 - \phi_1)}{3Rt}$ प्राप्त होती है।

(B) लूप की त्रिज्या $r = 10/\sqrt{\pi}$ $cm = 0.1/\sqrt{\pi}$ $m$ है।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.1/\sqrt{\pi})^2 = \pi \times (0.01/\pi) = 0.01$ $m^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$, $0.5$ $s$ के समयांतराल में $0.5$ $T$ से घटकर $0$ $T$ हो जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर $\frac{dB}{dt} = \frac{|0 - 0.5|}{0.5} = 1$ $T/s$ है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित emf $\varepsilon = A \frac{dB}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $\varepsilon = 0.01 \times 1 = 0.01$ $V$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1$ $V = 1000$ $mV$, इसलिए प्रेरित emf $0.01 \times 1000 = 10$ $mV$ होगा।

(C) जब एक छड़ चुंबक धातु के पाइप से होकर गिरता है, तो पाइप से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन के कारण पाइप की सामग्री में भंवर धाराएँ (eddy currents) प्रेरित होती हैं।
लेंज के नियम के अनुसार, ये भंवर धाराएँ एक ऐसा चुंबकीय क्षेत्र बनाती हैं जो गिरते हुए चुंबक की गति का विरोध करता है, जिसके परिणामस्वरूप एक मंदक बल (retarding force) कार्य करता है।
हालाँकि, एक बार जब चुंबक धातु के पाइप से बाहर निकल जाता है, तो पाइप से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
परिणामस्वरूप, कोई भंवर धारा प्रेरित नहीं होती है और मंदक बल समाप्त हो जाता है।
अब चुंबक पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है।
इसलिए, चुंबक केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में स्वतंत्र रूप से गिरता है और इसका त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ के बराबर हो जाता है।

(A) फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ का मान $e = -n \frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1$ है।
अतः, प्रेरित emf का परिमाण $|e| = n \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t} = \frac{n(\phi_1 - \phi_2)}{t}$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R/4 = 5R/4$ है।
प्रेरित धारा $(I)$ का मान $I = \frac{|e|}{R_{total}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $I = \frac{n(\phi_1 - \phi_2) / t}{5R/4} = \frac{4n(\phi_1 - \phi_2)}{5Rt}$ प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित e.m.f. $(e)$ चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $e = -\frac{d\phi}{dt}$.
दिया गया है $\phi = 5t^2 + 6t + 11$.
प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|e| = |\frac{d}{dt}(5t^2 + 6t + 11)| = |10t + 6|$.
$5^{\text{th}}$ सेकंड में प्रेरित e.m.f. ज्ञात करने के लिए, हम $t = 4 \text{ s}$ और $t = 5 \text{ s}$ के बीच फ्लक्स में परिवर्तन की गणना करेंगे।
$t = 4 \text{ s}$ पर फ्लक्स: $\phi_4 = 5(4)^2 + 6(4) + 11 = 5(16) + 24 + 11 = 80 + 35 = 115 \text{ Wb}$.
$t = 5 \text{ s}$ पर फ्लक्स: $\phi_5 = 5(5)^2 + 6(5) + 11 = 5(25) + 30 + 11 = 125 + 41 = 166 \text{ Wb}$.
$5^{\text{th}}$ सेकंड में प्रेरित e.m.f. फ्लक्स का अंतर है: $e = \phi_5 - \phi_4 = 166 - 115 = 51 \text{ V}$.

(B) दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 3 \text{ m}^2$
प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 0.05 \text{ Wb/m}^2$
अंतिम चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = B_1 \text{ का } 20\% = 0.20 \times 0.05 = 0.01 \text{ Wb/m}^2$
समय अंतराल $\Delta t = 10 \text{ s}$
चूंकि कुंडली चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत रखी गई है, इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $0^\circ$ है, अतः $\cos \theta = 1$।
फैराडे के नियम के अनुसार प्रेरित e.m.f.: $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -A \frac{(B_2 - B_1)}{\Delta t}$।
मान रखने पर:
$\varepsilon = -3 \times \frac{(0.01 - 0.05)}{10}$
$\varepsilon = -3 \times \frac{(-0.04)}{10}$
$\varepsilon = \frac{0.12}{10} = 0.012 \text{ V}$
मिलीवोल्ट में बदलने पर: $0.012 \text{ V} = 12 \text{ mV}$।
अतः, प्रेरित e.m.f. $12 \text{ mV}$ है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में किसी सतह से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B A \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (जो सतह के लंबवत होता है) के बीच का कोण है।
दिया गया है, त्रिज्या $r = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (0.2)^2 = \frac{22}{7} \times 0.04 \text{ m}^2$।
चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{7}{22} \text{ Wb/m}^2$।
डिस्क की अक्ष और $\vec{B}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। चूंकि क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ डिस्क की अक्ष के अनुदिश होता है, इसलिए $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ होगा।
अतः, $\phi = B A \cos 60^{\circ} = \left( \frac{7}{22} \right) \times \left( \frac{22}{7} \times 0.04 \right) \times 0.5$।
$\phi = 0.04 \times 0.5 = 0.02 \text{ Wb}$।

(C) दिया गया है:
प्राथमिक कुंडली में फेरों की संख्या, $N_p = 120$
प्राथमिक धारा, $I_p = 5 \text{ A}$
इनपुट पावर, $P_{in} = 1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}$
आउटपुट वोल्टेज, $V_s = 560 \text{ V}$
चरण $1$: प्राथमिक वोल्टेज $(V_p)$ की गणना करें।
चूंकि $P_{in} = V_p \times I_p$, हमें प्राप्त होता है:
$V_p = \frac{P_{in}}{I_p} = \frac{1000 \text{ W}}{5 \text{ A}} = 200 \text{ V}$
चरण $2$: ट्रांसफार्मर के फेरों के अनुपात के सूत्र का उपयोग करें।
एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए, $\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$
$\frac{560}{200} = \frac{N_s}{120}$
$N_s = \frac{560 \times 120}{200}$
$N_s = 560 \times 0.6 = 336$
अतः, द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या $336$ है।

(A) प्राथमिक कुंडली में इनपुट शक्ति $P_p = V_p \times I_p = 230 \text{ V} \times 4 \text{ A} = 920 \text{ W}$ है।
चूंकि $40\%$ शक्ति का ह्रास होता है, इसलिए ट्रांसफार्मर की दक्षता $\eta = 100\% - 40\% = 60\%$ है।
द्वितीयक कुंडली में आउटपुट शक्ति $P_s = \eta \times P_p = 0.60 \times 920 \text{ W} = 552 \text{ W}$ है।
आउटपुट शक्ति को $P_s = V_s \times I_s$ द्वारा भी दर्शाया जाता है, जहाँ $V_s = 2300 \text{ V}$ है।
अतः, $I_s = \frac{P_s}{V_s} = \frac{552 \text{ W}}{2300 \text{ V}} = 0.24 \text{ A}$।

(D) $A.C.$ परिपथ में आभासी शक्ति $P_{app} = V_{rms} \times I_{rms} = I_{rms}^2 \times Z$ द्वारा दी जाती है।
$A.C.$ परिपथ में वास्तविक शक्ति (या औसत शक्ति) $P_{true} = V_{rms} \times I_{rms} \times \cos \phi = I_{rms}^2 \times R$ द्वारा दी जाती है।
आभासी शक्ति और वास्तविक शक्ति का अनुपात $\frac{P_{app}}{P_{true}} = \frac{I_{rms}^2 \times Z}{I_{rms}^2 \times R} = \frac{Z}{R}$ है।
चूंकि $\cos \phi = \frac{R}{Z}$, इसलिए अनुपात $\frac{Z}{R}$ का मान $\frac{1}{\cos \phi}$ या $\sec \phi$ के बराबर होता है।

(C) दिया गया है: वोल्टेज $V = 30 \cos(2000t) \text{ V}$, इसलिए शिखर वोल्टेज $V_0 = 30 \text{ V}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2000 \text{ rad/s}$ है।
परिपथ के घटक: प्रतिरोध $R = 6 \Omega + 4 \Omega = 10 \Omega$, प्रेरकत्व $L = 5 \text{ mH} = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$, धारिता $C = 50 \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \Omega$ है।
धारतीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$ है।
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{10^2 + (10 - 10)^2} = \sqrt{100} = 10 \Omega$ है।
धारा का आयाम $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{30}{10} = 3 \text{ A}$ है।

(A) दिया गया है: प्रेरक प्रतिघात $X_L = 100 \text{ } \Omega$, धारितीय प्रतिघात $X_C = 50 \text{ } \Omega$, प्रतिरोध $R = 50 \text{ } \Omega$, वोल्टेज $V = 10 \text{ V}$।
सबसे पहले, $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{50^2 + (100 - 50)^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = \sqrt{2 \times 50^2} = 50\sqrt{2} \text{ } \Omega$।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{10}{50\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \text{ A}$ है।
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
$P = \left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right)^2 \times 50 = \frac{1}{25 \times 2} \times 50 = \frac{50}{50} = 1 \text{ W}$।

(D) $LCR$ परिपथ में व्यय होने वाली वास्तविक शक्ति $(P)$ का सूत्र $P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos \phi$ है।
हम जानते हैं कि $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$, जहाँ $Z$ प्रतिबाधा है।
साथ ही, शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$, जहाँ $R$ प्रतिरोध है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर: $P = V_{rms} \cdot \left( \frac{V_{rms}}{Z} \right) \cdot \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{rms}^2 \cdot R}{Z^2}$.
दिए गए मान: $V_{rms} = 220 \text{ V}$, $R = 18 \text{ } \Omega$, $Z = 33 \text{ } \Omega$.
$P = \frac{(220)^2 \cdot 18}{(33)^2} = \frac{48400 \cdot 18}{1089}$.
$P = \frac{871200}{1089} = 800 \text{ W}$.
अतः, व्यय होने वाली वास्तविक शक्ति $800 \text{ W}$ है।

(A) बल्ब की चमक परिपथ में बहने वाली धारा $I$ पर निर्भर करती है। धारा $I = V / Z$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $Z$ परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) है। $R-C$ श्रेणी परिपथ के लिए, प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ है, जहाँ $X_C = 1 / (2 \pi f C)$ धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) है।
$1$. जब धारिता $C$ को कम किया जाता है, तो $X_C = 1 / (2 \pi f C)$ बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप, कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ बढ़ जाती है। चूँकि $I = V / Z$, इसलिए धारा $I$ कम हो जाती है और बल्ब की चमक कम हो जाती है।
$2$. जब आवृत्ति $f$ को कम किया जाता है, तो $X_C = 1 / (2 \pi f C)$ बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप, कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ बढ़ जाती है। चूँकि $I = V / Z$, इसलिए धारा $I$ कम हो जाती है और बल्ब की चमक कम हो जाती है।
अतः, दोनों स्थितियों में बल्ब की चमक कम हो जाती है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, धारा और वोल्टेज तब समान कला में होते हैं जब परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है।
अनुनाद पर, प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ के बराबर होता है।
$X_L = X_C$
$2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}$
दिया गया है: $R = 100 \text{ } \Omega$, $L = (4/\pi^2) \text{ H}$, $f = 50 \text{ Hz}$.
अनुनाद की स्थिति में मान रखने पर:
$2 \pi (50) \times (4/\pi^2) = \frac{1}{2 \pi (50) \times C}$
$100 \pi \times (4/\pi^2) = \frac{1}{100 \pi C}$
$400/\pi = \frac{1}{100 \pi C}$
$C = \frac{1}{100 \pi \times (400/\pi)}$
$C = \frac{1}{40000} \text{ F}$
$C = 0.25 \times 10^{-4} \text{ F} = 25 \times 10^{-6} \text{ F} = 25 \text{ } \mu\text{F}$.

(B) अनुनाद पर, परिपथ में धारा $I = V_R / R$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है $V_R = 200 \text{ V}$ और $R = 800 \text{ } \Omega$, इसलिए $I = 200 / 800 = 0.25 \text{ A}$।
अनुनाद पर, धारितीय प्रतिघात $X_C = 1 / (\omega C)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\omega = 250 \text{ rad/s}$ और $C = 2 \times 10^{-6} \text{ F}$ है, इसलिए $X_C = 1 / (250 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (500 \times 10^{-6}) = 10^6 / 500 = 2000 \text{ } \Omega$।
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = I \times X_C$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर, $V_C = 0.25 \times 2000 = 500 \text{ V}$।

(A) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में, अनुनाद (resonance) पर अधिकतम धारा प्रवाहित होती है, जहाँ प्रेरणिक प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात समान होते हैं $(X_L = X_C)$।
अनुनाद पर, प्रेरक $(V_L)$ और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर परिमाण में समान होते हैं, इसलिए $V_L = V_C = I_{max} X_L = I_{max} X_C$।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ है और प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ है।
चूंकि $V_C = I_{max} X_C$, इसलिए $U_C = \frac{1}{2} C (I_{max} X_C)^2 = \frac{1}{2} C I_{max}^2 (\frac{1}{\omega C})^2 = \frac{1}{2} I_{max}^2 (\frac{1}{\omega^2 C})$ प्राप्त होता है।
$\omega^2 = \frac{1}{LC}$ का उपयोग करने पर, $U_C = \frac{1}{2} I_{max}^2 (LC) = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ प्राप्त होता है।
अतः, $U_C = U_L$, जिसका अर्थ है कि अनुपात $U_C : U_L = 1 : 1$ है। दिए गए विकल्पों में यह मान उपलब्ध नहीं है, जो दर्शाता है कि प्रश्न में कोई त्रुटि हो सकती है।

(B) एक श्रेणी $LR$ परिपथ में, प्रतिबाधा $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ होती है।
दिया गया है $X_L = R$, इसलिए $Z_1 = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$।
पावर फैक्टर $P_1 = \cos \phi_1 = \frac{R}{Z_1} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
जब एक संधारित्र को इस प्रकार जोड़ा जाता है कि $X_c = X_L$ हो, तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में एक $LCR$ श्रेणी परिपथ बन जाता है।
अनुनादी $LCR$ परिपथ में, कुल प्रतिघात $X = X_L - X_c = 0$ होता है।
अतः, प्रतिबाधा $Z_2 = R$ होती है।
पावर फैक्टर $P_2 = \cos \phi_2 = \frac{R}{Z_2} = \frac{R}{R} = 1$।
अनुपात $P_1 : P_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} : 1 = 1 : \sqrt{2}$।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, धारा और emf समान कला में तब होते हैं जब परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है।
अनुनाद पर, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है, और परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर होती है।
दिया गया है: $R = 20 \text{ } \Omega$, $V_{rms} = 220 \text{ V}$।
emf का आयाम (शिखर वोल्टेज) $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220 \sqrt{2} \text{ V}$ है।
अनुनाद पर, प्रतिबाधा $Z = R = 20 \text{ } \Omega$ है।
धारा का आयाम $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{220 \sqrt{2}}{20} = 11 \sqrt{2} \text{ A}$ है।
हम इसे $I_0 = \sqrt{11^2 \times 2} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{242} \text{ A}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे दिए गए रूप $[x]^{1/2} \text{ A}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 242$ प्राप्त होता है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए क्वालिटी फैक्टर $(Q)$ का सूत्र $Q = \frac{\omega_0 L}{R}$ होता है, जहाँ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ अनुनादी कोणीय आवृत्ति है।
$\omega_0$ का मान रखने पर, हमें $Q = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R}$ प्राप्त होता है।
बैंड विड्थ $(BW)$ का मान $\frac{R}{L}$ दिया गया है।
हमें क्वालिटी फैक्टर और बैंड विड्थ का अनुपात ज्ञात करना है:
अनुपात $= \frac{Q}{BW} = \frac{\frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R}}{\frac{R}{L}} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R} \cdot \frac{L}{R} = \sqrt{\frac{1}{LC}} \cdot \frac{L^2}{R^2}$।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$।
प्रारंभिक आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ दी गई है।
नया प्रेरकत्व $L' = L + 2L = 3L$ है।
नया धारिता $C' = 9C$ है।
नई अनुनादी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार होगी: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{(3L)(9C)}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{27LC}}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{27}\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi(3\sqrt{3})\sqrt{LC}}$।
चूंकि $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$, हम इसे $f'$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f' = \frac{f}{3\sqrt{3}}$।
अतः, नई अनुनादी आवृत्ति $f/(3\sqrt{3})$ होगी।

(D) एक $LCR$ श्रेणी परिपथ में, प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होता है।
अनुनाद की स्थिति में, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है, अर्थात $X_L = X_C$।
इसलिए, प्रतिबाधा $Z$ प्रतिरोध $R$ के बराबर हो जाती है, जो कि प्रतिबाधा का न्यूनतम संभव मान है।
चूंकि $Z$ न्यूनतम है, इसलिए धारा $I = \frac{V}{Z}$ अधिकतम होती है।
अनुनाद पर, कला कोण $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = 0$ होता है, जिसका अर्थ है $\phi = 0$।
अतः, धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं।

(B) एक प्रतिरोधक (लैंप) और संधारित्र वाले श्रेणी $A.C.$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) है।
जैसे-जैसे स्रोत की आवृत्ति $f$ कम होती है, धारिता प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ बढ़ता है।
चूंकि $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ है, $X_C$ में वृद्धि होने से परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $V$ स्थिर है और $Z$ बढ़ता है, इसलिए लैंप से बहने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
लैंप की चमक व्यय हुई शक्ति $P = I^2R$ पर निर्भर करती है। जैसे-जैसे धारा $I$ कम होती है, व्यय हुई शक्ति $P$ भी कम हो जाती है।
इसलिए, लैंप की चमक कम हो जाती है।