Adjoint and inverse of matrices Questions in Gujarati

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિક $M$ માટે, $\operatorname{adj}(M) = |M| M^{-1}$ થાય છે.
ધારો કે $M = Q^{-1} B P^{-1}$.
તેથી $\operatorname{adj}(M) = |Q^{-1} B P^{-1}| (Q^{-1} B P^{-1})^{-1}$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મો $|XY| = |X||Y|$ અને $|X^{-1}| = \frac{1}{|X|}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $|Q^{-1} B P^{-1}| = |Q^{-1}| |B| |P^{-1}| = \frac{1}{|Q|} |B| \frac{1}{|P|}$.
કારણ કે $|P| = 1$ અને $|Q| = 1$ છે, તેથી $|Q^{-1} B P^{-1}| = |B|$.
હવે, વ્યસ્ત શ્રેણિકની ગણતરી કરતા: $(Q^{-1} B P^{-1})^{-1} = (P^{-1})^{-1} B^{-1} (Q^{-1})^{-1} = P B^{-1} Q$.
આ કિંમતોને એડજોઈન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = |B| P B^{-1} Q$.
કારણ કે $\operatorname{adj} B = |B| B^{-1} = A$ છે, તેથી આપણે $|B| B^{-1}$ ની જગ્યાએ $A$ મૂકીએ છીએ.
તેથી, $\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = P A Q$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ માટે, તેના સહઅવયજ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં, $n = 3$ છે, તેથી $\det(P) = (\det(A))^{3-1} = (\det(A))^2$.
આપેલ છે કે $\det(A) = 4$, તેથી $\det(P) = 4^2 = 16$.
હવે, શ્રેણિક $P = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(P) = 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$\det(P) = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$\det(P) = 0 - \alpha(-2) + 3(-2) = 2\alpha - 6$.
બંને કિંમતોને સરખાવતા: $2\alpha - 6 = 16$.
$2\alpha = 22 \Rightarrow \alpha = 11$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે, પરિવર્તિત શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ એ એડજોઈન્ટનો પરિવર્તિત શ્રેણિક હોય છે.
એટલે કે, $\text{adj}(M^{\prime}) = (\text{adj } M)^{\prime}$.
તેથી, $\text{adj}(M^{\prime}) - (\text{adj } M)^{\prime} = (\text{adj } M)^{\prime} - (\text{adj } M)^{\prime} = O$, જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે, તેના એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે, તેથી $n = 3$.
તેથી, $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
આપેલ છે કે $|B| = |\operatorname{adj} A| = 64$.
તેથી, $|A|^2 = 64$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, આપણને $|A| = \pm \sqrt{64} = \pm 8$ મળે છે.

(B) ધારો કે $X$ એ $5 \times 1$ કક્ષાનો સ્તંભ સદિશ છે જ્યાં બધા ઘટકો $1$ છે, એટલે કે $X = [1, 1, 1, 1, 1]^T$.
આપેલ છે કે $P$ ની દરેક હારના ઘટકોનો સરવાળો $1$ છે, જેને આપણે $PX = X$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $P$ એ નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે, તેથી $P^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
બંને બાજુ $P^{-1}$ વડે ગુણતા, આપણને $P^{-1}(PX) = P^{-1}X$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(P^{-1}P)X = P^{-1}X$ થાય છે, જે $IX = P^{-1}X$ છે.
આમ, $P^{-1}X = X$.
આ સૂચવે છે કે $P^{-1}$ ની દરેક હારના ઘટકોનો સરવાળો પણ $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $A-3I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક વ્યસ્ત સંપન્ન છે કે નહીં તે તપાસવા માટે, આપણે તેનો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(A-3I_{3}) = -2((-2)(-2) - (1)(1)) - 1((1)(-2) - (1)(1)) + 1((1)(1) - (-2)(1))$
$\det(A-3I_{3}) = -2(4-1) - 1(-2-1) + 1(1+2)$
$\det(A-3I_{3}) = -2(3) - 1(-3) + 1(3) = -6 + 3 + 3 = 0$.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી, શ્રેણિક $A-3I_{3}$ એ અવ્યસ્ત (non-invertible) છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ, આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (1)(-1) - (2)(-4) = -1 + 8 = 7$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી, $A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી, $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિકનું સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ છે.
તેથી, $A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $AB = 3I$ છે, જ્યાં $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે અને $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
$A^{-1}$ શોધવા માટે, સમીકરણની બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(3I)$
શ્રેણિક ગુણાકારના જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(A^{-1}A)B = 3(A^{-1}I)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1}A = I$ અને $A^{-1}I = A^{-1}$, તેથી સમીકરણ આ મુજબ સાદું થાય છે:
$IB = 3A^{-1}$
$B = 3A^{-1}$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{3}B$

(B) આપેલ સમીકરણ $A^2-A+I=0$ છે.
આપણે તેને $A^2-A = -I$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ જમણી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા, આપણને $(A^2-A)A^{-1} = -I \cdot A^{-1}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $A^2 A^{-1} - A A^{-1} = -A^{-1}$ થાય છે.
કારણ કે $A A^{-1} = I$, તેથી $A I - I = -A^{-1}$ મળે.
આના પરથી $A - I = -A^{-1}$ મળે છે.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા, આપણને $A^{-1} = I - A$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $q_{ij} = 2^{(i+j-1)}p_{ij}$. શ્રેણિક $Q$ ને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$Q = \begin{bmatrix} 2^1 p_{11} & 2^2 p_{12} & 2^3 p_{13} \\ 2^2 p_{21} & 2^3 p_{22} & 2^4 p_{23} \\ 2^3 p_{31} & 2^4 p_{32} & 2^5 p_{33} \end{bmatrix}$
દરેક હારમાંથી સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢતા:
$\det(Q) = (2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3) \begin{vmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ 2 p_{21} & 2 p_{22} & 2 p_{23} \\ 2^2 p_{31} & 2^2 p_{32} & 2^2 p_{33} \end{vmatrix} = 2^6 \cdot (1 \cdot 2 \cdot 2^2) \det(P) = 2^6 \cdot 2^3 \det(P) = 2^9 \det(P)$
આપેલ છે કે $\det(Q) = 2^{10}$, તેથી $2^9 \det(P) = 2^{10} \implies \det(P) = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(n-1)^2}$, જ્યાં $n=3$.
$\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(3-1)^2} = \det(P)^4 = 2^4 = 16$.

(D) સૌ પ્રથમ, સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપો: $f(x) = \int \frac{x^{18}(7x^{-8} + 9x^{-10})}{(x^9(x^{-9} + x^{-7} + 2))^2} dx = \int \frac{7x^{-8} + 9x^{-10}}{(x^{-9} + x^{-7} + 2)^2} dx$.
ધારો કે $t = x^{-9} + x^{-7} + 2$, તો $dt = (-9x^{-10} - 7x^{-8}) dx$, તેથી $-(7x^{-8} + 9x^{-10}) dx = dt$.
આમ, $f(x) = \int -t^{-2} dt = t^{-1} + C = \frac{1}{x^{-9} + x^{-7} + 2} + C = \frac{x^9}{1 + x^2 + 2x^9} + C$.
આપેલ છે કે $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, તેથી $C = 0$. વળી $f(1) = \frac{1}{1+1+2} = \frac{1}{4}$, જે સુસંગત છે.
હવે, $f'(x) = \frac{9x^8(1+x^2+2x^9) - x^9(2x + 18x^8)}{(1+x^2+2x^9)^2}$.
$x=1$ આગળ, $f'(1) = \frac{9(4) - 1(20)}{4^2} = \frac{36-20}{16} = 1$.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1/4 & 1 & 1 \\ \alpha^2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.
$|A| = 1(\frac{1}{4} \times 4 - \alpha^2 \times 1) = 1 - \alpha^2$.
આપેલ છે કે $|B| = |\text{adj}(\text{adj } A)| = |A|^{(n-1)^2} = |A|^4 = 81$, તેથી $|A| = \pm 3$.
$1 - \alpha^2 = 3 \Rightarrow \alpha^2 = -2$ (શક્ય નથી) અથવા $1 - \alpha^2 = -3 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.

(B) આપેલ છે કે $A+A^T=O$, તેથી $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે. ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$.
$A\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ પરથી, આપણને મળે છે:
$-a = 3 \Rightarrow a = -3$
$-b+c = 2$
$3a + 2b = -3 \Rightarrow 3(-3) + 2b = -3 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3$.
તેથી $c = 2+b = 5$.
આમ, $A = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 3 & 0 & 5 \\ -3 & -5 & 0 \end{bmatrix}$.
તેથી $A+I = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & 1 & 5 \\ -3 & -5 & 1 \end{bmatrix}$.
$|A+I| = 1(1+25) + 3(3+15) + 3(-15+3) = 26 + 54 - 36 = 44$.
આપણે $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I)))$ શોધવાનું છે.
$A+I$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી, $\text{adj}(A+I)$ પણ $3 \times 3$ છે.
$\det(2\text{adj}(A+I)) = 2^3 |\text{adj}(A+I)| = 8 |A+I|^2 = 8(44)^2$.
તેથી $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I))) = (8 \cdot 44^2)^2 = (2^3 \cdot (2^2 \cdot 11)^2)^2 = (2^3 \cdot 2^4 \cdot 11^2)^2 = (2^7 \cdot 11^2)^2 = 2^{14} \cdot 11^4$.
$(2)^\alpha \cdot (3)^\beta \cdot (11)^\gamma$ સાથે સરખાવતા, $\alpha=14, \beta=0, \gamma=4$ મળે છે.
આમ, $\alpha+\beta+\gamma = 14+0+4 = 18$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો મૂળભૂત ગુણધર્મ $(\text{adj} A) \cdot A = |A|I$ છે, જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા, આપણને $|(\text{adj} A) \cdot A| = ||A|I|$ મળે છે.
અહીં $|A|$ એ અદિશ હોવાથી, આપણે $|kA| = k^n|A|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n = 3$ છે, તેથી $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 |I|$.
એકમ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $|I| = 1$ હોવાથી, આપણને $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 \times 1 = |A|^3$ મળે છે.

(B) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$ માટે, નિશ્ચાયક $|A| = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11$.
તેથી, $A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/11 & 3/11 \\ 1/11 & -2/11 \end{bmatrix}$.
આને આપેલ $A^{-1} = \begin{bmatrix} a & 3/11 \\ 1/11 & b \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $a = 4/11$ અને $b = -2/11$ મળે છે.
તેથી, $a+b = 4/11 + (-2/11) = 2/11$.

(D) પ્રથમ, $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $\det(A) = 1(0-3) - 1(-10-1) + 2(-6-0) = -3 + 11 - 12 = -4$.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M)^{n-2} M$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, અહીં $n=3$ છે, તેથી $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M$.
ધારો કે $M = 2(\text{adj} A)^{-1}$. કારણ કે $\text{adj} A = \det(A) A^{-1}$, તેથી $M = 2(\det(A) A^{-1})^{-1} = 2 \det(A)^{-1} A = 2(-4)^{-1} A = -\frac{1}{2} A$.
તેથી $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M = \det(-\frac{1}{2} A) (-\frac{1}{2} A) = (-\frac{1}{2})^3 \det(A) (-\frac{1}{2} A) = \frac{1}{16} \det(A) A = \frac{1}{16} (-4) A = -\frac{1}{4} A$.
$A$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $1+1+2-2+0+1+1+3+5 = 12$ છે.
તેથી, $-\frac{1}{4} A$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $-\frac{1}{4} \times 12 = -3$ થાય.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ, $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = (2)(-2) - (-2)(4) = -4 + 8 = 4$.
કારણ કે $|A| \neq 0$, $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. $A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $PA = B \implies P = BA^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5-9 & 1.5+4.5 \\ -0.5-3 & 0.5+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10.5 & 6 \\ -3.5 & 2 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $AQ = B \implies Q = A^{-1}B = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5+0.5 & -4.5+1.5 \\ -3+0.5 & -9+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -2.5 & -7.5 \end{bmatrix}$.
હવે, $P+Q = \begin{bmatrix} -10.5-1 & 6-3 \\ -3.5-2.5 & 2-7.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11.5 & 3 \\ -6 & -5.5 \end{bmatrix}$.
તેથી $2(P+Q) = \begin{bmatrix} -23 & 6 \\ -12 & -11 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $-23 + (-11) = -34$ છે. તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|-34| = 34$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ, $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = -1(0-0) - 1(1-0) - 1(0-0) = -1$.
$A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી, ગુણધર્મ $adj(adj(A)) = |A|^{n-2} A$ લાગુ પડે છે, જ્યાં $n=3$. તેથી, $adj(adj(A)) = |A|^{3-2} A = (-1)A = -A$.
આગળ, આપણે જાણીએ છીએ કે $adj(A) = |A|A^{-1}$. તેથી, $adj(A)(adj(adj(A))) = (|A|A^{-1})(|A|A) = |A|^2 I = (-1)^2 I = I$.
આપેલ સમીકરણ $A^2 - \alpha A + \beta I = M$ બને છે, જ્યાં $M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ની ગણતરી કરો: $\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \alpha \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા, $(1, 2)$ સ્થાન પરના ઘટક માટે: $-1 - \alpha = -2 \implies \alpha = 1$.
$(1, 3)$ સ્થાન પરના ઘટક માટે: $1 + \alpha = 2 \implies \alpha = 1$.
$(3, 3)$ સ્થાન પરના ઘટક માટે: $1 - \alpha + \beta = -1 \implies 1 - 1 + \beta = -1 \implies \beta = -1$.
આમ, $(\alpha - \beta)^2 = (1 - (-1))^2 = 2^2 = 4$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2i & i^3 \\ i^2 & 1 \end{bmatrix}$। કારણ કે $i^2 = -1$ અને $i^3 = -i$, તેથી $A = \begin{bmatrix} 2i & -i \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ થાય.
પગલું $1$: નિશ્ચાયક $|A| = (2i)(1) - (-i)(-1) = 2i - i = i$ શોધો.
પગલું $2$: સહઅવયજ શ્રેણિક $adj(A)$ શોધો. $2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે, $adj(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી, $adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix}$.
પગલું $3$: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{i} \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $\frac{1}{i} = -i$, આપણને $A^{-1} = -i \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & -i^2 \\ -i & -2i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & 1 \\ -i & 2 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$.
આ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \cos(240^\circ) & -\sin(240^\circ) \\ \sin(240^\circ) & \cos(240^\circ) \end{bmatrix}$ સ્વરૂપમાં છે, જે $\theta = 240^\circ = 4\pi/3$ સાથેનો પરિભ્રમણ શ્રેણિક $R_\theta$ છે.
પરિભ્રમણ શ્રેણિક માટે, $A^{-1} = R_{-\theta}$ અને $A^2 = R_{2\theta}$ થાય.
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos(120^\circ) & -\sin(120^\circ) \\ \sin(120^\circ) & \cos(120^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} \cos(480^\circ) & -\sin(480^\circ) \\ \sin(480^\circ) & \cos(480^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(120^\circ) & -\sin(120^\circ) \\ \sin(120^\circ) & \cos(120^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$.
આમ, $A^{-1} - A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, જે એક શૂન્ય શ્રેણિક છે.
શૂન્ય શ્રેણિક એ વિકર્ણ શ્રેણિક અને અદિશ શ્રેણિક પણ છે, પરંતુ તે એકમ શ્રેણિક નથી.

(C) પગલું $1$: $A^2$ ની ગણતરી કરો.
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
પગલું $2$: કારણ કે $A^2 = I$, બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા $A = A^{-1}$ મળે છે.
પગલું $3$: વિકલ્પો તપાસો. વિકલ્પ $(C)$ જણાવે છે કે $A^{-1} = A$, જે આપણા પરિણામ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) પગલું $1$: $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો. $|A| = 2(3-0) - 0(15-0) + (-1)(5-0) = 6 - 5 = 1$.
પગલું $2$: સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરો. કારણ કે $|A| = 1$, $A^{-1} = \text{adj}(A)$.
પગલું $3$: સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો.
$C_{11} = +(3-0) = 3$, $C_{12} = -(15-0) = -15$, $C_{13} = +(5-0) = 5$.
$C_{21} = -(0 - (-1)) = -1$, $C_{22} = +(6-0) = 6$, $C_{23} = -(2-0) = -2$.
$C_{31} = +(0 - (-1)) = 1$, $C_{32} = -(0 - (-5)) = -5$, $C_{33} = +(2-0) = 2$.
પગલું $4$: સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્ત શ્રેણિક એ $\text{adj}(A)$ છે: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}$.
પગલું $5$: $A^{-1}$ સાથે સરખામણી કરતા, આપણને $\gamma = 3$, $\alpha = -15$, $\beta = 5$ મળે છે.
પગલું $6$: $|\alpha \cdot \beta \cdot \gamma| = |(-15) \cdot 5 \cdot 3| = |-225| = 225$.

(C) પગલું $1$: નિશ્ચાયક $|A| = 1(0 - (-25)) - 3(0 - (-10)) - 2(-15 - 0) = 1(25) - 3(10) - 2(-15) = 25 - 30 + 30 = 25$ શોધો.
પગલું $2$: $A^{-1}$ ની પ્રથમ હાર અને બીજા સ્તંભનો ઘટક $\frac{C_{21}}{|A|}$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $C_{21}$ એ $A$ ના બીજા હાર અને પ્રથમ સ્તંભના ઘટકનો સહઅવયવ છે.
પગલું $3$: $C_{21} = (-1)^{2+1} \times \text{minor}_{21} = -1 \times \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \times (0 - (-10)) = -10$.
પગલું $4$: જરૂરી ઘટક $\frac{C_{21}}{|A|} = \frac{-10}{25} = -\frac{2}{5}$ છે. નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં સાચો જવાબ નથી.

(A) પગલું $1$: મેટ્રિક્સ $A$ નો નિશ્ચાયક (determinant) શોધો.
$|A| = 1(4 - 9) - 3(12 - 9) + 3(9 - 3) = 1(-5) - 3(3) + 3(6) = -5 - 9 + 18 = 4$.
પગલું $2$: $A^{-1}$ ની ત્રીજી હાર અને બીજા સ્તંભનો ઘટક $\frac{C_{23}}{|A|}$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $C_{23}$ એ $A$ ની બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભના ઘટકનો સહઅવયવ (cofactor) છે.
પગલું $3$: બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભને દૂર કરીને માઇનર $M_{23}$ ની ગણતરી કરો: $M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 9) = -6$.
પગલું $4$: સહઅવયવ $C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -1 \times (-6) = 6$.
પગલું $5$: જરૂરી ઘટક $\frac{C_{23}}{|A|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ છે.

(A) પગલું $1$: $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો. $|A| = (3 \times 4) - (-2 \times 1) = 12 + 2 = 14$.
પગલું $2$: $A$ નો સહઅવયવજ (adjoint) શોધો. $2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે, સહઅવયવજ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
પગલું $3$: તેથી, $adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$.
પગલું $4$: વ્યસ્ત $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{14} & \frac{2}{14} \\ -\frac{1}{14} & \frac{3}{14} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \\ -\frac{1}{14} & \frac{3}{14} \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $A^2 - A + I = 0$
બંને બાજુથી $I$ બાદ કરતા: $A^2 - A = -I$
ડાબી બાજુથી $A$ સામાન્ય લેતા: $A(A - I) = -I$
બંને બાજુ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા: $A^{-1}A(A - I) = A^{-1}(-I)$
કારણ કે $A^{-1}A = I$, તેથી: $I(A - I) = -A^{-1}$
$A - I = -A^{-1}$
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા: $A^{-1} = -(A - I) = I - A$

(D) પગલું $1$: $A^{-1}$ શોધો. આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $\det(A) = (3)(-1) - (-4)(1) = -3 + 4 = 1$। તેથી, $A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$।
પગલું $2$: $(A^{-1})^2$ ની ગણતરી કરો. $(A^{-1})^2 = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 8 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$।
પગલું $3$: $(A^{-1})^2 + B$ ની ગણતરી કરો. $\begin{bmatrix} -3 & 8 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & -13 \\ 5 & -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$।
પગલું $4$: સમીકરણ સંહતિ $\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ને ઉકેલો. આનો અર્થ એ છે કે $3x - 5y = 0$, અથવા $3x = 5y$। વિકલ્પોમાંથી, માત્ર $(5, 3)$ એ $3(5) = 5(3)$ નું સમાધાન કરે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$, જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ ની બીજી હારનો $A^{-1}$ ના ત્રીજા સ્તંભ સાથે ગુણાકાર કરતા $I$ નો $(2, 3)$ ઘટક મળે છે, જે $0$ છે.
$(1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times y) + (3 \times \frac{1}{2}) = 0 \implies \frac{1}{2} + 2y + \frac{3}{2} = 0 \implies 2 + 2y = 0 \implies y = -1$.
$A$ ની ત્રીજી હારનો $A^{-1}$ ના પ્રથમ સ્તંભ સાથે ગુણાકાર કરતા $I$ નો $(3, 1)$ ઘટક મળે છે, જે $0$ છે.
$(3 \times \frac{1}{2}) + (x \times -4) + (1 \times \frac{5}{2}) = 0 \implies \frac{3}{2} - 4x + \frac{5}{2} = 0 \implies 4 - 4x = 0 \implies x = 1$.
કાર્તેઝિયન યામ $(1, -1)$ છે.
ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ માટે, $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
બિંદુ $(1, -1)$ ચોથા ચરણમાં હોવાથી, $\theta = \arctan(\frac{y}{x}) = \arctan(-1) = \frac{7\pi}{4}$.
આમ, ધ્રુવીય યામ $(\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4})$ છે.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 + pq & p & 0 \\ q & 1 + pq & p \\ 0 & q & 1 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ, નિશ્ચાયક $|A| = (1+pq)((1+pq)(1) - pq) - p(q(1) - 0) + 0 = (1+pq)(1) - pq = 1 + pq - pq = 1$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $|A| = 1$ છે, તેથી વ્યસ્ત $A^{-1}$ એ સહઅવયજ શ્રેણિક $adj(A)$ છે.
સહઅવયવો $C_{ij}$ નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = (1+pq)(1) - pq = 1$, $C_{12} = -(q - 0) = -q$, $C_{13} = q^2 - 0 = q^2$.
$C_{21} = -(p - 0) = -p$, $C_{22} = (1+pq) - 0 = 1+pq$, $C_{23} = -(q(1+pq) - 0) = -(q+pq^2)$.
$C_{31} = p^2 - 0 = p^2$, $C_{32} = -(p(1+pq) - 0) = -(p+p^2q)$, $C_{33} = (1+pq)^2 - pq = 1 + 2pq + p^2q^2 - pq = 1 + pq + p^2q^2$.
આમ, $A^{-1} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -p & p^2 \\ -q & 1 + pq & -(p + p^2q) \\ q^2 & -(q + pq^2) & 1 + pq + p^2q^2 \end{bmatrix}$.

(D) પગલું $1$: શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો.
$|A| = 2((-3)(1) - (1)(2)) - (-1)((4)(1) - (1)(1)) + 4((4)(2) - (-3)(1))$
$|A| = 2(-5) + 1(3) + 4(11) = -10 + 3 + 44 = 37$.
પગલું $2$: વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $3$: એડજોઈન્ટ શ્રેણિકના $(3,3)$ સ્થાન પરનો ઘટક એ સહઅવયવ $C_{33}$ છે.
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = (1)((2)(-3) - (-1)(4)) = -6 + 4 = -2$.
પગલું $4$: કારણ કે $B = A^{-1} = \frac{1}{37} \text{adj}(A)$, તેથી $B$ માં $(3,3)$ પરનો ઘટક $\frac{C_{33}}{37} = \frac{-2}{37}$ છે.
આપેલ શ્રેણિક $B$ સાથે સરખામણી કરતા, આપણને $k = -2$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો. $|A| = (1)(4) - (-5)(-2) = 4 - 10 = -6$।
પગલું $2$: $A$ નો એડજોઈન્ટ (adjoint) શોધો. $2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે, એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે।
પગલું $3$: તેથી, $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$।
પગલું $4$: સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરો।
પગલું $5$: $A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \sec \theta & -\tan \theta \\ -\tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix}$।
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે, $\text{adj } A = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી, $\text{adj } A = \begin{bmatrix} \sec \theta & \tan \theta \\ \tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $A + \text{adj } A = 4I$, જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} \sec \theta & -\tan \theta \\ -\tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sec \theta & \tan \theta \\ \tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા: $\begin{bmatrix} 2 \sec \theta & 0 \\ 0 & 2 \sec \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા: $2 \sec \theta = 4 \implies \sec \theta = 2$.
કારણ કે $\sec \theta = 2$, તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે, $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) પગલું $1$: $\det(A)$ ની ગણતરી કરો. $A$ એ અપર ટ્રાયંગ્યુલર મેટ્રિક્સ હોવાથી, $\det(A) = (2k - 1)^3$ થાય.
પગલું $2$: $\det(\text{adj } A)$ ની ગણતરી કરો. આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(\text{adj } A) = (\det A)^{n-1}$ થાય. અહીં $n=3$ છે, તેથી $\det(\text{adj } A) = ((2k - 1)^3)^2 = (2k - 1)^6$ થાય.
પગલું $3$: $\det(B)$ ની ગણતરી કરો. $B$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક મેટ્રિક્સ છે. એકી કક્ષાના સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક મેટ્રિક્સનો નિશ્ચાયક $0$ હોય છે. તેથી, $\det(B) = 0$ થાય.
પગલું $4$: $\det(\text{adj } B)$ ની ગણતરી કરો. $\det(B) = 0$ હોવાથી, $\det(\text{adj } B) = (\det B)^{3-1} = 0^2 = 0$ થાય.
પગલું $5$: સમીકરણ $(2k - 1)^6 + 0 = 11^6$ ઉકેલો. આનો અર્થ એ છે કે $(2k - 1)^6 = 11^6$, તેથી $2k - 1 = 11$ અથવા $2k - 1 = -11$ થાય.
પગલું $6$: જો $2k - 1 = 11$ હોય, તો $2k = 12$, તેથી $k = 6$ મળે. ત્યારે $k - 5 = 6 - 5 = 1$ થાય.
પગલું $7$: જો $2k - 1 = -11$ હોય, તો $2k = -10$, તેથી $k = -5$ મળે. ત્યારે $k - 5 = -5 - 5 = -10$ (વિકલ્પોમાં નથી).
તેથી, કિંમત $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A(adj A) = |A|I$, જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$.
તેથી, $A(adj A) = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
વળી, $A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$.
$AA^T = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 9 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 13 \end{bmatrix}$.
$A(adj A) = AA^T$ ને સરખાવતા:
$10a + 3b = 13$ ($(2,2)$ ઘટક પરથી).
વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો માટે, $15a - 2b = 0$, તેથી $b = \frac{15a}{2}$.
$b$ ની કિંમત $10a + 3b = 13$ માં મૂકતા:
$10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13 \implies 10a + \frac{45a}{2} = 13 \implies \frac{20a + 45a}{2} = 13 \implies 65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$.
તેથી $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
આમ, $5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે, $\text{adj}(\text{adj } A) = |A|^{n-2} A$ થાય છે.
વળી, એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $B = \text{adj } A$ છે, તેથી $B^{-1} = (\text{adj } A)^{-1} = \frac{1}{|A|} A$ થાય.
સૌ પ્રથમ, નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = \cos \alpha (\cos \alpha - 0) - (-\sin \alpha)(\sin \alpha - 0) + 0 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
કારણ કે $|A| = 1$ છે, તેથી $B = \text{adj } A$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \text{adj } A = |A| I = I$ થાય છે.
તેથી, $\text{adj } A = A^{-1}$.
માટે, $B = A^{-1}$.
તેથી $B^{-1} = (A^{-1})^{-1} = A$ થાય.

(B) પગલું $1$: શ્રેણિક $A$ બનાવો. $i, j \in \{1, 2, 3\}$ માટે, જો $i+j$ બેકી હોય તો $a_{ij} = 1$ અને જો $i+j$ એકી હોય તો $a_{ij} = 0$ છે.
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
પગલું $2$: નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો.
$|A| = 1(1-0) - 0(0-0) + 1(0-1) = 1 - 1 = 0$।
પગલું $3$: સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ ની ગણતરી કરો:
$C_{11} = 1, C_{12} = 0, C_{13} = -1, C_{21} = 0, C_{22} = 0, C_{23} = 0, C_{31} = -1, C_{32} = 0, C_{33} = 1$।
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) પગલું $1$: આપણે જાણીએ છીએ કે $adj(A^{-1}) = adj((A^{-1})) = \frac{1}{\det(A)} A$ થાય.
પગલું $2$: $\det(A)$ ની ગણતરી કરો. $A$ એ ઉપરનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક હોવાથી, $\det(A) = (-1) \times (2) \times (-1) = 2$ થાય.
પગલું $3$: તેથી, $adj(A^{-1}) = \frac{1}{2} A = \begin{bmatrix} -0.5 & 1012.5 & 1013 \\ 0 & 1 & 1013.5 \\ 0 & 0 & -0.5 \end{bmatrix}$ થાય.
પગલું $4$: તમામ ઘટકોનો સરવાળો = $-0.5 + 1012.5 + 1013 + 0 + 1 + 1013.5 + 0 + 0 - 0.5 = 3039$ થાય.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, $A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$.
તેથી, $A^{-3} = \begin{bmatrix} \cos(-3\theta) & -\sin(-3\theta) \\ \sin(-3\theta) & \cos(-3\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(3\theta) & \sin(3\theta) \\ -\sin(3\theta) & \cos(3\theta) \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $\theta = \pi/6$, તેથી $3\theta = 3(\pi/6) = \pi/2$.
કિંમત મૂકતા, $A^{-3} = \begin{bmatrix} \cos(\pi/2) & \sin(\pi/2) \\ -\sin(\pi/2) & \cos(\pi/2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે $AB = C$। ડાબી બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા, આપણને $B = A^{-1}C$ મળે છે. બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા, $B^{-1} = (A^{-1}C)^{-1} = C^{-1}A$।
સૌ પ્રથમ, $C^{-1}$ શોધો. નિશ્ચાયક $|C| = (7 \times 6) - (3 \times 0) = 42$। એડજોઈન્ટ $adj(C) = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$। તેથી, $C^{-1} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$।
હવે, $B^{-1} = C^{-1}A = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$।
$B^{-1} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} (6 \times 3) + (-3 \times -1) & (6 \times 1) + (-3 \times 2) \\ (0 \times 3) + (7 \times -1) & (0 \times 1) + (7 \times 2) \end{bmatrix} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 21 & 0 \\ -7 & 14 \end{bmatrix}$।
આને સાદું રૂપ આપતા: $B^{-1} = \frac{7}{42} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$।
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) અમે ગુણધર્મ $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ, $A^{-1}$ શોધો. આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$, $|A| = (2)(-2) - (3)(5) = -4 - 15 = -19$ છે.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-19} \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$ છે.
હવે, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/5 & 2/5 \\ 2/5 & -1/5 \end{bmatrix} \times \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$ છે.
$= \frac{1}{5 \times 19} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \frac{1}{95} \begin{bmatrix} (1)(2)+(2)(5) & (1)(3)+(2)(-2) \\ (2)(2)+(-1)(5) & (2)(3)+(-1)(-2) \end{bmatrix}$ છે.
$= \frac{1}{95} \begin{bmatrix} 12 & -1 \\ -1 & 8 \end{bmatrix}$ છે.

(D) પગલું $1$: આપેલ છે $XA = B^T$, જમણી બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા: $X = B^T A^{-1}$ મળે.
પગલું $2$: આપેલ છે $A^{-1}Y = B$, તેથી $Y = AB$ મળે.
પગલું $3$: $XY = (B^T A^{-1})(AB) = B^T (A^{-1}A) B = B^T I B = B^T B$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: $B^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ છે.
પગલું $5$: $XY = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = (1 \times 1) + (0 \times 0) + (1 \times 1) = 1 + 0 + 1 = [2]$.

(A) પગલું $1$: $2A = 2 \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 14 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: $3B = 3 \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: $2A + 3B = \begin{bmatrix} 6-3 & 0 & 0 \\ 0 & -10+6 & 0 \\ 0 & 0 & 14+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 26 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: વિકર્ણ શ્રેણિક $D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3)$ નો વ્યસ્ત $D^{-1} = \text{diag}(1/d_1, 1/d_2, 1/d_3)$ થાય.
પગલું $5$: તેથી, $(2A + 3B)^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & -1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 1/26 \end{bmatrix}$ મળે.

(D) પગલું $1$: $a_{ij} = |2i - 5j|$ નો ઉપયોગ કરીને શ્રેણિક $A$ બનાવો.
$A = \begin{pmatrix} 3 & 8 & 13 \\ 1 & 6 & 11 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}$.
પગલું $2$: નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો.
$|A| = 3(54 - 44) - 8(9 - 11) + 13(4 - 6) = 30 + 16 - 26 = 20$.
પગલું $3$: $A^{-1}$ ની બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભનો ઘટક $\frac{C_{32}}{|A|}$ છે, જ્યાં $C_{32}$ એ $a_{32}$ નો સહઅવયવ છે.
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 3 & 13 \\ 1 & 11 \end{vmatrix} = -1(33 - 13) = -20$.
પગલું $4$: ઘટક $= \frac{-20}{20} = -1$.

(A) ધારો કે $t = \tan(\theta/2)$ છે. તો $A = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$ છે. નિશ્ચાયક $|A| = 1 + t^2$ છે.
$A^{-1} = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix}$ છે.
હવે, $A^{-1}B = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1-t^2 & 2t \\ -2t & 1-t^2 \end{bmatrix}$ છે.
નિત્યસમ $\cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ અને $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $A^{-1}B = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: વિધાન $I$ સત્ય છે કારણ કે અસામાન્ય શ્રેણિક માટે, $|A| \neq 0$ હોય છે, જે પ્રતિલોમ શ્રેણિક $A^{-1}$ ના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી અને પૂરતી શરત છે.
પગલું $2$: વિધાન $II$ સત્ય છે. આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત છે, તેથી $A' = A$ અને $B' = B$ થાય. $(AB - BA)$ નો પરિવર્ત (transpose) લેતા:
$(AB - BA)' = (AB)' - (BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA)$ મળે.
કારણ કે $(AB - BA)$ નો પરિવર્ત તેની ઋણ કિંમત છે, તેથી $(AB - BA)$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(A) પગલું $1$: શ્રેણિક $A$ ના એડજોઈન્ટ (adjoint) નો મૂળભૂત ગુણધર્મ $A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = |A|I$ છે, જ્યાં $|A|$ એ $A$ નો નિશ્ચાયક છે અને $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(A)$ જણાવે છે કે $A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = AI$ છે. આ ખોટું છે કારણ કે તેમાં નિશ્ચાયક અવયવ $|A|$ નો અભાવ છે.
પગલું $3$: વિકલ્પ $(B)$ એ સાચું નિત્યસમ છે. વિકલ્પ $(C)$ એ શ્રેણિકોના ગુણાકારના વ્યસ્ત માટેનો પ્રમાણિત ઉલટાવવાનો નિયમ છે. વિકલ્પ $(D)$ એ શ્રેણિક વ્યસ્ત હોવા માટેની શરત છે.
પગલું $4$: તેથી, ખોટું વિધાન $(A)$ છે.