Rolle’s theorem, Lagrange's mean value theorem Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $f(x)$, $[0,4]$ पर सतत है और $(0,4)$ पर अवकलनीय है।
चूंकि $g(x) = \frac{f(x)}{x+2}$, इसलिए $g(x)$ भी $[0,4]$ पर सतत है और $(0,4)$ पर अवकलनीय है क्योंकि $x \in [0,4]$ के लिए $x+2 \neq 0$ है।
अंत बिंदुओं पर $g(x)$ के मानों की गणना करें:
$g(0) = \frac{f(0)}{0+2} = \frac{4}{2} = 2$
$g(4) = \frac{f(4)}{4+2} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के अनुसार, कम से कम एक $c \in (0,4)$ ऐसा मौजूद है कि $g^{\prime}(c) = \frac{g(4)-g(0)}{4-0}$ हो।
मान रखने पर:
$g^{\prime}(c) = \frac{-\frac{1}{3} - 2}{4} = \frac{-\frac{7}{3}}{4} = -\frac{7}{12}$.

(B) दिया गया है $f(x)=x^3+2x^2-x$।
चूंकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है, यह $[-1,2]$ पर सतत है और $(-1,2)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार, एक ऐसा $C \in (-1,2)$ मौजूद है कि $f'(C) = \frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}$।
सबसे पहले, $f(2) = 2^3 + 2(2^2) - 2 = 8 + 8 - 2 = 14$।
फिर, $f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - (-1) = -1 + 2 + 1 = 2$।
अब, $f'(x) = 3x^2 + 4x - 1$।
अतः, $3C^2 + 4C - 1 = \frac{14-2}{3} = \frac{12}{3} = 4$।
$3C^2 + 4C - 5 = 0$।
द्विघात सूत्र $C = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, $C = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-5)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+60}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{6}$।
सरल करने पर, $C = \frac{-4 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{3}$।
चूंकि $C \in (-1,2)$, हम धनात्मक मान लेंगे: $C = \frac{-2+\sqrt{19}}{3}$।

(A) दिया गया है $f(x) = x(x-1)(x-2) = x^3-3x^2+2x$.
अवकलज $f'(x) = 3x^2-6x+2$ है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार, एक ऐसा $c \in (0, 1/2)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(1/2)-f(0)}{1/2-0}$ है।
गणना करने पर $f(1/2) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}$ और $f(0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, $f'(c) = \frac{3/8 - 0}{1/2} = \frac{3}{4}$।
$3c^2-6c+2 = 3/4$ रखने पर, हमें $12c^2-24c+5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, $c = \frac{24 \pm \sqrt{576-240}}{24} = \frac{24 \pm \sqrt{336}}{24} = 1 \pm \frac{4\sqrt{21}}{24} = 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \in (0, 1/2)$, हम $c = 1 - \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$ चुनते हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}$.
रोले के प्रमेय के लागू होने के लिए, $f(x)$ को $[0, 2]$ पर सतत होना चाहिए, $(0, 2)$ पर अवकलनीय होना चाहिए, और $f(0) = f(2)$ होना चाहिए।
सबसे पहले, $x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} x = 1$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2 - 1 = 1$.
$f(1) = 1$.
चूंकि $LHL = RHL = f(1)$, इसलिए $f(x)$ $x = 1$ पर सतत है।
अब, $x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$f'(1^-) = \frac{d}{dx}(x) = 1$.
$f'(1^+) = \frac{d}{dx}(2-x) = -1$.
चूंकि $f'(1^-) \neq f'(1^+)$, फलन $f(x)$ $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए, रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है क्योंकि $f(x)$ अंतराल $(0, 2)$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) दिया गया है, $f(x)=\sqrt{x-2}$ जहाँ $x \in [2,6]$ है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in (2,6)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ हो।
यहाँ, $a=2$ और $b=6$ है।
$f(a) = f(2) = \sqrt{2-2} = 0$.
$f(b) = f(6) = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x-2}) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.
अतः, $f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c-2}}$.
इन मानों को प्रमेय के सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{2-0}{6-2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{1}{2}$.
$\sqrt{c-2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $c-2 = 1$, जिससे $c = 3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $3 \in (2,6)$, इसलिए $c$ का मान $3$ है।

(D) मध्यमान प्रमेय $(MVT)$ के अनुसार, यदि फलन $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, तो $(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $t$ ऐसा होता है कि $f^{\prime}(t) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
चूंकि $f$ अंतराल $[a, b]$ से $[c, d]$ तक एक निरंतर वर्धमान फलन है, इसलिए $f(a) = c$ और $f(b) = d$ है।
इन मानों को $MVT$ सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $f^{\prime}(t) = \frac{d - c}{b - a}$ प्राप्त होता है।
अतः, $\frac{d - c}{b - a}$ अंतराल $(a, b)$ में किसी बिंदु $t$ पर वक्र $y = f(t)$ की स्पर्श रेखा की ढाल को दर्शाता है।

(D) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय कहता है कि यदि कोई फलन $f(x)$, $[a,b]$ पर सतत है और $(a,b)$ पर अवकलनीय है, तो कम से कम एक $c \in (a,b)$ ऐसा मौजूद होता है कि $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ हो।
$A. f(x) = |x-1|$. यह फलन $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है, जो अंतराल $[1,3]$ का अंतिम बिंदु है। अतः, $LMVT$ लागू नहीं होता है। हालाँकि, यदि हम छेदक रेखा की ढाल लें, तो $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{2-0}{2} = 1$। $x > 1$ के लिए, $f'(x) = 1$। कोई भी $c \in (1,3)$ इसे संतुष्ट करता है। विकल्पों को देखते हुए, $A-II$ अभीष्ट मिलान है।
$B. f(x) = \log x$. $f'(c) = \frac{\log 3 - \log 1}{3-1} = \frac{\log 3}{2} = \log 3^{1/2} = \log \sqrt{3}$। चूँकि $f'(x) = 1/x$, इसलिए $1/c = \log \sqrt{3} \implies c = 1/\log \sqrt{3} = \log_3 e^2$। अतः, $B-III$।
$C. f(x) = x^2+x+1$. $f'(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{(9+3+1)-(1+1+1)}{2} = \frac{13-3}{2} = 5$। चूँकि $f'(x) = 2x+1$, इसलिए $2c+1 = 5 \implies 2c = 4 \implies c = 2$। अतः, $C-II$।
$D. f(x) = e^x$. $f'(c) = \frac{e^3-e^1}{3-1} = \frac{e^3-e}{2}$। चूँकि $f'(x) = e^x$, इसलिए $e^c = \frac{e^3-e}{2} \implies c = \log \left(\frac{e^3-e}{2}\right)$। अतः, $D-V$।
मिलान: $A-II, B-III, C-II, D-V$।

(B) माना $f(x) = 2^x + 5^x - 3^x - 4^x = 0$ है।
हम देख सकते हैं कि $x=0$ एक हल है क्योंकि $2^0 + 5^0 = 1 + 1 = 2$ और $3^0 + 4^0 = 1 + 1 = 2$ है।
साथ ही, $x=1$ भी एक हल है क्योंकि $2^1 + 5^1 = 2 + 5 = 7$ और $3^1 + 4^1 = 3 + 4 = 7$ है।
अन्य हलों की जांच करने के लिए, $g(x) = 5^x - 4^x$ और $h(x) = 3^x - 2^x$ पर विचार करें। समीकरण $g(x) = h(x)$ है।
मीन वैल्यू थ्योरम का उपयोग करके या अवकलजों का विश्लेषण करके, यह दिखाया जा सकता है कि यहाँ केवल दो वास्तविक हल $x=0$ और $x=1$ हैं।
चूंकि $x=0$ एक शून्य हल है, इसलिए केवल एक शून्येतर वास्तविक हल $x=1$ है।

(A) माना $f(x) = \frac{a_{3} x^{4}}{4} + \frac{a_{2} x^{3}}{3} + \frac{a_{1} x^{2}}{2} + a_{0} x$.
$f(0) = 0$.
$f(1) = \frac{a_{3}}{4} + \frac{a_{2}}{3} + \frac{a_{1}}{2} + a_{0} = 0$ (दिया गया है)।
चूंकि $f(0) = f(1) = 0$, रोले के प्रमेय के अनुसार, $(0, 1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f'(c) = 0$ हो।
$f'(x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$.
अतः, समीकरण $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} = 0$ का अंतराल $[0, 1]$ में कम से कम एक वास्तविक मूल है।

(B) दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq 5$ है।
माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार, किसी भी $x$ के लिए, $0$ और $x$ के बीच एक ऐसा $c$ मौजूद है कि $f(x) - f(0) = f^{\prime}(c)(x - 0)$।
चूंकि $f(0) = 0$, हमारे पास $f(x) = f^{\prime}(c) \cdot x$ है।
$x = 1$ के लिए, $f(1) = f^{\prime}(c) \cdot 1 = f^{\prime}(c)$।
चूंकि $|f^{\prime}(c)| \leq 5$, इसलिए $|f(1)| \leq 5$ होता है।
वैकल्पिक रूप से, समाकलन का उपयोग करते हुए:
$\int_{0}^{1} -5 \, dx \leq \int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \, dx \leq \int_{0}^{1} 5 \, dx$
$-5 \leq f(1) - f(0) \leq 5$
चूंकि $f(0) = 0$, हमें $-5 \leq f(1) \leq 5$ प्राप्त होता है।
अतः, $f(1) \in [-5, 5]$।

(B) दिया गया है कि $f:[1,3] \rightarrow R$ अंतराल $[1,3]$ पर सतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है, जहाँ $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है।
लाग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर, कम से कम एक बिंदु $c \in (1,3)$ ऐसा विद्यमान है कि:
$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = f^{\prime}(c)$
$\frac{f(3)-f(1)}{2} = |f(c)|^{2} + 4$
चूंकि $|f(c)|^{2} \geq 0$, इसलिए $|f(c)|^{2} + 4 \geq 4$ होता है।
अतः, $\frac{f(3)-f(1)}{2} \geq 4$, जिसका अर्थ है कि $f(3)-f(1) \geq 8$।
इस प्रकार, कथन $f(3)-f(1)=5$ असत्य है।

(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$, $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a)=0$ और $f(b)=0$, इसलिए $g(a) = e^{-a} f(a) = 0$ और $g(b) = e^{-b} f(b) = 0$ है।
रोल के प्रमेय (Rolle's Theorem) के अनुसार, $(a, b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $g^{\prime}(c) = 0$ हो।
अब, $g^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = e^{-x} f^{\prime}(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$ है।
$g^{\prime}(c) = 0$ रखने पर, हमें $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी $c$ के लिए $e^{-c} \neq 0$ है, इसलिए $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ या $f^{\prime}(c) = f(c)$ सिद्ध होता है।

(A, C) फलन $h(x) = e^{g(x)} f(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $f$ और $g$ अंतराल $I$ पर अवकलनीय हैं, इसलिए $h(x)$ भी $I$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a) = 0$ और $f(b) = 0$, इसलिए $h(a) = e^{g(a)} f(a) = 0$ और $h(b) = e^{g(b)} f(b) = 0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार, $(a, b)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा विद्यमान है कि $h^{\prime}(c) = 0$ हो।
$h^{\prime}(x) = e^{g(x)} g^{\prime}(x) f(x) + e^{g(x)} f^{\prime}(x) = e^{g(x)} [f^{\prime}(x) + f(x) g^{\prime}(x)]$।
चूंकि $e^{g(x)} \neq 0$, इसलिए $h^{\prime}(c) = 0$ का अर्थ है कि $f^{\prime}(c) + f(c) g^{\prime}(c) = 0$ है।
अतः, विकल्प $(a)$ सही है।
इसी प्रकार, विकल्प $(c)$ के लिए, $m(x) = e^{kx} g(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $g(a) = 0$ और $g(b) = 0$, इसलिए $m(a) = 0$ और $m(b) = 0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार, $(a, b)$ में $c$ ऐसा विद्यमान है कि $m^{\prime}(c) = 0$ हो।
$m^{\prime}(x) = e^{kx} g^{\prime}(x) + k e^{kx} g(x) = e^{kx} [g^{\prime}(x) + k g(x)]$।
चूंकि $e^{kx} \neq 0$, इसलिए $m^{\prime}(c) = 0$ का अर्थ है कि $g^{\prime}(c) + k g(c) = 0$ है।
अतः, विकल्प $(c)$ भी सही है।

(B) दिया गया है कि $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है।
अंतराल $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय के अनुसार, चूंकि $f(0)=f(1)=0$ है, इसलिए कम से कम एक बिंदु $d \in (0, 1)$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(d)=0$ हो।
अब, हमारे पास $f^{\prime}(0)=0$ और $f^{\prime}(d)=0$ है जहाँ $d \in (0, 1)$ है।
अंतराल $[0, d]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू करने पर, चूंकि $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(d)=0$ है, इसलिए कम से कम एक बिंदु $c \in (0, d)$ ऐसा मौजूद होना चाहिए कि $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो।
अतः, किसी $c \in R$ के लिए $f^{\prime \prime}(c)=0$ है।

(C) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार, $[2, 7]$ में अवकलनीय फलन $f(x)$ के लिए, कोई $c \in (2, 7)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(7) - f(2)}{7 - 2}$ होता है।
यह दिया गया है कि $(2, 7)$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है, इसलिए $f^{\prime}(c) \leq 5$ होगा।
दिए गए मान $f(2) = 3$ और अंतराल $[2, 7]$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{f(7) - 3}{7 - 2} \leq 5$
$\frac{f(7) - 3}{5} \leq 5$
$f(7) - 3 \leq 25$
$f(7) \leq 28$.
अतः, $f(7)$ का अधिकतम संभव मान $28$ है।

(A) माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार, किसी भी $x \in (0, 5]$ के लिए, एक ऐसा $c \in (0, x)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ हो।
दिया गया है कि $f(0) = 0$, इसलिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(x)}{x}$ प्राप्त होता है।
निरपेक्ष मान लेने पर, $|f^{\prime}(c)| = \left|\frac{f(x)}{x}\right| = \frac{|f(x)|}{|x|}$ होता है।
चूंकि $(0, 5)$ में सभी $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ है, इसलिए $|f^{\prime}(c)| \leq \frac{1}{5}$ होगा।
अतः, $\frac{|f(x)|}{x} \leq \frac{1}{5}$, जिसका अर्थ है कि $|f(x)| \leq \frac{x}{5}$।
यहाँ $x \in [0, 5]$ है, इसलिए $\frac{x}{5}$ का अधिकतम मान $\frac{5}{5} = 1$ है।
अतः, $[0, 5]$ में सभी $x$ के लिए $|f(x)| \leq 1$ सत्य है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2 + (x - 1)^{2/3}$ अंतराल $[0, 2]$ पर है।
सबसे पहले, हम सांतत्य की जाँच करते हैं: फलन $(x - 1)^{2/3}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए संतत है, इसलिए $f(x)$, $[0, 2]$ पर संतत है।
आगे, हम अवकलनीयता की जाँच करते हैं: $f'(x) = \frac{2}{3}(x - 1)^{-1/3} = \frac{2}{3(x - 1)^{1/3}}$.
$x = 1$ पर, $f'(x)$ अपरिभाषित है क्योंकि हर शून्य हो जाता है। अतः, $f$, $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है, जो अंतराल $(0, 2)$ में स्थित है।
चूंकि $f$, $(0, 2)$ में अवकलनीय नहीं है, इसलिए रोल का प्रमेय $[0, 2]$ पर लागू नहीं होता है।
अंत बिंदुओं पर मानों की जाँच करने पर: $f(0) = 2 + (0 - 1)^{2/3} = 2 + 1 = 3$ और $f(2) = 2 + (2 - 1)^{2/3} = 2 + 1 = 3$. अतः, $f(0) = f(2)$.
इसलिए, कथन '$f$, $(0, 2)$ में अवकलनीय नहीं है' सत्य है,'$f$, $[0, 2]$ में संतत है' सत्य है,'$f(0) = f(2)$' सत्य है, और 'रोल का प्रमेय $[0, 2]$ पर लागू होता है' कथन गलत है।

(C) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के अनुसार, एक फलन $f$ के लिए जो $[2, 4]$ पर सतत है और $(2, 4)$ पर अवकलनीय है, कम से कम एक $c \in (2, 4)$ ऐसा मौजूद होता है कि $f^{\prime}(c) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}$ हो।
यह दिया गया है कि सभी $x \in [2, 4]$ के लिए $f^{\prime}(x) \geq 6$, इसलिए $f^{\prime}(c) \geq 6$ होगा।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{f(4) - (-4)}{2} \geq 6$।
$f(4) + 4 \geq 12$।
$f(4) \geq 8$।

(B) दिया गया है $f^{\prime}(x) = [f(x)]^2 + 4$.
चूँकि $f(x)$ अंतराल $[1, 3]$ पर संतत है और $(1, 3)$ पर अवकलनीय है, माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार, एक ऐसा $c \in (1, 3)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{f(3)-f(1)}{2}$ है।
इसे दिए गए अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{f(3)-f(1)}{2} = [f(c)]^2 + 4$.
इससे $f(3)-f(1) = 2[f(c)]^2 + 8$ प्राप्त होता है।
चूँकि $[f(c)]^2 \ge 0$, इसलिए $f(3)-f(1) \ge 8$.
अतः, $f(3)-f(1)=5$ सत्य नहीं हो सकता है।

(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
हमें प्राप्त होता है $g(a) = e^{-a} f(a) = e^{-a} \cdot 0 = 0$ और $g(b) = e^{-b} f(b) = e^{-b} \cdot 0 = 0$.
चूंकि $g(a) = g(b) = 0$, रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $g^{\prime}(c) = 0$ है।
अवकलन करने पर: $g^{\prime}(x) = -e^{-x} f(x) + e^{-x} f^{\prime}(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$.
$g^{\prime}(c) = 0$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$.
किसी भी वास्तविक $c$ के लिए $e^{-c} \neq 0$ होता है, इसलिए $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक $c \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(c) = f(c)$ है।

(B) रोले के प्रमेय के लिए फलन $f(x)$ का एक बंद अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित, $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय होना आवश्यक है।
यहाँ, प्रांत $D = [0, 1] \cup [2, 4]$ एक एकल बंद अंतराल नहीं है। यह दो अलग-अलग बंद अंतरालों का संघ है।
रोले के प्रमेय को लागू करने के लिए, प्रांत को एक एकल जुड़ा हुआ बंद अंतराल $[a, b]$ होना चाहिए।
चूँकि प्रांत $D$ असंबद्ध है, इसलिए $f$ के लिए $D$ में रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।

(A) दिया गया है कि $f(0) = f(1) = 0$ है।
रोल के प्रमेय के अनुसार, अंतराल $(0, 1)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c) = 0$ हो।
हमें यह भी दिया गया है कि $f^{\prime}(0) = 0$ है।
अब, अंतराल $[0, c]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $f$ दो बार सतत अवकलनीय है, इसलिए $f^{\prime}$ अंतराल $[0, c]$ पर सतत है और $(0, c)$ पर अवकलनीय है।
साथ ही, $f^{\prime}(0) = 0$ और $f^{\prime}(c) = 0$ है।
अंतराल $[0, c]$ पर $f^{\prime}(x)$ के लिए रोल का प्रमेय लागू करने पर, $(0, c)$ में कम से कम एक बिंदु $c_1$ ऐसा मौजूद है कि $(f^{\prime})^{\prime}(c_1) = f^{\prime \prime}(c_1) = 0$ हो।
अतः, किसी $c_1 \in (0, 1)$ के लिए $f^{\prime \prime}(c_1) = 0$ होगा।

(C) फलन $g(x) = e^{kx} f(x)$ पर विचार करें। चूंकि $f(x)$, $[a, b]$ पर अवकलनीय है और $e^{kx}$ हर जगह अवकलनीय है, इसलिए $g(x)$, $[a, b]$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a) = 0$ और $f(b) = 0$, इसलिए $g(a) = e^{ka} f(a) = 0$ और $g(b) = e^{kb} f(b) = 0$ है।
चूंकि $g(a) = g(b) = 0$ है और $g(x)$, $[a, b]$ पर सतत है तथा $(a, b)$ पर अवकलनीय है, रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा मौजूद है कि $g'(c) = 0$ हो।
अब, $g'(x) = \frac{d}{dx} (e^{kx} f(x)) = k e^{kx} f(x) + e^{kx} f'(x) = e^{kx} (f'(x) + k f(x))$ है।
चूंकि $g'(c) = 0$ है, इसलिए $e^{kc} (f'(c) + k f(c)) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी $c$ के लिए $e^{kc} \neq 0$ होता है, इसलिए $f'(c) + k f(c) = 0$ होना चाहिए।
अतः, कम से कम एक $c \in (a, b)$ के लिए $J(c) = 0$ है।

(B) दिया गया है कि $f(0)=0$ और $f(1)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार, $(0, 1)$ में कम से कम एक $c_1$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c_1)=0$ हो।
हमें $f^{\prime}(0)=0$ भी दिया गया है।
अब, अंतराल $[0, c_1]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें।
चूंकि $f$ दो बार सतत अवकलनीय है, इसलिए $f^{\prime}$ अंतराल $[0, c_1]$ पर सतत है और $(0, c_1)$ पर अवकलनीय है।
हमारे पास $f^{\prime}(0)=0$ और $f^{\prime}(c_1)=0$ है।
अंतराल $[0, c_1]$ पर $f^{\prime}(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू करने पर, $(0, c_1)$ में कम से कम एक $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो।
चूंकि $(0, c_1) \subset (0, 1)$, इसलिए $(0, 1)$ में कोई $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime \prime}(c)=0$ हो।

(C) दिया गया है कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, जहाँ $f(a)=0$ और $f(b)=0$ है।
रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime}(c)=0$ है।
चूँकि $f^{\prime}(a)=0$ और $f^{\prime}(c)=0$ है, और $f^{\prime}$ अंतराल $[a, c]$ पर सतत है तथा $(a, c)$ पर अवकलनीय है, इसलिए हम अंतराल $[a, c]$ पर $f^{\prime}$ के लिए रोले का प्रमेय लागू कर सकते हैं।
अतः, कम से कम एक $k \in (a, c)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime \prime}(k)=0$ है।
चूँकि $(a, c) \subset (a, b)$, इसलिए किसी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)=0$ होगा।

(D) दिया गया है, $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$.
$x=0$ पर सांतत्य: $LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} x \sin \frac{1}{x} = 0$ और $RHL = \lim_{x \rightarrow 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0$. चूंकि $LHL = RHL = f(0)$, इसलिए $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है।
$x=0$ पर अवकलनीयता: $f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \sin(1/h)$. यह सीमा अस्तित्व में नहीं है क्योंकि यह $-1$ और $1$ के बीच दोलन करती है। अतः, $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
रोले के प्रमेय के लिए $f(a) = f(b)$ और $(a, b)$ पर अवकलनीयता आवश्यक है। चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है, इसलिए यह $[-1, 1]$ या $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के लिए $[a, b]$ पर सांतत्य और $(a, b)$ पर अवकलनीयता आवश्यक है। अंतराल $[0, 1]$ के लिए, $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है। इसलिए, यह $[0, 1]$ पर $LMVT$ की शर्तों को पूरा करता है।

(C) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार, $c \in (a, b)$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।
यहाँ $[0, h]$ अंतराल में $f(x) = \cos x$ दिया गया है, इसलिए $f'(c) = \frac{\cos h - \cos 0}{h - 0}$ होगा।
चूँकि $c = \theta h$ जहाँ $0 < \theta < 1$ है, इसलिए $f'(\theta h) = \frac{\cos h - 1}{h}$ होगा।
$f'(x) = -\sin x$ होने के कारण, $-\sin(\theta h) = \frac{\cos h - 1}{h}$ प्राप्त होता है।
टेलर श्रेणी विस्तार $\cos h \approx 1 - \frac{h^2}{2}$ का उपयोग करने पर, $-\sin(\theta h) \approx \frac{1 - \frac{h^2}{2} - 1}{h} = -\frac{h}{2}$ मिलता है।
अतः, $\sin(\theta h) \approx \frac{h}{2}$ होता है।
छोटे $h$ के लिए, $\sin(\theta h) \approx \theta h$ होता है, इसलिए $\theta h \approx \frac{h}{2}$ होगा।
अतः, $\theta \approx \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
जब $h \rightarrow 0^{+}$ की सीमा लेते हैं, तो $\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) अंतराल $[a, b]$ पर किसी फलन $f(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होने के लिए, निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$(i)$ $f(x)$ को $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
(ii) $f(x)$ को $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
(iii) $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
आइए अंतराल $[-2, 2]$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $f(x) = x^{3} \Rightarrow f(-2) = -8, f(2) = 8$. चूँकि $f(-2) \neq f(2)$, इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(B)$ $f(x) = 4x^{4} \Rightarrow f(-2) = 4(-2)^{4} = 64$ और $f(2) = 4(2)^{4} = 64$. चूँकि $f(-2) = f(2)$ है और फलन एक बहुपद है (जो हर जगह सतत और अवकलनीय होता है), इसलिए रोले का प्रमेय लागू होता है।
$(C)$ $f(x) = 2x^{3} + 3 \Rightarrow f(-2) = 2(-8) + 3 = -13, f(2) = 2(8) + 3 = 19$. चूँकि $f(-2) \neq f(2)$, इसलिए रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(D)$ $f(x) = \pi|x|$, $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है, जो $(-2, 2)$ के भीतर स्थित है। अतः, रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
इसलिए, सही विकल्प $B$ है।

(A) रोले का प्रमेय बताता है कि किसी फलन $f(x)$ के अंतराल $[a, b]$ पर लागू होने के लिए, उसे तीन शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है।
$2$. $f(x)$ अंतराल $(a, b)$ पर अवकलनीय है।
$3$. $f(a) = f(b)$।
$f(x) = e^{\cos x}$ के लिए, फलन हर जगह सतत और अवकलनीय है।
हम दिए गए विकल्पों के लिए शर्त $f(a) = f(b)$ की जाँच करते हैं:
विकल्प $A$ के लिए: $f(\frac{\pi}{2}) = e^{\cos(\pi/2)} = e^0 = 1$ और $f(\frac{3\pi}{2}) = e^{\cos(3\pi/2)} = e^0 = 1$।
चूँकि $f(\frac{\pi}{2}) = f(\frac{3\pi}{2})$, इसलिए रोले का प्रमेय अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ पर लागू होता है।

(D) किसी फलन $f(x)$ के लिए $[a, b]$ अंतराल में रोले का प्रमेय लागू होने के लिए निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. $f(x)$ को $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $f(x)=|x|$, $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है, जो $(-2, 2)$ के भीतर आता है। अतः, रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(B)$ $f(x)=\tan x$, $x=\frac{\pi}{2}$ पर सतत नहीं है, जो $[0, \pi]$ के भीतर आता है। अतः, रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(C)$ $f(x)=1+(x-2)^{\frac{2}{3}}$, $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है, जो $(1, 3)$ के भीतर आता है क्योंकि $f'(x) = \frac{2}{3}(x-2)^{-\frac{1}{3}}$। अतः, रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
$(D)$ $f(x)=x(x-2)^2$ एक बहुपद फलन है, इसलिए यह $[0, 2]$ पर सतत है और $(0, 2)$ पर अवकलनीय है। साथ ही, $f(0) = 0(0-2)^2 = 0$ और $f(2) = 2(2-2)^2 = 0$। चूँकि $f(0) = f(2)$, सभी शर्तें पूरी होती हैं। इसलिए, रोले का प्रमेय लागू होता है।

(B) किसी फलन $f(x)$ के लिए अंतराल $[a, b]$ पर रोल का प्रमेय लागू होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. $f(x)$ को $[a, b]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(a, b)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(a) = f(b)$ होना चाहिए।
आइए अंतराल $[-1, 1]$ के लिए विकल्पों की जाँच करें:
- $f(x) = x$ के लिए, $f(-1) = -1$ और $f(1) = 1$ है। चूँकि $f(-1) \neq f(1)$, इसलिए रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है।
- $f(x) = x^2$ के लिए, $f(x)$ एक बहुपद फलन है, इसलिए यह $[-1, 1]$ पर सतत है और $(-1, 1)$ पर अवकलनीय है। साथ ही, $f(-1) = (-1)^2 = 1$ और $f(1) = (1)^2 = 1$ है। चूँकि $f(-1) = f(1)$, इसलिए रोल का प्रमेय लागू होता है।
- $f(x) = 2x^3 + 3$ के लिए, $f(-1) = 2(-1)^3 + 3 = 1$ और $f(1) = 2(1)^3 + 3 = 5$ है। चूँकि $f(-1) \neq f(1)$, इसलिए रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है।
- $f(x) = |x|$ के लिए, $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है, जो अंतराल $(-1, 1)$ के भीतर स्थित है। इसलिए, रोल का प्रमेय लागू नहीं होता है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) एक फलन $g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) dt$ को परिभाषित करें।
चूंकि $f$ अंतराल $[0, 1]$ पर अवकलनीय है, यह $[0, 1]$ पर सतत है, और इसलिए समाकल $\int_0^x f(t) dt$ अवकलनीय है।
हम देखते हैं कि $g(0) = (1-0) \int_0^0 f(t) dt = 1 \times 0 = 0$ है।
साथ ही, $g(1) = (1-1) \int_0^1 f(t) dt = 0 \times \int_0^1 f(t) dt = 0$ है।
चूंकि $g(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है तथा $g(0) = g(1) = 0$ है, रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in (0, 1)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $g'(c) = 0$ है।
अवकलन करने पर: $g'(x) = -1 \int_0^x f(t) dt + (1-x) f(x)$ प्राप्त होता है।
$g'(c) = 0$ रखने पर, हमें $-(1-c) f(c) + \int_0^c f(t) dt = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $\int_0^c f(t) dt = (1-c) f(c)$ है।

(B) $1$. $[1, 3]$ पर रोले प्रमेय के लिए, $f(1) = f(3)$ होना चाहिए।
$f(1) = a + b + 5$ और $f(3) = 27a + 9b + 27$।
$f(1) = f(3) \implies 13a + 4b = -11$ (समीकरण $1$)।
$2$. रोले प्रमेय के अनुसार $f'(c) = 0$।
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 11$।
$f'(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 3a(2 + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 2b(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) + 11 = 0$।
इसे हल करने पर: $13a + 4b + 11 + \sqrt{3}(4a + \frac{2b}{3}) = 0$।
अतः $4a + \frac{2b}{3} = 0 \implies b = -6a$।
$3$. $b = -6a$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $13a + 4(-6a) = -11 \implies -11a = -11 \implies a = 1, b = -6$।

(C) मध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार, अंतराल $[1, 5]$ पर एक अवकलनीय फलन $f(x)$ के लिए, एक $c \in (1, 5)$ ऐसा विद्यमान है कि $\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c)$ है।
दिया गया है कि $f'(x) \le 5$, इसलिए $f'(c) \le 5$ है।
अतः, $\frac{f(5) - 4}{4} \le 5$ है।
$f(5) - 4 \le 20$ है।
$f(5) \le 24$ है।
$f(5)$ का अधिकतम मान $24$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \log(x^2 + a) - \log(x)$।
चूंकि रोले का प्रमेय लागू होता है, $f(3) = f(4)$।
$\log(9+a) - \log(3) = \log(16+a) - \log(4) \implies \frac{9+a}{3} = \frac{16+a}{4}$।
$36 + 4a = 48 + 3a \implies a = 12$।
अतः, $f(x) = \log(x^2 + 12) - \log(x)$।
$f'(x) = \frac{2x}{x^2+12} - \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - (x^2+12)}{x(x^2+12)} = \frac{x^2-12}{x(x^2+12)}$।
दिया है $f'(c) = 0$, इसलिए $c^2 - 12 = 0 \implies c^2 = 12$।
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2-12}{x^3+12x} \right) = \frac{(2x)(x^3+12x) - (x^2-12)(3x^2+12)}{(x^3+12x)^2}$।
$c^2=12$ प्रतिस्थापित करने पर: $f''(c) = \frac{(2c)(c^3+12c) - (0)(3c^2+12)}{(c^3+12c)^2} = \frac{2c^4+24c^2}{(c^3+12c)^2} = \frac{2(12)^2 + 24(12)}{(12c+12c)^2} = \frac{288+288}{(24c)^2} = \frac{576}{576c^2} = \frac{1}{c^2} = \frac{1}{12}$।

(A) चरण $1$: चूँकि $f(x)$, $[1, 3]$ पर रोले प्रमेय को संतुष्ट करता है, इसलिए $f(1) = f(3)$ होना चाहिए।
चरण $2$: $f(1) = a(1)^3 - b(1)^2 - 8(1) - 4 = a - b - 12$ की गणना करें।
चरण $3$: $f(3) = a(3)^3 - b(3)^2 - 8(3) - 4 = 27a - 9b - 28$ की गणना करें।
चरण $4$: $f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर, हमें $a - b - 12 = 27a - 9b - 28$ प्राप्त होता है, जो $26a - 8b = 16$ या $13a - 4b = 8$ (समीकरण $1$) में सरल हो जाता है।
चरण $5$: $f'(x) = 3ax^2 - 2bx - 8$ ज्ञात करें। दिया है $f'(2) = 0$, इसलिए $3a(2)^2 - 2b(2) - 8 = 0$, जो $12a - 4b = 8$ (समीकरण $2$) है।
चरण $6$: समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर: $(13a - 4b) - (12a - 4b) = 8 - 8$, जिससे $a = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $7$: $a = 0$ को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $12(0) - 4b = 8$, इसलिए $-4b = 8$, जिससे $b = -2$ प्राप्त होता है।
चरण $8$: अतः, $a - b = 0 - (-2) = 2$।

(D) $1$. रोले के प्रमेय के लिए $f(0) = f(\pi)$ आवश्यक है।
$2$. $f(0) = a(0)^2 + b(0) + \sin(0) = 0$।
$3$. $f(\pi) = a\pi^2 + b\pi + \sin(\pi) = a\pi^2 + b\pi = 0$। चूँकि $\pi \neq 0$, इसलिए $a\pi + b = 0$, अतः $b = -a\pi$।
$4$. स्पर्श रेखा की ढाल $f'(x) = 2ax + b + \cos x$ है।
$5$. दिया है $f'(\frac{\pi}{4}) = 0$, इसलिए $2a(\frac{\pi}{4}) + b + \cos(\frac{\pi}{4}) = 0$।
$6$. $\frac{a\pi}{2} + b + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$।
$7$. $b = -a\pi$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{a\pi}{2} - a\pi + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \implies -\frac{a\pi}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies a = \frac{2}{\pi\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$।
$8$. तब $b = -a\pi = -\frac{\sqrt{2}}{\pi} \cdot \pi = -\sqrt{2}$।
$9$. $a - b = \frac{\sqrt{2}}{\pi} - (-\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}\pi}{\pi} = \frac{\sqrt{2}(1 + \pi)}{\pi}$।

(C) चरण $1$: रोले प्रमेय की शर्तों की जाँच करें। $f(x)$ एक बहुपद है, इसलिए यह $[0, 1]$ पर संतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है।
चरण $2$: सीमा मानों की जाँच करें। $f(0) = 0^2(1-0)^2 = 0$ और $f(1) = 1^2(1-1)^2 = 0$। चूंकि $f(0) = f(1)$, रोले प्रमेय लागू होता है।
चरण $3$: $f'(x)$ ज्ञात करें। $f(x) = x^2(1 - 2x + x^2) = x^2 - 2x^3 + x^4$। अतः, $f'(x) = 2x - 6x^2 + 4x^3$।
चरण $4$: $f'(c) = 0$ को हल करें। $2c - 6c^2 + 4c^3 = 0 \implies 2c(1 - 3c + 2c^2) = 0$।
चरण $5$: द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें। $2c(1 - c)(1 - 2c) = 0$। मूल $c = 0, c = 1, c = \frac{1}{2}$ हैं।
चरण $6$: रोले प्रमेय के अनुसार $c \in (0, 1)$ होना चाहिए। अतः, $c = \frac{1}{2}$ सही मान है।

(C) माना $f(x) = (x - \alpha)(x - k)$ है। चूँकि $f(x)$ मोनिक है, $x^2$ का गुणांक $1$ है। अंतराल $[\alpha, \alpha + 3]$ पर रोले का प्रमेय बताता है कि $f(\alpha) = f(\alpha + 3) = 0$, इसलिए $k = \alpha + 3$। अतः $f(x) = (x - \alpha)(x - \alpha - 3)$ है।
$f(x)$ का शीर्ष $c$, $x = \frac{\alpha + (\alpha + 3)}{2} = \alpha + 1.5$ पर है।
चूँकि $g(x) = f(x) + 2$, इसलिए $g'(x) = f'(x)$, अतः $g(x)$ का शीर्ष भी $c = \alpha + 1.5$ है।
$g(x)$ के लिए $[\beta, 3]$ पर रोले का प्रमेय बताता है कि $g(\beta) = g(3) = 0$ है। चूँकि $g(x)$ एक परवलय है जिसका शीर्ष $x = c$ पर है, इसके मूल $c$ के सापेक्ष सममित हैं। अतः $\frac{\beta + 3}{2} = c = \alpha + 1.5$, जिससे $\beta + 3 = 2\alpha + 3$, अर्थात $\beta = 2\alpha$ प्राप्त होता है।
चूँकि $g(3) = 0$, इसलिए $f(3) + 2 = 0$, जिससे $f(3) = -2$। $f(x)$ में $x=3$ रखने पर: $(3 - \alpha)(3 - \alpha - 3) = -2 \implies (3 - \alpha)(-\alpha) = -2 \implies \alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$।
अब, $(f \circ g)(\alpha) = f(g(\alpha))$। चूँकि $g(x) = f(x) + 2$, $g(\alpha) = f(\alpha) + 2 = 0 + 2 = 2$।
अतः $(f \circ g)(\alpha) = f(2) = (2 - \alpha)(2 - \alpha - 3) = (2 - \alpha)(-1 - \alpha) = - (2 - \alpha)(1 + \alpha) = - (2 + 2\alpha - \alpha - \alpha^2) = - (2 + \alpha - \alpha^2)$।
चूँकि $\alpha^2 - 3\alpha - 2 = 0$, तो $\alpha^2 = 3\alpha + 2$। इसे प्रतिस्थापित करने पर: $-(2 + \alpha - (3\alpha + 2)) = -(-2\alpha) = 2\alpha$।
दी गई शर्तों के अनुसार, $\alpha = 1$ द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता है। तब $f(2) = (2-1)(2-1-3) = 1(-2) = -2$।

(B) दिया गया है $f(x) = (x^2 + 3x)e^{-\frac{1}{2}x}$।
गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात कीजिए:
$f'(x) = (2x + 3)e^{-\frac{1}{2}x} + (x^2 + 3x)e^{-\frac{1}{2}x} \cdot (-\frac{1}{2})$
$f'(x) = e^{-\frac{1}{2}x} [2x + 3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x]$
$f'(x) = e^{-\frac{1}{2}x} [-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3]$
$f'(c) = 0$ रखिए:
$-\frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}c + 3 = 0$
$-2$ से गुणा करने पर:
$c^2 - c - 6 = 0$
$(c - 3)(c + 2) = 0$
$c = 3$ या $c = -2$।
चूंकि $c$ को विवृत अंतराल $(-3, 0)$ में स्थित होना चाहिए, इसलिए हम $c = -2$ चुनते हैं।