Line Questions in Hindi

(C) दी गई रेखाएँ $\frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-2}{-3}$ और $\frac{x+2}{2} = \frac{y-6}{4} = \frac{z-5}{-5}$ हैं।
रेखा $1$ के लिए, बिंदु $P_1 = (4, 3, 2)$ और दिशा सदिश $\vec{v}_1 = (1, 2, -3)$ है।
रेखा $2$ के लिए, बिंदु $P_2 = (-2, 6, 5)$ और दिशा सदिश $\vec{v}_2 = (2, 4, -5)$ है।
दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाला सदिश $\vec{P_1P_2} = (-2-4, 6-3, 5-2) = (-6, 3, 3)$ है।
दिशा सदिशों का क्रॉस गुणनफल $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10+12) - \hat{j}(-5+6) + \hat{k}(4-4) = (2, -1, 0)$ है।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$ है।
डॉट गुणनफल की गणना: $|(-6, 3, 3) \cdot (2, -1, 0)| = |-12 - 3 + 0| = |-15| = 15$.
क्रॉस गुणनफल के परिमाण की गणना: $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$.
अतः, $d = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$.

(A) $1$. बिंदु $P(0, -5, 0)$ और रेखा $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-2} = \lambda$ के लिए, लंबपाद $F_1$ $(2\lambda+1, \lambda, -2\lambda-1)$ है। सदिश $\vec{PF_1} = (2\lambda+1, \lambda+5, -2\lambda-1)$ है। चूंकि $\vec{PF_1} \cdot (2, 1, -2) = 0$, हमें $2(2\lambda+1) + 1(\lambda+5) - 2(-2\lambda-1) = 0$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $9\lambda + 9 = 0$ हो जाता है, इसलिए $\lambda = -1$। अतः $F_1 = (-1, -1, 1)$। प्रतिबिंब $R = 2F_1 - P = 2(-1, -1, 1) - (0, -5, 0) = (-2, 3, 2)$।
$2$. बिंदु $Q(0, -1/2, 0)$ और रेखा $L_2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y+9}{4} = \frac{z+1}{1} = \mu$ के लिए, लंबपाद $F_2$ $(-\mu+1, 4\mu-9, \mu-1)$ है। सदिश $\vec{QF_2} = (-\mu+1, 4\mu-8.5, \mu-1)$ है। चूंकि $\vec{QF_2} \cdot (-1, 4, 1) = 0$, हमें $1(\mu-1) + 16\mu - 34 + \mu - 1 = 0$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $18\mu - 36 = 0$ हो जाता है, इसलिए $\mu = 2$। अतः $F_2 = (-1, -1, 1)$। प्रतिबिंब $S = 2F_2 - Q = 2(-1, -1, 1) - (0, -0.5, 0) = (-2, -1.5, 2)$।
$3$. सदिश: $\vec{PQ} = (0, 4.5, 0)$ और $\vec{PS} = (-2, 3.5, 2)$।
$4$. समांतर चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल = $|\vec{PQ} \times \vec{PS}| = |(0, 4.5, 0) \times (-2, 3.5, 2)| = |(9, 0, 9)| = \sqrt{81 + 0 + 81} = \sqrt{162}$।
$5$. क्षेत्रफल का वर्ग = $162$।

(B) चरण $1$: सदिश गुणनफल $v = a \times b = (2i + j + 2k) \times (3i - 4j)$ की गणना करें।
$v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & -4 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-8)) - j(0 - 6) + k(-8 - 3) = 8i + 6j - 11k$।
चरण $2$: रेखा $(0, 0, 0)$ और $(4, 3, c)$ से गुजरती है। रेखा का दिशा सदिश $(4, 3, c)$ के समानुपाती है। चूँकि रेखा $v = (8, 6, -11)$ के समानांतर है, हमारे पास $(4, 3, c) = k(8, 6, -11)$ है।
चरण $3$: घटकों की तुलना करने पर, $4 = 8k \implies k = 1/2$। तब $3 = 6k$ (संगत) और $c = -11k = -11(1/2) = -5.5$।
चरण $4$: रेखा $(0, 0, 0)$ से गुजरती है और दिशा अनुपात $(8, 6, -11)$ है। कार्तीय समीकरण $x/8 = y/6 = z/-11$ है।

(C) माना रेखाएँ $L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4} = \lambda$ और $L_2: \frac{x - 2}{1} = \frac{y + m}{2} = \frac{z - 2}{1} = \mu$ हैं।
प्रतिच्छेदन के लिए, रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी शून्य होनी चाहिए।
न्यूनतम दूरी का सूत्र: $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$।
यहाँ $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (2, -m, 2)$ है।
$\begin{vmatrix} 2-1 & -m-(-1) & 2-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} 1 & 1-m & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$।
$1(3-8) - (1-m)(2-4) + 1(4-3) = 0 \implies -5 + 2(1-m) + 1 = 0 \implies -4 + 2 - 2m = 0 \implies -2 - 2m = 0 \implies m = -1$।

(C) चरण $1$: रेखाओं के प्रतिच्छेदन की स्थिति ज्ञात करें। रेखाओं पर बिंदु $(2\lambda + 1, 3\lambda - 1, 4\lambda + 1)$ और $(\mu + 3, 2\mu + c, \mu)$ मानिए।
चरण $2$: निर्देशांकों को बराबर करने पर: $2\lambda + 1 = \mu + 3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(i)$, $3\lambda - 1 = 2\mu + c \implies 3\lambda - 2\mu = c + 1$ (ii), $4\lambda + 1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (iii)।
चरण $3$: $(i)$ और (iii) को हल करने पर: (iii) में से $(i)$ घटाने पर $2\lambda = -3 \implies \lambda = -1.5$ प्राप्त होता है। तब $\mu = 4(-1.5) + 1 = -5$।
चरण $4$: $\lambda, \mu$ का मान (ii) में रखने पर: $3(-1.5) - 2(-5) = c + 1 \implies -4.5 + 10 = c + 1 \implies 5.5 = c + 1 \implies c = 4.5 = \frac{9}{2}$।
चरण $5$: वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x + 10y + 4.5 = 0$ है। $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c' = 0$ से तुलना करने पर, $g = -2, f = 5, c' = 4.5$ है।
चरण $6$: त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c'} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 - 4.5} = \sqrt{4 + 25 - 4.5} = \sqrt{24.5} = \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$।

(D) पहली रेखा के लिए: $\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 3}{-1} = k$ और $z = 1$। अतः, $x = 3k + 3, y = -k + 3, z = 1$।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x - 6}{2} = \frac{z - 1}{3} = m$ और $y = 2$। अतः, $x = 2m + 6, y = 2, z = 3m + 1$।
प्रतिच्छेदन के लिए निर्देशांकों को बराबर करने पर: $y = -k + 3 = 2 \implies k = 1$। पहली रेखा में $k=1$ रखने पर $(x, y, z) = (3(1)+3, -1+3, 1) = (6, 2, 1)$ प्राप्त होता है।
दूसरी रेखा की जाँच करने पर: $y = 2$ संतुष्ट है। $x = 6, z = 1$ के लिए: $6 = 2m + 6 \implies m = 0$ और $1 = 3(0) + 1 \implies 1 = 1$। दोनों संतुष्ट हैं।
अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 2, 1)$ है।

(A) रेखा $1$, $A(0, 0, 0)$ और $B(2, 0, 3)$ से गुजरती है। दिशा सदिश $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{k}$ है। समीकरण: $\vec{r} = \lambda(2\hat{i} + 3\hat{k})$।
रेखा $2$, $C(2, 5, 0)$ और $D(0, 4, 0)$ से गुजरती है। दिशा सदिश $\vec{b_2} = -2\hat{i} - \hat{j}$ है। समीकरण: $\vec{r} = (2\hat{i} + 5\hat{j}) + \mu(-2\hat{i} - \hat{j})$।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$।
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$।
परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = 7$ है।
अदिश गुणन $(2\hat{i} + 5\hat{j}) \cdot (3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}) = -24$ है।
दूरी $d = \frac{|-24|}{7} = \frac{24}{7}$ इकाई।

(D) माना दी गई रेखा $L: \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{-1} = k$ है। रेखा $L$ पर कोई बिंदु $Q(2k - 1, 3k + 3, -k - 2)$ है।
$PQ$ के दिक अनुपात $(2k - 3, 3k + 6, -k - 3)$ हैं।
चूँकि $PQ \perp L$, दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य है:
$2(2k - 3) + 3(3k + 6) - 1(-k - 3) = 0 \implies 14k + 15 = 0 \implies k = -\frac{15}{14}$।
$PQ$ के दिक अनुपात $(2(-\frac{15}{14}) - 3, 3(-\frac{15}{14}) + 6, -(-\frac{15}{14}) - 3) = (-\frac{72}{14}, \frac{39}{14}, -\frac{27}{14})$ हैं।
इन्हें $-\frac{14}{3}$ से गुणा करने पर, दिक अनुपात $(24, -13, 9)$ प्राप्त होते हैं।
सही दिक अनुपात $(-24, 13, -9)$ हैं। अतः समीकरण $\frac{x - 2}{-24} = \frac{y + 3}{13} = \frac{z - 1}{-9}$ है, जो विकल्प $D$ है।

(A) माना पहली रेखा $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z - 1}{-1} = \lambda$ है। इस रेखा पर कोई बिंदु $(3+\lambda, 5+2\lambda, 1-\lambda)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x - 4}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 4}{2} = \mu$ है। इस रेखा पर कोई बिंदु $(4+2\mu, 2-\mu, 4+2\mu)$ है।
प्रतिच्छेदन के लिए, निर्देशांक समान होने चाहिए:
$3+\lambda = 4+2\mu \implies \lambda - 2\mu = 1$ $(i)$
$5+2\lambda = 2-\mu \implies 2\lambda + \mu = -3$ (ii)
समीकरण (ii) को $2$ से गुणा करने पर: $4\lambda + 2\mu = -6$ (iii)
$(i)$ और (iii) को जोड़ने पर: $5\lambda = -5 \implies \lambda = -1$।
$(i)$ में $\lambda = -1$ रखने पर: $-1 - 2\mu = 1 \implies -2\mu = 2 \implies \mu = -1$।
$z$-निर्देशांक की जाँच: $1 - (-1) = 2$ और $4 + 2(-1) = 2$। चूँकि $2 = 2$, रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु: $(3+(-1), 5+2(-1), 1-(-1)) = (2, 3, 2)$।

(D) चरण $1$: रेखाओं को सममित रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा $2x = 3y = -z$ के लिए, $6$ से भाग दें: $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$। दिशा सदिश $\vec{v_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
चरण $2$: दूसरी रेखा $6x = -y = -4z$ के लिए, $12$ से भाग दें: $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$। दिशा सदिश $\vec{v_2} = 2\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
चरण $3$: सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ का उपयोग करें।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$।
चरण $4$: चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है, रेखाएं लंबवत हैं, अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) दिए गए समीकरण $x = ay + b$ और $z = cy + d$ हैं।
पहले समीकरण से, $x - b = ay \implies \frac{x - b}{a} = y$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण से, $z - d = cy \implies \frac{z - d}{c} = y$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर, हमें $\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(C) चरण $1$: दोनों रेखाओं के लिए बिंदु और सदिश ज्ञात करें।
रेखा $1$: $\vec{a_1} = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$, $\vec{b_1} = 7\hat{i} - 6\hat{j} + \hat{k}$।
रेखा $2$: $\vec{a_2} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$, $\vec{b_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$।
चरण $2$: $\vec{a_2} - \vec{a_1} = 4\hat{i} + 6\hat{j} + 8\hat{k}$ की गणना करें।
चरण $3$: $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -4\hat{i} - 6\hat{j} - 8\hat{k}$ की गणना करें।
चरण $4$: परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$ की गणना करें।
चरण $5$: न्यूनतम दूरी $p = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{116}{2\sqrt{29}} = 2\sqrt{29}$।
चरण $6$: चूँकि $\sqrt{29} \approx 5.385$, $p = 10.77$। अतः, $[p] = 10$।

(D) $P(1, -1, 2)$ और $Q(2, 0, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-(-1)}{0-(-1)} = \frac{z-2}{1-2} = k$ है, जो $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{-1} = k$ के रूप में सरल होता है।
अतः, रेखा पर कोई भी बिंदु $(k+1, k-1, -k+2)$ है।
$XY$-समतल पर बिंदु $A$ के लिए, $z$-निर्देशांक $0$ है: $-k+2 = 0 \implies k = 2$। अतः, $A = (2+1, 2-1, 0) = (3, 1, 0)$।
$YZ$-समतल पर बिंदु $B$ के लिए, $x$-निर्देशांक $0$ है: $k+1 = 0 \implies k = -1$। अतः, $B = (-1+1, -1-1, -(-1)+2) = (0, -2, 3)$।
दूरी $AB = \sqrt{(3-0)^2 + (1-(-2))^2 + (0-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$।

(C) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $\vec{a_1} = 4\hat{i} - \hat{j}$, $\vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$, $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$, और $\vec{b_2} = \hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -3\hat{i} + 2\hat{k}$ है।
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = 2\sqrt{3}$ है।
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = -2$ है।
अतः $d = \left| \frac{-2}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(B) रेखाएं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ द्वारा दी गई हैं।
यहाँ, $\vec{a_1} = 3\hat{i} + 8\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b_1} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{a_2} = -3\hat{i} - 7\hat{j} + 6\hat{k}$, $\vec{b_2} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|36 + 225 + 9|}{3\sqrt{30}} = \frac{270}{3\sqrt{30}} = 3\sqrt{30}$ है।

(A) $X$-अक्ष के दिक अनुपात $(1, 0, 0)$ होते हैं।
चूंकि रेखा $X$-अक्ष के समांतर है, इसलिए इसके दिक अनुपात भी $(1, 0, 0)$ होंगे।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
बिंदु $(0, 1, 1)$ और दिक अनुपात $(1, 0, 0)$ रखने पर, हमें $\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{0}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है, जबकि $y - 1 = 0$ और $z - 1 = 0$ है।
अतः, समीकरण $y = 1$ और $z = 1$ हैं।

(D) माना कि दी गई दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$ और $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
चूँकि अभीष्ट रेखा दोनों पर लंबवत है, इसका दिक्-सदिश $\vec{v}$, $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ के बराबर होगा।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(-4 - 1) + \hat{k}(4 + 3) = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$।
$\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ है।
अतः दिक्-कोज्याएँ $\pm \frac{4}{3\sqrt{10}}, \pm \frac{5}{3\sqrt{10}}, \pm \frac{7}{3\sqrt{10}}$ हैं।

(B) माना बिंदु $A(7, p, 2)$, $B(q, -2, 5)$, $C(2, -3, 5)$, और $D(-6, -15, 11)$ हैं।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(q - 7, -2 - p, 5 - 2) = (q - 7, -2 - p, 3)$ हैं।
रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(-6 - 2, -15 - (-3), 11 - 5) = (-8, -12, 6)$ हैं।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं, इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{q - 7}{-8} = \frac{-2 - p}{-12} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
$\frac{q - 7}{-8} = \frac{1}{2}$ से, हमें $q - 7 = -4$ प्राप्त होता है, अतः $q = 3$।
$\frac{-2 - p}{-12} = \frac{1}{2}$ से, हमें $-2 - p = -6$ प्राप्त होता है, अतः $p = 4$।
अतः, $p = 4$ और $q = 3$।

(D) रेखा के दिए गए समीकरण $x = 4z + 3$ और $y = -3z + 2$ हैं।
इन्हें $z$ के पदों में पुनः लिखने पर: $\frac{x - 3}{4} = z$ और $\frac{y - 2}{-3} = z$।
अतः, रेखा का सममित रूप $\frac{x - 3}{4} = \frac{y - 2}{-3} = \frac{z - 0}{1}$ है।
रेखा के दिक्-अनुपात $(a, b, c) = (4, -3, 1)$ हैं।
दिक्-सदिश का परिमाण $\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$ है।
दिक्-कोज्याएँ $\cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{26}}$, $\cos \beta = \frac{-3}{\sqrt{26}}$, और $\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{26}}$ हैं।
इन मानों का योग: $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{4 - 3 + 1}{\sqrt{26}} = \frac{2}{\sqrt{26}}$।

(A) $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ होते हैं।
$(2, 1, 4)$ और $(a - 1, 4, -1)$ को मिलाने वाली पहली रेखा के दिक्-अनुपात $(a - 1 - 2, 4 - 1, -1 - 4) = (a - 3, 3, -5)$ हैं।
$(0, 2, b - 1)$ और $(5, 3, -2)$ को मिलाने वाली दूसरी रेखा के दिक्-अनुपात $(5 - 0, 3 - 2, -2 - (b - 1)) = (5, 1, -1 - b)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं, उनके दिक्-अनुपात समानुपाती होने चाहिए: $\frac{a - 3}{5} = \frac{3}{1} = \frac{-5}{-1 - b}$।
$\frac{a - 3}{5} = 3$ से, हमें $a - 3 = 15$ प्राप्त होता है, अतः $a = 18$।
$\frac{3}{1} = \frac{-5}{-1 - b}$ से, हमें $3(-1 - b) = -5$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $-3 - 3b = -5$, अतः $-3b = -2$, और $b = \frac{2}{3}$।
अतः $a$ और $b$ के मान क्रमशः $18$ और $\frac{2}{3}$ हैं।

(D) एक बिंदु $\vec{p}$, रेखा $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ पर स्थित होता है यदि $\vec{p} - \vec{a}$, $\vec{b}$ के समांतर हो, अर्थात किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{p} - \vec{a} = k\vec{b}$ हो।
दिया है $\vec{p} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{a} = 6\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$।
$\vec{p} - \vec{a} = (4-6)\hat{i} + (-11 - (-4))\hat{j} + (2-5)\hat{k} = -2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$।
विकल्प $(D)$ के लिए, $\vec{b} = 2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$।
चूंकि $\vec{p} - \vec{a} = -1(2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = -1\vec{b}$, सदिश $\vec{p} - \vec{a}$, $\vec{b}$ के समांतर है।
अतः, बिंदु विकल्प $(D)$ में दी गई रेखा पर स्थित है।

(C) $1$. एक बिंदु $\vec{a}$ से होकर जाने वाली और $\vec{b}$ सदिश के समांतर रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ होता है।
$2$. दिया गया बिंदु $(4, -2, 3)$ है, अतः $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$3$. $XZ$-समतल के लंबवत रेखा $Y$-अक्ष के समांतर होती है।
$4$. $Y$-अक्ष का दिशा सदिश $\hat{j}$ है। अतः, $\vec{b} = \hat{j}$।
$5$. इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें $\vec{r} = (4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{j})$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x - 5}{5m + 2} = \frac{y - 2}{-5} = \frac{z - 1}{1}$। दिशा सदिश $\vec{v_1} = (5m + 2, -5, 1)$ है।
चरण $2$: दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x}{1} = \frac{y + 1/2}{2m} = \frac{z - 1}{3}$। दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, 2m, 3)$ है।
चरण $3$: चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं, उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$(5m + 2)(1) + (-5)(2m) + (1)(3) = 0$।
चरण $4$: $m$ के लिए हल करें: $5m + 2 - 10m + 3 = 0$।
$-5m + 5 = 0 \implies 5m = 5 \implies m = 1$।

(C) दो रेखाएँ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ प्रतिच्छेद करती हैं यदि $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 0$ हो।
यहाँ, $\vec{a_2} - \vec{a_1} = (4-1)\hat{i} + (1-m)\hat{j} + (0-3)\hat{k} = 3\hat{i} + (1-m)\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & m & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 4m) - \hat{j}(2 - 20) + \hat{k}(2m - 15) = (3-4m)\hat{i} + 18\hat{j} + (2m-15)\hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल लेने पर: $3(3-4m) + (1-m)(18) - 3(2m-15) = 0$।
$9 - 12m + 18 - 18m - 6m + 45 = 0$।
$-36m + 72 = 0$।
$36m = 72 \implies m = 2$।

(B) माना बिंदु $P$, बिंदुओं $A(3, 5, -7)$ और $B(-2, 1, 8)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, $P$ के निर्देशांक $(\frac{-2k+3}{k+1}, \frac{k+5}{k+1}, \frac{8k-7}{k+1})$ हैं।
चूंकि $P$, $YOZ$ समतल पर स्थित है, इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$\frac{-2k+3}{k+1} = 0 \implies -2k+3 = 0 \implies k = \frac{3}{2}$।
$k = \frac{3}{2}$ को $y$ और $z$ निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \frac{\frac{3}{2} + 5}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{13/2}{5/2} = \frac{13}{5}$।
$z = \frac{8(\frac{3}{2}) - 7}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{12 - 7}{5/2} = \frac{5}{5/2} = 2$।
अतः, बिंदु $(0, \frac{13}{5}, 2)$ है।

(A) चरण $1$: कार्तीय समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
चरण $2$: $2y - 3z + 7 = 0$ से, $2y = 3z - 7$ प्राप्त होता है, जिसे $\frac{y - (-7/2)}{3} = \frac{z - 0}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चरण $3$: चूँकि $x = 2$, रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = (2\hat{i} - \frac{7}{2}\hat{j}) + \lambda(0\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k})$ होगा।
चरण $4$: विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर विकल्प $A$ है।

(D) चरण $1$: दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों की पहचान करें। पहली रेखा का दिशा सदिश $\vec{b_1} = -1\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$ है और दूसरी रेखा का दिशा सदिश $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
चरण $2$: अदिश गुणनफल $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (-1)(1) + (1)(1) + (-2)(-2) = -1 + 1 + 4 = 4$ की गणना करके लंबवतता की जाँच करें। चूँकि अदिश गुणनफल $0$ नहीं है, रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।
चरण $3$: प्रतिच्छेदन की जाँच करें। दोनों रेखाएँ बिंदु $(1, -2, z)$ से गुजरती हैं। पहली रेखा के लिए, $x=1, y=-2$ पर, $z=3$ है। दूसरी रेखा के लिए, $x=1, y=-2$ पर, $z=-1$ है। चूँकि रेखाएँ एक ही बिंदु $(1, -2, z)$ से तभी गुजरती हैं यदि $z$ मान समान हों, जो कि नहीं हैं, इसलिए वे विषमतलीय (skew) रेखाएँ हैं।

(D) रेखाओं के दिए गए समीकरण $2x = ky = -z$ और $6x = -y = -4z$ हैं।
पहली रेखा को सममित रूप में लिखें: $\frac{x}{1/2} = \frac{y}{1/k} = \frac{z}{-1}$। दिक अनुपात $\vec{a} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{k}, -1)$ हैं।
दूसरी रेखा को सममित रूप में लिखें: $\frac{x}{1/6} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-1/4}$। दिक अनुपात $\vec{b} = (\frac{1}{6}, -1, -\frac{1}{4})$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं, उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
$(\frac{1}{2})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{k})(-1) + (-1)(-\frac{1}{4}) = 0$।
$\frac{1}{12} - \frac{1}{k} + \frac{1}{4} = 0$।
$\frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{k}$।
$\frac{4}{12} = \frac{1}{k} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{k}$।
अतः, $k = 3$।

(C) चरण $1$: संरेखता स्थिति का उपयोग करके $q$ ज्ञात करें। सदिश $q\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$, $4\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ के संरेख है, इसलिए $\frac{q}{4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$। अतः, $q = 4 \times \frac{1}{2} = 2$।
चरण $2$: रेखाएँ $\vec{r} = (1, 1, -1) + \lambda(2, -2, 1)$ और $\vec{r} = (p, -3, 2) + \mu(1, -2, 2)$ हैं।
चरण $3$: प्रतिच्छेदन के लिए, $(1+2\lambda, 1-2\lambda, -1+\lambda) = (p+\mu, -3-2\mu, 2+2\mu)$।
चरण $4$: $y$ और $z$ निर्देशांकों की तुलना करने पर: $1-2\lambda = -3-2\mu \implies 2\lambda - 2\mu = 4 \implies \lambda - \mu = 2$। साथ ही, $-1+\lambda = 2+2\mu \implies \lambda - 2\mu = 3$।
चरण $5$: इन्हें हल करने पर, $\mu = -1$ और $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $x$ निर्देशांकों की तुलना करने पर: $1+2(1) = p + (-1) \implies 3 = p - 1 \implies p = 4$। अतः, $p = 4, q = 2$।

(B) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
यहाँ, $(x_1, y_1, z_1) = (-1, m, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-2, -1, -1)$ है।
अतः, $x_2-x_1 = -1$, $y_2-y_1 = -1-m$, $z_2-z_1 = -2$ है।
सारणिक $\begin{vmatrix} -1 & -(1+m) & -2 \\ m & -1 & 1 \\ -4 & 9 & 1 \end{vmatrix} = 0$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $-1(-1-9) + (1+m)(m+4) - 2(9m-4) = 0$ प्राप्त होता है।
$10 + (m^2 + 5m + 4) - 18m + 8 = 0$ या $m^2 - 13m + 22 = 0$ है।
$(m-11)(m-2) = 0$, जिससे $m=2$ या $m=11$ प्राप्त होता है।
यदि $m=2$, तो $L_1 : \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{1}$ है। बिंदु $(7, -2, 5)$ इसे संतुष्ट करता है: $\frac{7+1}{2} = 4$, $\frac{-2-2}{-1} = 4$, $\frac{5-1}{1} = 4$ है। अतः, $L_1$ बिंदु $(7, -2, 5)$ से होकर गुजरती है।

(B) चरण $1$: रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-1}{2} = \frac{y - (-3/2)}{2} = \frac{z - (-2)}{0}$। दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
चरण $2$: दूसरी रेखा के लिए: $x=1$ का अर्थ है कि $x$ के लिए दिशा अनुपात $0$ है। अतः, $\frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{2}$। दिशा सदिश $\vec{v_2} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
चरण $3$: रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का कोज्या (cosine) $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $4$: अदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(0) + (2)(2) + (0)(2) = 4$।
चरण $5$: परिमाणों की गणना करें: $|\vec{v_1}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ और $|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।
चरण $6$: $\cos \theta = \frac{4}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
चरण $7$: अतः, $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$।

(D) रेखा $A(4, -2, 2)$ से गुजरती है और $\vec{c} = -4\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर है।
माना $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-4)\hat{i} + (1 - (-2))\hat{j} + (-3-2)\hat{k} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
दूरी $x = \frac{|\vec{AB} \times \vec{c}|}{|\vec{c}|}$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{AB} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & -5 \\ -4 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 30) - \hat{j}(4 - 20) + \hat{k}(12 + 12) = -36\hat{i} + 16\hat{j} + 24\hat{k}$ है।
$|\vec{AB} \times \vec{c}| = \sqrt{(-36)^2 + 16^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 256 + 576} = \sqrt{2128}$ है।
$|\vec{c}| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56}$ है।
$x^2 = \frac{2128}{56} = 38$ है।
$x^4 + x^2 + 541 = (38)^2 + 38 + 541 = 1444 + 38 + 541 = 2023$ है।

(B) माना रेखा पर स्थित सामान्य बिंदु $P(k + 2, -2k - 3, 2k - 5)$ है।
$P$ और $(2, -3, -5)$ के बीच की दूरी $3$ दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(k + 2 - 2)^2 + (-2k - 3 + 3)^2 + (2k - 5 + 5)^2} = 3$।
$\sqrt{k^2 + (-2k)^2 + (2k)^2} = 3$।
$\sqrt{k^2 + 4k^2 + 4k^2} = 3$।
$\sqrt{9k^2} = 3 \implies 3|k| = 3 \implies k = \pm 1$।
यदि $k = 1$, तो बिंदु $P(1 + 2, -2(1) - 3, 2(1) - 5) = (3, -5, -3)$ है। निर्देशांकों का योग $= 3 - 5 - 3 = -5$।
यदि $k = -1$, तो बिंदु $P(-1 + 2, -2(-1) - 3, 2(-1) - 5) = (1, -1, -7)$ है। निर्देशांकों का योग $= 1 - 1 - 7 = -7$।
चूंकि $-7$ एक विकल्प है, इसलिए सही उत्तर $-7$ है।

(B) पहली रेखा $x = 1 + 1k, y = -1 + 2k, z = 3 + 2k$ द्वारा दी गई है। इसके दिक अनुपात $\vec{a} = (1, 2, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{1}$ है। इसके दिक अनुपात $\vec{b} = (2, 1, 1)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$, $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(1) + (2)(1) = 2 + 2 + 2 = 6$ है।
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ है।
$\cos \theta = \frac{6}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
अतः, $\theta = \cos^{-1}(\sqrt{\frac{2}{3}})$ है।