Line and Plane Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $A(1, 2, 0)$ और $B(2, 1, 1)$ हैं।
समतल का समीकरण $x+y+z=3$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
$A$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $\vec{r} = (\hat{i}+2\hat{j}) + \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(1+\lambda, 2+\lambda, \lambda)$ है। चूंकि यह बिंदु समतल $x+y+z=3$ पर स्थित है, इसलिए $(1+\lambda) + (2+\lambda) + \lambda = 3$, जिससे $3\lambda + 3 = 3$ प्राप्त होता है, अतः $\lambda = 0$। इस प्रकार, $P = (1, 2, 0)$।
$B$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $\vec{r} = (2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \mu(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2+\mu, 1+\mu, 1+\mu)$ है। चूंकि यह बिंदु समतल $x+y+z=3$ पर स्थित है, इसलिए $(2+\mu) + (1+\mu) + (1+\mu) = 3$, जिससे $3\mu + 4 = 3$ प्राप्त होता है, अतः $\mu = -\frac{1}{3}$।
इस प्रकार, $Q = (2-\frac{1}{3}, 1-\frac{1}{3}, 1-\frac{1}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$।
दूरी $PQ = \sqrt{(\frac{5}{3}-1)^2 + (\frac{2}{3}-2)^2 + (\frac{2}{3}-0)^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \frac{\sqrt{24}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।

(C) दो समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं।
इन दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}_1$, $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v}_1 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & 3 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10 + 9) - \hat{j}(-10 + 9) + \hat{k}(6 - 6) = -\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}$.
दी गई रेखा $r = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} + t(5\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k})$ का दिशा सदिश $\vec{v}_2 = 5\hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$, $\cos \theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1| |\vec{v}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (-1)(5) + (1)(5) + (0)(-7) = -5 + 5 + 0 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है, इसलिए कोण $\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ है।

(A) बिंदु $A(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ के समांतर रेखा $L$ का सदिश समीकरण $\vec{r} = (1+2\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} + (-3+2\lambda)\hat{k}$ है।
समतल $\pi$ बिंदुओं $P_1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और $P_2(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$ से गुजरता है और सदिश $\vec{v}=\hat{i}-2\hat{j}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (P_2 - P_1) \times \vec{v} = (0\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}) \times (1\hat{i}-2\hat{j}+0\hat{k}) = -4\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
हम सरल अभिलंब सदिश $\vec{n}' = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ का उपयोग कर सकते हैं।
समतल का समीकरण $2(x-1) + 1(y-1) - 1(z-1) = 0 \Rightarrow 2x + y - z = 2$ है।
रेखा $L$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(1+2\lambda) + (2+\lambda) - (-3+2\lambda) = 2$
$2 + 4\lambda + 2 + \lambda + 3 - 2\lambda = 2$
$3\lambda + 7 = 2 \Rightarrow 3\lambda = -5 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{3}$.
$\lambda = -\frac{5}{3}$ को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$x = 1 + 2(-\frac{5}{3}) = -\frac{7}{3}$, $y = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$, $z = -3 + 2(-\frac{5}{3}) = -\frac{19}{3}$.
अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $\frac{1}{3}(-7\hat{i} + \hat{j} - 19\hat{k})$ है।

(D) दिए गए बिंदु $A(1,0,0)$ और $B(0,0,1)$ हैं।
बिंदुओं $A$ और $B$ को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(0-1, 0-0, 1-0)$ अर्थात $(-1, 0, 1)$ हैं।
चूंकि यह रेखा समतल $\pi$ का अभिलंब है, इसलिए समतल $\pi$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = -\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल $\pi$ बिंदु $A(1,0,0)$ से होकर गुजरता है, इसलिए इसका समीकरण $-1(x-1) + 0(y-0) + 1(z-0) = 0$ है, जो सरल होकर $-x + 1 + z = 0$ या $-x + z + 1 = 0$ हो जाता है।
दूसरा समतल $x + y + z = 6$ है, इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$, $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1)(1) + (0)(1) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है, इसलिए $\cos \theta = 0$, जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिंदु $R$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं: $\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n}\right)$.
यहाँ $P(2, 4, 1)$, $Q(3, 8, 1)$, $m=4$, और $n=5$ दिए गए हैं, अतः बिंदु $R$:
$R = \left(\frac{4(3) - 5(2)}{4 - 5}, \frac{4(8) - 5(4)}{4 - 5}, \frac{4(1) - 5(1)}{4 - 5}\right)$
$R = \left(\frac{12 - 10}{-1}, \frac{32 - 20}{-1}, \frac{4 - 5}{-1}\right)$
$R = \left(\frac{2}{-1}, \frac{12}{-1}, \frac{-1}{-1}\right) = (-2, -12, 1)$.
चूंकि यह बिंदु $R(-2, -12, 1)$ समतल $3x - ky - 6z = 0$ पर स्थित है, इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$3(-2) - k(-12) - 6(1) = 0$
$-6 + 12k - 6 = 0$
$12k - 12 = 0$
$12k = 12$
$k = 1$.

(B) बिंदुओं $(1, 2, 1)$ और $(-2, 0, 3)$ से होकर गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-1}{2} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $A(-3\lambda + 1, -2\lambda + 2, 2\lambda + 1)$ है।
समतल $P$ बिंदुओं $(0, 0, 0)$, $(0, 0, 4)$ और $(2, 1, 0)$ से होकर गुजरता है। समतल का समीकरण सारणिक $\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सारणिक का विस्तार करने पर, हमें $-4(x - 2y) = 0$ प्राप्त होता है, जो $x - 2y = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि बिंदु $A$ समतल पर स्थित है, इसलिए $A$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-3\lambda + 1) - 2(-2\lambda + 2) = 0$.
$-3\lambda + 1 + 4\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda = 3$ को $A$ के निर्देशांकों में रखने पर: $x = -3(3) + 1 = -8$, $y = -2(3) + 2 = -4$, $z = 2(3) + 1 = 7$.
अतः, बिंदु $-8\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ है।

(B) माना बिंदु $A(1, 2, -3)$ और $B(-1, -2, 1)$ हैं। सदिश $\vec{AB}$ समतल में स्थित है, जहाँ $\vec{AB} = (-1-1, -2-2, 1-(-3)) = (-2, -4, 4)$ है।
समतल उस रेखा के समानांतर है जिसके दिक अनुपात $(2, 3, 4)$ हैं। अतः, सदिश $\vec{v} = (2, 3, 4)$ समतल के समानांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$, $\vec{AB}$ और $\vec{v}$ दोनों के लंबवत है।
इसलिए, $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & -4 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\vec{n} = \hat{i}(-16 - 12) - \hat{j}(-8 - 8) + \hat{k}(-6 - (-8)) = -28\hat{i} + 16\hat{j} + 2\hat{k}$ प्राप्त होता है।
दिक अनुपात $(-28, 16, 2)$ के समानुपाती हैं, जिसे $-2$ से विभाजित करने पर $(14, -8, -1)$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए समतलों $P_1: 2x - y + 3z + 5 = 0$ और $P_2: x + y + z - 1 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x - y + 3z + 5) + \lambda(x + y + z - 1) = 0$
$(2 + \lambda)x + (-1 + \lambda)y + (3 + \lambda)z + (5 - \lambda) = 0$.
चूंकि समतल को प्रतिच्छेदन रेखा के परितः $90^{\circ}$ घुमाया गया है, इसलिए नया समतल मूल समतल $2x - y + 3z + 5 = 0$ के लंबवत होना चाहिए।
अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2 + \lambda, -1 + \lambda, 3 + \lambda)$ और $\vec{n_2} = (2, -1, 3)$ हैं।
लंबवत समतलों के लिए, उनके अभिलंबों का अदिश गुणनफल शून्य होता है:
$(2 + \lambda)(2) + (-1 + \lambda)(-1) + (3 + \lambda)(3) = 0$
$4 + 2\lambda + 1 - \lambda + 9 + 3\lambda = 0$
$4\lambda + 14 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}$.
$\lambda = -\frac{7}{2}$ को समीकरण में रखने पर:
$(2 - \frac{7}{2})x + (-1 - \frac{7}{2})y + (3 - \frac{7}{2})z + (5 + \frac{7}{2}) = 0$
$-\frac{3}{2}x - \frac{9}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$
$-2$ से गुणा करने पर, हमें $3x + 9y + z - 17 = 0$ प्राप्त होता है, अर्थात $3x + 9y + z = 17$।

(C) समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$.
चूंकि समतल $x$-अक्ष के समांतर है, इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+2\lambda, 1+3\lambda, 1-\lambda)$, $x$-अक्ष के सदिश $\hat{i} = (1, 0, 0)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः, उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा: $(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$.
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ को समीकरण में रखने पर:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{2}(2x+3y-z+4) = 0$.
$2$ से गुणा करने पर: $2x+2y+2z-2 - 2x-3y+z-4 = 0$.
$-y + 3z - 6 = 0$, जिसे सरल करने पर $y-3z+6=0$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले, हम दी गई दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात करते हैं। रेखाएं $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-4}{5}$ हैं।
चूंकि रेखाएं एक ही समतल में हैं, समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x-1)(15-16) - (y-2)(10-12) + (z-3)(8-9) = 0$
$-(x-1) + 2(y-2) - (z-3) = 0$
$-x + 1 + 2y - 4 - z + 3 = 0$
$-x + 2y - z = 0$, जो $x - 2y + z = 0$ है।
इसे दिए गए समतल $ax - 2y + z = k$ के साथ तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $a = 1$ और समतल $x - 2y + z = k$ है।
दो समानांतर समतलों $Ax + By + Cz = D_1$ और $Ax + By + Cz = D_2$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $D_1 = 0$, $D_2 = k$, $A = 1, B = -2, C = 1$.
दिया गया है कि $d = \sqrt{6}$, इसलिए $\frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \sqrt{6}$.
$\frac{|k|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \sqrt{6} \Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.
$|k| = \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6$.

(D) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम तीन रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:
$x - 2y + 4z = -4$ $(1)$
$x + y + z = 8$ $(2)$
$x - y + 2z = -1$ $(3)$
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए, हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(2 - (-1)) - (-2)(2 - 1) + 4(-1 - 1) = 3 + 2 - 8 = -3$
अब, $D_1, D_2, D_3$ की गणना करें:
$D_1 = \begin{vmatrix} -4 & -2 & 4 \\ 8 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -4(3) + 2(17) + 4(-7) = -12 + 34 - 28 = -6$
$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 1 & 8 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(17) + 4(1) + 4(-9) = 17 + 4 - 36 = -15$
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -4 \\ 1 & 1 & 8 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1(7) + 2(-9) - 4(-2) = 7 - 18 + 8 = -3$
निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{D_1}{D} = \frac{-6}{-3} = 2$
$y = \frac{D_2}{D} = \frac{-15}{-3} = 5$
$z = \frac{D_3}{D} = \frac{-3}{-3} = 1$
अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 5, 1)$ है।

(C) माना रेखा की दिक्कोज्या $(l, l, l)$ है क्योंकि यह निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है।
चूंकि $l^2 + l^2 + l^2 = 1$, हमारे पास $3l^2 = 1$ है, जिससे $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है (धनात्मक मान लेने पर)।
बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली और दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ वाली रेखा का समीकरण है:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$
रेखा पर कोई भी बिंदु $(r+2, r-1, r+2)$ के रूप में है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x+y+z=9$ पर स्थित है, हम निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9 \Rightarrow 4r = 4 \Rightarrow r = 1$.
बिंदु $Q$ का मान $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ है।
लंबाई $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \text{ इकाई}$.

(B) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
माना रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ है। $\sin \theta$ का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (4)(-2) + (5)(1) = 6 - 8 + 5 = 3$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
अतः, $\sin \theta = \frac{|3|}{(5\sqrt{2})(3)} = \frac{3}{15\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

(A) $Q(1, -2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{5} = \lambda$ है।
चूंकि बिंदु $P$ इस रेखा पर स्थित है, इसलिए इसके निर्देशांक $P(\lambda+1, 4\lambda-2, 5\lambda+3)$ के रूप में लिए जा सकते हैं।
चूंकि $P$, समतल $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ पर स्थित है, इसलिए $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(\lambda+1) + 3(4\lambda-2) - 4(5\lambda+3) + 22 = 0$।
इसे हल करने पर, $2\lambda + 2 + 12\lambda - 6 - 20\lambda - 12 + 22 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, $-6\lambda + 6 = 0$, जिसका अर्थ है $\lambda = 1$।
$\lambda = 1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर, $P(2, 2, 8)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(2-1)^2 + (2 - (-2))^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}$ इकाई।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदुओं $(1, 1, 1)$ और $(0, 0, 0)$ के लिए, समीकरण $\frac{x-0}{1-0} = \frac{y-0}{1-0} = \frac{z-0}{1-0} = \lambda$ है।
इसका अर्थ है $x = \lambda, y = \lambda, z = \lambda$।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda, \lambda, \lambda)$ के रूप का है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + 2y + z = 10$ पर स्थित है, हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(\lambda) + 2(\lambda) + \lambda = 10$।
$5\lambda = 10$।
$\lambda = 2$।
$\lambda = 2$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर, हमें $(2, 2, 2)$ प्राप्त होता है।

(D) एक रेखा $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ के समतल $Ax+By+Cz=D$ पर स्थित होने के लिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$(i)$ रेखा समतल के अभिलंब के लंबवत होनी चाहिए: $a_{1}A+b_{1}B+c_{1}C=0$.
(ii) रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए: $Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}=D$.
दी गई रेखा $\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-1}{2+\lambda}=\frac{z-3}{-1}$ और समतल $x-2y+0z=0$ के लिए:
शर्त $(i)$: $3(1) + (2+\lambda)(-2) + (-1)(0) = 0$
$3 - 4 - 2\lambda = 0 \Rightarrow -1 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
शर्त (ii): बिंदु $(\lambda, 1, 3)$ को समतल $x-2y=0$ पर स्थित होना चाहिए।
बिंदु प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda - 2(1) = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
चूंकि दोनों शर्तें $\lambda$ के लिए अलग-अलग मान देती हैं ($\lambda = -\frac{1}{2}$ और $\lambda = 2$), इसलिए ऐसा कोई $\lambda$ नहीं है जिसके लिए रेखा समतल पर स्थित हो।

(A) रेखा $\vec{r} = (4, 0, -1) + \mu(2, 0, 3)$ द्वारा दी गई है। माना बिंदु $P$ $(43, \alpha, \beta)$ है। बिंदु $P$ से गुजरने वाली और $(3, -1, 0)$ दिक-अनुपात वाली रेखा $\frac{x-43}{3} = \frac{y-\alpha}{-1} = \frac{z-\beta}{0} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P_1(43+3\lambda, \alpha-\lambda, \beta)$ है।
चूंकि $P_1$ रेखा $\vec{r} = (4+2\mu, 0, -1+3\mu)$ पर स्थित है, इसलिए:
$43+3\lambda = 4+2\mu \Rightarrow 2\mu - 3\lambda = 39$
$\alpha-\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \alpha$
$\beta = -1+3\mu$
$\lambda = \alpha$ से, $2\mu - 3\alpha = 39 \Rightarrow \mu = \frac{3\alpha+39}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $\beta = -1 + 3(\frac{3\alpha+39}{2}) = \frac{-2+9\alpha+117}{2} = \frac{9\alpha+115}{2}$।
दूरी $PP_1 = 13\sqrt{10}$ है, इसलिए $(PP_1)^2 = 1690$।
$PP_1^2 = (3\lambda)^2 + (-\lambda)^2 + 0^2 = 10\lambda^2 = 1690 \Rightarrow \lambda^2 = 169 \Rightarrow \lambda = \pm 13$।
यदि $\lambda = 13$ है, तो $\alpha = 13$ और $\beta = \frac{9(13)+115}{2} = 116$ (संभव नहीं क्योंकि $\beta < 0$)।
यदि $\lambda = -13$ है, तो $\alpha = -13$ और $\beta = \frac{9(-13)+115}{2} = -1$।
अतः, $\alpha^2 + \beta^2 = (-13)^2 + (-1)^2 = 169 + 1 = 170$।

(B) दी गई दो रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{d}_1 = \langle 4, 1, 1 \rangle$ और $\vec{d}_2 = \langle 1, 1, 0 \rangle$ हैं।
चूंकि रेखा $L$ दोनों के लंबवत है, इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{d}_L = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \langle -1, 1, 3 \rangle$ है।
बिंदु $P(1, 1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r}(t) = \langle 1-t, 1+t, 1+3t \rangle$ है।
$yz$-समतल पर बिंदु $Q$ के लिए, $x = 0 \Rightarrow 1-t = 0 \Rightarrow t = 1$ है। अतः, $Q = (0, 2, 4)$ है।
बिंदु $S(1, 0, -1)$ से गुजरने वाली $L$ के समानांतर रेखा $\vec{r}'(u) = \langle 1-u, u, -1+3u \rangle$ है।
$yz$-समतल पर बिंदु $R$ के लिए, $x = 0 \Rightarrow 1-u = 0 \Rightarrow u = 1$ है। अतः, $R = (0, 1, 2)$ है।
समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के आसन्न सदिश $\vec{PQ} = Q - P = \langle -1, 1, 3 \rangle$ और $\vec{PS} = S - P = \langle 0, -1, -2 \rangle$ हैं।
क्षेत्रफल सदिश $\vec{A} = \vec{PQ} \times \vec{PS} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ है।
क्षेत्रफल $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
क्षेत्रफल का वर्ग $(\sqrt{6})^2 = 6$ है।

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु $R$ ज्ञात करने के लिए, हम $\vec{r}$ के व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$2\lambda+1 = 5\mu+4$, $3\lambda+2 = 2\mu+1$, $4\lambda+3 = \mu$.
इन्हें हल करने पर, हमें $\lambda = -1$ और $\mu = -1$ प्राप्त होता है।
अतः, बिंदु $R$ $(-1, -1, -1)$ है।
बिंदु $P$, $L_1$ पर स्थित है, इसलिए $P = (2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ है।
दिया गया है कि $|\overrightarrow{PR}| = \sqrt{29}$, इसलिए $PR^2 = 29$ है।
$(2\lambda+1 - (-1))^2 + (3\lambda+2 - (-1))^2 + (4\lambda+3 - (-1))^2 = 29$.
$(2\lambda+2)^2 + (3\lambda+3)^2 + (4\lambda+4)^2 = 29$.
$29(\lambda+1)^2 = 29 \Rightarrow (\lambda+1)^2 = 1 \Rightarrow \lambda = 0$ या $\lambda = -2$.
यदि $\lambda = 0$, तो $P = (1, 2, 3)$ (प्रथम अष्टांश)। यदि $\lambda = -2$, तो $P = (-3, -4, -5)$ (प्रथम अष्टांश में नहीं)।
अतः, $P = (1, 2, 3)$ है।
बिंदु $Q$, $L_2$ पर स्थित है, इसलिए $Q = (5\mu+4, 2\mu+1, \mu)$ है।
दिया गया है कि $|\overrightarrow{PQ}|^2 = \frac{47}{3}$ है।
$(5\mu+4-1)^2 + (2\mu+1-2)^2 + (\mu-3)^2 = \frac{47}{3}$.
$(5\mu+3)^2 + (2\mu-1)^2 + (\mu-3)^2 = \frac{47}{3}$.
$25\mu^2 + 30\mu + 9 + 4\mu^2 - 4\mu + 1 + \mu^2 - 6\mu + 9 = \frac{47}{3}$.
$30\mu^2 + 20\mu + 19 = \frac{47}{3} \Rightarrow 90\mu^2 + 60\mu + 57 = 47 \Rightarrow 90\mu^2 + 60\mu + 10 = 0$.
$9\mu^2 + 6\mu + 1 = 0 \Rightarrow (3\mu+1)^2 = 0 \Rightarrow \mu = -\frac{1}{3}$.
$Q = (5(-\frac{1}{3})+4, 2(-\frac{1}{3})+1, -\frac{1}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$.
$(QR)^2 = (\frac{7}{3} - (-1))^2 + (\frac{1}{3} - (-1))^2 + (-\frac{1}{3} - (-1))^2 = (\frac{10}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{100+16+4}{9} = \frac{120}{9}$.
$27(QR)^2 = 27 \times \frac{120}{9} = 3 \times 120 = 360$.

(C) माना रेखाएँ $L_1: \frac{x+1}{3} = \frac{y+a}{5} = \frac{z+b+1}{7} = k_1$ और $L_2: \frac{x-2}{1} = \frac{y-b}{4} = \frac{z-2a}{7} = k_2$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $(3k_1-1, 5k_1-a, 7k_1-b-1)$ है और $L_2$ पर बिंदु $(k_2+2, 4k_2+b, 7k_2+2a)$ है।
प्रतिच्छेदन के लिए, निर्देशांक समान होने चाहिए:
$3k_1-1 = k_2+2 \implies 3k_1 - k_2 = 3$ $(1)$
$5k_1-a = 4k_2+b \implies 5k_1 - 4k_2 = a+b$ $(2)$
$7k_1-b-1 = 7k_2+2a \implies 7k_1 - 7k_2 = 2a+b+1$ $(3)$
चूँकि प्रतिच्छेदन बिंदु $xy$-समतल पर स्थित है, इसका $z$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए:
$7k_1-b-1 = 0 \implies 7k_1 = b+1$ $(4)$
$7k_2+2a = 0 \implies 7k_2 = -2a$ $(5)$
समीकरण $(4)$ और $(5)$ को $(3)$ में रखने पर: $(b+1) - (-2a) = 2a+b+1$, जो सुसंगत है।
$(1)$ से, $k_2 = 3k_1-3$. इसे $(5)$ में रखने पर: $7(3k_1-3) = -2a \implies 21k_1 - 21 = -2a \implies 2a = 21 - 21k_1$.
$(4)$ से, $b = 7k_1-1$. अतः $a+b = \frac{21-21k_1}{2} + 7k_1 - 1 = \frac{19-7k_1}{2}$.
$(2)$ का उपयोग करने पर: $5k_1 - 4(3k_1-3) = a+b \implies 12-7k_1 = a+b$.
$a+b$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{19-7k_1}{2} = 12-7k_1 \implies 19-7k_1 = 24-14k_1 \implies 7k_1 = 5$.
अतः $a+b = 12-5 = 7$.

(B) माना $P = (2k_1, 3k_1, 3k_1-1)$ और $Q = (-k_2-1, k_2+2, 4k_2)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (-k_2-1-2k_1, k_2+2-3k_1, 4k_2-3k_1+1)$ है।
चूंकि रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $(1, -1, 2)$ हैं, इसलिए $\vec{PQ}$ के घटक $(1, -1, 2)$ के समानुपाती होने चाहिए।
अतः, $\frac{-k_2-1-2k_1}{1} = \frac{k_2+2-3k_1}{-1} = \frac{4k_2-3k_1+1}{2} = \lambda$.
पहले दो भागों से: $-k_2-1-2k_1 = -k_2-2+3k_1 \implies 5k_1 = 1 \implies k_1 = 1/5$.
$k_1 = 1/5$ को पहले और तीसरे भाग में रखने पर: $-k_2-1-2/5 = \frac{4k_2-3/5+1}{2} \implies -k_2 - 7/5 = 2k_2 + 1/5 \implies 3k_2 = -8/5 \implies k_2 = -8/15$.
अब $\vec{PQ} = \lambda(1, -1, 2)$ है। जहाँ $\lambda = -k_2-1-2k_1 = 8/15 - 1 - 2/5 = -13/15$.
$PQ^2 = \alpha^2 = \lambda^2(1^2 + (-1)^2 + 2^2) = (-13/15)^2(6) = (169/225) \times 6 = 1014/225$.
इसलिए, $225\alpha^2 = 1014$.

(C) माना रेखा $L$ है $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{b} = \frac{z-a+1}{1} = k$। लंबपाद $F$ के निर्देशांक $(2k+1, bk+2, k+a-1)$ हैं।
सदिश $\vec{PF} = (2k, bk-4, k-1)$ है। चूँकि $\vec{PF} \perp (2, b, 1)$, इसलिए $2(2k) + b(bk-4) + 1(k-1) = 0$, जिससे $k(5+b^2) = 4b+1$ प्राप्त होता है।
प्रतिबिंब $Q = 2F - P$ है। अतः, $(\frac{a}{3}, 0, a+c) = (4k+1, 2bk-2, 2k+a-2)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $4k+1 = a/3$, $2bk-2 = 0 \implies bk=1$, $2k+a-2 = a+c \implies c = 2k-2$।
$bk=1$ से $k=1/b$। $k(5+b^2) = 4b+1$ में रखने पर $\frac{1}{b}(5+b^2) = 4b+1 \implies 3b^2+b-5=0$। $b>0$ के लिए $b=1$ प्राप्त होता है। अतः $k=1$।
इस प्रकार, $a = 15$ और $F = (3, 3, 15)$।
$S$, रेखा $L$ पर $F$ से $2\sqrt{14}$ की दूरी पर है। $S$ के निर्देशांक $(2k+1, k+2, k+14)$ हैं। योग $4k+17$ है। $k=1$ के लिए योग $21$ प्राप्त होता है।

(A) $L_2$ और $L_3$ के दिशा सदिश $\vec{d}_2 = (1, 2, 2)$ और $\vec{d}_3 = (2, 2, 1)$ हैं।
$L_1$ का दिशा सदिश $\vec{d}_1 = \vec{d}_2 \times \vec{d}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(2-4) = (-2, 3, -2)$ है।
चूँकि $L_1$ मूल बिंदु से होकर गुजरती है, इसका समीकरण $\vec{r} = k(-2, 3, -2)$ है।
$L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन के लिए: $(-2k, 3k, -2k) = (3+t, 2t-1, 2t+4)$.
$-2k = 3+t$, $3k = 2t-1$, $-2k = 2t+4$.
$3+t = 2t+4$ से, हमें $t = -1$ प्राप्त होता है। तब $-2k = 3-1 = 2$, इसलिए $k = -1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(-2(-1), 3(-1), -2(-1)) = (2, -3, 2)$ है।
मान लीजिए $L_3$ पर बिंदु $Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{17}$ है, इसलिए $PQ^2 = 17$.
$(3+2s-2)^2 + (3+2s+3)^2 + (2+s-2)^2 = 17$.
$(2s+1)^2 + (2s+6)^2 + s^2 = 17$.
$4s^2 + 4s + 1 + 4s^2 + 24s + 36 + s^2 = 17$.
$9s^2 + 28s + 20 = 0$.
$(9s+10)(s+2) = 0$, इसलिए $s = -2$ या $s = -10/9$.
चूँकि $a \in Z$, हम $s = -2$ चुनते हैं।
तब $Q = (3+2(-2), 3+2(-2), 2-2) = (-1, -1, 0)$.
अतः, $a = -1, b = -1, c = 0$.
$(a+b+c)^2 = (-1-1+0)^2 = (-2)^2 = 4$.

(B) $P(1, 0, -3)$ से गुजरने वाली और दी गई रेखा के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z + 3}{-6} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2r + 1, 3r, -6r - 3)$ है।
इस बिंदु के समतल $x - y - z = 9$ पर स्थित होने के लिए, हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2r + 1) - (3r) - (-6r - 3) = 9$।
$2r + 1 - 3r + 6r + 3 = 9$।
$5r + 4 = 9 \implies 5r = 5 \implies r = 1$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2(1) + 1, 3(1), -6(1) - 3) = (3, 3, -9)$ है।
$(1, 0, -3)$ और $(3, 3, -9)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (3 - 0)^2 + (-9 - (-3))^2}$ है।
$d = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ इकाई}$।

(A) रेखा $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ द्वारा दी गई है, जहाँ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ द्वारा दिया गया है, जहाँ $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2$।
परिमाणों की गणना करें: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$।
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$।
अतः, $\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)$।

(B) रेखा जिसकी दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है और समतल जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + p\hat{j} + \hat{k}$ है, के बीच के कोण $\theta$ की ज्या के लिए सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
दिया है $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$, $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(p) + (1)(1) = p + 3$ है।
परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + p^2 + 1^2} = \sqrt{p^2 + 5}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{|p + 3|}{\sqrt{3} \sqrt{p^2 + 5}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2}{9} = \frac{(p + 3)^2}{3(p^2 + 5)}$।
सरल करने पर: $\frac{2}{3} = \frac{p^2 + 6p + 9}{p^2 + 5}$।
$2(p^2 + 5) = 3(p^2 + 6p + 9) \implies 2p^2 + 10 = 3p^2 + 18p + 27$।
$p^2 + 18p + 17 = 0$।
$(p + 1)(p + 17) = 0$।
अतः, $p = -1$ या $p = -17$ है।

(B) रेखा $L$ बिंदु $B(2, 3, -2)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AB} = (2-3)\hat{i} + (3-7)\hat{j} + (-2 - (-7))\hat{k} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-10) - \hat{j}(-1+15) + \hat{k}(-2-12) = -14\hat{i} - 14\hat{j} - 14\hat{k}$ है।
हम $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x-3) + 1(y-7) + 1(z+7) = 0$ है, जो $x + y + z - 3 = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ है।
अतः, $d^2 = 3$ है।

(A) समतल का समीकरण $2x - 3y - 6z = 49$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और समतल पर लंब रेखा के दिक-अनुपात अभिलंब सदिश के समान होंगे। अतः, रेखा का समीकरण $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-6} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2k, -3k, -6k)$ के रूप में होगा।
चूँकि यह बिंदु समतल पर स्थित है, इसे समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(2k) - 3(-3k) - 6(-6k) = 49$।
$4k + 9k + 36k = 49 \implies 49k = 49 \implies k = 1$।
$k = 1$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर, हमें $(2(1), -3(1), -6(1)) = (2, -3, -6)$ प्राप्त होता है।

(A) समतलों $P_1: 2x - y + z - 3 = 0$ और $P_2: 4x - 3y + 5z + 9 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(2x - y + z - 3) + \lambda(4x - 3y + 5z + 9) = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(2 + 4\lambda)x + (-1 - 3\lambda)y + (1 + 5\lambda)z + (-3 + 9\lambda) = 0$।
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2 + 4\lambda)\hat{i} + (-1 - 3\lambda)\hat{j} + (1 + 5\lambda)\hat{k}$ है।
चूंकि समतल, दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ वाली रेखा के समांतर है, इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$, $\vec{v}$ के लंबवत होना चाहिए, अतः $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$।
$2(2 + 4\lambda) + 4(-1 - 3\lambda) + 5(1 + 5\lambda) = 0$।
$4 + 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$।
$21\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = -5/21$।
समतल समीकरण में $\lambda = -5/21$ रखने पर: $(2 - 20/21)x + (-1 + 15/21)y + (1 - 25/21)z + (-3 - 45/21) = 0$।
$(42 - 20)/21 x + (-21 + 15)/21 y + (21 - 25)/21 z + (-63 - 45)/21 = 0$।
$22x - 6y - 4z - 108 = 0$।
$2$ से भाग देने पर: $11x - 3y - 2z - 54 = 0$।

(B) रेखाएं बिंदुओं $A(1, -1, 0)$ और $B(-1, -1, 0)$ से गुजरती हैं। दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।
चूंकि रेखाएं एक ही समतल में हैं, सदिश $\vec{AB} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$, $\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ के साथ समतलीय होना चाहिए। अतः, अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{AB}, \vec{v_1}, \vec{v_2}] = 0$ है।
$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 2 & \lambda & 2 \\ 5 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = -2(\lambda^2 - 4) = 0 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$.
समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & \lambda & 2 \\ 5 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda^2 - 4)\hat{i} - (2\lambda - 10)\hat{j} + (4 - 5\lambda)\hat{k}$ है।
$\lambda = 2$ के लिए, $\vec{n} = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k} = 6(\hat{j} - \hat{k})$। समतल $0(x-1) + 1(y+1) - 1(z-0) = 0 \implies y - z + 1 = 0$ है।
$\lambda = -2$ के लिए, $\vec{n} = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k} = 14(\hat{j} + \hat{k})$। समतल $0(x-1) + 1(y+1) + 1(z-0) = 0 \implies y + z + 1 = 0$ है।
इन्हें मिलाने पर, समीकरण $y \pm z + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n}$ की पहचान करें। रेखाएँ समांतर हैं क्योंकि उनका दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ समान है।
चरण $2$: मान लीजिए $A = (0, 4, -1)$ और $B = (2, 1, 0)$ रेखाओं पर स्थित बिंदु हैं। सदिश $\vec{AB} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ है।
चरण $3$: अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{b} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ है।
चरण $4$: समतल का समीकरण $4x + 5y + 7z - 13 = 0$ है।
चरण $5$: बिंदु $(2, 5, 10)$ से समतल की दूरी $d = \frac{|4(2) + 5(5) + 7(10) - 13|}{\sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2}} = \frac{90}{\sqrt{90}} = \sqrt{90}$ है।
चरण $6$: अतः, $d^2 = 90$ है।

(A) चरण $1$: समतल पर स्थित एक बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात करें। माना $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j}$ है।
चरण $2$: बिंदुओं $A(-1, 2, 0)$ और $B(2, 2, -1)$ को जोड़ने वाले सदिश से पहला दिशा सदिश $\vec{b}$ ज्ञात करें। $\vec{b} = (2 - (-1))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (-1 - 0)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{k}$ है।
चरण $3$: रेखा $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1/2}{1} = \frac{z + 1}{-1}$ से दूसरा दिशा सदिश $\vec{c}$ ज्ञात करें। दिशा अनुपात $(1, 1, -1)$ हैं, अतः $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
चरण $4$: समतल का प्राचलिक रूप $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ है।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{r} = (-\hat{i} + 2\hat{j}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ प्राप्त होता है।
यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।

(A) चरण $1$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ ज्ञात कीजिए। समतल $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर है।
चरण $2$: $\vec{n_1} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 2) - \hat{j}(-6 + 1) + \hat{k}(-6 - 2) = -6\hat{i} + 5\hat{j} - 8\hat{k}$।
चरण $3$: $xy$-समतल का अभिलंब $\vec{n_2} = \hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
चरण $4$: समतलों के बीच का कोण $\theta$, $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $5$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-6)(0) + (5)(0) + (-8)(1) = -8$। अतः, $|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}| = 8$।
चरण $6$: $|\vec{n_1}| = \sqrt{(-6)^2 + 5^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 25 + 64} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$। $|\vec{n_2}| = 1$।
चरण $7$: $\cos \theta = \frac{8}{5\sqrt{5}}$। अतः, $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{5\sqrt{5}} \right)$।

(D) समतल $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}) = 32$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 5\hat{i} + b\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि रेखा समतल के समांतर है, इसलिए रेखा समतल के अभिलंब सदिश के लंबवत होगी। अतः, $\vec{n}$ और $\vec{v}$ का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$
$(3)(5) + (-2)(b) + (7)(3) = 0$
$15 - 2b + 21 = 0$
$36 - 2b = 0$
$2b = 36$
$b = 18$.

(C) चरण $1$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ ज्ञात कीजिए। समतल में रेखा की दिशा $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है और यह $A(1, -3, 1)$ तथा $Q(1, 0, -1)$ से गुजरता है।
चरण $2$: सदिश $\vec{AQ} = (1-1)\hat{i} + (0-(-3))\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 3\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
चरण $3$: $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{AQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(-4-0) + \hat{k}(6-0) = \hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
चरण $4$: समतल का समीकरण $1(x-1) + 4(y-0) + 6(z+1) = 0$ है, जो $x + 4y + 6z + 5 = 0$ में सरल होता है।
चरण $5$: मूल बिंदु $(0,0,0)$ से लंबवत दूरी $d = \frac{|0 + 4(0) + 6(0) + 5|}{\sqrt{1^2 + 4^2 + 6^2}} = \frac{5}{\sqrt{1 + 16 + 36}} = \frac{5}{\sqrt{53}}$ है।
चरण $6$: $\frac{p}{\sqrt{53}}$ से तुलना करने पर, हमें $p = 5$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: लंबवतता की शर्त का उपयोग करके $k$ ज्ञात करें। दिशा सदिश $\vec{v_1} = (-3, 2k, 2)$ और $\vec{v_2} = (3k, 1, -5)$ हैं। चूँकि $L_1 \perp L_2$, $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ है।
चरण $2$: $(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0 \implies -9k + 2k - 10 = 0 \implies -7k = 10 \implies k = -\frac{10}{7}$।
चरण $3$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ है। चूँकि $L_1 \perp L_2$, $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2k & 2 \\ 3k & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10k - 2) - \hat{j}(15 - 6k) + \hat{k}(-3 - 6k^2)$।
चरण $4$: $k = -\frac{10}{7}$ प्रतिस्थापित करें: $\vec{n} = \hat{i}(\frac{86}{7}) - \hat{j}(\frac{165}{7}) + \hat{k}(-\frac{747}{49}) = \frac{86}{7}\hat{i} - \frac{165}{7}\hat{j} - \frac{747}{49}\hat{k}$।
चरण $5$: सरल करने के लिए $49$ से गुणा करें: $\vec{n} = 602\hat{i} - 1155\hat{j} - 747\hat{k}$।
चरण $6$: समतल बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरता है। समीकरण: $602(x-1) - 1155(y-2) - 747(z-3) = 0 \implies 602x - 1155y - 747z + 3949 = 0$।

(B) माना रेखा $\ell$ के दिक्-अनुपात $\langle a, b, c \rangle$ हैं। चूँकि $\ell$, समतल $x + y + 2z = 18$ के समांतर है, इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = \langle 1, 1, 2 \rangle$, $\ell$ पर लंबवत है। अतः $a + b + 2c = 0 \implies b = -a - 2c$।
रेखा $L_2$ पर कोई बिंदु $Q(3k - 2, -k - 1, k + 2)$ है। चूँकि $\ell$, $P(2, 1, 1)$ और $Q$ से गुजरती है, दिक्-अनुपात $\langle 3k - 4, -k - 2, k + 1 \rangle$ हैं।
सदिश $\vec{PQ}$, अभिलंब $\vec{n}$ पर लंबवत होना चाहिए।
अतः $1(3k - 4) + 1(-k - 2) + 2(k + 1) = 0 \implies 3k - 4 - k - 2 + 2k + 2 = 0 \implies 4k = 4 \implies k = 1$।
बिंदु $Q$ है $(1, -2, 3)$।
$\ell$ का दिक्-सदिश $\vec{PQ} = \langle -1, -3, 2 \rangle$ है, जो $\langle 1, 3, -2 \rangle$ के समानुपाती है।
रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{-2}$ है, जो विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(C) दी गई रेखा $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{3} = \lambda$ है। व्यापक बिंदु $(x, y, z) = (\lambda - 1, 2\lambda + 2, 3\lambda - 3)$ है।
$(A)$ $\lambda = -1$ के लिए, बिंदु $(-2, 0, -6)$ है। रेखा $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 6}{3}$ बिंदु $(-2, 0, -6)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(1, 2, 3)$ हैं, जो वही रेखा है।
$(B)$ व्यापक बिंदु को समतल में प्रतिस्थापित करने पर: $(\lambda - 1) - 2(2\lambda + 2) + (3\lambda - 3) + 8 = \lambda - 1 - 4\lambda - 4 + 3\lambda - 3 + 8 = 0$। चूंकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है, रेखा समतल में स्थित है।
$(C)$ रेखा का दिक सदिश $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है। चूंकि $\vec{v} \neq k\vec{n}$, रेखा समतल के लंबवत नहीं है।
$(D)$ बिंदु $(0, 4, 0)$ के लिए, $\frac{0+1}{1} = 1$, $\frac{4-2}{2} = 1$, $\frac{0+3}{3} = 1$। चूंकि सभी अनुपात समान हैं, यह $(0, 4, 0)$ से गुजरती है।
अतः, कथन $(C)$ गलत है।

(C) रेखाएँ समतलीय होती हैं यदि रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का सारणिक शून्य हो।
$L_1$ पर बिंदु $P_1$ $(-1, 3, 1)$ है और दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, -\lambda, \lambda)$ है।
$L_2$ पर बिंदु $P_2$ $(0, 1, 2)$ है और दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1/2, 1, -1)$ है।
सदिश $\vec{P_1P_2} = (0 - (-1), 1 - 3, 2 - 1) = (1, -2, 1)$ है।
समतलीयता के लिए शर्त $\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(\lambda - \lambda) - (-2)(-1 - \lambda/2) + 1(1 + \lambda/2) = 0$।
$0 + 2(-1 - \lambda/2) + 1 + \lambda/2 = 0$।
$-2 - \lambda + 1 + \lambda/2 = 0$।
$-1 - \lambda/2 = 0 \implies \lambda/2 = -1 \implies \lambda = -2$।

(A) दो रेखाएँ $\frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1}$ और $\frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि सारणिक $\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
यहाँ, $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$, $(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$, $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$, और $(a_2, b_2, c_2) = (k, 2, 1)$ है।
प्रतिबंध है: $\begin{vmatrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $-1(1 - (-2k)) - 1(1 - (-k^2)) + 1(2 - k) = 0$.
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 2 - k = 0$.
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$.
$-k^2 - 3k = 0$.
$k(k + 3) = 0$.
अतः, $k = 0$ या $k = -3$।

(D) रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{2}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$, $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (-1)(1) + (2)(1) = 2 - 1 + 2 = 3$.
परिमाण की गणना करें: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
मान प्रतिस्थापित करें: $\sin \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः, $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$.