Line Questions in Gujarati

(C) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-2}{-3}$ અને $\frac{x+2}{2} = \frac{y-6}{4} = \frac{z-5}{-5}$ છે.
રેખા $1$ માટે, બિંદુ $P_1 = (4, 3, 2)$ અને દિશા સદિશ $\vec{v}_1 = (1, 2, -3)$ છે.
રેખા $2$ માટે, બિંદુ $P_2 = (-2, 6, 5)$ અને દિશા સદિશ $\vec{v}_2 = (2, 4, -5)$ છે.
બંને બિંદુઓને જોડતો સદિશ $\vec{P_1P_2} = (-2-4, 6-3, 5-2) = (-6, 3, 3)$ છે.
દિશા સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10+12) - \hat{j}(-5+6) + \hat{k}(4-4) = (2, -1, 0)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$ છે.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી: $|(-6, 3, 3) \cdot (2, -1, 0)| = |-12 - 3 + 0| = |-15| = 15$.
ક્રોસ ગુણાકારના માનની ગણતરી: $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$.
તેથી, $d = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$.

(A) $1$. બિંદુ $P(0, -5, 0)$ અને રેખા $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-2} = \lambda$ માટે, લંબપાદ $F_1$ એ $(2\lambda+1, \lambda, -2\lambda-1)$ છે. સદિશ $\vec{PF_1} = (2\lambda+1, \lambda+5, -2\lambda-1)$. કારણ કે $\vec{PF_1} \cdot (2, 1, -2) = 0$, તેથી $2(2\lambda+1) + 1(\lambda+5) - 2(-2\lambda-1) = 0$, જેનું સાદું રૂપ $9\lambda + 9 = 0$ થાય છે, તેથી $\lambda = -1$. આમ $F_1 = (-1, -1, 1)$. પ્રતિબિંબ $R = 2F_1 - P = 2(-1, -1, 1) - (0, -5, 0) = (-2, 3, 2)$.
$2$. બિંદુ $Q(0, -1/2, 0)$ અને રેખા $L_2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y+9}{4} = \frac{z+1}{1} = \mu$ માટે, લંબપાદ $F_2$ એ $(-\mu+1, 4\mu-9, \mu-1)$ છે. સદિશ $\vec{QF_2} = (-\mu+1, 4\mu-8.5, \mu-1)$. કારણ કે $\vec{QF_2} \cdot (-1, 4, 1) = 0$, તેથી $1(\mu-1) + 16\mu - 34 + \mu - 1 = 0$, જેનું સાદું રૂપ $18\mu - 36 = 0$ થાય છે, તેથી $\mu = 2$. આમ $F_2 = (-1, -1, 1)$. પ્રતિબિંબ $S = 2F_2 - Q = 2(-1, -1, 1) - (0, -0.5, 0) = (-2, -1.5, 2)$.
$3$. સદિશો: $\vec{PQ} = (0, 4.5, 0)$ અને $\vec{PS} = (-2, 3.5, 2)$.
$4$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ = $|\vec{PQ} \times \vec{PS}| = |(0, 4.5, 0) \times (-2, 3.5, 2)| = |(9, 0, 9)| = \sqrt{81 + 0 + 81} = \sqrt{162}$.
$5$. ક્ષેત્રફળનો વર્ગ = $162$.

(B) પગલું $1$: સદિશ ગુણાકાર $v = a \times b = (2i + j + 2k) \times (3i - 4j)$ ની ગણતરી કરો.
$v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & -4 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-8)) - j(0 - 6) + k(-8 - 3) = 8i + 6j - 11k$.
પગલું $2$: રેખા $(0, 0, 0)$ અને $(4, 3, c)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $(4, 3, c)$ ના પ્રમાણમાં છે. રેખા $v = (8, 6, -11)$ ને સમાંતર હોવાથી, $(4, 3, c) = k(8, 6, -11)$ મળે.
પગલું $3$: ઘટકોની સરખામણી કરતા, $4 = 8k \implies k = 1/2$. તેથી $3 = 6k$ (સુસંગત) અને $c = -11k = -11(1/2) = -5.5$.
પગલું $4$: રેખા $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને દિશા ગુણોત્તર $(8, 6, -11)$ છે. કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x/8 = y/6 = z/-11$ છે.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4} = \lambda$ અને $L_2: \frac{x - 2}{1} = \frac{y + m}{2} = \frac{z - 2}{1} = \mu$ છે.
છેદનબિંદુ માટે, રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
લઘુત્તમ અંતરનું સૂત્ર: $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$.
અહીં $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (2, -m, 2)$ છે.
$\begin{vmatrix} 2-1 & -m-(-1) & 2-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} 1 & 1-m & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
$1(3-8) - (1-m)(2-4) + 1(4-3) = 0 \implies -5 + 2(1-m) + 1 = 0 \implies -4 + 2 - 2m = 0 \implies -2 - 2m = 0 \implies m = -1$.

(C) પગલું $1$: રેખાઓના છેદન માટેની શરત શોધો. રેખાઓ પરના બિંદુઓ $(2\lambda + 1, 3\lambda - 1, 4\lambda + 1)$ અને $(\mu + 3, 2\mu + c, \mu)$ લો.
પગલું $2$: યામોને સરખાવતા: $2\lambda + 1 = \mu + 3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(i)$, $3\lambda - 1 = 2\mu + c \implies 3\lambda - 2\mu = c + 1$ (ii), $4\lambda + 1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (iii).
પગલું $3$: $(i)$ અને (iii) ને ઉકેલતા: (iii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા $2\lambda = -3 \implies \lambda = -1.5$ મળે છે. તેથી $\mu = 4(-1.5) + 1 = -5$.
પગલું $4$: $\lambda, \mu$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા: $3(-1.5) - 2(-5) = c + 1 \implies -4.5 + 10 = c + 1 \implies 5.5 = c + 1 \implies c = 4.5 = \frac{9}{2}$.
પગલું $5$: વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x + 10y + 4.5 = 0$ છે. $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c' = 0$ સાથે સરખાવતા, $g = -2, f = 5, c' = 4.5$ મળે છે.
પગલું $6$: ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c'} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 - 4.5} = \sqrt{4 + 25 - 4.5} = \sqrt{24.5} = \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$.

(D) પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 3}{-1} = k$ અને $z = 1$। તેથી, $x = 3k + 3, y = -k + 3, z = 1$।
બીજી રેખા માટે: $\frac{x - 6}{2} = \frac{z - 1}{3} = m$ અને $y = 2$। તેથી, $x = 2m + 6, y = 2, z = 3m + 1$।
છેદબિંદુ માટે યામોને સરખાવતા: $y = -k + 3 = 2 \implies k = 1$। પ્રથમ રેખામાં $k=1$ મૂકતા $(x, y, z) = (3(1)+3, -1+3, 1) = (6, 2, 1)$ મળે છે.
બીજી રેખાની ચકાસણી કરતા: $y = 2$ સંતોષાય છે. $x = 6, z = 1$ માટે: $6 = 2m + 6 \implies m = 0$ અને $1 = 3(0) + 1 \implies 1 = 1$। બંને સંતોષાય છે.
તેથી, છેદબિંદુ $(6, 2, 1)$ છે.

(A) રેખા $1$, $A(0, 0, 0)$ અને $B(2, 0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{k}$ છે. સમીકરણ: $\vec{r} = \lambda(2\hat{i} + 3\hat{k})$.
રેખા $2$, $C(2, 5, 0)$ અને $D(0, 4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{b_2} = -2\hat{i} - \hat{j}$ છે. સમીકરણ: $\vec{r} = (2\hat{i} + 5\hat{j}) + \mu(-2\hat{i} - \hat{j})$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$.
માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = 7$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $(2\hat{i} + 5\hat{j}) \cdot (3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}) = -24$ છે.
અંતર $d = \frac{|-24|}{7} = \frac{24}{7}$ એકમ.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $L: \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{-1} = k$ છે. રેખા $L$ પરનું કોઈ બિંદુ $Q(2k - 1, 3k + 3, -k - 2)$ છે.
$PQ$ ના દિક ગુણોત્તર $(2k - 3, 3k + 6, -k - 3)$ છે.
$PQ \perp L$ હોવાથી, દિક ગુણોત્તરનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય:
$2(2k - 3) + 3(3k + 6) - 1(-k - 3) = 0 \implies 14k + 15 = 0 \implies k = -\frac{15}{14}$.
$PQ$ ના દિક ગુણોત્તર $(2(-\frac{15}{14}) - 3, 3(-\frac{15}{14}) + 6, -(-\frac{15}{14}) - 3) = (-\frac{72}{14}, \frac{39}{14}, -\frac{27}{14})$ છે.
તેને $-\frac{14}{3}$ વડે ગુણતા, દિક ગુણોત્તર $(24, -13, 9)$ મળે છે.
સાચા દિક ગુણોત્તર $(-24, 13, -9)$ છે. તેથી સમીકરણ $\frac{x - 2}{-24} = \frac{y + 3}{13} = \frac{z - 1}{-9}$ છે, જે વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z - 1}{-1} = \lambda$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3+\lambda, 5+2\lambda, 1-\lambda)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x - 4}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 4}{2} = \mu$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(4+2\mu, 2-\mu, 4+2\mu)$ છે.
છેદબિંદુ માટે, યામ સમાન હોવા જોઈએ:
$3+\lambda = 4+2\mu \implies \lambda - 2\mu = 1$ $(i)$
$5+2\lambda = 2-\mu \implies 2\lambda + \mu = -3$ (ii)
સમીકરણ (ii) ને $2$ વડે ગુણતા: $4\lambda + 2\mu = -6$ (iii)
$(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $5\lambda = -5 \implies \lambda = -1$.
$(i)$ માં $\lambda = -1$ મૂકતા: $-1 - 2\mu = 1 \implies -2\mu = 2 \implies \mu = -1$.
$z$-યામની ચકાસણી: $1 - (-1) = 2$ અને $4 + 2(-1) = 2$. કારણ કે $2 = 2$, રેખાઓ છેદે છે.
છેદબિંદુ: $(3+(-1), 5+2(-1), 1-(-1)) = (2, 3, 2)$.

(D) પગલું $1$: રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા $2x = 3y = -z$ માટે, $6$ વડે ભાગતા: $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$. દિશા સદિશ $\vec{v_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}$ છે.
પગલું $2$: બીજી રેખા $6x = -y = -4z$ માટે, $12$ વડે ભાગતા: $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$. દિશા સદિશ $\vec{v_2} = 2\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
પગલું $3$: સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ નો ઉપયોગ કરો.
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$.
પગલું $4$: કારણ કે અદિશ ગુણાકાર $0$ છે, રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે, તેથી $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણો $x = ay + b$ અને $z = cy + d$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી, $x - b = ay \implies \frac{x - b}{a} = y$ મળે છે.
બીજા સમીકરણ પરથી, $z - d = cy \implies \frac{z - d}{c} = y$ મળે છે.
$y$ માટે બંને પદોને સરખાવતા, આપણને $\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c}$ મળે છે.
આને $\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(C) પગલું $1$: બંને રેખાઓ માટે બિંદુઓ અને સદિશો ઓળખો.
રેખા $1$: $\vec{a_1} = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$, $\vec{b_1} = 7\hat{i} - 6\hat{j} + \hat{k}$.
રેખા $2$: $\vec{a_2} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$, $\vec{b_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
પગલું $2$: $\vec{a_2} - \vec{a_1} = 4\hat{i} + 6\hat{j} + 8\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -4\hat{i} - 6\hat{j} - 8\hat{k}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $5$: લઘુત્તમ અંતર $p = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{116}{2\sqrt{29}} = 2\sqrt{29}$.
પગલું $6$: કારણ કે $\sqrt{29} \approx 5.385$, $p = 10.77$ થાય. તેથી, $[p] = 10$.

(D) $P(1, -1, 2)$ અને $Q(2, 0, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-(-1)}{0-(-1)} = \frac{z-2}{1-2} = k$ છે, જે $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{-1} = k$ તરીકે સરળ થાય છે.
તેથી, રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+1, k-1, -k+2)$ છે.
$XY$-સમતલ પરના બિંદુ $A$ માટે, $z$-યામ $0$ છે: $-k+2 = 0 \implies k = 2$। તેથી, $A = (2+1, 2-1, 0) = (3, 1, 0)$।
$YZ$-સમતल પરના બિંદુ $B$ માટે, $x$-યામ $0$ છે: $k+1 = 0 \implies k = -1$। તેથી, $B = (-1+1, -1-1, -(-1)+2) = (0, -2, 3)$।
અંતર $AB = \sqrt{(3-0)^2 + (1-(-2))^2 + (0-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$।

(C) બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $\vec{a_1} = 4\hat{i} - \hat{j}$, $\vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$, $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$, અને $\vec{b_2} = \hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -3\hat{i} + 2\hat{k}$ છે.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = 2\sqrt{3}$ છે.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = -2$ છે.
તેથી $d = \left| \frac{-2}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(B) રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $\vec{a_1} = 3\hat{i} + 8\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b_1} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{a_2} = -3\hat{i} - 7\hat{j} + 6\hat{k}$, $\vec{b_2} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|36 + 225 + 9|}{3\sqrt{30}} = \frac{270}{3\sqrt{30}} = 3\sqrt{30}$ છે.

(A) $X$-અક્ષના દિક ગુણોત્તર $(1, 0, 0)$ છે.
રેખા $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી, તેના દિક ગુણોત્તર પણ $(1, 0, 0)$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને $(a, b, c)$ દિક ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
બિંદુ $(0, 1, 1)$ અને દિક ગુણોત્તર $(1, 0, 0)$ મૂકતા, આપણને $\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{0}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે, જ્યારે $y - 1 = 0$ અને $z - 1 = 0$ છે.
તેથી, સમીકરણો $y = 1$ અને $z = 1$ છે.

(D) ધારો કે આપેલી બે રેખાઓના દિક્-ગુણોત્તર $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
જરૂરી રેખા બંનેને લંબ હોવાથી, તેનો દિક્-સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(-4 - 1) + \hat{k}(4 + 3) = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
$\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ છે.
તેથી દિક્-કોસાઇન $\pm \frac{4}{3\sqrt{10}}, \pm \frac{5}{3\sqrt{10}}, \pm \frac{7}{3\sqrt{10}}$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(7, p, 2)$, $B(q, -2, 5)$, $C(2, -3, 5)$, અને $D(-6, -15, 11)$ છે.
રેખા $AB$ ના દિક ગુણોત્તર $(q - 7, -2 - p, 5 - 2) = (q - 7, -2 - p, 3)$ છે.
રેખા $CD$ ના દિક ગુણોત્તર $(-6 - 2, -15 - (-3), 11 - 5) = (-8, -12, 6)$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી, તેમના દિક ગુણોત્તર પ્રમાણસર હોવા જોઈએ:
$\frac{q - 7}{-8} = \frac{-2 - p}{-12} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
$\frac{q - 7}{-8} = \frac{1}{2}$ પરથી, આપણને $q - 7 = -4$ મળે છે, તેથી $q = 3$.
$\frac{-2 - p}{-12} = \frac{1}{2}$ પરથી, આપણને $-2 - p = -6$ મળે છે, તેથી $p = 4$.
આમ, $p = 4$ અને $q = 3$.

(D) રેખાના આપેલા સમીકરણો $x = 4z + 3$ અને $y = -3z + 2$ છે.
તેને $z$ ના સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x - 3}{4} = z$ અને $\frac{y - 2}{-3} = z$ મળે.
આમ, રેખાનું સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x - 3}{4} = \frac{y - 2}{-3} = \frac{z - 0}{1}$ છે.
રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(a, b, c) = (4, -3, 1)$ છે.
દિક્-સદિશનું માન $\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 9 + 1} = \sqrt{26}$ છે.
દિક્-કોસાઇન $\cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{26}}$, $\cos \beta = \frac{-3}{\sqrt{26}}$, અને $\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{26}}$ છે.
આ કિંમતોનો સરવાળો: $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{4 - 3 + 1}{\sqrt{26}} = \frac{2}{\sqrt{26}}$।

(A) $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતી રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ છે.
$(2, 1, 4)$ અને $(a - 1, 4, -1)$ ને જોડતી પ્રથમ રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(a - 1 - 2, 4 - 1, -1 - 4) = (a - 3, 3, -5)$ છે.
$(0, 2, b - 1)$ અને $(5, 3, -2)$ ને જોડતી બીજી રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(5 - 0, 3 - 2, -2 - (b - 1)) = (5, 1, -1 - b)$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી, તેમના દિક્-ગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ: $\frac{a - 3}{5} = \frac{3}{1} = \frac{-5}{-1 - b}$.
$\frac{a - 3}{5} = 3$ પરથી, આપણને $a - 3 = 15$ મળે છે, તેથી $a = 18$.
$\frac{3}{1} = \frac{-5}{-1 - b}$ પરથી, આપણને $3(-1 - b) = -5$ મળે છે, જેનો અર્થ છે $-3 - 3b = -5$, તેથી $-3b = -2$, અને $b = \frac{2}{3}$.
આમ, $a$ અને $b$ ની કિંમતો અનુક્રમે $18$ અને $\frac{2}{3}$ છે.

(D) બિંદુ $\vec{p}$ એ રેખા $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ પર આવેલું હોય જો $\vec{p} - \vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર હોય, એટલે કે કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{p} - \vec{a} = k\vec{b}$ થાય.
આપેલ છે $\vec{p} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{a} = 6\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{p} - \vec{a} = (4-6)\hat{i} + (-11 - (-4))\hat{j} + (2-5)\hat{k} = -2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$.
વિકલ્પ $(D)$ માટે, $\vec{b} = 2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{p} - \vec{a} = -1(2\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = -1\vec{b}$, સદિશ $\vec{p} - \vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર છે.
તેથી, બિંદુ વિકલ્પ $(D)$ માં આપેલી રેખા પર આવેલું છે.

(C) $1$. બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{b}$ સદિશને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ છે.
$2$. આપેલ બિંદુ $(4, -2, 3)$ છે, તેથી $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$3$. $XZ$-સમતલને લંબ રેખા $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય છે.
$4$. $Y$-અક્ષનો દિશા સદિશ $\hat{j}$ છે. તેથી, $\vec{b} = \hat{j}$.
$5$. આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $\vec{r} = (4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{j})$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x - 5}{5m + 2} = \frac{y - 2}{-5} = \frac{z - 1}{1}$। દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (5m + 2, -5, 1)$ છે.
પગલું $2$: બીજી રેખા માટે: $\frac{x}{1} = \frac{y + 1/2}{2m} = \frac{z - 1}{3}$। દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (1, 2m, 3)$ છે.
પગલું $3$: રેખાઓ લંબ હોવાથી, તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$(5m + 2)(1) + (-5)(2m) + (1)(3) = 0$।
પગલું $4$: $m$ માટે ઉકેલો: $5m + 2 - 10m + 3 = 0$।
$-5m + 5 = 0 \implies 5m = 5 \implies m = 1$।

(C) બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ છેદે જો $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 0$ હોય.
અહીં, $\vec{a_2} - \vec{a_1} = (4-1)\hat{i} + (1-m)\hat{j} + (0-3)\hat{k} = 3\hat{i} + (1-m)\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & m & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 4m) - \hat{j}(2 - 20) + \hat{k}(2m - 15) = (3-4m)\hat{i} + 18\hat{j} + (2m-15)\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર લેતા: $3(3-4m) + (1-m)(18) - 3(2m-15) = 0$.
$9 - 12m + 18 - 18m - 6m + 45 = 0$.
$-36m + 72 = 0$.
$36m = 72 \implies m = 2$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$, બિંદુઓ $A(3, 5, -7)$ અને $B(-2, 1, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $P$ ના યામ $(\frac{-2k+3}{k+1}, \frac{k+5}{k+1}, \frac{8k-7}{k+1})$ છે.
કારણ કે $P$, $YOZ$ સમતલ પર આવેલું છે, તેથી તેનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$\frac{-2k+3}{k+1} = 0 \implies -2k+3 = 0 \implies k = \frac{3}{2}$.
$k = \frac{3}{2}$ ને $y$ અને $z$ યામમાં મૂકતા:
$y = \frac{\frac{3}{2} + 5}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{13/2}{5/2} = \frac{13}{5}$.
$z = \frac{8(\frac{3}{2}) - 7}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{12 - 7}{5/2} = \frac{5}{5/2} = 2$.
આમ, બિંદુ $(0, \frac{13}{5}, 2)$ છે.

(A) પગલું $1$: કાર્તેઝિયન સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પગલું $2$: $2y - 3z + 7 = 0$ પરથી, $2y = 3z - 7$ મળે છે, જેને $\frac{y - (-7/2)}{3} = \frac{z - 0}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
પગલું $3$: કારણ કે $x = 2$, રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{i} - \frac{7}{2}\hat{j}) + \lambda(0\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k})$ થશે.
પગલું $4$: વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ વિકલ્પ $A$ છે.

(D) પગલું $1$: બંને રેખાઓના દિશા સદિશો ઓળખો. પ્રથમ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b_1} = -1\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$ છે અને બીજી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
પગલું $2$: અદિશ ગુણાકાર $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (-1)(1) + (1)(1) + (-2)(-2) = -1 + 1 + 4 = 4$ ની ગણતરી કરીને લંબ હોવાની ચકાસણી કરો. અદિશ ગુણાકાર $0$ ન હોવાથી, રેખાઓ લંબ નથી.
પગલું $3$: છેદબિંદુ માટે ચકાસણી કરો. બંને રેખાઓ બિંદુ $(1, -2, z)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રથમ રેખા માટે, $x=1, y=-2$ પર, $z=3$ મળે છે. બીજી રેખા માટે, $x=1, y=-2$ પર, $z=-1$ મળે છે. રેખાઓ એક જ બિંદુ $(1, -2, z)$ માંથી ત્યારે જ પસાર થાય જો $z$ ના મૂલ્યો સમાન હોય, જે અહીં નથી, તેથી આ રેખાઓ વિષમતલીય (skew) રેખાઓ છે.

(D) રેખાઓના આપેલા સમીકરણો $2x = ky = -z$ અને $6x = -y = -4z$ છે.
પ્રથમ રેખાને સંમિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x}{1/2} = \frac{y}{1/k} = \frac{z}{-1}$। દિશા ગુણોત્તર $\vec{a} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{k}, -1)$ છે.
બીજી રેખાને સંમિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x}{1/6} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-1/4}$। દિશા ગુણોત્તર $\vec{b} = (\frac{1}{6}, -1, -\frac{1}{4})$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી, તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$(\frac{1}{2})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{k})(-1) + (-1)(-\frac{1}{4}) = 0$.
$\frac{1}{12} - \frac{1}{k} + \frac{1}{4} = 0$.
$\frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{k}$.
$\frac{4}{12} = \frac{1}{k} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{k}$.
તેથી, $k = 3$.

(C) પગલું $1$: સમાંતરતાની શરતનો ઉપયોગ કરીને $q$ શોધો. સદિશ $q\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ એ $4\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે, તેથી $\frac{q}{4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$। તેથી, $q = 4 \times \frac{1}{2} = 2$।
પગલું $2$: રેખાઓ $\vec{r} = (1, 1, -1) + \lambda(2, -2, 1)$ અને $\vec{r} = (p, -3, 2) + \mu(1, -2, 2)$ છે.
પગલું $3$: છેદબિંદુ માટે, $(1+2\lambda, 1-2\lambda, -1+\lambda) = (p+\mu, -3-2\mu, 2+2\mu)$.
પગલું $4$: $y$ અને $z$ યામોને સરખાવતા: $1-2\lambda = -3-2\mu \implies 2\lambda - 2\mu = 4 \implies \lambda - \mu = 2$. તેમજ, $-1+\lambda = 2+2\mu \implies \lambda - 2\mu = 3$.
પગલું $5$: આને ઉકેલતા, $\mu = -1$ અને $\lambda = 1$ મળે છે.
પગલું $6$: $x$ યામોને સરખાવતા: $1+2(1) = p + (-1) \implies 3 = p - 1 \implies p = 4$. તેથી, $p = 4, q = 2$.

(B) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ હોય.
અહીં, $(x_1, y_1, z_1) = (-1, m, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-2, -1, -1)$ છે.
તેથી, $x_2-x_1 = -1$, $y_2-y_1 = -1-m$, $z_2-z_1 = -2$ છે.
નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} -1 & -(1+m) & -2 \\ m & -1 & 1 \\ -4 & 9 & 1 \end{vmatrix} = 0$ છે.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $-1(-1-9) + (1+m)(m+4) - 2(9m-4) = 0$ મળે છે.
$10 + (m^2 + 5m + 4) - 18m + 8 = 0$ અથવા $m^2 - 13m + 22 = 0$ છે.
$(m-11)(m-2) = 0$, તેથી $m=2$ અથવા $m=11$ મળે છે.
જો $m=2$ હોય, તો $L_1 : \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{1}$ છે. બિંદુ $(7, -2, 5)$ આનું સમાધાન કરે છે: $\frac{7+1}{2} = 4$, $\frac{-2-2}{-1} = 4$, $\frac{5-1}{1} = 4$ છે. આમ, $L_1$ બિંદુ $(7, -2, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) પગલું $1$: રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-1}{2} = \frac{y - (-3/2)}{2} = \frac{z - (-2)}{0}$. દિશા સદિશ $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
પગલું $2$: બીજી રેખા માટે: $x=1$ નો અર્થ છે કે $x$ માટે દિશા ગુણોત્તર $0$ છે. તેથી, $\frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{2}$. દિશા સદિશ $\vec{v_2} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પગલું $3$: રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પગલું $4$: અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(0) + (2)(2) + (0)(2) = 4$.
પગલું $5$: માનની ગણતરી કરો: $|\vec{v_1}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ અને $|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
પગલું $6$: $\cos \theta = \frac{4}{(2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
પગલું $7$: તેથી, $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) રેખા $A(4, -2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{c} = -4\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-4)\hat{i} + (1 - (-2))\hat{j} + (-3-2)\hat{k} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
અંતર $x = \frac{|\vec{AB} \times \vec{c}|}{|\vec{c}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{AB} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & -5 \\ -4 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 30) - \hat{j}(4 - 20) + \hat{k}(12 + 12) = -36\hat{i} + 16\hat{j} + 24\hat{k}$ છે.
$|\vec{AB} \times \vec{c}| = \sqrt{(-36)^2 + 16^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 256 + 576} = \sqrt{2128}$ છે.
$|\vec{c}| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56}$ છે.
$x^2 = \frac{2128}{56} = 38$ છે.
$x^4 + x^2 + 541 = (38)^2 + 38 + 541 = 1444 + 38 + 541 = 2023$ છે.

(B) ધારો કે રેખા પરનું સામાન્ય બિંદુ $P(k + 2, -2k - 3, 2k - 5)$ છે.
$P$ અને $(2, -3, -5)$ વચ્ચેનું અંતર $3$ આપેલ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(k + 2 - 2)^2 + (-2k - 3 + 3)^2 + (2k - 5 + 5)^2} = 3$.
$\sqrt{k^2 + (-2k)^2 + (2k)^2} = 3$.
$\sqrt{k^2 + 4k^2 + 4k^2} = 3$.
$\sqrt{9k^2} = 3 \implies 3|k| = 3 \implies k = \pm 1$.
જો $k = 1$ હોય, તો બિંદુ $P(1 + 2, -2(1) - 3, 2(1) - 5) = (3, -5, -3)$ મળે. યામોનો સરવાળો $= 3 - 5 - 3 = -5$.
જો $k = -1$ હોય, તો બિંદુ $P(-1 + 2, -2(-1) - 3, 2(-1) - 5) = (1, -1, -7)$ મળે. યામોનો સરવાળો $= 1 - 1 - 7 = -7$.
આમ, $-7$ વિકલ્પમાં હોવાથી, સાચો જવાબ $-7$ છે.

(B) પ્રથમ રેખા $x = 1 + 1k, y = -1 + 2k, z = 3 + 2k$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. તેના દિક્-ગુણોત્તરો $\vec{a} = (1, 2, 2)$ છે.
બીજી રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{1}$ છે. તેના દિક્-ગુણોત્તરો $\vec{b} = (2, 1, 1)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$, $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(1) + (2)(1) = 2 + 2 + 2 = 6$ છે.
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ છે.
$\cos \theta = \frac{6}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.
તેથી, $\theta = \cos^{-1}(\sqrt{\frac{2}{3}})$ છે.