Electric Field and usage of Gauss's Law Questions in Hindi

(A) जब $r_1$ त्रिज्या वाले आंतरिक बेलन को $q$ आवेश दिया जाता है, तो आंतरिक और बाहरी बेलन के बीच के क्षेत्र $(r_1 < r < r_2)$ में एक विद्युत क्षेत्र $E$ उत्पन्न होता है।
गॉस के नियम के अनुसार, बेलनों के बीच के क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ होता है, जहाँ $\lambda$ रेखीय आवेश घनत्व है।
बेलनों के बीच विभवांतर $V = \int_{r_1}^{r_2} E \, dr = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V \neq 0$, इसलिए जब आंतरिक बेलन आवेशित होता है तो दोनों बेलनों के बीच एक विभवांतर मौजूद होता है।
अतः, विकल्प $A$ सही है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,आवेश $q$ को घेरने वाली एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
किसी विशिष्ट सतह से गुजरने वाले फ्लक्स की गणना करने के लिए,हम समरूपता (symmetry) की विधि का उपयोग कर सकते हैं। दिए गए घनाभ के ऊपर $2 L \times 2 L \times L$ आयाम का एक समान घनाभ इस प्रकार रखें कि आवेश $q$ दोनों घनाभों की उभयनिष्ठ सतह पर स्थित हो।
अब,आवेश $q$ एक बड़े घनाभ द्वारा घिरा हुआ है जिसके आयाम $2 L \times 2 L \times 2 L$ हैं,जो वास्तव में $2 L$ भुजा वाला एक घन है।
इस बड़ी बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
समरूपता के कारण,इस बड़े घन की $6$ सतहों में से प्रत्येक से गुजरने वाला फ्लक्स समान होता है।
इसलिए,बड़े घन की एक सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{1}{6} \left( \frac{q}{\varepsilon_0} \right) = \frac{q}{6 \varepsilon_0}$ है।
चूंकि सतह '$S$' और उसकी विपरीत सतह इस बड़े घन की सतहों का हिस्सा हैं,इसलिए विपरीत सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\frac{q}{6 \varepsilon_0}$ होगा।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 2x^2 \hat{i} - 4y \hat{j} + 6 \hat{k}$ द्वारा दिया गया है।
गॉस के नियम के अनुसार,बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{net} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ है।
घनाभ के लिए,$x, y$ और $z$ दिशाओं में फ्लक्स की गणना करने पर:
$x$-दिशा में: $x=0$ पर $\phi=0$,$x=1$ पर $\phi = 2(1)^2 \times (2 \times 3) = 12$.
$y$-दिशा में: $y=0$ पर $\phi=0$,$y=2$ पर $\phi = -4(2) \times (1 \times 3) = -24$.
$z$-दिशा में: $z=0$ पर $\phi=0$,$z=3$ पर $\phi = 6 \times (1 \times 2) = 12$.
कुल फ्लक्स $\phi_{net} = 12 - 24 + 12 = 0$ है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार $n=12$ सही उत्तर है।

(D) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत पतली शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ शीट के लंबवत और उससे दूर जाने वाला इकाई सदिश है।
मान लीजिए कि दाईं ओर की दिशा धनात्मक दिशा $\hat{n}$ है।
क्षेत्र $I$ में (दोनों शीटों के बाईं ओर),दोनों शीटें बाईं ओर $(-\hat{n})$ इंगित विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करती हैं:
$\vec{E}_{ I } = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{n}$.
क्षेत्र $II$ में (दो शीटों के बीच),बाईं शीट दाईं ओर $(+\hat{n})$ और दाईं शीट बाईं ओर $(-\hat{n})$ क्षेत्र उत्पन्न करती है:
$\vec{E}_{ II } = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = 0$.
क्षेत्र $III$ में (दोनों शीटों के दाईं ओर),दोनों शीटें दाईं ओर $(+\hat{n})$ इंगित विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करती हैं:
$\vec{E}_{ III } = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} + \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{n}$.

(D) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = E_0 x \hat{i}$ द्वारा दिया गया है।
घन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स केवल $x$-अक्ष के लंबवत सतहों से गुजरता है।
$x = 0$ पर,फ्लक्स $\phi_1 = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (E_0 \cdot 0) \cdot (a^2 \hat{i}) = 0$.
$x = a$ पर,फ्लक्स $\phi_2 = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (E_0 a \hat{i}) \cdot (a^2 \hat{i}) = E_0 a^3$.
कुल फ्लक्स $\phi_{\text{net}} = \phi_2 - \phi_1 = E_0 a^3$.
गॉस के नियम के अनुसार,$\phi_{\text{net}} = \frac{q_{\text{en}}}{\varepsilon_0}$,इसलिए $q_{\text{en}} = \varepsilon_0 E_0 a^3$.
यहाँ $E_0 = 4 \times 10^4 \text{ N C}^{-1} \text{m}^{-1}$,$a = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$,और $\varepsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{m}^{-2}$ दिया गया है।
$q_{\text{en}} = (9 \times 10^{-12}) \times (4 \times 10^4) \times (2 \times 10^{-2})^3$.
$q_{\text{en}} = 36 \times 10^{-8} \times 8 \times 10^{-6} = 288 \times 10^{-14} \text{ C}$.
$Q \times 10^{-14} \text{ C}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $Q = 288$ प्राप्त होता है।

(A) $R$ त्रिज्या और कुल आवेश $Q$ वाले एक समान रूप से आवेशित कुचालक ठोस गोले के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$1$. गोले के अंदर $(r \leq R)$: गॉस के नियम का उपयोग करने पर,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 R^3}$ प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि $E \propto r$,जो एक रैखिक संबंध है।
$2$. गोले के बाहर $(r \geq R)$: गोला केंद्र पर एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ होता है। यह दर्शाता है कि $E \propto 1/r^2$,जो एक व्युत्क्रम-वर्ग संबंध है।
अतः,आलेख मूल बिंदु ($r=0$ पर $E=0$) से शुरू होता है,$r=R$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है,और फिर $r > R$ के लिए व्युत्क्रम-वर्ग वक्र के अनुसार घटता है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए आलेख के अनुरूप है।

(C) स्थिर-वैद्युत बल इलेक्ट्रॉन की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$F_e = F_c$
$eE = \frac{mV^2}{r}$
अनंत रेखीय आवेश के लिए,$r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2k\lambda}{r}$ होता है।
इस मान को बल समीकरण में रखने पर:
$e \left( \frac{2k\lambda}{r} \right) = \frac{mV^2}{r}$
$V^2 = \frac{e \cdot 2k\lambda}{m}$
$V = \sqrt{\frac{e \cdot 2k\lambda}{m}}$
दिया गया है: $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2}$,$\lambda = 2 \times 10^{-8} \, C \cdot m^{-1}$,$m = 9 \times 10^{-31} \, kg$.
$V = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-8}}{9 \times 10^{-31}}}$
$V = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 36 \times 10^1}{9 \times 10^{-31}}}$
$V = \sqrt{6.4 \times 10^{13} \times 10^{-18} \times 10^{31}}$
$V = \sqrt{64 \times 10^{12}} = 8 \times 10^6 \, m \cdot s^{-1}$.
अतः,वेग $8 \times 10^6 \, m \cdot s^{-1}$ है।

(A) अनंत समतल शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$ होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित है,उस पर लगने वाला बल $F = -eE = -\frac{e \sigma}{2 \epsilon_0}$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m} = -\frac{\sigma e}{2 \epsilon_0 m}$ है।
दिया गया है कि प्रारंभिक वेग $u = 1 \,m/s$,समय $t = 1 \,s$,और विस्थापन $S = -1 \,m$ (शीट की ओर) है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2} at^2$ का उपयोग करने पर:
$-1 = (1)(1) + \frac{1}{2} \left( -\frac{\sigma e}{2 \epsilon_0 m} \right) (1)^2$.
$-1 = 1 - \frac{\sigma e}{4 \epsilon_0 m}$.
$2 = \frac{\sigma e}{4 \epsilon_0 m}$.
$\sigma = 8 \left[ \frac{m \epsilon_0}{e} \right]$.
$\alpha \left[ \frac{m \epsilon_0}{e} \right]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 8$ प्राप्त होता है।

(B) अनंत लंबे रेखीय आवेश से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2 k \lambda}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करने वाला स्थिर विद्युत बल $F = qE = \frac{2 k \lambda q}{r}$ है।
इसे अभिकेन्द्रीय बल $m \omega^2 r$ के बराबर रखने पर,हमें मिलता है $\frac{2 k \lambda q}{r} = m \omega^2 r$.
कोणीय वेग $\omega$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है $\omega^2 = \frac{2 k \lambda q}{m r^2}$,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{2 k \lambda q}{m}}$.
चूंकि आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है,$\omega$ का मान रखने पर हमें $T = 2 \pi r \sqrt{\frac{m}{2 k \lambda q}}$ प्राप्त होता है।

(B) अनंत लंबाई के आवेशित तार से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ है।
$e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला स्थिर-विद्युत बल $F = eE = \frac{2 k \lambda e}{r}$ है।
इलेक्ट्रॉन के $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर घूमने के लिए,यह स्थिर-विद्युत बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F_c = \frac{m v^2}{r} = \frac{2 k \lambda e}{r}$
इससे,हम वेग का वर्ग $v^2$ ज्ञात कर सकते हैं:
$v^2 = \frac{2 k \lambda e}{m}$
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $KE$ इस प्रकार है:
$KE = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{2 k \lambda e}{m} \right) = k \lambda e$
चूंकि $k$,$\lambda$ और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा $KE$ त्रिज्या $r$ पर निर्भर नहीं करती है। अतः,$KE$ बनाम $r$ का ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा होगी। इसलिए,विकल्प $(B)$ में दिखाया गया ग्राफ सही है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
एक पतले गोलीय कोश के लिए,हम कोश पर $dq = \sigma dA$ आवेश को घेरने वाली $dA$ क्षेत्रफल की एक छोटी गॉसियन सतह पर विचार करते हैं।
चूंकि विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है और सतह पर एकसमान होता है,इसलिए गॉसियन सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $E \cdot dA = \frac{\sigma \cdot dA}{\epsilon_0}$ है।
दोनों पक्षों से $dA$ को हटाने पर,हमें सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(B) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली अनंत लंबाई की आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ शीट के लंबवत इकाई सदिश है जो शीट से दूर की ओर इंगित करता है।
मान लीजिए कि शीट $x = -a$,$x = a$,और $x = 3a$ पर क्रमशः $-\sigma$,$-2\sigma$,और $\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व के साथ स्थित हैं।
बिंदु $P$,$x = a$ और $x = 3a$ के बीच स्थित है।
$1$. $x = -a$ पर शीट के कारण विद्युत क्षेत्र (आवेश घनत्व $-\sigma$): क्षेत्र शीट की ओर (ऋणात्मक $x$-दिशा में) इंगित करता है। $\vec{E}_1 = \frac{|-\sigma|}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i}$.
$2$. $x = a$ पर शीट के कारण विद्युत क्षेत्र (आवेश घनत्व $-2\sigma$): क्षेत्र शीट की ओर (ऋणात्मक $x$-दिशा में) इंगित करता है। $\vec{E}_2 = \frac{|-2\sigma|}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{2\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{i}$.
$3$. $x = 3a$ पर शीट के कारण विद्युत क्षेत्र (आवेश घनत्व $\sigma$): क्षेत्र शीट से दूर (ऋणात्मक $x$-दिशा में) इंगित करता है। $\vec{E}_3 = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} (-\hat{i}) = -\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} \hat{i}$.
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = (-\frac{\sigma}{2 \epsilon_0} - \frac{\sigma}{\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}) \hat{i} = -\frac{2\sigma}{\epsilon_0} \hat{i}$ है।
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|\vec{E}_P| = \frac{2\sigma}{\epsilon_0}$ है।
इसकी तुलना $\frac{x \sigma}{\epsilon_0}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) $\rho$ आवेश घनत्व वाले एक ठोस गोले पर विचार करें जिसमें एक गोलाकार गुहा (cavity) है। गुहा के अंदर किसी भी बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र को अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। हम इस प्रणाली को $\rho$ आवेश घनत्व वाले एक बड़े ठोस गोले और गुहा को भरने वाले $-\rho$ आवेश घनत्व वाले एक छोटे गोले के रूप में मान सकते हैं।
एक समान रूप से आवेशित गोले के अंदर उसके केंद्र से $\vec{r}$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $\vec{b}$ बड़े गोले के केंद्र $(O)$ से बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है और $\vec{a}$ गुहा के केंद्र $(Q)$ से बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है। $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र बड़े गोले और गुहा के ऋणात्मक आवेश के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है:
$\vec{E}_{net} = \vec{E}_{large} + \vec{E}_{cavity} = \frac{\rho \vec{b}}{3 \epsilon_0} + \frac{-\rho \vec{a}}{3 \epsilon_0} = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} (\vec{b} - \vec{a})$.
ज्यामिति से,$\vec{b} - \vec{a} = \vec{r}$,जहाँ $\vec{r}$ बड़े गोले के केंद्र से गुहा के केंद्र तक का स्थिर सदिश है। अतः,$\vec{E}_{net} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}$.
चूंकि $\rho$,$\vec{r}$,और $\epsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्येतर और एकसमान (uniform) है।

(A) $r=R$ के लिए,गॉस के नियम के अनुसार,विद्युत क्षेत्र $E$ को $E(4\pi R^2) = \frac{Q_{enclosed}}{\epsilon_0} = \frac{Ze}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$E = \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 R^2}$,जो $a$ से स्वतंत्र है। इसलिए,$1$ का उत्तर $(A)$ है।
$a=0$ के लिए,आवेश घनत्व $\rho(r)$ आधार $R$ और ऊँचाई $d$ वाला एक त्रिभुज बन जाता है। कुल आवेश $Ze = \int_0^R \rho(r) 4\pi r^2 dr$ है।
चूँकि $\rho(r) = d(1 - r/R)$,$Ze = 4\pi d \int_0^R (r^2 - r^3/R) dr = 4\pi d [R^3/3 - R^4/4R] = 4\pi d [R^3/12] = \frac{\pi d R^3}{3}$ है।
इसलिए,$d = \frac{3Ze}{\pi R^3}$ है। अतः,$2$ का उत्तर $(B)$ है।
नाभिक के भीतर $E \propto r$ के लिए,आवेश घनत्व $\rho$ को पूरे आयतन में स्थिर होना चाहिए। यह तब होता है जब $a=R$ हो। इसलिए,$3$ का उत्तर $(C)$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,गोलीय सममित आवेश वितरण के केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $E(4\pi r^2) = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ होता है।
$r$ त्रिज्या के गोले के भीतर परिबद्ध आवेश $q(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r \kappa r'^a 4\pi r'^2 dr' = \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3}$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 r^2} \cdot \frac{4\pi \kappa r^{a+3}}{a+3} = \frac{\kappa r^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$ होगा।
दिया गया है कि $E(r = R/2) = \frac{1}{8} E(r = R)$,इसलिए:
$\frac{\kappa (R/2)^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\kappa R^{a+1}}{\epsilon_0(a+3)}$.
इसे सरल करने पर,$(1/2)^{a+1} = 1/8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1/8 = (1/2)^3$,इसलिए $a+1 = 3$,जिसका अर्थ है $a = 2$।

(D) $R$ त्रिज्या वाले एक पतले गोलीय कोश के लिए जिस पर कुल आवेश $Q$ है:
$1$. विद्युत क्षेत्र $(E)$:
कोश के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,अर्थात $E_{in} = 0$.
सतह पर $(r = R)$,विद्युत क्षेत्र $E_s = \frac{KQ}{R^2}$ होता है।
कोश के बाहर $(r > R)$,विद्युत क्षेत्र $E_{out} = \frac{KQ}{r^2}$ होता है,जो $1/r^2$ के अनुसार घटता है।
$2$. विद्युत विभव $(V)$:
कोश के अंदर $(r \le R)$,विद्युत विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है,अर्थात $V_{in} = \frac{KQ}{R}$.
कोश के बाहर $(r > R)$,विद्युत विभव $V_{out} = \frac{KQ}{r}$ होता है,जो $1/r$ के अनुसार घटता है।
इन विशेषताओं की दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $D$ सही ढंग से दर्शाता है कि $r < R$ के लिए $E=0$ है और $r \le R$ के लिए $V$ स्थिर है।

(A) बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र,ठोस बेलन (गुहा के बिना) के कारण विद्युत क्षेत्र और $-\rho$ आवेश घनत्व वाले $R/2$ त्रिज्या के गोले के कारण विद्युत क्षेत्र का सदिश योग है।
$1$. $r = 2R$ दूरी पर ठोस बेलन के कारण विद्युत क्षेत्र:
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए,$E_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$,जहाँ $\lambda = \rho \pi R^2$.
$E_1 = \frac{\rho \pi R^2}{2 \pi \varepsilon_0 (2R)} = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0}$.
$2$. गोलाकार गुहा के कारण विद्युत क्षेत्र (जिसे $-\rho$ घनत्व वाले गोले के रूप में माना जाता है):
गोले का आवेश $q = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = -\rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{R^3}{8} = -\frac{\rho \pi R^3}{6}$.
केंद्र से $2R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{|q|}{(2R)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\rho \pi R^3 / 6}{4R^2} = \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0}$.
$3$. कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_1 - E_2$:
$E = \frac{\rho R}{4 \varepsilon_0} - \frac{\rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{\rho R}{\varepsilon_0} \left( \frac{24 - 1}{96} \right) = \frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0}$.
दिया गया है कि $E = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$,इसलिए $\frac{23 \rho R}{96 \varepsilon_0} = \frac{23 \rho R}{16 k \varepsilon_0}$.
अतः,$96 = 16k \Rightarrow k = 6$.

(C) त्रिज्या और $q$ कुल आवेश वाले समान रूप से आवेशित ठोस गोले के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र इस प्रकार होता है:
$1$. बाहर $(r \geq a)$: $E = \frac{kq}{r^2}$
$2$. अंदर $(r < a)$: $E = \frac{kqr}{a^3}$
गोले $1$ के लिए $(a = R/2, q = Q)$: बिंदु $P$ दूरी $r = R$ पर है,जो बाहर है $(R > R/2)$.
$E_1 = \frac{kQ}{R^2}$
गोले $2$ के लिए $(a = R, q = 2Q)$: बिंदु $P$ दूरी $r = R$ पर है,जो सतह पर है $(R = R)$.
$E_2 = \frac{k(2Q)}{R^2} = \frac{2kQ}{R^2}$
गोले $3$ के लिए $(a = 2R, q = 4Q)$: बिंदु $P$ दूरी $r = R$ पर है,जो अंदर है $(R < 2R)$.
$E_3 = \frac{k(4Q)R}{(2R)^3} = \frac{4kQR}{8R^3} = \frac{kQ}{2R^2} = \frac{0.5kQ}{R^2}$
परिमाणों की तुलना करने पर: $E_2 = 2\frac{kQ}{R^2}$,$E_1 = 1\frac{kQ}{R^2}$,$E_3 = 0.5\frac{kQ}{R^2}$.
अतः,$E_2 > E_1 > E_3$.

(D) समान रूप से आवेशित गोले के भीतर एक गोलीय गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र की गणना अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है। हम गुहा वाले गोले को $\rho$ आवेश घनत्व वाले एक ठोस गोले और गुहा को भरने वाले $-\rho$ आवेश घनत्व वाले एक छोटे गोले के योग के रूप में मानते हैं।
$R_1$ त्रिज्या के ठोस गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_1 = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \varepsilon_0}$ है,जहाँ $\vec{r}_1$ केंद्र $O$ से स्थिति सदिश है।
$R_2$ त्रिज्या के छोटे गोले (गुहा) के अंदर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_2 = \frac{-\rho \vec{r}_2}{3 \varepsilon_0}$ है,जहाँ $\vec{r}_2$ केंद्र $P$ से स्थिति सदिश है।
गुहा के अंदर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$ है।
चूंकि $\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{OP} = \vec{a}$,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\rho \vec{a}}{3 \varepsilon_0}$ है।
यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र एकसमान (स्थिर) है और यह केवल बड़े गोले के केंद्र को गुहा के केंद्र से जोड़ने वाले सदिश $\vec{a}$ पर निर्भर करता है। यह गुहा के अंदर की स्थिति $\vec{r}$ से स्वतंत्र है और त्रिज्या $R_2$ से भी स्वतंत्र है।

(B) क्षेत्र $A$ $(0 \le r \le 1)$ में आवेश: $q_A = \int_0^1 (kr) 4\pi r^2 dr = 4\pi k \int_0^1 r^3 dr = 4\pi k [\frac{r^4}{4}]_0^1 = \pi k$.
क्षेत्र $B$ $(1 \le r \le r_B)$ में आवेश: $q_B = \int_1^{r_B} (\frac{2k}{r}) 4\pi r^2 dr = 8\pi k \int_1^{r_B} r dr = 8\pi k [\frac{r^2}{2}]_1^{r_B} = 4\pi k (r_B^2 - 1)$.
कुल आवेश $Q(r_B) = q_A + q_B = \pi k + 4\pi k r_B^2 - 4\pi k = \pi k (4r_B^2 - 3)$.
$(A)$ $B$ के बाहर विद्युत क्षेत्र शून्य है यदि $Q(r_B) = 0 \Rightarrow 4r_B^2 - 3 = 0 \Rightarrow r_B = \frac{\sqrt{3}}{2}$. अतः,$(A)$ गलत है।
$(B)$ $r = r_B$ पर विद्युत विभव $V = \frac{Q(r_B)}{4\pi \epsilon_0 r_B} = \frac{\pi k (4r_B^2 - 3)}{4\pi \epsilon_0 r_B} = \frac{k (4r_B^2 - 3)}{4 \epsilon_0 r_B}$. यदि $r_B = \frac{3}{2}$ है,तो $V = \frac{k (4(9/4) - 3)}{4 \epsilon_0 (3/2)} = \frac{k (9-3)}{6 \epsilon_0} = \frac{6k}{6 \epsilon_0} = \frac{k}{\epsilon_0}$. अतः,$(B)$ सही है।
$(C)$ यदि $r_B = 2$ है,तो $Q = \pi k (4(2^2) - 3) = \pi k (16 - 3) = 13\pi k$. अतः,$(C)$ गलत है।
$(D)$ विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q(r_B)}{4\pi \epsilon_0 r_B^2} = \frac{\pi k (4r_B^2 - 3)}{4\pi \epsilon_0 r_B^2} = \frac{k (4r_B^2 - 3)}{4 \epsilon_0 r_B^2}$. यदि $r_B = \frac{5}{2}$ है,तो $E = \frac{k (4(25/4) - 3)}{4 \epsilon_0 (25/4)} = \frac{k (25-3)}{25 \epsilon_0} = \frac{22k}{25 \epsilon_0}$. अतः,$(D)$ गलत है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के भीतर $(r < R)$ विद्युत क्षेत्र $0$ होता है। अतः,$(A)-(III)$.
$(B)$ पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत समतल शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ होता है। अतः,$(B)-(II)$.
$(C)$ गोलीय कोश के बाहर $(r > R)$ विद्युत क्षेत्र ऐसा होता है जैसे कि सारा आवेश केंद्र पर केंद्रित हो,$E = \frac{kQ}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\sigma(4\pi R^2)}{r^2} = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 r^2}$। अतः,$(C)-(IV)$.
$(D)$ दो विपरीत रूप से आवेशित अनंत शीटों के बीच,विद्युत क्षेत्र जुड़ जाते हैं: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$। अतः,$(D)-(I)$.
अतः,सही मिलान $(A)-(III), (B)-(II), (C)-(IV), (D)-(I)$ है।

(B) दो अनंत रूप से बड़े समानांतर चालक प्लेटों के लिए,आवेश इस प्रकार पुनर्वितरित होता है कि बाहरी सतहों पर समान आवेश घनत्व $\sigma_{out} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} = \frac{\sigma + (-2\sigma)}{2} = -\frac{\sigma}{2}$ होता है।
आंतरिक सतहों पर आवेश घनत्व $\sigma_{in1} = \sigma - (-\frac{\sigma}{2}) = \frac{3\sigma}{2}$ और $\sigma_{in2} = -2\sigma - (-\frac{\sigma}{2}) = -\frac{3\sigma}{2}$ होगा।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र आंतरिक सतह के आवेशों के कारण होता है: $E = \frac{\sigma_{in1}}{2\epsilon_0} + \frac{|\sigma_{in2}|}{2\epsilon_0} = \frac{3\sigma/2}{2\epsilon_0} + \frac{3\sigma/2}{2\epsilon_0} = \frac{3\sigma}{2\epsilon_0}$.
$+q$ आवेश द्वारा अनुभव किया गया बल $F = qE = q \left( \frac{3\sigma}{2\epsilon_0} \right) = \frac{3\sigma q}{2\epsilon_0}$ है।

(D) संतुलन की स्थिति में,गोले पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$,नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,और शीट से दूर क्षैतिज दिशा में कार्य करने वाला विद्युत बल $F_e = qE$ हैं।
अनंत लंबी कुचालक शीट के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ होता है।
संतुलन में बलों को वियोजित करने पर:
$T \sin(45^{\circ}) = F_e = qE = q \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \right)$
$T \cos(45^{\circ}) = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0 mg}$
चूंकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0 mg} \implies \sigma = \frac{2\varepsilon_0 mg}{q}$
दिए गए मान: $m = 100 \ mg = 10^{-4} \ kg$,$q = 10 \ \mu C = 10^{-5} \ C$,$g = 10 \ m/s^2$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$.
मान रखने पर:
$\sigma = \frac{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4} \times 10}{10^{-5}}$
$\sigma = 17.7 \times 10^{-10} \ C/m^2 = 1.77 \ nC/m^2$.

(C) $1$. एक अनंत आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र एकसमान होता है और उससे दूर की दिशा में होता है (धनात्मक आवेश के लिए)। मान लीजिए प्रत्येक शीट का क्षेत्र $E_s = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ है।
$2$. गोले के बाहर किसी बिंदु पर आवेशित गोले के कारण विद्युत क्षेत्र $E_{sphere} = \frac{kQ}{r^2}$ होता है,जहाँ $r$ केंद्र से दूरी है।
$3$. $C$ और $D$ बिंदुओं पर,दो शीटों के कारण उत्पन्न क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं (क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में हैं)। इस प्रकार,$C$ और $D$ पर कुल क्षेत्र केवल आवेशित गोले के कारण है। चूँकि $C$,$D$ की तुलना में गोले से अधिक दूर है,इसलिए $E_C < E_D$,अतः $\overrightarrow{E}_C \neq \overrightarrow{E}_D$ है।
$4$. $A$ और $B$ बिंदुओं पर,दो शीटों के कारण उत्पन्न क्षेत्र एक ही दिशा (बाईं ओर) में होते हैं। $A$ पर गोले का क्षेत्र बाईं ओर है,जबकि $B$ पर यह दाईं ओर है। इसलिए,$A$ पर कुल क्षेत्र शीट क्षेत्रों और गोले के क्षेत्र का योग है,जबकि $B$ पर यह उनका अंतर है। अतः,$\overrightarrow{E}_A > \overrightarrow{E}_B$ है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक अनंत लंबाई के आवेशित तार जिसकी रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ (जहाँ $\lambda = q/L$) है,से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$
चूंकि $\lambda$,$\pi$,और $\epsilon_0$ स्थिरांक हैं,हम देख सकते हैं कि:
$E \propto \frac{1}{r}$
अतः,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता तार के अक्ष से दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(A) गोले के केंद्र से उस बिंदु की दूरी जहाँ विद्युत क्षेत्र $20 \,V/m$ है,$r = R + R = 2R$ है।
एक समान रूप से आवेशित अचालक गोले के बाहर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$20 = \frac{kQ}{(2R)^2} = \frac{kQ}{4R^2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{kQ}{R^2} = 80 \,V/m$।
एक समान रूप से आवेशित अचालक गोले के अंदर केंद्र से $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_{in} = \frac{kQx}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$x = \frac{R}{2}$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E_{in} = \frac{kQ(R/2)}{R^3} = \frac{kQ}{2R^2}$ होगा।
$\frac{kQ}{R^2} = 80$ रखने पर,हमें $E_{in} = \frac{80}{2} = 40 \,V/m$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि आंतरिक कोश पर आवेश $q'$ है। चूंकि आंतरिक कोश ग्राउंडेड है,इसलिए इसका विभव $V$ शून्य होना चाहिए।
आंतरिक कोश की सतह पर उसके स्वयं के आवेश $q'$ और बाहरी कोश पर स्थित आवेश $Q$ के कारण विभव इस प्रकार है:
$V = \frac{kq'}{R} + \frac{kQ}{3R} = 0$
$q'$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{kq'}{R} = -\frac{kQ}{3R} \implies q' = -\frac{Q}{3}$
अब,हमें केंद्र से $r = 2R$ की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करना है।
गॉस के नियम के अनुसार,दो कोशों के बीच बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र केवल आंतरिक कोश पर स्थित आवेश के कारण होता है।
$E_p = \frac{k|q'|}{r^2} = \frac{k(Q/3)}{(2R)^2} = \frac{kQ/3}{4R^2} = \frac{kQ}{12R^2}$

(B) मान लीजिए $\rho$ ठोस गोले का एकसमान आवेश घनत्व है। गुहा (cavity) के भीतर किसी भी बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र की गणना अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत द्वारा की जा सकती है,जिसमें गुहा को $-\rho$ आवेश घनत्व वाले गोले के रूप में माना जाता है जिसे $+\rho$ आवेश घनत्व वाले मूल ठोस गोले पर अध्यारोपित किया गया है।
$\vec{E}_{P} = \vec{E}_{\text{sphere}} + \vec{E}_{\text{cavity}}$
एकसमान रूप से आवेशित गोले के भीतर विद्युत क्षेत्र के सूत्र $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \varepsilon_0}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{E}_{P} = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \varepsilon_0} + \frac{(-\rho) \vec{r}_2}{3 \varepsilon_0} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$
चित्र की ज्यामिति से,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\vec{r}_1 = \vec{C}_1\vec{C}_2 + \vec{r}_2$,जिसका अर्थ है कि $\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{C}_1\vec{C}_2$.
अतः,$\vec{E}_{P} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \vec{C}_1\vec{C}_2$.
चूंकि $\rho$,$\varepsilon_0$,और सदिश $\vec{C}_1\vec{C}_2$ (दो गोलों के केंद्रों के बीच का विस्थापन) स्थिरांक हैं,इसलिए गुहा के भीतर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{P}$ शून्येतर और एकसमान (uniform) है।

(B) माना गेंद $B$ पर आवेश $q$ है और इसका द्रव्यमान $m$ है। बड़ी आवेशित चालक शीट $P$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ होता है।
गेंद पर लगने वाला विद्युत बल $F_e = qE = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0}$ है।
साम्यावस्था में,गेंद पर लगने वाले बल हैं:
$1$. धागे में तनाव $T$ ।
$2$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. विद्युत बल $F_e = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0}$ जो शीट से दूर क्षैतिज दिशा में कार्य करता है।
तनाव $T$ के घटकों को वियोजित करने पर:
$T \cos \theta = mg$ $(i)$
$T \sin \theta = F_e = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0}$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{q\sigma / 2\varepsilon_0}{mg}$
$\tan \theta = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0 mg}$
चूंकि $q, \varepsilon_0, m,$ और $g$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$\sigma \propto \tan \theta$.

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ त्रिज्या वाली एक गोलीय गॉसियन सतह के लिए जहाँ $a < R < b$ है,इस सतह द्वारा घिरा हुआ आवेश केवल आंतरिक गोले पर स्थित आवेश है,जो $+3Q$ है।
अतः,$E(4 \pi R^2) = \frac{3Q}{\varepsilon_0}$।
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{3Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$ प्राप्त होता है।

(C) चालक गोले की सतह पर कुल आवेश $q = \sigma A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है और $A = 4 \pi R^2$ गोले का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $\sigma = 1.8 \times 10^{-6} \ C/m^2$,$R = 0.1 \ m$.
$q = (1.8 \times 10^{-6}) \times (4 \pi \times (0.1)^2) = 1.8 \times 10^{-6} \times 4 \pi \times 0.01 = 7.2 \pi \times 10^{-8} \ C$.
केंद्र से $d = 0.2 \ m$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{7.2 \pi \times 10^{-8}}{(0.2)^2}$.
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{7.2 \pi \times 10^{-8}}{0.04} = \frac{1.8 \pi \times 10^{-8}}{\pi \varepsilon_0} = \frac{1.8 \times 10^{-8}}{\varepsilon_0} \ Vm^{-1}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,$E \approx \frac{2 \times 10^{-7}}{\varepsilon_0} \ Vm^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) $A < R < B$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, हम गॉस के नियम का उपयोग करते हैं।
केंद्र पर $R$ त्रिज्या वाले एक गोलीय गॉसियन पृष्ठ की कल्पना करें।
इस गॉसियन पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश केवल आंतरिक ठोस गोले पर स्थित आवेश है, जो $+3Q$ है।
गॉस के नियम के अनुसार, $R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_{\text{enclosed}}}{R^2}$
$q_{\text{enclosed}} = 3Q$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q}{R^2} = \frac{3Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$

(A) गॉस के प्रमेय के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = E \cdot A = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या और समान आयतन आवेश घनत्व $\rho$ वाले एक ठोस गोले के लिए,कुल परिबद्ध आवेश $q_{enc}$ घनत्व और आयतन का गुणनफल है:
$q_{enc} = \rho \times V = \rho \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है।
इन मानों को गॉस के नियम में रखने पर:
$E (4 \pi r^2) = \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3)}{\varepsilon_0}$.
दोनों पक्षों को $4 \pi r^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0}$.

(A) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ आवेश $q$ और क्षेत्रफल $A$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है: $\sigma = \frac{q}{A} = \frac{17.7 \times 10^{-4} \ C}{200 \ m^2} = 8.85 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
एक बड़ी अचालक शीट के लिए,इसके पास किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ दूरी से स्वतंत्र होती है और इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.
मान रखने पर: $E = \frac{8.85 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{10^{-6}}{2 \times 10^{-12}} = 0.5 \times 10^6 = 5 \times 10^5 \ N/C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) एक आवेशित गोले के केंद्र से '$r$' दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ कूलम्ब के नियम द्वारा इस प्रकार दी जाती है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \quad (1)$
'$r$' त्रिज्या और समान आयतन आवेश घनत्व '$\rho$' वाले एक ठोस गोले के लिए,कुल आवेश $q$ इस प्रकार है:
$q = \rho \times \text{आयतन} = \rho \times \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$q$ के इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r^3}{r^2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0}$

(A) गॉस के नियम के अनुसार,$\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व वाली एक समान रूप से आवेशित पतली अनंत समतल शीट के बाहर किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$
यहाँ,$\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व है और $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र के व्यंजक में दूरी $d$ शामिल नहीं है,इसलिए विद्युत क्षेत्र की तीव्रता समतल शीट से दूरी $d$ से स्वतंत्र है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,$R$ त्रिज्या वाले एक समान रूप से आवेशित गोलाकार कोश के केंद्र से $r$ $(r > R)$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{q}{4\pi R^{2}}$ है,इसलिए $q = \sigma(4\pi R^{2})$ होगा।
विद्युत क्षेत्र के सूत्र में $q$ का मान रखने पर:
$E = \frac{\sigma(4\pi R^{2})}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} = \frac{\sigma R^{2}}{\varepsilon_{0}r^{2}}$।

(B) अनंत लंबाई के आवेशित बेलन की अक्ष से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}$
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$E = \frac{2k\lambda}{r}$,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ N m^{2} C^{-2}$.
दिया गया है:
$\lambda = 4 \mu C m^{-1} = 4 \times 10^{-6} \ C m^{-1}$
$r = 3.6 \ cm = 3.6 \times 10^{-2} \ m$
मान रखने पर:
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^{9}) \times (4 \times 10^{-6})}{3.6 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{72 \times 10^{3}}{3.6 \times 10^{-2}}$
$E = 20 \times 10^{5} \ NC^{-1} = 2 \times 10^{6} \ NC^{-1}$

(D) $r$ त्रिज्या और एकसमान आयतन आवेश घनत्व $\rho$ वाले एक ठोस गोले का कुल आवेश $Q = \rho \times V = \rho \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ द्वारा दिया जाता है।
गॉस के नियम के अनुसार,एक आवेशित गोले के केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ होता है।
सूत्र में $Q$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3)}{r^2}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $E = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,आवेशित चालक की सतह के निकट विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यह विद्युत क्षेत्र हमेशा चालक की सतह के लंबवत (normal) दिशा में होता है।
यदि क्षेत्र लंबवत नहीं होता,तो विद्युत क्षेत्र का एक घटक सतह के समानांतर होता,जिससे चालक पर मौजूद मुक्त आवेश गति करने लगते,जो स्थिरवैद्युत संतुलन की धारणा के विपरीत है।
इसलिए,सही व्यंजक $\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ है और यह सतह के लंबवत है।

(B) मान लीजिए $\rho$ स्थिर आयतन आवेश घनत्व है। $r$ त्रिज्या और $L$ लंबाई के गाऊसी बेलन द्वारा परिबद्ध आवेश $q = \rho V = \rho (\pi r^2 L)$ है।
गाउस के नियम के अनुसार,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
बेलनाकार गाऊसी सतह के लिए,वक्र सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $E(2 \pi r L)$ है और सपाट सिरों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है।
इसलिए,$E(2 \pi r L) = \frac{\rho \pi r^2 L}{\varepsilon_0}$ है।
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{\rho r}{2 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$,$2$,और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए $E \propto r$ है।

(D) दिया गया है:
विद्युत क्षेत्र $E = 9 \times 10^4 \text{ N/C}$
दूरी $r = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$
कूलम्ब नियतांक $k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2$
अनंत रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र का सूत्र है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}$
रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{E \cdot r}{2k}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{(9 \times 10^4) \times (2 \times 10^{-2})}{2 \times (9 \times 10^9)}$
$\lambda = \frac{18 \times 10^2}{18 \times 10^9}$
$\lambda = 10^{-7} \text{ C/m}$
$\mu\text{C/m}$ में बदलने पर:
$\lambda = 0.1 \times 10^{-6} \text{ C/m} = 0.1 \mu\text{C/m}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक पतली अनंत शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों प्लेटों में समान धनात्मक पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = 17.7 \times 10^{-22} \ C/m^2$ है,इसलिए दूसरी प्लेट के बाहरी क्षेत्र में दोनों प्लेटों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र एक ही दिशा में (प्लेटों से दूर) इंगित करते हैं।
अतः,बाहरी क्षेत्र में कुल विद्युत क्षेत्र $E$ दोनों प्लेटों के क्षेत्रों का योग है:
$E = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$.
यहाँ $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2/(N \cdot m^2)$ लेने पर:
$E = \frac{17.7 \times 10^{-22}}{8.85 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{-10} \ N/C$.

(C) अनंत आवेशित समतल द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$ के प्रभाव में संतुलन में एक सरल लोलक के लिए,बॉब पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और स्थिर विद्युत बल $F_e = q_0 E$ हैं।
बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करने पर:
$T \sin \theta = q_0 E$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{q_0 E}{mg}$
एक समान रूप से आवेशित अनंत समतल के कारण विद्युत क्षेत्र निम्न प्रकार है:
$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$
इसे $\tan \theta$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \theta = \frac{q_0}{mg} \left( \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \right)$
चूंकि $q_0$,$m$,$g$ और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$\tan \theta \propto \sigma$
या,$\sigma \propto \tan \theta$।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
घन के एक शीर्ष पर रखे आवेश $q$ को घेरने के लिए,हमें $8$ समान घनों की आवश्यकता होती है ताकि एक बड़ा सममित घन बन सके और आवेश $q$ उस बड़े घन के केंद्र में स्थित हो।
बड़े घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
चूंकि आवेश कोने पर है,इसलिए मूल घन से गुजरने वाला फ्लक्स कुल फ्लक्स का $\frac{1}{8}$ भाग होगा,जो $\frac{q}{8 \varepsilon_0}$ है।
मूल घन के $6$ फलकों में से,$3$ फलक उस शीर्ष पर मिलते हैं जहाँ आवेश रखा गया है। विद्युत क्षेत्र रेखाएं इन $3$ फलकों के समानांतर होती हैं,इसलिए इन $3$ फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स $0$ होता है।
शेष $3$ फलक फ्लक्स को समान रूप से साझा करते हैं।
इसलिए,इन $3$ फलकों में से किसी एक से गुजरने वाला फ्लक्स $\frac{1}{3} \times \frac{q}{8 \varepsilon_0} = \frac{q}{24 \varepsilon_0}$ होगा।

(B) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक पतली अनंत शीट के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ होती है।
समान पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ वाली दो समानांतर शीटों के लिए:
$1$. शीटों के बीच: दोनों शीटों के कारण विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं। अतः,कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = E_1 - E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 0$ होता है।
$2$. शीटों के बाहर: दोनों शीटों के कारण विद्युत क्षेत्र एक ही दिशा में होते हैं। अतः,कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ होता है।
अतः,शीटों के बीच विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $0$ है और शीटों के बाहर $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ है।
सही विकल्प $B$ है।

(A) अनंत लंबाई के सीधे समान रूप से आवेशित तार से $r$ लंबवत दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$
दिया गया है:
$E = 3 \times 10^8 \ N C^{-1}$
$r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$
$k = 9 \times 10^9 \ N m^2 C^{-2}$
रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{E \cdot r}{2k}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^8) \times (2 \times 10^{-2})}{2 \times (9 \times 10^9)}$
$\lambda = \frac{6 \times 10^6}{18 \times 10^9}$
$\lambda = \frac{1}{3} \times 10^{-3} \ C/m$
$\lambda = 0.3333 \times 10^{-3} \ C/m = 333 \times 10^{-6} \ C/m$
$\lambda = 333 \ \mu C/m$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,समान पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत अचालक समतल शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$
जहाँ $\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता (permittivity) है।
यह क्षेत्र एकसमान होता है और शीट के लंबवत दिशा में कार्य करता है।

(A) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत समतल शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
समान धनात्मक पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली दो समानांतर शीटों के लिए,शीट $1$ द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $(E_1)$ उससे दूर (शीटों के बीच के क्षेत्र में दाईं ओर) इंगित करता है,और शीट $2$ द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $(E_2)$ उससे दूर (शीटों के बीच के क्षेत्र में बाईं ओर) इंगित करता है।
दोनों शीटों के बीच के क्षेत्र में,कुल विद्युत क्षेत्र दोनों क्षेत्रों का सदिश योग है:
$E_{net} = E_1 - E_2$
चूंकि दोनों शीटों का पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ समान है,इसलिए $E_1 = E_2 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ होगा।
अतः,$E_{net} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = 0$।
इस प्रकार,दोनों शीटों के बीच विद्युत क्षेत्र शून्य है।

(B) अनंत लंबाई के,सीधे,समान रूप से आवेशित तार से $r$ लंबवत दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$,गॉस के नियम के अनुसार इस प्रकार दी जाती है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}$
यहाँ,$\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व है,$\varepsilon_{0}$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है और $\pi$ एक स्थिरांक है।
चूंकि $\lambda$,$\pi$ और $\varepsilon_{0}$ स्थिरांक हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्र और दूरी के बीच का संबंध है:
$E \propto \frac{1}{r}$
अतः,विद्युत क्षेत्र दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।