Solution of trigonometrical equations Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$.
બંને બાજુને $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{2}$ વડે ભાગતા.
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી $\tan \alpha = \tan(\frac{\pi}{12})$,એટલે કે $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
સમીકરણ $\cos(\theta - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{4})$ બને છે.
વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \cos ^2 x + 3 \sin x - 3 = 0$
નિત્યસમ $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \sin ^2 x) + 3 \sin x - 3 = 0$
$2 - 2 \sin ^2 x + 3 \sin x - 3 = 0$
$2 \sin ^2 x - 3 \sin x + 1 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(2 \sin x - 1)(\sin x - 1) = 0$
તેથી $\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = 1$.
$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે,$x = \frac{\pi}{6}$.
$\sin x = 1$ માટે,$x = \frac{\pi}{2}$.
ત્રિકોણના બે ખૂણાઓ $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{\pi}{2}$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $\pi$ થાય છે.
ત્રીજો ખૂણો $= \pi - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}) = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x - 2 \tan x + 2 = 0$
$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} - 2 \tan x + 2 = 0$
$(1 + \tan^2 x)$ વડે ગુણતા:
$(1 - \tan^2 x) - 2 \tan x(1 + \tan^2 x) + 2(1 + \tan^2 x) = 0$
$1 - \tan^2 x - 2 \tan x - 2 \tan^3 x + 2 + 2 \tan^2 x = 0$
$2 \tan^3 x - \tan^2 x + 2 \tan x - 3 = 0$
ધારો કે $\tan x = t$,તો $2t^3 - t^2 + 2t - 3 = 0$.
અવલોકન કરતા,$t = 1$ એ બીજ છે.
$(t - 1)(2t^2 + t + 3) = 0$ મળે.
અહીં $2t^2 + t + 3$ માટે વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ઉકેલ માત્ર $t = 1$ છે.
તેથી,$\tan x = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$.
વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \frac{\pi}{4}, n \in Z$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin x - \sin 2x + \sin 3x = 2 \cos^2 x - 2 \cos x$
$\sin 2x(2 \cos x - 1) = 2 \cos x(\cos x - 1)$
$\cos x = 0$ માટે $x = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
આમ,$(0, \pi)$ માં ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin \theta - 3 \sin 2 \theta + \sin 3 \theta = \cos \theta - 3 \cos 2 \theta + \cos 3 \theta$
પદોને ગોઠવતા: $(\sin \theta + \sin 3 \theta) - 3 \sin 2 \theta = (\cos \theta + \cos 3 \theta) - 3 \cos 2 \theta$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 2 \theta \cos \theta - 3 \sin 2 \theta = 2 \cos 2 \theta \cos \theta - 3 \cos 2 \theta$
$\sin 2 \theta (2 \cos \theta - 3) = \cos 2 \theta (2 \cos \theta - 3)$
$(\sin 2 \theta - \cos 2 \theta)(2 \cos \theta - 3) = 0$
અહીં $2 \cos \theta - 3 = 0 \Rightarrow \cos \theta = \frac{3}{2}$ શક્ય નથી.
તેથી,$\sin 2 \theta - \cos 2 \theta = 0$
$\sin 2 \theta = \cos 2 \theta \Rightarrow \tan 2 \theta = 1$
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$2 \theta = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{8}$.

(A) આપણી પાસે સમીકરણ $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ છે.
$\sin^2(ax) \geq 0$ હોવાથી,$1+\sin^2(ax) \geq 1$ થાય.
વળી,આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $\cos(x) \leq 1$ થાય.
સમીકરણ $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ સાચું હોવા માટે,બંને બાજુ $1$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$\cos(x) = 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x = 2n\pi$ (જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે).
$x = 2n\pi$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,$1+\sin^2(a(2n\pi)) = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2(2an\pi) = 0$.
આથી $\sin(2an\pi) = 0$,એટલે કે $2an\pi = k\pi$ (જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે),જેનું સાદું રૂપ $a = \frac{k}{2n}$ થાય.
જો $n \neq 0$ હોય,તો $a$ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
પરંતુ,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $a$ અસંમેય છે.
તેથી,$n$ માટે માત્ર $0$ શક્ય છે,જે $x = 0$ આપે છે.
$x=0$ માટે ચકાસતા: $1+\sin^2(a \cdot 0) = 1+0 = 1$ અને $\cos(0) = 1$.
આમ,$x=0$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\cos 2 \theta = \sin \theta$ છે.
નિત્યસમ $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 2 \sin^2 \theta = \sin \theta$
$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - \sin \theta - 1 = 0$
$2 \sin \theta (\sin \theta + 1) - 1 (\sin \theta + 1) = 0$
$(\sin \theta + 1)(2 \sin \theta - 1) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
$1) \sin \theta = -1 \Rightarrow \theta = \frac{3 \pi}{2}$
$2) \sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}$
$\theta \in (0, 2 \pi)$ હોવાથી,ત્રણેય કિંમતો $\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$ માન્ય ઉકેલો છે.
આમ,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sec x \cos 5x + 1 = 0$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ હોવાથી,$\frac{\cos 5x}{\cos x} + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે $\cos 5x + \cos x = 0$ જ્યાં $\cos x \neq 0$.
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos 3x \cos 2x = 0$.
આથી $\cos 3x = 0$ અથવા $\cos 2x = 0$.
$[0, 2\pi]$ માં $\cos 3x = 0$ માટે,$3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}$,તેથી $x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$.
$[0, 2\pi]$ માં $\cos 2x = 0$ માટે,$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$,તેથી $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
આપણે $\cos x = 0$ હોય તેવી કિંમતો દૂર કરવી પડશે,એટલે કે $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
માન્ય ઉકેલો $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $8$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta+(\sqrt{3}+1) \cos \theta=2$
$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ વડે ભાગતા.
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$\sin \frac{\pi}{12} \sin \theta + \cos \frac{\pi}{12} \cos \theta = \cos \frac{\pi}{4}$.
$\cos(\theta - \frac{\pi}{12}) = \cos \frac{\pi}{4}$.
વ્યાપક ઉકેલ: $\theta - \frac{\pi}{12} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$,જ્યાં $n \in Z$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x + 2 \cos^2 x = 2$
નિત્યસમ $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(2 \cos^2 x - 1) + 2 \cos^2 x = 2$
$4 \cos^2 x = 3$
$\cos^2 x = \frac{3}{4}$
$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ જ્યાં $n \in Z$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos^2 2x + \sin^2 3x = 1$
$\Rightarrow \sin^2 3x = 1 - \cos^2 2x$
$\Rightarrow \sin^2 3x = \sin^2 2x$
$\Rightarrow \sin^2 3x - \sin^2 2x = 0$
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \sin(3x + 2x) \sin(3x - 2x) = 0$
$\Rightarrow \sin 5x \sin x = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 5x = 0$ $\Rightarrow 5x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{5}, n \in \mathbb{Z}$
કિસ્સો $2$: $\sin x = 0 \Rightarrow x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$
$n\pi$ એ $\frac{n\pi}{5}$ નો ઉપગણ હોવાથી,સામાન્ય ઉકેલ $x = \frac{n\pi}{5}, n \in \mathbb{Z}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin \theta + \cos \theta = 0$
બંને બાજુ $\cos \theta$ વડે ભાગતા ($\cos \theta \neq 0$ ધારીને):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + 1 = 0$
$\tan \theta = -1$
કારણ કે $0 < \theta < \pi$, $\theta$ ની કિંમત જ્યાં $\tan \theta = -1$ થાય તે બીજા ચરણમાં છે.
તેથી, $\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan (\pi \tan x) = \cot (\pi \cot x)$
નિત્યસમ $\cot \theta = \tan (\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan (\pi \tan x) = \tan (\frac{\pi}{2} - \pi \cot x)$
આથી $\pi \tan x = n\pi + (\frac{\pi}{2} - \pi \cot x)$ મળે, જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
મુખ્ય કિસ્સો $n=0$ લેતા:
$\pi \tan x = \frac{\pi}{2} - \pi \cot x$
$\tan x + \cot x = \frac{1}{2}$
$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{\sin 2x} = \frac{1}{2}$
$\sin 2x = 4$
$\sin 2x$ ની કિંમત $[-1, 1]$ ની વચ્ચે હોવાથી, $\sin 2x = 4$ શક્ય નથી.
તેથી, ઉકેલ ગણ $\phi$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ એ $G.P.$ માં છે, તેથી $\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \cdot \tan \theta$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ મૂકતા, આપણને $\cos^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{6 \cos \theta}$ મળે છે.
આથી $6 \cos^3 \theta = \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
ગોઠવતા $6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$ મળે છે.
$x = \cos \theta$ લેતા, $6x^3 + x^2 - 1 = 0$.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા, $6(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - 1 = 0$ મળે છે.
તેથી, $(2 \cos \theta - 1)$ એક અવયવ છે.
$6x^3 + x^2 - 1$ ને $(2x - 1)$ વડે ભાગતા $3x^2 + 2x + 1 = 0$ મળે છે.
$3x^2 + 2x + 1$ નો વિવેચક $D = 4 - 12 = -8 < 0$ છે, તેથી અહીં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી, $\cos \theta = \frac{1}{2}$, જેનો અર્થ છે કે $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 6 \theta + \sin 4 \theta + \sin 2 \theta = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 6 \theta + \sin 2 \theta) + \sin 4 \theta = 0$
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 4 \theta \cos 2 \theta + \sin 4 \theta = 0$
$\sin 4 \theta$ સામાન્ય લેતા:
$\sin 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin 4 \theta = 0$ $\Rightarrow 4 \theta = n \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{4}$
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2 \pi}{3}$
$\cos x = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = 2 n \pi \pm \alpha$ છે:
$2 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \Rightarrow \theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$
આમ, $\theta = \frac{n \pi}{4}$ અથવા $\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$, જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ અને $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ હોવાથી:
$\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\sin x + 1 = 2 - 2 \sin^2 x$
$2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
તેથી $\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = -1$.
$x \in [0, \pi]$ માટે, $\sin x = \frac{1}{2}$ પરથી $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \frac{5\pi}{6}$ મળે છે.
$\sin x = -1$ માટે $x = \frac{3\pi}{2}$ મળે, જે અંતરાલ $[0, \pi]$ ની બહાર છે.
આમ, ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $a \sin x + b \cos x = c$ સ્વરૂપનું છે, જ્યાં $a = 2$, $b = 1$, અને $c = 3$ છે.
સમીકરણ $a \sin x + b \cos x = c$ ને ઉકેલ હોવા માટે, શરત $|c| \leq \sqrt{a^2 + b^2}$ સંતોષાવી જોઈએ.
અહીં, $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ છે.
કારણ કે $\sqrt{5} \approx 2.236$, તેથી $c = 3 > \sqrt{5}$ થાય.
$2 \sin x + \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{5}$ હોવાથી, તે ક્યારેય $3$ સુધી પહોંચી શકતું નથી.
તેથી, આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) પ્રથમ, આપણે પદાવલિ $f(a) = a^2 - 4a + 6$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધીએ.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા, $f(a) = (a-2)^2 + 2$ મળે છે.
$(a-2)^2 + 2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે જ્યારે $a=2$ હોય.
તેથી, $\min_{a \in \mathbb{R}} \{1, a^2 - 4a + 6\} = \min \{1, 2\} = 1$.
હવે, સમીકરણ $\sin x + \cos x = 1$ ઉકેલીએ.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા, $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આને $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$ તરીકે લખી શકાય.
$\sin \theta = \sin \alpha$ નો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
તેથી, $x + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$.
$x$ માટે ઉકેલતા, $x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $5 \cos 2 \theta + 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 1 = 0$
નિત્યસમ $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5 \cos 2 \theta + (1 + \cos \theta) + 1 = 0$
$5(2 \cos^2 \theta - 1) + \cos \theta + 2 = 0$
$10 \cos^2 \theta + \cos \theta - 3 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(5 \cos \theta - 3)(2 \cos \theta + 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $2 \cos \theta + 1 = 0 \implies \cos \theta = -\frac{1}{2} \implies \theta = \frac{2\pi}{3}$.
કિસ્સો $2$: $5 \cos \theta - 3 = 0 \implies \cos \theta = \frac{3}{5} \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે પદાવલિ $a \sin x + b \cos x$ એ અંતરાલ $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ માં રહેલી છે.
અહીં, $a = \sqrt{3}$ અને $b = 1$ છે.
તેથી, $\sqrt{3} \sin x + \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ છે.
આ પદાવલિની મહત્તમ કિંમત $2$ હોવાથી, તે ક્યારેય $4$ ની બરાબર થઈ શકે નહીં.
તેથી, સમીકરણ $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 4$ નો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan(x+100^{\circ}) = \tan(x+50^{\circ}) \tan x \tan(x-50^{\circ})$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\sin(4x + 100^{\circ}) = \sin(-40^{\circ})$ મળે છે.
વ્યાપક ઉકેલ: $4x + 100^{\circ} = n \cdot 180^{\circ} + (-1)^n (-40^{\circ})$.
અંતરાલ $[0, 180^{\circ}]$ માં ઉકેલો $x = 30^{\circ}, 55^{\circ}, 120^{\circ}, 145^{\circ}$ મળે છે.
આમ, કુલ $4$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3}\cos 2\theta + 8\cos \theta + 3\sqrt{3} = 0$
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{3}(2\cos^2 \theta - 1) + 8\cos \theta + 3\sqrt{3} = 0$
$2\sqrt{3}\cos^2 \theta + 8\cos \theta + 2\sqrt{3} = 0$
$2$ વડે ભાગતા: $\sqrt{3}\cos^2 \theta + 4\cos \theta + \sqrt{3} = 0$
અવયવ પાડતા: $(\sqrt{3}\cos \theta + 1)(\cos \theta + \sqrt{3}) = 0$
તેથી $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ અથવા $\cos \theta = -\sqrt{3}$.
$\cos \theta = -\sqrt{3}$ શક્ય નથી.
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $[-3\pi, 2\pi]$ અંતરાલમાં કુલ $5$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos\theta - \sqrt{3}\sin\theta = -1$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = -\frac{1}{2}$.
આને $\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $\alpha = \theta + \frac{\pi}{3}$. કારણ કે $\theta \in (-2\pi, 2\pi)$, તેથી $\alpha \in (-2\pi + \frac{\pi}{3}, 2\pi + \frac{\pi}{3}) = (-\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.
$\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ માટે, ઉકેલો $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ અથવા $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ છે.
$n=0$ માટે: $\alpha = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.
$n=1$ માટે: $\alpha = \frac{8\pi}{3}$ (સીમાની બહાર), $\alpha = \frac{10\pi}{3}$ (સીમાની બહાર).
$n=-1$ માટે: $\alpha = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$, $\alpha = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}$.
આમ, $\theta = \alpha - \frac{\pi}{3}$ લેતા $\theta = \frac{\pi}{3}, \pi, -\frac{5\pi}{3}, -\pi$ મળે છે.
આ કિંમતોનો સરવાળો $\frac{\pi}{3} + \pi - \frac{5\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3}$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos \theta \cos \frac{5\theta}{2} = \cos 7\theta \cos \frac{7\theta}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \cos \theta \cos \frac{5\theta}{2} = 2 \cos 7\theta \cos \frac{7\theta}{2}$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\frac{7\theta}{2}) + \cos(-\frac{3\theta}{2}) = \cos(\frac{21\theta}{2}) + \cos(\frac{7\theta}{2})$.
આથી $\cos(\frac{3\theta}{2}) = \cos(\frac{21\theta}{2})$ મળે.
વ્યાપક ઉકેલ: $\frac{21\theta}{2} = 2n\pi \pm \frac{3\theta}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{21\theta}{2} - \frac{3\theta}{2} = 2n\pi \implies 9\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{2n\pi}{9}$. $\theta \in [-\pi, \pi]$ માટે, $n \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($9$ કિંમતો).
કિસ્સો $2$: $\frac{21\theta}{2} + \frac{3\theta}{2} = 2n\pi \implies 12\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{n\pi}{6}$. $\theta \in [-\pi, \pi]$ માટે, $n \in \{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($13$ કિંમતો).
બંને ગણના સભ્યોને ભેગા કરતા અને પુનરાવર્તિત કિંમતો દૂર કરતા, કુલ $13$ અલગ કિંમતો મળે છે.
તેથી $n(S) = 13$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$ છે.
$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરવા માટે બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2 \sin x \cos x = 2 \times \frac{1}{4}$
$\sin(2x) = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ થાય છે.
$\sin \theta = \sin \alpha$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
અહીં, $\theta = 2x$ અને $\alpha = \frac{\pi}{6}$ છે.
તેથી, $2x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$.
$2$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$x = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos 3x \cdot \tan 5x = \sin 7x$
$\cos 3x \cdot \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = \sin 7x$
$\cos 3x \cdot \sin 5x = \sin 7x \cdot \cos 5x$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} [\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)] = \frac{1}{2} [\sin(7x+5x) + \sin(7x-5x)]$
$\sin 8x + \sin 2x = \sin 12x + \sin 2x$
$\sin 12x = \sin 8x$
$\sin 12x - \sin 8x = 0$
$2 \cos(10x) \sin(2x) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 2x = 0 \implies 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}$। $[0, \frac{\pi}{2})$ માં, $x = 0$।
કિસ્સો $2$: $\cos 10x = 0 \implies 10x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies x = \frac{(2n+1)\pi}{20}$।
$x \in [0, \frac{\pi}{2})$ માટે, $n = 0, 1, 2, 3, 4 \implies x = \frac{\pi}{20}, \frac{3\pi}{20}, \frac{5\pi}{20}, \frac{7\pi}{20}, \frac{9\pi}{20}$।
પ્રદેશની ચકાસણી: $\tan 5x$ એ $5x = (2k+1)\frac{\pi}{2} \implies x = \frac{(2k+1)\pi}{10}$ પર અવ્યાખ્યાયિત છે।
$k=0, 1, 2$ માટે, આ કિંમતો મળેલા ઉકેલોમાં નથી।
કુલ માન્ય ઉકેલો: $x = 0, \frac{\pi}{20}, \frac{3\pi}{20}, \frac{5\pi}{20}, \frac{7\pi}{20}, \frac{9\pi}{20}$। કુલ $6$ ઉકેલો.

(A) સમીકરણ $\cos \theta - \sin \theta = 1$ ને $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4}$
$\cos x = \cos \alpha$ નો વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \alpha$ છે:
$\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$
કિસ્સો $1$: $\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{4} \implies \theta = 2n\pi$
કિસ્સો $2$: $\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi - \frac{\pi}{4} \implies \theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$
આમ, $\theta = 2n\pi, 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ જ્યાં $n \in Z$ છે.

(B) આપેલ છે $\cos(p\theta) + \cos(q\theta) = 0$।
સરવાળા-થી-ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos(\frac{(p+q)\theta}{2}) \cos(\frac{(p-q)\theta}{2}) = 0$।
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $\cos(\frac{(p+q)\theta}{2}) = 0$ અથવા $\cos(\frac{(p-q)\theta}{2}) = 0$।
$\cos x = 0$ માટે, વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{(p+q)\theta}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{p+q}$।
કિસ્સો $2$: $\frac{(p-q)\theta}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{p-q}$।
આમ, $\theta = \frac{(2n+1)\pi}{p \pm q}$।

(C) આપેલ છે $\frac{1}{\cos 4\theta} - \frac{1}{\cos 2\theta} = 2$।
$LCM$ લેતા: $\frac{\cos 2\theta - \cos 4\theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$।
$\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2 \sin 3\theta \sin \theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$।
$\sin 3\theta \sin \theta = \cos 4\theta \cos 2\theta$।
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ અને $2 \cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}(\cos 2\theta - \cos 4\theta) = \frac{1}{2}(\cos 2\theta + \cos 6\theta)$।
$-\cos 4\theta = \cos 6\theta \implies \cos 6\theta + \cos 4\theta = 0$।
$2 \cos 5\theta \cos \theta = 0$।
કિસ્સો $1$: $\cos 5\theta = 0 \implies 5\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{10} = \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$।
કિસ્સો $2$: $\cos \theta = 0 \implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$।
આમ, $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}, \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$।

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cot \theta \cdot \cot 2\theta = 1$
$\implies \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} = 1$
$\implies \cos \theta \cdot \cos 2\theta = \sin \theta \cdot \sin 2\theta$
$\implies \cos \theta \cdot \cos 2\theta - \sin \theta \cdot \sin 2\theta = 0$
નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\implies \cos(\theta + 2\theta) = 0$
$\implies \cos 3\theta = 0$
$\cos x = 0$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in Z$ છે.
તેથી, $3\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$
$\implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{6}, n \in Z$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin 3\theta - \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$.
$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ અને $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3\sin \theta - 4\sin^3 \theta - (1 - \sin^2 \theta) = \frac{1}{4}$.
$-4\sin^3 \theta + \sin^2 \theta + 3\sin \theta - 1 = \frac{1}{4}$.
$-4$ વડે ગુણતા: $16\sin^3 \theta - 4\sin^2 \theta - 12\sin \theta + 4 = -1$.
$16\sin^3 \theta - 4\sin^2 \theta - 12\sin \theta + 5 = 0$.
ધારો કે $x = \sin \theta$. કારણ કે $\theta \in [0, \pi]$, $x \in [0, 1]$.
$f(x) = 16x^3 - 4x^2 - 12x + 5 = 0$.
$f(0) = 5$ અને $f(1) = 5$.
$f'(x) = 48x^2 - 8x - 12 = 4(12x^2 - 2x - 3)$.
$f'(x) = 0$ ના બીજ $x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{12}$ છે.
$x \in [0, 1]$ હોવાથી, $x_0 = \frac{1 + \sqrt{37}}{12} \approx 0.59$ ધ્યાનમાં લો.
$f(0.59) < 0$ મળે છે.
$f(0) > 0$, $f(x_0) < 0$, અને $f(1) > 0$ હોવાથી, $(0, 1)$ માં $x$ ના બે બીજ છે.
દરેક $x$ માટે, $[0, \pi]$ માં $\theta$ ના બે મૂલ્યો મળે છે.
આમ, કુલ $4$ ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos x - \sin x = -1$.
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા, $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{3\pi}{4}$ મળે.
કિસ્સો $1$: $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{3\pi}{4} \implies x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
$x \in [0, 6\pi]$ માટે, $n=0, 1, 2$ લેતા $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$ મળે.
કિસ્સો $2$: $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi - \frac{3\pi}{4} \implies x = 2n\pi - \pi$.
$x \in [0, 6\pi]$ માટે, $n=1, 2, 3$ લેતા $x = \pi, 3\pi, 5\pi$ મળે.
આપેલ છે કે $x = k(\frac{\pi}{3})$, તેથી $k = \frac{3x}{\pi}$.
$x = \frac{\pi}{2}$ માટે, $k = 1.5$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
$x = \frac{5\pi}{2}$ માટે, $k = 7.5$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
$x = \frac{9\pi}{2}$ માટે, $k = 13.5$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી).
$x = \pi$ માટે, $k = 3$.
$x = 3\pi$ માટે, $k = 9$.
$x = 5\pi$ માટે, $k = 15$.
આમ, $k \in \{3, 9, 15\}$. મૂલ્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) પગલું $1$: પ્રથમ સમીકરણ $2 \sin^2 \theta - 2 \cos^2 \theta + 1 = 0$ ને ઉકેલો.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $2 \sin^2 \theta - 2(1 - \sin^2 \theta) + 1 = 0$ મળે છે.
$2 \sin^2 \theta - 2 + 2 \sin^2 \theta + 1 = 0 \implies 4 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
પગલું $2$: દ્વિતીય સમીકરણ $2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$ ને ઉકેલો.
ધારો કે $x = \sin \theta$. તો $2x^2 + 3x - 2 = 0 \implies (2x - 1)(x + 2) = 0$.
તેથી, $\sin \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin \theta = -2$. કારણ કે $-1 \le \sin \theta \le 1$, તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2}$.
પગલું $3$: સામાન્ય ઉકેલો શોધો.
સામાન્ય શરત $\sin \theta = \frac{1}{2}$ છે.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં, $\sin \theta = \frac{1}{2}$ એ $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5\pi}{6}$ પર મળે છે.
આમ, $2$ સામાન્ય ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos x + \sin x = \cos 2x + \sin 2x$
$\cos x - \cos 2x = \sin 2x - \sin x$
$\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ અને $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{-x}{2} = 2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}$
$2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}$
$2 \sin \frac{x}{2} (\sin \frac{3x}{2} - \cos \frac{3x}{2}) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = n\pi \implies x = 2n\pi$। અહીં $p=2$ છે.
કિસ્સો $2$: $\sin \frac{3x}{2} = \cos \frac{3x}{2} \implies \tan \frac{3x}{2} = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$\frac{3x}{2} = n\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$। અહીં $q=2$ છે.
આમ, $p:q = 2:2 = 1:1$.

(C) આપેલ છે $\text{cosec}(\theta) = -2$, જેનો અર્થ છે $\sin(\theta) = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\sin(\theta)$ ઋણ છે, તેથી $\theta$ ત્રીજા અથવા ચોથા ચરણમાં હોવો જોઈએ.
સંદર્ભ ખૂણો $\alpha$ એવો છે કે $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$, તેથી $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
ત્રીજા ચરણમાં, $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.
ચોથા ચરણમાં, $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
આમ, મુખ્ય ઉકેલો $\frac{7\pi}{6}$ અને $\frac{11\pi}{6}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos 4\theta = \cos 3\theta$ છે.
$\cos x = \cos y$ માટે વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર વાપરતા, જે $x = 2n\pi \pm y$ છે, જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$ છે.
અહીં, $x = 4\theta$ અને $y = 3\theta$ છે.
કિસ્સો $1$: $4\theta = 2n\pi + 3\theta \implies \theta = 2n\pi$ છે.
કિસ્સો $2$: $4\theta = 2n\pi - 3\theta \implies 7\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{2n\pi}{7}$ છે.
આમ, વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi$ અથવા $\theta = \frac{2n\pi}{7}$ છે, જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$ છે.