Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$, $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$, અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
તેથી, $r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$.
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ ને સામાન્ય લેતા:
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)} [(s-c) + (s-a) + (s-b)]$.
કારણ કે $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$, પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{\Delta^2}{\Delta^2/s} [3s - (a+b+c)]$.
$a+b+c = 2s$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s [3s - 2s] = s^2$.
કારણ કે $r = \frac{\Delta}{s}$, તેથી $s = \frac{\Delta}{r}$, એટલે કે $s^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}$.

(B) આપેલ છે કે $\sin A, \sin B, \sin C$ એ $A.P.$ માં છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, જ્યાં $R$ એ પરિવૃતની ત્રિજ્યા છે.
તેથી, $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $p_1, p_2, p_3$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $a, b, c$ ને અનુરૂપ વેધ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$.
આનો અર્થ એ થાય કે $p_1 = \frac{2\Delta}{a}, p_2 = \frac{2\Delta}{b}, p_3 = \frac{2\Delta}{c}$.
જેમ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે, તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી, $\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ એ $H.P.$ માં છે.
આમ, વેધ $p_1, p_2, p_3$ એ $H.P.$ માં છે.

(D) $\Delta PQR$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા, આપણી પાસે $\frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} = \frac{r}{\sin R} = 2R_{c}$ છે, જ્યાં $R_{c}$ એ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા છે.
આમ, $\sin P = \frac{p}{2R_{c}}$, $\sin Q = \frac{q}{2R_{c}}$, અને $\sin R = \frac{r}{2R_{c}}$.
આપેલ સમીકરણ $r^{2} \sin P \sin Q = pq$ છે.
$\sin P$ અને $\sin Q$ ની કિંમતો મૂકતા:
$r^{2} \left( \frac{p}{2R_{c}} \right) \left( \frac{q}{2R_{c}} \right) = pq$
$r^{2} \frac{pq}{4R_{c}^{2}} = pq$
$p, q \neq 0$ હોવાથી, આપણે બંને બાજુને $pq$ વડે ભાગી શકીએ:
$\frac{r^{2}}{4R_{c}^{2}} = 1$
$r^{2} = 4R_{c}^{2}$
$r = 2R_{c}$
$r = 2R_{c} \sin R$ હોવાથી, આપણને $2R_{c} \sin R = 2R_{c}$ મળે છે.
$\sin R = 1$
$R = 90^{\circ}$.
તેથી, ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) $\Delta PQR$ માં, ખૂણાઓનો સરવાળો $P+Q+R = 180^{\circ}$ થાય.
$P+R = 180^{\circ}-Q$ હોવાથી, આપણે આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકીએ:
$2pr \sin \left(\frac{P+R-Q}{2}\right) = 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-Q-Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-2Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin (90^{\circ}-Q)$
$= 2pr \cos Q$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ, $\cos Q = \frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= 2pr \left(\frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}\right)$
$= p^{2}+r^{2}-q^{2}$.

(B) આપેલ છે કે ખૂણાઓ $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, તેથી $2B = A+C$. $A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી, $3B = 180^{\circ}$, એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$, તેથી $a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C$.
તેથી, $\frac{a+c}{b} = \frac{\sin A + \sin C}{\sin B}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
$A+C = 2B$ હોવાથી, $\frac{A+C}{2} = B$.
આમ, $\frac{a+c}{b} = \frac{2 \sin B \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)}{\sin B} = 2 \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.

(A) આપેલ છે: $a = 2 \sqrt{2}$, $b = 6$, અને $A = 45^{\circ}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{6}{\sin B}$.
$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{6 \times \sin 45^{\circ}}{2 \sqrt{2}}$.
$\sin B = \frac{6 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} = \frac{6}{2 \times 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.
$\sin B$ ની કિંમત $1$ થી વધુ હોઈ શકે નહીં, તેથી $\sin B = 1.5$ શક્ય નથી.
તેથી, કોઈ ત્રિકોણ શક્ય નથી.

(C) આપેલ સંબંધ: $\sin A \sin B = \frac{ab}{c^2}$
સાઇન નિયમ મુજબ, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
આથી, $\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{a}{2R}\right) \left(\frac{b}{2R}\right) = \frac{ab}{c^2}$
$\frac{ab}{4R^2} = \frac{ab}{c^2}$
$ab$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{4R^2} = \frac{1}{c^2}$ $\Rightarrow c^2 = 4R^2$ $\Rightarrow c = 2R$.
$c = 2R$ હોવાથી, $\frac{c}{\sin C} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{c}{2R} = 1$.
તેથી, $C = 90^{\circ}$.
આમ, ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) $\triangle ABC$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{2/3} = \frac{3}{\sin B}$
$3 = \frac{3}{\sin B}$
$\sin B = 1$
તેથી, $B = 90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન થાય.

(B) આપેલ છે, $a^{2} \cos^{2} A - b^{2} - c^{2} = 0$
$\Rightarrow a^{2} \cos^{2} A = b^{2} + c^{2}$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ, $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$.
$b^{2} + c^{2} = a^{2} \cos^{2} A$ મૂકતા, આપણને મળે:
$\cos A = \frac{a^{2} \cos^{2} A - a^{2}}{2bc} = \frac{-a^{2}(1 - \cos^{2} A)}{2bc} = \frac{-a^{2} \sin^{2} A}{2bc}$.
$a, b, c > 0$ અને $0 < A < \pi$ માટે $\sin^{2} A > 0$ હોવાથી, $\cos A < 0$ થાય.
તેથી, $A$ એ બીજા ચરણમાં હોવો જોઈએ, એટલે કે $\frac{\pi}{2} < A < \pi$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં, $A+B+C = \pi$, તેથી $A+C = \pi - B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા, $\frac{A+C-B}{2} = \frac{\pi-B-B}{2} = \frac{\pi}{2} - B$ મળે.
તેથી, $2ac \sin \left(\frac{A-B+C}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{\pi}{2}-B\right)$.
નિત્યસમ $\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા, $2ac \cos B$ મળે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ, $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
આ કિંમત મૂકતા, $2ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) = a^2+c^2-b^2$ મળે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $2x, 3x,$ અને $7x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી, $2x + 3x + 7x = 180^{\circ}$.
$12x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 15^{\circ}$.
તેથી, ખૂણાઓ $30^{\circ}, 45^{\circ},$ અને $105^{\circ}$ છે.
સૌથી નાની બાજુ $a$ એ સૌથી નાના ખૂણા $30^{\circ}$ ની સામેની બાજુ છે.
સાઇન નિયમ મુજબ, $\frac{a}{\sin A} = 2R$, જ્યાં $R = 10 \text{ cm}$.
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = 2 \times 10$.
$a = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \text{ cm}$.

(B) $1$. ધારો કે ખૂણાઓ $a-d$, $a$, અને $a+d$ છે. ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી, $(a-d) + a + (a+d) = 180^\circ$, જે આપણને $3a = 180^\circ$ આપે છે, તેથી $a = 60^\circ$.
$2$. આ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી, એક ખૂણો $90^\circ$ હોવો જોઈએ. તેથી, $a+d = 90^\circ \implies 60^\circ + d = 90^\circ \implies d = 30^\circ$.
$3$. ખૂણાઓ $30^\circ$, $60^\circ$, અને $90^\circ$ છે.
$4$. $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ ત્રિકોણમાં, બાજુઓનો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{3} : 2$ હોય છે. સૌથી નાની બાજુ સૌથી નાના ખૂણા $(30^\circ)$ ની સામે હોય છે.
$5$. સૌથી નાની બાજુ $4$ આપેલી હોવાથી, બાજુઓ $4$, $4\sqrt{3}$, અને $8$ છે.
$6$. કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ sq. units}$ થાય.

(D) આપેલ છે $\angle C = 90^\circ$, તેથી $A + B = 90^\circ$, જેનો અર્થ છે $B = 90^\circ - A$।
સાઇન નિયમ (sine rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
તેથી, $a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B = 2R \sin(90^\circ - A) = 2R \cos A$।
હવે, $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{(2R \sin A)^2 - (2R \cos A)^2}{(2R \sin A)^2 + (2R \cos A)^2}$ ધ્યાનમાં લો.
$= \frac{4R^2(\sin^2 A - \cos^2 A)}{4R^2(\sin^2 A + \cos^2 A)} = \frac{-(\cos^2 A - \sin^2 A)}{1} = -\cos(2A)$।
કારણ કે $B = 90^\circ - A$, તો $A - B = A - (90^\circ - A) = 2A - 90^\circ$।
તેથી, $\sin(A - B) = \sin(2A - 90^\circ) = -\sin(90^\circ - 2A) = -\cos(2A)$।
બંને પરિણામોની સરખામણી કરતા, $\sin(A - B) = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$।

(A) આપેલ છે $\angle C = \frac{\pi}{3}$, તેથી $A + B = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
આપણે $X = \cos^2 A + \cos^2 B - \cos A \cos B$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X = \frac{1 + \cos 2A}{2} + \frac{1 + \cos 2B}{2} - \cos A \cos B$
$X = 1 + \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) - \cos A \cos B$
$\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X = 1 + \cos(A+B) \cos(A-B) - \cos A \cos B$
કારણ કે $A+B = \frac{2\pi}{3}$, $\cos(A+B) = -\frac{1}{2}$.
$X = 1 - \frac{1}{2} \cos(A-B) - \cos A \cos B$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X = 1 - \frac{1}{2} \cos(A-B) - \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} + \cos(A-B)] = \frac{5}{4} - \cos(A-B)$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં, સાચો જવાબ $\frac{3}{4}$ છે.

(A) આપેલ છે $\angle A = 90^{\circ}$, તેથી $B + C = 90^{\circ}$, એટલે કે $C = 90^{\circ} - B$ છે.
સાઇન નિયમ (sine rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = a$, જ્યાં $a$ કર્ણ છે.
તેથી, $b = a \sin B$ અને $c = a \sin C = a \sin(90^{\circ} - B) = a \cos B$ છે.
હવે, $\sin(B - C) = \sin B \cos C - \cos B \sin C$ છે.
કારણ કે $C = 90^{\circ} - B$, તેથી $\cos C = \sin B$ અને $\sin C = \cos B$ છે.
તેથી, $\sin(B - C) = \sin^2 B - \cos^2 B$ છે.
$b = a \sin B$ અને $c = a \cos B$ પરથી, આપણને $\sin B = \frac{b}{a}$ અને $\cos B = \frac{c}{a}$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા, $\sin(B - C) = (\frac{b}{a})^2 - (\frac{c}{a})^2 = \frac{b^2 - c^2}{a^2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\frac{s - a}{11} = \frac{s - b}{12} = \frac{s - c}{13} = k$ છે.
તેથી $s - a = 11k$, $s - b = 12k$, $s - c = 13k$ થાય.
આનો સરવાળો કરતા, $(s - a) + (s - b) + (s - c) = 36k \implies 3s - (a + b + c) = 36k$ મળે.
કારણ કે $a + b + c = 2s$ છે, તેથી $3s - 2s = 36k \implies s = 36k$ થાય.
તેથી $a = s - 11k = 25k$, $b = s - 12k = 24k$, $c = s - 13k = 23k$ થાય.
$\tan^2 \frac{A}{2}$ નું સૂત્ર $\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan^2 \frac{A}{2} = \frac{(12k)(13k)}{(36k)(11k)} = \frac{156k^2}{396k^2} = \frac{156}{396} = \frac{13}{33}$ મળે.
આપેલ છે કે $\lambda \tan^2 \frac{A}{2} = 455$, તેથી $\lambda \left( \frac{13}{33} \right) = 455$ થાય.
$\lambda = \frac{455 \times 33}{13} = 35 \times 33 = 1155$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ છે.
તેમનો ગુણાકાર કરતા, આપણને $\tan(\frac{A}{2}) \tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)(s-a)(s-c)}{s(s-a)s(s-b)}} = \sqrt{\frac{(s-c)^2}{s^2}} = \frac{s-c}{s}$ મળે છે.
આને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા: $1 + \frac{s-c}{s} = \frac{s + s - c}{s} = \frac{2s - c}{s}$.
કારણ કે $2s = a + b + c$, તેથી $\frac{a + b + c - c}{s} = \frac{a + b}{s}$ થાય.
આની સરખામણી $\frac{k}{s}$ સાથે કરતા, આપણને $k = a + b$ મળે છે.

(A) ટેન્જન્ટ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$।
કિંમતો મૂકતા: $a-b = (\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = 2$ અને $a+b = (\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}$।
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{2}{2\sqrt{3}} \cot(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1$।
તેથી, $\frac{A-B}{2} = 45^\circ \implies A-B = 90^\circ$।
કારણ કે $A+B+C = 180^\circ$ અને $C = 60^\circ$, તેથી $A+B = 120^\circ$।
સમીકરણો ઉકેલતા: $A-B = 90^\circ$ અને $A+B = 120^\circ$ થી $2A = 210^\circ \implies A = 105^\circ$ અને $B = 15^\circ$ મળે છે।

(C) પગલું $1$: અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: સૂત્ર $\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} = \sqrt{\frac{(21-14)(21-15)}{14 \times 15}} = \sqrt{\frac{42}{210}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $3$: $\cos(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} = \sqrt{\frac{21 \times 8}{210}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $4$: $\sin A = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}$.
પગલું $5$: સરવાળો = $\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{4}{5} = \frac{\sqrt{5} + 4}{5}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2}$, તેથી $2s = a+b+c$ છે.
આમ, $b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2s - 2a = 2(s-a)$ છે.
$\tan(\frac{A}{2})$ નું સૂત્ર $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $2s \cdot 2(s-a) \cdot \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$.
$= 4s(s-a) \cdot \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s(s-a)}}$.
$= 4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ, $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ છે.
તેથી, પદાવલિની કિંમત $4\Delta$ છે.

(C) આપેલ છે $a:b:c = 18:17:7$. ધારો કે $a = 18k, b = 17k, c = 7k$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{18k+17k+7k}{2} = 21k$ છે.
સૂત્ર $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{21k(21k-18k)}{(21k-17k)(21k-7k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 3k}{4k \cdot 14k}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.
$\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}} = \sqrt{\frac{21k(21k-17k)}{(21k-18k)(21k-7k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 4k}{3k \cdot 14k}} = \sqrt{2}$.
$\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{21k(21k-7k)}{(21k-18k)(21k-17k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 14k}{3k \cdot 4k}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$.
ગુણોત્તર $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = \frac{3}{2\sqrt{2}} : \sqrt{2} : \frac{7}{\sqrt{2}} = 3 : 4 : 14$.

(A) આપેલ પદાવલિ $(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) = 3b^2c^2$ છે.
નિત્યસમ $(a+b+c)(b+c-a) = (b+c)^2 - a^2$ અને $(c+a-b)(a+b-c) = a^2 - (b-c)^2$ નો ઉપયોગ કરતા, ડાબી બાજુ $((b+c)^2 - a^2)(a^2 - (b-c)^2) = 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4$ થાય છે.
આ $16\Delta^2$ બરાબર છે જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
હેરોનના સૂત્ર દ્વારા, $16\Delta^2 = 16s(s-a)(s-b)(s-c) = 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4$ છે.
આપેલ છે કે $16\Delta^2 = 3b^2c^2$, તેથી $2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 3b^2c^2$ છે.
ગોઠવતા, $2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = b^2c^2$ મળે છે.
કોસાઇન નિયમ $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ નો ઉપયોગ કરતા, $a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos A$ છે.
આને સમીકરણમાં મૂકતા $4b^2c^2 \cos^2 A = b^2c^2$ મળે છે, તેથી $\cos^2 A = \frac{1}{4}$ છે.
આમ, $\cos A = \pm \frac{1}{2}$, જે $\angle A = 60^\circ \text{ અથવા } 120^\circ$ આપે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = (b - c)^2 \cos^2 \frac{A}{2} + (b + c)^2 \sin^2 \frac{A}{2}$
અર્ધ-કોણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ અને $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$, જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$ છે.
$E = (b-c)^2 \frac{s(s-a)}{bc} + (b+c)^2 \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$
$E = \frac{1}{bc} [ (b^2 - 2bc + c^2)s(s-a) + (b^2 + 2bc + c^2)(s-b)(s-c) ]$
કારણ કે $s-b = \frac{a-b+c}{2}$ અને $s-c = \frac{a+b-c}{2}$, તેથી $(s-b)(s-c) = \frac{a^2 - (b-c)^2}{4}$ અને $s(s-a) = \frac{(b+c)^2 - a^2}{4}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, પદાવલિનું સાદું રૂપ $a^2$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: $\cos A$ શોધવા માટે કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરો.
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2(5)(6)} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$।
પગલું $2$: $\cos C$ શોધવા માટે કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરો.
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2(4)(5)} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$।
પગલું $3$: ડબલ એંગલ આઈડેન્ટિટી $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ નો ઉપયોગ કરો.
$\cos 2A = 2(\frac{3}{4})^2 - 1 = 2(\frac{9}{16}) - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}$।
પગલું $4$: કારણ કે $\cos C = \frac{1}{8}$ અને $\cos 2A = \frac{1}{8}$ છે, તેથી આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે $C = 2A$ છે.

(B) $1$. અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21$ ની ગણતરી કરો.
$2$. હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો: $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
$3$. $\sin A$ શોધવા માટે ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2}bc \sin A$ નો ઉપયોગ કરો: $84 = \frac{1}{2} \times 14 \times 15 \times \sin A \implies 84 = 105 \sin A \implies \sin A = \frac{84}{105} = \frac{4}{5}$.
$4$. કારણ કે $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, તેથી $\cos A = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
$5$. તેથી, $\sin A + \cos A = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(a + b + c)(a + b - c) = ab$
આને આ રીતે લખી શકાય: $((a + b) + c)((a + b) - c) = ab$
નિત્યસમ $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $(a + b)^2 - c^2 = ab$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = ab$
પદોને ગોઠવતા: $a^2 + b^2 - c^2 = -ab$
કોસાઇનના નિયમ (Law of Cosines) મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
સૂત્રમાં $a^2 + b^2 - c^2 = -ab$ મૂકતા: $\cos C = \frac{-ab}{2ab} = -\frac{1}{2}$
કારણ કે $\cos C = -\frac{1}{2}$, તેથી ખૂણો $C = \frac{2\pi}{3}$ અથવા $120^\circ$ થાય.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 3$, $b = 5$, અને $c = 7$ છે.
સૌથી મોટો ખૂણો સૌથી લાંબી બાજુની સામે હોય છે, જે $c = 7$ છે. ધારો કે આ ખૂણો $C$ છે.
કોસાઇનના નિયમ (Law of Cosines) નો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)}$.
$\cos C = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{34 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos C = -\frac{1}{2}$, તેથી ખૂણો $C = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

(C) $1$. આપેલ છે $\cos A = \frac{1}{2}$, તેથી $A = 60^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{3}$ છે.
$2$. $\triangle ABC$ માં, $\angle A + \angle B + \angle C = \pi$. તેથી, $\angle C = \pi - (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
$3$. સાઈન નિયમ (Sine Rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$4$. $\frac{3}{\sin(\pi/3)} = \frac{b}{\sin(\pi/6)} = \frac{c}{\sin(\pi/2)}$.
$5$. $\frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{b}{1/2} = \frac{c}{1}$.
$6$. $2\sqrt{3} = 2b = c$. તેથી, $b = \sqrt{3}$ અને $c = 2\sqrt{3}$.

(C) ધારો કે $BD = x$ અને $DC = 3x$, તેથી $BC = 4x$ છે. $\triangle ABC$ માં, સાઈન નિયમ (Sine Rule) મુજબ, $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \implies \frac{AB}{AC} = \frac{\sin(\pi/4)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
$\triangle ABD$ માં, સાઈન નિયમ મુજબ, $\frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AB}{\sin \angle ADB} \implies \sin \angle BAD = \frac{BD \cdot \sin \angle ADB}{AB}$.
$\triangle ACD$ માં, સાઈન નિયમ મુજબ, $\frac{DC}{\sin \angle CAD} = \frac{AC}{\sin \angle ADC} \implies \sin \angle CAD = \frac{DC \cdot \sin \angle ADC}{AC}$.
કારણ કે $\angle ADB + \angle ADC = \pi$, તેથી $\sin \angle ADB = \sin \angle ADC$ થાય. આમ, $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{BD}{AB} \cdot \frac{AC}{DC} = \frac{x}{AB} \cdot \frac{AC}{3x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{AC}{AB}$.
$\frac{AC}{AB} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ મૂકતા, આપણને $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ મળે છે.

(C) સાઇન નિયમ (Sine Rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, તેથી $\sin A = \frac{a}{2R}$ અને $\sin B = \frac{b}{2R}$ મળે છે.
આ કિંમતોને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા: $\cos C = \frac{a/2R}{2(b/2R)} = \frac{a}{2b}$.
કોસાઇન નિયમ (Cosine Rule) નો ઉપયોગ કરતા, $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos C$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{a}{2b}$.
બંને બાજુ $2ab$ વડે ગુણતા: $a^2 + b^2 - c^2 = a^2$.
સાદું રૂપ આપતા $b^2 - c^2 = 0$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $b^2 = c^2$, તેથી $b = c$.

(B) આપેલ છે કે $\cot A, \cot B, \cot C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, તેથી $2 \cot B = \cot A + \cot C$ થાય.
નિત્યસમ $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા, $2 \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{\sin C \cos A + \cos C \sin A}{\sin A \sin C} = \frac{\sin(A+C)}{\sin A \sin C}$ મળે.
કારણ કે $A+B+C = \pi$, તેથી $\sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$ થાય.
આમ, $2 \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin B}{\sin A \sin C}$, જેનો અર્થ છે $2 \cos B \sin A \sin C = \sin^2 B$.
$2 \sin A \sin C = \cos(A-C) - \cos(A+C) = \cos(A-C) + \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા, $\cos B(\cos(A-C) + \cos B) = \sin^2 B = 1 - \cos^2 B$ મળે.
$\cos B \cos(A-C) + \cos^2 B = 1 - \cos^2 B \implies \cos B \cos(A-C) = 1 - 2 \cos^2 B = -\cos(2B) = \cos(2(A+C))$ થાય.
સાઇનના નિયમ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ છે.
આને સમાંતર શ્રેણીની શરતમાં મૂકતા: $\frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta} = 2 \frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}$.
$2b^2 = a^2+c^2$, જેનો અર્થ છે કે $a^2, b^2, c^2$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(D) ધારો કે ખૂણાઓ $A-d, A, A+d$ છે. ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી, $(A-d) + A + (A+d) = 180^\circ \implies 3A = 180^\circ \implies A = 60^\circ$।
Sine Rule નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
$A, B, C$ એ $A$.$P$. માં હોવાથી, $2B = A+C$ અને $A+B+C = 180^\circ$, તેથી $B = 60^\circ$।
$B=60^\circ$ અને $b:c = \sqrt{3}:\sqrt{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\angle A = 75^\circ$ મળે છે।

(A) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $(A-d)$, $A$, અને $(A+d)$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી, $(A-d) + A + (A+d) = 180^\circ$, જે આપણને $3A = 180^\circ$ આપે છે, તેથી $A = 60^\circ$ મળે છે.
ખૂણાઓ $(60^\circ-d)$, $60^\circ$, અને $(60^\circ+d)$ છે.
સૌથી મોટો ખૂણો $(60^\circ+d)$ છે અને સૌથી નાનો ખૂણો $(60^\circ-d)$ છે.
આપેલ છે કે સૌથી મોટો ખૂણો સૌથી નાના ખૂણા કરતાં બમણો છે: $60^\circ+d = 2(60^\circ-d)$।
$60^\circ+d = 120^\circ - 2d \implies 3d = 60^\circ \implies d = 20^\circ$।
ખૂણાઓ $60^\circ-20^\circ = 40^\circ$, $60^\circ$, અને $60^\circ+20^\circ = 80^\circ$ છે.
ત્રીજો ખૂણો $60^\circ$ છે.
તેથી, $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।