Word problem of Linear programming Questions in Gujarati

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ શરતો $x + 2y \geq 80$,$3x + y \geq 75$ અને $x, y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ.
$1$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો:
- રેખા $x + 2y = 80$ એ $x$-અક્ષને $(80, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $(0, 40)$ પર છેદે છે.
- રેખા $3x + y = 75$ એ $x$-અક્ષને $(25, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $(0, 75)$ પર છેદે છે.
- $x + 2y = 80$ અને $3x + y = 75$ નું છેદબિંદુ $B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = 80 - 2y$
$3(80 - 2y) + y = 75 \implies 240 - 6y + y = 75 \implies 5y = 165 \implies y = 33$.
$x = 80 - 2(33) = 80 - 66 = 14$.
તેથી,$B = (14, 33)$.
$2$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(80, 0)$,$B(14, 33)$ અને $C(0, 75)$ છે.
$3$. આ શિરોબિંદુઓ પર $z = 4x + 6y$ ની કિંમત તપાસો:
- $A(80, 0)$ પર: $z = 4(80) + 6(0) = 320$.
- $B(14, 33)$ પર: $z = 4(14) + 6(33) = 56 + 198 = 254$.
- $C(0, 75)$ પર: $z = 4(0) + 6(75) = 450$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $254$ છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $5x + y \geq 5$,$x + y \geq 3$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અનિયંત્રિત પ્રદેશ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓના સમીકરણો ઉકેલીએ છીએ:
$1$) $5x + y = 5$ અને $x + y = 3$. પ્રથમમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા $4x = 2$ મળે,તેથી $x = 0.5$. $x + y = 3$ માં કિંમત મૂકતા $y = 2.5$ મળે. આમ,બિંદુ $P = (0.5, 2.5)$ છે.
$2$) $x + y = 3$ નું $x$-અક્ષ $(y=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $C = (3, 0)$ છે.
$3$) $5x + y = 5$ નું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $B = (0, 5)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z = 7x + y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$C(3, 0)$ પર: $Z = 7(3) + 0 = 21$.
$P(0.5, 2.5)$ પર: $Z = 7(0.5) + 2.5 = 3.5 + 2.5 = 6$.
$B(0, 5)$ પર: $Z = 7(0) + 5 = 5$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.

(D) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સીમા રેખાઓના અંતઃખંડો નક્કી કરીએ છીએ:

$\text{રેખા}$	$\text{અંતઃખંડો}$
$8x + 5y = 60$	$A(7.5, 0), B(0, 12)$
$4x + 5y = 40$	$C(10, 0), D(0, 8)$

સમીકરણો $8x + 5y = 60$ અને $4x + 5y = 40$ ને એકસાથે ઉકેલતા:
પ્રથમમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(8x - 4x) = 60 - 40 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5$.
$x = 5$ ને $4x + 5y = 40$ માં મૂકતા: $4(5) + 5y = 40 \Rightarrow 20 + 5y = 40 \Rightarrow 5y = 20 \Rightarrow y = 4$.
તેથી,છેદબિંદુ $E(5, 4)$ છે.
શરતો $x \geq 0, y \geq 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(7.5, 0)$,$E(5, 4)$,અને $D(0, 8)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
અહીં ચાર શિરોબિંદુઓ હોવાથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એક ચતુષ્કોણ છે.

(B) ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશને ઓળખીએ છીએ:
$1$. $x+y \leq 30$
$2$. $x \leq 15$
$3$. $y \leq 20$
$4$. $x+y \geq 15$
$5$. $x, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી થાય છે:
- $x=15$ અને $y=20$ નું છેદબિંદુ $E(15, 20)$ છે.
- $x=0$ અને $y=20$ નું છેદબિંદુ $D(0, 20)$ છે.
- $x=0$ અને $x+y=15$ નું છેદબિંદુ $F(0, 15)$ છે.
- $x=15$ અને $x+y=15$ નું છેદબિંદુ $C(15, 0)$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ ચતુષ્કોણ $CDEF$ છે.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=x+y$ ની કિંમત તપાસીએ છીએ:
- $C(15, 0)$ પર: $z = 15+0 = 15$
- $D(0, 20)$ પર: $z = 0+20 = 20$
- $E(15, 20)$ પર: $z = 15+20 = 35$
- $F(0, 15)$ પર: $z = 0+15 = 15$
$z$ ની મહત્તમ કિંમત $35$ છે,જે અનન્ય શિરોબિંદુ $E(15, 20)$ પર મળે છે. તેથી,આપેલ $L$.$P$.$P$. નો ઉકેલ અનન્ય છે.

(D) $1$. રેખા $5x + 9y = 90$ એ $(18, 0)$ અને $(0, 10)$ માંથી પસાર થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે,તેથી અવરોધ $5x + 9y \leq 90$ છે.
$2$. રેખા $x + y = 4$ એ $(4, 0)$ અને $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે,તેથી અવરોધ $x + y \geq 4$ છે.
$3$. રેખા $y = 8$ એ આડી રેખા છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે છે,તેથી અવરોધ $y \leq 8$ છે.
$4$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
આ બધાને જોડતા,અવરોધો $5x + 9y \leq 90, x + y \geq 4, y \leq 8, x, y \geq 0$ મળે છે.

(C) $Z=3x+5y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $x+4y \leq 24$,$y \leq 4$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(24,0)$,$D(8,4)$,અને $C(0,4)$ છે.
આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z=3x+5y$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$1$. $O(0,0)$ પર: $Z = 3(0) + 5(0) = 0$
$2$. $A(24,0)$ પર: $Z = 3(24) + 5(0) = 72$
$3$. $D(8,4)$ પર: $Z = 3(8) + 5(4) = 24 + 20 = 44$
$4$. $C(0,4)$ પર: $Z = 3(0) + 5(4) = 20$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $A(24,0)$ પર $72$ મળે છે.

(D) આપેલ હેતુલક્ષી વિધેય $Z=10 x+25 y$ છે,જેની શરતો $0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 3, x+y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $O(0,0), C(3,0), F(3,2), G(2,3), D(0,3)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત તપાસતા:
$1$. $O(0,0)$ પર: $Z = 10(0) + 25(0) = 0$
$2$. $C(3,0)$ પર: $Z = 10(3) + 25(0) = 30$
$3$. $F(3,2)$ પર: $Z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$
$4$. $G(2,3)$ પર: $Z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$
$5$. $D(0,3)$ પર: $Z = 10(0) + 25(3) = 75$
આમ,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(2,3)$ પર $95$ મળે છે.

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $2x + y \geq 16$,$x \geq 6$,અને $y \geq 1$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે:
$1$. $x = 6$ અને $y = 1$ નું છેદબિંદુ $(6, 1)$ છે,પરંતુ આ બિંદુ $2x + y \geq 16$ શરતનું પાલન કરતું નથી $(12 + 1 = 13 < 16)$.
$2$. $2x + y = 16$ અને $y = 1$ નું છેદબિંદુ: $2x + 1 = 16 \implies 2x = 15 \implies x = 7.5$. તેથી,બિંદુ $E = (7.5, 1)$.
$3$. $2x + y = 16$ અને $x = 6$ નું છેદબિંદુ: $2(6) + y = 16 \implies 12 + y = 16 \implies y = 4$. તેથી,બિંદુ $F = (6, 4)$.
પ્રદેશ અનંત હોવાથી,આપણે શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમતો તપાસીએ છીએ:
$Z(E) = Z(7.5, 1) = 6(7.5) + 2(1) = 45 + 2 = 47$.
$Z(F) = Z(6, 4) = 6(6) + 2(4) = 36 + 8 = 44$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $44$ છે.

(D) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x + y \leq 3$,$4x + y \leq 6$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(1.5, 0)$,$B(1, 2)$ અને $C(0, 3)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 8x + 3y$ ની કિંમત તપાસતા:
$1$. $O(0, 0)$ પર,$Z = 8(0) + 3(0) = 0$.
$2$. $A(1.5, 0)$ પર,$Z = 8(1.5) + 3(0) = 12$.
$3$. $B(1, 2)$ પર,$Z = 8(1) + 3(2) = 8 + 6 = 14$.
$4$. $C(0, 3)$ પર,$Z = 8(0) + 3(3) = 9$.
$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $14$ છે,જે બિંદુ $(1, 2)$ પર મળે છે.
તેથી,શ્રેષ્ઠ ઉકેલ $x = 1, y = 2$ છે.

(C) આપેલ શરતો $x + y \geq 5$,$0 \leq x \leq 4$,અને $y \geq 2$ છે.
આલેખ પરથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x + y = 5$,$x = 4$,અને $y = 2$ રેખાઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે:
$1$. $x + y = 5$ અને $y = 2$ નું છેદબિંદુ: $y = 2$ ને $x + y = 5$ માં મૂકતા,$x = 3$ મળે છે. તેથી,શિરોબિંદુ $P = (3, 2)$.
$2$. $x + y = 5$ અને $x = 4$ નું છેદબિંદુ: $x = 4$ ને $x + y = 5$ માં મૂકતા,$y = 1$ મળે છે. પરંતુ શરત $y \geq 2$ છે.
આલેખ મુજબ,શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $P(3, 2)$ અને $D(4, 2)$ છે.
હવે,$Z = 5x + 8y$ ની કિંમત આ બિંદુઓ પર તપાસતા:
$Z(P) = 5(3) + 8(2) = 15 + 16 = 31$.
$Z(D) = 5(4) + 8(2) = 20 + 16 = 36$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $31$ છે.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $3x+2y \leq 18$,$x \leq 4$,$y \leq 6$ અને $x, y \geq 0$ શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$D(4,0)$,$Q(4,3)$,$P(2,6)$ અને $C(0,6)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z=3x+5y$ ની કિંમત મેળવીએ:
$O(0,0)$ પર: $Z = 3(0) + 5(0) = 0$
$D(4,0)$ પર: $Z = 3(4) + 5(0) = 12$
$Q(4,3)$ પર: $Z = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$P(2,6)$ પર: $Z = 3(2) + 5(6) = 6 + 30 = 36$
$C(0,6)$ પર: $Z = 3(0) + 5(6) = 30$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(2,6)$ પર $36$ મળે છે.

(C) આપેલ મર્યાદાઓ $x \leq 3, y \leq 3, x+y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0$ છે.
સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીને આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ:
$1$. $x=0, y=0 \Rightarrow O(0,0)$
$2$. $x=3, y=0 \Rightarrow A(3,0)$
$3$. $x=3, x+y=5 \Rightarrow P(3,2)$
$4$. $x+y=5, y=3 \Rightarrow Q(2,3)$
$5$. $x=0, y=3 \Rightarrow D(0,3)$
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z=10x+25y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $O(0,0)$ પર: $Z = 10(0) + 25(0) = 0$
- $A(3,0)$ પર: $Z = 10(3) + 25(0) = 30$
- $P(3,2)$ પર: $Z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$
- $Q(2,3)$ પર: $Z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$
- $D(0,3)$ પર: $Z = 10(0) + 25(3) = 0 + 75 = 75$
$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $95$ છે,જે બિંદુ $(2,3)$ પર મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$) $x + y \leq 1$
$2$) $2x + 2y \geq 6 \implies x + y \geq 3$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
પ્રથમ શરત મુજબ,પ્રદેશ $x + y = 1$ રેખા માટે ઉગમબિંદુ તરફ છે.
બીજી શરત મુજબ,પ્રદેશ $x + y = 3$ રેખા માટે ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ એવું નથી કે જે $x + y \leq 1$ અને $x + y \geq 3$ બંનેનું એકસાથે પાલન કરે,તેથી કોઈ સામાન્ય શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ નથી.
તેથી,આપેલ $L$.$P$.$P$. નો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ શરતો $x + y \geq 5$,$x \leq 4$,$y \leq 2$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x + y = 5$ અને $x = 4$ લેતા $4 + y = 5 \implies y = 1$. બિંદુ: $(4, 1)$.
$2$. $x + y = 5$ અને $y = 2$ લેતા $x + 2 = 5 \implies x = 3$. બિંદુ: $(3, 2)$.
$3$. $x = 4$ અને $y = 2$ લેતા બિંદુ $(4, 2)$ મળે છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(4, 1)$,$(4, 2)$,અને $(3, 2)$ છે.
હવે,આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુ લક્ષી વિધેય $Z = 5x + 8y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $(4, 1)$ પર: $Z = 5(4) + 8(1) = 20 + 8 = 28$.
- $(4, 2)$ પર: $Z = 5(4) + 8(2) = 20 + 16 = 36$.
- $(3, 2)$ પર: $Z = 5(3) + 8(2) = 15 + 16 = 31$.
ન્યૂનતમ કિંમત $28$ છે,જે બિંદુ $(4, 1)$ પર મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$) $-x_{1} + x_{2} \leq 1$
$2$) $-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$
$3$) $x_{1}, x_{2} \geq 0$
આ રેખાઓને કાર્ટેઝિયન સમતલ પર દોરતા:
- $-x_{1} + x_{2} = 1$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 1)$ અને $(-1, 0)$ છે.
- $-x_{1} + 3x_{2} = 9$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 3)$ અને $(-9, 0)$ છે.
અન-ઋણતાની શરતો $x_{1}, x_{2} \geq 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
અસમતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અર્ધ-સમતલોના છેદને જોતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પ્રદેશ $x_{1}$ વધવાની દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે.
તેથી,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ અસીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ છે.

(A) ધારો કે $x$ અને $y$ એ અનુક્રમે ખોરાક $A$ અને ખોરાક $B$ ના એકમોની સંખ્યા છે.
ધ્યેય ખર્ચ $z = 4x + 3y$ ને ન્યૂનતમ કરવાનો છે.
પોષક તત્વોના આધારે મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. વિટામિન: $200x + 100y \geq 4000$
$2$. પ્રોટીન: $x + 2y \geq 50$
$3$. કેલરી: $40x + 40y \geq 1400$
$4$. અન-ઋણતા: $x \geq 0, y \geq 0$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ એ તૈયાર કરેલી મર્યાદાઓ અને ઉદ્દેશ્ય વિધેય સાથે મેળ ખાય છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ પ્રતિબંધો $x + y \leq 7$,$2x + 3y \leq 16$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(0, 16/3)$,$B(5, 2)$ અને $C(7, 0)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 2y$ ની કિંમત મેળવીએ:
$O(0, 0)$ પર: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$
$A(0, 16/3)$ પર: $Z = 3(0) + 2(16/3) = 32/3 \approx 10.67$
$B(5, 2)$ પર: $Z = 3(5) + 2(2) = 15 + 4 = 19$
$C(7, 0)$ પર: $Z = 3(7) + 2(0) = 21$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $21$ છે જે બિંદુ $C(7, 0)$ પર મળે છે.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $2x + 3y \leq 18$,$2x + y \leq 10$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(5, 0)$,$B(3, 4)$,અને $C(0, 6)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 9x + 13y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$1$. $O(0, 0)$ પર: $z = 9(0) + 13(0) = 0$
$2$. $A(5, 0)$ પર: $z = 9(5) + 13(0) = 45$
$3$. $B(3, 4)$ પર: $z = 9(3) + 13(4) = 27 + 52 = 79$
$4$. $C(0, 6)$ પર: $z = 9(0) + 13(6) = 78$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $79$ મળે છે.

(A) શરતો $5x_{1} + 10x_{2} \geq 0$,$x_{1} + x_{2} \leq 1$,$x_{2} \leq 4$,અને $x_{1}, x_{2} \geq 0$ છે.
$x_{1}, x_{2} \geq 0$ હોવાથી,શરત $5x_{1} + 10x_{2} \geq 0$ પ્રથમ ચરણમાં હંમેશા સંતોષાય છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x_{1} + x_{2} \leq 1$ અને $x_{1}, x_{2} \geq 0$ ના છેદ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આ પ્રદેશ $(0, 0)$,$(1, 0)$,અને $(0, 1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ બંધ અને સીમિત બહુકોણ હોવાથી,$LPP$ નો ઉકેલ સીમિત છે.

(B) વેપારી ચોખા પર $Rs \ 40$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ અને ઘઉં પર $Rs \ 25$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ નફો મેળવે છે.
આપેલ છે કે તે $x$ ક્વિન્ટલ ચોખા અને $y$ ક્વિન્ટલ ઘઉંનો સંગ્રહ કરે છે.
કુલ નફો $Z$ એ ચોખા અને ઘઉંમાંથી મળતા નફાનો સરવાળો છે.
તેથી,હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 40x + 25y$ છે.

(A) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ છે.
આલેખ પરથી,રેખાઓ $y = 3$,$x = 4$,$y = x + 3$,અને $2x + 3y = 12$ છે.
$1$. બિંદુ $A$ એ $y = 3$ અને $2x + 3y = 12$ નું છેદબિંદુ છે:
$2x + 3(3) = 12 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. તેથી,$A = (1.5, 3)$.
$2$. બિંદુ $B$ એ $y = 3$ અને $x = 4$ નું છેદબિંદુ છે. તેથી,$B = (4, 3)$.
$3$. બિંદુ $C$ એ $x = 4$ અને $y = x + 3$ નું છેદબિંદુ છે:
$y = 4 + 3 = 7$. તેથી,$C = (4, 7)$.
$4$. બિંદુ $D$ એ $y = x + 3$ અને $2x + 3y = 12$ નું છેદબિંદુ છે:
$2x + 3(x + 3) = 12 \implies 5x + 9 = 12 \implies 5x = 3 \implies x = 0.6$.
$y = 0.6 + 3 = 3.6$. તેથી,$D = (0.6, 3.6)$.
હવે,આ બિંદુઓ પર $Z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
$Z(A) = 3(1.5) + 5(3) = 4.5 + 15 = 19.5$.
$Z(B) = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$.
$Z(C) = 3(4) + 5(7) = 12 + 35 = 47$.
$Z(D) = 3(0.6) + 5(3.6) = 1.8 + 18 = 19.8$.
$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $19.5$ છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z=6x+8y$ છે. શરતો $x-y \geq 0$,$x+3y \leq 12$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે $x-y=0$ અને $x+3y=12$ રેખાઓ દોરીએ છીએ.
$x-y=0$ અને $x+3y=12$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે $x=y$ ને $x+3y=12$ માં મૂકતા,$4y=12$ મળે છે,તેથી $y=3$ અને $x=3$. આમ,છેદબિંદુ $B(3, 3)$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $O(0, 0)$,$A(0, 4)$ ($x=0$ હોય ત્યારે $x+3y=12$ પરથી),અને $B(3, 3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $z=6x+8y$ ની કિંમત તપાસતા:
$O(0, 0)$ પર: $z = 6(0) + 8(0) = 0$.
$A(0, 4)$ પર: $z = 6(0) + 8(4) = 32$.
$B(3, 3)$ પર: $z = 6(3) + 8(3) = 18 + 24 = 42$.
મહત્તમ કિંમત $42$ છે.

(C) મર્યાદાઓ $x+y \leq 4$,$x \leq 2$,$y \leq 1$,$x+y \geq 1$,અને $x, y \geq 0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x+y=1$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $A(1,0)$ આપે છે.
$2$. $x=2$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $B(2,0)$ આપે છે.
$3$. $x=2$ અને $y=1$ નું છેદબિંદુ $C(2,1)$ આપે છે.
$4$. $x+y=1$ અને $x=0$ નું છેદબિંદુ $D(0,1)$ આપે છે.
આમ,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(1,0), (2,0), (2,1), (0,1)$ છે.

(D) આપેલ શરતો $x + y < 5$,$x + y < 10$,$x > 0$,અને $y > 0$ છે.
$x + y < 5$ એ $x + y < 10$ નો ઉપગણ હોવાથી,પ્રથમ ચરણમાં $(x > 0, y > 0)$ અસરકારક શરત $x + y < 5$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એક ખુલ્લો ત્રિકોણાકાર પ્રદેશ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(5,0)$,અને $(0,5)$ ની નજીક છે.
પ્રદેશ ખુલ્લો હોવાથી અને સીમાબિંદુઓનો સમાવેશ થતો ન હોવાથી (કડક અસમતા $<$ ને કારણે),હેતુલક્ષી વિધેય $t = 7x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રદેશના કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર મેળવી શકાતી નથી.
જેમ $x$ અને $y$ ની કિંમત $0$ ની નજીક જાય છે,તેમ $t$ ની કિંમત $0$ ની નજીક જાય છે,પરંતુ $x > 0$ અને $y > 0$ હોવાથી,$t$ હંમેશા $0$ કરતા મોટું રહે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમતનું અસ્તિત્વ નથી.

(D) આપેલ શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) x + y \geq 8$
$2) x + y \leq 5$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
પ્રથમ બે અસમતાઓનું અવલોકન કરો: $x + y \geq 8$ અને $x + y \leq 5$.
આ બે અસમતાઓ એવા પ્રદેશો દર્શાવે છે જે એકબીજાને છેદતા નથી.
જો $x + y$ એ $8$ કે તેથી વધુ હોય,તો તે એકસાથે $5$ કે તેથી ઓછું હોઈ શકે નહીં.
તેથી,એવા કોઈ બિંદુઓ $(x, y)$ નથી જે આપેલી તમામ શરતોને એકસાથે સંતોષે.
કોઈ સામાન્ય પ્રદેશ ન હોવાથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ખાલી છે.
આમ,હેતુલક્ષી વિધેયનું ન્યૂનતમીકરણ કરી શકાતું નથી કારણ કે કોઈ શક્ય ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી.

(C) હેતુલક્ષી વિધેય $z=3x+4y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ઓળખીએ છીએ:
$1$. $x+y \leq 40$
$2$. $x+2y \leq 60$
$3$. $x, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓ અને અક્ષોના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
- $x+y=40$ અને $x+2y=60$ નું છેદબિંદુ: બીજા સમીકરણમાંથી પહેલું બાદ કરતાં $y=20$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=20$. બિંદુ: $(20, 20)$.
- $x+y=40$ નું $x$-અક્ષ $(y=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ: બિંદુ $(40, 0)$.
- $x+2y=60$ નું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ: બિંદુ $(0, 30)$.
- ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પણ એક શિરોબિંદુ છે.
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $z=3x+4y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 0)$ પર: $z = 3(0) + 4(0) = 0$
- $(40, 0)$ પર: $z = 3(40) + 4(0) = 120$
- $(0, 30)$ પર: $z = 3(0) + 4(30) = 120$
- $(20, 20)$ પર: $z = 3(20) + 4(20) = 60 + 80 = 140$
આમ,મહત્તમ કિંમત $140$ છે જે બિંદુ $(20, 20)$ પર મળે છે.

(A) ધારો કે $x$ અને $y$ એ ખોરાક $X$ અને $Y$ ના પેકેટની સંખ્યા છે. શરતો નીચે મુજબ છે:
$12x + 3y \geq 240 \Rightarrow 4x + y \geq 80$
$4x + 20y \geq 460 \Rightarrow x + 5y \geq 115$
$6x + 4y \leq 300 \Rightarrow 3x + 2y \leq 150$
$x \geq 0, y \geq 0$
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધીએ છીએ:
$1$. $4x + y = 80$ અને $x + 5y = 115$ નું છેદબિંદુ: ઉકેલતા,આપણને $x = 15, y = 20$ મળે છે.
$2$. $4x + y = 80$ અને $3x + 2y = 150$ નું છેદબિંદુ: ઉકેલતા,આપણને $x = 2, y = 72$ મળે છે.
$3$. $x + 5y = 115$ અને $3x + 2y = 150$ નું છેદબિંદુ: ઉકેલતા,આપણને $x = 40, y = 15$ મળે છે.
આમ,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(2,72), (40,15), (15,20)$ છે.

(A) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ $(5, 5)$,$(0, 10)$,$(0, 20)$,અને $(15, 15)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 9y$ ની કિંમત મેળવીએ:
બિંદુ $(5, 5)$ પર: $z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
બિંદુ $(0, 10)$ પર: $z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
બિંદુ $(0, 20)$ પર: $z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
બિંદુ $(15, 15)$ પર: $z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $60$ છે,જે બિંદુ $(5, 5)$ પર મળે છે.

(D) આપેલ હેતુલક્ષી વિધેય $z=x+4y$ અને મર્યાદાઓ:
$1) x+2y \leq 2$
$2) x+2y \geq 8$
$3) x, y \geq 0$
મર્યાદાઓનું વિશ્લેષણ:
મર્યાદા $(1)$ એ $x+2y=2$ રેખાની નીચેનો અથવા તેના પરનો વિસ્તાર દર્શાવે છે,જે $(2,0)$ અને $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે. $0+2(0) \leq 2$ સત્ય હોવાથી,આ વિસ્તારમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થાય છે.
મર્યાદા $(2)$ એ $x+2y=8$ રેખાની ઉપરનો અથવા તેના પરનો વિસ્તાર દર્શાવે છે,જે $(8,0)$ અને $(0,4)$ માંથી પસાર થાય છે. $0+2(0) \geq 8$ અસત્ય હોવાથી,આ વિસ્તારમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થતો નથી.
મર્યાદા $(3)$ ઉકેલને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
$(1)$ અને $(2)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિસ્તારોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $x+2y \leq 2$ અને $x+2y \geq 8$ ને સંતોષતા વિસ્તારો અલગ-અલગ છે. એવું કોઈ બિંદુ $(x, y)$ નથી જે બંને અસમતાઓનું એકસાથે પાલન કરે.
તેથી,$LPP$ નો કોઈ શક્ય ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ છે,$z=11x+7y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓ અને અક્ષોના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. $x+y=5$ અને $x+3y=9$ નું છેદબિંદુ સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મેળવી શકાય છે: $(x+3y)-(x+y) = 9-5 \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2$. $y=2$ ને $x+y=5$ માં મૂકતા $x=3$ મળે છે. તેથી,બિંદુ $B$ એ $(3,2)$ છે.
$2$. $x+3y=9$ નું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $(0,3)$ છે. તેથી,બિંદુ $A$ એ $(0,3)$ છે.
$3$. $x+y=5$ નું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $(0,5)$ છે. તેથી,બિંદુ $C$ એ $(0,5)$ છે.
હવે,આ શિરોબિંદુઓ પર $z=11x+7y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$A(0,3)$ પર: $z = 11(0) + 7(3) = 21$.
$B(3,2)$ પર: $z = 11(3) + 7(2) = 33 + 14 = 47$.
$C(0,5)$ પર: $z = 11(0) + 7(5) = 35$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $47$ છે,જે $(3,2)$ બિંદુએ મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $3x + 5y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$ મર્યાદાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.
પ્રથમ, રેખા $3x + 5y = 15$ ના અંતઃખંડો શોધો:
જો $x = 0$ હોય, તો $5y = 15 \implies y = 3$. તેથી, બિંદુ $(0, 3)$ મળે.
જો $y = 0$ હોય, તો $3x = 15 \implies x = 5$. તેથી, બિંદુ $(5, 0)$ મળે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (5, 0)$ અને $(0, 3)$ છે.
હવે, દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 5x + 3y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 0)$ પર: $z = 5(0) + 3(0) = 0$.
$(5, 0)$ પર: $z = 5(5) + 3(0) = 25$.
$(0, 3)$ પર: $z = 5(0) + 3(3) = 9$.
આમ, $z$ ની મહત્તમ કિંમત $25$ છે.

(C) પગલું $1$: શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો.
પગલું $2$: $x + 2y = 70$ અને $2x + y = 95$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે સમીકરણો ઉકેલો: $x = 70 - 2y$। બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2(70 - 2y) + y = 95 \implies 140 - 4y + y = 95 \implies 3y = 45 \implies y = 15$। તેથી $x = 70 - 2(15) = 40$। છેદબિંદુ $(40, 15)$ છે.
પગલું $3$: શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$, $(47.5, 0)$, $(0, 35)$, અને $(40, 15)$ છે.
પગલું $4$: દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = x + y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 0)$ પર, $Z = 0$।
$(47.5, 0)$ પર, $Z = 47.5$।
$(0, 35)$ પર, $Z = 35$।
$(40, 15)$ પર, $Z = 40 + 15 = 55$।
પગલું $5$: મહત્તમ કિંમત $55$ છે જે $(40, 15)$ બિંદુ પર મળે છે.

(C) પગલું $1$: શરતો $5x + 10y \leq 50$ (અથવા $x + 2y \leq 10$), $x + y \geq 1$, $y \leq 4$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધો.
પગલું $2$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો. રેખાઓ $x+2y=10$, $x+y=1$, $y=4$, $x=0$, $y=0$ છે.
- $x+y=1$ અને $x=0$ નું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
- $x+y=1$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $(1, 0)$ છે.
- $x+2y=10$ અને $y=4$ નું છેદબિંદુ $(2, 4)$ છે.
- $x=0$ અને $y=4$ નું છેદબિંદુ $(0, 4)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0, 1), (1, 0), (2, 4), (0, 4)$ છે.
પગલું $3$: દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 1)$ પર, $z = 3(0) + 5(1) = 5$.
- $(1, 0)$ પર, $z = 3(1) + 5(0) = 3$.
- $(2, 4)$ પર, $z = 3(2) + 5(4) = 26$.
- $(0, 4)$ પર, $z = 3(0) + 5(4) = 20$.
પગલું $4$: મહત્તમ કિંમત $26$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.
પગલું $5$: તફાવત $26 - 3 = 23$ છે. પ્રશ્ન મુજબ $3\lambda = 27$ લેતા, $\lambda = 9$.

(C) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશને ઓળખો.
પગલું $2$: રેખાઓ $2x + 3y = 6$ (અંતઃખંડ $(3, 0)$ અને $(0, 2)$) અને $x + y = 1$ (અંતઃખંડ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$) છે.
પગલું $3$: સુસંગત પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(1, 0)$, $(3, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
પગલું $4$: દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $Z = 3x + y$ ની કિંમત શોધો:
$(1, 0)$ પર: $Z = 3(1) + 0 = 3$.
$(3, 0)$ પર: $Z = 3(3) + 0 = 9$.
$(0, 1)$ પર: $Z = 3(0) + 1 = 1$.
પગલું $5$: કિંમતોની સરખામણી કરતા, ન્યૂનતમ કિંમત $(0, 1)$ પર $1$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ શોધો.
પગલું $2$: રેખાઓ $L_1: x + 3y = 60$, $L_2: x + y = 10$, અને $L_3: x - y = 0$ છે.
પગલું $3$: છેદબિંદુઓ:
- $L_2$ અને $L_3$: $x+x=10 \implies x=5, y=5$। બિંદુ: $(5, 5)$।
- $L_1$ અને $L_3$: $x+3x=60 \implies 4x=60 \implies x=15, y=15$। બિંદુ: $(15, 15)$।
- $L_1$ અને $L_2$: $x+3(10-x)=60 \implies -2x=30 \implies x=-15$ (પ્રથમ ચરણમાં નથી)।
- અક્ષો સાથે છેદબિંદુઓ: $L_2$ $(10, 0)$ અને $(0, 10)$ પર છેદે છે. $L_1$ $(60, 0)$ અને $(0, 20)$ પર છેદે છે.
- શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(5, 5)$, $(15, 15)$, $(0, 20)$, અને $(0, 10)$ છે.
પગલું $4$: આ બિંદુઓ પર $Z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
- $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 5(5) = 40$।
- $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 5(15) = 120$।
- $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$।
- $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$।
પગલું $5$: મહત્તમ કિંમત $120$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $40$ છે.
પગલું $6$: તફાવત $120 - 40 = 80$ છે.

(C) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશને ઓળખો.
$(i)$ $x \leq 80$
(ii) $y \geq 60$
(iii) $x + y \leq 200$
(iv) $x, y \geq 0$
પગલું $2$: સુસંગત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો.
$y = 60$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 60)$ છે.
$y = 60$ અને $x + y = 200$ નું છેદબિંદુ $(140, 60)$ છે, પરંતુ $x \leq 80$ હોવાથી, આપણે $(80, 60)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$x = 80$ અને $x + y = 200$ નું છેદબિંદુ $(80, 120)$ છે.
$x = 0$ અને $x + y = 200$ નું છેદબિંદુ $(0, 200)$ છે.
પગલું $3$: દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 60)$ પર: $z = 3(0) + 5(60) = 300$.
$(80, 60)$ પર: $z = 3(80) + 5(60) = 240 + 300 = 540$.
$(80, 120)$ પર: $z = 3(80) + 5(120) = 240 + 600 = 840$.
$(0, 200)$ પર: $z = 3(0) + 5(200) = 1000$.
પગલું $4$: ન્યૂનતમ કિંમત $300$ છે જે બિંદુ $(0, 60)$ પર મળે છે.

(D) $1$. $x + 2y \leq 10$, $3x + y \leq 12$, $x, y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ શોધો.
$2$. $x + 2y = 10$ અને $3x + y = 12$ નું છેદબિંદુ ઉકેલતા: $y = 12 - 3x$, તેથી $x + 2(12 - 3x) = 10 \implies x + 24 - 6x = 10 \implies -5x = -14 \implies x = \frac{14}{5}$। તેથી $y = 12 - 3(\frac{14}{5}) = \frac{60 - 42}{5} = \frac{18}{5}$।
$3$. ખૂણાના બિંદુઓ $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$, અને $(0, 5)$ છે.
$4$. દરેક બિંદુ પર $z = 5x + 10y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 0)$ પર, $z = 0$।
- $(4, 0)$ પર, $z = 5(4) + 10(0) = 20$।
- $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ પર, $z = 5(\frac{14}{5}) + 10(\frac{18}{5}) = 14 + 36 = 50$।
- $(0, 5)$ પર, $z = 5(0) + 10(5) = 50$।
$5$. કારણ કે $z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(50)$ $(0, 5)$ અને $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ બંને પર છે, તેથી મહત્તમ મૂલ્ય આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના દરેક બિંદુ પર મળે છે.

(D) $1$. છાયાંકિત પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો છે, તેથી બિન-ઋણાત્મકતા અવરોધો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
$2$. આ પ્રદેશ ત્રણ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે:
$(i)$ $(0, 12)$ અને $(6, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $2x + y = 12$ છે. કારણ કે પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે, તેથી અવરોધ $2x + y \leq 12$ છે.
(ii) $(0, 6)$ અને $(12, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x + 2y = 12$ છે. કારણ કે પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે, તેથી અવરોધ $x + 2y \leq 12$ છે.
(iii) $(0, 4)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x + 1.25y = 5$ છે. કારણ કે પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે, તેથી અવરોધ $x + 1.25y \geq 5$ છે.
$3$. આ બધાને જોડતા, અવરોધોની સિસ્ટમ $2x + y \leq 12, x + 2y \leq 12, x + 1.25y \geq 5, x \geq 0, y \geq 0$ છે.

(A) પગલું $1$: પ્રતિબંધો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ ઓળખો.
પગલું $2$: રેખાઓ $3x + y = 15$ અને $3x + 4y = 24$ છે.
પગલું $3$: છેદબિંદુ: પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા $3y = 9$ મળે છે, તેથી $y = 3$। $y=3$ ને $3x + y = 15$ માં મૂકતા $3x = 12$ મળે છે, તેથી $x = 4$। છેદબિંદુ $(4, 3)$ છે.
પગલું $4$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$, $(5, 0)$, $(4, 3)$, અને $(0, 6)$ છે.
પગલું $5$: દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = 4x + 5y$ નું મૂલ્ય શોધો:
$(0, 0)$ પર, $Z = 4(0) + 5(0) = 0$।
$(5, 0)$ પર, $Z = 4(5) + 5(0) = 20$।
$(4, 3)$ પર, $Z = 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31$।
$(0, 6)$ પર, $Z = 4(0) + 5(6) = 30$।
પગલું $6$: મહત્તમ મૂલ્ય $31$ છે.

(D) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ ઓળખો.
પગલું $2$: રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
- $x+y=5$ અને $2x+y=7$ થી $(2, 3)$ મળે છે.
- $2x+y=7$ અને $3x+2y=11$ થી $(3, 1)$ મળે છે.
- $x=0$ અને $y=0$ થી $(0, 0)$ મળે છે.
- $x=0$ અને $3x+2y=11$ થી $(0, 5.5)$ મળે છે.
- $y=0$ અને $2x+y=7$ થી $(3.5, 0)$ મળે છે.
પગલું $3$: દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $z = 4x + y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 0)$ પર, $z = 0$ છે.
- $(3.5, 0)$ પર, $z = 4(3.5) + 0 = 14$ છે.
- $(3, 1)$ પર, $z = 4(3) + 1 = 13$ છે.
- $(2, 3)$ પર, $z = 4(2) + 3 = 11$ છે.
- $(0, 5.5)$ પર, $z = 5.5$ છે.
પગલું $4$: મહત્તમ મૂલ્ય $14$ છે.

(D) પગલું $1$: ઉદ્દેશ્ય વિધેય વ્યાખ્યાયિત કરો. નફો $z = 1500x_1 + 900x_2$ છે. આપણે તેને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
પગલું $2$: મર્યાદાઓ ઓળખો. કુલ ક્ષમતા $x_1 + x_2 \leq 250$ છે.
પગલું $3$: એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસ આરક્ષણ: $x_1 \geq 30$.
પગલું $4$: ઇકોનોમી ક્લાસ પસંદગી: $x_2 \geq 4x_1$.
પગલું $5$: બિન-ઋણાત્મકતા મર્યાદાઓ: $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$.
પગલું $6$: આ બધાને જોડતા, આપણને $LPP$ મળે છે: Maximize $z = 1500x_1 + 900x_2$ subject to $x_1 + x_2 \leq 250, x_1 \geq 30, x_2 \geq 4x_1, x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$.

(C) $1$. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $x + 2y \leq 70$, $2x + y \leq 95$, $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$2$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે: $(0, 0)$, $2x + y = 95$ પરથી $(47.5, 0)$, $x + 2y = 70$ પરથી $(0, 35)$, અને $x + 2y = 70$ તથા $2x + y = 95$ નું છેદબિંદુ.
$3$. સમીકરણો ઉકેલતા: $x = 70 - 2y$ ને $2(70 - 2y) + y = 95$ માં મૂકતા $140 - 4y + y = 95$ મળે છે, તેથી $3y = 45$, $y = 15$। ત્યારબાદ $x = 70 - 30 = 40$। છેદબિંદુ $(40, 15)$ છે.
$4$. શિરોબિંદુઓ પર $Z = x + y$ નું મૂલ્ય:
$(0, 0)$ પર, $Z = 0$।
$(47.5, 0)$ પર, $Z = 47.5$।
$(0, 35)$ પર, $Z = 35$।
$(40, 15)$ પર, $Z = 40 + 15 = 55$।
$5$. મહત્તમ મૂલ્ય $55$ છે જે બિંદુ $(40, 15)$ પર મળે છે.

(C) પગલું $1$: મર્યાદાઓ $5x + 10y \leq 50$ (અથવા $x + 2y \leq 10$), $x + y \geq 1$, $y \leq 4$, $x \geq 0$, અને $y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશને ઓળખો.
પગલું $2$: સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓને ઉકેલીને સુસંગત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો: $(0, 0.5)$, $(0, 4)$, $(2, 4)$, $(10, 0)$, અને $(1, 0)$.
પગલું $3$: દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 3x + 5y$ નું મૂલ્ય શોધો:
$(0, 0.5)$ પર, $z = 3(0) + 5(0.5) = 2.5$.
$(0, 4)$ પર, $z = 3(0) + 5(4) = 20$.
$(2, 4)$ પર, $z = 3(2) + 5(4) = 26$.
$(10, 0)$ પર, $z = 3(10) + 5(0) = 30$.
$(1, 0)$ પર, $z = 3(1) + 5(0) = 3$.
પગલું $4$: મહત્તમ મૂલ્ય $30$ છે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2.5$ છે.
પગલું $5$: તફાવત $30 - 2.5 = 27.5$ છે. આપેલ છે કે $3\lambda = 27.5$, તેથી $\lambda = 27.5 / 3 = 9.166...$ છે.

(C) $1$. શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધો:
$2x + 3y = 6$ રેખા $(3, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$x + y = 1$ રેખા $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(1, 0)$, $(3, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
$3$. દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = 3x + y$ ની કિંમત શોધો:
$(1, 0)$ પર: $Z = 3(1) + 0 = 3$.
$(3, 0)$ પર: $Z = 3(3) + 0 = 9$.
$(0, 1)$ પર: $Z = 3(0) + 1 = 1$.
$4$. કિંમતોની સરખામણી કરતા, ન્યૂનતમ કિંમત $1$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો.
- $x + 3y = 60$ અને $x - y = 0 \implies x=15, y=15$। બિંદુ: $(15, 15)$।
- $x + 3y = 60$ અને $x = 0 \implies y=20$। બિંદુ: $(0, 20)$।
- $x + y = 10$ અને $x - y = 0 \implies x=5, y=5$। બિંદુ: $(5, 5)$।
- $x + y = 10$ અને $x = 0 \implies y=10$। બિંદુ: $(0, 10)$।
પગલું $2$: દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો.
- $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 5(15) = 45 + 75 = 120$।
- $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$।
- $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 5(5) = 15 + 25 = 40$।
- $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$।
પગલું $3$: મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.
- મહત્તમ કિંમત $Z_{max} = 120$।
- ન્યૂનતમ કિંમત $Z_{min} = 40$।
પગલું $4$: તફાવતની ગણતરી કરો.
- તફાવત $= Z_{max} - Z_{min} = 120 - 40 = 80$।

(C) પગલું $1$: મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશને ઓળખો.
પગલું $2$: રેખાઓ $x=80$, $y=60$, $x+y=200$ અને અક્ષોના છેદબિંદુઓ સુસંગત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ છે.
પગલું $3$: શિરોબિંદુઓ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલીને મેળવવામાં આવે છે:
- $y=60$ અને $x=0$ નું છેદબિંદુ $(0, 60)$ આપે છે.
- $y=60$ અને $x+y=200$ નું છેદબિંદુ $(140, 60)$ આપે છે, પરંતુ $x \leq 80$ હોવાથી, આપણે $(80, 60)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
- $x=80$ અને $x+y=200$ નું છેદબિંદુ $(80, 120)$ આપે છે.
- $x=0$ અને $x+y=200$ નું છેદબિંદુ $(0, 200)$ આપે છે.
પગલું $4$: દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 60)$ પર: $z = 3(0) + 5(60) = 300$.
- $(80, 60)$ પર: $z = 3(80) + 5(60) = 240 + 300 = 540$.
- $(80, 120)$ પર: $z = 3(80) + 5(120) = 240 + 600 = 840$.
- $(0, 200)$ પર: $z = 3(0) + 5(200) = 1000$.
પગલું $5$: ન્યૂનતમ કિંમત $300$ છે જે બિંદુ $(0, 60)$ પર મળે છે.

(D) પગલું $1$: $x + 2y \leq 10$, $3x + y \leq 12$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સુસંગત પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ શોધો.
પગલું $2$: $x + 2y = 10$ અને $3x + y = 12$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે સમીકરણ ઉકેલો: $y = 12 - 3x$। પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 2(12 - 3x) = 10 \implies x + 24 - 6x = 10 \implies -5x = -14 \implies x = \frac{14}{5}$। તેથી $y = 12 - 3(\frac{14}{5}) = \frac{60 - 42}{5} = \frac{18}{5}$। છેદબિંદુ $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ છે.
પગલું $3$: ખૂણાના બિંદુઓ પર $z = 5x + 10y$ ની કિંમત શોધો: $(0, 0) \implies z = 0$; $(4, 0) \implies z = 20$; $(0, 5) \implies z = 50$; $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5}) \implies z = 5(\frac{14}{5}) + 10(\frac{18}{5}) = 14 + 36 = 50$।
પગલું $4$: કારણ કે $z$ ની મહત્તમ કિંમત $50$ એ બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ પર મળે છે, તેથી મહત્તમ કિંમત આ બંને બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના દરેક બિંદુ પર મળશે.

(D) $1$. છાયાંકિત પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો છે, તેથી બિન-ઋણાત્મક અવરોધો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
$2$. આ પ્રદેશ ત્રણ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો છે:
$(i)$ $(0, 12)$ અને $(6, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{6} + \frac{y}{12} = 1$ છે, જે $2x + y = 12$ માં સરળ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુની તરફ હોવાથી, અવરોધ $2x + y \leq 12$ છે.
(ii) $(0, 6)$ અને $(12, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{12} + \frac{y}{6} = 1$ છે, જે $x + 2y = 12$ માં સરળ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુની તરફ હોવાથી, અવરોધ $x + 2y \leq 12$ છે.
(iii) $(0, 4)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1$ છે, જે $4x + 5y = 20$ અથવા $x + 1.25y = 5$ માં સરળ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર હોવાથી, અવરોધ $x + 1.25y \geq 5$ છે.
$3$. આ બધાને જોડતા, અવરોધોની સિસ્ટમ $2x + y \leq 12, x + 2y \leq 12, x + 1.25y \geq 5, x \geq 0, y \geq 0$ છે. આ વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(A) પગલું $1$: શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ શોધો.
પગલું $2$: રેખાઓ $3x + y = 15$ અને $3x + 4y = 24$ છે.
પગલું $3$: છેદબિંદુ: પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા $3y = 9$ મળે છે, તેથી $y = 3$। $y = 3$ ને $3x + y = 15$ માં મૂકતા $3x = 12$ મળે છે, તેથી $x = 4$। છેદબિંદુ $(4, 3)$ છે.
પગલું $4$: શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(0, 0)$, $(5, 0)$, $(4, 3)$, અને $(0, 6)$ છે.
પગલું $5$: દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $Z = 4x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 0)$ પર, $Z = 4(0) + 5(0) = 0$।
$(5, 0)$ પર, $Z = 4(5) + 5(0) = 20$।
$(4, 3)$ પર, $Z = 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31$।
$(0, 6)$ પર, $Z = 4(0) + 5(6) = 30$।
પગલું $6$: મહત્તમ કિંમત $31$ છે.

(D) પગલું $1$: ઉદ્દેશ્ય વિધેય વ્યાખ્યાયિત કરો. નફો દરેક એક્ઝિક્યુટિવ ટિકિટ $(x_1)$ પર $1500$ અને દરેક ઇકોનોમી ટિકિટ $(x_2)$ પર $900$ છે. તેથી, $z = 1500x_1 + 900x_2$ ને મહત્તમ કરો.
પગલું $2$: મર્યાદાઓ ઓળખો. કુલ ક્ષમતા $250$ છે, તેથી $x_1 + x_2 \leq 250$ છે.
પગલું $3$: એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસનું અનામત ઓછામાં ઓછું $30$ છે, તેથી $x_1 \geq 30$ છે.
પગલું $4$: ઇકોનોમી ક્લાસની પસંદગી એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસ કરતા ઓછામાં ઓછી $4$ ગણી છે, તેથી $x_2 \geq 4x_1$ છે.
પગલું $5$: નોન-નેગેટિવિટી મર્યાદાઓ $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$ છે. આ બધાને જોડતા, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.