Adjoint and inverse of matrices Questions in Hindi

(C) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $M$ के लिए, $\operatorname{adj}(M) = |M| M^{-1}$ होता है।
माना $M = Q^{-1} B P^{-1}$ है।
तब $\operatorname{adj}(M) = |Q^{-1} B P^{-1}| (Q^{-1} B P^{-1})^{-1}$ होगा।
सारणिक के गुणों $|XY| = |X||Y|$ और $|X^{-1}| = \frac{1}{|X|}$ का उपयोग करने पर, हमें $|Q^{-1} B P^{-1}| = |Q^{-1}| |B| |P^{-1}| = \frac{1}{|Q|} |B| \frac{1}{|P|}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|P| = 1$ और $|Q| = 1$ है, इसलिए $|Q^{-1} B P^{-1}| = |B|$ होगा।
अब, व्युत्क्रम की गणना करने पर: $(Q^{-1} B P^{-1})^{-1} = (P^{-1})^{-1} B^{-1} (Q^{-1})^{-1} = P B^{-1} Q$ प्राप्त होता है।
इन मानों को एड्जॉइंट के सूत्र में रखने पर:
$\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = |B| P B^{-1} Q$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{adj} B = |B| B^{-1} = A$ है, इसलिए हम $|B| B^{-1}$ के स्थान पर $A$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः, $\operatorname{adj}(Q^{-1} B P^{-1}) = P A Q$ होगा।

(B) हम जानते हैं कि $3 \times 3$ आव्यूह $A$ के लिए, इसके सहखंडज आव्यूह का सारणिक $\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ, $n = 3$ है, इसलिए $\det(P) = (\det(A))^{3-1} = (\det(A))^2$.
दिया गया है कि $\det(A) = 4$, इसलिए $\det(P) = 4^2 = 16$.
अब, आव्यूह $P = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{bmatrix}$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(P) = 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$\det(P) = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$\det(P) = 0 - \alpha(-2) + 3(-2) = 2\alpha - 6$.
दोनों मानों की तुलना करने पर: $2\alpha - 6 = 16$.
$2\alpha = 22 \Rightarrow \alpha = 11$.

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $M$ के लिए, परिवर्त का सहखंडज (adjoint), सहखंडज के परिवर्त के बराबर होता है।
अर्थात, $\text{adj}(M^{\prime}) = (\text{adj } M)^{\prime}$।
इसलिए, $\text{adj}(M^{\prime}) - (\text{adj } M)^{\prime} = (\text{adj } M)^{\prime} - (\text{adj } M)^{\prime} = O$, जहाँ $O$ एक शून्य आव्यूह है।

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के एक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए, इसके सहखंडज आव्यूह का सारणिक $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है, इसलिए $n = 3$ है।
अतः, $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
दिया गया है कि $|B| = |\operatorname{adj} A| = 64$ है।
इसलिए, $|A|^2 = 64$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें $|A| = \pm \sqrt{64} = \pm 8$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $X$, $5 \times 1$ कोटि का एक स्तंभ सदिश है जहाँ सभी तत्व $1$ हैं, अर्थात $X = [1, 1, 1, 1, 1]^T$।
यह दिया गया है कि $P$ की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का योग $1$ है, जिसे हम $PX = X$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $P$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, इसलिए $P^{-1}$ का अस्तित्व है।
दोनों पक्षों को $P^{-1}$ से गुणा करने पर, हमें $P^{-1}(PX) = P^{-1}X$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(P^{-1}P)X = P^{-1}X$ हो जाता है, जो $IX = P^{-1}X$ है।
अतः, $P^{-1}X = X$।
यह दर्शाता है कि $P^{-1}$ की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का योग भी $1$ है।

(C) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
तब $A-3I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
यह जाँचने के लिए कि क्या आव्यूह व्युत्क्रमणीय है, हम इसका सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(A-3I_{3}) = -2((-2)(-2) - (1)(1)) - 1((1)(-2) - (1)(1)) + 1((1)(1) - (-2)(1))$
$\det(A-3I_{3}) = -2(4-1) - 1(-2-1) + 1(1+2)$
$\det(A-3I_{3}) = -2(3) - 1(-3) + 1(3) = -6 + 3 + 3 = 0$.
चूँकि आव्यूह का सारणिक $0$ है, इसलिए आव्यूह $A-3I_{3}$ अव्युत्क्रमणीय (non-invertible) है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले, हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (1)(-1) - (2)(-4) = -1 + 8 = 7$.
चूंकि $|A| \neq 0$, इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः, $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$।
व्युत्क्रम आव्यूह का सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ है।
अतः, $A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया समीकरण $AB = 3I$ है, जहाँ $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं और $I$ तत्समक आव्यूह है।
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(3I)$
आव्यूह गुणन के साहचर्य नियम का उपयोग करने पर:
$(A^{-1}A)B = 3(A^{-1}I)$
चूँकि $A^{-1}A = I$ और $A^{-1}I = A^{-1}$, समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$IB = 3A^{-1}$
$B = 3A^{-1}$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{3}B$

(B) दिया गया समीकरण $A^2-A+I=0$ है।
हम इसे $A^2-A = -I$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करने पर, हमें $(A^2-A)A^{-1} = -I \cdot A^{-1}$ प्राप्त होता है।
यह $A^2 A^{-1} - A A^{-1} = -A^{-1}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $A A^{-1} = I$, इसलिए हमारे पास $A I - I = -A^{-1}$ है।
इससे $A - I = -A^{-1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर, हमें $A^{-1} = I - A$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $q_{ij} = 2^{(i+j-1)}p_{ij}$। आव्यूह $Q$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$Q = \begin{bmatrix} 2^1 p_{11} & 2^2 p_{12} & 2^3 p_{13} \\ 2^2 p_{21} & 2^3 p_{22} & 2^4 p_{23} \\ 2^3 p_{31} & 2^4 p_{32} & 2^5 p_{33} \end{bmatrix}$
प्रत्येक पंक्ति से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$\det(Q) = (2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3) \begin{vmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ 2 p_{21} & 2 p_{22} & 2 p_{23} \\ 2^2 p_{31} & 2^2 p_{32} & 2^2 p_{33} \end{vmatrix} = 2^6 \cdot (1 \cdot 2 \cdot 2^2) \det(P) = 2^6 \cdot 2^3 \det(P) = 2^9 \det(P)$
दिया गया है $\det(Q) = 2^{10}$, इसलिए $2^9 \det(P) = 2^{10} \implies \det(P) = 2$।
हम जानते हैं कि $\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(n-1)^2}$, जहाँ $n=3$ है।
$\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(3-1)^2} = \det(P)^4 = 2^4 = 16$।

(D) सबसे पहले, समाकल्य को सरल करें: $f(x) = \int \frac{x^{18}(7x^{-8} + 9x^{-10})}{(x^9(x^{-9} + x^{-7} + 2))^2} dx = \int \frac{7x^{-8} + 9x^{-10}}{(x^{-9} + x^{-7} + 2)^2} dx$.
मान लीजिए $t = x^{-9} + x^{-7} + 2$, तो $dt = (-9x^{-10} - 7x^{-8}) dx$, इसलिए $-(7x^{-8} + 9x^{-10}) dx = dt$.
अतः, $f(x) = \int -t^{-2} dt = t^{-1} + C = \frac{1}{x^{-9} + x^{-7} + 2} + C = \frac{x^9}{1 + x^2 + 2x^9} + C$.
दिया है कि $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, इसलिए $C = 0$ प्राप्त होता है। साथ ही $f(1) = \frac{1}{1+1+2} = \frac{1}{4}$, जो सुसंगत है।
अब, $f'(x) = \frac{9x^8(1+x^2+2x^9) - x^9(2x + 18x^8)}{(1+x^2+2x^9)^2}$.
$x=1$ पर, $f'(1) = \frac{9(4) - 1(20)}{4^2} = \frac{36-20}{16} = 1$.
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1/4 & 1 & 1 \\ \alpha^2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.
$|A| = 1(\frac{1}{4} \times 4 - \alpha^2 \times 1) = 1 - \alpha^2$.
दिया है कि $|B| = |\text{adj}(\text{adj } A)| = |A|^{(n-1)^2} = |A|^4 = 81$, इसलिए $|A| = \pm 3$.
$1 - \alpha^2 = 3 \Rightarrow \alpha^2 = -2$ (संभव नहीं) या $1 - \alpha^2 = -3 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.

(B) दिया गया है कि $A+A^T=O$, अतः $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है। मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$ है।
$A\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ से, हमें प्राप्त होता है:
$-a = 3 \Rightarrow a = -3$
$-b+c = 2$
$3a + 2b = -3 \Rightarrow 3(-3) + 2b = -3 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3$.
तब $c = 2+b = 5$.
अतः, $A = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 3 & 0 & 5 \\ -3 & -5 & 0 \end{bmatrix}$ है।
तब $A+I = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & 1 & 5 \\ -3 & -5 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$|A+I| = 1(1+25) + 3(3+15) + 3(-15+3) = 26 + 54 - 36 = 44$.
हमें $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I)))$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A+I$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है, $\text{adj}(A+I)$ भी $3 \times 3$ है।
$\det(2\text{adj}(A+I)) = 2^3 |\text{adj}(A+I)| = 8 |A+I|^2 = 8(44)^2$.
तब $\det(\text{adj}(2\text{adj}(A+I))) = (8 \cdot 44^2)^2 = (2^3 \cdot (2^2 \cdot 11)^2)^2 = (2^3 \cdot 2^4 \cdot 11^2)^2 = (2^7 \cdot 11^2)^2 = 2^{14} \cdot 11^4$.
$(2)^\alpha \cdot (3)^\beta \cdot (11)^\gamma$ से तुलना करने पर, $\alpha=14, \beta=0, \gamma=4$ प्राप्त होता है।
अतः, $\alpha+\beta+\gamma = 14+0+4 = 18$।

(C) हम जानते हैं कि आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का मूल गुणधर्म $(\text{adj} A) \cdot A = |A|I$ है, जहाँ $I$, $3 \times 3$ क्रम का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है।
दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर, हमें $|(\text{adj} A) \cdot A| = ||A|I|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|A|$ एक अदिश (scalar) है, हम $|kA| = k^n|A|$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं, जहाँ $n$ आव्यूह का क्रम है।
यहाँ $n = 3$ है, इसलिए $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 |I|$ होगा।
चूंकि तत्समक आव्यूह का सारणिक $|I| = 1$ होता है, इसलिए $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 \times 1 = |A|^3$ प्राप्त होता है।

(B) एक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$, सारणिक $|A| = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11$ है।
अतः, $A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/11 & 3/11 \\ 1/11 & -2/11 \end{bmatrix}$ है।
इसे दिए गए $A^{-1} = \begin{bmatrix} a & 3/11 \\ 1/11 & b \end{bmatrix}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $a = 4/11$ और $b = -2/11$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $a+b = 4/11 + (-2/11) = 2/11$।

(D) सबसे पहले, $A$ का सारणिक ज्ञात करें: $\det(A) = 1(0-3) - 1(-10-1) + 2(-6-0) = -3 + 11 - 12 = -4$.
$n \times n$ आव्यूह के लिए $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M)^{n-2} M$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए, यहाँ $n=3$ है, इसलिए $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M$ होगा।
मान लीजिए $M = 2(\text{adj} A)^{-1}$ है। चूँकि $\text{adj} A = \det(A) A^{-1}$ होता है, इसलिए $M = 2(\det(A) A^{-1})^{-1} = 2 \det(A)^{-1} A = 2(-4)^{-1} A = -\frac{1}{2} A$ होगा।
तब $\text{adj}(\text{adj}(M)) = \det(M) M = \det(-\frac{1}{2} A) (-\frac{1}{2} A) = (-\frac{1}{2})^3 \det(A) (-\frac{1}{2} A) = \frac{1}{16} \det(A) A = \frac{1}{16} (-4) A = -\frac{1}{4} A$ होगा।
$A$ के सभी अवयवों का योग $1+1+2-2+0+1+1+3+5 = 12$ है।
अतः, $-\frac{1}{4} A$ के सभी अवयवों का योग $-\frac{1}{4} \times 12 = -3$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले, $A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = (2)(-2) - (-2)(4) = -4 + 8 = 4$.
चूंकि $|A| \neq 0$, $A^{-1}$ का अस्तित्व है। $A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $PA = B \implies P = BA^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5-9 & 1.5+4.5 \\ -0.5-3 & 0.5+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10.5 & 6 \\ -3.5 & 2 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $AQ = B \implies Q = A^{-1}B = \begin{bmatrix} -0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5+0.5 & -4.5+1.5 \\ -3+0.5 & -9+1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ -2.5 & -7.5 \end{bmatrix}$.
अब, $P+Q = \begin{bmatrix} -10.5-1 & 6-3 \\ -3.5-2.5 & 2-7.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11.5 & 3 \\ -6 & -5.5 \end{bmatrix}$.
अतः $2(P+Q) = \begin{bmatrix} -23 & 6 \\ -12 & -11 \end{bmatrix}$.
विकर्ण तत्वों का योग $-23 + (-11) = -34$ है। इसका निरपेक्ष मान $|-34| = 34$ है।

(B) सबसे पहले, $A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = -1(0-0) - 1(1-0) - 1(0-0) = -1$.
चूंकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है, गुणधर्म $adj(adj(A)) = |A|^{n-2} A$ लागू होता है, जहाँ $n=3$ है। अतः, $adj(adj(A)) = |A|^{3-2} A = (-1)A = -A$.
आगे, हम जानते हैं कि $adj(A) = |A|A^{-1}$ होता है। इसलिए, $adj(A)(adj(adj(A))) = (|A|A^{-1})(|A|A) = |A|^2 I = (-1)^2 I = I$.
दिया गया समीकरण $A^2 - \alpha A + \beta I = M$ बन जाता है, जहाँ $M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ है।
$A^2$ की गणना करें: $\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \alpha \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर, $(1, 2)$ स्थान पर अवयव के लिए: $-1 - \alpha = -2 \implies \alpha = 1$.
$(1, 3)$ स्थान पर अवयव के लिए: $1 + \alpha = 2 \implies \alpha = 1$.
$(3, 3)$ स्थान पर अवयव के लिए: $1 - \alpha + \beta = -1 \implies 1 - 1 + \beta = -1 \implies \beta = -1$.
अतः, $(\alpha - \beta)^2 = (1 - (-1))^2 = 2^2 = 4$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2i & i^3 \\ i^2 & 1 \end{bmatrix}$। चूँकि $i^2 = -1$ और $i^3 = -i$, हमारे पास $A = \begin{bmatrix} 2i & -i \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
चरण $1$: सारणिक $|A| = (2i)(1) - (-i)(-1) = 2i - i = i$ ज्ञात करें।
चरण $2$: सहखंडज $adj(A)$ ज्ञात करें। $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए, $adj(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः, $adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix}$।
चरण $3$: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{i} \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चूँकि $\frac{1}{i} = -i$, हमें $A^{-1} = -i \begin{bmatrix} 1 & i \\ 1 & 2i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & -i^2 \\ -i & -2i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & 1 \\ -i & 2 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$।
यह आव्यूह $\begin{bmatrix} \cos(240^\circ) & -\sin(240^\circ) \\ \sin(240^\circ) & \cos(240^\circ) \end{bmatrix}$ के रूप में है, जो $\theta = 240^\circ = 4\pi/3$ के साथ एक घूर्णन आव्यूह $R_\theta$ है।
घूर्णन आव्यूह के लिए, $A^{-1} = R_{-\theta}$ और $A^2 = R_{2\theta}$ होता है।
$A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos(120^\circ) & -\sin(120^\circ) \\ \sin(120^\circ) & \cos(120^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$।
$A^2 = \begin{bmatrix} \cos(480^\circ) & -\sin(480^\circ) \\ \sin(480^\circ) & \cos(480^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(120^\circ) & -\sin(120^\circ) \\ \sin(120^\circ) & \cos(120^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{bmatrix}$।
अतः, $A^{-1} - A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, जो एक शून्य आव्यूह है।
एक शून्य आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह और एक अदिश आव्यूह भी होता है, लेकिन यह एक इकाई आव्यूह नहीं है।

(C) चरण $1$: $A^2$ की गणना करें।
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$।
चरण $2$: चूँकि $A^2 = I$, दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर $A = A^{-1}$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: विकल्पों की जाँच करें। विकल्प $(C)$ कहता है $A^{-1} = A$, जो हमारे परिणाम से मेल खाता है।

(C) चरण $1$: $A$ का सारणिक ज्ञात कीजिए। $|A| = 2(3-0) - 0(15-0) + (-1)(5-0) = 6 - 5 = 1$।
चरण $2$: सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करें। चूँकि $|A| = 1$, $A^{-1} = \text{adj}(A)$।
चरण $3$: सहखंडज आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात कीजिए।
$C_{11} = +(3-0) = 3$, $C_{12} = -(15-0) = -15$, $C_{13} = +(5-0) = 5$।
$C_{21} = -(0 - (-1)) = -1$, $C_{22} = +(6-0) = 6$, $C_{23} = -(2-0) = -2$।
$C_{31} = +(0 - (-1)) = 1$, $C_{32} = -(0 - (-5)) = -5$, $C_{33} = +(2-0) = 2$।
चरण $4$: सहखंडज आव्यूह का परिवर्त (transpose) ही $\text{adj}(A)$ है: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}$।
चरण $5$: $A^{-1}$ से तुलना करने पर, हमें $\gamma = 3$, $\alpha = -15$, $\beta = 5$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: $|\alpha \cdot \beta \cdot \gamma| = |(-15) \cdot 5 \cdot 3| = |-225| = 225$।

(C) चरण $1$: सारणिक $|A| = 1(0 - (-25)) - 3(0 - (-10)) - 2(-15 - 0) = 1(25) - 3(10) - 2(-15) = 25 - 30 + 30 = 25$ ज्ञात करें।
चरण $2$: $A^{-1}$ की पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ का अवयव $\frac{C_{21}}{|A|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $C_{21}$, $A$ के दूसरे पंक्ति और पहले स्तंभ के अवयव का सहखंड है।
चरण $3$: $C_{21} = (-1)^{2+1} \times \text{minor}_{21} = -1 \times \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \times (0 - (-10)) = -10$।
चरण $4$: अभीष्ट अवयव $\frac{C_{21}}{|A|} = \frac{-10}{25} = -\frac{2}{5}$ है। नोट: दिए गए विकल्पों में सही मान नहीं है।

(A) चरण $1$: मैट्रिक्स $A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें।
$|A| = 1(4 - 9) - 3(12 - 9) + 3(9 - 3) = 1(-5) - 3(3) + 3(6) = -5 - 9 + 18 = 4$।
चरण $2$: $A^{-1}$ की तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ का अवयव $\frac{C_{23}}{|A|}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $C_{23}$, $A$ की दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ के अवयव का सहखंड (cofactor) है।
चरण $3$: दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ को हटाकर उपसारणिक (minor) $M_{23}$ की गणना करें: $M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 9) = -6$।
चरण $4$: सहखंड $C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -1 \times (-6) = 6$।
चरण $5$: अभीष्ट अवयव $\frac{C_{23}}{|A|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।

(A) चरण $1$: $A$ का सारणिक ज्ञात करें। $|A| = (3 \times 4) - (-2 \times 1) = 12 + 2 = 14$।
चरण $2$: $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें। $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए, सहखंडज $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
चरण $3$: अतः, $adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$।
चरण $4$: प्रतिलोम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{14} & \frac{2}{14} \\ -\frac{1}{14} & \frac{3}{14} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \\ -\frac{1}{14} & \frac{3}{14} \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया समीकरण: $A^2 - A + I = 0$
दोनों पक्षों से $I$ घटाने पर: $A^2 - A = -I$
बाएँ पक्ष से $A$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $A(A - I) = -I$
दोनों पक्षों को बाएँ से $A^{-1}$ से गुणा करने पर: $A^{-1}A(A - I) = A^{-1}(-I)$
चूँकि $A^{-1}A = I$, इसलिए: $I(A - I) = -A^{-1}$
$A - I = -A^{-1}$
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर: $A^{-1} = -(A - I) = I - A$

(D) चरण $1$: $A^{-1}$ ज्ञात करें। दिया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $\det(A) = (3)(-1) - (-4)(1) = -3 + 4 = 1$। अतः, $A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$।
चरण $2$: $(A^{-1})^2$ की गणना करें। $(A^{-1})^2 = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 8 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}$।
चरण $3$: $(A^{-1})^2 + B$ की गणना करें। $\begin{bmatrix} -3 & 8 \\ -2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & -13 \\ 5 & -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$।
चरण $4$: निकाय $\begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ को हल करें। इसका अर्थ है $3x - 5y = 0$, या $3x = 5y$। विकल्पों में से, केवल $(5, 3)$ समीकरण $3(5) = 5(3)$ को संतुष्ट करता है।

(C) हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$, जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$A$ की दूसरी पंक्ति को $A^{-1}$ के तीसरे स्तंभ से गुणा करने पर $I$ का $(2, 3)$ अवयव प्राप्त होता है, जो $0$ है।
$(1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times y) + (3 \times \frac{1}{2}) = 0 \implies \frac{1}{2} + 2y + \frac{3}{2} = 0 \implies 2 + 2y = 0 \implies y = -1$।
$A$ की तीसरी पंक्ति को $A^{-1}$ के पहले स्तंभ से गुणा करने पर $I$ का $(3, 1)$ अवयव प्राप्त होता है, जो $0$ है।
$(3 \times \frac{1}{2}) + (x \times -4) + (1 \times \frac{5}{2}) = 0 \implies \frac{3}{2} - 4x + \frac{5}{2} = 0 \implies 4 - 4x = 0 \implies x = 1$।
कार्तीय निर्देशांक $(1, -1)$ हैं।
ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ के लिए, $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
चूंकि बिंदु $(1, -1)$ चतुर्थ चतुर्थांश में है, $\theta = \arctan(\frac{y}{x}) = \arctan(-1) = \frac{7\pi}{4}$।
अतः, ध्रुवीय निर्देशांक $(\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4})$ हैं।

(C) माना $A = \begin{bmatrix} 1 + pq & p & 0 \\ q & 1 + pq & p \\ 0 & q & 1 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले, सारणिक $|A| = (1+pq)((1+pq)(1) - pq) - p(q(1) - 0) + 0 = (1+pq)(1) - pq = 1 + pq - pq = 1$ की गणना करें।
चूंकि $|A| = 1$ है, इसलिए प्रतिलोम $A^{-1}$ सहखंडज आव्यूह $adj(A)$ है।
सहखंड $C_{ij}$ इस प्रकार हैं:
$C_{11} = (1+pq)(1) - pq = 1$, $C_{12} = -(q - 0) = -q$, $C_{13} = q^2 - 0 = q^2$।
$C_{21} = -(p - 0) = -p$, $C_{22} = (1+pq) - 0 = 1+pq$, $C_{23} = -(q(1+pq) - 0) = -(q+pq^2)$।
$C_{31} = p^2 - 0 = p^2$, $C_{32} = -(p(1+pq) - 0) = -(p+p^2q)$, $C_{33} = (1+pq)^2 - pq = 1 + 2pq + p^2q^2 - pq = 1 + pq + p^2q^2$।
अतः, $A^{-1} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -p & p^2 \\ -q & 1 + pq & -(p + p^2q) \\ q^2 & -(q + pq^2) & 1 + pq + p^2q^2 \end{bmatrix}$।

(D) चरण $1$: आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात कीजिए।
$|A| = 2((-3)(1) - (1)(2)) - (-1)((4)(1) - (1)(1)) + 4((4)(2) - (-3)(1))$
$|A| = 2(-5) + 1(3) + 4(11) = -10 + 3 + 44 = 37$.
चरण $2$: प्रतिलोम $A^{-1}$, $\frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $3$: सहखंडज आव्यूह के $(3,3)$ स्थान पर अवयव सहखंड $C_{33}$ है।
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = (1)((2)(-3) - (-1)(4)) = -6 + 4 = -2$.
चरण $4$: चूँकि $B = A^{-1} = \frac{1}{37} \text{adj}(A)$, $B$ में $(3,3)$ पर अवयव $\frac{C_{33}}{37} = \frac{-2}{37}$ है।
दिए गए आव्यूह $B$ के साथ तुलना करने पर, हमें $k = -2$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: $A$ का सारणिक ज्ञात कीजिए। $|A| = (1)(4) - (-5)(-2) = 4 - 10 = -6$।
चरण $2$: $A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात कीजिए। $2 \times 2$ आव्यूह $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए, सहखंडज $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
चरण $3$: अतः, $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$।
चरण $4$: सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करें।
चरण $5$: $A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \sec \theta & -\tan \theta \\ -\tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix}$।
$2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए, $\text{adj } A = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः, $\text{adj } A = \begin{bmatrix} \sec \theta & \tan \theta \\ \tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix}$।
दिया है $A + \text{adj } A = 4I$, जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
$\begin{bmatrix} \sec \theta & -\tan \theta \\ -\tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sec \theta & \tan \theta \\ \tan \theta & \sec \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$।
आव्यूहों को जोड़ने पर: $\begin{bmatrix} 2 \sec \theta & 0 \\ 0 & 2 \sec \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर: $2 \sec \theta = 4 \implies \sec \theta = 2$।
चूँकि $\sec \theta = 2$, इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$।
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए, $\theta = \frac{\pi}{3}$।

(A) चरण $1$: $\det(A)$ की गणना करें। चूँकि $A$ एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है, $\det(A) = (2k - 1)^3$ है।
चरण $2$: $\det(\text{adj } A)$ की गणना करें। हम जानते हैं कि $\det(\text{adj } A) = (\det A)^{n-1}$ होता है। यहाँ $n=3$ है, इसलिए $\det(\text{adj } A) = ((2k - 1)^3)^2 = (2k - 1)^6$ है।
चरण $3$: $\det(B)$ की गणना करें। $B$ एक $3 \times 3$ कोटि का विषम-सममित आव्यूह है। विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक $0$ होता है। अतः $\det(B) = 0$ है।
चरण $4$: $\det(\text{adj } B)$ की गणना करें। चूँकि $\det(B) = 0$ है, $\det(\text{adj } B) = (\det B)^{3-1} = 0^2 = 0$ है।
चरण $5$: समीकरण $(2k - 1)^6 + 0 = 11^6$ को हल करें। इसका अर्थ है $(2k - 1)^6 = 11^6$, इसलिए $2k - 1 = 11$ या $2k - 1 = -11$ है।
चरण $6$: यदि $2k - 1 = 11$ है, तो $2k = 12$, जिससे $k = 6$ प्राप्त होता है। तब $k - 5 = 6 - 5 = 1$ है।
चरण $7$: यदि $2k - 1 = -11$ है, तो $2k = -10$, जिससे $k = -5$ प्राप्त होता है। तब $k - 5 = -5 - 5 = -10$ (विकल्पों में नहीं है)।
अतः, मान $1$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$।
हम जानते हैं कि $A(adj A) = |A|I$, जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$।
अतः, $A(adj A) = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$।
साथ ही, $A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$।
$AA^T = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 9 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 13 \end{bmatrix}$।
$A(adj A) = AA^T$ की तुलना करने पर:
$10a + 3b = 13$ ($(2,2)$ अवयव से)।
विकर्ण के बाहर के अवयवों के लिए, $15a - 2b = 0$, इसलिए $b = \frac{15a}{2}$।
$b$ का मान $10a + 3b = 13$ में रखने पर:
$10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13 \implies 10a + \frac{45a}{2} = 13 \implies \frac{20a + 45a}{2} = 13 \implies 65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$।
तब $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$।
अतः, $5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$।

(D) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए, $\text{adj}(\text{adj } A) = |A|^{n-2} A$ होता है।
साथ ही, सहखंडज आव्यूह का गुणधर्म $B = \text{adj } A$ है, इसलिए $B^{-1} = (\text{adj } A)^{-1} = \frac{1}{|A|} A$ होगा।
सबसे पहले, सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = \cos \alpha (\cos \alpha - 0) - (-\sin \alpha)(\sin \alpha - 0) + 0 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$।
चूंकि $|A| = 1$ है, इसलिए $B = \text{adj } A$ है।
हम जानते हैं कि $A \cdot \text{adj } A = |A| I = I$ होता है।
अतः, $\text{adj } A = A^{-1}$।
इसलिए, $B = A^{-1}$।
तब $B^{-1} = (A^{-1})^{-1} = A$ होगा।

(B) चरण $1$: आव्यूह $A$ का निर्माण करें। $i, j \in \{1, 2, 3\}$ के लिए, यदि $i+j$ सम है तो $a_{ij} = 1$ और यदि $i+j$ विषम है तो $a_{ij} = 0$ है।
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
चरण $2$: सारणिक $|A|$ की गणना करें।
$|A| = 1(1-0) - 0(0-0) + 1(0-1) = 1 - 1 = 0$।
चरण $3$: सहखंडज आव्यूह $C$ की गणना करें:
$C_{11} = 1, C_{12} = 0, C_{13} = -1, C_{21} = 0, C_{22} = 0, C_{23} = 0, C_{31} = -1, C_{32} = 0, C_{33} = 1$।
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।

(C) चरण $1$: हम जानते हैं कि $adj(A^{-1}) = adj((A^{-1})) = \frac{1}{\det(A)} A$ है।
चरण $2$: $\det(A)$ की गणना करें। चूँकि $A$ एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है, $\det(A) = (-1) \times (2) \times (-1) = 2$ है।
चरण $3$: अतः, $adj(A^{-1}) = \frac{1}{2} A = \begin{bmatrix} -0.5 & 1012.5 & 1013 \\ 0 & 1 & 1013.5 \\ 0 & 0 & -0.5 \end{bmatrix}$ है।
चरण $4$: सभी अवयवों का योग = $-0.5 + 1012.5 + 1013 + 0 + 1 + 1013.5 + 0 + 0 - 0.5 = 3039$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$।
घूर्णन आव्यूह के गुण का उपयोग करते हुए, $A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$।
अतः, $A^{-3} = \begin{bmatrix} \cos(-3\theta) & -\sin(-3\theta) \\ \sin(-3\theta) & \cos(-3\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(3\theta) & \sin(3\theta) \\ -\sin(3\theta) & \cos(3\theta) \end{bmatrix}$।
दिया है $\theta = \pi/6$, तो $3\theta = 3(\pi/6) = \pi/2$।
मान प्रतिस्थापित करने पर, $A^{-3} = \begin{bmatrix} \cos(\pi/2) & \sin(\pi/2) \\ -\sin(\pi/2) & \cos(\pi/2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$।

(B) दिया है $AB = C$। बाईं ओर $A^{-1}$ से गुणा करने पर, हमें $B = A^{-1}C$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर, $B^{-1} = (A^{-1}C)^{-1} = C^{-1}A$।
सबसे पहले, $C^{-1}$ ज्ञात करें। सारणिक $|C| = (7 \times 6) - (3 \times 0) = 42$। सहखंडज $adj(C) = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$। अतः, $C^{-1} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$।
अब, $B^{-1} = C^{-1}A = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$।
$B^{-1} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} (6 \times 3) + (-3 \times -1) & (6 \times 1) + (-3 \times 2) \\ (0 \times 3) + (7 \times -1) & (0 \times 1) + (7 \times 2) \end{bmatrix} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} 21 & 0 \\ -7 & 14 \end{bmatrix}$।
इसे सरल करने पर: $B^{-1} = \frac{7}{42} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) हम गुणधर्म $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले, $A^{-1}$ ज्ञात करें। दिया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$, $|A| = (2)(-2) - (3)(5) = -4 - 15 = -19$ है।
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-19} \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$ है।
अब, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/5 & 2/5 \\ 2/5 & -1/5 \end{bmatrix} \times \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$ है।
$= \frac{1}{5 \times 19} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \frac{1}{95} \begin{bmatrix} (1)(2)+(2)(5) & (1)(3)+(2)(-2) \\ (2)(2)+(-1)(5) & (2)(3)+(-1)(-2) \end{bmatrix}$ है।
$= \frac{1}{95} \begin{bmatrix} 12 & -1 \\ -1 & 8 \end{bmatrix}$ है।

(D) चरण $1$: दिया है $XA = B^T$, दाईं ओर $A^{-1}$ से गुणा करने पर: $X = B^T A^{-1}$।
चरण $2$: दिया है $A^{-1}Y = B$, इसलिए $Y = AB$।
चरण $3$: $XY = (B^T A^{-1})(AB) = B^T (A^{-1}A) B = B^T I B = B^T B$ की गणना करें।
चरण $4$: $B^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$।
चरण $5$: $XY = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = (1 \times 1) + (0 \times 0) + (1 \times 1) = 1 + 0 + 1 = [2]$।

(A) चरण $1$: $2A = 2 \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 14 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चरण $2$: $3B = 3 \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चरण $3$: $2A + 3B = \begin{bmatrix} 6-3 & 0 & 0 \\ 0 & -10+6 & 0 \\ 0 & 0 & 14+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 26 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
चरण $4$: एक विकर्ण आव्यूह $D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3)$ का प्रतिलोम $D^{-1} = \text{diag}(1/d_1, 1/d_2, 1/d_3)$ होता है।
चरण $5$: अतः, $(2A + 3B)^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & -1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 1/26 \end{bmatrix}$ है।

(D) चरण $1$: $a_{ij} = |2i - 5j|$ का उपयोग करके आव्यूह $A$ की रचना करें।
$A = \begin{pmatrix} 3 & 8 & 13 \\ 1 & 6 & 11 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}$।
चरण $2$: सारणिक $|A|$ की गणना करें।
$|A| = 3(54 - 44) - 8(9 - 11) + 13(4 - 6) = 30 + 16 - 26 = 20$।
चरण $3$: $A^{-1}$ की दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव $\frac{C_{32}}{|A|}$ है, जहाँ $C_{32}$ अवयव $a_{32}$ का सहखंड है।
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 3 & 13 \\ 1 & 11 \end{vmatrix} = -1(33 - 13) = -20$।
चरण $4$: अवयव $= \frac{-20}{20} = -1$।

(A) माना $t = \tan(\theta/2)$ है। तब $A = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$ है। सारणिक $|A| = 1 + t^2$ है।
$A^{-1} = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix}$ है।
अब, $A^{-1}B = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1+t^2} \begin{bmatrix} 1-t^2 & 2t \\ -2t & 1-t^2 \end{bmatrix}$ है।
सर्वसमिकाओं $\cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$ का उपयोग करने पर, हमें $A^{-1}B = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: कथन $I$ सत्य है क्योंकि एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह के लिए, $|A| \neq 0$ होता है, जो प्रतिलोम आव्यूह $A^{-1}$ के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।
चरण $2$: कथन $II$ सत्य है। दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित हैं, अतः $A' = A$ और $B' = B$। $(AB - BA)$ का परिवर्त (transpose) लेने पर:
$(AB - BA)' = (AB)' - (BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA)$।
चूंकि $(AB - BA)$ का परिवर्त उसका ऋणात्मक है, इसलिए $(AB - BA)$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(A) चरण $1$: आव्यूह $A$ के सहखंडज (adjoint) का मूलभूत गुण $A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = |A|I$ है, जहाँ $|A|$, $A$ का सारणिक है और $I$ तत्समक आव्यूह है।
चरण $2$: विकल्प $(A)$ कहता है $A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = AI$। यह गलत है क्योंकि इसमें सारणिक गुणक $|A|$ लुप्त है।
चरण $3$: विकल्प $(B)$ सही सर्वसमिका है। विकल्प $(C)$ आव्यूहों के गुणनफल के व्युत्क्रम के लिए मानक व्युत्क्रमण नियम है। विकल्प $(D)$ किसी आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने की शर्त है।
चरण $4$: अतः, गलत कथन $(A)$ है।