Variable separable type differential equations Questions in Gujarati

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+5}{6x-9y+7}$ છે.
ધારો કે $v = 2x-3y$. તેથી $\frac{dv}{dx} = 2 - 3\frac{dy}{dx}$, એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(2 - \frac{dv}{dx})$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{3}(2 - \frac{dv}{dx}) = \frac{v+5}{3v+7}$.
$2 - \frac{dv}{dx} = \frac{3v+15}{3v+7} \implies \frac{dv}{dx} = 2 - \frac{3v+15}{3v+7} = \frac{6v+14-3v-15}{3v+7} = \frac{3v-1}{3v+7}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{3v+7}{3v-1} dv = \int dx$.
$\int (1 + \frac{8}{3v-1}) dv = \int dx \implies v + \frac{8}{3} \log |3v-1| = x + c$.
$v = 2x-3y$ મૂકતા: $(2x-3y) + \frac{8}{3} \log |3(2x-3y)-1| = x + c$.
$x - 3y + \frac{8}{3} \log |6x-9y-1| + c = 0$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos y \frac{dy}{dx} = e^x e^{\sin y} + x^2 e^{\sin y}$.
બંને બાજુ $e^{\sin y}$ વડે ભાગતા: $e^{-\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = e^x + x^2$.
ધારો કે $u = \sin y$, તો $\frac{du}{dx} = \cos y \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણ $e^{-u} \frac{du}{dx} = e^x + x^2$ બને છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\int e^{-u} du = \int (e^x + x^2) dx$.
$-e^{-u} = e^x + \frac{x^3}{3} + C_1$.
$u = \sin y$ પાછું મૂકતા: $-e^{-\sin y} = e^x + \frac{x^3}{3} + C_1$.
$f(x) + e^{-\sin y} = C$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $e^x + \frac{x^3}{3} + e^{-\sin y} = C$.
આને $f(x) + e^{-\sin y} = C$ સાથે સરખાવતા, આપણને $f(x) = e^x + \frac{x^3}{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + y = \frac{x f(xy)}{f'(xy)}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{d(xy)}{dx} = \frac{x f(xy)}{f'(xy)}$.
ચલ $xy$ અને $x$ ને અલગ કરતા: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
તેથી: $\ln |f(xy)| = \frac{x^2}{2} + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $|f(xy)| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C \cdot e^{x^2 / 2}$.
ધારો કે $k = e^C$, તો આપણને મળે: $|f(xy)| = k e^{x^2 / 2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(x+y)^{2} \frac{d y}{d x}=a^{2}, a \neq 0$
ધારો કે $x+y=t$. તેથી $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-1$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$t^{2}(\frac{d t}{d x}-1)=a^{2}$
$t^{2} \frac{d t}{d x} = a^{2}+t^{2}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા:
$\frac{t^{2}}{a^{2}+t^{2}} d t = d x$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{t^{2}+a^{2}-a^{2}}{t^{2}+a^{2}} d t = \int d x$
$\int (1 - \frac{a^{2}}{t^{2}+a^{2}}) d t = x + C'$
$t - a^{2} \cdot \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{t}{a}) = x + C'$
$t - a \tan^{-1}(\frac{t}{a}) = x + C'$
$t = x+y$ પાછું મૂકતા:
$(x+y) - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = x + C'$
$y - C' = a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$
$\frac{y-C'}{a} = \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$
$\tan(\frac{y-C'}{a}) = \frac{x+y}{a}$
ધારો કે $C = -C'$. તેથી વ્યાપક ઉકેલ $\tan(\frac{y+C}{a}) = \frac{x+y}{a}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y)^{2} \frac{dy}{dx} = a^{2}$.
ધારો કે $v = x+y$. તેથી, $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $v^{2} (\frac{dv}{dx} - 1) = a^{2}$.
પદોને ગોઠવતા: $v^{2} \frac{dv}{dx} = v^{2} + a^{2}$, તેથી $\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2} + a^{2}}{v^{2}}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = \int dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\int (1 - \frac{a^{2}}{v^{2} + a^{2}}) dv = x + C'$.
સંકલન કરતા મળે છે: $v - a \tan^{-1}(\frac{v}{a}) = x + C'$.
$v = x+y$ મૂકતા: $(x+y) - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = x + C'$.
સાદું રૂપ આપતા: $y - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = C'$.
ગોઠવતા: $\frac{y-C'}{a} = \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$.
બંને બાજુ ટેન્જેન્ટ લેતા: $\tan(\frac{y-C'}{a}) = \frac{x+y}{a}$.
$-C' = C$ લેતા, આપણને $\frac{x+y}{a} = \tan(\frac{y+C}{a})$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\log_{e}\left(\frac{dy}{dx}\right) = x + y$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ, આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$.
ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$.
ચલને અલગ કરતા: $e^{-y} dy = e^x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-y} dy = \int e^x dx$.
આથી મળે છે: $-e^{-y} = e^x + C_1$.
પદોને ગોઠવતા: $e^x + e^{-y} = -C_1$.
ધારો કે $-C_1 = C$, તેથી વ્યાપક ઉકેલ: $e^x + e^{-y} = C$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \, dy - y \, dx = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $x \, dy = y \, dx$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા, આપણને $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, આપણને $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} + C$ મળે છે.
આના પરિણામે $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$ મળે છે, જ્યાં $\ln|c|$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા, $\ln|y| = \ln|cx|$, જેનો અર્થ છે કે $y = cx$.
સમીકરણ $y = cx$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = e^{y+x} + e^{y-x}$.
જમણી બાજુને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dy}{dx} = e^y(e^x + e^{-x})$.
ચલને અલગ કરતા: $e^{-y} dy = (e^x + e^{-x}) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-y} dy = \int (e^x + e^{-x}) dx$.
આથી મળે: $-e^{-y} = e^x - e^{-x} + c$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા: $e^{-y} = e^{-x} - e^x + c$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+2 y+1}$
ધારો કે $x+y=v$. તેથી $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}$, એટલે કે $\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}-1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{d v}{d x}-1=\frac{v+1}{2 v+1}$
$\frac{d v}{d x}=\frac{v+1}{2 v+1}+1 = \frac{v+1+2 v+1}{2 v+1} = \frac{3 v+2}{2 v+1}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{2 v+1}{3 v+2} d v=d x$
અંશને ફરીથી લખતા: $\frac{\frac{2}{3}(3 v+2)-\frac{1}{3}}{3 v+2} d v=d x$
$\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v=d x$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v = \int d x + C'$
$\frac{2}{3} v - \frac{1}{9} \log |3 v+2| = x + C'$
$v=x+y$ મૂકતા: $\frac{2}{3}(x+y) - \frac{1}{9} \log |3 x+3 y+2| = x + C'$
$9$ વડે ગુણતા: $6(x+y) - \log |3 x+3 y+2| = 9 x + 9 C'$
$6 x + 6 y - 9 x - \log |3 x+3 y+2| = C$
$-3 x + 6 y - \log |3 x+3 y+2| = C$
$-1$ વડે ગુણતા: $3 x - 6 y + \log |3 x+3 y+2| = C$
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + y = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{d(xy)}{dx} = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
પરિણામ મળે છે: $\ln |f(xy)| = \frac{x^2}{2} + k$, જ્યાં $k$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $|f(xy)| = e^{\frac{x^2}{2} + k} = e^k \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$.
ધારો કે $C = e^k$, તેથી: $|f(xy)| = Ce^{\frac{x^2}{2}}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}}) \cos y \, dy = (1+2 \sin y) \, dx$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \int \frac{dx}{16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}})}$.
ધારો કે $u = 1+2 \sin y$, તો $du = 2 \cos y \, dy$, તેથી $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y|$.
જમણી બાજુ માટે, ધારો કે $t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$. તેથી $t-4 = \sqrt{9+\sqrt{x}}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(t-4)^2 = 9+\sqrt{x}$, તેથી $\sqrt{x} = (t-4)^2 - 9$.
$t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$ નું વિકલન કરતા, $dt = \frac{1}{2\sqrt{9+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{dx}{4\sqrt{x(9+\sqrt{x})}} = \frac{dx}{4\sqrt{x+9\sqrt{x}}}$.
તેથી, $\frac{dx}{\sqrt{x+9\sqrt{x}}} = 4 \, dt$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $\frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y| = \int \frac{4 \, dt}{16t} = \frac{1}{4} \ln |t| + C = \frac{1}{4} \ln |4+\sqrt{9+\sqrt{x}}| + C$.
$y(256) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{256}}) + C \implies \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+16}) + C = \frac{1}{4} \ln 9 + C = \frac{1}{2} \ln 3 + C$. તેથી $C = 0$.
હવે, $y(49) = \alpha$ માટે: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{49}}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{16}) = \frac{1}{4} \ln 8 = \frac{1}{4} \ln(2^3) = \frac{3}{4} \ln 2$.
તેથી $\ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{3}{2} \ln 2 = \ln(2^{3/2}) = \ln(2\sqrt{2})$.
આમ, $1+2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}$, જે આપણને $2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}-1$ આપે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$.
બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા ($x > 0$ હોવાથી): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2}} dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $d\left(\frac{y}{x}\right) = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}} = \int \frac{1}{x} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^{2}}} = \ln|u + \sqrt{1 + u^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right) = \ln x + C$.
$y(1) = 0$ આપેલ છે, તેથી $x = 1, y = 0$ મૂકતા: $\ln(0 + \sqrt{1 + 0}) = \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી, $\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = x$.
$x$ વડે ગુણતા: $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x^{2}$.
$y(3)$ શોધવા માટે, $x = 3$ મૂકતા: $y + \sqrt{9 + y^{2}} = 9$.
$\sqrt{9 + y^{2}} = 9 - y$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9 + y^{2} = 81 - 18y + y^{2}$.
$18y = 72 \Rightarrow y = 4$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$ છે.
ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, આપણે લખી શકીએ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y}$.
ચલને અલગ કરતા, આપણને $e^y \, dy = e^x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\int e^y \, dy = \int e^x \, dx$.
આનાથી $e^y = e^x + C$ મળે છે, જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
પદોને ગોઠવતા, આપણને $e^x - e^y = -C$ મળે છે, જેને $e^x - e^y = c$ તરીકે લખી શકાય છે (જ્યાં $c = -C$ એ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે).

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = e^{x+y} = e^x \cdot e^y$ છે.
ચલને અલગ કરતા, આપણને $e^{-y} \, dy = e^x \, dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\int e^{-y} \, dy = \int e^x \, dx$ મળે છે.
આનું પરિણામ $-e^{-y} = e^x + C'$ છે, જ્યાં $C'$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $e^x + e^{-y} = -C'$ મળે છે.
ધારો કે $C = -C'$, તો વ્યાપક ઉકેલ $e^x + e^{-y} = C$ થાય છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$ છે.
ચલને અલગ કરતા, આપણને $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$.
આથી $\ln|y+1| = -\ln|1+\sin x| + C$, જે $\ln|y+1| + \ln|1+\sin x| = C$ માં પરિણમે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, $(y+1)(1+\sin x) = K$ મળે, જ્યાં $K = e^C$.
શરત $y(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા, $x = 0$ અને $y = 0$ મુકતા: $(0+1)(1+\sin 0) = K$, તેથી $1(1+0) = K$, એટલે કે $K = 1$.
આમ, વિશિષ્ટ ઉકેલ $(y+1)(1+\sin x) = 1$ છે.
જો વક્ર $(\alpha, -\frac{1}{2})$ માંથી પસાર થતો હોય, તો $x = \alpha$ અને $y = -\frac{1}{2}$ મુકતા:
$(-\frac{1}{2} + 1)(1+\sin \alpha) = 1$.
$\frac{1}{2}(1+\sin \alpha) = 1$.
$1+\sin \alpha = 2$.
$\sin \alpha = 1$.
તેથી, $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y^2)$ છે.
ચલને અલગ કરતા, $\int \frac{dy}{1-y^2} = \int (1+x^2) dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $\frac{1}{2} \ln|\frac{1+y}{1-y}| = x + \frac{x^3}{3} + C$ મળે.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, $C = \frac{1}{2} \ln(3)$ મળે.
તેથી, $\ln|\frac{1+y}{1-y}| = 2(x + \frac{x^3}{3}) + \ln(3)$.
$x=1$ માટે, $\ln|\frac{1+y(1)}{1-y(1)}| = \frac{8}{3} + \ln(3)$.
આમ, $\frac{1+y(1)}{1-y(1)} = 3e^{8/3}$.
$k = 3e^{8/3}$ લેતા, $y(1) = \frac{k-1}{k+1}$ મળે.
$2y(1)-1 = \frac{k-3}{k+1}$ થાય.
$k$ ની કિંમત મૂકતા, આ પદ હાઇપરબોલિક વિધેય $\tanh$ ના સ્વરૂપમાં ફેરવાય છે, જે અંતે $\tan$ ના સ્વરૂપમાં પરિણમે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{y} = (2 + \ln x) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int (2 + \ln x) dx$.
$\ln y = 2x + (x \ln x - x) + C = x \ln x + x + C$.
વક્ર બિંદુ $(1, e)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $x = 1$ અને $y = e$ મૂકતા: $\ln e = 1 \ln 1 + 1 + C$.
$1 = 0 + 1 + C$, જે આપણને $C = 0$ આપે છે.
આમ, વક્રનું સમીકરણ $\ln y = x \ln x + x$ છે.
$f(e)$ શોધવા માટે, $x = e$ મૂકતા: $\ln f(e) = e \ln e + e = e(1) + e = 2e$.
તેથી, $f(e) = e^{2e}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y+y^2)$ છે.
ચલને અલગ કરતા, $\int \frac{dy}{y^2-y+1} = \int (1+x^2) dx$ મળે.
છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $y^2-y+1 = (y-1/2)^2 + 3/4$.
તેથી, $\int \frac{dy}{(y-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = x + \frac{x^3}{3} + C$.
સૂત્ર $\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = x + \frac{x^3}{3} + C$ મળે.
$y(0) = 1/2$ આપેલ હોવાથી, $\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(0) = 0 + 0 + C$, જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
તેથી, $\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = x + \frac{x^3}{3}$.
$x = 1$ માટે, $\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}\right) = 1 + 1/3 = 4/3$.
$\tan^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી, $\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}} = \tan \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$, જે દર્શાવે છે કે $2y(1)-1 = \sqrt{3} \tan \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{y} = (2 + \log_e x) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int (2 + \log_e x) dx$.
$\log_e y = 2x + (x \log_e x - x) + C = x \log_e x + x + C$.
વક્ર બિંદુ $(1, e)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $x = 1$ અને $y = e$ મૂકતા:
$\log_e e = 1 \cdot \log_e 1 + 1 + C$.
$1 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ, વક્રનું સમીકરણ $\log_e y = x \log_e x + x$ છે.
$y(e)$ શોધવા માટે, $x = e$ મૂકતા:
$\log_e y = e \log_e e + e = e(1) + e = 2e$.
તેથી, $y = e^{2e}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y + 5$ છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y + 5} = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y + 5} = \int dx \implies \log|y + 5| = x + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 4$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log|4 + 5| = 0 + C \implies C = \log 9$.
આમ, $\log|y + 5| = x + \log 9$.
ગોઠવતા: $\log|y + 5| - \log 9 = x \implies \log|\frac{y + 5}{9}| = x$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\frac{y + 5}{9} = e^x \implies y = 9e^x - 5$.
હવે, $y(\log 2)$ ની ગણતરી કરતા: $y(\log 2) = 9e^{\log 2} - 5$.
કારણ કે $e^{\log 2} = 2$, આપણને મળે છે $y(\log 2) = 9(2) - 5 = 18 - 5 = 13$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = e^{x-y} + x^2e^{-y}$
સમીકરણને આ રીતે લખો: $\frac{dy}{dx} = e^{-y}(e^x + x^2)$
ચલને અલગ કરતા: $e^y \ dy = (e^x + x^2) \ dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^y \ dy = \int (e^x + x^2) \ dx$
$e^y = e^x + \frac{x^3}{3} + c$

(B) આપેલ સમીકરણ: $e^{-x}(y + 1)dy + (\cos^2 x - \sin 2x)y dx = 0$
$y e^{-x}$ વડે ભાગતા: $\frac{y+1}{y} dy + e^x (\cos^2 x - \sin 2x) dx = 0$
$(1 + \frac{1}{y}) dy + e^x \cos^2 x dx - e^x \sin 2x dx = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 + \frac{1}{y}) dy + \int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = C$
અહીં $\int e^x \cos^2 x dx = \int e^x (\frac{1 + \cos 2x}{2}) dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx$
સૂત્ર $\int e^x \cos 2x dx = \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2 \sin 2x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int e^x \cos^2 x dx = \frac{e^x}{2} + \frac{e^x}{10} (\cos 2x + 2 \sin 2x) = \frac{e^x}{10} (5 + \cos 2x + 2 \sin 2x)$
તેમજ $\int e^x \sin 2x dx = \frac{e^x}{5} (\sin 2x - 2 \cos 2x)$
કિંમતો મુકતા: $y + \log y + \frac{e^x}{10} (5 + \cos 2x + 2 \sin 2x - 2 \sin 2x + 4 \cos 2x) = C$
$y + \log y + \frac{e^x}{10} (5 + 5 \cos 2x) = C \implies y + \log y + e^x \frac{1 + \cos 2x}{2} = C \implies y + \log y + e^x \cos^2 x = C$
$x = 0, y = 1$ મુકતા: $1 + \log 1 + e^0 \cos^2 0 = C \implies 1 + 0 + 1(1) = C \implies C = 2$
અંતિમ ઉકેલ: $y + \log y + e^x \cos^2 x = 2$

(A) ધારો કે $v = x + y$ છે. તેથી $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$.
$\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v + \cos v$.
$\frac{dv}{1 + \sin v + \cos v} = dx$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\sin v = \frac{2 \tan(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ અને $\cos v = \frac{1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \sin v + \cos v = 1 + \frac{2 \tan(v/2) + 1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)} = \frac{2(1 + \tan(v/2))}{\sec^2(v/2)}$.
આમ, $\int \frac{\sec^2(v/2) dv}{2(1 + \tan(v/2))} = \int dx$.
ધારો કે $u = 1 + \tan(v/2)$, તો $du = \frac{1}{2} \sec^2(v/2) dv$ થાય.
સંકલન $\int \frac{du}{u} = \int dx$ બને છે, જે $\log |u| = x + c$ આપે છે.
કિંમત પાછી મૂકતા, $\log |1 + \tan(\frac{x+y}{2})| = x + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $v = 9x + y + 5$ છે. $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, $\frac{dv}{dx} = 9 + \frac{dy}{dx}$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 9$ મળે છે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 9 = v^2$.
$\frac{dv}{dx} = v^2 + 9$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dv}{v^2 + 3^2} = \int dx$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{v}{3}) = x + c$ મળે છે.
$v$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{9x + y + 5}{3}) = x + c$.

(B) આપેલ ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x^2 + x} = \frac{y - 1}{x(x + 1)}$ છે.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y - 1} = \int \frac{dx}{x(x + 1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$.
વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી, $x = 1, y = 0$ મૂકતા: $\ln|0 - 1| = \ln|\frac{1}{1 + 1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$.
તેથી, $\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x + 1}|$.
ઘાતાંક લેતા: $y - 1 = \frac{2x}{x + 1} \implies (y - 1)(x + 1) = 2x$.

(B) ધારો કે $x + y = v$ છે. $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ મળે છે.
સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos(v)$.
$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos(v) = 2 \cos^2 \left( \frac{v}{2} \right)$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{2 \cos^2 \left( \frac{v}{2} \right)} = dx$.
$\frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{v}{2} \right) dv = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{v}{2} \right) dv = \int dx$.
$\tan \left( \frac{v}{2} \right) = x + c$.
$v = x + y$ પાછું મૂકતા: $\tan \left( \frac{x + y}{2} \right) = x + c$.

(D) ધારો કે $p = \frac{dy}{dx}$ છે. આપેલ સમીકરણ $p^2 = 6 - p$ છે, જેને $p^2 + p - 6 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા, આપણને $(p + 3)(p - 2) = 0$ મળે છે, તેથી $p = 2$ અથવા $p = -3$ છે.
કારણ કે $y = f(x)$ એક એકદિષ્ટ વધતું વિધેય છે, તેથી $\frac{dy}{dx} \ge 0$ હોવું જોઈએ, એટલે કે $p = 2$ લેવું પડે.
$\frac{dy}{dx} = 2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા, આપણને $y = 2x + C$ મળે છે.
શરૂઆતની શરત $y(0) = 5$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $5 = 2(0) + C$ મળે છે, તેથી $C = 5$ છે.
આમ, વિધેય $y = 2x + 5$ છે.
$x = 3$ માટે કિંમત શોધતા, $y(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: વિકલ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવો: $x \, dy = -2y \, dx$।
પગલું $2$: ચલને અલગ કરો: $\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$।
પગલું $3$: બંને બાજુ સંકલન કરો: $\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x} \implies \ln|y| = -2 \ln|x| + C$।
પગલું $4$: સાદું રૂપ આપો: $\ln|y| = \ln|x^{-2}| + C \implies \ln|y| = \ln|\frac{1}{x^2}| + C \implies y = \frac{k}{x^2}$, જ્યાં $k = e^C$ છે.
પગલું $5$: પ્રારંભિક શરત $x = 2, y = 1$ લાગુ કરો: $1 = \frac{k}{2^2} \implies 1 = \frac{k}{4} \implies k = 4$।
પગલું $6$: વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \frac{4}{x^2}$ છે, જે $x^2 y = 4$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y + 5$ છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y + 5} = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y + 5} = \int dx \implies \log|y + 5| = x + C$.
શરૂઆતની શરત $y(0) = 4$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log|4 + 5| = 0 + C \implies C = \log 9$.
તેથી, $\log|y + 5| = x + \log 9 \implies \log|y + 5| = \log(9e^x)$.
આમ, $y + 5 = 9e^x \implies y = 9e^x - 5$.
હવે, $y(\log 2)$ ની કિંમત શોધતા: $y(\log 2) = 9e^{\log 2} - 5 = 9(2) - 5 = 18 - 5 = 13$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = e^{x-y} + x^2e^{-y}$
સમીકરણને આ રીતે લખો: $\frac{dy}{dx} = e^{-y}(e^x + x^2)$
ચલને અલગ કરતા: $e^y \ dy = (e^x + x^2) \ dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^y \ dy = \int (e^x + x^2) \ dx$
$e^y = e^x + \frac{x^3}{3} + c$
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે: $e^{-x}(y + 1) dy + (\cos^2 x - \sin 2x)y dx = 0$
$y e^{-x}$ વડે ભાગતા: $\frac{y+1}{y} dy + \frac{\cos^2 x - \sin 2x}{e^{-x}} dx = 0$
$(1 + \frac{1}{y}) dy + e^x(\cos^2 x - 2 \sin x \cos x) dx = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 + \frac{1}{y}) dy + \int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = C$
$\int e^x \cos^2 x dx = \int e^x (\frac{1 + \cos 2x}{2}) dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx$ નો ઉપયોગ કરતા
આમ, $\int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx - \int e^x \sin 2x dx$, જે $e^x \cos^2 x$ માં સરળ થાય છે.
તેથી, $y + \log y = -e^x \cos^2 x + C$
$x = 0, y = 1$ લેતા: $1 + \log 1 = -e^0 \cos^2 0 + C \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$
અંતિમ ઉકેલ: $y + \log y + e^x \cos^2 x = 2$.

(A) ધારો કે $v = x + y$ છે. તેથી $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$ મળે.
$\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v + \cos v$ થાય.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $1 + \sin v + \cos v = 2\cos^2(\frac{v}{2}) + 2\sin(\frac{v}{2})\cos(\frac{v}{2}) = 2\cos^2(\frac{v}{2}) [1 + \tan(\frac{v}{2})]$ થાય.
તેથી, $\int \frac{dv}{2\cos^2(\frac{v}{2}) [1 + \tan(\frac{v}{2})]} = \int dx$ મળે.
ધારો કે $u = 1 + \tan(\frac{v}{2})$ છે, તો $du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{v}{2}) dv = \frac{1}{2\cos^2(\frac{v}{2})} dv$ થાય.
આમ, $\int \frac{du}{u} = \int dx \implies \log |u| = x + c$ મળે.
કિંમત પાછી મૂકતા: $\log |1 + \tan(\frac{x + y}{2})| = x + c$ મળે.

(B) ધારો કે $v = 9x + y + 5$ છે. તેથી $\frac{dv}{dx} = 9 + \frac{dy}{dx}$, એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 9$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 9 = v^2 \implies \frac{dv}{dx} = v^2 + 9$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dv}{v^2 + 3^2} = \int dx$.
સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{v}{3}) = x + c$ મળે છે.
$v = 9x + y + 5$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{9x + y + 5}{3}) = x + c$.

(B) આપેલ ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x(x + 1)}$ છે.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y - 1} = \int \frac{dx}{x(x + 1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$.
વક્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી, $x = 1, y = 0$ મુકતા: $\ln|0 - 1| = \ln|\frac{1}{1 + 1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$.
તેથી, $\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x + 1}|$.
ઘાતાંક લેતા: $y - 1 = \frac{2x}{x + 1} \implies (y - 1)(x + 1) = 2x$.

(B) ધારો કે $x + y = v$ છે. $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ મળે છે.
સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos v$.
$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos v = 2 \cos^2 (\frac{v}{2})$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{2 \cos^2 (\frac{v}{2})} = dx$.
$\frac{1}{2} \sec^2 (\frac{v}{2}) dv = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{2} \sec^2 (\frac{v}{2}) dv = \int dx$.
$\tan (\frac{v}{2}) = x + c$.
$v = x + y$ પાછું મૂકતા: $\tan (\frac{x + y}{2}) = x + c$.

(D) ધારો કે $u = \frac{dy}{dx}$ છે. આપેલ સમીકરણ $u^2 = 6 - u$ છે, જેનો અર્થ છે કે $u^2 + u - 6 = 0$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા, આપણને $(u + 3)(u - 2) = 0$ મળે છે.
આમ, $u = -3$ અથવા $u = 2$ મળે.
કારણ કે $y = f(x)$ એ એકદિષ્ટ વધતું વિધેય છે, તેથી $\frac{dy}{dx} > 0$ હોવું જોઈએ, તેથી આપણે $\frac{dy}{dx} = 2$ લેવું પડશે.
$x$ ની સાપેક્ષે $\frac{dy}{dx} = 2$ નું સંકલન કરતા, આપણને $y = 2x + C$ મળે છે.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 5$ નો ઉપયોગ કરતા, $5 = 2(0) + C$, જેમાંથી $C = 5$ મળે છે.
તેથી, વિધેય $y = 2x + 5$ છે.
$y(3)$ ની કિંમત શોધવા માટે, $x = 3$ મૂકતા: $y(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $2x \frac{dy}{dx} = y + 3$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y + 3} = \frac{dx}{2x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y + 3} = \int \frac{dx}{2x}$
$\ln|y + 3| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$
$2$ વડે ગુણતા: $2 \ln|y + 3| = \ln|x| + 2C$
$\ln(y + 3)^2 = \ln|x| + C'$
$(y + 3)^2 = kx$, જ્યાં $k = e^{C'}$
આ સમીકરણ $(y - k_1)^2 = 4a(x - k_2)$ સ્વરૂપનું છે, જે પરવલયોના પરિવારને દર્શાવે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \, dy + 2y \, dx = 0$
પદોને ગોઠવતા: $x \, dy = -2y \, dx$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{2y} = -\frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{2y} \, dy = -\int \frac{1}{x} \, dx$
$\frac{1}{2} \ln|y| = -\ln|x| + C$
$2$ વડે ગુણતા: $\ln|y| = -2\ln|x| + 2C$
$\ln|y| = \ln|x^{-2}| + C_1$ (જ્યાં $C_1 = 2C$)
$y = e^{C_1} \cdot x^{-2} \implies y = \frac{K}{x^2}$ (જ્યાં $K = e^{C_1}$)
આપેલ છે $x = 2$ અને $y = 1$: $1 = \frac{K}{2^2} \implies K = 4$
આમ, વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \frac{4}{x^2}$ છે, જે $x^2 y = 4$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\int x f(x) dx + \frac{f(x)}{2} = 0$ છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$x f(x) + \frac{1}{2} f'(x) = 0$ મળે છે.
પદોને વ્યવસ્થિત કરીને ચલ અલગ કરતા:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -2x$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int -2x dx$ મળે છે.
$\ln|f(x)| = -x^2 + C_1$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$f(x) = e^{-x^2 + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-x^2}$ મળે છે.
$e^{C_1} = C$ લેતા, આપણને $f(x) = C e^{-x^2}$ મળે છે.