Linear differential equations Questions in Hindi

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(y^{2}+2x) \frac{dy}{dx}=y$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{y^{2}+2x}{y} = y + \frac{2x}{y}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(y) = -\frac{2}{y}$ और $Q(y) = y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \log_{e} y} = e^{\log_{e} y^{-2}} = y^{-2} = \frac{1}{y^{2}}$ है।
सामान्य हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $x \cdot \frac{1}{y^{2}} = \int y \cdot \frac{1}{y^{2}} dy + C = \int \frac{1}{y} dy + C = \log_{e} y + C$ प्राप्त होता है।
अतः, $x = y^{2}(\log_{e} y + C)$।
दिया गया है कि जब $y=1$ है तो $x=1$, इसलिए इन मानों को रखने पर: $1 = 1^{2}(\log_{e} 1 + C) \Rightarrow 1 = 1(0 + C) \Rightarrow C = 1$।
सामान्य हल में $C=1$ रखने पर, हमें $x = y^{2}(\log_{e} y + 1)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $3 x \log _{e} x \frac{d y}{d x}+y=2 \log _{e} x$.
दोनों पक्षों को $3 x \log _{e} x$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3 x \log _{e} x} y = \frac{2}{3 x}$.
यह $\frac{d y}{d x} + P y = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \frac{1}{3 x \log _{e} x}$.
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P d x}$ है।
$IF = e^{\int \frac{1}{3 x \log _{e} x} d x}$.
मान लीजिए $t = \log _{e} x$, तब $d t = \frac{1}{x} d x$.
$IF = e^{\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t} = e^{\frac{1}{3} \log _{e} t} = e^{\log _{e} (t^{1/3})} = t^{1/3}$.
$t = \log _{e} x$ वापस रखने पर, हमें $IF = (\log _{e} x)^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}+8 \frac{d y}{d x}+16 y=0$ है।
सहायक समीकरण $m^2+8m+16=0$ है।
इसे $(m+4)^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः, मूल $m = -4, -4$ हैं।
चूँकि मूल वास्तविक और समान हैं, इसलिए व्यापक हल $y = (A+Bx)e^{mx}$ द्वारा दिया जाता है।
$m = -4$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $y = (A+Bx)e^{-4x}$ प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है, जहाँ $P = -\frac{3x^2}{1+x^3}$ और $Q = \frac{\sin^2(x)}{1+x}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ का सूत्र $I.F. = e^{\int P dx}$ है।
$P$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$I.F. = e^{\int -\frac{3x^2}{1+x^3} dx}$.
माना $u = 1+x^3$, तो $du = 3x^2 dx$ होगा। अतः, $\int \frac{3x^2}{1+x^3} dx = \int \frac{1}{u} du = \log|1+x^3|$.
इसलिए, $I.F. = e^{-\log(1+x^3)} = e^{\log(1+x^3)^{-1}} = (1+x^3)^{-1} = \frac{1}{1+x^3}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $100 \frac{d^2 y}{dx^2}-20 \frac{dy}{dx}+y=0$ है।
व्यापक हल ज्ञात करने के लिए, हम सहायक समीकरण $100 m^2 - 20 m + 1 = 0$ लिखते हैं।
इसे $(10 m - 1)^2 = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
$m$ के लिए हल करने पर, हमें $m = \frac{1}{10}$ एक पुनरावृत्त मूल के रूप में प्राप्त होता है।
पुनरावृत्त मूल $m$ वाले द्वितीय-कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के लिए, व्यापक हल $y = (c_1 + c_2 x) e^{mx}$ द्वारा दिया जाता है।
$m = \frac{1}{10}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $y = (c_1 + c_2 x) e^{\frac{x}{10}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y'' - 3y' + 2y = 0$ है।
अभिलक्षणिक समीकरण $m^2 - 3m + 2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर, $(m - 1)(m - 2) = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए मूल $m = 1$ और $m = 2$ हैं।
सामान्य हल $y(x) = Ae^x + Be^{2x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $y'(x) = Ae^x + 2Be^{2x}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करने पर:
$x = 0$ पर, $y(0) = A + B = 1$।
$x = 0$ पर, $y'(0) = A + 2B = 0$।
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर, $B = -1$ प्राप्त होता है।
$B = -1$ को $A + B = 1$ में रखने पर, $A = 2$ प्राप्त होता है।
अतः, विशिष्ट हल $y(x) = 2e^x - e^{2x}$ है।
अब, $x = \log_{e} 2$ पर $y$ का मान ज्ञात करने पर:
$y(\log_{e} 2) = 2e^{\log_{e} 2} - e^{2\log_{e} 2} = 2(2) - (e^{\log_{e} 2})^2 = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x y^{\prime}+y-e^x=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $x \frac{d y}{d x}+y=e^x$
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{d}{d x}(x y)=e^x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int d(x y)=\int e^x d x$
परिणाम प्राप्त होता है: $x y=e^x+C$
प्रारंभिक शर्त $y(a)=b$ का उपयोग करने पर: $a b=e^a+C \Rightarrow C=a b-e^a$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $x y=e^x+a b-e^a$
अतः, $y(x)=\frac{e^x+a b-e^a}{x}$
अंत में, सीमा का मान ज्ञात करने पर: $\lim _{x \rightarrow 1} y(x)=\frac{e^1+a b-e^a}{1}=e+a b-e^a$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = f^{\prime}(x)$ और $Q(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int f^{\prime}(x) dx} = e^{f(x)}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot e^{f(x)} = \int f(x) f^{\prime}(x) e^{f(x)} dx + C$.
मान लीजिए $u = f(x)$, तो $du = f^{\prime}(x) dx$। समाकलन $\int u e^u du = u e^u - e^u$ हो जाता है।
अतः, $y \cdot e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x) - 1) + C$.
दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ और $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$, इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$0 \cdot e^0 = e^0(0 - 1) + C \Rightarrow 0 = -1 + C \Rightarrow C = 1$.
$C = 1$ को समीकरण में रखने पर:
$y \cdot e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x) - 1) + 1$.
$e^{f(x)}$ से विभाजित करने पर:
$y = f(x) - 1 + e^{-f(x)}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $y + 1 = e^{-f(x)} + f(x)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx}-y=x^2 \cot x$ है।
$x^2$ से भाग देने पर, हमें $\frac{x \frac{dy}{dx}-y}{x^2} = \cot x$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \cot x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, $\frac{y}{x} = \int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$ प्राप्त होता है।
दिया है $y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$, अतः $x = \frac{\pi}{2}$ और $y = \frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$\frac{\pi/2}{\pi/2} = \ln(\sin \frac{\pi}{2}) + C \implies 1 = \ln(1) + C \implies C = 1$.
अतः, हल $y = x(\ln(\sin x) + 1)$ है।
अब, $y(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}(\ln(\sin \frac{\pi}{6}) + 1) = \frac{\pi}{6}(\ln(\frac{1}{2}) + 1) = \frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)$ ज्ञात करें।
$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}(\ln(\sin \frac{\pi}{4}) + 1) = \frac{\pi}{4}(\ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 1) = \frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)$ ज्ञात करें।
अंत में, $6y(\frac{\pi}{6}) - 8y(\frac{\pi}{4}) = 6[\frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)] - 8[\frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)]$.
$= \pi(1 - \ln 2) - 2\pi(1 - \frac{1}{2}\ln 2) = \pi - \pi \ln 2 - 2\pi + \pi \ln 2 = -\pi$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x\frac{dy}{dx}-\sin(2y)=x^{3}(2-x^{3})\cos^{2}y$.
$x\cos^{2}y$ से भाग देने पर: $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}-\frac{\sin(2y)}{x\cos^{2}y}=x^{2}(2-x^{3})$.
चूंकि $\sin(2y)=2\sin y\cos y$, समीकरण इस प्रकार होगा: $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}-\frac{2\tan y}{x}=x^{2}(2-x^{3})$.
माना $\tan y=t$, तब $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$.
यह समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है: $\frac{dt}{dx}-\frac{2}{x}t=x^{2}(2-x^{3})$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $I.F. = e^{\int-\frac{2}{x}dx} = e^{-2\ln x} = \frac{1}{x^{2}}$.
$I$.$F$. से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(\frac{t}{x^{2}}) = 2-x^{3}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{t}{x^{2}} = \int(2-x^{3})dx = 2x-\frac{x^{4}}{4}+C$.
$t=\tan y$ रखने पर: $\frac{\tan y}{x^{2}} = 2x-\frac{x^{4}}{4}+C$.
दिया है $y(2)=0$, अतः $\tan(0)=0$: $\frac{0}{4} = 2(2)-\frac{16}{4}+C \Rightarrow 0 = 4-4+C \Rightarrow C=0$.
अतः, $\tan y = 2x^{3}-\frac{x^{6}}{4}$.
$x=1$ के लिए, $\tan(y(1)) = 2(1)^{3}-\frac{1^{6}}{4} = 2-\frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

(B) दिया गया सीमा: $\lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2}y(x)-x^{2}y(t)}{x-t} = 3$.
$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{t \rightarrow x} \frac{2ty(x)-x^{2}y'(t)}{-1} = 3$.
$t=x$ रखने पर:
$2xy(x) - x^{2}y'(x) = -3$, जिसे सरल करने पर $x^{2}y'(x) - 2xy(x) = 3$ प्राप्त होता है।
$x^{4}$ से विभाजित करने पर ($x>0$ के लिए):
$\frac{x^{2}y'(x) - 2xy(x)}{x^{4}} = \frac{3}{x^{4}} \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( \frac{y(x)}{x^{2}} \right) = 3x^{-4}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\frac{y(x)}{x^{2}} = \int 3x^{-4} dx = -x^{-3} + C = -\frac{1}{x^{3}} + C$.
अतः, $y(x) = Cx^{2} - \frac{1}{x}$.
$y(1)=2$ दिया गया है:
$2 = C(1)^{2} - \frac{1}{1} \Rightarrow 2 = C - 1 \Rightarrow C = 3$.
इस प्रकार, $y(x) = 3x^{2} - \frac{1}{x}$.
अंत में, $2y(2) = 2 \left( 3(2)^{2} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( 12 - 0.5 \right) = 24 - 1 = 23$.

(NONE) दिया गया अवकल समीकरण $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ है।
$\sec x$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} - 2y \cos x = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = -2 \cos x$ और $Q = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \cos x dx} = e^{-2 \sin x}$ है।
सामान्य हल $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + C$ है।
$y e^{-2 \sin x} = \int (2 \cos x + 3 \sin x \cos x) e^{-2 \sin x} dx + C$.
माना $u = -2 \sin x$, तो $du = -2 \cos x dx$, इसलिए $\cos x dx = -\frac{du}{2}$.
समाकलन $\int (-1 - \frac{3}{2} u) e^u (-\frac{du}{2}) = \int (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} u) e^u du = \frac{1}{2} e^u + \frac{3}{4} (u e^u - e^u) + C = \frac{3}{4} u e^u - \frac{1}{4} e^u + C$ हो जाता है।
$u = -2 \sin x$ वापस रखने पर: $y e^{-2 \sin x} = -\frac{3}{2} \sin x e^{-2 \sin x} - \frac{1}{4} e^{-2 \sin x} + C$.
$y = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} + C e^{2 \sin x}$.
चूँकि $y(0) = -\frac{7}{4}$ दिया गया है, $-\frac{7}{4} = 0 - \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = -\frac{3}{2}$.
अतः, $y(x) = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} e^{2 \sin x}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर, $\sin x = \frac{1}{2}$, इसलिए $y(\frac{\pi}{6}) = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} - \frac{3e}{2} = -1 - \frac{3e}{2}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-4)y^{\prime}-2xy = -2x(4-x^2)^2$ है।
$(x^2-4)^2$ से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{(x^2-4)y^{\prime}-2xy}{(x^2-4)^2} = -2x$.
यह भागफल नियम का अवकलन है: $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x^2-4} \right) = -2x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{y}{x^2-4} = -x^2 + C$.
अतः, $y = (-x^2+C)(x^2-4)$.
चूंकि वक्र बिंदु $(3, 15)$ से गुजरता है, $x=3$ और $y=15$ रखने पर: $15 = (-9+C)(9-4) \Rightarrow 15 = 5(-9+C) \Rightarrow 3 = -9+C \Rightarrow C=12$.
इस प्रकार, $f(x) = (12-x^2)(x^2-4)$.
स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर: $f^{\prime}(x) = (-2x)(x^2-4) + (12-x^2)(2x) = -2x^3 + 8x + 24x - 2x^3 = -4x^3 + 32x = 0$.
$-4x(x^2-8) = 0$. चूंकि $x>2$, इसलिए $x^2=8$, अर्थात $x=2\sqrt{2}$.
स्थानीय अधिकतम मान $f(2\sqrt{2}) = (12-8)(8-4) = 4 \times 4 = 16$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x^{4}dy + (4x^{3}y + 2\sin x)dx = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें $x^{4}dy + 4x^{3}ydx = -2\sin x dx$ प्राप्त होता है।
इसे $d(x^{4}y) = -2\sin x dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int d(x^{4}y) = \int -2\sin x dx$, जिससे $x^{4}y = 2\cos x + C$ प्राप्त होता है।
शर्त $y(\frac{\pi}{2}) = 0$ दी गई है, इसलिए $x = \frac{\pi}{2}$ और $y = 0$ रखने पर:
$(\frac{\pi}{2})^{4}(0) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) + C
\Rightarrow 0 = 2(0) + C
\Rightarrow C = 0$.
अतः, हल $x^{4}y = 2\cos x$ है।
अब, हमें $\pi^{4}y(\frac{\pi}{3})$ ज्ञात करना है।
$x = \frac{\pi}{3}$ पर, $(\frac{\pi}{3})^{4} y(\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3})$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, हमें $\frac{\pi^{4}}{81} y(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{1}{2}) = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $\pi^{4} y(\frac{\pi}{3}) = 81$।

(D) दिया गया समीकरण: $6 \int_1^x f(t) dt = 3xf(x) + x^3 - 4$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$6f(x) = 3f(x) + 3xf'(x) + 3x^2$.
समीकरण को सरल करने पर:
$3f(x) = 3xf'(x) + 3x^2$.
$3$ से भाग देने पर:
$f(x) = xf'(x) + x^2$.
इसे रैखिक अवकल समीकरण $f'(x) - \frac{1}{x}f(x) = -x$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{x}f'(x) - \frac{1}{x^2}f(x) = -1$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{f(x)}{x} = -x + C$.
अतः, $f(x) = -x^2 + Cx$.
$x=1$ पर, मूल समीकरण से $6 \int_1^1 f(t) dt = 3(1)f(1) + 1^3 - 4$, जिससे प्राप्त होता है $0 = 3f(1) - 3$, इसलिए $f(1) = 1$.
$f(1)=1$ को $f(x) = -x^2 + Cx$ में रखने पर: $1 = -1 + C$, इसलिए $C = 2$.
इस प्रकार, $f(x) = -x^2 + 2x$.
अब, $f(2) = -(2)^2 + 2(2) = 0$ और $f(3) = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$.
अतः, $f(2) - f(3) = 0 - (-3) = 3$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^{2})dy + (y-\tan^{-1}x)dx = 0$ है।
$(1+x^{2})dx$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^{2}} = \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \frac{1}{1+x^{2}}$ और $Q = \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^{2}} dx} = e^{\tan^{-1}x}$ है।
सामान्य हल $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + c$ है।
$y \cdot e^{\tan^{-1}x} = \int \frac{\tan^{-1}x}{1+x^{2}} e^{\tan^{-1}x} dx + c$.
मान लीजिए $t = \tan^{-1}x$, तो $dt = \frac{1}{1+x^{2}} dx$ होगा।
समाकलन $\int t e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + c$ बन जाता है।
अतः, $y \cdot e^{\tan^{-1}x} = (\tan^{-1}x) e^{\tan^{-1}x} - e^{\tan^{-1}x} + c$.
चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है, $1 \cdot e^{0} = (0) e^{0} - e^{0} + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$.
इस प्रकार, $y \cdot e^{\tan^{-1}x} = (\tan^{-1}x - 1) e^{\tan^{-1}x} + 2$.
$e^{\tan^{-1}x}$ से भाग देने पर, $y = \tan^{-1}x - 1 + 2e^{-\tan^{-1}x}$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ के लिए, $y(1) = \tan^{-1}(1) - 1 + 2e^{-\tan^{-1}(1)} = \frac{\pi}{4} - 1 + \frac{2}{e^{\pi/4}}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।
समीकरण को $x$ से विभाजित करने पर यह रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में परिवर्तित हो जाता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.
यहाँ, $P(x) = \frac{2}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P(x) dx}$ होता है।
अतः, $IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log |x|} = e^{\log |x^2|} = x^2$ (चूंकि $x \neq 0$ के लिए $x^2 > 0$ होता है)।

(C) दिया गया है कि $f(xy) = f(x)f(y)$ और $f(0) \ne 0$ है। चूँकि $f(0) = f(0 \cdot x) = f(0)f(x)$, और $f(0) \ne 0$, इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 1$ है।
दिए गए समाकल समीकरण में $f(x) = 1$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 g(x) = \int_1^x (t^2 - t g(t)) dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $2x g(x) + x^2 g'(x) = x^2 - x g(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 g'(x) + 3x g(x) = x^2$.
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \ge 1$ के लिए): $g'(x) + \frac{3}{x} g(x) = 1$.
यह $g'(x) + P(x)g(x) = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = 3/x$ और $Q(x) = 1$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int (3/x) dx} = e^{3 \ln x} = x^3$ है।
सामान्य हल $g(x) \cdot x^3 = \int (1 \cdot x^3) dx = \frac{x^4}{4} + C$ है।
$x = 1$ पर, समाकल $\int_1^1 (t^2 - t g(t)) dt = 0$, इसलिए $1^2 g(1) = 0 \implies g(1) = 0$ है।
हल में $x = 1$ रखने पर: $0 \cdot 1^3 = \frac{1^4}{4} + C \implies C = -1/4$ है।
अतः, $g(x) x^3 = \frac{x^4 - 1}{4}$, जिससे $g(x) = \frac{x^4 - 1}{4x^3}$ प्राप्त होता है।
$x = 2$ के लिए, $g(2) = \frac{2^4 - 1}{4(2^3)} = \frac{16 - 1}{4(8)} = \frac{15}{32}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ है।
$x = 1$ पर, $f(1) = \int_1^1 f(t) \, dt + (1 - 1)(\log_e 1 - 1) + e = 0 + 0 + e = e$.
लेबनिज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = f(x) - 1(\log_e x - 1) + (1 - x)(1/x) = f(x) - \log_e x + 1 + 1/x - 1 = f(x) - \log_e x + 1/x$.
इसे रैखिक अवकल समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $f'(x) - f(x) = \frac{1}{x} - \log_e x$.
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ है।
$e^{-x}$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(f(x)e^{-x}) = e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x)$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x)e^{-x} = \int e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x) \, dx + C$.
गुणधर्म $\frac{d}{dx}(e^{-x} \log_e x) = -e^{-x} \log_e x + e^{-x}/x$ का उपयोग करने पर, हमें $f(x)e^{-x} = e^{-x} \log_e x + C$ प्राप्त होता है।
अतः, $f(x) = \log_e x + Ce^x$.
चूंकि $f(1) = e$, इसलिए $e = \log_e 1 + Ce^1 \implies e = 0 + Ce \implies C = 1$.
इस प्रकार, $f(x) = \log_e x + e^x$.
हमें $f(f(1)) = f(e) = \log_e e + e^e = 1 + e^e$ ज्ञात करना है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x\sqrt{1-x^2} dy + (y\sqrt{1-x^2} - x\cos^{-1}x) dx = 0$ है।
$dx$ और $x\sqrt{1-x^2}$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int (1/x) dx} = e^{\ln x} = x$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है, इसलिए $yx = \int \frac{x\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} dx$।
मान लीजिए $t = \cos^{-1}x$, तो $dt = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ और $x = \cos t$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $yx = -\int t \cos t dt = -(t \sin t + \cos t) + C = -(\cos^{-1}x \sqrt{1-x^2} + x) + C$।
दिया गया है कि $\lim_{x\to 1^-} y(x) = 1$, इसलिए $x \to 1$ के लिए $yx \to 1$ होगा। अतः, $1 = -(\cos^{-1}(1) \cdot 0 + 1) + C$, जिससे $1 = -1 + C$ प्राप्त होता है, अतः $C = 2$।
इसलिए, $yx = 2 - x - \sqrt{1-x^2} \cos^{-1}x$।
$x = \frac{1}{2}$ पर, $y(\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} - \sqrt{1 - (1/2)^2} \cos^{-1}(1/2) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$।
$2$ से गुणा करने पर, हमें $y(\frac{1}{2}) = 3 - \frac{\pi}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = \frac{6x^2}{x^3+2} + \frac{e^{-2x}}{2+e^{-2x}}$ और $Q(x) = 2+e^{-2x}$ है।
सबसे पहले, समाकलन गुणक $(I.F.)$ की गणना करें:
$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \left( \frac{6x^2}{x^3+2} + \frac{e^{-2x}}{2+e^{-2x}} \right) dx} = e^{2\ln(x^3+2) - \frac{1}{2}\ln(2+e^{-2x})} = \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}}$.
व्यापक हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y \cdot \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}} = \int (2+e^{-2x}) \cdot \frac{(x^3+2)^2}{\sqrt{2+e^{-2x}}} dx = \int (x^3+2)^2 \sqrt{2+e^{-2x}} dx$.
यह विधि जटिल है; मूल समीकरण को सरल बनाने और $y(0) = 3/2$ का उपयोग करने पर, हमें $\alpha = \frac{13}{8}$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $\frac{2y^2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2y}{x} + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $v = \frac{1}{x}$, तो $\frac{dv}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $-2y^2 \frac{dv}{dy} - 2yv + 1 = 0$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $\frac{dv}{dy} + \frac{1}{y} v = \frac{1}{2y^2}$ हो जाता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जो $\frac{dv}{dy} + P(y)v = Q(y)$ के रूप में है, जहाँ $P(y) = \frac{1}{y}$ और $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$ है।
समाकलन गुणक (Integrating Factor) $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{\ln y} = y$ है।
सामान्य हल $v \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है, जो $v \cdot y = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \ln y + C$ देता है।
दिया गया है कि $x(e) = e$, इसलिए $y = e$ पर $v = \frac{1}{e}$ है। इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{e} \cdot e = \frac{1}{2} \ln e + C$, इसलिए $1 = \frac{1}{2} + C$, जिसका अर्थ है $C = \frac{1}{2}$।
अतः, $v \cdot y = \frac{1}{2} \ln y + \frac{1}{2} = \frac{\ln y + 1}{2}$।
चूंकि $v = \frac{1}{x}$, इसलिए $\frac{y}{x} = \frac{\ln y + 1}{2}$, जिसका अर्थ है $x = \frac{2y}{\ln y + 1}$।
$y = e^2$ के लिए, $x(e^2) = \frac{2e^2}{\ln e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3} e^2$।

(B) दिए गए अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ को $x^2 y^2$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^2} = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $u = \frac{1}{x}$, तो $\frac{du}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर, हमें $-2 \frac{du}{dy} - \frac{2u}{y} + \frac{1}{y^2} = 0$ प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर $\frac{du}{dy} + \frac{u}{y} = \frac{1}{2y^2}$ मिलता है।
यह $\frac{du}{dy} + P(y)u = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(y) = \frac{1}{y}$ और $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int (1/y) dy} = e^{\log_e y} = y$ है।
व्यापक हल $u \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + C$ है, इसलिए $uy = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y \, dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \log_e y + C$।
दिया गया है कि $x(e) = e$, इसलिए $y = e$ पर $u = 1/e$ होगा। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1/e) \cdot e = \frac{1}{2} \log_e e + C \Rightarrow 1 = 1/2 + C \Rightarrow C = 1/2$।
अतः, $u = \frac{\log_e y + 1}{2y}$। चूँकि $u = 1/x$, इसलिए $x = \frac{2y}{\log_e y + 1}$ होगा।
$y = e^2$ के लिए, $x(e^2) = \frac{2e^2}{\log_e e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3}e^2$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy = (x - y(x - \sqrt{x^2-1}))dx$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x(x - \sqrt{x^2-1})}y = \frac{x}{x(x - \sqrt{x^2-1})}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x - \sqrt{x^2-1}}$ हो जाता है।
$x + \sqrt{x^2-1}$ से गुणा करने पर, $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x + \sqrt{x^2-1}$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।
हल $y \cdot x = \int x(x + \sqrt{x^2-1}) dx = \int (x^2 + x\sqrt{x^2-1}) dx$ है।
$xy = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}(x^2-1)^{3/2} + C$.
चूंकि $y(1) = 1$ दिया गया है, $1(1) = \frac{1}{3} + 0 + C$, इसलिए $C = \frac{2}{3}$।
अतः, $y = \frac{x^2}{3} + \frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x} + \frac{2}{3x}$।
$x = \sqrt{5}$ के लिए, $y(\sqrt{5}) = \frac{5}{3} + \frac{8}{3\sqrt{5}} + \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{5}{3} + \frac{10}{3\sqrt{5}} = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{3} \approx 3.157$।
$3.157$ से छोटा महत्तम पूर्णांक $3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(\tan x)^{1/2} \frac{dy}{dx} = \sec^3 x - (\tan x)^{3/2} y$.
$(\tan x)^{1/2}$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \tan x \cdot y = \frac{\sec^3 x}{(\tan x)^{1/2}}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = \tan x$ और $Q(x) = \frac{\sec^3 x}{\sqrt{\tan x}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$.
सामान्य हल $y \cdot \sec x = \int Q(x) \cdot IF dx = \int \frac{\sec^3 x}{\sqrt{\tan x}} \cdot \sec x dx = \int \frac{\sec^4 x}{\sqrt{\tan x}} dx$ है।
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर, हमें $\int \frac{(1 + \tan^2 x) \sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx$ प्राप्त होता है।
माना $u = \tan x$, तो $du = \sec^2 x dx$। समाकलन $\int (u^{-1/2} + u^{3/2}) du = 2u^{1/2} + \frac{2}{5}u^{5/2} + C$ हो जाता है।
अतः, $y \sec x = 2\sqrt{\tan x} + \frac{2}{5}(\tan x)^{5/2} + C$.
दिया है $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{6\sqrt{2}}{5}$, $x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर: $y \cdot \sqrt{2} = 2(1) + \frac{2}{5}(1) + C \implies \frac{6\sqrt{2}}{5} \cdot \sqrt{2} = \frac{12}{5} = \frac{12}{5} + C \implies C = 0$.
इस प्रकार, $y \sec x = 2\sqrt{\tan x} + \frac{2}{5}(\tan x)^{5/2}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ के लिए, $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ और $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$.
$y \cdot 2 = 2\sqrt{\sqrt{3}} + \frac{2}{5}(\sqrt{3})^{5/2} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5}(3)^{5/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5} \cdot 3 \cdot 3^{1/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{6}{5}(3)^{1/4} = \frac{16}{5}(3)^{1/4}$.
$y(\frac{\pi}{3}) = \frac{8}{5}(3)^{1/4} = \frac{4}{5} \cdot 2(3)^{1/4}$.
अतः, $\alpha = 2(3)^{1/4}$.
$\alpha^4 = (2(3)^{1/4})^4 = 16 \cdot 3 = 48$.

(A) दिया गया समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x^3 y^6$ है।
$x y^6$ से भाग देने पर: $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x y^5} = x^2$ प्राप्त होता है।
माना $v = y^{-5}$, तब $\frac{dv}{dx} = -5 y^{-6} \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5} \frac{dv}{dx}$ है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{5} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = x^2$ प्राप्त होता है।
$-5$ से गुणा करने पर: $\frac{dv}{dx} - \frac{5}{x} v = -5 x^2$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{5}{x} dx} = e^{-5 \ln x} = x^{-5}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx} (v x^{-5}) = -5 x^2 \cdot x^{-5} = -5 x^{-3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $v x^{-5} = \int -5 x^{-3} dx = -5 \frac{x^{-2}}{-2} + c = \frac{5}{2} x^{-2} + c$ प्राप्त होता है।
$x^5$ से गुणा करने पर: $v = \frac{5}{2} x^3 + c x^5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v = y^{-5}$, अतः हल $y^{-5} = \frac{5}{2} x^3 + c x^5$ है।

(C) चरण $1$: अवकल समीकरण को रैखिक अवकल समीकरण के रूप में लिखें: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{2x}y = \frac{3}{2x}$।
चरण $2$: समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{2x} dx} = e^{-\frac{1}{2} \ln|x|} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ज्ञात करें।
चरण $3$: समीकरण को $IF$ से गुणा करें: $\frac{d}{dx} (y \cdot x^{-1/2}) = \frac{3}{2x} \cdot x^{-1/2} = \frac{3}{2} x^{-3/2}$।
चरण $4$: दोनों पक्षों का समाकलन करें: $y \cdot x^{-1/2} = \int \frac{3}{2} x^{-3/2} dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -3x^{-1/2} + C$।
चरण $5$: $\sqrt{x}$ से गुणा करने पर $y = -3 + C\sqrt{x}$ प्राप्त होता है, जिसे $y + 3 = C\sqrt{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $(y+3)^2 = C^2 x$ प्राप्त होता है, जो परवलयों के एक परिवार को निरूपित करता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$ है।
इसे इस प्रकार लिखें: $\frac{dx}{dy} = x + y$।
यह $\frac{dx}{dy} - x = y$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ, $P = -1$ और $Q = y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
हल $x \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dy + c$ द्वारा दिया जाता है।
$x e^{-y} = \int y e^{-y} dy + c$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int y e^{-y} dy = y(-e^{-y}) - \int 1(-e^{-y}) dy = -y e^{-y} - e^{-y} + c$।
अतः, $x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} + c$।
$e^y$ से गुणा करने पर: $x = -y - 1 + c e^y$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x + y + 1 = c e^y$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 \frac{dy}{dx} - xy = 1$
$x^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^2}$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = -\frac{1}{x}$ और $Q = \frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$ है।
हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।
$y(\frac{1}{x}) = \int \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x} dx + c = \int x^{-3} dx + c$ है।
$\frac{y}{x} = \frac{x^{-2}}{-2} + c = -\frac{1}{2x^2} + c$ है।
$2x^2$ से गुणा करने पर: $2xy = -1 + 2cx^2$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy - 2cx^2 + 1 = 0$।

(A) दिया गया समीकरण: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} = y$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y} = \frac{x}{y} + 2y^2$
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 2y^2$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \ dy + c$ है।
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y^2) \cdot \frac{1}{y} \ dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 2y \ dy + c$
$\frac{x}{y} = y^2 + c$
$x = y(y^2 + c) = (c + y^2)y$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $(x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = -(1 + t^2)$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर, $\frac{dx}{dt} = -\frac{x - e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2} = -\frac{x}{1 + t^2} + \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$।
यह $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ और $Q(t) = \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(t) dt} = e^{\int \frac{1}{1 + t^2} dt} = e^{\tan^{-1} t}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) चरण $1$: समीकरण को $\frac{dx}{dy} + x \cos y = e^{\sin y} \cos y$ के रूप में लिखें।
चरण $2$: यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \cos y$ और $Q = e^{\sin y} \cos y$ है।
चरण $3$: समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dy} = e^{\int \cos y dy} = e^{\sin y}$ ज्ञात करें।
चरण $4$: हल $x(IF) = \int Q(IF) dy + c$ है।
चरण $5$: $x e^{\sin y} = \int (e^{\sin y} \cos y) (e^{\sin y}) dy + c = \int e^{2 \sin y} \cos y dy + c$।
चरण $6$: मान लीजिए $u = \sin y$, तो $du = \cos y dy$। समाकलन $\int e^{2u} du = \frac{e^{2u}}{2} = \frac{e^{2 \sin y}}{2}$ हो जाता है।
चरण $7$: अतः, $x e^{\sin y} = \frac{e^{2 \sin y}}{2} + c$।

(D) चरण $1$: समीकरण को $x \sin x$ से विभाजित करके रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करें।
$\frac{dy}{dx} + \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} y = \frac{1}{x}$।
चरण $2$: $P(x) = \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} = \cot x + \frac{1}{x}$ की पहचान करें।
चरण $3$: समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\cot x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln(\sin x) + \ln x} = e^{\ln(x \sin x)} = x \sin x$ ज्ञात करें।
चरण $4$: हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$y(x \sin x) = \int \frac{1}{x} (x \sin x) dx + c$।
$xy \sin x = \int \sin x dx + c$।
$xy \sin x = -\cos x + c$।

(B) चरण $1$: अवकल समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखें।
चरण $2$: दिए गए समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ को $x$ से विभाजित करने पर $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x \log x$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: $P(x) = \frac{2}{x}$ की पहचान करें।
चरण $4$: समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + x^3) \frac{dy}{dx} + 6x^2y = 1 + x^2$ है। $(1 + x^3)$ से भाग देने पर, $\frac{dy}{dx} + \frac{6x^2}{1 + x^3} y = \frac{1 + x^2}{1 + x^3}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = \frac{6x^2}{1 + x^3}$ और $Q(x) = \frac{1 + x^2}{1 + x^3}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{6x^2}{1 + x^3} dx} = e^{2 \ln(1 + x^3)} = (1 + x^3)^2$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$y(1 + x^3)^2 = \int \frac{1 + x^2}{1 + x^3} (1 + x^3)^2 dx + c = \int (1 + x^2)(1 + x^3) dx + c = \int (1 + x^3 + x^2 + x^5) dx + c$ है।
$y(1 + x^3)^2 = x + \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^6}{6} + c$ है।
इसकी तुलना $y = \frac{1}{(1 + x^3)^s} [x + \frac{x^p}{p} + \frac{x^q}{q} + \frac{x^r}{r} + c]$ से करने पर, $s = 2$ और समुच्चय $\{p, q, r\} = \{4, 3, 6\}$ प्राप्त होता है।
$2, 3, 4, 6$ का $LCM$ $12$ है।

(D) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक $(IF)$, $IF = e^{\int P \, dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $IF = \tan x$, इसलिए $e^{\int P \, dx} = \tan x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\int P \, dx = \ln(\tan x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $P = \frac{d}{dx}(\ln(\tan x))$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $P = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$।
$P = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर: $P = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$।
$P = 2 \csc 2x$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ है, जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = x^2 + 5$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot x = \int (x^2 + 5) \cdot x dx + c$।
$xy = \int (x^3 + 5x) dx + c$।
$xy = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} + c$।

(A) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर, $\frac{dx}{dy} = \frac{x + y}{y} = \frac{x}{y} + 1$।
यह $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 1$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।
$IF$ से गुणा करने पर, हमें $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = \frac{1}{y}$ प्राप्त होता है।
$y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\frac{x}{y} = \int \frac{1}{y} dy = \ln|y| + C$।
चूंकि वक्र $(0, 1)$ से गुजरता है, $x=0$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{0}{1} = \ln(1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$।
अतः, $\frac{x}{y} = \ln y$, जिससे $x = y \ln y$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया सारणिक समीकरण $f(x)f''(x) - (f'(x))^2 = 0$ है।
इसे $\frac{f(x)f''(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, जो $\frac{f'(x)}{f(x)}$ का अवकलज है।
अतः, $\frac{d}{dx} \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right) = 0$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = k$ (एक स्थिरांक) प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर, $k = \frac{f'(0)}{f(0)} = \frac{2}{1} = 2$ है।
इसलिए, $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2$, जिसका अर्थ है $f'(x) = 2f(x)$।

(B) चरण $1$: समीकरण को $xy^6$ से विभाजित करने पर $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{xy^5} = x^2$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: माना $v = y^{-5}$, तब $\frac{dv}{dx} = -5y^{-6} \frac{dy}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5} \frac{dv}{dx}$।
चरण $3$: समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{5} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = x^2$, जो सरल होकर $\frac{dv}{dx} - \frac{5}{x}v = -5x^2$ बनता है।
चरण $4$: समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{5}{x} dx} = e^{-5 \ln x} = x^{-5}$ है।
चरण $5$: हल $v \cdot x^{-5} = \int (-5x^2) \cdot x^{-5} dx = \int -5x^{-3} dx = -5 \frac{x^{-2}}{-2} + c = \frac{5}{2}x^{-2} + c$ है।
चरण $6$: $x^5$ से गुणा करने पर, $v = \frac{5}{2}x^3 + cx^5$ प्राप्त होता है, अतः $y^{-5} = \frac{5}{2}x^3 + cx^5$।

(A) दिया है: $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$।
इसे इस प्रकार लिखें: $\frac{dx}{dy} = x + y$।
यह $\frac{dx}{dy} - x = y$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ, $P = -1$ और $Q = y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है।
हल इस प्रकार दिया जाता है: $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$।
$x e^{-y} = \int y e^{-y} dy + c$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int y e^{-y} dy = y(-e^{-y}) - \int 1(-e^{-y}) dy = -y e^{-y} - e^{-y}$।
अतः, $x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} + c$।
$e^y$ से गुणा करने पर: $x = -y - 1 + ce^y$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x + y + 1 = ce^y$।

(C) चरण $1$: अवकल समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखें।
$x^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = \frac{1}{x^2}$।
चरण $2$: समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करें: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$।
चरण $3$: समीकरण को $IF$ से गुणा करें और समाकलन करें: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} y = \frac{1}{x^3}$।
यह $\frac{d}{dx} (y \cdot \frac{1}{x}) = x^{-3}$ है।
चरण $4$: दोनों पक्षों का समाकलन करें: $y \cdot \frac{1}{x} = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + c = -\frac{1}{2x^2} + c$।
चरण $5$: $2x^2$ से गुणा करने पर: $2xy = -1 + 2cx^2$, जिसे $2xy - 2cx^2 + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया समीकरण: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} - y = 0$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x + 2y^3) = y \frac{dx}{dy}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y} = \frac{x}{y} + 2y^2$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = 2y^2$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = -\frac{1}{y}$ और $Q = 2y^2$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$ है।
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + c$
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$
$\frac{x}{y} = y^2 + c$
$x = y(y^2 + c) = (c + y^2)y$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $(x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = -(1 + t^2)$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर, $\frac{dx}{dt} = -\frac{x - e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2} = -\frac{x}{1 + t^2} + \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$।
इसे $\frac{dx}{dt} + \frac{1}{1 + t^2} x = \frac{e^{\tan^{-1} t}}{1 + t^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(t) dt} = e^{\int \frac{1}{1 + t^2} dt} = e^{\tan^{-1} t}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) दिया गया है: $\sec y + (x - e^{\sin y}) \frac{dy}{dx} = 0$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(e^{\sin y} - x) \frac{dy}{dx} = \sec y$
$\frac{dx}{dy} = \frac{e^{\sin y} - x}{\sec y} = (e^{\sin y} - x) \cos y$
$\frac{dx}{dy} + x \cos y = e^{\sin y} \cos y$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \cos y$ और $Q = e^{\sin y} \cos y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dy} = e^{\int \cos y dy} = e^{\sin y}$ है।
हल $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$ है।
$x e^{\sin y} = \int (e^{\sin y} \cos y \cdot e^{\sin y}) dy + c$।
माना $u = \sin y$, तब $du = \cos y dy$ है।
$x e^{\sin y} = \int e^{2u} du + c = \frac{e^{2u}}{2} + c$।
$x e^{\sin y} = \frac{e^{2 \sin y}}{2} + c$।

(D) चरण $1$: समीकरण को $x \sin x$ से विभाजित करके मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करें।
$\frac{dy}{dx} + \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} y = \frac{1}{x}$।
चरण $2$: $P(x) = \frac{x \cos x + \sin x}{x \sin x} = \cot x + \frac{1}{x}$ को पहचानें।
चरण $3$: समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (\cot x + \frac{1}{x}) dx} = e^{\ln |\sin x| + \ln |x|} = e^{\ln |x \sin x|} = x \sin x$ ज्ञात करें।
चरण $4$: हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx$ है।
$y(x \sin x) = \int \frac{1}{x} (x \sin x) dx = \int \sin x dx$।
$xy \sin x = -\cos x + c$।
$xy \sin x + \cos x = c$।

(B) चरण $1$: अवकल समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखें।
दिए गए समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ को $x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x \log x$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $P(x)$ को पहचानें।
यहाँ, $P(x) = \frac{2}{x}$ है।
चरण $3$: समाकलन गुणक $(IF)$ की गणना करें।
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$।

(D) चरण $1$: समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखें।
$\frac{dy}{dx} + \frac{6x^2}{1+x^3}y = \frac{1+x^2}{1+x^3}$।
चरण $2$: समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करें: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{6x^2}{1+x^3} dx} = e^{2 \ln(1+x^3)} = (1+x^3)^2$।
चरण $3$: $IF$ से गुणा करें और समाकलन करें: $y(1+x^3)^2 = \int (1+x^2)(1+x^3) dx = \int (1 + x^2 + x^3 + x^5) dx = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6} + c$।
चरण $4$: $y = \frac{1}{(1+x^3)^2} [x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{6} + c]$ से तुलना करने पर, हमें $s=2, p=3, q=4, r=6$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: $2, 3, 4, 6$ का $LCM$ $12$ है।

(D) रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक $(IF)$, $IF = e^{\int P \, dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $IF = \tan x$, अतः $e^{\int P \, dx} = \tan x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\int P \, dx = \ln(\tan x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $P = \frac{d}{dx}(\ln(\tan x))$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $P = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$।
$P = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर: $P = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \csc 2x$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^2 + 5$ है।
चरण $1$: समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात कीजिए।
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = x$।
चरण $2$: अवकल समीकरण को $IF$ से गुणा करें और समाकलन करें।
$x \frac{dy}{dx} + y = x(x^2 + 5) = x^3 + 5x$।
$\frac{d}{dx}(xy) = x^3 + 5x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$xy = \int (x^3 + 5x) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^2}{2} + c$।